Некоторые условия обратимости разностных операторов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Колесников, Игорь Александрович

• Колесников, Игорь Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 2000

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Колесников, Игорь Александрович

УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ.

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. МАТРИЧНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ ОГРАНИЧЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ И ОЦЕНКИ ЭЛЕМЕНТОВ ОБРАТНЫХ МАТРИЦ

ДЛЯ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ ОПЕРАТОРОВ.

§1.1. Ряды Фурье и матричное представление линейных операторов.

§ 1.2. Структура обратных матриц для операторов с ленточными матрицами.

ГЛАВА 2. ОБРАТИМОСТЬ И ФРЕДГОЛЬМОВОСТЬ РАЗНОСТНЫХ ОПЕРАТОРОВ И

ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНАЯ ДИХОТОМИЯ

§ 2.1. Экспоненциальная дихотомия на бесконечности.

§ 2.2. Условия обратимости и фредгольмовости оператора V и структура ядер операторов V и V*.

§ 2.3. Структура образов операторов V и Т>*

ГЛАВА 3. ОБРАТИМОСТЬ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ ОПЕРАТОРОВ С МЕДЛЕННО МЕНЯЮЩИМИСЯ

КОЭФФИЦИЕНТАМИ.

§ 3.1. Достаточные условия обратимости конечнодиагональных операторов с медленно меняющимися коэффициентами.

§ 3.2. Обратимость и фредгольмовость разностных операторов, содержащих взвешенный сдвиг.

§ 3.3. Интегральные операторы с медленно меняющимися коэффициентами.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Некоторые условия обратимости разностных операторов»

Настоящая диссертация посвящена вопросам обратимости разностных операторов, а также матричному анализу некоторых классов ограниченных операторов, в том числе и интегральных, тесно связанных с разностными.

За последние десятилетия все более отчетливо вырисовывается роль, которую играют разностные операторы и связанные с ними разностные уравнения с дискретным и непрерывным аргументом для понимания процессов и явлений, происходящих в системах самой различной природы. Теория разностных уравнений находит разнообразные приложения во всех областях современной науки, в том числе, в биологии, экономике, химии, физике, теории автоматического регулирования. Разностными уравнениями являются всевозможные рекуррентные соотношения. Особое внимание к разностным операторам и уравнениям, их содержащим, обусловлено, прежде всего, применением аппарата разностных операторов в исследованиях разрешимости различных дифференциальных, интегральных и функциональных уравнений. Подобные исследования различных классов уравнений осуществлялись в работах многих авторов, в частности, в работах А.Г. Баскакова [9, 10, 11, 13], Р. Беллмана и К.Л. Кука [16], И.Ц. Гохберга и И.А. Фельдмана [20], П.П. Забрейко и Нгуен Ван Миня [25], С.Г. Крей-на [30], В.Г. Курбатова [33, 34, 66], Б.М. Левитана и В.В. Жикова [35], Х.Л. Массера и Х.Х. Шеффера [38], В.М. Тюрина [53], Д. Хенри [56], А.Н. Шарковского, Ю.Л. Майстренко и Е.Ю. Романенко [58].

Среди всех разностных операторов отдельный интерес представляют часто возникающие в приложениях операторы взвешенного сдвига. Первые исследования, посвященные этим операторам, появились еще в конце прошлого - начале нашего столетия. Так, в работах О. Перрона [69] и X. Пуанкаре [70] изучались вопросы поведения на бесконечности некоторых типов разностных операторов, относящихся к операторам взвешенного сдвига.

Операторы взвешенного сдвига являются объектом исследования в спектральной теории динамических систем, что отражено в монографиях 3. Нитецки [45] и П. Халмоша [55], а также в работах А.Г. Синая [29] и A.M. Степина [27, 52] и других. Связь оператора взвешенного сдвига с задачами теории функции рассматривалась в работах Н.К. Никольского [43, 44], A.A. Миролюбова и М.А. Солдатова [39, 40], а также Ю.Ф. Коробейника [28] и A.JI. Шилдса (A.L.Shields) [71, 72].

Сами операторы взвешенного сдвига и их спектральные свойства исследуются различными авторами, например, структура спектра оператора взвешенного сдвига на группе вращений единичной окружности в комплексной плоскости, порожденного иррациональными вращениями окружности, изучались в работах А.Б. Антоневича [2, 4, 5], Ж. Диксмье [23], Н.К. Карапетянца [26], Э. Мухамадиева и Б.Н. Садовского [42], С. Парро (S. Parrot) [67].

Спектральные свойства операторов взвешенного сдвига и условия обратимости разностных операторов, их содержащих, находят широкое применение в теории дифференциальных операторов (см. [9, 10, 11, 13, 25, 35, 38, 53, 56]). Как правило, исследования обратимости дифференциального или связанного с ним разностного операторов проводятся в терминах экспоненциальной дихотомии соответствующего семейства эволюционных операторов. Связь экспоненциальной дихотомии с разрешимостью неоднородных дифференциальных уравнений в пространстве непрерывных ограниченных на Ж функций установлена О. Перроном [68]. Дальнейшие исследования в этой области продолжались А.Д. Майзелем [37], а для уравнений в банаховых пространствах с ограниченными операторными коэффициентами -X. Массера и X. Шеффером [38]. Однако, даже для обыкновенного дифференциального оператора с ограниченными коэффициентами достаточно долго не удавалось доказать эквивалентность его обратимости и экспоненциальной дихотомии соответствующего семейства. Например, в монографии Ю.Л. Далецкого и М.Г. Крейна [21] аналог этого утверждения получен при некоторых дополнительных условиях. Этот результат, причем сразу для случая неограниченных операторных коэффициентов, получен в работах В.В. Жикова [24] и А.Г. Баскакова [9, 11, 13].

Экспоненциальную дихотомию для разностных уравнений в банаховом пространстве рассматривали С. Коффман и X. Шеффер [61], делая упор на связь дихотомии и допустимости. В работе В.Е. Слюсарчука [51] доказана эквивалентность обратимости разностного оператора с ограниченными операторными коэффициентами, содержащего взвешенный сдвиг, и экспоненциальной дихотомии соответствующего семейства эволюционных операторов. Аналогичный результат для случая ограниченных коэффициентов, определяющих (возможно) неограниченную операторнозначную функцию, получен в монографии Д. Хенри [56]. В обеих работах операторы рассматривались в пространстве ¿оо(^> X). Соответствующий результат для всех пространств 1Р(Ъ,Х) (1р(Ъ+,Х)) (р £ [1, оо]) получен в работах А.Г. Баскакова [9, 11, 13]. Так, в работе [13] был доказан общий результат, утверждающий эквивалентность обратимости абстрактного линейного дифференциального параболического оператора и разностного оператора V — I — Кц € Епс\1Р{Ъ, X), где )Сц - оператор взвешенного сдвига

К,1(х)(п) = и(п)х(п — 1), nGZ.

При этом необходимым и достаточным условием обратимости оператора V является экспоненциальная дихотомия соответствующего семейства эволюционных операторов на множестве Ъ.

Другими часто возникающими в приложениях классами разностных операторов являются операторы с постоянными или медленно меняющимися коэффициентами. Такие операторы возникают, например, при изучении стационарных или близких к ним в каком-то смысле систем. Условия обратимости операторов с постоянными коэффициентами хорошо изучены (см., например, [16, 33, 66]). Для операторов с медленно меняющимися коэффициентами применяется известный метод замороженных коэффициентов, идея которого восходит к А.М. Ляпунову [36]. Для дифференциальных операторов с медленно меняющимися коэффициентами этот метод получил дальнейшее развитие в работах А.Г. Баскакова [10, 15] и М.К. Чернышо-ва [15]. В работах В.И. Кузнецовой [31, 32] методом замораживания получены достаточные условия обратимости для некоторых классов разностных операторов с дискретным и непрерывным аргументом и рассмотрена задача об устойчивости соответствующих разностных уравнений.

Эффективным аппаратом для исследования связанных с обратимостью свойств разностных и интегральных операторов является матричный анализ, позволяющий изучать свойства операторов через структуру их матрицы. Заметим, что представление оператора в виде матрицы можно интерпретировать как один из способов сведения линейного ограниченного оператора к некоторому разностному оператору (см. [12, 33, 34, 66]). В работах В.Г. Курбатова [33, 34, 66] матричный анализ применяется для исследования некоторых классов разностных, дифференциальных и интегральных операторов, действующих в функциональных банаховых пространствах. В работах В.Ф. Пуляева [46, 47] сведением к некоторому семейству операторов, действующих в пространстве функций на отрезке, а фактически, переходом к матричному представлению исследуются разрешимость и свойства решений интегрального уравнения для некоторого ш 6 М+.

Таким образом, самостоятельный интерес представляет исследование структуры матрицы оператора для рассматриваемых классов операторов. x(t) = Kit, s)x(s)ds + fit), xj E C(R, Cn) 00 причем ядро К : Ш х Ж. —у End С" удовлетворяет условию

K(t + w,s + uj) = K(t,s), t,seR

Информация о структуре матрицы линейного оператора может лежать в основе конструктивного метода нахождения обратного оператора и его матрицы. В настоящее время опубликовано достаточно много работ, посвященных изучению структуры матрицы обратного оператора, среди них работы Т.В. Азарновой [1], А.Г. Баскакова [6, 7, 12, 14], И.А. Блатова [17, 18, 19], С. Демко (S. Demko), Ф. Мосса (F. Moss) и В. Смита (W. Smith) [64, 65], В.Г. Курбатова [33, 34, 66], М.А. Шубина [59]. Как правило, структура обратных операторов выражается в терминах асимптотических или конкретных оценок убывания элементов обратных матриц.

Так, в работе М.А. Шубина [59] исследуются классы псевдоразностных операторов, действующих в пространствах функций lp(G), где G - псевдооднородное счетное дискретное метрическое пространство. Доказано, что если обратный оператор всюду определен и ограничен в lp(G), то для матрицы обратного оператора (называемой функцией Грина) закон убывания внедиагональных элементов аналогичен закону, определяющему рассматриваемый класс псевдоразностных операторов. Для параметров данного закона получены оценки, носящие асимптотический характер.

В работах В.Г. Курбатова [33, 34, 66] изучаются различные классы линейных операторов. Доказывается асимптотическое поведение элементов матрицы обратного оператора. Кроме того, в работах [33, 66] полученные оценки применяются к теории интегральных операторов. Они касаются доказательства наполненности в пространствах Lpq(G, Е) (G - локально компактная абелева группа, Е - конечномерное банахово пространство) подалгебр операторов вида В — XI + А (А ф 0), где А - интегральный оператор с определенным типом убывания внедиагональных элементов ядра.

Асимптотические оценки для некоторых классов операторов, действующих в бесконечномерном комплексном банаховом пространстве X, получены в работах Баскакова А.Г. [6, 7, 12, 14]. Исследования структуры матрицы обратного оператора здесь основываются на ряде теорем о сохранении типа убывания коэффициентов Фурье обратного оператора для обратимого почти периодического (относительно сильно непрерывного представления локально компактной абелевой группы (?) оператора с абсолютно суммируемым с некоторым субэкспоненциальным весом рядом Фурье а - счетная подгруппа из двойственной группы наделенной дискретной топологией). Результаты исследования формулируются в терминах наполненности рассматриваемых классов.

Достаточно широкий спектр классов линейных операторов изучается в работах Блатова И.А. [17, 18, 19]. Так, в статье [17] автором исследуются различные классы операторов, действующих в пространствах 1Р и имеющих псевдоразреженные матрицы. Для матричных элементов обратных операторов получены асимптотические оценки.

Знание (асимптотических) оценок скорости убывания элементов обратных матриц играет существенную роль при рассмотрении многих задач вычислительной математики [17, 18, 19], приводящих к системам алгебраических уравнений бесконечного порядка, при доказательстве ограниченности по ¿оо-норме операторов проектирования на подпространство сплайнов [63], в спектральной теории операторов [12, 18] и гармоническом анализе [6, 7, 8].

Но, при рассмотрении различных приложений очень часто оказывается недостаточным знать только скорость убывания (асимптотические оценки) элементов матрицы обратного оператора, вместо этого требуются конкретные, в каком-то смысле, более точные оценки этих элементов. Конкретным оценкам посвящены работы [1, 12, 50, 62, 64, 65]. Так, в работе [62] в связи с исследованием итерационного алгоритма решения сеточных аналогов эллиптических краевых задач были получены оценки матричных элементов Ь{7- (1 < г, 3 < п) оператора А~г, обратного к оператору А с трехдиагональной симметричной матрицей. Если оператор А задает матрицу с большим диагональным преобладанием, то найденные оценки элементов Ьц+j позволяют рассматривать эти элементы как убывающую геометрическую прогрессию р = 1 + ае. Диагональное преобладание характеризуется величиной ае, ае > 0. Подобный закон убывания может сохраниться и для несимметричных трехдиагональных матриц (см. [50]).

Операторам, матрицы которых имеют ленточную структуру, посвящены работы [64, 65]. Рассмотрены линейные ограниченные операторы, действующие в h{S) (S = {l.iV},Z+, или Z), и для них получены оценки вида

- Ibij\ < cAlwl, с = const, A е (0,1).

Важно отметить, что данные оценки зависят лишь от существенного спектра оператора АА* и, следовательно, устойчивы к ленточным компактным возмущениям.

Конкретные оценки для некоторых классов линейных операторов, действующих в произвольных банаховых пространствах, получены в работе [12]. Основной метод нахождения оценок состоит в использовании ограниченных представлений группы Жп для построения сильно суммируемого, в общем случае, ряда Фурье линейного оператора. Кроме того, в этой работе описано использование найденных оценок в некоторых вопросах спектрального анализа линейных операторов.

Классы операторов, описываемые с помощью многомерных матриц, т.е. матриц определенных на множестве Zn xZn, были исследованы в работе [1]. Для изучаемых классов многомерных матриц получены конкретные оценки элементов обратной матрицы. Эти результаты применяются для оценки ядер обратных операторов к интегральным операторам специального вида.

Вышеизложенное позволяет заметить, что разрешимость разностных и сводимых к ним уравнений, условия обратимости и фредгольмовости соответствующих разностных операторов и структура обратных операторов несомненно представляют собой интересную область современного анализа. Исследованию условий обратимости разностных и тесно связанных с ними интегральных операторов и структуры матриц обратных к ним операторов посвящена данная диссертационная работа.

Основные цели работы состоят в следующем:

- исследовать структуру матрицы обратного оператора к обратимому линейному ограниченному оператору с двухдиагональной матрицей, действующему в банаховом пространстве X;

- изучить условия обратимости и фредгольмовости разностного оператора V = I — Ки, гДе К>и " оператор взвешенного сдвига, семейство эволюционных операторов которого допускает экспоненциальную дихотомию на множествах {.,т1 — З-,??^} и {тп2:т2 + 1,.} для целых чисел тх < тог;

- методом замороженных коэффициентов найти достаточные условия обратимости некоторых классов разностных и интегральных операторов.

Исследования, представленные в настоящей работе, проводились с использованием методов теории линейных операторов, гармонического анализа, функционального исчисления операторов, теории представлений абе-левых групп и теории функций комплексного переменного.

Все результаты диссертации являются новыми. В качестве основных результатов работы можно выделить следующие:

- получены конкретные оценки элементов матрицы обратного оператора для линейных ограниченных операторов, имеющих двухдиагональную или конечнодиагональную матрицу , в том числе и для оператора содержащего взвешенный сдвиг;

- в терминах экспоненциальной дихотомии на бесконечности получены необходимые и достаточные условия обратимости и фредгольмовости оператора V;

- найдены достаточные условия обратимости некоторых классов разностных и интегральных операторов.

Работа носит теоретический характер. Полученные в диссертации результаты и методы их обоснования могут быть использованы в различных вопросах спектральной теории разностных, дифференциальных и интегральных операторов, в теории функциональных уравнений и методах вычислений.

Результаты диссертации докладывались и обсуждались на семинарах кафедры математических методов исследования операций Воронежского государственного университета (руководитель - профессор А.Г. Баскаков), научных сессиях ВГУ, на конференции "Математическое моделирование систем. Методы, приложения и средства", на Международной научной конференции "Нелинейный анализ и функционально - дифференциальные уравнения", на Воронежской весенней математической школе "Понтрягин-ские чтения - X. Современные методы в теории краевых задач".

Перейдем теперь к обзору основных результатов диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, списка литературы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Колесников, Игорь Александрович, 2000 год

1. Азарпова Т.В. Оценки элементов обратных матриц для некоторых классов линейных ограниченных операторов // Известия ВУЗов, сер. Математика. 1998. № 3(430). С. 74-77.

2. Антоневич A.B. Линейные функциональные уравнения. Операторный подход. Минск: Изд-во Университетское, 1988. - 231 с.

3. Антоневич A.B., Радыно Я.В. Функциональный анализ и интегральные уравнения. Минск: Изд-во Университетское, 1984. - 351 с.

4. Антоневич A.B., Рыбкин В.Б. О нормальной разрешимости задачи о периодических решениях линейного дифференциального уравнения с отклоняющимся аргументом // Диф. уравнения. 1974. Т. 10, № 3. С. 1347-1353.

5. Антоневич A.B., Рыбкин В.Б. Операторы, порожденные гомеоморфизмами окружности, сопряженными повороту //Мат. зам. 1982. Т. 31,B. 5. С. 773-783.

6. Баскаков А.Г. Абстрактный гармонический анализ и асимптотические оценки элементов обратных матриц //Мат. зам. 1992. Т. 52, К5 2.C.17-25.

7. Баскаков А.Г. Асимптотические оценки элементов матриц обратных операторов и гармонический анализ // Сиб. матем. журн. 1997. Т. 38, № 1. С. 14-28.

8. Баскаков А.Г. Гармонический анализ линейных операторов. Воронеж: Изд-во ВГУ, 1987. - 164 с.

9. Баскаков А.Г. Линейные дифференциальные операторы с неограниченными операторными коэффициентами и полугруппы разностных операторов // Мат. зам. 1996. Т. 59, № 6. С.811-820.

10. Баскаков А.Г. Некоторые условия обратимости линейных дифференциальных и разностных операторов// Доклады Академии Наук. Серия Математика. 1993. Т. 333, № 3. с. 282-284.

11. Баскаков А.Г. О корректности линейных дифференциальных операторов // Матем. сборник. 1999. Т. 190, № 3. С. 3-28.

12. Баскаков А.Г. Оценки элементов обратных матриц и спектральный анализ линейных операторов // Известия РАН. Серия матем. 1997. Т. 61, № 6. С. 3-26.

13. Баскаков А.Г. Полугруппы разностных операторов в спектральном анализе линейных дифференциальных операторов // Функц. ан. и его прил. 1996. Т. 30, № 3. С. 1-11.

14. Баскаков Д.Г. Теорема Винера и асимптотические оценки элементов обратных матриц // Функц. ан. и его прил. 1990. Т. 24, № 3. С. 64-65.

15. Баскаков А.Г., Чернышов М.К. Некоторые условия обратимости дифференциальных операторов второго порядка//Укр. матем. журн. 1995. Т. 47, № 3. с. 411-413.

16. Беллман Р., Кук K,JI. Дифференциально-разностные уравнения. М.: Мир, 1967. - 231 с.

17. Блатов И.А. Об оценках элементов обратных матриц и о модификациях метода матричной прогонки // Сиб. матем. журн. 1992. Т. 32, № 2. С. 10-21.

18. Блатов И.А. Об алгебрах операторов с псевдоразреженными матрицами и их приложениях //Сиб. матем. журн. 1996. Т. 37, № 1. С. 36-59.

19. Блатов И.А., Тертерян A.A. Об оценках элементов обратных матриц и методах неполной блочной факторизации на основе матричнойпрогонки //Журн. вычисл. матем. и матем. физики. 1992. Т. 32, № 11. С. 1683-1696.

20. Гохберг И.Ц., Фельдман И.А. Уравнения в свертках и проекционные методы их решения. М.: Наука, 1971. - 352 с.

21. Далецкий Ю.Л., Крейн М.Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. М.: Наука, 1970. - 536 с.

22. Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. В 3-х т.- М.: Мир, 1966. Т.1: Общая теория. 895 с.

23. Диксмье Ж.С*-алгебры и их представления. М.: Наука, 1974. - 399 с.

24. Жиков В.В. Некоторые вопросы допустимости и дихотомии. Принцип усреднения// Изв. АН СССР. Сер. матем. 1976. Т. 40, № 6. С. 1380-1408.

25. Забрейко П.П., Нгуен Ван Минь. Группа характеристических операторов и её применения в теории линейных обыкновенных дифференциальных операторов// Доклады Академии Наук. Серия Математика. 1992. Т. 324, № 1. С. 24-28.

26. Карапетянц Н.К. Об одном классе операторов сдвига // Изв. Сев.-Кавказ. науч. центра высш. шк. 1976. № 3. С. 11-12.

27. Каток A.B., Синай Я.Г., Степин A.M. Теория динамических систем и общих групп преобразований с инвариантной мерой // Итоги науки и техники: Мат. анализ. М.: ВИНИТИ, 1975. Т. 13. С. 129-262.

28. Коробейник Ю.Ф. Операторы сдвига на числовых семействах. -Ростов-на-дону: Изд-во Ростов, ун-та, 1983. 155 с.

29. Корнфельд И.Л., Синай Я.Г., Фомин С.В.Эргодическая теория. М.: Наука, 1980. - 384 с.

30. Крейн С.Т.Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. М.: Наука, 1967. - 464 с.

31. Кузнецова В.И. О дискретных линейных системах с медленно меняющимися коэффициентами// АиТ. 1990. N« 7. С. 43-48.

32. Кузнецова В.И. Оценки обратных к разностным операторам с медленно меняющимися коэффициентами. Воронеж, гос. техн. ун-т. Воронеж, 1994. - 23 с. - Деп. в ВИНИТИ 05.07.94., № 1666-В94.

33. Курбатов В.Г. Линейные дифференциально-разностные уравнения. -Воронеж: Изд-во ВГУ, 1990. 168 с.

34. Курбатов В.Г. Об алгебрах разностных и интегральных операторов // Функц. ан. и его прил. 1990. Т. 24, № 2. С. 98-99.

35. Левитан Б.М., Жиков В.В. Почти периодические функции и дифференциальные уравнения. М.: Изд-во МГУ, 1978. - 205 с.

36. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. М.-Л.: Го-стехиздат, 1950. - 452 с.

37. Майзель А.Д. Об устойчивости решений систем дифференциальных уравнений // Труды Уральского политехи, ин-та. Сер. матем. 1954. В. 51. С. 20-50.

38. МассераХ.Л., Шеффер Х.Х. Линейные дифференциальные уравнения и функциональные пространства. М.: Мир, 1970. - 456 с.

39. Миролюбов A.A., Солдатов М.А.Линейные однородные разностные уравнения. М.: Наука, 1981. - 208 с.

40. Миролюбов A.A., Солдатов М.А. Линейные неоднородные разностные уравнения. М.: Наука, 1986. - 126 с.

41. Морен К. Методы гильбертова пространства. М.: Мир, 1965. - 570 с.

42. Мухамадиев Э., Садовский Б.Н. Об оценке спектрального радиуса одного оператора, связанного с уравнениями нейтрального типа //Мат. зам. 1973. Т. 13, № 1. С. 61-78.

43. Никольский Н.К. Инвариантные пространства в теории операторов и теории функций //Итоги науки и техники: Мат. анализ. М.: ВИНИТИ, 1974. Т. 12. С. 199-412.

44. Никольский Н.К. Лекции об операторе сдвига. М.: Наука, 1980. -384 с.

45. Нитецки 3. Введение в дифференциальную динамику. М.: Мир, 1975. -304 с.

46. Пуляев В.Ф. Ограниченные почти периодические решения линейных интегральных уравнений. I // Дифф. уравн. 1989. Т. 10. С. 1789-1797.

47. Пуляев В.Ф. Ограниченные почти периодические решения линейных интегральных уравнений. II// Дифф. уравн. 1990. Т. 8. С. 1423-1432.

48. Рабинович B.C. Операторные дискретные свертки и некоторые их приложения // Мат. заметки. 1992. Т. 51, № 1. С. 90-101.

49. Рудин, Функциональный анализ. М.: Мир, 1975. - 443 с.

50. Сандер С.А. Об одной оценке для трехдиагональных матриц // Сиб. матем. журн. 1990. Т. 31, № 5. С. 171-173.

51. Слюсарчук В.Е. Об экспоненциальной дихотомии решений дискретных систем //Укр. матем. журн. 1983. Т. 35, N5 1. С. 109-115.

52. Степин А.М Спектры динамических систем // Междунар. конгр. математиков в Ницце. 1970 г. Докл. сов. математиков. М.: Наука. 1972. С. 307-312.

53. Тюрин В.М. Об обратимости линейных дифференциальных операторов в некоторых функциональных пространствах // Сиб. матем. журн. 1991. Т. 32, № 3. С. 160-165.

54. Халмош П. Гильбертово пространство в задачах. Москва: Мир, 1970. - 352 с.

55. Халмош П. Лекции по эргодической теории. Москва: ИЛ, 1959. -147 с.

56. Хенри Д. Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений. М.: Мир, 1985. - 376 с.

57. Хьюитт Э. Росс К. Абстрактный гармонический анализ. М.: Наука; Мир, 1975. Т.1,2. - 654 е., 901 с.

58. Шарковский А.Н., Майстренко Ю.Л., Романенко Е.Ю.Разностные уравнения и их приложения Киев: Наукова думка, 1986. - 279 с.

59. Шубин М.А. Псевдоразностные операторы и их функция Грина //Изв. АН СССР. Сер. матем. 1985. Т. 49, № 3. С. 652-671.

60. Эдварде Р. Функциональный анализ. Теория и приложения. М.: Мир, 1969. - 1072 с.

61. Coffman S.V., Schaffer J.J. Dichotomies for linear difference equations // Math. Ann. 1967. V. 172. P. 139-166.

62. Concus P., Golub G.H., Meurant G. Block preconditioning for the conjugate gradient method // Univ. of California, Berkley: 1982. - (Lawrence Bewrence Berkley Laboratory, Rep. LBL-14856); SIAM J. Sci and Statist. Comput.- 1985. V. 6, № 1. P. 220-252.

63. De Boor C. A bound on the Ь^-погт of the L2- approximation by splines in terms of a global mesh ratio // Math.Comput. 1976. V.30. P.687-694.

64. Demko S., Moss F.,Smith W. Decay rates for inverses of band matrices // Math.Comput. 1984. V.43. P.491-499.

65. Demko S. Inverses of band matrices and local convergense of spline projection //SIAM J. Numer. Anal. 1977. V.14. P.616-619.

66. Kurbatov V.G. Functional differential operators and equations. Dordrecht-Boston-London: Kluwer Academic Publishers, 1999. - 430 p.

67. Parrot S. Weighted translation operators //Dissert. Abstr. 1965. V.26, № 5. P. 2781.

68. Perron O. Die Stabilitatsfrage bei Differentialgleichungen //Math. Z. 1930. V. 32, № 137. P. 703-728.

69. Perron 0. Uber die Poincaresche lineare Differenzgleichung // J. reine angvar. Math. 1910. № 137. P. 6-64.

70. Poincare H. Sur les equations lineaires aux différentielles ordinaries et aux differences fines // Amer. J. Math. 1885. № 7. P. 203.258.

71. Shields A.L. Weighted shift operator and analytyc function theory // Top. oper. theory. Math. Surv. 1974. V. 13. P. 49-128.

72. Shields A.L. Some problems in operator theory // Lect. Notes Math. 1978. № 693 P. 157-164.

73. Азарнова T.B., Колесников И.А. Оценки элементов обратных матриц для операторов с ленточными матрицами // Труды конф. "Математическое моделирование систем. Методы, приложения и средства", 1216 октября 1998 г. Воронеж, 1998. С. 3-8.

74. Азарнова Т.В., Колесников И.А. Условия обратимости операторов с медленно меняющимися коэффициентами // ИЗВЕСТИЯ РАЕН, серия МММИУ. 1999. Т.З., № 2. С. 5-14.

75. Колесников И.А. О некоторых аспектах обратимости операторов с медленным меняющимися коэффициентами // Системное моделирование социально-экономических процессов: Сборник научных трудов. Воронеж, 2000 г. - С. 117-125.

76. Колесников И.А. О структурных свойствах некоторых классов операторов с разреженным матрицами. Воронеж, 1999. -27 с. -Деп. в ВИНИТИ 30.12.99. № 3977-В99.

77. Колесников И.А. Оценки элементов обратных матриц для операторов с ленточными матрицами // Тез. докл. конф. "Математическое моделирование систем. Методы, приложения и средства", 12-16 октября 1998 г. Воронеж, 1998. - С. 44.

78. Колесников И.А. Условия обратимости некоторых разностных операторов // Тез. докл. Межд. научной конф. "Нелинейный анализ и функционально-дифференциальные уравнения", 15-20 мая 2000 г. Воронеж, 2000. - С. 124-125.

79. Колесников И.А. Условия обратимости операторов с замороженными коэффициентами // Тез. докл. Воронежской весенней матем. школы "Понтрягинские чтения X. Современные методы в теории краевых задач", 3-9 мая 1999 г. - Воронеж, 1999. - С. 131.

80. Колесников И.А. О некоторых условиях обратимости ленточных операторов с медленно меняющимися коэффициентами // Труды молодых ученых ВГУ. Воронеж, 1999 г. - С. 33-39.