Экстремальные и аппроксимационные свойства логарифмических производных рациональных функций тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, доктор наук Комаров Михаил Анатольевич

• Комаров Михаил Анатольевич
• доктор наук
• 2024

Оглавление диссертации доктор наук Комаров Михаил Анатольевич

I. Введение

§1. Краткий литературный обзор

§2. Структура работы. Апробация

§3. Формулировка и обсуждение результатов

II. Метрические оценки НД и связанные с ними вопросы теории приближений

§1. Обобщение неравенства Турана для производной полинома на отрезке

§2. Неравенства типа Турана в интегральных пространствах

§3. Тождество Борвейна

§4. Весовые неравенства типа Турана

§5. Метрическое свойство НД с полюсами на окружности

§6. Задача Чуи, задача Насырова и их обобщения

§7. Приближение липшицевых функций на R и лемма Гончара

§8. Доказательство леммы Гончара с точной константой

III. Интерполяция вещественных таблиц посредством НД

§1. Системы функций Хаара-Чебышёва, связанные с НД

§2. Достаточное условие единственности интерполяции

§3. Интерполяция постоянных функций (констант)

IV. Наилучшее равномерное приближение посредством НД

на отрезке

§1. Примеры неклассического поведения НД наилучшего равномерного приближения

§2. Основная теорема об альтернансе. Гипотеза Данченко

§3. Доказательство теоремы

§4. Наилучшее приближение констант

V. Разности НД: интерполяция констант и её приложения

§1. Основное тождество. Нули полиномов Бесселя

§2. Кратная интерполяция констант разностями НД в круге

§3. Случай отрезка

§4. Численное дифференцирование

VI. Скорость аппроксимаций посредством НД, все полюсы которых лежат на окружности

§1. Круг изучаемых вопросов

§2. Конструкция аппроксимирующих НД

§3. Оценки равномерного приближения на компактах в круге

§4. Скорость приближения в пространствах Бергмана

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Экстремальные и аппроксимационные свойства логарифмических производных рациональных функций»

I. Введение

§1. Краткий литературный обзор. Наипростейшими дробями (НД) порядка п = 0,1,... по предложению Е. П. Долженко называют рациональные функции вида

п 1

ро(х) = 0, Рп(г) = V -, п е М, х,хк е С, (1)

^ X — Хк к=1 к

т.е. логарифмические производные Р'/Р алгебраических полиномов Р степени п. НД естественным образом возникают при построении оценок производных алгебраических полиномов. Например, классическое неравенство П. Турана (1939)

п

шах\Р'(х)\> -шах\Р(х)\ (2)

N=1 2 М=1

для полиномов Р степени п, все корни которых лежат в круге \х\ < 1, вытекает из следующей леммы Турана. Пусть К С С — компакт, а точка х0 е дК обладает свойством: существует окружность радиуса 9 = я(х0, К), проходящая через точку х0, такая что К содержится в замыкании внутренности этой окружности. Тогда для каждого полинома Р, все корни которого принадлежат К, имеем

P'(zo)

P (zo)

deg P

-

Начало систематическим исследованиям метрических свойств НД и разностей НД (логарифмических производных рациональных функций общего вида) положено в 40-60-е годы XX века в работах А. Макинтайра и В. Фукса, А.А. Гончара, Е.П. Долженко в связи с проблемами теории целых функций и теории рациональных аппроксимаций. Так, Гончар (1959) при помощи оценок картановского типа установил для рациональных функций следующий аналог полиномиального неравенства С.Н. Бернштейна: для любой рациональной функции r степени n и любого 6 > 0 существует

множество Е = Е(г, 6) С К такое, что ше$,(Е) < 6 и

\г'(х)\< С\г(х)\, х е М\Е, (3)

6

где С — абсолютная постоянная. Эта лемма применялась Гончаром при доказательстве обратных теорем для рациональных приближений. Заметим, что логарифмический множитель в (3) может быть опущен, — это нетрудно вывести из результатов Макинтайра и Фукса (1940). Позднее ряд модификаций и окончательных результатов для оценок типа лемм Гончара и Макинтайра-Фукса был установлен в работах Е.П. Долженко (1963), Н.В. Говорова и Ю.П. Лапенко (1978), П. Борвейна (1982), Н.В. Говорова и С.П. Грушевского (1984), Дж. Андерсона и В.Я. Эйдермана (2006).

Другой круг экстремальных задач для НД связан с так называемой проблемой Горина (Е.А. Горин, 1962) о том, насколько близко могут подходить к действительной оси К полюсы наипростейшей дроби при условии, что её значения всюду на К не превосходят 1. Через ап(К) обозначим точную нижнюю грань расстояний между прямой К и множеством {zk} полюсов НД (по всем НД порядка не выше п с указанной нормировкой). Ряд предварительных оценок ап(К) установили Е.А. Горин (1962), Е.Г. Николаев (1965), А.О. Гельфонд (1966), В.Э. Кацнельсон (1967). Точный порядок стремления величин ап(К) к нулю нашёл В.И. Данченко (1994):

, 1п1п п , ч

ап(Щ х —- (п ^ ос).

1п п

Рассматривались оценки величин ап с заменой К на другие множества. Так, в случае единичной окружности и единичного отрезка В.И. Данченко (2006) установил эквивалентности ап х п-11п п и ап х п-21п2 п соответственно. О.Н. Косухин (2010) получил оценку снизу того же порядка, что и для отрезка, для спрямляемых компактов1.

Проблема Горина равносильна задаче о величине наименьшего уклонения на К множества всех НД порядка < п, имеющих общий фиксированный полюс г1 е К, от нуля. В этом смысле задача Горина является

хКомпакт К называется спрямляемым, если он не разбивает плоскость и существует величина а(К) < о такая, что любые две его точки можно соединить кривой Ь С К длины < а(К).

аналогом классической задачи Чебышёва об унитарных многочленах фиксированной степени, наименее уклоняющихся от нуля на отрезке.

Исследования по проблеме Горина естественным образом привели к более общей задаче аппроксимации непрерывных функций / на различных множествах К С С посредством НД со свободными полюсами. Одна из мотивировок аппроксимации посредством НД заключена в их важном физическом смысле: комплексное сопряжённое к НД рп(х) (см. (1)) представляет собой напряжённость в точке х плоского электростатического поля, создаваемого положительными единичными зарядами, расположенными в точках Хк. В этом смысле задачу аппроксимации посредством НД можно интерпретировать как задачу о размещении источников Хк, создающих заранее заданное поле.

Активное изучение аппроксимационных свойств НД началось с работы В.И. и Д.Я. Данченко (1999), в которой для НД был получен следующий аналог полиномиальной теоремы С.Н. Мергеляна: для любого компакта К со связным дополнением любую непрерывную на К и аналитическую внутри К функцию (класс таких функций / обозначается АС (К)) можно сколь угодно точно приблизить посредством НД в равномерной метрике. При этом, как показал О.Н. Косухин (2001), для широкого класса компактов скорости равномерного приближения посредством НД и многочленов имеют одинаковый порядок. А именно, если компакт К спрямляем, а 'Я-п(/,К) и Еп(/,К) — наилучшие равномерные приближения функции / е АС (К) на К множеством НД порядка не выше п и множеством многочленов степени не выше п соответственно, то

С Пп+1(/,К) < Еп(/ва,К) < С2Пп+1(/,К), f е АС (К), (4)

где а(х) = a(f; Ь,х) = ^ f (£) (интеграл берётся по лежащим на К спрямляемым кривым, соединяющим точки х е К с какой-либо фиксированной точкой Ь е К), а С^ — определённые абсолютные постоянные, зависящие только от К и \\с(к). Этот результат позволил О.Н. Косухи-ну (2005) получить для НД ряд аналогов классических полиномиальных теорем Д. Джексона, С.Н. Бернштейна, В.К. Дзядыка и других.

Несколько ранее за рубежом в научной школе Я. Кореваара в связи с задачей о приближении аналитических функций / алгебраическими полиномами ограниченного вида фактически исследовались аппроксимационные свойства НД, полюсы которых расположены на предписанных множествах (естественное ограничение ввиду указанной выше физической интерпретации НД). Так, Кореваар (1964) установил, что любую аналитическую в ограниченной односвязной области Б функцию / можно на любом компактном подмножестве Б сколь угодно точно приблизить суммами (1), все полюсы которых лежат на границе дБ этой области. В частном случае, когда Б — единичный круг и / ограничена в нём, этот результат был дополнен М. Томпсоном (1967), доказавшим существование последовательности {дп.} наипростейших дробей вида

п1

дп(х) = ^-, Ы = ••• = кп| =1 (5)

X — Хк

к=1

сходящейся к / равномерно на каждом компакте внутри круга так, что \дпз(х)| < С/(1 — \х|), \х\ < 1, с константой С, не зависящей от ] и х (мы и далее по тексту будем использовать для НД порядка п с полюсами на единичной окружности обозначение дп). Дж. Элкинс (1969) показала, что теорема Кореваара обобщается на неограниченные односвязные области Б, лежащие в полуплоскости и не содержащие полуплоскость. В последнее время этот круг вопросов получил дальнейшее развитие в работах П.А. Бородина (2012, 2016) и П.А. Бородина и К.С. Шкляева (2021).

В начале 1970-х Ч. Чуи, ещё один ученик Кореваара, для ограниченных односвязных областей Б со спрямляемой границей дБ установил плотность множества НД с полюсами Хк е дБ в пространствах Берса Бч(Б), 2 < д < сю (некоторые оценки скорости таких аппроксимаций позднее построили Ч. Чуи и К. Шен (1985)). В случае, когда Б есть единичный круг, пространство Бч(Б), д := 2 + а > 1, совпадает с классическим пространством Бергмана

А1а, —1 < а < с (напомним, что пространства Ара, 0 < р < сю, —1 < а < сю, состоят из

аналитических в единичном круге функций f, для которых интеграл

Wfwia ■= ff \f(z)Г(! - \z\2)adxdy

a J J\z\<\

конечен). Тем самым, в этом частном случае теорема Чуи гарантирует плотность наипростейших дробей gn вида (5) в пространстве Л^ при а > 0. В связи с вопросом о точности ограничения а > 0 (соответственно, q > 2) Чуи в 1971 году сформулировал задачу о существовании абсолютной константы c > 0 такой, что для всех дробей gn, n =1, 2,..., вида (5)

// \gn(z)\dxdy > c (z = x + iy), J J\z\<\

интерпретируя интеграл от модуля НД по площади круга как среднюю напряжённость гравитационного поля, порождаемого n заданными точечными массами, расположенными по границе круга. Задача была быстро решена Д. Ньюманом (1972), который показал, что оценка действительно имеет место с константой c = п/18. Таким образом, справедлив критерий: НД (5) плотны в пространстве Ла, если и только если а > 0.

Отметим, что вопрос о точном значении минимума интеграла остаётся открытым. Лишь недавно Е.В. Абакумов, А.А. Боричев и К.Ю. Федоровский (2021) доказали, что аналогичный минимум в пространствах Ла, 0 < а < 1, при каждом n достигается на дроби с равноудалёнными полюсами ^n(z) = nzn-l/(zn — 1) и его квадрат имеет асимптотику ||Фп||2Д2 ~ п Г(а + 1) Z(а + 1) n1—a (n ^ ж), где Г — гамма-функция, (

22а

— дзета-функция Римана. Кроме того, они установили для пространств Бергмана Л2а полный аналог критерия Чуи-Ньюмана: НД (5) плотны в пространстве Л2а, если и только если а > 1.

Несмотря на родство аппроксимационных свойств НД и алгебраических полиномов, имеют место и принципиальные различия. Во-первых, НД, в отличие от полиномов, позволяют осуществлять аппроксимацию на неограниченных множествах (прямых, лучах и т.д.). Так, П.А. Бородин и О.Н. Косухин (2005) доказали, что при любом u > 0 каждая непрерывная на R комплекснозначная функция f с нулевым значением на бесконечности

(класс таких функций обозначается Cq(R)) в равномерной метрике с любой точностью приближается наипростейшими дробями с полюсами вне полосы |Im х| < u. Для пространств Lp(R) это уже неверно, что следует из одного результата В.И. Данченко (1994), согласно которому при конечных p > 1 существует константа A(p) > 0 такая, что при всех n для НД (1)

inf {Y(pn) : \\ри\\ьр(R) = 1} > A(p), Y(pn) := min |Im Zk|

k=1,..,n

(тем самым, функции вида —1/(z — a) не приближаются посредством НД в Lp(R)). Этот круг вопросов, а также теория рядов НД получили развитие в работах В.Ю. Протасова (2009), П.А. Бородина (2009), В.И. Данченко (2010), И.Р. Каюмова (2011, 2012), А.В. Каюмовой (2012) и других. Отметим, что Протасов дал полное описание множества функций f Е Lp (R), приближаемых в Lp(R) наипростейшими дробями.

Второе принципиальное отличие НД от полиномов — в нестандартном поведении НД наилучшего приближения. Впервые для задачи равномерной аппроксимации это показали В.И. Данченко и Е.Н. Кондакова (2010): каждая НД вида

2г + Л

Р2(Л; х) = 2 , + , , , 1 < Л < Л*, Л* = 1.62(6) х2 + Лх + 1

наименее уклоняется от функции f (х) = х + 1 на отрезке [—1,1] в классе всех вещественнозначных НД порядка не выше n = 2. Тем самым, НД наилучшего равномерного приближения неединственна. Кроме того, лишь в случае Л = Л* на отрезке [—1,1] имеется альтернанс2 из n + 1 = 3 точек, а в случае Л Е [1, Л*) нет альтернанса даже из двух точек. Этот пример показывает, что для НД не существует точного аналога классической теоремы П.Л. Чебышёва об альтернансе.

Перечисленные особенности равномерной аппроксимации наипростейшими дробями приводят к естественному вопросу о выделении класса действительных функций f, для которых (любая) вещественнозначная НД p*(n,f; х) порядка не выше n наилучшего равномерного приближения на

2Напомним, что точки х\ < Х2 < • • • < х3 сегмента К = [а, Ь] образуют (чебышёвский) альтернанс на К для разности р — /, если р(хк) — / (хк) = ±( — 1)к\\р — / ||с(к), к =1, 2,..

отрезке [—1,1] образует альтернанс из > п + 1 точек отрезка (хотя бы при достаточно больших п > п0(Я)). В 2010 году В.И. Данченко сформулировал гипотезу о том, что этот класс совпадает с классом всех веществен-нозначных непрерывных на отрезке [—1,1] функций, и совместно с Е.Н. Кондаковой построил для НД частичный (без выяснения достаточности альтернанса) аналог теоремы Чебышёва в случае аппроксимации постоянных функций

f (х) = с, С е К.

А именно: при с е (0, 1п л/2) и п > п0(с) дробь р*(п,с; х) единственна, имеет порядок п, и для разности р*(п,с; х) — с существует альтернанс, состоящий из п + 1 точек отрезка [—1,1]. Кроме того, Данченко и Кондакова предложили и обосновали численный алгоритм построения дроби р*(п,с; х) наилучшего приближения (2010, 2019).

И доказательство предыдущей теоремы, и алгоритм построения альтер-нанса опираются на явный вид решения задачи интерполяции константы по произвольным узлам ... е [—1,1] посредством НД порядка п. Важно, что в случае констант эта задача однозначно разрешима. Другой важный случай однозначной разрешимости задачи интерполяции посредством НД порядка < п — это п-кратная интерполяция аналитических функций. Данный факт конструктивно устанавливался различными способами в работах В.И. и Д.Я. Данченко (2001), О.Н. Косухина (2001), В.И. Данченко и П.В. Чунаева (2011) и др. В зависимости от конструкции были получены те или иные оценки остатка интерполяции. Так, Косухин показал, что наипростейшая дробь р(п, f; х) п-кратной интерполяции аналитической функции f по узлу х0 = 0 совпадает с логарифмической производной п-го полинома Маклорена функции ехр ( ^ Я(£) ; при помощи этого представления он для функций Я из класса Харди Н1 в единичном круге Б = {х : \х\ < 1} получил оценку

\р(пЯ; х) — /(х)\< С\х\п ■ \ — + СШ, С = в2*"', \х\ < 1,

с любым п, для которого знаменатель положителен. Напомним, что классы Харди Нр = НР(Б), 0 < р < сю, состоят из аналитических в Б функций Я

таких, что

\\f WHr := sup J- Г\f (re*)\p dt < ж (\\f = sup\f (z)\).

0<r<1 J-n V \z\<1 J

В общем случае, как показали Е.Н. Кондакова (2009), В.И. Данченко и Е.Н. Кондакова (2012) и другие авторы, вопросы о существовании и единственности интерполяционной НД сложны и не имеют однозначного ответа.

Возвращаясь к проблеме характеризации наилучшего приближения отметим, что Я.В. Новак (2009), ученик А.В. Покровского, обратил внимание на то, что чебышёвское поведение НД наилучшего приближения p*(n, f; x) может гарантироваться при некоторых условиях на полюсы этой дроби. Из его результатов фактически вытекает следующее. Пусть полюсы НД pn порядка, в точности равного n, все вещественны, попарно различны и расположены вне отрезка [-1,1]. Тогда pn наименее уклоняется от f:

pn(x) = p*(n,f; x) (f E C[-1,1]),

если и только если для разности pn — f на [—1,1] имеется альтернанс хотя бы из n + 1 точек. Новак получил также критерий наилучшего приближения действительных функций f E C[—1,1] вещественнозначными НД, аналогичный критерию А.Н. Колмогорова для полиномов: для НД p порядка < n без полюсов на [—1,1] имеем p(x) = p*(n, f; x), если и только если для произвольной НД p порядка < n, не имеющей полюсов на [—1,1],

min(p(x) — p(x))(p(x) — f (x)) < 0, (7)

xEE

где E = {x E [—1,1] : \f(x) — p(x)\ = \\f — p\\c—М]}. Для комплексного случая Новаком найдено достаточное условие типа Колмогорова.

Завершая обзор добавим, что для задач аппроксимации и численного анализа интерес представляют и обобщения НД, такие как: разности НД

P'(z) Q'(z)

pm,n(z) := — , deg P = m, deg Q = n, n,m > 0, P (z) Q(z )

то есть логарифмические производные рациональных функций г = P/Q; Н-суммы вида

п

Нп(х) = ХкН(Хкх), Хк е С, к=1

с фиксированной аналитической в единичном круге функцией Н (обычные НД соответствуют выбору Н(х) = (х — 1)—х); амплитудно-частотные суммы ^ п=1 ЦкН(Хкх) и др. Так, В.И. Данченко и П.А. Бородин высказывали гипотезу о том, что разности НД обладают гораздо более сильными аппрок-симационными свойствами, чем сами НД. На основе конструкции Н-сумм в работах В.И. Данченко (2008), А.В. Фрянцева (2008), П.В. Чунаева (2012) и других построен ряд интересных формул численного дифференцирования, интегрирования и экстраполяции аналитических функций.

§2. Структура работы. Апробация. Результаты работы излагаются в пяти основных главах П-У1. Глава I вводная и содержит литературный обзор, а также формулировки и краткое обсуждение основных теорем. Общий объём работы — 196 страниц. Библиография — 98 наименований.

В исследованиях выделяются три главных направления: а) приближения наипростейшими дробями со свободными полюсами (главы Ш-У и частично глава II); б) приближения наипростейшими дробями, полюсы которых лежат на предписанной окружности (глава VI и частично глава II); в) неравенства для производных полиномов и рациональных функций с различными ограничениями на расположение нулей и полюсов (глава II).

Связующим звеном между этими направлениями можно считать метрические неравенства для наипростейших дробей, как классические, так и новые, полученные автором работы (глава II).

Перечислим основные положения, выносимые на защиту:

1) критерий типа Чебышёва наилучшего равномерного приближения действительных непрерывных функций на отрезке действительной оси наипростейшими дробями со свободными полюсами;

2) критерий типа Чуи-Ньюмана плотности наипростейших дробей, все полюсы которых лежат на единичной окружности, в классических весовых пространствах Бергмана в круге;

3) новые неравенства типа Турана, обратные к неравенствам Маркова-Никольского для алгебраических полиномов, получаемые с помощью метрических оценок НД с ограниченными полюсами;

4) неравенство типа Макинтайра-Фукса-Гончара для вещественных рациональных функций с точной константой;

5) формула численного дифференцирования аналитических функций, основанная на кратной интерполяции констант разностями НД.

Исследования носят теоретический характер и могут быть полезны специалистам по теории рациональных приближений, численным методам, классическим многочленам и полиномиальным неравенствам.

Основные результаты опубликованы автором в 21 статье без соавторства (в журналах, включённых в перечень ВАК, базы Scopus и Web of Science) и докладывались: на семинаре «Нелинейный анализ и его приложения» ВлГУ под руководством профессоров А.А. Давыдова, В.И. Данченко и М.С. Беспалова (многократно с 2011 года); на семинаре «Геометрическая теория приближений» МГУ под руководством профессора П.А. Бородина (дважды в 2022 году); на семинаре кафедры высшей математики МФТИ под руководством профессора Е.С. Половинкина (2023); на объединенном семинаре отделов теории приближения функций и аппроксимации и приложений ИММ УрО РАН (2023); на международных конференциях по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, 2012 и 2018); на 21-й международной Саратовской зимней школе «Современные проблемы теории функций и их приложения» (2022); на 2-й конференции математических центров России (Москва, 2022); на Воронежской зимней математической школе «Современные методы теории функций и смежные проблемы» (2023); на XVI международной школе-конференции «Теория функций, её приложения и смежные вопросы» (Казань, 2023); на конференции «Дни анализа в Сириусе» (Сочи, 2023); на международной конференции по комплексному анализу памяти А.А. Гончара и А.Г. Витушкина (Москва, 2023).

§3. Формулировка и обсуждение результатов.

Экстремальные оценки типа Макинтайра-Фукса-Гончара. Для произвольного комплексного полинома Р степени п > 1 положим

М(Р,5) = т{х :

Р' (х)

пР(х)

> 51 _ т |х е К :

Р '(х) пР(х)

> (5> 0).

Здесь т(Е) — мера множества Е с К, а дробь Р'/(пР) имеет вид

Р' (X) _ 1 £ 1

пР(х) п ^ X — X0 0=1

х1,..., хп е С.

В 1940 году А. Макинтайр и В. Фукс получили оценку

М(Р, 5) < 2в/5

и установили, что в случае, когда все х1, ..., хп вещественны,

М(Р, 5) = 2/5.

(8)

Ввиду (8), Макинтайр и Фукс предположили, что М(Р, 5) < 2/5 при любых комплексных Хк. В 1984 году Н.В. Говоров и С.П. Грушевский опровергли эту гипотезу, доказав, что для каждого комплексного полинома Р верно

М(Р, 5) < 4/5,

(9)

причём для любых е,5 > 0 существует полином Р(х) достаточно большой степени пс, для которого

М(р, 5) > (4 — е)/5.

Заметим, что для произвольной комплексной рациональной функции

г = P/Q степени п имеем г'/г = Р'/Р — Q'/Q и, следовательно,

х:

г (х) г(х)

> 2е

} д {х:

Р' (х)

Р (х)

> е} и {х

Я (х)

Q(x)

> е

}

(при любом £ > 0). Положив £ = n5/2, мы в силу (9) получим оценку

M(r, 5) := m$yx :

r'(x) nr(x)

16

> 5> <16,

показывающую, в частности, что логарифмический множитель в неравенстве А.А. Гончара (3) может быть опущен.

Оценка M(r, 5) < 16/5 точна по порядку количества n и 5; например, для дроби r(x) = (x — 45-1)nx-n имеем

r'(x)

nr(x)

1

1

x - 45

-1

x

45

1

>

45

1

|x(x - 45-1)| " (45-1/2)2

=5

на отрезке I = [0, 45-1}, длина которого т(1) = 45-1. Однако, константа 16, вероятно, точной не является.

Точная константа в неравенстве М(г, 5) < А/5 на подклассе вещественных рациональных функций г найдена автором [7] с помощью известного неравенства Колмогорова для преобразования Гильберта

Hf (x) = v.p. П Г

П J _ГУЛ t x

dt, -o < x < oo, f e L := L1(R),

согласно которому для любой вещественной функции f Е L имеем

m{x : \Hf(x)\ > 5} < \\f \\ытО/5 (5 > 0), (10)

где наименьшее возможное значение О (называемое также слабой нормой преобразования Гильберта) равно, как показал Б. Дэвис (1974),

в

In cot -2

-1

de 1 =1.347

О

(ii)

Теорема. Если г — вещественная рациональная функция, то для любого 5 > 0

М(г, 5) < 2п@/5, (12)

где @ определяется равенством (11). При этом, для любых е Е (0,1), 5 > 0 найдутся чётное п = п(е) и вещественная рациональная функция

г степени п такие, что

М(г, 5) > 2п0 • (1 — е)/5.

Отсюда для вещественных рациональных функций следует экстремальная форма леммы А.А. Гончара (ср. (3)):

Следствие. Для любой вещественной рациональной функции г степени п и любого 5 > 0 существует множество Е = Е(г, 5) с К такое, что т(Е) < 5 и

п

\г'(х)| < 2п0 • — |г(х)|, х е Ж\Е, (13)

5

где 0 определяется формулой (11). Константа 2п0 точна.

Родственную оценку установил Е.П. Долженко (1963): для любой вещественной рациональной функции г степени п и любых чисел М, 5 > 0

найдётся множество Е = Е(г, М, 5) с К меры т(Е) < 5 такое, что

п

\г'(х)\ < 2 • пМ, х е Ем\Е, 5

где Ем = Ем(г) = {х : \г(х)\ < М}. Константа 2 точная.

(Это неравенство Долженко, равно как и оценка (13), являются аналогами ещё одного экстремального неравенства — неравенства С.Н. Берн-штейна для полиномов

п

\Р' (х)\<-^== \\Р Ус [—1,1], —1 < х < 1.)

Н.В. Говоров и Ю.П. Лапенко (1978) получили для комплексных полиномов Р следующую обратную оценку: если все п корней полинома Р лежат в верхнем полукруге {х : \х\ < 1, 1тх > 0}, то для любого 5 > 0 имеем \Р'(х)/(пР(х))\ > 5 при всех —1 < х < 1 вне исключительного множества Е§ С [—1,1] такого, что

т(Е5) < 70е5. (14)

В этой теореме нельзя заменить полукруг на полный круг \z \ < 1. Например, для полиномов P(z) = zn — 1 при n ^ ж> мера m(E§) становится сколь угодно близка к m([— 1,1]) = 2, каким бы ни было 5 > 0.

П. Борвейн (1982) в связи с задачами рациональной аппроксимации функции f (x) = e—x на полуоси рассмотрел величину

M*(r,5) = m{x : r'(x)/(nr(x)) > 5} (5 > 0),

где условие, в отличие от случая M(r, 5), накладывается не на модуль, а на само значение нормализованной логарифмической производной вещественной рациональной функции r степени n > 1. Он доказал, что

M*(Q, 5) < 2/5 (15)

для любого вещественного полинома Q (неулучшаемость константы 2 показана Г. Кристиансеном (1982)), и как следствие получил неравенство

M*(r,5) < 8/5

для произвольной вещественной рациональной функции r степени n. В качестве приложения, Борвейн довольно просто вывел оценку снизу наилучших рациональных приближений экспоненты на действительной полуоси (точная асимптотика которых на тот момент ещё не была известна):

max |e—x — Rjx)\ > (n3e8(n+2))—1, n = 1, 2,....

0<x<8(n+2) 1 IV/

Напомним ещё гипотезу Борвейна, Рахманова и Саффа (1996), согласно которой для любой вещественной рациональной функции r степени n

m{x : r'(x)/r(x) > n} < 2п

(тогда как оценка Борвейна доставляет границу 8 вместо 2п). Из (12) следует, что для чётных (нечётных) вещественных рациональных функций r

предполагаемое неравенство верно, причём с лучшей константой:

m{x : r'(x)/r(x) > n} < On.

В самом деле, для чётной либо нечётной дроби r функция h(x) = r'(x)/r(x) нечётна, а значит, m{x : |h(x)| > n} = m{x : h(x) > n} + m{x : h(x) < -n} = 2 • m{x : h(x) > n}, и остаётся применить (12) с 5 =1 к левой части цепочки равенств.

Неравенства типа Турана. Для произвольных полиномов P степени n хорошо известно неравенство А.А. Маркова (1890):

\\P'II < n2 \\PУ, \\PII := max IP(x)|.

" " " " " " -1<X<1

В 1939 году П. Туран установил для производной полиномов P, все корни которых принадлежат отрезку [-1,1], интересную обратную оценку

1

\\Р'\\ > !у/п \\Р ||. (16)

Пример Р(х) = (х2 — 1)п показывает, что оценка точна по порядку величины п (хотя константа с = 6 не наилучшая; точная константа с = сп для каждого п была найдена Я. Эрёдом). В работах Я. Эрёда (1939), Н. Ле-венберга и Е. Полецкого (2002), С. Ревеса (2006) и других для выпуклых компактов К С С исследовался порядок величины

1п£--(17)

р шахгЕк\Р(г)\

на классе полиномов Р степени п, все корни которых принадлежат К. В частности, фундаментальный результат Ревеса утверждает, что эта величина имеет порядок п (как в классическом неравенстве Турана (2)), если и только если внутренность К непуста (интегральные аналоги этой теоремы построены П.Ю. Глазыриной и С. Ревесом в 2017-2018 гг.).

Автором [12] для оценки (16) построено обобщение другого типа, а именно: допускается, что корни полинома Р могут лежать в гораздо большем,

чем отрезок [—1,1], множестве, совпадающем с верхним полукругом

Б+ = [г : \г\ < 1, 1тг > 0}.

Теорема. Если все п корней полинома Р лежат в , то

\\Р' || > А^п \\Р ||, А = 2/(3\/210ё) = 0.0279 .... (18)

Ранее оценки величин (17) снизу для полиномов, нули г1,... ,гп которых лежат в более широком, чем К, множестве, изучались лишь в случае

концентрических кругов (Н. Говил (1973)): если д > 1 и все \гк\ < д, то

п

тах\Р'(г)\ >-тах\Р(г)\. (19)

И=1 1 у п ~ 1 + дп \г\=1 1 у п к '

Интересно отметить, что порядок в (18) тот же, что и в оценке Турана (16). Доказательство опирается на метрическую оценку (14) логарифмической производной многочленов из указанного в теореме класса на отрезке [—1,1], построенную Говоровым и Лапенко. По-видимому, подобный подход применяется впервые. Недавно Т. Эрдейи (2021), развивая подход автора, дополнил оценку (18) следующим образом. При к = 0,1,... ,п обозначим класс полиномов степени не выше п, имеющих не менее п — к нулей в и хотя бы один нуль на отрезке [—1,1]. Существуют абсолютные постоянные с, с > 0 такие, что

п . „ \\Р'\\ _ лУп 7 ^ .

< 1Ш < с , к = 0,1,...,п.

у/к + 1 \\Р\\ у/к + 1'

В работах Н.К. Бари, А.Ф. Тимана, И.К. Даугавета и С.З Рафальсона, В.И. Иванова и многих других изучалось поведение наилучшей константы в неравенстве Маркова-Никольского \\Р'\\lj- 1;1] < М8,г(п)\\Р—1;1] при произвольных 0 < в, г < сю, где

Рк[—1,1] := (\1 ИГ' , 0 < г < с; \\Р1,1] := \\Р\\.

К середине 70-х годов исследование точного порядка величин М8,г (п) при

п ^ ж и любых фиксированных в, г было в целом завершено; отметим, например, что М х п2 для в = г > 0.

Изучение обратных неравенств (типа Турана) в интегральных пространствах на классе Пп, п = 1, 2,..., полиномов Р степени п, все корни которых лежат на отрезке [—1,1], началось в 1976 году, когда А.К. Варма получил точную по порядку величины п оценку

Список литературы диссертационного исследования доктор наук Комаров Михаил Анатольевич, 2024 год

Список литературы

[1] Комаров М.А. Плотность наипростейших дробей с полюсами на окружности в весовых пространствах для круга и отрезка // Вестник Санкт-Петербургского университета. Математика. Механика. Астрономия. 2024. Т. 11 (69). №1. С. 96-107.

[2] Komarov M.A. A Newman type bound for Lp[-1,1]-means of the logarithmic derivative of polynomials having all zeros on the unit circle // Constr. Approx. 2023. Vol. 58, no. 3. P. 551-563.

[3] Комаров М.А. О скорости интерполяции наипростейшими дробями аналитических функций с регулярно убывающими коэффициентами // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2023. Т. 23. №2. С. 157-168.

[4] Комаров М.А. О тождестве Борвейна и весовых неравенствах типа Турана на отрезке // Труды ИММ УрО РАН. 2022. Т. 28. №1. С. 127-138.

[5] Komarov M.A. The Turan-type inequality in the space L0 on the unit interval // Analysis Math. 2021. Vol. 47, no. 4. P. 843-852.

[6] Komarov M.A. Rational approximations of Lipschitz functions from the Hardy class on the line // Проблемы анализа—Issues of Analysis. 2021. Vol. 10, no. 2. P. 54-66.

[7] Komarov M.A. Distribution of the logarithmic derivative of a rational function on the line // Acta Math. Hungar. 2021. Vol. 163, no. 2. P. 623-639.

[8] Komarov M.A. Extremal properties of logarithmic derivatives of polynomials //J. Math. Sci. 2020. Vol. 250. P. 1-9.

[9] Комаров М.А. О скорости аппроксимации в единичном круге функций класса H1 логарифмическими производными полиномов с корнями на границе круга // Изв. РАН. Сер. матем. 2020. Т. 84. С. 3-14.

[10] Komarov M.A. Rate of approximation of zf' (z) by special sums associated with the zeros of the Bessel polynomials // Indag. Math. (N.S.) 2020. Vol. 31. P. 450-457.

[11] Komarov M.A. Note on power sums of the zeros of certain Laguerre and Bessel polynomials // Integral Transforms Spec. Funct. 2020. Vol. 31. P. 562-569.

[12] Komarov M.A. Reverse Markov inequality on the unit interval for polynomials whose zeros lie in the upper unit half-disk // Analysis Math. 2019. Vol. 45, no. 4. P. 817-821.

[13] Komarov M.A. A lower bound for the L2[-1,1]-norm of the logarithmic derivative of polynomials with zeros on the unit circle // Проблемы анализа—Issues of Analysis. 2019. Vol. 8. P. 67-72.

[14] Komarov M.A. Approximation to constant functions by electrostatic fields due to electrons and positrons // Lobachevskii J. Math. 2019. Vol. 40. P. 79-84.

[15] Комаров М.А. Оценки наилучшего приближения полиномов наипростейшими дробями // Мат. заметки. 2018. Т. 104. С. 851-862.

[16] Комаров М.А. О приближении специальными разностями наипростейших дробей // Алгебра и анализ. 2018. Т. 30. С. 47-60.

[17] Комаров М.А. Критерий наилучшего равномерного приближения наипростейшими дробями в терминах альтернанса. II // Изв. РАН. Сер. матем. 2017. Т. 81. С. 109-133.

[18] Комаров М.А. Критерий наилучшего равномерного приближения наипростейшими дробями в терминах альтернанса // Изв. РАН. Сер. матем. 2015. Т. 79. С. 3-22.

[19] Комаров М.А. Скорость наилучшего приближения констант наипростейшими дробями и альтернанс // Мат. заметки. 2015. Т. 97. С. 718732.

[20] Комаров М.А. О неединственности наипростейшей дроби наилучшего равномерного приближения // Изв. вузов. Матем. 2013. №9. С. 28-37.

[21] Комаров М.А. Критерий наилучшего приближения констант наипростейшими дробями // Мат. заметки. 2013. Т. 93. С. 209-215.

[22] Александров А.Б. Норма преобразования Гильберта в пространстве гёльдеровых функций // Функц. анализ и его прил. 1975. Т. 9, №2. С. 1-4.

[23] Ахиезер Н.И. Лекции по теории аппроксимации. — М.: Наука, 1965.

[24] Бабенко В.Ф., Пичугов С.А. Точное неравенство для производной тригонометрического полинома, имеющего только вещественные нули // Матем. заметки. 1986. Т. 39, №3. С. 330-336.

[25] Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т. 1. Гипергеометрическая функция. Функции Лежандра. — М.: Наука, 1965.

[26] Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т. 2. Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены. — М.: Наука, 1966.

[27] Бернштейн С.Н. Экстремальные свойства полиномов и наилучшее приближение непрерывных функций одной одной вещественной переменной. — Л.-М.: ГОНТИ, 1937.

[28] Бородин П.А. Приближение наипростейшими дробями с ограничением на полюсы. II // Матем. сб. 2016. Т. 207, №3. С. 19-30.

[29] Бородин П.А., Косухин О.Н. О приближении наипростейшими дробями на действительной оси // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1 Матем., мех. 2005. №1. С. 3-8.

[30] Глазырина П.Ю. Неравенство братьев Марковых в пространстве Ь0 на отрезке // Матем. заметки. 2005. Т. 78, №1. С. 59-65.

[31] Говоров Н.В., Грушевский С.П. О некоторых метрических свойствах граничных значений функций, аналитических в полуплоскости // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1984. Т. 48, №4. С. 659-675.

[32] Говоров Н.В., Лапенко Ю.П. Оценки снизу модуля логарифмической производной многочлена // Матем. заметки. 1978. Т. 23, №4. С. 527535.

[33] Голузин Г.М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. — М.: Наука, 1966.

[34] Гончар А.А. Обратные теоремы о наилучших приближениях рациональными функциями // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1961. Т. 25. С. 347-356.

[35] Данченко В.И. О сходимости наипростейших дробей в Lp (R) // Матем. сб. 2010. Т. 201, №7. С. 53-66.

[36] Данченко В.И. Об аппроксимативных свойствах сумм вида

xkh(Xkz) // Матем. заметки. 2008. Т. 83, №5. С. 643-649.

[37] Данченко В.И. Оценки производных наипростейших дробей и другие вопросы // Матем. сборник. 2006. Т. 197, №4. С. 33-52.

[38] Данченко В.И. Оценки расстояний от полюсов логарифмических производных многочленов до прямых и окружностей // Матем. сб. 1994. Т. 185, №8. С. 63-80.

[39] Данченко В.И., Данченко Д.Я. О приближении наипростейшими дробями // Матем. заметки. 2001. Т. 70, №4. С. 553-559.

[40] Данченко В.И., Додонов А.Е. Оценки Lp-норм наипростейших дробей // Изв. вузов. Матем. 2014. №6. С. 9-19.

[41] Данченко В.И., Кондакова Е.Н. Чебышёвский альтернанс при аппроксимации констант наипростейшими дробями // Труды МИАН. 2010. Т. 270. С. 86-96.

[42] Дзядык В.К. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами. — М.: Наука, 1977.

[43] Дзядык В.К. О конструктивной характеристике функций, удовлетворяющих условию Lip а (0 < а < 1) на конечном отрезке вещественной оси // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1956. Т. 20, №5. С. 623-642.

[44] Дзядык В.К., Филозоф Л.И. О скорости сходимости аппроксимаций Паде для некоторых элементарных функций // Матем. сб. 1978. Т. 107, №3. С. 347-363.

[45] Долженко Е.П. Оценки производных рациональных функций // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1963. Т. 27, №1. С. 9-28.

[46] Зигмунд А. Тригонометрические ряды. Т. 1. — М.: Мир, 1965.

[47] Каюмов И.Р. Сходимость рядов наипростейших дробей в Lp (R) // Матем. сб. 2011. Т. 202, №10. С. 87-98.

[48] Кондакова Е.Н. Интерполяция наипростейшими дробями // Изв. Са-рат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2009. Т. 9, №2. С. 30-37.

[49] Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть 1. — М.: Физматлит, 2001.

[50] Косухин О.Н. Об аппроксимационных свойствах наипростейших дробей // Вестн. МГУ. Сер. 1. Матем., мех. 2001. №4. С. 54-59.

[51] Косухин О.Н. О некоторых нетрадиционных методах приближения, связанных с комплексными полиномами, Дисс. ... канд. физ.-матем. наук, М.: МГУ, 2005.

[52] Кусис П. Введение в теорию пространств Hp. — М.: Мир, 1984.

[53] Лебедев Н.Н. Специальные функции и их приложения. — М.-Л.: Физ-матлит, 1963.

[54] Минк Х. Перманенты. — М.: Мир, 1982.

[55] Новак Я.В. Апроксимацшш та штерполяцшш властивост найпрость ших дробiв, Дисс. ... канд. физ.-матем. наук, ИМ НАН Украины, Киев, 2009.

[56] Новак Я.В. Критерш типу Колмогорова для найпростших дробiв // Збiрник праць Ы-ту математики НАН УкраТни. 2010. Т. 7, №2. С. 385-392.

[57] Протасов В.Ю. Приближения наипростейшими дробями и преобразование Гильберта // Изв. РАН. Сер. матем. 2009. Т. 73, №2. С. 123-140.

[58] Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Т. 3. Специальные функции. Дополнительные главы. — Москва: Физ-матлит, 2003.

[59] Сегё Г. Ортогональные многочлены. — М.: Физматлит, 1962.

[60] Abakumov E, Borichev A., Fedorovskiy K. Chui's conjecture in Bergman spaces // Math. Ann. 2021. Vol. 379, no. 3-4. P. 1507-1532.

[61] Anderson J.M., Eiderman V.Ya. Cauchy transforms of point masses: the logarithmic derivative of polynomials // Ann. of Math. (2). 2006. Vol. 163. P. 1057-1076.

[62] Baernstein A. Some sharp inequalities for conjugate functions // Indiana Univ. Math. J. 1978. Vol. 27. P. 833-852.

[63] Borwein P. The size of {x : r'n/rn > 1} and lower bounds for \\e-x — rn|| //J. Approx. Theory. 1982. Vol. 36, no. 1. P. 73-80.

[64] Borwein P., Rakhmanov E.A., Saff E.B. Rational approximation with varying weights I // Constr. Approx. 1996. Vol. 12. P. 223-240.

[65] de Bruin M.G., Saff E.B., Varga R.S. On the zeros of the generalized Bessel polynomials // Indag. Math. (Proc.). 1981. Vol. 84, no. 1. P. 1-13.

[66] Chui C.K. A lower bound of fields due to unit point masses // Amer. Math. Monthly. 1971. Vol. 78, no. 7. P. 779-780.

[67] Chui C.K. On approximation in the Bers spaces // Proc. Amer. Math. Soc. 1973. Vol. 40, no. 2. P. 438-442.

[68] Chui C.K., Shen X.C. Order of approximation by electrostatic fields due to electrons // Constr. Approx. 1985. Vol. 1, no. 1. P. 121-135.

[69] Chunaev P.V., Danchenko V.I. Approximation by amplitude and frequency operators //J. Approx. Theory. 2016. Vol. 207. P. 1-31.

[70] Chunaev P.V., Danchenko V.I. Quadrature formulas with variable nodes and Jackson-Nikolskii inequalities for rational functions //J. Approx. Theory. 2018. Vol. 228. P. 1-20.

[71] Davis B. On the weak type (1,1) inequality for conjugate function // Proc. Amer. Math. Soc. 1974. Vol. 44. P. 307-311.

[72] Egervary E. Uber gewisse Extremumprobleme der Funktionentheorie // Math. Ann. 1928. Vol. 99. P. 542-561.

[73] Erdélyi T. Turan-type reverse Markov inequalities for polynomials with restricted zeros // Constr. Approx. 2021. Vol. 54, no. 1. P. 35-48.

[74] Erod J. Bizonyos polinomok maximumanak also korlatjarol // Mat. Fiz. Lapok. 1939. Vol. 46. P. 58-82 (in Hungarian); English translation: On the lower bound of the maximum of certain polynomials // East J. Approx. 2006. Vol. 12. P. 477-501.

[75] Glazyrina P.Yu, Revész Sz.Gy. Turan type converse Markov inequalities in Lq on a generalized Erod class of convex domains //J. Approx. Theory. 2017. Vol. 221. P. 62-76.

[76] Govil N.K. On the derivative of a polynomial // Proc. Amer. Math. Soc. 1973. Vol. 41, no. 2. P. 543-546.

[77] Grosswald E. Bessel Polynomials (Lecture Notes in Mathematics). — New York: Springer-Verlag, 1978.

[78] Hedenmalm H., Korenblum B, Zhu K. Theory of Bergman Spaces. — New York: Springer, 2000.

[79] Howard F.T. The sum of the mth powers of the zeros of the generalized Bessel polynomial //J. Math. Anal. Appl. 1993. Vol. 172. P. 432-451.

[80] Jevtic M, Vukotic D., Arsenovic M. Taylor Coefficients and Coefficient Multipliers of Hardy and Bergman-Type Spaces (RSME - Springer Series, vol. 2). — Cham (Switzerland): Springer, 2016.

[81] Kober H. A note on Hilbert's operator // Bull. Amer. Math. Soc. 1942. Vol. 48. P. 421-427.

[82] Korevaar J. Asymptotically neutral distributions of electrons and polynomial approximation // Ann. of Math. (2). 1964. Vol. 80, no. 2. P. 403-410.

[83] Kristiansen G.K. Solution to problem 80-16 // SIAM Rev. 1982. Vol. 24. P. 77-78.

[84] Levenberg N., Poletsky E.A. Reverse Markov inequality // Ann. Acad. Sci. Fenn. Math. 2002. Vol. 27. P. 173-182.

[85] Macintyre A.J., Fuchs W.H.J. Inequalities for the logarithmic derivatives of a polynomial // J. London Math. Soc. 1940. Vol. 15. P. 162-168.

[86] Newman D.J. A lower bound for an area integral // Amer. Math. Monthly. 1972. Vol. 79, no. 9. P. 1015-1016.

[87] Newman D.J. Optimal relative error rational approximations to ex // J. Approx. Theory. 1984. Vol. 40. P. 111-114.

[88] Osçkowski A. On the best constants in the weak type inequalities for reexpansion operator and Hilbert transform // Trans. Amer. Math. Soc. 2012. Vol. 364. P. 4303-4322.

[89] Petrushev P.P., Popov V.A. Rational approximation of real functions (Encyclopedia of mathematics and its applications). — Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1987.

[90] Rahman Q.I. On a property of rational functions. II // Proc. Amer. Math. Soc. 1973. Vol. 40, no. 1. P. 143-145.

[91] Révész Sz.Gy. Turan type reverse Markov inequalities for compact convex sets // J. Approx. Theory. 2006. Vol. 141. P. 162-173.

[92] Rubinstein Z, Saff E.B. Bounded approximation by polynomials whose zeros lie on a circle // Proc. Amer. Math. Soc. 1971. Vol. 29, no. 3. P. 482-486.

[93] Stein E.M., Wéiss G. Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces. — Princeton: Princeton University Press, 1971.

[94] Turan P. Über die Ableitung von Polynomen // Compos. Math. 1939. Vol. 7. P. 89-95.

[95] Varma A.K. An analogue of some inequalities of P. Turan concerning algebraic polynomials having all zeros inside [—1, +1] // Proc. Amer. Math. Soc. 1976. Vol. 55. P. 305-309.

[96] Xiao W., Zhou S.P. On weighted Turan type inequality // Glas. Math. Ser. III. 1999. Vol 34(54). P. 197-202.

[97] Zhou S.P. An extension of the Turan inequality in Lp-space for 0 < p < 1 //J. Math. Res. Expos. 1986. Vol. 6. P. 27-30.

[98] Zhou S.P. Some remarks on Turan's inequality. III: The completion // Analysis Math. 1995. Vol. 21. P. 313-318.