Исследование обратимости разностных операторов методами спектральной теории упорядоченных пар операторов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Песковатсков, Виктор Юрьевич

• Песковатсков, Виктор Юрьевич
• кандидат физико-математических наук
• 2001

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Песковатсков, Виктор Юрьевич

Условные обозначения.

Введение

Глава 1.

Элементы спектральной теории пар операторов и обратимость разностных операторов

§ 1.1 Некоторые сведения из спектральной теории пар линейных операторов

§ 1.2 Об обратимости разностного оператора с постоянными коэффициентами.

§ 1.3 Об обратимости разностного оператора с переменными коэффициентами.

§ 1.4 Об обратимости замкнутого разностного оператора взвешенного сдвига с переменными коэффициентами.

Глава 2.

Обратимость и фредгольмовость разностных операторов взвешенного сдвига и экспоненциальная дихотомия.

§ 2.1 Экспоненциальная дихотомия на бесконечности.

§ 2.2 Условия обратимости и фредгольмовости оператора V и структура ядер операторов

V и V*

§ 2.3 Структура образов операторов V и V*

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование обратимости разностных операторов методами спектральной теории упорядоченных пар операторов»

Настоящая диссертация посвящена вопросам обратимости некоторых классов разностных операторов.

Отметим важную роль, которую играют разностные операторы и связанные с ними разностные уравнения с дискретным и непрерывным аргументом для описания процессов и явлений, происходящих в системах самой различной природы. Теория разностных уравнений находит разнообразные приложения во многих областях современной науки, в том числе, в биологии, экономике, химии, физике, теории автоматического регулирования, теории принятия решений и др. Разностными уравнениями являются всевозможные рекуррентные соотношения. Особое внимание к разностным операторам и уравнениям, их содержащим, обусловлено, прежде всего, применением аппарата разностных операторов в исследованиях разрешимости различных дифференциальных, интегральных и функциональных уравнений. Подобные исследования различных классов уравнений осуществлялись в работах многих авторов, в частности, в работах А.Г. Баскакова [8-11],Р. Беллмана и K.JI. Кука [17], И.Ц. Гохберга и И.А. Фельдмана [21], А.Б. Антоневича [1-4], П.П. Забрейко и Нгуен Ван Миня [27], В.Г. Курбатова [39,40], X.JI. Массера и Х.Х. Шеффера [45], В.М. Тюрина [66], Д. Хенри [69].

Основные результаты диссертации связаны с исследованием условий обратимости разностных операторов в терминах экспоненциальной дихотомии методами спектральной теории пар линейных операторов.

Пара операторов (Л, В) возникает, например, при исследовании задачи Коши:

Вх = Лт, t е R+, 1 < dimKerB < +оо, (*) ж(0) = ж0,

- 6 в которой линейные операторы Л, В действуют из банахова пространства X в банахово пространство Y.

Работы, в которых фигурировали как операторное уравнение (*), так и тесно связанная с ним упорядоченная пара линейных операторов, действующих в банаховом пространстве, впервые появились в 70-х годах в работах С.П. Зубовой, К.И. Чернышова [28], А. Фавини [81], А.Г. Руткаса (см. [59]). При этом возникал регулярный операторный пучок, зависящий от малого спектрального параметра. Наиболее полное отражение полученные результаты нашли в работе С.Г. Крейна и К.И. Чернышова [35].

В последнее десятилетие появились работы И.В. Мельниковой, М.А. Алыданского [46], Г.А. Свиридюка [61] и др., в которых фигурировал регулярный операторный пучок, зависящий от большого спектрального параметра.

Попытки изучать общую ситуацию начали предприниматься лишь совсем недавно, например, в работах А.Г. Баскакова и К.И. Чернышова (см. [15]).

Первые исследования, посвященные разностным операторам, появились еще в конце XIX - начале XX столетия. Так, в работах О. Перрона [85] и А. Пуанкаре [87] изучались вопросы поведения на бесконечности некоторых типов разностных операторов, связанных с операторами взвешенного сд в и га

Разностные операторы являются объектом исследования в спектральной теории динамических систем, что отражено в монографиях 3. Нитец-ки [53] и П. Халмоша [67,68], а также в работах А.Г. Синая [31,34] и A.M. Степина [65] и многих других. Связь разностных операторов с задачами теории функций рассматривалась в работах Н.К. Никольского [51,52], А.А. Миролюбова и М.А. Солдатова [47,48], Ю.Ф. Коробейника [33] и A.JI. Шилдса [89,90].

Спектральные свойства разностных операторов исследовались раз

- 7 личными авторами. Например, структура спектра оператора взвешенного сдвига на группе вращений единичной окружности в комплексной плоскости, порожденного иррациональными вращениями окружности, изучалась в работах А.Б. Антоневича [4], Ж. Диксмье [24], Н.К. Карапетянца [29], Э. Мухамадиева и Б.Н. Садовского [50], С. Парро [83].

Условия обратимости разностных операторов находят широкое применение в теории дифференциальных операторов (см. [8,9,10,12,27,42,45,66,69]). Как правило, исследования обратимости дифференциального или связанного с ним разностного операторов проводятся в терминах экспоненциальной дихотомии соответствующего семейства эволюционных операторов. Связь экспоненциальной дихотомии с разрешимостью неоднородных дифференциальных уравнений в пространстве непрерывных ограниченных на М. функций установлена О. Перроном [84,85]. Дальнейшие исследования в этой области продолжались А.Д. Майзелем [44], а для уравнений в банаховых пространствах с ограниченными операторными коэффициентами - X. Массера и X. Шеффером [45]. Однако, даже для обыкновенного дифференциального оператора с ограниченными коэффициентами достаточно долго не удавалось доказать эквивалентность его обратимости и экспоненциальной дихотомии соответствующего семейства. Например, в монографии Ю.Л. Далецкого и М.Г. Крейна [22] аналог этого утверждения получен при некоторых дополнительных условиях. Этот результат, причем сразу для случая неограниченных операторных коэффициентов, получен в работах В.В. Жикова [26] и А.Г. Баскакова [8,10,12]. '

Экспоненциальную дихотомию для разностных уравнений в банаховом пространстве рассматривали С. Коффман и X. Шеффер [76], делая упор на связь дихотомии и дощ^стимости. В работе В.Е. Слюсарчука [63] доказана эквивалентность обратимости разностного оператора с ограниченными операторными коэффициентами, содержащего взвешенный сдвиг, и экспо

- 8 ненциальной дихотомии соответствующего семейства эволюционных операторов. Аналогичный результат для случая ограниченных коэффициентов, определяющих (возможно) неограниченную операторнозначную функцию, получен в монографии Д. Хенри [69]. В обеих работах операторы рассматривались в пространстве /oo(Z,X). Соответствующий результат для всех пространств lp(Z,X) получен в работах А.Г. Баскакова [8,10,12].

Вышеизложенное позволяет заметить, что разрешимость разностных и сводимых к ним уравнений, условия обратимости и фредгольмовости соответствующих разностных операторов и структура обратных операторов несомненно представляют собой важную область современного анализа. Исследованию условий обратимости разностных операторов и структуры обратных к ним операторов посвящена данная диссертационная работа.

Основные цели работы состоят в следующем:

- изучить условия обратимости разностного оператора с постоянными коэффициентами V вида (Vx){n) — Ах(п) — Вх(п — 1) где п £ Z;

- изучить условия обратимости разностного оператора с переменными коэффициентами V вида (Vx)(n) = А(п)х(п) — В(п)х(п— 1) где п 6 Z;

- изучить условия обратимости и фредгольмовости разностного оператора V = I — В, где В - оператор взвешенного сдвига, семейство эволюционных операторов которого допускает экспоненциальную дихотомию на множествах {., т\ — 1, mi} и {гаг, mi + 1,.} для целых чисел т\ <m2

Исследования, представленные в настоящей работе, проводились с использованием методов теории линейных операторов, гармонического анализа, функционального исчисления операторов, теории представлений абе-левых групп и теории функций комплексного переменного, а также спектральной теории пар операторов.

Все результаты диссертации являются новыми. В качестве основных результатов работы можно выделить следующие:

- получены необходимые и достаточные условия обратимости разност

- 9 ного оператора с постоянными коэффициентами;

- в терминах экспоненциальной дихотомии получены необходимые и достаточные условия обратимости разностного оператора с переменными коэффициентами;

- в терминах экспоненциальной дихотомии на бесконечности получе--ны необходимые и достаточные условия обратимости и фредгольмовости оператора, содержащего взвешенный сдвиг, действующего в переменных пространствах X — (X(n), п £ Z).

Работа носит теоретический характер. Полученные в диссертации результаты могут быть использованы в различных вопросах спектральной теории разностных, дифференциальных и интегральных операторов, в теории функциональных уравнений и методах вычислений.

Результаты диссертации докладывались и обсуждались на семинарах кафедры математических методов исследования операций Воронежского 'государственного университета (руководитель - профессор А.Г. Баскаков), на Воронежской зимней математической школе "Современный анализ и его приложения", 28 января-4 февраля 2000 г., на Международной научной конференции "Нелинейный анализ и функционально - дифференциальные уравнения", на Воронежской весенней математической школе "Понтрягин-ские чтения - X. Современные методы в теории краевых задач", 15-20 мая 2000 г.

Диссертация состоит из введения, двух глав, списка литературы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Песковатсков, Виктор Юрьевич, 2001 год

1. Антоневич А.Б. Линейные функциональные уравнения. Операторный подход. - Минск: Изд-во Университетское, 1988. - 231 с.

2. Антоневич А.Б., Радыно Я.В. Функциональный анализ и интегральные уравнения. Минск: Изд-во Университетское, 1984. - 351 с.

3. Антоневич А.Б., Рыбкин В.Б. О нормальной разрешимости задачи о периодических решениях линейного дифференциального уравнения с отклоняющимся аргументом // Диф. уравнения. 1974. Т. 10, JY2 3. С. 13471353.

4. Антоневич А.Б., Рыбкин В.Б. Операторы, порожденные гомеоморфизмами окружности, сопряженными повороту // Мат. зам. 1982. Т. 31,B. 5. С. 773-783.

5. Баскаков А.Г. Абстрактный гармонический анализ и асимптотические оценки элементов обратных матриц j j Мат. зам. 1992. Т. 52, JY2 2.C.17-25.

6. Баскаков А.Г. Асимптотические оценки элементов матриц обратных операторов и гармонический анализ j j Сиб. матем. журн. 1997. Т. 38, № 1. С. 14-28.

7. Баскаков А.Г. Гармонический анализ линейных операторов. Воронеж: Изд-во ВГУ, 1987. - 164 с.

8. Баскаков А.Г. Линейные дифференциальные операторы с неограниченными операторными коэффициентами и полугруппы разностных операторов // Мат. зам. 1996. Т. 59, № 6. С.811-820.

9. Баскаков А.Г. Некоторые условия обратимости линейных дифференциальных и разностных операторов // Доклады Академии Наук. Серия Математика. 1993. Т. 333, № 3. с. 282-284.-93-'

10. Баскаков А.Г. О корректности линейных дифференциальных операторов // Матем. сборник. 1999. Т. 190, 3. С. 3-28.

11. Баскаков А.Г. Оценки элементов обратных матриц и спектральный анализ линейных операторов // Известия РАН. Серия матем. 1997. Т. 61, № 6. С. 3-26.

12. Баскаков А.Г. Полугруппы разностных операторов в спектральном анализе линейных дифференциальных операторов // Функц. анализ и его прил. 1996. Т. 30, 3. С. 1-11.

13. Баскаков А.Г. Теорем,а Винера и асимптотические оценки элементов обратных матриц // Функц. анализ и его прил. 1990. Т. 24, № 3. С. 64-65.

14. Баскаков А.Г., Пастухов А.И. Спектральный анализ оператора взвешенного сдвига с неограниченными операторными коэффициентами // Сиб. матем. журн. 2001. Т. 42, № 6. С. 1231-1243.

15. Баскаков А.Г., Чернышов К.И. К спектральной теории пар линейных операторов // Известия РАЕН. сер. МММИУ, 1997. Т.1, №2, С. 3-30.

16. Баскаков А.Г., Чернышов М.К. Цекот.орые условия обратимости дифференциальных операторов второго порядка// Укр. матем. журн. 1995. Т. 47, № 3. с. 411-413.

17. Беллман Р., Кук K.JI. Дифференциально-разностные уравнения. -М.: Мир, 1967. 231 с.

18. Блатов И.А. Об оценках элементов обратных матриц и о модификациях метода матричной прогонки // Сиб. матем. журн. 1992. Т. 32, № 2. С. 10-21.

19. Блатов И.А. Об алгебрах операторов с псевдоразреженными матрицами и их приложениях //' Сиб. матем. журн. 1996. Т. 37, К2 1. С. 3659.

20. Блатов И.А., Тертерян А.А. Об оценках элементов обратных матриц и методах неполной блочной факторизации на основе матричной- 94 прогонки // Журн. вычисл. матем. и матем. физики. 1992. Т. 32, 11. С. 1683-1696.

21. Гохберг И.Ц., Фельдман И.А. Уравнения в свертках и проекционные методы их решения. М.: На}'ка, 1971. - 352 с.

22. Далецкий Ю.Л., Крейн М.Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. М.: Наука, 1970. - 536 с.

23. Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. В 3-х т.- М.: Мир, 1966. Т.1: Общая теория. 895 с.

24. Диксмье Ж. С*-алгебры и их представления. М.: Наука, 1974. -399 с.

25. Диткин В.В. О некоторых спектральных свойствах пучка линейных ограниченных операторов // Матем. заметки, 1982, Т. 31, N 1, 75 -79.

26. Жиков В.В. Некоторые вопросы допустимости и дихотомии. Принцип усреднения// Изв. АН СССР. Сер. матем. 1976. Т. 40, № 6. С. 1380-1408.

27. Забрейко П.П., Нгуен Ван Минь. Группа характеристических операторов и её применения в теории линейных обыкновенных дифференциальных операторов// Доклады Академии Наук. Серия Математика. 1992. Т. 324, № 1. С. 24-28.

28. Зубова С.П., Чернышов К.И. О линейном дифференциальном уравнении с фредгольмовым оператором при производной // Дифференц. уравнения и их применение, вып. 14, Вильнюс, 1976, 21-38.

29. Карапетянц Н.К. Об одном классе операторов сдвига // Изв. Сев,-Кавказ. науч. центра высш. шк. 1976. JY2 3. С. 11-12.

30. Като Т. Теория возмущений линейных операторов М.: Мир, 1972, 740 с.

31. Каток А.Б., Синай Я.Г., Степин A.M. Теория динамических систем и общих групп преобразований с инвариантной мерой // Итоги науки и- 95 техники: Мат. анализ. М.: ВИНИТИ, 1975. Т. 13. С. 129-262.

32. Колесников И.А. Диссертационная работа па соискание степени кандидата физ.-магп. наук по специальности 01.01.01. Воронеж, 2000

33. Коробейник Ю.Ф. Операторы сдвига на числовых семействах. -Ростов-на-дону: Изд-во Ростов, ун-та, 1983. 155 с.

34. Корнфельд И.Л., Синай Я.Г., Фомин С.В.Эргодическая теория. -М.: Наука, 1980. 384 с.

35. Крейн С.Г., Чернышов К.И. Сингулярно возмущенные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве // Препринт ИМ СО АН СССР, Новосибирск, 1979, 18 с.

36. Крейн С.Т.Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. М.: Наука, 1967. - 464 с.

37. Кузнецова В.И. О дискретных линейных системах с медленно меняющимися коэффициентами// АиТ. 1990. 7. С. 43-48.

38. Кузнецова В.И. Оценки обратных к разностным операторам с медленно меняющимися коэффициентами. Воронеж, гос. техн. ун-т. Воронеж, 1994. - 23 с. - Деп. в ВИНИТИ 05.07.94., № 1666-В94.

39. Курбатов В.Г. Линейные дифференциально-разностные уравнения. Воронеж: Изд-во ВГУ, 1990. - 168 с.

40. Курбатов В.Г. Об алгебрах разностных и интегральных операторов // Функц. ан. и его прил. 1990. Т. 24, 2. С. 37. 98-99.

41. Иосида К. Функциональный анализ М.: Мир, 1967, 624 с.

42. Левитан Б.М., Жиков В.В. Почти периодические функции и дифференциальные уравнения. М.: Изд-во МГУ, 1978. - 205 с.

43. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. М.-Л.: Гостехиздат, 1950. - 452 с.

44. Майзель А.Д. Об устойчивости решений систем дифференциальных уравнений // Труды Уральского политехи, ин-та. Сер. матем. 1954. В. 51. С. 20-50.- 96

45. Maccepa X.JT., Шеффер Х.Х. Линейные дифференциальные уравнения и функциональные пространства. М.: Мир, 1970. - 456 с.

46. Мельникова И.В., Альшанский М.А. Корректность вырожденной задачи Коши в банаховом пространстве // Докл. РАН, 1994, Т. 336, N 1, 17-20.

47. Миролюбов А.А., Солдатов М.А.Линейные однородные разностные уравнения. М.: Наука, 1981. - 208 с.

48. Миролюбов А.А., Солдатов М.А. Линейные неоднородные разностные уравнения. М.: Наука, 1986. - 126 с.

49. Морен К. Методы гильбертова пространства. М.: Мир, 1965. -570 с.

50. Мухамадиев Э., Садовский Б.Н. Об оценке спектрального радиуса одного оператора, связанного с уравнениями нейтрального типа // Мат. зам. 1973. Т. 13, 1. С. 61-78.

51. Никольский Н.К. Инвариантные пространства в теории операторов и теории функций // Итоги науки и техники: Мат. анализ. М.: ВИНИТИ, 1974. Т. 12. С. 199-412.

52. Никольский Н.К. Лекции об операторе сдвига. М.: Наука, 1980. -384 с.

53. Нитецки 3. Введение в дифференциальную динамику. М.: Мир, 1975. - 304 с.

54. Пастухов А.Н. Диссертационная работа на соискание степени кандидата физ.-мат. наук по специальности 01.01.01. Воронеж, 1999

55. Пуля ев В.Ф. Ограниченные почти периодические решения линейных интегральных уравнений. /// Дифф. уравн. 1989. Т. 10. С. 1789-1797.

56. Пуляев В.Ф. Ограниченные почти периодические решения линейных интегральных уравнений. II // Дифф. уравн. 1990. Т. 8. С. 1423-1432.

57. Рабинович B.C. Операторные дискретные свертки и некоторые их приложения // Мат. заметки. 1992. Т. 51, JY2 1. С. 90-101.- 97

58. Рудин, Функциональный анализ. М.: Мир, 1975. - 443 с.

59. Руткас А.Г. Задача Коши для уравнения Ax(t)+Bx(t)=f(t) // Дифферент уравнения, 1975, Т. 11, N И, 1996-2010.

60. Сандер С.А. Об одной оценке для трехдиагональных матриц // Сиб. матем. журн. 1990. Т. 31, № 5. С. 171-173.

61. Свиридкж Г.А. К общей теории полугрупп операторов // УМН, 1994, Т. 49, N 4, С. 47-74.

62. Свиридкж Г.А., Сукачева Т.Г., Дудко Л.Л. Необходимые и достаточные условия относительной а— ограниченности линейных операторов // Докл. РАН, 1995, Т. 345, N 1, С. 25-27.

63. Слюсарчук В.Е. Об экспоненциальной дихотомии решений дискретных систем // Укр. матем. журн. 1983. Т. 35, № 1. С. 109-115.

64. Слюсарчук В.Е. О представлении ограниченных решений линейных дискретных систем // Укр. матем. журн. 1987. Т. 39, № 2. С. 210-215.

65. Степин А.М Спектры динамических систем, // Междунар. конгр. математиков в Ницце. 1970 г. Докл. сов. математиков. М.: Наука. 1972. С. 307-312.

66. Тюрин В.М. Об обратимости линейных дифференциальных операторов в некоторых функциональных пространствах // Сиб. матем. журн. 1991. Т. 32, № 3. С. 160-165.

67. Халмош П. Гильбертово пространство в задачах. Москва: Мир, 1970. - 352 с.

68. Халмош П. Лекции по эргодической теории. Москва: ИЛ, 1959. - 147 с.

69. Хенри Д. Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений. М.: Мир, 1985. - 376 с.

70. Хилле Е., Филлипс Р. Функциональный анализ и полугруппы М.: ИЛ, 1962, 829 с.

71. Хьюитт Э. Росс К. Абстрактный гармонический анализ. М.: На- 98 ука; Мир, 1975. Т.1,2. 654 е., 901 с.

72. Шарковский А.Н., Майстренко Ю.Л., Ромаиенко Е.Ю.Разностные уравнения и их приложения Киев: Наукова думка, 1986. - 279 с.

73. Шубин М.А. Псевдоразностные операторы и их функция Грина // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1985. Т. 49, № 3. С. 652-671.

74. Эдварде Р. Функциональный анализ. Теория и приложения. М.: Мир, 1969. - 1072 с.

75. Baskakov A.G. Investigation of spectral properties of differential operator С = —ji + A(t) by means of semigroup eLi,t > 0. // Intern. Conf. on Functional Equations and Applications, Moscow, Russia, August 14-21 (1994) P. 8-9.

76. Coffman S.V., Schaffer J.J. Dichotomies for linear difference equations // Math. Ann. 1967. V. 172. P. 139-166.

77. Concus P., Golub G.H., Meurant G. Block preconditioning for the conjugate gradient method // Univ. of California, Berkley: 1982. - (Lawrence Bewrence Berkley Laboratory, Rep. LBL-14856); SIAM J. Sci and Statist. Comput,- 1985. V. 6, № 1. P. 220-252.

78. De Boor C. A bound on the Loo-погт of the L2~ approximation by splines in terms of a global mesh ratio // Math.Comput. 1976. V.30. P.687-694.

79. Demko S. Inverses of band matrices and local convergense of spline projection // SIAM J. Numer. Anal. 1977. V.14. P.616-619.

80. Demko S., Moss F.,Smith W. Decay rates for inverses of band matrices // Math.Comput. 1984. V.43. P.491-499.

81. Favini A. Laplace transfom method for a class of degenerate evolution problems // Rend, mat,., 1979, V. 12, N 3-4, 511-536.

82. Kurbatov V.G. Functional differential operators and equations. Dordrecht-Boston-London: Kluwer Academic Publishers, 1999. - 430 p.- 99

83. Parrot S. Weighted translation operators // Dissert. Abstr. 1965. V.26, № 5. P. 2781.

84. Perron 0. Die Stabilitatsfrage bei Differentialgleichungen // Math. Z. 1930. V. 32, № 137. P. 703-728.

85. Perron 0. Uber die Poincaresche lineare Differenzgleichung // J. reine angvar. Math. 1910. № 137. P. 6-64.

86. Petersen K. The spectrum and commulant of certain weighted translation operator // Math. Scand. 1975. V.37. № 2. P. 295-306.

87. Poincare H. Sur les equations lineaires aux differentielles ordinaries et aux differences fines // Amer. J. Math. 1885. № 7. P. 203.258.

88. Ragimov M.B. On new results in theory of linear bundles of operators // Turk Matematik. Deregi. IY Ulusal. Matematik Sempoziumu. Antakua. Hatau, 1991, 97-98.

89. Shields A.L. Weighted shift operator and analytyc function theory // Top. oper. theory. Math. Snrv. 1974. V. 13. P. 49-128.

90. Shields A.L. Some problems in operator theory // Lect. Notes Math. 1978. № 693 P. 157-164.

91. Песковатсков В.Ю. Об обратимости разностных операторов Воронеж, 1999. -11 с. -Деп. в ВИНИТИ 08.12.99. № 3639-В99.

92. Песковатсков В.Ю. Об обратимости разностных операторов // Тез. докл. Межд. научной конф. "Нелинейный анализ и функционально-дифференциальные уравнения.", 15-20 мая 2000 г. Воронеж, 2000. - С. 166-167.

93. Песковатсков В.Ю. Об обратимости двучленных разностных операторов // Тез. докл. Воронежской зимней матем. школы "Современный анализ и его приложения.", 28 января-4 февраля 2000 г. Воронеж, 2000. -С. 135-136.

94. Песковатсков В.Ю. Обратимость разностного оператора с пере--менными коэффициентами // Тез. докл. Воронежской зимней матем. шко- 100 лы "Современные методы теории функций и смежные проблемы.", 27 января 4 февраля 2001 г. - Воронеж, 2001. - С. 210-211.

95. Песковатсков В.Ю. Об обратимости разностных операторов с переменными коэффициентами // Вестник Воронежского государственного технического университета. Серия "САПР и системы автоматизации производства". Выпуск 3.1. Воронеж, 2001. - С. 79-81.

96. Песковатсков В.Ю. Обратимость разностных операторов специального вида // Сборник научных трудов "Высокие технологии в технике, медицине, экономике и образовании". Часть 3. Воронеж, 2001. - С. 124128.