Операторы интерполирования и аппроксимация непрерывных функций тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, доктор физико-математических наук Трынин, Александр Юрьевич

• Трынин, Александр Юрьевич
• доктор физико-математических наук
• 2013

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Трынин, Александр Юрьевич

Оглавление

1 АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ

1.1 Асимптотика решений задачи Коши

1.2 Асимптотические формулы для нулей и производных решений задачи Коши

1.3 Точность по порядку асимптотических формул

2 ОБОБЩЕНИЕ СИНК-ПРИБЛИЖЕНИЙ

2.1 Приближение аналитических функций

2.2 Оценки фундаментальных функций s¡c,\

2.3 Оценки функций и констант Лебега операторов S'a и А\

2.4 Главная часть погрешности приближения непрерывных функций

2.5 Критерии равномерной и поточечной сходимости значений операторов S\ в пространстве Со[0,7г]

2.6 Критерии равномерной и поточечной сходимости значений операторов интерполирования Т\ в С[0,7г]

2.7 Равномерное и поточечное приближение непрерывных функций с помощью линейных комбинаций функций Sk.x

3 ПРИБЛИЖЕНИЕ ЛИНЕЙНЫМИ КОМБИНАЦИЯМИ СИН-

КОВ

3.1 Исследование полноты системы синков в Со[0, 7г] и С[0,7г]

3.2 Расходимость синк-приближений всюду на (0,7г)

4 МНОГОЧЛЕНЫ ЛАГРАНЖА-ЯКОБИ

4.1 Критерии равномерной и поточечной сходимости интерполяционных процессов по "взвешенным" многочленам Якоби

4.2 Теорема равносходимости

5 ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ ЛАГРАНЖА-ШТУР-

МА-ЛИУВИЛЛЯ

5.1 Дифференциальные свойства нулей собственных функций задачи Штурма-Лиувилля

5.2 Исследование устойчивости задачи представления непрерывной функции процессом Лагранжа-Штурма-Лиувилля

ЛИТЕРАТУРА

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Операторы интерполирования и аппроксимация непрерывных функций»

Введение

Впервые sinc-приближения появились в работах Плэйна [181] в качестве инструмента приближённого вычисления корней многочленов. Позднее, в связи с развитием теории кодирования сигналов, Э. Борель [96] и Э.Т. Уит-текер [227] ввели понятие кардинальной функции и усечённой кардинальной функции, сужение на отрезок [0,7г] которых выглядят так:

£ ^ х\ — ктг) ^/к7Г\ у^ (-l)fcsiima; /Ьг\

п ' пх — кж \ п J пх — ктг V п )

к=0 к=О

= ¿ (i)

к=0

К настоящему времени достаточно фундаментально исследована проблема синк-аппроксимации аналитической в полосе, содержащей действительную ось, функции, экспоненциально убывающей на бесконечности (смотрите, например, [16], [211], [140], [193], [128], [82]). Наиболее полный обзор результатов, полученных в этом направлении до 1993 года, а также большое количество важных приложений синк-аппроксимаций можно найти в [206]. Интересные исторические обзоры исследований в этой области содержатся также в [102], [103], [136].

Кроме того, появился ряд исследований, восходящих к теореме отсчётов, или как её ещё называют теореме дискретизации Уиттекера-Котельникова-Шеннона [22], [196], [103], [35], [36],[206], [14], в которых получены различные представления целых функций рядами по синкам с узлами интерполирования, удовлетворяющими некоторым условиям "равномерности распределения" , например, [223], [99], [105], [137], [139]. [195], [229]. Серьёзный вклад в теорию информации внёс А.Н. Колмогоров со своими учениками (смотрите,

например, [20, §8], [64]), определив порядки скорости изменения верхней и нижней е-энтропии и е—ёмкости на единицу длины. Начиная с известной работы Крамера [150] изучается также связь между теоремами отсчётов и интерполяцией Лагранжа по узлам из спектра задачи Штурма-Лиувилля, например, [234], [182], [233], [99], [100].

Синк-приближения нашли широкое применение при построении различных численных методов математической физики и теории приближения функций как одной так и нескольких переменных [71], [72], [73], [74], [75], [76], [77], [78], [79], [80], [81], [83], [85], [86], [87], [90], [92], [93], [94], [95], [97], [98], [101], [107], [109], [111], [ИЗ], [116], [117], [118], [119], [120], [121], [124], [126], [127], [129], [131], [134], [135], [138], [141], [142], [143], [145], [146], [147], [148], [155], [158], [159], [160] [163], [167], [169], [170], [171], [172], [173], [174], [175], [177], [178], [179], [183], [184], [185], [186], [187], [188], [189], [190], [191], [192], [194], [197], [198], [200], [205], [207], [208], [209], [210], [211],[212], [213], [214], [216],[217], [218], [219], [220], [221], [222], [225], [228], [230], [231], [232], в теории квадратурных формул [91], [110], [112], [122], [144], [153], [176], [206], [209], теории вейвлет-преобразований или всплесков [35], [36], [18, Гл. 7, §4, п.2], [62], [14, Гл.2, §2.1, 2.2], [224], [115], [215] и математической статистике [114], [166], [202], [226]. Авторы статьи [156] используют результаты работы [235] для исследования сходимости алгоритмов многоуровневых синк-аппроксимаций функций с минимальной гладкостью.

Есть цикл работ, содержащих аналоги теоремы отсчётов, в которых вместо преобразования Фурье используется преобразование Гильберта, или преобразования с другими ядрами, например, [112], [125], [153], [186], [209].

В работе [154] получен аналог теоремы отсчётов, использующий интерполяцию типа Эрмита.

Доказать наличие сходимости на оси для менее гладких функций уда-

лось авторам статьи [106]. Правда, для этого пришлось несколько модифицировать оператор (1). Ими установлено, что для равномерно непрерывных, ограниченных на Ж функций /, принадлежащих классу Дини-Липшица

{/: ШпЦ/,«).п± = о},

где и;(/,£) — модуль непрерывности функции /, и, кроме того, удовлетворяющих условию /(х) = 0(|гс|-5) при х —±оо для некоторого 5 > 0, равномерно на М. для любых теМи0<а<1 справедливо равенство

БШ 7г(— —->-) I 81П7г(ИЛг — к)

Нш

1У->оо

к=—оо

= т.

а{Шх-к) ( ~ к)

ту

Кроме того, для этих аппроксимаций ими получены теоремы типа Джексона при IV —У оо. Конструкция обобщений операторов, рассмотренных в [106], численно исследовалась в [133], [151].

Интересный признак равномерной сходимости на оси самих кардинальных функций Уиттекера приводится в [104]. Для функций из класса

ЬР(Ш) П С(М); / € ^(К) П

(здесь ^ + ^ = 1, сю, а / обозначает преобразование Фурье

функции /) на действительной оси имеет место оценка

Ж>~ /(^апс(тх-к) ^ J |/(£)| сИ, х е Ж. к=~°° \t\2m»

В этой же работе получены достаточные условия сходимости в Ьр кардинальных функций Уиттекера в случае аппроксимации функций, локально интегрируемых по Риману на К.

Не менее важное достаточное условие сходимости синк-аппроксимаций получено авторами статьи [68]. Ими установлено, что для некоторых подклассов абсолютно непрерывных вместе со своими производными на интервале (0,7г) и имеющих ограниченную вариацию на всей оси М функций ряды

Котельникова (или кардинальные функции Уиттекера) сходятся равномерно внутри интервала (0,7г). Методами, подобными тем, которые применяются в работе [68], но, по-видимому, независимо автор статьи [130] исследовал сходимость в пространстве ЬР(Ж), 1 < р < оо кардинальных функций Уиттекера на различных функциональных классах.

До появления работ [262], [246], [238], [88], [235], [199], [242], [245], [89], [240], насколько мне известно, приближение кардинальными функциями Уиттекера на отрезке, или ограниченном интервале осуществлялось только для некоторых классов аналитических функций [203], [211], [206], [167], [159], [219], [168], [220] сведением к случаю оси с помощью конформного отображения. В [199] получена оценка сверху наилучшего приближения непрерывных, исчезающих на концах отрезка [0,7г], функций линейными комбинациями синков.

Эта краткая историческая справка, конечно, ни в коей мере не претендует на полноту обзора всех работ, посвященных теореме отсчётов или дискретизации и её обобщений. Тем более, мы здесь не цитируем статьи, из трудно обозримого цикла работ, содержащих большое количество приложений этого направления исследований математического анализа в смежных областях естествознания.

На протяжении всей работы договоримся под термином „равномерная сходимость внутри интервала (а, 6)" понимать равномерную сходимость на любом компакте, содержащемся в (а, Ь). Через Co[a,b] = {f : f 6 С[а, b], f(a) = f(b) = 0} обозначим снабжённое чебышёвской нормой пространство непрерывных на [а, 6] функций, исчезающих на концах отрезка. А словосочетание „аппроксимативная сходимость" означает, что значения оператора сходятся именно к приближаемой функции.

Настоящая работа посвящена изучению следующих, на мой взгляд, ак-

туальных вопросов фундаментальной теории функций, имеющих важное прикладное значение.

• Расширен класс функций, приближаемых с помощью синк-аппрокси-мации, с аналитических в полосе, содержащей действительную ось, экспоненциально убывающих на бесконечности до существенно менее гладких, заданных на ограниченном отрезке. Полностью описан класс непрерывных на отрезке функций, допускающих возможность приближения усечёнными кардинальными функциями Уиттекера (1) в терминах необходимых и достаточных условий поточечной и равномерной внутри интервала (0,7г) сходимости синк-приближений (1).

• Установлены необходимые и достаточные условия поточечной и равномерной сходимости на отрезке [0,7г] синк-аппрокимаций (1) функций из пространства С[0,7г]. Решён вопрос о полноте систем функций

( 1 1 • 1 П, ОО Г , л\к ■ 1 П, ОО

И Со[0,*•] = {/:/£ С[0,ж], т = /о) = 0}.

• Предложен ряд модификаций операторов Ьп, не обладающих интерполяционным свойством как Ьп, но зато менее чувствительных к гладкости аппроксимируемой функции. С их помощью можно приближать любой элемент пространства Со[0, тг] = {/ : / 6 С[0,7г], /(0) = /(7г) = 0}, или даже С[0,7г].

• Построен пример непрерывной на отрезке [0,7г] функции, исчезающей на концах отрезка, для которой значения операторов Ьп неограниченно расходятся всюду на интервале (0,7г).

• В целях построения обобщений изучаемых синк-приближений, получены асимптотические формулы для значений дифференциальных опе-

раторов, являющихся решениями задачи Коши, с дифференциальным выражением в виде линейного уравнения второго порядка у" + [Л — qx{x)]y = 0, где потенциал q\ может меняться в зависимости от Л. Характер зависимости потенциала от параметра Л обусловлен лишь тем, что при каждом Л функция q\ принадлежит шару с центром в нулевом элементе и радиусом, растущим медленнее л/Х, в пространстве функций ограниченной вариации, исчезающих в нуле.

Показано, что требование ограниченности вариации потенциала существенно, в отличие от его непрерывности, для сохранения полученного в этой работе порядка аппроксимации асимптотики, а также порядка погрешности классических асимптотических формул. Кроме того, приводится асимптотика узловых точек и производных значений этих дифференциальных операторов.

Опираясь на полученные асимптотические формулы, в работе исследуются аппроксимативные свойства операторов S\ типа Лагранжа, построенных по решениям задачи Коши. Подбирая соответствующим образом функции дд, получаем единое представление в виде оператора S\ различных конструкций лагранжева типа таких, как классические интерполяционные многочлены, кардинальные функции Уиттекера, интерполяционные процессы Лагранжа, построенные по специальным функциям математической физики.

Установлены необходимые и достаточные условия поточечной и равномерной на отрезке [0, тг] сходимости к приближаемой функции / G Со[0.7г] значений операторов S\. В случае аппроксимации элементов пространства С[0,7г] получен критерий поточечной и равномерной внутри интервала (0,7г) сходимости S\ к приближаемой функции.

Показано, что для равномерной и поточечной аппроксимации непрерывных функций, обладающих достаточным запасом гладкости, на всём отрезке [0,7г] следует применять вместо оператора бд его модификацию Т\. Особо отметим, что значения оператора Х\, как и обладают интерполяционным свойством. Получены необходимые и достаточные условия поточечной и равномерной на отрезке [0,7г] сходимости к приближаемой функции / € С[0,7г] значений операторов Т\.

Предложен ряд модификаций АТ\, ВТ\, СТ\, АТ\, ВТ\ и СТ\ операторов и Т\. Эти модификации не обладают интерполяционным свойством как 5д или Т\, но зато менее чувствительны к отсутствию гладкости аппроксимируемой функции. С их помощью можно приближать любой элемент пространства Со[0,7г] = {/:/€ С[0,7г], /(0) = /(я-) = 0}, или даже С[0,7г].

Для приближения произвольной непрерывной на отрезке [0,7г] функции получены модификации Т\ и Тд оператора Т\. Эти модификации обладают интерполяционным свойством как ¿д или Тд. Правда, значения новых операторов могут оказаться менее гладкими, чем результаты действия операторов 5д и Тд, или АТ\, ВТ\, СТд, АТ\, ВТ\ и СТд.

В качестве приложений предложенного обобщения синк-аппроксима-ций 5д, в частности, проводится исследование аппроксимативных свойств интерполяционных многочленов Лагранжа-Якоби х) с уз-

лами в нулях ортогональных многочленов Якоби. При этом каждая строка матрицы узлов интерполирования состоит из нулей многочлена с параметрами ап, /Зп, зависящими от п. В случае, когда зна-

/ о ^

чения параметров ап ^ —1 или ¡Зп ^ —1 такие, что функции Рп п ,

вообще говоря, не являются многочленами, в качестве интерполяционного процесса Лагранжа-Якоби рассматривается последовательность значений операторов, аналогичных операторам S\. Получены критерии равномерной внутри интервала (0,7г) и поточечной сходимости интерполяционных процессов Лагранжа-Якоби £i?n,fj'l\F, cos в) при ограничении на скорость роста последовательностей |а-п|, \/Зп\.

Получено достаточное условие равносходимости значений операторов вида S\ и классических интерполяционных многочленов Лагранжа с матрицей узлов, состоящей из нулей многочленов Якоби Это условие содержит соотношение между гладкостными свойствами аппроксимируемой функции и скоростью роста последовательности + Показано, что равносходимость значений операторов

S\ и классических многочленов Лагранжа, вообще говоря, не имеет места, даже в случае, когда узлы этих интерполяционных процессов совпадают.

В качестве ещё одного варианта возможных приложений предложенного обобщения синк-аппроксимаций S\ в работе рассматриваются интерполяционные процессы Лагранжа построенные по собственным функциям задачи Штурма-Лиувилля. В терминах дифференциала Гато для функционалов, ставящих в соответствие потенциалу q G L[0,7г] к—ъш нуль п—ой собственной функции задачи Штурма-Лиувилля, получено дифференциальное соотношение.

С его помощью установлено отсутствие устойчивости задачи представления непрерывной функции с помощью интерполяционного процесса Лагранжа-Штурма-Лиувилля при незначительном изменении потенциала q задачи Штурма-Лиувилля. Величина изменения потенци-

ала д оценивается в терминах нормы пространства функций ограниченной вариации, исчезающих в нуле. Здесь рассматривается случай произвольного, не обязательно непрерывного, фиксированного потенциала д ограниченной вариации.

Для обобщения операторов синк-аппроксимаций нам потребуется асимптотика значений некоторых дифференциальных операторов. В главе 1 получены асимптотические формулы для значений дифференциальных операторов, являющихся решениями задачи Коши, с дифференциальным выражением в виде линейного уравнения второго порядка у" + [А — д\(х)]у = 0, где потенциал может меняться в зависимости от Л, то есть является функцией двух переменных ли А. Характер зависимости потенциала от параметра Л обусловлен лишь тем, что при каждом Л функция принадлежит шару с центром в нулевом элементе и радиусом, растущим медленнее \/А, в пространстве функций ограниченной вариации, исчезающих в нуле.

Рассматриваемая задача тесно связана с исследованиями свойств оператора Штурма-Лиувилля в спектральной теории дифференциальных операторов и тонких исследований асимптотических свойств специальных функций математической физики, связанных с ортогональными многочленами, [63], [55], [3], [4], где потенциал или мера фиксированы. Несмотря на то, что эта проблематика достаточно хорошо изучена в классической литературе (смотрите, например, [27], [54], [23], [10], [69], [70]), и по сей день в этой области активно ведутся интересные исследования.

В [10] для фиксированного суммируемого потенциала получены асимптотические формулы для собственных функций и собственных значений классической задачи Штурма-Лиувилля с помощью современной трактовки

метода Лиувилля-Стеклова [55, Гл.УШ, §8.61].

♦

Работы [51], [50] посвящены изучению асимптотики собственных функций и собственных значений оператора Штурма-Лиувилля с сингулярным потенциалом, являющимся обобщённой функцией первого порядка, q(x) = и'(х), где и Е L/2 [0,7г].

К исследованиям, в которых оценки изучаемых параметров операторов Штурма-Лиувилля равномерны по потенциалу q в шаре пространства Соболева, можно отнести работы [52], [53].

В фундаментальных работах [41], [42], [43] строится аналог осцилляци-онной теории Штурма распределения нулей собственных функций на пространственной сети или графах.

Статья [25] посвящена изучению асимптотики решений задачи Штурма-Лиувилля с потенциалом и спектральным параметром, терпящими разрыв первого рода внутри области определения решения.

В работах [2], [9] проведены оценки норм в пространствах Чебышёва и Соболева соответственно, некоторых обобщений операторов Штурма-Лиувилля, с весовыми функциями, отделёнными от нуля.

К исследованиям операторов Штурма-Лиувилля с потенциалом, зависящим от спектрального параметра, можно отнести цикл работ посвящённых изучению пучков дифференциальных операторов. Смотрите, например, [12], [26].

В работе [15] получен критерий полноты системы собственных функций в пространстве 1/г[0,1] оператора Штурма-Лиувилля с вещественным непрерывным потенциалом q\, зависящим от спектрального параметра Л, из шара фиксированного радиуса в пространстве С[0,1], то есть такого, что существует ро > 0 для которого ЦдлЦс^д] ^ Ро Для всех действительных А. Кроме того, здесь же приведено приложение этих исследований к изучению спектральных свойств некоторой нелинейной задачи.

В параграфе 1.1 получены некоторые асимптотические формулы для значений дифференциальных операторов, являющихся решениями задачи Коши, с дифференциальным выражением в виде линейного уравнения второго порядка у" + [Л — д\{х)]у = 0, где потенциал дд может меняться в зависимости от Л, то есть является функцией двух переменных х и Л. Характер зависимости потенциала от Л обусловлен лишь тем, что при каждом Л функция дд принадлежит шару с центром в нулевом элементе и радиусом, растущим медленнее \/А, в пространстве функций ограниченной вариации, исчезающих в нуле (с нормой ||дд||у = КГ^а])- Оценка погрешности асимптотических формул в главе 1 равномерна на указанных шарах. Этим объясняется выбор таких ограничений на исследуемые объекты, как условие нормировки дд(0) = 0 (уравнения задач Коши (3) и (4) инвариантны относительно изменения потенциала дд (х) на аддитивную константу с точностью до сдвига по Л на эту же костанту), действительпозпачность функций дд (так как в изучаемой ситуации нет ограничения на гладкость по переменной Л, например, нет требования аналитичности по Л функции дд) и неотрицательность Л (радиусы шаров в пространстве функций ограниченной вариации, исчезающих в нуле, растут с увеличением Л). В параграфе 1.2 приведена также асимптотика нулей и производных в узловых точках значений рассматриваемых операторов.

Кроме того, в параграфе 1.3 построен пример фиксированной непрерывной функции д = дд, для которой полученные асимптотические формулы имеют меньший порядок погрешности аппроксимации на всюду плотном множестве отрезка [0,7г]. Таким образом, показано, что требование ограниченности вариации потенциала существенно, в отличие от его непрерывности, для сохранения полученного в этой главе 1 порядка аппроксимации, а также классических асимптотических формул, смотрите, например, [54, Гл

IV, §7], или [23, Гл.1, §2].

Пусть рл ^ 0 Рх = о(А) при Л —>• +оо, Л,(А) е М, и при каждом неотрицательном Л функция д\(х) есть произвольный элемент из шара УРх [0,7г] радиуса р\ в пространстве функций с ограниченным изменением, исчезающих в нуле, то есть

Тогда для любого потенциала д\ £ УРА[0,7г], при Л -» +оо, нули решения задачи Коши

попадающие в [0,7г] и перенумерованные в порядке возрастания, обозначим

О ^ ж0,А < а^А < ... < хп{х):х ^ 7Г (ж_1)А < 0, жп(Л)+1,А > тг). (5)

(Здесь ж_1;а < О, £'П(А)+1,А > ж обозначают нули продолжения решения задачи Коши (3) или (4), после доопределения каким-либо образом функции дх вне отрезка [0,7г] с сохранением ограниченности вариации). В дальнейшем, если не оговорено иное, для краткости будем обозначать п = п(А). Теорема осцилляции, или метод контурного интегрирования при условии (2) обеспечивают также неограниченное возрастание количества нулей (5) п(А) —» +оо при А —> +оо.

УаЫ^Рх, дл(0) = 0, ра = О(А).

(2)

(3)

у"+{\-дх(х))у = 0 < у(0,л)=0, ^ у'{0,Л) = Л(А),

(4)

В параграфе 1.1 получены асимптотические формулы решений задач Ко-ши (3) и (4). Обратите внимание на то, что оценка погрешности полученных формул равномерна по потенциалам в расширяющихся шарах пространства функций ограниченной вариации, исчезающих в нуле.

Предложение 1. Пусть р\ ^ 0, р\ = о(у/Х) при А —> оо, и 1^д[0,7г] — шар радиуса р\ в пространстве функций с ограниченным изменением, исчезающих в нуле, то есть для любого действительного X

vo[q\] ^ Ра, 9а (0) = 0, где рх = o(VЛ), при А оо.

Тогда существует такое Ai > 47что для всех А ^ Ai, любого потенциала q\ £ Vpx[0,ir] и произвольного х £ [0,7г] решение задачи Коши (3) удовлетворяет следующим неравенствам

sin у/Хх

у(х, А) — 7(.х, A, h) eos VXx — ft(x, A, h.)-

Va

^ 2A V лД У

(6)

y'(x, А) + Vx-y(x, A, h) sin - /3(х, A, К) eos УХ,;

2ч/А V J

y"(x, A) + A7(x, A, h) eos VXx + л/Аj3(x, A, /i) sin VXx

^рх(1 + тгрх)Г | |MA)|\

2 \ y/X /'

(7)

(8)

где

/?(х, А, /г) = h(А) + i J* qx(r) dr, 7(x, А, Л) = 1 - ^ jí gA(r) dr. (9)

Предложение 2. Пусть р\ ^ 0, = о(л/А) гари X оо, и УРх[0,7т] — шар радиуса р\ в пространстве функций с ограниченным изменением,

исчезающих в нуле. Тогда существует такое А1 > 47г2рд, что для всех Л ^ Ах, любого потенциала дд е 'Л и произвольного х £ [0, тг] решение задачи Коши (4) удовлетворяет следующим неравенствам

у(х, А) — М^) эш л/Аж ^ ^^ ^ ^ ^ v А

< рх(1 + прхЩ\)\ 2А\/А

^ Рх(1 + тгрх)\Н(Х)\^ (и) А А

у"(х, А) + Л(А)"УЛ зт УХа; - А, /1) соэ л/Аж < Рл(1 + ^^(Л)^ ^

2у А

где

5(х, = ^ ГШ*.

Замечание 1. Тем же методом устанавливаются оценки остаточных членов в более точных асимптотических формулах, получаемых итерацией метода Лиувилля-Стеклова, аналогичных [55, §8.61, (8.61.7)]. .

В параграфе 1.2 получены асимптотические формулы для нулей решений, или, как их ещё называют узловых точек, рассматриваемых задач Коши. Оценка погрешности полученных формул равномерна по потенциалу дд на расширяющихся шарах в пространстве функций ограниченной вариации, исчезающих в нуле. Правда, скорость роста радиусов шаров несколько ниже, чем допускалось в предыдущем параграфе.

Предложение 3. Пусть рд > 0 и

УоЫ^Рх, ^ = приХ^ж, дА(0) = 0. (13)

Тогда для любого потенциала дд € ^>Л[0,7г] при А —»■ оо для нулей решений задачи Коши (3), попадающих в [0,7г] и перенумерованных в порядке возрастания согласно (5), справедливы следующие асимптотические фор-

мулы

(к + 1)7г 1 I а /л-з\

= ~7х— агс81Пу аТТ^Л) + Чьа^'при

у'кл,л) = у/хпщ+ при а оо.

л для перенумерованных согласно (5) нулей решений задачи Коши (4), с Н{\) ф 0, и дд, удовлетворяющими соотношению

уоы ^ ра, рл = , при оо, <?л(0) = о, л(а) Ф 0, (14)

справедливы асимптотические формулы вида

к /а"5

Хк,Х = ч/Х^ + °\ ЬА/ ' ПРП Л

у'(хк,х,\) = Л(А) + при А ^ оо.

Стремление к нулю в о равномерно по ^д 6 ^ ^ А; : 0 ^ А: ^ п.

В следующем следствии оценено количество нулей решений изучаемых задач Коши, попадающих в отрезок [0,7г].

следствие 1. Пусть выполняется условие (14), и функции д\ принадлежат шарам 1^Л[0,7г]. Тогда номер наибольшего из нулей решения у (х, А) задачи Коши (4)7 согласно нумерации (5), п = п(А) удовлетворяет соотношению

— п < 1 + о

1п А ) \1пЛ/

а номер наибольшего из нулей решения задачи Коши (3) (при условии (13)) — соотношению

■Iх ( 1

агсвт * / --гтгттт < 1 + о

7г уа + вд \1п л)'

В параграфе 1.3 устанавливается точность по порядку асимптотических формул, полученных в параграфе 1.1. Рассмотрим задачу Коши (3) в случае /¿(Л) = 0. Для любого фиксированного представителя q 6 Ь[0,7г], в силу леммы Римана-Лебега, оценка погрешности аппроксимации в (6) имеет вид

где о-символика зависит от q G L[0,7г], а функции /3(х, А, 0) и А, 0) = 1 определены с помощью (9). Из предложения 1 следует, что порядок погрешности асимптотической формулы (6) для любого фиксированного q\ = q представителя множества функций ограниченной вариации естьО(^). Следующее предложение 4 демонстрирует, что, если отказаться от ограниченности изменения q, то такой порядок не может быть достигнут, не только на классе функций из С[0,7г], например в шарах, но даже для конкретного представителя пространства непрерывных потенциалов. Для любого не более чем счётного подмножества сегмента (0,7г] существует непрерывный потенциал q такой, что асимптотическая формула (6) для решения задачи Коши (3) ни при каком фиксированном р\ = const < оо не будет верна ни в какой точке этого множества.

Предложение 4. Пусть счётное множество X = {xi}^ содержится в отрезке [0,7г], последовательности действительных чисел {Ап}^=1 и {/Ul^Lj удовлетворяют условиям Хп оо, Ап \ 0 при п —» оо. Кроме того, существует число а : — | < а < 0, такое, что для всех натуральных п будет выполняться неравенство Ап ^ А". Тогда существует непрерывный потенциал q такой, что если х 6 X, то для решения задачи Коши (3) в случае h(А) = 0 меет место неравенство

Замечание 2. Сохраняя обозначения асимптотических формул предложения 1, обратим внимание на то, что потенциал д здесь от Л и функции к не зависит, так как берётся фиксированный представитель семейства непрерывных функций и конкретные начальные условия задачи Коши. На самом деле здесь /3(х,\, К) — Р{х).

Замечание 3. Аналогично показывается неулучшаемость асимптотических формул (7), (8) и (10)-(12).

Замечание 4. Как показывает пример потенциала

рассматривать приведённые в данной работе асимптотические формулы в шарах с "быстро" растущими радиусами, например р\ = О (А), без дополнительных ограничений не имеет смысла.

В главе 2 изучаются аппроксимативные свойства операторов интерполирования лагранжева типа, представляющих собой некоторое обобщение усечённых кардинальных функций Уиттекера и классических интерполяционных многочленов.

Пусть {уп}™= 1 —некоторая система комплексно или действительнозначных функций, определённых на множестве О с 1 или С, каждая из которых при любом натуральном п обращается в нуль во всех точках множества с .О и имеет конечную отличную от нуля производную в этих точках. Тогда значения операторов ставящих в соответствие любой, принимающей конечные значения на множестве {£/с,п}£=о с В, функции /, другую, доопределённую по непрерывности в точках множества с функцию вида

=

Л, же(0,7г] О, а; = О,

п

/кп) = (15)

интерполируют / в узлах {ж/г)Гг}£=0, то есть

£«(/, хк,п) = /(xkin), 0 ^ к ^ п, п е N.

В рассматриваемом случае, когда функция уп в каждом слагаемом не зависит от номера узла к, оператор (15) может быть достаточно экономично численно реализован на электронно-вычислительной технике. Важность таких аппроксимационных конструкций, с точки зрения фундаментальных исследований, подчёркивается следующим фактом. Если кроме перечисленных условий от функций системы {уп}пеN потребовать непрерывность на множестве D и отличие от нуля вне множества £ ^ (т0 есть Для произвольного натурального п значение функции уп(х) отлично от нуля для любой точки х g D \ (жа;)п}]?=0), то множества функций образуют систему Чебышева или Т-систему (смотрите [13, Гл. 1, § 2], [17, Гл. 1, § 4]). К таким операторам следует отнести, например, классические алгебраические интерполяционные многочлены Лагранжа, усечённые кардинальные функции Уиттекера или синк-аппроксимации (1), операторы интерполирования (15), в которых в качестве уп берутся специальные функции математической физики и другие интерполяционные процессы. История интерполирования многочленами хорошо известна и достаточно полно изложена, например, в [7], [13], [30], [63], [55], [48].

Кроме случая ортогональных многочленов исследования аппроксимативных свойств операторов (15), построенных по специальным функциям математической физики, содержатся, например, в [29], [58], [56], [254], [255], [241], [176], [149], [40].

Далее будут предложены некоторые обобщения усечённых кардинальных функций Уиттекера и классических интерполяционных многочленов Лагранжа в виде оператора лагранжевого типа, построенного по решениям

задачи Коши с линейным дифференциальным выражением второго порядка.

Пусть рх ^ 0 рх = о(А) при А —+оо , h{А) е М, и при каждом неотрицательном А функция qx(x) есть произвольный элемент из шара V^A[0,7г] радиуса рд в пространстве функций с ограниченным изменением, исчезающих в нуле (2). Для любого потенциала qx € ^А[0,7г], при А —> +оо, нули решения задачи Коши (3) или, при дополнительном условии h{А) ф О, — задачи Коши (4), попадающие в [0,7г] и перенумерованные в порядке возрастания, обозначим (5).

Задачи Коши (3) и (4) в случае, когда qx € L[0,7г], имеют единственное обобщённое решение, которое можно интерпретировать как непрерывно дифференцируемое решение интегрального уравнения (смотрите, например, [66, гл. IV, § 1, § 2])

/ /г h(\)smy/\x 1 [х . г-. \ / \ / \\ j

у{х, А) = cos V лх Н--■=--Ь —j= / sm V А (ж - т)дд(т)т/(г, A) rfr,

v а v a jo

в случае задачи Коши (3), или

у(х, А) = + Sin ~ Л)

для задачи Коши (4). Из теоремы Пикара (смотрите, например, [66, гл. IV, § 1], [44, Гл.4]) следует, что все нули (5) простые, а условие (2) и теорема осцилляции (смотрите, например, [23, гл. 1, § 3, теорема 3.3]), адаптированная к условиям (2), в случае рд ^ 0 рд = о(А) гарантируют их существование для достаточно больших А. В дальнейшем, если не оговорено иное, для краткости будем обозначать п — п(А). Теорема осцилляции, или метод контурного интегрирования при условии (2) обеспечивают также неограниченное возрастание количества нулей (5) ™(А) —> +оо при А —» +оо.

В главе 2 исследуются аппроксимативные свойства операторов типа Лагран-жа (15), построенных по решениям задачи Коши вида (3) или (4) и ставящих

в соответствие любой, определённой на отрезке [0,7г] функции /, интерполирующую её в узлах {жа;,аЯ-=о непрерывную функцию таким образом

Подбирая соответствующим образом функции q\ (следует иметь ввиду,

«

что условие (2) является достаточным, но не необходимым для наличия нулей (5)), получаем единое представление в виде оператора (16) различных конструкций лагранжева типа таких, как классические интерполяционные многочлены (с точностью до весового множителя), кардинальные функции Уиттекера, интерполяционные процессы Лагранжа, построенные по специальным функциям математической физики. Так, например, с точностью до преобразования Лиувилля многочлены Чебышева и многочлены Якоби, в случае а — /3 = (смотрите [63, Гл. VII,§ 3], или [55, § 4.24]),

являются решениями дифференциальных уравнений задач (3), (4), с потенциалом, удовлетворяющим условию (2). Если взять дд = О, Ап = п2, то операторы (16) превращаются в усечённые кардинальные функции Уиттекера (1). Следовательно, утверждения полученных в главе 2 результатов справедливы для синк-аппроксимаций на отрезке. В случае непрерывности фиксированной функции ограниченной вариации д\ = д для операторов (16), построенных по собственным функциям задачи Штурма-Лиувилля, с краевыми условиями третьего рода, из которых удалены условия первого рода, в [254] получены некоторые аналогичные результаты, но с оценкой скорости сходимости в терминах модуля непрерывности аппроксимируемой функции.

В главе 2 приведены необходимые и достаточные условия аппроксимативной сходимости (будем употреблять этот термин для обозначения сходимости именно к приближаемой функции) в точке значений операторов

(16) для непрерывных функций. Информация о функции / может быть ограничена только её значениями в узлах х^д, находящихся в окрестности точки, в которой исследуются аппроксимативные свойства (16). А также получен критерий равномерной сходимости значений операторов (16) для непрерывных функций, аналогичный критерию Привалова сходимости интерполяционных многочленов Лагранжа-Чебышева и тригонометричес-

. I

ких полиномов [47], [48], [45]. Здесь следует отметить, что методы исследования аппроксимативных свойств операторов интерполирования в трудах A.A. Привалова [47], [48], [45] существенно отличаются от способа доказательства критерия в [254] и, тем более, от рассуждений, представленных в настоящей работе.

При интерполировании многочленами по равноотстоящим узлам константы Лебега растут как геометрическая прогрессия ([13, Гл. 5, §4], или [30, Ч.З, Гл. 2, §2]), и известный результат С.Н. Бернштейна [30, Ч.З, Гл. 2, §2] показывает отсутствие аппроксимации даже для функции |а;|. Несмотря на очевидные преимущества операторов (16) перед классическими интерполяционными многочленами, рассматриваемые интерполяционные процессы, особенно при приближении неисчезающих на концах отрезка непрерывных функций, обладают своими недостатками. Так, например, легко видеть, что, вообще говоря, не выполняются привычные в алгебраическом интерполиро-ваиии или теории рядов Фурье тождества: S\(l,x) ф 1 (что затрудняет использование неравенства Лебега) и йдД/, ж) ф. Sx^Sx^f, ■),х), при Ai < Аг-Заметим также, что задача представления функции в качестве предела значений операторов (16) при изменении qx и h(X) не устойчива в пространстве непрерывных функций. В этом смысле операторы (16) ведут себя также как классические алгебраические или тригонометрические интерполяционные полиномы при изменении матрицы узлов интерполирования. Кроме того,

если / е С[0,7г], /(0) ф 0, или /(7г) ф 0 уже в "модельном случае" задачи (4) <7 = 0, = гг.2, / = 1, как было установлено в [245], имеет место равенство

гарантирующее отсутствие равномерной сходимости (16) на [0,7г] даже, если в концы отрезка попадают узлы интерполяции. Г.И. Натансоном [29], в свою очередь, было замечено, что в "модельном случае" оператора (16), построенном по решениям задачи Коши (3) при К = 0, д = 0, Ап = п2, п= 1,2,..., имеет место равенство

позволяющее констатировать отсутствие сходимости на концах отрезка, если в них не попадают узлы интерполяции. Два последних примера показывают, что, если / € С[0,7г] \ С0[0, 7г], то исследование вопросов сходимости значений операторов (16) в точке х — -к (случай задачи (4)) и точках х = 0 или х — 7Г (случай задачи (3)) для каждой конкретной задачи Коши и выбора последовательности значений \ — \п следует проводить отдельно. Поэтому, в главе 2 предлагаются некоторые модификации оператора (16).

Определение 1. Определим оператор, ставящий в соответствие любой, принимающей конечные значения на отрезке [0,тг], функции f) непрерывную функцию по правилу

С помощью этого оператора, в отличие от (16), можно равномерно на всём отрезке [0, 7г] аппроксимировать непрерывные (не обязательно исчезающие на концах отрезка) функции, обладающие достаточным запасом гладкости,

Ит 5^(1,0) =Л,

'1—>оо Л

1П

с сохранением интерполяции, то есть для всех 0 ^ А; ^ п, п € N имеет место равенство ТЛ(/,а;м) = /(хк>х).

Далее, на пространстве непрерывных на [0,7г] функций / определим операторы

1 п

= 2 + (18)

к=1

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Трынин, Александр Юрьевич, 2013 год

ЛИТЕРАТУРА

[1] Агаханов С.А. Оценка функции Лебега для интерполяционного процесса по корням полиномов Якоби / С.А. Агаханов // Известия вузов. Математика. - 1967. - № 11(66). - С. 3-6.

[2] Айгунов Г.А. Об ограниченности ортонормированных собственных функций одного класса нелинейных операторов типа Штурма-Лиувилля с весовой функцией неограниченной вариации на конечном отрезке / Г.А. Айгунов // Успехи математических наук. - 2000. - Т. 55.

- № 4(334). - С. 213-214.

[3] Бадков В.М. Асимптотическое поведение ортогональных многочленов / В.М. Бадков // Математический сборник. - 1979. - Т. 109(151). -№ 1(5). - С. 46-59.

[4] Бадков В.М. Асимптотические свойства ортогональных многочленов / В.М. Бадков // Конструктивная теория функций 81. - София. - 1983.

- С. 21-27.

[5] Бари Н.К. Тригонометрические ряды / Н.К. Бари . - М.: Физматгиз, 1961.

[6] Берман Д.Л. Принцип монотонии в теории интерполяции функций действительного переменного / Д.Л. Берман // Известия вузов. Математика. - 1972. - № 4 (119). - С. 10-17.

[7] Бернштейн С.Н. Несколько замечаний об интерполировании / С.Н. Бернштейн . - Собрание сочинений. Том 1 Конструктивная теория функций. - М.: Изд-во Акад. наук СССР, - 1952.

[8] Бернштейн С.Н. Об одном видоизменении интерполяционной формулы Лагранжа / С.Н. Бернштейн . - Собрание сочинений. Конструктив-

пая теория функций. Т. 2. - М.: Изд-во АН СССР, - 1954. - С. 130-140.

[9] Бучаев Я.Г. Оценки норм собственных функций задачи Штурма-Лиувилля в пространствах Соболева / Я.Г. Бучаев // Матем. заметки. - 2003. - Т. 73. - m 4. - С. 625-627.

[10] Винокуров В. А. Асимптотика любого порядка собственных значений и собственных функций краевой задачи Штурма-Лиувилля на отрезке с суммируемым потенциалом / В.А. Винокуров, В.А. Садовничий // Изв. РАН, Сер. мат. . - 2000. - Т. 64. - № 4. - С. 47-108.

[11] Геронимус Я.Л. О сходимости интерполяционного процесса Лагран-жа с узлами в корнях ортогональных многочленов / Я.Л. Геронимус // Известия АН СССР, Серия математическая. - 1963. - Т. 27. - С. 529-560.

[12] Гусейнов И.М. Операторы преобразования и асимптотические формулы для собственных значений полиномиального пучка операторов Штурма-Лиувилля / И.М. Гусейнов., A.A. Набиев, Р.Т. Пашаев // Сибирский математический журнал. - 2000. - Т. 41. - № 3. - С. 554-566.

[13] Даугавет И.К. Введение в теорию приближения функций / И.К. Да-угавет . - Ленинград: Изд-во Ленинградского университета, 1977.

[14] Добеши И. Десять лекций по вейвлетам / И. Добеши . - Ижевск: "Регулярная и хаотическая динамика", 2001.

[15] Жидков П.Е. О полноте систем собственных функций оператора Штурма-Лиувилля с потенциалом, зависящим от спектрального параметра, и некоторой нелинейной задачи / П.Е. Жидков // Математический сборник. - 1997. - Т. 188. - № 7. - С. 123-138.

[16] Жук A.C. Некоторые ортогональности в теории приближения / A.C. Жук, В.В. Жук // Записки научных семинаров ПОМИ. - 2004. -Т. 314. - С. 83-123.

[17] Карлин С. Чебышевские системы и их применение в анализе и статистике / С. Карлин, В. Стадден . - М.: "Наука" , Главн. ред. физико-математической литературы, 1976.

[18] Кашин B.C. Ортогональные ряды / B.C. Кашин, A.A. Саакян . -М.: Изд-во АФЦ, 1999.

[19] Кельзон A.A. Об интерполировании функций ограниченной р—вариации / A.A. Кельзон // Известия вузов. Математика. 1978. - № 5 (192). - С. 131-134.

[20] Колмогоров А.Н. е—энтропия и е—ёмкость множеств в функциональных пространствах / А.Н. Колмогоров, В.М. Тихомиров // Успехи математических наук. - 1959. - Т. 19. - № 2(86). - С. 3-86.

[21] Колмогоров А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А.Н. Колмогоров, C.B. Фомин - М.: "Наука" , 1981.

[22] Котельников В.А. О пропускной способности "эфира" и проволоки в электросвязи / В.А. Котельников // Материалы к 1 Всесоюзному съезду по вопросам технической реконструкции дела связи и развития слаботочной промышленности. - М.: Управление связи РККА. - 1933.

[23] Левитан Б.М. Операторы Штурма-Лиувилля и Дирака / В.М. Левитан, И.С. Саргсян . - М.: "Наука" , Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988.

[24] Люстерник Л.А. Элементы функционального анализа / Л.А. Лю-стерник, В.И. Соболев - М.: Гл. ред. физико-математической литературы. "Наука" , 1965.

[25] Мухтаров O.HI. Спектральные свойства одной задачи типа Штурма-Лиувилля с разрывным весом / О.Ш. Мухтаров, М. Кадакал // Сибирский математический журнал. - 2005. - Т. 46. - № 4. - С. 860-875.

[26] Набиев И.М. Кратность и взаимное расположение собственных значений квадратичного пучка опраторов Штурма-Лиувилля / И.М. Набиев // Матем. заметки. - 2000. - Т. 67. - № 3. - С. 369-381.

[27] Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы / М.А. Наймарк - М.: "Наука", Гл. ред-ия физико-математической литературы, 1969.

[28] Натансон Г.И. Двусторонняя оценка функции Лебега интерполяционного процесса Лагранжа с узлами Якоби / Г.И. Натансон // Известия вузов. Математика. - 1967. - № 11 (66). - С. 68-74.

[29] Натансон Г.И. Об одном интерполяционном процессе / Г.И. Натансон // Учён, записки Ленинград, пед. ин-та им. А.И. Герцена. - 1958. - Т. 166. - С. 213-219.

[30] Натансон И.П. Конструктивная теория функций / И.П. Натансон

- Москва, Ленинград: Гос. изд-во технико-теоретической литературы, 1949.

[31] Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной / И.П. Натансон - М.: "Наука", 1974.

[32] Неваи Г.П. О сходимости лагранжева интерполирования по узлам Лагерра / Г.П. Неваи // Publicationes Math. Debrecen. - 1973. - Т. 20.

- С. 235-239.

[33] Неваи Г.П. Замечания об интерполировании / Г.П. Неваи // Acta Mathematica Academiae Scientiarum Hungaricae. - 1974. - Т. 25. - № 1-2.

- С. 123-144.

[34] Никольский С.М. Курс математического анализа. Т. 2. / С.М. Никольский - М.: "Наука" , Гл. ред-ия физико-математической литературы, 1983.

[35] Новиков И.Я. Основные конструкции всплесков / И.Я. Новиков, С.Б. Стечкин // Фундаментальная и прикладная математика. - 1997. -Т. 3. - № 4. - С. 999-1028.

[36] Новиков И.Я. Основы теории всплесков / И.Я. Новиков, С.Б. Стечкин // Успехи математических наук. - 1998. - Т. 53. - № 6(324). - С. 53-128.

[37] Пилипчук С.С. О признаках сходимости интерполяционных процессов / С.С. Пилипчук // Известия вузов. Математика. - 1979. - № 12 (211). - С. 39-44.

[38] Пилипчук С.С. О расходимости интерполяционных процессов Лагранжа на множествах второй категории / С.С. Пилипчук // Известия вузов. Математика. - 1979. - № 3 (202). - С. 45-52.

[39] Пилипчук С.С. О расходимости интерполяционных процессов Лагранжа на счётных множествах / С.С. Пилипчук // Известия вузов. Математика. - 1980. - № 12 (223). - С. 38-44.

[40] Платонов С.С. Аналог теоремы Уиттекера-Котельникова-Шеннона с точки зрения анализа Фурье-Бесселя / С.С. Платонов // Матем. заметки. - 2008. - Т. 83. - № 2. - С. 264-272.

[41] Покорный Ю.В. Некоторые вопросы качественной теории Штурма-Лиувилля на пространственной сети / Ю.В. Покорный, В.Л. Прядиев // Успехи математических наук. - 2004. - Т. 59 . - № 3(357). - С. 116-150.

[42] Покорный Ю.В. О нерегулярном расширении осцилляционной теории спектральной задачи Штурма-Лиувилля / Ю.В. Покорный, М.Б. Зверева, A.C. Ищенко, С.А. Шабров // Матем. заметки. - 2007. - Т. 82. - № 4. - С. 578-582.

[43] Покорный Ю.В. Осцилляционная теория Штурма-Лиувилля для импульсных задач / Ю.В. Покорный, М.Б. Зверева, С.А. Шабров // Успехи математических наук. - 2008. - Т. 63. - № 1(379). - С. 111-154.

[44] Понтрягин JI.C. Обыкновенные дифференциальные уравнения / Л.С. Понтрягин . - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1982.

[45] Привалов A.A. Избранные труды / A.A. Привалов - Саратов: Изд-во Саратовского ун-та, 1997.

[46] Привалов A.A. О расходимости интерполяционных процессов Лагранжа по узлам Якоби на множестве положительной меры / A.A. Привалов // Сибирский математический журнал. -1976. - Т. XVII.

- № 4, июль-август. - С. 837-859.

[47] Привалов A.A. Критерий равномерной сходимости интерполяционных процессов Лагранжа / A.A. Привалов // Известия вузов. Математика . - 1986. - № 5. - С. 49-59.

[48] Привалов A.A. Теория интерполирования функций / A.A. Привалов

- Саратов: Изд-во Саратовского ун-та, 1990.

[49] Прудников А.П. Интегралы и ряды / А.П. Прудников, Ю.А. Брыч-ков, О.И.Маричев - М.: „Наука", Гл. Ред. физико-математической литературы, 1981.

[50] Савчук A.M. О собственных значениях и собственных функциях оператора Штурма-Лиувилля с сингулярным потенциалом /A.M. Савчук // Матем. заметки. - 2001. - Т. 69. - № 2. - С. 277-285.

[51] Савчук A.M. Операторы Штурма-Лиувилля с сингулярными потенциалами / A.M. Савчук, A.A. Шкаликов // Матем. заметки. - 1999. -Т. 66. - № 6. - С. 897-912.

[52] Савчук A.M. О собственных значениях оператора Штурма-Лиувилля с потенциалами из пространств Соболева / A.M. Савчук.

A.A. Шкаликов // Матем. заметки. - 2006. - Т. 80. - № 6. - С. 897912.

[53] Савчук A.M. О свойствах отображений, связанных с обратными задачами Штурма-Лиувилля / A.M. Савчук, A.A. Шкаликов // Труды Математического института им. В.А. Стеклова. - 2008. - Т. 260. - С. 227-247.

[54] Сансоне Дж. Обыкновенные дифференциальные уравнения Т.1 / Дж. Сансоне - М.: Изд-во иностранной литературы, 1953.

[55] Сегё Г. Ортогональные многочлены / Г. Сегё . - М.: Физматгиз, 1962.

[56] Скляров В.П. О сходимости интерполяционного процесса Лагранжа-Эрмита для неограниченных функций / В.П. Скляров // Analysis Mathematica. - 1994. - Т. 20. - С. 295-308.

[57] Скляров В.П. Прямые и обратные теоремы теории приближений для наилучших приближений с весом (1 — ж)а(1 + / В.П. Скляров.; Саратовский гос. пед. ин-т. - 1981. - 27 с. - Деп. в ВИНИТИ 10.11.81, № 5160-81.

[58] Скляров В.П. Равномерные приближения функциями Лагерра /

B.П. Скляров // Диф. уравн. и теория функций. Ряды Фурье, интерполирование. Межвуз. научн. сб. - Саратов. - 1981. - С. 93-109.

[59] Скляров В.П. О наилучшей равномерной sine аппроксимации на конечном отрезке / -В.П. Скляров // Современные проблемы теории функций и их приложения Тезисы докладов 13-ой Саратовской зимней школы. Саратов. 27 января - 3 февраля 2006 года. - С.161.

[60] Смирнов В.И. Конструктивная теория функций комплексного переменного / В.И. Смирнов, Н.А. Лебедев - М.: „Наука" , 1964.

[61] Стечкин С.Б. О порядке наилучших приближений непрерывных функций / С.Б. Стечкин // Известия АН СССР, Серия матем. -1951. -Т. 15:3. - С. 219-242.

[62] Субботин Ю.Н. Интерполяционно-ортогональные системы всплесков / Ю.Н. Субботин, Н.И. Черных // Труды института математики и механики. -2008. - Т. 14. - № 3. - С. 153-161.

[63] Суетин П.К. Классические ортогональные многочлены / П.К. Су-етин . - М.: "Наука" Главн. ред. физико-математической литературы, 1976.

[64] Тихомиров В.М. Поперечники и энтропия / В.М. Тихомиров // Успехи математических наук. - 1983. - Т. 38. - № 4(232). - С. 91-99.

[65] Уиттекер Э.Т. Курс современного анализа. Часть первая. Основные операции анализа / Э.Т. Уиттекер, Дж.Н. Ватсон - М.: Гос. изд-во физико-математической литературы. 1963.

[66] Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения / Ф. Хартман - М.: "Мир" , 1970.

[67] Шилов Г.Е. Интеграл, мера, производная / Г.Е. Шилов, Б.Л. Гуре-вич . - М.: "Наука" Издание второе переработанное, 1967.

[68] Шмуклер А.И. О некоторых свойствах рядов Котелышкова /

A.И. Шмуклер, Т.А. Шульман // Известия вузов. Математика. - 1974. - № 3. - С. 93-103.

[69] Юрко В.А. Введение в теорию обратных спектральных задач /

B.А. Юрко - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007.

[70] Юрко В.А. Обратные спектральные задачи и их приложения / В.А. Юрко - Саратов: Изд-во Саратов, педагогического инсг-та, 2001.

[71] Abdella К. Application of the Sine method to a dynamic elasto-plastic problem / K. Abdella, X. Yua, I. Kucuk // Journal of Computational and Applied Mathematics. - 2009. - Vol. 223. - P. 626-645.

[72] Abreu L.D. The Reproducing Kernel Structure Arising from a Combination of Continuous and Discrete Orthogonal Polynomials into Fourier Systems / L.D. Abreu // Constr. Approx. . - 2008 . - Vol. 28 . - P. 219-235.

[73] Acosta-Reyes E. On stability of sampling-reconstruction models / E. Acosta-Reyes, A. Aldroubi, I. Krishtal // Adv. Comput. Math. . -2009 . - № 31 . - P. 5-34.

[74] Alaina P.N.D. Sine approximation of the heat distribution on the boundary of a two-dimensional finite slab / P.N.D. Alaina, P.H. Quanb, D.D. Trong // Nonlinear Analysis: Real World Applications . - 2008 . - Vol. 9 . - P. 1103 - 1111.

[75] Alquran M.T. Approximations of Sturm-Liouville Eigenvalues Using Sinc-Galerkin and Differential Transform Methods / M.T. Alquran, K. Al-Khaled // Applications and Applied Mathematics: An International Journal. - 2010. - Vol. 5. - № 1 . - P. 128 - 147.

[76] Alquran M.T. Numerical Comparison of Methods for Solving Systems of Conservation Laws of Mixed Type / M.T. Alquran, K. Al-Khaled // Int. Journal of Math. Analysis. - 2011 . - Vol. 5 . - № 1 . - P. 35 - 47.

[77] Al-Khaled K. Numerical solutions of the Laplace's equation / K. Al-Khaled // Applied Mathematics and Computation. - 2005 . - Vol. 170 . -P. 1271-1283.

[78] Al-Khaled K. Theory and computations for systems modeled by first order differential equations / K. Al-Khaled // Qatar Univ. Sci. J. - 2000^ -Vol. 20 . - P. 21-24.

[79] Al-Khaled K. Sine numerical solution for solitons and solitary waves / K. Al-Khaled // Journal of Computational and Applied Mathematics. -2001 . - Vol. 130 . - P. 283-292.

[80] Al-Khaled K. Numerical comparison of methods for solving parabolic equations / K. Al-Khaled, D. Kaya, M.A. Noor // Applied Mathematics and Computation. - 2004 . - Vol. 157 . - P. 735-743.

[81] Alonso III.N. An Alternating-Direction Sinc-Galerkin method for elliptic problems / III.N. Alonso, K.L. Bowers // Journal of Complexity. - 2009 . - Vol. 25 . - P. 237-252.

[82] Annaby M.H. Sinc-based computations of eigenvalues of Dirac systems / M.H. Annaby, M.M. Tharwat // BIT Numerical Mathematics . - 2007 . - Vol. 47 . - P. 699-713.

[83] Bardaro C. Approximation error of the Whittaker cardinal series in terms of an averaged modulus of smoothness covering discontinuous signals / C. Bardaro, P.L. Butzer, R.L. Stens, G. Vinti //J. Math. Anal. Appl. -2006 . - Vol. 316 . - P. 269-306.

[84] Beaty M.G. The Whittaker-Kotel'nikov-Shannon theorem, spektral translates and Plancherel's Formula / M.G. Beaty, M.M. Dodson // The Journal of Fourier Analysis and Applications. - 2004 . - Vol. 10 . - № 2 . -P. 179-199.

[85] Beaty M.G. On the approximate form of Kluvanek's theorem / M.G. Beaty, M.M. Dodson, S.P. Eveson, J.R. Higgins // Journal of Approximation Theory. - 2009 . - Vol. 160 . - P. 281-303.

[86] Benedetto J.J. Sampling Multipliers and the Poisson summation formula / J.J. Benedetto, G. Zimmermann // Journal of Fourier Analysis and Applications. - 1997 . - Vol. 3 . - № 5 . - P. 505-523.

[87] Ben-yu G. Jacobi interpolation approximations and their applications to singular differential equations / G. Ben-yu, W. Li-lian // Advances in Computational Mathematics. - 2001 . - Vol. 14 . - P. 227-276.

[88] Berrut J.-P. A formula for the error of finite sinc-interpolation over a finite interval / J.-P. Berrut // Numer Algorithms . - 2007 . - Vol. 45 . -P. 369-374.

[89] Berrut J.-P. First applications of a formula for the error of finite sine interpolation / J.-P. Berrut// Numer. Math.. - 2009 . - № 112 . - P. 341-361.

[90] Bi N. Reconstructing signals with finite rate of innovation from noisy samples / N. Bi, M.Z. Nashed, Q Sun. // Acta Appl Math . - 2009 . -Vol. 107 . - P. 339-372.

[91] Bialecki B. A sine quadrature subroutine for Cauchy principal value integrals / B. Bialecki, P. Keast // Journal of Computational and Applied Mathematics . - 1999 . - Vol. 112 . - P. 3-20.

[92] Bittner K. Formulation of localized cosine bases that preserve polynomial modulated sinusoids / K. Bittner, C.K. Chui //J. Fourier Analysis and Applications. - 2004 . - Vol. 10 . - № 5 . - P. 475-496.

[93] Boche H. On the behavior of Shannon's sampling series for bounded signals with applications / H. Boche, U. Monich // Signal Processing . -2008 . - Vol. 88 . - P. 492-501.

[94] Boche H. Behavior of Shannon's sampling series for Hardy spaces / H. Boche, U. Monich //J Fourier Anal Appl . - 2009 . - Vol. 15 . -P. 404-412.

[95] Boor C. Approximation Orders of FSI Spaces in L2(Rd) / C. Boor, R.A. DeVore, A. Ron // Constr. Approx. -1998 . - Vol. 14 . - P. 631-652.

[96] Borel E. Sur Interpolation / E. Borel // C.R. Math. Acad. Sci. Paris. -1897 . - Vol. 124 . - P. 673-676.

[97] Borovikov V. Scatter of Plane Elastic Wave by a Rough Crack Edge / V. Borovikov, L. Fradkin // Russian Journal of Mathematical Physics . -2009 . - Vol. 16 . - № 2 . - P. 166-187.

[98] Boumenir A. Computing eigenvalues of Lommel-type equations by the sampling method / A. Boumenir // Journal of Computional Anaysis and Applications. - 2000 . - Vol. 2 . - № 4 . - P. 323-332.

[99] Boumenir A. Higher approximation of eigenvalues by the sampling method / A. Boumenir // BIT . - 2000 . - Vol. 40 . - № 2 . - P. 215-225.

[100] Boumenir A. Sampling with a string / A. Boumenir, A.I. Zayed //J. Fourier Analysis and Applications. - 2002 . - Vol. 8 . - № 3 . - P. 211-231.

[101] Braess D. Approximation of 1/x by exponential sums in [l,oo) / D. Braess // Journal of Numerical Analysis. - 2005 . - Vol. 25 . - P. 685-697.

[102] Butzer P.L. A retrospective on 60 years of approximation theory and associated fields / P.L. Butzer // Journal of Approximation Theory. - 2009 . - Vol. 160 . - P. 3-18.

[103] Butzer P.L. Interpolation and Sampling: E.T. Whittaker, K. Ogura and Their Followers / P.L. Butzer, P.J.S.G. Ferreira, J.R. Higgins, S. Saitoh, G. Schmeisser, R.L. Stens // J Fourier Anal Appl. . - 2011. - Vol. 17. - № 2 . - P. 320-354.

[104] Butzer P.L. Classical and approximate sampling theorems: studies in the i7(M) and the uniform norm. / P.L. Butzer, J.R. Higgins, R.L. Stens

// Journal of Approximation Theory . - 2005 . - Vol. 137. - № 2 . - P. 250-263.

[105] Butzer P.L. Reconstruction of bounded signals from pseudo-periodic, irregularly spaced samples / P.L. Butzer, G. Hinsen // Signal Process. -1989 . - Vol. 17 . - № 1 . - P. 1-17.

[106] Butzer P.L. A modification of the Whittaker-Kotelnikov-Shannon sampling series / P.L. Butzer, R.L. Stens // Aequationes Mathematicae .

- 1985 . - Vol. 28:1 . - P. 305-311.

[107] Carlen E. Signal reconstruction by random sampling in chirp space / E. Carlen, R.V. Mendes // Nonlinear Dyn. . - 2009 . - Vol. 56 . - P. 223-229.

[108] Carleson L. On convergence and growth of partial sums of Fourier series / L. Carleson // Acta Math. - 1966 . - Vol. 116 . - № 1-2 . - P. 135-157.

[109] Cerejeiras P. Bedrosian Identity in Blaschke Product Case / P. Cerejeiras, C. Chen, U. Kaehler // Complex Anal. Oper. Theory. -2012 Febfuary . - Vol. 6. - № 1 . - P. 275-300.

[110] Chen G.G. Multivariate irregular sampling theorem / G.G. Chen, G.S. Fang // Science China series A: Mathematics . - 2009 . - Vol. 52 .

- № 11 . - P. 2469-2478.

[111] Chen J. Vector sampling theorem for wavelet subspaces / J. Chen, X. Li, W.X. Liu, W.G. Wan //J Shanghai Univ (Engl Ed) . - 2010 . - Vol. 14 . - № 1 . - P. 29-33.

[112] Chen J. Sampling theorem for multiwavelet subspaces / J.Chen, E. Lu, B. Huang // Journal of Shanghai University (English Edition) . - 2007 . -Vol. 11 . - № 6 . - P. 570-575.

[113] Chen L. Numerical solution of differential equations using Sine method based on the interpolation of the highest derivatives / L. Chen, X. Wu // Applied Mathematical Modelling . - 2007 . - Vol. 31 . - P. 1-9.

[114] Cho J. Cardinal Splines in Nonparametric Regression / J. Cho, B. Levit // Mathematical Methods of Statistics . - 2008 . - Vol. 17 . - № 1 . - P. 19-34.

[115] Chui C.K. High-Order Orthonormal Scaling Functions and Wavelets Give Poor Time-Frequency Localization / C.K. Chui, J. Wang // The Journal of Fourier Analysis and Applications . - 1996 . - Vol. 2 . - JVfi 5 . -P. 415-426.

[116] Dehghana M. The numerical solution of a nonlinear system of second-order boundary value problems using the sinc-collocation method / M. Dehghana, A. Saadatmandi // Mathematical and Computer Modelling. - 2007 . - Vol. 46 . - P. 1434-1441.

[117] Ebata M. On sampling formulas on symmetric spaces / M. Ebata, M. Eguchi, Sh. Koizumi, K. Kumahara // The Journal of Fourier Analyses and Applications. - 2006 . - Vol. 12 . - № 1 . - P. 1-15.

[118] El-Gamel M. A comparison between the Sinc-Galerkin and the modified decomposition methods for solving two-point boundary-value problems / M. El-Gamel // Journal of Computational Physics. - 2007 . - Vol. 223 . -P. 369-383.

[119] El-Gamel M. A numerical scheme for solving nonhomogeneous time-dependent problems / M. El-Gamel // Z. angew. Math. Phys. - 2006 . -Vol. 57 . - P. 369-383.

[120] El-Gamel M. Sine and the numerical solution of fifth-order boundary value problems / M. El-Gamel // Applied Mathematics and Computation .

- Vol. 187. - 2007 . - P. 1417-1433.

[121] El-Gamel M. Numerical method for the solution of special nonlinear fourth-order boundary value problems / M. El-Gamel, S.H. Behiry, H. Hashish // Applied Mathematics and Computation. - 2003 . - Vol. 145 . - P. 717-734.

[122] El-Gamel M. On the solution a of second order singularly-perturbed bondary value problem by the Sinc-Galerkin method / M. El-Gamel, J.R. Cannon // Zeitschrift fur angewandte Mathematik und Physik ZAMP.

- 2005 . - Vol. 56 . - № 1 . - P. 45-58.

[123] Erdos P. On the almost everywhere divergence of Lagrange interpolatory polynomials for arbitrary system of nodes / P. Erdos, P. Vértesi // Acta Mathematica Hungarica . - 1980 . - Vol. 36 . - № 1-2 . - P. 71-89.

[124] Fang G. Equivalent characterization of entire functions of exponential type / G.Fang, X. Chen // Analysis Mathematica. - 2000 . - Vol. 26 . -P. 275-286.

[125] Feng L. Computing exponential moments of the discrete maximum of a Lévy process and lookback options / L. Feng, V. Linetsky // Finance Stoch . - 2009 . - Vol. 13 . - P. 501-529.

[126] Flanders W.D. On Approximating Two Distributions from a Single Complex-Valued Function / W.D. Flanders, G. Japaridze // Applied Mathematics. - 2010 . - № 1 . - P. 439-445.

[127] Garcia A.G. An estimation of the truncation error for the two-channel sampling formulas / A.G. Garcia, M.A. Hernández-Medina, A. Portal //J. Fourier Analysis and Applications. - 2005 . - Vol. 11 . - № 2 . - P. 203-213.

[128] Gelb A. Reconstruction of piecewise smooth functions from non-uniform grid point data / A. Gelb // Journal of Scientific Computing. - 2007 . -

Vol. 30 . - № 3, March . - P. 409-440.

[129] Gelman L. A new time-frequency transform for non-stationary signals with any nonlinear instantaneous phase / L. Gelman, J. Gould // Multidim Syst Sign Process . - 2008 . - Vol. 19 . - P. 173-198.

[130] Gensun F. Whittaker-Kotelnikov-Shannon Sampling Theorem and Aliasing Error / F. Gensun // J. of approximation theory. - 1996 . - Vol. 85 . - P. 115-131.

[131] Gilliam D.S. A Discrete Sampling Inversion Scheme for the Heat Equation / D.S. Gilliam, J.R. Lund, C.F. Martin // Numer. Math. -1989 . - Vol. 54 . - P. 493-506.

[132] Griinwald G. Uebcr Divergenzerscheinungen der Lagrangeschen Interpolationspolynome stetiger Funktionen / G. Griinwald // Arm. of Math.(2). - 1936 . - Vol. 37 . - P. 908-918.

[133] Gulyaev Yu.V. Kravchenko-Kotel'nikov analytical wavelets in digital signal processing / Yu.V. Gulyaev, V.F. Kravchenko, V.I. Pustovoit // Doklady Physics . - 2007 . - Vol. 52 . - № 12 . - P. 645-652.

[134] Hackbusch W. Low-rank Kronecker-product approximation to multidimensional nonlocal operators. Part I. Separable Approximation of Multivariate Functions. / W. Hackbusch, B.N. Khoromskij // Computing . -2006 . - Vol. 76. - № 3, January. - P. 177-202. - Digital Object Identifier (Doi) 10.1007/s00607-005-0144-0. - P. 177-202.

[135] Han B. Analysis and construction of multivariate interpolating refinable function vectors / B. Han, X. Zhuang// Acta Appl Math. - 2009. - № 107. - P. 143-171.

[136] Higgins J.R. Five short stories about the cardinal series / J.R. Higgins // Bulletin (New Series) Of the american mathematical society. - 1985. -

Vol. 12. - № 1. - P. 45-89.

[137] Higgins J.R. Sampling theorems and contour integral method / J.R. Higgins // Appl. Anal. . - 1991 . - Vol. 41 . - № 1-4 . - P. 155-169.

[138] Higgins J.R. The sampling theorem and several equivalent results in analysis / J.R. Higgins, G. Schmeisser, J.J. Voss // Journal of Computational Analysis and Applications. - 2000 . - Vol. 2 . - № 4 . -P. 333-371.

[139] Hinsen G. Irregular sampling of bandlimited LP -functions / G. Hinsen 11 J. Approx. Theory . - 1993 . - Vol. 72 . - №3 . - P. 346-364.

[140] Ignjatovic' A. Local Approximations based on orthogonal differential operators / A. Ignjatovic' // The J. of Fourier Analysis and Applications.

- 2007 . - Vol. 13 . - № 3 . - P. 309-330.

[141] Izu S. Time-Frequency Localization and Sampling of Multiband Signals / S. Izu, J.D. Lakey // Acta. Appl. Math. . - 2009 . - Vol. 107 . - P. 399-435.

[142] Jakobsson S. Frequency optimized computation methods / S. Jakobsson // J. Scientific Computing. - 2006 . - Vol. 26 . - № 3 . - P. 329-362.

[143] Jerri A.J. Application of the sampling theorem to boundary value problems / A.J. Jerri, E.J. Davis // Journal of Engineering Mathematics.

- 1974. - Vol. 8. - №- 1. - P. 1-8.

[144] Kearfott R.B. A sine approximation for the indefinite integral / R.B. Kearfott // Mathematics of Computation. - 1983 . - Vol. 41 . - № 164 . P. 559-572.

[145] Keyanpour M. Optimal control of fredholm integral equations / M. Keyanpour, T. Akbaria // Applied Mathematics and Information Sciences. - 2011 . - Vol. 5 . - № 3 . - P. 514-524.

[146] Kicey C.L. Unique reconstruction of band-limited signals by a Mallat-Zhong wavelet transform algorithm / C.L. Kicey, C.J. Lennard //J. Fourier Analysis and Applications. - 1997 . - Vol. 3 . - № 1 . - P. 63-82.

[147] Kim J.M. Recovery of finite missing samples in two-channel oversampling / J.M. Kim, K.H. Kwon // Sampling theory in signal and image processing. 2007 . - Vol. 6 . - № 2 May . - P. 185-198.

[148] Koonprasert S. Block matrix Sinc-Galerkin solution of the wind-driven current problem / S. Koonprasert, K.L. Bowers // Applied Mathematics and Computation. - 2004 . - Vol. 155 . - P. 607-635.

[149] Kou K.I. Sampling with Bessel functions / K.I. Kou, T. Qian, F. Sommen // Adv. appl. Clifford alg. . - 2007 . - Vol. 17 . - P. 519 536.

[150] Kramer H.P. A generalized sampling theorem / H.P. Kramer //J. Math. Phus. . - 1959 . - Vol. 38 . - P. 68-72.

[151] Kravchenko V.F. Numerical methods for solving integral equations for functions with double orthogonality / V.F. Kravchenko, M.A. Basarab // Differential Equations. - 2004 . - Vol. 40 . - № 9 . - P. 1321-1329.

[152] Leopardi P.C. Positive weight quadrature on the sphere and monotonicities of Jacobi polynomials / P.C. Leopardi // Nurner Algor . - 2007 . - Vol. 45 . - P. 75-87.

[153] Levin E. On the Airy reproducing kernel, sampling series, and quadrature formula / E. Levin, D.S. Lubinsky // Integr. equ. and oper. theory. - 2009 . - Vol. 63 . - P. 427-438.

[154] Li H.A. Sampling theorem of Hermite type and aliasing error on the Sobolev class of functions / H.A. Li, G.S. Fang // Front. Math. China . -2006 . - Vol. 1 . - № 2 . - P. 252-271.

[155] Li XingMin The Paley-Wiener theorem in the non-commutative and non-associative octonions / XingMin Li, LiZhong Peng, Tao Qian // Science in China series A: Mathematics . - 2009 . - Vol. 52 . - № 1 . - P. 129-141.

[156] Livne Oren E. MuST: The multilevel sine transform / Oren E. Livne, Achi E. Brandt // SIAM J. on Scientific Computing. - 2011 . - Vol. 33 . -m 4 . - P. 1726-1738.

[157] Лозинский С.M. On convergence and summability of Fourier series and interpolation processes / C.M. Лозинский // Математический сборник. - 1944 . - Vol. 14 (56) . - № 3 . - P. 175-268.

[158] Maleknejad K. Volterra Type Integral Equation by the Whittaker Cardinal Expansion / K. Maleknejad, M. Alizadeh // The Open Cybernetics and Systemics Journal . - 2009 . - № 3 . - P. 1-4.

[159] Maleknejad K. Convergence analysis for Numerical Solution of Fredholm Integral Equation by Sine Approximation / K. Maleknejad, R. Mollapourasl, M. Alizadeh // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. - 2011. -Vol. 16. - № 6. - P. 2478-2485.

[160] Maleknejad K. Solution of First kind Fredholm Integral Equation by Sine Function / K. Maleknejad, R. Mollapourasl, P. Torabi, M. Alizadeh // World Academy of Science, Engineering and Technology . - 2010 . - № 66 . - P. 884-888.

[161] Marcinkiewicz J. Quelques remarques sur l'interpolation / J. Marcinkiewicz // Acta Litterarum as Scient. Math. Szeged. - 1937 . -Vol. 8 . - P. 127-130.

[162] Marcinkiewicz J. Sur la divergence des pôlynomes d'interpolation / J. Marcinkiewicz // Acta Litterarum as Scientiarum. - 1937 . - Vol. 8 . -

P. 131-135.

[163] McArthur K.M. The sine method in multiple space dimensions: Model Problems / K.M. McArthur, K.L. Bowers, J. Lund // Numer. Math. . -1990 . - Vol. 56 . - P. 789-816.

[164] McLaughlin J.R. Inverse spectral theory using nodal points as data — a uniqueness result / J.R. McLaughlin //J. Differ. Equations. - 1988 . -Vol.73 . - № 2 . - P. 354-362.

[165] MoakD.S. On the zeros of Jacobi polynomials / D.S. Moak, E.B. Saff, R.S. Varga // Transactions of the american mathematical society.

- 1979 . - Vol. 249 . - № 1 . - P. 159-162.

[166] Modis K. Mapping optimization based on sampling size in earth related and environmental phenomena / K. Modis, G. Papantonopoulos, K. Komnitsas, K. Papaodysseus // Stoch Environ Res Risk Assess. - 2008 . - Vol. 22 . - P. 83-93.

[167] Mohsen A. A sinc-collocation method for the linear Fredholm integro-diiferential equations / A. Mohsen, M. El-Gamel // Z. Angew. Math. Phys.

- 2007 . - Vol. 58 . - № 3 . - P. 380-390.

[168] Mohsen A. On the numerical solution of linear and nonlinear volterra integral and integrodifferential equations / A. Mohsen, M. El-Gamel // Appl. Math. Comput. . - 2010. -Vol. 217. - № 7. - P. 3330-3337.

[169] Mokhtari R. Numerical solution of GRLW equation using Sinc-collocation method / R. Mokhtari, M. Mohammadi // Computer Physics Communications. - 2010 . - Vol. 181 . - P. 1266-1274.

[170] Mori M. The double-exponential transformation in numerical analysis / M. Mori, M. Sugihara // Journal of Computational and Applied Mathematics. - 2001 . - Vol. 127 . - P. 287-296.

[171] Mueller J.L. A New Sinc-Galerkin Method for Convection-Diffusion Equations with Mixed Boundary Conditions / J.L. Mueller // Computers and Mathematics with Applications. - 2004 . - Vol. 47 . - P. 803-822.

[172] Muhammada M. Numerical solution of integral equations by means of the Sine collocation method based on the double exponential transformation / M. Muhammada, A. Nurmuhammada, M. Mori, M. Sugihara // Journal of Computational and Applied Mathematics. - 2005 . - Vol. 177 . - P. 269-286.

[173] Nelson J.D.B. A signal theory approach to support vector classification: The sine kernel / J.D.B. Nelson, R.L Damper, S.R. Gunn, B. Guo // Neural Networks. - 2009 . - Vol. 22 . - P. 49-57.

[174] Ng M.K. Fast iterative methods for symmetric sinc-Galerkin systems / M.K. Ng // Journal of Numerical Analysis. - 1999 . - Vol. 19 . - P. 357-373.

[175] Nurmuhammad A. Sinc-Galerkin method based on the DE transformation for the boundary value problem of fourth-order ODE / A. Nurmuhammad, M. Muhammad, M. Mori // Journal of Computational and Applied Mathematics. - 2007. - Vol. 206. - P. 17 - 26.

[176] Ogata H. A Numerical Integration Formula Based on the Bessel Functions / H. Ogata // Publ. RIMS, Kyoto Univ. . - 2005 . - Vol. 41 . - P. 949-970.

[177] Okayama T. Sinc-collocation methods for weakly singular Fredholm integral equations of the second kind / T. Okayama, T. Matsuo, M. Sugihara // Journal of Computational and Applied Mathematics. - 2010 . - Vol. 234 . - P. 1211-1227.

[178] Olevskii A. Universal sampling and interpolation of band-limited signals / A. Olevskii, A. Ulanovskii // GAFA, Geom. funct. anal. - 2008 . - Vol.

18 . - P. 1029 - 1052.

[179] Parand K. Collocation method using sine and Rational Legendre functions for solving Volterra's population model / K. Parand, Z. Delafkar, N. Pakniat, A. Pirkhedri, M.K. Haji // Commun Nonlinear Sci Numer Simulât . - 2011 . - Vol. 16 . - № 4 . - P. 1811-1819.

[180] Pesenson I.Z. Sampling, Filtering and Sparse Approximations on Combinatorial Graphs / I.Z. Pesenson, M.Z. Pesenson // Forier Anal Appl . - 2010 . - Vol. 16(6) . - P. 921-942.

[181] Plana G.A.A. Sur une nouvelle expression analytique des nombers Bernoulliens, propre a exprimer en termes finis la formule générale pour la sommation des suites / G.A.A. Plana // Academia di Torino, (1). - 1820 . - Vol. 25 . - P. 403-418.

[182] Podlevs'kyi B.M. Bilateral analog of the Newton method for determination of eigenvalues of nonlinear spectral problems / B.M. Podlevs'kyi // J. of Mathematical Sci. - 2009 . - Vol. 160 . - № 3 . - P. 357-367.

[183] Pogâny T.K. Multidimensional Lagrange-Yen-type interpolation via Kotel'nikov-Shannon sampling formulas / T.K. Pogâny // Ukrainian Mathematical Journal. - 2003 . - Vol. 55 . - № 11 . - P. 1810-1827.

[184] Qiu Y. The Best Approximation of the Sine Function by a Polynomial of Degree n with the Square Norm / Y. Qiu, L. Zhu // Journal of Inequalities and Applications. - 2010 . - Vol. 2010 . - P. 1-12.

[185] Quan P.H. Sine approximation of the heat flux on the boundary of a two-dimensional finite slab / P.H. Quan, D.D. Trong, P.N.D. Alain // Numerical Functional Analysis and Optimization. - 2006 . - Vol. 27 . - № 5-6 . - P. 685-695.

[186] Ran Q.-W. Sampling of Bandlimited Signals in Fractional Fourier Transform Domain / Q.-W. Ran, H. Zhao , L.-Y. Tan, J. Ma // Circuits Syst Signal Process. - 2010 . - Vol. 29 . - P. 459-467.

[187] Rashidinia J. Convergence of approximate solution of system of Fredholm integral equations / J. Rashidinia, M. Zarebnia //J. Math. Anal. Appl. - 2007 . - Vol. 333 . - P. 1216-1227.

[188] Rashidinia J. New approach for numerical solution of Hammerstein integral equations / J. Rashidinia, M. Zarebnia // Applied Mathematics and Computation. - 2007 . - Vol. 185 . - P. 147-154.

[189] Rashidinia J. Solution of a Volterra integral equation by the Sinc-collocation method / J. Rashidinia, M. Zarebnia // Journal of Computational and Applied Mathematics . - 2007 . - Vol. 206 . - P. 801 -813.

[190] Rashidinia J. The numerical solution of integro-differential equation by means of the Sine method / J. Rashidinia, M. Zarebnia // Applied Mathematics and Computation. - 2007 . - Vol. 188 . - P. 1124-1130.

[191] Rieger C. Sampling inequalities for infinitely smooth functions, with applications to interpolation and machine learning / C. Rieger, B. Zwicknagl // Adv. Comput. Math. . - 2010 . - № 32 . - P. 103-129.

[192] Saucan E. Sampling and reconstruction of surfaces and higher dimensional manifolds / E. Saucan, E. Appleboim, Y.Y. Zeevi //J. Math. Imaging Vis. - 2008 . - Vol. 30 . - P. 105-123.

[193] Schmeisser G. Sine Approximation with a Gaussian Multiplier / G. Schmeisser, F. Stenger // Sampling Theory in Signal and Processing. -2007 . - Vol. 6 . - № 2 May . - P. 199-221.

[194] Schmeisser G. Approximation of Entire Functions of Exponential Type by Trigonometric Polynomials / G. Schmeisser // Sampling Theory in Signal and Image Processing. - 2007 . - Vol. 1 . - № 1 Jan . - P. 0-50.

[195] Seip K. An irregular sampling theorem for functions bandlimited in a generalized sense / K. Seip // SIAM J. Appl. Math. . - 1987 . - Vol. 47 . - № 5 . - P. 1112-1116.

[196] Shannon C.E. A mathematical theory of communication / C.E. Shannon // Bell System Tech J. - 1948 . - Vol. 27 . - P. 379-423.

[197] Shidfar A. Application of Sinc-collocation method for solving an inverse problem / A. Shidfar, R Zolfaghari., J. Damirchi // Journal of Computational and Applied Mathematics. - 2009 . - Vol. 233 . - P. 545-554.

[198] Shores T.S. Numerical methods for parameter identification in a convection-diffusion equation / T.S. Shores // ANZIAM J. . - 2004 . -Vol. 45 (E) . - P. C660-C675.

[199] Sklyarov V.P. On the best uniform sine-approximation on a finite interval / V.P. Sklyarov // East Journal on Approximations. - 2008. -Vol. 14. - № 2. - P. 183-192.

[200] Slemp C.H. Imposing boundary conditions in Sine method using highest derivative approximation / C.H. Slemp, R.K. Kapania // Journal of Computational and Applied Mathematics . - 2009 . - Vol. 230 . - P. 371-392.

[201] Srivastava H.M. New Generating Functions for Jacobi and Related Polynomials / H.M. Srivastava, J.P. Singhal // Journal of mathematical analysis and applications . - 1973 . - Vol. 41 . - P. 748-752.

[202] Song Z. Approximation of weak sense stationary stochastic processes from local averages / Z. Song, W. Sun, S. Yang, G. Zhu // Science in China Series A: Mathematics . - 2007 . - Vol. 50 . - № 4 . - P. 457-463.

[203] Stenger F. An analytic function which is an approximate characteristic functon / F. Stenger // SIAM J. Numer. Anal. - 1975 . - Vol. 12 . - № 2 . - P. 239-254.

[204] Stenger F. Approximations, via the Whittakers cardinal function / F. Stenger // J.Approximation Theory. - 1976 . - Vol. 17 . - № 3 . - P. 222-240.

[205] Stenger F. Matrices of Sine methods / F. Stenger // Journal of Computational and Applied Mathematics. - 1997 . - Vol. 86 . - P. 297310.

[206] Stenger F. Numerical Metods Based on Sine and Analytic Functions / F. Stenger . - N.Y. : Springer Ser. Comput. Math., 20 Springer-Verlag, 1993.

[207] Stenger F. Fourier series for zeta function via Sine / F. Stenger // Linear Algebra and its Applications. - 2008 . - Vol. 429 . - P. 2636-2639.

[208] Stenger F. Polynomial function and derivative approximation of Sine data / F. Stenger // Journal of Complexity . - 2009 . - Vol. 25 . - P. 292-302.

[209] Stenger F. Periodic approximations based on sine / F. Stenger , B. Baker, C. Brewer, G. Hunter, S. Kaputerko, J. Shepherd // International Journal of Pure and Applied Mathematics . - 2008 . - Vol. 49 . - № 1 . - P. 63-72.

[210] Stenger F. Sine solution of biharmonic problems / F. Stenger, T.Cook, R.M. Kirby // Canadian applied mathematics quarterly. - 2004. - № 3. -P. 391-414.

[211] Stenger F. ODE-IVP-PACK via sine indefinite integration and Newton's method / F. Stenger, S.A. Gustafson, B. Keyes, M. O'Reilly, K. Parker

// Numerical Algorithms. - 1999. - Vol. 20. - P. 241-268.

[212] Stenzel M.B. A reconstruction theorem for Riemannian symmetric spaces of noncompact type / M.B. Stenzel //J. Fourier Anal. Appl. -2009. - № 15. - P. 839-856.

[213] Sugihara M. Near optimality of the sine approximation / M. Sugihara // Mathematics of computation . - 2002 . - Vol. 72 . - № 242 . - P. 767-786.

[214] Sugihara M. Recent developments of the Sine numerical methods / M. Sugihara, T. Matsuo // Journal of Computational and Applied Mathematics. - 2004 . - Vol. 164-165 . - P. 673-689.

[215] Sun Q. Frames in spaces with finite rate of innovation / Q. Sun // Adv. Comput. Math. . - 2008 . - Vol. 28 . - P. 301-329.

[216] Sun Q. Local reconstruction for sampling in shift-invariant spaces / Q. Sun // Adv. Comput. Math. . - 2010 . - Vol. 32 . - P. 335-352.

[217] Sun W. Characterization of local sampling sequences for spline subspaces / W. Sun, X. Zhou // Adv. Comput. Math. . - 2009 . - Vol. 30 . - P. 153-175.

[218] Tamberg G. On truncation errors of some generalized Shannon sampling operators / G. Tamberg // Numer. Algor. . - 2010 . - Vol. 55. - № 2-3. - . - P. 367-382.

[219] Tanaka K. Function classes for successful de-sinc approximations / K. Tanaka, M. Sugihara, K. Murota // Mathematics of computation. -2009. -Vol. 78. - P.1553-1571.

[220] Trif D. On sine methods for partial differential equations / D. Trif // Seminar on Fixed Point Theory Cluj-Napoca . - 2002 . - Vol. 3 . - P. 173-182.

[221] Ueno T. New spline basis functions for sampling approximations / T. Ueno, S. Truscott, M. Okada // Numer. Algor. . - 2007 . - Vol. 45 . - P. 283-293.

[222] Unser M. On the Approximation Power of Convolution-Based Least Squares Versus Interpolation / M. Unser, I. Daubechies // IEEE Transactions on signal processing,. - 1997 . - Vol. 45 . - № 7 . - P. 1697-1711.

[223] Voss J.J. A Sampling Theorem with Nonuniform Complex Nodes / J.J. Voss // J. Approx. Theory . - 1997 . - Vol. 90:2 . - P. 235-254.

[224] Walter G.G. Wavelets based on prolate spheroidal wave functions / G.G. Walter, X. Shen // The Journal of Fourier Analysis and Applications.

- 2004. - Vol. 10. - № 1. - P. 1-26.

[225] Wang J. On multisymplecticity of Sinc-Gauss-Legendre collocation discretizations for some Hamiltonian PDEs / J. Wang // Applied Mathematics and Computation . - 2008 . - Vol. 199 . - P. 105-121.

[226] Weissel F. Stochastic Optimal Control based on Value-Function Approximation using Sine Interpolation / F. Weissel, M.F. Huber, D. Brunn, U.D. Hanebeck // Proceedings of the 17th World Congress International Federation of Automatic Control. - Seoul, Korea . - 2008. -July 6-11 . - P. 8009 - 8014.

[227] Whittaker E.T. On the functions which are represented by expansions of the interpolation-theory / E.T. Whittaker // Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A . - 1914-1915 . - Vol. 35 . - № 2 . - P. 181-194.

[228] Wu X. Sine collocation method with boundary treatment for two-point boundary value problems / X. Wu, W. Kong, C. Li // Journal of Computational and Applied Mathematics. - 2006 . - Vol. 196 . - P. 229

[229] Young R.M. An introduction to nonharmonic Fourier series / R.M. Young . - New York : Academic Press. . - Pure Appl. Math., 1980 . -Vol. 93

[230] Zakeri G. Sine collocation approximation of non-smooth solution of a nonlinear weakly singular Volterra integral equation / G. Zakeri, M. Navab // Journal of Computational Physics. - 2010 . - Vol. 229 . - P. 6548-6557.

[231] Zarebnia M. Sine numerical solution for the Volterra integro-differential equation / M. Zarebnia // Commun Nonlinear Sci Numer Simulat. - 2010 . - Vol. 15 . - P. 700-706.

[232] Zarebnia M. Numerical solution of system of nonlinear second-order integro-differential equations / M. Zarebnia, M.G.A. Abadi // Computers and Mathematics with Applications . - 2010 . - Vol. 60 . - P. 591-601.

[233] Zayed A. A generalized sampling theorem with the inverse of an arbitrary square summable sequence as sampling points / A. Ziayed // J. Fourier Analysis and Applications. - 1996 . - Vol. 2 . - № 3 . - P. 303-314.

[234] Zayed A.I. On Lagrange interpolation and Kramer-type sampling theorems associated with Sturm-Liouville problems / A.I. Zayed, G. Hinsen, P.L. Butzer // SIAM J. Appl. Math. - 1990 . - Vol. 50 . -№ 3 . - P. 893-909.

[235] Трынин А.Ю. Критерии поточечной и равномерной сходимости синк-приближений непрерывных функций на отрезке / А.Ю. Трынин // Математический сборник. - 2007 . - Т. 198 . - № 10 . - С. 141-158.

[236] Трынин А.Ю. Обобщение теоремы отсчётов Уиттекера-Котельникова-Шеннона для непрерывных функций на отрезке / А.Ю. Трынин // Математический сборник. - 2009 . - Т. 200 . - № 11 . - С. 61-108.

[237] Трынин А.Ю. Об операторах интерполирования по решениям задачи Коши и многочленах Лагранжа-Якоби / А.Ю. Трынин // Известия Российской Академии Наук. Серия математическая. - 2011 . - Т. 75 . -№ 6 . - С. 129-162.

[238] Трынин А.Ю. Оценки функций Лебега и формула Неваи для бшс-приближений непрерывных функций на отрезке / А.Ю. Трынин // Сибирский математический журнал. - 2007 . - Т. 48 . 5 . - С. 1155-1166.

[239] Трынин А.Ю. Об асимптотике решений и узловых точек дифференциальных выражений Штурма-Лиувилля / А.Ю. Трынин // Сибирский математический журнал. - 2010 . - Т. 51 . - № 3 Май-июнь . - С. 662-675.

[240] Трынин А.Ю. О расходимости синк-приближений всюду на(0,7г) / А.Ю. Трынин // Алгебра и анализ. - 2010 . - Т. 22 . - № 4 . - С. 232-256.

[241] Трынин А.Ю. Об отсутствии устойчивости интерполирования по собственным функциям задачи Штурма-Лиувилля / А.Ю. Трынин // Известия высш. уч-ых заведений. Математика. . - 2000 . - № 9(460) . -С. 60-73.

[242] Трынин А.Ю. Критерий равномерной сходимости бшс-приближений на отрезке / А.Ю. Трынин // Известия высш. уч-ых заведений. Математика. . - 2008 . - № 6. - С. 66-78.

[243] Трынин А.Ю. О расходимости интерполяционных процессов Лагранжа по собственным функциям задачи Штурма-Лиувилля / А.Ю. Трынин // Известия высш. уч-ых заведений. Математика. . - 2010 . - № 11 . - С. 74-85.

[244] Трынин А.Ю. Дифференциальные свойства нулей собственных функций задачи Штурма-Лиувилля / А.Ю. Трынин // Уфимский математический журнал. - 2011 . - Т. 3 . - № 4 . - С. 133-143.

[245] Trynin A.Yu. Error of sine approximation of analytic functions on an interval / A.Yu. Trynin, V.P. Sklyarov // Sampling Theory in Signal and Image Processing. - 2008 . - T. 7 . - № 3, Sep. . - P. 263-270.

[246] Трынин А.Ю. Об оценке аппроксимации аналитических функций интерполяционным оператором по синкам / А.Ю. Трынии // Математика. Механика. - Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2005 . - Т. 7 . - С. 124-127.

[247] Трынин А.Ю. Принцип локализации для процессов Лагранжа-Штурма-Лиувилля / А.Ю. Трынин // Математика. Механика. - Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2006 . - Т. 8 . - С. 137-140.

[248] Трынин А.Ю. Об одном интегральном признаке сходимости процессов Лагранжа-Штурма-Лиувилля / А.Ю. Трынин // Математика. Механика. - Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2007 . - Т. 9 . - С. 94-97.

[249] Трынин А.Ю. Существование систем Чебышёва с ограниченными константами Лебега интерполяционных процессов / А.Ю. Трынин // Математика. Механика. - Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2008 . - Т. 10 . - С. 79-81.

[250] Трынин А.Ю. Пример системы Чебышёва с почти всюду сходящейся к нулю последовательностью функций Лебега интерполяционных процессов / А.Ю. Трынин // Математика. Механика. - Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2009 . - Т. И . - С. 74-76.

[251] Трынин А.Ю. Об одном признаке типа Дини-Липшица сходимости обобщённых интерполяционных процессов Уиттекера-Котельникова-Шеннона / А.Ю. Трынин, И.С. Панфилова // Математика. Механика. - Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2010 . - Т. 12 . - С. 83-87.

[252] Трынин А.Ю. О расходимости интерполяционных процессов Лагранжа по узлам Якоби на множестве полной меры / А.Ю. Трынин, И.С. Панфилова // Математика. Механика. - Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2010 . - Т. 12 . - С. 87-91.

[253] Трынин А.Ю. О необходимых и достаточных условиях равномерной и поточечной сходимости интерполяционных процессов по "взвешенным" многочленам Якоби / А.Ю. Трынин // Математика. Механика. - Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2011 . - Т. 13 . - С. 96-100.

[254] Трынин А.Ю. О равномерной сходимости интерполяционных процессов Лагранжа-Штурма-Лиувилля / А.Ю. Трынин ; Саратовский унт. . - 1991. - С. 1-32. - Деп. в ВИНИТИ 26.04.91, №1763-В91.

[255] Трынин А.Ю. Об одном признаке сходимости интерполяционных процессов Лагранжа-Штурма-Лиувилля / А.Ю. Трынин ; Саратовский ун-т . - 1991 . - С. 1-33. - Деп. в ВИНИТИ 27.05.91, №2201-В91.

[256] Трынин А.Ю. О полноте линейных комбинаций синков в С[0,7г] / А.Ю. Трынин // Материалы международной конференции „Современные проблемы математики, механики и их приложений", посвящённой 70-летию ректора МГУ академика В.А. Садовничего. 30 марта - 02 апреля 2009 года . - Москва: Изд-во Московского ун-та, 2009 . - С. 98-99.

[257] Трынин А.Ю. Об асимптотических формулах для значений некоторых линейных дифференциальных операторов второго порядка / А.Ю. Трынин // Материалы международной конференции „Современные проблемы математики, механики и их приложений", посвящённой 105-летию С.М. Никольского. 17 - 19 мая 2010 года. - Москва: Изд-во Московского ун-та, 2010 . - С. 38.

[258] Трынин А.Ю. О расходимости синк-приближений всюду на (0,7г)

/ А.Ю. Трынин // Тезисы международной конференции „Современные проблемы математики, механики и их приложений", посвященной 90-летию С.Б. Стечкина. 23 - 26 августа 2010 года . - Москва: Изд-во Московского ун-та, 2010 . - С. 75-76.

[259] Трынин А.Ю. Дифференциальные свойства нулей собственных функций задачи Штурма-Лиувилля / А.Ю. Трынин // Сборник тезисов международной конференции „Дифференциальные уравнения и смежные вопросы", посвященной 110-летию И.Г. Петровского. 30 мая - 4 июня 2011 года . - Москва: Изд-во Московского ун-та, 2011 . - С. 370-371.

[260] Трынин А.Ю. Об интегральных признаках сходимости интерполяционных процессов Лагранжа по собственным функциям задачи Штурма-Лиувилля / А.Ю. Трынин // Тезисы докладов 8 Саратовской зимней школы „Современные проблемы теории функций и их приложения". 30 января - 6 февраля 1996 года . - Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1996 . - С. 113-114.

[261] Трынин А.Ю. Дифференциальные свойства нулей собственных функций задачи Штурма-Лиувилля / А.Ю. Трынин // Тезисы докладов

9 Саратовской зимней школы „Современные проблемы теории функций и их приложения". 26 января - 1 февраля 1998 года . - Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 1997 . - С. 156.

[262] Трынин А.Ю. Об аппроксимации аналитических функций операторами Лагранжа-Штурма-Лиувилля / А.Ю. Трынин // Тезисы докладов

10 Саратовской зимней школы „Современные проблемы теории функций и их приложения". 27 января - 2 февраля 2000 года . - Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2000 . - С. 140-141.

[263] Трынин А.Ю. Асимптотическая формула для потенциала с ограниченным изменением / А.Ю. Трынин // Тезисы докладов 11 Саратовской зимней школы „Современные проблемы теории функций и их приложения", посвящённой памяти выдающихся профессоров МГУ Н.К. Бари и Д.Е. Меньшова. 28 января - 4 февраля 2002 года . - Саратов: Изд-во „Колледж", 2002 . - С. 211-212.

[264] Трынин А.Ю. Критерии равномерной сходимости синк-приближений на отрезке / А.Ю. Трынин // Тезисы докладов 13 Саратовской зимней школы „Современные проблемы теории функций и их приложения". 27 января - 3 февраля 2006 года. - Саратов : Изд-во „Научная книга", 2006 . - С. 176-178.

[265] Трынин А.Ю. Одно обобщение теоремы дискретизации / А.Ю. Трынин // Тезисы докладов 14 Саратовской зимней школы „Современные проблемы теории функций и их приложения", посвящённой памяти академика П.Л. Ульянова. 28 января - 4 февраля 2008 года . -Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2008 . - С. 189-190.

[266] Трынин А.Ю. Об одном обобщении теоремы Уиттекера-Котельиикова-Шеннона / А.Ю. Трынин // Тезисы докладов 15 Саратовской зимней школы „Современные проблемы теории функций и их приложения", посвящённой 125-летию со дня рождения В.В. Голубева и 100 летию СГУ. 28 января - 4 февраля 2010 года. - Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2010 . - С. 175-176.

[267] Трынин А.Ю. О равносходимости операторов интерполирования по решениям задачи Коши и многочленов Лагранжа-Якоби / А.Ю. Трынин // Материалы 16 Саратовской зимней школы „Современные проблемы теории функций и их приложения". 27 января - 3 февраля 2012

года . - Саратов : Изд-во „Научная книга" , 2012 . - С. 178-179.

[268] Трынин А.Ю. Функция Грина интерполяционного оператора Лагранжа-Штурма-Лиувилля / А.Ю. Трынин // Материалы школы-конференции, посвященной 130-летию со дня рождения Д.Ф. Егорова „Теория функций её приложения и смежные вопросы". 13-18 сентября 1999 года. Труды математического центра им. Н.И. Лобачевского . -Казань: Изд-во Казанского мат. общества, 1999 . - С. 228.

[269] Трынин А.Ю. Об оценке аппроксимации аналитических функций одним интерполяционным оператором / А.Ю. Трынин // Материалы Седьмой международной Казанской летней научной школы-конференции „Теория функций её приложения и смежные вопросы". 27 июня - 4 июля 2005 года. Труды математического центра им. Н.И. Лобачевского . - Казань: Изд-во Казанского мат. общества, 2005. - Т. 30. - С. 155-156.

[270] Трынин А.Ю. О константах Лебега интерполяционных процессов по системам Чебышёва / А.Ю. Трынин // Материалы Восьмой международной Казанской летней научной школы-конференции „Теория функций её приложения и смежные вопросы". 27 июня - 4 июля 2007 года. Труды математического центра им. Н.И. Лобачевского . - Казань: Изд-во Казанского мат. общества, 2007. - Т. 35 . - С. 248-249.

[271] Трынин А.Ю. О расходимости почти всюду процессов Лагранжа-Штурма-Лиувилля / А.Ю. Трынин // Материалы Девятой международной Казанской летней научной школы-конференции „Теория функций её приложения и смежные вопросы". 1-7 июля 2009 года. Труды математического центра им. Н.И. Лобачевского. - Казань: Изд-во Казанского мат. общества, 2009. - Т. 38 . - С. 284-285.

[272] Трынин А.Ю. Критерии равномерной сходимости процессов Лагранжа по "взвешенным"' многочленам Якоби / А.Ю. Трынин // Материалы Десятой международной Казанской летней научной школы-конференции „Теория функций её приложения и смежные вопросы". 1 - 7 июля 2011 года. Труды математического центра им. Н.И. Лобачевского . - Казань: Изд-во Казанского мат. общества, 2011. - Т. 43 . - С.

[273] Трынин А.Ю. О необходимых и достаточных условиях сходимости синк-аппроксимаций на отрезке / А.Ю. Трынин // Тезисы докладов „VII Международный симпозиум Ряды Фурье и их приложения". 27 мая - 3 июня 2012 года. - Ростов-на-Дону: Изд-во Южного федерального университета, 2012 . - С. 36-37.

[274] Трынин А.Ю. Об устойчивости задачи интерполирования по собственным функциям задачи Штурма-Лиувилля / А.Ю. Трынин // Тезисы докладов Воронежской зимней математической школы „Современные методы теории функций и смежные вопросы". 25 января - 1 февраля 1995 года . - Воронеж : Изд-во Воронеж, ун-та, 1995 . - С. 231.

[275] Трынин А.Ю. Оценки снизу функций и констант Лебега интерполяционных процессов Лагранжа-Штурма-Лиувилля / А.Ю. Трынин // Тезисы докладов Воронежской зимней математической школы „Современные методы теории функций и смежные вопросы". 27 января - 4 февраля 1999 года . - Воронеж: Изд-во Воронеж, ун-та, 1999 . - С. 190.

341-344.