Экстремальные задачи теории приближения целыми функциями конечной степени и сплайнами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат наук Гладкая Анна Владимировна

• Гладкая Анна Владимировна
• кандидат наук
• 2016

Оглавление диссертации кандидат наук Гладкая Анна Владимировна

§1. Введение

§2. Предварительные сведения об аналитических функциях

§3. Задача в равномерной метрике

3.1. Постановка задачи в равномерной метрике с весом

3.2. Построение функций и подсчет плотности точек аль-

терната

3.3. Наименьшее уклонение функции ¡а от нуля в равно-

мерной метрике с весом

3.4. Наименьшее уклонение функции Га от нуля в равно-

мерной метрике с весом

§4. Задача в интегральной метрике

4.1. Постановка задачи в интегральной метрике с весом

4.2. Ортогональность знака функции /а функциям мень-

шей степени

4.3. Наименьшее уклонение функции /а от нуля в инте-

гральной метрике с весом

Глава 2. Непериодический сплайновый аналог операторов

Ахиезера^Крейна^Фавара

§1. История вопроса и постановки задач

§2. Вспомогательные результаты

2.1. Предварительные сведения

2.2. Три леммы об интегралах

§3. Основные результаты

3.1. Построение ядра оператора и его свойства

3.2. Сведение к периодической задаче

3.3. Неравенство типа Лхиезери Крепни Фи вира

Глава 3. Неравенства типа Джексона для приближений сплайнами

§1. Введение

§2. Неравенства для первого модуля непрерывности производных 73 §3. Неравенство для старших модулей непрерывности функции

Заключение

Литература

Обозначения

Следующие обозначения используются в тексте без пояснений: Ла(/)р — наилучшее прнближение / множеством Еа, то есть

А-(/)р = 1п£ ||/ - д\\р;

деЕст

Ла-0(/)р — наилучшее приближение / множеством Еа-0 в пространстве Ьр (К);

Л-т(/)р — наилучшее прнбли жение / множеств ом 8а,т в пространстве Ьр (К);

Ват (£) = / 7а,т(%)е^ — непериодический В-сплайп порядка т € м

где

7-,т (%) = с(Ва,т, %) = —

1 / п ^ л \ т+1

1 С ° г — 1 \

2п V г-%

а

1

п „ / '

Вп,т(£) = 7п,т(к)вгЫ — периодический В-сплайп порядка т €

kGZ

Нормировка В-сплайпов выбрана так, что

п

^ Ва,т ^ Вп,т 1; п

Вг (•) — многочлены Вернул ли, определяемые равенством

гвхг ^ Вг (х)

ЕВТТ) ■ < 2п;

вг — 1 ' г!

г=0

В*(^) — 1-периодические функции, совпадающие па [0,1) с многочленами Бернулли (за исключением значения В^ в точках разрыва: В1 (0) = 0);

С ...................... пространство 2п-периодических непрерывных функций с равномерной нормой;

С — множество комплексных чисел;

С_ — открытая нижняя комплексная полуплоскость;

C+ — открытая верхняя комплексная полуплоскость;

t

ck(f) = 2t I f (t)e-iПkt dt — коэффициенты Фурье 2£-перподнческой

-t

функции f, суммируемой на периоде;

c(f,z) = / f (t)e-izt dt, — преобразование Фурье заданной на R 2 R

f

ния;

dr (t) = 1 Е (iky — ядро Бернулли по рядка r G N;

k€Z\{0} '

Ea — пространство целых функций степени не выше а; Ea-0 — пространство целых функций степ ени меньше а; En(f)р - наилучшее приближение функции f множеством 72n-i в пространстве Lp;

En,m(f)р - наилучшее приближение функции f множеством Sn,m в пространстве Lp;

H 1(C+) — класс Хардп, то есть множество всех функций, аналитических в C+, таких что

с»

SUP / If(x + iy)|dx < »;

y>0 J —

Класс H 1(C-) определяется аналогично;

00

Кг = 4 Е {Й9+- (г е - константы Фавара. Напомним, что

V=0

п2 4 п3 п Ко = 1 < К2 = — < ... < - < ... < Кз = — < К = -;

8 п

(1 ^ р < то) — пространство измеримых, суммируемых па оси с рй степенью, с нормой

1/р

i/11р = I I !/

Ьр (1 ^ р < ж) — пространство измеримых, 2п-иериодических, суммируемых на периоде с р-й степенью функций /, с нормой

1/р

/||р = Ч !/

(К) — пространство измеримых существенно огранпченных на К /

||/||ж = угшвир !/(х)|;

жбМ

— иодпространство функций из

Ьр^\ос(К) — множество функций, принадлежащих Ьр(Е) для каждого отрезка Е;

log+ — положительная часть логарифма;

N — множество натуральных чисел;

Sh>r(/) — функция Стеклова порядка г € Ъ+ функции /:

//2

ЗД/) = /, ад/,ж) = 1/ /(х + БКг(/) = £М(£Л>Г_1 (/));

-//2

8а>т (т € Ъ+, а > 0 — пространство сплайнов порядка т минимального дефекта с узлами ^ . € Ъ) . При т € N это множество т _ 1 раз непрерывно дифференцируемых на К функций, сужение которых на каждый интервал (, есть многочлен степени не выше т. Эа>0 —

есть множество функций, постоянных на каждом таком интервале (значения в точках разрыва несущественны);

йп>т (п € N _ пространство 2п-перподнческих сплайнов из 8п,т;

Т2п-1 — пространство тригонометрических многочленов порядка не выше п _ 1;

Жр(г)(К) (г € N — множество функций, принадлежащих Ьр(Ш) и являющихся г-кратпыми интегралами от функций из Ьр(Ж);

Жр(г) (г € ^ — множество функций, принадлежащих Ьр и являющихся г-кратпыми интегралами от функций из Ьр;

WprL (R) _ мпожество r-кратных интегралов от функций из Lp^oc (R); Z — множество целых чисел; Z+ — множество целых неотрицательных чисел; [а: b] = [а, b] П Z;

r

51 (f, x) = Е (—1)kCf(x + rt — kt) — центральная разность порядка k=0

r G Z+ фупкции f с шагом t в точке x. В частности, 5t(f, x) = f (x + |) — f (x — I), 5| (f, x) = f (x + t) — 2f (x) + f (x — t);

— характеристическая функция множества A Xa(x) = 1, если x G A Xa(x) = 0 если x G A

(f, h)p = sup P(5Г(f)) — модуль непрерывности порядка r G Z+

функции f с шагом h относительно полунормы P;

^tj — целая часть чпела t, то есть наибольшее целое число, не пре-t

Если из контекста не следует противное, пространства функций могут быть как вещественными, так и комплексными.

Функции доопределяются в точке устранимого разрыва по непрерывности; в других случаях символ 0 понимается как

0

Z

N

Е= lim >

ke Z k=—N

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Экстремальные задачи теории приближения целыми функциями конечной степени и сплайнами»

Введение

Диссертация посвящена установлению ряда классических неравенств теории приближения целыми функциями конечной степени и непериодическими сплайнами.

Диссертация состоит из трех глав, разделенных на параграфы. Нумерация утверждений отдельная для каждого типа утверждений в каждой главе. При ссылках внутри главы указывается только номер соответствующего утверждения. При ссылках на утверждение другой главы первым указывается номер главы, например: теорема 2.1. Нумерация формул двойная и указывает номер главы и номер формулы в главе, например: формула (2.1).

1. Первая глава посвящена приближениям целыми функциями конечной степени из класса Картрайт. Результаты этой главы опубликованы в [11] и [5].

Сначала напомним классические результаты для тригонометрических полиномов. П. Л. Чебышевым была решена задача о нахождении полинома степени n с единичным старшим коэффициентом, наименее уклоняющегося от нуля в равномерной метрике, в том числе, в некоторых весовых пространствах.

Возьмем весовую функцию ш(x) = 1/pm(x), где pm — алгебраический полином степени ш, положительный на [—1,1], с единичным старшим коэффициентом. Пусть n > ш. Положим z = x = cos

Tn(x) = Re {z-ng2m(z)} ,

гДе gm _ полином сте пени m с корнями вне к руга | z | ^ 1, такой что |gm(e^)|2 = pm(cos при ^ Е [0,п]. Тогда Tn является экстремальным в задаче нахождения

min max |(xn + an-1xn-1 + ••• + a0)w(x)|.

ai xE[_1,1]

В случае ш(х) = 1 решением поставленной задачи будут многочлены Чебышева первого рода Tn(z) = cos(n arccos z). Этот результат и его аналоги в интегральной метрике вошли в книгу [1, прил. I, пункт 14]; см. там же историю вопроса. Форма записи ответа взята из [41].

В первой главе получены аналоги этих результатов для целых функций экспоненциального типа. Построены функции, наименее уклоняющиеся от нуля в весовых пространствах на вещественной оси. Эти функции обобщают многочлены Чебышева первого и второго рода.

В §3 рассмотрена задача в равномерной метрике.

Определение. Целыми функциями класса C, согласно [42, лекция 16], будем называть целые функции экспоненциального типа, для которых

с»

» log+ |f(t)|

J ТГ^"dt < ».

Пусть даны функция pm класс a C, степей и m (m £ N), положительная на вещественной оси, и число а ^ m. Найдем целые функции степени а, строго наименее уклоняющиеся от н уля в классе C с весам и 1/pm и | • |/pm в равномерной метрике. Наименьшее уклонение понимается в следующем смысле.

Определение. Пусть f — целая функция степени а > 0. Будем

f

C с весом ш в равномерной метрике, если не существует целой функции Q класс a C степени мен ьше а, не равной нулю тождественно, такой что

sup |(f — Q) ш| < sup \fu\.

R R

f

а

C

inf sup|(f — Q) ш| =sup .

Q£C^a-0 R R

Более того, элемент наилучшего приближения единственнен.

Для четного веса 1/рт эта задача решена в [11]. Остальные результаты были получены в [5].

Для решения задачи построены две целые функции ¡а и Га

¡а(*) = 1 (£*(*) + )), ¥а(г) = ^ (ОД) - ОД),

где функция дт(г) такая, что рт(х) = |дт(х)|2, = е~гагд'т(г), а

операция * определяется равенством /*(г) = /(г).

Основными результатами в §3 являются следующие теоремы. Теорема 1.2. Длл любой целой функции Я класса С, отличной от тождественного нуля, степени меньшей а выполняется неравенство

вир

м

¡а - Я > вир ¡а

Рт м Рт

Таким образом, построенная функция ¡а строго наименее уклоняется от нуля в равномерной метрике с весом 1/рт.

Теорема 1.3. Для любой целой функции, Я класса С, отличной от тождественного нуля, степени меньшей а выполняется неравенство

вир

хе м

(^(х) - Я(х))

х

Рт(х)

> вир

хм

^ (X)

х

Рт (х)

Следовательно, построенная функция Га строго наименее уклоняется от пуля в равномерной метрике с весом | • |/рт.

В §4 рассмотрена задача в интегральной метрике. Наименьшее уклонение понимается в следующем смысле.

Определение. Пусть / — целая функция степени а > 0. Говорят, что функция / наименее уклоняется от нуля с весом ш в интегральной метрике, если не существует целой функции Я степени меньше а, сум-

мируемой на оси с весом и, такой что

с»

I (|/-Q\-\f |) и< 0.

Замечание 1.6. Суммируемость функции ^ ^ тесом и при этом не обязательна в силу очевидного неравенства

— Ql — lf 1| ^ IQI,

однако в случае суммируемости это определение совпадает с классическим.

Основными результатами в §4 являются следующие теоремы. Теорема 1.6. Для любой целой функции ка степени а ^ а, суммируемой на оси с весом 1/рт, выполняется неравенство

с»

\/г — ка \ — \/г \ ^ 0

Рг

— 00

Если т < а или а < а, то для ненулевой функции, ка неравенство строгое.

Таким образом, функция fa наименее уклоняется от нуля в интегральной метрике с весом 1/рто.

Теорема 1.7. Для любой целой функции, 1а степен и а ^ а, суммируемой на вещественной оси с весом \ • \/рт; выполнено равенство

00

, , , , хх вЩпЕа (х)1а(х)-(— = 0.

рт (х )

Таким образом, функция Еа наименее уклоняется от нуля в интегральной метрике с весом \ • \/рт.

2. Вторая глава посвящена приближениям непериодическими сплайнами и содержит результаты, опубликованные в [6]. Всюду далее n,r Е N m Е Z+ а > 0.

В §1 приведены известные результаты о полиномах, целых функциях и периодических и непериодических сплайнах.

В 1937 году Ж.Фавар [37] и Н.И.Ахиезер и М.Г. Крейн [2] построили линейный метод приближения Xn,r со значениями в пространстве

тригонометрических многочленов порядка не вышеп — 1, такой что для

(r)

любой f Е WC

||/ — Xn,r(f)IU ^ K llf^U (1)

и доказали, что константу —r уменьшить нельзя, даже если заменить левую часть на наилучшее приближение, то есть

En(f -r /оч

sup .. ,, ,,, = —. (2)

t i f (r) nr V )

fGwlr) ||f ||c n

Операторы Xn,r называют операторами или суммами Ахиезера-Крейна-Фавара, а неравенства, в которых приближение функции оценивается через норму (полунорму) производной, производной сопряженной функции и т.п., будем называть неравенствами типа Лхиезери Крепни Фивири. Впоследствии аналоги соотношений (1) и (2) были установлены для многих классов сверток периодических и непериодических функций. С. М. Никольский [28] распространил (1) и (2) на случай нормы в пространстве Li.

М.Г. Крейн [21] получил аналоги соотношения (2) для приближения целыми функциями конечной степени классов функций из wC^R), определяемых дифференциальными операторами, а Б. Надь [44] построил линейный оператор Хаг со значения ми в Ea, для отклонения которого справедлива такая же оценка

If — Xa,r (f )||c ^ -Г llf (r)||c. (3)

аг

При а = п Е N операторы из формул (1) и (3) со впадают па 2п-пе-риодических функциях и потому обозначаются одинаково. Эти результа-

ты вошли в книгу [1], где оценки сверху распространены на пространства и Lp.

Для приближения периодических функций сплайнами минимального дефекта известны следующие точные соотношения типа Ахиезера-Крейна-Фавара. Пусть m ^ r — 1, p G {1, то}. Тогда

En,m(f )p Kr / л \

SUP NWHll P = ЗГ. (4)

f

f (r)L

Полагаем

0, m нечетно,

£ m —

, m четно.

Пусть y ^ 0 функцпя f задана на R и f(x) = O(|x|Y) при x ^ то. Обозначим через ,a,m(f) сплайн из Sa,m, интерполирующий f в точках кП + £m (k G Z) и такой, что ,a,m(f, x) = O(|x|Y) при x ^ то. При m=r—1

с помощью интерполяционного сплайна:

sup 11 f —, 1(f )llp = K. (5)

f €Wp(r)

f (r)L

Доказательства соотношений (4) и (5) можно найти в [32, 43, 40, 18, 20].

A.A. Лигун [43] доказал существование линейного оператора из C в Sn,m, реализующего константу в соотношении (4) при m ^ r Р = то (явный вид этого оператора в [43] отсутствует). О.Л.Виноградов [3] построил при m ^ r линейные операторы Xn,r,m со значениями в Sn,m (аналоги сумм Ахиезера-Крейна-Фавара), реализующие константу в соотношении (4) для всех p G [1, то] и f G Wp(r).

Для приближений непериодическими сплайнами функций из Сунь Юншен и Ли Чунь [30] и независимо Г. Г. Магарил-Ильяев [25, 26] установили аналог соотношения (4) в пространствах Lp (R) при m ^ r — 1, p G {1, то}

supp 1ЙЩТ = ^ • (6)

f GWpr)(R) llf Up a

Как и в периодическом случае, при т = г — 1 соотношение (6) реализуется интерполяционными сплайнами. Эти результаты можно найти в [46, 35]. В этих работах получена точная поточечная оценка погрешности интерполирования, из которой сразу следует точная оценка нормы сверху для всех р. Другое доказательство вместе с обобщением на все р Е (1, то) (разумеется, с меньшей правой частью) и еще несколькими ссылками содержится в [26].

В §3 при т ^ г строятся линейные операторы Ха,г,то со значениями в 8а,то, такие что для всех р Е [1, то] и / Е Жр(г)(К)

УС

II/ — Х<г,г,ш(/) ||р < - II/ ||р. (7)

а'

(При а = п Е N построенный оператор совпадает па 2п-периодических функциях с периодическим предшественником, и потому их можно обозначить одинаково.) Тем самым устанавливается возможность реализации верхних граней в (6) линейными методами приближения, ранее остававшаяся неизвестной.

Главным результатом этой главы является неравенство типа Ахиезера-Крейна-Фавара.

Теорема 2.1. Пусть а > 0 г, т Е N т ^ г, р Е [1, то], / Е ^-¿с(К), /(г) Е ¿Р(М). Тогда

|/ — Х<г,г,ш(/) Ур < - |/( )Ур.

а'

При р = 1, то неравенство точное, даже если заменить левую часть на наилучшее приближение.

Следствие 2.1. В условиях теоремы 2.1

А (/) < К А (/(-)) а'

В периодическом случае аналог следствия 2.1 для приближений тригонометрическими многочленами установил Сунь Юншен, для прибли-

жений сплайнами — Корнейчук; см. [20, теорема 4.1.4 и предложение 5.4.9].

3. В третьей главе получены неравенства типа Джексона. Неравенствами типа Джексона в теории приближений принято называть неравенства, в которых приближение функции оценивается посредством модуля непрерывности (самой функции, ее производной и т.п.). Первым такое неравенство

En(f) ^ C(Y)„1 f, Т)

\ ГП /

для приближений непрерывных периодических функций тригонометрическими многочленами и модуля непрерывности первого порядка получил Д.Джексон в 1911 году.

Первое точное неравенство типа Джексона установил Н. П. Корнейчук [19], который доказал, что для любых вещественнозначных функций f из C и n Е N

En(f) ^ 1 • „1 (f,n),

причем константа 1 точная при всех n в совокупности, то есть

En(f) . sup sup—j-^ = 1.

nGN f EC „1 (f, П)

Для нечетных r В. В. Жуком [13] (r = 1) и А. А. Лигуном [24] (r > 1) было установлено неравенство типа Джексона с точной константой

Кг t „(^ п

I/ - (f)11 < K„1 (f,>П)

для любой / Е С(г). А. Ю. Громов [12] доказал для нечетных г точное неравенство

у/—X,,. (/)н < 20- (/(-),а)

для приближений целыми функциями конечной степени и их аналог в интегральной метрике.

В §2 по схеме В. В. Жука и А. А. Лигуна (см. [16]) получено усиление неравенства Ахиезера-Крейна-Фавара. Здесь и далее Х-,,,™ при т ^ г

т=г—1

ляционный сплайн, интерполирующий / в точках — + £т, где

£ т —

0, если т нечетно,

2, если т четно.

(г)

Теорема 3.1. Пусть а > 0 т,г е N т ^ г; Н > 0 / £ Жр , р е [1, то]. Построим, оператор

/1\

г — Е (2/)!В2^^

а, г+1—21 , т

Я/(2,).

Тогда

/ - иа,г, ||р < ( ^

1=0 1/2

1Г21 ] Н21—1

(2/)!

В21 ( ^

2

Кг+1—21

а

г+1—21

"1 (/(г),Н) +

+

2НГ

Г!

Вг(т) - Вг(1/2) ¿т • ||/(г)|р.

Кроме того, при нечетном г верно

/ - Ца,г, /||р ^ НГ( + Е |71|

г1

Кг+1—1

2 ' ^ 1/4 (аН)г+1—1

/(г),Н

1=0

где

Аг,о — —

2 г!

1/2

Вг — Вг ( 2

7к —

Вк (2)

к!

При, Н — Р — 1, то неравенство точное, а прит ^ г + 1 операторы, иаги и Ха г т совпадают.

р

Замечание 3.2. Таким образом, при Н — ^и Р — 1, то получается точное неравенство

II/ — и*„ п / < К (/(г),П )р.

§3 посвящен неравенствам для старших модулей непрерывности. Задача о константах в неравенствах типа Джексона для старших модулей непрерывности труднее, чем для первого модуля непрерывности. Обзор известных результатов на эту тему можно найти в статье О. Л. Виноградова и В. В. Жука [9]. В работе [38] был предложен новый способ получения неравенств типа Джексона, позволяющий улучшить константы. Этот способ был развит и улучшен в работе [9], где исследовав свойства линейных комбинаций функций Стеклова, авторы устанавливают оценки функционалов с конечными моментами через модули непрерывности с помощью приближения периодическими сплайнами. В этом параграфе, следуя методике из работы [9], получены некоторые оценки через старшие модули непрерывности.

Рассмотрим линейные комбинации средних Стеклова

2 . к_

и,* — тг- £(—1'

отметим, что —

Теорема 3.2. Пусть а > 0 г, т е N т ^ 2г — 1, р е [1, то],

г-1

г

к=1

Тогда для всех / е Ьр(К)

г1

/ _ V /I < ) 1 У^ к + К2г ^г I / Н)

и ^а,г,т,к/ ||р ^ С- (аН)2к^ + (аН)2г 22^ "2г^ Н)р

Здесь

О к

Е С2г

8 К-—1)/2] С г—21—1

V, =

ст ^ (21+ 1)2'

Отметим, что ^ не зависит от Н7 что и отражено в обозначении.

Тем самым, получены явные константы в неравенствах типа Джексона для сплайнового приближения на прямой. Константы совпали с константами в периодическом случае этой задачи, которая была была исследована О. Л. Виноградовым и В. В. Жуком.

Глава 1. Целые функции, наименее уклоняющиеся от нуля в равномерной и интегральной метриках с весом

§1. Введение

П. Л. Чебышевым была решена задача о нахождении полинома степени n с единичным старшим коэффициентом, наименее уклоняющегося от нуля в равномерной метрике, в том числе, в некоторых весовых пространствах.

Возьмем весовую функцию w(x) = 1/pm(x), где pm — алгебраический полином степени ш, положительный на [—1,1], с единичным старшим коэффициентом. Пусть n > ш. Положим z = x = cos

Tn(x) = Re {z-ngm(z)} ,

гДе gm _ полином сте пени m с корнями вне к руга | z | ^ 1, такой что |gm(e^)|2 = pm(cos при ^ G [0,п]. Тогда Tn является экстремальным в задаче нахождения

min max |(xn + an_ixn-1 + ••• + a0)w(x)|. a x€[_i,i]

В случае w(x) = 1 решением поставленной задачи будут многочлены Чебышева первого рода Tn(z) = cos(n arccos z). Этот результат и его аналоги в интегральной метрике вошли в книгу [1, прил. I, пункт 14]; см. там же историю вопроса. Форма записи ответа взята из [41].

В данной главе получены аналоги этих результатов для целых функций экспоненциального типа. Построены функции, наименее уклоняющиеся от нуля в весовых пространствах на вещественной оси. Эти функ-

ции обобщают многочлены Чебышева первого и второго рода. Результаты главы опубликованы в [5].

§2. Предварительные сведения об аналитических

функциях

Определение. Целыми функциями экспоненциального типа или конечной степени называют целые функции /, для которых существуют такие числа А и В, чт0 Для всех г € С

|/(г)| ^ АевК

Типом или степенью функции ] называется точная нижняя грань множества значений В, для которых выполняется это неравенство (с какой-нибудь константой А). Тип а находится по формуле

^ |/(г)|

а = lim

Определение. Целыми функциями класса Л, согласно [23, гл. V будем называть целые функции, ненулевые корни которых a^ удовлетворяют соотношению

то i

Im —

ak

< оо.

£

к=1

Тождественный ноль также принадлежит классу А.

Этот класс является естественным обобщением класса функций, все корни которых вещественны, т.е. "почти все" корни лежат в "окрестности" вещественной оси.

Определение. Целыми функциями класса С, согласно [42, лекция 16 будем называть целые функции экспоненциального типа, для которых

с»

---~-(И < [.

. 1 + ¿2

Будем говорить, что функция принадлежит классу Сесли она ана-литична в открытой и непрерывна в замкнутой верхней полуплоскости,

и интеграл в определении класса С сходится.

Замечание 1. Класс А содержит класс С (см., например, [42, лекция 17.2, теорема 1]).

Теорема А (Представление Неванлинны). Пусть функция / принадлежит, классу С + ее нули в верхней полуплоскости не имеют конечных предельных точек, и пусть

log M (r) а = lim -< оо.

r—>00

r

Тогда, f допускает разложение Неванлинны

log |f (z)| = log

П

n=1

1 - z/Zn

1 - z/zn

y

+ -

log |f (t)|

n J (t — x)2 + y2

dt + cy,

где zn — корни фун,кции f в верхней полуплоскости, z = x + iy7

2

c = lim — I log |f (rei0)| sin 6>d6>.

г^то ПГ J 0

В частности,

^ 4а 1 f ( ^ ^ у / log |f (t)| +

c и log |f(z)| < - -- 2 dt + cy.

П n J (t — x)2 + y2

—oo

n

Сформулированный вариант теоремы А содержится в [34, теорема

6.5.4]; см. также [23, гл. 5, теорема 4] и [36, глава 1, теорема 9].

f

$1 < arg z < 02, называется функция

log If (reiö)

Hf (в) = Ит ^^-^ (6>1 < в < 02).

Она характеризует зависимость роста функции от направления, по которому точка £ стремится к бесконечности.

Определение. Средним типом функции /, следуя [36], будем называть значение ее индикатора в точке п/2. В [36, теорема 10] показано, что число с из представления Неванлинны равно среднему типу функции:

c = Hf (П) = lim

2/ у^то y

Теорема В (H. И. Ахиезер [23, прил. V, теорема 1]). Для того, чтобы целая функция fконечной степени k представлялась в форме

f (x) = |p(x)|2 для всех x G R,

где ip — целая функция конечной степени | с корнями в одной из полуплоскостей Im z ^ 0 или, Im z ^ 07 необходимо и достаточно, чтобы f была класса A и неотрицательна на вещественной оси.

Определение. Пусть {ха} — семейство точек на комплексной плоскости, N(R) — количество точек семейства в круге радиуса R с центром в нуле. Будем называть конечный или бесконечный предел

lim N(R),

д^то R

в случае его существования, плотностью точек {ха}.

Таким образом, при подсчете точек мы будем учитывать кратность элементов в {ха}.

Замечание 2. В [42, лекция 16] показано, что индикатор функции степени а и класса C равен а+ sin в при 0 ^ в ^ п и а_| sin в| при п ^ в ^ 2п, где а± G [0, а], max{a+, а_} = а. Если индикатор четен, то а+ = а_ = а. Корни целой функции степени а и мае са C имеют плотность - ^ 2л1; см. [42, лекция 17]. Таким образом, если индикатор четен, то плотность пулей равна —.

3. Задача в равномерной метрике

3.1. Постановка задачи в равномерной метрике с весом.

Везде далее будем считать весовую функцию ш неотрицательной на вещественной оси.

Определение. Пусть / — целая функция степени а > 0. Говорят, что функция f наименее уклоняется от нуля с весом ш в равномерной метрике, если не существует целой функции Q степени меньше а, такой что

sup |(f - Q) ш 1 < sup |fw| .

R R

Определение. Пусть f — целая функция степени а > 0. Будем

говорить, что функция f строго наименее уклоняется от нуля с весом ш

Q

а

suP |(f - Q) ш| < suP |fш| .

RR

Далее будем говорить о функциях, строго наименее уклоняющихся от нуля в классе C.

Определение. Пусть f — целая функция степени а > 0. Будем

f

C с весом ш в равномерной метрике, если не существует целой функции Q C а

suP |(f - Q) ш| < suP |fш| .

RR

f

а

C

inf sup|(f - Q) ш|=sup |fш| .

QeC<ibja-о r R

Более того, элемент наилучшего приближения единственнен.

В полиномиальном случае для доказательства наименьшего уклонения от нуля используется теорема Балле Пуссена и подсчет количества точек альтернанса. В случае функций класса С можно говорить лишь о плотности точек.

Вместо точек альтернанса будем говорить о точках весового альтернанса функции / — точках, в которых /ш = ±1. Далее будем использовать следующий аналог теоремы Балле Пуссена.

Теорема 1 .Пусть ш : К ^ [0, {жп}^ — возрастающая последовательность точек вещественной оси, имеющая плотность ^г, ш(хп) > 0. Рассмотрим функцию / : К ^ К7 принимающую в точках хп отличные от нуля значения с чередующимися знаками, и пусть Ап = |/(хп)|. Тогда, для каждой целой функции, Я класса С, отличной от тождественного нуля, степени меньше а имеет место неравенство

^рК/ - Я)ш| > т£ Апш(жп).

К теЪ

Доказательство. Если т£ Апш(хп) = 0, то неравенство выполнено, так как функция / — Я отлична от тождественного нуля в силу замечания 2.

Пусть т£ Апш(жп) > 0. Допустим, что некоторая функция Я описан-но!'о вида удовлетворяет неравенству

яиР|(/ — ^ т£ Апш(хп).

к

Рассмотрим разность

Д(х) = / (х)ш(х) — (/(ж) — Я(х))ш (ж) = Я(х)ш(х).

Очевидно, Д(хп) • ](жп) ^ 0 для любого п € Ъ. Пусть в точках хп0 и хп0+2 выполняется неравепство Д > 0. Если между этими точками существует точка, в которой Д < 0, то функция Я имеет на промежутке (жп0, хп0+2) две перемены знака и, следовательно, два корня. Если такой

точки не существует, то на этом промежутке у функции Q имеется корень второй кратности. В случае, если в точках хПо или хПо+2 функция А обращается в ноль, то, рассматривая знаки А в соседних точках последовательности, аналогичным образом будем получать либо две перемены знака, либо корни второй кратности.

Таким образом, функция ^ ^^^^^ ^^ промеж утке (—Л, Л) в среднем нулей, что невозможно, так как степень функции ^ ^етьше а.

□

Для единичного веса близкое к теореме утверждение установлено С. Н. Бернштейном (см., например, [17, гл. VI, §1, теорема 6.1.11]).

Пусть даны функция рт класс а С, степей и ш, положительная на вещественной оси, и число а ^ ш. Найдем целые функции степени а, строго наименее уклоняющиеся от нуля в классе С с весам и 1 /рт и | • | /рт в равномерной метрике.

Решение задачи для четного веса 1/рт содержится в работе [11]. В формулировке теоремы 3 в статье [11] вместо класса А должен участвовать класс С.

3.2. Построение функций и подсчет плотности точек альтер-нанса.

В [41] для представления весового полинома использовалась теорема Феиери Рисси. Здесь для представления весовой функции воспользуемся теоремой Ахиезера — обобщением теоремы Фейера-Рисса для целых функций.

Так как весовая функция рт удовлетворяет условиям теоремы Ахиезера, то существует целая функция степени т с корнями в нижней полуплоскости, такая что

рт(х) = |^т(х)|2 для всех х Е К.

Замечание 3. Последнее равенство можно записать как равенство целых функций рт = где операция * определяется равенством

f *(z) = f (z). Следовательно, индикатор функции pm четен и равен m| sin 0| (см. [42, лекция 17]). Из доказательства теоремы Ахиезера в [23] видно, что hm G C и

1 m

Hhm (0)=2Hpm (0) = ^ | Sin 0|.

Умножив hm на подходящую константу, по модулю равную единице, будем считать, что hm(0) G (0, то). Обозначим

gm(z) = e ^Mz), G(z) = (z).

Тогда pm(x) = |gm(x)|2. Определим целые функции f. и F. равенствами f.(z) = 1 (G(z) + G(z)), F.(z) = 2- (G*(z) - G(z))

и покажем, что они решают пашу задачу. Корректность определения F. следует из вещественности значения G(0) = hm(0).

Замечание 4. Ясно, что G G C как произведение функций класса C, а потому f. G C и F. G C, поскольку сложение не выводит из класса C. Так как степень суммы (произведения) не превосходит суммы степеней слагаемых (сомножителей), степени функций G, f. и F. не больше а. С другой стороны,

HG(n/2) = а — m + Hh2m (п/2) = а — m + m = а,

откуда степень G не меньше а. То, что степени f. и F. в точности равны а, будет установлено далее. Кроме того, симметрия f. и F. влечет четность их индикаторов.

Отметим, что в случае единичного веса f.(z) = cos а^ F.(z) = sin аz

z

3.3. Наименьшее уклонение функции /а от нуля в равномерной метрике с весом.

Теорема 2. Для любой целой функции Я класса С, отличной от тождественного нуля, степени меньшей а выполняется неравенство

вир

м

/а — Я > вир /а

рт м рт

Таким образом, построенная функция /а строго наименее уклоняется от нуля в равномерной метрике с весом 1/рто.

Доказательство. Для того, чтобы воспользоваться теоремой 1, исследуем плотность точек весового альтернанса функции /а. На вещественной оси /а(х) = Ие (е-гаждт(х)) вещественна. Заметим, что

е-*"9т (г) = е-»' ^ рга(г).

Положим

Ф(г) = е-^ .

дт (г)

Тогда Ф мероморфпа и та веществе иной оси |Ф| = 1.

Далее заметим, что /а(х) = рт(х) ИеФ(ж) па М, откуда следует, что |/а | ^ рт на М, а соотпошепия /а (х) = рт(х) и /а (х) = —рт(х) равносильны, соответственно, соотношениям Ф(х) = 1 и Ф(х) = —1. Анало-

р (х) = рт(х) | дт(х) дт(хм =

а 2гх V ^т(х) дт(х)/

Рт(х) 1т ( е—гах Ц^Л = — 1т Ф(х).

х V дт(х) у х

рт (х)

Поскольку |Ф(х)| = 1, отсюда следует, что |Ра(х)| ^ —^— на М, а соотношения (х) = рт(х) и (х) = —рт(х) равносильны соотношениям Ф(х) = —г и Ф(х) = г соответственно.

Из [23, при л. V] мы знаем, что целая функция представляется

в виде бесконечного произведения

hm(z) = eb-iZY TT (l — -)

H V akJ

z\ z

--e ak,

k=1

где ak _ корни функцни hm, y = Im —, b £ R. Следовательно,

k=i afc

i z

T 1 — ^^

ф(z) = ei(m—^-От•

k=i 1--

ak

i—1h

Если x проходит вещественную прямую, то каждая дробь пробе га-

ak

ет единичную окружность в отрицательном направлении, поэтому arg Ф строго убывает па R. Отсюда видно, что вещественные нули функций f и zFa чередуются. Более того, нули одной из них являются точками весового альтернанса (с весом 1/pm) другой. Рассмотрим отношение

2

оо ' 4 2

2

z \ 2z

eiz(a—m)e6+i7z TT /1__] e

G*(z) e e T1, l1 akJ e G(z) . , , . . T z \2 2z

at

k OO

_ e2iz(a—m)

П

1—

От

1 - — z

— .

ak

к=Л ак/

I I I I

Заметим, что I -— I < 1 в верхней полуплоскости и I -—- I > 1 в нижней полуплоскости, поэтому функции /а и zFa не могут иметь невещественных нулей. Поскольку С — функция типа а и С^) = /(z) — ^^(z), то хотя бы одна из функций /а или имеет тип ровно а и, в силу четности индикатора, плотность ее нулей равна Тогда то же самое верно и для другой функции, так как их нули чередуются.

Таким образом, мы показали, что нули функции являются точками весового альтернанса функции / и имеют плотность Применяя теорему 1, получаем требуемое неравенство.

□

2

Замечание 5. Поскольку тригонометрический полином есть целая

С

мулированный во введении, является частным случаем теоремы 2.

В [11] для четного веса 1/рт теорема 2 была доказана другим способом.

3.4. Наименьшее уклонение функции Ра от нуля в равномерной метрике с весом.

Покажем, что построенная в п. 3.2 функция Ра наименее уклоняется от нуля в равномерной метрике с весом | • |/рт.

Аналогично предыдущему пункту точки весового альтернанса функции Ра имеют плотность 2а • Применяя теорему 1, получаем следующее утверждение.

Теорема 3.Для любой целой функции Я класса С, отличной от тождественного нуля, степени меньшей а выполняется неравенство

вир

хе М

(Ра (х) — Я(х))

х

Рт(х)

> вир

х€ М

Ра (х)

х

Рт(х)

Следовательно, построенная функция Ра строго наименее уклоняется от нуля в равномерной метрике с весом | • |/рт.

4. Задача в интегральной метрике

4.1. Постановка задачи в интегральной метрике с весом.

Определение. Пусть / — целая функция степени а > 0. Говорят, что функция / наименее уклоняется от нуля с весом ш в интегральной метрике, если не существует целой функции Я степени меньше а, суммируемой на оси с весом ш, такой что

с»

I (|/-Я|-|/1) ш< 0.

Замечание 6. Суммируемость функции / с весом ш при этом не обязательна в силу очевидного неравенства

Ц/ — Я| —I/и 1Я1,

однако в случае суммируемости это определение совпадает с классическим.

/

ш функции Я, суммируемой на оси с весом ш, то есть

с»

J ^п /) = 0.

—с

Тогда

с»

I (|/ — 1) ш ^ 0.

—с

Доказательство. Воспользовавшись условием ортогональности, за-

пишем

с» с»

I (|/- о|-|/1) ы = /(/ - О) - о) п/) ы.

—с —с

Рассмотрим значения, которые может принимать выражение

(/ - °)(^п(/ - О) - ).

При (/ - О)/ > 0 и при / = О оно равно нулю. В точках, в которых / = 0, принимается значение |О|. Если выполиено (/ - О)/ < 0, то значение равно 2|/ - О|.

В силу неотрицательности весовой функции на оси под интегралом находится неотрицательная функция, а значит выполняется требуемое неравенство.

□

Следствие. Пусть / — целая функция степени а, и для всех целых функций к степени меньше а вы,полнено равенство

с»

J (^п /) кы = 0.

-с

Тогда, заключение теоремы

с»

I (|/ - к|-|/|) ы ^ 0

-с

к

/

функций, степени а в интегральной метрике с весом ы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Гладкая Анна Владимировна, 2016 год

Список литературы

[1] Н.И.Ахиезер. Лекции по теории аппроксимации. Наука, М. (1965).

[2] Н.И.Ахиезер, М.Г. Крейн. О наилучшем приближении тригонометрическими суммами дифференцируемых периодических функций. Докл. АН СССР 15:3 (1937), 107-112.

[3] О.Л.Виноградов. Аналог сумм Ахиезера-Крейна-Фавара для периодических сплайнов минимального дефекта. Проблемы мат. анализа 25 (2003), 29-56.

[4] О.Л.Виноградов. Точные неравенства для приближений классов периодических сверток подпространствами сдвигов нечетной размерности. Мат. заметки 85:4 (2009), 569-584.

[5] О.Л.Виноградов, А. В. Гладкая. Целые функции, наименее уклоняющиеся от нуля в равномерной и интегральной метриках с весом. Алгебра и анализ 26:6 (2014), 10-28.

[6] О.Л.Виноградов, А. В. Гладкая. Непериодический сплайновый аналог операторов Ахиезера-Крейна-Фавара. Зап. научн. сем. ПОМИ 440 (2015), 8-35.

[7] О.Л.Виноградов, В. В. Жук. Точные оценки отклонений линейных методов приближения периодических функций посредством линейных комбинаций модулей непрерывности различных порядков. Проблемы мат. анализа 25 (2003), 57-97.

[8] О.Л.Виноградов, В. В. Жук. Оценки функционалов с известной последовательностью моментов через отклонения средних типа Стеклова. Зап. научн. сем. ПОМИ 383 (2010), 5-32.

[9] О.Л.Виноградов, В. В. Жук. Оценки функционалов с известным конечным набором моментов через модули непрерывности и поведение констант в неравенствах типа Джексона. Алгебра и анализ, 24:5 (2012), 1-43.

[10] Дж.Гарнетт. Ограниченные аналитические функции. Мир, М. (1984).

[11] А. В. Гладкая. Целые функции, наименее уклоняющиеся от нуля в равномерной метрике с весом. Зап. научн. сем. ПОМИ 416 (2013), 98-107, СПб.

[12] А. Ю. Громов. О точных константах приближений целыми функциями дифференцируемых функций. В сб.: Исследования по современным проблемам суммирования и приближения функций и их приложениям 7 (1976), 17-21, Днепропетровск.

[13] В. В. Жук. О некоторых точных неравенствах между наилучшими приближениями и молулями непрерывности. Сибирский мат. журнал 12:6 (1971), 1283-1297.

[14] В. В. Жук. О некоторых точных неравенствах между наилучшими приближениями и модулями непрерывности. Вестн. ЛГУ. Сер. мат., мех., астрон. 1 (1974), 21-26.

[15] В. В. Жук. Аппроксимация периодических функций. Изд. Ленинградского Университета, Ленинград (1982).

[16] В. В. Жук. Лекции по теории аппроксимации. ВВМ (2008).

[17] И.И.Ибрагимов. Теория приближения целыми функциями. ЭЛМ, Баку (1979).

[18] Н.П.Корнейчук. Сплайны в теории приближения. Наука, М. (1984).

[19] Н.П.Корнейчук. Точная константа в теореме Джексона о наилучшем равномерном приближении непрерывных периодических функций. Докл. АН СССР 145:3 (1962), 514-515.

[20] Н.П.Корнейчук. Точные константы в теории приближения. Наука, М. (1987).

[21] М.Г. Крейн. О наилучшей аппроксимации непрерывных дифференцируемых функций на всей вещественной оси. Докл. АН СССР 18:9 (1938), 619-623.

[22] П.Кусис. Введение в теорию пространств Ир. Мир, М. (1984).

[23] Б. Я. Левин. Распределение корней целых функций. Государственное издательство технико-теоретической литературы, М. (1956).

[24] А. А.Лигун. О точных константах приближения дифференцируемых периодических функций. Мат. заметки 38:2 (1985), 248-256.

[25] Г. Г. Магарил-Ильяев. О наилучшем приближении сплайнами классов функций на прямой. Труды Мат. ин-та РАН 194 (1992), 148-159.

[26] Г. Г. Магарил-Ильяев. Средняя размерность, поперечники и оптимальное восстановление соболевских классов функций на прямой. Мат. сборник 182:11 (1995), 1635-1656.

[27] Б.М.Макаров, А. Н. Подкорытов. Лекции по вещественному анализу. БХВ-Петербург, СПб (2011).

[28] С.М.Никольский. Приближение функций тригонометрическими полиномами в среднем. Изв. АН СССР. Сер. мат. 10:9 (1946), 207256.

[29] В.И.Смирнов. Избранные труды. Издательство Ленинградского университета, Л. (1988).

[30] Сунь Юншен, Ли Чунь. Наилучшее приближение некоторых классов гладких функций на действительной оси сплайнами высшего порядка. Мат. заметки 48:4 (1990), 148-159.

[31] А. Ф. Тиман. Теория приближения функций действительного переменного. ГИФМЛ, М. (1960).

[32] В.М.Тихомиров. Наилучшие методы приближения и интерполирования дифференцируемых функций в пространствеС[— 1,1]. Мат. сборник 80:2 (1969), 290-304.

[33] В.В.Шалаев. К вопросу о приближении непрерывных периодических функций три гонометрическими полиномами. Исследования по современным проблемам суммирования и приближения функций и их приложениям 8 (1977), 39-43, Днепропетровск.

[34] R. P. Boas, Jr. Entire Functions. Academic press Inc., publishers (1954).

[35] C. de Boor, I. J. Schoenberg. Cardinal interpolation and spline functions VIII. The Budan - Fourier theorem for splines and applications. — In: Spline functions. Proceedings of an International Symposium, Karlsruhe, Germany, May 20-23 (1975). Edited by K. Böhmer, G. Meinardus, and W. Schempp. Lecture notes in mathematics 501, 1-79, Berlin - Heidelberg - New York, Springer-Verlag (1976).

[36] L. de Branges. Hilbert Spaces of Entire Functions. Prentice-Hall, Inc, Englewood Cliffs (1968).

[37] J.Favard. Sur les meilleurs procédés d'approximation de certaines classes des fonctions par des polynomes trigonométriqués. Bull, de Sei. Math. 61 (1937), 209-224, 243-256.

[38] S. Foucart, Y. Kryakin, A. Shadrin. On the exact constant in the Jackson-Stechkin inequality for the uniform metric. Constr. Approx. 29 (2009), 157-179.

[39] K.Jetter, S. D. Riemenschneider, N.Sivakumar. Schoenberg's exponential Euler spline curves. Proc. of the Royal Society of Edinburgh 118A (1991), 21-33.

[40] N. P. Korneicuk. Exact error hound of approximation by interpolating splines on E-metric on the classes Wr (1 ^ p < mJ 0/ periodic functions. Analysis Mathematica 3:2 (1977), 109-117.

[41] A. Kroo, F. Peherstorfer. Asymptotic representation of weighted Em-and Ei-minimal polynomials. Math. Proc. Camb. Phil. Soc. (2008), 241254.

[42] B.Ya. Levin. Lectures on Entire Functions. AMS (1996).

[43] A. A. Ligun. Inequalities for upper bounds of functionals. Analysis Mathematica 2:1 (1976), 11-40.

[44] B. Nagy. Uber gewisse Extremalf rag en bei transformierten trigonometrischen Entwicklungen. II. Nichtperiodischer Fall. Berichte über die Verhandlungen der Sächsischen Akademie der Wissenschaften zu Leipzig 91 (1939), 3-24.

[45] I. J. Schoenberg. Cardinal spline interpolation. SIAM, 2 ed., Philadelphia (1993).

[46] I. J. Schoenberg. On the remainders and the convergence of cardinal spline interpolation for almost periodic functions. In: Studies in spline functions and approximation theory. Edited by S. Karlin et.al, Academic Press (1976), 277-303, New York.

[47] O.L.Vinogradov, V.V. Zhuk. Sharp estimates for deviations of linear approximation methods for periodic functions by linear combinations of moduli of continuity of different order. Journal of Math. Sciences 114:5 (2003), 1628-1656.