Метрические свойства мероморфных функций тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, доктор физико-математических наук Данченко, Владимир Ильич

• Данченко, Владимир Ильич
• доктор физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Данченко, Владимир Ильич

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. ОЦЕНКИ а-ПОТЕНЦИАЛОВ. ПРИЛОЖЕНИЯ К ЗАДАЧЕ РАЗДЕЛЕНИЯ ОСОБЕННОСТЕЙ МЕРОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ

§1. Основные определения. Вспомогательные результаты.

§2. Первая теорема о покрытии носителей потенциалов подобластями Грина

§3. Вторая теорема о покрытии подобластями Грина

§4. Третья теорема о покрытии подобластями Грина (теорема о комбинированном методе покрытия)

§5. Интегральные оценки некоторых ядер на границах подобластей

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Метрические свойства мероморфных функций»

§2. Вспомогательные результаты о линиях уровня .121

§3. Оценки взвешенных длин линий уровня мероморфной функции с конечным числом полюсов.128

§4. Оценки интегральных норм граничных значений голоморфной и рациональной составляющих мероморфной функции с конечным числом полюсов .132

§5. Пример области со сколь угодно медленным ростом норм голоморфных составляющих мероморфных функций при увеличении числа их полюсов .138

§6. Некоторые приложения к теории аппроксимаций.140

ГЛАВА 4. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА ДЛЯ МЕРОМОРФНЫХ И РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ

§1. Введение.143

§2. Оценка вариации рациональной функции на подмножествах кривых с ограниченным вращением секущей .147

§3. Гиперболически разреженные множества .149

§4. Оценка в метрике Lq на кривых Альфорса сумм специального вида .155

§5. Конструкция мажорантных сумм для функций класса ЩСт) +

E2(G) в жордановых областях G с границами Альфорса.158

§6. Применение мажорантных сумм в неравенствах с критическим соотношением параметров на кривых конечной плотности.161

§7. Использование мажорантных сумм при оценках квазинорм функционалов Харди и Литтлвуда .165

§8. Аналог теоремы Шапиро и Шилдса об интерполяции функциями класса Ер на гиперболически разреженных последовательностях . 168

§9. Приложения к рациональным аппроксимациям .171

§10. Критические неравенства с ослаблением интегральной метрики в общем случае регулярной меры .173

§11. Обобщения теорем §10 .180

§12. Ограниченное изменение внешней а-меры Хаусдорфа при рациональных отображениях.182

§13. Соотношения между характеристиками и V плотности множества .187

§14. Другие приложения к рациональным аппроксимациям.191

Литература .195

ВВЕДЕНИЕ

Работа посвящена, в основном, задачам теории функций комплексного переменного, касающимся метрических свойств мероморфных (в частности, рациональных) функций, возникающим в теории рациональных аппроксимаций. Это задачи о потенциалах Грина и емкостях, о разделении особенностей мероморфных функций (и оценках норм компонент и производных этих компонент), об оценках длин линий уровня мероморфных функций с конечным числом полюсов в области их определения, об оценках производных рациональных и мероморфных функций в интегральных метриках на множествах комплексной плоскости, о трансформациях величин хаусдорфовых мер множеств при их отображениях посредством рациональных функций, об оценке снизу расстояний полюсов сумм Rn(z) = T,k=iiz ~ ^fc)1 наипростейших дробей (т.е. логарифмических производных Rn(z) = Q'(z)/Q(z) полиномов Q(z), deg Q = n, от прямых и окружностей L комплексной плоскости при условии | Rn(z) |< 1 Vz е L.

Пусть G - область на расширенной комплексной плоскости С, имеющая обобщенную функцию Грина, ¡л - неотрицательная сг-конечная борелевская мера в G. Обобщенным «-потенциалом Грина (а > 0) назовем потенциал меры /и вида fia{G,z):= /кв(С;г,СЖС), где K0(<jr;z,£) = g(G;z,() - обобщенная функция Грина для G с полюсом ( G G, Ka(Cr;z, С) = exp(ag(G; z, С)) — 1 - при а > 0. Потенциалы типа ¡ла широко используются в теории субгармонических и гармонических, а также в теории аналитических функций. Систематическое применение таких потенциалов в комплексном анализе началось в работах Т.Карлемана (1921г.), Р.Неванлинны (1922г.), Г.Сеге (1924г.), И.И.Привалова (1925г.), Ф.Рисса (1926г.), О.Фростмана (1935г.). В теории субгармонических функций центральным результатом является теорема Ф.Рисса о локальном представлении произвольной субгармонической функции в G виде разности гармонической функции и 0-потенциала Грина. Это же представление имеет место и для допускающих обобщенную функцию Грина областей G в евклидовых пространствах RA размерности N > 3 (О-потенциал /г0((т, £) Грина определяется при г е О С П^, N > 3, аналогично предыдущему). С целью приложения этой теоремы и для других целей разработаны различные методы оценок а-потенциалов Грина. В частности, имеется ряд методов получения оценок таких потенциалов вне их исключительных множеств, точнее, вне некоторых специальных покрытий носителей их мер /2. Такие оценки нашли широкое применение, в частности, в теории распределения значений меромофных и субгармонических функций и при получении асимптотик для значений этих функций в неограниченно удаляющихся точках на С и в Кдг, N > 3 (см.,например, [2],[3],[37],[68],[69]). При этом, как правило, рассматриваются простые области (круги, полуплоскости, шары, полупространства). В настоящей работе разработаны некоторые новые методы покрытия носителя меры /л и получения оценок соответствующих потенциалов в произвольных односвязных областях О на комплексной плоскости. Перенесение этих методов на пространственный случай дает для областей-шаров в Кд некоторые новые покрытия и оценки. Среди приложений полученных оценок а-потенциалов в настоящей работе важное место занимают теоремы о разделении особенностей аналитических и гармонических функций. Приведем постановку некоторых задач о разделении.

Пусть О - произвольная область на плоскости С, граница которой <9(7 может быть разбита на два не пересекающихся компакта К\ и Для определенности будем считать, что оо К\. Говорят что в этом случае компакты К\ и К2 образуют (электрический) "конденсатор" [К\,К?\ с пластинами К\ и К2. Напомним определение а-емкости Са[К\^К2\ конденсатора [К^К^ а е [0,1). Через С?! обозначим связную компоненту дополнения к К\, включающую область О (и содержащую оо), а через 02 обозначим связную компоненту дополнения к К2 на С, которая содержит (7 {С*\ П 02 — О). Если не имеет обобщенной функции Грина, то положим Сс^КиК^ = 0. В противном случае рассмотрим класс Еа всех неотрицательных счетно аддитивных боре-левских мер /л с вирр^г С К^ для которых их а-потенциалы (ла(02,г) (см. выше) удовлетворяют неравенству ¡га(021 г) < 1 при г € Положим Сп[Кх,К2] = япр{^(К\) : V е Е„}.

Пусть задана функция г(р), положительная и невозрастающая при р > 0. Обозначим через Е(<2; К2\г) класс функций /, голоморфных в G, для которых f(z)\<r(p(z,Ki)) в достаточно малой окрестности К\ (своей для каждой функции /) и

M(f,K2) := lim sup | f(z) |< oo, G Э z K2.

Класс функций /, голоморфных и ограниченных в G. обозначим через Е(G\Ki,K2). Пусть / £ Е(G; Ки К2;г) с некоторым г(р). С помощью интегральной формулы Коши для составного контура получается разложение f(z) = fx(z) + f2(z) (z € G), где функция fi(z) = fi(Ki, K2; z) аналитична в Gi и нормирована условием /1(00) = 0, а /2(2) = f2(Ki,K2;z) аналитична в G2. Задачей о разделении особенностей в классах E(G; Ki, К2] г), E(G; Ki, K2) будем называть задачу об оценке величин M(fi,K2), M(f2,K{) в зависимости от г, а также от определенных метрических и емкостных характеристик границы Ki U К2 области G. Эта задача (и ее аналоги для других классов голоморфных и гармонических функций) возникает в теории аппроксимаций функций комплексного переменного (см.,например, работу [11] А.Г. Витушкина о полноте алгебры рациональных функций (р.ф.) в пространствах АС (К) функций, непрерывных на компакте К С С и голоморфных на множестве его внутренних точек), в теории граничных свойств аналитических функций (см., например, работы А.А.Гончара и Л.Д.Григоряна [17],[18], работы В.П.Хавина, о разделении особенностей голоморфных функций). Задачи разделения особенностей гармонических функций возникают в теории потенциала и граничных свойств гармонических функций, в теории гармонических аппроксимаций (см., например., работу [48] П.В.Парамонова).

Значительный интерес для приложений представляет следующий частный случай задачи о разделении. Пусть заданы произвольная область G С С, мероморфная в G функция /, имеющая в G конечное множество Ki = {zj} полюсов (и не имеющая других особенностей в G) и ограниченная вблизи 8G. Тогда / G JZ(G\K1; Ki, dG; p~~k) с некоторым k 6 N. Очевидно, компонента /1(2) является р.ф., равной сумме главных частей лорановских разложений f(z) относительно полюсов {zj} С G. В данном случае будем писать /с вместо f\. При n Е N введем величины

A„(G) := sup{M(fG,dG)/M(f,dG) : M(f,dG) > 0}, где супремум берется по всем мероморфным функциям / указанного вида с условием deg fG < п. К задаче об оценках величины A„(G) и ее различным обобщениям обращались многие аналитики. Впервые эта задача появилась, по-видимому, в работе В.Э.Кацнельсона [39] в 1967 году, где рассматривался случай, когда G - верхняя полуплоскость плоскости С. В 1970 г. А.М.Бочтейн и В.Э.Кацнельсон [6] получили неравенство An(U) < An2 для случая круга G = TJ {\ z \< 1}.~В 1974 году С.И.Пореда, Е.Б.Сафф, Г.С.Шапиро [55] установили аналогичную оценку в областях G с аналитическими границами и с А = A(G). Существенное продвижение было сделано в работе A.A.Гончара и Л.Д.Григоряна [17] 1976 года: для произвольной односвязной области G было показано, что

An(G) < An2, где А - абсолютная постоянная. В 1976 году Л.Д.Григоряном [20] для случая области G с гладкой границей dG было доказано неулучшае-мое по порядку величины п неравенство An(G) < A(G)n, где А зависит лишь от G. Л.Д.Григоряном было также показано, что в любой одно-связной жордановой области G, граница которой dG имеет касательную хотя бы в одной точке, справедливо и обратное неравенство с некоторой абсолютной константой А > 0. Для круга U A.A.Пекарским [53] вычислено значение An(U) = 2п. Для областей G, ограниченных достаточно гладкими кривыми (в частности, кривыми Ляпунова или Радона без точек заострения), А.А.Пекарским получено следующее уточняющее результат Л.Д.Григоряна неравенство

M(fa,dG)/M(f,dG) < A{G)m\n(edegfG/m), где т - число геометрически различных полюсов функции fG. Сходные задачи рассматривались Е.А.Севастьяновым [62]. Он установил точное неравенство для норм fu в метрике Лебега Ll{8\5). Именно, для рациональных функций / он установил неравенство

М\щди) < 27rdeg/||/||c(au).

В 1984 году автором [70] было получено точное по порядку величины неравенство

An(G) < An с абсолютной постоянной А > 0 для произвольных односвязных областей О, а в 1990 году - такое же неравенство для произвольных областей С С С [75].

Задача, близкая к упомянутой задаче о разделении особенностей для функций класса Е(С; К2), рассматривались А.А.Гончаром и Л.Д.Григоряном [18]. В частности, ими показано, что если компакт К2 включает некоторый невырожденный в точку континуум К, то для колебания := вир{| /(2/) — f(z") |: г', г" е К} компоненты /1 на К справедливо неравенство а(А,К) < 2тгМЦ,дС) Со[КиК2].

В настоящей работе (см. также [70]) доказано неравенство м(!ък2)<А(а)ми,дО) Са, где / е Е(С; К2), К2 - континуум, Са =Са[К\, К2] - а-емкость конденсатора [Кх, К2], о; £ [0,1).

В диссертации рассматриваются одна специальная задача о разделении особенностей, в некотором смысле обратная к приведенным выше. В первоначальном виде она возникла в работах Е.А.Горина [19], Е.Г.Николаева [46], А.О.Гельфонда [15], В.Э.Кацнельсона [39] и известна как задача об оценке мнимых частей корней многочленов степени < п, имеющих ограниченный числом 1 модуль своей логарифмической производной Ип(г) = на действительной оси К.

Итак, пусть п - натуральное число, (¿(г) - алгебраический полином степени п, Яп(г) = = ~ гк)~\ I 1< 1 ^а: 6 К,

К) - расстояние между множеством полюсов функции Яп и осью И, Оп т£{0(Лга)}, где Ип пробегает все функции, указанного вида. Вопрос о принципиальной возможности оценки снизу Оп положительной величиной, зависящей лишь от п, был поставлен и положительно решен в 1962 году Е.А.Гориным. В 1965 году Е.Г.Николаев доказал, что

Т>п> 2(21/2-1)п~1 (п€ 14).

Он также поставил вопрос о точности этой оценки и следующую проблему: вообще, стремится ли к 0 при п —ь оо? В связи с этой проблемой Е.Г.Николаев привел принадлежащий А.Н.Колмогорову пример последовательности целых функций fj(z), имеющих бесконечное множество нулей {zj,k}k-=1 в открытой верхней полуплоскости С+ и ограниченные числом 1 модули своих логарифмических производных f'j{z)/fj(z) на действительной оси R и таких, что piizj^kLn R) —> 0 при j сю. В 1966 году существенное уточнение оценки снизу для Dn было получено А. О. Ге льфондом: 1 1 ип > —--, п > п0.

17 mn

A.О.Гельфондом также были рассмотрены аналогичные задачи при других нормировках Rn{z) - в частности, при замене условия " | Rn(x) |< 1 Мх € R" условием "| R^ix) | < 1 \fx е R, m = const <Е N".

B.Э.Кацнельсон получил некоторое уточнение результата А.О.Гельфонда, но при том же логарифмическом порядке убывания величин Dn. Вопросы же, сформулированные Е.Г.Николаевым, оставались открытыми.

В 1993 году автором [71], [74] была получена окончательная по порядку величин п двусторонняя оценка для Dn. В настоящей работе она приводится в виде неравенств с несколько уточненными константами:

1 In In п ^ In In n ,

-< Dn < 2 • —- (n > щ).

9 Inn in n

Приводится также двусторонняя оценка для величин D„(r), определение которых получается из определения для Dn заменой прямой R произвольной окружностью радиуса г > 0. Так, в случае г = 1 имеем:

1 Inn ^ , v Inn , ч

--< Dn(l) < 2--(п > п0).

6 п п

Отметим, что задача для окружностей в указанных работах других авторов не рассматривалась.

В диссертации получены аналогичные результаты и при нормировках другого вида, а также более общие результаты об оценках расстояний от носителя неотрицательной борелевской меры /1 до оси R при нормировке на R функции вида R(z) = C(z) + f(z), где C(z) — /(С ~ z)~ldn(() - потенциал Коши этой меры, а / - функция класса Харди Н°°(С+).

В заключение этого раздела отметим, что необходимость в оценках для Dn возникает в задачах о устойчивых многочленах, задачах асимптотической устойчивости динамических систем, в задачах теории потенциала о распределении заряда, и т.п.

Следующий круг рассматриваемых в диссертации вопросов - поточечные и получающиеся из них интегральные оценки производных от р.ф. на областях, кривых и других множествах комплексной плоскости. При этом поточечные оценки нуждаются в информации о расположении полюсов рассматриваемой р.ф. (экстремальные оценки такого рода производных от р.ф. на прямой и на окружности были получены В.С.Виденским [9],[10] и В.Н.Русаком [58-60]) интегральные же оценки получаются без каких-либо ограничений на расположение полюсов рассматриваемой функции. В диссертации основные оценки производных получены в наиболее трудных случаях - при так называемых критических соотношениях между параметрами интегральных норм (и квазинорм). Постановка и решение ряда таких задач восходит к фундаментальным работам Е.П.Долженко [25-30] (19621978гг.) и Е.А.Севастьянова [30],[61] (1973,1974гг.). В дальнейшем этими задачами занимались В.И.Данченко [75-80], В.В.Андриевский [1] А.А.Пекарский [49-53], Г.Шталь [52] и другие. Важную роль в этом направлении исследований сыграла задача Е.П.Долженко (1966,1978гг.) об описании максимального класса й множеств Е С С, допускающих оценки величин Ц-Й'Ц^^) (т.е. длин образов Я(Е) множества Е с учетом кратности покрытия точек при отображении ю = Я(г)), где Я -р.ф., через Н-йЦс^) и deg.fi, а также о выявлении зависимости этих величин от метрических характеристик множества Е. Задача описания класса всех кривых 7 = Е, входящих в класс ^ была решена автором (1980г.), а также В.В.Андриевским (1983г.). При этом В.В.Андриевский [1] получил оценку р'|и1Ы < А(7)(<1е8 Д)2||Я||гЫ.

В [70,76] автор получил уточнение последней оценки: множитель ^(7) (deg.fi)2 был заменен на e)(deg Я)1+€ Уб > 0. Окончательное решение этой и более общей задачи о преобразовании а-мер Хаусдор-фа множеств Е С С при отображениях их посредством ограниченных на Е рациональных функций было дано в 1985-1987 годах в совместных работах Е.П.Долженко и автора [72,79,85]. Чтобы сформулировать соответствующий результат введем определение а-плотности неотрицательной борелевской меры /л на плоскости С:

П(а,д) := 8ир{/л(В)(<1тт Б)"0}, где sup берется по всем открытым кругам D С С. В упомянутой работе [72] Е.П.Долженко и автора доказано, что^орелевское множество Е принадлежит классу Ö тогда и только тогда, когда 0(l ,mesi) < оо, где mesj - длина по Хаусдорфу множества Е. Доказано также, что для любой р.ф. Л, борелевского множества Е, неотрицательной борелевской меры /i и числа а £ (0,2] имеет место неравенство jE | R'(z) ]« dß(z) < 108 • ЩШ - deg R • (*) причем эта оценка точна по порядку величины deg R и Q(a, р).

В 1973 году Е.А.Севастьянов [61] поставил следующую задачу: имеют ли место оценки вида при критическом соотношении г = р/{\ + р) < 1 (где р > 0, Cp(degR) зависит лишь от р и deg R\ при 0 < г < р/{1+р) соответствующие неравенства Е.А.Севастьяновым были получены). Отметим, что при р = оо точное неравенство l№i(£j)<27rdegÄ.||Ä||c(E) получено в 1978 году Е.П.Долженко [28] для любого измеримого по Лебегу множества Е С R . Кроме того, в работах 1960-1962 годов Е.П.Долженко были получены точные по порядку degÄ неравенства для полных изменений Var7 R р.ф. R на прямых , окружностях и достаточно гладких кривых у. В работах 1982-1986 годов автор обобщил эту А задачу на кривые 7 £ ii и при 1 < р < оо получил ее положительное решение ([76]):

V(7) <CP(degR- In3 degÄ)1+1^||i?||iP(7), г = 1 < p < 00,

В 1989 году точное по порядку величины degjR неравенство

U'-(7) < Cp(j) deg R- ||i2||jrp(7), для кривых 7 6 О получил A.A.Пекарский [51]; при р £ (0,1) (р ф 1/&, к 6 N) это неравенство получено А.А.Пекарским и Г.Шталем [52] (1995г.).

В работе автора [78] предложен новый метод решения подобных задач. Существенным и новым в этом методе является то, что множества Е = 7 С С не обязательно связны (как в методе, использованном в работах А.А.Пекарского и Г.Шталя) - они могут быть, в частности, и всюду разрывными. Напомним, что при р = сю точное по порядку входящих в него величин неравенство для Ц^'Ц^я), где Е - произвольное борелев-ское множество из О, получается из приведенного выше неравенства (*) при а = 1, ц = mesi.

В работе Е.П.Долженко 1966 года при 1 < Л < 2 получены оценки для производных р.ф. R в метриках LX(G) для областей G с достаточно гладкими границами Г, а в работе 1977 года - в метриках Lx(p,,G) с dji(z) = pa~1(z,T)dmes2(z) (где p(z,T) - расстояние от z G G до Г, а > 0) оценки вида Cx(G,a)(deg Д)1"*^ ' Pllc(G) при 1 < Л < 1 + а. Было показано, что при Л > 1 + а никакая оценка сверху для ||-fí/||z,A(jUiG) через норму ||í2||c(g) невозможна, и ставилась задача об исследовании случая критического соотношения параметров А = 1 + ск. Этот случай исследован автором в работе [77] 1979 года, где в случае единичного круга U найдена практически качественная оценка ll-ft'IU^t/) < C(A,p,a,deg#) • ЦДЦ^эи), dp(z) = paX~l(z,T)dm.es2(z), А>1,р>1,а>1 + ^ — Здесь при а < 1 + ^ — j оценка невозможна, случай а. — 1 + j¡ — j является критическим, наиболее трудным для исследования. А.А.Пекарский (1987 г.). показал, что здесь можно взять С(А,р, a, deg R) = С(А, р, a) (deg R)1^"1^, и соответствующая оценка является точной по порядку величины deg R. Автором [78] аналогичное неравенство получено для произвольных ограниченных областей G с границами Жордана dG & Ú.

Все приведенные оценки для норм производных от рациональных функций сразу используются для доказательства так наз. обратных теорем теории рациональных аппроксимаций.

Содержание работы

1;1. Первая глава, в основном, посвящена оценкам гриновых а-потенциалов неотрицательных борелевских мер /л в произвольных одно-связных областях С? на расширенной комплексной плоскости С вне специальных покрытий носителей эирр ¡1 этих мер. Пусть в - односвязная область с невырожденной в точку границей <9(7, г0 € (3. Через (рс(г; г0) обозначим какое-либо конформное однолистное отображение О на единичный круг и = {т :| и; |< 1} с условием — 0. Пусть ц - неотрицательная борелевская мера в (7 с конечной и положительной полной вариацией К = эирр¡л. Определим а- потенциал меры р, равенствами

Мг) = МО, г) =: - 11п | (рс(г; С) | Ф(С)> £в(С,*) := /(I <ра(г;0 Г -1ЖС) (<* > 0)

Очевидно, 0 < /¿«(<3, г) < +оо в С, и ра(0,г) = 0 на дй (а > 0) при К С О] в 0\К функция /¿о гармонична, а р,а при а > 0 субгармонична. Области вида

9сЫ = <ра{2г; г0) |< р, р = (1 - 5)/( 1 + 5)} (1)

0 < 6 < 1, будем называть подобластями Грина (п.Г.) области

С. Это - "обобщенные круги" с гиперболическими центром го и радиусом |1п|. Именно п.Г. играют основную роль в наших конструкциях упомянутых покрытий. Аналогично определяются а-потенциалы и п.Г. в шаре О С N > 3, через мебиусовы отображения этого шара в на единичный шар в К^. Пусть, к примеру, С? - открытый шар с центром в начале координат О радиуса г, го ЕО. Рассмотрим какое-либо фиксированное конформное отображение ги = го) шара О на единичный шар | и> |< 1 с нормировкой 1рс(го,"£о) = 0. Легко проверить, что д(0; г, г0) = (1- | <рс(г; г0) \м~2)\ г0 - г является классической функцией Грина для шара О с полюсом го. Следовательно, п.г. в шаре С можно определить так: дс(го; 6) = {г е О : д(0; г, г0) | *о - * |#-2> 1 - р"~2},р = (1 - 6)/(1 + 8).

1;2. В следующих трех теоремах через G будем обозначать либо произвольную односвязную область на С с границей, содержащей более одной точки, либо шар в R^.

Теорема 1. (§1.2.) Для любой неотрицательной и конечной в области G борелевской меры ц существует конечный или счетный набор п.Г. Gk = дс{%к',&к) (к £ N), объединение которых W оладает следующими свойствами.

1) Для всех z е G\W и а G [0,1) имеем ßa{G, z) < А(а).

2) -Е*1пД*<И|.

В теореме 1 и ниже через А(-), Aj(-) обозначаются вспомогательные положительные величины, зависящие лишь от указанных аргументов, а через А, Аj - положительные константы.

1;3. Оценка суммы гиперболических радиусов гиперболических кругов покрытия (на С), полученная в теореме 1, может оказаться недостаточной для приложений в случае произвольной области G. В §1.3 получена конструкция покрытия с более жесткими метрическими ограничениями. Сформулируем результат (G, Gk, обозначают то же, что и в теореме 1).

Теорема 2. (§1.3.) Пусть /л - неотрицательная борелевская мера с supp ¡л С G. Тогда для каждого е G (0,1] в G существует конечный набор (зависящий от е) п. Г. Gk, объединение которых W обладает следующими свойствами

1) Ек А^1+сг < А(<х)||/л|| при любом а 6 (0,1);

2) для любой п.Г. g = go{z; S) с z € G\W при m = fi(g) и ( 6 g имеем | (Pg{z\ C) (mln1+6(em) — l)/(mln1+e(em) + 1).

1;4. Последнее неравенство выполняется тривиально при т < 1 и может оказаться малоэффективным для мер ¡л с малой mesi-плотностью. Этот недостаток в определенной мере устраняет следующая - основная в первой главе - теорема о комбинированном методе покрытия (см.§1.3).

Теорема 3 [70]. Пусть ¡л - борелевская мера, как в теореме 1, ß > 0. Тогда существует конечный или счетный набор (зависящий от ß) п.Г. Gk = ge(zk\ Afc) (к £ N), объединение W которых обладает следующими свойствами.

1) £ Е ^1+а<Аг(ст^)М Va 6(0,1);

Д*>1/е Д*< 1/е

2) ¡j,ap(G, z) < A2(a,l3) Va G [0,1), г G G\W.

Как следстве отсюда получается оценка для потенциала Грина в открытом шаре G С R^ (N > 3) радиуса г. Именно, если g(G;z,() ~ функция Грина в G, то при (3 > N — 2 имеем (при выполнении 1))

A(G,z) := /р(С;г,С)ф(С) < ^з(P)(r- [z * G G\W

1;5. В §1.6 рассматриваются приложения теорем о покрытии. Приведем некоторые из них. В этом пункте считаем, что G - односвязная область с неограниченным дополнением на С, К - компакт в G, имеющий положительную аналитическую емкость, 0< а < 1, Са — Ca[K,dG]. Пусть, далее, / G Е(G\K,dG) и / = fj{ + fdG, где компонента fx-, аналитична на С\К и удовлетворяет условию /д-(оо) = 0, а компонента Jqq аналитична в G.

Теорема 4. Пусть M := М(/,К),m := M(f,dG). Тогда \\1к\\оо,дс < Ат{ 1 + ln( M/m)) - Со (А — const > 0),

II/JHUÔG ^ iWmax{M,m} • Са (а > 0).

Неравенства точны по порядку величин Мит.

Теорема 5. Пусть е G (0,1/2), / G E(G; dG, К; p~e), т.е. pt(z1dG) I f(z) j< a при некотором a > 0 и при всех z G G\K. Пусть 7 - любой спрямляемый контур, охватывающий компакт К и лежащий в G. Тогда

I / ЖЖ |< aA(e,a,dG)-Ca, а>0,

Если dG - ляпуновская кривая, то эта оценка справедлива и при е G [0,1). Кроме того, если dG - кусочно гладкая кривая, 1 < р < 2, 0 < е < 1 /р—1/2, то интеграл типа Коши Îk{z) — (27гг)-117(С~z)~lf(Ç)d( оценивается в метрике Lp(dG) сверху величиной aA(e,a,p,dG)Ca.

2;1. Перейдем к содержанию гл.2. В этой части обзора через G будут обозначаться следующие простейшие области: С+ = {z : ^sz > 0} или D+ = {z : \ z \> />}, р > 0. Пусть ц - неотрицательная борелевская мера с supp ц CG. При 1 < р < оо введем класс HI/(/i, G) всех функций вида R = 9* + /, где 0*(z) = I(z — С)1Ф(С) - потенциал Коши, а / принадлежит классу Харди HP(G), причем, если G = D+, то /(оо) = 0. Пусть R G HI/(/i, G). Доопределим значения R(t) почти всюду на дG как некасательные пределы R(z) при z -ï t из G. При 1 < р < оо положим ||Д||р = (Sao | R(t) dt l)1^, ||Д|| = Через HL£(G) будем обозначать подкласс всех функций из HI/(¿¿, G) вида R — вп + /, где Вп = Q'n/Qn - логарифмическая производная некоторого многочлена Qn с нулями {zk}k=n лежащими в G. Положим

D(G] R) := min{p(zk, dG) : k = T7n},

Dn(G;p) = mî{D(G;R): R G HL£(G), ||Д||Р < 1}, D*(G) = inf{D(G;R) : R = 6n G HL°°(G), ||Л'|| < 1}.

Отметим одну интерпретацию величин Dn(G;p), следующую непосредственно из определения и из соотношения двойственности. Величина Dn(G\p) равна наименьшему расстоянию от dG всевозможных наборов из п точек Zi,., zn, лежащих в G и обладающих свойством:

2тгз11р{| £/(**) |}<1

Jfc=l где sup берется по всем функциям / G №(G) (l/p + 1/q = 1) с нормировкой \\f\\q < 1, а при G = Dp - с дополнительным условием /(оо) = 0.

2;2. Пусть cp(z; () = (z — ()/(z — (), ¿i - неотрицательная борелевская мера в С+. При z\ = х\ + iyi G С+ и 0 < á < 1. Для п.Г. g(z1; = {z : | ip(z] zi) |< (1 — 8)/{ 1 + <£)} положим m{5) = /¿(<7(2:1; ó)). Скажем, что точка z\ G supp ¡j, является точкой С+-плотности для меры (л, если liminf(<5iexp(m(¿)/2)) > 1 при Ô 1. Достаточным для С+-плотности точки zi является, например, условие limr>Q(r~1/i({¿ : | t — z |< г})) > 5/^/1. В §2.3 получена

Теорема 6. Пусть R G HL°°(/¿, С+) и каждая точка множества supp ¡i является точкой С+-плотности для 1п\/2 • /i/||yu||. Предположим, что в некоторой окрестности компакта supp /л имеем

Mi m 1 /ид») < р-'мо с некоторым положительным параметром р < т( 1/2). Тогда либо Vi > 2||.R||~1||¿¿||, либо, в противном случае, где к = sup{5m(5) : 8 е (0,1)} < \\ц\\.

Как уже говорилось, в работе получены соотношения типа слабой эквивалентности х для величин Dn и D* при п —> оо . Приведем основные результаты (§§2.4-2.5).

Теорема 7 [71]. Пусть R = вп + / е Н1^°(С+)(прг< некотором п > 1). Яусть, далее, i/(a;) := 1т0п(ж-г'£>(С+;Ä)), А := MI/MI- Тогда

1 2А

100 • D(С+; Ä) р|| > min{l, - In —}.

С помощью теоремы 7 доказывается соотношение Dn(C+; оо) х In Inn/ In п. Отметим, что аналогичное соотношение справедливо и в RAr, N > 3. Именно, пусть фиксированы некоторая прямая L С RA\ число п € N и множество М всевозможных сумм вида Rn{x) \= Efc=i(a: - Xk) | х - xk |-2 (х, xk £ RN, N > 1) с нормировкой \\Rn\\c(L) < 1. Тогда для точной нижней грани Dn(JEtN) расстояний от полюсов хк всех сумм Rn 6 М до прямой L имеем Dn(RN) х In Inn/ In п.

Теорема 8 [71,74]. Справедливы следующие неравенства 1/32 < D*{С+) • Vn/lnп < 5/4.

Отметим, что задача об оценках величин D*(С+) впервые рассматривалась А.О.Гельфондом в 1966 году. При этом им было установлено, что D*(C+) > A02~n/4 с некоторой абсолютной постоянной Ао > 0.

В §2.6 получены аналоги теорем из §§2.4-2.5 для кругов. Пусть R = вп + f е HL~(D+), где Т>+ = {z : \ z \> г} (n > 1, г > 0). Напомним, что здесь вп = Q'n/Qni а / ~ функция класса Хард и Н00 в D+, /(оо) = 0.

Теорема 9 [71]. Пусть М = ||Д|| оо. Тогда при выполнении неравенства п — 2rMln(2n 1) > 2 (n > 1) имеем . 1 г п +1 г

D{Dr; R) > 2^Iln i + 2rM ln(3n) ~ iT+T

С помощью этой теоремы получается соотношение Dn{D+;oo) х г In n/n.

В §2.8, в частности, доказано, что при конечныхр >1, 1/р -f = 1, имеем Аг(С+;р) > (атк/рУяЬр-1 независимо от п. В §2.9 получаются неравенства для D(C+; R) с учетом расположения полюсов функции R. Приведем одно их следствие.

Если все полюсы {^}Sb=i функции R G HL^°(C+) лежат, в некотором полукруге {z:\z- Rezk |< d, $sz >0} (d > e3), то

Отсюда и из теоремы 7 следует, что если приближение к действительной оси полюсов {^aJIUi С С+ имеет наименьший порядок Dn(C+]oo), то с ростом п диаметр множества увеличивается быстрей любой степени п.

3;1. В третьей главе изучаются определенные метрические и топологические свойства линий уровня мероморфных функций. Основные результаты главы 3 - следующие теоремы 10 и 11 об оценках квазигиперболической длины линий уровня. Пусть G - произвольная область на С, G ф С. Обозначим через MR(G) класс мероморфных в G функций с конечным числом полюсов в G, а через M(G) - подкласс всех функций / G MR(G) с условий^!/1|g := M{f,dG) = limsup | f(z) |< oo, где G Э z -)• <9G. Для / G M(GQ и r > \\f\\G положим a{r) = a(G, f;r) := {z : z G G, | f(z) |= r};

A n(G) := bup{||/g||g/||/||G.: / G M (G)}.

3;2. Приведем основные результаты (см. §3.2 и §3.3).

Теорема 10 [75]. Пусть G - произвольная область ма С, G ф С, / G M(G),r > ||/||g- Обозначим через {as} множество всех нулей функции f в G, для которых j f(as) \> г, а через ls — 1 - их кратности соответственно. Тогда, если линия уровня a(r) = a(G,f',r) не содержит точек множества {oo} U {as}-, то для ее квазигиперболической длины

I(a(r)-dG):= lir)P-1((,dG)\d(\ имеем у» /. dw r- \\f\\G S JH=r I w - f{as) I

Y,h<4:degfG-3 s при этом а(г) состоит из не более чем deg fa аналитических компонент).

Теорема 11 [75]. Пусть G - произвольная область, G ф С, / € M(G). Тогда существует такое число г/ > 0, что г//||/||g G [6/5,8/5], а линия уровня a(vf) состоит из не более чем deg fa замкнутых аналитических жордановых кривых (лежащих в G) без общих точек и для ее квазигиперболической длины имеем неравенство

I(a(rf);dG) < 567rdeg/G.

3;3. С помощью последних двух теорем получены некоторые результаты о граничных свойствах рациональных компонент fa мероморф-ных функций / класса MR(G), широко использованные в дальнейшем (см.,например, §3.6). Приведем некоторые из них.

Теорема 12. Пусть G С С, / € M(G), n = deg /g, р > 1, 1 /р + 1/q = 1. Тогда существует такое > 0(как в теореме 11), что при z ÇjL G имеем

I Ш |< A(q)n^\\fUlirf) ^у1 I d( I fb где A{q) = 45(5бтг)-1^ < 45.

Отсюда следует, что Лn(G) <45 • n, n 6=N. Из упомянутого выше результата Л.Д.Григоряна [20] вытекает, что в этом неравенстве множитель 45 нельзя заменить никаким числом А < 1, какова бы ни была жорданова область G, граница которой имеет касательную хотя бы в одной точке. Таким образом, в этом случае имеем An(G) х п.

Пусть A „(G) sup{||/g||g/||/||с}, где sup берется по всем функциям класса MC(G), состоящего из тех функций / G M(G), каждая из которых может быть непрерывно продолжена на границу dG области G. Естественно возникает следующий вопрос: существуют ли области G С С, для которых порядок роста Л£^)(или An(G)) существенно меньше, чем п? На этот вопрос в какой-то мере отвечает следующая теорема.

Теорема 13 [75]. Пусть {Ап}^1 - сколь угодно медленно стремящаяся к +оо последовательность чисел Хп > 2. Тогда существует односвязная ограниченная область G = Сг({Ап}) со свойством: л 1(G) < л„, п еж

В связи с этим утверждением в [75] был сформулирован следующий вопрос. Существует ли на плоскости С такой всюду разрывный компакт К, имеющий положительную аналитическую с-емкость, что для области G = С\К класс MC(G) состоит не только из р.ф., и при этом величины Лcn{G) ограничены? Аналогичный (по-видимому, более сложный) вопрос возникает относительно аналитической емкости, класса M(G) и величин An(G).

Пусть Е - произвольное множество на С. Функцией кратности T(z) на Е назовем функцию, принимающую в точках Е натуральные значения или оо. Определим внешнюю a-меру Хаусдорфа для Е с учетом кратности так: m esa,T(E) == lim(inf{EdfcGA¿(diam(4))a}), где инфимум берется по всем покрытиям Е счетными наборами A¿ открытых кругов dk с diam(<4) < S. При этом каждая точка z £ Е покрывается не менее чем T[z) кругами. Определим верхнюю а-плотность множества Е с учетом кратности:

ЩЕ, Т, а) := sup{(diamD)~a mesaiT(.E Г) £>)}, где sup берется по всем открытым кругам D. Введем также характеристику верхней рациональной плотности множества Е:

Vn(E, Г, а) := sup{mes«)Tñ R(E)}, где sup берется по всем рациональным функциям R(z) степени < п с нормировкой sup{| R(z) |: z G Е} = 1, а функция Tr(w) (w G R(E)) равна сумме кратностей всех прообразов z G Е точки w при отображении w = R(z). Пусть Г является спрямляемой кривой или объединением конечного набора таких кривых с естественной кратностью Tp(z), равной числу самопересечений Г в точке z, £7сГиа = 1.В этом случае будем писать Q(E) и Vn(E) вместо Í2(E, Тг,1) и Vn(E,Tv,l) соответственно. Классы Ü := {Е : П(Е) < оо} и V := {Е : VX(E) < оо} таких множеств Е играют важную роль в исследовании граничных свойств аналитических функций и в ряде случаев представляют предельно широкие классы, для которых формулируются положительные результаты. Отметим, что П(Г) < оо УЦГ) < оо для связных множеств Г указанного вида [72,76].

Пусть (7 - односвязная область с неограниченным дополнением, / £ МЩСг). Положим Фf(z) := П!^ где произведение берется по всем полюсам х& £ функции /(^-кратным полюсам соответствует к одинаковых сомножителей). Напомним, что через <ра(г;г0) обозначено какое-либо конформное однолистное отображение С на единичный круг и = {гу : | V) |< 1} с условием о; ^о) = 0. Если / аналитична в <3, то полагаем Ф/(^) = 1. Пусть р > 0 и

Яр(а,/) :=вир{| /(*)Ф/(*) I рЧ>(г,дО) : г е в}.

Введем функциональный класс Е*(<3) равенством:

ЩО) = {/ е МК(С) : Кр(0, /) < оо}.

Несложно показать, что если дО £ й и / принадлежит классу Смирнова Е^в), то Кр{р,$) < А(р,0)\\/\\ер(с)- При этом, при р > 1 включение {/Ф/(г) : / 6 Е£(С)} Э Ер(й) является строгим.

Теорема 14 [75] Пусть <3 - область на С, причем Г = дО является объединением конечного числа спрямляемых кривых, / £ М(6!) и n=degfG > 1. Тогда при Г £ V и и £ N имеем

Ш1хчг) < АУ^ТЫПа, И/^Ь/^Г) < А(^ГК||/||С.

Если G односвязна, Г £ р > 1, / £ V £ а — р/( 1 +рь>), то

1*{Г) < А{^р)п^Кр(вЛ ||/ЫЬ(г) < А{р)&1*(Т)пКр(ОЛ).

Все приведенные оценки точны по порядкам величины п и во всех оценках соотношение параметров критическое. Условия Г £ V и Г £ О здесь ослабить нельзя. Характеристика VI(Г) возникла в связи с приведенной выше задачей Е.П.Долженко 1966 года в работе автора, депонированной в 1980 году (деп. ВИНИТИ, N 3515-80, с.1-21), а также в работе

В.В.Андриевского [1], 1983г.), где было показано, что условие Vi (Г) < оо является характеристическим для кривых Г, на которых полное изменение произвольной р.ф. оценивается через ее степень и максимум модуля. Это следует и из первого неравенства теоремы 14.

4;1. Основная часть главы 4 посвящена интегральным и поточечным оценкам производных рациональных функций и рациональных компонент мероморфных функций на множествах различной степени общности. Приводится несколько приложений полученных результатов к задачам интерполяции аналитическими функциями и к задачам аппроксимации посредством рациональных функций. Сформулируем несколько характерных результатов главы 4. Наиболее важными из них являются теоремы 16 и 18.

Пусть Г - спрямляемая кривая на С и zi, z2 Г. Положим

Ф(Г; zu z2) = varr arg((C - Zi)/(C - z2)),

Ф(Г) := 8ир{Ф(Г; zu z2) : zuz2 Г} где arg((C — zi)/(C ~ z2)) - какая-либо ветвь функции Arg, непрерывная по С вдоль Г. Вариация Ф(Г) конечна, например, на кривых Радона (т.е. на кривых с ограниченным вращением касательной) [21], на обобщенных кривых Ляпунова [83]. Важное для приложений свойство величин Ф(Г) - их инвариантность относительно дробно-линейных преобразований плоскости [80],[83].

Теорема 15 [76,80]. Пусть Е - измеримое по Лебегу подмножество спрямляемой кривой Г. Тогда

Vn(E) < пФ(Г) (n > 1).

Эта оценка (см.§4.2) является точной. Например, если Е - измеримое по Лебегу подмножество окружности или прямой Г с mesi Е > 0, то Vn(E) = пФ(Г) = 2тгп (см. работу [28] Е.П.Долженко).

4;2. Пусть G - произвольная односвязная область на С с невырожденной в точку границей. Пусть S G (0,1), A = {С,} - конечное или счетное подмножество G. Скажем, что множество А является ¿-разреженным (в смысле гиперболической метрики) относительно G, если | <pg(Çj> Ca) ^ при всех j -ф s.

Теорема 16 [78]. Пусть G - односвязная область со спрямляемой границей Г G Ù и R(z) = r(z) -f- f(z), где г - р.ф., не имеющая полюсов на Г, а f £ Е1(С). Тогда при любом 6 £ (0,1) в О существует 5-разреженное относительно О множество {0ь}ь=1 с т < такое, что при V = 0,1,. и £ 0 £г имеем

Т)Н(С\\^Л(Х Р2((к, ГИ Г I ДМ I , , ,

О \< МЪу) Е где := уг | |21^1

Методы, использующие функции-мажоранты для поточечных оценок производных р.ф. широко применялись в работах В.С.Виденского [9,10] и В.Н.Русака [58-60], а позже - в работах А.А.Пекарского и автора [75],[78]. Примером таких мажорант служат косинус-дроби Бернштейна и алгебраические дроби Чебышева-Маркова, наименее уклоняющиеся от нуля (см. [58]), с помощью которых В.Н.Русаком были установлены точные экстремальные неравенства для производных алгебраических дробей специального вида (в частности, р.ф.) на прямых, окружностях и различных их подмножествах.

В настоящей работе метод мажорантых сумм применяется для получения точных по порядку равномерных оценок дробных производных р.ф. в смысле Римана-Лиувилля (см.[49]), весовых оценок для производных р.ф. в пространстве Харди и Литтвуда 1/(г;,Сг) (см. выше), и при решении некоторых обратных задач рациональной аппроксимации и интерполяции (аналитическими функциями класса Е^). Для примера приведем аналог одной интерполяционной теоремы Шапиро и Шилдса [62,11,37], полученной ими для интерполяционноных по Кар-лесону последовательностей А = {Са:}ь=1- Напомним, что для таких последовательностей А характеристическим является условие В и '=■ П^/ь | щ((к) I > <ЧЛ) V« € N с некоторым 6(А) > 0.

Теорема 17 . Пусть С? - жорданова область с дО £ £1, р > 1, 6 £ (0,1), а > 0, {(к}™= 1 — разреженная относительно последовательность с попарно различными точками. Тогда для любого набора чисел {акУк=1, удовлетворяющего условию | ак | Вк < а, найдется функция f £ решающая т-точечную задачу интерполяции

РкР1{Ск) = ак, к = 17т, и удовлетворяющая неравенству Ц/Ц^с) < т1/раА, где А зависит лишь отр, 6, Г2(Г). Эта оценка минимальной нормы точна по порядку величины т.

4;3. Пусть (л - неотрицательная конечная борелевская мера. Меру ¡л будем называть регулярной и принадлежащей классу йа (0 < а < 2), если := 8ир{/л(1))(сЦат£>)~а} < оо, где эир берется по всем открытым кругам И С С и и)а := тГ{/л(с?)(сНатс?)а} > 0, где тГ берется по всем открытым кругам с? С С с центрами на Г и с сНат«? < 1.

Очевидно, в том случае, когда Г является спрямляемой кривой и ¿¡л(х) =| &г | регулярность означает, что Г 6 Известно (Г.Давид л

22]), что совпадает с классом Рисса всех кривых Г, на которых сингулярный интеграл с ядром Коши является ограниченным оператором из £2(Г) в Ь2(Т). Этот класс включает кривые Лаврентьева (с ограниченным отношением наименьшей дуги, стягивающей концы произвольной хорды этой кривой к длине хорды), кривые Радона и Ляпунова [21].

Пусть Л - р.ф., через К = обозначим множество, состоящее из всех нулей р.ф. Я и всех нулей ее производной Ш. Положим ро(*) := р(Д(*),ВД),ге С.

Теорема 18 [78]. Пусть мера /л Е £1а> К ~ Р-Ф• с полюсами, полюсы которой не лежат на вирр/2, п = degR, 0 < а: < 2, А > О, 0< /3 < а(А 4- 1)/(А + 3), 7 = а(а —(3)1/3. Тогда имеем точную по прядку величины п оценку где А — А(С1<х,иа,а,(3, А).

В частности, при а = 1, А = 0, (3 = (р+1)-1, р > 2 отсюда получаем

II< Ат\\о- = Р/(Р +1). где А\ = Для кривых Гей при =| дг |, р > 1 такое неравенство получено А.А.Пекарским [51] (см. также замечание

06 этом результате выше).

4;4. В §4.12 теорема 18, распространяется на предельный случай

7 = оо. Кроме того, решается более общая задача об оценках внешних хаусдорфовых а-мер образов при отображениях рациональными функциями произвольных множеств. Приводимые ниже теоремы 19 и 20 получены и опубликованы совместно с Е.П.Долженко.

Теорема 19 [72]. Пусть Е - произвольное множество с кратностью Т, Ш - р.ф., п = degR, а Е (0,2]. Тогда ше8а,Тд(Я(£)) < 108а-1^(Е,Т,«)п||Я||^).

5 частности, ше81{Л(Е)) < 108П(Я,1,1)п||Д||с7(2г).

Эта оценка является точной по порядку величин п, О, ||-К||.

4;5. В §4.14 даются некоторые приложения к рациональным аппроксимациям. Пусть Г С С, - наименьшие равномерные уклонения / Е С(Г) от р.ф. степени <п. Для последовательности ап \ 0 через Я({ап},Г) обозначим класс функций / Е С(Г) с Д„(/,Г) < ап (\/п).

Теорема 20[72]. Условия Г Е й & Е ап < оо необходимы и достаточны для конечности Уагг / вдоль Г каждой функции / Е -К({а„}, Г). л

Если Г Е О, то условие Т,ап < оо необходимо и достаточно для того, чтобы каждая функция / Е Д({ап},Г) было абсолютно непрерывной на Т.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Данченко, Владимир Ильич, 1998 год

1. Андриевский B.B. Об интегральных оценках производных рациональных функций //Analysis Mathematica. 1983. T. 9. P. 3-7.

2. Азарин B.C. Об асимптотическом поведении субгармонических и целых функций // Докл.АН СССР. 1976. Т.229. С.1289-1291.

3. Азарин B.C. Об асимптотическом поведении субгармонических функций конечного порядка// Матем. сб. 1979. T.108.iV2. С.147-167.

4. Balk M.B. Polyanalytic Functions. Berlin: Akad. Verlag, 1991.

5. Бесов O.B., Ильин В.П., Никольский С.М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. М.:Наука, 1975.

6. Бочтейн A.M., Кацнельсон В.Э. Оценки норм проектора в одном пространстве аналитических функций // Теория функций, функциональный анализ и их приложения. 1970.iV42. С. 81-85.

7. Брело М. Основы классической теории потенциала. М.:Мир, 1964.

8. Warschawski S. Е. On differentiability at the boundary in conformai mapping // Proc. Amer. Math. Soc. 1961. V. 12, No. 4. P. 615-620.

9. Виденский B.C. Некоторые оценки производных от рациональных дробей. Известия АН СССР, сер. матем. 1962. Т. 26.

10. Виденский B.C. Экстремальные оценки производных тригонометрического полинома на отрезке, меньшем чем период. ДАН СССР. 1960. Т. 130.Ш.

11. Витушкин А.Г. Аналитическая емкость в задачах теории приближений // УМН. 1967. Т. 22.N6. С. 141-199.

12. Гамелин Е. Равномерные алгебры. М.:Мир, 1973.

13. Гарнетт Дж. Ограниченные аналитические функции. М.: Мир, 1984.

14. Гварадзе М.И. О пространствах В(р, q, А) аналитических функций // Сообщ. Академии наук Грузинской ССР. 1975.77.iV2. С. 273-276.

15. Гельфонд А.О. Об оценке мнимых частей корней многочленов с ограниченными производными от логарифмов на действительной оси // Матем.сб. 1966. Т.71 (113). С. 289-296.

16. Голузин Г.М., Геометрическая теория функций комплексного переменного. Изд. "Наука", М., 1966.

17. Гончар A.A., Григорян Л.Д. Об оценках норм голоморфной составляющей мероморфной функции // Матем.сб. 1976. Т.99. С. 634-638.

18. Гончар А.А., Григорян Л.Д. Об оценке компонент ограниченных аналитических функций // Матем.сб. 1987. Т.132. С. 299-303

19. Горин Е.А. Частично гипоэллиптические дифференциальные уравнения в частных производных с постоянными коэффициентами // Сиб. матем. журн. 1962.N4. С. 506-508.

20. Григорян Л.Д. Оценки нормы голоморфных составляющих ме-роморфных функций в областях с гладкой границей // Матем.сб. 1976. Т.100. С. 156-164.

21. Данилюк И.И. Нерегулярные граничные задачи на плоскости. М: Наука, 1965.

22. David G. Operateurs intégraux singuliers sur certaines courbes do plan complexe // Ann. scient. Ec. Norm. Sup. 1984. T. 17. P. 157-189.

23. Davis P. The Schwarz function and its applications. Washington, 1974.

24. Долженко Е.П. Скорость приближения рациональными дробями и свойства функций // Матем.сб. 1962. Т.56.АЧ. С. 403-432.

25. Долженко Е.П. Граничные свойства аналитических и гармонических функций // Докторская диссертация. МГУ. 1964. С. 1-266.

26. Долженко Е.П. Рациональные аппроксимации и граничые свойства аналитических функций // Матем.сб. 1966. Т.69(111) С. 497-524.

27. Долженко Е.П. О зависимости граничных свойств аналитической функции от скорости ее приближения рациональными функциями // Матем.сб. 1977. Т.103(145) С. 131-142.

28. Долженко Е.П. Некоторые точные интегральные оценки производных рациональных и алгебраических функций. Приложения // Analysis Mathematica. 1978. T. 4.iV4. P. 247-268.

29. Долженко Е.П. Оценки производных рациональных функций // Известия АН СССР, сер. матем. 1963. Т. 27.ЛП . С. 9-28.

30. Долженко Е.П., Севастьянов Е.А. Приближение рациональными функциями в интегральных метриках и дифференцируемость в среднем // Матем. заметки. 1974. T. 16.iV5. С. 801-811.

31. Долженко Е.П. О компонентах полианалитической функции // "АЛГЕБРА И АНАЛИЗ" Тезисы докл. Междунар. научной конференции, посвященной ЮО-летию со дня рождения Н.Г.Чеботарева (5-11 июня 1994г.). Часть II. Изд. Казанского Унив. 1994. С. 52-53.

32. Долженко Е.П. О граничном поведении компонент полианалитической функции // Доклады АН. 1994. Т. 338.N5. С. 585-588.

33. Долженко Е.П., Данченко В.И. Отображение множеств конечной альфа-меры посредством рациональных функций // Известия АН СССР, сер. матем. 1987. Т. 51JV6. С. 1309-1321.

34. Долженко Е.П. О представлении непрерывных гармонических функций в виде потенциалов // Изв. АН СССР. сер. матем. 1964. Т. 28.N5. С. 1113-1130.

35. Долженко Е.П. Об особых точках непрерывных гармонических функций // Изв. АН СССР. сер. матем. 1964. Т. 28.N6. С. 1251-1270.

36. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. Изд. "Наука", М., 1979.

37. Essen M., Jackson H.L., Rippon P.J. On minimally thin and rarefied sets in RP,p >2 // Hiroshima Math.J. 1985. V.15.iV2. P. 393-410.

38. Карлесон JI. Избранные проблемы теории исключительных множеств. М.: Мир. 1971.

39. Кацнельсон В.Э. О некоторых операторах, действующих в пространствах, порожденных функциями // Теория функций, функциональный анализ и их приложения. 1967. Вып.4. С. 58-66.

40. Kovari T., Pommerenke Ch. On Faber polynomials and Faber expansions // Mathem. Zeitschr. 1967. T. 99.iV3. P. 193-206.

41. Кусис П. Введение в теорию пространств Нр. М.: Мир. 1984.

42. Ландкоф Н.С. Основы современой теории потенциала. М:. Наука. 1966.

43. Mathurin С. Fonction caractéristique d'un contour algebrique simple. Applications de l'équation de l'élasticité plan // Publ. Sei. Tech. Minist. Aire, Not. Tech. 1962. Y. 105. P. 1-83.

44. Мельников M.С. Оценка интеграла Коши по аналитической кривой // Матем.сб. 1966. T.71.N4. С. 503-514.

45. Мельников М.С. Аналитическая емкость и интеграл Коши // ДАН СССР. 1967. Т.172.А/1. С. 26-29.

46. Николаев Е.Г. Геометрическое свойство корней многочленов // Вестн. МГУ. Сер. Матем., мех. 1965.iV5. С. 23-26.

47. Никольский С.М. Приближение функций тригонометрическими полиномами в среднем // Изв. АН СССР, сер. матем. 1947. T.10.7V3. С. 207-256.

48. Парамонов П.В. О гармонических аппроксимациях в С^норме // Матем.сб. 1990. Т.181 С. 1341-1365.

49. Пекарский A.A. Неравенства типа Бернштейна для производных рациональных функций и обратные теоремы рациональной аппроксимации // Матем.сб. 1984. Т.124 С. 571-588.

50. Пекарский A.A. Классы аналитических функций, определяемые наилучшими рациональными приближениями в Нр // Матем.сб. 1985. Т.127 С. 3-20.

51. Pekarskii A.A. Best rational approximations in the complex domain // Trudy Mat.Ins.Steklov. 1989. V.190. P.231-243.

52. Пекарский A.A., Шталь Г. Неравенства типа Бернштейна для производных рациональных функций в пространствах Ьр при р < 1 // Матем.сб. 1995. Т.186. С. 119-130.

53. Пекарский A.A. Оценки производной интеграла типа Коши с ме-роморфной плотностью и их приложения // Матем.заметки. 1982. Т.31. N3. С. 389-402.

54. Pommerenke Ch. On the coefficients of close to convex univalent functions // J.London Mathem.Soc. 1966. 41, 1. 161-165.

55. Poreda S.I., Saff E.B., Shapiro H.S. Fundamental constants for rational functions // Trans. Amer. Math. Soc. 1974. V.189. 351-358.

56. Привалов И.И. Граничные свойства аналитических функций. М.-Л.Д950.

57. Привалов И.И. Субгармонические функции. М.-Л.Д937.

58. Русак В.Н. Рациональные функции как аппарат приближения. Минск. Издательство Б ГУ. 1979.

59. Русак В.Н. Об оценках производных рациональных функций в комплексной плоскости // Вестн. Белорус, ун-та. 1977. Cep.l.iV2.

60. Русак В.Н. Оценки производных рациональных функций на замкнутых множествах // Вестн. Белорус, ун-та. 1970. Cep.l.7V3.

61. Севастьянов Е.А. Некоторые оценки производных рациональных функций в интегральных метриках. // Матем.заметки. 1973. T.13.iV4. С. 499-510.

62. Севастьянов Е.А. Рациональная аппроксимация и абсолютная сходимость рядов Фурье // Матем.сб. 1978. T.107.7V2. С. 228-244.

63. Flett T.M. The dual of an inequality of Hardy and Littlewood andsome related inequalities // J.Math.Anal.and Applic. 1972.38.iV3. P. 746765.

64. Хейман У., Кеннеди П. Субгармонические функции. М.: Мир. 1980.

65. Хавинсон С.Я. Об одной экстремальной задаче теории аналитических функций. // Успехи матем. наук. 1949. Т.4. Вып.4(32). С.158-159.

66. Уолш Д.Л. Интерполяция и аппроксимация рациональными функциями в комплексной области. М. 1961.

67. Shapiro H.S., Shields A.L. On some interpolation problems for analytic functions // Amer. J. Math. 1961. V.83. P.513-532.

68. Эйдерман В.Я. О радиусах исключительных дисков в оценке снизу модуля функции ограниченного вида // Успехи мат.наук. 1981. Т.36. вып 6. С.233-234.

69. Эйдерман В.Я. О сумме значений функций из некоторых классов на последовательности точек // Известия вузов. Математика. 1992.N1. С.89-97.

70. Данченко В.И. О разделении особенностей мероморфых функций // Матем.сб. 1984. Т.125(167). С. 181-198.

71. Данченко В.И. Оценки расстояний от полюсов логарифмических производных многочленов до прямых и окружностей // Матем.сб. 1994. T.185.ÍV8. С. 63-80.

72. Долженко Е.П., Данченко В.И. Отображение множеств конечной альфа-меры посредством рациональных функций // Известия АН СССР, сер. матем. 1987. Т. 51 .N6. С. 1309-1321.

73. Долженко Е.П., Данченко В.И. Дифференцируемость функций нескольких переменных в зависимости от скорости их приближения рациональными фукциями // Известия АН СССР, сер. матем. 1977. Т. 41.JV1. С. 182-202.

74. Данченко В.И. О скорости приближения к действительной оси полюсов нормированных логарифмических производных полиномов // ДАН. 1993. T.330.7V1. С.15-16.

75. Данченко В.И. О рациональных составляющих мероморфных функций и их производных // Analysis Mathematica. 1990. Т. 16.ÍV4. P. 241-255.

76. Данченко В.И. Об оценках норм и вариаций рациональных составляющих мероморфных функций // ДАН СССР. 1985. Т.280. С.1043-1046.

77. Данченко В.И. Об одной оценке производной рациональной функции // Известия АН СССР, сер. матем. 1979. Т. 43.7V2. С. 277-293.

78. Данченко В.И. Некоторые интегральные оценки производных рациональных функций на множествах с ограниченной плотностью // Матем.сб. 1996. Т.187.М0. С. 33-52.

79. Долженко Е.П., Данченко В.И. Отображение множеств локально-конечной длины посредством рациональной функции // Труды МИАН. 1987. Т. 180. С. 105-107.

80. Данченко В.И. Об оценке вариаций рациональных функций на спрямляемых кривых // "ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ И ПРИБЛИЖЕНИЙ" Труды 2-й Саратовской зимней школы. Часть I. Изд. Саратовского Унив. 1986. С. 121-124.

81. Данченко В.И. О разделении особеностей мероморфных функций многосвязными областями // "ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ И ПРИБЛИЖЕНИИ" Труды 3-й Саратовской зимней школы. Часть II. Изд. Саратовского Унив. 1988. С. 41-43.

82. Данченко В.И. Неравенства для рациональных функций // Дисс. канд. физ.-матем. наук. М.: Библ. МГУ им. М.В.Ломоносова. 1990.

83. Данченко В.И. Оценки расстояния до носителя, меры через норму потенциала Коши // "АЛГЕБРА И АНАЛИЗ" Тезисы докл. конференции, посвященной ЮО-летию со дня рождения Б.М.Гагаева (16-22 июня 1997г.). Изд. Казанского Унив. 1997. С. 65-66.

84. Долженко Е.П., Данченко В.И. Об отображениях посредством рациональных функцй // "АКТУАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ КОМПЛЕКСНОГО АНАЛИЗА" Тезисы докл. всесоюзного семинара молодых ученых (16-23 сентября 1985г.). Изд. Ташкентского гос. унив. 1985. С. 3738.

85. Данченко В.И. Оценки расстояний от порций носителей мер с ограниченными комплексными потенциалами до прямых //"ПОНТРЯ-ГИНСКИЕ ЧТЕНИЯ VIII" - Тезисы докл. Воронежской конференции (3 май 1997г.). Изд. Воронежского Унив. 1997.