Избранные аппроксимативные свойства множеств в банаховых пространствах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, доктор физико-математических наук Бородин, Петр Анатольевич

• Бородин, Петр Анатольевич
• доктор физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Бородин, Петр Анатольевич

Основные определения и обозначения.

Введение.

Глава I. Примеры множеств с заданными аппроксимативными свойствами.

§ 1.1. Пример нетривиального чебышевского множества.

§ 1.2. Пример аппроксимативно компактного, но не локально компактного множества.

§ 1.3. Пример не аппроксимативно компактного множества существования с конечнозначной метрической проекцией.

§ 1.4. Новые примеры несуществования точки Штейнера.

Глава II. Линейность и липшицевость оператора метрического проектирования на чебышевское подпространство.

§ 2.1. Квазиортогональные множества.

§ 2.2. Коэффициент линейности.

§ 2.3. Пространство С.

§ 2.4. Пространства типа

§ 2.5. Пространство Ь\.

§ 2.6. Пространство Я1.

Глава III. А^-приближения.

§ 3.1. Метрическая Аг-проекция.

§ 3.2. Выпуклость 2-чебышевских множеств при условии непрерывности метрической 2-проекции.

§ 3.3. Выпуклость А^-чебышевских множеств в равномерно выпуклом пространстве.

§ 3.4. Доказательство теоремы Л.П. Власова о У-связности чебышевских множеств в случае несимметричной нормы.

§ 3.5. Выпуклость множеств в гильбертовом пространстве при условии одноточечности метрической 2-проекции для пар близких точек.

§ 3.6. Выпуклость множеств, ТУ-чебышевских для бесконечно многих N.

§ 3.7. 2-чебышевские подпространства в пространстве С.

§ 3.8. 2-чебышевские подпространства в пространстве

§ 3.9. Зеркальное свойство метрической 2-проекции.

Глава IV. Плотность полугруппы в банаховом пространстве.

Приближения наипростейшими дробями.

§ 4.1. Пример: приближение наипростейшими дробями на действительной оси.

§ 4.2. Постановка задачи о плотности полугруппы.

§ 4.3. Когда замыкание полугруппы — подгруппа.

§ 4.4. Плотность подгруппы.

§ 4.5. Приближение на компактах наипростейшими дробями с ограничением на полюсы.

§ 4.6. Приближение наипростейшими дробями на полуоси.

§ 4.7. Оценки расстояний до прямых и лучей от полюсов наипростейших дробей, ограниченных по норме Ьр.

Глава V. Существование элементов с заданными наименьшими уклонениями.

§ 5.1. Уклонения от системы подпространств.

§ 5.2. Случай быстро убывающих уклонений.

§ 5.3. Дополнительные условия на подпространства.

§ 5.4. Уклонения от наипростейших дробей в С0(М).

§ 5.5. Уклонения от наипростейших дробей в Ь2{Ш+).

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Избранные аппроксимативные свойства множеств в банаховых пространствах»

Диссертация посвящена избранным вопросам теории приближений в нормированных пространствах (геометрической теории приближений). В ней построены нетривиальные примеры множеств с заданными аппроксимативными свойствами в классах банаховых пространств; описываются чебышевские подпространства с линейным или липшице-вым оператором метрического проектирования в конкретных функциональных пространствах; изучаются так называемые 7У-приближения (когда в заданном множестве ищется элемент с минимальной суммой расстояний до заданных N элементов банахова пространства), в частности, исследуется выпуклость А^-чебышевских множеств и свойства метрической ^-проекции; получены общие результаты о плотности полугруппы, порожденной заданным множеством в банаховом пространстве, которые прилагаются в теории приближения наипростейшими дробями (логарифмическими производными многочленов); рассмотрены некоторые частные случаи задачи существования элемента с заданными уклонениями от системы расширяющихся множеств в банаховом пространстве.

Теория приближений в нормированных пространствах берет свое начало в классической работе П.Л. Чебышева [74] (1859), в которой, в частности, доказана чебышевость множества Тп алгебраических многочленов степени не выше п и множества 7£тп рациональных функций со степенью числителя не выше т и степенью знаменателя не выше п в пространстве С[а,Ь] действительнозначных функций, непрерывных на отрезке [а, Ь]. В этой же работе П.Л.Чебышев по существу описал оператор метрического проектирования на множества Тп и 7£тп (теорема об альтернансе). В дальнейшем геометрические вопросы теории приближений в пространстве С изучались А.Хааром (1918), С.Н.Бернштейном (1938), А.Н.Колмогоровым (1948), Е.Я. Ремезом (1953). Окончательное становление геометрической теории приближений как самостоятельной ветви теории приближений произошло в конце 1950-х и в 1960-е годы благодаря работам, в первую очередь, В. Кли, Н.В. Ефимова и С.Б. Стечкина, а затем В.И.Бердышева, Л.П.Власова, А.Л.Гаркави, Е.В.Ошмана, С.Я. Хавинсона, Е. Асплунда, А. Брауна, А. Брёндстеда, Д. Вульберта, Ф. Дойча, И. Зингера, Б. Крипке, Дж. Линденштраусса, П. Морриса, Т. Ривлина, У. Рудина, Р. Фелпса, Р. Холмса, Э. Чини, М. Эделыдтейна и др. В дальнейшем исследования по геометрической теории приближений в нашей стране проводились в основном представителями научной школы С.Б.Стечкина: А.Р.Алимовым, П.В.Альбрехтом, В.И. Андреевым, B.C. Балаганским, A.A. Васильевой, В.И. Ивановым, М.И. Карловым, C.B. Конягиным, В.А. Кощеевым, Е.Д. Лившицем,

A.B. Мариновым, К.С.Рютиным, Г.Ф.Устиновым, И.Г. Царьковым и др., а также М.В.Балашовым, С.И.Дудовым, Г.Е.Ивановым,

B.П. Фонфом и многими другими математиками.

В современном понимании геометрическая теория приближений изучает взаимосвязи между различными аппроксимативными свойствами множеств (чебышевость, единственность, существование, аппроксимативная компактность, солнечность, антипроксиминальность и т.д.) с их тополого-геометрическими свойствами (линейность, выпуклость, разного рода связность, гладкость и т.д.) при различных условиях (строгая выпуклость, равномерная выпуклость, гладкость и т.д.) на нормированное пространство.

Наиболее полно геометрическая теория приближений отражена в обзорах [25], [19], [123], [8], [41], [3], [73].

При всем многообразии исследований по геометрической теории приближений, эта теория содержит большое число давно поставленных проблем, не поддающихся решению. Наиболее острой из них признается проблема выпуклости чебышевских множеств (Н.В. Ефимов, С.Б.Стечкин, В. Кли): всякое ли чебышевское множество в гильбертовом пространстве выпукло? В конечномерном евклидовом пространстве выпуклость всякого чебышевского множества была доказана JI. Бунтом [85] еще в 1934 г. Ни в одном бесконечномерном банаховом пространстве чебышевские множества не охарактеризованы в геометрических терминах. С проблемой выпуклости тесно связана также проблема характеризации банаховых пространств, в которых каждое чебышевское множество выпукло (эта проблема до конца не решена и в конечномерном случае). Более подробно о проблеме выпуклости см. обзорные работы [19], [8], [3].

В связи с этой проблемой была доказана

Теорема А (Н.В. Ефимов и С.Б. Стечкин [39], 1961). Чебышевское множество в гладком равномерно выпуклом банаховом пространстве (в частности, в гильбертовом пространстве) выпукло тогда и только тогда, когда оно аппроксимативно компактно.

В дальнейшем теорема А обобщалась Л.П. Власовым [19].

Теорема А позволяет переформулировать проблему выпуклости следующим образом: существует ли в гильбертовом пространстве не аппроксимативно компактное чебышевское множество? В I главе настоящей работы для целого класса банаховых пространств, в частности, для сепарабельного гильбертова пространства дается утвердительный ответ на менее категоричный вопрос: существует ли такое не аппроксимативно компактное множество М, что метрическая проекция Рм{х) непуста и конечна для любого х € X?

В то же время введенное в связи с теоремой А понятие аппроксимативной компактности оказалось основополагающим в геометрической теории приближений и ее приложениях (обзор применений этого понятия см., напр., в диссертации [60]). Аппроксимативно компактные множества стали исследоваться сами по себе.

В любом банаховом пространстве X всякое ограниченно компактное множество (то есть множество, пересечение которого с любым замкнутым шаром компактно) является аппроксимативно компактным. В частности, в любом X все конечномерные подпространства являются аппроксимативно компактными. В достаточно "хороших" пространствах X аппроксимативно компактными являются все замкнутые подпространства. Такие пространства названы пространствами Ефимова-Стечкина.

Именно, банахово пространство X называется пространством Ефи-мова-Стечкина (И. Зингер [124]) , если любое секвенциально слабо замкнутое множество М С X аппроксимативно компактно в X.

Теорема В (И.Зингер [124], 1964). Следующие условия эквивалентны:

1) X — пространство Ефимова-Стечкина;

2) каждое замкнутое подпространство в X аппроксимативно компактно;

3) каждое выпуклое замкнутое множество в X аппроксимативно компактно;

4) X рефлексивно и удовлетворяет следующему условию: если последовательность его элементов {хп} слабо сходится к элементу х и ||£п|| -* то найдется такая подпоследовательность что 1|яп* ~ 0.

Другие характеристики пространств Ефимова-Стечкина см. в [46].

Примерами пространств Ефимова-Стечкина служат пространства Ьр, 1 < р < оо. В силу теоремы В задача описания аппроксимативно компактных подпространств содержательна (и до сих пор не решена) для пространств, не являющихся пространствами Ефимова-Стечкина, в первую очередь для пространств Ь\, Ь^ и пространства С (К) функций, непрерывных на (хаусдорфовом) компакте К. Во II главе настоящей работы получено полное описание аппроксимативно компактных подпространств в пространствах типа с (то есть в пространствах С (К) для компактов К с конечным числом предельных точек).

Для банаховых пространств, не являющихся пространствами Ефимова-Стечкина, актуальны две другие задачи: во всяком ли таком пространстве существует аппроксимативно компактное, но не ограниченно компактное множество?; во всяком ли таком пространстве существует ограниченное выпуклое аппроксимативно компактное тело? Глава I диссертации содержит положительное решение этих задач соответственно для любого слабо компактно порожденного банахова пространства (ЖСС-пространства) и для любого рефлексивного пространства или несепарабельного ТУССЧпространства. Попутно в произвольном ЖСС-пространстве строится пример нетривиального чебышевского множества (вопрос о существовании неодноточечного собственного чебышевского подмножества в произвольном банаховом пространстве возник в школе С.Б. Стечкина и до сих пор не решен).

Вернемся к проблеме выпуклости.

К настоящему времени получены десятки результатов, в которых выпуклость чебышевского множества М доказана в различных классах банаховых пространств при различных условиях на структуру М или на оператор метрического проектирования Рм• Наибольший вклад в развитие этого направления геометрической теории приближений был внесен Л.П. Власовым. Вот одна из его многочисленных теорем.

Теорема С. (Л.П.Власов [20], 1967) Пусть X — локально равномерно выпуклое гладкое банахово пространство. Если множество М С X чебышевское и для любого х М с Рм{%) — {?/} справедливо равенство lim Рм{х + Х(х - у)) = у,

А—^Q-jто М выпукло.

Отметим, что в работе [20] теоремы С в явном виде нет: она вытекает из теоремы 6 этой работы и доказательства этой теоремы 6, в котором используется именно указанная радиальная непрерывность метрической проекции.) Теорема С продолжает наметившуюся в теореме А "линию" условий выпуклости чебышевского множества М, формулируемых в терминах того или иного вида непрерывности оператора метрического проектирования Рм (так, в теореме С фигурирует так называемая "радиальная непрерывность" оператора Рм)- В дальнейшем такого рода условия стали формулироваться в терминах множества точек разрыва оператора Рм- Наиболее слабые из этих условий получены B.C. Балаганским [8], а также С.В. Конягиным [8, гл.З].

В III главе диссертации проблема выпуклости чебышевского множества получает положительное решение при дополнительном аппроксимативном условии иного типа, а именно, при условии А-чебышевости этого множества с N ^ 2. Приведем необходимые определения.

Пусть (X, || • ||) — действительное банахово пространство. Для элементов х\,., хм € X и множества М с X положим р{х 1, .,xN-,M)= inf (E£Li \Ы - У\\ ■ У € М}; pm{xi, - ■ ■, xn) = {у € м : ylk=i ll^fc ~ у\\ = р(хь • • • > м)} — метрическая TV-проекция точек х\,. на множество М.

Отметим, что сама по себе постановка задачи о минимизации суммы расстояний от заданных элементов Жх,. ,хдг до элемента заданного множества М в банаховом пространстве далеко не нова: еще в 1965 г. Г.Ш. Рубинштейн [61] рассматривал даже более общие суммы (с положительными весами при нормах) и получал характеристики элементов выпуклого множества М, минимизирующих такие суммы.

Множество М назовем N-чебышевским, если для любых х\,., х^ £ X выполнено одно из следующих двух условий:

1) р(х 1,., хм', М) > р(х\,., ждг; X) и Рм(хъ ■ ■ •, £дг) одноточечна;

2) р(х ь .,хц\М)= р(х 1,., хМ] X) и РмОъ • • ■, хм) ф 0.

В случае N = 1 это определение дает обычные чебышевские множества. Всякое А^-чебышевское множество является чебышевским.

Основной результат III главы состоит в доказательстве выпуклости А-чебышевского множества: при четном N — в любом равномерно выпуклом банаховом пространстве, при нечетном N ^ 3 — в любом равномерно выпуклом гладком банаховом пространстве. Доказать последнее утверждение при N = 1 означало бы решить проблему выпуклости. Однако до сих пор вероятная выпуклость чебышевского множества М в равномерно выпуклом гладком банаховом пространстве доказывалась лишь при дополнительным условиях: аппроксимативной компактности М в теореме А, локальной компактности М в другой теореме Л.П.Власова [21] (множество М локально компактно, если для любого х £ М найдется такое е > 0, что пересечение М с шаром В(х,е) компактно), различных условиях непрерывности метрической проекции на М (см. выше).

Приведем геометрическую интерпретацию результата о выпуклости А^-чебышевского множества.

Пусть Е — произвольное замкнутое выпуклое ограниченное тело в банаховом пространстве X, содержащее точку 0 внутри себя. Тогда для элемента х € X и непустого множества М с X определено Е-расстояние ре{х,м) — т!'{А > 0 : (х + Ае) ПМ ^ 0}, определяемое функционалом Минковского тела Е. Следуя А. Брёндстеду [83]), будем говорить, что множество М С X является Е-чебышевским, если для любого х £ X пересечение {х + ре{х, М)Е) П М состоит ровно из одной точки.

Нетрудно видеть, что если множество М является УУ-чебышевским в пространстве X, то оно является В{х\,. хм] Я)-чебышевским для любого невырожденного М-шара В(х 1,. х^] Щ = {у £ X : \\у — х\\\ + • • • + II У- ялН1 < Щ, В > р{х ь ., хн\X).

Отметим, что сама по себе постановка задачи об исследовании свойств множеств, .Е-чебышевских относительно всех тел Е из некоторого семейства , не является новой: А.Р. Алимов [2] еще в 1995 году в качестве такого семейства брал единичные шары произвольной системы норм (вообще говоря, несимметричных) в двумерном пространстве, а в дальнейшем рассматривал другие семейства (см., напр., [4]).

Эта интерпретация и делает упомянутый результат о выпуклости Л'-чебышевского множества неудивительным: среди указанного континуального семейства Л^-шаров содержится обычный единичный шар пространства X, то есть условие 1Ч-чебышевости "в континуум раз сильнее" свойства обычной чебышевости. В случае же гильбертова пространства и N = 2 соответствующее семейство 2-шаров содержит эллипсоиды, сколь угодно близкие к отрезкам, а ведь множество, "че-бышевское", в смысле определения А. Брёндстеда (если не обращать внимания на то, что Е в этом определении должно быть телом) относительно всех отрезков, является выпуклым просто по определению выпуклости!

При доказательстве результатов III главы существенно используется теорема С, а также другая теорема Л.П. Власова о связности че-бышевских множеств.

Теорема D. (Л.П. Власов [21], 1968) В равномерно выпуклом банаховом пространстве X всякое Р-связное (в частности, чебышевское) множество V-связно.

Здесь Р-связность множества М означает непустоту и связность метрической проекции Рм{%) для любого х g X, а У-связность множества М означает, что пересечение М с любым замкнутым шаром пространства X или пусто, или связно.

Теорема D обобщалась E.H. Сосовым [62] на равномерно выпуклые геодезические пространства X.

В III главе диссертации теорема D по необходимости переносится на случай несимметрично нормированных пространств, что само по себе является проявлением общей тенденции: последние двадцать лет теория приближений в несимметричной норме активно развивается, и это развитие стимулировало перенесение основных результатов теории банаховых пространств на случай несимметричной нормы [89].

Метрическая iV-проекция естественно связана с точками Штейнера.

Точкой Штейнера элементов xi,.,xn банахова пространства X называется такой элемент s = s{xi,. ,xn) g X, что i ll^fe ~ sll = infjgx Ylk=i ll^fe — ^11- Нетрудно видеть, что точки Штейнера составляют метрическую iV-проекцию Рх{%1, ■ ■ ■,

Например, в случае гильбертова пространства X — Н и N = 3 точка Штейнера s(xi,x2,xs) существует и единственна: она лежит в аффинной плоскости точек х\, ^з и либо совпадает с одной из них (если в треугольнике Х\Х2Хз есть угол, не меньший 120°), либо совпадает с точкой Торичелли (из которой все стороны треугольника видны под углом 120°).

Нетрудно показать, что в рефлексивном пространстве X точка Штей-нера существует для любого набора точек х\,., х^

Первый пример несуществования точки Штейнера в банаховом пространстве построил Л. Веселы [127] (1993). При этом он доказал, что всякое нерефлексивное банахово пространство можно так эквивалентно перенормировать, что в новой норме для некоторых трех точек х2, х3 точка Штейнера й^ть ^з) не существует.

В заключительном параграфе I главы диссертации для каждого N = 3, 4, 5,. построен пример такого банахова пространства X и таких элементов х\,. в этом пространстве, что точка Штейнера 5(0:15 • • •, хы) не существует. Этот пример отличен от примеров Л. Веселы и других авторов и обладает дополнительным свойством "устойчивости". Идейно результаты о точках Штейнера примыкают, конечно, к III главе, и порождают целый ряд вопросов о кратчайших сетях в банаховых пространствах (несуществование точки Штейнера для заданных трех точек означает и несуществование кратчайшей сети, то есть связного графа минимальной длины, затягивающего эти три точки).

Вообще отметим, что круг задач, возникающих в связи с результатами III главы, не ограничивается "геометрическими" рамками: ведь эти, условно говоря, N-приближения (когда в заданном множестве ищется элемент с наименьшей суммой расстояний до заданных N элементов), допускают все основные постановки задач теории приближений — получение прямых и обратных теорем, сходимость различных методов приближения, оценки поперечников и т.д. При этом вместо суммы расстояний до заданных N элементов можно брать их максимум или другую подходящую функцию от этих расстояний.

II глава диссертации, а также часть III главы связаны с другим классическим направлением геометрической теории приближений — теорией чебышевских подпространств.

Хорошо известно, что одновременная рефлексивность и строгая выпуклость банахова пространства необходимы и достаточны для того, чтобы все его линейные подпространства были чебышевскими (например, такими являются пространства Lp, 1 < р < оо). Поэтому особый интерес представляет задача описания чебышевских подпространств в нерефлексивных пространствах (прежде всего в пространствах L\ и С). В пространстве С конечномерные чебышевские подпространства описаны А.Хааром [97] (1918) и Дж. Мэйрхьюбером [113] (1956), а чебышевские подпространства конечной коразмерности — A.JT. Гаркави [26] (1967). Соответствующие результаты для пространства Li получены Р.Фелпсом [120] (1966) и A.JL Гаркави [27] (1970). Однако даже в самых простых нерефлексивных банаховых пространствах о чебышевских подпространствах с бесконечными размерностью и коразмерностью известно очень мало (неизвестно, существуют ли такие подпространства в пространствах С[0,1] и с). Обзор теории чебышевских подпространств и многих до сих пор не решенных проблем в этой теории см. в [25].

Оператор метрического проектирования Ру бывает разрывным [123], [87], бывает непрерывным, но не липшицевым (например, для подпространства Y = Vn многочленов степени не выше п ^ 2 в С[0,1] — см., напр., [65]), и уж совсем редко бывает линейным, как показывает

Теорема Е (Рудин-Смит [121], 1961; И. Зингер [123, гл. 3, § 4, п. 4.1], 1970). Пусть X — действительное банахово пространство размерности dimX ^ 3, и натуральные числа п, к удовлетворяют условиям 1 ^ п < dim X — 1, 2 ^ к < dim X. Следующие условия эквивалентны:

1) X — гильбертово пространство;

2) всякое подпространство У с X размерности п обладает однозначной и линейной метрической проекцией;

3) всякое подпространство У С X коразмерности к обладает однозначной и линейной метрической проекцией.

Во II главе диссертации получены полные описания чебышевских подпространств с линейным оператором метрического проектирования в пространствах С, и в пространстве Я1 Харди. Исследуется также липшицевость оператора метрического проектирования на че-бышевские подпространства указанных пространств, а также общих банаховых пространств.

ВIII главе получены также описания конечномерных 2-чебышевских подпространств в пространствах Ь\ и С. Эти результаты аналогичны упоминавшимся выше теоремам Хаара и Фелпса. В целом можно сказать, что 2-чебышевских подпространств в этих пространствах существенно меньше, чем чебышевских. Кроме того, исследуется свойство зеркальности метрической 2-проекции на подпространство (как для обычной метрической проекции на подпространство "наилучшим" свойством является линейность, так для метрической 2-проекции таковым свойством является ее зеркальность). В частности, получен аналог теоремы Е: гильбертовы пространства охарактеризованы в терминах зеркальности метрической 2-проекции на их подпространства.

IV глава диссертации посвящена новому разделу геометрической теории приближений — задаче о плотности полугруппы, порожденной заданным множеством М, в банаховом пространстве. В общем виде эта задача ставится так.

Пусть М — некоторое заданное подмножество банахова пространства X. Верно ли, что множество оо д(М) = и М + ■■■ + М

П=1 п всюду плотно в X, то есть любой элемент из X сколь угодно точно приближается конечными суммами элементов из М?

Полученные в IV главе результаты, относящиеся к этой задаче, четко делятся на две части: (1) нахождение условий на М и X, достаточных для того, чтобы Й(М) было аддитивной подгруппой в Х\ (2) нахождение условий на М и X, достаточных для того, чтобы замкнутая аддитивная подгруппа, порождаемая множеством М, совпадала с X. Интересно, что в результатах первой части существенную роль играет выпуклость сферы а в результатах второй части — гладкость этой сферы.

Источником и модельным примером для задачи о плотности полугруппы послужила теория приближений наипростейшими дробями.

Наипростейшей дробью степени п называется рациональная функция вида где {ак}к=1 ~~ точки комплексной плоскости С, а Р{г) — с(г — а{). г — ап), с еС \ {0}, — любой многочлен с нулями в этих точках.

Если Е — множество на комплексной плоскости, Ме — {^ : а Е Е], X — некоторое банахово пространство функций, определенных на каком-либо множестве комплексной плоскости, не пересекающемся с Е, то задача о том, приближается ли всякая функция / е! наипростейшими дробями с полюсами из Е, эквивалентна задаче о плотности множества ЩМВ) в X.

Исследования по приближению наипростейшими дробями в различных функциональных пространствах в нашей стране были начаты в конце 1990 -х по инициативе Е.П. Долженко. К настоящему времени в этой тематике получено немало результатов (В.И.Данченко, Д.Я. Данченко, И.Р. Каюмов, E.H. Кондакова, О.Н. Косухин, Я.В. Новак, В.Ю.Протасов, П.В.Чунаев).

Но началось все со следующей экстремальной задачи, поставленной Е.А.Гориным в 1960-е годы. Пусть наипростейшая дробь rn(z) по модулю не превосходит 1 в каждой точке действительной оси М. Как близко могут подходить к оси R полюсы cik этой дроби? Другими словами, стремятся ли к нулю величины d(n) = inf < min|Imafc| : 1

Е — i >, lc и если стремятся, то с какой скоростью?

В.И.Данченко полностью решил эту задачу.

ТЕОРЕМА F (В.И.Данченко [32], 1994)

In Inn d{n)

Inn n —» сю) знак х слабой эквивалентности означает, что отношение левой и правой частей ограничено сверху и снизу положительными постоянными). В [32] можно найти подробную библиографию и историю решения задачи Е.А. Горина.

Кроме того, В.И.Данченко в [32] исследовал аналогичную задачу для наипростейших дробей, ограниченных единицей по норме ЬР(М), 1 < р < оо. Приведем точную формулировку полученного им результата.

Пусть 1<р<оо, ^ + ^ = 1, НР(С+) — пространство Харди в верхней полуплоскости С+, то есть пространство голоморфных в С+ функций / с конечной нормой яр( с+) = 8иР а>0

Цх + {а)\р(1х

Каждая функция / е НР(С+) имеет конечные угловые пределы /(х) для почти всех образующие функцию /(х) € ЬР(Ж). Пространство Нр(С+) содержит все наипростейшие дроби с полюсами в нижней полуплоскости.

Положим фг.р) = гшп1та£ к Е

А;=1

0>к 1,1та/с > 0, / € НР(С+) Ы

Теорема в (В.И.Данченко [32], 1994). Для любых р е (1;оо) и п € N имеют место неравенства я с1{п,р) ^

29 ( вт ^ р

5(^,5) Л р) где В{а,Р) = / £а~1(1 — — бета-функция Эйлера (первая оцено ка, более точная, содержится в доказательстве теоремы 2а работы [32], а вторая оценка, менее точная, указана в формулировке этой теоремы).

Примечательно, что средняя и правая части здесь не зависят от п, так что полюсы наипростейших дробей гп{г) независимо от их количества не могут сколь угодно близко подходить к действительной оси при условии ||гп||£,р(к) ^ 1. Другими словами, слагаемые наипростейшей дроби в случае 1 < р < оо (в отличие от случая р = сю) не "интерферируют", не могут в сумме дать маленькую Ьр-норму на действительной оси, не удалившись от нее достаточно далеко.

Как заметили О.Н. Косухин и автор [137], этот факт означает, что функция не приближается в 1/р(М) наипростейшими дробями г(г) если бы норма разности R(z) = — —r(z) была меньше е, то наипростейшая дробь —R{z/e)/£ имела бы норму меньше £1//р, то есть меньше 1, и полюс в точке ег), так что наипростейшие дроби не плотны в ЬР(Ж) при 1 < р < оо. В дальнейшем класс (К) функций из £Р(М), с любой точностью приближаемых в этом пространстве наипростейшими дробями, был полностью описан В.Ю. Протасовым [57] (2009). Именно, 5Р(М) состоит из тех функций пространства ЬР(Ш), которые являются логарифмическими производными целых функций порядка не выше l/g, где 1 /р+ 1/q = 1.

В тоже время с помощью теоремы F в работе [137] О.Н. Косухина и автора было доказано, что для любого и > 0 наипростейшие дроби с полюсами вне полосы {z : |Imz| < и} всюду плотны в пространстве Со (К) = {/ : Ш С, / 6 С(К),/(ж) Опри х оо} с равномерной нормой.

Естественным продолжением этих исследований стало изучение аппроксимативных свойств наипростейших дробей на полуоси М+ = [0, оо) Автором [139] было замечено, что наипростейшие дроби не плотны в пространстве ЬР(Ш+) при любом р Е (1,2). В.Ю.Протасов [57] установил, что при р ^ 2 любую функцию из Lp(R+) можно сколь угодно точно приблизить дробью вида cp'(z)/p(z), где с > 0, a p{z) — комплексный многочлен. Эти дроби составляют выпуклый конус, порожденный наипростейшими дробями. Наконец, автор [142] доказал всюду плотность наипростейших дробей в ЬР(Ш+) при р ^ 2, а также исследовал вопрос о всюду плотности в LP(M+) наипростейших дробей с ограничениями на расположение полюсов.

Эти и другие результаты про плотность наипростейших дробей в Со(М) и в ЬР(Ш+) излагаются в IV главе. При их доказательстве существенно используется теорема F.

В IV главе исследуется также задача о всюду плотности наипростейших дробей с полюсами из заданного множества Е в пространстве АС(К) функций, непрерывных на заданном компакте К и голоморфных во внутренних точках этого компакта; компакт К не разбивает плоскость и не пересекается с Е. При Е = С \ К эта задача положительно решена В.И.Данченко и Д.Я.Данченко [34], [35]. Она оказывается нетривиальной даже для случая компактного множества Е (в отличие от аналогичной задачи для общих рациональных аппроксимаций). В этом случае для плотности оказывается необходимым, чтобы компакт Е "окружал" почти весь компакт К. Возникает гипотеза о том, что если компакт Е "окружает" компакт К со связным дополнением, то наипростейшие дроби с полюсами из Е плотны в АС (К). Эту гипотезу удается доказать в случае, когда Е содержит конечное число замкнутых спрямляемых контуров, "окружающих" К, и этот результат вытекает из общих теорем о плотности полугруппы в банаховом пространстве, доказанных в начале главы.

Кроме того, в главе IV получены оценки расстояний до оси или полуоси от полюсов наипростейших дробей, ограниченных по норме Ьр на этих множествах. В частности, уточняются оценки В.И. Данченко для величин с1(п, р) из теоремы в, и находится точное значение с1(п, 2) = тт. Эти результаты находят применения в следующей главе.

V глава диссертации посвящена так называемой обратной задаче теории приближений, или задаче о существовании элемента х с заданными уклонениями р(х, Мп) от расширяющейся системы М\ с м2 с . заданных подмножеств заданного банахова пространства X. Источником для этой задачи послужила

Теорема Н (С.Н. Бернштейн [12], 1938). Для всякой числовой последовательности ¿¿о ^ (¿1 ^ ¿2 > ■ • •, —> 0, существует функция, непрерывная на заданном отрезке [о, 6], наименьшие равномерные уклонения которой от многочленов степени не выше п равны указанным числам: Еп{/) = с1п, п ~ 0,1,.

Доказательство С.Н. Бернштейна было перенесено А.Ф. Тиманом [66] на случай произвольной системы У\ С У2 С . строго вложенных конечномерных подпространств Ук произвольного банахова пространства X: для всякой последовательности <¿1 ^ £¿2 ^ • • •, д,п —> 0, существует элемент х е X с р{х, Уп) = с1п, п = 1,.

В связи с этим возникла и до сих пор не решена следующая задача.

Пусть задана система У\ С У2 С Уз С . строго вложенных замкнутых линейных подпространств некоторого бесконечномерного банахова пространства {X, || • ||), полная в X: и^ Уп = X, а также последовательность неотрицательных чисел ^ с/2 ^ ¿з ^ ., (1п —> 0. Существует ли элемент х € X, уклонения р(х,Уп) которого от подпространств Уп равны этим числам: р{х, Уп) = (1п, п = 1,2,.?

Если такой элемент существует для любых таких подпространств Уп и чисел с£п, то говорят, что пространство X обладает (В)-свойством.

Результаты, относящиеся к этой задаче, в западной литературе часто называют "летаргическими теоремами типа Бернштейна".

В 1963г. В.Н.Никольский [53] заметил, что если пространство X обладает (В)-свойством, то оно рефлексивно. В то же время И.С.Тю-ремских [67] доказал, что гильбертово пространство обладает (В)-свойством. Кроме гильбертова пространства, до сих пор неизвестно ни одного другого примера пространства X, обладающего (В)-свойством. Шапиро [122] (1964) показал, что в любом бесконечномерном пространстве X для любых подпространств У\ С У2 С . и любых чисел £¿2 ^ • • •, ¿п > 0, существует такой элемент ж, что р{х, Уп) Ф 0{д,п) (п —» сю). Этот результат был усилен И.С.Тюремских [68] (1967), который при тех же предположениях установил существование такого элемента х е X, что р(х,Уп) ^ dn, (п = 1,2,.). Из результатов Ю.А. Брудного [84] следует, что для всякой невозрастающей выпуклой последовательности dn —> 0 (dn < (dn-i + dn+1)/2) и любой последовательности {Уп} строго вложенных подпространств в пространстве X существует такой элемент х £ X, что р(х, Yn) ^ dn для всех п и р(х, Yn) ^ Cdn для бесконечно многих номеров п и некоторой константы С. Упомянем еще результат Альмиры и Дель Topo [79] (2002): в условиях поставленной выше задачи для любых двух невозрастающих последовательностей dn —> 0 и 6п —> 0 положительных чисел найдется такой элемент х £ X, что p(x,Yn)/dn —> 0, но p(x,Yn)/dn ^ 0(6п) (п —> сю). Кроме того, теорема Бернштейна-Тимана (случай конечномерных подпространств Yn) обобщалась на различные классы линейных метрических пространств [107], [17].

В V главе диссертации приведены подробный обзор результатов, относящихся к задаче существования элемента с заданными уклонениями от расширяющейся системы подпространств, и положительное ее решение при дополнительных условиях на уклонения dn или на подпространства Yn.

В последнее время задача о существовании элемента х с заданными уклонениями р{х, Мп) от расширяющейся системы множеств Мп решается в случае нелинейных множеств Мп — например, множеств 1Zn рациональных функций степени не выше п [55], [63]. Так, A.A. Пекарский доказал [55] (1994), что для любой строго монотонной последовательности dn —» 0 существует комплекснозначная функция /, непрерывная на отрезке [а, 6], наименьшие равномерные уклонения которой от комплекснозначных рациональных функций степени не выше п равны указанным числам: p(f, 7Zn) — dn, п = 0,1,2,. До сих пор неизвестно, существенно ли условие строгой монотонности dn в этом утверждении. При этом A.A. Пекарский предложил общую схему доказательства такого рода утверждений (о существовании функции с заданными уклонениями от системы нелинейных множеств).

В V главе диссертации с помощью схемы A.A. Пекарского доказывается существование функции / £ Со(М) с произвольно заданными строго монотонно стремящимися к нулю уклонениями р(/, SFn) от множеств SFn наипростейших дробей степени не выше п, и показывается, что при нестрогой монотонности задаваемых уклонений такой функции может не быть. Кроме того, исследуются свойства уклонений p(f, SFn) для функций / в пространстве ¿2(М+).

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав и списка литературы из 149 наименований. Общий объем диссертации — 258 страниц. В работе содержится 5 рисунков. В каждой главе принята сквозная нумерация теорем, лемм, определений, замечаний, задач и рисунков. Следствия нумеруются отдельно для каждой теоремы.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Бородин, Петр Анатольевич, 2012 год

1. П.С. Александров, Введение в теорию множеств и общую топологию, Физматлит, М., 2009.

2. А.Р. Алимов, "Всякое ли чебышевское множество выпукло?", Ма-тем. просвещение. Третья серия, 2 (1998), 155-172.

3. А.Р. Алимов, "Выпуклость чебышевских множеств, содержащихся в подпространстве", Матем. заметки, 78:1 (2005), 3-15.

4. П.В. Альбрехт, "Порядки модулей непрерывности оператора почти наилучшего приближения", Матем. сб., 185:9 (1994), 3-28.

5. В.И.Андреев, "О непрерывности метрической проекции в C(Q)", Метрические вопросы теории функций и отображений, вып. 6, Наукова Думка, Киев, 1975, С. 3-8.

6. Н.И. Ахиезер, Лекции по теории аппроксимации, Наука, М., 1965.

7. B.C. Балаганский, Л.П. Власов, "Проблема выпуклости чебышевских множеств", Успехи матем. наук, 51:6 (1996), 125-188.

8. Б.Б. Беднов, "О точках Штейнера в пространстве непрерывных функций", Вестник Моск. ун-та. Сер. 1. Матем., Механ., 2011, № 6, 26-31.

9. Б.Б. Беднов, Н.П. Стрелкова, "О существовании кратчайших сетей в банаховых пространствах", Матем. заметки (принято к печати).

10. В.И. Бердышев, "Метрическая проекция на конечномерные подпространства из С и Ь", Матем. заметки, 18:4 (1975), 473-488.

11. С.Н. Бернштейн, "Об обратной задаче теории наилучшего приближения непрерывных функций", в кн.: С.Н. Бернштейн, Собрание сочинений, Т. 2, Изд-во АН СССР, 1954, С. 292-294.

12. В. Бляшке, Круг и шар, Наука, М.,1967.

13. В.И.Богачев, Основы теории меры, Т. 1, НИЦ РХД, Москва, Ижевск, 2003.

14. Т. Боннезен, В. Фенхель, Теория выпуклых тел, Фазис, М., 2002.

15. Н. Бурбаки, Общая топология. Топологические группы. Числа и связанные с ними группы и пространства, Наука, М., 1969.

16. А.И. Васильев, "Обратная задача теории наилучшего приближения в пространствах", Докл. РАН, 365:5 (1999), 583-585.

17. Н. Винер, Интеграл Фурье и некоторые его приложения, Физ-матгиз, М., 1963.

18. Л.П. Власов, "Аппроксимативные свойства множеств в линейных нормированных пространствах", Успехи матем. наук, 28:6 (1973), 3-66.

19. Л.П. Власов, "О чебышевских и аппроксимативно выпуклых множествах", Матем. заметки, 2:2 (1967), 191-200.

20. Л.П. Власов, "Чебышевские множества и некоторые их обобщения", Матем. заметки, 3:1 (1968), 59-69.

21. Л.П. Власов, "Аппроксимативные свойства подпространств конечной коразмерности в С (О)", Матем. заметки, 28:2 (1980), 205-222.

22. П.В. Галкин, "О модуле непрерывности оператора наилучшего приближения в пространстве непрерывных функций", Матем. заметки, 10:6 (1971), 601-613.

23. Т. Гамелин, Равномерные алгебры, Мир, М., 1973.

24. А.Л. Гаркави, "Теория наилучшего приближения в линейных нормированных пространствах", Итоги науки. Математический анализ, М.: ВИНИТИ, 1969. С. 75-132.

25. А.Л. Гаркави, "Задача Хелли и наилучшее приближение в пространстве непрерывных функций", Известия АН СССР. Сер. матем., 31:3 (1967), 641-656.

26. А.Л. Гаркави, "Характеристика чебышевских подпространств конечной коразмерности в Ьх \ Матем. заметки, 7:2 (1970), 155163.

27. Дж. Гарнетт, Ограниченные аналитические функции, Мир, М., 1984.

28. А.О. Гельфонд, "О равномерных приближениях многочленами с целыми коэффициентами", Успехи матем. наук, 10:1 (1955), 4165.

29. К. Гофман, Банаховы пространства аналитических функций, ИЛ, М., 1963.

30. H. Данфорд, Дж. Шварц, Линейные операторы. Общая теория, УРСС, М., 2004.

31. В.И.Данченко, "Оценки расстояний от полюсов логарифмических производных до прямых и окружностей", Матем. сб., 185:8 (1994), 63-80.

32. В.И.Данченко, "Оценки производных наипростейших дробей и другие вопросы", Матем. сб., 197:4 (2006), 33-52.

33. В.И.Данченко, Д.Я.Данченко, "О равномерном приближении логарифмическими производными многочленов", Теория функций, ее приложения и смежные вопросы, Тезисы докл. школы-конференции, Изд-во Казанского университета, Казань, 1999. 7479.

34. В.И.Данченко, Д.Я.Данченко, "О приближении наипростейшими дробями", Матем. заметки, 70:4 (2001), 553-559.

35. Дж. Дистель, Геометрия банаховых пространств, Вища школа, Киев, 1980.

36. М.А.Евграфов, Ю.В.Сидоров, М.В. Федорюк, М.И.Шабунин, К.А. Бежанов, Сборник задач по теории аналитических функций, ред. М.А.Евграфов, Наука, М., 1969.

37. Н.В. Ефимов, C.B. Стечкин, "Некоторые свойства чебышевских множеств", Докл. АН СССР , 1958, 118:1, 17-19.

38. Н.В. Ефимов, C.B. Стечкин, "Аппроксимативная компактность и чебышевские множества", Докл. АН СССР, 1961, 140:3, 522-524.

39. А.О. Иванов, A.A. Тужилин, Теория экстремальных сетей, Институт компьютерных исследований, Москва-Ижевск, 2003.

40. M.И. Карлов, И.Г. Царьков, "Выпуклость и связность чебышев-ских множеств и солнц", Фундаментальная и прикладная математика, 3:4 (1997), 967-978.

41. Дж.В.С. Касселс, Введение в теорию диофантовых приближений,, ИЛ, М., 1961.

42. A.A. Кириллов, А.Д. Гвишиани, Теоремы и задачи функционального анализа, Наука, М., 1988.

43. А.Н. Колмогоров, "Замечания по поводу многочленов П.Л. Чебышева, наименее уклоняющихся от заданной функции", Успехи матем. наук, 3:1 (1948), 216-221.

44. C.B. Конягин, "Об аппроксимативных свойствах произвольных замкнутых множеств в банаховых пространствах", Фундаментальная и прикладная математика, 3:4 (1997), 979-989.

45. C.B. Конягин, И.Г. Царьков, "Пространства Ефимова-Стечкина" Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ., 1986. №5, 20-27.

46. О.Н. Косухин, "Об аппроксимационных свойствах наипростейших дробей", Вестник Моск. ун-та. Сер. 1. Матем. Механ., 2001, №4, 54-59.

47. А.С.Кочуров, Абсолютные поперечники и копоперечники, Канд. дисс., МГУ, М., 1990.

48. М.Г. Крейн, "L-проблема в абстрактном линейном нормированном пространстве", в кн. И. Ахиезер, М. Крейн, О некоторых вопросах теории моментов, ГОНТИ, Харьков, 1938.

49. М.Г. Крейн, A.A. Нудельман, Проблема моментов Маркова и экстремальные задачи, Наука, М., 1973.

50. Р. Курант, Г. Роббинс, Что такое математика? РХД, Москва-Ижевск, 2001.

51. Математическая энциклопедия. Т. 1. М., 1977.

52. В.Н. Никольский , "О некоторых свойствах рефлексивных пространств", Ученые записки Калин, гос. пед. ин-та, 29, 1963,121125.

53. Я.В. Новак, "О наилучшем локальном приближении наипростейшими дробями", Матем. заметки, 84:6 (2008), 882-888.

54. A.A. Пекарский, "Существование функции с заданными наилучшими равномерными рациональными приближениями", Известия АН Беларуси. Сер. физ-матем. наук, 1994, №1, 23-26.

55. И.И. Привалов, Граничные свойства аналитических функций, Физматгиз, М., 1950.

56. В.Ю. Протасов, "Приближения наипростейшими дробями и преобразование Гильберта", Известия РАН. Сер. матем., 75:2 (2009), 123-140.

57. И. А. Пятышев, "Пример выпуклого аппроксимативно компактного тела в пространстве с0", Вестник Моск. ун-та. Сер. 1. Матем. Механ., 2005, № 3. 57-59.

58. И.А. Пятышев, "Пример ограниченного аппроксимативно компактного множества, не являющегося локально компактным", Успехи матем. наук, 62:5 (2007), 163-164.

59. И. А. Пятышев, Аппроксимативно компактные множества в банаховых пространствах, Канд. дисс., МГУ, М., 2008.

60. Г.Ш. Рубинштейн, "Об одной экстремальной задаче в линейном нормированном пространстве", Сибирский матем. журнал, 6:3 (1965), 711-714.

61. E.H. Сосов, "О непрерывности и связности метрической с)—проекции в равномерно выпуклом геодезическом пространстве", Изв. вузов. Матем., 2001, К® 3, 55-59.

62. А.П. Старовойтов, "К проблеме описания последовательностей наилучших тригонометрических рациональных приближений", Матем. сб., 191:6 (2000), 145-154.

63. С.Б. Стечкин, "Аппроксимативные свойства множеств в линейных нормированных пространствах", Rev. roumaine math, pures et appl, 8:1 (1963), 5-18.

64. Изложение лекций С. Б. Стечкина по теории приближений, изд-во УрО РАН, Екатеринбург, 2010.

65. А.Ф. Тиман, Теория приближений функций действительного переменного, Физматгиз, М., 1960.

66. И.С. Тюремских, "(В)-свойство гильбертовых пространств", Ученые записки Калин, гос. пед. ин-та, 39 (1964), 53-64.

67. И.С. Тюремских, "Об одной задаче С.Н. Бернштейна" Ученые записки Калин, гос. пед. ин-та, 52 (1967), 123-129.

68. Р. Фелпс, Лекции о теоремах Шоке, Мир, М., 1968.

69. В.П. Фонф, "Об условно сходящихся рядах в равномерно гладком пространстве Банаха", Математические заметки, 11:2 (1972), 209-214.

70. С.Я. Хавинсон, "О единственности функции наилучшего приближения в метрике пространства Li", Изв. АН СССР, Сер. матем., 22:2 (1958), 243-270.

71. Э. Хилле, Р. Филлипс, Функциональный анализ и полугруппы, ИЛ, М., 1962.

72. И.Г. Царьков, "Геометрическая теория приближения в работах С.Б. Стечкина", Известия Тульского государственного университета. Сер. Матем. Механ. Информ. 11:1 (2005), 236-260.

73. П.Л. Чебышев, "Вопросы о наименьших величинах, связанных с приближенным представлением функций", 1859. в кн.: Чебышев П.Л. Полн. собр. соч., Т. 2. Изд-во АН СССР, М.-Л., 1947. С. 151-235.

74. Б.В.Шабат, Введение в комплексный анализ, Изд-во "Лань", СПб., 2004.

75. Р. Эдварде, Функциональный анализ, Мир, М., 1969.

76. И. Экланд, Р. Темам, Выпуклый анализ и вариационные проблемы, Мир, М., 1979.

77. A.R. Alimov, "Characterizations of Chebyshev sets in c0", J. Approx. Theory, 129:2 (2004), 217-229.

78. W. Banaszczyk, Additive subgroups of topological vector spaces, Springer, Berlin-Heidelberg-New York, 1991.

79. K. Borsuk, "Drei Sätze über die n-dimensionale euclidische Sphäre", Fund. Math., 20 (1933), 177-190.

80. D.Braess, "Geometrical characterizations for nonlinear uniform approximation", J. Approx. Theory, 11:3 (1974), 260-274.

81. A.Br0ndsted, "Convex sets and Chebyshev sets", Math. Scand., 17:1 (1965), 5-16.

82. Yu.A. Brudnyi, N.Ya. Krugljak, Interpolation functors and interpolation spaces, Vol.1, North Holland Math. Libr., 47, 1991.

83. L.N.H. Bunt, Bijdrage tot de theorie der convexe puntverzamelingen, Thesis, Univ. Groningen, Amsterdam, 1934.

84. R. Cauty, "Un exemple de sous-groupe additif de l'espace de Hilbert", Colloq. Math., 77:5 (1998), 147-162.

85. E.W.Cheney, D.E.Wulbert, "The existence and unicity of best approximation", Math. Scand., 24:1 (1969), 113-140.

86. A.K. Cline, "Lipschitz conditions on uniform approximation operators", J. Approx. Theory, 8:2 (1973), 160-172.

87. S. Cobza§, "Functional Analysis in assymmetric normed spaces", arXiv.l 006.1175. vl (2010).

88. W.J.Davis, T.Figiel, W.B.Johnson, A.Pelczynski, "Factoring weakly compact operators", J. Fund. Anal., 17:3 (1974), 311-323.

89. T. Dobrowolski, J. Grabowski, "Subgroups of Hilbert spaces", Math. Z., 211:4 (1992), 657-659.

90. R.J. Duffin, L.A. Karlovitz, "Formulation of linear programs in analysis. I. Approximation theory", SI AM J. Appl. Math., 16 (1968). 662-675.

91. C.B. Dunham, "Chebyshev Sets in C0,1] which are not suns", Canad. Math. Bull, 18:1 (1975), 35-37.

92. P. Enflo, "Banach spaces which can be given an equivalent uniformly convex norm", Isr. J. Math., 13 (1972), 281-288.

93. M. Golomb, "Approximation by functions of fewer variables", in On numerical Approximation, R. Longer, ed., Univ. Wise. Press, Madison, Wisconsin, 1959, 275-327.

94. J. Grabowski, "Homotopically non-trivial additive subgroups of Hilbert spaces", Proc. Amer. Math. Soc., 127:5 (1999), 1563-1565.

95. A. Haar, "Die Minkowskische Geometrie und die Annäherung an stetige Funktionen", Math. Ann., 78 (1918), 294-311.

96. R.B. Holmes, A course on optimization and best approximation, Lecture Notes in Math. 257, Springer, Berlin-Heidelberg-New York, 1972.

97. R. Holmes, B. Kripke, "Smoothness of approximation", Michigan Math. J., 15:2 (1968), 225-248.

98. R.C. James, "Reflexivity and the supremum of linear functionals", Ann. of Math., 66:1 (1957), 159-169.

99. R.C.James, "Characterizations of reflexivity", Studia Math., 23:3 (1964), 205-216.

100. J.T. Joichi, "More characterizations of inner product spaces", Proc. Amer. Math. Soc., 19:5 (1968), 1185-1186.

101. P.Jordan, J.von Neumann, "On inner products in linear metric spaces", Ann. Math. (2), 36 (1935), 719-723.

102. V. Kadets, "Under a suitable renorming every nonreflexive Banach space has a finite subspace without a Steiner point", Matematychni Studii, 36:2 (2011), 197-200.

103. J. Korevaar, "Asymptotically neutral distributions of electrons and polynomial approximation", Ann. Math., 80:2 (1964), 403-410.

104. F. Lancien, B. Randrianantoanina, E. Ricard, "On contractive projections in Hardy spaces", Studia Math., 171:1 (2005), 93-102.

105. G.Lewicki, "Bernstein's "lethargy" theorem in metrizable topological linear spaces", Monatsh. fur Math., 113:3 (1992), 213-226.

106. W.A. Light, E.W. Cheney, Approximation theory in tensor product spaces, Springer, Berlin et al., 1985, 56-60.

107. J. Lindenstrauss, "On the modulus of smoothness and divergent series in Banach spaces", Michigan Math. J., 10 (1963), 241-252.

108. J. Lindenstrauss, "On nonlinear projections in Banach spaces", Michigan Math. J., 11:3 (1964), 263-287.

109. J. Lindenstrauss, L.Tzafriri, "On the complemented subspaces problem", Israel J. Math., 9:2 (1971), 263-269.

110. J. Lindenstrauss, L.Tzafriri, Classical Banach spaces I, II. Springer, Berlin-Heidelberg-New York, 1977, 1979.

111. J.C. Mairhuber, "On Haar's theorem concerning Chebyshev approximation problems having unique solutions", Proc.Amer.Math.Soc., 7:4 (1956), 609-615.

112. E. Michael, "Continuous selections, I", Ann. Math., 63:2 (1956), 361382.

113. P.D.Morris, "Chebyshev subspaces of Li with linear metric projection", J. Approx. Theory, 29:3 (1980), 231-234.

114. P.D. Morris, "Metric projections onto subspaces of finite codimension", Duke Math. J., 35:4 (1968), 799-808.

115. T.S. Motzkin, "Sur quelques propriétés caractéristiques des ensembles convexes", Rend. Accad. Naz. Lincei, 21 (1935), 562-567.

116. R.R. Phelps, "Uniqueness of Hahn-Banach extensions and unique best approximation", Trans. Amer. Math. Soc., 95:2 (1960), 238255.

117. R.R.Phelps, "Chebyshev subspaces of finite codimension in C(X)", Pacific J. Math., 13:2 (1963), 647-655.

118. R.R. Phelps, "Chebyshev subspaces of finite dimension in Li\ Proc. Amer. Math. Soc., 17:3 (1966), 646-652.

119. W. Rudin, K.T. Smith, "Linearity of best approximation: a characterization of ellipsoids", Indagationes Mathematicae, 23:1 (1961), 97-103.

120. H.S. Shapiro, "Some negative theorems on approximation theory", Mich. Math. J., 11:3 (1964), 211-217.

121. I. Singer, Best approximation in normed linear spaces by elements of linear subspaces, Springer, Berlin-Heidelberg-New York, 1970.

122. I. Singer, "Some remarks on approximative compactness", Rev. roum. math, pures et appl., 9:2 (1964), 167-177.

123. S.B. Stechkin, "A non-Chebyshev finite dimensional subspace in H\\ Approximation and function spaces, Banach center publications, V. 22, Warsaw, 1989. P. 435.

124. S. Troyanski, "On locally uniformly convex and differentiable norms in certain non-separable Banach spaces", Studia Math., 37:2 (1971), 173-180.

125. L.Vesely, "A characterization of reflexivity in the terms of the existence of generalized centers", Extracta Mathematicae, 8:(2-3) (1993), 125-131.

126. D.E. Wulbert, "Convergence of Operators and Korovkin's Theorem", Journal of Approx. Theory, 1:3 (1968), 381-390.

127. E.M. Zaustinsky, "Spaces with non-symmetric distances", Mem. Amer. Math. Soc., 34 (1959).

128. П.А. Бородин, "Пример ограниченного аппроксимативно компактного множества, не являющегося компактным", Успехи ма-тем. наук, 49:4 (1994), 157-158.

129. П.А. Бородин, "Квазиортогональные множества и условия гиль-бертовости банахова пространства", Матем. сб., 188:8 (1997), 6374.

130. П.А. Бородин, "О линейности оператора метрического проектирования на чебышевские подпространства в пространствах Li и С", Матем. заметки, 63:6 (1998), 812-820.

131. П. А. Бородин, "Чебышевские подпространства в пространстве Я1 Харди", Analysis Math., 25:4 (1999), 243-264.

132. П.А. Бородин, "О выпуклых аппроксимативно компактных множествах и пространствах Ефимова-Стечкина", Вестник Моск. ун-та. Сер. 1. Матем. Механ., 1999, К2 4, 19-21.

133. П.А. Бородин, 'Теорема Банаха-Мазура для пространств с несимметричной нормой и ее приложения в выпуклом анализе", Матем. заметки, 69:3 (2001), 329-337.

134. П.А.Бородин, "Аппроксимативные свойства подпространств в пространствах типа с", Вестник Моск. ун-та. Сер. 1. Матем. Механ., 2002. № 5, 54-58.

135. П. А. Бородин, О.Н. Косухин, "О приближении наипростейшими дробями на действительной оси", Вестник Моск. ун-та. Сер. 1. Матем. Механ., 2005, №1, 3-8.

136. П.А. Бородин, "К задаче существования элемента с заданными уклонениями от расширяющейся системы подпространств", Матем. заметки, 80:5 (2006), 657-667.

137. П.А. Бородин, "Оценки расстояний до прямых и лучей от полюсов наипростейших дробей, ограниченных по норме Ьр на этих множествах", Матем. заметки, 82:6 (2007), 803-810.

138. П.А. Бородин, "Выпуклость 2-чебышевских множеств в гильбертовом пространстве", Вестник Моск. ун-та. Сер. 1. Матем. Ме-хан., 2008, № 3, 16-19.

139. П.А. Бородин, "Коэффициент линейности оператора метрического проектирования на чебышевское подпространство", Матем. заметки, 85:2 (2009), 180-188.

140. П.А. Бородин, "Приближение наипростейшими дробями на полуоси", Матем. сб., 200:8 (2009), 25-44.

141. П.А. Бородин, И.А. Пятышев, "Пример не аппроксимативно компактного множества существования с конечнозначной метрической проекцией", Матем. заметки, 86:2 (2009), 170-174.

142. П. А. Бородин, "Пример несуществования точки Штейнера в банаховом пространстве", Матем. заметки, 87:4 (2010), 514-518.

143. П. А. Бородин, "О зеркальном свойстве метрической 2-проекции", Вестник Моск. ун-та. Сер. 1. Матем. Механ., 2011, № 2, 32-36.

144. П.А. Бородин, "О выпуклости А^-чебышевских множеств", Известия РАН. Сер. матем., 75:5 (2011), 19-46.

145. П. А. Бородин, "О 2-чебышевских подпространствах в пространствах Li и С", Матем. заметки, 91:6 (2012), 819-831.

146. П.А. Бородин, "Примеры множеств с заданными аппроксимативными свойствами в V^CG-пространстве", Матем. заметки, 92:12 (2012) (принято к печати).

147. П.А. Бородин, "Приближение наипростейшими дробями с ограничением на полюсы и выпуклость подгруппы гильбертова пространства", Матем. сб., 203:11 (2012) (принято к печати).