Спектральный анализ дифференциальных операторов с неограниченными операторными коэффициентами, порожденных линейными отношениями тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Диденко, Владимир Борисович

• Диденко, Владимир Борисович
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Диденко, Владимир Борисович

Обозначения.

Введение

Глава 1. Некоторые сведения теории линейных отношений и упорядоченных пар линейных операторов.

1.1. Основные понятия теории линейных отношений.

1.2. Основные понятия теории упорядоченных пар операторов

1.3. О представлениях линейных отношений на конечномерных пространствах

1.4. Об условии непустоты резольвентного множества упорядоченной пары линейных операторов в конечномерных пространствах

Глава 2. Состояния обратимости дифференциальных операторов с граничными условиями, заданными при помощи линейных отношений.

2.1. Постановка задачи.

2.2. Условия нахождения дифференциального оператора в заданном состоянии обратимости.

2.3. Случай упорядоченной пары линейных операторов.

Глава 3. Непрерывная обратимость и фредгольмовость дифференциальных операторов с многозначными импульсными воздействиями.

3.1. Постановка задачи.

3.2. Теоремы о непрерывной обратимости и фредгольмовости

3.3. Примеры.

Глава 4. Состояния обратимости дифференциальных операторов с неограниченными периодическими операторными коэффициентами

4.1. Постановка задачи.

4.2. Состояния обратимости.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Спектральный анализ дифференциальных операторов с неограниченными операторными коэффициентами, порожденных линейными отношениями»

Диссертация посвящена исследованию вопросов существования и качественных свойств решений дифференциальных уравнений с неограниченными операторными коэффициентами и граничными условиями, заданными при помощи линейных отношений, исследованию дифференциальных уравнений с многозначными импульсными воздействиями и дифференциальных уравнений (операторов) с периодическими коэффициентами.

Состояние качественной теории дифференциальных уравнений в банаховых пространствах долгое время отражали известные монографии Ю.Л. Далецкого, М.Г. Крейна [20], Х.Массера, X. Шеффера [46], авторы которых отмечали крайнюю важность развития соответствующей теории дифференциальных уравнений с неограниченными операторными коэффициентами в связи с приложениями к дифференциальным уравнениям с частными производными.

Авторы отчетливо сознают, что арена бесконечномерных пространств требует присутствия неограниченных операторов, без которых невозможна настоящая теория устойчивости систем с бесконечным числом степеней свободы". (Ю.Л. Далецкий, М.Г. Крейн, стр 12) мы совершенно игнорируем возможность распространения теории на случай, когда значения А (в уравнении вида х + Ах = Н - прим. автора) суть неограниченные операторы в X. Такое обобщение теории представило бы, конечно, огромный интерес, особенно ввиду возможных приложений к уравнениям в частных производных". (X. Массера, X. Шеффер, стр. 11)

В последние семнадцать лет была установлена глубокая связь между теорией дифференциальных уравнений с неограниченными операторными коэффициентами, теорией полугрупп операторов, теорией разностных операторов (как непрерывного аргумента, так и дискретного), спектральной теорией линейных отношений. Новые подходы развивались в работах А.Г. Баскакова [3, 4, 8], Ю.Д. Латушкина [56, 64], Ф. Ребигера, Р. Шнаубельта [65], А. Фави-ни, А. Яги [59], Д. Хенри [48], М.С. Бичегкуева [13, 14], В.М. Брука [16-18], Г.В. Демиденко [24].

Рассматриваемому дифференциальному уравнению сопоставляется линейный дифференциальный оператор, действующий в подходящем функциональном пространстве. Изучение его спектральных свойств осуществляется:

1) с привлечением полугруппы разностных операторов Хоулэнда, генератором которой является исследуемых оператор;

2) сопоставлением изучаемому дифференциальному оператору разностного оператора, действующего в подходящем пространстве векторных последовательностей. Этот разностный оператор обладает рядом свойств исследуемого дифференциального оператора (их ядра имеют одинаковую размерность, образы одновременно замкнуты и имеют одинаковую коразмерность и т.д);

3) с привлечением спектральной теории линейных отношений на фазовом пространстве, если исследуемое дифференциальное уравнение рассматривается на конечном промежутке, а краевые условия заданы линейным отношением.

Необходимость в использовании спектральной теории линейных отношений возникает также при изучении дифференциальных уравнений с необратимым оператором при производной. Изучению таких дифференциальных уравнений посвящено большое число работ, в частности, монографии А. Фа-вини, А. Яги [59], Г.В. Демиденко, C.B. Успенского [23].

Дифференциальные уравнения на конечном промежутке с граничными условиями, заданными парой линейных операторов на конечномерном фазовом пространстве изложена в монографии Ф. Аткинсона [2]. В ней отмечалось (стр. 9): "В высшей степени желательно было бы развить соответствующую теорию для уравнений в частных производных и их аналогов; однако дискретная теория, и, тем более, синтез двух теорий, представляются здесь очень слабо развитыми".

Таким образом, развиваемая в диссертации теория краевых задач для абстрактных параболических уравнений является актуальной.

В диссертации определение и исследование дифференциальных операторов осуществляется с использованием семейства эволюционных операторов.

Пусть Л — это или некоторый отрезок числовой прямой [а, 6], или вся числовая прямая М. Символом Д обозначим множество Л х Л. Отображение Ы : А —> ЕпйХ, где Егк1Х — банахова алгебра линейных ограниченных операторов на банаховом пространстве X, называется (сильно непрерывным) семейством эволюционных операторов на 1, если выполнены следующие условия:

1) Ы£) = / — тождественный оператор для любого £ Е Л;

2) в)и(8, т) = Ы(£, т) для всех I, г из Л;

3) отображение (£, в) I—> ¿/(£, в)х : А —X непрерывно для любого х £ X;

4) вир = М < оо. о<г-в<1

Отметим, что в случае, когда Л является отрезком, условие (4) можно убрать, в силу принципа равномерной ограниченности.

Если семейство Ы определено лишь на множестве А+ = {(£, в) Е Д,£ > в}, то тогда оно называется семейством эволюционных операторов «вперед».

Эволюционные семейства операторов естественным образом появляются в связи с представлением решений абстрактной задачи Коши с1х = А(г)х, г Е Л, (1) х0 Е £>(А(5))> 5 Е Л, (2) в предположении, что область определения 0(А(з)) оператора плотна в X для каждого в Е Л.

Будем говорить, что семейство эволюционных операторов Ы : А Епс[Х решает абстрактную задачу Коши (1), (2), если для любого в Е Л существует плотное в X подпространство Х8 из 1?(А(з)) такое, что для каждого хо Е Х3 функция х(Ь) = дифференцируема при всех t > б, х(£) Е £)(А(£)) и выполнены равенства (1), (2). В этом случае также будем говорить, что семейство Ы соответствует задаче (1), (2).

Если функция / : Л —> X принадлежит линейному пространству Ь\ос{Л, X) локально суммируемых измеримых по Бохнеру (классов) функций, определенных на Л со значениями в X, то (слабым) решением уравнения

1х = А(ф;+ /(*), ¿ЕК (3) при условии, что семейство и на Л решает задачу Коши (1), (2)) называется любая непрерывная функция х, удовлетворяющая при всех (£, й) Е А равенствам х{€) = £/(£, й):ф) +

И(*,т)/(т)<*т. (4)

Особо отметим, что рассмотренные в диссертации линейные операторы строятся по произвольному эволюционному семейству операторов и для них тем не менее применяется термин «дифференциальный оператор».

Каждому семейству эволюционных операторов Ы : А —» Еп<1Х можно сопоставить линейный оператор Стах : В(£тах) С Ь\(3,Х) —> ¿1(Л, X), который определяется следующим образом. Непрерывная функция х : Л -н► X 8 включается в 0(Стах), если существует функция / € X) такая, что для пары функций (ж,/) выполняются равенства (4). При этом полагается

Во второй главе диссертации для построенного описанным выше способом оператора Стах ставится граничное условие х(а),х(Ъ)) €Г, где Г — линейное отношение, т.е. линейное подпространство из декартового произведения X х X. Часто граничные условия задаются с помощью упорядоченной пары линейных операторов (Д В) (см. [2], [16], [18]), где операторы А, В из ЕпйХ. В этом случае для линейного отношения Г справедливо одно из следующих представлений

Г = {(Ах,Вх),х £ X}),

Г = {(ж, у) еХ хХ : Ах = Ву}.

В третьей главе изучаются линейные дифференциальные уравнения с многозначными импульсными воздействиями в фиксированные моменты времени. Дифференциальные уравнения с импульсными воздействиями естественным образом возникают при описании эволюции процессов с кратковременными возмущениями. В этом случае удобно пренебречь длительностью этих возмущений, т.е. считать, что они носят мгновенный характер. Это приводит нас к необходимости рассматривать динамические системы с разрывными траекториями.

Линейные дифференциальные уравнения с импульсными воздействиями в конечномерном пространстве рассматривались в работе [47] и в банаховом пространстве — в работах [52, 53]. В этих работах импульсные воздействия задавались с помощью линейного ограниченного оператора, определенного на всем фазовом пространстве. В то же время возникают задачи, в которых импульсные воздействия задаются многозначными отображениями, а также отображениями, область определения которых не совпадает со всем фазовым пространством, что позволяет рассматривать так называемые «смертные» системы, когда траектории, попадающие в некоторое множество, переводятся импульсным воздействием в пустое множество, т.е. «умирают» по Вожелю [70]. Например, такие задачи в случае конечномерного пространства были рассмотрены в работах [51, 67]. Также отметим монографию [68], в которой рассматривались дифференциальные включения с многозначными импульсными воздействиями.

В четвертой главе изучаются линейные дифференциальные операторы, которые строятся по периодическому эволюционному семейству Ы, т.е. такому, что К (1+1, 5+1) = 14(1, в) для любых £ и в из области определения. Также отметим, что в отличие от глав 2 и 3, в главе 4 рассматривается семейство «вперед», т.е. семейство, определенное только на множестве Д+.

Результаты диссертации опубликованы в [25-27, 31, 32, 34], и докладывались на Воронежских зимних математических школах С.Г. Крейна 2008 [28], 2010 [29], 2012 [33], на Крымских осенних математических школах 2008, 2009, 2010, 2011 [30], на конференции БРБЕ 2011 [57], на семинарах А.Г. Баскакова, а также на научных сессиях ВГУ. Работы [31, 32] опубликованы в изданиях, включенных в список ВАК.

Перейдем к более подробному изложению содержания диссертации. Диссертация состоит из четырех глав.

В главе 1 приведена сводка широко используемых в диссертации понятий и результатов из теории линейных отношений и теории упорядоченных пар линейных операторов.

В диссертации рассматриваются следующие функциональные пространства. Символом Сь = Сб(Л, X) будем обозначать банахово пространство непрерывных и ограниченных на Л функций, принимающих свои значения в банаховом пространстве X, с нормой, определяемой равенством ж|| = яир

Символом С\ = Сі(М, X) будем обозначать замкнутое подпространство из С&(Ж,Х) периодических периода 1 функций.

Через и = ¿/(Л, X), р £ [1,оо], обозначим банахово пространство измеримых по Бохнеру функций, действующих из Л в X, для которых конечна величина (принимаемая за норму в соотвествующем пространстве) /р = ІЖН^т) , РЇ оо,

ЦхЦоо = е^ввир ||х(т)||, р = ОО. тЄІ

Через Ь\ = X), р £ [1,оо], обозначим банахово пространство измеримых по Бохнеру периодических периода 1 (классов) функций, действующих из Ж в X, для которых конечна величина (принимаемая за норму в соотвествующем пространстве)

1/р

Ир Цх(г)Ц^г) рф оо, |оо = вир ||ж(т)||, р = ОО.

1-610,1]

Далее символом ^(Ж, X) обозначается одно из перечисленных выше пространств функций, определенных на все оси — 1^(Ж, X), р £ [1, оо], Сь(Ж, X), X), р £ [1, оо], Сх(Ж, X). Символом Т\ = .^(Ж, X) будем обозначать пространства периодических функций Ь\{Ж, X), р £ [1, оо], (Л(Ж, X). Символом 3~{[а, Ь],Х) будем обозначать пространство функций, определенных на отрезке [а, Ъ] — №{[а, 6], X), р £ [1, оо], Сь([а, Ь], X).

Однородным пространством двусторонних последовательностей Та = X), ассоциированным с пространством ^Г(Ж, X), будем называть банахово пространство последовательностей 1Р{X), суммируемых со степенью

1 < р < оо, если Т совпадает с пространством 27; банахово пространство ограниченных последовательностей если Т совпадает с одним из пространств Ь°° или С&; банахово пространство /(1<,Х) стационарных последовательностей, т.е. таких последовательностей х, что х(п) = х(к), для всех к,п , если Т совпадает с одним из пространств периодических функций С\ или Ь

В главе 2 изучается дифференциальный оператор Ст С а, Ь],Х) —> 3-([а, Ь],Х) на отрезке [а, Ь], который строится по оператору £тах и граничным условиям, заданным при помощи некоторого линейного отношения Г. Непрерывная функция х : [а, Ь] —> X, для которой (х(а), х(Ь)) £ Г, включается в В(£г), если существует функция / £ ^"([а, Ь],Х) такая, что С'тахЗ' УПри этом полагается С^х — /. Отметим корректность определения оператора £г (т-е- единственность функции /, построенной по х).

Основные результаты первой главы связаны с утверждением о том, что оператор £г обладает такими свойствами как непрерывная обратимость, инъ-ективность, сюръективность, фредгольмовость и др. (см. следующее определение) тогда и только тогда, когда этим свойством обладает линейное отношение Г — Ы(Ь, а).

Определение 2.1.2. Пусть А — некоторое линейное отношение из Ы1(Х), где X — банахово пространство. Рассмотрим совокупность условий, которые могут быть выполнены для отношения А:

1) А Е ЬЯС(Х);

2) КегА = {0}, то есть отношение А инъективно;

3) отношение А корректно (равномерно инъективно), т.е. КегА = {0} и обратное отношение ограниченно;

4) а(А) = (ІітКегЛ < оо;

5) КегЛ — замкнутое дополняемое подпространство в X;

6) ІтЛ = ІтЛ;

7) ІтЛ — замкнутое дополняемое в X подпространство;

8) ІтЛ — замкнутое подпространство конечной коразмерности /3(Л) = сосіітІтА;

9) ІтЛ — X, т.е. Л — сюръективное отношение;

10) отношение Л непрерывно обратимо.

Если для отношения Л выполнены все условия из совокупности условий Б = {¿1,.,^}, где 1 < І\ < І2 < ■ ■ ■ < Ік < 10, то будем говорить, что отношение Л находится в состоянии обратимости Б.

Теорема 2.2.1. Оператор Ст непрерывно обратим тогда и только тогда, когда непрерывно обратимо отношение Г —Ъ1(Ъ,а), при этом обратъ ный оператор представим в виде (£р1/)(і) = / в)/(в) сів, і Є [а,Ь],

Г(М,*), где

Л ' и(і,а)(Г-и(Ь,а))-ЩЬ,з)+Щі,з), з<і, и{і,а){Т-и{Ъ,а))-1ЩЪ,з), в > і.

Теорема 2.2.2. Оператор £г фредгольмов тогда и только тогда, когда фредгольмовым является отношение Г — Ы(Ь,а). Если оператор £г фредгольмов, то (ИтКегСг = сІітКег(Г — и(Ь,а)), сосІітІтСт — со(ІітІт{Т — Ы(Ь,а)), а значит, и их индексы совпадают.

Теорема 2.2.4. Если для оператора Сг выполнено одно из приведенных в определении 2.1.2 десяти свойств, то соответствующим свойством обладает отношение Г — Ы(Ь, а). Любое из десяти свойств определения 2.1.2, выполненное для отношения Г — 1А{Ъ, а), исключая, быть может, первое и пятое свойства, выполнено и для оператора С?

В §2.3 перечисленные выше результаты применяются к случаю, когда линейное отношение задано при помощи упорядоченной пары (А, В) линейных ограниченных операторов из ЕпдХ. Рассматриваются следующие граничные условия

Гх = {(.Ах,Вх),х е X}) = ВА-\

Г2 = {(ж, у) <Е X х X : Ах = Ву} = В'1 А.

Теорема 2.3.1. Если резольвентное множество упорядоченной пары (В,Ц(Ь,а)А) непусто, то для оператора Сг1 выполняется равенство а(СТ1) = {Л Е К : ех{ь~а) <Е а {В,К (Ъ, а) А)}.

Теорема 2.3.2. Если резольвентное множество упорядоченной пары (А, Ви(Ъ, а)) непусто, то для оператора £г2 выполняется равенство а(Сг2) = {АеК: еЛ^ 6 а(А, ВЫ{Ъ, а))}.

В главе 3 изучается дифференциальный оператор С : -0(£) С С([£—> СX) на отрезке [£0^2], который строится при помощи семейства эволюционных операторов Ы, граничных условий, заданных при помощи замкнутого линейного отношения Г и многозначного импульсного воздействия, также определенного при помощи замкнутого линейного отношения А.

Символом С = С([£о, £2], X) обозначается пространство непрерывных на каждом из промежутков [£о,£х] и (¿1,£г] (£1 — некоторая фиксированная точка из интервала (£о,£2)) ограниченных функций х : [£о,£г] —* X, имеющих предел справа x+(t\) в точке t\. Норму в С определим равенством s|| = sup ||x(f)||. te\toM

Стандартным образом можно показать, что пространство С является банаховым.

Функция х из С, для которой выполняются условия s(foWi2)) е г,

G Л включается в область определения D(C) оператора если существует такая функция / из С, что для пары функций (х, /) равенства (4) выполняются для всех (t, s) таких, что to < s < t < t\ или t\ < s < t < ¿2

При этом полагается Cx — f. Отметим корректность определения оператора С (т.е. единственность функции /, построенной по х). Введем в рассмотрение линейное отношение и два подпространства из X

Xi = ronW(£2,iiMO,

X2=U{hM)D{Y) + D(A).

Теорема 3.2.2. Оператор С непрерывно обратим тогда и только тогда, когда непрерывно обратимым является отношение Т> и выполняются равенства {0}, х2 = х.

Теорема 3.2.3. Оператор С фредголъмов тогда и только тогда, когда фредгольмовым является отношение Т>, подпространство Х\ является конечномерным и подпространство Х2 имеет конечную коразмерность. Если оператор С фредголъмов, то его индекс можно вычислить по формуле псІС = (іітКегТ) — сойітІтТ) + дітХі — сосіітХ2.

В главе 4 изучается дифференциальный оператор С : С

М, X) —» ^"(Е, X), построенный по периодическому семейству ¿У : Д+ —»• ЕпсІХ эволюционных операторов «вперед». Непрерывная функция х из ^"(М, X) включается в область определения оператора если существует функция / Є такая, что для любых й) Є Д+ верны равенства (4).

При этом полагается Сх = /. Отметим корректность определения оператора С (т.е. единственность функции /, построенной по х).

Изучение оператора С осуществляется при помощи разностного оператора Т> : ТаСЕ^Х) —> /^Д), определяемого равенствами

Т>ха)(п) = хй{п) - Ы{ 1,0)ха(п - 1), ха Z.

Показано, что за многие свойства оператора С такие как непрерывная обратимость, фредгольмовость, инъективность, сюръективность и др. (см. следующее определение) отвечает оператор Т>.

Определение 4.2.1. Пусть А : Е(А) С X —> X — замкнутый оператор. Рассмотрим следующие условия:

1) КегА = {0} (т.е. оператор А инъективен);

2) 1 < п — (ІітКегА < оо;

3) КегА — дополняемое подпространство либо в И (А) (с нормой графика), либо в X;

4) ІтА = ІтА, что эквивалентно положительности величины (минимального модуля оператора А)

7(а)= іп{ іп£ ¡МІ сеП(А)\КєгА (¿^¿(ж, КегА) (х,у)єА,х(£КегА СІІЗІ(х, КвгА) ' где йізЬ(х, КегА) = іпїХоЄКегА \\х - ж0||;

5) Оператор А корректен (равномерно инъективен), т.е. КегА = {0} и ч{А) > 0;

6) ІтА — замкнутое дополняемое в X подпространство;

7) ІтА — замкнутое подпространство из X коразмерности 1 < т = сосІітІтА < оо;

8) ІтА = X, т.е. А — сюръективный оператор;

9) оператор А непрерывно обратим.

Если для А выполнены все условия из совокупности условий 5 = {¿і,., г^}, где 1 < і\ < ¿2 < . < ік < 9, то будем говорить, что оператор А находится в состоянии обратимости 5. Множество состояний обратимости оператора А обозначим символом Зііпу(А).

Теорема 4.2.1. Оператор С непрерывно обратим тогда и только тогда, когда непрерывно обратимым является оператор Т>. Обратный оператор в пространстве непериодических функций может быть представлен в виде

С-'т) = [ ^(¿,г)е-Л^/(г) <ІТ, і Є М. оо

Теорема 4.2.2. Оператор С непрерывно обратим в пространстве периодических функций тогда и только тогда, когда непрерывно обратимым является оператор I — U(1,0). Обратный к С оператор задается формулой

1№) =

G(t,r)f(r)dr, ¿Є [0,1], где функция (Грина) G : [0,1] х [0,1] —» EndX имеет вид

G(t,r) =

U(t,t- 1) - I))~lU{t,T), 0 < т < £ < 1, (U(t, t- 1) - I)YlU{t, т-1), 0 < £ < т < 1.

Теорема 4.2.7. Для операторов С иТ> имеет место равенство их множеств состояний обратимости:

Stinv{^C?j — Stinv {V).

Теорема 4.2.8. Для операторов Cul — U( 1,0) в пространстве периодических функций имеет место равенство их множеств состояний обратимости:

Stinv{£) = Stinv{I -Щ 1,0)).

Ниже перечислены основные результаты диссертации.

1. Найдены необходимые и достаточные условия нахождения в определенном состоянии обратимости дифференциального оператора с граничными условиями, заданными при помощи линейного отношения. Полученные результаты применяются к случаю, когда граничные условия задаются при помощи упорядоченной пары линейных операторов.

2. Описан спектр дифференциального оператора с граничными условиями, заданными при помощи линейного отношения.

3. Найдены необходимые и достаточные условия непрерывной обратимости и фредгольмовости дифференциального оператора с многозначным импульсным воздействием в фиксированный момент времени.

4. Найдены необходимые и достаточные условия нахождения в определенном состоянии обратимости дифференциального оператора с неограниченными периодическими коэффициентами как в пространстве периодических, так и непериодических функций.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Диденко, Владимир Борисович, 2012 год

1. Антоневич А.Б. Линейные функциональные уравнения. Операторный подход / А.Б. Антоневич — Минск: Университетское, 1988. — 233 с.

2. Аткинсон Ф. Дискретные и непрерывные граничные задачи / Ф. Аткин-сон М.: Мир, 1968. - 750 с.

3. Баскаков А.Г. Линейные дифференциальные операторы с неограниченными операторными коэффициентами и полугруппы разностных операторов / А.Г. Баскаков // Матем. заметки. 1996. - Т. 59. - № 6. - С. 811-820.

4. Баскаков А.Г. Полугруппы разностных операторов в спектральном анализе линейных дифференциальных операторов- / А.Г. Баскаков // Функц. анализ и его прил. 1996. - Т. 30. - № 3. - С. 1-11.

5. Баскаков А.Г. Спектральный анализ оператора взвешенного сдвига с неограниченными операторными коэффициентами / А.Г. Баскаков, А.И. Пастухов // Сиб. матем. журн. 2001. - Т. 42, - № 6. - С. 1231-1243.

6. Баскаков А.Г. Спектральный анализ линейных отношений и вырожденные полугруппы операторов / А.Г. Баскаков, К.И. Чернышов // Матем. сборник. 2002. - Т. 193, - № 11. - С. 3-42.

7. Баскаков А.Г. Теория представлений банаховых алгебр, абелевых групп и полугрупп в спектральном анализе линейных операторов / А.Г. Баскаков // Современная математика. Фундаментальные направления. — М.: МАИ. Т. 9. - 2004. - С. 3-151.

8. Баскаков А.Г. Спектральный анализ дифференциальных операторов с неограниченными операторными коэффициентами, разностные отношения и полугруппы разностных отношений / А.Г. Баскаков // Изв. РАН. Сер. матем. 2009. - Т. 73, - № 2. - С. 3-68.

9. Баскаков А.Г. Оценки оператора вложения пространства Соболева периодических функций и оценки решений дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами / А.Г. Баскаков, К.С. Кобычев // Дифферент уравнения 2011. - Т. 47, - №5. - С. 611-620.

10. Беллман Р. Дифференциально-разностные уравнения / Р. Беллман, К.Л. Кук М.:Мир, 1967. - 548 с.

11. Бичегкуев М.С. Об ослабленной задаче Коши для линейного дифференциального включения / М.С. Бичегкуев // Матем. заметки. — 2006. — Т. 79. № 4. - С. 483-487.

12. Бичегкуев М.С. Условия разрешимости разностных включений / М.С. Бичегкуев // Изв. РАН. Сер. матем. 2008. - Т. 72, - № 4. - С. 25-36.

13. Бичегкуев М.С. Линейные разностные и дифференциальные операторы с неограниченными операторными коэффициентами в весовых пространствах / М.С. Бичегкуев // Матем. заметки — 2009. — Т. 86. № 5. -С. 673-680.

14. Бичегкуев М.С. О спектре разностных и дифференциальных операторов в весовых пространствах / М.С. Бичегкуев // Функц. анализ и его прил. — 2010. — Т. 44. — № 1. — С. 80-83.

15. Бичегкуев М.С. Об условиях разрешимости разностных уравнений с начальным условием из подпространства / М.С. Бичегкуев // Сиб. матем. журн. 2010. - Т. 51. - № 4. - С. 751-768.

16. Брук В.M. Об обратимых сужениях замкнутых операторов в банаховых пространствах / В.М. Брук // Функциональный анализ. Ульяновск. — 1988. № 28. - С. 17-22.

17. Брук В.М. О спектре дифференциальных операторов в пространстве вектор-функций / В.М. Брук // Изв. вузов. Матем. — 1989. — № 8. — С. 15-21.

18. Брук В.М. О спектре операторов, порожденных абстрактными граничными задачами в банаховом пространстве / В.М. Брук // Функциональный анализ. Ульяновск. — 1990. — № 31. — С. 35-41.

19. Бурбаки Н. Интегрирование. Меры на локально компактных пространствах. Продолжение меры. Интегрирование мер. Меры на отделимых пространствах / Н. Бурбаки. — М.: Мир, 1977. — 600 с.

20. Далецкий Ю.Л. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве / Ю.Л. Далецкий, М.Г. Крейн — М: Наука, 1970. 536 с.

21. Данфорд Н. Линейные операторы. Общая теория / Н. Данфорд, Дж. Т. Шварц М: ИЛ, 1962. - Т1. - 895 с.

22. Данфорд Н. Линейные операторы. Спектральная теория. Самосопряженные операторы в гильбертовом пространстве / Н. Данфорд, Дж. Шварц. — М.: Мир, 1966. 1064 с.

23. Демиденко Г.В. Уравнения и системы, не разрешенные относительно старшей производной / Г.В. Демиденко, C.B. Успенский. — Новосибирск: Научная книга. — 1998. — 438 с.

24. Демиденко Г.В. Экспоненциальная дихотомия линейных систем дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами /Г.В. Демиденко, Ю.Ю. Клевцова // Вестник НГУ. Математика, механика, информатика. 2008. - Т. 8. - № 4. - С. 40-48.

25. Диденко В.Б. К спектральной теории упорядоченных пар линейных операторов на конечномерных пространствах / В.Б. Диденко // Вестник ВГУ. Физика. Математика. 2007. - № 2. - С. 104-107.

26. Диденко В.Б. Об обратимости и фредгольмовости операторов, порожденных семейством эволюционных операторов и краевыми условиями, заданными с помощью линейного отношения / В.Б. Диденко // Вестник ВГУ. Физика. Математика. — 2008. — № 2. С. 71-74.

27. Диденко В.Б. К спектральной теории упорядоченных пар линейных операторов на конечномерных пространствах / В.Б. Диденко // Труды Воронежской Зимней Математической Школы С.Г. Крейна. — 2008 — С. 114-116.

28. Диденко В.Б. К спектральной теории упорядоченных пар линейных операторов на конечномерных пространствах / В.Б. Диденко // Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна. Тез. докл. — 2008. — С. 49-50.

29. Диденко В.Б. Об обратимости и фредгольмовости дифференциальных операторов с многозначными импульсными воздействиями / В.Б. Диденко // Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна. Тез. докл. — 2010. С. 54.

30. Диденко В.Б. О состояниях обратимости дифференциальных операторов с неограниченными периодическими операторными коэффициентами / В.Б. Диденко // Международная конференция КРОМШ. Сборник тезисов. 2011. - С. 18.

31. Диденко В.Б. О непрерывной обратимости и фредгольмовости дифференциальных операторов с многозначными импульсными воздействиями /B.Б. Диденко // Вестник ВГУ. Физика. Математика. — 2011. № 1. C. 134-137.

32. Диденко В.Б. О спектральных свойствах дифференциальных операторов с неограниченными операторными коэффициентами, определяемых линейным отношением / В.Б. Диденко // Матем. заметки. — 2011. — Т. 89. — № 2. С. 226-240.

33. Диденко В.Б. Состояния обратимости дифференциальных операторов с неограниченными периодическими операторными коэффициентами / В.Б. Диденко // Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна. Тез. докл. 2012. - С. 54-55.

34. Диденко В.Б. Спектральный анализ дифференциальных операторов с неограниченными периодическими коэффициентами: препринт № 44 НИ-ИМ ВГУ : Июль 2012 / В. Б. Диденко // Воронеж: Воронежский государственный университет, 2012. — 20 с.

35. Горбачук В.И. Граничные задачи для дифференциально-операторных уравнений / В.И. Горбачук, М.Л. Горбачук — Киев: Наукова Думка, 1984. 284 с.

36. Жиков В.В. Некоторые вопросы допустимости и дихотомии. Принцип усреднения / В.В. Жиков // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1976. - Т. 40, - № 6. - С. 1380-1408.

37. Красносельский М.А. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций. / М.А. Красносельский, П.П. Забрейко, Е.И. Пустыль-ник, П.Е. Соболевский — М.: Наука, 1966. — 499 с.

38. Крейн С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве / С.Г. Крейн — М.: Наука, 1967. — 464 с.

39. Курбатов В.Г. Линейные дифференциально-разностные операторы / В.Г. Курбатов — Воронеж: изд-во ВГУ, 1990. — 168 с.

40. Курбатова И.В. Некоторые свойства линейных отношений / И.В. Курбатова // Вестник факультета ПММ ВГУ 2009. - № 7. - С. 68-69.

41. Кутателадзе С.С. Основы функционального анализа / С.С. Кутателад-зе — Новосибирск: изд-во ин-та математики, 2000. — 336 с.

42. Левитан Б.М. Почти периодические функции и дифференциальные уравнения / Б.М. Левитан, В.В. Жиков М: Изд-во МГУ, 1978. - 205 с.

43. Миролюбов A.A. Линейные однородные разностные уравнения / A.A. Ми-ролюбов, М.А. Солдатов — М.: Наука, 1981. — 208 с.

44. Миролюбов A.A. Линейные неоднородные разностные уравнения / A.A. Миролюбов, М.А. Солдатов — М.: Наука, 1986. — 130 с.

45. Мышкис А.Д. Системы с толчками в заданные моменты времени / А.Д. Мышкис, A.M. Самойленко // Матем. сборник. — 1967. — Т. 74, № 2. -С. 202-208.

46. Массера Х.Л. Линейные дифференциальные уравнения и функциональные пространства / Х.Л. Массера, Х.Х. Шеффер — М.: Мир, 1970. — 456 с.

47. Самойленко A.M. Дифференциальные уравнения с импульсным воздействием / A.M. Самойленко, H.A. Перестюк — Киев: Вища Школа, 1987. — 288 с.

48. Хенри Д. Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений / Д. Хенри. М.: Мир, 1985. - 376 с.

49. Хилле Э. Функциональный анализ и полугруппы / Э. Хилле, Р. Фил-липс М.: ИЛ, 1962. - 829 с.

50. Arens R. Operational calculus of linear relations / R. Arens // Pacific J. Math 1961. - Vol. 11. - P. 9-23.

51. Aubin J.-P. Optimal impulse control problems and quasi-variational inequalities thirty years later: a viability approach / J.-P. Aubin // Optimal control and partial differential equations — IOS Press, 2001. — P. 311-324.

52. Bainov D.D. Asymptotic behaviour of the solutions of equations with impulse effect in a Banach space / D.D. Bainov and S.I. Konstantinov // Collect. Math. 1987. - no. 38 - P. 193-198.

53. Bainov D.D. Bounded and periodic solutions of differential equations with impulse effect in a Banach space / D.D. Bainov, S.I. Kostadinov, A.D. Myshkis // Differential and integral equations — 1988. — Vol. 1. — no. 2. — P. 223-230.

54. Benchohra R. Impulsive differential equations and inclusions / M. Benchohra, J. Henderson, S. Ntouyas — New York: Hindawi Publishing Corporation, 2006. 366 p.

55. Cross R. Multivalued linear operators / R. Cross — New York: M. Dekker,1998. 335 p.

56. Chicone C.C. Evolution semigroups in dynamical systems and differential equations / C.C. Chicone, Y. Latushkin — American Mathematical Soc.,1999. 361 p.

57. Engel K.J. One-parameter semigroups for linear evolution equations / K.-J. Engel, R. Nagel — New York: Springer-Verlag, 2000. — 586 p.

58. Favini A. Degenerate evolution equations in Banach spaces / A. Favini, A. Yagi // Pure and Applied Mathematics. A Series of Monographs and Textbooks. New York: M. Dekker, 1998. - 313 p.

59. Gohberg I. Basic classes of linear operators / I. Gohberg, S. Goldberg, M.A. Kaashoek — Birkhäuser, 2003 — 423 p.

60. Hutter W. Hyperbolicity of almost periodic evolution families / W. Hutter // Tübinger Berichte zur Funktionalanalysis — 1997. — no. 6. — P. 92-109.

61. Kurbatov V.G. Functional Differential Operators and Equations / V.G. Kur-batov — Dordrecht-Boston-London: Kluwer Academic Publishers. — 1999. — 454 p.

62. Lakshmikantham V. Theory of impulsive differential equations / V. Laksh-mikantham, D. Bainov, P.S. Simeonov — World Scientific, 1989. — 273 p.

63. Latushkin Y. Evolutionary semigroups and Lyapunov theorems in Banach spaces / Y. Latushkin, J. Montgomery-Smith // Funct. Anal. — 1995. — Vol. 127. P. 173-197.

64. Rabiger F. The spectral mapping theorem for evolution semigroups on spaces of vector-valued functions / F. Rabiger, R. Schnaubelt // Semigroup Forum. — 1996. Vol. 52. -№. - P. 225-239.

65. Ronto N.I. Numerical-analytic methods in the theory of boundary-value problems / N.I. Ronto, M. Ronto, A.M. Samoilenko — World Scientific, 2000. — 455 p.

66. Saint-Pierre P. Hybrid kernels and capture basins for impulse constrained systems / P. Saint-Pierre // Hybrid systems: computation and control — Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag, 2002. P. 378-392.

67. Skripnik N.V. Differential equations with impulse effects : multivalued right-hand sides with discontinuities / N.A. Perestyuk, V.A. Plotnikov, A.M. Samoilenko, N.V. Skripnik Berlin: Walter de Gruyter, 2011. — 300 p.

68. Sethi Suresh P. Optimal control theory: applications to management science and economics / Suresh P. Sethi, Gerald L. Thompson — Springer, 2005. — 504 p.

69. Vogel Th. Theorie des systemes evolutifs. / Th. Vogel — Paris: Gauthier-Villars. 1965. - 172 p.

70. Yang Tao. Impulsive Control Theory / Tao Yang — Springer, 2001. — 367 p.