Оценки ограниченных решений линейных дифференциальных уравнений в банаховом пространстве тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Синтяев, Юрий Николаевич

• Синтяев, Юрий Николаевич
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Синтяев, Юрий Николаевич

Введение

1 Основные понятия и используемые результаты

§1.1 Основные функциональные пространства. Некоторые сведения из теории операторов.

§1.2 Сильно непрерывные полугруппы операторов и эволюционнные семейства.

2 Исследование корректности и обратимости дифференциального оператора первого и второго порядков

§2.1 Корректность дифференциального оператора первого порядка.

§2.2 Оценки ограниченных решений дифференциальных уравнений второго порядка.

3 Разностные операторы в исследовании дифференциальных операторов и оценки решений

§3.1 Оценки обратных операторов.

§3.2 Оценки для операторов с постоянными коэффициентами.

§3.3 Исследование слабо нелинейных дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве.

Список обозначений

Z - множество целых чисел; R - множество вещественных чисел; С - множество комплексных чисел; М+ = [0, оо);

J - один из промежутков [а, Ь], К, (—оо, а), [6, оо); X, Y - комплексные банаховы пространства;

EndX - банахова алгебра линейных ограниченных операторов, действующих в банаховом пространстве Х\

Сь — Сб(Л, X) - банахово пространство непрерывных и ограниченных на промежутке J G {[а, 6], (—оо, а), [Ь, оо)} функций со значениями в банаховом пространстве Х\

SP = 5Р(М, X), р G [1,оо) - пространство Степанова локально суммируемых на R функций со значениями в банаховом пространстве

X и нормой H^lls? = sup(f ||a;(s + t)||pds)1//p; tern. о

Lp = Lp{J,X), p G [l,oo) - банахово пространство суммируемых со степенью р G [1,оо) на промежутке J классов функций со значениями в банаховом пространстве X и нормой ||а;||р = (f \\x(t)\\pdt)1/p\

Lqq = А» (J,*) - банахово пространство существенно ограниченных на промежутке J классов функций со значениями в банаховом пространстве X и нормой ЦжЦоо = vraisup ||я(£)||;

CZ(J) = С1(Л,Х) - линейное пространство I раз непрерывно дифференцируемых функций на J со значениями в банаховом пространстве х и нормой ||ж||С; = X) 1Ик;

Wp(J) = Wp(J,X) - пространство Соболева Wp( 1) = {ж G

С1 1(Jf) : xl абсолютно непрерывна, xl G LP(J)}. Норма функции / G Wp(J) определяется при помощи равенства \\f\\w{,($) =

Yl\k\<i II Лад;

I - тождественный оператор в любом из банаховых пространств; д(А) - резольвентное множество оператора А : D{A) Cl^I] ImA - образ линейного оператора А; КегА - ядро линейного оператора А;

7(А) = ^ rfJ^eL) " инФимум модуля оператора Л; ст{А) - спектр оператора А\

R(-,A) : q{A) -> EndX, R(\A) = (А/ - A)'1, A G q(A) - резольвента линейного оператора А : D(A) сХ->Х; Т = T(JSL,X) - одно из пространств Lp(R,X), L^R.X), Cb(R,X),

1Р = £P(Z,X), р G [1,оо) - банахово пространство двусторонних последовательностей с элементами в банаховом пространстве X и нормой HP = (EIWn)in1/p; loo — loo(Z,X) - банахово пространство двусторонних последовательностей с элементами в банаховом пространстве X и нормой я;||оо = sup||z(n)||;

Т — X) - одно из пространств 1Р{Ъ, X), l^Z, X); U : Л —► EndX, где А = {(£, s) G R х К : t > s} - семейство эволюционных операторов, т.е. выполнено 1) U(t,t) = I, t G R; 2) U(t,s)U(s,T) = r < s < t; s,£,r € E; 3) отображение s) s)a; : Д —* X непрерывно для любого x G X\ 4) конечна величина К — sup \\U(t, s)||;

0<i-s<l

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Оценки ограниченных решений линейных дифференциальных уравнений в банаховом пространстве»

При исследовании качественных свойств решений дифференциальных уравнений и при исследовании устойчивости решений важную роль играют оценки ограниченных решений как линейных, так и нелинейных дифференциальных уравнений. Проблема получения таких оценок имеет давшою историю, и соответствующие результаты изложены в ряде известных монографий. В последнее время особое значение приобретают исследования по получению оценок для дифференциальных уравнений в банаховом пространстве с неограниченными операторными коэффициентами, что особенно важно в связи с приложениями к уравнениям в частных производных. Таким образом, тематика получения оценок ограниченных решений является вполне актуальной.

В диссертации получен ряд новых результатов по оценкам ограниченных решений линейных дифференциальных уравнений в банаховом пространстве, причем часть из них относится к уравнениям с неограниченными операторными коэффициентами, а часть - к нелинейным уравнениям.

При получении оценок решений используется операторный подход, при котором рассматриваемое дифференциальное уравнение записывается в операторном виде с (неограниченным) обратимым дифференциальным оператором, и рассматриваемая проблема сводится к оценке нормы обратного оператора в соответствующем функциональном пространстве.

При исследовании рассматриваемой проблемы важную роль играют методы теории линейных замкнутых операторов, действующих в банаховых пространствах и их спектральная теория.

Диссертация состоит из трех глав. В первой главе приводится сводка широко используемых в диссертации понятий и результатов из теории операторов, теории полугрупп операторов, дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами.

Во второй главе диссертации исследуются свойства корректности и обратимости дифференциальных операторов первого и второго порядка, получены оценки нормы обратных операторов.

Во третьей главе рассматриваются дифференциальные операторы первого порядка с неограниченными операторными коэффициентами и изучаются вопросы их обратимости, а также оценки ограниченных решений.

Далее при формулировке результатов используется приведенный список обозначений.

Рассматривается сильно непрерывное семейство эволюционных операторов Ы : Л = {(£, s) 6 1 х R : f > s} ^ EndX, где X -банахово пространство, обладающее свойствами: 1) U(t, £)=/,£ е М; 2) Щ, s)U{s, г) = Щ, т), т < s <t\ s,t,r е R;

3) отображение (t, s) м- U{t, s)x : Л —> X непрерывно для любого х G X] 4) конечна величина К — sup ||U{t, s)||.

0<£—s<l

Будем говорить, что семейство эволюционных операторов {U(t,s),s < t} из алгебры EndX допускает экспоненциальную дихотомию на R с показателем (5 > 0 и коэффициентом М > 1, если существует ограниченная сильно непрерывная проекторозначная "функция Р : R -»• EndX, такая что: 1) U(t:s)P(s) = P(t)U(t,s) при t > s из R; 2) ||W(i, s)P(s)|| < Me"^^ при i > s из Ж; 3) при £ > s сужение U{t, s)\Im(Q(s)) оператора U(t, s) на образ Im{Q(s)) проектора Q(s) — I — P(s) является изоморфизмом подпространств Im(Q{s)) и Im(Q(t)) (определим оператор U(s,t) как обратное отображение из Im(Q{t)) в Im{Q{s)))\ 4) ||W(t,s)Q(s)|| < Ме0^ при s > t (нормы берутся в EndX и оператор Hit, s)Q(s) рассматривается как элемент пространства EndX).

По этому семейству строится линейный оператор Сц : D{JZu) С ^(Ж, X) F(R,X)t где G {Lp(R,X),p G [1, оо]; C6(R,X);

5р(М, Х),р е [1, оо); Со(М, -Х")}. Его построение осуществляется следующим образом: функция х € J7 относится к области определения D(Cu) оператора Сц, если существует функция / € Т такая, что для почти всех s < t из Ж верны равенства t x(t) = U{t, s)x(s) - JU{t, r)/(r)dr, s<t, s,te R. s

Эти равенства следует понимать на представителях класса. Функция х почти всюду совпадает с непрерывной функцией и функция / единственна. Далее полагается Сцх = /.

В частности, если А £ Si(R, EndX), то для дифференциального уравнения dx . . . л=А®х существует семейство эволюционных операторов Ы : Л EndX, представимое в виде

U(t,s) = U(t)U(s)~1, s<t, где U : Ж —» EndX и ^^ = A(t)U(t), £ G М. В этом случае оператор Си обозначается символом — ^ + А(£) и будет называться дифференциальным.

Для исследования оператора Сц в диссертации систематически используется разностный оператор

V:lp{Z,X)->lp{Z,X), р G [1, оо], определенный формулой

Vx)(n) = х{п) - Ы(п, п - 1 )х(п - 1), п eZ, xelp = lp(Z, X).

В основе многих полученных в диссертации результатов широко используется тот факт, что многие свойства линейного замкнутого оператора Си наследует разностный оператор V. Так имеет место следующее утверждение.

Теорема 2.1. Оператор Т> корректен тогда и только тогда, I когда корректен оператор С.

Отметим, что в теореме 2.1 оператор В : D(B) С X —> X называется корректным, если КегВ = {0} и у(В) > 0. В частности, корректный оператор имеет замкнутую область значений.

Теорема 2.2. Пусть оператор

С = ~ + A{t) : Wj(R, X) С Ь2 L2 корректен,т. е. 7(^2) > 0. Тогда он корректен в пространстве L и имеет место оценка iwus^d+iniu^iM или, что эквивалентно оо

7(£2)V 11 7(^2) ~ 7(^00)' В §2.2 рассматривается дифференциальный оператор

00x = x + B(t)x + A(t)x = f(t), где / 6 Loo(K,При исследовании оператора Ср : Wp(M, X) С Lp{Ж,Х) ЬР{Ж,Х), Срх = х + х G Wp2, р G [1, оо], ему сопоставляется оператор = £P = jt-A:WtxW*cLp->Lp== LP(R,X) х где операторнозначная функция А : R —► End(X х X) задаётся с помощью матричной функции

0 -I A(t) B(t) Теорема 2.3. Операторы

• Wp а Ьр —> Lp,

Ср : Wp xWp С Lpx L p x Lpi p € [l,oo], обратимы одновременно. t G

В частном случае, когда X - конечномерное пространство, а операторнозначные функции А и В почти периодичны, утверждение теоремы 2.3 приведено в монографии [23].

Теорема 2.4• Если оператор С обратим в одном из пространств Lp, р £ [1,оо]; то он обратим во всех остальных.

Используя технику доказательства из статьи [11], получена следующая теорема.

Теорема 2.5. Пусть оператор С — + A(t) : X) С

Z/2 ~► обратим, тогда он обратим в пространстве L00. Кроме того, имеет место оценка

-1|| < 1 .(1 + 3aQ ) 11 1100 - 74/(2|И||оУ«Ь л/ЩИй где ао - решение уравнения

С^3 -+- бо;— 21|1II^ (1 -f- иЦоо||^ 1II2) ^ -(- ^"v^С^J]IIосэ)3 — о.

Глава 3 в основном посвящена оценкам норм обратных операторов к дифференциальным операторам с неограниченными операторными коэффициентами.

В §3.1 исследуется дифференциальный оператор первого порядка. Верна следующая теорема.

Теорема 3.1. Пусть оператор С обратим в одном из рассматриваемых пространств J7 = ^(М, X). Тогда он обратим во всех остальных пространствах. При этом

1) если оператор С обратим в одном из пространств Ьоо(Ш, X), Сь(Ш,Х), то норма ||£-1|| оператора С~г в любом из пространств

Lp, Sp, p € [1, oo) допускает оценку 21~1/p(K + K2{ 1 + 8(1 + К + K'WC-'Wl)))

2) если оператор С обратим в одном из пространств Lp(R, X), SP^X), р е [1,оо), то

Н^Иоо < К + К\ 1 + 8(1 + 21-1*(К + К2\\С-%)2))),

С~% < + К2{ 1 + 8(1 + 21"1/Р(Х + К2\\С~1\\Р)2))), где q G [1,оо) и И^С"1^ обозначает норму оператора С'1 в одном из рассматриваемых пространств Lp, Sp, р G [1, оо].

Далее в главе рассматриваются операторы с "постоянными коэффициентами". Пусть С0 = + А : D(C0) С Т Т = ^(М, X) -дифференциальный оператор, где Л - инфинитезимальный оператор полугруппы операторов {Т(£); £ > 0} класса Со, принадлежащих алгебре EndX. В данном случае семейство эволюционных операторов имеет вид U{t, s) = T(t — s), s < t, s,t € R. и оператор £o — ~^ + ^ задаётся с помощью этого семейства. Соответствующий оператору Со разностный оператор Vq € EndT{Z, X) имеет вид

0я)(п) = х(п) - Т(1)х(п — 1),п € Z, х Е f{Z, X).

Этот оператор обратим тогда и только тогда, когда для спектра <т(Т(1)) оператора Т(1) выполнено условие т(Т(1))ПТ = 0.

Имеет место следующая теорема.

Теорема 3.2. Для обратимости оператора Cq необходимо и достаточно чтобы выполнялось условие а(Т{1)) Г)Т = 0. Если это условие выполнено, то обратный оператор £q 1 £ ^(R, X) имеет вид

00 tff)(t) = J G(t-s)f(s)ds, tern, feF(R,x), оо где функция (Грина) G определяется равенствами -Т(и)Р, и > О, G{u) = < Т(и)Р+, и < 0.

Также имеет место

Теорема 3.3. Пусть X - гильбертово пространство. Для обратимости оператора Cq : D{£о) С ^(М, X) —> X) необходимо и достаточно выполнение условия <т{А) П Ж = 0 и условия (ограниченности резольвенты оператора А на мнимой оси г!

М0 = sup ||R(iX, А) || < оо.

Для пространств LP(R, X), р G [1,оо] и Co(R, X) теорема 3.3 была получена в статье [58] (см. также [52]). Оператор Со там определялся как генератор полугруппы Хоулэнда, имеющий вид (T(t)x)(s) = T(t)x(s — t), s e R, t > 0, x G ./-"(R, X). Авторы использовали её сильную непрерывность и поэтому результаты были получены только для пространств Lp, р Е [1,оо) и Со, где Т сильно непрерывна. Для дифференциальных включений, рассматриваемых в однородных пространствах функций аналог теоремы 3.3 получен в [51]. При этом также существенно использовались результаты статьи [3].

Следующая теорема принадлежит Герхарду [54] и Прюс-су [67](см. также [53, теорема 5.11]). Приводимое её доказательство основано на теоремах 3.2 и 3.3.

Теорема 3-4- Для полугруппы операторов {T(t) : t > 0}, действующих в гильбертовом пространстве X, условие сг(Т(1))ПТ = 0 выполнено тогда и только тогда, когда одновременно выполнены условия а(А) П Ж = 0 и М0 = sup ||i2(iA, Л)|| < оо.

AeR

Следует отметить, что что необходимость условия сг(Т(1))ПТ = 0 в теореме 3.4 верна и в случае произвольного банахова пространства X. Однако, в общем случае совместное выполнение условий

7(A) П Ж = 0 и Mq = sup ||/2(гА, А)|| < оо не гарантирует выполне

AsR ния условия т(Г(1))ПТ = 0

Лемма 3.4- Если X - гильбертово пространство и оператор С0 : D(£q) С L2(R,X) -*■ L2{R,X) обратим, то

0-1||2 = 8ир||Д(»А>Л)||.

АбК

Верна следующая теорема

Теорема 3.5. Пусть X - гильбертово пространство и выполнены условия и(А) П Ж = 0 и Mq = sup ||Д(гА, А)\\ < оо. Тогда

Аек оператор £q обратим в любом из рассматриваемых банаховых пространств X) и ll^lloo < К + К2( 1 + 8(1 + у/2 (К + К2 sup || Д(гА, А)||)2)),

АеК K2{ 1 + 8(1 + л/2 {К + К2 sup || Д(гА, А)||)2))),

ASR где первая оценка относится к пространствам L^, Cq, Сь, а вторая оценка - к пространствам Lp, Sp.

Отметим, что оценка ограниченных решений уравнения Cqx = / € Ьоо{Ж,Х) не использует ограниченность оператора А. Теперь рассмотрим вопрос оценок показателей экспоненциальной дихотооо мии полугруппы Т и величины ||G||* = / ||G(r)||dr (подинтегральоо ная функция будет измеримой) при условии обратимости оператора £о (например, при выполнении условий а (А) П Ж = 0 и Mq = sup ||Я(гА, Л)|| < оо). Оценки такой величины важны тем, что они ХеШ позволяют получать оценку HjCq1!! в любом однородном пространстве измеримых функций, то есть пространствах функций, инвариантных относительно сдвигов функций. Верна следующая теорема

Теорема 3.6. Пусть оператор Cq обратим в ^(R, X), обозначим ае(£) = ||£>1|| < 1 + С{Т)К{ 1 + KWC^W) = 1 + C{F){K + i^2||>C1||). Тогда функция Грина G : R —> EndX допускает оценки f М+е"т+и, и > О, Мет-Ы, и < 0. с показателями экспоненциальной дихотомии

М+ = 2Кге(£)(1 + М. = МГ»(£)(1

ОО

В частности, верна оценка f ||G(r)||dr < + Если X

-оо гильбертово пространство, то в приведённых формулах для показателей экспоненциальной дихотомии моэюно положить aе(£) =

1 + л/2 (К + К2 sup || R(i\ А) ||2).

Лек

Далее приведем условия наличия экспоненциальной дихотомии у возмущенного оператора.

Верна следующая теорема

Теорема 3.7. Пусть U : А —> EndX и V : А —» EndX два семейства эволюционных операторов. Если семейство Ы допускает экспоненциальную дихотомию на Ж с показателем 7 > 0 и коэффициентом М > 0 и, кроме того, выполнено неравенство sup \\U(s + t,s)~ V(s + t, s) II < (1 ~ , t > 0 se№ M I — e то V также допускает экспоненциальную дихотомию.

В качестве применения предыдущей теоремы приводится следующая теорема.

Теорема 3.8. Пусть оператор Си обратим и семейство V : А —» EndX таково, что выполнено ||U — V||oo < ^^ • Тогда оператор Cv обратим и \\VU — Vv\\ < 1 для проекторов, определенных формулами Vu = 2^7 /(7^ ~ Ти(l))~ldy € EndT, Vv = т

В работе [31] получены условия существования, устойчивости, а также оценки ограниченных решений нелинейных дифференциальных уравнений в конечномерном пространстве. В §3.3 получены соответствующие результаты для слабо нелинейных дифференциальных уравнений в банаховом пространстве с неограниченными операторными коэффициентами.

В банаховом пространстве Q,(R, X) рассмотрим дифференциальное уравнение x(t) = Ax(t) 4- f(t, х), t в R, (1) где / : R x X —► X - функция, удовлетворяющая условию Липшица по второй переменной, а А - инфинитезимальный оператор полугруппы Т : R+ X класса Со-Пусть выполнены условия о-(Л)Г|Ж = 0, Mo = sup ||Д(гА, Л) || < с». 1 1 Аем

Назовем xq - обобщенным решением нелинейного дифференциального уравнения (1), если

А)®о = д, где g(t) = f(t,xo(t)), t G 1, a, Co = — A - дифференциальный оператор, действующий из D{Cq) С Cb(R,X) в Cb(R,X),

00

СоЧШ = J G(t — s)f(s)ds, te R, -00 где G - функция Грина, определенная по полугруппе операторов Т. Имеет место

Лемма 3.5. Любое обобщенное решение нелинейного уравнения в пространстве Т представимо в виде оо x(t) = J G(t — s)/(s, x(s))ds. — 00

Используя лемму 3.5, доказывается

Теорема 3.9. Пусть оператор А таков, что выполнены условия т(А)Пж = 0, М0 = sup \\R{i\, А)\\ <оо,

Аек функция f(t, х) удовлетворяет условию Липшица по второй переменной и равномерно непрерывна и ограничена по первой переменной. Пусть также выполнено условие 1ее(£о) < 1. Тогда нелинейное дифференциальное уравнение (1), рассматриваемое в пространстве Сь(Ш,Х), имеет единственное решение х, принадлежащее пространству Cb(R,X); и оно допускает оценку ||я — g\\^ < T^gyllslU где g = gQ(t) = f(t,0), t G Ж.

В конце диссертации приводится пример, иллюстрирующий применение указанной теоремы.

Пусть имеется дифференциальное уравнение du - Au{t) - q(x)u(t,x) = f(t,u(t,x)), tE R, x£D(A),

LLL где A - оператор Лапласа, a / удовлетворяет условиям теоремы 3.9. Тогда это уравнение разрешимо в пространстве Cb(R, X) и имеют место оценки

S 1 1еш + e2w(1 + 8(1 + + е2-1)))

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Синтяев, Юрий Николаевич, 2010 год

1. Баскаков А.Г. Гармонический анализ линейных операторов / А. Г. Баксаков.- Воронеж. ВГУ, 1987.-165 с.

2. Баскаков А.Г. Спектральный анализ оператора взвешенного сдвига с неограниченными операторными коэффициентами / А.Г. Баскаков // Докл. РАН.- 1995.- Т.343.- №3.- С.295-298.

3. Баскаков А.Г. Полугруппы разностных операторов в спектральном анализе линейных дифференциальных операторов / А. Г. Баскаков // Функц. анализ и его прил- 1996.- Т.30 №3 - С.1-11.

4. Баскаков А.Г. Линейные дифференциальные операторы с неограниченными операторными коэффициентами и полугруппы разностных операторов / А. Г. Баскаков // Мат. заметки.-1996.- Т.59 №6.- С.811-820.

5. Баскаков А.Г. Спектральный анализ линейных дифференциальных операторов и полугруппы разностных операторов / А. Г. Баскаков // Дифференциальные уравнения- 1997.- Т.ЗЗ.-№10,- С.1299-1306.

6. Баскаков А.Г. О корректности линейных дифференциальных операторов / А.Г. Баскаков // Матем. сб.- 1999.- Т. 190- №3.-С.3-28.

7. Баскаков А.Г. Об обратимости и фредгольмовости разностных операторов / А.Г. Баскаков // Мат. заметки.- 2000.- Т.67.- №6.-С.816-827.

8. Баскаков А.Г. Спектральный анализ оператора взвешенного сдвига с неограниченными операторными коэффициентами / А.Г. Баскаков, А.И. Пастухов // Сиб. матем. журн.- 2001.- Т. 42.-№6.- С.1231-1243.

9. Баскаков А.Г. Спектральный анализ линейных отношений и вырожденные полугруппы операторов / А.Г. Баскаков, К.И. Чер-нышов // Матем. сб.- 2002.- Т.193.- №11.- С.3-42.

10. Баскаков А.Г. Об обратимости и фредгольмовости параболических дифференциальных операторов / А.Г. Баскаков // Докл. РАН,- 2002.- Т.383 №5.- С.583-585.

11. Баскаков А.Г. Оценки ограниченных решений линейных дифференциальных уравнений / А.Г. Баскаков // Дифференциальные уравнения.- 2003.- Т.39.- С.413-415.

12. Баскаков А.Г. Теория представлений банаховых алгебр, абеле-вых групп и полугрупп в спектральном анализе линейных операторов /А.Г. Баскаков // Современная математика. Фундаментальные направления,- Москва.- 2004.- Т.9.- С.3-151.

13. Баскаков А.Г. Гармонический анализ каузальных операторов и их спектральные свойства / А.Г. Баскаков, И.А. Криштал //Изв. РАН. Серия матем.- 2005,- Т. 69,- №3,- С.3-54.

14. Баскаков А.Г. Спектральный анализ дифференциальных операторов с неограниченными операторными коэффициентами, разностные отношения и полугруппы разностных отношений / А.Г. Баскаков // Изв. РАН. Серия матем.- 2009,- Т.73.- №2.-С.3-68.

15. Баскаков А.Г. Разностные операторы в исследовании дифференциальных операторов; оценки решений / А.Г. Баскаков, Ю.Н. Синтяев // Дифференциальные уравнения.- 2010.- Т.46-№2.- С.1-10.

16. Градштейн И. С. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений / И.С. Градштейн, И.М. Рыжик.- М.: Физматгиз, 1963.1100 С.

17. Далецкий Ю.Л. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве / Ю.Л. Далецкий, М.Г. Крейн.- М.: Наука, 1970.- 535 С.

18. Данфорд Н. Линейные операторы. Общая теория / Н. Данфорд, Дж.Т. Шварц.- М.: ИЛ, 1962,- Т.1.- 895 с.

19. Жиков В.В. Некоторые вопросы допустимости и дихотомии. Принцип усреднения / В.В. Жиков // Изв. АН СССР. Серия матем.- 1976.- Т.40.- №6.- С. 1380-1408.

20. Иосида К. Функциональный анализ / К. Иосида.- М.: Мир, 1967.- 624 с.

21. Като Т. Теория возмущений линейных операторов / Т. Като.-М.: Мир, 1972,- 740 С.

22. Колмогоров А.Н. Элементы теории функции и функционального анализа / А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин.- М.: Наука, 1968.543 с.

23. Красносельский М. А. Нелинейные почти периодические колебания / М.А. Красносельский, В.Ш. Бурд, Ю.С. Колесов.- М.: Наука, 1970.- 351 с.

24. Крейн С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве / С.Г. Крейн.- М.: Мир, 1967 464 с.

25. Крейн С.Г. Функциональный анализ / С.Г. Крейн.- М.: Наука, 1972.

26. Кутателадзе С.С. Основы функционального анализа / С.С. Кутателадзе.- Изд-во ин-та матем. Новосибирск, 2000.- 349 с.

27. Латушкин Ю.Д. Операторы взвешенного сдвига и линейные расширения динамических систем / Ю.Д. Латушкин, A.M. Сте-пин // УМН,- 1991,- Т.46- №2.- С.85-143.

28. Люстерник Л.А. Элементы функционального анализа / Л.А. Люстерник, В.И. Соболев.- М.: Наука, 1965.- 520 с.

29. Maccepa X.JI. Линейные дифференциальные уравнения и функциональные пространства / Х.Л. Maccepa, Х.Х. Шеффер.- М.: Мир, 1970.- 456 с.

30. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы / М.А. Наймарк.- М.: Наука, 1969.- 527 с.

31. Перов А.И. Частотные признаки существования ограниченных решений / А.И. Перов // Дифференциальные уравнения 2007-Т.43- №7.- С.896-904.

32. Пресдорф 3. Некоторые классы сингулярных уравнений / 3. Пресдорф,- М.:Мир, 1979.

33. Робертсон А.П. Топологические векторные пространства / А.П. Робертсон, В.Дж. Робертсон,- М.:Мир, 1967,- 257 с.

34. Рудин У. Функциональный анализ / У. Рудин- М.:Мир, 1975449 с.

35. Синтяев Ю. Н. Оценки ограниченных решений линейных дифференциальных уравнений второго порядка / Ю.Н. Синтяев // Вестник ВГУ. Серия: Физика. Математика Воронеж:ВГУ.- 2007 г.- №1.- С.135-138.

36. Синтяев Ю. Н. Об условиях обратимости возмущенного дифференциального оператора с неограниченными операторными коэффициентами / Ю.Н. Синтяев // Вестник ВГУ. Серия: Физика. Математика.- Воронеж:ВГУ,- 2008 г.- №2.- С.83-85.

37. Синтяев Ю. Н. Об обратимости линейного дифференцильно-го оператора второго порядка / Ю.Н. Синтяев // Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна. Тезисы докладов,-Воронеж:ВГУ- 2008.- С.125-126.

38. Синтяев Ю. Н. Исследование корректности дифференциального оператора первого порядка / Ю.Н. Синтяев // Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна. Тезисы докладов.-Воронеж:ВГУ- 2010.- С. 135-136.

39. Синтяев Ю. Н. Об одном условии разрешимости слабо нелинейных параболических уравнений в пространстве ограниченных функций / Ю.Н. Синтяев // Вестник ВГУ. Серия: Физика. Математика.- Воронеж:ВГУ.- 2010 г.- №1.- С.50-53.

40. Соболев C.JI. Об одной теореме функционального анализа / С.Л. Соболев // Матем. сб.- 1999.- Т.4(46).- №3.- С.471-497.

41. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике / С.Л. Соболев.- М.: Наука, 1988.- 336 С.

42. Тюрин В.М. Об обратимости оператора ^ — A(t) в некоторых функциональных пространствах / В.М. Тюрин // Мат. заметки.-1979.- Т.25,- №4,- С.585-590.

43. Тюрин В.М. Об обратимости линейных дифференциальных операторов в некоторых функциональных пространствах / В.М. Тюрин // Сиб. матем. журн,- 1991.- Т.32,- №3,- С.160-165.

44. Чернышов М.К. Об обратимости линейных дифференциальных операторов первого порядка. / М.К. Чернышов // Мат. заметки.-1998,- Т.64. №5.- С.796-800.

45. Хенри. Д. Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений. / Д. Хенри,- М.: Мир, 1985.- 376 с.

46. Хилле Э. Функциональный анализ и полугруппы / Э. Хилле, Р. Филлипс.- М.: ИЛ, 1962,- 830 с.

47. Эдварде Р. Функциональный анализ. Теория и приложения / Р. Эдварде.- М.:Мир, 1969.- 1070 с.

48. Aldroubi A. Slanted matrices, Banach frames, and sampling / A. Aldroubi, A.G. Baskakov I. Krishtal // J. Funkt. Anal- 2008.

49. Baskakov A. Spectral analysis of operators with the two-point Bohr spectrum / A. Baskakov, I. Krishtal //J. Math. Anal. Appl.- 2005.-V38.- P.420-439.

50. Baskakov A. On solution of differential inclusions in homogeneous spaces of functions / A. Baskakov, V. Obuhovskii, P. Zecca //J. Math. Anal. Appl.- 2006. -V324.- P.1310-1323.

51. Chicone С. Evolution semigroups in dynamical systems and differential equations / C. Chicone, Yu. Latushkin // Amer. Math. Soc.- 1999,- 361 p.

52. Engel K.J. One Parameter Semigroups for Linear Evolution Equations / K.J. Engel, R. Nagel // Semigroup Forum.- 2001.- V.63.-№2.- P.278-280.

53. Gearhart L. Spectral theory for contraction semigroups on Hilbert spaces / L. Gearhart // Trans. Amer. Math. Soc.- 1978,- V.236.-P.385-394.

54. Gohberg I. Classes of linear operators / I. Gohberg, S. Goldberg, M. Kaashoek // Birhauser, vol. I, Oper. Theory Adv. Appl., 49, Basel, Boston, Berlin, 1990.

55. Goldberg S. Unbounded linear operators. Theory and applications / S. Goldberg //McGraw-Hill, New York-Toronto, 1966.

56. Howland J.S. Stationary scattering theory for time-dependent Hamiltonians / J.S. Howland // Mathematische Annalen.- 1974.-V.207.- т.- P.315-335.

57. Latushkin Yu. Evolution semigroups and Lyapunov theorems in Banach spaces / Y. Latushkin, S. Montogomery-Smith //J. Funkt. Anal.- 1995,- V.127.- №.- P.173-197.

58. Latushkin Yu. Exponential Dichotomy and Mild Solutions of Nonautonomous Equations in Banach Spaces / Y. Latushkin,Т. Randolph, R. Schnaubelt // Journal of Dynamics and Differential Equations.- 1998.- V.10.- №3.- R489-510.

59. Latushkin Yu. Fredholm properties of evolution semigroups / Yu. Latushkin, Yu. Tomilov // Illinois J. Math.- 2004.- V.48.- №3.-P.999-1020.

60. Latushkin Yu. Fredholm differential operators with unbounded coefficients / Yu. Latushkin, Yu. Tomilov // J. Differential Equations.- 2005.- V.208.- №2.- P.388-429.

61. Megan M. Discrete admissibility and exponential dichotomy for evolution families / M. Megan, A. L. Sasu, B. Sasu // Discrete Contin. Dyn. Syst.- 2003,- V.9.- №2,- P.383-397.

62. Van Minh N. Exponential stability, exponential expansiveness, and exponential dichotomy of evolution equations on the half-line / N. Van Minh, F. Rabiger, R. Schnaubelt // Integral Equations and Operator Theory.- 1998.- V.32.- №3.- P.332-353.

63. Van Minh N. Characterizations of dichotomies of evolution equations on the half-line / N. Van Minh, N. Th. Huy // J. Math. Anal. Appl.- 2001.- V.261.- №1,- P.28-44.

64. Nagel R. Semigroup methods for nonautonomous Cauchy problems / R. Nagel //Lecture Notes in Pure and Appl. Math.-V.168.- Dekker.- New York.- 1995,- P.301-316.

65. Perron 0. Uber eine Matrixtransformation / O. Perron // Mathematische Zeitschrift.- 1930.- V.32.- №1,- P.465-473.

66. Pruss J. On the spectrum of Co semigroups / J. Pruss // Trans. Amer. Math. Soc.- 1984.- V.284.- P.847-857.

67. Rabiger F. The spectral mapping theorem for evolution semigroups on spaces of vector-valued functions / F. Rabiger, R. Schnaubelt // Semigroup Forum.- 1996,- V.52.- №1,- P.225-239.

68. Rau R.T. Hyperbolic evolution semigroups on vector valued function spaces / R.T. Rau // Semigroup Forum.- 1994.- V.48 №1.-P. 107-118.

69. Schnaubelt R. Asymptotically autonomous parabolic evolution equations / R. Schnaubelt // Journal of Evolution equations.- 2001.-V.I.- P. 19-37.

70. Taylor A.E. Introduction to functional analysis / A.E. Taylor // John Wiley andSons.- New York.- 1958.