О некоторых нетрадиционных методах приближения, связанных с комплексными полиномами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Косухин, Олег Николаевич

• Косухин, Олег Николаевич
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Косухин, Олег Николаевич

Введение

Глава I. Об аппроксимационных свойствах наипростейших дробей

§1. О приближении наипростейшими дробями на компактах.

§2. О приближении наипростейшими дробями на неограниченных кривых.

§3. О наипростейших дробях Паде.

Глава II. О скорости приближения замкнутых жордановых кривых лемнискатами

§1. О приближении жордановых кривых общего вида.

§2. О приближении гладких жордановых кривых.

§3. Об оценках снизу для величин наименьших уклонений.

Глава III. Об оценках производных от рациональных функций на компакте

§1. Об условиях существования оценок типа

Маркова-Бернштейна почти всюду на компакте.

§2. Влияние малых изменений компакта на исключительное множество.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «О некоторых нетрадиционных методах приближения, связанных с комплексными полиномами»

Во многих разделах математики важную роль играют задачи об аппроксимации более сложных объектов менее сложными. Для решения таких задач часто оказывается необходимым знание методов и результатов теории приближений, центральное место в которой занимают теории приближения функций посредством алгебраических и тригонометрических полиномов, рациональных дробей (соответственно полиномиальная и рациональная теория приближений). Бурное развитие математики в XX веке привело к возникновению новых задач, для решения которых оказалось необходимым изучение новых нетрадиционных методов приближения функций и множеств. Настоящая работа посвящена исследованию некоторых из этих методов, связанных с комплексными полиномами: приближению функций посредством наипростейших дробей и приближению жорда-новых кривых посредством лемнискат в хаусдорфовой метрике.

Основные результаты диссертации опубликованы в трех статьях [2527]. Работа [26] написана в соавторстве с П.А.Бородиным. Доказательство теоремы 1 этой работы (в диссертации это теорема 1.4) получено ее авторами независимо друг от друга, теорема 2 этой работы (теорема 1.5 диссертации) принадлежит О.Н.Косухину. Остальные основные результаты диссертации получены и опубликованы ее автором без соавторства. Основные результаты диссертации также опубликованы в Трудах математического центра имени Н.И.Лобачевского (см. [28-30]).

Работа состоит из оглавления, введения, трех глав и списка цитированной литературы из 30 названий. В первой главе рассматриваются рациональные функции вида Rn(z) = \j[z — aj), где aj (полюсы функции Rn(z)) — некоторые точки комплексной плоскости С — не обязательно различные. По предложению Е.П. Долженко такая функция названа наипростейшей дробью, число п — ее порядком. Класс всех наипростейших дробей порядка не выше п обозначим SRn. Очевидно, Rn(z) = (logP(z))' = P'(z)/P(z), где P(z) = C(z — a\).(z — an) — полином степени п (С = const ф 0). Поэтому наипростейшую дробь также называют логарифмической производной многочлена.

Внимание к логарифмическим производным многочленов было обращено работами А.Дж.Макинтайра и У.Х.Дж.Фукса (1940 г.), А.А.Гончара (1955 г.) и Е.П.Долженко (1960 г.), посвященными рациональным аппроксимациям и решению некоторых экстремальных задач. Это направление исследований продолжает развиваться и внастоящее время.

Логарифмические производные многочленов имеют и простой физический смысл: Rn(z) представляет собой напряженность плоского электростатического поля в точке z, созданного положительными единичными зарядами, расположенными в точках a,j — при этом, если в некоторой точке а находятся ровно к точек aj, то, соответственно, в этой точке расположен заряд величины к.

В работе [18] А.Дж.Макинтайру и У.Х.Дж.Фуксу, опираясь на известную лемму Картана, для любого натурального п удалось доказать ряд оценок сверху на максимум модуля логарифимической производной многочлена от z в плоскости С с выброшенным из нее набором из не более чем п "малых" в некотором смысле кругов. В частности, им удалось показать, что для любого набора комплексных чисел а\, а,2, ., ап и любого е > 0 существует такой набор из не более чем п кругов {Bf.}k с радиусами Vf. соответственно, что Ylk rk < 2е и z ~ аз\ £ i- ^ j=i I "J I для всех г€С \ U f-Bk. Сами авторы предположили, что логарифм в пра

11

TL —(1 + log п) может быть опущен, и £ вой части неравенства н г —

• t Z~a3 j = l J даже доказали это утверждение в частном случае когда все лежат на одной прямой. Вопрос о справедливости этого утверждения в случае произвольного расположения {aj} оставался открытым вплоть до недавнего времени. Его удалось решить в работе [1] Дж.М. Андерсону и В.Я. Эйдерману, показав, что в этом случае точной по порядку относительно ?? будет оценка п

Е— — V/bg(^+T)) где С = const > 0. £

Другим примером экстремальной задачи для логарифмической производной многочлена является задача, возникшая в теории дифференциальных уравнений и впервые поставленная Е.А. Гориным в 1962 году ([6]). Пусть d{L,Rn) — обычное (евклидово) расстояние между множеством {a,j} всех полюсов функции Rn G SRn и заданным множеством L С С, a dn(L) — infimum величин d(L,Rn) по всем Rn Е SRn, для которых \Rn(z)\ < 1 при z € L. Задача состоит в том, чтобы отыскать как можно более точную оценку снизу на величины dn(L) с ростом п. В случае, когда L совпадает с действительной осью R отысканием таких оценок в разное время занимались Е.А. Горин (1962), Е.Г. Николаев (1965), А.О. Гельфонд (1966), В.Э. Кацнельсон (1967). Наибольших успехов в решении этой трудной задачи добился В.И. Данченко (1991, [7]), который не только впервые доказал стремление величин dn(L) к нулю с ростом п, но и нашел точный порядок такого стремления в случаях, когда г т? г ^ / I I 1\ 1 lQg lQg 71 ^ 1 s о 1оё 1оё 71 L = R и L = С := {z : z = 1): - • —-< dn(R) < 2 • —-,

9 log n log n

1 log Tl lc>S ^

- --< dn(C) < 2 --для достаточно больших п. В случае других

4 п п множеств L, отличных от прямых и окружностей комплексной плоскости, вопрос об оценке величины dn(L) остается открытым.

Первая работа, касающаяся приближения непрерывных функций посредством наипростейших дробей, опубликована в 1999 году В. И. и Д. Я. Данченко [8]. Эта работа положила начало интенсивному изучению ап-проксимационных свойств наипростейших дробей в научной школе Е.П. Долженко.

При условии, что компакт К не разбивает плоскости С, В.И. и Д.Я. Данченко доказали возможность равномерного приближения посредством наипростейших дробей (с любой точностью) каждой функции / из класса СА(К) непрерывных на К и аналитических во внутренних точках К функций. Для каждой такой функции в [8] указан способ, с помощью которого можно построить последовательность Rn(z) наипростейших дробей, равномерно сходящуюся к / на К. При этом, начиная с достаточно больших п, все полюсы функции Rn(z) лежат вне произвольного фиксированного круга. Эта теорема является аналогом известной теоремы С.Н. Мер-геляна о полиномиальных приближениях и имеет качественный характер. Возникает естественный вопрос об оценке скорости наилучшего равномерного приближения посредством наипростейших дробей в зависимости от свойств компакта К и приближаемой функции /.

В первом параграфе главы исследуется связь между скоростью убывания к 0 величин /?п(/, К) при п —> со и свойствами приближаемой функции f(z) на компактах К специального вида, введенных в [8]. Обозначим через К(Ъ, d) класс всех компактов К С С со связным дополнением в С, для которых существует такая точка b £ К и такое число d > 0, что любую точку z £ К можно соединить с b некоторой спрямляемой кривой l(b, z) С К длины не более d.

Обозначим еще через А(К) семейство функций /, каждая из которых аналитична в некоторой окрестности U(f) компакта К, а через СЛ(К) — семейство всех функций f(z), непрерывных на К и аналитических во внутренних точках К. Для К Е K(b,d) и / Е СА(К) в [8] введена в рассмотрение функция a(z) = a(f;z) := ///(С) гДе интегрирование ведется по любому спрямляемому пути l(b,z) С К, ведущему из b в z. Очевидно, что интеграл в правой части последнего неравенства не зависит от выбора пути l(b,z), а функция a(z) принадлежит классу СА(К).

Для любого компакта К С С и функции / Е С (К) обозначим через u(f, К] 5) := sup {\f(z + Az) - f(z)\ : z, z + Az E К, |Az\ < равномерный модуль непрерывности функции / на этом компакте. Для любых чисел к = 0,1,2,. и /3 Е (0,1] определим Lipк+^(К) как класс всех функций / Е С(К), имеющих непрерывную k-ю производную на К (считаем = /), для которых найдется такая константа М = М(К, /, к, /3) > О, что неравенство cu(f^k\K;S) < М выполнено для всех S > 0. При всех к = 0,1,2,. обозначим также через Zк(К) класс всех непрерывных б на К, имеющих непрерывную на нем к-ю производную для которой неравенство \f^k\z-bh) — 2f^k\z)-\-f^(z—h)\ < Ch выполнено с некоторой положительной константой С = С(/, к) для всех h > 0 и z+h, z,z — h G К.

Для любого d > 0 положим Д^ := [—d,d] и Da '•= {z : |z| < d}.

Известные теоремы Д.Джексона ([12], [13]) дают оценку величин наименьших равномерных уклонений En(f,K) многочленов порядка не выше п от функции / 6 СА(К) в случае, когда К — отрезок Л,/ или замкнутый круг Da, через ее модуль непрерывности u(f,K;d). Эти теоремы относятся к так называемым прямым теоремам теории приближений. Н.П.Корнейчук (см. [17], Гл.6, §6.2) уточнил эти оценки, отыскав точные константы, входящие в них. Именно, для таких К он показал, что En(f,K) < а>(/, К; 7rd/(n + 1)) (п = 1,2,.). В случае аппроксимации наипростейшими дробями имеют место аналогичные оценки.

Теорема 1.1. Пусть d > 0; К = Ad или К = Dd, / G СА{К). Тогда find, к) < c(d\\f\\) (и (/, ff;^) + ll/ll2) , где С (г) = 4(1 + г)е2г, п = 1,2,.

Замечание. Неравенство вида pn(f,K) < C(d,\\f\\)uj(f, K;7rd/n) не может быть справедливо для любой функции / € СА(К), так как уже для / = const ф 0 имеем u(f, K;itd/n) = 0 и в то же время р„(/, К) ф 0. Поэтому появление в правой части неравенства слагаемого (nd/n)\\f\\2 естественно.

Знаменитая теорема П.Л.Чебышева утверждает для произвольной непрерывной на отрезке функции / существование и единственность алгебраического полинома заданной степени п наилучшего равномерного на этом отрезке приближения. В теории равномерного приближения посредством наипростейших дробей аналогичное утверждение неверно: даже в случае, когда компакт К представляет собой отрезок или круг, а / 6 СА{К), наипростейшая дробь порядка не выше п наилучшего равномерного приближения для функции / на К может быть нееднпственна для некоторых п. Соответствующие примеры функций / были впервые построены П.А. Бородиным — учеником Е.П. Долженко. Существование же наипростейшей дроби наилучшего равномерного приближения в случае пролзвольного компакта К С Си произвольной функции / £ СЛ(К) легко следует из компактности в метрике п-мерной сферы Римана С" множества Rn{K, М) {(ai,a2,.,a„) : || Rn{z) = J2j=i l/(z ~ <*j)\\c(K) < М} С С" полюсов всех наипростейших дробей, ограниченных по модулю на К константой М = 2 ||/|| > 0 и непрерывности уклонения ||/?n — f\\c(K) как функции от полюсов (aj, ., ап) в этой метрике (считаем здесь l/(z — ос) = 0). Несмотря на серьезные различия, как показывает следующая теорема, аппроксимации наипростейшими дробями и аппроксимации полиномами на компактах из K(b,d) тесно связаны между собой.

Теорема 1.2. Пусть К е K(b, d), f Е СА(К), a{z) = a{f; z). Тогда Ci{d\\f\\)pn+i{f, К) < En{fea,K) < C2(d\\f\\)Pn+l(f,K), где C\(r) = 1/(2(1 + r)er), C2(r) = (1 + 2rer)er, n = 0,1,2,.

Теорема 1.2 позволяет получить целый ряд прямых и обратных теорем теории аппроксимации наипростейшими дробями, аналогичных известным теоремам из теории полиномиальных аппроксимаций.

Теоремы Д.Джексона (см. [13]) для гладких на компакте К = Д,/ или К = Dd функций утверждают, что для любого натурального к, некоторой положительной константы С = C(d,k), произвольной функции / е

СА(К). имеющей непрерывную на К производную порядка к, и люu(fW,K;d/(n-k)) бого п > к выполнено неравенство En(f, К) < С ■ —---. пк

Следствие 1.2.1. Пусть d > О, К = Ad или К = Dd, /, f{k) G СА(К). Тогда гдеС = С (d, к, ||Л|, ||/<»||,., ||/С>||) > 0, п > к + 2.

С.Н. Бернштейн и А. Зигмунд (см. [13]) соответственно доказали, что справедливость неравенства D^) < С/пк+Р (к = 0,1,2,-., 6

0,1])при любом натуральном п с некоторой константой С = C(d,k,(3) > О является необходимым и достаточным условием для принадлежности функции / классу Lipпри /3 6 (0,1) и классу Zk(D<i) при /3 = 1.

Следствие 1.2.2. Функция / 6 CA(D,i) тогда и только тогда принадлежит классу L\pk+P(Dd) при (3 G (0,1), и классу Zk(Dd) при (3 = 1, когда условие pn(f,K) < C/nk+P выполнено при любом натуральном п с некоторой константой С = C(f,d,k,{3) > 0.

Следствие 1.2.3. Для того, чтобы для функции f Е С(Д,/) при каждом натуральном п имело место неравенство pn(f,K) < C/nk+lj с некоторой константой С = C(f,d, k,/3) > 0 необходимо и достаточно, чтобы функция f(t) := f(dcost) принадлежала классу при

3 е (0,1); и классу Zk(Ad) при (3 = 1.

В.К.Дзядык доказал (см. [13]), что для того, чтобы заданная функция f(x) при некотором целом неотрицательном к принадлеэюала классу Lip*+^(Ad) (классу Zk(Ad))> где 0 < (3 < 1, необходимо и достаточно, чтобы при каждом натуральном п > к нашелся такой алгебраический многочлен Pn(z) степени п, чтобы при всех х 6 Aj выполнялось неравенство |f(x) - Рп(х)| < А ■ rk+P(x) (|f{x) - Рп(х)| < А ■ rk+\x)), где А = A(f,d,k,(3) (А = A(f,d,k)) — постоянная, которая не зависит ни от х, ни от п, и rn(x) := \Jd2 — х2/п 4-1 /п2.

Следствие 1.2.4. Для того, чтобы заданная функция f(x) при некотором ц2лом неотрицательном к принадлеэюала классу Lip*"+^(Af/) (классу Zk(Ad)), где 0 < /3 < 1, необходимо и достаточно, чтобы для некоторого числа N > 0 при каоюдом натуральном п > N нашлась наипростейшая дробь Rn(z) порядка не выше п такая, чтобы при всех х 6 А,/ выполнялось неравенство

I/O*) - < Arkn^(x) (I/O*) - Rn(х)\ <АГь+1(х)), где А = A(f,d,k,(3) > 0 (А = A(f,d,k) > 0) — постоянная, которая не зависит ни от х, ни от п, и rn(x) := y/d2 — х2/п + 1/п2.

Пусть К — произвольный континуум на С, функция <p(z) однолистно и конформно отображает неограниченную связную компоненту дополнения к К в С на внешность единичного круга D := {z : \z\ < 1}, причем <р(оо) = оо, lim^^oc Lp(z)/z > 0. При R > 1 обозначим через Гц прообраз окружности Cr {z : \z\ = R} при этом отображении, а через Gr — внутренность кривой Гц. По теореме Уолша, для функции / е СЛ(К) справедливо неравенство limsupn^00 y/En(f, К) < 1 /R, если / аналитически продолжается с К на Gr (R > 1). Аналогичный результат верен и для аппроксимации наипростейшими дробями.

Теорема 1.3. Пусть К € K(b,d), функция f : К С определена на компакте К и мероморфна в его внутренних точках. При R > 1 неравенство limsup^oo y/pn{f, К) < 1/R имеет место тогда и только тогда, когда f(z) мероморфно продолэ/сается с К в Gr как логарифши-ческая производная Ff(z)/F(z) некоторой функции F{z), аналитической в Gr.

Второй параграф первой главы посвящен изучению аппроксимативных свойств наипростейших дробей на неограниченных замкнутых жор-дановых кривых L С С, то есть кривых, допускающих параметризацию <р : R I—> L инъективной функцией (р(х), определенной и непрерывной на действительной оси R, (р(х) —»• оо при х —> оо. Отметим, что для таких кривых построение содержательной теории равномерных полиномиальных аппроксимаций невозможно: любая функция, которую можно с любой точностью приблизить на этой кривой в равномерной норме полиномами, сама является полиномом. Как будет показано ниже, в отличае от теории равномерных полиномиальных аппроксимаций, теория равномерных аппроксимаций наипростейшими дробями на таких кривых весьма содержательна. Прежде всего интересен вопрос о полном описании класса SR{L) всех функций, допускающих на L равномерное приближение наипростейшими дробями с любой точностью. Обозначим через Cq(L) пространство всех таких комплекснозначных функций f(z), определенных и непрерывных на неограниченной жордановой кривой L С С, что f(z) —у 0 при z —> сю, z £ L. Очевидно, все наипростейшие дроби, не имеющие полюсов на L, принадлежат этому пространству. В силу полноты пространства Co(L) относительно равномерной нормы, получаем включение SR(L) С Cq(L). Как показывает следующая теорема, в случае L — R имеет место и равенство SR(R) = Co(R).

Теорема 1.4. Для любого и > 0 каждая функция из пространства Co(R) может быть с любой точностью равномерно па R приближена наипростейшими дробями с полюсами вне полосы IIW = {z : |Iin,z| < и}.

Следствие 1.4.1. Для любой прямой I € С каоюдая функция f{z), непрерывная на I и стремящаяся к нулю при z —> оо, z £ I, может быть с любой точностью равномерно на I приближена наипростейшими дробями.

Следствие 1.4.2. Любая действительнозначная функция из Co(R) может быть с любой точностью равномерно на R приближена действительнозначными наипростейшими дробями.

Теорема 1.5. Для любого неразвернутого угла (то есть двух лучей с общей вершиной, не принадлежащих одной прямой) Л С С найдется функция f € C{h), f(z) —у 0 при z —> оо, z G Л, которая не моо/сет быть с любой точностью равномерно на Л приближена наипростейшими дробями.

Попутно из доказательства теоремы 1.5 следует невозможность сущеп 1 ствования таких наипростейших дробей rn(z) = ^^-, что ||г„||^'(д) = j=1 0 йп3 max{|rn(2:)| : £ £ А} —> 0 при п —У оо и при каждом п хотя бы один из полюсов anj лежит внутри угла Л (0 < arg anj < а) и ограничен по модулю произвольным фиксированным числом М, не зависящим от п.

Третьй параграф первой главы посвящен аппроксимационным свойствам наипростейших дробей Паде.

В последние десятилетия возрос интерес к классическим аппроксимациям Падё ("дробям Падё"), их обобщениям и приложениям. Изучение этих объектов было начато еще О.Коши, К.Якоби, П.Л.Чебышевым, Т.Стильтьесом, А.А.Марковым и другими в их работах по цепным дробям. Резкое повышение интереса к дробям Падё связано с развитием вычислительной математики, теоретической и экспериментальной физики, и в значительной степени — вообще с возрастанием потребности в обработке экспериментальных данных. Наиболее существенные теоретические результаты, касающиеся классических дробей Падё, в последние десятилетия получены А.А. Гончаром и его учениками, Е.Н. Никишиным и его учениками. В настоящей работе исследуются так называемые наипростейшие дроби Падё (или, что то же, наипростейшие рациональные дифференциалы аналитических функций). Это направление теории дробей Падё в 1999 г. сформулировал Е.П. Долженко. Оказалось, что наипростейшие дроби Падё в сравнении с классическими дробями Падё обладают рядом замечательных особенностей.

Классические (одноточечные) аппроксимации Паде представляют собой естественное обобщение полиномов Тейлора. Именно, пусть / ~ со + c\z + C2Z2 + . — некоторый формальный степенной ряд с вообще говоря комплексными коэффициентами. Напомним, что рациональная функция 7гтп(/, z) = p(z)/q(z) со степенью числителя не выше п и степенью знаменателя не выше т называется дробью Паде (аппроксимацией Паде) порядка (n,m) для этого степенного ряда, если в формальном разложении разности q(z)f(z) — p(z) в степенной ряд с центром в точке z = О коэффициенты с номерами от к = 0 до к = п + т равны 0. Такое определение рациональной функции тгпт(f,z) наилучшего локального приближения (которая существует всегда и при том только одна) связано с тем, что задача об отыскании рациональной функции Rn,m(z) степени не выше (n,m), при которой формальный степенной ряд для f(z) — Rn,m(z) имеет нулевыми коэффициенты с номерами от 0 до п + га, не всегда разрешима.

При п > 1 наипростейшим рациональным дифференциалом порядка п — 1 функции f(z) в точке Ь, в некоторой односвязной окрестности U которой f(z) однозначна и аналитична, или наипростейшей дробью Па-де n-ого порядка функции f(z) в точке 6, назовем наипростейшую дробь Rn{f,b; •) G SRn со свойством: f(z) — Лп(/,b;z) = 0((z — b)n) при z —b. Как показывает следующая теорема, в отличае от классических аппроксимаций Паде, такой подход к определению наипростейших дробей Паде всегда оправдан.

Как и ранее, для функции f(z) в окрестности точки b рассмотрим функцию a(z) = a(f]z) := /(С)^С> гДе интегрирование ведется по любому спрямляемому пути в некоторой односвязной окрестности точки Ь.

Теорема 1.6. Дробь RTl(f,b;z) существует, единственна и совпадает с логарифмической производной частичной суммы — b)k ряда Тейлора функции ea^z\

Замечание. Существование и единственность наипростейшей дроби Паде Rn(f, b\ z) была независимо доказана другими методами В.И. и Д.Я. Данченко в работе [9].

Представляют естественный интерес вопросы о нахождении области G(f) сходимости последовательности дробей {Rn(f, b\z)} к приближаемой функции / и об оценке скорости такой сходимости с ростом п. Как будет показано в теореме 1.7, область G(f) вообще говоря шире, чем круг сходимости ряда Тейлора для функции /, а последовательность {/?м(/, 6; z)} сходится к / в точках G(f) со скоростью геометрической прогрессии.

Отметим здесь, что круг сходимости ряда Тейлора функции сп совпадает с соответствующим кругом сходимости для функции fca — так как (еа)' = fen. Обозначим радиус этого круга сходимости через R. Внутрь круга В := {z : \z — b\ < R} из окрестности точки b функция / аналитически (или мероморфно) продолжается как логарифмическая производная от функции еа.

Теорема 1.7. Пусть функция f аналитична в некоторой окрестности точки b G С, положительное число R таково, что ряд Тейлора функции еа^ с центром в точке b сходится на круге {z : jz — b\ < R}, г = const 6 (О, Л). Тогда для произвольного компакта Е С {z : — b\ < г}, не содержащего полюсов функции f, имеет место неравенство

Hmsup d\\Rn{f, Ь; •)-/(') Wc(E) < r/R.

11—too *

Также в этом параграфе приводятся оценки сверху на улонения наипростейших дробей Паде от функций / из класса Харди Н\ в точках единичного круга D.

Вторая глава состоит из трех параграфов. В ней даются оценки сверху наименьших уклонений в метрике Хаусдорфа заданного замкнутого жор-данова контура Г в комплексной плоскости С от лемнискат, порожденных многочленами P(z) заданной степени п, в зависимости от метрических свойств этого контура. При этом предполагается, что приближающие лемнискаты являются замкнутыми жордановыми кривыми, содержащими Г внутри себя. Принципиальная возможность сколь угодно хорошего приближения жордановых контуров такими лемнискатами в этой метрике доказана Д.Гильбертом в 1897г. (см. [4]). Естественно возникает вопрос о количественной оценке такого приближения. Этот вопрос неоднократно ставил Е. П. Долженко.

Отметим здесь, что теория приближений в хаусдорфовой метрике, порожденной метрикой Евклида, уже нашла свое приложение в математических методах обработки изображений (см., например, работу Б.Сендова [21]). Представляет интерес и теория приближений функций в метрике Хаусдорфа, порожденной метрикой Минковского. Многие важные теоремы этой теории получены Е.П.Долженко и Е.А.Севастьяновым (1975-1978 гг.), а также А.И.Ермаковым (1980 г.).

В силу теорем Римана и Каратеодори существует единственное конформное и однолистное отображение w = ф(г) внешности Gy кривой Г на внешность Gc единичной окружности С := {w : |u;| = 1} со свойствами: ф(оо) = оо, ф'(оо) > 0, отображение w = продолжается до гомеоморфизма замыканий Gy и Gc областей Gt и Gc- Положим (f(w) := w £ Gc), f(9) ■■= v(eie) (в EH). Пусть А и В - компакты на С, рн(А, В) — хаусдсрфово расстояние между ними: рн(А, В) := infje:}, где инфимум берется по всем таким г > 0, что множества А и В находятся в евклидовых ^-окрестностях друг друга. Через р(А, В) обозначим обычное (евклидово) расстояние между А и В: р(А, В) := inf{|zi — zi| : z\ £ A, z<i £ В}.

Пусть Pn(z) — многочлен степени п переменного z, г = const > О, L(Pn,r) := {z : = г} — r-ая лемниската, порожденная многочленом Рп (то есть его r-ая линия уровня), Нп(Т) := inf{/0//(F, L(Pn: г)) : Pn,r}, где Рп пробегает все многочлены степени n, а г — положительные числа, причем учитываются только те Рп и г, для которых L(Pn,r) является замкнутой жордановой кривой, содержащей Г внутри себя.

Пусть g(z, £) — функция Грина для области Gr с полюсом £ £ Gr- Как известно, g(z, оо) = =: g(z). Ниже uj(F,E-,S) := sup{|F(z') —

F(z")\ : z',z" £ E, |z' — z"\ < — модуль непрерывности функции F(z) на множестве Е С С (5 > 0). Если множество Е есть вся область определения функции F(z), положим uj(F; <5) = oj(F, Е;5).

Положим Мп(Г) inf{max{^(z) : z £ L(Pn,r)} : Рп,г}, где Pn и г пробегают те же множества, что и выше при определении Нп(Т). Как показывает следующая лемма, величины Нп(Т) и МП(Г) тесно связаны между собой.

Лемма 2.1. Для произвольной замкнутой жордановой кривой Г и любого натурального числа п выполнены неравенства

Нп(Г) < и(ср- - 1), МП(Г) < ш(д; Я„(Г)).

Для кривой Г и любого натурального п введем в рассмотрение многочлены Qn(z) и Фn(z). Положим Qn(z) := c~n(z — a\)(z — «2). (z — an), где с = с(Г) — гармоническая емкость кривой Г (см. [5], Гл. VII, §3), ctk '■= У1ехР{(2k+ l)iri/n}). Через Фп(%) обозначим многочлен Фабера пой степени, то есть такой полином, что Фп(г) — ip1l(z) = 0(1/z) при 2 —> оо (см., например, [19], T.II, Гл. 5, §4, п.4.5).

Первый параграф второй главы посвящен отысканию оценок сверху для величин Мп(Г) в случае произвольных замкнутых жордановых кривых Г с С. Основным его результатом является

Теорема 2.1. Пусть Г — замкнутая эюорданова кривая, g(z) = g(z, оо) — функция Грина с полюсом на бесконечности для внешности кривой Г. Тогда для любого натурального п найдутся такие полоэюи-телъные числа г\ = г\{п) и Г2 = гг(п), что лемнискаты L(Qn,r\) и £(Фп> г2) являются замкнутыми аналитическими жордановыми кривыми, содержащими Г внутри себя, и неравенство max{g(z) : * G L(Qn, n)} < u{g; d) + 2a; (p, C; jH тт{ш^'Л2У ^ справедливо для любого d > cj (cp, C',ir/n), а неравенство max{g{z) : г € L(ФП1 r2)} < u(g; d) + W C; J™ millM^2> ^ справедливо для таких d > lj (<£>, С; ir/n), что второе слагаемое справа в этом неравенстве не превосходит первого. Отсюда при таких лее d имеем /„ч / / ^ тг\ min{td(t/>;0>2} , M^n^wfejdJ+w^C;-) у -1 ^ f<ft.

Замечание. Указанные в теореме 2.1 условия справедливости неравенств не существенны при их практическом применении, поскольку наилучшие по порядку величин оценки получаются при d, определяемых из условия равенства между собой двух слагаемых справа в этих неравенствах — так как при d \ 0 первое слагаемое справа убывает к нулю, второе возрастает к +оо.

Следствие 2.1.1. Для любой замкнутой жордановой кривой Г имеет место равенство

Мп{Г) = О (^(^CjTr/n)) (п оо;.

Замечание. Из следствия 2.1.1 вытекает, что для любой замкнутой жордановой кривой Г имеем МП(Г) —> 0 при п оо. По лемме получаем, что Нп(Г) —> 0 при п —^ оо. В этом и состоит упомянутый выше результат Д. Гильберта.

Следствие 2.1.2. Пусть Г — замкнутая жорданова кривая, функция ф удовлетворяет в Gr условию Lip а (0 < а < I): ф(г') - ф(г")\ < M\z' — z"\a для любых z', z" из Gr, М = const > 0. Тогда при 0 < а < 1 выполнено соотношение

Мп(Г) = 0(с/(у>, С; тг/п)) (п оо), где (3 = шах{а, 1/(3 — 2а)}, а при а — 1

Мп{Г) = О С; 7r/n)log (l/w(p, С; тг/n))) (п оо).

Второй параграф второй главы посвящен отысканию оценок сверху для величин Мп(Г) в случае гладких и аналитических замкнутых жордановых кривых Г с С.

Теорзма 2.2. Пусть Г — гладкая замкнутая жорданова кривая, причем функции ф(г) и tp(w) непрерывно дифференцируемы в Gr и Gc соответственно, кроме того, для 5 > 0 arg /', R; S) = О „ U(f, R;d) = О при S - 0.

Тогда существуют такие числа Г\ = г\(п) > 0 и г2 = r2(ii) > 0, что при п —У оо г:меют место равенства: max{g(z) : z G L(Qn,ri)} = 0(l/n), max{g(z) : z e Ь(Фп,г2)} = 0{l/n), так что (см. лемму 2.1)

Нп(Т) = 0{1/п), МП(Г) = 0(1/гг) (п оо). Следствие 2.2.1. Пусть Г — гладкая замкнутая э/сорданова кривая, угол наклона касательной 6(s) к которой как функция длины дуги s имеет модуль непрерывности u)(t), удовлетворяющий условию к t Js V Vbg(l/5)y при 5 —> 0 (5 > 0). Тогда при п —> оо имеют место равенства:

Я„(Г) = 0(1/п), М„(Г) = 0(1/п).

Теорема 2.3. Пусть Г — линия уровня функции Грина (jk(z) для оператора Лапласа во внешности некоторого континуума К С С со связным дополнением: Г = {z : дк(%) = А}; Л > 0. Тогда limsup у/Нп(Г) = limsup у/Мп(Т) < е~х.

71—ЮО П-> ОО

Следствие 2.3.1. Для любой замкнутой аналитической жордановой кривой Г справедливо неравенство limsupn^oo у/Нп(Г) = Нтзири^оо у/Мп(Т) < 1.

В третьем параграфе второй главы доказана оценка снизу для величины М„(Г).

Третья глава диссертации состоит из двух параграфов. В первом параграфе найдены достаточные в определенном смысле неулучшаемые условия на компакт комплексной плоскости для существования на нем почти всюду относительно произвольно заданной </>меры Хаусдорфа оценок типа Маркова-Бернштейна для производных заданного натурального порядка s от произвольных рациональных функций, не имеющих полюсов на этом компакте.

Для любого натурального п обозначим через Ип(К) класс всех рациональных функций R(z) степени не выше п, полюсы которых не лежат на компакте К комплексной плоскости С. Если при заданном натуральном s, некоторой точке zq Е К и любом натуральном п справедливо неравенство вида

R{s)(zq)\<\.\\R\\c{k) какова бы ни была функция R Е Rn(if), где Л = Л(К,п, s, z{)) > 0, то будем говорить, что в точке zq выполняется неравенство типа Маркова-Бернштейна для s-ых производных рациональных функций. Легко видеть, что у любого компакта К с С найдутся точки zq € К, в которых не существует сценок такого вида ни при каких фиксированных п и s. Заметим, что в случае произвольного континуума К, не вырожденного в одну точку, любого натурального п и любого полинома Pn(z) степени не выше п неравенство указанного вида с R = Рп справедливо в каждой точке zq Е К с А — А (К, n,s) < оо, уже не зависящим от zq — то есть в этом случае всегда имеется равномерая на К оценка для производной любого порядка s от каждого полинома (см. добавление С.Н.Мергеляна в [23], Раздел 1, п. 5).

В работе [14, Гл.IV] Е.П.Долженко указал условие на строение континуума к вблизи точки zq Е к, достаточное для справедливости (уже не зависящей от п) оценки |.R(,s)(zo)| < \(K,s,zq) • ||Я||с(ат) для любой рациональной функции R(z) с полюсами вне К. В частности, это условие выполняется для почти каждой (относительно плоской меры Лебега) точки zq Е К \ UjTj, если Ylj < оо, где через Го обозначена граница диаметра := сНатГо неограниченной компоненты связности Go дополнения к К в С, а через {Gj}j>i, {rj}j>i и {dj}j> 1 — конечные или бесконечные последовательности всех ограниченных компонент этого дополнения, их границ и диаметров соответственно. Отсюда следует (см. [15]), что для таких zq неравенство \f^(zo)\ < \(K,s,zq) • Н/Нс^) справедливо для любой функции /, принадлежащей банахову пространству R(К) всех функций, непрерывных на К и допускающих на нем сколь угодно точное равномерное приближение рациональными функциями.

В работе [10] В.И.Данченко нашел достаточно простой геометрический критерий на строение компакта К вблизи произвольной заданной его точки zq для того, чтобы в этой точке при заданном s существовала оценка типа Маркова-Бернштейна. Чтобы сформулировать этот критерий, наномним следующее определение.

При £ Е С обозначим через /?(£, К) обычное евклидово расстояние от ( до К. Следуя В.И.Данченко, для любой точки z € К введем в рассмотрение величину ал, (/Г, := sup{p(£, К) • — z\~s~l : С, Е С\/С}, называемую s-пористостыо компакта К в точке z (понятие s-пористости обобщает понятие обычной пористости множества в точке, введенное Е.П.Долженко в 1964 г.).

Теорема А (В.И.Данченко, [10]). Пусть К — произвольный компакт на С, zq Е К, s — натуральное число, s > 1. Тогда для существования в точке zq неравенства вида (1) для любой функции R Е Rn(/T), необходима и достаточна конечность величины us{K, Zq). При этом неравенство s)(^o)| < 50s!we(tf,2b)(n + 1) • \\R\\C(K) выполнено для любой функции R Е Ип(К).

В работе [10] для s = 1 и а 6 (1,2] в случае, когда К представляет собой замкнутый единичный круг с выброшенной из него последовательностью попарно не пересекающихся открытых кругов Dj радиусов rj соответственно, также доказано, что условие г^2 < оо является достаточным для равенства нулю так называемой а-меры Хаусдорфа множества Е = Е(К, s) С К всех точек zq Е К несуществования оценок вида (1): mesa.E = 0. В случае плоской лебеговой меры mes2 (как известно, mes2 = (4/7r)mes2) Д.Я.Данченко [11] установила более общий результат: если континуум К имеет конечный периметр или, что то же, конечный обхват по Пенлеве (это означает, что Y2j>o mesi Г/ < оо, rnesi — линейная мера Лебега), то при s = 1 оценки типа Маркова-Бернштейна имеют место почти в каждой точке К относительно плоской меры, то есть mes2Е = 0.

Пусть F — произвольное борелевское множество на С. Конечное или счетное семейство {Bj} открытых кругов Bj будем называть ^-покрытием множества F, если F С UjBj и для каждого j диаметр diam Bj круга Bj не превосходит 6. Для заданного борелевского множества F и произвольной функции ip(r), определенной и возрастающей при г > 0, с с/?(0) = <^(0+) = 0 величину mesF := lim inf ^(diam.Bj) : F С UjBj, diamBj < j < сю, называют хаусдорфовой </?-мерой этого множества. В случае ip(r) = га с некоторым а > 0 величину mesaF := ((p)mesF называют а-мерой Хау-сдорфа этого множества и обозначают mesaF.

Пусть G — ограниченная область на С, 0G — ее граница. Внутренним радиусом области G назовем величину г = r(G) := snp{/o(C, OG) : С £ G}. Пусть также N(dG, S) — наименьшее возможное количество кругов в <5-покрытии множества 3G.

Как и ранее, для любого компакта К С С обозначим через Gq неограниченную компоненту связности его дополнения С \ К, а через {Gj}j>\ — конечную или бесконечную последовательность всех ограниченных компонент этого дополнения, расположенных в порядке невозрастания их внутренних радиусов гj := r(Gj). Положим dj := diamSGj (j > 0). Множество E = E(K, s) всех таких точек zq G К, для которых не существует оценок указанного вида, назовем исключительным множеством, а множество Е° = E°(K,s) := Е \ (Uj>odGj) — внутренним исключительным множеством. Для каждого j > 1 положим Nj := N (dGj,

Теорема 3.1. Пусть задана произвольная функция <р(г), определенная и возрастающая при г > 0, с <£>(0) = ^(0+) = 0. Если Ylj>i Nj • ip < oo, то внутреннее исключительное множество E° =

E (К, s) С К имеет нулевую (р-меру Хаусдорфа: (ip)mesE° = 0.

Следствие 3.1.1. Если границы dGj (j > 0) всех связных компонент дополнения компакта К имеют нулевую (р-меру Хаусдорфа и Ylj>i Nj • Lp (4rJ/(e+1)) < oo, mo (<£>)mes E = 0.

Следствие 3.1.2. Пусть a G (1,2]. Если граница dGj (j > 0) каждой связной компоненты дополнения компакта К представляет собой объединение из kj замкнутых жордановых спрямляемых кривых, cj = \dGj\ := mes1 dGj, причем ]Г) ■>l kj • < oo, mo mesaE = 0.

Следствие 3.1.3. Если Y,j>i (l + d?rj2/(e+1)) • v? (4rJ/(e+1)) < oo; mo (cp)mes E° = 0.

В случае а-меры Хаусдорфа теорема 3.1 является в определенном смысле неулу ннаемой. Это показывает следующая

Теорема 3.2. Пусть а Е (0,2], s > 1. Тогда существует такой континуум К = K(s, а), что для любого г > 0 ряд ' сходится, а внутреннее исключительное множество E°(K,s) uAteem ненулевую а-меру Хаусдорфа.

Во втором параграфе третьей главы исследуется вопрос о влиянии малых изменений компакта К на исключительное множество E°(K,s).

Теорема 3.3. Пусть К — произвольный компакт в С, ц — произвольная конечная счетно-аддитивная борелевская мера на К. Тогда для любого е > 0 существует такой компакт F = F(K, /1, е) С К, что ц(К \F) < е и E(F,s) = F Vs > 1.

Автор глубоко благодарен своему научному руководителю профессору Евгению Прокофьевичу Долженко за постановки интересных задач, их обсуждение и постоянную поддержку в работе над их решением, а также" доценту П. А. Бородину за ряд ценных указаний и пристальное внимание к работе.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Косухин, Олег Николаевич, 2005 год

1. Андерсон Дж. М., ЭйдерманВ.Я. Оценки преобразования Коши точечных масс (логарифмической производной многочлена) // ДАН. - 2005. -Т.401. - No 5. - С. 1-4.

2. Ахиезер Н.И. Лекции по теории аппроксимации М.: "Наука", 1965.

3. Warschawski S.E. On differentiability at the boundary in conforrnal mapping 11 Proc.Amer.Math.Soc. 1961. V.12, N4. P.614-620.

4. Hilbert D. Uber die Entwicklung einer beliebigen analytischen Funktion einer Variabeln in eine unendliche nach ganzen rationalen Funktionen fortschreitende Reihe // Nachr. Konigl. Gesell. Wiss. Gottingen, Math.-phys. Klasse 1897. S.63-70.

5. ГолузинГ.М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. М.: "Наука". 1966.

6. Горин Е.А. Частично гипоэллиптические дифференциальные уравнения в частных производных с постоянными коэффициентами // Сиб. матем. журнал, 1962. N 4. С.506-508.

7. Данченко В.И. Оценки расстояний от полюсов логарифмических производных многочленов до прямых и окружностей // Матем.сб. 1994. 185, N 8. 63-80.

8. ДанчечкоВ.И., ДанченкоД.Я. О равномерном приближении логарифмическими производными многочленов // Теория функций, ее приложения и смежные вопросы. Тезисы докл. школы-конференции: Изд-во Казанского университета, 1999. 74-77.

9. Данченко В.И., Данченко Д.Я. О приближении наипростейшими дробями // Матем. заметки. 2001. 70, вып. 4. 553-559.

10. Данченко В.И. Один критерий существования оценки производной рациональной функции // Матем. заметки, Москва. 2005. 78, вып. 4. 493-502.

11. Данченко Д.Я. Некоторые вопросы аппроксимации и интерполяции рациональными функциями. Приложение к уравнениям эллиптического типа. Дисс., Владимир, ВГПУ, 2001.

12. Jackson D. On approximation by trigonometric sums and polynomials//Trans.Amer.Math.Soc., 1912, N 14, P.491-515.

13. ДзядыкВ.К. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами// М.: "Наука", 1977.

14. Долженко Е.П. Дифференциальные свойства функций и некоторые вопросы теории приближений // Канд. дисс., Москва, МГУ, 1960.

15. Долженко Е.П. О приближении на замкнутых областях и о нульмножествах // ДАН СССР. 1962. Т. 143, № 4, С.771-774.

16. Долженко Е.П. О конформных отображениях жордановых областей //Вестник МГУ. 1999. Сер.1 Матем. Мех. №4, С.66-68.

17. КорнейчукН.П. Точные константы в теории приблиэ!сения. М.: "Наука". 1987.

18. Macintyre A.J., Fuchs W.H.J. Inequalities for the logarithmic derivatives of a polynomal // J.London Math. Soc, 1940, v.15, N 3, p.162-168.

19. Маркушевич А.И. Теория аналитических функций. М.: "Наука". 1968.

20. Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной. М.: "Наука". 1974.

21. СендовБ. Хаусдорфово расстояние и обработка изобралсепий// Успехи метематических наук 2004, Т. 59, вып. 2, С. 127-136.

22. ТамразовП.М. Экстремальные конформные отображения и полюсы квадратичных дифференциалов //Изв. АН СССР. Сер. матем. 1968. Т.32, вып.5. С.1033-1043.

23. Уолш Дж.Л. Интерполяция и аппроксимация рациональными функциями в комплексной области. М.: Издательство иностранной литературы. 1961.

24. Falconer К. Fractal geometry. Mathematical foundations and applications. Wiley, University of St.Andrews, UK. 2003.

25. О.Н.Косухин Об аппроксимационных свойствах наипростейших дробей // Вестник Моск. ун-та. Сер.1. Матем. Механ. 2001, N 4. С. 54-59.

26. П.А. Бородин, О.Н. Косухин О приближении наипростейшими дробями па действительной оси // Вестник Моск. ун-та. Сер.1. Матем. Механ. 2005, N1, С.3-8.

27. О.Н. Косухин О скорости приближении замкнутых жордановых кривых лемнискатами // Матем. заметки, 2005, Т.77, Вып. G, С. 861-876.