Исследование обратимости многомерных причинных операторов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Скопин, Владислав Андреевич

• Скопин, Владислав Андреевич
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Скопин, Владислав Андреевич

Введение

1. Линейные операторы в пространствах Лебега

1.1. Некоторые свойства пространств Лебега.

1.2. Причинная и обычная обратимость

1.3. Основные примеры операторов.

2. Эквивалентность причинной и обычной обратимости

2.1. Оператор свертки с функцией, сосредоточенной в конусе.

2.2. Оператор свертки с функцией, сосредоточенной в полупространстве.

2.3. Смешанный функционально-дифференциальный оператор.

3. Свойства операторов на бесконечности

3.1. Ограничение причинного оператора на множество.

3.2. Операторы, инвариантные относительно сдвигов.

3.3. Операторы, имеющие пределы на бесконечности.

4. Эквивалентность устойчивости и экспоненциальной дихотомии

4.1. Переход к операторной форме записи уравнения.

4.2. Равномерная разрешимость начальной задачи.

4.3. Операторы с экспоненциальной памятью.

4.4. Эквивалентность экспоненциальной дихотомии и устойчивости.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование обратимости многомерных причинных операторов»

Среди моделей окружающего мира можно выделить следующие два типа. Первый тип — модели "без памяти" или "без запаздывания". В них поведение модели в текущий момент времени описывается только ее состоянием в этот момент времени, т.е. "в настоящем". Иными словами, модель "не помнит" своего прошлого и "не знает" будущего. Второй тип моделей — модели "с запаздыванием" или "с памятью", когда по-ведние модели в текущий момент времени определяется значениями ее состояний не только в этот, текущий, момент времени, но и в какие-то предшествующие моменты. Теоретически можно выделить и третий тип моделей, когда для описания текущего поведения используются еще значения состояний модели в будущем. Однако, такое описание не имеет физического смысла.

Наиболее широко используется первый тип моделей. Для их описания применяют функциональные уравнения, обыкновенные дифференциальные уравнения и уравнения с частными производными.

Настоящая диссертация посвящена, в основном, второму типу моделей. Отметим некоторые источники моделей такого типа.

Пусть дифференциальный оператор, описывающий систему без памяти, частично обратим, т.е. разлагается в произведение или в сугЛму нескольких частей, одна из которых обратима. Тогда, делая замену, использующую соответствующий обратный оператор (который, как правило, оказывается интегральным), получаем оператор с запаздыванием.

К моделям с запаздыванием часто приходят, исходя из экспериментальных наблюдений, в которых существенна разница между временем подачи сигнала на вход системы и его реальным попаданием на этот вход. В результате возникают уравнения, в которые неизвестные функции входят со сдвигом по времени.

Таким образом, модели с запаздыванием также достаточно распространены. Они широко применяются [3, б, 37, 38, 39, 61, 92, 94, 101, 124, 144, 153, 157] в теории авторегулирования, технике, электродинамике, квантовой физике, биологии, экологии, медицине, экономике, теории вероятностей и др. Г

Явление, когда настоящее может зависеть от прошлого (и, возможно, от самого настоящего), но не может зависеть от будущего, называют [29] причинностью. Изучению этого явления и посвящена настоящая работа.

Математический объект, описывающий явление причинности — причинный оператор. Он действует в пространствах функций переменной t, интерпретируемой как время. В самом общем смысле оператор Т называют причинным, если для вычисления значения функции Тх в настоящем используются значения функции х только в прошлом (и, возможно, в настоящем). Классическими работами по теории причинных операторов и уравнений с ними можно считать следующие книги: [16, 66, 96, 116, 125, 139, 140, 149, 156]. Причинные операторы изучаются (часто независимо) в разных областях математики, и в силу этого для них имеется несколько различных названий — причинный, вольтерров (оператор типа Вольтер-ра), наследственный, запаздывающий, каузальный.

Формальное определение причинности, используемое в работе, заключается в следующем [76, 83, 113, 139, 145, 146, 149, 155]. Пусть X и У — банаховы пространства функций на Мп. Пусть в пространствах X и У определены подпространства Хг и У^, индексированные одним и тем же семейством индексов £ £ I. Обычно множество индексов I предполагается частично упорядоченным и при этом Ха Э Хь и Уа Э Уъ, если а < 6. Линейный оператор Т: X —>• У называют причинным, если

ТХх С У,. (1)

Нас интересует случай, когда индекс Ь можно интерпретировать как время — одномерное или многомерное. В этом случае подпространства Xt и Ух состоят из функций, равных нулю до момента а определение причин-^ ного оператора сводится к тому, что из равенства функций до некоторого момента £ должно следовать равенство их образов до этого момента, причем в многомерном случае (п > 1) необходимо уточнить смысл слов "до момента .

В диссертации, в основном, исследуется случай, когда "время" £ многомерно, т.е. £ £ Кп, п > 1. Направление течения такого времени можно задать, фиксируя некоторый конус §СЁ"и для векторов 6 К" положив а < 6, если а Е Ь — §°; здесь 5° — внутренность конуса. Тогда в определении причинного оператора в многомерном случае слова "до момента означают "на множестве £ — §°". Подобная частичная упорядоченность (в четырехмерном случае) используется (см., например, [29]) в теории относительности, где направление в пространстве-времени задается световым конусом.

Важным источником многомерных причинных операторов являются уравнения с частными производными. Так, решение волнового уравнения описывается причинными операторами [29, 114] щего, а д — некоторая функция. Для уравнения теплопроводности решение описывается оператором [29, 114] причинным относительно полупространства {(51,$2): > 0,6 Мп}.

Причинный оператор называют [47, 76, 113, 139, 145, 146, 155, 156] причинно обратимым, если он обратим и обратный к нему также является причинным. Причинная обратимость может не совпадать с обычной. Например, причинный оператор сдвига = х(£ — 1) обратим, но обратный = + не является причинным. В диссертации исследуются, в основном, вопросы, связанные с причинной обратимостью. x){t) = I g{s)x{t — s) as при нечетном п

Jos при четном п где § = • • • - к > + + ••• + *«} ~ световой конус буду

Перейдем к описанию основных результатов диссертации. Первая глава посвящена определению основных объектов и описанию их базовых свойств. В первом параграфе напоминаются свойства пространств Лебега ЬР(ЕП,Е) и Соболева доказываются технические предложения о свойствах указанных пространств, необходимые в дальнейшем. Второй параграф посвящен определению причинности и причинной обратимости оператора, действующего в пространствах функций на Приводятся примеры причинных операторов. Здесь же изучаются конусы вй"и доказываются некоторые их свойства. Подмножество § С Мп называют конусом, если: §+§ = § и а§ С 8 для всех а > 0. Конус § называют [69] воспроизводящим, если 8 — В = Еп. Приводятся примеры конусов.

Третий параграф посвящен мерам вМ"и порождаемым ими операторам. Доказывается предложение 18 о непрерывном действии оператора Л, определенного формулой

ЪУ)(г)(х) = / ¿8 [ г(8,у)У(г-8)(х-у)<1у. (2)

К JlSín

Там же доказывается теорема 24 о непрерывном действии и причинности операторов /С и 0. Здесь оператор С определен формулой

СУ = + У + + (3) где /С и 0 определены формулами оо

СУ)ММ = I ¿81к(8,у)У(г-з)(х-у)йу, (4)

0 К" оо „ Еу 9нШ^-Нк){х-у)йу. (5)

Вторая глава посвящена доказательству эквивалентности причинной и обычной обратимости для различных типов операторов, в основном, получаемых на основе операторов свертки. В первом параграфе такой результат доказан для оператора свертки с функцией класса Ь^ сосредоточенной в конусе. Приведем соответствующую формулировку.

Теорема 28. Пусть и > 2 и § С Г — замкнутый воспроизводящий конус. Пусть д £ С). Тогда для оператора свертки вх){г) = [ д{з)х{г-8)<18 (6) из обратимости оператора 1 — С : Ьр(Шп, С) —> £р(М.п,С), 1 < р < оо, следует его причинная обратимость.

Во втором параграфе рассматривается интегральный оператор 72. в пространстве ЬР(М., Ьр(Шп)), определенный формулой (2), с ядром, сосредоточенным в полупространстве х ПГ\ Доказывается обсуждаемый результат (теорема 30) для него. В третьем параграфе результат (теорема 31) доказан для смешанного функционально-дифференциального оператора С, определенного формулой (3)

Третья глава посвящена изучению свойств причинных операторов, связанных с их поведением в окрестности ±оо. В первом параграфе изучаются ограничения операторов, определенных на функциях, заданных на всем Мп, на часть пространства Еп, устанавливаются свойства спектров таких ограничений. Пусть а < Ь; при этом возможно а = —оо и 6 = -(-оо. Ограничением оператора Т на множество (6 — §) \ (а — §°) называют фактор-оператор

Т[а,Ь] •' Х[ад У[а,Ь], Т[а,Ь]{х + ХЬ) =Тх + У6, X £ Ха.

Здесь и далее Х[а,ь\ = Ха/Хь и У[0)Ч = Уа/Уь

Второй параграф содержит теорему 48 о том, что обратимость всех ограничений оператора Т[а>ь], а, Ь (Е и равномерная ограниченность обратных влечет причинную обратимость оператора на всем М.п. Здесь же доказана приводимая ниже теорема 51 о равенстве (причинного и обычного) спектров ограничения на множества ^ - § и Е" \ - §°) инвариантного относительно сдвигов причинного оператора и причинного спектра этого оператора на всем К™.

Будем обозначать через В(Х,У) банахово пространство всех линейных ограниченных операторов из X в У. Для банаховой алгебры В(Х, X) будем использовать сокращение В(ЛГ). Нетрудно показать что причинные операторы образуют замкнутое подпространство в В (Л", У), будем обозначать его через В§ = Bg(X, Y). Для банаховой алгебры В§(Х, X) будем использовать сокращение В§(Х). Для оператора Т Е В§(Х) будем обозначать через а (Г) и сг§(Т) его спектры в алгебрах В(Х) и В§(Х) соответственно. Аналогично при — оо < а < Ь < +оо будем обозначать через а(Т[аМ) и <Jg(T[a)6]) спектры оператора Т в алгебрах В(Х[а>ь]) и В§(Х[а>ь]) соответственно.

Теорема 51. Пусть Т : Lp(En, С) —> Lp(IR",С) — оператор, причинный относительно замкнутого воспроизводящего конуса § С I". Пусть Т инвариантен относительно сдвигов и £ £ Rn — произвольная точка. a) Пусть 1<р<оо. Тогда a(T[-«^j) = <rs(:?[«>,<]) = as(Г). b) Пусть 1 < р < оо. Тогда cr(T[t>+oo]) = 67S(T[t)+oo]) = C7S(X).

Эта теорема позволяет вычислять указанные спектры операторов, для которых известен причинный спектр на всем М".

В третьем параграфе доказана следующая теорема (теорема 55) о причинном спектре оператора, имеющего пределы на бесконечности.

Сначала приведем необходимое определение. Будем говорить, что линейный ограниченный оператор N Е В§(Х), стремится к нулю на —сю (и писать N —> О при t —t —оо), если норма его ограничения N^e^t], действующего из в стремится к нулю при t —¥ —оо. Аналогично определим, что означает N —»■ 0 при t —> +оо.

Теорема 55. Пусть 1 < р < оо. Рассмотрим интегральный оператор N, определенный формулой

Nx)(t)= n(t,s)x(t-s)ds, te IR", J s ядро n которого удовлетворяет оценке s) I < g(s), почти всех (t, s) E Mn x § с некоторой функцией g E L\ (§). Предположим, что существуют функции n+,n~ Е Ia(§, С) такие, что N -4 ЛГ* при t —> ±оо, где N+ и N~ — операторы свертки с функциями п+ и п~ соответственно. Тогда

Ts{N) = as(N-)Uas{N+).

Эта теорема утверждает, что спектр интегрального оператора определяется его поведением в окрестности бесконечно удаленных точек.

Четвертая глава посвящена доказательству невозможности нетривиальной экспоненциальной дихотомии для смешанных функционально-дифференциальных уравнений вида

CV = F, где оператор С: Wp(M, Lp) LP(R, Lp) определен формулой (3). Соответствующий результат доказывается в четвертом параграфе. Здесь же доказывается аналогичное утверждение для интегрального уравнения

V + 1ZV = F, где оператор ЬР(Ж, Lp) —ï Lp(U.,Lp) определен формулой (2).

В первом параграфе смешанное функционально-дифференциальное уравнение, неизвестной в котором являете^ функция v : Rn+1 —> С, сводится к уравнению относительно неизвестной функции V : Ш —> Ьр(Шп), V(t) = v(t, •), и обсуждаются технические детали, связанные с корректностью этого перехода. Во втором параграфе определяется и обсуждается начальная задача для рассматриваемого уравнения, доказываются условия ее равномерной разрешимости. В третьем параграфе вводятся операторы с экспоненциальной памятью, необходимые для корректного рассмотрения экспоненциальной дихотомии и устойчивости, приводятся примеры таких операторов. В четвертом параграфе даются определения экспоненциальной дихотомии и устойчивости и содержатся основные результаты главы (теоремы 66 и 67). Мы не воспроизводим во введении определения (см. страницы 98 и 100) экспоненциальной устойчивости и экспоненциальной дихотомии ввиду их громоздкости.

Теорема 66. Рассмотрим смешанное функционально-дифференциальное уравнение

CV = F,

7) где оператор С: \¥р(Ш,Ьр) ЬР(Ш, Ьр) определен формулой (3). Пусть функция (в, у) I—^ е7ЯЯ(5)А;(5, у) принадлежит 1а(Мп+1) и при некотором оо

7 > 0 выполняется условие ^ е^Нк 11^11^1 < 00 • Здесь Н = 1[о,+оо] — ха~ к=1 рактеристическая функция полуоси [0, +оо). Если уравнение (7) допускает экспоненциальную дихотомию в (И^1, Ьр), то оно экспоненциально устойчиво.

Теорема 67. Рассмотрим интегральное уравнение

У + ЯУ = Е, (8) где оператор'Я: ЬР(М, Ьр) —> ЬР(Ш,ЬР) определен формулой (2) и г(£, х) = О при t < 0. Пусть функция (в, у) 1-» е78Я(з)г(5, у) принадлежит 1/1 (Еп+1) при некотором у > 0. Если уравнение (8) допускает экспоненциальную дихотомию в (Ьр, Ьр), то оно экспоненциально устойчиво.

Таким образом, в диссертации получены следующие основные результаты. Теорема 28 о равенстве причинного и обычного спектров оператора свертки с функцией класса Ь\, сосредоточенной в конусе. Теорема 51 о равенстве спектра на части пространства, ограниченной конусом и причинного спектра на всем М" для причинного оператора, инвариантного относительно сдвигов. Теорема 55 позволяющая вычислить причинный спектр интегрального оператора, ядро которого стабилизируется (по части переменных) при £ —> ±оо. Теорема 66 устанавливающая невозможность нетривиальной экспоненциальной дихотомии для смешанного функционально-дифференциального уравнения (7) и ее аналог для интегрального уравнения (8) — теорема 67.

Перечисленные результаты являются новыми.

Перейдем к обсуждению связи результатов диссертации с известными и их месту в теории операторов и дифференциальных уравнений.

В настоящее время причинные операторы (в значительной мере независимо) изучаются в функциональном анализе, в теории функционально-дифференциальных уравнений и теории управления.

Одномерному случаю (причинность относительно конуса [0, +оо)) посвящены работы [3, 6, 7, 14, 15, 21, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 45, 47, 48, 49, 50, 51, 55, 60, 61, 63, 64, 65, 72, 75, 76, 84, 91, 94, 95, 101, 103, 111, 112, 115, 118,120, 121, 122, 124, 129, 133, 134, 137, 139, 155, 156, 157] и многие другие. Обзоры одномерного случая можно найти во многих источниках, см., например, [140, 144, 145]. Поэтому мы не останавливаемся на них подробно, см. также ниже.

Многомерных работ значительно меньше. Среди них отметим [29, 41, 42, 53, 54, 57, 71, 87, 93, 97, 98, 100, 109, 113, 127, 128, 132, 146, 142, 143, 154]. В работе [128] исследуется операторы в пространствах функций на причинные относительно конуса

§ = {(жья2): Я1>0,я2>0} (9) в 1?. В работах [57, 127] изучаются операторы в функциональных пространствах Ьр([а,Ъ] х [с,с/]), причинные относительно конуса (9). Отметим также [109], где исследуются эллиптические уравнения с многомерным отклонением аргумента (и, вообще говоря, не причиными операторами). В книге [29, гл. 1, §4, 4; гл. 3, §19] изучается причинность относительно конусов в операторов, действующих в пространствах обобщенных функций; особое внимание уделяется световому конусу. Операторы, причинные относительно полупространства, изучаются в работах [41, 100]. Смешанные функционально-дифференциальные уравнения [97, 98, 142, 143] можно интерпретировать как уравнения с операторами, причинными относительно полупространства § = х В [132] исследуются операторы, причинные относительно конуса § = х К". Причинность относительно конусов общего вида в изучалась в [71, 113, 146]. Настоящая работа также посвящена многомерному случаю с конусом общей структуры.

Абстрактное определение причинного оператора обсуждалось в работах [43, 71, 76, 83, 145, 154]. В [76, 154] исследовались причинные операторы, определеные с помощью упорядоченного семейства проекторов. В [71] причинные операторы определяются и исследуются на основе спектральной теории банаховых модулей [9, 10, 11, 89, 135, 136]. Определение причинности, используемое в настоящей диссертации, соответствует определению [145]. В [43] изучается класс операторов, называемых воль-терровыми и определяемых как компактные операторы с нулевым спектральным радиусом. Доказывается, что оператор такого класса обладает максимальным линейно упорядоченным семейством инвариантных подпростратств, т.е. является причинным в нашем смысле. В [93] воль-терровость понимается в смысле [43]; рассматривается некоторый специальный класс операторов в пространстве £2(ЕП), п>2, и доказывается, что они компактны, но не являются причинными.

Многие важные банаховы пространства являются пространствами последовательностей или естественным образом изоморфны им. Операторы, действующие в таких пространствах, обычно допускают описание в терминах матриц. В этом случае при естественном выборе подпространств Хг и Ух в определении (1) причинность оператора становится эквивалентна треугольности его матрицы. Поэтому работы посвященные треугольным матрицам [2, 12, 40, 56, 85, 86, 90, 130, 141] следует также отнести к работам по причинным операторам.

Методами теории операторов причинные операторы исследовались в работах [14,15, 43, 45, 53, 54, 55, 70, 75, 76, 84,103,113,145,146]. Оценкам спектральных радиусов одномерных причинных операторов посвящены работы [25, 52, 53, 76, 95, 115], а многомерных — работы [54, 57, 71, 127, 146]. Сюда же следует отнести работы [43, 52, 71, 77, 134, 137, 139, 145,146], в которых устанавливается, что при соответствующих условиях спектральный радиус компактного причинного оператора равен нулю.

Операторы свертки являются классическим объектом математики, см., например, [119]. Работа [120] посвящена определению структуры обратного для оператора свертки с ядром специального вида, не принадлежащим Ь\.

В [111] изучаются условия, при которых оператор, порожденный задачей. Коши для данного уравнения в частных производных, будет причинным; причинность понимается в том смысле, что из совпадения начальных данных до момента £ следует совпадение решений указанной задачи.

Функционально-дифференциальным, дифференциально-разностным, интегро-дифференциальным и интегральным уравнениям с причинными операторами посвящены работы [4, 7, 8, 16, 18, 19, 21, 22, 23, 24, 27, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 42, 44, 47, 48, 49, 50, 51, 58, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 72, 73, 74, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 87, 91, 94, 96, 97, 98, 100,101, 112, 114, 116, 118, 121, 122, 125, 126, 127, 128, 129, 131, 132, 133, 134, 137, 138, 139, 140,

143, 144, 145, 147, 148, 152, 154, 155, 156] и многие другие, см., например, ссылки в книгах [7, 16, 47, 83, 96, 114, 116, 118, 125, 127, 131, 139, 140,

144, 145, 156]. Мы называем уравнения всех этих классов уравнениями с запаздыванием и относимся к ним как к единому целому, поскольку они отличаются, в основном, только функциональными пространствами, в которых ищется решение и рассматриваются соответствующие операторы, но обладают одинаковыми фундаментальными свойствами.

С точки зрения темы настоящей диссертации наиболее интересны работы, посвященные исследованию устойчивости и дихотомии решений уравнений с запаздыванием. Устойчивости таких уравнений посвящено большое количество работ, см., например, [4, 44, 49, 51, 60, 64, 97, 98, 118, 128] и литературу в них. Среди работ, связанных с устойчивостью, особо отметим работы [47, 72, 73, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 103,133, 134,137,139,

145, 155, 156], где исследуется или используется связь между устойчивостью уравнения и причинной обратимостью соответствующего ему оператора. Большое число работ, связанных с устойчивостью, проводится в рамках теории управления, см., например, [5, 38, 39, 47, 66, 101, 124, 151] и литературу в них. В работе [87] получены результаты об экспоненциальной устойчивости решений функционально-разностных уравнений с операторами, причинными относительно конуса в Мп. Все эти работы связаны с предложением 64, используемым в работе.

Экспоненциальной дихотомии дифференциальных уравнений с запаздыванием посвящены работы [18,19, 27, 62, 74,126,131,138,147,148,152]. Исследование дихотомии решений для разностных уравнений проводится в работах [13, 14, 15, 58, 71, 74, 83, 99, 145]. В частности, для уравнений с постоянными коэффициентами (в том числе и нейтрального типа) теоремы о дихотомии решений доказываются в [18, 19, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 147, 152], а уравнения нейтрального типа с переменными коэффициентами рассматриваются в [18, 74, 126]. Отметим также задачи [85, 86] о приводимости периодических матриц к блочно-диагональному виду, в котором спектр каждого из двух блоков лежит либо в левой, либо в правой полуплоскости, идеологически, а также с точки зрения техники исследования, связанные с задачами о дихотомии решений. Перечисленные работы по дихотомии имеют непосредственное отношение к используемому нами предложению 65.

Основные результаты работы докладывались на: международной научной конференции "Нелинейный анализ и функционально-дифференциальные уравнения" (МНК АДМ-2000)—Воронеж, 2000; Воронежской зимней математической школе (ВЗМШ-2000)—"Современный анализ и его приложения"—Воронеж, 2000; международной научной конференции "Современные проблемы функционального анализа и дифференциальных уравнений"—Воронеж, 2003; семинаре НОЦ ВГУ "Волновые процессы в нелинейных и неоднородных средах"; Воронежской зимней математической школе (ВЗМШ-2004)—Воронеж, 2004; семинаре В.Г. Курбатова (2000-2004, ЛГТУ); семинаре Г.А. Куриной (2004, ВГУ); семинаре А.Г. Баскакова (2004, ВГУ).

Основные результаты работы опубликованы в [104, 105, 106, 107, 108, 150].

Автор выражает благодарность НОЦ ВГУ за финансовую поддержку при работе над диссертацией.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Скопин, Владислав Андреевич, 2004 год

1. Алексенко H.B. Метод функционалов Ляпунова для линейных дифференциально-разностных систем с почти периодическими коэффициентами/ Н.В. Алексенко, Р.К. Романовский// Дифференц. уравнения.—2001.—Т. 37, №2.—С. 147-153.

2. Альпин Ю.А. Об одновременной триангулизуемости матриц/ Ю.А. Альпин, H.A. Корешков// Мат. заметки.—2000.—Т. 68, №5.— С. 648-652.

3. Альсевич В.В. Задачи оптимального управления и наблюдения для неопределенных динамических систем с последействием/ В.В. Альсевич, Ф.М. Кириллова// Автоматика и телемеханика.—1996.— т.—С. 117-130.

4. Андреев A.C. К методу функционалов Ляпунова в исследовании устойчивости функционально-дифференциальных уравнений/ A.C. Андреев, C.B. Павликов// Мат. заметки.—2000—Т. 68, №3.— С.323-331.

5. Андреева Е.А. Управление системами с последействием/ Е.А. Андреева, В.Б. Колмановский, Л. Е. Шайхет.—М.: Наука, 1992.—336 с.

6. Андреева И.Ю. Вырожденная линейно-квадратичная задача оптимизации с запаздыванием по времени/ И.Ю. Андреева, А.Н. Сесе-кин// Автоматика и телемеханика.—1997.—№7.—С. 43-54.

7. Азбелев Н.В. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений/ Н.В. Азбелев, В.П. Максимов, Л.Ф. Рахматулли-на.— М.: Наука, 1991.—280 с.

8. Ахмеров P.P. Теория уравнений нейтрального типа/ P.P. Ахмеров, М.И. Каменский, A.C. Потапов, А.Е. Родкина, Б.H Садовский// Итоги науки и техники. Математический анализ.—Т. 19.—С. 55126.

9. Баскаков А.Г. Некоторые вопросы теории векторных почти периодических функций: Дис. . канд. физ.-мат. наук/ А.Г. Баскаков.— Воронеж: ВГУ, 1973.

10. Баскаков А.Г. К спектральному анализу в банаховых модулях над коммутативными банаховыми алгебрами/ А.Г. Баскаков; ВГУ— Воронеж, 1977.—51 е.—Деп. в ВИНИТИ 29.06.77, №3058-77

11. Баскаков А.Г. Гармонический анализ линейных операторов: Дис. . докт. физ.-мат. наук/ А.Г. Баскаков.—Воронеж: ВГУ, 1987.—302 с.

12. Баскаков А.Г. Диагонализация операторов и дополняемость подпространств банаховых пространств/ А.Г. Баскаков// Укр. мат. журнал—1990—Т. 42, т.—С. 867-873.

13. Баскаков А.Г. О корректности линейных дифференциальных операторов/ А.Г. Баскаков// Мат. сборник.—1999—Т. 190, №3.—С. 3-28.

14. Баскаков А.Г. Об обратимости и фредгольмовости разностных операторов/ А.Г. Баскаков// Мат. заметки.—2000.—Т. 67, №6.— С. 816-827.

15. Баскаков А.Г. Спектральный анализ взвешенных операторов сдвига с неограниченными операторными коэффициентами/ А.Г. Баскаков, А.И. Пастухов// Сибирск. мат. журнал.—2001.—Т.42, №6.— С. 1231-1243.

16. Беллман Р. Дифференциально-разностные уравнения/ Р. Беллман, К.Л. Кук.—М.: Мир, 1967.—548 с.

17. Бесов О.В. Интегральные представления функций и теоремы вложения/ О.В. Бесов, В.П. Ильин, С.М. Никольский.— М.: Наука, 1975.— 480 с.

18. Биркган С.Е. Экспоненциальная дихотомия и устойчивость решений линейных дифференциально-разностных уравнений нейтрального типа/ С.Е. Биркган// Исследования по устойчивости и теории колебаний: Сб. науч. тр.—Ярославль, 1981.—С. 90-112.

19. Биркган С.Е. Экспоненциальная дихотомия и базисность системы элементарных решений линейных автономных уравнений нейтрального типа/ С.Е. Биркган// Сибирск. мат. журнал.—1986.—Т. 27, т.—С. 25-27.

20. Бобылёв H.A. Методы нелинейного анализа в задачах негладкой оптимизации/ H.A. Бобылёв, B.C. Климов.—М.: Наука, 1992.— 207 с.

21. Бойко В.К. Обратимость линейных стационарных систем нейтрального типа/ В.К. Бойко, С.А. Минюк, О.Б. Цехан// Дифференц. уравнения.—2002.—Т. 38, т.—С. 875-881.

22. Борисович Ю.Г. Оценка резольвенты производящего оператора для линейных систем с запаздыванием/ Ю.Г. Борисович, А.Л. Бадоев// Литовский мат. сб.—1968.—Т. 8, №2.—С. 233-236.

23. Борисович Ю.Г. К задаче Коши для линейных неоднородных дм-фференциальных уравнений с запаздывающим аргументом/ Ю.Г. Борисович, A.C. Турбабин// Докл. АН СССР.—1969.—Т. 185, №4.— С. 741-744.

24. Бреннер В.В. О спектральном радиусе оператора с локально независимыми сдвигами/ В.В. Бреннер// Изв. АН БССР. Сер. физ.-мат. наук.—1981.—№3.—С. 48-55.

25. Бурбаки Н. Интегрирование. Меры на локально компактных пространствах. Продолжение меры. Интегрирование мер. Меры на отделимых пространствах/ Н. Бурбаки: Пер. с франц.—М.: Наука, 1977.—Гл. 3-5, 9.—600 с.

26. Бурд В.Ш. О дихотомии решений функционально-дифференциальных уравнений с почти периодическими коэффициентами/ В.Ш. Бурд, Ю.С. Колесов// Докл. АН СССР.—1970.—Т. 195, №6.—С. 1259-1262.

27. Владимиров B.C. Методы теории функций многих комплексных переменных/ B.C. Владимиров.—М.: Наука, 1964.—412 с.

28. Владимиров B.C. Обобщенные функции в математической физике/ B.C. Владимиров—М.: Наука, 1979—320 с.

29. Власов В.В. О разрешимости и свойствах функционально-дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве/ В.В. Власов// Мат. сборник.—1995.—Т. 186, №8.—С. 67-92.

30. Власов В.В. Об одном классе функционально-дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом в гильбертовом пространстве/ В.В. Власов// Мат. заметки.—1997.—Т. 62, №5.—С. 782-786.

31. Власов В.В. О некоторых спектральных вопросах, возникающих в теории дифференциально-разностных уравнений/ В.В. Власов// Успехи мат. наук.—1998.—Т. 53, №4.—С. 217-219.

32. Власов В.В. Оценки решений уравнений с последействием в пространствах Соболева и базис из разделенных разностей/ В.В. Власов, С.А. Иванов// Мат. заметки.—2002—Т. 72, №2—С. 303-306.

33. Власов В.В. О корректной разрешимости некоторых дифференциально-разностных уравнений в пространствах Соболева/ В.В. Власов, В.Ж. Сакбаев// Мат. заметки.—2000.—Т.68, №6.—С. 939-942.

34. Власов B.B. О корректной разрешимости в шкале пространств Соболева некоторых дифференциально-разностных уравнений/ В.В. Власов, В.Ж. Сакбаев// Дифференц. уравнения.—2001.—Т. 37, №9.—С. 1194-1202.

35. Воронин А.Ф. Теорема единственности для уравнения первого рода в свертках на отрезке с дифференцируемым ядром/ А.Ф. Воронин// Дифференц. уравнения.—2001.—Т. 37, №10.—С. 1342-1349.

36. Востриков В.Б. Внутреннее эллипсоидальное оценивание множеств достижимости для линейных управляемых систем с запаздыванием/ В.Б. Востриков// Дифференц. уравнения.—2003.—Т. 39, №8.— С. 1130-1137.

37. Гайдук А.Р. Синтез робастных систем управления с запаздыванием/ А.Р. Гайдук// Автоматика и телемеханика.—1997.—№1.— С. 90-99.

38. Гайшун И.В. Устойчивость дискретных процессов Вольтерра с убывающим последействием/ И.В. Гайшун// Автоматика и телемеханика.—1997.—№6.—С. 117-124.

39. Гаркавенко Г.В. О диагонализации некоторых классов линейных операторов/ Г.В. Гаркавенко// Изв. вузов. Математика.—1994.— Т. 390, №11.—С. 14-19.

40. Городецкий М.Б. Об обратимости операторов типа свертки в полупространстве/ М.Б. Городецкий// Теория функций, функциональный анализ и их приложения.—Харьков, 1981.—№35.—С. 19-24.

41. Городний М.Ф. Ограниченные решения некоторых классов дифференциальных уравнений с операторными коэффициентами/ М.Ф. Городний, O.A. Лахода// Укр. мат. журнал.—2001.—Т.53, №11.— С. 1495-1500.

42. Гохберг И.Ц. Теория вольтерровых операторов в гильбертовом пространстве и ее приложения/ И.Ц. Гохберг, М.Г. Крейн.—М.: Наука, 1967.—508 с.

43. Гребенщиков Б.Г. Методы изучения устойчивости систем с линейным запаздыванием/ Б.Г. Гребенщиков// Сибирск. мат. журнал.— 2001 —Т. 42, т.—С.41-51.

44. Гринив P.O. О подобии возмущенных операторов умножения/ P.O. Гринив, Я.В. Микитюк// Мат. заметки—2001.—Т. 70, №1— С. 3845.

45. Гуревич П.Л. Разрешимость нелокальных эллиптических задач в двугранных углах/ П.Л. Гуревич// Мат. заметки.—2002.—Т. 72, №2.—С. 178-197.

46. Дезоер Ч. Системы с обратной связью: входо-выходные соотношения/ Ч. Дезоер, М. Видьясагар: Пер. с англ.—М.: Наука, 1983.— 278 с.

47. Дербенев В.А. Асимптотика резольвенты неустойчивого уравнения Вольтерра с разностным ядром/ В.А. Дербенев, З.Б. Цалюк// Мат. заметки.—1997.—Т. 62, №1.—С. 88-95.

48. Долгий Ю.Ф. Об устойчивости периодической системы дифференциальных уравнений с запаздыванием/ Ю.Ф. Долгий, С.Г. Николаев// Дифференц. уравнения.—1999.—Т. 35, №10.—С. 1330-1336.

49. Енгибарян Н.Б. Консервативные системы интегральных уравнений свертки на полупрямой и всей прямой/ Н.Б. Енгибарян// Мат. сборник.—2002.—Т. 193, №6—С. 61-82.

50. Ермолаев М.Б. Об устойчивости уравнений с запаздыванием, зависящим от неизвестной функции/ М.Б. Ермолаев// Изв. вузов. Математика.—1994—Т. 385 №6— С. 60-63.

51. Забрейко П.П. Об интегральных операторах Вольтерра/ П.П. За-брейко// Успехи мат. наук.—1967.—Т. 22, №1.—С. 167-168.

52. Забрейко П.П. Об одном обобщении теоремы Вольтерра/ П.П. Забрейко, А.Н. Ломакович// Укр. мат. журнал.—1987.—Т. 39, №5.— С. 648-651.

53. Забрейко П.П. Интегральные операторы Вольтерра в пространстве функций двух переменных/ П.П. Забрейко, А.Н. Ломакович// Укр. мат. журнал.—1990.—Т. 42, №9.—С. 1187-1191.

54. Игнатьев М.Ю. О подобии вольтерровых операторов и операторах преобразования для интегро-дифференциальных уравнений дробных порядков/ М.Ю. Игнатьев// Мат. заметки.—2003.—Т. 73, №2.—С. 206-216.

55. Икрамов Х.Д. О нормальной дилатации треугольных матриц/ Х.Д. Икрамов// Мат. заметки.—1996.—Т. 60, №6— С. 862-872.

56. Калитвин A.C. Линейные операторы с частными интегралами/ A.C. Калитвин.—Воронеж: ЦЧКИ, 2000.—252 с.

57. Келли Дж.Общая топология/ Дж. Келли.—М.: Наука, 1968.—384 с.

58. Княжище Л.Б. Немонотонные функционалы Ляпунова для исследования равномерной асимптотической устойчивости уравнений с запаздыванием/ Л.Б. Княжище// Дифференц. уравнения.—2002.—Т. 38, №7.—С. 882-889.

59. Колесов А.Ю. Применение техники релаксационных колебаний к системе дифференциально-разностных уравнений из экологии// А.Ю. Колесов// Мат. сборник—1994—Т. 185, №1.—С. 95-106.

60. Колесов Ю.С. Обзор результатов по теории устойчивости решений дифференциально-разностных уравнений с почти периодическими коэффициентами/ Ю.С. Колесов// Исслед. по теории устойчивости теории колебаний: Сб. науч. тр.— Ярославль, 1977.—С. 82-141.

61. Колмановский В.Б. О предельной периодичности решений некоторых систем Вольтерра/ В.Б. Колмановский// Автоматика и телемеханика.—2001 5.—С. 36-43.

62. Колмановский В.Б. Об устойчивости разностных уравнений Вольтерра/ В.Б. Колмановский// Дифференц. уравнения.—2001.— Т. 37, №12.—С. 1686-1694.

63. Колмановский В.Б. Об ограниченности в среднем решений разностных уравнений Вольтерра при неизвестных возмущениях/ В.Б. Колмановский, H.H. Королева, Н.П. Косарева// Дифференц. уравнения.—2002.—Т. 38, №11.—С. 1549-1562.

64. Колмановский В.Б. Устойчивость и периодические режимы регулируемых систем с последействием/ В.Б. Колмановский, В.Р. Носов.— М.: Наука, 1981.—448 с.

65. Колмогоров А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа/ А.Н. Колмогоров, C.B. Фомин.—М.: Наука, 1972.—496 с.

66. Красносельский М.А. Векторные поля на плоскости/ М.А. Красносельский, А.И. Перов, А.Н. Поволоцкий, П.П. Забрейко. —М.: Физ-матгиз, 1963.—248 с.

67. Красносельский М.А. Позитивные линейные системы/ М.А. Красносельский, Е.А. Лифшиц, A.B. Соболев. —М.: Наука, 1985.—255 с.

68. Криштал И.А. Обратимость и каузальная обратимость операторов с двухточечным спектром Берлинга/ И.А. Криштал// Известия РАЕН МММИУ.—2000.—Т. 4, №4.—С. 147-151.

69. Криштал И.А. Спектральный анализ каузальных операторов: Дис. . канд. физ.-мат. наук/ И.А. Криштал.—Воронеж: ВГУ, 2003.— 112 с.

70. Кузнецова В.И. О дискретных линейных ситемах с медленно меняющимися параметрами/ В.И. Кузнецова// Автоматика и телемеханика.—1990.—№7.—С. 43-48.

71. Кузнецова В.И. Об устойчивости одного класса разностных уравнений с медленно меняющимися коэффициентами/ В.И. Кузнецова// Дифференц. уравнения—2003.—Т. 39, №8— С. 1108-1114.

72. Курбатов В.Г. О дихотомии решений линейных уравнений нейтрального типа/ В.Г. Курбатов// ВГУ.—Воронеж, 1976.—26 с.— Деп. в ВИНИТИ 29.04.76, №1443.

73. Курбатов В.Г. О спектре оператора с соизмеримыми отклонениями аргумента и постоянными коэффициентами/ В.Г. Курбатов// Дифференц. уравнения.—1977.—Т. 13, №10.—С. 1770-1775.

74. Курбатов В.Г. Об обратимости запаздывающих операторов/ В.Г. Курбатов// Теория операторных уравнений.—Воронеж, 1979.— С. 43-52.

75. Курбатов В.Г. Об ограниченных решениях дифференциально-разностных уравнений/ В.Г. Курбатов// Сибирск. мат. журнал.— 1986.—Т. 27, №1.—С. 86-99.

76. Курбатов В.Г. Об устойчивости функционально-дифференциальных уравнений на оси и полуоси/ В.Г. Курбатов// Дифференц. уравнения—1986—Т. 22, №6.—С. 923-927.

77. Курбатов В.Г. Один пример в теории устойчивости уравнений с запаздыванием/ В.Г. Курбатов// Мат. заметки.—1986.—Т. 39, №2.— С. 253-259.

78. Курбатов В.Г. О функционально-дифференциальных уравнениях с непрерывными коэффициентами/ В.Г. Курбатов// Мат. заметки.— 1988.—Т. 44, №6.—С. 850-852.

79. Курбатов В.Г. Об устойчивости дифференциально-разностных уравнений с производной и без производной/ В.Г. Курбатов// Дифферент уравнения—1988.—Т. 24, №9.—С. 1503-1509.

80. Курбатов В.Г. Эффективная оценка в принципе усреднения/ В.Г. Курбатов// Автоматика и телемеханика.—1989.—№8.—С. 50-55.

81. Курбатов В.Г. Линейные дифференциально-разностные уравнения/ В.Г. Курбатов—Воронеж: изд-во ВГУ, 1990—167 с.

82. Курбатов В.Г. Об обратимости дифференциально-разностных операторов в банаховом пространстве/ В.Г. Курбатов, И.С. Фролов.— Воронеж, 1977.—58 с. — Деп. в ВИНИТИ 17.02.78, №42407.

83. Курина Г.А. О приводимости неотрицательно гамильтоновой вещественной периодической матрицы к блочно-диагональной форме/ Г.А. Курина, Г.В. Мартыненко// Мат. заметки.—1999.—Т. 66, №5— С. 688-695.

84. Курина Г.А. О приводимости неотрицательно гамильтоновой оператор-функции, действующей в вещественном гильбертовом пространстве, к блочно-диагональной форме/ Г.А. Курина, Г.В. Мартыненко// Дифференц. уравн.—2001 —Т. 37, №2.—С. 212-217.

85. Левендорский С.З. Об экспоненциальном убывании на бесконечности решений многомерных уравнений типа свертки в конусах/ С.З. Левендорский, B.C. Рабинович// Изв. вузов. Математика.—1979.— т.—С. 38-44.

86. Лионе Ж.-JI. Неоднородные граничные задачи и их приложения/ Ж.-Л. Лионе, Э. Мадженес—М.: Мир, 1971.—371 с.

87. Любич Ю.И. Об операторах с отделимым спектром/ Ю.И.Любич, В.И.Мацаев// Мат. сборник—1962.—Т.56, №4.—С. 433-468.

88. Мануйлов В.М. Диагонализация операторов над непрерывными полями С* алгебр/ В.М. Мануйлов// Мат. сборник.—1997.—Т. 108, №6.—С. 99-118.

89. Мао Ш. Упрощенные алгоритмы оценивания для систем с последействием, содержащих малый параметр/ Ш. Мао, А.К. Матасов// Вестник МГУ. Сер. I. Математика. Механика—2001.—№2.—С. 3743.

90. Марчук Г.И. Математические модели в иммунологии/ Г.И. Марчук.—М.: Наука, 1980.

91. Медведев K.M. О невольтерровости операторов, обратных разрешимым расширениям и правильным сужениям, порождаемых операцией —div grad/ K.M. Медведев// Дифференц. уравнения.—2001.—Т. 37, Ш.—С. 242-251.

92. Минюк С.А. О построении непрерывной восстанавливающей операции в задаче полной идентификации линейных стационарных систем с запаздыванием/ С.А. Минюк, A.B. Метельский// Дифференц. уравнения—2003—Т. 39, №8— С. 1052-1057.

93. Мухамадиев Э.М. Об оценке спектрального радиуса одного оператора, связанного с уравнениями нейтрального типа/ Э.М. Мухамадиев, Б.Н. Садовский// Мат. заметки—1973.—Т. 13, №1.—С. 67-78.

94. Мышкис А.Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом/ А.Д. Мышкис.—М.: Наука, 1972.—352 с.

95. Мышкис А.Д. ^-устойчивость линейных пространственно однородных смешанных функционально-дифференциальных уравнений/А.Д. Мышкис// Дифференц. уравнения—2000—Т. 36, №. 1.—С. 7175.

96. Мышкис А.Д. Устойчивость линейных смешанных функционально-дифференциальных уравнений с соизмеримыми отклонениями пространственного аргумента/ А.Д. Мышкис// Дифференц. уравнения.—2002.—Т.38, №10— С. 1331-1337.

97. Пастухов А.И. Обратимость разностных операторов и экспоненциальная дихотомия/ А.И. Пастухов// Сборник работ студентов и аспирантов ф-та ПММ ВГУ. Вып. 2., 1998.—С. 96-105.

98. Рабинович B.C. О дифференциально-разностных уравнениях в полупространстве/ B.C. Рабинович// Дифференц. уравн.—1980.—Т. 16, №11.—С. 2030-2038.

99. Родионов A.M. Об одном способе исследования устойчивости дифференциальных и дискретных уравнений с запаздыванием/ A.M. Родионов// Автоматика и телемеханика.—1996.—№12.—С. 38-47.

100. Рудин У. Функциональный анализ/ У. Рудин : Пер. с англ.—М.: Мир, 1975.—443 с.

101. Симонов П.М. Об обратимости вольтерровых операторов в одном классе инвариантных подпространств/ П.М. Симонов, A.B. Чистяков// Функц.-дифференц. уравн.: Сб. науч. тр.—Пермь, 1987.— С. 63-68.

102. Скопин В.А. Об одном свойстве причинных интегральных операторов свёртки/ В.А. Скопин// Воронежская зимняя математ. школа (ВЗМШ-2000)— "Современный анализ и его приложения". Тез. докл.—Воронеж, 2000.—192 е.—С. 152-153.

103. Скопин В.А. Об обратимости смешанных функционально-дифференциальных операторов/ В.А. Скопин// Междунар. науч. конф.Нелинейный анализ и функц.-дифференц. уравнения" (МНК АДМ-2000). Тез. докл.—Воронеж, 2000.—240 е.—С. 179-180.

104. Скопин В.А. Об эквивалентности причинной и обычной обратимости для интегральных операторов свертки/ В.А. Скопин// Дифферент уравнения.—2001.—Т.37, №9.—С. 1265-1272.

105. Скопин В.А. Спектры причинных операторов свертки на полуоси/B.А. Скопин// Современные проблемы функционального анализа и дифференциальных уравнений. Тез. конф.—Воронеж, 2003.—242е.—С. 215-216.

106. Скубачевский А.Л. Первая смешанная задача для параболического дифференциально-разностного уравнения/ А.Л. Скубачевский, Р.В. Шамин// Мат. заметки.—1999.—Т. 66, №1.—С. 145-153.

107. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике/ С.Л. Соболев.—М.: Наука, 1988.—336 с.

108. Солнечный Э.М. Условия вольтерровости оператора, порождаемого задачей Коши для уравнения с частными производными/ Э.М. Солнечный// Дифференц. уравнения.—1997.—Т. 33, №2—С. 267-274.

109. Стариков А.Ф. Сведение линейных дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений к уравнениям Вольтерра второго рода/ А.Ф. Стариков// Дифференц. уравнения.—1997.—Т.ЗЗ, №2.—C. 278-280.

110. Студеникин A.A. Операторы свертки с мерой, сконцентрированной в подполугруппе/ A.A. Студеникин.—Липецк, 1998.—130 с.—Деп. в ВИНИТИ 19.06.98, N1871-B98.

111. Тихонов А.Н. Уравнения математической физики/ А.Н. Тихонов, A.A. Самарский.—М.: Наука, 1972.—736 с.

112. Фролов И.С. О вольтерровом спектре одного разностного оператора/ И.С. Фролов// Дифференц. уравнения.—1985.—Т. 21, №2.— С. 340-342.

113. Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений/ Дж. Хейл.—М.: Мир, 1984.—421 с.

114. Хенри Д. Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений/ Д. Хенри.—М.: Мир, 1985.

115. Хусаинов Д.Я. Метод функций Ляпунова в исследовании устойчивости дифференциально-функциональных систем/ Д.Я. Хусаинов, A.B. Шатырко.—Киев.: Изд-во Киевского ун-та, 1997.—236 с.

116. Хьюитт Э. Абстрактный гармонический анализ// Э. Хьюитт, К. Росс.—М.: Наука; Мир, 1975—Т. 1, 2.-657 е., 901 с.

117. Цалюк З.Б. Асимптотика резольвенты уравнения Вольтерра с разностным несуммируемым ядром/ З.Б. Цалюк, М.В. Цалюк// Дифференц. уравнения.—2003—Т. 39, №6.—С. 844-847.

118. Черепенников В.Б. Аналитическое решение задачи Коши для некоторых линейных систем функционально дифференциальных уравнений нейтрального типа/ В.Б. Черепенников// Изв. вузов. Математика.—1994.—Т. 385, т.—С. 90-98.

119. Чистяков В.Ф. О разрешимости систем интегральных уравнений типа Вольтерра IV рода. I/ В.Ф. Чистяков// Дифференц. уравнения.—2002.—Т. 38, №5.—С. 698-707.

120. Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ/ Б.В. Шабат.—М.: Наука, 1969.— 576 с.

121. Шашихин В.Н. Синтез робастного управления для интервальных крупномасштабных систем с последействием/ В.Н. Шашихин// Автоматика и телемеханика.—1997.—№12.—С. 164-174.

122. Эльсгольц Э.Л. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом/ Э.Л. Эльсгольц, С.Б. Норкин.—М.: Наука, 1971 —296 с.

123. Akhmerov R.R. Exponential dichotomy and stability of neutral type equations/ R.R. Akhmerov, V.G. Kurbatov// J. Diff. Equations.— 1988.—V. 76, №1.—P. 1-25.

124. Appell Ju.M. Partial Integral Operators and Integro-Differential Equations/ Jii.M. Appell, A.S Kalitvin, P.P. Zabrejko. New-York, Marcel Dekker, 2000.—578 p.

125. Bistritz Y. Real-polinomial based immitance type tabular stability test for two-dimentional discrete systems/ Y. Bistritz// Circuits Systems Signal Process—2003.—T. 22, №3.—C. 255-276.

126. Chang J.-C. On the Volterra integrodifferential equations and applications/ J.-C. Chang// Semigroup Forum—2002—V. 66, №1.—P. 68-80.

127. Chon I. Triangular stochastic matrices generated by infinitesimal elements/ I. Chon, H. Min// Czechoslovak Math. J—1999—V. 49, №2 — P. 249-254.

128. Corduneanu C. Integral Equations and Stability of Feedback Systems/ C. Corduneanu.—New-York, London: Academic Press, 1973.—238 p.

129. Czlapinski T. On the mixed problem for hyperbolic partial differential-functional equations of the first order/ T. Czlapinski// Czechoslovak Math. J.—1999.—V. 49, №4.—P. 791-809.

130. DeSantis R.M. Causality, strict causality and invertibility for systems in Hilbert resolution space/ R.M. DeSantis// SIAM J. Control.—1974.— V. 12, №3.—P. 536-553.

131. DeSantis R.M. On the generalization of the Volterra principle of inversion / R.M. DeSantis, W.A. Porter// J. Math. Anal. Appl.—1974— V. 48, №3.—P. 743-748.

132. Domar Y. Harmonic analysis based on certain commutative Banach algebras/ Y. Domar// Acta Math.—1956.—V.96.—P. 1-66.

133. Domar Y. Three spectral notions for representations of commutative Banach algebras/ Y. Domar, L.-A. Lindahl// Ann. Inst. Fourier.—1975.— V.25, №2.—P. 1-32.

134. Erdos J.A. The convergence of triangular integrals of operators on Hilbert space/ J.A. Erdos, W.E. Longstaff// Indiana Univ. Math. J.— 1973.—V. 22, №10.—P. 929-938.

135. Farkas G. Nonexistence of uniform exponential dichotomies for delay equations/ G. Farkas// J. Diff. Equations—2002—V. 182, №1 — P. 266-268.

136. Feintuch A. System Theory: A Hilbert Space Approach/ A. Feintuch, R. Saeks.—New York: Academic Press, 1982—310 p.

137. Grip enb erg G. Volterra Integral and Functional Equations/ G. Grip en-berg, S.-O. Londen, O. Staffans.—Cambridge, New-York: Cambridge Univ. Press, 1990.—701 p.

138. Holubowski W. The ubiquity of free subsemigroups of infinite triangular matrices/ W. Holubowski// Semigroup Forum.—2003.—T. 66, №2.— C. 231-235.

139. Kamenskii G.A. Periodic solutions of linear inhomogeneous mixed functional differential equations/ G.A. Kamenskii, A.D. Myshkis// Funct. Diff. Equations.—1997.—V. 4, № 1-2.—P. 81-90.

140. Kamenskii G.A. Mixed functional-differential equations/ G.A. Kamen-skii, A.D. Myshkis// Nonlin. Anal. TMA.—1998.—V. 34, № 2.—P. 283287.

141. Kolmanovskii V. Introduction to the Theory and Applications of Functional Differential Equations/ V. Kolmanovskii, A. Myshkis. — Dordrecht, Boston, London: Kluwer Academic Publishers, 1999.—664 p.

142. Kurbatov V.G. Functional Differential Operators and Equations/ V.G. Kurbatov.—Dordrecht, Boston, London: Kluwer Academic Publishers, 1999.—452 p.

143. Kurbatov V.G. The causal invertibility with respect to a cone/ V.G. Kurbatov, A.A. Studenikin// Funct. Diff. Equations.—1997.—V. 4, №3-4.—P. 295-327.

144. Naito T. On linear autonomous retarded equations with an abstract phase space for infinite delay/ T. Naito//J. Diff. Equations.—1979.—V. 33, №1 —P. 74-91.

145. Pecelli G. Functional differential equations: dichotomies, perturbations and admissibility/ G. Pecelli// J. Diff. Equations.—1974.—V. 16, №1— P. 72-102.

146. Saeks R. Resolution space. Operators and systems/ R. Saeks// Lect. Notes Economics Math. Systems.—1973.—V. 82.—P. 1-267.

147. Skopin V.A. The impossibility of exponential dichotomy for a class of mixed functional-differential equations/ V.A. Skopin// Funct. Diff. Equations.—2000.—V. 7, №3-4.—P. 335-371.

148. Sokolova S.P. Asymptotic stability of interval time-delay systems/ S.P. Sokolova, R.S. Ivlev// Reliable Computing—V. 9, №4.—P.303-313.

149. Staffans O.J. On a neutral functional differential equation in a fading memory space/ O.J. Staffans// J. Diff. Equations.—1983.—V. 50, №2.— P. 183-217.

150. Tian J. Probabilities of causation: bounds and identification/ J. Tian, J. Pearl// Ann. Math. Artificial Intelligence—2000.—V. 28, №1-4.— P. 287-313.

151. Vath M. Abstract Volterra equations of the second kind/ M. Vath// J. of Int. Equations and Appl.—1998—V. 10, №3.—P. 319-362.

152. Willems J.C. Stability, instability, invertibility and causality/ J.C. Willems// SIAM J. Control.—1969.—V. 7, № 4.—P. 645-671.

153. Willems J.C. The Analysis of Feedback Systems/ J.C. Willems.— Cambridge: MIT Press, 1971.—188 p.

154. Yuan S.-L. Persistence and periodic solution on a nonautonomous SIS model with delays/ S.-L. Yuan, Z.-E. Ma, Z. Jin// Acta Math. Appl. Sinica (English Ser.)—2003.—V. 19, №1.—P. 167-176.