Приближение алгебраическими многочленами функций с данным обобщенным несимметричным модулем гладкости тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Напеденина, Анастасия Юрьевна

• Напеденина, Анастасия Юрьевна
• кандидат физико-математических наук
• 2003

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Напеденина, Анастасия Юрьевна

Введение.

Основные определения и обозначения.

1 Совпадение классов функций, характеризуемых несимметричным оператором обобщенного сдвига, и классов функций с данным порядком наилучшего приближения.

1.1 Вспомогательные утверждения.

1.2 Свойства оператора Jy(f, х)

1.3 Приближение функций с заданной структурной характеристикой

1.4 Структурные характеристики классов функций с данным порядком наилучшего приближения.

2 Прямая и обратная теоремы теории приближений.

2.1 Свойства оператора Ty(f, х)

2.2 Свойства оператора H(f, х).

2.3 Связь Х-функционала и обобщенного модуля гладкости

2.4 Связь между обобщенным модулем гладкости и наилучшими приближениями алгебраическими многочленами.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Приближение алгебраическими многочленами функций с данным обобщенным несимметричным модулем гладкости»

Одна из основных задач теории приближений состоит в определении связей между структурными свойствами функции и порядком ее наилучших приближений полиномами. Можно выделить две исторически сложившиеся постановки задачи:

1) сравнение классов функций, модуль гладкости которых имеет данный порядок убывания, и классов функций с соответствующим порядком приближения полиномами;

2) оценка наилучшего приближения функции полиномами через модуль гладкости этой функции (прямая теорема теории приближений); оценка модуля гладкости функции посредством наилучших приближений полиномами этой функции (обратная теорема теории приближений).

Рассмотрим сначала периодический случай. Будем говорить, что 27т-периодическая функция F(x) £ ¿р*[0;2тг], 1 ^ р ^ +оо, если для 1 ^ р < +оо F(x) - измерима на отрезке [0; 2тг] и Z7T

1И1р- = /

2тг +00, для р = +оо F(x) - непрерывна на отрезке [0; 2it\ и

Через En(F)p. обозначим наилучшее приближение функции F(x) £ Lp*[0;27t] тригонометрическими полиномами Tni порядка не выше, чем (п — 1), в метрике Lp., т.е.

En(F)p. = M H-F — T„i||p*.

J-n-l

Структурные свойства функции будем выражать через модуль гладкости 0Jr(F,S)p. этой функции, который определяется следующим образом: u(F,8)r = sup ||F(z + h) - F(x)||p. = sup ||AiF||p. для r = 1; vr(F,5)p* = sup ||AftF||p. для r>2, r £ N, где AlF = Al(Al~lF).

Еще в начале прошлого века возникли задачи: зная порядок наилучшего приближения функции, выяснить ее структурные свойства, и наоборот, выяснить, какие свойства функции влияют на скорость стремления к нулю последовательности ее наилучших приближений (см. [1]—[4]).

Для 27г-периодических непрерывных функций из работ Джексона [3] и Бернштейна [4] следует результат об эквивалентности условий о6)с- = 0(5а) и = 0(п~а), где 0 < а < 1.

В дальнейшем этот результат был перенесен на метрику пространства Ьр* и обобщен для г-го модуля гладкости, т.е. если Е € Ьр*, то для любого натурального числа г существуют положительные постоянные С\ и С2, не зависящие от п (ть Е М) и 6 (6 > 0), такие, что Сх&* Еп(Е)р* < % (1)

ТЬ где 0 < а < г.

Утверждение (1) решает основную задачу теории приближений в периодическом случае для степенных порядков приближения.

Также эта задача была решена и для произвольных порядков приближения, а именно, было показано, что если ^ Е то для любого натурального числа г существуют положительные постоянные С\ и С2, не зависящие от п (и 6 М), такие, что справедливы неравенства

С\Еп(Е)р* ^ сиг (V, 1) ^ Щ £ и^Е^р., (2) пУ р* п и=\ см., например, [3], [5] и [6]).

Прямые и обратные теоремы теории приближений позволяют полностью охарактеризовать класс функций с данными структурными свойствами с помощью последовательности наилучших приближений.

Естественно возникает вопрос: переносятся ли утверждения (1) и (2) на случай приближения непериодических функций алгебраическими многочленами?

Прямую теорему Джексон [3] доказал и для непрерывных функций, заданных на конечном отрезке. Но выяснилось, что обратную теорему на непериодический случай перенести нельзя (см., например, [7]), т.е. классы функций со структурной характеристикой и(/,5)р ^ С 6а (модуль непрерывности рассматривается уже в метрике Ьр[—1; 1]) и классы функций, для которых наилучшее приближение алгебраическими многочленами имеет порядок п~а, — это разные классы. Таким образом возникла задача охарактеризовать оба эти класса.

1. Какова конструктивная характеристика функций, удовлетворяющих условию си(/,5)р ^ С 6а?

В 1946 году С.М.Никольский [8] показал, что прямая теорема для непрерывных непериодических функций может быть усилена и выдвинул гипотезу о том, что конструктивная характеристика таких функций должна учитывать положение точки на отрезке. Его результат был уточнен и обобщен А.Ф.Тиманом [9], а В.К.Дзядыком [10] доказана обратимость этого результата.

Таким образом, были получены прямая и обратная теоремы теории приближений, но не для наилучшего, а для "поточечного" приближения; т.е. для /(#) {= С[—1;1] условие ^ С1<5а равносильно следующему условию: существует последовательность алгебраических многочленов Рп-1, для которых где 0 < а < 1 и положительные постоянные С\ и Сч не зависят от я, 6 и п (х в [—1; 1], £ > 0, п е М).

Однако, было показано, что на случай интегральной метрики эти результаты перенести уже нельзя (см. [11]—[15]).

2. Другой вопрос, встающий в непериодическом случае, есть вопрос о том, какими структурными свойствами охарактеризовать те функции /(х) 6 £>р[—1;1], для каждой из которых Еп{})р ^ Сп~а, т.е. чем заменить модуль гладкости, чтобы аналоги прямой и обратной теорем оказались справедливыми?

Полная аналогия с 27г-периодическим случаем имеет место тогда, когда обычный модуль гладкости в непериодическом случае заменен обобщенным модулем гладкости (см., например, [15] - [24]).

Рассмотрим один из основных способов построения обобщенных модулей гладкости, связанный со следующей аналогией с 27Г-периодическим случаем.

Каждой 27г-периодической функции F, интегрируемой на отрезке [0; 2гг], в каждой точке х & [0; 27г] можно поставить в соответствие ее ряд Фурье

8) - Р„-,(Х)\ 4 ^ ь с2 к=—оо по тригонометрической системе {е1**}*^»- Тогда ряд оо скете{кх к=—оо является рядом Фурье функции Р в точке сдвига (х + К). При этом модуль гладкости в периодическом случае определяется при помощи разности Р(х + К) — Р(х).

Каждой функции /, интегрируемой с весом (1 — гс)1/(1 + на отрезке [—1;1], в каждой точке х €Е [—1;1] можно поставить в соответствие ее ряд Фурье-Якоби

Аг=0 по системе многочленов Якоби {Р^\х)}к=о*

Рассмотрим ряд оо

Е««^*)^*), (3) 0 где — некоторая система функций, определенных на отрезке

1; 1]. Если для каждого Н 6 [—1; 1] ряд (3) есть ряд Фурье-Якоби некоторой функции, то принято считать, что это ряд Фурье-Якоби функции / в точке "обобщенного сдвига" х + К. Лефстрем и Петре в работе [25] предложили называть такую функцию оператором обобщенного сдвига. Будем обозначать его Тд(/,а:)или Обобщенный модуль гладкости определяется при помощи разности функции и такого оператора обобщенного сдвига.

Если срк{Н) = то оператор обобщенного сдвига называют симметричным; если <рк{И) ф Р^'^/г), то оператор называют несимметричным.

Отметим, что случай симметричных операторов обобщенного сдвига исследован достаточно подробно (см., например, [15], [16], [19]-[27]). В этих работах для различных V и \1 приводился явный вид операторов обобщенного сдвига и устанавливались аналоги утверждений (1) и (2). При этом в доказательствах существенно использовались явный вид операторов и свойство симметричности Ту(/,х) = Тж(/,г/). В связи с этим возник вопрос, будут ли в отсутствии симметрии (где явный вид оператора известен лишь в нескольких случаях и имеет довольно сложную структуру) получаться подобные результаты.

В данной работе рассматриваются несимметричные операторы обобщенного сдвига <7^/, ж) и Ту(/, ж), введенные М.К.Потаповым в работах [28] и [29], и устанавливаются соотношения типа (1) и (2) для кратных модулей гладкости, построенных посредством этих операторов.

Определения операторов и Ту(/,х), а также всех других объектов, которые в дальнейшем встречаются во введении, можно найти в списке основных определений и обозначений на стр. 12-15.

Перейдем теперь к точным формулировкам полученных результатов.

В главе 1 рассматривается оператор «7У (/,#)• Этот оператор является несимметричным оператором обобщенного сдвига для v — ц = 1 и

Ш = Щу) = - it%) +

Это следует из того, что (см. утверждение 1.4) i i

I Jy(f,x)P¡l>l\x)(l-x2)dx = Uk(y)• I f(x)Pll>l\x)(l-x2)dx. -1 -1

Оператор Jy(f,x) при у = cosí будем обозначать Jt(f,x). Этот оператор рассматривается в пространствах LVí(X)p (т.е. действует на функцию / 6 LP(Qj/?). Отметим, что не при всех значениях параметров а и /3 оператор Jt(f,x) является ограниченным.

Более точно, для нормы оператора справедливы следующие леммы: Лемма 1.9.1 Пусть числа р, a и ¡3 таковы, что 1 ^ р ^ +оо, a ^ (3 ^ I — щ. Пусть Ь — некоторое число, такое, что 0 ^ b < \ при р = 1,

О < Ь < \ при 1 < р < +оо и 0 < Ъ ^ \ при р = +оо. Пусть f 6 Lp>a,/?. Тогда справедливо неравенство

WMMLcp < c(ll/IUí + i>("-»\\f\\M + где постоянная С не зависит от f и t.

Лемма 1.10.2 Пусть числар, a и /3 таковы, что 1 ^ р ^ +оо, 0 < (3 ^ \ прир = 1, при 1 < р < +оо и \ < f3 < 1 прир = +оо, а ^ р. Пусть f é Lp¡Qtp. Тогда справедливо неравенство

Л(/,*)|Ue < С (ll/IU^ + i^ll/IUw) , где постоянная С не зависит от f и t.

С помощью оператора «/*(/, ж) определяется обобщенный модуль гладкости ür(f->fi)p,a,i3 и в параграфе 1.3 главы 1 доказывается теорема о приближении функций с заданной структурной характеристикой.

Теорема 1.2. Пусть даны числа р, а, (3, А и г, такие, что 1 ^ р ^ +оо, г eN, А > 0, /? < а < 1 при р = I, /? < а < 2 - ¿ при 1 < р < +оо. Пусть /(я) G Если

1 Более точно, эта лемма является объединением лемм 1.9 и 1.8 диссертации.

2Частным случаем этой леммы является утверждение 1.6, доказанное в работе [28]. где постоянная С\ не зависит от 8 (6 > 0), то

En(f)P)a,¡3 < где постоянная С2 не зависит от п (п 6 N).

При доказательстве этой теоремы центральную роль играет утверждение об алгебраических многочленах, реализующих указанный порядок наилучших приближений функций из классов Е(р, а,/?,Л), которое представляет и самостоятельный интерес. А именно, справедлива

Теорема 1.1. Пусть г, q и m — данные натуральные числа. Пусть функция f(x) суммируема с весом (1 — х2) на отрезке [—1;1]. Тогда для любого I = 1,2,., г функция

7Г 7Г г

Ql(x) = J.J jlh u (/, x) ]][ K(ts, m, q) sin ts dtx. dtn о 0 5=1 где K(t„m,g) = 7(í») = (^f )2'+4, тК j) = J (Щ)^™tdt, есть алгебраический многочлен степени не выше, чем (g + 2)(m — 1).

В параграфе 1.4 главы 1 для достаточно широких пределов изменения параметров a и /? (см. леммы 1.8-1.10) установлена теорема о структурных характеристиках функций с данным порядком наилучших приближений.

Теорема 1.3. Пусть даны числа р, а, (3, г, \, такие, что 1 ^ р ^ +оо, г 6 N, 2шах(а + ^ - 1; с* - /3) < Л < 2г, 0 < ^ < or ^ 1 при р = 1, при 1 < р < +оо, \ < (3 < а < 2 при р = +оо. Пусть f е Lp¡aj3. Если с

En(f)Pia,0 < где постоянная С\ не зависит от n (ra € N), то r{f,S)p,a,0 где постоянная C<i не зависит от 5 (5 > 0).

Объединяя теоремы 1.2 и 1.3, получаем прямую и обратную теоремы теории приближений для степенных порядков приближения.

Теорема 1.4. Пусть даны числа р, а, [3, А и г, такие, что 1 ^ р ^ +оо, г € N, 0 < /? < а < 1 при р — 1, 2 - ± при 1 < р < +оо, ^ [3 ^ а < 2 дрир = +оо и 2 max(or + ^ — 1; а — ¡3) < Л < 2г. Тогда совпадают классы функций Е(р, а, (3, А) и Н(р, а, (3, г, Л).

При г = 1, а = /3 и более узких пределах изменения параметров эта теорема доказана М.К.Потаповым в работе [28].

В главе 2 рассматривается оператор Ty(f,x). Этот оператор является несимметричным оператором обобщенного сдвига для и = 3, у, — 1 и VJt(y) = Pk°'4\y)- Это следует из того, что (см. лемму 2.1)

1 1 I Ty(f,x)P^1\x)(l-x)i(l+x)dx = Pi°'4\yy J f(x)Pi3'l\x)(l-xf(l+x)dx. -1 -1

Для рассматриваемых пределов изменения параметров оператор Ту(/, х) ограничен.

Утверждение 2.1 [29]. Пусть даны числа р и а, такие, что 1 ^ р ^ +оо, |-^<а<1— ^ при 1 < р < +оо и i ^ а < 1 при р = Н-оо.

Пусть f е LPta+1(Q. Тогда Ty(f,x) G LP)a+l,a для любого у е {—1;1) и справедливо неравенство Q

Ty{f,x)\\p>a+i)a ^ + • H/llp.a+l.a, где постоянная С не зависит от f и у.

При помощи оператора Ty(f,x) задается обобщенный модуль гладкости £v(/>^)p,a,/?- В главе 2 строится кратный iif-функционал, отвечающий этому модулю гладкости.

Рассмотрим построение .if-функционала более подробно, так как здесь заключен принципиальный момент, отличающий кратный случай от случая г = 1.

Из дифференциального уравнения для многочленов Якоби (см. [30], стр. 73-74) возникает оператор обобщенного дифференцирования

Dx = (1 - х)~*(1 + - *)4(1 +

Положим DlJ(x) = Dxf{x), DrJ(x) = Д^Я^/М) Для г > 2. Будем говорить, следуя [29], что f(x) G ADr(p,a,{3), если

1) /(®) G Lp,Q)/?;

2) /(ж) имеет абсолютно непрерывную (2г — 1)-ю производную на каждом отрезке [a;b] С (—1;1);

3) DlJ{x) е LP)QiI3 для j = 1,2,., г.

Заметим, что пространство ADr(p,a,/3) зависит от рассматриваемой метрики Lp,a,/? (т.е. от выбора чисел р, си, /3) и никак не зависит от оператора Ty(f,x).

Однако применение Ty(f,x) к функции f(x) Е ADr(p,a,/3) может выводить из пространства ADr(p,a,/3), т.е. пространство ADr(p,a,/3) не инвариантно относительно оператора Ty(f,x).

Таким образом, при рассмотрении кратного оператора обобщенного сдвига, действующего на функции из ADr(p, а, /?), возникает ситуация, когда оператор Ty(f,x) вторично применяется, вообще говоря, уже не к функции из ADr(p, а,/3).

Определим пространство ADTr(p,a,j3) как наибольшее подмножество класса ADr(p,a,fi), инвариантное относительно Ty(f,x) для всех у Е (—1; 1), или, более точно, скажем, что / Е ADTr(p,a,/3), если

1) feADr(p,а,ру,

2) Tlyi f е ADr(p,а,р) для любого I Е N и любых уиУ2,--,У1 €

Введем if-функционал следующим образом:

Kr(f,S)p,^= mi ^fllZ-ellw + ^M^PWIIft-J»)

Для определенного таким образом /iT-функционала в параграфе 2.3 главы 2 установлена теорема о его "эквивалентности" обобщенному модулю гладкости ur(f,S)Piat0.

Теорема 2.1. Пусть даны числа г, р и а, такие, что г Е N, 1 ^ р ^ +оо, | — ^ < a < I — ^ при 1 ^ р < +оо и \ ^ a < 1 при р = +оо. Пусть / Е LPiQ+i)Q. Тогда существуют положительные постоянные С\ и С2, не зависящие от f и 8, 5 Е (0; тт), такие, что справедливы неравенства

4г(г—1) q

Опираясь на этот результат, в параграфе 2.4 главы 2 доказана прямая и обратная теоремы теории приближений для произвольных порядков приближения.

Теорема 2.2. Пусть даны числа г, р и а, такие, что г Е N, 1 ^ р ^ +00, \ — ¿<«<1. — ^ при 1 ^ р < +оо и ^ ^ a < 1 при р = +оо. Пусть f Е LP)a+i)Q. Тогда существуют положительные постоянные С\ и не зависящие от f и n, n Е N, такие, что справедливы неравенства

CiEn(f)Pta+ita < Wr (/, - ) < ^ V2r"1Ev{f)Pia+l,a / p,a+l,a 71 v=i

Для однократного случая (г = 1) результат настоящей теоремы был установлен М.К.Потаповым в работе [29].

Диссертация состоит из двух глав, введения, списка основных определений и обозначений и списка литературы из 43 наименований.

В работе формулы, леммы и теоремы имеют номера из двух чисел, первое из которых — номер главы, а второе, собственно, — номер формулы (леммы, теоремы) в этой главе. Результаты других авторов будем называть утверждениями.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора [39]-[43]. Они докладывались на научном семинаре механико-математического факультета МГУ по теории ортогональных и тригонометрических рядов под руководством чл.-корр.РАН, проф. П.Л.Ульянова, проф. М.К.Потапова и проф. М.И.Дьяченко, на Воронежской зимней математической школе "Современные методы теории функций и смежные проблемы" (2001) и на Саратовских зимних математических школах "Современные проблемы теории функций и их приложения" (1998, 2000).

Автор глубоко признателен научному руководителю профессору Михаилу Константиновичу Потапову за постановку задач, поддержку и постоянное внимание к работе.

Основные определения и обозначения

В этом параграфе приводятся некоторые определения и обозначения, которые будут использоваться на протяжении всей работы. Отметим, что везде далее, если не оговорено противное, п, г — натуральные числа, х, у — действительные числа {х 6 [—1; 1], у € [—1; 1]), 6 — действительное число (<£ > 0), р — действительное число (р ^ 1) или символ р = +оо. 3

1. Обозначим через Ьр, где 1 ^ р ^ +оо, множество функций /(х), которые при 1 ^ р < +оо измеримы по Лебегу и суммируемы в р-й степени на отрезке [—1; 1] и при р = +оо непрерывны на [—1; 1], причем

2. Пусть р, а, (3 — фиксированы. Будем говорить, что /(я) € если /(х){1-х)а(1 +х)Р еЬр и

3. Через £?п(/)р,а,/? обозначим наилучшее приближение в метрике ЬР}01)р функции /(ж) алгебраическими многочленами Рп-\{х) степени не выше, чем (п — 1), заданными на [—1;1], то есть

4. Обозначим через Е(р,а,/3, А) класс функций удовлетворяющих условию где А > 0 и С— некоторая положительная постоянная, не зависящая от п (п £ М).

5. Для каждой функции /(х) Е Ьр,»,/? определяется оператор обобщенного сдвига «7у(/,я) по правилу

И/И» = 11/11«?= НК, !/(*)!■

11/11,,^ = ||/(*)(1-*Г(1+ *)"||

Е„(Лр,а,0 = т( ||/(ж) - Р„-1(:с)1|№/з. 1

Еп(})р,а,0 «; С ■ П'\

ММ = 2(1 — у2)(1 — г2) +

-1 Ь у2 - хуг

3Для единства записи формул будем считать при р = +оо дробь - равной 0. где R = ху + zy/l — x2y/l — у2. л

Также будем рассматривать оператор <Л(/, который получается заменой у — cos t, z — cos у? из оператора Jy(/,rc), а именно,

Я) dp,

1 Г г #

Ji(f,x) = — / 1 —sin2 icos --===== sin 2¿ cos р

L 2vl — ж2 о где Я = ж cos í + cos (р sin Wl — х2.

6. Определим также кратный оператор обобщенного сдвига по правилу j}(f,x) = Jt(f,x), = Jtr(JtZiJf^)^) Для г = 2,3,.

7. При помощи Jt(f,x) введем обобщенную разность порядка г (г £ N) по правилу

A}(f,x) = Jt(f,x)-f(x), и определим r-й обобщенный модуль гладкости функции / £ Lp¡ ür(f,S)p,a,/3= sup ||А^.<г(/,ж)||р1а>/?. г=1,.,г

8. Через а, г, Л) обозначим класс функций f(x) Е Lp,a,p, удовлетворяющих условию

Vr(f,S)p,a,f3 где Л > 0 и С— некоторая положительная постоянная, не зависящая от <5.

9. Для каждой функции f(x) £ Lp>Q¡p определяется оператор обобщенного сдвига Ty(f,x) по правилу i

-1 где R = ху + z\J\ — x2y/l — у2,

1 + 2/)2(1 — х)л/Т~^~х2 cos (fi = Z, Sin (p 1

-X\/l — y2 + yzVl — Я2 . л/1 - #2лЛ — Z2 cos <p =---. -, sin<p =-. -,

Vl-R2 л/1 — R2

2(1 — xy) — y/l — X2\/l — у2 . л/1 — z2(y — я) cos/i =-ГГд-' em" = —ПГй—•

10. Будем рассматривать также кратный оператор обобщенного сдвига

T}(f,*)=Ty(f,z), Tl.Sr(f,x)=Tir(T^rJf,x),x) для г = 2,3.

11. Обозначая Tt(f,x)=Tcost(f.,x), при помощи этого оператора введем обобщенную разность порядка г (г 6 N) по правилу

Alt(f,x) = Tt(f,x)-f(x),

K.jr(f>x) = K(AV.trJf>x)>x) да* и соответствующий этой разности r-й обобщенный модуль гладкости функции f{x) G LPtвводится следующим образом:

ШГ(f,8)Piaj= sup ||Д^г(/,аО||р>в|/*. utes,

1,.,г

12. Многочлены Якоби степени п, ортогональные друг другу с весом (1 — х)а(1 + хУ на отрезке [—1; 1], будем обозначать PnQ'^\x) (а > —1,/? > — 1, n — целое неотрицательное) и считать нормированными условием 1) = 1.

13. Будем рассматривать оператор обобщенного дифференцирования Dx, определяемый следующим образом:

Dx = (1 - х)'3(1 + - я)4(1 +

Положим D\f = Дс/, DrJ = Dl(Drx-lf) для г = 2,3,.

14. Скажем, что f(x) 6 ADr(p,a,(3), если

1) /(*) € LPJBtfi\

2) f(x) имеет абсолютно непрерывную (2г — 1)-ю производную на каждом отрезке [а; 6] С (—1; 1);

3) Dlxf(x) 6 LP}Ct,p для / = 1,2,.,г.

15. Определим класс функций А£ХГг(р, <*,/?) как наибольшее подмножество класса АПг(р, а,/2), инвариантное относительно оператора Ту(/,х) для всех у е (—1;1), или, более точно, скажем, что ¡(х) е АОТг(р,а,р), если

1) /ИеЛ%а,Д;

2) Т1У1 и/ е АПг(р,а,р) для любого I £ N и любых 2/1,2/2, • • • ,2// £ (-!;!)•

16. Введем /('-функционал следующим образом:

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Напеденина, Анастасия Юрьевна, 2003 год

1. De Vore R. Lp—1;1] approximation by algebraic polynomials // Linear Spaces and Approximation, Edited by P.Z.Butzer and B.Sz-Nagy. Binkhâuser-Verlag. Basel. 1978. p.397-406.

2. Потапов M.K. О приближении непериодических функций алгебраическими полиномами // Вести. Моск. ун-та. Матем. Механ. I960. Ai 4. с.14-25.

3. Жидков Г.В. Конструктивная характеристика одного класса непериодических функций // ДАН СССР. 1966. 169. Я 5. с.1002-1005.

4. Ditzian Z., Totik V. Moduli of smootness. N.Y., Springer, 1987.

5. Butzer P.Z., Stens P.J., Wehrans M. Higher order of continuity basis on the Jacobi translation operator and best approximation // C. r. Math. Rend. Acad. sci. Canada. 1980. 2. p.83-87.

6. Pawelke S. Ein Satz vom Jacksonschen Тур fur algebraische Polynome // Acta sci. math. 1972. 33, Я 3-4. p.323-336.

7. Потапов M.K. О структурных характеристиках классов функций с данным порядком наилучшего приближения // Тр. Матем. ин-та АН СССР. 1975. 134. с.260-277.

8. Потапов М.К. О приближении алгебраическими многочленами в интегральной метрике с весом Якоби // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1977. Я 5. с.70-82.

9. Потапов М.К. О приближении алгебраическими многочленами в интегральной метрике с весом Якоби // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1983. Я 4. с.43-52.

10. Потапов М.К., Федоров В.М. О теоремах Джексона для обобщенного модуля гладкости // Тр. Матем. ин-та АН СССР. 1985. 172. с.291-295.

11. Потапов М.К., Бериша М., Бериша Ф. О полиномиальной аппроксимации в интегральной метрике с весом Якоби // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1990. Я 6. с.33-38.

12. Lôfstrëm J., Peetre J. Approximation theorems connected with generalized translations // Math. Ann. 1969. 181. p.255-268.

13. Потапов М.К., Казимиров Г.Н. О приближении алгебраическими многочленами функций, имеющих данный порядок k-го обобщенного модуля гладкости // Матем. заметки. 1998. 63. N 3. с.425-436.

14. Потапов М.К., Казимиров Г.Н. О совпадении некоторых классов функций // Вести. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1998. N 1. с.3-11.

15. Потапов М.К. О применении одного оператора обобщенного сдвига в теории приближений // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1998. Я 3. с.38-48.

16. Потапов М.К. О приближении функций, характеризуемых одним несимметричным оператором обобщенного сдвига // Тр. матем. ин-та РАН. 1999. 227. с.243-259.

17. Сеге Г. Ортогональные многочлены. М.: Физматлит, 1962.

18. Дьяченко М.И., Ульянов П.Л. Мера и интеграл. М.: Факториал, 1998.

19. Потапов М.К. Об условиях совпадения некоторых классов функций II Тр. Семинара им. И.Г.Петровского, 1981. вып.6, с.223-238.

20. Халилова Б.А. О некоторых оценках для полиномов // Изв. АН Аз-ССР. Сер. физ.-тех. наук. 1974. Я 2. с.46-55.

21. Тиман А.Ф. Теория приближения функций действительного переменного. М.: Физматгиз, 1960.

22. Потапов М.К., Бериша Ф.М. О теореме Джексона для модуля гладкости, определяемого несимметричным оператором обобщенного сдвига // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2000. Af 3. с.7-15.

23. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1972.

24. Кудрявцев Л.Д. Математический анализ. М.: Высшая школа, 1973.

25. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. М.: Наука, 1972.

26. Напеденина А.Ю. Прямая и обратная теоремы для несимметричного обобщенного модуля гладкости // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2002. Я 6. с.19-25.

27. Напеденина А.Ю. Эквивалентность обобщенного модуля непрерывности и приближения оператором Рогозинского // Теория функций и приближений. Труды 7-ой Саратовской зимней школы. Изд-во Саратовского ун-та, 1995, ч.З, с.59-61.

28. Напеденина А.Ю. О структурных характеристиках классов функций с данным порядком наилучшего приближения // Математические методы и приложения. Труды шестых математических чтений МГСУ. Москва, МГСУ, 1999, с.54-56.

29. Напеденина А.Ю. О совпадении некоторых классов функций // Современные проблемы теории функций и их приложения. Тезисы докладов. Изд-во Саратовского ун-та, 1997, с.116.

30. Напеденина А.Ю. Эквивалентность К-функционала и обобщенного несимметричного модуля гладкости порядка г // Современные методы теории функций и смежные проблемы. Тезисы докладов. Воронеж, 2001, с.194-195.