Спектральный анализ дифференциальных и разностных операторов второго порядка тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат наук Кабанцова Лариса Юрьевна

• Кабанцова Лариса Юрьевна
• кандидат наук
• 2019

Оглавление диссертации кандидат наук Кабанцова Лариса Юрьевна

ОГЛАВЛЕНИЕ

Обозначения

Введение

ГЛАВА 1 Спектральные свойства операторных полиномов и операторов, задаваемых операторной матрицей

1.1. Операторные полиномы и операторные матрицы второго порядка с обратимым оператором А

1.2. Операторные полиномы и операторные матрицы второго порядка с необратимым оператором А

ГЛАВА 2 Обратимость дифференциальных операторов второго порядка

2.1. Одновременная обратимость дифференциальных операторов первого и второго порядка

2.2. Обратимость равномерно инъективных дифференциальных операторов первого порядка

2.3. Обратимость сюрективных дифференциальных операторов первого порядка

2.4. Обратимость равномерно инъективных и сюрективных дифференциальных операторов второго порядка

2.5. Построение примера односторонне обратимых дифференциальных операторов второго порядка в пространстве С (М,/2)

2.6. Необходимое и достаточное условие обратимости дифференциального оператора второго порядка в пространстве Сш

ГЛАВА 3 Обратимость разностных операторов второго порядка

3.1. Случай разделенных корней

3.2. Асимптотическое представление ограниченных решений однородного разностного уравнения

3.3. Обратимость равномерно инъюктивных, сюрьективных и фредгольмовых разностных операторов первого порядка

3.4. Обратимость равномерно инъюктивных, сюрьективных и фредгольмовых разностных операторов второго порядка

Список использованных источников

Обозначения

N - множество натуральных чисел;

Z - группа целых чисел;

Z+ = N U {0} - множество неотрицательных целых чисел;

R - поле вещественных чисел;

R+ = [0, го) - множество неотрицательных вещественных чисел;

C - поле комплексных чисел;

T = {А £ C : |А| = 1} - единичная окружность (абелева группа по умножению комплексных чисел, модуль которых равен единице);

X, X, Y - банаховы пространства;

X2 = X х X - декартово произведение комплексных банаховых пространств X с нормой ||(xi, x2)|| = max{||xi||, ||x21|}, (x1,x2) £ X2;

End X - банахова алгебра линейных ограниченных операторов, действующих в X;

Hom (X, Y) - банахово пространство линейных ограниченных операторов, определенных на X со значениями в Y;

I - тождественный оператор в любом из рассматриваемых пространств;

Ker A - ядро линейного оператора A;

Im A - образ линейного оператора A;

D(A) - область определения линейного оператора A;

p(A) £ C - резольвентное множество линейного оператора A;

a (A) = C\p(A) - спектр линейного оператора A;

lp = lp(Z, X), 1 < p < го, - банахово пространство двухсторонних последовательностей векторов, суммируемых со степенью p с нормой

i/p

x

x

p = j / j|x(n) p\ , x £ lp,p £ [1, го)

x

x

oo

= sup ||x(n) ||, x G ;

ne Z

Сь = Сь(М, X) - банахово пространство непрерывных и ограниченных на вещественной оси М функций со значениями в банаховом пространстве X и нормой

x

оо

sup ||x(t)

te R

Cb,u = Cb,u(R, X) - замкнутое подпространство равномерно непрерывных и ограниченных функций из Cb(R, X);

Co = Co(R, X) - замкнутое подпространство функций из Cb(R,X), стремящихся к нулю на бесконечности lim ||x(t)|| = 0;

Cu = Cu(R, X) - замкнутое подпространство и-периодических функций из Cb(R, X);

AP = AP(R, X) - замкнутое подпространство почти периодических функций из Cb(R, X);

APro = APro(R, X) - замкнутое подпространство почти периодических на бесконечности функций из Cb,u(R, X), определяемое следующим образом:

APro = span{eiAx : А G R, lim ||x(s + t) — x(s)|| = 0 для всех t G R};

L|oc(R, X) - линейное пространство локально суммируемых на R

функции x : R ^ X, т.е. для любой измеримой функции x G Ljoc(R, X)

и для любого компактного множества K С R конечна величина

f ||x(t)|| dt; к

Sp = Sp(R, X), 1 < p < го, - пространство Степанова локально суммируемых со степенью p функций x G L 1oc таких, что конечна

величина

x

SP = sup(/ ||x(t + s)||pds)1 /p;

tGR

Lp = Lp(R, X), p G [1, го], - банахово пространство измеримых по

Бохнеру (классов) функций, определённых на R со значениями в X,

для которых конечна величина x

p

( v/p

( I ||х(т)||pdT 1 при p = го, \R )

0 = ess sup ||х(т)|| при p = го;

т £R

^ * ф - свертка функций ^ и ф;

L1 (R) - банахова алгебра суммируемых на R комплекснозначных

1 «_> и __и __1

функций со сверткой в качестве умножения, определяемой по формуле (f * g)№ = / f (s)g(t - s) ds = J g(s)f (t - s) ds, f,g £ L1 (R),t £ R;

f : R ^ C,/(A) = / f (s)e-iAs ds,A £ R, - преобразование Фурье

R

функции f £ L1 (R).

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Спектральный анализ дифференциальных и разностных операторов второго порядка»

Введение

Дифференциальные и разностные уравнения и операторы находят разнообразные приложения во многих областях современной науки, в частности в физике, химии, биологии, экономике, теории автоматического регулирования. Разностные операторы также широко используются при создании методов дискретизации дифференциальных, интегральных и интегро-дифференциальных уравнений.

Дифференциальным операторам первого порядка с операторными коэффициентами в пространствах ограниченных функций посвящено огромное количество работ. Отметим классические монографии Ю.Л. Далецкого и М.Г. Крейна [36], Б.П. Демидовича [40], Х. Массера и Х. Шеффера [62], Ф. Хартмана [79]. В этих монографиях построена теория дифференциальных уравнений (операторов) первого порядка с ограниченными операторными коэффициентами. Для дифференциальных операторов с неограниченными коэффициентами в работах А.Г. Баскакова [10], [27], К. Чиконе и Ю. Латушкина [88], Д. Хенри [80] была создана теория таких операторов, рассматриваемых в однородных пространствах функций.

Интерес к разностным операторам и уравнениям вызван, прежде всего, применением аппарата разностных операторов к изучению разрешимости, устойчивости и др. задач для дифференциальных, интегральных и функциональных уравнений. Исследование подобных вопросов для различных классов уравнений проводилось в работах многих авторов, в частности в работах А.Б. Антоневича [1], А.Г. Баскакова

[5]-[14], М.С. Бичегкуева [30]-[32], Р. Беллмана и К.Л. Кука [29], В.Г. Курбатова [56], В.М. Тюрина [76]. Так в статьях А.Г. Баскакова [5],

[6], [8]-[11], [27] каждому линейному оператору, действующему в банаховом пространстве непрерывных ограниченных на всей оси (полуоси)

1 «_> и __и и

функции, ставится в соответствие разностный оператор, действующий в пространстве векторных последовательностей. Показано, что данные операторы являются одновременно обратимыми, имеют одинаковые размерности ядер и одинаковую коразмерность образов.

В последнее время увеличился интерес к исследованию дифференциальных и разностных уравнений высокого порядка, рассматриваемых в банаховом пространстве непрерывных ограниченных функций. Ранние результаты для линейных векторно-операторных уравнений второго порядка содержатся в книге Ю.Л. Далецкого и М.Г. Крейна [36]. Одна из глав книги Х.Л. Массера и Х.Х Шеффера [62] посвящена линейным дифференциальным уравнениям п-го порядка с периодическими коэффициентами. Отдельные результаты для уравнений высшего порядка можно также найти в книге Э. Хилле и Р. Филлипса [81]. В монографии А.И. Перова и И.Д. Коструб [66] были получены достаточные условия обратимости дифференциальных операторов высокого порядка, рассматриваемых в пространствах ограниченных векторных функций, и установлены оценки ограниченных решений. Изучению функционально-дифференциальных уравнений с операторными коэффициентами в гильбертовых пространствах посвящены работы В.В. Власова, Г.А. Каменского, А.Л. Скубачевского [35], [49], [72].

Актуальность работы. Диссертация посвящена условиям обратимости дифференциальных операторов второго порядка, действующих в однородных пространствах функций, и разностных операторов второго порядка, действующих в банаховых пространствах векторных последовательностей.

При изучении дифференциальных уравнений высокого порядка в учебных курсах по дифференциальным уравнениям исследуемые уравнения с помощью стандартной замены переменных сводятся к

дифференциальным уравнениям первого порядка. Рассматриваемые

уравнения (как исходное, так и получившееся) в диссертации записываются в операторной форме. Таким образом, возникают описывающие эти уравнения операторы.

Естественным образом возникает задача о совпадении ряда свойств дифференциальных операторов второго порядка и соответствующих им операторов первого порядка, в частности, их одновременной обратимости. Вопрос об одновременной обратимости соответствующих операторов кажется тривиальным и, по-видимому, поэтому обстоятельно не изучен. В случае положительного ответа на данный вопрос мы получаем возможность для изучения дифференциальных операторов второго порядка применить результаты, известные для дифференциальных операторов первого порядка.

В работе [55] для случая конечномерного пространства X доказано одновременная обратимость дифференциального оператора высокого порядка

(т лт—1

Ь = — + Л (0 —т + ... + Лт(0 : ЛР(т) (К,Х) С ЛР ^ АР, (0.1)

(г

т

(И

где Л^(г), г = 1,...,т, - квадратные матрицы порядка п с почти-периодическими элементами, и соотвествующего дифференциального оператора первого порядка

Ь

(

2(г) : ЛР(1) (М, X) х ... х ЛР(1) (М, X) ^ ЛР(М, X х ... х X)

е(г) =

(

0 0

I

0

0

I

0 0

\

0

0

0

-I

^ Лт (г) Лт—1 (г) Лт—2(г) ... Л1 (г)

/

Как было отмечено в доказательстве соответствующей теоремы, в одну сторону это утверждение очевидно и в доказательстве нуждается лишь тот факт, что из обратимости почти-периодического оператора Ь вытекает обратимость почти-периодического оператора Ь.

В статье [71] показана одновременная обратимость неполного дифференциального оператора второго порядка

62

£ = ^ + А(£) : Wp2(М,Н) С Ьр ^ Ьр,

из-

действующего в банаховом пространстве Ьр = Ьр(М, Н),р £ [1, го меримых по Бохнеру функций, определенных на вещественной оси, со значениями в комплексном гильбертовом пространстве Н, суммируемых со степенью р и областью определения - пространство Соболева Wp2(М, Н) = {х £ Ьр : X £ Ьр}, с соответствующим дифференциальным оператором первого порядка

6 6

£ = — - А(£) : (М, Н) х (М, Н) ^ Ьр(М, Н х Н)

0 М / х1 -А(*) 0 / \ Х2

Исследуемые дифференциальные операторы второго и соответствующие им операторы первого порядка в диссертационной работе рассматриваются в так называемых однородных пространствах функций и, в частности, в спектрально полных однородных пространствах. Такой подход позволяет доказывать утверждения общего характера сразу для широкого класса функциональных пространств.

Подобная задача возникает и для разностных операторов. В статье [13] доказано совпадение ряда свойств разностного оператора второго порядка Ь : 1рX) ^ 1рX), действующего по правилу

(Ьх)(п) = х(п + 2) + В1 х(п + 1) + В2х(п), х £ /р, п £

и разностного оператора первого порядка L : lp(Z, X2) ^ lp(Z, X2), действующего по правилу

L : ( У1 ) - ( S V У1 ) , (yi,У2) E IP(Z, X2),

Km) К B2 s + Bi j Km)

где S - оператор сдвига последовательностей из lp: S E End lp, (Sx)(n) = x(n + 1), n E Z, x E lp. В частности, было установлено, что эти операторы одновременно обратимы, одновременно фредголь-мовы и т.д.

При исследовании многих задачах теории устойчивости возникает необходимость вывести обратимость операторов из более простых свойств, таких как равномерная инъективности или сюрьективность. На первый взгляд кажется, что класс сюрьективных операторов либо класс равномерно инъективных операторов шире класса обратимых операторов. Однако это не всегда так! С рассмотрением данной проблемы связано второе направление диссертационной работы.

В работе [55] для случая конечномерного пространства X доказано, что из сюрьективности почти-периодического дифференциального оператора высокого порядка (0.1) вытекает его обратимость.

Первые работы по данной тематике для комплексного банахова пространства X связаны с именами В.В. Жикова и В.М. Тюрина. В монографии Б.М. Левитана, В.В. Жикова [59, гл. 10, § 4] было сформулировано утверждение об обратимости дифференциального оператора первого порядка

d

L : C(1} С Cb ^ Cb, L = - - A,

\ и ______и

где A ограниченный оператор, при выполнении одного из условий: корректности либо наличия допустимой пары. Однако доказательство утверждения в монографии приведено лишь для случая наличия допустимой пары вида (Cb(R+,X), AP(R,X)) оператора L (пара

(Cb(R+, X), AP(R, X)) называется допустимой, если для любой функции f £ AP(R, X) существует хотя бы одно решение х £ Cb(R+, X)). Само доказательство приведенное в монографии является достаточно сложным и проведено с использованием второго сопряженного пространства X** к X. Для случая корректного оператора (терминология принадлежит В.Б. Жикову, мы используем для таких операторов термин равномерно инъективен) доказательство не приведено. Некоторое дальнейшее рассмотрение проблемы обратимости слабо регулярного оператора (сюрьективного в пространстве Cb(R,X) в терминологии работы)

d

L : ^ С Cb ^ Cb, L = - - A(t),

где A(t) - почти-периодическая операторнозначная функция в End X, можно найти в работе В.В. Жикова и В.М. Тюрина [41].

Объект исследования. В диссертационной работе рассматривается дифференциальные операторы второго порядка в однородных пространствах функций F(R,X) (см. Определение 2.1), определенных на всей вещественной оси

D2 = D2 + B1D + B, (0.1)

где символы B1, B2 £ End F(R, X) обозначают операторы умножения в F на операторные функции, действующие по правилу

(Bkx)(t) = Bk(t)x(t), t £ R, x £ F, k = 1,2.

Областью определения оператора D2 : F(2) (R, X) С F(R, X) ^ F(R, X) является линейное подпространство

F(2) = F(2)(R,X) = {x £ F(1) : x' £ F(1)},

где F(1) = {x £ F : x — абсолютно непрерывная функция и x' £ F}.

Другим объектом исследования работы является разностный оператор второго порядка с постоянными ограниченными операторными коэффициентами 02 : 1РX) — 1РX), действующий по правилу

(02х)(п) = х(п + 2) + Ехх(п + 1) + Е2х(п), х е 1Р, п е (0.2)

где Ех ,Е2 е Еп<1Х.

Цель работы. Целью работы - является исследование условий обратимости дифференциальных и разностных операторов второго порядка. Основными задачами диссертационной работы являются:

1. Построение абстрактной схемы исследования операторных полиномов второго порядка для случая линейного оператора с непустым резольвентным множеством.

2. Изучение условий обратимости дифференциальных операторов второго порядка (0.1), действующих в однородных пространствах функций.

3. Изучение обратимости дифференциальных операторов второго порядка с постоянными операторными коэффициентами, действующих в однородных пространствах функций, при условии их равномерной инъективности либо сюрьектиности.

4. Изучение условий обратимости линейных разностных операторов второго порядка (0.2) в условии наличия разделенной пары корней соответствующего "алгебраического" операторного уравнения.

5. Изучение обратимости равномерно инъективных, сюрьектиных и фредгольмовых разностных операторов второго порядка (0.2) с постоянными операторными коэффициентами, действующих в банаховом пространстве двухсторонних векторных последовательностей.

Методы исследования. Для изучении условий обратимости исследуемых дифференциальных и разностных операторов второго порядка применяется спектральная теория дифференциальных и разностных операторов, методы гармонического анализа, прием сопоставления исследуемому оператору второго порядка операторной матрицы второго порядка и последующее использование теории дифференциальных либо разностных операторов первого порядка, задаваемых этой операторной матрицей.

Научная новизна. Основные результаты диссертационной работы являются новыми. Из них выделим следующие:

1. Установлено совпадение спектральных свойств операторных полиномов второго порядка и соответствующих операторов, заданных операторной матрицей, для случая линейного оператора с непустым резольвентным множеством.

2. Установлена совпадение спектральных свойств дифференциального оператора второго порядка и соответствующего дифференциального оператора первого порядка в произвольном однородном пространстве, приведены формулы обратных операторов.

3. Доказана обратимость дифференциальных операторов второго порядка с постоянными коэффициентами, действующих в однородном спектрально полном пространстве функций, при условии их равномерной инъективности либо сюрьективности. Аналогичный результат получен для спектрально неполного однородного пространства Со(М, X), непрерывных на М функций, исчезающих на бесконечности, со значениями в банаховом пространстве X.

4. Получены критерии инъективности, сюрьективности и обратимости дифференциальных операторов с постоянными операторными коэффициентами в пространстве периодических функций.

5. Получены необходимые и достаточные условия обратимости разностных операторов второго и первого порядка с постоянными операторными коэффициентами в условиях разделенности пары операторных корней соответствующего "алгебраического" операторного уравнения и получены формулы для обратных операторов первого и второго порядка в терминах разделенной пары корней.

6. Доказана обратимость разностных операторов второго порядка с постоянными коэффициентами, действующих в банаховом пространстве двухсторонних векторных последовательностей, в случае выполнения одного из условий: равномерной инъективности, сюрьективности или фредгольмовости исследуемого разностного оператора.

Теоретическая и практическая значимость. Диссертационная работа носит теоретический характер. Результаты, полученные в диссертации, могут быть использованы для дальнейшего исследования условий обратимости разностных и дифференциальных операторов второго порядка и более высокого порядка, в том числе и дифференциальных операторов с неограниченными операторными коэффициентами. Кроме того, полученные результаты могут быть использованы при чтении курсов в университетах для студентов математических специальностей и применяться специалистами в области гармонического и функционального анализа при исследовании вопросов, связанных с тематикой диссертации.

Степень достоверности и апробация результатов. Достоверность основных результатов, полученных в диссертации, обеспечивается математической строгостью их изложения в виде теорем с подробными доказательствами и адекватным использованием общеизвестных положений и методов гармонического анализа и спектральной

теории.

Основные результаты диссертации докладывались на Международных конференциях "Воронежская зимняя математическая школа С.Г.Крейна"(2012, 2014, 2015, 2018, 2019 гг.), Международной конференции XXVI Крымская Осенняя Математическая Школа-симпозиум по спектральным и эволюционным задачам (2015 г.), Международной научной конференции "Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа и их приложения^Ш"(Ростов 2018 г.), семинаре под руководством проф. Левенштама В.Б. (ЮФУ), семинаре под руководством проф. Абанина А.В. (ЮФУ), на семинарах проф. Баскакова А.Г. и научных сессиях Воронежского государственного университета.

Публикации. Основные результаты диссертации содержатся в работах [23], [26], [43]-[48]. Работы [23], [26], [45], [46] опубликованы в журналах из перечня ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК Минобрнауки РФ. Из совместных работ [23], [26], [43] в диссертацию включены результаты, принадлежащие лично автору.

Структура и объем диссертации. В состав диссертации входит введение, три главы, разбитые на параграфы, и библиография, включающая 94 наименований. Общий объем диссертации составляет 110 страниц.

Краткое содержание диссертации

В первой главе изучаются спектральные свойства операторных полиномов второго порядка путем сопоставления им операторов первого порядка, задаваемых операторной матрицей, действующих в банаховом пространстве.

Пусть X - комплексное банахово пространство, А : Б (А) С Х-X - линейный оператор с непустым резольвентным множеством р(А)

и B1, B2 - операторы из банаховой алгебры End X. Рассмотрим операторный полином второго порядка

A = A2 + B1A + B2 : D(A2) С X ^ X с областью определения D(A) = D(A2) = {x £ D(A) : Ax £ D(A)}.

Одновременно с оператором A рассмотрим оператор A : D(A) С

Установлено совпадение ряда спектральных свойств операторов А и А (равномерная инъективность, сюрьективность, фредгольмовость, обратимость). Полученные результаты будут применены к исследованию вопросов обратимости дифференциального и разностного операторов второго порядка. Рассмотренная общая абстрактная схема может быть использована и в случае, когда оператор «второго» порядка порождается не обязательно оператором дифференцирования либо оператором сдвига последовательностей. Построенная схема является обобщением разработанной схемы в работе [13].

Во второй главе изучаются линейные дифференциальные уравнения (операторы) второго порядка (0.1) в однородных пространствах функций (см. Определение 2.1), определенных на всей вещественной оси. К однородным пространствам можно отнести следующие пространства: пространство непрерывных ограниченных функций Сь(М,Х) и все его замкнутые подпространства инвариантные относительно сдвигов 5(£), в частности, подпространство исчезающих на бесконечности функций Со(М, X); пространство измеримых по Бохнеру функций Ьр(М, X); пространство Степанова (М, X). В первом параграфе приводятся условия обратимости линейных дифференциальных операторов второго порядка. В основе исследования лежит подход, основанный на сопоставлении исследуемым дифференциальным

X х ХчХ х X, задав его матрицей

A -I B2 A + B1

операторам второго порядка дифференциальных операторов первого порядка. Связующий результат содержит теорема об их одновременной обратимости (см. Теорему 2.1.1). Полученный результат позволяет при исследовании вопроса обратимости дифференциального оператора второго порядка использовать результаты работ по обратимости дифференциальных операторов первого порядка, в частности [10], [12], [36]. Для дифференциального оператора второго порядка с постоянными операторными коэффициентами получено представление обратного оператора в виде свертки с суммируемой операторнознач-ной функцией. В четвертом параграфе показано, что из равномерной инъективности либо сюрьективности дифференциального оператора второго порядка с постоянными коэффициентами, действующего в однородном спектрально полном пространстве функций (см. Определение 2.2), следует его обратимость. Аналогичный результат получен для спектрально неполного однородного пространства Со(М, X), непрерывных на М функций, исчезающих на бесконечности, со значениями в банаховом пространстве X. Доказательство соответствующих теорем существенно осложнилось спектральной неполнотой пространства Со(М, X). Для однородного пространства измеримых по Бохнеру функций Ьр(М, X),р е [1, го), не являющегося спектрально полным, также имеет место факт обратимости дифференциального оператора второго порядка с постоянными коэффициентами при условии его равномерной инъективности либо сюрьективности. Отметим, что для пространства Сш (М, X), также не являющегося спектрально полным, данный факт места не имеет. Точнее говоря существуют операторные коэффициенты Ех, В2 е EndX такие, что дифференциальный оператор второго порядка Б2 : С^2) С Сш — Сш является одностороне обратимым, но не обратимым оператором. В пятом параграфе построены примеры одностороне обратимых операторов в пространстве Сш(М, /2),

где и = 1. В шестом параграфе получены критерии обратимости дифференциального оператора второго порядка с постоянными операторными коэффициентами в пространстве Сш.

В третьей главе рассматривается линейное разностное уравнение второго порядка в комплексном банаховом пространстве с ограниченными операторными коэффициентами. В первом параграфе в предположении разделённости пары операторных корней соответствующего "алгебраического" операторного уравнения получено необходимое и достаточное условие обратимости разностных операторов второго и первого порядка и получено представление обратных операторов к рассматриваемым в терминах разделенной пары корней. Во втором параграфе для ограниченных на множестве целых неотрицательных чисел решений однородного разностного уравнения получено асимптотическое представление этих решений с помощью оператор-нозначных функций. В четвертом параграфе показано, что из равномерной инъективности либо сюрьективности, либо фредгольмово-сти разностного оператора второго порядка с постоянными коэффициентами следует его обратимость, при условии, что на единичной окружности есть точки резольвентного множества р(Н) пучка H ( H : C ^ End X, H(А) = А21 + AB1 + B2, А £ C). Построен пример подтверждающий, что данное условие является существенным.

Автор выражает сердечную благодарность своему научному руководителю проф. А.Г. Баскакову за постановку задачи, полезные обсуждения и всестороннюю поддержку.

ГЛАВА 1

Спектральные свойства операторных полиномов и операторов, задаваемых

операторной матрицей

В этой главе изучаются операторные полиномы второго порядка и соответствующие операторы, заданные операторной матрицей, для случая абстрактного оператора с непустым резольвентным множеством.

Пусть X - комплексное банахово пространство, A : D (А) С X - линейный оператор с непустым резольвентным множеством р(А) и B1, B2 - операторы из банаховой алгебры End X. Рассмотрим линейный оператор

A = А2 + B1А + B2 : D(A2) С X ч X (1.1)

с областью определения D(A) = D(A2) = {x Е D(A) : Ax E D(A)}. Оператор A E EndX вида (1.1) назовем, следуя [25], операторным полиномом второго порядка.

Наряду с оператором A рассмотрим оператор A : D (A) С X х

( a -I \

X ч X х X, определяемый матрицей , т. е.

V B2 А + Bi )

Ax = (Ax1 - x2, B2x1 + (A + B1 )x2), (1.2)

где x = (x1, x2) E D(A) = D(A) х D(A) С X х X.

В статье [13], [25] были исследованы операторные полиномы второго порядка и соответствующие операторы, заданные операторной матрицей, для случая ограниченного оператора А Е End X и уста-

новлено совпадение их спектральных свойств (равномерная инъектив-ность, сюрьективность, фредгольмовость, обратимость и т.п.). Результаты были применены к исследованию вопросов обратимости разностного оператора второго порядка. Однако, для изучения дифференциальных операторов второго порядка потребовалась некоторая её модификация. Построенная схема является обобщением разработанной ранее схемы.

Систематически далее в главе используется следующее важное определение, рассмотренное в статьях [9]-[11], [25].

Определение 1.1. Пусть X, Y - банаховы пространства и A : D(A) С X ^ Y - линейный замкнутый оператор с областью определения D(A). Рассмотрим следующие свойства:

1) оператор A инъективен, то есть ядро Ker A = {x £ D(A) : Ax = 0} = {0};

2) размерность dim Ker A = n ядра Ker A оператора A положитель-

на и конечна;

3) ядро Кег А оператора А является бесконечномерным подпространством из X, т.е. ^тКег А = го;

4) ядро Кег А оператора А - дополняемое подпространство в X;

5) образ 1т А оператора А замкнутое множество (1т А = 1т А что эквивалентно положительности минимального модуля опе ратора А

7 (А) = М "Ах"

x

£X\KerA dist(x, KerA)'

где ^я^х, Кег А) = т£ "х — х0" - расстояние от вектора х до

х0 еКегХ

подпространства Кег А; 6) оператор А равномерно инъективен (корректен), т.е. Кег А = {0} и 7(А) > 0;

7) образ 1т А оператора А является замкнутым дополняемым подпространством из У конечной коразмерности (еоа1т 1т А = т <

го);

8) образ 1т А оператора А является замкнутым дополняемым подпространством из У бесконечной коразмерности;

9) ImA = Y, ImA = Y;

10) 1тА = У;

11) А - сюрьективный оператор, т.е. 1т А = У;

12) оператор А (непрерывно) обратим, т.е. Кег А = {0}, 1т А = У (и, следовательно, по теореме Банаха А-1 е Нот (У, X)).

Если для оператора А выполнены все условия из совокупности условий а = {¿1 ,¿2 ,...,г&}, где 1 < г1 < ¿2 < ... < < 12, то будем говорить, что оператор А находится в состоянии обратимости а. Множество всех состояний обратимости оператора А обозначим через

Я^пу А.

1.1. Операторные полиномы и операторные матрицы второго порядка с обратимым оператором А

Исследования начнем с рассмотрения более простой ситуации, когда оператор А является обратимым.

Теорема 1.1.1. Пусть оператор А является обратимым. Оператор A обратим точно тогда, когда обратим оператор A.

Если A является обратимым оператором, то обратный к A оператор A-1 Е End X2 определяется матрицей

A-1 -A-1 B2A-1 A-1

-AA-1 B2A-1 AA-1

т. е.

А-1 х = ((А-1 — А-1 В2 А-1 )ж1 + А-1 х2, — А А-1 В2 А-1 х1 + АА—1 х2)

для любого вектора х = (х1, х2) £ X2.

Доказательство теоремы 1.1.1. Пусть оператор А : Б (А2) С

X ^ X обратим. Тогда он инъективен и из равенства Ах = 0 следует, что х = 0. Покажем, что оператор А также является инъективным. Из равенства Ах = 0 следует, что Ах1 = х2 и В2х1 + (А + В1 )х2 = 0 при условие, что х = (х1, х2). Поскольку оператор А обратим, то х1 = А-1 х2. Отсюда получаем (В2А-1 + А + В1 )х2 = 0, или А(А-1 х2) = 0. Поскольку оператор А инъективен, то А-1 х2 = 0. Следовательно, х2 = 0 и поэтому х1 = А-1 х2 = 0, что и доказывает инъективность оператора А.

Покажем, что оператор А сюрьективен. Рассмотрим уравнение Ах = у, где х = (х1 ,х2), а у = (у1 , у2) - произвольный заданный элемент из X2. Оно эквивалентно системе уравнений Ах1 - х2 = у1, В2х1 + (А + В1 )х2 = у2. Нетрудно проверить, что её решение имеет вид

х1 = (А-1 - А-1 ВА-1 )у1 + А-1 у2 £ Б(А), х2 = АА-1 (у2 - ВА-1 у1) £ Б(А).

Действительно, поставка этих выражений в равенство (1.2) дает следующий результат

Ах = (А((А-1 - А-1 ВА-1 )у1 + А-1 у2) - АА-1 (у2 - ВА-1 у1),

(В((А-1 - А-1 ВА-1 )у1 + А-1 у2) + (А + В)АА-1 (у2 - ВА-1 ух)) = = (у1, (I - (А2 + ВА + В)А-1 )В2А-1 у1 + (А2 + ВА + В)А-1 у2) =

= (у1 >у2)-

Это доказывает сюрьективность, а с учётом инъективности оператора А, и его обратимость. Причём, из представления для решения х = (х1, х2) получаем, что обратный к оператору А оператор А-1 определяется матрицей (1.3).

Будем предполагать теперь, что обратим оператор А. Покажем, что оператор А инъективен. Пусть х е В (А) = В (А2) является решением уравнения Ах = 0. Покажем, что х = 0. Заметим, что (х,Ах) е В(А) = В(А) х В(А) и (х,Ах) е Кег А, так как А(х, Ах) = (Ах - Ах, (В2 + (А + В1 )А)х) = = (0, Ах) = (0,0). Из инъективности оператора А получаем, что х = 0.

Проверим, что оператор А сюрьективен. Рассмотрим уравнение Ах = д, д е X - произвольный элемент. Покажем, что существует его решение х е В (А2) . Из обратимости оператора А следует, что уравнение Ау = f при любом / е X2 имеет решение у = (х1, х2) е В (А) х В (А). Положим f = (0,д). Тогда разрешима система уравнений

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Кабанцова Лариса Юрьевна, 2019 год

Литература

1. Антоневич А. Б. Линейные функциональные уравнения. Операторный подход / А. Б. Антоневич. - Минск : Университетское, 1988.

- 233 с.

2. Ахиезер Н. И. Лекции по теории аппроксимации / Н. И. Ахи-езер. - Москва : Наука, 1965. - 408 с.

3. Баскаков А. Г. Гармонический анализ линейных операторов / А. Г. Баскаков. - Воронеж : ВГУ, 1987. - 165 с.

4. Баскаков А. Г. Метод подобных операторов в спектральном анализе оператора Хилла с негладким потенциалом / А. Г. Баскаков, Д. М. Поляков // Математический сборник. - 2017. - Т. 208, № 1. -С. 3-47.

5. Баскаков А. Г. Полугруппы разностных операторов в спектральном анализе линейных дифференциальных операторов / А. Г. Баскаков // Функциональный анализ и его приложения. - 1996.

- Т. 30, № 3. - С. 1-11.

6. Баскаков А. Г. Линейные дифференциальные операторы с неограниченными операторными коэффициентами и полугруппы разностных операторов / А. Г. Баскаков // Математические заметки. -1996. - Т. 59, № 6. - С. 586-593.

7. Баскаков А. Г. Некоторые условия обратимости линейных дифференциальных и разностных операторов / А. Г. Баскаков // Доклады Академии Наук. Серия Математика. - 1993. - Т. 333, № 3. -С. 282-284.

8. Баскаков А. Г. О корректности линейных дифференциальных операторов / А. Г. Баскаков // Математический сборник. - 1999. -Т. 190, № 3. - С. 3-28.

9. Баскаков А. Г. Спектральный анализ дифференциальных операторов с неограниченными операторными коэффициентами, разностные отношения и полугруппы разностных отношений / А. Г. Баскаков // Известия РАН. Сер. Математика. - 2009. - Т. 7, № 2. - С. 3-68.

10. Баскаков А. Г. Исследование линейных дифференциальных уравнений методами спектральной теории разностных операторов и линейных отношений / А. Г. Баскаков // Успехи математических наук.- 2013.- Т. 68, № 1. - С. 77-128.

11. Баскаков А. Г. Спектральный анализ дифференциальных операторов с неограниченными периодическими коэффициентами / А. Г. Баскаков, В. Б. Диденко // Дифференциальные уравнения. -2015. - Т. 51, № 3. - С. 174-190.

12. Баскаков А. Г. Разностные операторы в исследовании дифференциальных операторов; оценки решений / А. Г. Баскаков, Ю. Н. Синтяев // Дифференциальные уравнения. - 2010. - Т. 46, № 2.

- С. 210-219.

13. Баскаков А.Г. Разностные операторы и операторные матрицы второго порядка / А.Г. Баскаков, А.Ю. Дуплищева // Известия РАН.

- 2015. - Сер.мат., Т. 79. - № 2. - С. 3-20.

14. Баскаков А. Г. Об обратимости и фредгольмовости разностных операторов / А. Г. Баскаков // Математические заметки. - 2000. -Т. 67, № 6. - С. 816-827.

15. Баскаков А. Г. Спектральные критерии почти периодичности решений функциональных уравнений / А. Г. Баскаков // Математические заметки. - 1978. - Т. 24, № 2. - С. 195-206.

16. Баскаков А. Г. Гармонический анализ косинусной и экспоненциальной операторных функций / А. Г. Баскаков // Математический сборник. - 1984. - Т. 124, № 1. - С. 68-95.

17. Баскаков А. Г. Гармонический и спектральный анализ операторов с ограниченными степенями и ограниченных полугрупп операторов на банаховом пространстве / А. Г. Баскаков // Математические заметки. - 2015. - Т. 97, № 2. - С. 174-190.

18. Баскаков А. Г. Теорема Берлинга для функций с существенным спектром из однородных пространств и стабилизация решений параболических уравнений / А. Г. Баскаков, Н. С. Калужина // Математические заметки. - 2012. - Т. 92, № 5. - С. 643-661.

19. Баскаков А. Г. Спектральный анализ оператора взвешенного сдвига с неограниченными операторными коэффициентами / А. Г. Баскаков, А. И. Пастухов // Сибирский математематический журнал. -2001. - Т. 42, № 6. - С. 1231-1243.

20. Баскаков А. Г. Абстрактный гармонический анализ и асимптотические оценки элементов обратных матриц / А. Г. Баскаков // Математические заметки. - 1992. - Т. 92, № 2. - С. 17-26.

21. Баскаков А. Г. Асимптотические оценки элементов матриц обратных операторов и гармонический анализ / А. Г. Баскаков // Сибирский математический журнал. - 1997. - Т. 38, № 1. - С. 14-28.

22. Баскаков А. Г. Спектральный анализ линейных отношений и вырожденные полугруппы операторов/ А. Г. Баскаков, К. И. Черны-шов // Математический сборник. - 2002. - Т. 193, № 11. - С. 3-35.

23. Баскаков А. Г. Линейные дифференциальные операторы и операторные матрицы второго порядка / А. Г. Баскаков, Л. Ю. Кабанцо-ва, И. Д. Коструб, Т. И. Смагина // Дифференциальные уравнения. -2017. - Т. 53, № 1. - С. 10-19.

24. Баскаков А. Г. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка в банаховом пространстве и расщепление операторов / А. Г. Баскаков, Т. К. Кацаран, Т. И. Смагина // Известия вузов. Математика. - 2017. - № 10. - С. 38-49.

25. Баскаков А. Г. Спектральный анализ операторных полиномов и разностных операторов высокого порядка / А. Г. Баскаков, В. Д. Харитонов // Математические заметки. - 2017. - Т. 101, № 3 - С. 330-345.

26. Баскаков А. Г. Условия обратимости дифференциальных операторов второго порядка в пространстве непрерывных ограниченных функций / А. Г. Баскаков, Л. Ю. Кабанцова, Т. И. Смагина // Дифференциальные уравнения. - 2018. - Т. 54, № 3 - С. 292-301.

27. Баскаков А. Г. Исследование дифференциальных уравнений с неограниченными операторными коэффициентами методами теории операторов / А. Г. Баскаков. - Воронеж : Издательский дом Воронеж-ског государственного университета, 2017. - 460 с.

28. Баскаков А. Г. О состояниях обратимости разностных и дифференциальных операторов / А. Г. Баскаков, В. Б. Диденко // Известия РАН. Математика. - 2018. - Т. 82, № 1 - С. 3-16.

29. Беллман Р. Дифференциально-разностные уравнения / Р. Беллман, К. Л. Кук. - Москва : Мир, 1967. - 548 с.

30. Бичегкуев М. С. Об ослабленной задаче Коши для линейного дифференциального включения / М. С. Бичегкуев // Математические заметки. - 2006. - Т. 79, № 4 - С. 483-487.

31. Бичегкуев М. С. Условия разрешимости разностных включений / М. С. Бичегкуев // Известия РАН. Сер. Математика. - 2008. -Т. 72, № 4 - С. 25-36.

32. Бичегкуев М. С. Об ограниченных решениях разностных включений / М. С. Бичегкуев // Известия вузов. Математика. - 2008. - № 8 - С. 16-24.

33. Бурбаки Н. Спектральная теория / Н. Бурбаки. - Москва : Мир, 1972. - 184 с.

34. Винер Н. Интеграл Фурье и некоторые его приложения / Н. Винер. - Москва : Физматгиз, 1963. - 256 с.

35. Власов В. В. Спектральный анализ функционльно-дифферен-циальных уравнений / В. В. Власов, Н.А. Раутиан. - Москва : МАКС Пресс, 2016. - 488 с.

36. Далецкий Ю. Л. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве / Ю. Л. Далецкий, М. Г. Крейн. - Москва : Наука, 1970. - 535 с.

37. Данфорд Н. Линейные операторы : Общая теория / Н. Дан-форд, Дж. Т. Шварц. - Москва : Изд-во Иностр. лит., 1962. - Т. 1. -895 с.

38. Данфорд Н. Линейные операторы. Спектральная теория. Самосопряженные операторы в гильбертовом пространстве / Н. Дан-форд, Дж. Шварц. - Москва : Мир, 1966. - Т. 2. - 1064 с.

39. Данфорд Н. Линейные операторы. Спектральные операторы / Н. Данфорд, Дж. Т. Шварц. - Москва : Мир, 1966. - Т. 3. - 663 с.

40. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости / Б. П. Демидович. - Москва : Мир, 1967. - 472 с.

41. Жиков В. В. Об обратимости оператора Jt + A(t) в пространстве ограниченных функций / В. В. Жиков, В. М. Тюрин // Математические заметки. - 1976. - Т.19, № 1. - С. 99-104.

42. Иосида K. Функциональный анализ / К. Иосида. - Москва : Изд-во ЛКИ, 2010. - 624 с.

43. Кабанцова Л. Ю. Корни операторного "алгебраического" уравнения и ограниченные решения дифференциального уравнения второго порядка в банаховом пространстве / Л. Ю. Кабанцова, И. Д. Коструб, Т. И. Смагина // Таврический вестник информатики и математики. - Симферополь, 2015. - № 1. - С. 34-41. - ISSN 1729-3901.

44. Кабанцова Л. Ю. Линейные дифференциальные операторы и операторные матрицы второго порядка / Л. Ю. Кабанцова // Вестник факультета прикладной математики, информатики и механики. -Воронеж, 2016. - Вып. 12. - С. 115-125.

45. Кабанцова Л. Ю. Линейные разностные уравнения второго порядка в банаховом пространстве и расщепление операторов / Л. Ю. Кабанцова // Известия Саратовского университета. Новая серия. Сер. Математика. Механика. Информатика. - 2017.- Т. 17, № 3.

- С. 285-293.

46. Кабанцова Л. Ю. Исследование линейных дифференциальных операторов с помощью операторных матриц второго порядка / Л. Ю. Кабанцова // Вестник Воронежского государственного университета. Сер. Физика. Математика. - 2017. - № 4. - С. 99-108.

47. Кабанцова Л.Ю. Обратимость равномерно инъективных и сюрьективных дифференциальных операторов второго пордяка / Л.Ю. Кабанцова // Материалы международной конференции "Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна - 2018". - 2018. -С. 223-225.

48. Кабанцова Л.Ю. Условия обратимости разностных операторов второго порядка в банаховом пространстве / Л. Ю. Кабанцова // Материалы международной конференции «Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа и их приложения

- VIII». -- Ростов-на-Дону, 2018. -- С. 40-41.

49. Каменский Г.А. Линейные краевые задачи для дифференциально-разностных уравнений / Г. А. Каменский, А. Л. Скубачев-ский. — Москва : издательство МАИ, 1992. - 192 с.

50. Крейн М. Г. О некоторых математических принципах линейной теории демпфированных колебаний континуума / М. Г. Крейн,

Г. К. Лангер // Труды Международного симпозиума в Тбилиси "Приложение теории функций в механике сплошной среды". Москва : Наука, 1965. - Т. 2. - С. 283-322.

51. Крейн М. Г. К теории квадратичных пучков самоспряженных операторов / М. Г. Крейн, Г. К. Лангер // ДАН СССР. - 1964. - Т. 154, № 6. - С. 1258-1261.

52. Крейн С. Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве / С. Г. Крейн. - Москва : Наука, 1967. - 464 с.

53. Коддингтон Э. А. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений / Э. А. Коддингтон. - Москва : Иностранная литература, 1958 - 475 с.

54. Колмогоров А. Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. - Москва : ФИЗМАТ-ЛИТ, 2004. - 572 с.

55. Красносельский М. А. Нелинейные почти периодические колебания / М. А. Красносельский, В. Ш. Бурд, Ю. С. Колесов. - Москва : Наука, 1970. - 351 с.

56. Курбатов В. Г. Линейные дифференциально-разностные операторы / В.Г. Курбатов - Воронеж : издательство Воронежского государственного университета, 1990. - 168 с.

57. Курбатов В. Г. О нахождении приближенного решения линейного дифференци- ального уравнения второго порядка / В. Г. Курбатов, М. Н. Орешина // Вест- ник Воронежского государственного университета. Физ.-мат. науки. - 2003. - № 2. - С. 173-188.

58. Кутателадзе С. С. Основы функционального анализа / С. С. Кутателадзе - Новосибирск: издательство интитута математики, 2000. - 336 с.

59. Левитан Б. М. Почти-периодические функции и дифференциальные уравнения / Б. М. Левитан, В. Б. Жиков. - Москва : Издательство Московского университета, 1978. - 206 с.

60. Люстерник Л. А. Элементы функционального анализа / Л. А. Люстерник, В. И. Соболев. - Москва : Наука, 1965. - 520 с.

61. Маркус А. С. Введение в спектральную теорию полиномиальных операторных пучков / А. С. Маркус. - Кишинев : Штиинца, 1986.

- 260 с.

62. Массера Х. Линейные дифференциальные уравнения и функциональные пространства / Х. Массера, Х. Шеффер. - Москва : Мир, 1970. - 456 с.

63. Миролюбов А. А. Линейные однородные разностные уравнения / А. А. Миролюбов, М. А. Солдатов - Москва : Наука, 1981. -208 с.

64. Миролюбов А. А. Линейные неоднородные разностные уравнения / А. А. Миролюбов, М. А. Солдатов - Москва : Наука, 1986. -130 с.

65. Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы / М. А. Наймарк.- Москва : Наука, - 1969. - 527 с.

66. Перов А. И. Ограниченные решения нелинейных векторно-матричных дифференциальных уравнений п-го порядка : монография / А. И. Перов, И. Д. Коструб. - Воронеж : ИПЦ Научная книга, 2013.

- 227 с.

67. Перов А. И. Функция Грина и оценки периодических решений дифференциальных уравнений второго пордяка / А. И. Перов, Т. И. Смагина // Депонирована ВИНИТИ. - 1979. - № 3093-75 Деп. -33 с.

68. Перов А. И. Вариационный подход к задаче о периодических решениях / А. И. Перов, Т. И. Смагина, В. Л. Хацкевич // Сибирский математический журнал. - 1984. - Т. 25, № 1. - С. 106-119.

69. Рисс Ф. Лекции по функциональному анализу / Ф. Рисс, Б. Сёкефальви-Надь. - Москва : Мир, 1979. - 589 с.

70. Рудин У. Функциональный анализ / У. Рудин. - Москва : Мир, 1975. - 449 с.

71. Синтяев Ю. Н. Оценки ограниченных решений линейного дифференциального уравнения второго порядка /Ю. Н. Синтяев // Вестник Воронежского государственного университета. Физ.-мат. науки. -2007. - № 1. - С. 135-138.

72. Скубачевский А. Л. Краевые задачи для эллиптических функционально-дифференциальных уравнений и их приложения / А. Л. Скубачевский // УМН. - 2016. - Т. 71, № 5(431). - С. 3-112.

73. Смагина Т. И. О классах регулярности для векторных уравнений второго порядка / Т. И. Смагина // Дифференциальные уравнения. - 1978. - Т. 12, № 7. - С. 1320-1322.

74. Треногин В. А. Функциональный анализ / В. А. Треногин. -Москва : Наука, 1980. - 306 с.

75. Тюрин В. М. Об обратимости оператора — А(£) в некоторых функциональных пространствах / В. М. Тюрин // Математические заметки. - 1979. - Т.25, № 4. - С. 585-590.

76. Тюрин В. М. Об обратимости линейных дифференциальных операторов в некоторых функциональных пространствах / В. М. Тюрин // Сибирский математический журнал. - 1991. - Т.32, № 3. -С. 160-165.

77. Функциональный анализ / под редакцией С. Г. Крейна. -Москва : Физматлит, 1972. - 544 с.

78. Халмош П. Гильбертово пространство в задачах / П. Халмош.

- Москва : Мир, 1970. - 351 с.

79. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения / Ф. Хартман. - Москва : Мир, 1970. - 720 с.

80. Хенри Д. Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений / Д. Хенри. - Москва : Мир, 1985. - 376 с.

81. Хилле Э. Функциональный анализ и полугруппы / Э. Хилле, Р. Филлипс. - Москва : Иностранная литература, 1962. - 829 с.

82. Эдвардс Р. Ряды Фурье в современном изложении / Р. Эд-вардс. - Москва : Мир, 1969. - 1070 с.

83. Эдвардс Р. Функциональный анализ. Теория и приложения / Р. Эдвардс. - Москва : Мир, 1985. - Т. 1.- 264 с.

84. Aldloubi A. Slanted matrices, Banach frames and sampling / A. Aldloubi, A. Baskakov, I. Krishtal // Journal of Functional Analysis. -2008. - Vol. 255. - P. 1667-1691.

85. Baskakov A. G. Memory estimation of inverse operators / A. G. Baskakov, I. A. Krishtal // Journal of Functional Analysis. - 2014.

- Vol. 267:8. - P. 2551-2605.

86. Baskakov A. G. Harmonic and spectral analysis of abstract parabolic operators in homogeneous function spaces / A. G. Baskakov, I. A. Krishtal // http://arxiv.org/abs/1501.04958.

87. Bochner S. Absolute convergent Fourier expension for non-commutative normed rings / S. Bochner, R. S. Fillips // Ann. of Math. -1942. - № 3. - P. 409-418.

88. Chicone C., Latushkin Yu. Evolution semigroups in dinamical system and differential equalions / C. Chicone, Yu. Latushkin // Math. Surveys Monogr., Amer. Math. Soc., Providence, RI. - Vol 70. - 1999. -361 pp.

89. Gohberg I. Matrix polynomials / I. Gohberg, P. Lancaster, L. Rodman.— New York-London : Academic Press, Inc. [Harcourt Brace Jovanovich, Publishers], 1982. - xiv+409 pp.— ISBN: 0-12-287160-X.

90. Gohberg I. Classes of linear Operators / I. Gohberg, S. Goldberg, M. A. Kaashoek. - Basel-Boston-Berlin. - V. 2. - 1993.

91. Engel K. J. One-parameter semigroups for linear evolution equations / K.-J. Engel, R. Nagel // Grad. Texts in Math. - 194. -Springer-Verlag, New York, 2000, - xxii+586 pp.

92. Feichtinger Hans G. Wiener amalgam spaces for the Fundamental Identity of Gabor Analysis / Feichtinger Hans G.,Luef Franz // Collect. Math. - 2006. - Vol.57, No.Extra Volume. - P. 233-253.

93. Heil Ch. An Introduction to Weighted Wiener Amalgams / Christopher Heil // Wavelets and their Applications (Chennai, January 2002), M. Krishna, R. Radha and S. Thangavelu, eds., Allied Publishers. - New Delhi, 2003. - P. 183-216.

94. Kurbatov V. G. Functional-Differential Operators and Equations. Mathematics and its Applications / V. G. Kurbatov // Kluwer Academic Publishers. Dordrecht. - Vol 173. - 1999.