Интерполяция и аппроксимация наипростейшими дробями тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Кондакова, Елена Николаевна

• Кондакова, Елена Николаевна
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Кондакова, Елена Николаевна

Введение

Глава I. Общие вопросы интерполяции

наипростейшими дробями

§1. Постановка задачи обобщенной интерполяции

§2. Построение н.д. обобщенной интерполяции

§3. Индуктивное построение интерполяционной

таблицы единственности

§4. О возникновении особых узлов

Глава II. Задача интерполяции констант и

другие вопросы

§1. Построение интерполяционных н.д

§2. Особые узлы в задаче интерполяции констант

§3. Интерполяция по чебышевской системе узлов и

оценка погрешности

§4. Дополнения к материалам второй главы

Глава III. Чебышёвский альтернанс при аппроксимации

наипростейшими дробями

§1. Существование н.д. наилучшего приближения

§2. Вопрос о единственности н.д. наилучшего приближения

§3. Вспомогательные результаты об интерполяции констант

§4. Теоремы об альтернансе

Библиографический список

1 Работа поддержана грантом РФФИ (проект 11-01-97517-р_центр_а); выполнена в рамках проекта ДПННиТ № 1.1348.2011.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Интерполяция и аппроксимация наипростейшими дробями»

Введение

В работе изучается интерполяция и аппроксимация наипростейшими дробями (н.д.), т.е. рациональными функциями вида

представляющими собой логарифмические производные комплексных многочленов. Как аппарат приближения и. д. впервые применялись в работах С.К. СЬш [1], С.К. СЬш и Х.С. БЬеп [2] при аппроксимации аналитических функций в интегральных пространствах Бергмана-Берса на ограниченных жордановых областях С; при этом полюсы подбирались на границе <9С.

Возникновение теории аппроксимации посредством н.д. инициировано одной проблемой Е.А. Горина [3], которую можно переформулировать как задачу аппроксимации: найти порядок величины наилучшего приближения нуля на Ж посредством при п оо, если расстояние от множества полюсов {£&} до М каждой такой дроби не больше единицы. Этой проблемой в разное время занимались Е.А. Горин [3], Е. Г. Николаев [4], А. О. Гельфонд[5], В.Э. Кацнель-сон [6], В. И. Данченко [7] и др. Изучались и другие аппроксимативные свойства н.д.; например, доказано, что класс функций, приближаемых н.д. в равномерной метрике на ограниченном множестве, включает многочлены, а значит, и аппроксимируемые ими функции. Отсюда получается аналог теоремы Мергеляна [8]: для любого компакта К со связным дополнением и любой функции / Е С {К), аналитической во внутренних точках К, величина рп(/, К) наилучшего приближения на К функции / н.дробями порядка п стремится к нулю при п —> оо. Что касается скорости приближения, то она для широкого класса компактов К и функций / имеет тот же порядок,

п> 1,

что и скорость приближения комплексными многочленами. Так, для случая отрезка К = [—1; 1] доказано [9], что

P[nlnEn\f,K)}(f> К) ^ COnst ' Ш

где En(f,K) — величина наилучшего приближения многочленами степени п. О. Н. Косухиным [10] получена слабая эквивалентность

Pn+i(/, К) ж ВД К), где F(x) =

Последнее позволило О. Н. Косухину получить для н.д. ряд аналогов классических теорем Д. Джексона, С. Н. Бернштейна, А. Зигмунда, В. К. Дзядыка, Дж. J1. Уолша. Дальнейшие исследования, однако, показали, что имеются и значительные различия между аппроксимативными свойствами н.д. и полиномов. Это обусловлено в первую очередь нелинейностью задачи аппроксимации н.дробями.

В работах В. Ю. Протасова [11], В. И. Данченко [12], О. Н. Косухи-на и П. А. Бородина [13], И. Р. Каюмова [14] были получены результаты о приближении н.д. на неограниченных множествах: прямых, лучах, полуплоскостях. Установлено, например, что каждая непрерывная на прямой функция с нулевым значением на бесконечности с любой точностью приближается н.д. в равномерной метрике [14]. Если же вместо прямой рассматривать неразвернутый угол, то аналогичное утверждение неверно (О. Н. Косухин); этот результат указывает на нелинейность процесса аппроксимации посредством н.д., его зависимость от геометрических свойств множеств аппроксимации.

Класс аппроксимируемых функций в интегральных пространствах Ьр(Ж) с конечнымир > 1 резко сужается [11]: он состоит из тех и только тех функций /, которые представляются в виде сходящихся к ним в ЬР(Ж) рядов k(x — £fc)_1. В [12], [14] получены критерии сходимости таких рядов в терминах последовательности полюсов {£&}.

Приведем краткий обзор других результатов, касающихся интерполяции и равномерной аппроксимации н.д. О.Н. Косухиным [10], В. И. Данченко и П. В. Чунаевым [15] разработаны методы п-кратной интерполяции Паде, которые затем применялись для равномерного приближения аналитических функций. Этими авторами, в частности, доказано, что интерполяционная н. д. Паде всегда существует и единственна, были найдены эффективные численные алгоритмы для ее построения. А. К. Рамазанов [16] показал, что задача кратной интерполяции возникает и при аппроксимации в классе Харди в единичном круге.

В задаче простой интерполяции, в отличие от n-кратной интерполяции, вопросы разрешимости и единственности, вообще говоря, не имеют однозначного ответа и зависят от алгебраической структуры интерполяционных таблиц (Я. В. Новак [17], М.А. Комаров [18], В. И. Данченко и E.H. Кондакова [19]). Исследовалась взаимосвязь чебышевского альтернанса, оптимальности приближения и единственности н.д. наилучшего приближения [17], [18]. Был выявлен ряд специфических аппроксимативных свойств н. д., не присущих полиномам и рациональным функциям общего вида.

В работах А. В. Фрянцева [20] и П. В. Чунаева [21] н. д. и некоторые их естественные модификации использовались для численного дифференцирования и интегрирования, аппроксимации дифференциальных полиномов, вычисления многочленов и рациональных функций общего вида. Хотя, как было отмечено выше, скорости приближения н.дробями и полиномами сравнимы, применение н.дробей в численном анализе иногда предпочтительнее, поскольку при их вычислении почти не возрастает абсолютная погрешность.

Ряд приложений обусловлен также тем, что н.д. имеют простой

физический смысл: они задают (с точностью до постоянных множителей и операции комплексного сопряжения) плоские поля различной природы, создаваемые равновеликими источниками [1], [2], [8], [10].

Диссертация состоит из трех глав.

В первой главе рассматриваются вопросы, связанные с разрешимостью задачи интерполяции вещественных таблицТп := {(хк,Ук)}к=1

с простыми узлами £ Ё, к = 1,п, посредством вещественнознач-ных н. д. порядка п:

11п(х) = 0'п(х)/Яп(х), Яп{х) = хп + Цп^х71'1 + ... + до- (1)

Рассматриваемая задача интерполяции формулируется следующим образом: по таблице Тп найти многочлен С}п вида (1), для которого

ЯпЫ = Я'п(хк)/Яп(хк) =Ук, к = 1,71. (2)

Эта задача приводит к отысканию унитарного многочлена п, удо-

влетворяющего системе линейных уравнений при к = 1, п:

Я'п(хк) = УкЯпЫ) Ап • q = Вп, ч = (до, • • • , Чп- \)Т, (3)

У\ У\Х 1 - 1 ... У\х\ - {п - '

А-п —

\Уп Упхп ~ 1 • • • УпХпп (п —

Вп = (пхГ1 - У1Х%... пхпп~1 - упх1)т.

Многочлен п, найденный из (3) (если она совместна), не всегда удовлетворяет системе (2). Это связано с тем, что многочлен С}п одновременно с производной могут обращаться в нуль в некоторых узлах хь, и тогда Еп(хк) = оо, а (3) выполняется при любом

Определение. Систему уравнений (3) будем называть задачей обобщенной интерполяции. Многочлен С}п, удовлетворяющий (3), а

также порождаемую им н.д. Яп будем называть решениями задачи обобщенной интерполяции. Функцию Яп будем называть также н.дробью обобщенной интерполяции таблицы Тп.

Определение. Пусть — решение задачи обобщенной интерполяции. Узлы Хк, в которых (¿п(хк) = (^^(хк) = 0, назовем особыми узлами относительно (для) Яп. Все остальные узлы будем называть регулярными. Через бищ(Яп) и reg(Яn) обозначим множества всех особых и регулярных узлов для Яп соответственно.

Возможен случай, когда задача обобщенной интерполяции имеет бесконечно много решений Яп, и один и тот же узел Хк является одновременно особым для одних решений и регулярным для других. Узел Хк € ви^(Яп) является нулем не ниже второго порядка для и простым полюсом для н.д. Яп = €}'п/Яп, в котором ее (натуральный) вычет не меньше 2. Отсюда, в частности, вытекает, что число особых узлов (для каждого фиксированного Яп) не превосходит п/2. По определению имеем Яп{хк) — оо при Хк £ 8^(Яп) и Яп(хк) = Ук при Хк Е reg(Яп) и, значит, задача простой интерполяции (2) тогда и только тогда разрешима, когда разрешима задача обобщенной интерполяции (3) и для одного из ее решений Яп все узлы Хк Е reg(i?n).

Определение. Дополненным графиком дЯп вещественнозначной н.д. Яп = назовем объединение ее обычного графика (по-

строенного в области определения этой н.д.), вертикальных асимптот {(х*, у) : —оо < у < (X)} в тех вещественных полюсах х* н.д. ЯП) где многочлен фп имеет кратный нуль, и бесконечно удаленных точек (ж*, оо) в тех полюсах х*, где многочлен имеет простой нуль.

Дополненный график дЯп решения Яп задачи обобщенной интерполяции содержит все точки (хк,Ук) таблицы Тп. Верно и обратное: если все точки Тп лежат на дополненном графике дЯп некоторой ве-

щественной н.д. Яп, то она является решением (возможно, и неединственным) задачи обобщенной интерполяции.

Таблицу Тп, для которой сМ Ап ф 0 (т.е. существует и единственна н.д. Яп обобщенной интерполяции), будем называть допустимой. Легко показать, что таблица Тп не является допустимой в том и только том случае, когда все ее точки лежат на дополненном графике некоторой н.д. порядка, меньшего чем п. Допустимая таблица может содержать особые узлы. Отметим, что все постоянные таблицы Тп (уь = с ф 0) допустимы, и для них н.д. обобщенной интерполяции всегда существует и единственна.

Пусть Тп — допустимая таблица. Через Я*п+г = V'/V обозначим н.д. порядка п + 1, которая однозначно определяется тем, что она интерполирует (в обобщенном смысле) эту таблицу, а порождающий ее многочлен имеет вид

Рассмотрим расширенную таблицу Тп+\ = Тп и {(хп+1, уп+1)}, где узел хп+1 отличен от узлов таблицы Тп. Сформулируем первый основной результат — геометрический критерий существования и единственности решения задачи обобщенной интерполяции таблицы Тп+\.

Теорема 1.5. Справедливы следующие заключения.

1) Таблица Тп+1 допустима тогда и только тогда, когда точка (хп+1,уп+1) не лежит на дополненном графике дЯп н.д. Яп обобщенной интерполяции таблицы Тп.

2) Существует бесконечно много н.д. Яп+г обобщенной интерполяции таблицы Тп+\ тогда и только тогда, когда {хп+1,уп+\) лежит на пересечении дЯп П дЯ*п+\ дополненных графиков н.д. Яп(х)

иЯ*п+1{х).

3) Задача обобщенной интерполяции таблицы Тп+\ неразрешима тогда и только тогда, когда (гсп+ъ Уп+1) £ 9&п \ дЩь+1-

Сформулируем критерии возникновения особого узла хп+\ при расширении допустимой таблицы Тп до Тп+Возникновение особых узлов хп+\ возможно только при непустом пересечении дополненных графиков дЯп П дЯ*г+1 в точках с абсциссами, отличными от узлов таблицы Тп. При положим

Цх*) := {(х*, у) : -оо < у < оо}, Ег(х*) = дК П Цх*),

Е2(х*) = П Цх*), Е{х*) = Е1{х*) П Е2{х*).

Пусть Е(х*) ф 0. Возможны следующие типы пересечений Е(х*):

1) множества Е\^(х*) и Е{х*) состоят из одной общей точки (х*,у*);

2) Е\{х*) состоит из одной точки (х*,у*), Е2(х*) содержит асимптоту Цх*), и Е{х*) = {(х*, у*)};

3) Е2(х*) состоит из одной точки (х*,у*), Е\(х*) содержит асимптоту Цх*), и Е{х*) =

4) множества Е\(х*) и Е2{х*) совпадают с асимптотой Ь(х*), и Е(х*) = Цх*).

В 1)-3) не исключается случай у* = сю. Все типы пересечений реализуются.

Теорема 1.6 (критерий в геометрической форме). Точка хп+1 Е 81щ(11п+1) для одного из решений Яп+1 задачи обобщенной интерполяции таблицы Тп+1, если и только если пересечение Е{хп+\) непусто и имеет первый, второй или четвертый типы. При этом выполняются следующие свойства.

1) Если {{хп+1 ,Уп+\)} — Е{хп+\) - одноточечное пересечение первого или второго типов (возможно, = оо), то

(г) для конечного уп+\ ф Уп+1 соответствующее решение Дп+1

единственно, не зависит отуп+1, и хп+\ Е (е этом слу-

чае при любом Уп+1 Уп+1 таблица Тп+\ допустима и содержит особый узел хп+{);

(гг) для уп+\ = Ф оо задача обобщенной интерполяции имеет бесконечное множество решений, среди которых находится решение, указанное в п. (г).

2) Если пересечение Е(хп+1) имеет четвертый тип, то при любом Уп+1 задача обобщенной интерполяции имеет бесконечно много решений Яп+1 и для каждого из них хп+\ Е 81щ(1{п+1).

Теорема 1.7 (критерий в алгебраической форме). Для того, чтобы в интерполяционной таблице Тп+\ узел хп+\ был особым для одного из решений Лп+1 задачи обобщенной интерполяции необходима и достаточна совместность следующей системы п + 2 уравнений относительно п + 1 неизвестных

(

\

У\ У\х\ ~ 1

Уп Уп%п 1

1 хп+1

О 1

П 71, — 1 ^

У\х'{ — пх{

/1 I /уТЬ _ /У) грП 1

Уп-^п п

X

п+1

ПХ,

71 1 П + 1

( \

Яо Чг

Яп-1 Яп у

^ (п + ^ - У1х^

(п + 1)х1 - упх1+1

-х

п+1

\

'п+1

"(п+ 1К+1

/

Приведем алгебраическое уравнение для вычисления особых узлов.

Теорема 1.8. Пусть и = V = Я п+1- Тогда все особые узлы хп+1 являются корнями алгебраического уравнения

и'{хп+1)У(хп+1) - У\хп+1)и{хп+1) = 0.

(4)

Обратно, если хп+\ — корень уравнения (4), то он является особым узлом в одном из следующих случаев (все значения вычислены в точке хп+\) :

1. ии' ± 0;

2.и ф О, V' = V = 0;

3.и' ^ 0, V — V = 0; I V = и = У = и' = 0.

Приведем заключительный результат первой главы о структуре множества особых узлов. Таблицу интерполяции Т будем называть полной для заданной допустимой таблицы Тп, если она получается добавлением к Тп всех элементов (хк,Ук), являющихся точками пересечения дополненных графиков д11п и при этом в случае пересечениях четвертого типа конечное значение у^ фиксируется произвольно. Полная таблица может содержать кроме Тп несколько допустимых подтаблиц размера п; если они существуют, то обозначим их через тп = 1,..., Т^ = Тп.

Теорема 1.9. В таблице полученной расширением любой

допустимой подтаблицы тЬт\ особые узлы могут возникать лишь в узлах Т.

Во второй главе подробно рассмотрена задача обобщенной интерполяции вещественных констант с ^ 0:

Яп{х) - сС}п{х) = -сПп(ж), где Пп(х) := (х- хк). (5)

•*■ л-к=1

Здесь мы рассматриваем, вообще говоря, кратную интерполяцию с комплексными многочленами и константами с. Несложно показать, что многочлен

Яп{х) = С~п (п\ + спип(х) + }(*))

является (единственным) решением задачи (5). Сформулируем критерий возникновения особых узлов. Введем наборы чисел Zm = {xj —

%т\1= 1, тп = 1,п, и через а^Ят) обозначим элементарные симметри-

ч

ческие многочлены:

— / „ . . ^ (^71 хт) ' ' ' {х1к ~ хт)-, к — 1, П.

'1<П<-<3к<п

Теорема 2.2. Среди узлов Xk имеются особые тогда и только тогда, когда

п 71—1 771=1 к=О

Отсюда, в частности, следует, что для каждого набора узлов xj~ существует (комплексная) константа с, для которой задача интерполяции неразрешима. В частном случае интерполяции по двум т-кратным узлам х\, х^ (2т = п) из теоремы б получается утверждение: среди узлов х\ и х<± имеется особый тогда и только тогда, когда

Сформулируем основной результат второй главы об оценке погрешности интерполяции (обычной, не обобщенной) вещественных констант по чебышевской системе узлов.

Теорема 2.4. При интерполяции на[— 1,1] константы с Е (О, по чебышевской системе узлов Xk = cos {Щ^к), к = 1,п, имеем

с 1 — с

Цс-Д.Цсид,^^-^, п> 2. (6)

Условие на величину константы с в задаче об ее аппроксимации вовсе опустить нельзя, поскольку из результата А.Дж. Макинтайра и У. X. Дж. Фукса [22] следует, что для любой н.д. Rn(x) на отрезке [—1,1] всегда найдется точка xq, в которой |Яп(ж0)| < An, где А — некоторая абсолютная постоянная. Значит, константы с > An заведомо не могут хорошо приближаться на [—1,1] н.дробями. Оценка (6) переносится на случай произвольного отрезка с помощью замены у = ах + ¡3. При этом следует учитывать, что

IIе- К/pn\\[-a+0,a+0l = О^1 11« С - Q'n/Qn ||[-1,1],

где Рп(у) — Qn{x). В частности, при увеличении длины отрезка аппроксимации в а раз константы уменьшаются в а раз.

Для комплексных констант построена интерполяционная н.д. Rn(z) по узлам Zk в корнях п-й степени из единицы, Zk = к = 1,п.

Приведем явное выражение порождающего многочлена:

<ш = - l + c-nl^c'g.

Остаточный член имеет вид:

Rn{z)-c = c(l-zn)Q-\z).

В круге \z\ < |с|_11п2 при условии п! (2 — > 2\с\п справедлива оценка погрешности:

И — 7П\ Irl"

IRJz) -с\< |c[n+1 „ 1 , „ , ' , , х + |z\n).

1 w 1-11 n!(2 - eNW) - \c\n n\ K 1 1 ;

В третьей главе рассмотрены вопросы существования и единственности н.д. наилучшего приближения констант, взаимосвязи чебышев-ского альтернанса и оптимальности наилучшего приближения на отрезке К := [—1,1]. Пусть / — заданная на К ограниченная функция. Будем искать н.д. R*n{z) = R*n{K\ /; z) наилучшего равномерного приближения функции / в виде суммы Хл!=i(z ~ 60 "'S считая, что некоторые полюсы могут быть бесконечно удаленными точками, а соответствующие слагаемые в сумме — тождественными нулями. В частности, дробь R*n может содержать меньше чем п отличных от нуля слагаемых и даже быть тождественным нулем. Введем обозначение наименьшего равномерного уклонения функции / от н.д. Rn степени не выше п:

Kn(K,f) := inf||f-Rn\\K,

Rn

где ||/ - Rn\\K := supzeK\f(z) - Rn{z)\.

Теорема 3.1. При каждом n G N существует н.д. R^iz) наилучшего приближения функции f на К : 1Zn(K,f) = ||/ — R^Wk-

13

При этом расстояние от полюсов н.д. ЩХ2) до К ограничено снизу некоторой величиной А > 07 зависящей лишь от К, п и ||/||#-

По аналогии с полиномиальным приближением возникают следующие вопросы.

(a) Для любой ли вещественнозначной непрерывной на К функции / н.д. наилучшего приближения В*п единственна?

(b) Для разности р*{х) — /;х) — /(х) существует ли че-бышёвский альтернанс, состоящий изп+1 точек, то есть существуют ли точки € К, а\ < ... < ап+1, для которых р*(ак) = ±(—1)к\\р*\\к,

к = 1,п+1?

Отрицательный ответ на оба вопроса дает следующее

Утверждение 3.1. Для функции /(х) = х + 1 существует бесконечно много н.д. второй степени наилучшего приближения, например,

2т -I- А

ВГ(Х;х) = 2 * ^ где Ае[1;А*], хг + ЛХ + 1

с определенным А* ~ 1.62. При этом /) = 1.

Только в случае А = А* для разности р*{А;х) := Я*(А;х) — f(x) имеет место чебышёвский альтернанс, состоящий из трех точек, в остальных же случаях нет вообще никакого альтернанса, т.е. для любых двух точек а\, а2 (—1 < < а^ < 1), равенства р*(Х;ак) = ±(—1)^ к = 1,2, невозможны.

Вместе с тем для положительных констант с условием 2 — е2с > О н.д. наилучшего приближения всегда единственна и существует альтернанс из п-\- 1 точек. Сформулируем соответствующие результаты.

Теорема 3.2. При достаточно большихп > щ(с) н.д. Я*п{К] с; х) наилучшего приближения константы с на К имеет степень, равную в точности п. Эта н.д. является интерполяционной дробью, построенной по некоторому набору простых узлов, лежащих на К.

При этом существуют точки аь Е К, а\ < ... < ап+\, образующие чебышёвский алътернанс для разности р*(х) = Я*п{К\ с; х) — с:

р*(ак) = ±(-1)*\\р\\к, Л = 1,п + 1.

Теорема 3.3. При достаточно большихп > щ(с) н.д. ^{К; с; х наилучшего равномерного приближения константы с на К единственна.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Кондакова, Елена Николаевна, 2012 год

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Chui C.K. On approximation in the Bers spaces // Proc. Amer. Math. Soc. - 1973. - V. 40.- P. 438-442.

2. Chui C. K. , Shen X. C. Order of approximation by electrostatic fields due to electrons // Constr. Approx. - 1985. — V.l. — P. 121-135.

3. Горин E. А. Частично гипоэллиитические дифференциальные уравнения в частных производных с постоянными коэффициентами // Сиб. матем. журн. - 1962. - Т. 3, № 5. - С. 506-508.

4. Николаев E.V. Геометрическое свойство корней многочленов // Вестн. МГУ. Сер. 1: Математика, механика. - 1965. — № 5. — С. 23-26.

5. Гелъфонд А. О. Об оценке мнимых частей корней многочленов с ограниченными производными от логарифмов на действительной оси // Матем.сб. - 1966. - Т. 71, вып. ИЗ. - С. 289-296.

6. Кацнелъсон В.Э. О некоторых операторах, действующих в пространствах, порожденных функциями —// Теория функций, функ-

Z Zk

циональный анализ и их приложения. — 1967. — Вып.4. — С. 58-66.

7. Данченко В. И. Оценки расстояний от полюсов логарифмических производных многочленов до прямых и окружностей // Матем. сб. - 1994. - Т. 185, № 8. - С. 63-80.

8. Данченко В. И., Данченко Д. Я. О равномерном приближении логарифмическими производными многочленов // Теория функций, ее приложения и смежные вопросы: материалы шк.-конференции, посвященной 130-летию со дня рождения Д. Ф. Егорова. — Казань, 1999. - С. 74-77.

9. Данченко В. И., Данченко Д. Я. О приближении наипростейшими дробями // Матем. заметки. - 2001. — Т. 70, № 4. — С. 553-559.

10. Косухин О. Н. Об аппроксимативных свойствах наипростейших дробей // Вестн. МГУ. Сер. 1: Математика, механика. — 2001. —

т. - С. 54-58.

11. Протасов В. Ю. Приближения наипростейшими дробями и преобразование Гильберт // Изв. РАН. Сер. матем. — 2009. — Т. 73, № 2.

- С. 123-140.

12. Данченко В. И. О сходимости наипростейших дробей в Lp(R) // Матем. сб. - 2010,- Т. 201, № 7. - С. 53-66.

13. Бородин П. А., Косухин О.Н. О приближении наипростейшими дробями на действительной оси // Вестн. МГУ. Сер. 1: Математика, механика. — 2005. — № 1. — С. 3-8.

14. Каюмов И. Р. Сходимость рядов наипростейших дробей в Ьр(Ж) // Матем. сб. - 2011. - Т. 202, № 10. - С. 87-98.

15. Danchenko V. I., Chunaev P. V. Approximation by simple partial fractions and their generalizations // Journal of Mathematical Sciences.

- 2011. - Vol. 176, № 6. - P. 844-859.

16. Рамазанов А. К. Приближение наипростейшими рациональными дробями в пространстве Харди H2{D) // Теория функций, ее приложения и смежные вопросы: материалы Казан, междунар. шк,-конференции. — Казань, 2003. — С. 177-178.

17. Новак Я. В. О наилучшем локальном приближении наипростейшими дробями // Матем. заметки. — 2008. — Т. 84, №. 6. — С. 882-887.

18. Komarov М.А. Uniqueness of a simple partial fraction of best approximation // Journal of Mathematical Sciences. — 2011. — Vol. 175, № 3. - pp. 284-308.

19. Данченко В. П., Кондакова Е. Н. Чебышевский альтернанс при аппроксимации констант наипростейшими дробями // Тр. МИАН. — 2010. - Т. 270. - С. 86-96.

20. Фрянцев А. В. О численной аппроксимации дифференциаль-

ных полиномов // Изв. Саратов, ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. - 2007. - Т. 7, № 2. - С. 39-43!

21. Чунаев П. В. Об одном нетрадиционном методе аппроксимации // Дифференциальные уравнения и динамические системы: Сб. статей. Тр. МИАН. - 2010. - Т. 270. - С. 281-287.

22. Macintyre A. J., Fuchs W.H.J. Iniqualities for the logarithmic derivatives of a polynomial //J. London Math. Soc. — 1940. — V. 15. — P. 162-168.

23. Демидович Б. П., Марон И. А. Основы вычислительной математики. — М.: Физматгиз, 1963. — 660 с.

24. Курош А. Г. Курс высшей алгебры. — СПб.: Лань, 2004. — 432 с.

25. Прасолов В. В. Многочлены. — М.:Физматлит, 2002. — 453 с.

26. Фихтенгольц Г. М. Основы математического анализа. — СПб., М., Краснодар: Лань, 2005 г.

27. Кондакова Е. Н. Об интерполяции наипростейшими дробями // Между нар. конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам. — Суздаль, 2008. — С. 138-139.

28. Данченко В. П., Кондакова Е. Н. Об интерполяции наипростейшими дробями // Современные методы теории краевых задач: материалы Воронеж, весен, матем. шк. "Понтрягинские чтения - XX". — Воронеж, 2009. - С. 46-47.

29. Кондакова Е. П. Интерполяция наипростейшими дробями // Изв. Саратов, ун-та. Нов. сер. Сер. Математика, механика, информатика. - 2009. - Т. 9, № 2. - С. 30-37.

30. Данченко В.П., КондаковаЕ. Н. Об интерполяции наипростейшими дробями // Современные проблемы теории функций и их приложения: материалы 15-й зимней школы, посвященной 125-летию со дня рождения В. В. Голубева и 100-летию СГУ. — Саратов, 2010. —

С. 63-64.

31. Danchenko V. I., Kondakova E. N. Chebyshev's Alternance in the Approximation of Constants by Simple Partial Fractions // Proceeding of the Steklov Institute of Mathematics. - 2010. - V. 270. - P. 80-90.

32. Кондакова E. H. Особые случаи интерполяции посредством наипростейших дробей // Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам. — Суздаль, 2010. — С. 105-106.

33. Кондакова E. Н. Особые узлы при интерполяции наипростейшими дробями // Теория функций, ее приложения и смежные вопросы: материалы Десятой междунар. Казан, лет. науч. шк.-конференции.

- Казань, 2011. - С. 202-203.

34. Данченко В. И., Кондакова E. Н. Об особых узлах интерполяции наипростейшими дробями // Современные проблемы теории функций и их приложения: материалы 16-й зим. шк. — Саратов, 2012.

- С. 61-62.

35. Данченко В. И., Кондакова E. Н. Критерий возникновения особых узлов в задаче интерполяции наипростейшими дробями// Современные проблемы теории функций и их приложения: материалы 16-й зим. шк. — Саратов, 2012. — С. 62-63.