Псевдодифференциальные операторы на унимодулярных группах ли тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Меладзе, Годердзи Анатольевич

• Меладзе, Годердзи Анатольевич
• кандидат физико-математических наук
• 1984

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Меладзе, Годердзи Анатольевич

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. СОБСТВЕННЫЕ ПСЕВДОДИФФЕРШЩЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ НА

УШМОДУЛЯРНЫХ ГРУППАХ ЛИ.

§ I. Основные определения.

§ 2. Алгебра псевдодифференциальных операторов на С*

§ 3. Ограниченность операторов в и ¿^(0),

§ 4. Равномерно эллиптические операторы. Парамет

§ 5. Пространства Соболева

§ 6. Существенная самосопряженность.

§ 7. Левые и правые классы операторов и пространства Соболева.

§ 8. Различные обобщения

ГЛАВА П. ФУНКЦИОНАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ПСЕВДОДИФФЕРЕШЩАЛЬНЫХ

ОПЕРАТОРОВ НА УНИМОДУЛЯРНЫХ ГРУППАХ ЛИ.

§ I. Определение класса ШЛО, у)' и некоторые его свойства

§ 2. Действие операторов из шла у] в пространствах Си (О).

§ 3. Алгебра псевдодифференциальных операторов на

О и их действие в пространствах Соболева.

§ 4. Убывание функции Грина.

§ 5. Комплексные степени псевдодифференциальных операторов на группах Ли

§ 6. Случай групп со степенным ростом функции объема.

ГЛАВА Ш. ФРЕЩГОЛЬМОВОСТЬ И ОБРАТИМОСТЬ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ

ОПЕРАТОГОВ НА УНЙМОДУЛЯШЫХ ГРУППАХ ЛИ.

§ I. Вспомогательные результаты.

§ 2. Теоремы о фредгольмовости и обратимости . Ю

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Псевдодифференциальные операторы на унимодулярных группах ли»

Диссертация посвящена исследованию и применению псевдодифференциальных операторов на унимодулярных группах Ли.

Теория псевдодифференциальных операторов (п.д.о.) в ее современном виде была создана в 60-е годы в работах Кона и Ниренбер-га [збХ Хермандера [1] и др. Сейчас эта одна из наиболее эффективных рабочих теорий математической физики и современного анализа.

Особенно важны п.д.о. для изучения эллиптических операторов. В частности, они делают возможным описание структуры различных функций от эллиптического оператора (например, обратного оператора, резольвенты, комплексных степеней), что имеет важные приложения в спектральной теории эллиптических операторов (см., например, [ю], [п], [к], [17], [зв]).

Велика роль п.д.о. в теории индекса операторов (см. |2о}»

И).

Естественным образом п.д.о. появляются при сведении на границу какой-либо граничной задачи для эллиптического уравнения [в].

Оператор с постоянными коэффициентами является модельным для эллиптического оператора Р (х, Оде) в окрестности точки ЭС-о . Аналогично этому некоторые операторы могут быть изучены, если в качестве модели принять операторы (чаще всего лево- или правоинвариантные) на нильпотентных группах Ли.

Эту идею впервые применили Фоланд и Стейн для оператора с^ на группе Гейзенберга (см. [40}).

В последнее время идея использования инвариантных операторов на нильпотентных группах Ли как модельных операторов некоторых локальных задач широко разрабатывалась (см., например, обзор Метивье \2з], работы Мелина [24], [25], Ротшильд-Стейна [43],

Хелфера-Нуригата [42}).

В известной работе £1] Хермандер ввел класс псевдодифференциальных операторов в [¡^ , символы которых (Х(х} ^) удовлетворяют оценкам, равномерным по пространственной переменной X , т.е. оценкам

Хермандер рассматривал более общие классы $ ' но мы для простоты ограничимся здесь рассмотрением случая р-\) (Р~ 0 ). В дальнейшем этот класс был подробно изучен в работах Кумано-го ¡2-5^. Он доказал (см. [V])» что множество ~ всех операторов классов образует алгебру; точнее, если

5 , то /\ ^ При этом класс инвариантен относительно взятия транспонированного и формально сопряженного операторов. Другие вопросы теории псевдодифференциальных операторов в изучались во многих работах (см., например, [*6-17], цель которых, однако, состояла, главным образом в том, чтобы распространить на операторы в [Й, некоторые факты, относящиеся к теории операторов на компактном многообразии, например, фред-гольмовость эллиптических операторов и дискретность их спектра, асимптотическую формулу Вейля для функции распределения собственных значений и т.п. Алгебра же равномерных псевдодифференци 00 альных операторов , по построению тесно связанная с групповой равномерной структурой пространства , позволяет исследовать более тонкие вопросы, относящиеся к теории нефредгольмовых операторов и к исследованию непрерывного спектра. Таковы, например, применения этой алгебры в теории операторов с почти-периодическими и случайными коэффициентами (см., например, [18-23]). В качестве прямого приложения этой алгебры к спектральной теории можно указать, например, теорему о существенной самосопряженности равномерно гипоэллиптических операторов в ^ (см. £з8]). оо

Алгебра имеет ряд важных подалгебр. Прежде всего ее подалгеброй является алгебра всех дифференциальных операторов вида ч где коэффициенты Яос(Х-) имеют ограниченные производные всех

ОО порядков. Эту подалгебру можно выделить из I— условием Кд^) - 0 при + , где Кд№) ~ обобщенное ядро оператора /\ .

Заметим, что для ядра общего оператора выполнены оценки неявно вытекающие из (0.1). Интересные подалгебры в алгебре могут быть получены наложением явных условий на ядро Кд (помимо стандартных условий (0.1) на символ). Простейшая алгебра равномерно собственных операторов получается, если требовать

К А(х,у)=0 Щ» 1Х~Ч\*СА. (0.4)

Другое возможное требование:

•эе

0.5) где число № фиксировано.

Алгебры с условием (0.4) и с растущими по X символами использовались В.И.Фейгиным (см., например, в связи с необходимостью применять операторы к экспоненциально растущим функциям (это необходимо, в частности, при взятии композиции операторов с экспоненциально растущими по ЭС символами). Удивительно, однако, что алгебры вида (0.5), по-видимому, ранее не были выделены и изучены. Это связано презде всего с тем, что наличие в [¡^ глобальной системы координат и глобального символа создает впечатление неестественности одновременного наложения условий и на символ и на ядро оператора. Однако такие одновременные условия становятся естественными и необходимыми при построении теории псевдодифференциальных операторов на пространствах, где имеется естественная равномерная структура, но нет естественной глобальной системы координат - например, на группах Ли.

В первой главе настоящей работы построена алгебра равномерных псевдодифференциальных операторов на группе Ли. Для простоты мы ограничиваемся рассмотрением связных унимодулярных групп Ли Сг , т.е. связных групп Ли, на которых мера Хаара является би-инвариантной (необходимым и достаточным условием для этого является совпадение пространств квадратично интегрируемых функций, построенных по левоинвариантной и нравоинвариантной мерам Хаара, т.е. по сути дела существование единственного естественного пространства (0)). Кроме того, в этой главе рассмотрены лишь собственные псевдодифференциальные операторы. Однако уже и собственные операторы образуют вполне содержательный объект изучения и достаточны для некоторых приложений в спектральной теории, например, для доказательства существенной самосопряженности равномерно эллиптических и равномерно гипоэллиптических дифференциальных операторов по схеме работы £зв].

Важным аспектом теории псевдодифференциальных операторов является возможность построения с их помощью теории пространств Соболева. Удобная схема такого построения предложена Хермандером в £1] (см. также [п]). По этой схеме в нашей ситуации строятся равномерные пространства Соболева то) , являющиеся обобщением обычных пространств . Локально эти пространства совпадают с локальными пространствами Соболева, но их роль состоит в том, что они позволяют учесть эффекты, связанные с поведением функций на бесконечности. Именно, в терминах пространств точно формулируется теорема о регулярности решений равномерно эллиптических уравнений на О , позволяющая доказать существенную самосопряженность соответствующих операторов.

Отметим, что в случае некоммутативной группы О имеется два варианта (левый и правый) теории равномерных псевдодифференциальных операторов и, в частности, два варианта пространств Соболева. При этом, вообще говоря, уже левое и правое пространства отличаются несмотря на то, что левое и правое пространства (О) совпадают в силу унимодулярности группы. Необходимое и достаточное условие совпадения левого и правого пространств |-| (Сг) одновременно является необходимым и достаточным условием совпадения левого и правого пространств при любом $ ^ и совпадения левого и правого классов равномерных псевдодифференциальных операторов. Это условие состоит в том, что группа Сг является центральным расширением компактной грушш, т.е. факторгруппа группы в по ее должна бЫТь компактной.

Вторая глава посвящена функциональному исчислению псевдодифференциальных операторов на группах Ли. Основным нетривиальным вопросом функционального исчисления псевдодифференциальных операторов является вопрос о структуре обратного оператора и комплексных степеней эллиптических операторов. Для операторов на компактном многообразии вопрос об обратном операторе элементарен (см., например, [п"}), а структура комплексных степеней описана в замечательной работе Сили ["27] (см. также [п], где однако разобран лишь случай комплексных степеней дифференциального оператора). Алгебра L. инвариантна относительно взятия обратного оператора к эллиптическим операторам из этой алгебры. Этот факт, уже не являющийся элементарным, независимо и разными способами установлен в работах [12"] и После этого теория комплексных степеней строится так же, как у Сшш [27] (см. [il] ; отметим также работу [зо], где развита формальная теория комплексных степеней). Ряд аспектов функционального исчисления в более узких алгебрах операторов в fR. обсуждается также в работе [ie].

В.Б.Жиков доказал (см. Ы> экспоненциальное убывание функции Грина (ядра оператора Д ) для дифференциальных операторов вида (0.2) при . Незначительное уточнение его рассуждений позволяет установить то же самое для псевдодифференциальных операторов из с ядром, удовлетворяющим (0.5) ( с ÜL-1 ).

Результаты описанного выше типа устанавливаются во П главе настоящей работы для псевдодифференциальных операторов на связных унимодулярных группах Ли. Оказывается, что в построении алгебр псевдодифференциальных операторов на группе Ли G" важную роль играет поведение функции Ш) , равной объему шара радиуса ъ (относительно метрики ^ , построенной по левоинвариантной рима-новой метрике). Мы вводим весовые функции ^('L) » описывающие убывание ядра рассматриваемых операторов по формуле где Х"= X*- Xj ~ левоинвариантные векторные поля, образующие базис алгебры Ли. Основное условие на функцию ^ состоит, грубо говоря, в том, что Y(^) растет быстрее

Ч?), но медленнее, чем экспонента . Аналогичные весовые функции описывают убывание ядра обратного оператора.

Опишем содержание работы по параграфам.

В § I вводятся основные классы собственных равномерных псевдодифференциальных операторов

Пусть Ц - ^ '14 координатная окрестность точки ^ е 0 , полученная левым сдвигом координатной окрестности единицы группы 6 eG . Локальные координаты Х^ на Ц^ вводятся переносом левыми сдвигами локальных координат на \)е • Введем класс элементами которого являются семейства символов Ох, ^С удовлетворяющие в выбранных выше на координатах оценкам где - любые мультииндексы, а Не зависят от <36 б и

Через Ох) будем обозначать оператор, канонически построенный на Ц^ по символу Цусть

Ы.~"°(Сх) состоит из таких семейств операторов Ц, ^¿Сг , что их ядра Кр^ 6 С Удовлетворяют следующим оценкам: £ Слр » где С^ не зависят от <| 6 Ст.

Введем класс , состоящий из таких семейств операторов Ау СГ(У$->СкЩ). . что ^ =

Теперь дадим ^

Определение 1.1.1. Будем писать, что если

А * Со°Тй) ~~^ и выполнены следующие условия:

I) Существует такая постоянная Сд , что ¡(д^К^-О при Сд, ' . да диагональ в Сг* й > причем для любого

Ь О выполнены оценки

IX!XIк^мис,,, ПРИ где Р любые мультишщексы.

3) Если Д^ - * Со ограничение оператора Д на ^ .то семейство ^А^ ) принадлежит классу ВП&).

Тут же доказывается, что множество

Ьг является алгеброй с инволюцией (алгебраические операции - сумма и композиция) (см. лемму 1.1.2). Получено необходимое и достаточное условие для принадлежности классу \] 1^(0) дифференциального оператора Д = Я^Х* • (?) ^ (см' предложение 1.1.1).

В § 2 показано, что операторы указанного типа образуют алгебру с инволюцией. Точнее, имеют место

Теорема 1.2.1. Пусть

А «ШЭД Тогда

Здесь *А « А - транспонированный л формально сопряженный к л операторы в т

Теорема 1.2.2 (о композиции). Пусть

В^иГЧб) .

Тогда АВ^и^Сб).

В § 3 строится специальное равномерное покрытие группы С , которое широко используется в дальнейшем. Пусть обозначает шар с центром в точке ^ и радиуса £ >0.

Лемма 1.3.1. Для любого £ >0 существует счетное покрытие & = й Щ: Ь) группы а шараш хвдиуоа 2 такое, что покрытие группы & шарами ^(Зц 2 £) £ = 'имеет конечную кратность, т.е. существует такое натуральное А/ , что любая точка ^ € & покрывается не более чем А/ шарами вида

Это покрытие группы м" дает возможность построить на иг удобное разбиение единицы (см. предложение 1.3.1), согласованное с равномерной структурой на Сг и с левыми сдвигами. С помощью этого разбиения единицы доказывается

Теорема 1.3.1. Если А ^ (&)» то Д продолжается до линейного непрерывного оператора в пространстве / (¡л).

Тут же доказана непрерывность операторов из пространстве (Сг) (предложение 1.3.2).

В § 4 введены равномерно эллиптические операторы. Определение 1.4.1. Оператор называется равномерно эллиптическим, если его ограничения на локальные координатные окрестности А ^ ■> ^ равномерно эллиптичны в том смысле, что найдутся тагае положительные постоянные Сц и М , не зависящие от , что символы операторов

А,-А

-у в выбранных локальных координатах на Ц^ для удовлетворяют неравенствам Класс равномерно эллиптических операторов, принадлежащих иШ обозначим через Еи/^^Сг) .

Тут же доказывается существование эллиптического оператора

Л§ * Е1//5(&) Для любого 5е (¡^,

Оператор называется параметриксом оператора если ВА"!4"^ » А В » где 1 тождественный оператор, а

Основной теоремой этого параграфа является Теорема 1.4.1. У оператора Д Е \Л^1(С[) существует пара-метрике В б иг ^сс).

В § 5 строится теория равномерных пространств Соболева. Сначала определяется Ц (О) как пространство, состоящее из обобщенных функций 1 £ си , представимых в виде

Vя,. л/,У/ . . /2 >

Пусть выбран оператор .

Определение 1.5Л. Пространство Соболева П (Сд) определяется так:

Имеет место теорема об эллиптической регулярности во введенной шкале пространств.

Теорема 1.5.2. Пусть /1€ЕУ/Т(х)- Тогда, если (Л бЦ

Тут же имеется простое описание пространств Соболева ((д-) при целых предложения 1.5.1 и 1.5.2).

По схеме Хермандера (см. также £и"]» § 7) введена топология в пространствах Соболева, после чего доказана

Теорема 1.5.3. Оператор Д^Ц/^СО) задает при любом непрерывное отображение к. №) - оз

В § 5 главы I доказываются также, что сгла всюду плотно во всех пространствах Соболева (-^(О) » (предложение 1.5.5) и что скалярное произведение пространства продолжается до полуторалинейной двойственности С (предложение 1.5.6).

В § 6 доказана теорема, дающая простейшее приложение развитого аппарата к спектральной теории.

Теорема 1.6.1. Если Де где (п > и , то пара Д) Д* является существенно сопряженной, т.е. замыкания А и Л операторов П ил сопряжеш в , при этом области определения^ операторов А , А* совпадают с Н (Сг). Операторы А и А* совпадают с продолжениями по непрерывности операторов И и /л до операторов из

НЧФ - ¡-Ч<*\

В § 7 даются условия совпадения "левых" и "правых" пространств Соболева и классов операторов (см. теорему 1.7.1).

§ 8 содержит формулировки некоторых обобщений и уточнений излагаемых результатов.

Глава П состоит из шести параграфов.

В § I вводятся основные определения весовых функций, классов псевдодифференциальных операторов и функциональных пространств. В начале определяется положительная неубывающая вещественнознач-ная функция ^: » Д^ которой существуют натуральное

V и действительная постоянная о такие, что

С ее помощью определяется пространство Шварца с весом состоящее из таких * с ""(а) что для любых К , \ти ^ $ имеют место оценки мо [уМе.яЙ IXе6 к, к

- ЬМр ! Ч^РК^Ш \ А Д- 11А ^ 400 8е

Класс VI (бг; ^ состоит из операторов Я. , ядра которых Ко (я,-^ ] удовлетворяют следующим условиям:

2) для любых мультииццексов сС и и для любого существует такое С</£Л1 >0 9 что

Введем теперь основной в этой главе класс псевдодифференциальных операторов , состоящий из таких операторов

А. что Я,

В § 2 доказываются теоремы об ограниченности операторов из введенных классов в пространствах и (Сх).

Предложение 2.2.1. Если Д е и/^С^)» то А продолжается до непрерывного оператора

Предложение 2.2.2. Оператор Д бпродолжается до непрерывного оператора

А1.чат,

В § 3 показывается, что операторы из введенных выше классов составляют алгебру с инволюцией. Именно, верны следующие Теорема 2.3.1. Если Д € » то

Теорема 2.3.2 (о композиции). Если Д (ч^) и

В €\Лт% Г) , «» Л 6 € ЦТ ^ ) .

Здесь же доказывается

Теорема 2.3.3. Пусть Д € , ¡пеЩ , тогда А продолжается до ограниченного оператора для любого

В § 4 доказывается основная теорема этой главы об убывании функции Грина оператора

А* тч^у).

Пусть ^: [Д-^] (одоо] гладкая, неубывающая функция, удовлетворяющая следующим условиям: для всех > о .

В) Существуют о0>и и натуральное А/ такие, что 1

М --77ГТ О

С) При любом целом К >0 ш С к

Тогда верна следующая

Теорема 2.4.1. Пусть Д£^^ я пусть оператор

А ■ НИ^ ^(^х) о^Р8™1 ПРИ 5- $о • Тогда А обратим при любом (Я и существует такое £ > $ , что функция Грина оператора А удовлетворяет оценкам

Основная идея доказательства теоремы об убывании функции Грина состоит в рассмотрении действия оператора в пространстве Соболева с весом, характеризующим убывание. Эта идея в случае операторов в использовалась в работе где однако рассматривались лишь случаи степенного и экспоненциального убывания. Близкие идеи, также связанные с применением весовых пространств для операторов в использовались в работах [48-5о]. Общие весовые пространства используемого здесь типа, но на дискретных группах, рассматривались в работах и [47], в которых изучалось убывание функции Грина разностных операторов. (

В § 5 строится более широкая алгебра операторов игт полученная включением в исходную алгебру (Йг) всех операторов, бесконечно сглаживающих в шкале соболевских пространств. В этой алгебре теорема об обратном операторе становится тривиальной и благодаря этому можно описать структуру комплексных степеней. Попутно следуя схеме Сили [27], при условии эллиптичности с параметром для оператора Д- yVl » мы строим параметрикс оператора с параметром Д~А1 , норма которого убывает как

С/lAl + . Если еще 6^/1)О]-^ , где

Д) спектр оператора Д , то строятся комплексные степени

А2 оператора Л и доказана п

I2 Cif/^V/'M

Теорема 2.5.3, а) Имеет место включение ¿Ц\JL. (UT/. б) Семейство операторов \f\ ( образует группу, т.е.

AZ+W=A2-AW . при всех А=А, A4 , в) Для любых sA6 R оператор-функция 2 и—^ /\ * представляет собой голоморфную оператор-функцию от Ъ в полуплоскости со значениями в банаховом пространстве mai-rfc)). г) В локальных координатах полный символ оператора л разлагается в асимптотическую сумму

О , где ^-^^(oc^j/l)^ jj-0}\)%;-- компоненты символа параметрикса оператора с параметром AI ^ ¿•"¿-m.fsc^,Я) однородна по порядка-j- ha , Г - подходящий контур в комплексной плоскости. После этого мы получаем теорему о мероморфном продолжении ядер комплексных степеней (теорема 2.5.4) и обычным образом выводим из нее асимптотику спектральной функции (теорема 2.5.5).

В § 6 результаты § 4 и § 5 уточняются в случае, когда функция растет не быстрее ^ +1) .В этом случае взятие обратного оператора и комплексных степеней не выводят за пределы алгебры, определяемой оценками ядра вида (0.6) с - .

Точнее, имеют место следующие теоремы.

Теорема 2.6.1. Пусть Д 6 Elг&у) и пусть оператор А • H KG) обратим при S-So . Тогда /\ обратим при всех se fR и ÈVL'^G, у)•

Теорема 2.6.2. Пусть A ¿EVL"l(Q) ff- z) , где /tl> 0 . Если оператор А~Л1 удовлетворяет условию эллиптичности с параметром и условию б" (А) 0 (-<*>, о] = /

Ш глава диссертации состоит из двух параграфов. В первом параграфе приводятся и доказываются несколько вспомогательных утверждений, используемых в дальнейшем. В частности, доказана

Лемма 3.1.2. Пусть /\ - дифференциальный оператор порядка ht с коэффициентами OU » Если при Р(%в)—^ 00 » то оператор /\ компактен как оператор из HS(G) в

Во втором параграфе Ш главы доказываются предложения о достаточных условиях фредгольмовости и обратимости в пространствах Соболева дифференциальных операторов из введенных ранее классов

EUrCG).

Заметим, что в случае эти условия переходят в достаточные условия В.В.Грущина (см. [7]) для фредгольмовости и

I ht обратимости эллиптических псевдодифференциальных операторов из£ в пространствах Соболева на [¡^ .В дальнейшем, положим Д^ - ^ OLoC ^о) , т.е. левоинвариантный оператор на Gj- , коэффициенты которого получены замораживанием коэффициентов оператора Д в точке go.

Теорема 3.2.1. Пусть дифференциальный оператор -^L&^jX^ удовлетворяет следующим условиям: И^м,

I) /\ равномерно эллиптичен;

II) Существуют К^С^Ц^. такие, что если то существует ограниченный оператор, обратный к оператору

А,„: ТОЫТЙ) .пр~ а) д 0 при ->оо для любого

Тогда оператор Д ; ~^ П^ ^(С5) ФРеДгольмо:в* ^

Теорема 3,2.2. Пусть дифференциальный оператор Д = удовлетворяет условиям теоремы 3.2.1, причем 2 5ир[^Сд. „~ >У , зависящее только от Ьд^ К и и , что если

ХРСи^)|<£ для любых , с К, , то оператор Д осуществляет изоморфизм этих пространств при любом $ € [Я, .

По материалам диссертации были сделаны доклады на научных семинарах по спектральной теории механико-математического факультета МГУ (руководитель - д.ф.-м.н. М.А.Шубин), по граничным задачам теории функции и интегральным уравнениям Тбилисского математического института (руководитель - академик АН ГССР Б.В.Хведелидзе), на международной конференции по дифференциальным уравнениям с частными производными (Новосибирск, 1983 г.), на республиканской конференции по пространственным задачам математической теории упругости, граничным задачам теории функций и сингулярным интегральным операторам (Тбилиси, 1983 г.).

Основные результаты диссертации опубликованы в работах ¡45^, ¡4б],(б1]. В совместных статьях [32] и |~4б] автора и М.А.Шубина последнему принадлежат постановки задач и общие методические указания.

Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю, доктору физ.-мат.наук М.А.Шубину за постановку задач и постоянное внимание к работе.

ШВА I. СОБСТВЕННЫЕ ПСЕВДОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ НА УНИМОДУЛЯРНЫХ ГРУППАХ ЛИ

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Меладзе, Годердзи Анатольевич, 1984 год

1. Хермандер Л. Псевдодифференциальные операторы и гипоэллипти-ческие уравнения. - Сб. "Псевдодифференциальные операторы". М., "Мир", 1967, 297-367.

2. Kumano-go Н. Remarks on pseudo-differential operators.-J. Math. Soc. Japan, 1969, 21, ¿1-13-439.

3. Kumano-go H. Algebras of psedo-differential operators.-J. Рас. Sci. Univ. Tikyo, Sec. 1A, 1970, 17, 31-50.

4. Kumano-go H. Pseudo-differential operators of multiple symbol and the Calderon-Vaillancourt theorem.-J.Math.Soc. Japan, 27, No.1 (1975), 113-119.

5. Kumano-go H. Pseudodifferential operators.-MIT Press 1981.

6. Grossman A., Loupias G.,Stein E.M. An algebra of pseudodifferential operators and quantum mechanics in phase space. Ann. Inst. Fourier 1968, 18, 343-368.ченными символами. Функц. анализ и его приложения, 1970, 4, вып. 3, 37-60.

7. Рабинович B.C. ПсеЕдодифференциальные уравнения в неограниченных областях с конической структурой на бесконечности. -Шт. сб., 1969 , 80 , 77-97.

8. Шубин М.А. Псевдодифференциальные операторы в R . ДАН СССР, 1971, 196, 316-319.

9. Туловский В.Н., Шубин М.А. Об асимптотическом распределении собственных значений псевдодифференциальных операторов в fRr Мат. сб., 1973, 92, 571-588.

10. Шубин М.А. Псевдодифференциальные операторы и спектральная теория. М.:Наука, 1978.

11. Beals R. A general calculus of pseudo-differential operators. Duke Math. J., 1975, 42, No.1, 1-42.

12. Грушин В.В. Псевдодифференциальные операторы

13. Фейгин В.И. Две алгебры псевдодифференциальных операторов в Rn и некоторые приложения. Труды Моск. матем. об-ва, 1977, 36, 155-194.

14. Guillemin V., Sternberg S. The mateleptic representation, Weyl operators and spectral theory.-J. of Funet. Anal., 1981, 42, No.2, 128-225.

15. Hormander L. The Weyl calculus of pseudo-differential operators.-Comm. Pure Appl. Math., 1979, 32, 359-44-3.

16. Heifer B. Theory spectrale pour des operateurs globalement elliptiques.-Recife 1981.

17. Левандорский С.З. Асимптотическое распределение собственных значений.-Изв. АН СССР, сер. мат., 1982, 46, 4, 310-352.

18. Шубин М.А. ПсеЕдодифференциальные почти-периодические операторы и алгебры фон Неймана. Труды Моск. мат. об-ва, 1976, 35, 103-164.

19. Шубин М.А. Почти периодические функции и дифференциальные операторы с частными производными. УМН, 1978, 33, №2, 347.

20. Шубин М.А. Спектральная теория и индекс эллиптических операторов с почти-периодическими коэффициентами. УМН, 1979, 34, № 2, 95-135.

21. Федосов Б.В., Шубин М.А. Индекс случайных эллиптических операторов. I, П. Мат. сб., 1978, 106, I, 108-140, № 3, 455483.

22. Дедик П.Е., Шубин М.А. Случайные ПсеЕдодифференциальные операторы и стабилизация решений параболических уравнений со случайными коэффициентами. Мат. сб., 1980, 113, № I, 41-64.

23. Metivier G. Equation aux derivees partielles sur les groups de Lie nilpotents.-In: Seminaire Bourbaki,34-e annee,1981/82 , n° 583, 1-25.

24. Melin A. Parametrix constructions for right-invariant differential operators on nilpotent groups.-Preprint, 1982.

25. Melin A. Lie filtrations and. pseudodifferential operators. Preprint, 1983.

26. Calderon A.P., Vaillancourt R. A class of bounded pseudodifferential operators.-Proc. Nat. Acad. Sci. USA. 1972, 69, 1185-1187.

27. Seeley R. T. Complex powers of an elliptic operator.—Proc. Symp. in Pure Math., 10, 1967, 288.307.

28. Seeley R. T. Analytic extension of trace associated with elliptic boundary problems.-Amer.J.Math.,91,1969,963-983.

29. Шубин M.А. Псевдоразностные операторы и их обращение. ДАН СССР, 1984, 276, В 3, 567-570.

30. Kumano-go H., Tsutsumi С. Complex powers of hypoelliptic pseudo-differential operators with applications.-Osaka J. Math., 1973, 10, No.1, 147-174.

31. Богородская Т.Е., Шубин M.А. Вариационный принцип для плотности состояний случайных псевдодифференциальных операторов и его приложения. Функ. анализ и его приложения, 1983, т. 17, вып. 2, 66-67.

32. Меладзе Г.А., Шубин М.А. Собственные псевдодифференциальные операторы на унимодулярных группах Ли.-Рукопись депонирована в ВИНИТИ, 8.12.1983, В 6661-83 ДЕП.

33. Guivarc'h Y. Croissance polynomial et périodes des fonctionsharmoniques.-Bull. Soc. Math. Prance, 1973, 101,339-379.

34. Beals R. Characterization of pseudodifferential operators and applications.-Duke Math.J., 1977, 44, No.1, 45-58.

35. Симоненко И.Б. Новый общий метод исследования линейных операторных уравнений типа сингулярных интегральных уравнений. I. Изв. АН СССР, серия матем., 29 (1965), 567-589.

36. Kohn J.J., Nirenberg L. An algebra of pseudodifferential operators.-Comm. Pure Appl. Math. 18(1965),269-305.

37. Грушин B.B. Псевдодифференциальные операторы. Моск. институт электронного машиностроения. М., 1975.

38. Шубин М.А. О существенной самосопряженности равномерно гипо-эллиптических операторов. Вестник МГУ, сер. мат., мех., 1975, 2, 91-94.

39. Лонтрягин Л.С. Непрерывные группы. М., Наука, 1973.

40. Holland G.B., Stein Е.М. Estimates for the b complex and analysis on the Heisenberg group;-Comm. Pure Appl. Math.27(1974),429-522.

41. Heiffer. Hypoellipticite pour des operateurs differentiels sur les groups de Lie nilpotents.-С.I.M.E.(1977)»

42. Heiffer B. Nourrigat. Caracterisation des operateurs hypo-elliptiques homogenes invariants a gauche sur un groupe nilpotents; -Comm. in Partial Diff. Equ. 4(1979)»899-958.

43. Rotschild L.P., Stein E.M. Hypoelliptic differential operators and nilpotent groups.-Acta Math., 1370976) ,247-320.

44. Шубин М.А. Теоремы о совпадении спектров псеЕдодифференциаль-ного почти-периодического оператора в пространствах L2(Rn)и B2(Rn) . Сиб. матем. ж., 1976, 17, В I, 200-215.

45. Меладзе Г.А., Шубин М.А. Комплексные степени псевдодифферен-циалъных операторов на унимодулярных группах Ли.-Рукопись депонирована в ВИНИТИ 18.04.1984, № 2420-84 ДЕП.

46. Меладзе Г. А. Фредгольмовость дифференциальных операторов на группах Ли. рукопись депонирована в ВИНИТИ 9.07.1984,4847-84 ДЕП.

47. Шубин М.А. Псевдоразностные операторы и их функция Грина. -Изв. АН СССР, сер. мат., 1984.

48. Луцкий Я.А. Двойные псевдодифференциальные операторы в пространствах экспонещиально растущих обобщенных функций. ДАН СССР, 1977, т. 235, ft 3, 527-530.

49. Луцкий Я.А., Рабинович B.C. Псевдодифференциальные операторы в пространствах обобщенных функций экспоненциального поведения на бесконечности. Функц. анализ и его прилож., 1978, т. 12, вып. I, с. 79.

50. Левендерский С.З., Рабинович B.C. Об экспоненциальном убывании на бесконечности решений многомерных уравнений типа свертки в конусах. Изв. вузов. Математика, 1979, ft 3, с. 38-44.

51. Меладзе Г.А. О фредгольмовости и обратимости дифференциальных операторов на унимодулярных группах Ли. Сообщ. АН ГССР, 115, ft 3, 1984.