Интегральные оценки наипростейших дробей и экспоненциальных сумм тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат наук Додонов Артур Евгеньевич

• Додонов Артур Евгеньевич
• кандидат наук
• 2016

Оглавление диссертации кандидат наук Додонов Артур Евгеньевич

1.3 Доказательство теоремы

1.4 Доказательство теоремы

1.5 Доказательство теоремы

1.6 Доказательство теоремы

1.7 Доказательство теоремы

1.8 Доказательство теоремы

1.9 Доказательство теоремы

2 Оценки экспоненциальных сумм

2.1 Формулировки основных результатов

2.2 О точности оценок

2.3 Предварительные результаты об оценках производных рациональных функций

2.4 Доказательство теоремы

2.5 Доказательство теоремы

2.6 Доказательство теоремы

2.7 Доказательство теоремы

2.8 Вспомогательные утверждения. Доказательство теоремы

2.9 Приложение к оценкам решений дифференциальных уравнений

Заключение

77

Список литературы

80

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Интегральные оценки наипростейших дробей и экспоненциальных сумм»

Введение

Диссертация посвящена некоторым задачам теории рациональных аппроксимаций, связанным с наипростейшими дробями (н.д.) и экспоненциальными суммами. Она состоит из двух глав. В первой главе изучаются аппроксимативные и экстремальные свойства наипростейших дробей: сходимость рядов н. д. и представление такими рядами аналитических функций, неравенства разных метрик и оценки производных н. д. Во второй главе получаются оценки тригонометрических сумм и квазимногочленов через нормы специальных ассоциированных рациональных функций и даются приложения оценок к оценкам скорости роста решений линейных дифференциальных уравнений.

Приведем краткую историю, источники и современное состояние рассматриваемых задач.

По предложению Е. П. Долженко (2000 г.) н. д. порядка не выше п € N0 от комплексного переменного х в теории рациональных аппроксимаций называется логарифмическая производная комплексного многочлена степени не выше п, т. е. рациональная функция вида

п 1 — ро(х) = 0, рп(х) =У2-, Хк = хк + гуь € С, (0.1)

X — Хк к=1 к

где некоторые точки Хк могут совпадать, допускаются случаи Хк = сю и при этом соответствующие слагаемые (х — Хк)-1 полагаются тождественно равными нулю.

Первые задачи экстремального характера, связанные с наипростейшими дробями, восходят к работам Дж. Буля [1], А. Макинтайра и У. Фукса [2]. Наиболее известной задачей является задача об минимальном покрытии кар-тановского типа полюсов н. д. с одновременной оценкой вир-норм н. д. вне этих

покрытий. Именно, в [2] показано, что для любого £ > 0 существует покрытие кругами, сумма радиусов которых не превосходит е, а указанные вир-нормы не превосходят Си 1п п/е. Вопрос о точности этой оценки интересовал многих аналитиков, но окончательно задача решена лишь недавно В. Я. Эйдерманом и Дж. М. Андерсоном. Оказалось, что 1п и в оценке можно заменить на л/ 1п и, и эта оценка уже окончательна по порядку величины п.

Различные модификации картановских покрытий полюсов рациональных функций общего вида с одновременной равномерной оценкой сверху их и их производных вне покрытий получались в работах А. А. Гончара [3], Е. П. Долженко [4] и других авторов. На таких конструкциях основаны основополагающие обратные теоремы теории рациональных аппроксимаций.

Другой круг связан с известной проблемой Е. А. Горина [5] об оценке расстояний У (рп) = ттк 11т |:

{У(рп) : \\рп\\р = 1}, 1 <Р < го,

Здесь и всюду далее через \\/\\р обозначается норма / в Ьр(Ж). Несложно показать, что при замене рп(х) = срп(сх), с = \\рп\\- (р-1 + (-1 = 1), сохраняющей вид н. д., имеем \\рп\ьр(М) = 1 и У (рп) = с-1 У (рп). Поэтому определение ¿п можно переписать в виде (см. [9])

¿п(Ш,р) = т£ {У (рп)\\рп\\Р}, Р-1 + (Г1 = 1,

Рп

где точная нижняя грань берется по всем н. д. вида (0.1), не имеющим полюсов на К. Следовательно, задачу Горина можно интерпретировать как задачу о величине наилучшего приближения нуля (наименьшего уклонения от нуля) в метрике Ьр(Ж) в классе н.д. (0.1), при условии У(рп) = 1 или, что то же самое, в классе н.д. (0.1), имеющих общий закрепленный полюс (например, в

точке х = г). Таким образом, задача Горина является своеобразным аналогом классической экстремальной задачи Чебышева о наименьшем уклонении от нуля многочлена с закрепленным старшим коэффициентом.

Наиболее сложным в задаче Горина является случай р = с. В разное время для величин с) были получены оценки снизу Е. Г. Николаевым [6], А. О. Гельфондом [7], В. Э. Кацнельсоном [8] и другими авторами. В. И. Данченко в работе [9] получил окончательное решение в виде слабой асимптотики: йп(Ш, с) х 1п1пп/ 1пп.

В связи с указанной интерпретацией задачи Горина возникла задача о распространении аппроксимаций с нулевых функций на К на более общие непрерывные функции и множества на С, но уже без условия закрепленности общего полюса. Независимо задача об аппроксимации посредством н. д. возникла в работах Дж. Кореваара [12, 13], Ч. Чуи и К. Шена [14, 15], где был получен аналог теоремы К. Рунге об аппроксимации аналитических функций наипростейшими дробями в равномерных и весовых интегральных метриках Бергмана на жордановых областях с предписанными множествами полюсов.

Отметим, что аппроксимация посредством н. д. на плоскости С имеет важный физический смысл: н. д. задают плоские поля, создаваемые равновеликими источниками Хк, поэтому аппроксимацию можно интерпретировать как задачу о размещении источников Хк, приближенно создающих заранее заданное поле.

Первый результат об аппроксимации наипростейшими дробями со свободными полюсами был получен в 1999 г. в работе В. И. Данченко и Д. Я. Данченко [10]. В этой работе (см. также [11]) был доказан следующий аналог теоремы С. Н. Мергеляна.

Теорема [10]. Пусть К — компакт на С, имеющий связное дополнение. Тогда любая функция /, непрерывная на К и аналитическая во внутренних точках К, может быть равномерно приближена с любой точностью на К наипростейшими дробями.

В связи с этим результатом естественным образом возникли традиционные для конструктивной теории функций задачи: прямые и обратные теоремы, связывающие скорость аппроксимации наипростейшими дробями и гладкост-ные свойства приближаемых функций. В этом направлении первые существенные результаты получил О. Н. Косухин [21]. Важнейший его результат состоит в том, что для широкого класса функций / и спрямляемых компактов К 1 наилучшие равномерные приближения Кп(/,К) и Еп(/,К) наипростейшими дробями и многочленами порядка не выше п слабо эквивалентны:

Пп(1,К) х Еп(1,К). (0.2)

Благодаря этому результату О. Н. Косухин в [22] получил ряд аналогов полиномиальных теорем Д. Джексона, С. Н. Бернштейна, А. Зигмунда, В. К. Дзядыка и Дж. Л. Уолша в терминах скорости убывания ^Я,п(/, К).

Дальнейшее развитие теория получила в работах Я. В. Новака [23]-[25]. В частности, он распространил слабую эквивалентность (0.2) на интегральные пространства Ьр на отрезках вещественной оси, и получил ряд локальных теорем бернштейновского типа, связывающих локальную скорость приближения посредством н.д. и гладкость приближаемой функции.

Эти и другие результаты О. Н. Косухина и Я. В. Новака показывают, что в ряде задач по аппроксимации на ограниченных множествах аппроксиматив-

1 Компакт К называется спрямляемым, если он не разбивает плоскость и существует такая конечная положительная величина а(К), что любые две его точки можно соединить кривой Ь С К длины ^ а(К).

ные свойтва н. д. и полиномов почти идентичны, а соответствующие теоремы формулируются почти дословно. Приведем, например, аналог известной теоремы С.Н. Бернштейна.

Теорема [22]. Пусть Б — замкнутый круг, в £ (0,1), / — аналитическая в Б функция. Тогда ее в-я производная непрерывна вплоть до границы дБ и принадлежит классу Ыр^(Б) тогда и только тогда, когда

Кп(/,Б) ^ С/пк+в.

Тем не менее, в последующих исследованиях были обнаружены и принципиальные различия аппроксимаций наипростейшими дробями и многочленами. Собственно, именно эти различия и вызывают интерес к дальнейшему изучению н. д. как аппарата приближений. Приведем наиболее выразительные из них.

Для н.д. альтернанс, вообще говоря, никак не связан с наилучшим приближением, а н.д. наилучшего приближения быть неединственной. Примером может служить простая функция /(х) = х + 1: она имеет бесконечно много н. д. не выше второго порядка наилучшего равномерного приближения на [ — 1; 1] и для всех них, кроме одной, нет никакого альтернанса [27]. В дальнейшем М. А. Комаровым были построены примеры неединственности и необязательности альтернанса в случае приближения н.д. любого порядка [28]-[30].

К важным отличиям можно отнести также возможность приближения посредством н.д. на неограниченных множествах; например, любую непрерывную функцию с нулевым пределом на бесконечности можно с любой точностью приблизить в равномерной метрике на К (П. А. Бородин и О. Н. Косухин, [26]). Интересно отметить, что аналогичное утверждение в случае неразвернутого

угла уже неверно. Это легко проверяется на функции /(г) = (г — ¿о)-1, где полюс г0 лежит внутри угла. Результаты работы [26] указывают, в частности, на своеобразную нелинейность процесса аппроксимации на неограниченных множествах и тесную связь с их геометрией.

Результаты из [26] дополнил В.Ю. Протасов [31], рассмотрев аппроксимации в Ьр(Ж), 1 < р < сю. Приведем часть его основного результата, который инициировал ряд задач, рассматриваемых в данной диссертации. Сначала введем обозначения. Сходимость в Ьр(Ж) бесконечной н.д., частичными суммами которой являются н.д. (0.1), к некоторой функции р(х) € Ьр(Ж) будем записывать в виде

с 1

р(х) = У^- или рп А р. (0.3)

X — Хк к=1 к

Теорема [31]. Любая функция /(х), с любой точностью аппроксимируемая в Ьр(Ж) наипростейшими дробями, является аналитической на К, продолжается до мероморфной на С функции /(г) с полюсами гк € С \ К, которая представляется в виде предела рп А /. При этом для показателя сходимости последовательности {гк} необходимо условие

т({гк}) := 7 > 0 : > >кГ7 < с ¡> < 1 - + - = 1. (0.4)

Ч р Ч

:=1п^7> 0 : ^\гк — <

Таким образом, в случае 1 < р < с класс аппроксимируемых функций значительно сужается по сравнению со случаем р = с и состоит из тех и только тех функций, которые представляются в виде сходящихся к ним рядов (0.3). Благодаря этому, теория аппроксимаций в Ьр(Ж) привела к исследованию сходимости рядов н.д. [31]-[36].

При исследовании рядов н. д. возникла естественная задача: усилить весьма качественное необходимое условие (0.4) и получить более содержательные количественные признаки сходимости в терминах полюсов Хк. Эта задача была сформулирована в работе [31]. Первый результат по этой задаче был получен В. И. Данченко [32]. Именно, из соображений двойственности был доказан следующий критерий.

Теорема [32]. Выполнение (0.3) равносильно условию

^д(хк )

^ А(р, {Хк})\\д\\щ Уп, (0.5)

к=1

где д — произвольная аналитическая функция класса Харди И((С+).

Следствием этой теоремы, полученным с помощью выбора специальных пробных функций д, является неравенство

^ 1 А

? , и/ + < -ТТ, 0 < £ < 1, (0.6)

где А > 0 не зависит от £, а только от р и нормы \\р\\р. Это неравенство, очевидно, улучшает результат В.Ю. Протасова (0.4). Кроме того, в [32] был доказан еще один критерий в терминах полюсов для случая 1 < р < 2:

Рп 4 Р ^ ^2\РпШ\р—1 < А(р, {Хк}) Уп. (0.7)

к=1

Отметим еще одно свойство рядов н.д.: если ряд (0.3) сходится в Ьр(Ж), то он сходится и в Ьг(К) при г > р и, в частности, сходится равномерно на К [32].

Дальнейшие исследования рядов н.д. были предприняты И. Р. Каюмо-вым и А. В. Каюмовой [33]-[36]. Например, И. Р. Каюмов доказал следующее утверждение.

Теорема [33]. Если выполнено условие

ж

|1-Р < ж, Ук = 1т ^^, (0.8)

к=1

то рп А р. Обратно, если рп А р, последовательность \ук\ упорядочена по возрастанию и все гк лежат в некотором угле {г : \г\ ^ а\ 1тг\}, а > 0, то выполнено условие (0.8).

Отметим, что все приведенные результаты о сходимости (0.3) опираются главным образом на оценки Ьр-норм наипростейших дробей. Отсюда возникла самостоятельная задача о таких оценках как одна из экстремальных задач конструктивной теории функций.

Такие неравенства можно условно разделить на два типа. Оценки первого типа явно зависят от расположения полюсов гк, такие неравенства и применялись большей частью в приведенных результатах. Представляют интерес и оценки второго типа — оценки Ьр-норм н. д. через их Ьг-нормы. Такие оценки обычно называют неравенствами разных метрик или неравенствами Джексона — Никольского. Неравенства разных метрик для алгебраических и тригонометрических многочленов хорошо известны. В качестве примера приведем следующее классическое неравенство для алгебраических многочленов Рп:

\\Рп\\ьр(Е) ^ А(Е,р,г)п2(1/г-1/р)\\Рп\\ьг(Е), Р>г > 1. (0.9)

При р = ж оно было впервые доказано Д. Джексоном, при произвольном р — С. М. Никольским. Дальнейшее развитие эта тематика получила благодаря работам С.М. Никольского [16], Н.К. Бари [17], П. Л. Ульянова, С. Б. Стечкина, Г. Сегё, А. Зигмунда, П. Борвейна и многих других авторов.

Для н. д. неравенства разных метрик являются сравнительно новой тематикой. Насколько нам известно, первое такое неравенство было получено

в 1994 году В. И. Данченко в [9]. Оно имеет вид

( 2р

\\рп\\с ^ вр • \\рп\\р, вр := . ц( , х , Р> 1 (0.10)

^ 81П( (п/р)

Отметим, что в отличие от (0.9) неравенство (0.10) нелинейно относительно сравниваемых норм и не зависит от п. В настоящее время известно несколько неравенств, обобщающих (0.10), некоторые принадлежат диссертанту (см. ниже).

Основные результаты первой главы. Доказана следующая оценка первого типа снизу для норм н. д., она же является необходимым условием сходимости ряда (0.3).

Теорема 1 [46, 53]. Пусть 1 < р < со, £ > 0, а =(1+ £)/ц_, а = 1/р — 6 и 6 Е (0,1/р). Из сходимости (0.3) следует

V_1_< тр) (0 11)

\zk\1/q \na(\zk \ + i)- £1/q • j

Это условие при 2 ^ p < 3 нельзя усилить заменой а на а. Именно, существует такая бесконечная наипростейшая дробь, для которой ряд (0.11) с заменой а на а расходится. Отметим, что а — а ^ £/2 — 6 при p \ 2.

Теорема 1, очевидно, улучшает в части необходимости теорему В. Ю. Протасова (0.4) и оценку В. И. Данченко (0.6).

В первой главе получены также критерии сходимости (0.3) в терминах полюсов, но при дополнительном ограничении на их расположение. Приведем один такой результат. Пусть Va = {z : \z\ ^ а\ Im z\}, а > 0.

Теорема 2 [46]. Пусть {zk} С Va П C+. Тогда при 1 < p < 2 сходи-

мость (0.3) эквивалентна выполнению следующего условия:

р- 1

п / п 1 \ '

Ап :=^( I]-~ ^ А(р, \\р\\р) < ж Уп. (0.12)

к=1 V з=1 Ук + У7

Отметим, что критерий теоремы 2 имеет несколько другой вид, чем критерий И. Р. Каюмова (0.6), однако при условии упорядоченности ук по возрастанию из (0.12) можно получить критерий и в форме (0.6).

Перейдем к оценкам второго типа, т. е. неравенствам разных метрик. Следующее неравенство обобщает (0.10).

Теорема 3 [45]. При 1 < г < р < ж имеем неравенство

\\рп\\р < А(р, г) \\рп\г , р-1 + я-1 = 1, Г-1 + 5-1 = 1. (0.13)

При гк Е С+ неравенство (0.13) можно уточнить и дополнить, а именно получить явное значение А(р,г) = в(р-г)/(р-1) и двустороннее неравенство

(2п)-1 \\рп\\1 < п \\рп\\ж < 2 \\рп\\1,

где множители 2-1 и 2 нельзя заменить единицами.

В следующей теореме снимаются ограничения на соотношение между р и г, а нормы вычисляются на произвольных ограниченных и неограниченных измеримых подмножествах вещественной прямой.

Теорема 4 [45]. Пусть гк Е С+, 1 < р ^ ж, 1 < г < ж, Е — произвольный ограниченный или неограниченный промежуток на К. Тогда

\\рп\\1р(Е) < А(р) • П*/р \\рп\\^(Е) , \\Рп\\р < А(р, г) п*/р \\рп\\аг. (0.14) В первом неравенстве в (0.14) порядок множителя пч/р является точным.

Приведем еще одну оценку нормы, в определенном смысле противоположную первому неравенству в (0.14) для конечных промежутков.

Теорема 5 [45]. Пусть н. д. pn вещественнозначна на R и ее модуль на отрезке [—1,1] не превосходит 1. Тогда при любом r > 0 имеем

\\ри\\ь^[—1,1] < A(r)n2/r \\ри\\ьг[—1,1]- (0.15)

Оценка точна по порядку n в том смысле, что при r > 2 существует н. д., удовлетворяющая условиям теоремы, для которой справедливо противоположное (0.15) неравенство с другой величиной A(r) > 0.

Отметим, что хотя по форме неравенство (0.15) сходно с неравенством Джексона (0.9), здесь a priori накладывается условие на величину модуля рп. Это условие по существу и связано оно с несовпадением «размерностей» левой и правой частей: левая часть стремится к сю быстрее, чем правая, если один из полюсов н.д. рп устремить к отрезку.

Основные результаты второй главы. Во второй главе получаются равномерные оценки на R квазимногочленов и их частного случая — тригонометрических комплексных полиномов, имеющих соответственно вид

nn

Q(n; x) = ^ Tk(x)eizkx, ^o(n; x) = ^ AkeiZkx, (0.16)

k=1 k=1

где Zk E C+, Tk(x) — алгебраические многочлены, Ak — комплексные числа. Нами используется новый достаточно простой и эффективный метод оценок, опирающийся на сравнение значений квазимногочленов (0.16) и ассоциированных с ними рациональных функций вида R(z) = R1(z) + R2(z), где

R1(z) = Х4, R2(z) = Щ, x(z) = n(z — ZkГ, 5k E N, (0.17)

x(z) x(z) k=i

а Р\(г] и Р2(^) — определенные многочлены степени, не большей й! + ... + вг Впервые оценка такого типа была получена В. И. Данченко в работе [20]:

П А

|По(п; х)|< - ||Ке Я^, где Я^) = ^ -А-. (0.18)

Х 1 1 2

к=!

Такого рода оценки тесно взаимосвязаны с оценками производных рациональных функций посредством специальных рациональных мажорант. Оценки с переменными мажорантами опираются на разные интерполяционные тождества Бернштейна — Виденского — Русака. Многие из них хорошо известны в теории рациональных аппроксимаций и восходят к работам С. Н. Бернштейна, В. С. Виденского [19], В.Н. Русака [18], Г. Сегё, Н.И. Ахиезера, Б. Я. Левина, А. А. Пекарского.

Приведем одну наиболее простую по форме оценку тригонометрического многочлена посредством действительной части ассоциированной функции.

Теорема 6 [44]. При х > 0 имеем

X; ЦИеЯ1|и, ад ■ (°Л9)

к=1

Этот результат обобщает аналогичную оценку (0.18) и далее распространяется на квазимногочлены (0.16). Оценки для квазимногочленов формально сохраняют тот же вид, но имеют ряд технических усложнений, поэтому здесь не приводятся.

Во второй главе нами рассматривается также вопрос о точности полученных оценок тригнометрических сумм. Например, показано что оценка (0.19) в значительной мере учитывает не только амплитуды, но и «интерференцию» гармонических слагаемых суммы В частности, доказано следующее

Предложение [44]. Существуют отрезок [х^х^, 0 < х0 < х1 < ж, и такая тригонометрическая сумма ^0(п; х), что сумма ее амплитуд имеет порядок п, а мажоранта в (0.19) — только 1п2 п равномерно при всех Х Е [х0, хх].

Как правило, оценки ассоциированных функций, на которые опираются неравенства типа (0.19), непосредственно через частоты и амплитуды Лк весьма трудоемки. Во второй главе предлагается построение ассоциированных функций через «начальные условия» ^0?)(0) = , 3 = 0,п — 1. Сформулируем соответствующий результат.

Теорема 7 [44]. При х > 0 имеет место оценка

п к—1

► 1 I

|По(х)| < -1| 1тЯо(гу)\и Д>(С) = ^гТгЕЕРпЧ"к——С—к, (0.20)

х ) к=1 j=0

где Р(() = (п + рп—1(п 1 + ... + р0 — многочлен с корнями гхк, к = 1,п.

Если, например, все Шj = 0, кроме шп—1, то Я0(() = ип—1/Р(£).

В качестве приложения теоремы 7 получена оценка решения линейного однородного дифференциального уравнения у(п) + рп— 1 у(п—1) + ... + р0у0 = 0 с устойчивым характеристическим многочленом вида Р с простыми корнями и начальными условиями у()(0) = Шj, 3 = 0,п — 1. Именно, доказана оценка (0.20) с заменой на у. Отметим, что корни характеристического многочлена не входят явно в правую часть оценки (0.20). Поэтому, используя непрерывность зависимости решения задачи Коши от коэффициентов характеристического многочлена, можно устранить условие простоты этих корней.

Для развития техники оценок квазимногочленов нами получено новое неравенство типа Бернштейна — Виденского — Русака. Оно опирается на из-

вестный результат В. Н. Русака и обобщает его с класса вещественнозначных на К рациональных функций на рациональные функции общего вида. Сформулируем соответствующий результат.

Теорема 8 [52]. При любых вещественных х, а для рациональных функций вида (0.17) имеет место точное (экстремальное) неравенство

2вк 1т Хк

Я(х)в~га + Я2(х)вга| < м(х)||Я|и м(х) = У-^-к. (0.21)

\х - Хк\2

Под экстремальностью мы понимаем, что существуют рациональная функция Я = Я! + Я2, для которой (0.21) обращается в равенство.

1 Оценки Ьр-норм наипростейших дробей

1.1 Формулировки основных результатов

Первая глава посвящена вопросам сходимости в лебеговых пространствах Ьр, 1 < р < сю, на вещественной оси К рядов наипростейших дробей или, что то же самое, бесконечных наипростейших дробей. Напомним, что такую сходимость мы обозначаем

с 1

р(х)=^- или рп Л р. (1.1)

х — Хк к=1 к

Сформулируем основные результаты первой главы.

Теорема 1.1 [46, 53]. Пусть 1 < р < со, £ > 0, а = (1+£)/д, а = 1/р—5 и 5 Е (0,1/р). Из сходимости (1.1) следует

оо

_1_ < ар' ||Р|р) (1 2)

\Хк1па(\Хк \ + 1)" £1/* '

Это условие при 2 ^ р < 3 нельзя усилить заменой а на а. Именно, существует такая бесконечная наипростейшая дробь, для которой ряд (1.2) с заменой а на а расходится. Отметим, что а — а Л £/2 — 5 при р \ 2.

Перед тем, как сформулировать следующий результат, напомним, что Уа = {х : \х\ ^ а\ 1тх\}, а > 0. Кроме того, при натуральных т положим Ет = {х : 2т < 1т х < 2т+1}, Ео = {х : 0 < 1т х < 2}.

Теорема 1.2 [46]. Пусть {хк} С Уа П С+, пт — число точек последовательности {хк}, лежащих в Ет. Тогда при 1 < р < 2 сходимость (1.1)

эквивалентна выполнению любого из следующих условий:

(\ p-1

j y+f) < A(p, Vn;

2) Em=1 2mip-i)^s=0 ns(nm 2 + n%s 2) < m;

3) E,=1 (£¿=4) ^ A(p, HpHp) Vn,

знак в 3) означает, что yk занумерованы в порядке возрастания.

Кроме того, справедлива оценка нормы частичной суммы ряда (1.1)

\\Pn\\p cos П(p2- 2) ^ 2pnCAn, (1.3)

где C = (1 + a-1)p-1.

Как отмечалось во введении, с вопросами сходимости рядов (1.1) тесно связаны Lp-оценки их частичных сумм pn(x). Напомним, что такие оценки мы условно делим на два типа. К неравенствам первого типа мы относим оценки типа (1.3), явно зависящие от расположения полюсов н.д. В оценках второго типа, называемых неравенствами разных метрик или неравенствами типа Джексона — Никольского, влияние расположения полюсов входит опосредованно, мажорантами в них служат Lr-нормы н.д. Сформулируем соответствующие результаты.

Пусть все полюсы Е С+. При ф Е (0,2п) через (ф) (к = 1,2п) обозначим корни уравнения

B2(z) = вгф, где B(z) :=

n

z - Zk

z) := ::

k=1z - zk

(эти корни конечные, вещественные и попарно различные).

Теорема 1.3 [45]. Пусть хк Е С+. Тогда при любом ф Е (0, 2п) имеем

2п п

11Рп|2 < \рп(Ък(ф))\ < 2 Црп||2 = 1трп(Хк). (1.4)

к=1 к=1

В частности,

(2n) 1 \\pn\\l <П \\рп\\ж < 2 \\ри\\1, (1.5)

)-1

причем множители 2 1 и 2 нельзя заменить единицами.

Теорема 1.4 [45]. Пусть хк Е С+. При 1 < г < р < с имеем неравен-

ство

ЦрпЦ1 < А(р, г) Црп||Г, где р + д =1, г + в =1. (1.6)

В неравенстве (1.6) можно взять, например, А(р,г) = вГР Г//(Р 1); оно распространяется и на случай произвольного расположения полюсов хк заменой множителя А(р, г) на другую положительную величину, зависящую от тех же параметров.

Теорема 1.5 [45]. Пусть N := ЦрЩ^. Тогда при 1 < г < с имеем

e-2Nr V max \pn(x)\r ^ \\pn\\rr. < e2Nr V min \pn(x)\r. (1.7)

к=-ж к=-ж

В следующей теореме на полюсы Zk и на соотношение между параметрами p и r никаких ограничений не накладывается.

Теорема 1.6 [45]. Пусть 1 < p ^ ж, 1 < r < ж, E — произвольный ограниченный или неограниченный промежуток на R. Тогда

ЦрпЦ^Е) < А(р) • Пч/р ЦрпЦь^Е) ' ЦрпЩ < А(р, г) Пч/р ЦрпЦ8г, (1.8)

при указанной в (1.6) связи между параметрами р, д и г, в. В качестве множителей можно взять, например, А(р) = (2 е д)ч/р, А(р, г) = (2 ед)ч/рвг. В первом неравенстве в (1.8) порядок множителя пч/р является точным.

Пусть все полюсы н.д. лежат вне отрезка [—1,1] симметрично относительно действительной оси (т.е. н.д. вещественнозначна на К). Положим

\\рп|| = тах \рп(х)\, \\рп\\* = тах \Л — х2\рп(х)\. (1.9)

х£ —1,1] хе[—1,1]

Теорема 1.7 [45]. Пусть г > 0. Для вещественнозначной н. д. рп при достаточно больших п ^ по(\\рп\\*) имеем

\рг

^ 2 • 321/г • п2/г \\рп\\ьг[—1,1]. (1.10)

Можно взять, например, п0 (х) = 103(х2 + 1). Оценка точна по порядку в том смысле, что при г > 2 существует последовательность веществен-нозначных н. д. рп со свойством:

\Рг

1, \\рп\\ ^ Л(г)п2/г\\рп\\ьг[—1,1], п = 2,3,....

Примечание. В случае г < 2 приводимый ниже пример не дает аналогичной оценки, из него следует лишь неравенство \\рп\\ ^ Л(г)п\\рп\\ьг[—1,1].

1.2 Вспомогательные утверждения

1.2.1. Для доказательства теорем 1.1 и 1.2 нам понадобится ряд вспомогательных утверждений из работы [32].

Будем обозначать через Нр пространство Харди аналитических на С+ функций / (г) с нормой

/г ж \ 1/р

\\1 \\нр = вир / \!(х + iy)\pdx) .

У>0 V )

Для х Е К через /(х) обозначим некасательные угловые пределы функции /(г) Е Нр со стороны С+. Известно (см. [38], [39]), что /(х) Е

^р, \\f \\р \\f \\нр

и имеет место соотношение двойственности

f - Pn\\p = SUp

{

■>оо

pn(x)g(x)dx

: g e Hq, \\g\\q < 1

}

Поскольку последний интеграл по теореме о вычетах равен умноженной на 2пг сумме значений функции д в полюсах Хк дроби рп, отсюда получаем

f - Pn\\p = sup

{

J2gz)

k=i

: g e Hq, \\g\\q < 1

(1.11)

Приведем некоторые выкладки из [32]. При Г(х) = /(х) — рп(х) рассмотрим интеграл типа Коши

I(F, z) =

1

F(x)dx

2пг J_qq x z

x e C-.

С одной стороны, I(F, z) = -pn(z), поскольку по теореме Коши I(f,z) = 0. С другой стороны, используя известную формулу Сохоцкого — Привалова, для некасательного предела со стороны C- получим почти всюду на R

/ ч , ч H [F](xo) F (xo)

-Pn(xo) = lim I(F, z) = 1 J1 0 -A-A, xo e R,

z^x0 2

где H[F] — преобразование Гильберта функции F. Учитывая, что преобразование Гильберта является ограниченным, с применением неравенства Минков-

ского получаем отсюда

p

n\ p

f-p

n\ p

где слабая эквивалентность означает, что отношение величин в левой и правой частях ограничено сверху и снизу положительными величинами, не зависящими от п. Отсюда и из (1.11) следует

Лемма 1.1 [32]. Выполнение (1.1) равносильно условию

Y,g(zk)

k=i

< A(p, {zk})\\g\\Hq Vn,

(1.12)

oo

где д — произвольная аналитическая функция класса Харди Ня. При х,у Е К, г = х + %у положим

пп

Ип(г) = 1т рп(г) = -Ук—У2, ^(х) = Ие рп(х) = ^——

\г — гк\2 к=1 \г — гк\

Из теоремы о вычетах имеем

„ж / 1 1

/то __n / n 1 n i \

pn(x) pn(x)dx = —2ni ^^ Resz=zk ^ —— ^ __

k=i \s=i z Zs s=i Z ZsJ

n n

£ I Z Zk-zs (1+£ Z=-f)) = -2" £ p"{zk),

k=1 V s=1 k M s=k k s k=1

II 112

откуда с учетом вещественности || pn\\2 получаем

пп

\\рп\\2 = 2п 1т I ^ рп(гк)\ = (1.13)

\к=1 / к=1

С помощью последнего равенства получается Лемма 1.2 [32]. При 1 < р < 3 имеем

Рп ^Рто & Im |Vin(p-2)/2 J2 Pn-1(ZZk^ A(p, {Zk}) < то Уи, (1.14)

где суммируются значения однозначной в С аналитической ветви рп—1(г) = \рп(г)\р—1ефр—1), ф = argрп(г) Е (0,п), г Е С—. Кроме того, справедлива оценка

\p

'n\\p'

Pn\\P cos n(P2-2) < Im fe-"<p-2>/2 g pn-1 (ZkЛ . (1.15)

Доказательство. При p = 2 эквиваленция (1.14) очевидно следует из (1.13). Пусть теперь p = 2 + а, 0 < а < 1. Рассмотрим однозначную ветвь

pan(Z) = |pn(Z)\аегфа, ф = argpn(Z) G (0,п), Z G C-.

Тогда w(z) = ein(1 a^2pa(z) отображает нижнюю полуплоскость внутрь угла п(1 — а)/2 < argw < п(1 + а)/2. Отсюда

Im w(z) < |w(z )| < cos fIm w(z), т.е. \pn (z )a \ x Im (em(l—a)/2pan(z))

2

при z G C—. Отсюда имеем

■>oo />оо

\\pn\\Pp = / |pn(x)| n dx = \pn(x)\ •\pn(x)\a dx X

J —TO J—TO

x Im ^ em(1—a)/2 J Pn^fp^dx^ = Im ^ ein(1—a)/2J pn+a(x)P~(X)dx^ Далее, из теоремы о вычетах получаем

/то n

pn+a(x)pn(x)dx = —2ni^2pn+a (zk),

k=i

откуда

\pn\\Pp x 2n Im ^e—ina/2 J2 pn+a(zk^ •

Из этой слабой эквивалентности и получается (1.14) при р Е (2,3). Для р Е (1, 2) выкладки аналогичны.

Неравенство (1.15) очевидно получается из приведенных неравенств. Лемма 1.2 доказана.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Додонов Артур Евгеньевич, 2016 год

Список литературы

1. Boole G. On the comparison of transcendents, with certain applications to the theory of definite integrals // Philosophical Transactions of the Royal Society of London. 1857. Vol. 147. Pp. 745-803.

2. Macintyre A. J., Fuchs W. H. J. Inequalities for the logarithmic derivatives of a polynomial // Journal of London Mathematical Society. 1940. Vol. 15. №2. Pp. 162-168.

3. Гончар А. А. О наилучших приближениях рациональными функциями // Доклады АН СССР. 1955. Т. 100, №2. С. 205-208.

4. Долженко Е. П. Оценки производных рациональных функций // Известия АН СССР. Сер. матем. 1963. Т. 27. №1. С. 9-28.

5. Горин Е. А. Частично гипоэллиптические дифференциальные уравнения в частных производных с постоянными коэффициентами // Сибирский математический журнал. 1962. Т. 3, №5. С. 506-508.

6. Николаев Е. Г. Геометрическое свойство корней многочленов // Вестник Московского университета. Сер. 1: Математика, механика. 1965. Вып. 5. С. 23-26.

7. Гельфонд А. О. Об оценке мнимых частей корней многочленов с ограниченными производными от логарифмов на действительной оси // Математический сборник. 1966. Т. 71, №113. С. 289-296.

8. Кацнельсон В. Э. О некоторых операторах, действующих в пространствах, порожденных функциями -—к // Теория функций, функциональный анализ и их приложения. 1967. Вып. 4. С. 58-66.

9. Данченко В. И. Оценки расстояний от полюсов логарифмических производных многочленов до прямых и окружностей // Математический сборник. 1994. Т. 185, №8. С. 63-80.

10. Данченко В. И., Данченко Д. Я. О равномерном приближении логарифмическими производными многочленов // Теория функций, ее приложения и смежные вопросы: Материалы школы-конференции, посвященной 130-летию Д. Ф. Егорова (Казань, 1999). Казань, 1999. С. 74-77.

11. Данченко В. И., Данченко Д. Я. О приближении наипростейшими дробями // Математические заметки. 2001. Т. 70. №4. С. 553-559.

12. Korevaar J. Asymptotically neutral distributions of electrons and polynomial approximation // Annals of Mathematics. 1964. Vol. 80. Pp. 403-410.

13. Korevaar J. Limits of polynomials whose zeros lie in a given set // Proceedings of Symposia in Pure Mathematics. 1968. Vol. 11. Pp. 261-272.

14. Chui C. K. On approximation in the Bers spaces // Proceedings of the American Mathematical Society. 1973. Vol. 40. P. 438-442.

15. Chui C. K. and Shen X. C. Order of approximation by electrostatic fields due to electrons // Constructive Approximation. 1985. Vol. 1, №1. Pp. 121-135.

16. Никольский С. Н. Неравенства для целых функций конечной степени и их применение в теории дифференцируемых функций многих переменных // Труды МИАН СССР. 1951. Т. 38. С. 244-278.

17. Бари Н. К. Обобщение неравенства А. А. Маркова и С. Н. Бернштейна // Известия АН СССР. Серия математическая. 1954. Т. 18. С. 159-176.

18. Русак В. Н. Рациональные функции как аппарат приближения. Минск: Издательство БГУ, 1979.

19. Виденский В. С. Некоторые оценки производных от рациональных дробей // Известия АН СССР. Серия математическая. 1962. Т. 26. №3. С. 415426.

20. Данченко В. И. Оценки производных наипростейших дробей и другие вопросы // Математический сборник. 2006. Т. 197. №4. С. 33-52.

21. Косухин О. Н. Об аппроксимативных свойствах наипростейших дробей // Вестник Московского университета. Сер. 1. Математика. Механика. 2001. Вып. 4. С. 54-58.

22. Косухин О. Н. О некоторых нетрадиционных методах приближения, связанных с комплексными полиномами: Дисс. . . . канд. физ.-мат. наук. М.: МГУ им. М. В. Ломоносова, 2005.

23. Новак Я. В. О наилучшем локальном приближении наипростейшими дробями // Математические заметки. 2008. Т. 84, №6. С. 882-887.

24. Новак Я. В. Апроксимацшш та штерполяцшш властивост найпростших дроб1в. Дисс. . . . канд. физ.-мат. наук. Киев: ИМ НАН Украины, 2009.

25. Новак Я. В. Критерш юнування неперервних похщних у функцiй з класу Lp на вiдрiзку в термшах локальних наближень найпростiшими дроба-ми // Доповiдi НАН УкраТни. 2009. Т. 5. С. 36-40.

26. Бородин П. А., Косухин О. Н. О приближении наипростейшими дробями на действительной оси // Вестник Московского университета. Сер. 1. Математика. Механика. 2005. Вып. 1. С. 3-8.

27. Данченко В. И., Кондакова Е. Н. Чебышевский альтернанс при аппроксимации констант наипростейшими дробями // Труды Математического института имени В. А. Стеклова. 2010. Т. 270. С. 86-96.

28. Komarov M. A. Examples related to best approximation by simple partial fractions // Journal of Mathematical Sciences. 2012. Vol. 184. №4. Pp. 509523.

29. Komarov M. A. Uniqueness of a simple partial fraction of best approximation // Journal of Mathematical Sciences. 2011. Vol. 175. №3. Pp. 284-308.

30. Комаров М. А. О неединственности наипростейшей дроби наилучшего равномерного приближения // Известия вузов. Математика. 2013. Т. 9. С. 2837.

31. Протасов В. Ю. Приближения наипростейшими дробями и преобразование Гильберта // Известия РАН. Сер. матем. 2009. Т. 73, №2. С. 123-140.

32. Данченко В. И. О сходимости наипростейших дробей в Lp(R) // Математический сборник. 2010. Т. 201, №7. С. 53-66.

33. Каюмов И. Р. Сходимость рядов наипростейших дробей в Ьр(Ж) // Математический сборник. 2011. Т. 202, №10. С. 87-98.

34. Каюмов И. Р. Необходимое условие сходимости наипростейших дробей в Ьр(Ж) // Математические заметки. 2012. Т. 92, №1. С. 149-152.

35. Каюмов И. Р. Интегральные оценки наипростейших дробей // Известия вузов. Математика. 2012. Т. 4. С. 33-45.

36. Каюмова А. В. Сходимость рядов простых дробей в Ьр // Ученые записки Казанского государственного университета. Сер. Физико-математические науки. 2012. Т. 154. №1. С. 208-213.

37. Харди Г., Литтлвуд Д., Полиа Г. Неравенства. М.: Издательство иностранной литературы, 1948.

38. Кусис П. Введение в теорию пространств Нр с приложением доказательства Волффа теоремы о короне. М.: Мир, 1984.

39. Гарнетт Дж. Ограниченные аналитические функции. М.: Мир, 1984.

40. Лебедев Н. Н. Специальные функции и их приложения. М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1963.

41. Градштейн И. С. Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Наука, 1963.

42. Кнут Д. Искусство программирования для ЭВМ. Т. 1. Основные алгоритмы. М.: Мир, 1976.

43. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1971.

Публикации автора по теме диссертации

В журналах из перечня ВАК

44. Данченко В. И., Додонов А. Е. Оценки экспоненциальных сумм. Приложения // Проблемы математического анализа. 2012. Т. 67. С. 23-30.

Перевод: Danchenko V. I., Dodonov A. E. Estimates for Exponential Sums. Applications // Journal of Mathematical Sciences. 2013. Vol. 188. №3. Pp. 197206.

45. Данченко В. И., Додонов А. Е. Оценки Lp-норм наипростейших дробей // Известия вузов. Математика. 2014. Т. 6. С. 9-19.

Перевод: Danchenko V. I., Dodonov A. E. Estimates for Lp-norms of simple partial fractions // Russian Mathematics (Iz. VUZ). 2014. Vol. 58. №6. Pp. 615.

46. Додонов А. Е. О сходимости рядов наипростейших дробей в Lp(R) // Проблемы математического анализа. 2015. Т. 82. С. 83-87.

Перевод: Dodonov A. E. On Convergence of Series of Simple Partial Fractions in Lp(R) // Journal of Mathematical Sciences. 2015. Vol. 210. №5. Pp. 648653.

Прочие

47. Данченко В. И., Додонов А. Е. Оценка скорости убывания решения линейного однородного дифференциального уравнения // Современные методы теории функций и смежные проблемы: Материалы Воронежской зимней математической школы (Воронеж, 2011). Воронеж: Издательство Воронежского государственного университета, 2011. С. 114-115.

48. Данченко В. И., Додонов А. Е. Об оценках экспоненциальных сумм // Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, 2012): Тезисы докладов. М.: МИАН, 2012. С. 61-62.

49. Додонов А. Е. Оценка решения однородного дифференциального уравнения Эйлера // Комплексный анализ и его приложения, Тезисы VI Петрозаводской международной конференции (Петрозаводск (01.07-07.07.2012)), Петрозаводск: Петрозаводский государственный университет, 2012. С. 1619.

50. Данченко В. И., Додонов А. Е. Оценки Ьр-норм наипростейших дробей // Современные методы теории функций и смежные проблемы: Материалы Воронежской зимней математической школы (Воронеж, 2013). Воронеж: Издательство Воронежского государственного университета, 2013. С. 76.

51. Данченко В. И., Додонов А. Е. Оценки экспоненциальных сумм // Современные методы теории функций и смежные проблемы: Материалы Воронежской зимней математической школы (Воронеж, 2013). Воронеж: Издательство Воронежского государственного университета, 2013. С. 77.

52. Dodonov A. E. On Estimates of Quasipolynomials // Комплексный анализ и его приложения, Тезисы VII Петрозаводской международной конференции (Петрозаводск (29.06-05.07.2014)), Петрозаводск: Петрозаводский государственный университет, 2014. С. 37-40.

53. Додонов А. Е. О сходимости рядов наипростейших дробей в Lp(R) // Теория функций, ее приложения и смежные вопросы. Материалы XII международной Казанской летней научной школы-конференции (Казань (27.0604.07.2015)), Казанское математическое общество, 2015. C. 178-180.