Исследование экспоненциальной дихотомии линейных почти периодических систем прямым методом Ляпунова тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Бельгарт, Любовь Васильевна

• Бельгарт, Любовь Васильевна
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Бельгарт, Любовь Васильевна

Введение.

Глава 1. Предварительные сведения.

§ 1.1. Э-дихотомия решений системы х -с непрерывной ограниченной матрицей

§ 1.2. Э-дихотомия решений системы хплХ—Апх с ограниченной матрицей

§ 1.3. Почти периодические функции непрерывного и дискретного аргумента. Критерий компактности С. Бохнера

§ 1.4. Теорема М. Г. Крейна об операторном неравенстве в банаховом пространстве с конусом

Глава 2. Э-дихотомия решений системы х=А(/)х с почти периодической матрицей.

§ 2.1. Формулировка основного результата

§ 2.2. Подготовительные теоремы.

§ 2.3. Доказательство основного результата

§ 2.4. Пример. Э-дихотомия решений векторного почти периодического уравнения второго порядка.

Глава 3. Э-дихотомия решений системы хп^-Лпх с почти периодической матрицей.

§ 3.1. Формулировка основного результата

§ 3.2. Подготовительные теоремы

§ 3.3. Доказательство основного результата

§ 3.4. Пример

Глава 4. Э-дихотомия решений задачи Коши для одномерной линейной гиперболической почти периодической системы в гильбертовом пространстве

§ 4.1. Оператор сдвига вдоль характеристик гиперболической системы

§ 4.2. Две леммы

§ 4.3. Достаточное условие э-дихотомии для системы (4.1) с гладкими ограниченными коэффициентами

§ 4.4. Класс индефинитных функционалов Ляпунова

§ 4.5. Случай почти периодических по времени коэффициентов

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование экспоненциальной дихотомии линейных почти периодических систем прямым методом Ляпунова»

0.2)

1.В последние несколько десятилетий в теории устойчивости интенсивно изучается тип поведения динамических систем, получивший название экспоненциальная дихотомия. Говорят, что для системы x = A(t)x, х : R ^ Е - Сх, (0.1) с непрерывной матрицей А(/) и матрицей Коши U{t) имеет место свойство экспоненциальной дихотомии (')-дихотомии), если фаговое пространство распадается в прямую сумму

Е = Е{ + Е2 так, что

1°) при некоторых //, v>0 выполняются оценки х е =>\u(t)x\ < fie v('"r)\U(t)x\ (t > t), x g E2 n> |£/(/)jc| < // e~v{r ~t]\U(t)x\ (t < t),

2°) взаимный наклон (см. ri.l § 1.1) движущихся подпространств

Ek(t) = U(t)Ek отделен от нуля: Sn(E{(t), E2(t))> у > 0. Здесь и далее |-| - эрмитова норма в Л, так же обозначается согласованная с ней матричная норма.

Числа //, V, у называются параметрами дихотомии.

В частном случае \A{i)\< const требование 2° следует из 1°.

Основным приёмом при изучении систем (0.1) со свойством э-дихотомии является матрица Грина, определяемая формулой

0.3) г {иг).

U(t)ï\U\r) (t>r\ -U(t)P2V\r) {t<r\ где Pk - проекторы, реализующие разложение (0.2):

0.4)

Ек=РкЕ (к -1,2). (0.5)

Имеет место при некотором ¡и > 0 оценка

Г(/,г)|<//£Г,/|'"г|. (0.6)

Для систем с ограниченной матрицей свойство э-дихотомии равносильно свойству регулярности, означающему существование ограниченного обратного к оператору = ~А{г) (0.7) в банаховом пространстве Св непрерывных ограниченных функций К —> Е с нормой ||/|| = 5ир|/(. Имеет место формула обращения сс

7 = \Г(1,т)/(т)с1т (/еСд). (0.8)

-X

Имеет место (получен А.Д. Майзелем [70]) критерий э-дихотомии в терминах эрмитовых форм х^)=(^(/)х,х}. (0.9)

ТЕОРЕМА 1.1. Для э-дихотомичности системы (0.1) с непрерывной ограниченной матрицей А(/) необходимо и достаточно существование индефинитной эрмитовой ограниченной гладкой мат-риг^ы с отделённым от нуля (\t\-F такой, что производная ф,/) = (С(/)х,х), <7 = Р + РА + А*Р, (0.10) формы (0.9) вдоль траекторий системы (0.1) равномерно отрицательна: при некотором т > 0

С(/)< -т1 (геК). (0.11)

Здесь и далее /- единичная матрица, (,) - стандартное скалярное произведение вСЛ.

2. Аналогично определяется свойство э-дихотомии для разностных систем х1п]=Лпх„, хп:2->Е, (0.12) с отличным от нуля с!с заменой в (0.3) матрицы Коши и моментов времени г их дискретными аналогами 1/п,п,т (см. § 1.2). В этом случае матрица Грина определяется формулой и„ Р, и,: (п > т), -и„Р2и,„1 {п<т\ где Рк - проекторы (0.5). Имеют место оценка, аналогичная (0.6), и формула обращения Г сс

1 и ~ X Л/./// .1 т \1ц и ¿—I п.ш ./ ш т -г где Св - банахово пространство ограниченных функций Z —> Е с нормой \/п\-5ир|/„|, £ хп - х/и! - Ап хп, и разностный аналог критерия э-дихогомии в терминах эрмитовой формы и(х,п) = (Епх,х). (0.13)

ТЕОРЕМА 1.2. Для э-дихотомичности системы (0.12) с ограниченной матрицей Ап необходимо и достаточно существование индефинитной эрмитовой ограниченной матрицы Еп с отличным с!е1 Е такой, что разностная производная (см. § 1.2)

6{х, п) = (С7„ X,х), о; = А*пЕпЛ ,Ап-Еп, (0.14) формы (0.13) вдоль траекторий системы (0.12) равномерно отриот нуля цательна: при некотором т > 0 —т1 (п е г1).

0.15)

3. Первые результаты по этой проблематике были получены в начале прошлого века в работах Ж.Адамара [109], II.Боля [34], О.Перрона [116], Та Ли [113], где изучались нелинейные возмущения систем (0.1) со свойством регулярности (метод Перрона-Адамара). Эквивалентность свойств регулярности и э-дихотомии для систем с ограниченной матрицей была доказана позднее А.Д. Майзелем [70].

Систематическое изучение систем со свойством э-дихотомии было впервые предпринято в конце 50-х - начале 60-х годов прошлого века в фундаментальных исследованиях X. Масссра и X. Шеффера, изложенных в их книге [71]. При этом в [71] рассматривается существенно более общий случай, когда фазовое пространство Е в (0.1) - произвольное комплексное банаховое пространство и значения коэффициента - линейные ограниченные операторы Е Е.

Круг идей, методов и результатов книги [71] был существенно углублён и расширен в вышедших в 1970 году книгах Ф. Хартмана [101], Ю.Л. Далецкого и М.Г. Крейна [43], М.А. Красносельского, В.Ш. Бурда и Ю.С. Колесова [62].

В [101] построения из [71] перенесены на уравнения высших порядков.

В [43] изучение э-дихотомии для уравнения (0.1) в банаховом пространстве проводится на основе развитого ранее II. Болем |104| и М.Г. Крейном [63] аппарата генеральных показателей. В построениях существенно используется геометрический метод, связанный с применением операторов поворота подпространств [44, 45, 111]. В конечномерном случае приложения этого метода к э-дихотомии были ранее получены В. Коппелем [106-108].

В [62] регулярные системы (0.1) с почти периодической матрицей A(t) и их нелинейные возмущения изучаются методом теории конусов [64J.

4. Укажем основные направления, по которым развивались исследования [43, 62, 71, 101 | в последующем.

4.1. В работах Д.В. Аносова [6-8] э-дихотомия нашла приложения к объяснению механизма возникновения турбулентности. Рассматривается гладкая компактная динамическая система со следующим свойством (даётся нестрогое определение): линеаризация на каждой траектории приводит к системе (0.1) со свойством э-ди-хотомии. Показано, что, несмотря на вытекающую из определения неустойчивость индивидуальных траекторий, система в целом "физически реализуема": является грубой по A.A. Андронову, JI.C. Понтрягину [5]. Сходство поведения системы Аносова с поведением турбулентной струи: сочетание неустойчивости индивидуальных траекторий с устойчивостью системы в целом и свойство перемешивания (доказано в [9]) - привело к гипотезе: при переходе числа Рейнольдса через критическое значение в фазовом пространстве системы Новье-Стокса рождается конечномерное притягивающее множество ("странный аттрактор"), являющееся системой Аносова или системой с близкими свойствами [10, 11, 92, 114]. Эксперименты с вычислением предельных режимов галёркинских приближений системы Новье-Стокса [36, 69,92) согласуются с этой гипотезой.

4.2. В книге H.H. Розснвассера [80] получено приложение э-ди-хотомии к изучению линейных нестационарных систем управления

L х - fit) (/eR), (0.16) где L - оператор (0.7), основанное на предложенном обобщении понятия "установившейся режим": гак называются в книге ограниченные на всей оси решения системы (0.16). В случае экспоненциально устоичивои системы с постоянной матрицей это определение согласуется с принятым. Рассматривается ситуация, когда система (0.16) - вообще говоря, неустойчивый регулярный элемент более широкой системы управления (неустойчивость гасится остальной цепью). В этой ситуации формула обращения (0.8) превращается в правило прохождения установившегося сигнала через объект (0.16) этого класса. В [80] получен ряд приложений аппарата матриц Грина к решению задач управления, новых и для экспоненциально устойчивых систем (в этом случае в (0.4) Г — 0 при /<г).

4.3. Вышедший в 70-е и 80-е годы большой цикл работ В.В. Жи-кова, В.В. Жикова и В.М. Тюрина, Э. Мухамадиева, X. Абдуваито-ва, И.Т. Кигурадзе, В.Г. Курбатова, В.Н. Слесарчука и других авторов посвящен проблеме регулярности - выяснению условий обратимости для различных классов дифференциальных и функцио-нально-диффернциальных операторов [1, 2, 52-54, 57, 67, 75-77, 93-96]. В частности, в работе В.В. Жикова [54] найдены условия обратимости для подкласса операторов (0.7) в банаховом пространстве с неограниченным почти периодическим коэффициентом А(/), доказана эквивалентность свойства регулярности и э-дихогомии в этом классе, получено приложение к обоснованию глобального (на всей оси) принципа усреднения для параболических уравнений с быстро осциллирующими коэффициентами. В работе Э. Мухамадиева [75] найдены условия обратимости оператора (0.7) с почти периодической матрицей Ав терминах поведения решений присоединённых однородных систем, получено приложение к теории Фавара [55].

4.4. В работах Р.К. Романовского [81-84] (см. также книгу [85]) исследован аналог свойства э-дихотомии для гиперболических систем с двумя независимыми переменными id д ^ Lu = — + A(s,t) — + B(s,t)\u = 0, w:R2->£ = CA, (0.17)

V Э/1 ds )

A = diag(a]I]anln), a, > . > an, ak > const > 0,

-единичная матрица порядка Nk, Y, = N, (0.18)

A eC1, В eC, A, A's, A't, В ограничены, получивший название "экспоненциальная расщепляемость" (э-расщепляемость). В качестве определения принят тип поведения фундаментальной матрицы системы (0.17), наблюдаемый "в эксперименте" в случае постоянных коэффициентов при выполнении некоторого спектрального условия: распад сингулярной и регулярной компонент фундаментальной матрицы в суммы слагаемых, экспоненциально убывающих в соответствующих зонах. Изучение ведётся с помощью составленных из "продуктов распада" матриц двух типов, получивших название матриц Грина 1-го и 2-го рода и представляющих собой в совокупности аналог матрицы Грина системы (0.1) со свойством э-дихотомии. Доказаны грубость свойства э-рас-щепляемости, эквивалентность свойств э-расщепляемости и регулярности, формула обращения для регулярного оператора (0.17), описаны ограниченные в различных областях D a R решения неоднородной систем!,i Lu = / , / еСи(Р). В построениях обе независимые переменные равноправны. Показано, что свойство э-расщепляемости влечёт э-дихотомию в С- норме решений задачи Коши для системы (0.17) с данными на любой гладкой кривой, нигде не касающейся характеристик (вычислено соответствующее разложение единицы). Получены приложения к подклассу задач теории управления, к проблеме глобального усреднения для гиперболических уравнений [86, 87]; усреднение ведётся но обеим независимым переменным.

В работе [88] исследована детальная структура оператора моно-дромии гиперболической системы (0.17) с периодическими по времени коэффициентами. В пространственно-однородном случае вычислена резольвента оператора монодромии, описан его спектр как объединение спектров семейства матриц, получен в этих терминах критерий э-дихотомии в С- норме решений задачи Коши с данными на прямой ¿ = 0.

4.5. В последние 20 лет интенсивно развивается теория э-дихотомии для уравнения (0.1) с неограниченным оператором при этом широко используются методы теории полугрупп. Важные результаты в этом направлении получены в цикле работ Л.Г. Баскакова и его учеников. В работах [12-15], см. также ссылки в обзоре [14], получен ряд новых результатов по проблеме обратимости в различных функциональных пространствах оператора (0.7) с замкнутым Л(/) и связи обратимости с э-дихотомией с использованием свойств введённой в [12] полугруппы разностных операторов и, более общо, полугруппы разностных отношений [14]. В работе [16] из этого цикла принадлежащий М.Г. Крейну [43] критерий э-дихотомии уравнения х—Ах с ограниченным оператором А в гильбертовом пространстве Н в терминах разрешимости уравнения Ляпунова

А*Х + Х А = С«0 распространен на существенно более общую ситуацию, когда А-генератор сильно непрерывной группы операторов Т& / (//) и, более общо, - генератор некоторых классов сильно непрерывных полугрупп операторов. В работах Р. Нагеля и Л. Ранди, Ю.Д. Ла-тушкина и С. Монтгомери | 1 12, 115] распространён метод функций Ляпунова па широкий класс уравнений (0.1) с неограниченным А{V). При этом важную роль играет ассоциированная с уравнением

0.1) полугруппа операторов взвешенного сдвига, введённая ранее в работе Дж. Хоуленда [110] (см. также [13]), использование которой позволяет свести анализ асимптотического поведения - устойчивости, дихотомии - решений неавтономного уравнения (0.1) к такой же задаче для автономного уравнения у —Г у, где Г- генератор полугруппы. Обзор результатов по указанной в этом пункте проблематике содержится в книге К. Чиконе и Ю.Д. Латушкина [ 1 05] и в статье А.Г. Баскакова [14].

4.6. Работы С.К. Годунова и А.Я. Булгакова [35, 39-41], смотри также книгу [42], посвящены разработке эффективно проверяемых критериев э-дихотомии, методов оценки параметров э-дихотомии и алгоритмов их численной реализации для систем (0.1) с постоянной матрицей с фазовым пространством большой размерности, возникающих при конечномерной аппроксимации бесконечномерных систем. В [41] получено приложение к анализу асимптотического поведения решений краевых задач для симметрических гиперболических систем с постоянными коэффициентами. В работе Г.В Де-миденко и Ю.Ю Клевцовой [46] получен критерий э-дихотомии для системы (0.1) с периодическими коэффициентами, основанный на анализе уравнения Ляпунова для матрицы эрмитовой формы (0.10).

5. Одна из проблем теории устойчивости - разработка эффективных методов анализа поведения при большом времени динамических систем, параметры которых почти периодически зависят от времени. Во второй половине прошлого века получен ряд результатов по этой проблематике в рамках метода малого параметра - работы И.З. Шгокало, II.II. Еругина, В.Н. Фомина, II.II. Боголюбова и Ю.А. Митропольского, В.Ш. Бурда, Ю.С. Колесова и других авторов [33, 37, 51, 56, 60-62, 65, 74, 99, 102, 103|. Вместе с тем в ряде случаев возникающие в приложениях задачи расчёта динамических систем на устойчивость и дихотомию не вкладываются в схему этого метода.

Некоторое продвижение произошло в последние 20 лет. В цикле работ [34, 48-50, 58, 59, 78, 79, 89, 90, 97, 98] группы сотрудников и аспирантов ОмГТУ получены прямым методом Ляпунова признаки экспоненциальной устогтивости для различных классов почти периодических уравнений - дифференциальных, разностных, функционально-дифференциальных - с существенно ослабленным по сравнению с общим случаем условием на производную функции Ляпунова вдоль траекторий системы. Б [72, 73, 91] этим методом получены признаки экспоненциальной устойчивости решений задачи Коши и смешанной задачи для гиперболической системы (0.17) с периодическими и почти периодическими по времени коэффициентами с ослабленным по сравнению с рассмотренным ранее в [381 общим случаем условием на производную функционала Ляпунова вдоль траекторий системы.

Представляет теоретический и практический интерес получение аналогов этих результатов для исследования более сложного типа поведения решений - экспоненциальной дихотомии. Диссертационная работа посвящена этой проблематике.

Цель работы: разработка варианта прямого метода Ляпунова с ослабленным условием на производную функции (функционала) Ляпунова вдоль траекторий системы для трёх классов линейных систем с почти периодическими коэффициентами:

- линейных дифференциальных систем;

- линейных разностных систем;

- линейных гиперболических систем с двумя независимыми переменными.

Из сказанного выше вытекает актуальность темы диссертации.

Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения и списка литературы.

Заключение диссертации по теме «Дифференциальные уравнения», Бельгарт, Любовь Васильевна

Закл ючение

В диссертации получены следующие основные результаты.

1. Разработан вариант прямого метода Ляпунова для исследования экспоненциальной дихотомии решений системы обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с почти периодическими коэффициентами. Получен критерий экспоненциальной дихотомии с ослабленным условием на производную функции Ляпунова вдоль траекторий системы.

2. Получен аналог этого результата для системы обыкновенных линейных разностных уравнений с почти периодическими коэффициентами.

3. Разработан вариант прямого метода Ляпунова для исследования экспоненциальной дихотомии решений задачи Коши для гиперболической системы с двумя независимыми переменными с гладкими ограниченными коэффициентами. Получен достаточный признак экспоненциальной дихотомии в 1/2-норме.

4. В частном случае почти периодических по времени коэффициентов получен достаточный признак экспоненциальной дихотомии с ослабленным условием на производную функционала Ляпунова вдоль траекторий системы.

5. Развит подход к построению класса индефинитных функционалов Ляпунова, отвечающих за свойство экспоненциальной дихотомии.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Бельгарт, Любовь Васильевна, 2011 год

1. Абдуваитов, X. Об условиях обратимости дифференциального оператора второго порядка / X. Абдуваитов, Э.М. Мухамадиев // Дифференц. уравнения. - 1977. - Т. 1 3, № 1 2. - С. 21 1 5-21 23.

2. Абдуваитов, X. Об ограниченной обратимости одного дифференциального оператора второго порядка / X. Абдуваитов // Успехи матем. наук. 1986. - Т. 41, вып. 2(248). - С. 181-182.

3. Алексенко, Н.В. Устойчивость решений почти периодических систем функционально-дифференциальных уравнений запаздывающего типа / Н.В. Алексенко // Изв. вузов. Матем. 2000. -№. 2.- С. 3-6.

4. Алексенко, Н.В. Метод функционалов Ляпунова для линейных дифференциально-разностных систем с почти периодическими коэффициентами / Н.В. Алексенко, Р. К. Романовский // Дифе-ренц. уравнения. 2001. - Т. 37, № 2. - С. 147-153.

5. Андронов, A.A. Грубые системы / A.A. Андронов, Л.С. Понтря-гин // Докл. АН СССР. 1937. - Т. 14, № 5. С. 247-250.

6. Аносов, Д.В. Грубость геодезических потоков на компактных римановых многообразиях отрицательной кривизны / Д.В. Аносов // Докл. АН СССР. 1962. - Т. 145, № 4. - С. 707-709.

7. Аносов, Д.В. Эргодические свойства геодезических потоков на замкнутых многообразиях отрицательной кривизны / Д.В. Аносов // Докл. АН СССР. 1963. - Т. 151, № 6. - 1250-1252.

8. Аносов, Д.В. Геодезические потоки на замкнутых римановых многообразиях отрицательной кривизны / Д.В. Аносов. М.: Труды МИ АН СССР им. В.А. Стеклова,- 1967. Т. 90. - 210с.

9. Аносов Д.В. Некоторые гладкие динамические системы / Д.В. Аносов, Я.Г. Синай // Успехи матем. наук. 1967. - Т. 22, № 5137.. С. 107-172.

10. Аносов, Д.В. Вступительная статья. В кн.: Гладкие динамические системы / Д.В. Аносов. М.: Мир.- 1977. С. 7-31.

11. Арнольд, В.И. Теория катастроф / В.И. Арнольд. М.: Изд-во МГУ, 1983. 80 с.

12. Баскаков, А.Г. Полугруппы разностных операторов в спектральном анализе линейных дифференциальных операторов / А.Г. Баскаков // Функц. Анализ и его приложения. 1996. - Т. 30, вып. 3. - С. 1-1 1.

13. Баскаков, А.Г. Спектральный анализ оператора взвешенного сдвига с неограниченными операторными коэффициентами / А.Г. Баскаков, А.П. Пастухов // Сиб. матем. журн. 2001. - Т. 42, № 6. - С. 1231-1243.

14. Баскаков, А.Г. Спектральный анализ дифференциальных операторов с неограниченными операторными коэффициентами, разностные отношения и полугруппы разностных отношений / А.Г. Баскаков // Изв. РАН. Сер. матем. 2009. - Т. 73, вып. 2. - С.3-68.

15. Баскаков, А.Г. Разностные операторы в исследовании дифференциальных операторов; оценки решений / А.Г. Баскаков, Ю.Н. Синтяев // Дифференц. уравнения. 2010. - Т. 46, № 2. -С. 210-219.

16. Баскаков, А.Г. Гиперболические полугруппы операторов и уравнение Ляпунова / А.Г. Баскаков, A.A. Воробьёв, М.Ю. Романова // Матем. заметки. 201 1. - Т. 89, № 2. - С. 190-203.

17. Бельгарт, Л.В. Об экспоненциальной дихотомии линейных систем с почти периодической матрицей / Л.В. Бельгарт, Р.К. Романовский // Материалы VI МН-ТК «Динамика систем, механизмов и машин», посвященной 65-летию ОмГТУ. Омск. 2007. - Книга 3. - С. 74-80.

18. Бельгарт, Л.В. Об экспоненциальной дихотомии линейных разностных систем с почти периодической матрицей / Л.В. Бельгарт, Р.К. Романовский // Матем. заметки. 2008. - Т. 84, № 4. - С. 638-640.

19. Бельгарт, Л.В. Прямой метод Ляпунова для линейных разностных систем с почти периодической матрицей / Л.В. Бельгарт,

20. P.K. Романовский // Материалы VI МН-ПК «Повышение конкурентоспособности российской экономики в современных условиях: управленческие, финансовые, коммерческие аспекты» Омский институт (филиал) РГТЭУ 20 ноября 2008г. Омск. 2008. -С. 215-220.

21. Бельгарт, Л.В. Об экспоненциальной дихотомии линейных систем с почти периодической матрицей / J1.B. Бельгарт, Р.К. Романовский // Сиб. мат. журн,- 2009.- Т. 50, № 1.- С. 190-198.

22. Бельгарт, Л.В. Исследование экспоненциальной дихотомии решений задачи Коши для гиперболической системы на плоскости прямым методом Ляпунова / Л.В. Бельгарт, Р.К. Романовский // Деп. в ВИНИТИ 16.04.2009, № 223-В2009, ОмГТУ, 2009, 12 с.

23. Бельгарт, Л.В. Прямой метод Ляпунова для линейных разностных систем с почти периодической матрицей / Л.В. Бельгарт, Р.К. Романовский // Материалы VII МНН-ТК «Динамика систем, механизмов и машин», 10-12 ноября 2009. Книга 3. Омск.- 2009. С. 115-118.

24. Бельгарт, Л.В. Дихотомия решений задачи Коши для гиперболической системы на плоскости / Л.В. Бельгарт, Р.К. Романовский // Материалы VII МНН-ТК «Динамика систем, механизмов и машин», 10-12 ноября 2009. Книга 3. Омск. 2009. -С. 118-122.

25. Бельгарт, Л.В. Об экспоненциальной дихотомии решенийзадачи Коши для гиперболической системы на плоскости / J1.B. Бельгарт, Р.К. Романовский // Дифференц. уравнения. 2010. -Т. 46, № 8. С.1125-1134.

26. Бельгарт, Л.В. Об экспоненциальной дихотомии решений систем линейных разностных уравнений с почти периодическими коэффициентами / JÍ.B. Бельгарт, Р.К.Романовский // Изв. Вузов. Математика. 2010. - № 10. - С. 51-59.

27. Бельгарт, Л.В. Дихотомия решений задачи Коши для почти периодической гиперболической системы на плоскости / JI.B. Бельгарт, Р.К.Романовский // Доклады АН BLII РФ 2010. - № 2 (15). С. 14-24.

28. Бельгарт Л.В. Об одном классе индефинитных функционалов Ляпунова / Л.В. Бельгарт // Омский науч. Вестник. Серия Приборы, машины и технологии. 2010. №3 (93). С. 1 1-13.

29. Боголюбов, H.H. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний / H.H. Боголюбов, Ю.А. Митропольский. М.: Наука, 1974. - 504 с.

30. Боль, П. О некоторых дифференциальных уравнениях общего характера, применяемых в механике / П. Боль. Юрьев. 1900.

31. Булгаков, А.Я. Обоснование гарантированной точности выделения инвариантных подпространств несамосопряженных матриц / А.Я. Булгаков // Тр. ИМ СО АН СССР. 1989. - Т. 15. -С.12-92.

32. Бунимович, Л.А. Стохастичность аттрактора в модели Лоренца. / Л.А. Бунимович, Я.Г. Синай. В кн.: Нелинейные волны. М.: Наука. - 1979. - С. 212-226.

33. Бурд, В.Ш. Бифракция почти периодических колебаний дифференциальных уравнений с последействием нейтрального типа, с быстрым и медленным временем / В.Ш. Бурд // Исслед. по устойчивости и теории колебаний: Сб. науч. тр.-Ярославль,1976. С. 143-153.

34. Воробьёва, Е.В. Об устойчивости решений задачи Коши для гиперболических систем с двумя независимыми переменными / Е.В. Воробьёва, Р.К. Романовский // Сиб. матем. журн. 1998.- Т. 39, № 6. С. 1290-1292.

35. Годунов, С.К. Задача о дихотомии спектра матрицы / С.К. Годунов // Сиб. матем. журн. 1986. - Т. 27, № 5. - С. 24-37.

36. Годунов, С.К. Дихотомия спектра и критерий устойчивости для секториальных операторов / С.К. Годунов // Сиб. матем. журн.- 1995. Т. 36, № 6. - С. 1 328-1335.

37. Годунов, С.К. Метод расчета инвариантных подпространств для симметрических гиперболических уравнений // С.К. Годунов, В.Т. Жуков, О.В. Феодоритова // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2006. - Т. 46, №6. - С. 1019-1031.

38. Годунов, С.К. Современные аспекты линейной алгебры / С.К. Годунов. Новосибирск: Науч. книга, 1997. - 390 с.

39. Далецкий, Ю.Л. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве / Ю.Л. Далецкий, М.Г. Крейн. М.: Наука, 1970. 534 с.

40. Далецкий, Ю.Л. Деякш властивост1 оператор1в, що залежать в1д параметра / Ю.Л. Далецкий, С.Г. Крейн // ДАН УРСР. -1950. Т. 6. - С. 433-436.

41. Далецкий, Ю.Л. О непрерывном вращении подпространств в банаховом пространстве / Ю.Л. Далецкий // Успехи матем. наук. 1957. - Т. 12, вып. 3(75). - С. 147-154.

42. Демиденко, Г.В. Экспоненциальная дихотомия линейных систем дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами / Г.В. Демиденко, Ю.Ю. Клевцова // Вестник НГУ. Серия: матем., механика, информ.- 2008. Т. 8, № 4. С. 40-48.

43. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости / Б.П. Демидович. М.: Наука, 1967. - 472 с.

44. Доброволький, С.М. Об устойчивости решений линейных систем с почти периодической матрицей / С.М. Добровольский, A.C. Котюргина, Р.К. Романовский // Матем. заметки. 1992. - Т. 52, вып. 6. - С. 10-14.

45. Добровольский, С.М. Метод функций Ляпунова для почти периодических систем / С.М. Добровольский, Р.К. Романовский // Матем. заметки. 1997. - Т. 62, вып. 1. - С. 151-153.

46. Добровольский, С. М. Прямой метод Ляпунова для почти периодической разностной системы на компакте / С.М. Добровольский, A.B. Рогозин // Сиб. матем. журн. 2005. - Т. 46, № 1. - С. 98-105.

47. Еругин, Н.П. Линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений с периодическими и квазипериодическими коэффициентами / Н.П. Еругин. Минск: Изд-во АН БССР, 1963. - 273 с.

48. Жиков, В.В. Принцип усреднения на всей оси для параболических уравнений с переменным главным членом / В.В. Жиков // Докл. АН СССР,- 1973.- Т. 208, № 1.- С. 32- 35.

49. Жиков В.В. Некоторые вопросы допустимости и дихотомии. Принцип усреднения / В.В. Жиков // Изв. АН СССР. Серия матем. 1976. - Т. 40, вып. 6. - С. 1380- 1408.

50. Жиков, В.В. Об обратимости оператора A(t) в пространствеограниченных функций / В.В. Жиков, В.М. Тюрин // Матем. заметки. 1976. - Т. 19, вып. 1. С. 99-104.

51. Жиков, В.В. Теория Фавара / В.В. Жиков, Б.М. Левитан // Успехи матем. наук. 1977. - Т. 32, № 2(194). - С. 123-171.

52. Игнатьев, A.C. Об устойчивости почти периодических систем относительно части переменных / A.C. Игнатьев // Дифференц. уравнения. 1989. - Т. 25, № 8. - С. 1446-1448.

53. Кигурадзе, И.Т. Об ограниченных и периодических решениях линейных дифференциальных уравнений высших порядков / И.Т. Кигурадзе // Матем. заметки. 1985. Т. 37, вып. 1. - С. 48-62.

54. Кириченова, О.В. Метод функций Ляпунова для систем линейных разностных уравнений с почти периодическими коэффициентами / О.В. Кириченова, A.C. Котюргина, Р.К. Романовский // Сиб. матем. журн. 1 996. - Т. 37, № 1. - С. 1 70-1 74.

55. Кириченова О.В. Об устойчивости решений нелинейных почти периодических систем разностных уравнений / О.В. Кириченова // Сиб. мат. журн. 1 998. - Т. 39, № 1. - С. 45-48

56. Колесов, Ю.С. Необходимые и достаточные условия экспоненциальной дихотомии решений линейных почти периодических уравнений с последействием / Ю.С. Колесов // Вестн. Яросл. ун-та. 1973. - № 5. - С. 28-62.

57. Колесов, Ю.С. Обзор результатов по теории устойчивости решений дифференциально-разностных уравнений с почти периодическими коэффициентами / Ю.С. Колесов // Исслед. по устойчивости и теории колебаний: Сб. науч. тр. Ярославль, 1977. - С. 82-141.

58. Красносельский, М.А. Нелинейные почти периодические колебания. / М.А. Красносельский, B.III. Бурд, Ю.С. Колесов. -М.: Наука, 1970. -352 с.

59. Крейн, М.Г. Лекции по теории устойчивости решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве (отредактированные и дополненные Ю.Л. Далецким) / М.Г. Крейн. Киев: Изд-во ИМ АН УССР, 1964. 186.

60. Крейн, М.Г. Линейные операторы, оставляющие инвариантным конус в пространстве Банаха / М.Г. Крейн, М.А. Рутман // Успехи матем. наук. 1948. - Т. 3, вып.1(23). - С. 3-95.

61. Кубышкин, Е.П. Параметрический резонанс в системах с последействием при почти периодическом возмущении / Е.П. Кубышкин // Исслед. по устойчивости и теории колебаний: Сб. науч. тр. Ярославль, 1978.-С. 110-117.

62. Кулик, В.Л. Квадратичные формы и дихотомия решений системы дифференциальных уравнений / B.JI. Кулик // Укр. ма-тем. журн. 1982. - Т. 34, № 1. - С. 43-49.

63. Курбатов, В.Г. Об ограниченных решениях дифференциально-разностных уравнений / В.Г. Курбатов // Сиб. матем. журнал. -1986. Т. 27,№ 1. С. 86-99.

64. Левитан, Б.М. Почти периодические функции и дифференциальные уравнения / Б.М. Левитан, В.В. Жиков. М.: Изд-во МГУ, 1978. - 205 с.

65. Лоренц, Э.М. Детерминированное непериодическое движение / Э.М. Лоренц. В кн.: Странные аттракторы. М.: Мир. 1981. -С. 88-116.

66. Майзелъ, А.Д. Об устойчивости решений систем дифференциальных уравнений / А.Д. Майзель // Тр. Ур. Пи. Сер. мат. 1954. №51. С. 20-50.

67. Массера, Х.Л. Линейные дифференциальные уравнения и функциональные пространства / Х.Л. Массера, Х.Х. Шеффер. М.: Мир, 1970.-458 с.

68. Мендзив, М.В. Прямой метод Ляпунова для гиперболических систем на плоскости с периодическими rio времени коэффициентами / М.В. Мендзив, Р.К. Романовский // Дифференц. уравнения. 2008. - Т. 44, № 2. - С. 257-262.

69. Мендзив, М. В. Прямой метод Ляпунова для гиперболических систем с почти периодическими по времени коэффициентами / М.В. Мендзив // Омский научный вестник. 2006. - № 3 (36). - С. 75-78.

70. Митрополъский, 10.А. Системы эволюционных уравнений с периодическими и условно периодическими коэффициентами / Ю.А. Митрополъский, A.M. Самойленко, Д.И. Мартынюк. -Киев: Наукова думка, 1984. 213 с.

71. Мухамадиев, Э.М. Об обратимости дифференциальных операторов в пространстве непрерывных и ограниченных на оси функций / Э.М. Мухамадиев // Докл. АН СССР. 1971. - Т. 196, № 1. - С. 47-49.

72. Мухамадиев, Э.М. Об обратимости функциональных операторов в пространстве ограниченных на оси функций / Э.М. Мухамадиев // Матем. заметки.- 1972,- Т. 1 1, вып. 3.- С. 269-274.

73. Мухамадиев, Э.М. Исследования по теории периодических и ограниченных решений дифференциальных уравнений / Э.М. Мухамадиев // Матем. заметки. 1981. - Т. 30, вып. 3. - С. 443-460.

74. Рогозин, A.B. Прямой метод Ляпунова для почти периодических систем в банаховом пространстве / A.B. Рогозин, Р.К. Романовский // Доклады АН ВШ РФ. 2005. - №2(5). - С. 65-72.

75. Рогозин, A.B. Об устойчивости решений линейного дифференциального уравнения в гильбертовом пространстве с почти периодическим оператором / A.B. Рогозин // Доклады АН ВШ РФ. 2006. - №1(6). - С. 24-32.

76. Розенвассер, E.H. Показатели Ляпунова в теории линейных систем управления / E.H. Розенвассер. М.: Наука, 1977. 344с.

77. Романовский, Р.К. Об экспоненциальной дихотомии решений уравнений гиперболического типа / Р.К. Романовский // Успехи матем.наук. 1976. - Т. 31, № 1(187). - С. 259-260.

78. Романовский, Р.К. О матрицах Римана первого и второго рода / Р.К. Романовский // ДАН СССР. 1982. - Т. 267, № 3. - С. 577-580.

79. Романовский, P.K. О матрицах Римана первого и второго рода / Р.К. Романовский // Матем. сб. 1985. - Т. 127(169), № 4(8). - С.494-501.

80. Романовский, Р.К. Экспоненциально расщепляемые гиперболические системы с двумя независимыми переменными / Р.К. Романовский // Матем. сб. 1987. - Т. 133(175), № 3(7). С. 341-355.

81. Романовский, Р.К. Метод Римана для гиперболических систем. / Р.К. Романовский, Е.В. Воробьева, E.H. Страгилатова. Новосибирск: Наука, 2007. - 170 с.

82. Романовский, Р.К. Прохождение случайных процессов через регулярные распределенные системы. В кн. Стохастические процессы и информационные системы / Р.К. Романовский // Новосибирск: Изд-во ВЦ СО АН СССР. - 1987. - С. 1 18-127.

83. Романовский, Р.К. Усреднение гиперболических уравнений / Р.К. Романовский // Докл. АН СССР. 1989. - Т. 306, № 2. -С. 286-289.

84. Романовский, Р.К. Об операторе монодромии гиперболической системы с периодическими коэффициентами. В кн. Методы функционального анализа в задачах математической физики / Р.К. Романовский // Киев: Изд-во ИМ АН УССР. - 1987. - С. 47-52.

85. Романовский, Р.К. Прямой метод Ляпунова для уравнений с почти периодическими коэффициентами / Р.К. Романовский, Н.В. Алексенко, С.М. Добровольский, О.В. Кириченова. -Омск: Изд-во ОмГТУ, 2001. 80 с.

86. Романовский, Р.К. Метод функционалов Ляпунова для линейных дифференциально-разностных систем нейтрального типа с почти периодическими коэффициентами / Р.К. Романовский,

87. Г.А. Троценко // Сиб. матем. журн. 2003 - Т. 44, № 2. - С. 444-453.

88. Романовский, Р.К. Устойчивость решений задачи Коши для гиперболической системы на плоскости с периодическими по времени коэффициентами / Р.К. Романовский, М.В. Мендзив // Сиб. матем. журн. 2007. - Т. 48, № 5. - С. 1134-1 141.

89. Рюэль, Д. О природе турбулентности. В кн.: Странные аттракторы / Д. Рюэль, Ф. Такенс. М.: Мир. - 1981. - С. 1 17-151.

90. Слюсарчук, В.Е. Обратимость функционально дифференциальных операторов / В.Е. Слюсарчук // Докл. АН УССР. Сер. А. - 1980. - № 9. - С. 29-32.

91. Слюсарчук, В.Е. Обратимость почти периодических с-непрерывных функциональных операторов / В.Е. Слюсарчук // Матем. сб. 1981. - Т. 1 16(158), №4(12) - С. 483-501.

92. Слюсарчук, В.Е. Обратимость неавтономных дифференциально-функциональных операторов / В.Е. Слюсарчук // Матем. сб. 1986. - Т. 130(172), № 1(5). - С. 86-104.

93. Стругова, Т.М. Об устойчивости линейных стахостических разностных систем с почти периодическими коэффициентами / Т.М. Стругова // Матем. заметки. 2005. - Т. 78, № 3. - С. 472-475.

94. Троценко Г.А. Об устойчивости решений почти периодической системы функционально-дифференциальных уравнений нейтрального типа / Г.А. Троценко // Изв. вузов. Матем. 2003.6. С. 77-81.

95. Фомин, В.И. Математическая теория параметрического резонанса в линейных распределенных системах / В.И. Фомин. -Ленинград: Изд-во ЛГУ, 1972. 237 с.

96. Халанай, А. Качественная теория импульсных систем / А. Ха-ланай, Д. Векслер . М.: Мир, 1 971. -309 с.

97. Хартман, Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения / Ф. Хартман. М.: Мир. 1970. - 720 с.

98. Чаплыгин, В.Ф. Экспоненциальная дихотомия решений линейных периодических уравнений с последействием с медленным временем / В.Ф. Чаплыгин // Исслед. по устойчивости и теории колебаний: Сб. науч. Тр. Ярославль, 1975.

99. Штокало И.З. Критерий устойчивости и неустойчивости решений линейных уравнений с квазипериодическими коэффициентами // И.З. Штокало // Матем. сб. -1946. Т. 19(61), №> 2.- С. 263-268.

100. Bohl, P. Uber Differentialungleichungen / P. Bohl // J. f. Reine und Agew. Math. 1913. - V. 144. - P. 284-318.

101. Chicone, C. Evolution semigroups in dynamical systems and differential equations / C. Chicone, Y. Latuskin. Math. Surv. Monogr. - V. 70. - AMS. - Providence. - 1999. - 361 p.

102. Coppel, W.A. Stability and asymptotic behaviour of differential equations / W.A. Coppel // Boston. DC Heath., 1965. 176 p.

103. Coppel, W.A. Almost periodic properties of ordinary differential equations / W.A. Coppel // Ann. Math. Рига Appl. 1967. - 4(76)- P. 27-50.

104. Coppel, W.A. Dichotomies and reducibility / W.A. Coppel // J. Diff. Equations. 1967. - V. 3. - P. 500-521.

105. Hadamard J. Sur l'iteration et les solutions asymptotiques des equations differentialles / J. Hadamard. Bull. Soc. Math. - 1901.- V. 29. P. 224-228.

106. Howland, J.S. Stationary scattering theory for time-dependent Hamiltonians / James S. Howland // Math. Ann. 1974. - V. 207.- P. 315-335.

107. Kato T. On the perturbation theory of closed linear operators / T. Kato It J. Math. Soc. Japan. 1952. - V. 4, № 3-4. P. 323-337.

108. Latushkin, Y. Evolutionary semigroups und Lyapunov theorems in Banach space / Y. Latushkin, S. Montgomery-Smith // J.Funct. Anal. 1995. - V. 127. - P. 173-197.1 13. Li Ta. Die Stabilitatsfrage bei Differenzengleichungen. / Ta Li. //

109. Perron, O. Die Stabilitatsfrage bei Differenzengleichungen. / O. Perron // Math. Z. 1930.-V. 32, №5.-P. 703-728.