Неравенство Бернштейна–Сеге для дробных производных тригонометрических полиномов в пространстве L_0 тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат наук Леонтьева Анастасия Олеговна

• Леонтьева Анастасия Олеговна
• кандидат наук
• 2019

Оглавление диссертации кандидат наук Леонтьева Анастасия Олеговна

3.1 Оценка сверху (3.1)

3.2 Оценка снизу (3.2)

3.3 Логарифмическая асимптотика поведения

константы Бп(0,#)о

Список литературы

Список работ автора по теме диссертации

Список обозначений

N — множество натуральных чисел. R — множество вещественных чисел. C — множество комплексных чисел.

Tn(R) — множество тригонометрических полиномов порядка n с вещественными коэффициентами.

T = ТП(С) — множество тригонометрических полиномов порядка n с комплексными коэффициентами.

Для тригонометрического полинома fn порядка n будем писать

(i 1 \1

\\fn\\P = I ^ J \fn(t)\pdt\ , о <p< то,

\\fn\U = lim \\fn\\p = \\fn\\ö2n = max{\fn(t)\: t e R},

(i 7 \

\ \ fn \ \ 0 = plim0 \\fn\\p = exP 2П ln\fn(t)\dt

Pm — множество многочленов степени не выше m с комплексными коэффициентами.

Pm — множество многочленов степени не выше m с комплексными коэффициентами, все нули которых лежат в замкнутом круге \z \ ^

PTO — множество многочленов степени не выше m с комплексными коэффициентами, все нули которых принадлежат множеству \z \ ^ 1. Для алгебраического многочлена степени n будем писать

( 1 1 ^ ^

\\Pn\p = I \Pn(elt)\Pdt I , 0 <p< то,

\\Pn\\TO = lim \\Pn\\p = max{\Pn(eit)\: t e R}, \\Pn\o = Дш\\Pn\\p = exp (2П jln\Pn(eit)\dt|

Ст — биномиальный коэффициент (число сочетаний из т элементов по к). Для многочленов Лт и Рт из Рт, записанных в виде

т т

Лт(г) = ^ стЛкгк, Рт(г) = ^ Сктакгк, к=0 к=0

через ЛтРт обозначена их композицию Сеге

m

AmPm(z) ^^ Cmak.

k=0

Bn(a,0)p — точная (наименьшая) константа в неравенстве Бернштейна-Сеге для производной Вейля порядка а тригонометрических полиномов порядка n в пространстве Lp.

hn(t) = cos2n(t/2) = (1 + cost)n/2n — полином, экстремальный в неравенстве Бернштейна-Сеге в пространстве L0.

an ~ bn при n — то - для двух последовательностей {an}, {bn} положительных вещественных чисел означает, что lim Jr =

an x bn при n —У то - для двух последовательностей {an}, {bn} положительных вещественных чисел означает, что найдутся константы 0 < ci ^ c2 такие, что для любого n Е N

an

С1 < -Г- < С2.

bn

00

Г(а) = / ta-1e-tdt — гамма-функция Эйлера.

0

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Неравенство Бернштейна–Сеге для дробных производных тригонометрических полиномов в пространстве L_0»

Введение

Во множестве Tn тригонометрических полиномов fn порядка n с комплексны-

^efn(t) = fn

ми коэффициентами рассматривается оператор Вейля-Сеге Df«, (t) = (t) cos О

+ /^(t) sin О, являющийся линейной комбинацией с коэффициентами cos О и sin О производной Вейля (дробной производной) вещественного неотрицательного порядка а полинома fn Е Т и его сопряжённого. Неравенство \\Dq fn\\p ^ Bn(a,0)p\\fn\\p является обобщением неравенства Бернштейна (1912). Такие неравенства изучаются уже 90 лет, начиная с работы Г. Сеге (1928). В данной работе изучается константа Bn(a,0)p при p = 0. Случай p = 0 представляет интерес уже по той причине, что константа Bn(a,0)p является наибольшей по p Е [0, то] именно при p = 0. В работе получена, в частности, логарифмическая асимптотика Bn(a,0)0 по n при n ^ то для любых неотрицательных нецелых а и любых вещественных О. Поведение константы Bn(a, О)0 для таких значений а существенно отличается от классического случая производных целого неотрицательного порядка.

0.1 Неравенства Бернштейна — Сеге и история их изучения

Пусть Tn (C) (Tn(R)) — множество тригонометрических полиномов

n

fn(t) = "2" + ^2(ak cos kt + bk sin kt) (0.1)

k=i

порядка n с комплексными (вещественными) коэффициентами. Вместе с полиномом (0.1) будем рассматривать сопряжённый к нему полином

fn(t) = ^^ (bk cos kt — ak sin kt).

k=i

При 0 ^ p ^ то рассмотрим на Tn (C) функционалы

\fn\\p = ( I lfn(t)|pdt I , 0 <p< то,

2п \ p

||/n||o = lim ||/n||p = ||/n||c2n = max{|/n(t)|: t G R},

(1 7 \

y/n^o = plim0 ||fJp = exp I — ln|fn(t)|dt I ;

только при 1 ^ p ^ oo этот функционал является нормой.

В случае 0 ^ p < 1 функционал || • ||p не является нормой. Для 0 < p < 1 неравенство треугольника выполняется с константой, большей единицы:

||/n + ^ 2 p)/p(|/n|p + ||gn|p).

Неравенство треугольника на множестве тригонометрических полиномов при p = 0 будет обсуждаться ниже.

Перечислим некоторые, используемые в дальнейшем, свойства функционала || • ||o на множестве ненулевых тригонометрических полиномов порядка n :

1. 0 < ||/n||o < o.

2. Положительная однородность:

||а/пУо = |a| • ||/n|0.

3. Мультипликативность

||/ngn|0 = ||/n|0|gn|0.

4. Неравенство треугольника

||fn + gn^0 < X(n)(|/n|0 + Hg

n|0)

выполняется с константой x(n) такой, что

fn Rn

— < x(n) n ^ 1; X(n) < -y, n ^ 6,

где

l 4 fn/4 \

r = exp l-J ln(2 cos t)dt j = 1, 7916 ... , R = ^40 = 1,8493

Свойство 1 следует из определения и того факта, что нули тригонометрического полинома порядка п имеют кратность не выше 2п. Свойства 2, 3 следуют из определения. Свойство 4 доказал В. В. Арестов [5].

Функционал || • ||о одними из первых начали изучать Г. Харди [47, гл. VI, п. 6.7] и Ф. Рисс [67] как обобщение среднего геометрического нескольких чисел на пространство функций. Они доказали, что он является пределом функционалов || • ||р при р ^ 0. Также они доказали, что ||/1|0 ^ ||/||р, если ||/||р конечна.

А. О. Гельфонд [19] и Н. И. Фельдман [46] для изучения трансцендентных чисел получили оценки для высоты многочлена, т.е. для максимума из модулей его коэффициентов. К.Малер [61, 62] получил упрощённое доказательство этих оценок, используя функционал || • ||0. Этот функционал часто называют мерой Малера.

Функционал || • ||о применяется в теории аналитических функций. Он выражается через нули функции по формуле Йенсена, которая играет ключевую роль в получении теорем, выражающих связь между ростом целой функции и поведением её нулей (см., например, [27, лекции 2, 3]).

Важность функционала || • ||0 в теории приближения функций выяснилась после работ В. В. Арестова [3, 4], посвящённых неравенству Бернштейна для тригонометрических полиномов. Об этих работах будет говориться ниже в разделе 0.1.4.

0.1.1 Неравенства Бернштейна и Сеге для классических производных в равномерной норме

Для тригонометрических полиномов порядка п выполняется известное неравенство Бернштейна

||/П|и ^ п||/п|и ¡п е ТП(М), (0.2)

в равномерной норме для вещественных тригонометрических полиномов. Это неравенство точное, оно обращается в равенство на полиномах

а сое пЬ + Ь Бт пЬ, а,Ь е С 6

(0.3)

и только на них.

В 1912 г. С.Н. Бернштейн [53] доказал неравенство (0.2) с константой n отдельно для чётных и для нечётных тригонометрических полиномов и, как следствие, с константой 2n на всем классе T,(R). В [54] и переиздании [15] работы [53] приведено неравенство (0.2) с константой n для всех полиномов из Tn(R) с применением идеи Э.Ландау, см. авторские комментарии [16, п. 3,4] к работе [15].

В 1914 г. М. Рисс [68, 69] получил интерполяционную формулу для производной тригонометрического полинома:

2n

fn (t) = £(-1)k+Vk fn(t + tk), (0.4)

k=i

где

2k - 1 1 , , „

tk = —z-n, ^k = -—г^тт, 1 < k < 2n;

2n 4n sin2 f

доказательство формулы Рисса (0.4) можно найти также в монографиях [20, т. 2, гл. 10], [32, гл.2, §2.4]. Для коэффициентов формулы (0.4) справедливо равенство

2n

X^k = n k=1

поэтому неравенство (0.2) выполняется с константой n. Из соображений линейности формулы (0.4) ясно, что эта формула, а как следствие, и неравенство (0.2) справедливы и на множестве ТП(С) полиномов с комплексными коэффициентами. Как следствие (0.2), при r £ N выполняется точное неравенство

Н/П ^ n I I ^n П , fn £ Tn(C).

В 1928 г. Г. Сеге получил результат более общий, чем (0.2). Теорема A (Г. Сеге). При произвольном в £ R справедливо неравенство

||/n cos в + /n sin в||то ^ n Il/nlU /n £ Tn(C). (0.5)

Неравенство точное и обращается в равенство на полиномах (0.3) и только на них.

Для доказательства теоремы A Г. Сеге написал интерполяционную формулу, обобщающую формулу М.Рисса:

2n

f(t) cos в + fn(t) sin в = ^ Mk fn(t + tk), t G (-TO, to),

k=1

где

2k -1 в (-1)k+1 + sin в 7 ^

tk = tk (в) = ^п + n Mk = Mk (в)= 4n sin2 I , k = 1,-, 2n

Для коэффициентов формулы Сеге имеет место [72] равенство ^k=1 Mk(в) = п, поэтому неравенство (0.5) выполняется с константой п.

0.1.2 Неравенства Бернштейна и Сеге

для дробных производных в равномерной норме

Для вещественного а ^ 0 дробной производной, или производной Вейля порядка а полинома (0.1), называется ([73], см. также [36, гл. 4, §19]) полином

n

(Dafn)(t) = ^ ka (ak cos (kt + па) + bk sin (kt + па)) • k=1 2 2

Богатую информацию о дробных интегралах и производных можно найти в монографии [36].

При а G N производная Вейля совпадает с классической производной: Dafn = f^. В случае а = 0 оператор D0 отбрасывает свободный член полинома:

ao

n)(t)= } (ak cos kt + Ok sin kt) = jn(t) - — k=1 2

(D0fn)(t) = J2(ak cos kt + Ok sin kt) = f„(t)

Для производных Вейля выполняется полугрупповое свойство:

Ба = , а, в ^ 0.

В дальнейшем будем для вещественного а ^ 0 вместо писать /Па)-

Для вещественного в рассмотрим оператор, который будем называть оператором Вейля - Сеге:

D7n(í) = (t) cos в + sin в =

= ¿ka (akcos (kt + па + в) + bksin (kt + + в)) . ^ ^

k=i

Нас интересует норма оператора (0.6) в пространстве ТП(С) относительно функционала || • ||p, а точнее, наименьшая константа Вп(а,в)р в неравенстве

РШр ^ £п(а,в)р||/п||р, fn е Tn(C). (0.7)

Неравенства такого типа называются неравенствами Бернштейна - Сеге, при в = 0 - неравенствами Бернштейна. Наиболее полно они изучены при p ^ 1 и а ^ 1. История изучения таких неравенств подробно описана в [7, 8, 50, 49, 9].

Т. Банг [51], а позже С.П.Гейсберг [18] (см. [36, теорема 19.10]) рассмотрели неравенство (0.7) при 0 < а < 1 в равномерной метрике. Они показали, что для Bn(a, 0)то справедливы оценки

na < Bn(a, 0U < —-- < 2na.

nV ' ; Г(2 - a)

Г. Вилмес [74] получил более точную оценку сверху

Bn(a, 0)то ^ 21-ana. Таким образом, для Bn(a, 0)то справедливы оценки

na < Bn(a, 0)то < 21-ana.

При 1 ^ p ^ то и любых а ^ 0, в £ К константа Вп(а,в)р является наибольшей при р = то, см. (0.20) ниже. Поэтому

Вп(а,0)р ^ Вп(а,0)то.

С другой стороны, полином cosnt даёт оценку снизу Вп(а, 0)p ^ na. Поэтому для 1 ^ p ^ ^ при 0 < а < 1 выполняется соотношение

na < Bn(a, 0)p < 21-ana.

В 1998 г. А. И.Козко [59] обобщил неравенство Сеге на случай производной вещественного порядка а ^ 1. Он получил следующее утверждение.

Теорема B (А. И.Козко, [59]). Для любого вещественного а ^ 1 и любого вещественного в выполняется точное неравенство

||fa) cos в + /Па) sin в||то ^ na||/n|U, fn G Tn(C).

Для доказательства теоремы А. И. Козко написал интерполяционные формулы, обобщающие формулу Г. Сеге:

Dfn(t) = Е Mk(а, в)(—1)kfn(tk + t), tk = - + ^ + П; (0.8)

n 2n n

k=0

здесь

/ n— 1

((/ + 1)a — 2/a + (/ — 1)a) cos (Ph„ — -

Mk(а, в) = ( (—1)k+1 E((¿ + 1)" — + — 1)a) cos (itk — аП — в)

^ 1=1

■ 2 tk4—1 2

+ na — (n — 1)a + (—1)k+1 cos(^ + в) j (4n sin2 I) в случае 2k + а + 2в/п = 0 (mod 4n) и

* («,«)=z +nf)

4 7

в случае 2k + a + 20/n = 0 (mod 4n). При a ^ 1 коэффициенты (a, 0) формулы (0.8) неотрицательные и ^k^)1 Mk(a,0) = na.

В 1998 г. А. И. Козко [59] получил для производной нулевого порядка, т. е. оператора, отбрасывающего свободный член полинома, следующее утверждение:

Теорема C (А. И.Козко). Для точной константы в неравенстве Бернштейна для производной нулевого порядка в равномерной метрике выполняется равенство

2п

Bn(0,0)то = —-Т-.

n + 1

В 1990 г. Л.В.Тайков [44] исследовал точную константу Cn = Bn(0, fв неравенстве

||fn II ТО ^ Cn I I ^n П ^^ , fn ^ ^n(C).

Ранее была известна [20, т. 1, с. 115-116] асимптотика поведения константы:

Cn ~ — ln n. п

Л. В. Тайков показал, что

C — ^ 21 + 1

Cn = —гг ctg —Г"7Т п

n + 1 ^ 2(n + 1)

0.1.3 Неравенства Бернштейна и Сеге для дробных производных в классических интегральных нормах

В работе А. И. Козко [59, theorem 1] содержится такое утверждение.

Теорема D (А. И.Козко). Предположим, что функция ^ на полуоси [0, то) не убывает и выпукла (вниз). Тогда при любом n ^ 1 для произвольного вещественного а ^ 1 и любого вещественного в на множестве Fn(C) имеет место неравенство

2п 2п

,а I

^¡„(г)совв + £а/п(фтв|) йг ^ ^(па|/п(^)|) йг, ¡и е ^п(€).

о о

Последнее неравенство точное и на полиномах (0.3) обращается в равенство. Если функция ^ (строго) возрастает на [0, то), то экстремальными являются только такие полиномы.

Функция ^>(u) = up при 1 ^ p < oo удовлетворяет условиям теоремы D, поэтому как частный случай теоремы выполняется такое утверждение.

Следствие 1. Для всех n ^ 1, а ^ 1, в G R и p G [1, o) имеет место неравенство

/п cos в + fn sin в ^ na ||/nyp , /п G Fn(C),

p

и, в частности, неравенства

||Da/n||p ^ na ||0 , fn G Fn(C),

Dafn

^ na ||fn|p , fn G Fn(C).

Все три неравенства точные и обращаются в равенства лишь на полиномах (0.3).

Неравенство Бернштейна в р ^ 1, для вещественных а ^ 1 с точной константой па получил в 1965 г. П.И.Лизоркин [28].

Утверждения теоремы Э и следствия 1 для классических производных целого порядка а ^ 1 установил ранее А. Зигмунд [20, т. 2, гл. 10].

Отметим ещё, что в частном случае р =2 с помощью равенства Парсеваля легко убедиться, что Вп(а, 0)2 = при всех а ^ 0 и 0 £ К.

0.1.4 Неравенства Бернштейна и Сеге в пространствах 0 ^ р < 1.

При 0 ^ р < 1 неравенства Бернштейна и Сеге мало изучены. В 1975 г. В.И.Иванов [21] и Э. А. Стороженко, В. Г. Кротов, П.Освальд [39] построили теорию приближения периодических функций тригонометрическими полиномами в пространстве при 0 < р < 1. Для обоснования обратных теорем теории приближения они изучили неравенство Бернштейна для 0 < р < 1 и показали, что для каждого из таких значений р существует константа с(р) такая, что

Н/Х ^ Ф)п||/П||р, /п £ ^п(€). (0.9)

q

В 1979 г. П. Неваи [65] доказал, что неравенство (0.9) выполняется с константой

*>- (8)

В 1980 г. А. Мате и П. Неваи [64] методами ортогональных полиномов показали, что неравенство (0.9) выполняется с константой

c(p) — (4e)p.

На самом деле наименьшее возможное значение константы c(p) равно 1. Этот результат при 0 ^ p < 1 был получен В. В. Арестовым [3, 4] в 1979-1981 г. Формула

fn(t) — e-intP2n(eit) (0.10)

устанавливает взаимно однозначное соответствие между множеством P2n алгебраических многочленов степени не выше 2n и множеством Tn тригонометрических полиномов порядка n. С помощью формулы (0.10) экстремальные задачи для тригонометрических полиномов можно переформулировать в терминах задач для алгебраических многочленов на единичной окружности комплексной плоскости. В. В. Арестов как раз и изучал [3, 4] экстремальные задачи для алгебраических многочленов в пространствах Lp, 0 ^ p < 1, на единичной окружности. Для изучения этих задач он создал [3, 4, 5] новый метод.

Для алгебраических многочленов будем рассматривать функционалы

(i 7 • ^p

||Pn||p — I 2п/ |Pn(eit)|pdtl , 0 <p< то,

||Pn|U — lim ||fn|p — max{|Pn(eit)|: t G R},

р^+то

11Pn11о — Дш ||Pn|p — exp 1/ln |Pn(eit)|dtj .

Видно, что если P2n(eit) — eintfn(t), то ||P2n||p — ||fn||p.

13

Из формулы Йенсена (см., например, [33, т. 1, отд. 3, гл. 4, §2, №175]) следует, что для алгебраического многочлена Pn порядка n

n

l|Pn||o = |сп| Пmaxi1, |ZjI), (0.11)

j=i

где Zj, j = 1,... ,n — корни многочлена Pn.

В. В. Арестов рассматривал класс Ф+ функций неубывающих, локально абсолютно непрерывных на (0, то) и таких, что u^'(u) не убывает на (0, то). К этому классу относятся, например, функции lnu, ln+ u = max(0, lnu), up при p > 0, а также неубывающие выпуклые вниз функции. В 2010 г. П. Ю. Глазырина [56] показала естественность этого класса в данной тематике.

Для многочленов Pn и Лп степени не выше n, записанных в виде

nn

Рп(г) = ^ СП а^ гк, Ап(г) = ^ СП Л^ гк, к=0 к=0

многочлен

п

ЛпРп(г) = ^ СПЛкак/ (0.12)

к=0

называется композицией Сеге многочленов Лп и Рп. Свойства композиции Сеге можно найти в [33, отд. V] и [63, глава 4]. При фиксированном Лп композиция Сеге (0.12) является линейным оператором в Рп.

В дальнейшем будет играть важную роль многочлен

РЛг ) = (1 + г)п = £ Спк /,

к=0

композиция Сеге с которым есть тождественный оператор в Рп.

В. В. Арестов в работах [3, 4] рассматривал операторы, представимые в виде композиции Сеге. А именно, он изучал вопрос о точной константе сп(Лп) в неравенствах

/>2п />2п

/ р (|ЛпРп(вй)|) ^ ^ / ^(сп(Лп)|РпИ) ^ (0.13)

00

для функций ^ Е Ф+.

Пусть Рр и РТ _ классы многочленов степени не выше п, все нули которых лежат в единичном круге |г| ^ 1 и, соответственно, в области | ^ 1. Через и обозначим классы операторов Лп таких, что многочлен Лп принадлежит классу Р0 и, соответственно, классу Р0. Обозначим ^ = П и и П-.

В. В. Арестов в 1979-1981 г. получил следующий результат.

Теорема Е (В. В. Арестов [3, 4]). При п ^ 1 для произвольного оператора Лп Е и для произвольной функции р Е Ф+ неравенство (0.13) выполняется с точной константой

Сп — шах(|Л0|, |Лп|). (0.14)

Неравенство (0.13) обращается в равенство на полиномах

Ра ф0 Ра ФТ Ра Ф0 м ФТ

1 п Е п Е р п 1 1 п Е р п ^ р п

в зависимости от того, принадлежит ли оператор Лп классу или

В. В. Арестов сначала доказал теорему Е для функции р(и) — 1пи, используя свойства композиции Сеге и субгармонических функций. Затем он перенёс утверждение теоремы на произвольные функции р Е Ф+ в два этапа. Сначала он распространил его на функцию 1п+ и, а затем на другие функции р Е Ф+, строя для них специальным образом интегральное представление при помощи функции 1п+ и.

Классической производной порядка г Е N на множестве тригонометрических полиномов Тп соответствует на множестве многочленов Р2п оператор композиции Сеге с многочленом Л2п Е ^2п (см. [3, 4]). Для него Л0 — Л2п — пг. Поэтому из теоремы Е вытекает

Следствие 2. Для произвольной функции р Е Ф+ при п ^ 1 во множестве тригонометрических полиномов Т,(С) выполняется точное неравенство

/ р (|/(*)|) ^ р (п|/п(^)|) /п Е Тп(С). (0.15)

00

Следствие 3. Для производных порядка г Е N при 0 ^ р ^ то имеет место (точное) неравенство Бернштейна:

Нл ^ ||/„ур, / е Тп(С). (0.16)

Для обоснования неравенства (0.16) при р = 0 достаточно взять в неравенстве (0.15) функцию = 1пм, а для 0 < р < то — функцию = мр. Случай р = то получается при помощи предельного перехода при р ^ то.

В 1989 г. М. Голичек и Дж. Лоренц [57] опубликовали результат, который состоит в том, что для функций р Е Ф+ и вещественных А, В во множестве ТП(С) выполняется (точное) неравенство

/>2п

/ Р

'0

аш + в

п

^ р (^А2 + В2 /(¿)|) / е Т(С). 0 (0.17)

Формально, неравенство (0.17) является более общим по сравнению с (0.15). На самом же деле этот результат не является новым, он содержится в работах [3, 4]. Суть в том, что оператору

А/ + В^, А, В Е С, п

во множестве тригонометрических полиномов Т(С) во множестве Р2п алгебраических многочленов соответствует оператор

Я2п(^) = Л2пР2п(^) = (А - ¿В)Р2п(*) + -Р2п(^),

п

являющийся композицией Сеге с многочленом

Л2п(г) = (1 + г)2п-1 ((А - ¿В) + (А + ¿В)*),

который, очевидно принадлежит классу ^2п. Поэтому неравенство (0.17) содержится в (0.13).

В 1990 г. В. В. Арестов обобщил теорему Е, а именно, он доказал [5] следующее утверждение.

Теорема Е (В. В. Арестов [5]). Для произвольного многочлена Лп Е Рп и для любой функции р Е Ф+ справедливо неравенство

/>2п

I Рп Е Рп, (0.18)

Jо Jо

где

||ЛпНо = 1п |Р^

Для функции р(и) = 1п и неравенство точное и на многочлене ) = (1 + £)п обращается в равенство .

Из формулы (0.11) следует, что если многочлен Лп принадлежит классу Пп, то ||Лп||0 = шах{|Л0|, |Ап|}. Поэтом неравенство (0.18) содержит неравенство (0.13) с константой (0.14).

Пусть ^п(Лп)р — точная константа в неравенстве

||ЛпРп Нр ^ ^п(Лп)р|Рп|р.

Для оператора композиции Сеге с произвольным многочленом Лп при всех 0 ^ р ^ то выполняются неравенства [5]

^п(Лп)2 < ^п(Лп)р < ^п(Лп)о. (0.19)

Ранее было известно, что для 1 ^ р < то выполняется неравенство

^п(Лп)р < ^п(Лп)то. (0.20)

В этом можно убедиться методом Стейна [71], см. В. В. Арестов [4, п. 1].

В данной диссертации изучается поведение точной константы в неравенстве Бернштейна-Сеге при р = 0. Согласно (0.19), такая константа является наибольшей по р Е [0, то]. Благодаря этому исследования в пространстве Ь0 приобретают дополнительный интерес.

В 1994 году В. В. Арестов [6] изучал поведение точной константы в неравенстве Сеге для производной неотрицательного целого порядка г сопряжённых тригонометрических полиномов в пространстве Ь0:

:(г) ' n

^ Bn(r,n/2)o ||/1|0 .

n

В. В. Арестов доказал, что при r ^ n ln 2n справедливо равенство Bn(r, п/2)0 =

nr.

Он получил двусторонние близкие по порядку оценки для константы в случае r = 0:

— n+1

^ Bn(r,n/2)o ^ 2C2+1,

n

из которых видно, что норма оператора сопряжения в L0 растёт существенно быстрее, чем в —2п.

При фиксированном r В. В. Арестов получил логарифмическую асимптотику точной константы при n ^ то :

Bn(r,n/2)o = 4n+o(n).

В некоторых случаях известны порядковые результаты для величины Вп(а, в)р. Э.С.Белинский, И. Р. Лифлянд [52] и К.Руновский, Г.-Ю. Шмайссер [70] доказали, что при 0 < p ^ то неравенство а > (1/p — 1)+ = max{0,1/p — 1} является достаточным условием для того, чтобы при всех в Е R выполнялось порядковое соотношение Вп(а,в)р х па. С другой стороны, при в = 0 это условие является и необходимым. Э. С. Белинский, И. Р. Лифлянд [52] доказали, что Bn(a, 0)p х n1/p—1 при 0 < p < 1, 0 < а < 1/p—1, а £ N и Bn(a, 0)p х n1/p—1 ln1/p n при 0 <p < 1, а = 1/p — 1 £ N. В случае производной нулевого порядка А. И. Козко [59, theorem 5] доказал, что Bn(0,0)p х n(1/p—1)+ для всех p > 0.

Точные неравенства для тригонометрических полиномов — классический и трудный раздел теории функций. Ими занимались С. Н. Бернштейн [17], Г. Сеге

[72], Д. Джексон [58], С. Б. Стечкин [37, 38], С. М. Никольский [30, 31], А. П. Кальде-рон, Г. Клейн [55], Н. К. Бари [13], Л. В. Тайков [42, 43], Н. И. Черных [48], В. В. Арестов, П. Ю. Глазырина [8, 49], В. И. Иванов [21, 22], С. В. Конягин [24, 14], В. Ф. Ба-бенко, С. А. Пичугов [11, 12], А.И.Козко [25], А. Г. Бабенко [10], А.Л.Лукашов, С.В.Тышкевич [60], Э. А. Стороженко [40, 41], А.Н.Адамов [1, 2]. Подробную информацию о точных неравенствах можно найти в монографиях [32, 45, 26, 66]. Выше были описаны лишь результаты, непосредственно относящиеся к тематике данной работы.

0.2 Основные результаты диссертации

В данной диссертации будет изучаться поведение точной константы в неравенстве Бернштейна-Сеге в пространстве L0 в случае производной положительного нецелого порядка а, а также производной нулевого порядка, при произвольном вещественном в. Важную роль здесь играет полином hn(t) = cos2n |. Как будет показано в разделе 1.1, на нём неравенство Бернштейна-Сеге в пространстве L0 обращается в равенство.

Основными в работе являются следующие результаты.

1. Получена логарифмическая асимптотика поведения по n точной константы Вп(а,в)0 в неравенстве Бернштейна-Сеге в пространстве L0 для производной Вейля-Сеге положительного нецелого порядка а, а также а = 0, при произвольном вещественном в (теорема 4, теорема 5):

lim ПBn(a, в)о = 4.

2. Показано, что при достаточно больших значениях а, а именно а > n ln2n, точная константа Вп(а, в)р имеет классическое значение na при любом вещественном в при p = 0 и, следовательно, для всех p, 0 ^ p ^ то (утверждение 3).

3. Для производной нулевого порядка (а = 0) при в = 0 получены двусторонние точные по порядку оценки константы Bn(0,0)0 (теорема 5):

с n

с2п ^ Bn(0, в)о ^ 2C?-1.

4. Получено представление оператора Вейля-Сеге D^ при положительном нецелом а и произвольном в Е R через производную Вейля Da (теорема 2).

А именно, доказано, что для положительного нецелого а при произвольном в Е R на множестве тригонометрических полиномов имеет место формула

где

D/n(*) = A/n(a)(i) + В (g(a))(-i),

sin(па + в) _ sin в

A = —---, В =--

sin па sin па

20

и gn(t) = fn(—t). Эта формула, в частности, позволяет получить асимптотическую формулу производной Вейля-Сеге положительного нецелого порядка а по-

линома hn, исходя из асимптотической формулы производной Вейля Dahn этого полинома.

5. Получены асимптотические формулы по порядку n для x G (0, 2п) производной Вейля-Сеге положительного нецелого порядка а экстремального полинома hn(x) = cos2n(x/2) (теоремы 1,3).

А именно, доказано, что для всех в G R при x G (0, 2п) имеет место асимптотическая формула

D^hn(x) ~ — 2Г(<а+ (sin(na + e)Fa+1(x) — sinв^а+1(2п — x)) , n ^ то, ynn V /

в которой функция Fa+1 при а > 0 и x > 0 определена формулой

то х

Fa+l(x) = E(x + 2nk)«+1' k—0

Этот результат играет основную роль в получении логарифмической асимптотики точной константы и, кроме того, интересен сам по себе.

Результаты работы опубликованы в статьях автора [75, 76, 77] в журналах из списка ВАК и тезисах конференций [78, 79, 80].

Выражаю глубокую благодарность моему научному руководителю, доктору физико-математических наук, профессору Виталию Владимировичу Арестову за постановку задачи и постоянное внимание к работе автора.

1 Предварительные результаты

1.1 Представление производной Вейля —Сеге тригонометрических полиномов через композицию Сеге алгебраических многочленов

Покажем, что оператор Вейля-Сеге Da, определённый формулой (0.6) во множестве Tn(C), с помощью формулы (0.10) можно представить в виде оператора композиции Сеге (см. формулу (0.12)) во множестве P2n с некоторым многочле-2n , а точнее,

Da/„(t) = e-int (а£?P2n) (eit), /„(t) = e-intP2n(eit). (1.21)

Утверждение 1. При a ^ 0 и в G R производной Вейля - Сеге Da на множестве Tn по формуле (1.21) соответствует на множестве P2n оператор композиции Сеге с многочленом

n

Agf (z) = Е C2n+kka (Vi(na/2+0)zn-k + ei(na/2+0)zn+k) . (1.22)

k=i

Доказательство. Запишем произвольный полином из Tn в виде

n n n

/n(t) = Е Ckeikt = Е c-ke-ikt + Со + E CkеШ = е-ш'Р2п(ей), k=-n k=1 k=1

где

nn

P2n(z ) = E c-k zn-k + Coz „ + E Ck z„+k. (1.23)

k=1 k=1

Применим к полиному /„ оператор Da. При 1 ^ k ^ n для полинома /„(t) =

-l-ikt e имеем

Dae±ikt = Da(cos kt ± i sin kt) =

ka (cos (kt + ™ + в) ± i sin (kt + ™ + в)) = kae±ikte±i(na/2+0).

Слагаемое Со производная Вейля-Сеге обратит в ноль. Отсюда заключаем, что

n n

Df^t) = ^ c-k e-ikte-i(na/2+0) + ^ Ck kVkV(na/2+0) = e-intQ2n (ей), k=i k=i

где

nn

Q2n(z ) = ^ c-k kae-i(na/2+0)zn-k + ^ Ck ei(na/2+0)zn+k. k=i k=i Нетрудно убедиться, что многочлен Q2n является суперпозицией Сеге Q2n =

A^f P2n многочлена А^П, определенного формулой (1.22) и многочлена P2n, заданного формулой (1.23). Утверждение 1 доказано.

1.2 Переход к изучению производной Вейля —Сеге экстремального полинома

Согласно теореме F, точная константа в неравенстве (0.7) равна ЦЛаП ||о. Неравенство (0.7) точное и обращается в равенство на многочлене P2*n(z) = (1 + z)2n. По формуле (0.10) ему соответствует полином

e-int(1 + e^)2n = (eit/2 + e-it/2)2n = 4n cos2n -,

2

а многочлену Л2п — полином

e-intAan,0 (eii) = 4nD^hn. (1.24)

Таким образом, полином

^(¿) = ес82п 2 (1.25)

является экстремальным в неравенстве (0.7). Таким образом, справедливо

Утверждение 2. Для точной константы в неравенстве (0.7) выполняются равенства

Вп (м)о = 1Лп Но = 4п имо.

В дальнейшем будет изучаться именно производная Вейля-Сеге поли-

нома hn. В главе 2 диссертации это сделано для положительных нецелых а. В главе 3 рассматривается случай а = 0.

1.3 Достаточное условие равенства Bn(a, 0)0 = па

Выясним достаточные условия на параметры а и n, при которых наилучшая константа Bn(а, в неравенстве (0.7) имеет классическое значение na при p = 0, а как следствие, и при всех 0 ^ p ^ то. Многочлен A^f имеет вид

n—1 n—1

R(z) = e—^ ^ ßk zk + e^ ^ ßk z2n—k, (1.26)

k=0 k=0

где ßk = Ckn(n — k)a и ^ = па/2 + 0.

Если числа ßk положительны и не возрастают по k, то из этого следует [33,

т. 1, отдел III, гл. 1, §2, задача 22], что нули многочлена

n— 1

^ ßn-1-k zk (1.27)

k=0

лежат вне открытого единичного круга. Подобное утверждение для многочленов с положительными неубывающими коэффициентами будет обсуждаться ниже в лемме 3 раздела 3.1. В свою очередь, из этого следует [33, т. 1, отдел III, гл. 1, §2, задача 26], что нули многочлена R лежат на единичной окружности. Отсюда в силу формулы (0.11) следует равенство ||R||0 = ß0.

Выясним, при каких а числа ßk не возрастают по k. Рассмотрим при 0 ^ k ^ n — 2 отношение

ßk+i (2n)!k!(2n — k)! (n — k — 1)a 2n — k ( 1 ^

ßk (k + 1)!(2n — k — 1)!(2n)! (n — k)a k + 1 V n — k оно, очевидно, убывает по k. Подставив k = 0, получим условие

„ (n—iv ,

n—) *11

24

которому равносильно условие

ln 2n

а >

ln

n—1

Поскольку

ln fl — 1) < — 1,

\ n J n

то

ln 2n

n ln 2n >

ln

n— 1

Таким образом, условие а > n ln2n является достаточным для монотонности коэффициентов многочлена (1.27), соответствующего многочлену (1.26). При его выполнении точная константа Вп(а,9)0 равна na.

В этом случае в силу неравенства (0.19) при 0 < p ^ то будет выполняться неравенство Вп(а,9)р ^ Вп(а,9)0 = na. С другой стороны, полином cosnt даст оценку снизу Вп(а,9)р ^ na. Таким образом, справедливо

Утверждение 3. При выполнении условия а > n ln2n для всех 0 ^ p ^ то выполняется равенство

Bn(a,^)p = na.

Возникает вопрос о нахождении необходимых и достаточных условий на параметры, при выполнении которых справедливо классическое равенство Вп(а,9)0 = na. В частности, представляет интерес вопрос о том, каково (для фиксированных n и 9) наименьшее возможное значение ап(9) такое, что равенство Вп(а,9)0 = na имеет место при всех а ^ ап(9). Вычисления на компьютере позволяют выдвинуть гипотезу: ап(9) = 2n — 2 вне зависимости от 9. В 2014 г. В. В. Арестов и П. Ю. Глазырина [9] обосновали эту гипотезу для n = 2. Более того, они доказали, что при а Е [0,1) U (1, 2) точная константа в неравенстве Бернштейна строго больше 2а. В 2017 г. Н. В. Попов [34] анонсировал такой результат для неравенства Бернштейна при n ^ 5, а в 2018 г. [35] — при n ^ 8. Для произвольного n Е N задача остаётся нерешённой.

2 Неравенство Бернштейна —Сеге для производных положительного нецелого порядка

В данной главе будет изучаться производная Вейля-Сеге положительного нецелого порядка а экстремального полинома неравенства (0.7).

2.1 Асимптотика производной Вейля экстремального полинома

Для в > 1 определим при и > 0 функцию

то 1

£ (2Л)

к—0

Функция РДи) как функция двух переменных в и и является дзета-функцией Гурвица ((в,и). В данной работе мы смотрим на РДи) как на функцию одной переменной и Е (0, то), зависящую от в как от параметра.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Леонтьева Анастасия Олеговна, 2019 год

Список литературы

[1] Адамов, А. Н. Неравенство типа Турана для тригонометрических и сопряжённых тригонометрических полиномов в Ь0 / А. Н. Адамов // Укр. мат. журн. — 2009. — Т. 61, № 7. — С. 986-995.

[2] Адамов, А. Н. О константе в неравенстве Сеге для производных сопряжённых тригонометрических полиномов в Ь0 / А. Н. Адамов // Вестник Од. нац. ун-та. Мат. и мех. — 2014. — Т. 19, вып. 1(21). — С. 7-15.

[3] Арестов, В. В. О неравенствах С. Н. Бернштейна для алгебраических и тригонометрических полиномов / В. В. Арестов // Докл. АН СССР. — 1979. — Т. 246, № 6. — С. 1289-1292.

[4] Арестов, В. В. Об интегральных неравенствах для тригонометрических полиномов и их производных / В. В. Арестов // Изв. АН СССР. Сер. Мат. — 1981. — Т. 45, №1. — С. 3-22.

[5] Арестов, В. В. Интегральные неравенства для алгебраических многочленов на единичной окружности / В. В. Арестов // Матем. заметки. — 1990. — Т. 48, № 4. С. 7-18.

[6] Арестов, В. В. Неравенство Сеге для производных сопряженного тригонометрического полинома в Ь0 / В. В. Арестов // Матем. заметки. — 1994. — Т. 56, № 6. — С. 10-26.

[7] Арестов В. В. Точные неравенства для тригонометрических полиномов относительно интегральных функционалов / В. В. Арестов // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. — 2010. — Т. 16, № 4. — С. 1-16.

[8] Арестов, В. В. Интегральные неравенства для алгебраических и тригонометрических полиномов / В. В. Арестов, П. Ю. Глазырина // Доклады АН. — 2012.

— Т. 442, № 6. — С. 727-731.

[9] Арестов, В. В. Неравенство Бернштейна-Сеге для дробных производных тригонометрических полиномов / В. В. Арестов, П. Ю. Глазырина // Труды Ин-та математики и механики УрО РАН. — 2014. — Т. 20, № 1. — С. 17-31.

[10] Бабенко, А. Г. Неравенства слабого типа для тригонометрических полиномов / А. Г. Бабенко // Тр. ИММ УрО РАН. — 1992. — Т. 2. — С. 34-41.

[11] Бабенко, В. Ф. Точное неравенство для производной тригонометрического полинома, имеющего только вещественные нули / В. Ф. Бабенко, С. А. Пичугов // Матем. заметки. — 1986. — Т. 39, № 3. — С. 330-336.

[12] Бабенко, В.Ф. О неравенствах для полиномов с вещественными корнями /

B. Ф. Бабенко, С. А. Пичугов // Тр. МИАН СССР. — 1987. Т. 180. — С. 35-36.

[13] Бари, Н. К. Обобщение неравенств С. Н. Бернштейна и А. А. Маркова / Н.К.Бари // Изв. Акад. Наук СССР. Сер. мат. — 1954. — № 18. — С. 159176.

[14] Белов, А. С. Оценка свободного члена неотрицательного тригонометрического полинома с целыми коэффициентами / А.С.Белов, С.В.Конягин // Матем. заметки. — 1996. — Т. 59, № 4. — С. 627-629.

[15] Бернштейн, С. Н. О наилучшем приближении непрерывных функций посредством многочленов данной степени / С. Н. Бернштейн // Собр. соч.: в 4 т., т. 1.

— М.: Изд.-во АН СССР. — 1952. — С. 11-104.

[16] Бернштейн, С.Н. Авторские комментарии. Собр. соч. : в 4 т., т. 1 /

C. Н. Бернштейн // М.: Изд.-во АН СССР. — 1952. — С. 526-562.

[17] Бернштейн, С.Н. Об одной теореме Сеге / С. Н. Бернштейн // Собр. соч. : в 4 т./ С. Н. Бернштейн // М.: Изд.-во АН СССР. — 1952.

[18] Гейсберг, С. П. Аналоги неравенств С.Н. Бернштейна для дробной производной / С. П. Гейсберг // Вопросы прикладной математики и математического моделирования : Краткие содержания докл. 25-й науч. конф. — 24 янв. - 4 февр. 1967 г. Л.: Ленингр. инж.-строит. ин-т. — 1967. — С. 5-10.

[19] Гельфонд, А. О. Трансцендентные и алгебраические числа / А. О.Гельфонд // М., ГИТТЛ. — 1952.

[20] Зигмунд, А. Тригонометрические ряды: в 2 т. / А.Зигмунд // М.: Мир. — 1965. — Т. 1. 616 с.; Т. 2. 538 с.

[21] Иванов, В. И. Некоторые неравенства для тригонометрических полиномов и их производных в разных метриках / В. И. Иванов // Мат. заметки. — 1975. — Т. 18, N0 4. — С. 489-498.

[22] Иванов, В. И. Некоторые экстремальные свойства полиномов и обратные неравенства теории приближения / В.И.Иванов // Тр. МИАН СССР. — 1980. — Т. 145. — С. 79-110.

[23] Ильин, А. М. Асимптотические методы в анализе / А. М. Ильин, А. Р. Данилин // М.: ФИЗМАТЛИТ. — 2009.

[24] Конягин, С. В. О минимуме модуля случайных тригонометрических полиномов с коэффициентами ±1 / С. В. Конягин // Матем. заметки. — 1994. Т. 56, № 3. — С. 80-101.

[25] Козко, А. И. Дробные производные и неравенства для тригонометрических полиномов в пространствах с несимметричной нормой / А. И. Козко // Изв. РАН. Сер. матем. — 1998. — Т. 62, № 6. — С. 125-142.

[26] Корнейчук Н.П., Экстремальные свойства полиномов и сплайнов / Н. П. Корнейчук , В. Ф. Бабенко , А. А. Лигун // — Киев, Наукова думка. — 1992.

[27] Левин, Б.Я. Целые функции (курс лекций) / Б.Я. Левин // М.: МГУ им. М.В.Ломоносова. — 1971.

[28] Лизоркин, П. И. Оценки тригонометрических интегралов и неравенство Берн-штейна для дробных производных / П. И. Лизоркин // Изв. АН СССР. Сер. мат. — 1965. — Т. 4, № 3. С. 109-126.

[29] Маркушевич, А. И. Теория аналитических функций. Т. 1. / А. И. Маркушевич // М.: Наука. — 1967.

[30] Никольский, С. М. Обобщение одного неравенства С. Н. Бернштейна / С.М.Никольский // Доклады АН СССР. — 1948. — Т. 60, № 9. — С. 15071510.

[31] Никольский, С.М. Неравенства для целых функций конечной степени и их применение в теории дифференцируемых функций многих переменных. / С. М. Никольский // Тр. матем. ин-та АН СССР. — 1951. — Т. 38. — С. 244-278.

[32] Никольский, С. М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения / Никольский, С. М. // М.: Главная редакция физико-математической литературы издательства "Наука". — 1977. — 456 стр.

[33] Полиа, Г. Задачи и теоремы из анализа: в 2 т. / Г. Полиа, Г. Сеге // М.: Наука.

— 1978. — Т. 1: 391 с. Т. 2: 431 с.

[34] Попов, Н. В. О неравенстве для дробных производных / Н. В. Попов // Современные методы теории функций и смежные проблемы, Материалы Международной конференции: Воронежская зимняя математическая школа (26 января

- 1 февраля 2017 г.), Изд. дом ВГУ, Воронеж. — 2017. — С. 168-169.

[35] Попов, Н. В. О неравенстве С. Н. Бернштейна / Н. В. Попов // Современные проблемы теории функций и их приложения: материалы 19 Международной Саратовской зимней школы, посвящённой 90-летию со дня рождения академика П. Л. Ульянова. Саратов: ООО Изд-во «Научная книга». — 2018. — 380 с. :

ил.

[36] Самко, С. Г. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения / С. Г. Самко , А. А. Килбас , О. И. Маричев // Минск: Наука и техника. — 1987. — 638 с.

[37] Стечкин, С. Б. Обобщение некоторых неравенств С. Н. Бернштейна / С. Б. Стечкин // Докл. АН СССР. — 1948. — Т. 60, № 9. — С. 1511-1514.

[38] Стечкин, С. Б. К проблеме множителей для тригонометрических полиномов / С. Б. Стечкин // Докл. АН СССР. — 1950. — Т. 75, № 2. — С. 165-168.

[39] Стороженко, Э. А. Прямые и обратные теоремы типа Джексона в пространствах 0 < р < 1 / Э. А. Стороженко, В. Г. Кротов, П. Освальд // Мат. сб. — 1975. — Т. 98, № 140. — С. 395-415.

[40] Стороженко, Э.А. Неравенство Никольского-Стечкина для тригонометрических полиномов в Ь0 / Э. А. Стороженко // Мат. заметки. — 2006. — Т. 80, № 3.

— С. 421-428.

[41] Стороженко, Э. А. Неравенство типа Турана для комплексных полиномов в Ь0-метрике / Э. А. Стороженко // Известия вузов. Математика. — 2008. — № 5.

— С. 101-108.

[42] Тайков, Л. В. Один круг экстремальных задач для тригонометрических полиномов / Л. В. Тайков // УМН. — 1965. — Т. 20, № 3. — С. 205-211.

[43] Тайков, Л. В. Одно обобщение неравенства С. Н. Бернштейна / Л. В. Тайков // Тр. МИАН СССР. — 1965. — Т. 78. — С. 43-47.

[44] Тайков, Л. В. О сопряженных тригонометрических полиномах / Л.В.Тайков // Матем. заметки. - 1990. - Том 48, № 4. - С. 110-114.

[45] Тиман, А. Ф. Теория приближения функций действительного переменного. -М.: ГИФМЛ, 1960.

[46] Фельдман, Н.И. Аппроксимация некоторых трансцендентных чисел. I. Аппроксимация логарифмов алгебраических чисел / Н. И. Фельдман // Изв. АН СССР. Сер. матем. - 1951. - Т. 15, № 1. - С. 53-74.

[47] Харди, Г. Г. Неравенства / Г. Г. Харди, Дж. Е. Литтлвуд, Г. Полиа // М.: ИЛ. - 1948.

[48] Черных, Н.И. О некоторых экстремальных задачах для полиномов / Н. И. Черных // Тр. МИАН СССР. - 1965. - Т. 78. - С. 48-89.

[49] Arestov V. V. Sharp integral inequalities for fractional derivatives of trigonometric polynomials / V. V. Arestov, P. Yu Glazyrina. //J. Approx. Theory. - 2012. -Vol. 164, №11. - P. 1501-1512.

[50] Arestov, V. V. Sharp integral inequalities for trigonometric polynomials : Constructive theory of functions: in memory of Borislav Bojanov (Proceedings of the International conference, Sozopol, 2010). (G. Nikolov and R. Uluchev, Eds.) / V. V. Arestov // Sofia: Prof. Marin Drinov Academic Publishing House. - 2012. -P. 30-45.

[51] Bang, T. Une inegalite de Kolmogoroff et les fonctions presque-periodiques / T. Bang // Danske Vid. Selsk. Math.-Fys. Medd. - 1941. - Vol. 19, № 4. - P. 28.

[52] Belinsky, E. S. Approximation properties in Lp, 0 < p < 1 / E. S. Belinsky, E. R. Liflyand // Funct. Approx. Comment. Math. - 1993. - Vol. 22. - P. 189-199.

[53] Bernstein, S. Sur l'ordre de la meilleure approximation des fonctions continues par des polynomesde degre donne / S. Bernstein // Memoires de l'Academie Royale de Belgique. - 1912. - Vol. 2, №4. - P. 1-103.

[54] Bernstein, S. Leçons sur les proprietes extrémales et la meilleure approximation des fonctions analytiques d'une variable réelle / S. Bernstein // Paris: Gauthier-Villar.

- 1926. - 213 p.

[55] Calderon, A. P. On an extremum problem concerning trigonometrical polynomials / A. P. Calderon, G.Klein // Studia Math. - 1951. - V. 12. - P. 166-169.

[56] Glazyrina P. Yu. Necessary conditions for metrics in integral Bernstein-type inequalities / P. Yu. Glazyrina //J. Approx.Theory. - 2010. - Vol. 162, № 6.

- P. 1204-1210.

[57] Golitschek, M.V. Bernstein inequalities in Lp, 0 ^ p ^ to. - Rocky Mountain J. Mathematics. - 1989. - Vol. 19, № 1. - P. 145-156.

[58] Jackson, D. Certain problems of closest approximation / D. Jackson // Bull. Amer. Math. Soc. - 1933. - V. 39. - P. 889-906.

[59] Kozko, A. I. The exact constants in the Bernstein-Zygmund-Szego inequalities with fractional derivatives and the Jackson-Nikolskii inequality for trigonometric polynomials / A. I. Kozko // East J. Approx. - 1998. - V. 4, №3. - P. 391-416.

[60] Lukashov, A. On trigonometric polynomials deviating least from zero on an interval / A. Lukashov, S. Tyshkevich // Journal of Approximation Theory. - 2013. - V. 168.

- P. 18-32.

[61] Mahler, K. An application of Jensen's formula to polynomials / K.Mahler // Matematika. - 1960. - V. 7, № 14. - P. 98-100.

[62] Mahler, K. On some inequalities for polynomials in several variables / K.Mahler // Journal London Math. Soc. - 1962. - № 37. - P. 341-344.

[63] Marden, M. The geometry of the zeros of polynomials in a complex variable / M.Marden // New York, Amer. Math. Soc. - 1949. - Math. Survey, № 3. - 184 p.

[64] Mate, A. Bernsten's inequality in Lp for 0 < p < 1 and (C,1)Bounds for Ortogonal Polynomials / A. Mate, P. G. Nevai // Ann. Math. 2nd Ser. - 1980. - Vol. 111, № 1.

- P. 145-154.

[65] Nevai, P. G. Bernstein's inequality in Lp for 0 < p < 1 / P. G. Nevai //J. Approx. Theory. - 1979. - Vol. 27, № 3. - P. 239-243.

[66] Rahman Q. I. and Schmeisser G. Les Inégalitees de Markoff et de Bernstein. - Les Presses del'Universite de Montreal. - 1983.

[67] Riesz, F. Sur les valeurs moyennes des fonctions / F. Riesz // Journal L. M.S. -1930. - 5. - P. 120-121.

[68] Riesz, M. Formule d'interpolation pour la derivee d'un polynome trigonometrique / M. Riesz // C. R. Acad. Sci. - 1914. - Vol. 158. - P. 1152-1154.

[69] Riesz, M. Eine trigonometrische Interpolationsformel und einige Ungleichungen für Polynome / M. Riesz // Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung. -1914. - Vol. 23. - P. 354-368.

[70] Runovski, K. On some extensions of Bernstein's inequality for trigonometric polynomials / K. Runovski K., H.-J. Schmeisser // Funct. Approx. Comment. Math.

- 2001. Vol. 29. - P. 125-142.

[71] Stein, E. M. Functions of exponential type / E. M. Stein // Ann. Math. - 1957. -V. 65, № 2. - P. 582-592.

[72] Szego, G. Über einen Satz des Herrn Serge Bernstein / G. Szego // Schrift. Königsberg. Gelehrten Gesellschaft. - 1928. - J. 5, H. 4. - S. 59-70.

[73] Weyl, H. Bemerkungen zum Begriff des Differentialquotienten gebrochener Ordnung / H.Weyl // Vierteljahrcsschrift der Naturforschenden Gesellschaft in Zurich. - 1917. - Bd 62, №1-2. - S. 296-302.

[74] Wilmes, G. On Riesz-type inequalities and K-functionals related to Riesz potentials in / G. Wilmes // N. Numer. Funct. Anal. Optim. - 1979. - Vol. 1, № 1. -P. 57-77.

Список работ автора по теме диссертации

[75] Леонтьева, А. О. Неравенство Бернштейна в L0 для производной нулевого порядка тригонометрических полиномов / А. О. Леонтьева // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. - 2013. - T. 19, № 2. - С. 216-223.

[76] Леонтьева, А. О. Неравенство Бернштейна для производных Вейля тригонометрических полиномов в пространстве L0 / А.О.Леонтьева // Матем. заметки. - 2018. - Т. 104, № 2. - С. 255-264.

English translation: Leont'eva, A. O. Bernstein's Inequality for the Weyl Derivatives of Trigonometric Polynomials in the Space L0 / A. O. Leont'eva // Math. Notes. -2018. - Vol. 104, № 2. - P. 263-270.

[77] Леонтьева, А. О. Неравенство Бернштейна-Сеге для производных Вейля тригонометрических полиномов в пространстве L0 / А. О. Леонтьева // Труды ИММ УрО РАН. - 2018. - Т. 24, № 4. - С. 199-207.

Тезисы докладов автора

[78] Леонтьева, А. О. Неравенство Бернштейна для производной нулевого порядка тригонометрических полиномов / А. О. Леонтьева // Современные проблемы математики: Междунар. (44-й Всероссийской) молодёж. шк.-конф.: тезисы. Екатеринбург. — 2013. — С. 276-277.

[79] Леонтьева, А. О. Неравенство Бернштейна - Сеге для производной Вейля тригонометрических полиномов в пространстве Ь0 / А. О.Леонтьева // Современные проблемы математики и её приложений: тезисы Международной (49-й Всероссийской) молодёжной школы-конференции. Екатеринбург: ИММ УрО РАН, УрФУ. — 2018. — С. 76.

[80] Леонтьева, А. О. Неравенство Бернштейна-Сеге для производной нулевого порядка тригонометрических полиномов в пространстве Ь0 / А. О. Леонтьева // Современные проблемы математики и её приложений: тезисы Международной (50-й Всероссийской) молодёжной школы-конференции. Екатеринбург: ИММ УрО РАН, УрФУ. — 2019. — С. 89-90.