Приближение гармоническими функциями на множествах в R^n тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Павлов Дмитрий Александрович

• Павлов Дмитрий Александрович
• кандидат наук
• 2024

Оглавление диссертации кандидат наук Павлов Дмитрий Александрович

1.1. Предварительные замечания

1.2. Леммы о дифференцировании

1.3. Построение псевдогармонического расширения

Глава 2. Приближение в равномерной норме

2.1. Предварительные замечания

2.2. Свойства псевдогармонического расширения

2.3. Построение приближающей функции

2.4. Обобщение на компакты меньших размерностей

Глава 3. Приближение в Ьр-норме

3.1. Предварительные замечания

3.2. Свойства псевдогармонического расширения

3.3. Построение приближающей функции

Заключение

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Приближение гармоническими функциями на множествах в R^n»

Введение

Исследование конструктивного описания класса гёльдеровых функций в терминах скорости приближения функциями, взятыми из некоторого специального класса (алгебраические многочлены, тригонометрические многочлены, рациональные функции и т. п.) началось с классических работ Д. Джексона [1] и С. Н. Бернштейна [2], опубликованных в начале двадцатого века. Неравенство Джексона и теорема Бернштейна вместе дают следующее утверждение: 2^-периодическая функция / является гёльдеровой с показателем а € (0, 1) тогда и только тогда, когда для любого натурального п существует такой тригонометрический многочлен Тп степени не выше п, что

С

тах |/(х) - Тп(х)| < —,

где константа С/ зависит лишь от функции /.

Кажущаяся естественно вытекающей отсюда задача конструктивного описания класса гёльдеровых на отрезке функций в терминах скорости приближения алгебраическими многочленами была решена только в 1956 году. Дело в том, что обратные теоремы, соответствующие неравенству Джексона в этом случае, не удавалось доказать. Выяснилось, что имеют место более сильные оценки, зависящие от положения точки на отрезке. В итоге, опираясь на оценки, полученные С. М. Никольским [3] и А. Ф. Тиманом [4], В. К. Дзядык [5] получил следующий результат: функция /, заданная на от резке [-1, 1], является гёльдеровой с показателем а € (0, 1) тогда и только тогда, когда для любого натурального п существует такой алгебраический многочлен Рп степени не в ыше п, что при всех х € [-1, 1] выполнено

и(х) - рп(х)|< % ((1 - х2)а/2 + .

В дальнейшем задачи конструктивного описания классов функций, заданных на областях комплексной плоскости, сыграли весьма существенную роль

в теории аппроксимации. С конца пятидесятых годов XX века многие авторы исследовали следующий вопрос. Пусть О — замкнутая жорданова область на комплексной плоскости. Можно ли построить какую-то функцию, являющуюся «шкалой приближения» (как функция в правой части последнего неравенства)

О

алгебраическими многочленами, чтобы из возможности приближения можно было сделать вывод о гладкости (или гёльдеровости) приближаемой функции? В. К. Дзядык [6-8] ввёл в рассмотрение такую функцию р\+\/п на границе Г обО

О

Г условие гёльдеровости / с показателем а € (0, 1) равносильно возможности для любого натурального п подобрать такой многочлен Рп степени не выше п, что выполнено неравенство

|/(г) - Рп(г)| ^ Cfра1+1/п(х), г € Г. (★)

То есть для некоторых областей функция р1+1/п явила собой успешную «шкалу» для конструктивного описания вышеупомянутых классов функций. Следующей целью в этом направлении стало ослабление дополнительных условий,

Г

кусочно-гладкой (с дополнительными ограничениями, связанными с угловыми точками) кривой [9,10], затем для кривой, обладающей свойством соизмеримости дуги и хорды [11], и, наконец, для квазиконформной кривой [12].

Оказалось, что если функция / может быть приближена многочленами Рп степени не выше п, чтобы выполнялось (*), то ] аналитична во внутренно-

Оа ОГ

торых угол между односторонними касательными нулевой, приближние многочленами со скоростью Сра+\/п (г) возможно не для всех гёльдеровых функций [15,16]. В связи с этим обстоятельством была введена модифицированная «шкала» р*+1/п, которая оказалось применимой для конструктивного описания класса гёльдеровых функций на жординовых областях с непустой внутренностью. В случае, когда внутренность О пуста, то есть О = Г, задача становится куда более запутанной. Например, для О = Г^ = [-1, 0] и [0, в%в], в € (0, п)

простые комбинации упомянутых «шкал» не дают нужного результата, как показал в своей работе Н. А. Широков [17]. Даже для случая Г^ потребовались содержательные дополнительные конструкции.

В 1994 году В. В. Андриевский [18] нашёл другой подход к задаче конструктивного описания классов функций на жордановых дугах. Он использовал равномерное приближение функции многочленами вместе с равномерными оценками на их производные в окрестности дуги. Также в его работах показано [19], что для конструктивного описания гёльдеровых классов на континуумах в С можно использовать гармонические многочлены.

Заметим, что вышеупомянутые конструкции со «шкалами» р\+\/п и р\+1/п пригодны для конструктивного описания классов Гёльдера только для плоских кривых, поскольку эти построения используют конформное отображение дополнения области на внешность единичного круга. Тем не менее данный вопрос можно исследовать и для гёльдеровых классов на пространственных кривых. В работе Т. А. Алексеевой и Н. А. Широкова [20], опубликованной в 2020 году, дано конструктивное описание класса гёльдеровых функций, заданных на пространственной незамкнутой кривой, дуга которой соизмерима с хордой, в терминах скорости приближения функциями, гармоническими в окрестности кривой. Помимо скорости приближения даны равномерные оценки на градиент приближающей функции. Размер окрестности напрямую связан со скоростью приближения: чем точнее приближение, тем уже окрестность.

Сформулируем этот результат подробнее. Пусть ш — модуль непрерывности, удовлетворяющий условию

X сс

I ЩЙ (11 + ж у ^ ^ Сш(ж), X е (0, +с). (0)

0 X

Через Нш (Ь) обозначим пространство всех функций /: Ь ^ К, удовлетворяющих условию |/ (ж) — ](у)| ^ Cfш(||ж — у||), где ||ж — у|| — евклидово расстояние между точками ж, у е К3. Функции из Нш(Ь) разумно называть гёльдеровыми на Ь, ведь ш(£) = удовлетворяет уеловию (0) при С = 1/а + 1/(1 — а). Обозначим ещё через Л£(Ь) окрестность Ь радиуса е. Тогда имеет место следующая

Теорема А. Пусть Ь — крива я в К37 дуга которой соизмерима, с хордой,

/: Ь ^ Ж. Тогда / принадлежит, классу Иш (Ь)7 если и только если для любого 5 > 0 существует такая гармоническая в Л,(Ь) функция и§, что

|/(х) - щ(х)| ^ С1(/, Ь)и(5), х € Ь; (х)|| < С2(/, Ь) ^^, х € Л^Ь).

В статье 2022 года тех же авторов [21] приводится аналогичный результат для приближения в L^-nopMe. Пусть L — снова пространственная кривая, обладающая свойством соизмеримости дуги и хорды. Для f: L ^ R x G L и г > 0 положим

A*f (x, г) = sup |f (y) - f (x)|.

yeb, ||y—ж||<г

Через Hp(L) обозначим пространство всех функций f, удовлетворяющих соотношению

1/р

(A*f(t, r))p dt I < Cfra

где a G (0, 1). Через Hp(L) обозначим подпространство Hp(L) функций f,

удовлетворяющих дополнительному условию

A*f(x, г) ^ Cf (R) A*f(y, R)

при £ = e(f) > 0 г G (0, R], ||x — yУ ^ Rx, y G L. Для функции v, дифференцируемой в Aj(L), положим

grad^ v (x) = sup 11 grad v (y) 11,

||y—J/2

а для F, заданной на L, положим

max^ F (x) = sup |F (y)|.

yGL,||y—ж||<<5

Тогда справедливы следующие теоремы.

Теорема В. Пусть / е На(Ь), а е (0, 1), р > 1/а. Тогда для любого 5 е (0, |Ь|) существует такая гармоническая в Л,(Ь) функция и,, что

\ 1 /р

(шах, (/(*) — и,(¿)))р 1* | < С1(/, Ь)5а, (*1)

1/р

^гаа,и,(¿))р 11 | < С2(/, Ь)5а—1. (*2)

Теорема С. Пусть функция / такова, что для любого 5 е (0, 2|Ь|) существует такая гармоническая в Л, (Ь) функц ия и,, что выполнены условия (*1) м(*2). Тогда/ е Нра(Ь).

Построение приближающей функции (как в равномерном случае, так и в случае Ьр-нормы) опирается на конструкцию так называемого псевдогармонического расширения,, заключающуюся в непрерывном продолжении гёльдеро-вой функции на всё пространство, обладающем некоторыми дополнительными свойствами. Именно, в [20] доказано следующее утверждение.

Теорема В. Пусть / е Нш(Ь). Тогда, существует такая функция /0 е е С (К3) П С2 (К3 \ Ь),что/о1ь = /

и Ь))

^а/0(ж)| < С^^(ж,Ь) ,

/0 (ж) = 0 щи ||ж|| ^ Я0, Ь с В (О, Я0),

|Л/0(ж)| < С2 ^(ж, Ь))2 , где В (О, Я0) — открытый шар радиуса Я0 с центром в нуле.

/

показателем а — 1/р и показано, что для псевдогармонического расширения / в этом случае имеет место следующий

Факт. Разобьём кривую L на n равных дуг длины, ln. Пусть xo G L. Тогда для x G B(x0, 2ln) верны, следующие оценки,:

||gradf0(x)|| ^ Cil—11A*f (x0, C3dist (x, L)),

|Afo(x)| ^ C2l—2A*f(xo, C3dist(x, L)).

Термин «псевдогармоническое расширение» является прямым переводом термина "pseudoharmonic extension", введённого в работе [20]. Внешне похожий, но совсем иной по смыслу термин "pseudo-harmonic extension" ввели У. Дж. Гордон и Дж. А. Уиксом в своей работе [22], опубликованной в 1974 году. Для выпуклой ограниченной области Q с кусочно-гладкой границей и функции f, заданной на дQ, авторы так назвали функцию, продолжающую f на Q и заданную формулой

2п

u(x, y)=2n/{dm^rnf Ш0))+im+imf Ш0)))d0

0

где Qi(0) и Q2(0) — точки пересечения границы Q с прямой, проходящей через (x, y) с наклон ом 0, a d1 (0) и d2(0) — расстояния от точки (x, y) до точек и Q2(0). В статье [22] доказано, что если Q — круг, a f кусочно непрерывна, то функция и является решением соответствующей задачи Дирихле, чем и объясняется название термина. Также термин "pseudoharmonic extension" не связан с изучавшимся, например, М. Морсом и М. Хейнсом [23] термином "pseudoharmonic function".

Конструкция псевдогармонического расширения восходит к идеям Е. М. Дынькина, который рассматривал псевдоаналитическое расширение (или продолжение) функций, заданных на областях комплексной плоскости [24,25], в вопросах, связанных с равномерным приближением алгебраическими многочленами степени n со скоростью Cn—Сформулируем один из его результатов.

Пусть G — достаточно хорошая (не будем уточнять, дабы не перегружать введение определениями из комплексного анализа) область на комплексной плоскости, ф — конформное отображение внешности замыкания G на внешность замкнутого единичного круга с обычной нормировкой

ф(то) = то, ф'(то) > 0. 8

д 1 ( д д \

Пусть ещё — = - ——+ г— . Тогда имеет место дг 2 \ дж ду /

Теорема Е. Пусть функция / аналитична в С и непрерывна в О. Тогда, следующие утверждения эквивалентны.

1. Существуют алгебраические многочлены Рп степени и, такие, что

|/(г) — Рп (г )| < С, г е О.

2. Функция / допускает непрерывное продолжение ^ на С, непрерывно дифференцируемое в С \ О и такое, что

' д^

дг

< С|ф'(г)|(|ф(г)| — 1)а—1, г е С \ О

Конечно, в теореме Е используется специфический для комплексного анализа аппарат — конформное отображение — тем не менее определённую аналогию между теоремами Б и Е можно проследить. Теорема Б говорит нам, что гёль-дерову функцию можно непрерывно продолжить на всё пространство так, что величина «негармоничности» продолжения будет оцениваться через расстояние до компакта и модуль непрерывности. Как мы упоминали ранее, условие

/а

получаем, что гёльдеровость влечёт возможность продолжения, величину «неаналитичности» которого можно оценить через а. Если тол ожить ш (£) = £а в теореме Б, то похожесть оценок станет ещё более явной.

Однако эта внешняя похожесть не должна ввести в заблуждение: идеи, на которых основаны эти построения, довольно далеки друг от друга. Как уже неоднократно упоминалось, комплексно-аналитические рассуждения нельзя перенести на случай пространства.

Перейдём к обзору основной части текста. Диссертация посвящена обобщению теорем А, В, С и Б на многомерный случай.

Обзор первой главы

Первая глава посвящена построению псевдогармонического расширения в многомерном случае.

Прежде всего распространим понятие пространственной кривой, дуга которой соизмерима с хордой, на случай большего числа измерений.

Определение. Множество Ь с Жт7 т ^ 3 назовём хорошим компактом, если существует такое отображение ф: [0, 1]т-2 ^ Жт; что

1- Х2|| < ||ф(Х1) - ф(х2)| < С2 ||Х1 - Х2||

и ф([0, 1]т-2) = Ь.

Пусть К — произвольное компактное подмножество Ь. Обозначим через ¿(ж) расстояние от х до К, а через V(х) — какую-нибудь точку из К, реализующую это расстояние. Пусть также, как и выше,

Д/(х т) = вир |/(у) - /(х)|.

у€Ь, ||у-ж||<г

Теперь мы готовы сформулировать основной результат главы.

/К

ет такая функция /о € С2(Жт \ К)7 что

/о(х) = 0 при ||х|| ^ Ло, К с В (О, Ло),

, , / м, ^ Д*/(V(х), Сз^(х)) , ^

||егас1/о(х)|| < С1—17 v , х € Жт \ К,

а(х)

|Д/о(х)| < С2Д*;(V^'(х)) • х € ®т \ К,

где С{ = С^(/, К). Кроме того, если хо € К — точка непрерывности /, а точки хп € К таковы, что хп ^ хо, то /о(хп) ^ /(хо). В частности, если /непрерывна на К, то /о непрерывна на Жт7 ^ /о|к = /•

/о

/

/о

ным взятием средних значений некоторых функций по шарам с переменными центром и радиусом. Через В(х, т) обозначим открытый шар с центром х и радиусом т, через В(х, т) — замкнутый, Б(х, т) — сферу, его ограничивающую.

Пусть А обозначает меру Лебега на Кт, а а — (т — 1)-мерную меру Хаусдорфа, нормированную так, чтобы мера единичной сферы имела привычное значение. В процессе доказательства нужных оценок используются следующие леммы. Функция ] ниже (как и все функции, рассматриваемые в работе) предполагается вещественнозначной.

Лемма 1. Пусть В (ж, г) содержится вместе со своей окрестностью в некотором компакте ^ С Кт7 / е С)7 V е Кт7 IIV|| = 1- Тогда функция д, определённая равенством

д(ж) = У /(у) ^А(у),

В(х, г)

дифференцируема в точке ж по направлению V, и

д'у(ж) = / ^(у) ^А(у).

В(х, г)

Лемма 2. Пусть В (ж, г(ж)) содержится, вместе со своей окрестностью

в некотором ком,пакте ^ С М.т, где г е С)7 / е С(^); V е Кт7 IV! = 1-д

д(ж) = У /(у)

В(х, г(х))

дифференцируема в точке ж по направлению V, и

Ж(ж) = У (и(у) •v + ^(ж))/(у)

£(х,г(х))

где и(у) — внешняя единичная нормаль к сф ере в точке уж • у — скалярное произведение элементов ж, у е Кт.

Лемма 3. Пусть Б (ж, г(ж)) содержится вместе со своей окрестностью в некотором компакте ^ С Кт7 где г е С1^)7 / е С1 (^); V е Кт7 IV! = 1.

Тогда функция д, определённая, равенством,

д(х) = У /(У)

£(ж, г(ж))

дифференцируема в точке х по направлению V, и ^(х)= / ^(х)/П(у)(У) +

£(ж, г(ж))

+ (т - 1) I т^хт/(у) / /V(у) ^(у).

$(ж, г(ж)) 5(ж,г(ж))

Обзор второй главы

К

пактное подмножество хорошего компакта. Основным результатом главы является следующая

Теорема 1. Длл того7 чтобы /: К ^ Ж принадлежала, классу (К)7 гс^е ы — модуль непрерывности, удовлетворяю ищи, условию (§), необходимо и достаточно, чтобы для любого 5 > 0 существовала такая гармоническая в АДК) функция м,57 что

|/(х) - и(х)| ^ С1(/, К)ы(5), х € К; (х)11 < С2(/, К)^, х € А^К).

Также во второй главе показано, что приведённые результаты можно распространить на компакты меньших размерностей, а именно на компакты коразмерности I в смысле следующего определения.

Определение. Множество Ь с Жт назовём, хорошим компактом коразмерности I (I = 2, 3,..., т - 1), если существует такое отображение ф: [0, 1]т-1 ^ Жт7 что

Сб||х1 - х2 11 < ||ф(хх) - ф(х2)| < Сб ||х1 - х2 11

12

и ф([0, 1]m-1) = L.

Обзор третьей главы

Эта глава посвящена случаю приближения в Ь-норме. Пусть Ь — хороший компакт, д — (т — 2)-мерная мера Хаусдорфа на Кт. Через Нр"(Ь) обозначим пространство всех функций /, удовлетворяющих неравенству

||Д7(•,г)|р ^ С/га

для всех г > 0, где а е (0, 1) а норма взята в прострапстве Ь(Ь, д). Через Н/ра(Ь) обозначим подпрострапство Нра(Ь) функций / удовлетворяющих дополнительному условию

Д7(ж, г) ^ С/ (Я) Д/(у, Л)

при £ = £(/) > 0 г е (0, Я], 11ж — у|| ^ Л ж, у е Ь. Для функции V, дифференцируемой в Л,(Ь), положим

grad^ v(x) = sup ||gra dv(y )||, yeB(M/2)

а для F, заданной па L, положим

max^ F (x) = sup |F (y)|.

yGB(x, J)nL

Основным результатом этой главы являются следующие две теоремы.

Прямая теорема для класса На(Ь). Пусть / е Да(Ь); р ^ 1. Тогда для любого 5 е (0, 1/2) существует такая гармоническая в Л,(Ь) функция что

||тах, (/(•) — и,(0)||р ^ С1(/, Ь)5а, (*з)

ПетаЛ^и,(•)|р ^ С2(/, Ь)5а—1. (*4)

Обратная теорема для класса На(Ь). Пусть функция / такова, что для любого 5 е (0, 1/2) существует такая гармоническая в Л,(Ь) функция

и^ что выполнены условия (*3) и (*4). Тогда / € На(Ь).

Отметим, что требованиер > 1/а, указанное в теореме В, оказалось излишним.

Автор сердечно благодарит своего руководителя Николая Алексеевича Широкова за постановку задачи, руководство работой, ценные замечания и интересные беседы.

Глава 1. Псевдогармоническое расширение

1.1. Предварительные замечания

На протяжении всей работы т ^ 3 — фиксированное натуральное число. Через А будем обозначать меру Лебега на Жт, а — (т - 1)-мерную Хаусдорфа на Жт, В(х, т) — открытый шар радиуса т с центром в точке х € Жт, В(х, т) — замкнутый шар с теми же радиусом и центром, S(х, т) — сферу, ограничивающую этот шар. Меру а нормируем так, чтобы выполнялось привычное равенство

а(£ (О, 1)) = тП

т/2

Г(т/2 + 1)'

где О = (0,..., 0) € Жт. Под ||х|| мы будем понимать стандартную евклпдо-

Жт-2 Жт

рассматрпваемый вектор, будет понятно из контекста.

Ь с Жт

существует, такое отображение ф: [0, 1]т-2 ^ Жт7 что

¿?1 |хх - х2 11 < ||ф(хх) - ф(х2)| < С2 ||х1 - х2 11 и ф([0, 1]т-2) = Ь.

т = 3 Ь

Ь

ством соизмеримости дуги и хорды. Пусть Ь — хороший коми акт в Ж3, А = ф(х1) В = ф(хп), х1 < хп. Тогда для любого разбиения дуги АВ точками ф(х2),..., ф(хп_1) (х1 < х2 < ... < хп) будет

п-1 п-1

||ф(хл+1)-ф(хк)|| < |хл+1 -хк| = С?2|хп-х11 < С2С-1||ф(хп)-ф(х1 )||

к=1 к=1

Переходя к супремуму по всем разбиениям, получим

1(А, В) ^ С2С—1ф(жп) — ф(ж1)|| = С/2С—1|АВ|,

где 1(А, В) — длина дуги АВ. Обратно, пусть Ь — кривая, дуга которой соизмерима с хордой, 7: [0, |Ь|] ^ К3 — её естественная параметризация. Положим ф(ж) = 7(|Ь|ж). Тогда ф: [0, 1] ^ К3 и

|ф(ж1) — ф(ж2) 11 ^ ^ф^О, ф(ж2)) = 1(7 (ж1/|Ь|),7 (ж2/|Ь|)) = щ |ж1 — ж21.

Первое сравнение следует из свойства соизмеримости дуги и хорды, а последнее равенство из определения естественной параметризации. Таким образом, понятие хорошего компакта действительно распространяет понятие кривой, дуга которой соизмерима с хордой, на большие размерности. Для /: Ь ^ К, ж е Ьиг> 0 положим

Д/(ж г) = _зир |/(у) — /(ж)|.

уеВ(х, г)ПЬ

Проверим легко доказываемое свойство Д*/, которым мы часто будем молчаливо пользоваться:

Д*/(у, г) < 2Д*/(ж, г + ||у — ж||). Действительно, если £ е В (у, г), то £ е В (ж, г + ||у — ж||), и

I/(£) — /(у)1 ^ I/(£) — /(ж)| + |/(ж) — /(у)| ^

< Д*/(ж, г + ||у — ж||) + Д*/(ж, ||у — ж 11) < 2Д*/(ж, г + ||у — ж 11)

Остаётся перейти к супремуму по всем С

указанных в формулировках утверждений аргументов (или вообще абсолют-С

неравенств. Некоторые фиксированные константы мы будем выделять отдельно (например, С/1, С/2,С1, С2,...) с собственной нумерацией в каждой главе. Леммы и теоремы также имеют собственную нумерацию в каждой главе.

Пусть К — произвольное компактное подмножество Ь. В дальнейшем через ¿(ж) будем обозначать расстояние от точки ж до множества К, а через V(ж) —

какую-нибудь точку из К, реализующую это расстояние. Основным результатом этой главы является следующая

Теорема 1. Пусть функция / задана и ограничена на К. Тогда, существует такая функция /0 € С2(Жт \ К)7 что

/о(х) = 0 щи ||х|| ^ Ло, К с В (О, До),

II Л*(\\\^Г>А*/(V (х),Сзф))

П^та /0(х) | ^ С1- " -, х € Ж' \ К,

а(х)

|А/о(х)К СА,/^"(х)), х € Ж" \ К,

где С = С,;(/, К). Кроме того, если х0 € К — точка непрерывности /, а точки хп € К таковы, что хп ^ х0? то /0(хп) ^ /(х0). В частности, если /непрерывна на К, то /0 непрерывна на Жт7 м /0|к = /.

Функцию /0, обладающую всеми свойствами, перечисленными в теореме 1,

/

Из определения хорошего компакта и построения меры Хаусдорфа можно получить (и это будет сделано в третьей главе), что хаусдорфова размерность Ь т- 2 Ь К

ЬК

формулировки теоремы корректна.

Доказательству теоремы 1 посвящён третий раздел главы. Во втором разделе доказываются важные для этого доказательства леммы.

1.2. Леммы о дифференцировании

В построении псевдогармонического расширения будут использоваться функции, заданные как интегралы по шарам как с постоянным, так и переменным радиусом. Для доказательства заявленных оценок нам нужно уметь работать

с первыми и вторыми производными таких функций. В этом нам помогут сле-

/

сматриваемые в работе) предполагается вещественнозначной.

Лемма 1. Пусть В (ж, г) содержится вместе со своей окрестностью в некотором компакте К С Кт7 / е С 1(К)7 V е Кт7 11V|| = 1. Тогда функция д, определённая равенством

д(ж) = У /(у) ¿А(у^

В(х, г)

дифференцируема в точке ж по направлению V, и

д;(ж) = / ^(у) ¿л(у)-

В(х, г)

Доказательство. Пусть ^ 0. Заменяя под интегралом у на у + '„/и, запишем разностное отношение

д(ж + ^ — д(ж) = / ;(у + ^ — /(у' ¿А(у) = / ф„(у) ¿А(у). (1)

В(х, г) В(х, г)

Применяя теорему Лагранжа к функции = /(уполучим, чтофп(у) = = /V(сп(у))5 то есть что функции фп равномерно ограничены. Тогда по теореме Лебега о мажорируемой сходимости можно совершить предельный переход под знаком интеграла и получить, что правая часть равенства (1) стремится к правой части доказываемого равенства. В силу произвольности {'п} лемма 1 доказана. □

Лемма 2. Пусть В (ж, г(ж)) содержится вместе со своей окрестностью

в некотором компакте К С Кт7 где г е С1(К )7 / е С (К); V е Кт7 11V || = 1. д

д(ж) = У /(у) ^(у),

В(х, г(х))

дифференцируема в точке ж по направлению V, и

д;(ж) = / (п(у) ■v +г;(ж))/(у) ^у^

£(х,г(х))

где п(у) — внешняя единичная нормаль к сф ере в точке ух • у — скалярное произведение элементов х, у € Жт.

Доказательство. Запишем и преобразуем разностное отношение

*(х + - а(х) = Л / /(у) ¿А(у) - ; / /(у) «Щу) =

В(ж+Лу, г(ж+Лу)) В(ж,г(ж))

= 1 I /(у) ¿А(у) - /(у) ¿А(у) +

В(ж+Лу, г(ж+Лу)) В(ж+Лу, г(ж))

+ 1 / /(у) ¿А(у) - 1 / /(у) ^А(у) =

1 /г

В(ж+Лу, г(ж)) В(ж,г(ж))

/

I /(у) ^А(у) - I /(у) ¿А(у)

\В(ж+Л/у, г(ж+Лу)) В(ж+Лу, г(ж)) у

+

+ 1 I /(у) ¿А(у) - 1 I /(у) ¿А(у) =

В(ж+Лу, г(ж))\В(ж, г(ж)) В(ж, г(ж))\В(ж+Лу, г(ж))

= А(Л) + А (Л) - Дг(Ч.

Разность интегралов в А(Л) представляет собой интеграл по многомерному сферическому слою толщины |т(х + Л«) - т(х)|. Расписывая интегральные суммы, как это обычно делается при сведении кратного интеграла к повторному, мы получим, что

г(ж+Лу)-г(ж)

А(Л) = 1 I I /(у + ¿п(у)) ^а(у).

£(ж+Лу,г(ж)) 0

Применяя теорему о среднем к внутреннему интегралу, получим

А(Л) = I т(х + Л«) - т(х)/(у + п(у}) ^(у),

£ (ж+Лу, г(ж))

где € [0, |т(х + Л«) - т(х)|]. Переходя к пределу, находим, что

А(Л) ^ I тУ(х)/(у) ^а(у).

£(ж, г(ж))

Законность перехода к пределу можно обосновать сделав замену ж + 'V на ж, чтобы интегрирование велось по сфере с фиксированным центром (относительно и аналогично доказательству леммы 1 получив ограниченность подынтегрального выражения.

Аналогично при малых Н получим представление

1у

А(Н) - £2(Н) = I /(у + Чу)) ^а(у),

5(х,г(х)) 0

где /у — ориентированная длина отрезка нормали в точке у, заключённого в разности рассматриваемых шаров. Длина берётся с плюсом, если отрезок лежит на внешней нормали, и с минусом — если на внутренней. За счёт этого уничтожается минус перед В2.

Вычислим /у. Заметим, что т очка у + /у п(у) лежит па сфере Б (ж + Ни, г(ж)), поэтому ||(у + /уп(у)) — (ж + Ни)|| = г(ж). Легко понять, что у — ж = г(ж)п(у). Тогда мы имеем соотношение

г(ж) = ||(г(ж) + )п(у) —

Возводя его в квадрат, мы получим квадратное уравнение относительнодискриминант которого положителен и отделён от нуля при малых Н. Тогда

/у = Н(п(у) ■ V) — г(ж) + а/г2(ж) + Н2(п(у) ■ V)2 — Н2,

поскольку |/у| ^ Н, а для другого корня при Н ^ 0 будет /у ^ —2г(ж). Значит, /у/Н ^ п(у) ■ V, тогда по теореме о среднем

А(Н) — Дг(Н) ^ I (п(у) ■ V)/(у) ^(у).

£(х,г(х))

Складывая найденные соотношения для А(Н) и В1(Н) — В2(Н), получим требу-□

Лемма 3. Пусть Б (ж, г(ж)) содержится вместе со своей окрестностью

в некотором компакте К С Шт^де г е С 1(К)7 / е С1(К); V е Кт7 11V | = 1-д

д(ж) = У /(у)

$(х, г(х)) 20

дифференцируема в точке х по направлению v, и

gV(х)= J К(x)f(y)(y) d-(yH

S(x, r(x))

+ (m - 1) J rVXX)f (У) / f (У) ¿-(У).

S(x, r(x)) S(x,r(x))

Доказательство. Запишем и преобразуем разностное отношение

g(x+h)- g(x)=h j f (y) ¿-(y) - h J f (y) ^-(y)=

S(x+hv, r(x+hv)) S(x, r(x))

= h / f (y) (y) - h / f (y) (y)+

S(x+hv, r(x+hv)) S(x+hv, r(x))

/ ^

+ h / f (у) d-(y) - J f (y) d-(y)

y S(x+hv, r(x)) S (x,r(x)) y

= h / ^f(t(y)) d-(У) - h / f (У + hv) d-(y) + E(h),

S (x, r(x)) S(x,r(x))

где

^ 4 7 r(x + hv)

t(y) = x + hv + —^—(У - x).

r(x)

Рассуждая аналогично доказательству леммы 1, получим, что

E (h) ^ J f (y) d-(y).

S(x, r(x))

Далее, обозначим

h / f (i(y)) d-(y) - h J f (y+hv d-(y)=

S(x,r(x)) S(x, r(x))

1 r rm-:(x + hv )

h J rm-:(x)

S(x, r(x))

(f (t(y)) - f (y + hv)) d-(y) +

+) / (гт—т—- 07(у+4 ^(у)=А())+

£(ж, г(ж))

Заметим, что || у — - У = г (ж), поэтому

¿(у) — (у + )г>) = г(- + ^—Г(—) (у — -) = (г(- + )у) — г(ж))п(у).

Значит, пользуясь непрерывной дифференцируемостью /, можем написать / (^(У)) — / (У + М = (у + , ) г(ж + М — г(ж) +

) = /п(у)(у + ) +

о(г(ж + — г(ж)) £, ( , , + —-^-— ^ /(у)(уК(-).

Второе слагаемое бесконечно мало, поскольку г(ж + )г>) — г(ж) = 0()). Таким образом,

А()) ^ I г;(ж)/;(у)(у) ^(у).

£(ж,г(ж))

Наконец,

гт—1 (— + — гт—1 (ж) 1 (гт—!(-)); __г;(ж)

) гт—1 (ж) гт—1 (ж) = (т ) г(ж) '

откуда

£()) ^ (т — 1) у /(у) ^(у).

£(ж,г(ж))

Складывая найденные соотношения для А()), В()) и Е()), получим требуемую формулу. □

1.3. Построение псевдогармонического расширения

Докажем сначала простую, но важную лемму, которой мы неоднократно воспользуемся в дальнейшем.

Лемма 4. Пусть в к-мсрном кубе со стороной а выбраны, несколько точек, попарные расстояния между которыми не меньше Ь, причём ал/к ^ Ь. Тогда, количество этих точек не превосходит (3ал/к/Ь)^.

Доказательство. Разобьём куб на одинаковых кубов. Тогда

длина диагонали маленького куба не превосходит 6/2, значит, в одном таком кубе лежит не больше одной выбранной точки. Остаётся заметить, что в условиях леммы

Пусть п € N Возьмём произвольную точку жоп £ К. Далее, если точки

жоп,..., Ж(к-1)п уже выбраны, то возьмём в качестве Жкп одну из ближайших к

к—1_ к—1

множеству У В(жш, 2'-п) точек множества К \ У В(ж^п, 2-п), если последнее

¿=о ¿=о

множество непусто. Пусть Жкп = ф(£&п). Поскольку ||жкп — Жк'п|| ^ 2-п при

к = к', то ||£кп — £к'п|| ^ С—12—'Эти точки содержатся в единичном (т — 2)-

мерном кубе, так что по лемме 4 мы выберем сп ^ С2(т—2)п точек (если лемма

неприменима, то есть С—12—'п > у/т — 2, то мы выбрали лишь одну точку, а

тогда заявленная оценка выполняется при С =1). Процесс окончен, поэтому с„—1

К С и В(Жкп, 2—п). к=о

Сп'1 _

Положим ^п = и В(жкп, 2—п+1), = ^п \ ^п+1- Из определения ясно, к=о

что ¿(ж) ^ 2—'п+1 для ж € ^п* В то же время для некоторого ко выполняется

V(ж) — жко(п+1) || ^ 2 п , поэтому если ¿(ж) ^ 2 п ,

то

||ж — Жко(п+1)| < ||Ж — V(ж)|| + ||V(ж) — Жко(п+1)| < 2 п 1 +2 п 1 =2 п, то есть ж € В(жко(п+1), 2—п) С ^п+1- Таким образом,

2—п—1 <ф) < 2—п+1, ж € ^п. (2)

Отсюда следует, что множества с номерами, отличающимися больше, чем на 2, попарно не пересекаются; множества же и ^п+1 не пересекаются, поскольку ^п+1 С ^п+1- Получается, что множества попарно не пересекаются. Определим теперь множества ¡х>кп: ¡х>оп = В (жоп, 2— п+1) П

к-1

^кп = (В(Жкп, 2—п+1) П Щ ^ В(жш, 2—п+1) при к = 1,..., Сп — 1

г=о

Легко видеть, что множетсва ¡х>кп попарно (по всем к и п) не пересекаются.

Положим #1(ж) = /(жкп) при ж € ^кп и ^1(ж) = 0 при ж, не принадлежащем ни одному ¡х>кп. Обознач им В1 (ж) = В (ж, 2—1^(ж)). Оцени м ||жкп—жк'п' || в случае,

когда ж Е (х>&п, у ^ В1(ж) П (¿к'п'- Применяя неравенства |^(ж) — ¿(у)| ^ ||ж — у|| и (2), получим

2—п'—1 < ¿(у) < ¿(ж) + 11ж — у || < 2—п+1 + 2—1^(ж) < 2—п+2,

то есть —п' ^ — п + 3. Далее,

IV(ж) — жы|| < IV(ж) — ж|| + 11ж — жы|| < ¿(ж) + 2—п+1 < 2—п+2,

IV(у) — ж*'„'|| ^ ||v(у) — у|| + ||у — жА'П'|| ^ 2—п/+1 + 2—п/+1 = 2—п'+2 ^ 2—п+5, ||V(ж) — V(у)11 < ||V(ж) — ж|| + 11ж — у11 + ||у — V(у)11 < 19 • 2—п. (3) Из трёх последних оценок получаем, что

||жы — жл'п'|| < ||жы — V(ж)|| + ||V(ж) — V(у)|| + ||V(у) — жЛ'п'|| < 55 • 2—п.

Значит, для у Е В1(ж) ж Е выполнено

Ыу) — (ж)| = |/(жл'п') — /(жы)| < А*/(жы, ||жы — жл'п'||) < А*/(жы, 55• 2—п).

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Павлов Дмитрий Александрович, 2024 год

Литература

[1] Jackson D. Über die Genauigkeit der Annäherung stetiger Funktionen durch ganze rationale Funktionen gegebenen Grades und trigonometrische summen gegebener Ordnung

Göttingen: Dieterich'sehen Universität - Buchdruckerei, 1911.

[2] Бернштейн С. H. О наилучшем приближении непрерывных функций посредством многочленов данной степени

Сообщ. Харьков, матем. общ. Вторая сер., 13:2-3, с. 49-144, 1912.

[3] Никольский С. М. О наилучшем приближении многочленами функций, удовлетворяющих условию Липшица

Изв. Ак. наук СССР, сер. матем., 10:4, с. 295-322, 1946.

[4] Тиман А. Ф. Усиление теоремы Джексона о наилучшем приближении непрерывных функций многочленами на конечном отрезке вещественной оси Доклады Ак. наук СССР, 78, с. 17-20, 1951.

[5] Дзядык В. К. О конструктивной характеристике функций, удовлетворяющих условию Lip а (0 < а < 1) на конечном отрезке вещественной оси Изв. Ак. наук СССР, сер. матем., 20:5, с. 623-642, 1956.

[6] Дзядык В. К. О проблеме С. М. Никольского в комплексной области Изв. Ак. наук СССР, сер. матем., 23:5, с. 697-736, 1959.

[7] Дзядык В. К. К вопросу о приближении непрерывных функций в замкнутых областях с углами и о проблеме С. М. Никольского

Изв. Ак. наук СССР, сер. матем., 26:6, с. 797-824, 1962.

[8] Дзядык В. К. Обратные теоремы теории приближения функций в комплекс-

ных областях

Укр. мат. жури.. 15:4, с. 365-375, 1963.

[9] Дзядык В. К. О приближении аналитических функций в областях с гладкой и кусочно-гладкой границей

В сб. «Третья летняя матем. школа». Конструктивная теория функций. Ка-цивели, июнь-июль 1965, с. 29-83, 1966.

[10] Лебедев Н. А., Широков Н. А. О равномерном приближении функций на замкнутых множествах, имеющих конечное число угловых точек с ненулевыми внешними углами

Вестник Академии наук Армянской ССР. Математика, 6(4), с. 311-341, 1971.

[11] Дзядык В. К. К теории приближения функций на замкнутых множествах комплексной плоскости (по поводу одной проблемы С. М. Никольского) Труды Матем. ин-та им. В. А. Стеклова, том 134, с. 63-114, 1975.

[12] Белый В. И. Конформные отображения и приближение аналитических функций в областях с квазиконформной границей

Матем. сб., 102(144):3, с. 331-361, 1977.

[13] Лебедев Н. А. Об обратных теоремах равномерного приближения Доклады Ак. наук СССР, 171:4, с. 788-790, 1966.

[14] Лебедев Н. А., Там,разов П. М. Обратные теоремы приближения на регулярных компактах комплексной плоскости

Изв. Ак. наук СССР, сер. матем., 34:6, с. 1340-1390, 1970.

[15] Андриевский В. В. Геометрическое строение областей и прямые теоремы конструктивной теории функций

Матем. сб., 126(168):!, с. 41-58, 1985.

[16] Shirokov N. A. Constructive Descriptions of Functional Classes by Polynomial Approximations

Journal of Mathematical Sciences, 105, pp. 2269-2291, 2001.

[17] Широков H. А. Аппроксимативная энтропия континуумов Доклады Ак. наук СССР, 235:3, с. 546-549, 1977.

[18] Андриевский В. В., Маймескул В. В. Конструктивное описание некоторых классов функций на квазигладких дугах

Изв. РАН, сер. матем, 58:1, с. 195-208, 1994.

[19] Андриевский В. В. О приближении функций гармоническими полиномами Труды Матем. ин-та им. В. А. Стеклова, том 180, с. 28-29, 1989.

[20] Alexeeva Т. A., Shirokov N. A. Constructive description of Hdlder-like classes on an arc in R3 by means of harmonic functions

Journal of Approximation Theory, 249, 2020.

[21] Алексеева Т. А., Широков H. А. Классы Гёльдера в Ьр-норме на chord-arc кривой в R3

Алгебра и анализ, 34:4, с. 1-21, 2022.

[22] Gordon W. J., Wixorn J. A. Pseudo-harmonic interpolation on convex domains SIAM Journal on Numerical Analysis, 11:5, pp. 909-933, 1974.

[23] Morse M.. Heins M. Topological methods in the theory of functions of a single complex variable

Annals of Math., 46, pp. 600-666, 1945.

[24] Дынькин E. M. О равномерном приближении функций в жордановых областях

Сиб. матем. жури.. 18:4, с. 775-786, 1977.

[25] Dyn'kin Е. М. The Pseudoanalytic extension Journal d Analyse Mathematique, 60, pp. 45-70, 1993.

[26] Михлин С. Г. Курс математической физики Москва, Наука, 1968.

[27] Павлов Д. А. Конструктивное описание гёльдеровых классов на компактах в R3.

Зап. научн. сем. ПОМИ, 491, с. 119-144, 2020.

[28] Павлов Д. А. Конструктивное описание гёльдеровых классов на некоторых многомерных компактах

Вестник Санкт-Петербургского университета. Математика. Механика. Астрономия, том 8 (66), вып. 3, с. 430-441, 2021.

[29] Павлов Д. А. Приближение гёльдеровых функций гармоническими в норме на некоторых многомерных компактах

Вестник Санкт-Петербургского университета. Математика. Механика. Астрономия, том 10 (68), вып. 2, с. 259-269, 2023.