Аппроксимация наипростейшими дробями и их модификациями тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Чунаев, Петр Владимирович

• Чунаев, Петр Владимирович
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Чунаев, Петр Владимирович

Содержание

Введение

1 Интерполяция наипростейшими дробями Паде и /г-суммами

1.1 Задача кратной интерполяции /¿-суммами. Формулировка основных результатов

1.2 Оценки корней многочлена с ограничениями на их степенные суммы

1.3 Доказательства основных результатов об интерполяции /¿-суммами

1.4 Интеграл Эрмита как аппарат кратной интерполяции наипростейшими дробями

1.5 Основная теорема о построении наипростейших дробей Паде

с помощью интеграла Эрмита

1.6 Формула для остаточного члена интерполяции наипростейшими дробями Паде

1.7 Оценка погрешности интерполяции аналитических функций, модули тейлоровских коэффициентов которых мажорируются некоторой геометрической прогрессией

1.8 Примеры построения наипростейших дробей Паде и вычисления остаточного члена

2 Экстраполяция /г-суммами

2.1 Многочлен специального вида, порождающий узлы экстраполяции

2.2 Задача экстраполяции /г-суммами. Простейшая оценка погрешности

2.3 О сбалансированном выборе параметров экстраполяции

2.4 Основной результат об экстраполяции: формула остаточного

члена и оценка погрешности

2.5 Некоторые примечания к основной теореме

3 Приложения методов аппроксимации, связанных

с наипростейшими дробями

3.1 Численное дифференцирование посредством /г-сумм

3.2 Аппроксимация посредством отношений разностей наипростейших дробей

3.3 Приближенное вычисление значений многочленов

3.4 Примеры приближенного вычисления

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Аппроксимация наипростейшими дробями и их модификациями»

Введение

Работа посвящена вопросам интерполяции и аппроксимации наипростейшими дробями, т.е. рациональными функциями вида

п 1

ро(г) = 0; рп(г) = рп({чЬ = ^ г, гк€ С, пе Н, (0.1)

к=1 2 *к

и некоторыми их модификациями. Наипростейшая дробь порядка п представляет собой логарифмическую производную некоторого комплексного многочлена Рп(г) = - гк), т.е.

Ш = (ЬпП(* ~ **)) = (ЬпР„М)' - Щ, ** 6 с.

Внимание к наипростейшим дробям было обращено работами А. Макин-тайра и У. Фукса [45], А. А. Гончара [7], Е. П. Долженко [18], посвященными некоторым экстремальным задачам теории рациональных приближений. По-видимому, впервые задачей приближения посредством наипростейших дробей занимался Дж. Кореваар. В работе [43] он поставил вопрос о возможности равномерного приближения аналитических функций наипростейшими дробями и получил положительное решение при некоторых условиях на расположение полюсов. Точнее, им доказано следующее утверждение: если / — функция, аналитическая в ограниченной жордановой области Б с границей дБ, то существуют наипростейшие дроби рп с полюсами € дБ, к = 1,77,, которые при п —У оо равномерно сходятся к / на каждом компактном подмножестве Б. Одна из мотивировок такой аппроксимации заключена в простом и важном физическом смысле наипростейших дробей: они задают (с точностью до постоянных множителей и операции комплексного сопряжения) плоские поля различной природы в области Б, создаваемые равновеликими источниками,

расположенными в точках г^. Следовательно, задачу аппроксимации посредством наипростейших дробей можно интерпретировать как определение расположения источников гк, приближенно создающих заранее заданное поле [44]. Конструкция наипростейших дробей, предложенная Дж. Коревааром, затем исследовалась Ч. Чуй и К. Шеном [38, 39] для аппроксимации аналитических функций в интегральных пространствах Бергмана-Берса.

Дальнейшие исследования аппроксимативных свойств наипростейших дробей были инициированы известной задачей Е. А. Горина [9] о наименьшем уклонении наипростейших дробей от нуля на действительной оси М. при определенных ограничениях на полюсы хи- В разное время ею занимались Е. А. Горин [9], Е. Г. Николаев [30], А. О. Гельфонд [6], В. Э. Кацнельсон [19] и др. Она была полностью решена В. И. Данченко [10], который доказал, что указанные наименьшие уклонения имеют порядок при условии, что расстояние от полюсов наипростейших дробей до М не превосходит единицы.

В 1999 г. для наипростейших дробей со свободными полюсами был установлен следующий аналог известной теоремы С. Н. Мергеляна о полиномиальных аппроксимациях: любую функцию, непрерывную на компакте К С С со связным дополнением и аналитическую в его внутренних точках, моэю-но с любой точностью равномерно приблизить на К посредством наипростейших дробей [14]. Затем было показано, что несмотря на существенно более простую конструкцию наипростейших дробей по сравнению с многочленами, наименьшие уклонения наипростейших дробей и многочленов от функций широкого класса имеют одинаковые порядки малости [15, 25]. Это позволило получить для наипростейших дробей аналоги классических полиномиальных теорем Д. Джексона, С. Н. Бернштейна, А. Зигмунда, В. К. Дзядыка, Дж. Л. Уолша

[25]. Были предприняты попытки получить аналоги теоремы П. Л. Чебыше-ва об альтернансе, и это удалось сделать в случае аппроксимации постоянных функций [17, 22]. Однако в общем случае был обнаружен ряд неординарных аппроксимативных свойств н. д., не присущих полиномам. Оказалось, что, вообще говоря, не существует прямой связи между альтернансом и наилучшим приближением, н.д. наилучшего приближения не обязана быть единственной [16, 42]. О некоторых других особенностях аппроксимаций посредством н. д. говорится ниже.

В недавних работах О. Н. Косухина и П. А. Бородина [3], В. Ю. Протасова [32], В. И. Данченко [13], И. Р. Каюмова [20] изучалось приближение наипростейшими дробями на неограниченных множествах: прямых, лучах, полуплоскостях. Установлено [3], например, что каждая непрерывная на действительной оси М функция с нулевым значением на бесконечности в равномерной метрике с любой точностью приближается наипростейшими дробями; причем аналогичное утверждение становиться неверным, если вместо прямой рассматривать неразвернутый угол. В случае Ьр = ЬР(Ш) с конечными р > 1 класс аппроксимируемых наипростейшими дробями функций резко сужается [32]. Он содержит те и только те функции /, которые являются аналитическими на М. и обладают одним из следующих равносильных свойств:

1) функция / продолжается в С до мероморфной и представляется в виде ряда f(z) = ~ гк £ С) сходящегося к / в Ьр. При этом показатель

сходимости последовательности {г^} удовлетворяет неравенству

2) функция / является логарифмической производной некоторой целой

функции F порядка не выше 1 — 1/р, т.е. fit) — F'(t)/F(t)} tel.

Это обстоятельство способствовало возникновению теории рядов наипростейших дробей [13, 20, 21, 32].

В работах В. И. и Д. Я. Данченко [15], О. Н. Косухина [26] и А. К. Ра-мазанова [34] разработаны методы n-кратной интерполяции наипростейшими дробями, получены соответствующие теоремы существования и единственности, найдены оценки скорости сходимости интерполяционных процессов. Рассматривалась и задача простой интерполяции, т.е. с простыми узлами, которая, как оказалось, имеет ряд существенных особенностей по сравнению с п-кратной и полиномиальной. Например, как показали Я. В. Новак [31], М. А. Комаров [40, 41, 42], Е. Н. Кондакова и др. [16, 23], такая задача не всегда разрешима, а если разрешима, то не обязательно единственным образом. В связи с этим была разработана теория обобщенной интерполяции таблиц, допускающих бесконечно удаленные элементы, которая охватывает и обычную интерполяцию. В рамках этой теории в терминах особых узлов получена единообразная классификация структуры таблиц, допускающих обычную или обобщенную интерполяцию [17, 24].

Полезной модификацией наипростейших дробей при интерполяции и аппроксимации аналитических функций являются h-суммы вида

п

Hn{z) = Hn(h, {Afc}; z) = J^XkhiXbz), z, Хк e С, n E N, (0.2)

fc=i

где h — аналитическая базисная функция [12] (при фиксированной базисной функции процедура аппроксимации аналитической функции / состоит в правильном выборе чисел Ak = п)). Отметим, что любая наипростейшая дробь представляется /i-суммой при специальном выборе базисной функции.

Аппарат /г-сумм неоднократно применялся [36, 37] в численном анализе. Применялись и специальные рациональные функции, представляющие собой отношения разностей наипростейших дробей. При незначительном усложнении конструкции по сравнению с наипростейшими дробями такие функции обладают значительно более сильными аппроксимативными свойствами [11].

Цель работы — разработка новых методов аппроксимации, интерполяции и экстраполяции посредством наипростейших дробей, /¿-сумм и отношений разностей наипростейших дробей.

Диссертация включает в себя введение, три главы, разделенные на параграфы, заключение и список литературы. Общий объем диссертации — 94 страницы; список литературы содержит 56 библиографических ссылок.

Во введении обосновывается актуальность, приводится история рассматриваемых вопросов и кратко излагаются основные результаты диссертации.

Глава 1 посвящена вопросам п-кратной интерполяции (и аппроксимации) Паде с узлом г = 0 аналитических в окрестности этого узла функций / посредством /¿-сумм вида (0.2). Всюду в первой главе для удобства считаем, что /г — фиксированная базисная функция, аналитическая в единичном круге \г\ < 1. Считаем также, что все эти функции задаются рядами Маклорена:

Отметим, что маклореновское разложение соответствующей /¿-суммы (0.2) сходится в круге \х\ < пищ \Xk\~1. Как обычно, п-кратная интерполяция означает, что

оо

(0.3)

к=0

Ц(г)-Нп(г)\ = 0(\г\п), г 0.

Сформулирует основные результаты первой главы.

Пусть /гш_1 Ф 0, если /то_1 ф 0; введем числа 5ш(/г, /) по правилу:

/) = 0<= /т-1 = о, /) = ^ /то_1 ^ 0, т € N.

Лта-1

Теорема 1.2 [46]. Пусть = 5ш(/г,/) п |зт| ^ ат п^ж всех натуральных т и некотором а > 0. Пусть при каждом фиксированном п числа А& = А ¿(/г, /, п) в И-сумме Нп являются решением алгебраического уравнения

Ап - сгхА71"1 + сг2Ап_2 + ... + (-1)п<гп = 0, (0.4)

где коэффициенты а к находятся по рекуррентным формулам {Ньютона) О"! = 51, (Тт = (-1)т+1ггг1 + , т = %п. (0.5)

Тогда справедливы следующие заключения.

(а) Суммы Нп осуществляют п-кратную интерполяцию функции f в узле г —

(б) Функция / определена и аполитична в круге \х\ < а-1, а суммы Нп определены и аналитичны в кругах \г\ < (1 — еп)а~1, где еп — положительные числа, удовлетворяющие соотношениям еп е (0,1) и

е2п - (1 - еп)п+1 = 0, £п~2п-1Ып, п-> оо. (0.6)

(с) Имеет место равномерная сходимость Нп(г) п оо; в кру-

ге \г\ ^ (1 — 5) а-1 прм любом фиксированном сколь угодно малом 5 € (0,1). Кроме того, для любого в Е (0,1) при достаточно больших п ^ щ(а,к,6,в) справедлива оценка

|/(г) - Я„й| ^ в-15~\1 - И < (1 - 8)а-\ (0.7)

Теорема 1.3 [46]. В условиях теоремы 1.2 радиус а~1 круга сходимости Нп(г) к f(z) не может быть увеличен, а в оценке (0.7) нельзя заменить 1—65 числом, меньшим 1 — 5 (при фиксированном множителе 0~г5~1).

Ранее результат, аналогичный теореме 1.2, был установлен в работе [12], где, однако, не рассматривался вопрос о точности радиуса круга сходимости Нп(г) к /(г) и скорости этой сходимости, и вместо (0.6) и (0.7) были указаны весьма грубые оценки, носящие скорее качественный характер.

Доказательства теорем 1.2 и 1.3 основаны на следующем вспомогательном утверждении, представляющем и самостоятельный интерес.

Лемма 1.4 [46]. Пусть для комплексных чисел их степенные суммы

удовлетворяют неравенствам ¡SVuf ^ &т> т = 1,п, с некоторым а > 0. Тогда

где еп определяется как в (0.6).

Приведен пример, показывающий, что утверждение леммы 1.4 нельзя значительно уточнить в следующем смысле (ср. с (0.6)): найдется набор чисел Ai,..., Ап такой, что их степенные суммы |iL?m| ^ ат, т = 1, п, и |Ai| = при достаточно больших п ^ щ.

В следующей части первой главы дано построение интерполяционной н. д. в виде интеграла Эрмита. Такой подход позволяет получить явный вид остаточного члена интерполяции и простую его оценку. Н. д. ри (порядка 0 ^ и ^ п) интерполяции с n-кратным узлом z = 0 функции /, аналитической в некоторой

п

(0.8)

|А/с| < -г——, к = 1,п,

его окрестности, будем называть н. д. Паде; она определяется единственным образом из соотношения

Ш-р„(г)\ = 0(\г\п), г-*0. (0.9)

Пусть 7 — спрямляемый жорданов контур, содержащий внутри себя точку % — 0, и пусть функция / аналитична на замыкании области £(7), ограниченной контуром 7. Кроме того, будем предполагать, что хотя бы один из

коэффициентов /т, т = 0,п — 1, разложения (0.3) отличен от нуля. Н. д. Паде ищется в виде интеграла Эрмита

ЛИ = ш ю »е «(7).

где

п и

к=1

а числа V и ф 0 требуется определить. Эта задача приводит к нелинейной системе уравнений для степенных сумм (см. обозначения (0.3) и (0.8)):

1, т = 1,п. Известно, что такая система всегда имеет и притом единственное решение Ах,..., Ап, причем в силу предположения на коэффициенты /т хотя бы одна из его компонент отлична от нуля. Обозначим число таких отличных от нуля компонент А& через ц — /л(/), 1 ^ ^ ^ п, а сами эти компоненты — через Лх,..., А^ (некоторые из них могут совпадать). Нами доказано, что интеграл «7П является н. д. Паде (удовлетворяющей условию (0.9)), тогда и только тогда, когда у = ¡1, а нули г^ многочлена являются решением системы (см. (0.3))

= -/т-Ь 771 = 1,71, 1 < =/¿(/) 71.

к=1

При этом «/п представляется в виде логарифмической производной многочлена С}. Этот критерий (а также способ вычисления можно записать в виде следующей теоремы. Введем алгебраическое уравнение

Тп(Л) = Ап - пЛ"-1 + т2Л + ... + (-1)4, = О, коэффициенты которого определяются по рекуррентным формулам П = -/о, тт = (-1 )тт~1 + !т-э-лТ^ 1 т =

Теорема 1.4 [47]. Интеграл Эрмита Зп является н. д. Паде п-крат-ной интерполяции функции / для единственного многочлена вида (0.10),

имеющего корни Zk = \k , где Xk, к = 1,/л; — отличные от пуля корни многочлена Тп. При этом

м-m и Q(z) = ©■ ((Ш)

Как уже отмечалось, формула Эрмита позволяет получить остаточный член в достаточно простой форме; справедлива

Теорема 1.5 [47]. Остаточный член п-кратной интерполяции имеет

вид

1 ОО ß

m - Л(/, Q\z) = --Г Vzk V qmfk-m, И ^ min ICI, (0.12)

Q(z) fn m^o C£7

где многочлен Q определяется по формуле (0.11).

Формула (0.12) в ряде случаев позволяет оценивать остаточный член интерполяции с помощью весьма простого анализа. Приведем одну такую оценку в случае, когда коэффициенты интерполируемой функции (0.3) по модулю ограничены членами некоторой геометрической прогрессии.

Теорема 1.6 [47]. Если |/т_1| ^ ат для натуральных т и некоторого а > 0, то при \г\ < г < (1 — имеем

1 _ п\ ■У гу*ТЬ \ 1 _ С _ пг I 'Г —

1 — а\г\ гп \1 — £п — аг где числа еп определяются как в (0.6).

Вторая глава посвящена экстраполяции аналитических функций /г, посредством их /г-сумм вида (0.2). Здесь же проведено сравнение метода /г-сумм с классическими полиномиальными методами.

Пусть а > 1 и Ах,..., Ап, п ^ 2, — набор комплексных чисел, для которых элементарные симметрические многочлены

От = <7т(Ль . . . , А„) = ¿т, Ш=1,П,

удовлетворяют равенствам

(л т~1 _

<71 = 1, ^ = \ П(«*-1). т = 2, п. (0.13)

гп\

к=1

Нами показано, что для таких чисел и их степенных сумм (0.8) имеем:

шах \Хк\ < а - (а - 1)п-1, £т = т = Т~п. (0.14)

к—1,п

Опишем идею экстраполяции. Пусть Н — функция, аналитическая в некоторой области Д. = {г : \х\ < г}, 0 < г ^ оо. Через Йп обозначим /¿-сумму с числами ^к = Аа), удовлетворяющими равенствам (0.13), взяв в качестве базисной функцию = Н{х/а). Оказывается (см. теорему 2.1 во второй главе), что такие суммы при возрастании п аппроксимирует функцию /г сколь угодно точно на компактных подмножествах области £?Г) причем, как первоначально было установлено в работе [47],

оо

ад - Нп{г)| ^ 6п(!I, а; г) = (1 + ап) ^ \Нт\\г\т, г е Д.. (0.15)

771=71

Из оценки в (0.14) вытекает, что модули аргументов слагаемых в сумме Нп строго меньше точнее

< рп = 1-—- < 1.

ап

Тем самым получается экстраполяционная формула ¡г(г) « Нп{г) = Нп{г/а) в том смысле, что значения функции к в точках * выражаются через ее значения в точках \kzfa с меньшими модулями. Указанный процесс экстраполяции можно повторить, т.е. провести рекурсивный процесс восстановления значений функции Н по уже восстановленным ее значениям. Тогда получится //-кратная /¿-сумма вида

С увеличением кратности экстраполяции модули аргументов слагаемых в таких суммах убывают как геометрическая прогрессия ¡3%\г\. С использованием оценки (0.15) был получен первый результат о сходимости ^-кратной экстраполяции. Было показано, что при любом Го £ (0,1) и для любой целой функции /г конечного порядка существует последовательность {/¿п} такая, что суммы Н^п\г) равномерно сходятся к К{х) на окружности \г\ — 1, причем все узлы экстраполяции лежат в круге < г о < 1. Другими словами, любая целая функция конечного порядка может быть сколь угодно точно экстраполирована на единичную окружность по ее значениям из круга радиуса г о < 1.

Основная теорема второй главы существенно улучшает оценку (0.15) и распространяет последний результат о сходимости кратной экстраполяции с целых функций на произвольные аналитические. Приведем ее формулировку.

Теорема 2.3 [48]. Остаточный член ¡1-кратной экстраполяции имеет

вид

00

I I / 1 1 «л I 1 \ \

г е Д.,

\ \ а"- / /

Ш=П 4 4 ' '

и справедлива (не зависящая от кратности /л) оценка погрешности

ОД - Я« (,) = |>га Л - (^У)

гп=п ^ ^ ' '

вд-я^м г е д. (о.1б)

т=п

Если функция Н аполитична в некотором круге Иг с г > 1, 0 < го < 1, а числа ¡1П удовлетворяют равенствам

а — Г

1пг0 • 1П"1 ( 1 -

ап

г(и-п).

+ 1 (где [•] означает целую часть),

то при п оо суммы Нп(г) равномерно сходятся к Н(г) на окружности г\ — 1, причем все узлы экстраполяции лежат в круге \г\ < Го < 1.

Рассматриваемый метод обладает некоторыми преимуществами перед полиномиальной экстраполяцией. Например, естественным образом снимается проблема выбора узлов экстраполяции. Кроме того, используемый аппарат обладает важным свойством локализации узлов: при увеличении кратности экстраполяции с фиксированным п со скоростью геометрической прогрессии уменьшается радиус круга, в котором лежат все узлы экстраполяции. При этом относительная погрешность экстраполяционной формулы почти не возрастает (см. теорему 2.3).

Отметим еще, что во второй главе приводится пример, когда метод /¿-сумм дает более точные результаты, чем традиционный метод экстраполяции многочленами Лагранжа.

В третьей главе рассматриваются некоторые применения в численном анализе /¿-сумм и специальных рациональных функций, представляющих собой

отношения разностей наипростейших дробей:

9(г) = РпМ -Рп^) г е с (0>17)

РпАч ~ РпЛг)

Следующий результат о численном дифференцировании получен теми же методами, что и теорема 1.2 первой главы.

Теорема 3.1 [46]. Пусть функция /г аналитична в круге < 1. Тогда

й п

« (-1)^! ВД + А3^^к,РНХк,рг), з е М, (0.18)

р=1 /с=1

где А3ф = (—1 )в+р (С|_р)2 (й — р)! и для каждого фиксированного р числа Х^р вычисляются по формулам (0.4) и (0.5) при = вк,р — (к -\-р — 1)\/(к — 1)\, к = 1,п. Формула (0.18) применима в круге \г\ < аГ1, где а -- положительное число, удовлетворяющее неравенствам ак ^ в^з при всех натуральных к. При тех же, что и в теореме 1.2, значениях п, в, 5 абсолютная погрешность формулы (0.18) в круге < (1 — 5) а~1 не больше в в~15~1{ 1 — 95)п.

Дроби вида (0.17) используются нами для приближенного вычисления многочленов и рациональных функций общего вида. Пусть = где Р и С} — комплексные многочлены. При фиксированном натуральном р положим

д/ р N

в{р'П]г)== Н>(г)/Е(гУ

где

Ф) = ЕтУй = Ш. = £ ¿Р*(г)СГ *(*)■

к=о ' ч \ ; к=0 -

Очевидно, дроби в(р, Д; г) имеют вид (0.17). Известно, что рациональная функция И достаточно быстро аппроксимируется такими дробями [11]:

|д(р, Я; г) - ^ 2е1ВД1 ^^

во всех точках г, где 5|/2(,г)| ^ р. На это неравенство опирается следующее утверждение о вычислении больших значений многочленов.

Теорема 3.3 [47]. Пусть задан отличный от константы многочлен Я^) и Со(2;) = ХХ=о Р ^ 1- Тогда во всех точках г, в которых

|^ 5, имеем

-р9{А,т%)1<ш- ™0(г) = (а19)

где |ф)| < 1/(2|дМ|рр\) < 1/(2 • 5Рр\).

Отметим, что при вычислении н. д. в (0.19) операнды имеют тот же порядок, что и аргументы. При непосредственном же вычислении многочленов, например, по схеме Горнера, операнды, вообще говоря, имеют порядок \г\п, что при увеличении \г\ может приводить к определенным вычислительным неудобствам и быстрому росту абсолютной погрешности. В третьей главе приводятся результаты численных экспериментов при фиксированном количестве знаков после запятой, когда приближение (0.19) дает более точные результаты, чем схема Горнера.

В заключении кратко формулируются полученные результаты и приводятся сведения об их апробации.

1 Интерполяция наипростейшими дробями и /г-суммами

Первая глава посвящена вопросам п-кратной интерполяции (и аппроксимации) Паде с узлом х — 0 аналитических в окрестности этого узла функций /. В первой части главы указанная интерполяция осуществляется посредством к-сумм вида

п

я„00 = пем, (0.2)

к= 1

где И — фиксированная базисная функция, аналитическая в единичном круге

\х\ < 1, а аппроксимация проводится за счет подбора чисел А& = А/,п).

Во второй части в качестве аппарата интерполяции выступают наипростейшие

дроби, т.е. рациональные функции вида

п 1

Ро(г) = 0, рп{х) = рп({хк}-, г) = V-, г, хк £ С, п е N. (0.1)

—' X — Хь к=1

Заметим, что интерполяционные наипростейшие дроби (0.1) являются частным случаем /¿-сумм (0.2). Именно, (0.1) получается из (0.2), если в качестве базисной взять, например, функцию к{х) = (х — I)-1 и сделать замену Хк — х^1. Тогда, очевидно, Нп(х) = рп{х).

Содержание главы составляют результаты, опубликованные в тезисах конференций [49, 50, 51] и статьях [46, 47].

Рассмотрим сначала метод интерполяции аналитических функций посредством Д-сумм. Этот метод приближения был предложен в работе [12], там же был указан эффективный способ отыскания чисел Хк и даны несколько приложений к численному анализу. Другие вопросы, связанные с аппроксимативными свойствами /¿-сумм, изучались в работах [36, 37].

Всюду в этой главе считаем, что функции задаются рядами Маклорена:

ВД = /ц, + Нгг + П2г2 + ..., /(г) = /0 + Дг + /2г2 + .... (1.1)

Отметим, что маклореновское разложение соответствующей /г-суммы (0.2) сходится в круге \г\ < Как обычно, п-кратная интерполяция

означает, что

\т-Нп(г)\ = 0(\г\п), г->0.

1.1 Задача кратной интерполяции /г-суммами.

Формулировка основных результатов

Введем основные понятия и приведем формулы, которые нам необходимы для дальнейшего изложения.

Пусть Ах,..., Ап — комплексные числа. Для указанных чисел введем их степенные суммы

п

й» := 5т(Аг,..., А„) = £ А?, т = 1,2,..., (1.2)

к=1

и элементарные симметрические многочлены

От

= сгт(Аь ..., А„) := Ajj • • • Xjm, т = 1,п. (1.3)

Связь степенных сумм (1.2) и многочленов (1.3) выражают известные рекуррентные формулы Ньютона (см., например, [27]):

т—1

Si = <7Ь Sm = (-1 Г+1тат - m = 2,..., п. (1.4)

з=i

Например, при т = 2ит = 3 имеем:

S2 = -2 СГ2 + <j\, S3 = 3 (J3 - 3 0102 + (?i ■

Если решить систему уравнений (1.4) относительно ат, то получатся следующие формулы обращения (см. [27]):

(_1уп+1 ( т~1 \

0-1 = 51, = —+ , т — 2,... ,п. (1.5)

При т = 2 и т = 3, например, получаем:

= -1 (52 - 5?), .73 = I (й - + .

Примечание 1.1. Формулы (1.4) и (1.5) верны и при т > п, если считать, что = 0, а, значит, и сгк = 0, к > п.

Сформулируем первый результат о кратной интерполяции /г-суммами, полученный в работе [12]. Приведем также его доказательство (в несколько ином виде), чтобы представить основные методы, используемые в дальнейшем при доказательствах наших результатов.

Пусть функции / и к суть аналитические функции, заданные маклоре-новскими разложениями (1.1), причем И аналитична в единичном круге \г\ < 1. Пусть /гт_1 0, если /т_х ^ 0, т € М; введем числа зт(/г, /) по правилу:

/) = 0, если /т_1 = 0 (независимо от /гт_1), /) = 77^, если /т_1 ф 0, теМ.

"т-1

Теорема 1.1 ([12]). Пусть = /) и |зт| ^ ат при всея натуральных т и некотором а > 0. Пусть при каждом фиксированном п числа \к = А/, п) в сумме (0.2) являются решением алгебраического уравнения

Рп{А) := Ап - ахА"-1 + с72Ап"2 + ... + (-!)%> = 0, (1.6)

где коэффициенты находятся по рекуррентным формулам (Ньютона)

(-l)m+1 ( ^1=51, ат = - Sm +

m \

Тогда справедливы следующие заключения.

(a) Суммы Нп осуществляют п-кратную интерполяцию функции f в узле z = 0.

(b) Суммы Hn(z) и функция f определены и аналитичны в круге \z\ < 2~1а~1.

(c) Имеет место равномерная сходимость Hn(z) =4 f{z), п —> оо, в круге \z\ ^ (1 — <5)2_1а~1 при любом сколь угодно малом S G (0,1). Кроме того, справедлива оценка

|/(*) - Hn(z)| ^ С (h, ô) an (1 - 2~1ô)n , ^ (1.8)

Доказательство. Зафиксируем п € N и перепишем /г-сумму (0.2) в следующем виде:

00

Hn(z) = hoSi + hiS2Z + h2S3Z2 + . . . = ^ ^m-l'S'm^-1,

m=1

где, как и прежде, через Sm обозначены степенные суммы (1.2). Выберем числа

Xk = Xk(hJ,n), k = T~n,

так, чтобы Sm — s m при m — 1, п. Такие числа Хк являются корнями многочлена (1.6) (по теореме Виета).

Теперь докажем по индукции, что верна импликация

m—1

-заз

m — 2,

п.

(1.7)

.1=1

(1.9)

Из формулы (1.7) сразу следует, что |oi| ^ а, т.к. |si| ^ а. Далее, предположим, что неравенства |<тт| ^ ат справедливы для всех т = 2, где р € N.

Поскольку для от справедливы получающиеся из (1.7) неравенства

1 / m_1 \

~ + \S™-j\Wj\J ^ аГП' ГП = 2,... ,р,

т

3

то при т = р + 1 будем иметь:

^ — (аР+1 + УаР+1 | = аР+\

р+Ч и )

что и завершает индукцию.

Далее, с учетом неравенств (1.9) для многочлена Рп вида (1.6) имеем:

\Рп{\)\ = \Хп - агХ1'1 + (72Лп"2 + ... + (-1)пап\ ^

Следовательно, все корни этого многочлена лежат в круге |А| ^ 2а, и, значит, \3т\ ^ п(2а)т при т ^ п + 1. Из определения чисел Бт и равенств Бщ = эт

при т = 1, п получаем:

rn(z) := f(z) - Hn(z) = ]T(/m - hmSm+i)zm, \z\ < 2a.

oo

m—n

Используя неравенства для |5т| и тот факт, что \$т\ ^ \кт\аш+1, выводим

следующую оценку:

00 00 \rniz)| < £(|/т| + \кт\п(2а)т+1)^Г ^ 2а(п + 1) ^ К\\2аг\т.

т=п т=п

Этим доказаны утверждения (а) и (Ъ). Для доказательства утверждения (с) положим 5 е (0,1) и \г\ ^ Тогда

(1 ~ 6/2? 2 а

и, следовательно, \кт\\2аг\т^ \к

т\

5 ш 6 т 5

1-2 Х"2 ^С(М) 2

т = п,п + 1,

Отсюда и из оценки для |гп(.г)| получается, что величина |гп(;г:)| —0 равномерно в круге \г\ ^ ^ со скоростью (1.8) ■

Заметим, что теорема 1.1 решает принципиальный вопрос о возможности равномерной аппроксимации посредством сумм вида (0.2) и дает эффективный способ их построения. В работе [12], однако, не рассматривался вопрос о точности заключений этой теоремы, т.е. о точности радиуса круга сходимости Нп(г) к /(г) и скорости аппроксимации (1.8). Как видно из доказательства, оценки (1.8) далеки от окончательных и имеют скорее качественный характер.

Ниже будут получены окончательные результаты о значениях указанных величин. В этом параграфе мы ограничимся формулировкой соответствующих утверждений, а их доказательство будет дано в параграфе 1.3.

Как и в теореме 1.1, считаем, что Нт-1 ф 0, если /то_1 ф 0, т 6 М, и числа зт(/г,/) определяются по указанному там правилу.

Теорема 1.2. Пусть зт ~ 5т(/г, /) и |5ТО| ат при всех натуральных т и некотором а > 0. Пусть при каждом фиксированном п числа = А^(/г, /, п) в К-сумме Нп являются решением алгебраического уравнения

Рп(А) := Ап - стхЛ71-1 + азА71-2 + ... + (-1 )пап = 0,

п-2

(1.6)

где коэффициенты находятся по рекуррентным формулам (Ньютона)

(_!)т+1 /

01 = 51, <7т = - Зт +

ТП \

Тогда справедливы следующие заключения.

(а) Суммы Нп осуществляют п-кратную интерполяцию функции / в узле 2 = 0.

(б) Функция f определена и апалитична в круге \г\ < оГ1, а суммы Нп определены и аналитичны в кругах \г\ < (1 — где еп — положительные числа, удовлетворяющие соотношениям еп € (0,1) и

е2п-(\ — £п)п+1 = О, еп~ —, п^оо. (1.10)

п

(с) Имеет место равномерная сходимость Нп(г) /(г), п оо, в круге \г\ ^ (1 — 5) а~1 при любом фиксированном сколь угодно малом 5 6 (0,1). Кроме того, для любого в € (0,1) при достаточно больших п ^ По(а, к, 5, 9) справедлива оценка

|/(*) - адI < и ^ (1.11)

Теорема 1.3. В условиях теоремы 1.2 радиус а-1 круга сходимости Нп(г) к /(г) не может быть увеличен, а в оценке (1.11) скорости аппроксимации нельзя заменить 1 — 95 числом, меньшим 1 — 5 (при фиксированном мноэ/сителе 9~15~1).

1.2 Оценки корней многочлена с ограничениями

на их степенные суммы

Для доказательства приведенных теорем нам понадобятся несколько вспомогательных утверждений. В данном параграфе будут получены резуль-

т—1

У вт-М

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Чунаев, Петр Владимирович, 2013 год

Список литературы

1. Бейкер, Дж. мл. Аппроксимации Паде: 1. Основы теории; 2. Обобщения и приложения / Дж. Бейкер, П. Грейвс-Моррис / Пер. с англ./ А. А. Гончар (ред.); Е. А. Рахманов, С. П. Суетин (пер.). — М.: Мир, 1986.

2. Бородин, П. А. Приближение наипростейшими дробями на полуоси / П. А. Бородин // Математический сборник. — 2009. — Т. 200. — №8. — С. 25-44.

.3. Бородин, П. А. О приближении наипростейшими дробями на действительной оси / П. А. Бородин, О. Н. Косухин // Вестник Московского университета. Сер. 1. Математика. Механика. — 2005. — Вып. 1. — С. 3-8.

4. Васильев, Н. И. Применение полиномов Чебышева в численном анализе / Н. И. Васильев, Ю. А. Клоков, А. Я. Шкерстена. — Рига: Зинатне, 1984.

5. Волков, Е. А. Численные методы / Е. А. Волков. — М.: Наука, Физматлит, 1987.

6. Гельфонд, А. О. Об оценке мнимых частей корней многочленов с ограниченными производными от логарифмов на действительной оси / А. О. Гель-фонд // Математический сборник. — 1966. - Т. 71. - №113. -С. 289-296.

7. Гончар, А. А. О наилучших приближениях рациональными функциями /

A. А. Гончар // Доклады АН СССР. - 1955. - Т. 100. - №2. - С. 205-208.

8. Гончаров, В. Л. Теория интерполирования и приближения функций /

B. Л. Гончаров. — М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1954.

9. Горин, Е. А. Частично гипоэллиптические дифференциальные уравнения в частных производных с постоянными коэффициентами / Е. А. Горин // Сибирский математический журнал. — 1962. — Т. 3. — №5. — С. 506-508.

10. Данченко, В. И. Оценки расстояний от полюсов логарифмических производных многочленов до прямых и окружностей / В. И. Данченко // Математический сборник. — 1994. — Т. 185. — №8. — С. 63-80.

11. Данченко, В. И. Оценки производных наипростейших дробей и другие вопросы / В. И. Данченко // Математический сборник. — 2006. — Т. 197. — №4. - С. 33-52.

12. Данченко, В. И. Об аппроксимативных свойствах сумм вида ^/сМ^2) /

B. И. Данченко // Математические заметки. — 2008. — Т. 83. — №5. —

C. 643-649.

13. Данченко, В. И. О сходимости наипростейших дробей в ЬР(Я) / В. И. Данченко // Математический сборник. — 2010. — Т. 201. — №7. — С. 53-66.

14. Данченко, В. И. О равномерном приближении логарифмическими производными многочленов / В. И. Данченко, Д. Я. Данченко // Теория функций, ее приложения и смежные вопросы: Материалы школы-конференции, посвященной 130-летию Д. Ф. Егорова (Казань, 1999). — Казань, 1999. — С. 74-77.

15. Данченко, В. И. О приближении наипростейшими дробями / В. И. Данченко, Д. Я. Данченко // Математические заметки. — 2001. — Т. 70. — №4. — С. 553-559.

16. Данченко, В. И. Чебышевский альтернанс при аппроксимации констант наипростейшими дробями / В. И. Данченко, Е. Н. Кондакова // Труды Математического института имени В. А. Стеклова. — 2010. — Т.'270. — С. 86-96.

17. Данченко, В. И. Критерий возникновения особых узлов при интерполяции наипростейшими дробями / В. И. Данченко, Е. Н. Кондакова // Труды Математического института имени В. А. Стеклова. — 2012. — Т. 278. — С. 49-58.

18. Долженко, Е. П. Оценки производных рациональных функций / Е. П. Дол-женко // Известия Академии наук СССР. Серия математическая. — 1963. — Т. 27. - М. - С. 9-28.

19. Кацнельсон, В. Э. О некоторых операторах, действующих в пространствах, порожденных функциями / В. Э. Кацнельсон // Теория функций, функциональный анализ и их приложения. — 1967. — Вып. 4. — С. 58-66.

20. Каюмов, И. Р. Сходимость рядов наипростейших дробей в 1/р(Е) / И. Р. Каюмов // Математический сборник. — 2011. — Т. 202. — № 10. — С. 87-98.

21. Каюмов, И. Р. Необходимое условие сходимости наипростейших дробей в ЬР(Ж) / И. Р. Каюмов // Математические заметки. — 2012. — Т. 92. — №1. - С. 149-152.

22. Комаров, М. А. Критерий наилучшего приближения констант наипростейшими дробями / М. А. Комаров // Математические заметки. — 2013. — Т. 93. - №2. - С. 209-215.

23. Кондакова, Е. Н. Интерполяция наипростейшими дробями / Е. Н. Кондакова // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия Математика. Механика. Информатика. — 2009. — Т. 9. — №2. — С. 30-37.

24. Кондакова, Е. Н. Интерполяция и аппроксимация наипростейшими дробями: дисс... канд. физ.-мат. наук: 01.01.01 / Кондакова Елена Николаевна. — Владимир, 2012.

25. Косухин, О. Н. Об аппроксимативных свойствах наипростейших дробей / О. Н. Косухин // Вестник Московского университета. Серия 1. Математика. Механика. — 2001. — Вып. 4. — С. 54-58.

26. Косухин, О. Н. О некоторых нетрадиционных методах приближения, связанных с комплексными полиномами: дисс....канд. физ.-мат. наук: 01.01.01 / Косухин Олег Николаевич. — М., 2005.

27. Курош, А. Г. Курс высшей алгебры / А. Г. Курош. — 9-е изд. — М.: Физ-матлит, 1963.

28. Леонтьев, А. Ф. Целые функции. Ряды экспонент / А. Ф. Леонтьев. — М.: Наука, Физматлит, 1983.

29. Маркушевич, А. И. Теория аналитических функций. В 2 т. Т. 1. Начала теории / А. И. Маркушевич. — 2-е изд. — М.: Наука, Физматлит, 1967.

30. Николаев, Е. Г. Геометрическое свойство корней многочленов / Е. Г. Николаев // Вестник Московского университета. Серия 1. Математика. Механика. - 1965. — Вып. 5. - С. 23-26.

31. Новак, Я. В. О наилучшем локальном приближении наипростейшими дробями / Я. В. Новак // Математические заметки. — 2008. — Т. 84. — ^6. — С. 882-887.

32. Протасов, В. Ю. Приближения наипростейшими дробями и преобразование Гильберта / В. Ю. Протасов // Известия Российской академии наук. Серия математическая. — 2009. - Т. 73. — № 2. — С. 123-140.

33. Прудников, А. П. Интегралы и ряды: в 3 т. Т. 1. Элементарные функции/ А. П. Прудников, Ю. А. Брычков, О. И. Маричев. — 2-е изд., исправ. — М.: Физматлит, 2002.

34. Рамазанов, А. К. Приближение наипростейшими рациональными дробями в пространстве Харди -^(-О) / А. К. Рамазанов // Теория функций, ее приложения и смежные вопросы: материалы Казанской международной школы-конференции. — Казань, 2003. — С. 177-178.

35. Уолш, Дж. Л. Интерполяция и аппроксимация рациональными функциями в комплексной области / Дж. Л. Уолш. — М.: Издательство иностранной литературы, 1961.

36. Фрянцев, А. В. О численной аппроксимации дифференциальных полиномов / А. В. Фрянцев // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия Математика. Механика. Информатика. — 2007. — Т. 7. — №2. — С. 39-43.

37. Фрянцев, А. В. О полиномиальных решениях линейных дифференциальных уравнений / А. В. Фрянцев // Успехи математических наук. — 2008. — Т. 63. - №3 (381). - С. 149-150.

38. Chui, C. K. On approximation in the Bers spaces / C. K. Chui // Proceedings of the American Mathematical Society. — 1973. — Vol. 40. — P. 438-442.

39. Chui, C. K. Order of approximation by electrostatic fields due to electrons / C. K. Chui, X. C. Shen // Constructive Approximation. — 1985. — V. 1. — No. 1. - Pp. 121-135.

40. Komarov, M. A. Uniqueness of a simple partial fraction of best approximation / M. A. Komarov // Journal of Mathematical Sciences. — 2011. — Vol. 175. — № 3. - Pp. 284-308.

41. Komarov, M. A. Interpolation of rational functions by simple partial fractions / M. A. Komarov // Journal of Mathematical Sciences. — 2012. — Vol. 181. — № 5. - Pp. 600-612.

42. Komarov, M. A. Examples related to best approximation by simple partial fractions / M. A. Komarov //Journal of Mathematical Sciences. — 2012. — Vol. 184. - №4. - Pp. 509-523.

43. Korevaar, J. Asymptotically neutral distributions of electrons and polynomial approximation / J. Karevaar // Annals of Mathematics. — 1964. — Vol. 80. — Pp. 403-410.

44. Korevaar, J. Limits of polynomials whose zeros lie in a given set / J. Karevaar // Proceedings of Symposia in Pure Mathematics. — 1968. — Vol. 11. — Pp. 261-272.

45. Macintyre, A. Inequalities for the logarithmic derivatives of a polynomial / A. Macintyre, W. Fuchs // Journal of the London Mathematical Society. — 1940. - Vol. sl-15. - №3. - Pp. 162-168.

Публикации автора по теме диссертации В журналах из перечня ВАК

46. Чунаев, П. В. Об одном нетрадиционном методе аппроксимации / П. В. Чу-наев // Труды Математического института имени В. А. Стеклова. — М.: МАИК Наука / Интерпериодика, 2010. - Т. 270. - С. 281-287.

47. Danchenko, V. I. Approximation by simple partial fractions and their generalizations / V. I. Danchenko, P. V. Chunaev // Journal of Mathematical Sciences. - New York: Springer, 2011. - Vol. 176, №6. - Pp. 844-859.

48. Чунаев, П. В. Об экстраполяции аналитических функций суммами вида Yjk ^kh(Xkz) / П. В. Чунаев // Математические заметки. — М.: МАИК Наука/Интерпериодика, 2012. - Т. 92, №5. - С. 794-797.

Прочие

49. Чунаев, П. В. Об аппроксимации А-суммами / П. В. Чунаев // Тезисы докладов Международной конференции по математической теории управления и механике (Суздаль, 2009). - М.: МИАН, 2009. — С. 147-148.

50. Чунаев, П. В. Об аппроксимации суммами вида ^kh(^kz) / П. В. Чунаев // Современные проблемы теории функций и их приложения: Материалы Саратовской зимней школы (Саратов, 2010). — Саратов: Саратовский государственный университет им. Н. Г. Чернышевского, 2010. — С. 183-184.

51. Данченко, В. И. Формула Эрмита для наипростейших дробей / В. И. Данченко, П. В. Чунаев // Современные проблемы анализа и преподавания математики: Материалы Международной конференции, посвященной 105-

летию академика С. М. Никольского (Москва, 2010). — М.: Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, 2010. — С. 19.

52. Данченко, В. И. Об экстраполяции посредством А-сумм / В. И. Данченко, П. В. Чунаев // Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, 2010): Тезисы докладов. — М.: МИАН, 2010. - С. 72-73.

53. Данченко, В. И. Аппроксимация многочленов посредством специальных рациональных дробей / В. И. Данченко, П. В. Чунаев // Современные методы теории функций и смежные проблемы: Материалы Воронежской зимней математической школы (Воронеж, 2011). — Воронеж: Воронежский государственный университет, 2011. — С. 115-116.

54. Данченко, В. И. Об экстраполяции целых функций суммами вида ^2kXkh(Xkz) / В. И. Данченко, П. В. Чунаев // Труды Математического центра им. Н. И. Лобачевского / Казанское математическое общество. Теория функций, ее приложения и смежные вопросы // Материалы X Казанской летней научной школы-конференции. — Казань: Казанское математическое общество, 2011. — Т. 43. — С. 114-116.

55. Чунаев, П. В. Об экстраполяции аналитических функций /г-суммами / П. В. Чунаев // Комплексный анализ и его приложения, Тезисы VI Петрозаводской международной конференции (Петрозаводск, 2012). — Петрозаводск: Петрозаводский государственный университет, 2012. — С. 79-82.

56. Chunaev, P. Extrapolation of analytic functions by sums of the form

hh(Xkz) / P. Chunaev 11 CRM Preprint. - Bellaterra: CRM, 2012.