Неравенства для полиномов и рациональных функций на подмножествах комплексной плоскости тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, доктор наук Калмыков Сергей Иванович

• Калмыков Сергей Иванович
• доктор наук
• 2025

Оглавление диссертации доктор наук Калмыков Сергей Иванович

1.1. Основные понятия

1.2. Принципы мажорации

1.3. Свойства плотности равновесных мер множеств на прямой и окружности

1.4. Равномерная сходимость функций Грина

1.5. Непрерывность логарифмической емкости

Глава 2. Неравенства для полиномов и рациональных функций, нормированных на отрезке и дуге окружности

2.1. Полиномы Чебышева и их рациональные аналоги

2.2. Неравенства для полиномов и рациональных функций на дуге окружности

2.3. Сравнение дискретной и равномерной норм полиномов

на отрезке и дуге окружности

2.4. Оценки модуля рациональных функций

2.5. Многоточечные теоремы искажения

Глава 3. Асимптотически точные неравенства

3.1. Оценки для функций Грина

3.2. Грубые оценки бернштейновского типа

3.3. Быстро убывающие многочлены

3.4. Неравенство типа Гончара-Григоряна

3.5. Асимптотически точное неравенство марковского типа

3.6. Неравенства бернштейновского типа для производных высокого порядка

3.7. Асимптотически точные неравенства для рациональных функций

3.8. Вспомогательные утверждения

3.9. Неравенства бернштейновского типа на аналитической кривой

3.10. Неравенство бернштейновского типа на аналитических дугах

3.11. Неравенство бернштейновского типа на С2 -гладких дугах

3.12. Неравенство бернштейновского типа на С2-гладких кривых Жордана

3.13. Неравенство бернштейновского типа для старших производных

3.14. Неравенство марковского типа для старших производных

3.15. Доказательство точности неравенства бернштейновского типа

3.16. Точность неравенства марковского типа

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Неравенства для полиномов и рациональных функций на подмножествах комплексной плоскости»

Введение

Актуальность темы. В настоящей работе рассматриваются недавние результаты в теории потенциала и их приложения к получению неравенств для полиномов и рациональных функций.

Значимый вклад в изучение дифференциальных неравенств и соот-ветсвующих экстремальных свойств полиномов, рациональных функции и их обобщений в свое время внесли такие математики, как А. Азиз, В. В. Арестов, Н. И. Ахиезер, В. Ф. Бабенко, С. Н. Бернштейн Р. Боас, П. Борвейн, А. К. Варма, В. С. Виденский, П. Ю. Глазырина, Т. Г. Ген-чев, Н. К. Говил, В. И. Данченко, В. К. Джайн, B. К. Дзядык, Е. П. Дол-женко, В. Н. Дубинин, А. Еременко, М. А. Кази, С. В. Конягин, Кс. Ли,

A. Л. Лукашов, М. А. Малик, А. А. Марков, В. А. Марков, Г. В. Милова-нович, Д. Мин, Р. Н. Мохапатра, Д. Ньюман, А. В. Олесов, А. А. Пекарский, Ф. Пехерстофер, Р. Пирре, Т. Разиз, К. И. Рахман, Т. Дж. Ривлин,

B. Н. Русак, Г. Сеге, С. Б. Стечкин, П. Туран, И. Шур, П. Эрдеш и много-гие другие. История вопроса подробно представлена, например, в книгах [59], [66], [107] и обзорных статьях [22] и [83].

В 1912 г С. Н. Бернштейн в работе [56] доказал свое знаменитое неравенство, которое сейчас записывается как

T'n(в) ^ nsup \Tn(t)\, в е R, (1)

t

где

Tn(t) = a0 + (ai cos t + b1 sint) + • • • + (an cos nt + bn sinnt) —

произвольный тригонометрический полином степени не выше n. Равенство достигается для Tn(t) = sin nt и в = 0. Для произвольного тригонометрического многочлена С. Н. Бернштейн получил оценку с константой 2n вместо n, у него она была получена отдельно для четных и нечетных тригонометрических полиномов. Вскоре правильная константа была найдена Э Ландау и М. Рисом (см. [111]).

Если

Pn(x) = a„xn + an-ixn—1 +----+ ao -

алгебраический полином степени не выше n, то P(cos t) - тригонометрический многочлен степени не выше n и неравенство (1) дает

n

\P'n(x)| ^ WPnWi-n], x е (-1,1), (2)

которое называют неравенством С. Н. Бернштейна для алгебраических полиномов.

При приближении к концам отрезка [-1,1] правая часть неравенства (2) неограниченно возрастает и данное неравенство не дает никакой информации о величине \ P'(x) \. В 1889 году, отвечая на вопрос, поставленный химиком Д. И. Менделеевым, о такого рода оценке, А. А. Марков [41] доказал, что если Pn(z) - алгебраический полином степени n, то

max IP'(x)| ^ n2 max |Pn(x)|.

Равенство в этом неравенстве достигается для полинома Чебышева первого рода.

В 1960 г В. С. Виденский в [4] получил аналог неравенства (1) для тригонометрических полиномов на интервале, меньше чем период: если в е (0, п), то для 0 е (—в,в) имеет место неравенство

\Tn(0)\ < n , cos0/2 WTnW—вА- (3)

sin2 в - sin2 в/2

Это неравенство допускает обобщение, являющееся частным случаем более общего результата А.Л. Лукашова [40] (см. также [124]), может быть переписано в терминах теории потенциала следующим образом:

\Т'п(0)| ^ п2жшгЕ(e )\\Тп\\в, (4)

где

Ге := [eu : t е E}

для 2п-периодического замкнутого множества Е с К, а (•) обозначает плотность равновесной меры компакта К.

Этот результат точный, так как (см. [124]) если О е Ш;(Е), то существуют тригонометрические полиномы Тп ф 0 степени не выше п = 1,2,..., такие, что

ТП(О)| ^ (1 - а(1))п2пигЕ(вгв)\\Тп\\Е,

где величина о(1) стремится к 0 при п ^ ж.

Что касается алгебраических многочленов, нормированных на компактах вещественной оси, то независимо М. Бараном [55] и В. Тотиком [119] было доказано, что если Е с К - компактное множество, то для алгебраических полиномов Рп степени не выше п имеет место неравенство

Р(х)| ^ ПЖШЕ(х)\\Рп\\е, х е 1Ы(Е). (5)

Неравенство (5) точно, так как если хо - произвольная точка множества Ш;(Е), то существуют алгебраические многочлены степени не выше п = 1 ,2, . . . такие, что

Р(хо)| ^ (1 - о(1))пПШЕ(хо)\\Рп\\е.

В случае Е = [—1,1] неравенство (5) совпадает с (2), так как ^—1,1] = 1/(п^1 — X2).

В случае вещественных полиномов верно неравенство типа Бернштейна-Сегё [117] (см. также [122])

/Р(хи + п2Рп(х)2 < п2\\Рп\\Е, х е Ш:(Е).

\ пиЕ

На компактных подмножествах единичной окружности справедлив полный аналог неравенства (2) (см. [99] и [100]). Так, если Е - такой компакт, а г е IntE, тогда для алгебраических полиномов РП степени не

выше п = 1,2,..., верно неравенство

п

Р(г)1 ^ ~(1 + 2пшеШрп\\е, 6

которое точно в упомянутом выше смысле.

Неравенство берштейновского типа на конечном объединении С2-гладких кривых Жордана К было получено Б. Надем и В. Тотиком в [98]. Так для полинома Рп степени не выше п справедливо неравенство

\\Р'п(г)|| < (1 + о(1))п2п^к(г)\\Рп\\к, * е К.

Это неравенство также асимптотически точное. Его доказательство существенно опирается на уточненную версию теоремы Гильберта о лемнискате [98], поэтому случай жордановой дуги требовал развития нового подхода, представленного в диссертации.

Пусть теперь Е = ит^»—!^»], где а\ < а2 < ••• < ат Когда речь заходит об аналогах неравенства Маркова для Е, то понимается локальное неравенство вблизи каждого из концов отрезков, составляющих Е, так во внутренних точках порядок роста верхней оценки п вместо п2. Ясно также, что каждая концевая точка дает разный вклад. Пусть а3 - одна из концевых точек множества Е и пусть Е3 - часть Е, которая лежит ближе к а^, чем к остальным концевым точкам. Пусть М) - наименьшая константа такая, что имеет место

ЮЕ ^ (1 + о(1))М3п2\\Рп\\Е, deg(Pn) ^ п,п = 1,2,...,

где о(1) стремится к нулю при п ^ 0 и не зависит от Рп. Как было показано в [119]

М3 = 2п202, $ = 1,..., 2т,

здесь

гт—!

О := Кт \ \Ь — а3\шЕ(£) =

1 п т11 а—ь \

где Ь», ъ = 1,2,... ,т — 1, находятся из условий

г"2>+1 пт—ч* - &

"" п—а,\

с!п = 0, $ = 1,... ,т — 1.

Случаю двух отрезков посвящена, например, более ранняя работа [57]. Асимптотически точные неравенства марковского типа для тригонометрических полиномов были рассмотрены в [124].

Следующим шагом является рассмотрение компактов более общего вида, чем конечный набор отрезков. Например, компактов с бесконечным числом компонент связности, но имеющими концевую точку, в окрестности которой оценивается производная многочлена.

Что касается дифференциальных неравенств для рациональных функций, то упомянем результат Борвейна-Эрдеи для случая единичной окружности (см. [60] и [59, теорема 7.1.7]).

Пусть а1,... ,ат е C \ Т,

B+ £ fe!• Bm (v)= £ 1

12

Uj - v\2' mW' ^ a - v\2'

a!>1 1 j 1 \aj\<i 1 j 1

и Bm (v) : = max (Bm (v), Bm (v)). Если P полином степени не выше m,

m

j=i(v - U, \Rfm (v) \ ^ Bm (v) \\Rm\\T, v E T.

а Ят (у) = Р (у) / Пт=1 (у — аз) - рациональная функция, тогда

Ранее более слабое неравенство было доказано В.Н. Русаком (см. [50]). А в этой форме независимо получено С. Ли, Р.Н. Мохапатрой, Р.С. Род-ригесом [91] с помощью специальных интерполяционных формул (см., также [92] и [5]).

На одном отрезке неравенство бернштейновского типа было получено В.Н. Русаком [49, теорема 1], [50], затем переоткрыто в [58] и уточнено в [60] (см. [59]):

к(х)1 < у/1 — (х) 2, х е (—1,1),

Р

где Яп (х) = — п ; здесь числа ак - либо действительные и

уП1п=1(1 + акх)

1ак I < 1, либо попарно комплексно-сопряженные, многочлен РП веще-

ственный, а

На нескольких отрезках аналогичные результаты были получены А.Л. Лукашовым для алгебраических дробей (обобщения рациональных функций) и рационально-тригонометрических функций в работе [40].

Неравенство для старшей производной алгебраического многочлена было доказано В.А. Марковым [94].

С равенством в случае полинома Чебышева первого рода.

Если множество Е опять представляет собой объединение конечного числа отрезков, то верно следующее асимптотически точное неравенство для алгебраических многочленов [128]

Представление аналогичного результата для тригонометрических полиномов, распространенного на компакты более общего вида, потребовало построения специальных быстро убывающих многочленов, о которых пойдет речь ниже.

В случае одного отрезка или одной дуги окружности уточнение неравенств берштейновского типа удается получить, следуя подходу, предложенному В.Н. Дубининым в работах [14],[15], [16]. Сам подход состоит в применении методов и результатов геометрической теории функций к подходящим образом построенным по заданным полиномам или рациональным функциям вспомогательных однолистных или многолистных отображений. Зачастую уточнение возникает благодаря участию коэффициентов многочлена (рациональной функции) в полученном неравенстве. Так например, неравенство Бернштейна-Сеге для вещественных

п2(п2 — 1)(п2 — 22)... (п2 — (к — 1)2)

1 • 3 ••• (2к — 1)

,,, 2 п М

РПк) \Е < (1+ о(1)) Рп\\Е.

2к п2к М2к

многочленов, о котором уже шла речь выше, при ||РП||[—1;1] принимает вид:

где сп - старший коэффициент вещественного многочлена Рп степени п. Данный подход оказался эффективным и в случаях, когда полиномы рассматривались с некоторым весом на отрезке (см. [27], [23]). В роли экстремальных многочленов выступали полиномы Чебышева соответствующего рода. В качестве следствий, например, было получено неравенство Шура, а также его аналог

Что касается точных неравенств на нескольких отрезках, то свою эффективность показал прием, основанный на применении принципа ма-жорации для мероморфных функций (см. [19], [24], [28]). Этот принцип непосредственно дополняет классический принцип Линделефа. Кроме того он позволят сформулировать утверждения о случаях равенства в терминах накрытий, которые порой оказывается удобно проверять.

Получение асимптотически точных неравенств существенно используют свойства функций Грина соответствующих областей. Некоторые из таких свойств представляют отдельный интерес. Так, хорошо известно, что монотонная сходимость областей (т.е., 0,п С Пп+1. или 0,п э Пп+1. для всех п) влечет поточечную сходимость их функций Грина; кроме того, эта сходимость равномерная внутри предельной области [64, с. 94]. Естественно поставить вопрос, когда еще имеет место равномерная сходимость. Как видно ниже, на этот вопрос удается ответить при наложении ограничений на размерность пространства, регулярность границы и равномерной ограниченности числа компонент дополнения.

Вопрос возможности снятия последнего ограничения мотивирован, в том числе, следующими более ранними исследованиями. В 1961 г. Геринг доказал, что конформный модуль плоских колец непрерывен при

сходимости по Хаусдорфу граничных компонент [68], затем он распространил этот результат на модули пространственных колец [69]. В.В. Асеев [1] доказал непрерывность емкости конденсатора при сходимости пластин по Хаусдорфу и дополнительном условии, что пластины равномерно совершенны с одной и той же константой. В.В. Асеев и О.А. Лазарева [2] доказали аналогичный результат для логарифмической емкости множеств. Более общая теорема Асеева использует понятие сильной сходимости. Несмотря на то, что в этом случае можно опустить условие равномерного совершенства множеств, эта теорема не покрывает естественно возникающий случай, когда параметры равномерного совершенства не отделены от нуля. Этот случай также рассмотрен в данной диссертации.

При изучении рациональных функций на жордановой кривой мы сводим задачу к модельному случаю, в котором мы применяем неревенство Борвейна-Эрдейи на единичной окружности к специальным образом построенной рациональной функции. Построение такой функции основано на применении результатов типа Гончара-Григоряна. Такого рода результаты восходят к работе Э. Ландау (см. [89, с. 26-28]), где он рассматривая регулярные функции в единичном круге D с \\f ||öD ^ 1, показал, что модуль суммы первых n коэффициентов ряда Маклорена таких функций имеет рост порядка log n. Л. Д. Григорян обобщил этот результат следующим образом (см. [72]). Рассмотрим мероморфные функции в единичном круге с полюсами в некотором компактом подмножестве единичного круга. Тогда рост нормы на единичной окружности суммы главных частей разложения имеет порядок log n. Легко видеть, что в случае, когда точка 0 - геометрически единственный полюс получаем результат Ландау В более общем случае, в односвязной области с гладкой границей, когда нет ограничений на расположение полюсов, имеет место линейный рост вместо логарифмического (см. [12]). В рамках данного исследования также уделено внимание такого рода результатам в слу-

чае многосвязных областей с целью использования этих оценок в будущих работах, посвященных дифференциальным неравенствам для рациональных функций.

Быстро убывающие многочлены играют важную роль как при доказательствах полиномиальных неравенств, так и в других областях математического анализа, например, в теории аппроксимации, теории ортогональных многочленов и проблемах моментов (см. [90], [75], [118], [121], [123], [127], [87]). Если такие полиномы рассматриваются на отрезке [—1,1], то от таких полиномов требуется, чтобы они принимали значение 1 в начале координат и быстро убывали на [—1,1] \ {0} в том смысле, что

Р(0) = 1, \Р(х)\ < в—ф(х\ х е [—1,1],

где ф - заданная четная функция, которая также зависит от степени полинома Р.

Также полезным во многих случаях является следующий факт (см. [112, Следствие 3.6, с. 326]). Пусть J1 и - два непересекающихся компактных множества на вещественной оси, содержащиеся в отрезке J. Тогда найдется константа с, 0 < с < 1, и для каждого достаточно большого числа т существуют полиномы Ят степени не выше т такие, что

\Ят(х)\ < Ст для X е \Ят (х) — 1\ < Ст для X е J2

и

0 ^ Ят(х) ^ 1 для х е J.

Оценкам роста полиномов и рациональных функций посвящено большое количество работ (см., например, статьи [53], [9],[71], [106],[113], а также монографию [107, глава 12] и библиографию в них). Классическим является неравенство

max \p(z)\ ^ pn\\p\\,

\z\=p^l

справедливое для всех полиномов класса РП• Если также известно, что у полинома, указанного класса, нет нулей в единичном круге, то справедливо неравенство Анкени-Ривлина [53]

, / м РП + 1,, и

max p(z) ^-\\p\\.

Усиление этого неравенства было получено в работе [18].

Для рациональных функций r(z) = Pn(z)/Pm(z) c комплексными коэффициентами и полюсами во внешности единичного круга справедливо неравенство (см. [71], [10])

|r(z)| < \z|(m-n)+ \B(z)| ||r||, \z\ > 1, (6)

где B (z) - произведение Бляшке с соответствующими полюсами. Равенство в (6) достигается при r(z) = zкB(z), k G No. Если дополнительно у рациональной функции класса r(z) нет нулей в единичном круге, то имеет место неравенство

|r(z)| < lB(z2| + 1 Ы, lz\ > 1, (7)

с равенством для функции r(z) = aB(z) + в, где \a\ = \в\ (см. [71]).

Такие оценки роста допускают уточнения при дополнительных ограничениях на рациональные функции и участии коэффициентов. Такие уточнения также представлены в работе.

Е. Рахманов и Б. Шехтман в работе [108] установили неравенство

max \PИ\ ^ Л+ Clog —— ^ max\P(z)\ (8)

wN=1 V N - п) \z\=1

для алгебраических полиномов P (z) G Vcn и натуральных N > п, где абсолютную константу C можно оценить числом 16.

Немного позднее Т. Шейл-Смолл в статье [114] показал, что справедлива оценка _

N -и

тах \РИ\ —— тах\Р(г)\. (9)

т" = 1 V N \г\=1

В.Н. Дубинин доказал неравенство

пи

тах \Р^ со^тах\Р(г)\, (10)

т" =1 \г\=1

равенство в котором достигается в случае Р(г) = (г ехр(^п/N))п + 1 и любого N, кратного и (см. [20, 21]).

Неравенство (8) лучше, чем неравенство (9) при и/N близких к единице, но хуже оценки Т. Шейл-Смолла при малых значениях и/N. При и < N < 2и оценка (10) хуже оценки (9). В случае N = 2и оценки (9) и (10) совпадают, а при N > 2и неравенство (10) усиливает неравенства (8) и (9) (см. [20,21]).

Из работ, посвященных оценкам, в которых участвует дискретная норма на интервале (—1,1), отметим работу Д. Копперсмита и Т. Ривли-на [62], а также недавнюю статью Е. Рахманова [109]. В основе доказательств зачастую лежат неравенства для производных полиномов на соответствующих множествах. Интерес представляет аналогичный вопрос в случае дуги единичной окружности.

Цели и задачи исследования. Целью диссертационной работы является решение ряда задач, связанных с теорией потенциала и неравенствами для полиномов и рациональных функций. Для достижения этой цели в диссертации рассматриваются следующие основные задачи.

1) Получить асимптотически точные неравенства берштейновского и марковского типов в том числе и высоких порядков для рациональных функций для жордановой кривой и жордановой дуги.

2) Ответить на вопрос В. Тотика об оценке сверху производной полинома на жордановой дуге.

3) Доказать неравенства марковского типа для тригонометрических многочленов, рассмотренных на компактах, к которым предъявляется только требование наличия концевой точки.

4) Обобщить и дополнить в различных направлениях известные точные результаты для полиномов и рациональных функций.

5) Изучить свойства сходимости функций Грина и логарифмических емкостей.

6) Развить ключевые приемы, примененные в вышеупомянутых пунктах, представляющие самостоятельный интерес, например, построение быстро убывающих многочленов с заданными свойствами.

Методы исследования. В диссертации используются методы вещественного анализа, геометрической теории функций комплексного переменного, теории потенциала, теорий аппроксимации и интерполяции.

Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем.

1) Доказаны асимптотически точные неравенства бернштейновского и марковского типов для рациональных функций, нормированных на С2-гладкой кривой и дуге Жордана.

2) Получены асимптотически точные неравенства бернштейновского и марковского типов для старших производных тригонометрических многочленов, рассматриваемых на компактах достаточно общего вида.

3) Доказаны точные неравенства для производных рациональных функций с весами на единичном отрезке, с равенством в случае соответствующего рационального аналога полинома Чебышева.

4) Доказаны точные неравенства бернштейновского типа для полиномов и рациональных функций, нормированных на дугах окружности. В качестве приложения приведено сравнение дискретных и равномерных норм полиномов на дуге окружности.

5) Получены новые двух- и трехточечные теоремы искажения для полиномов и рациональных функций.

6) Доказаны уточненные теоремы о росте рациональных функций.

7) Построены быстро убывающие алгебраические и тригонометрические многочлены с предписанными нулями.

8) Доказано неравенство типа Гончара-Григоряна для многосвязной области с гладкой границей.

9) Изучен вопрос о равномерной сходимости функций Грина областей, сходящихся в смысле ядра.

10) Найдено условие сходимости емкостей последовательности компактов.

Теоретическая и практическая ценность. Основные результаты диссертации носят теоретический характер и могут найти применение в теории аппроксимации, теории ортогональных многочленов и рациональных функций, геометрической теории функций.

Разделы диссертации могут составить содержание специальных курсов для студентов высших учебных заведений и аспирантов, обучающихся по специальности „Математика".

Апробация работы. Результаты диссертационного исследования докладывались и обсуждались на следующих семинарах:

• научный семинар Дальневосточного федерального университета и Института прикладной математики ДВО РАН по математическому

анализу под руководством чл.-корр. РАН, профессора В.Н. Дубинина, ежегодно.

• научный семинар Университета Вюрцбурга по комплексному анализу под руководством профессора О. Рота, 2011 г.

• научный семинар Технического университета Берлина по анализу и линейной алгебре под руководством профессора О. Гольц, 2012.

• научный семинар Университета Гонконга по математическому анализу под руководством профессора Т.В. Нга, 2012.

• научный семинар Университета Сегеда по математическому анализу под руководством академика Венгерской АН профессора В. То-тика, 2013,2018, 2019 гг.;

• научный семинар Будапештского университета технологии и экономики по математическому анализу под руководством профессора А. Хорват и А. Кроо, 2014 г;

• научный семинар Сиракузского университета по математичекому анализу под руководством профессора Л.В. Ковалева, 2016, 2017, 2019 гг.

• научный семинар "Complex Approximations, Orthogonal Polynomials and Applications" Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН, 2020 г.

• научный семинар Математического института им. В. А. Стеклова по комплексному анализу (Семинар Гончара) под руководством чл.-корр. РАН, профессора Е. М. Чирки и чл.-корр. РАН, профессора А. И. Аптекарева, 2020 г.

• научный семинар ОТПФ и ОАиП, г Екатеринбург, под руководством профессора А. Г Бабенко и профессора P. P. Акопяна, 2024 г.

Сообщения о результатах диссертации делались на конференциях:

• международная конференция "International Conference on Finite or Infinite Dimensional Complex Analysis and Applications" (Макао, КНР, 2010 г.; Ханой, Вьетнам, 2012 г.);

• международная конференция "ICREA Conference on Approximation Theory and Fourier Analysis"(Барселона, Испания, 2011 г.);

• международная конференция "International conference on approximation theory and application" (Гонконг, КНР, 2013 г.);

• международная конференция "Constructive Functions 2014" (Нэшвилл, США, 2014 г.);

• международная конференция "V Jaen Conference on Approximation" (Убеда, Испания, 2014 г);

• международная конференция "PDE's, Potential theory, Functional spaces" (Линчёпинг, Швеция, 2015 г.);

• международная конференция "Workshop on Blaschke Products and Function Theory" (Гонконг, КНР, 2015 г);

• международная конференция "Computational methods and function theory" (Люблин, Польша, 2017 г);

• международная школа-конференция "Комплексный анализ и его приложения посвященная 90-летию со дня рождения И.П. Митюка (Геленджик, Россия, 2018 г.);

• международная школа-конференция С.Б.Стечкина по теории функций, посвященная 75-летию В.В.Арестова (Кыштым, Россия, 2018 г.);

• международная конференция "Constructive Theory Of Functions - 2019" (Созополь, Болгария, 2019 г);

• международная конференция "International Symposium on Orthogonal Polynomials, Special Functions and Applications" (Хагенберг, Австрия, 2019 г.);

• международная научная конференция "Комплексный анализ и его приложения" (Казань, Россия, 2020 г);

• международная конференция "Комплексные аппроксимации, ортогональные многочлены и приложения" (Сочи, Россия, 2021, 2022 гг.);

• Вторая конференция Математических центров России (Москва, Россия, 2022 г.)

• конференция "Дни анализа в Сириусе" (Сочи, Россия, 2022 г.);

• Воронежская зимняя математическая школа "Современные методы теории функций и смежные проблемы" (Воронеж, Россия, 2023 г).

Публикации. Результаты диссертационного исследования опубликованы в 16 работах [25], [30] - [37], [76] - [82]. Все статьи опубликованы в изданиях, входящих в утвержденный ВАК перечень ведущих рецензируемых изданий. Все статьи (или их переводные версии) опубликованы в журналах, входящих в международные реферативные базы данных и системы цитирования Web of Science и Scopus. Вклад соискателя в совместных публикациях равнозначен вкладу каждого из соавторов. Для полноты изложения в текст диссертационного исследования результаты включены в полном объеме там, где это необходимо.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и библиографического списка, содержащего 130 наименований. Общий объем диссертации составляет 242 страницы.

Перейдем к обзору результатов по главам и параграфам.

Глава 1 посвящена теории потенциала. В первом параграфе даны определения базовых понятий. В параграфе 2.1 приведен принцип мажора-ции для мероморфных функций [24,19,28], представляющий собой теорему покрытия, сформулированную в терминах функции Грина. В качестве следствий приведены оценка производной мероморфной функции в граничной точке и неравенство И. П. Митюка для коэффициента ее разложения в полюсе. Этот принцип будет использован во второй главе настоящей работы при изучении рациональных функций, нормированных на отрезке [—1,1] или дуге единичной окружности и позволит детальнее понять природу функций, для которых имеют место случаи равенства там.

В параграфе 1.3 собраны сведения из теории потенциала о определены величины, которые играют ключевую роль в доказательстве асимптотически точных неравенств (Глава 3), некоторые из них могут представлять самостоятельный интерес.

Так, например, пусть E обозначает набор компактов K, которые удовлетворяют тому свойству, что имеется общая для всех этих компактов точка а и число р > 0 такое, что

[а — 2р,а] С K и (а,а + 2р) П K = 0. (11)

В работе [81] нами была доказана

Лемма 1. Для всех компактов K £ E существует LK £ такое,

что

lim шк (t) \t — а\1/2 = LK.

t^a—0

Кроме того, эта сходимость равномерная по K £ E: для любого е > 0 существует 5 > 0 такое, что для всех K £ E, t £ (а — 5,а) имеем

шк (t) \t — а\1/2 — LK

< е.

Такой же результат имеет место и для аналогичных компактов на окружности.

Известно, что если Е с (—удовлетворяет интервальному условию в точке а Е Е, тогда \Ь — а\шЕ(^ имеет конечный положительный предел при I ^ а, t Е Е. Более того, если К удовлетворяет интервальному условию в точке ега (а Е (—п,п)), тогда у7\ва — ега\иЕ(ей) имеет конечный положительный предел при t ^ а, t Е К. Следовательно, мы можем определить величины

О(Е,а) := Иш\/\Ь—а\ иЕ О(К,еш) := Кшу7\еи — ега\(еи),

где t принимает значение на соответствующем множестве.

В параграфе 1.4 представлены результаты работы [76], где была доказана равномерная сходимость функций Грина при сходимости соответствующих областей в смысле ядра.

Теорема 4. Предположим, что регулярные области Оп с С сходятся в смысле ядра к регулярной области О. Если существует константа N такая, что каждая область Оп имеет не более N граничных компонент, тогда для любой точки w Е О функции Грина дп(•, w) равномерно сходятся к д(^, w) в С \ ^}.

Представленные там же контрпримеры показывают, что ни регулярность, ни равномерная ограниченность числа граничных компонент не могут быть опущены. Также сходимость не может быть распространена на пространства большей размерности.

В параграфе 1.5 представлены результаты о непрерывности логарифмической емкости компактов при достаточно быстрой сходимости по метрике Хаусдорфа из работы [77]. Для того, чтобы сформулировать результат нам понадобится следующее понятие .

Замкнутое множество Е с С называется равномерно совершенным (см. [103, 104]), если существует константа а Е (0,1) такая, что множе-

ство E П{г: ar ^ \z — a\ ^ r} непусто для любой точки a G E и любого числа r, 0 < r ^ diamE.

Теорема 9. Предположим, что для каждого n G N, компактное множество En ап-равномерно совершенное подмножество C. Кроме того предположим, что En ^ E С C по метрике Хаусдорфа dH, где E -компактное множество. Если последовательность

Список литературы диссертационного исследования доктор наук Калмыков Сергей Иванович, 2025 год

Список литературы

[1] Асеев В. В. Непрерывность конформной емкости для конденсаторов с равномерно совершенными пластинами // Сиб. матем. журн. - 1999. - Т. 40, №2. - С. 243-253.

[2] Асеев В. В., Лазарева О. А. О непрерывности приведенного модуля и трансфинитного диаметра // Изв. вузов. Матем. - 2006. -Т. 50, №10.-С. 10-18.

[3] Валирон Ж. Аналитические функции - М.: Гос. изд-во технико-теоретической литературы, 1957. - 236 с.

[4] Виденский В. С. Экстремальные оценки производной тригонометрического полинома на отрезке, меньшем чем период // Докл. АН СССР. - 1960. - Т. 130, № 1. - С. 13-16.

[5] Виденский В. С. Некоторые оценки производных от рациональных дробей // Изв. АН СССР. Сер. матем. - 1962. -Т. 26, № 3. - С. 415426.

[6] Виденский В. С. О тригонометрических многочленах полуцелого порядка // Изв. АН АрмССР. Сер. физ.-матем. наук. - 1964. - Т. 17, №3.-С. 133-140.

[7] Геронимус Я. Л. Теория ортогональных многочленов - М.: ГИТТЛ, 1950. - 164 с.

[8] Голузин Г. М. Геометрическая теория функций комплексного переменного - М.: Наука, 1966. - 628 с.

[9] Гончар А. А. Оценки роста рациональных функций и некоторые их приложения // Матем. сб. - 1967. -Т. 72(114), № 3. - С. 489-503.

[10] Гончар А. А. О задачах Е.И. Золотарева, связанных с рациональными функциями // Матем. сб. - 1969. - Т. 78(120), № 4. - С. 640-654.

[11] Гончар А. А., Григорян Л. Д. Об оценках нормы голоморфной составляющей мероморфной функции // Матем. сб. - 1976. -Т. 99(141), № 4. - С. 634--638.

[12] Григорян Л. Д. Оценки нормы голоморфных составляющих меро-морфных функций в областях с гладкой границей // Матем. сб. -1976. - Т. 100(142), № 1(5). - С. 156-164.

[13] Дочев К. О некоторых экстремальных свойствах многочленов // Докл. АН СССР. - 1963. -Т. 153, № 3. - С. 519-521.

[14] Дубинин В. Н. Теоремы искажения для полиномов на окружности // Мат. сб. - 2000. - Т.191, № 2. - С. 51-60.

[15] Дубинин В. Н. Конформные отображения и неравенства для алгебраических полиномов // Алгебра и анализ. - 2001. - Т. 13. № 5. С. 16-43.

[16] Дубинин В. Н. О применении конформных отображений в неравенствах для рациональных функций // Изв. РАН. Сер. матем. - 2002. - Т. 66, № 2. - С. 67-80.

[17] Дубинин В. Н. Лемма Шварца и оценки коэффициентов для регулярных функций со свободной областью определения // Мат. сб. 2005. Т. 196. №11. С. 53-74.

[18] Дубинин В.Н. О применении леммы Шварца к неравенствам для целых функций с ограничениями на нули // Зап. научн. сем. ПОМИ. -2006. -Т. 337.-С. 101-112.

[19] Дубинин В.Н. О принципах мажорации для мероморфных функций // Мат. заметки. - 2008. - Т. 84, № 6. - С. 803-808.

[20] Дубинин В. Н. К теоремам искажения для алгебраических полиномов // Дальневост. мат. журн. - 2011. - Т. 11, № 1. - С. 28-36.

[21] Дубинин В. Н. Нижняя граница для дискретной нормы полинома на окружности // Мат. заметки. -2011. - Т. 90, № 2. - С. 306-309.

[22] Дубинин В. Н., Методы геометрической теории функций в классических и современных задачах для полиномов // УМН. - 2012 - V. 67, № 4(406). -С. 3-88.

[23] Дубинин В.Н., Калмыков С. И. Экстремальные свойства полиномов Чебышёва // Дальневост. матем. журн. - 2004. - Т. 5, № 2. -С. 169-177.

[24] Дубинин В. Н., Калмыков С. И. Принцип мажорации для мероморф-ных функций // Математический сборник. - 2007. - Т. 198, № 12. -С. 37-46.

[25] Дубинин В.Н., Калмыков С. И. О полиномах с ограничениями на дугах окружности // Зап. научн. семин. ПОМИ. - 2011. -Т. 392. -С. 74-83.

[26] Дубинин В.Н., Кириллова Д. А. Некоторые применения экстремальных разбиений в геометрической теории функций // Дальне-вост. мат. журн. - 2010. - Т. 10, № 2. - С. 130-152.

[27] Дубинин В.Н., Олесов А. В. О применении конформных отображений к неравенстам для полиномов // Зап. научн. семин. ПОМИ. СПб. - 2002. - Т. 286. - С. 85-102.

[28] Калмыков С. И. Принципы мажорации и некоторые неравенства для полиномов и рациональных функций с предписанными полюсами // Зап. научн. семин. ПОМИ. СПб. - 2008. - Т. 357. - С. 143-157.

[29] Калмыков С. И. О полиномах, имеющих криволинейную мажоранту на двух отрезках // Изв. вузов. Матем. - 2009 - № 10. - С. 72-75.

[30] Калмыков С. И. Об оценке модуля рациональной функции // Зап. научн. сем. ПОМИ. - 2009. - Т. 371. - С. 109-116.

[31] Калмыков С. И. Сравнение дискретной и равномерной норм полиномов на отрезке и дуге окружности // Зап. научн. сем. ПОМИ. -2012.-Т. 404.-С. 175-183.

[32] Калмыков С. И. Неравенства для модулей рациональных функций // Дальневост. матем. журн. - 2012. - Т. 12, № 2. - С. 231-236.

[33] Калмыков С. И. О полиномах и рациональных функциях, нормированных на дугах окружности // Зап. научн. сем. ПОМИ. - 2013. -Т. 418.-С. 105-120.

[34] Калмыков С. И. О некоторых рациональных функциях, являющихся аналогами полиномов Чебышева // Зап. научн. сем. ПОМИ. - 2014. -Т. 429.-С. 106-120.

[35] Калмыков С. И. Об асимптотически точном неравенстве марковского типа для тригонометрических и алгебраических многочленов // Матем. заметки. - 2015. - Т. 98, № 2. - С. 303-307.

[36] Калмыков С. И. О полиномах, нормированных на отрезке // Даль-невост. мат. журн. - 2018. -Т. 18, № 2. - С. 261-266.

[37] Калмыков С. И. О многоточечных теоремах искажения для рациональных функций // Сиб. матем. журн. - 2020. - Т. 61, № 1. - С. 107119.

[38] Ландкоф Н. С. Основы современной теории потенциала-М.: Наука, 1966.-515 с.

[39] Лебедев Н. А. Принцип площадей в теории однолистных функций -М.: Наука, 1975.-336 с.

[40] Лукашов А. Л. Неравенства для производных рациональных функций на нескольких отрезках // Изв. РАН. Сер. матем. - 2004. - Т. 68, №3.-С. 115-138.

[41] Марков А. А. Об одном вопросе Д. И. Менделеева // Избранные труды по теории непрерывных дробей и функций, наименее уклоняющихся от нуля - М.-Л.: Гостехтеориздат, 1948. - С. 51-75.

[42] Маергойз Л. С., Рыбакова Н. Н. Многочлены Чебышева с нулевым множеством на дуге окружности и смежные вопросы // Препринт 312М. - Красноярск: Институт физики им. Л. В. Киренского СО РАН.-2008. - 16 с.

[43] Маергойз Л. С., Рыбакова Н. Н. Многочлены Чебышёва с нулевым множеством на дуге окружности // Докл. РАН. - 2009. - Т. 426, № 1. - С. 26-28.

[44] Митюк И. П. Симметризационные преобразования и их применение в геометрической теории функций. Введение в симметризаци-онные методы - Краснодар: Изд-во КГУ. - 1980.

[45] Митюк И. П. Оценки внутреннего радиуса (емкости) некоторой области (конденсатора) // Изв. Северо-Кавказ. научн. центра высш. шк. естеств. наук. - 1983. - № 3. - С. 36-38.

[46] Олесов А. В. О применении конформных отображений к неравенствам для тригонометрических полиномов // Мат. заметки. - 2004. -Т. 76, № 3. - С. 396-408.

[47] Олесов А. В. Неравенства для полиномов и рациональных функций // Препринт № 18. ИПМ ДВО РАН Владивосток: Даль-наука ДВО РАН. - 2004. - 39 с.

[48] Олесов А. В. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физ.-мат. наук. - 2006.

[49] Русак В. Н. Об оценках производных алгебраических дробей на конечном отрезке // Докл. АН БССР. - 1976. - T. 20, № 1. - С. 5-7.

[50] Русак В. Н. Рациональные функции как аппарат приближения -Минск: БГУ - 1979. - 176 с.

[51] Ahlfors L., Beurling A. Conformai invariants and function-theoretic null-sets // Acta Math. - 1950. - V. 83. - P. 101-129.

[52] Ancona A. Sur une conjecture concernant la capacit e et l'effilement, Théorie du potentiel (Orsay, 1983), Lecture Notes in Math. - Berlin: Springer. - 1984. - V. 1096 - P. 34-68.

[53] Ankeny N. C.,RivlinT. J. On a theorem of S. Bernstein//Pacific.J.Math.

- 1955.-V. 5.-P. 849-852.

[54] Baernstein II A. The *-function in complex analysis, Handbook of complex analysis: geometric function theory V.1 - North-Holland, Amsterdam. - 2002. - P. 229-271.

[55] Baran M. Bernstein type theorems for compact sets in Rn // J. Approx. Theory. - 1992. - V. 69. - P. 156 - 166.

[56] Bernstein S. N. Sur l'ordre de la meilleure approximation des fonctions continues par les polynômes de degré donné // Mémoires publiés par la Classe des Sciences del l'Académie de Belgique.- 1912. - V. 4.

[57] Borwein P. B. Markov's and Bernstein's inequalities on disjoint intervals // Canad. J. Math. - 1981. - V. 33, № 1. - P. 201-209.

[58] Borwein P., Erdelyi T., Zhang J. Chebyshev Polynomials and Markov-Bernstein Type Inequalities for Rational Spaces // J. London Math. Soc.

- 1994. - V. 50, № 3. - P. 501-519.

[59] Borwein P., Erdélyi T. Polynomials and polynomial inequalities. Graduate Texts in Mathematics. V. 161. - New York: Springer-Verlag.

- 1995.-x+480 pp.

[60] Borwein P., Erdélyi T. Sharp extensions of Bernstein's inequality to rational spaces // Mathematika. - 1996. - V. 43. - P. 413-423.

[61] Conway J. B. Functions of one complex variable. II. Graduate Texts in Mathematics, V. 159. - New York: Springer-Verlag. - 1995.

[62] Coppersmith D., Rivlin T. The growth of polynomials bounded at equally spaced points // SIAM J. Math. Anal. - 1992. - V. 23. - P 970983.

[63] Deckers K., Van Deun J. Bultheel A. An extended relation between orthogonal rational functions on the unit circle and the interval [-1,1] // Journal of Mathematical Analysis and Applications. - 2007. - V. 334, №2.-P. 1260- 1275.

[64] Doob J. L. Classical potential theory and its probabilistic counterpart, Classics in Mathematics. - Berlin: Springer-Verlag, Reprint of the 1984 edition. -2001.

[65] Duren P. L. Univalent functions, New York: Springer-Verlag. - 1983.

[66] Gardner R. B., Govil N. K., Milovanovic G. V. Extremal Problems and Inequalities of Markov-Bernstein Type for Algebraic Polynomial -Academic Press, 2022. - 442 pp.

[67] Gamelin T. W. Complex analysis, Undergraduate Texts in Mathematics, New York: Springer-Verlag. - 2001.

[68] Gehring F. W. A remark on the moduli of rings // Comment. Math. Helv.

- 1961.-V. 36.-P 42-46.

[69] Gehring F. W. Rings and quasiconformal mappings in space // Trans. Amer. Math. Soc. - 1962. - V. 103. - P. 353-393.

[70] Govil N. K., Rahman Q.I., Schmeisser G. On the derivative of a polynomial // Illinois Journal of Mathematics. - 1979. V. 23. - P. 319329.

[71] Govil N.K., Mohapatra R.N. Inequalities for maximum modulus of rational functions with prescribed poles // Approximation theory, Monogr. Textbooks Pure Appl. Math., V. 212. - New York: Dekker. - 1998.-P. 255-263.

[72] Grigorjan L. D. A generalization of a theorem of E. Landau // Izv. Akad. Nauk Armjan. SSR Ser. Mat. - 1977. - V. 12, № 3. - P. 229-233.

[73] Grigorjan L. D. On the order of growth for the norm of the holomorphic component of a meromorphic function // Analytic functions, Proc. Seventh Conf. (Kozubnik, 1979), Lecture Notes Math. 1980. - V. 798. -P. 165-168.

[74] Hayman W. K., Kennedy P.B. Subharmonic functions. Vol. I. London Mathematical Society Monographs. - London-New York: Academic Press [Harcourt Brace Jovanovich, Publishers]. - 1976., № 9.

[75] Ivanov K. G., Totik V. Fast decreasing polynomials // Constr. Approx. -1990.-V. 6, № 1. - P. 1-20.

[76] Kalmykov S.I., Kovalev L. V. Uniform convergence of Green's functions // Complex Var. Elliptic Equ. - 2019. - V. 64, № 4. - P. 557562.

[77] Kalmykov S. I., Kovalev L. V. Continuity of logarithmic capacity // J. Math. Anal. Appl. - 2022. - V. 505, № 1. 125585.

[78] Kalmykov S. I., Nagy B. Polynomial and rational inequalities on analytic Jordan arcs and domains // J. Math. Anal. Appl. - 2015. - V. 430. -P. 874-894.

[79] Kalmykov S., Nagy B. On estimate of the norm of the holomorphic component of a meromorphic function in finitely connected domains // Зап. научн. сем. ПОМИ. - 2015. - Т. 440. - С. 123-137.

[80] Kalmykov S., Nagy B. Higher Markov and Bernstein inequalities and fast decreasing polynomials with prescribed zeros // J. Approx. Theory. -2018.-V. 226.-P. 34-59.

[81] Kalmykov S., Nagy B., Totik V. Asymptotically Sharp Markov and Schur Inequalities on General Sets // Complex Analysis and Operator Theory. - 2014. - V. 9, № 6. -P. 1287-1302.

[82] Kalmykov S.,Nagy B., Totik V. Bernstein- and Markov-type inequalities for rational functions // Acta Math. - 2017. - V. 219. - P. 21-63.

[83] Kalmykov S., Nagy, B., Totik V. Bernstein- and Markov-type inequalities // Surv. Approx. Theory - 2021. -V. 9. - P. 1-17.

[84] Kövari T., Pommerenke Ch. On Faber polynomials and Faber expansions // Math. Z. - 1967. - V. 99. - P. 193-206.

[85] Krantz S. G., Parks, H. R. A Primer of Real Analytic Functions. Birkhäuser Advanced Texts. - Boston: Birkhäuser, MA. - 2002.

[86] Krzyz J. Circular symmetrization and Green's function // Bull. Acad. Polon. Sci. Ser. Sci. Math. Astr. Phys. - 1959. - V. 7. - P. 327-330.

[87] Kuijlaars A.B.J., Van Assche W. A problem of Totik on fast decreasing polynomials // Constr. Approx. - 1998. - V. 14, № 1. - P. 97-112.

[88] Kulpa W. The Poincare-Miranda theorem // Amer. Math. Monthly. -1997. - V. 104, № 6. - P. 545-550.

[89] Landau E., Gaier D. Darstellung und Begründung Einiger Neuerer Ergebnisse der Funktionentheorie. - Berlin: Springer-Verlag. - 1986.

[90] Levin A.L., Lubinsky D.S. Canonical products and the weights exp(-|^|a), a > 1, with applications // J. Approx. Theory. - 1987. V. 49, №2.-P. 149-169.

[91] Li X., Mohapatra R. N., Rodriguez R.S. Bernstein-type inequalities for rational functions with prescribed poles // J. London Math. Soc. - 1995. -V. 51, №3.-P. 523-531.

[92] Li X. Integral formulas and inequalities for rational functions // J. Math. Analysis and Appl. - 1997. - V. 211, № 2. - P. 386-394.

[93] Lukashov A. L., Tyshkevich S. V. Extremal polynomials on arcs of the circle with zeros on these arcs // J. Contemp. Math. Anal., Armen. Acad. Sci. - 2009. - V. 44, № 3. - P. 172-179.

[94] Markov V. A. Über Polynome, die in einem gegebenen Intervalle möglichst wenig von Null abweichen // Math. Ann. - 1916. - V. 77. -P. 213-258.

[95] Markushevich A. I. Theory of functions of a complex variable, Translated and edited by Richard A. Silverman, v. I, II, III, 2nd English ed. - New York: Chelsea Publishing Co. - 1977.

[96] Milovanovic G.V., Mitrinovic D.S., Rassias T.M., Topics in polynomials: extremal problems, inequalities, zeros - World Scientific Publishing Co., Inc., River Edge, NJ. - 1994.

[97] Min G. Inequalities for rational functions with prescribed poles // Can. J. Math. - 1998. - V. 50, № 1. - P. 152-166.

[98] Nagy B., Totik V. Sharpening of Hilbert's lemniscate theorem // J. D'Analyse Math. - 2005. - V. 96. - P. 191-223.

[99] Nagy B., Totik V. Bernstein's inequality for algebraic polynomials on circular arcs // Constr. Approx. - 2013. - V. 37, № 2. - P. 223-232.

[100] Nagy B., Totik V. Riesz-type inequalities on general sets // J. Math. Anal. Appl. - 2014. - V. 416, № 1. - P. 344-351.

[101] Nevanlinna R. Analytic Functions, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, V. 162. - Berlin: Springer Verlag. - 1970.

[102] Peherstorfer F., Steinbauer R. Strong asymptotics of orthonormal polynomials with the aid of Green's function // SIAM J. Math. Anal. - 2000. - V. 32, № 2. - P. 385-402.

[103] Pommerenke Ch. Uniformly perfect sets and the the Poincare metric // Arch. Math. (Basel) - 1979. - V. 32, № 2. - P. 192-199.

[104] Pommerenke Ch. On uniformly perfect sets and Fuchsian groups // Analysis - 1984. - V. 4. - P. 299-321.

[105] Pommerenke Ch., Boundary behaviour of conformal maps - Berlin: Springer-Verlag. - 1992.

[106] Qazi M. A. On the maximum modulus of polynomials // Proc. Amer. Math. Soc. - 1992. - V. 115, № 2. - P. 337-349.

[107] Rahman Q. I., Schmeisser G. Analytic theory of polynomials - Oxford: Oxford University Press. - 2002.

[108] Rakhmanov E., Shekhtman B. On discrete norms of polynomials // J. Approx. Theory. - 2006. - V. 139. - P. 2-7.

[109] Rakhmanov E. A. Bounds for polynomials with a unit discrete norm // Annals of Math. - 2007. - V. 165. - P. 55-88.

[110] Ransford Th. Potential theory in the complex plane, London Mathematical SocietyStudent Texts, V. 28. - Cambridge: Cambridge University Press. - 1995.

[111] Riesz M. Eine trigonometrische Interpolationsformel und einige Ungleichungen für Polynome // Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung. -1914. - V. 23. - P. 354-368.

[112] Saff Ed. B., Totik, V. Logarithmic potentials with external fields. Appendix B by Thomas Bloom. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences], V. 316. - Berlin: Springer-Verlag. - 1997.

[113] Shah W. M., Liman A. Integral estimates for the family of B-operators // Operators and matrices. -2011. - V. 5, № 1. - P. 79-87.

[114] Sheil-Small T. An inequality for the modulus of a polynomial evaluated at the roots of unity // Bull. London Math. Soc. - 2008. - V. 40. - P. 956964.

[115] Siciak J. Wiener's type regularity criteria on the complex plane // Ann. Polon. Math. - 1997. - V. 66. - P. 203-221.

[116] Suetin P. K. Series of Faber Polynomials,Series of Faber polynomials. Analytical Methods and Special Functions, 1. - Amsterdam: Gordon and Breach Science Publishers. - 1998.

[117] Szegö G. Über einen Satz des Herrn Serge Bernstein // Schriften Königsberger Gelehrten Ges. Naturwiss. Kl. - 1928/29. - V. 5. P. 59-70.

[118] Totik V. Fast decreasing polynomials via potentials // J. Anal. Math. -1994.-V. 62.-P. 131-154.

[119] Totik V. Polynomial inverse images and polynomial inequalities // Acta Math.-2001.-V. 187, № 1. -P. 139-160.

[120] Totik V. Metric properties of harmonic measures // Mem. Amer. Math. Soc. - 2006.-V. 184, №867.

[121] Totik V. Christoffel functions on curves and domains // Trans. Amer. Math. Soc. -2010. - V. 362, № 4. - P. 2053-2087.

[122] Totik V. Bernstein-type inequalities // J. Approx. Theory. - 2012. -V. 164.-P. 1390-1401.

[123] Totik V. Szego's problem on curves // Amer. J. Math. - 2013. - V. 135, №6.-P. 1507-1524.

[124] Totik V. Bernstein- and Markov-type inequalities for trigonometric polynomials on general sets // Int. Math. Res. Not. - 2015. - № 11. P. 2986-3020.

[125] Totik V. Asymptotic Markov inequality on Jordan arcs // Mat. Sb. -2017.-V. 208.-P. 111-131.

[126] Totik V. Polynomials close to 0 resp. 1 on disjoint sets // Journal of Mathematical Analysis and Applications. - 2020. - V. 482, № 2. -123549

[127] Totik V., Varga T. Non-symmetric fast decreasing polynomials and applications // J. Math. Anal. Appl. - 2012. - V. 394, № 1. - P. 378390.

[128] Totik V., Zhou Y. Sharp constants in asymptotic higher order Markov inequalities // Acta Math. Hungar. - 2017. - V. 152, № 1. - P. 227-242.

[129] Tsuji M. Potential Theory in Modern Function Theory - Tokyo: Maruzen. - 1959.

[130] Walsh J. L. Interpolation and Approximation by Rational Functions in the Complex Domain. Amer. Math. Soc. Colloq. Publ., XX. Amer. Math. Soc., Providence, RI. - 1965.