Моделирование динамики мезо- и нанообъектов в электромагнитном поле тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Калуцков Олег Александрович

• Калуцков Олег Александрович
• кандидат наук
• 2022

Оглавление диссертации кандидат наук Калуцков Олег Александрович

Введение

Глава 1. Анализ основных подходов к моделированию мезо- и нанообъектов

1.1 Классификация нанокластеров

1.2 Магнитные кластеры. Магнетизм

1.3 Динамическая система. Фазовое пространство. Понятие бифуркации

1.4 Нелинейные уравнения математической физики

1.4.1 Классификация двухкомпонентных систем

1.4.2 Системы реакция-диффузия. Уравнения Курамото-Цузуки (Гинзбурга-Ландау)

1.4.3 Обобщенное уравнение Гинзбурга-Ландау для электромагнитного поля.. ..24 1.5 Модели для кластеров и процессов с их участием

1.5.1 Модель жидкой капли для кластеров

1.5.2 Модель твердой сферы для процессов с участием кластеров

1.5.3 Движение кластера в газе в поле сил

1.5.4 Диффузия кластеров в газе

1.6 Выводы

Глава 2. Математическое моделирование парообразования жидкости из капилляра в присутствии электрического и магнитного полей

2.1 Водные замечания

2.2 Массоперенос в пористых материалах

2.2.1 Нелинейная модель возникновения устойчивых состояний в газовой смеси в присутствии внешних электрических и магнитных сил

2.3 Выводы

Глава 3. Математическое моделирование взаимодействия электромагнитного поля с малыми дисперсными частицами и моделирование динамики этих частиц в газовой среде внутри капилляра

3.1 Вводные замечания

3.2 Взаимодействие электромагнитного поля с малыми дисперсными частицами. Запись уравнений для амплитуд электрического и магнитного векторов

3.3 Математическое моделирование взаимодействия электромагнитного излучения с молекулами испаряющейся жидкости и динамики этих молекул в газовой среде

внутри капилляра

3.3.1 Алгоритм решения уравнений для амплитуды вектора напряженности электрического поля и решения уравнений массопереноса

3.4 Выводы

Глава 4. Математическое моделирование динамики кластеров и взаимодействия с ними электромагнитного поля

4.1 Вводные замечания

4.2 Математическое моделирование взаимодействия электромагнитного излучения с композитными кластерами и их динамики в газовой среде внутри капилляра. Алгоритм решения уравнений для амплитуды вектора напряженности электрического поля и решения уравнений массопереноса

4.3 Математическое моделирование динамики магнитореологических кластеров в

электромагнитном поле

4.4. Математическое моделирование динамики кластеров-мультиферроиков в электромагнитного поле

4.5 Выводы

Глава 5. Описание численных методов и программного комплекса. Результаты вычислительного эксперимента

5.1 Обоснование выбора численных методов решения систем уравнений Максвелла и Стефана-Максвелла

5.2 Обоснование выбора системы компьютерного моделирования

5.3 Описание программного комплекса

5.3.1 Описание набора функций и файлов-сценариев для реализации нелинейной модели парообразования жидкости из капилляра в присутствии электрического поля

5.3.2 Описание набора функций и файлов-сценариев для реализации нелинейной модели взаимодействия электромагнитного излучения с молекулами испаряющейся жидкости и динамики этих молекул в газовой среде внутри капилляра

5.3.3 Описание набора функций и файлов-сценариев для реализации нелинейной модели взаимодействия электромагнитного излучения с магнитореологическими и сегнетомагнитными композитными кластерами и моделирование динамики этих кластеров в газовой среде внутри капилляра

5.4 Результаты вычислительного эксперимента

5.5 Выводы

Заключение

Список литературы

Приложение А. Программные коды для реализации нелинейной модели взаимодействия электромагнитного поля с молекулами испаряющейся жидкости и динамики этих молекул в газовой среде внутри

капилляра

Приложение Б. Программные коды для реализации нелинейной модели взаимодействия электромагнитного излучения с композитными кластерами и моделирование динамики этих кластеров в газовой среде внутри капилляра

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Моделирование динамики мезо- и нанообъектов в электромагнитном поле»

Введение

Актуальность темы исследования. В последние годы наблюдается переход технических систем на наноуровень. Фундаментальные исследования наносистем носят мультидисциплинарный характер и затрагивают области химии, биологии и физики (в частности, квантовой теории), что приводит к эволюционным скачкам в развитии широкого спектра прикладных отраслей: интегральной микроэлектронике, химическом синтезе композиционных наноматериалов, биомедицинских систем, и др [1-4].

Исследование нанообъектов (например, нанокластеров) и проектирование различных наноструктур играют огромную роль в настоящее время. Изменение структуры нанообъекта, температурных или иных условий может привести к радикальному изменению физических свойств этого нанообъекта (например, превратить изолятор в сверхпроводник), что позволяет осуществлять целенаправленный синтез новых материалов с заранее заданными свойствами [56].

При проектировании наноструктур обычно используются три подхода:

• теоретический анализ;

• экспериментальные исследования;

• моделирование.

Реализация первых двух весьма затруднительна. Используемый в первом случае математический аппарат довольно сложен, из-за чего становится практически невозможным произвести аналитические инженерные расчеты за приемлемое время.

Современные экспериментальные исследования (сканирующая туннельная микроскопия, атомно-силовая микроскопия и др.) позволяют исследовать различные наноматериалы, однако являются весьма дорогостоящими.

Компьютерное моделирование позволяет исследовать различные проектные варианты наноструктур без их физической реализации, что экономически выгодно.

Однако, в этом случае к адекватности и точности компьютерных моделей начинают предъявляться повышенные требования [7-12].

В настоящее время большой интерес представляет исследование массопереноса мезо- и наночастиц в капиллярно-пористых материалах (КПМ) при воздействии на них электромагнитного поля, что востребовано во множестве технических приложений (создание магнитожидкостных капиллярных структур, синтез наноматериалов при самоорганизации частиц под действием силового поля, выравнивание внутренних поверхностей прецизионных микрокапилляров, и др.). Свойственная магнитному полю проницаемость в человеческой ткани и относительная безопасность ряда магнитных материалов делают магнитные наночастицы (как в чистом виде, так и в составе композитных соединений) весьма привлекательными для применения в биомедицине (МРТ, адресная доставка лекарств, магнитная сепарация, и т.д.) [13-14].

Степень разработанности темы исследования. В настоящее время существует множество математических моделей, описывающих процессы переноса в суспензиях и газовзвесях в КПМ и их список постоянно пополняется ввиду необходимости учета различных технологических эффектов, получаемых при воздействии полей той или иной природы на вещество внутри полостей тонких капилляров, а также ввиду большого разнообразия типов заполняющих эти полости веществ (жидкости, коллоиды, газовзвеси, и др.) [15-25].

При исследовании диффузии нанокластеров в буферном газе может быть использован квантовомеханический подход к моделированию, который необходим для учета атомной структуры этих кластеров [26-27]. Однако, для металлических и металлосодержащих композитных кластеров учет взаимодействия их атомов не является однозначным и для их моделирования необходима информация о параметрах этого взаимодействия. Часто существующая информация не позволяет в полной степени использовать возможности компьютерных методов моделирования процессов с участием кластеров, в связи с этим, приходится

использовать более простые и более надежные аналитические модели для таких процессов.

Среди классических подходов к моделированию диффузии нанокластеров, помимо методов молекулярной динамики и методов молекулярной механики, существует подход, в соответствии с которым такую диффузию можно описывать так же, как и диффузию обычных броуновских частиц с помощью коэффициента Эйнштейна. С другой стороны, существуют попытки описать диффузию нанокластеров с помощью кинетической теории разреженных газов, когда частицы рассматриваются как молекулы [28-32]. В любом случае, возникает необходимость рассматривать задачу многокомпонентного массопереноса, решение которой, как правило, основано на применении уравнений Стефана-Максвелла [70-72].

При исследовании массопереноса частиц внутри КПМ в электромагнитном поле нередко приходится сталкиваться с нелинейностью отклика среды на действие этого поля, что, в частности, может быть вызвано возникновением зависимости диэлектрической проницаемости этой среды от векторов напряженностей его магнитной или электрической составляющих. Взаимодействие электромагнитного поля со средой внутри капилляра в большинстве случаев может быть описано при помощи системы уравнений Максвелла. Для рассмотрения более общего случая, учитывающего, например, отрицательность показателя преломления среды, система уравнений Максвелла может быть преобразована в систему уравнений Гинзбурга-Ландау [65].

При математическом описании процессов управляемого полем массопереноса мезо- и наночастиц внутри КПМ нужно учитывать возникающие нелинейные эффекты [33-36]. Это приводит к необходимости разработки новых более эффективных (с точки зрения сочетания быстродействия при сохранении приемлемой точности вычислений) алгоритмов совместного численного решения нелинейных уравнений электродинамики и массопереноса.

Работа выполнена при поддержке Министерства науки и высшего образования Российской Федерации в рамках проекта № 1.7706.2017/8.9, а также при поддержке Российского научного фонда (грант № 18-11-00247).

Целью диссертационной работы является повышение эффективности моделирования сложных электродинамических и термодинамических физических систем за счет разработки математической модели, численного метода и алгоритма, позволяющих описать и исследовать динамику мезо- и нанообъектов, находящихся под воздействием электромагнитного поля внутри капиллярно-пористых материалов, а также пригодных для решения множества прикладных задач, таких как: газофазный синтез молекулярных кластеров, проектирование магнитожидкостных капиллярных структур, выравнивание поверхностей, концептуального проектирования технических систем и/или материалов.

Для достижения поставленной цели были решены следующие задачи:

1. Анализ существующих подходов к моделированию многокомпонентного массопереноса мезо- и нанообъектов в несущих газовой и жидких средах внутри капиллярно пористых материалов.

2. Разработка математической модели управляемого электромагнитным полем многокомпонентного массопереноса в газовзвеси внутри тонкого капилляра.

3. Разработка на основе построенной модели алгоритмов расчета напряженностей электромагнитного поля и концентраций мезо- и нанообъектов.

4. Разработка комплекса программ для проведения вычислительных экспериментов с целью исследования динамики нанообъектов в электромагнитном поле.

Объектом исследования являются мезо- и нанообъекты, находящиеся в газовой среде и подверженные воздействию электромагнитного излучения, на примере трех частных случаев: молекул испаряющейся жидкости, сегнетомагнитных композитных кластеров и композитных кластеров-магнетоэластиков.

Предметом исследования является математическая модель, описывающая изменения магнитных и электрических свойств нанообъектов и процесс их массопереноса под воздействием электромагнитного поля.

Научная новизна

1. Установлены взаимосвязи массопереноса мезо- и нанообъектов с величинами электрической и магнитных сил.

2. На основании установленных взаимосвязей построена математическая модель динамики мезо- и нанообъектов в электромагнитном поле внутри капиллярно пористых материалов, отличающаяся тем, что позволяет учитывать зависимости диэлектрической проницаемости среды внутри капилляра от векторов напряженностей магнитной или электрической составляющих этого поля.

3. Разработаны методы совместного численного решения систем уравнений электродинамики и систем уравнений массопереноса для описания динамики мезо- и нанообъектов и определения их равновесных концентраций в смеси инертных газов внутри капиллярно-пористых материалов с учетом воздействия переменного электромагнитного поля. При этом учитывается зависимость диэлектрической проницаемости мезо- и нанообъектов от величин векторов напряженностей электрического и магнитного поля.

4. На основе разработанных методов созданы алгоритмы расчета величин векторов напряженностей электромагнитного поля и концентраций мезо- и нанообъектов.

5. Создан программный комплекс, реализующий построенные математическую и численную модели.

Теоретическая значимость состоит в предложении новой модели управляемого электромагнитным полем массопереноса мезо - и нанообъектов, находящихся в газовой среде внутри капиллярно-пористых материалов. Рассмотрены не только изменения магнитных и электрических свойств мезо - и нанообъектов в электромагнитном поле, но и образование в газовой среде их равновесных концентраций (устойчивых состояний), что может являться

признаком возникновения условий для агрегации этих мезо- и нанообъектов и, как следствие, появления новых кластерных систем.

Практическая значимость. Разработанная математическая модель и программный комплекс могут быть применены для изучения магнитных и электрических свойств мезо-и нанообъектов, а также для постановки виртуальных экспериментов в задачах газофазного синтеза молекулярных кластеров, задачах создания магнитожидкостных капиллярных структур и задачах выравнивания поверхностей; могут быть использованы при обучении студентов по направлениям «Прикладная математика», «Информатика и вычислительная техника», «Физика и технология наноструктур, атомная и молекулярная физика».

Методология и методы исследования. В работе использовались общие положения теории электромагнетизма, молекулярной физики, физики и химии нанокластеров; элементы теории эффективной среды и плазмоники; численные методы нелинейной оптимизации с ограничениями (последовательного квадратического программирования) и без ограничений (методы Бройдена-Флетчера-Гольдфарба-Шанно), численный метод решения нелинейных алгебраических и трансцендентных уравнений (Левенберга-Марквардта). Программный комплекс разработан при помощи прикладного ПО Matlab R2019b.

Положения, выносимые на защиту

1. Математическая модель, предназначенная для описания процессов массопереноса мезо- и нанообъектов в газовой среде под действием переменного электромагнитного поля и отличающаяся возможностью учета изменения электрических и магнитных свойств этих мезо- и нанообъектов.

2. Методы совместного численного решения систем уравнений электродинамики и систем уравнений массопереноса для описания динамики мезо-и нанообъектов и определения их равновесных концентраций в смеси инертных газов внутри капиллярно-пористых материалов с учетом воздействия переменного электромагнитного поля и с учетом зависимости диэлектрической проницаемости

данных мезо- и нанообъектов от величин векторов напряженностей электрического и магнитного поля.

3. Алгоритмы расчета напряженностей электромагнитного поля и концентраций мезо- и нанообъектов внутри капиллярно пористых материалов.

4. Программный комплекс для проведения вычислительных экспериментов на основе построенных методов и алгоритмов.

Достоверность результатов подтверждается корректностью применяемого математического аппарата, применением методов математического моделирования, основанных на фундаментальных законах природы и алгоритмах нелинейной оптимизации, и подтверждаются результатами вычислительного эксперимента, которые соответствуют имеющимся в литературе экспериментальным данным, а также предельными переходами к известным решениям.

Апробация научных результатов. Основные результаты работы докладывались на:

- научной конференции «Фундаментальные физико-математические проблемы и моделирование технико-технологических систем». 2014. г., Россия, Москва.

- XVII научной конференции «Математическое моделирование и информатика». 2015. г., Россия, Москва.

- III международной конференции «Математическое моделирование нелинейных процессов и систем». 2015 г., Россия, Москва.

- 13 международной конференции по численному анализу и прикладной математике (ICNAAM 2015), Греция, Родос, 2015 г.

- 16 международной конференции по численному анализу и прикладной математике (ICNAAM 2018), Греция, Родос, 2018 г.

- XXVI конференции серии «Математика. Компьютер. Образование.», г. Пущино, 28 января - 2 февраля 2019 г.

- Четвёртой Международной научной конференции «Моделирование нелинейных процессов и систем» (MNPS - 2019), г. Москва, 15 -17 октября 2019 г.

- Пятой Международной научной конференции «Моделирование нелинейных процессов и систем» (MNPS - 2020), г. Москва, 16 -20 октября 2020 г.

Основные результаты по теме диссертации изложены в 11 печатных изданиях, 2 из которых изданы в журналах, рекомендованных ВАК, 3 - сборниках из перечня изданий, входящих в базы данных Web of science и Scopus, 6 - в тезисах докладов.

Соответствие паспорту специальности. Работа соответствует паспорту специальности 1.2.2 «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ» по следующим пунктам.

Пункт 1. Разработка новых математических методов моделирования объектов и явлений.

Пункт 4. Реализация эффективных численных методов и алгоритмов в виде комплексов проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента.

Пункт 5. Комплексные исследования научных и технических проблем с применением современной технологии математического моделирования и вычислительного эксперимента.

Объем и структура работы. Полный объем диссертации составляет 156 страниц с 45 рисунками. Список литературы содержит 136 наименований.

Глава 1. Анализ основных подходов к моделированию мезо- и

нанообъектов

1.1 Классификация нанокластеров

С точки зрения химии, понятие «кластер» используется для определения близко расположенных и тесно связанных друг с другом нано-, мезо- и микрочастиц. С развитием нанотехнологий стало широко использоваться понятие «нанокластер», обозначающее связанные друг с другом группы атомов, ионов или молекул. Физические свойства макроскопических веществ и наночастиц существенно отличаются друг от друга. Нанокластеры, в большинстве своем относящиеся к объектам с мезоскопическими пространственными масштабами, являются неким переходным звеном и с позиций как прикладных, так и фундаментальных исследований, представляют огромный интерес.

Свойства нанокластеров определяются не только их размерами, но и типами их структурной организации, в каждой из которых они играют роль отдельных элементов. К тому же, такие наноструктуры сами могут являться элементами более крупных надмолекулярных структур.

Способы организации кластерных наноструктур зависят как от свойств отдельных нанокластеров и характера взаимодействий между ними, так и от методов получения этих нанокластеров. В зависимости от методов синтеза кластеры можно классифицировать следующим образом: молекулярные, газофазные, коллоидные, твердотельные, матричные.

Молекулярные кластеры металлов - многоядерные комплексные соединения, в основе молекулярной структуры которых лежит ячейка из связанных между собой атомов металлов с присоединенными к ее границе лигандами. Ячейка может состоять как из однородных, так и гетерогенных атомов металлов. Рассматриваемые кластеры получаются методами химического синтеза.

Газофазные безлигандные кластеры бывают как металлические, так и неметаллические. Обычно получают при помощи газофазных методов синтеза, включающих себя испарение вещества и последующую конденсацию полученных частиц в смеси инертных газов путем их осаждения на подложках или фиксации в низкотемпературных матрицах.

Коллоидные кластеры с точки зрения растворимости в жидкой среде разделяют на лиофильные (гидрофильные) и лиофобные (гидрофобные). Типичными представителями гидрофильных кластеров являются оксиды кремния, железа и других металлов. Такие кластеры синтезируют при помощи золь-гель-технологии, состоящей из двух стадий: получение коллоидного раствора частиц (золя) и, затем, получение геля (молекулы растворителя заключены в трехмерную матрицу нанокластеров). При получении коллоидных растворов используют физические и химические методы (диспергационные и конденсационные) [37-45].

Твердотельные кластеры могут быть синтезированы в ходе разнообразных химических реакций в твердой фазе (реакции термического разложения солей, фотохимических реакций), посредством превращения аморфной фазы в кристаллическую. В результате большинства таких реакций образуются зародыши продуктов реакции, что влечет за собой образование нанокластеров с размерами от десятков до сотен нанометров.

Твердотельные кластеры также могут быть получены посредством механического воздействия на вещество (измельчение твердого тела, воздействие давления со сдвигом и иных способов деформации).

Матричные нанокластеры представляют собой изолированные друг от друга в органических и неорганических матрицах наночастицы. Матричная изоляция позволяет предотвратить процессы агрегации частиц, контролировать их размеры и степень взаимодействия друг с другом; используется в областях газофазного, твердотельного и других методов синтеза [37-45].

Магнитоактивные эластомеры (МАЭ) - материал, представляющий собой полимерную матрицу с распределенными внутри нее магнитными частицами.

Свойствами этого материала можно управлять воздействием магнитного поля (например, магнитореологический эффект - зависимость вязкости и упругости эластомера от магнитного поля). Также для таких материалов характерны следующие эффекты: эффект памяти формы (эффект псевдопластичности), магнитодеформационный (деформация в неоднородном магнитном поле). Данные эфффекты учитываются при проектировании активных и пассивных демпфирующих устройств, актуаторов, микродвигателей. В том числе, имеют место магниторезистивный, магнитострикционный (деформация в однородном магнитном поле), магнитодиэлектрический (зависимость величины диэлектрической проницаемости от напряженности магнитного поля) и другие эффекты [46-50].

1.2 Магнитные кластеры. Магнетизм

В настоящее время большой интерес представляют частицы, состоящие из небольшого числа атомов (от единиц до десятков тысяч) - нанокластеры.

Магнитные нанокластеры получили широкое распространение благодаря возможности управления их физическими свойствами при помощи внешнего магнитного поля.

Магнитные свойства веществ определяются как их структурой (атомной и/или молекулярной), так и магнитными свойствами элементарных частиц. Магнитные свойства атома, по большей части, есть суперпозиция магнитных моментов его электронов (как орбитальных, так и спиновых).

С точки зрения восприимчивости к воздействию магнитного поля выделяют такие типы веществ, как: диамагнетики, парамагнетики, ферромагнетики, антиферромагнетики и ферримагнетики (вещества с нескомпенсированным антиферромагнитным состоянием) (см. рисунок 1).

ПАРАМАГНЕТИК ФЕРРОМАГНЕТИК АНТИФЕРРОМАГНЕТИК ФЕРРИМАГНЕТИК Рисунок 1 - Варианты взаимной ориентации спинов в отсутствие внешнего

магнитного поля

В веществе, подвергаемом воздействию внешнего магнитного поля, формируется отклик на это воздействие. Мерой этого отклика является величина, магнитной восприимчивостью ХМ = ХН, (1)

где М - намагниченность, или удельный магнитный момент, Н - напряженность приложенного магнитного поля.

Магнетизм - явление квантовомеханической природы. Большинство атомов обладают магнитным моментом, который определяется суммарным магнитным моментом его электронов. Молекулы же обычно диамагнитны, за исключением, например, молекулы кислорода. В макроскопическом масштабе магнитные свойства вещества не зависят напрямую от магнитных моментов его атомов и/или молекул и не определяются суперпозицией этих магнитных моментов (как спиновых, так и орбитальных). Восприимчивость макроскопического вещества к воздействию магнитного поля зависит от результата магнитного упорядочения -взаимодействия между спинами атомов согласно принципу Паули. В результате такого взаимодействия в макроскопических областях вещества может быть установлена параллельная ориентация спинов (ферромагнетизм), антипараллельная (антиферромагнетизм) и любая другая форма магнитного упорядочения.

Магнитные кластеры представляют собой переходное звено от магнетизма отдельных атомов к магнетизму макроскопических материалов и являют собой пример мезоскопических объектов. Их изучение необходимо для понимания

особенностей перехода от физических эффектов, проявляющихся в нанометровом диапазоне, к физическим эффектам, характерным для макровеществ, что весьма востребовано, например, в области микроэлектроники [51-56].

1.3. Динамическая система. Фазовое пространство. Понятие бифуркации

Динамической системой называют объект или процесс, состояние которого в каждый фиксированный момент времени определяется набором некоторых величин, которые изменяются во времени по определенному закону - закону эволюции, который довольно часто может быть задан посредством системы дифференциальных уравнений.

Система дифференциальных уравнений называется автономной, если в задающие ее функции явно не входит независимая переменная, под которой обычно понимают время. Автономная система в нормальном виде имеет вид:

*к = fk& 1, -,Хп),к = 1,2, ...,п; (2)

здесь все функции х1,...,хп и f1,.,fn - вещественные. Векторная запись нормальной автономной системы выглядит следующим образом:

X = f(X). (3)

Если X = ty(t) - решение системы (3), оно представляет собой интегральную кривую в (п + 1)-мерном пространстве переменных t,x1,.,xn. Если же рассматривать t как параметр, то решение (3) в n-мерном пространстве описывает кривую, называемую фазовой траекторией, а пространство Rn, содержащее эту кривую, называется фазовым пространством. На траектории обычно задается направление движения в сторону возрастания параметра t. На области D своего фазового пространства система (3) задает векторное поле - поле фазовых скоростей. Точки, в которых f(X) = 0, называются особыми точками векторного поля.

Если в точке а Е Э справедливо равенство f(a) = 0, решение Х(£) = а системы (3) называется положением равновесия (или точкой покоя) этой автономной системы. [57]

Рассмотрим нелинейную динамическую систему второго порядка:

(х = Р(х,у); (4)

[у = Q(x,y).

Найдем особые точки системы, решив уравнение:

(Р(х,у) = 0; (5)

Щ(х,у) = 0.

Пусть С0(х0,у0) - особая точка системы уравнений (4). Линеаризуем данную

систему уравнений в окрестности точки С0(х0,у0):

х = а11х + а12у (6)

/ , у = а.21Х + а.22У;

_дР _дР _дQ _дQ

а11 = (х0, УоУ; а12 = (х0' У0); а21 = (х0' У0); а22 = (х0' УоУ

Произведем классификацию точек покоя системы уравнений (6).

,а11 а.12\ „

А = а ) — матрица линеаризованной системы. Всюду ниже

предполагается, что ее определитель не равен нулю. Собственные значения Л матрицы А можно найти из характеристического уравнения:

а11 — & а12 _ д

а21 а22 — ^

1) Л1,Л2 Е Я, Л1 Ф Л2,Л1 < 0,Л2 < 0 - рисунок 2 (а). Имеем асимптотически устойчивую точку покоя, называемую устойчивым узлом.

2) Л1,Л2 Е Я, Л1 Ф Л2,Л1 > 0,Л2 > 0 - рисунок 2 (б). Точка покоя - неустойчивый узел.

3) Л1,Л2 Е Я, Л1 Ф Л2,Л1 > 0,Л2 < 0 - рисунок 2 (в). Имеем неустойчивую точку покоя, называемую седлом.

а б в

Рисунок 2 - Точки покоя: а - устойчивый узел, б - неустойчивый узел, в - седло

4) Л12 = а ± ^ 0), а < 0- рисунок 3 (а). Имеем асимптотически устойчивую точку покоя, называемую устойчивым фокусом.

5) Л1,2 = а ± ^ 0), а > 0- рисунок 3 (б). Точка покоя - неустойчивый фокус.

6) Л12 = а ± ^ 0), а = 0 - рисунок 3 (в). Имеем устойчивую точку покоя, называемую центром.

а б в

Рисунок 3 - Точки покоя: а - устойчивый фокус, б - неустойчивый фокус, в -

центр

7) Л1,Л2 Е Я,Л1 = Л2 < 0. Имеем асимптотически устойчивые точки покоя, называемые устойчивым вырожденным узлом (рисунок 4 (а)) и дикритическим узлом (рисунок 4 (б)).

а б

Рисунок 4 - Точки покоя: а - устойчивый вырожденный узел, б - дикритический

узел

8) Л1,Л2 Е Я,Л1 = Л2 > 0. Имеем неустойчивые точки покоя, называемые неустойчивым вырожденным узлом (рисунок 5 (а)) и неустойчивым дикритическим узлом (рисунок 5 (б)) [58].

а б

Рисунок 5 - Точки покоя: а - неустойчивый вырожденный узел, б - неустойчивый

дикритический узел

Дифференциальные уравнения динамических систем могут зависеть не только от фазовых переменных, но и от некоторых параметров, небольшое изменение которых может приводить к качественному изменению поведения решений этих дифференциальных уравнений - бифуркациям. В этом случае уравнения имеют вид:

X = /(X, а), X ЕИп, а Е Ят, (7)

где X - фазовый вектор, а - набор параметров.

Наиболее наглядным и простым является одномерный случай, когда f(X, а), X, а - скалярные величины.

Для нахождения точек покоя нужно решить уравнение

Г(Х,а) = 0, (8)

которому в плоскости параметров (X, а) соответствует заданная в неявном виде кривая, называемая кривой равновесий (пример - рисунок 6).

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Калуцков Олег Александрович, 2022 год

Список литературы

1. Зинченко, Л. А. Особенности математического моделирования в задачах проектирования наносистем / Л. А. Зинченко, В. А. Шахнов // Информационные технологии и вычислительные системы. - 2009. - № 4. - С. 84-92.

2. Валиев, К. А. Кремниевая наноэлектроника: проблемы и перспективы / К. А. Валиев, В. Ф. Лукичев, А. А. Орликовский // Нанотехнологии и материалы. - 2005. - С.17-29.

3. Норенков, И. П. Основы автоматизированного проектирования: учебник для вузов / И. П Норенков. - 3-е изд., перераб. и доп. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2006. - 446 с.

4. Зинченко, Л. А. Эволюционное проектирование элементов телекоммуникационных систем / Л. А. Зинченко, С. Н. Сорокин. - ТРТУ, 2003. -160 с.

5. Подопригора, В. Г. Математическое моделирование процессов взаимодействия поля и вещества в наносистемах / В. Г. Подопригора // Современные наукоемкие технологии. - 2008. - № 8. - С. 67-70.

6. Кобаяси, Н. Введение в нанотехнологию / Н. Кобаяси: пер. с японск. - 2-е изд. -М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2008. - 1134 с.: ил. - (Нанотехнология).

7. Самарский, А. А. Математическое моделирование / А. А. Самарский, А. П. Михайлов.- М.: Наука, 1997. - 320 с.

8. Тихонов, Н. А. Основы математического моделирования: учебное пособие / Н. А. Тихонов, М. Г. Токмачев. - М.: Физический факультет МГУ, 2013. - 84 с.

9. Звонарев, С. В. Моделирование структуры и свойств наносистем: учебно -методическое пособие / С. В. Звонарев, В. С. Кортов, Т. В. Штанг. - Екатеринбург: изд-во урал. ун-та, 2014. -120 с.

10. Майер, Р. В. Компьютерное моделирование физических явлений: монография / Р. В. Майер. - Глазов: ГГПИ, 2009. - 112 с.

11. Ибрагимов, И. М. Основы компьютерного моделирования наносистем: учебное пособие / И. М. Ибрагимов, А. Н. Ковшов, Ю. Ф. Назаров. - СПб.: издательство «Лань», 2010. - 384 с.: ил. - (Учебники для вузов. Специальная литература).

12. Попов, А. М. Вычислительные нанотехнологии: учебное пособие / А. М. Попов. — М. : КноРус, 2014. - 312 с. - (Бакалавриат).

13. Никифоров, В. Н. Биомедицинские применения магнитных наночастиц / В. Н. Никифоров // Наука и технологии в промышленности.- 2011. - вып. №1. - С. 90-99.

14. Никифоров, В. Н. Магнитная гипертермия в онкологии / В. Н. Никифоров, Н. А. Брусенцов // Медицинская физика. - 2007. - №2 (34). - С. 51-59.

15. Шлиомис, М. И. Магнитные жидкости / М. И. Шлиомис // Успехи физических наук. - 1974, март. - Том 70, вып. № 3. - С. 427-458.

16. Блум, Э. Я. Магнитные жидкости / Э. Я. Блум, М. М. Майоров, А. О. Цеберс. -Рига: Зинатне, 1989. - 386 с.

17. Куликовский, А. Г. Магнитная гидродинамика / А. Г. Куликовский, Г. А. Любимов. - Изд. 2-е, испр. и доп. - М.: Логос, 2005. - 328 с.: ил.

18. Пальцев, Л. А. Об уравнениях переноса при медленных течениях многоатомного газа во внешнем магнитном поле / Л. А. Пальцев // ТМФ. - 1997. -Т. 110, № 3. - С. 459-469.

19. Чич, С. К. Моделирование равновесий жидкость-жидкость-пар многокомпонентных спиртовых смесей / С. К. Чич, Т. Г. Короткова, Х. Р. Сиюхов, Е. Н. Константинов // Известия ВУЗов. Пищевая технология. - 2007. - № 1 - С. 8286.

20. Хроматографические методы анализа. Капиллярный электрофорез [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http://www.chem.msu.su/rus/teaching/analyt/chrom/part3.pdf .

21. Антонов, В. Ф. Биофизика: учеб. для студ. высш. учеб. заведений / В. Ф. Антонов, А. M. Черныш, В. И. Пасечник, С. А. Вознесенский, Е. К. Козлова. - М.: гуманит. изд. центр ВЛАДОС, 1999. - С 187-220.

22. Малай, Н. В. Особенности диффузио-и фотофоретического движения крупной слабо испаряющейся капли при малых относительных перепадах температуры / Н. В. Малай, Е. Р. Щукин, И. М. Зинькова, З. Л. Шулиманова // Научные ведомости БелГУ. Сер. Математика. Физика. - 2019. - Т.51, №1. - С. 104-114.

23. Жакин, А. И. Электрогидродинамика заряженных поверхностей / А. И. Жакин // Успехи физических наук. - Февраль 2013 г. - Т. 183, № 2. - С. 153-177.

24. Черняк, В. Г. Диффузиофорез аэрозольной частицы в бинарной газовой смеси / В. Г. Черняк, С. А. Стариков, С. А. Береснев // Прикладная механика и техническая физика. - 2001. - Т. 42, № 3. - С. 72 - 83.

25. Лыков, А. В. Явления переноса в капиллярно-пористых телах / А. В. Лыков. -М.: ГИТТЛ, 1954. - 298 с.

26. Корнюшкин, Ю. Д. Основы современной физики (квантовая механика, физика атомов и молекул, физика твердого тела, ядерная физика): учебное пособие / Ю. Д. Корнюшкин. - СПб: СПбГУ ИТМО, 2005. - 326 с.

27. Ландау, Л. Д. Курс теоретической физики: учеб. пособие для вузов. В 10 т. Т. 3. Квантовая механика (нерелятивистская теория) / Л. Д. Ландау, Е. М. Лившиц; под ред. Л. П. Питаевского. - 6-е изд. испр. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2008. - 800 с.

28. Смирнов, Б. М. Процессы с участием кластеров и малых частиц в буферном газе / Б. М. Смирнов // Успехи физических наук. - Июль 2011. - Том 181, №7. - С. 713745.

29. Рудяк, В. Я. К статистической теории процессов переноса наночастиц в газах и жидкостях: обзор / В. Я. Рудяк, А. А. Белкин, С. Л. Краснолуцкий // Теплофизика и аэромеханика. - 2005. - Т. 12, № 4. - С. 525 - 544.

30. Рудяк, В. Я. О кинетико-гидродинамической модели описания газовзвесей и суспензий / В. Я. Рудяк // Сиб. журн. индустр. матем. - 1999. - Т. 2, № 2. - С. 168175.

31. Рудяк, В. Я. Диффузия наночастиц в разреженном газе / В. Я. Рудяк, С. Л. Краснолуцкий // Журнал технической физики. - 2002. - Т 72, Вып. 7. - С. 13-20.

32. Селезенев, А. А. Основы метода молекулярной динамики: учебно-методическое пособие / А. А. Селезенев .- Саров: СарФТИ, 2017 г. - 72 с.

33. Прудковский, П. А. Теория нелинейных волн: сборник лекций. Лекция 11-12. Электромагнитные волны в нелинейных средах / П. А. Прудковский. - Кафедра квантовой электроники физического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http://qopt.org/speckurs/nlwaves/nlwave11.pdf.

34. Ахманов, С. А. Самофокусировка и дифракция света в нелинейной среде / С. А. Ахманов, А. П. Сухоруков, Р. В. Хохлов // Успехи физических наук. - 1967 г., сентябрь. - Том 93, Вып. 1. - С. 19 - 70.

35. Гуревич, Л. Э. Нелинейный магнитоэлектрический эффект / Л. Э. Гуревич, Д. А. Филиппов // ФТТ. - 1987. - Т. 29, №11. - С. 3446-3448.

36. Бломберген, Н. Нелинейная оптика / Н. Бломберген - М.: Мир, 1966. - 424 с.

37. Суздалев, И. П. Нанотехнология: физико-химия нанокластеров, наноструктур и наноматериалов / И. П. Суздалев. - М.: КомКнига, 2006. - 592 с.

38. Суздалев, И. П. Нанокластеры и нанокластерные структуры. Организация, взаимодействие, свойства / И. П. Суздалев, П. И. Суздалев // Успехи химии. - 2001. - Т. 70, № 3. - С. 203-240.

39. Гусев, А. И. Наноматериалы, наноструктуры, нанотехнологии / А. И. Гусев.- М.: Физматлит, 2007. - 416 с.

40. Иванов, В. К. Электронные свойства металлических кластеров / В. К. Иванов // Соросовский образовательный журнал. - 1999. 8. - С 97-102.

41. Петров, Ю. И. Кластеры и малые частицы / Ю. И. Петров. - М.: Наука, 1986. -366 с.

42. Губин, С. П. Металлические кластеры в полимерных матрицах / С. П. Губин, И. Д. Кособудский // Успехи химии. - 1983. - Т. 52, № 8. - С. 1350-1364.

43. Пулл, Ч. Нанотехнологии / Ч. Пулл, Ф. Оуэнс. - М.: Техносфера, 2005. - 336 с.

44. Помогайло, А. Д. Металлополимерные нанокомпозиты с контролируемой молекулярной архитектурой / А. Д. Помогайло // Рос. хим. ж. (Ж. Рос. хим. об-ва им. Д. И. Менделеева). - 2002. - Т. ХЬУ1, №5. - С. 64-73.

45. Родунер, Э. Размерные эффекты в наноматериалах / Э. Родунер. - Москва: Техносфера, 2010. - 352 с. + 15 с. цв. вклейки.

46. Звездин, А. К. Магнитные молекулы и квантовая механика / А. К. Звездин // Природа. - 2000. - №12. - С. 11-22.

47. Баранов, А. А. Магнитные наночастицы: достижения и проблемы химического синтеза / А. А. Баранов, С. П. Губин // Наносистемы. - 2009. - Том 1, вып. № 1-2. -С. 129-147.

48. Шакирова, Л. Р. Молекулярные магнетики - от теоретических знаний к практическому применению: методическое пособие / Л. Р. Шакирова, И. А. Безкишко. - Казань: Изд-во ФГБУН ИОФХ, 2013. - 34 с.

49. Кринчик, Г. С. Физика магнитных явлений / Г. С. Кринчик. - М.: Изд-во Моск. ун-та, 1976. - 367 с.

50. Бозорт, Р. Ферромагнетизм / Р. Бозорт. - М.: Изд-во иностр. литературы, 1956. -784 с.

51. Сивухин, Д. В. Общий курс физики. Учебное пособие: для вузов. В 5 т. Т. 3. Электричество / Д. В. Сивухин. - 4-е изд., стереот. - М.: ФИЗМАТЛИТ; Изд-во МФТИ, 2004. - 656 с.

52. Степанов, Г. В. Магнитоактивный полимер с магнитотвердым наполнителем / Г. В. Степанов, Е. Ю. Крамаренко, Н. С. Перов, А. С. Семисалова, Д. Ю. Борин, В. В. Богданов, Д. А. Семеренко, А. В. Бахтияров, Л. Д. Свиридова, П. А. Стороженко // Вестник ПНИПУ. Механика. - 2013. - №4. - С. 106-137.

53. Райхер, Ю. Л. Моделирование магнитострикционных деформаций в мягких магнитных эластомерах / Ю. Л. Райхер, О. В. Столбов // Вычислительная механика сплошных сред. - 2009. - Т. 2. - № 2. - С. 85-95.

54. Günther, D. X-ray micro-tomographic characterization of field-structured magnetorheological elastomers / D. Günther, D. Yu. Borin, S. Günther, S. Odenbach // Smart Materials & Structures. - 2012. - Vol. 21, 015005. - Pp. 1-7.

55. Belyaeva, I. A. Magnetodielectric effect in magnetoactive elastomers: Transient response and hysteresis/ I. A. Belyaeva, E. Y. Kramarenko, M. Shamonin // Polymer. -2017. - V, 127. - Pp. 119-128.

56. Белов, К. П. Магнитострикционные явления и их технические приложения / К. П. Белов. - М.: Наука, 1987. - 158 c.

57. Автономные системы. Фазовые траектории. Элементы теории устойчивости.: уч.-метод. Пособие / сост.: Т. С. Пиголкина - М.: МФТИ, 2013. - 40 с.

58. Простейшие типы точек покоя / [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http://portal.tpu.ru/SHARED/p/PEG/page_2/math_analysis-03/Tab1/MA(3)_Lecture-14(fragment).pdf (дата обращения: 18. 01. 17).

59. Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа. Т. 2. Москва: Дрофа, 2004, 720 с.

60. Элементы теории бифуркаций и динамических систем. Часть 1: учебно -методическое пособие по курсу «Аналитическая механика» / сост. А. В. Фомичев. - М.: МФТИ, 2019. - 42 с.

61. Церцвадзе, Г. 3. О сходимости разностных схем для уравнения Курамото-Цузуки и для систем типа реакция-диффузия / Г. 3. Церцвадзе // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. - 1991. - том 31, номер 5 - С. 698-707.

62. Шаповалов А.В. Введение в нелинейную физику. Учебное пособие. - Томск: Изд. ТПУ. 2002 - 129 с.

63. Колесов, А. Ю. Особенности динамики уравнения Гинзбурга-Ландау в плоской области / А. Ю. Колесов, Н. Х. Розов // ТМФ. - 2000. - том 125, номер 2. - С. 205220.

64. Ахромеева, Т. С. О классификации решений системы нелинейных диффузионных уравнений в окрестности точки бифуркации / Т. С. Ахромеева, С.

П. Курдюмов, Г. Г. Малинецкий, А. А. Самарский // Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Нов. достиж. - 1986. - том 28. - С. 207-313.

65. Кудряшов, Н. А. Точные решения обобщенного уравнения Гинзбурга-Ландау / Н. А. Кудряшов // Матем. Моделирование. - 1989. - том 1, номер 9. - С. 151-158.

66. Кудряшов, Н. А. Методы нелинейной математической физики: учебное пособие / Н. А. Кудряшов. - М.: МИФИ, 2008. - 352 с.

67. Сивухин, Д. В. Общий курс физики. В 5-ти томах. Том 2.Термодинамика и молекулярная физика / Д. В. Сивухин - Москва: Физматлит, 2017. - 544 с.

68. Калуцков О. А. Моделирование процессов распространения электромагнитных волн в наносистемах при низких температурах / О. А. Калуцков, Л. А. Уварова // Математическое моделирование и информатика: сб. науч. тр. / под ред. Д.Ю. Рязанова. - М.: ИЦ ФГБОУ ВПО МГТУ «СТАНКИН», 2014. - С. 102-104.

69. Калуцков О. А. Моделирование процессов распространения электромагнитных волн в наносистемах при низких температурах / О. А. Калуцков, Л. А. Уварова // Фундаментальные физико-математические проблемы и моделирование технико-технологических систем: сб. науч. тр. / под ред. Л. А. Уваровой. - М.: Янус - К, 2014. - С. 52-72.

70. Skarka, V. Self-organization of dissipationless solitons in positive- and negative-refractive-index materials / V. Skarka, N. B. Aleksic, V. I. Berezhiani // Physical Review A. - April 2010. - vol. 81(4). -Pp. 1-4.

71 . Коротков, П. Ф. Молекулярная физика и термодинамика. Основные положения и решение задач: учебное пособие / П. Ф. Коротков. - 2 изд.- М.: МФТИ, 2004. -168 с.

72. Гиршфельдер Дж., Кертисс Ч., Берд Р. Молекулярная теория газов и жидкостей. Пер. с англ. - М.: Изд-во Ин. Лит., 1961. - 929 с.

73. Рид, Р. Свойства газов и жидкостей: справочное пособие / Р. Рид, Дж. Праусниц, Т. Шервуд; пер. с агнл. под ред. Б. И. Соколова. - 3-е изд., перераб. и доп. - Л.: Химия, 1982. - 592 с.

74. Mayer, J. E. Statistical Mechanics / J. E. Mayer, M. Goeppert-Mayer. - NY, London, Sydney, Toronto: A Wiley-Interscience Publication. - 1977. - 495 p.

75. Kalutscov, O. The nonlinear model for emergence of stable conditions in gas mixture in force field / O. Kalutscov and L. Uvarova // Proceedings of the XIIth ICNAAM Conference, Rhodes, Greece. - 2016.

76. Калуцков, О. А. Нелинейная модель возникновения устойчивых состояний в газовой смеси в присутствии внешних электрических и магнитных сил / О. А. Калуцков, Л. А. Уварова. - Москва: Вестник «МГТУ «СТАНКИН». -2016 г. - № 4 (39). -С. 113-116.

77. Uvarova L. Mathematical modeling of mass transfer of liquid mixes in capillaries under action of external forces with the use the Abel equation / L. Uvarova and O. Kalutskov // AIP Conference Proceedings. 2019. С. 040007.

78. Кикоин, И. К. Таблицы физических величин. Справочник / под редакцией академика И. К. Кикоина. - М.: Атомиздат, 1976. - 1008 с.

79. Лыков, А. В. Тепломассобмен (Справочник) /.А. В. Лыков - М.: Энергия, 1971. - 560 с.

80. Варгафтик, Н. Б. Справочник по теплофизическим свойствам газов и жидкостей / Н. Б. Варгафтик. - Москва: издательство «Наука», 1972 г. - 721 с.

81. Fedirko, V. A. Study of the equation for the Abrikosov vortex pinning on a linear defect in a superconducting wafer / V. A. Fedirko, S. V. Polyakov, A. L. Kasatkin // Mathematical Models and Computer Simulations. - 2014. - Vol. 6, No. 4. - pp. 408-414.

82. Budnyi, K. Modeling of interaction of electromagnetic waves with small non-spherical particles having fractal surface / K. Budnyi, O. Kazakov // Proceedings of the XIIth ICNAAM Conference, Rhodes, Greece. -2015.

83. Uvarova, L. A. The movement of molecules and nanoparticles in potential field with the Casimir force in nano volumes with different optical boundaries / L. A. Uvarova, S. S. Babarin // Physica Scripta. - 2014, Vol. 162.

84. Deviaterikova, E. Blow-up time for a problem of heat transfer with coefficients depending on their formation mechanisms / E. Deviaterikova, E. Galakhov, O. Salieva, L. Uvarova // Proceedings of the XIIth ICNAAM Conference, Rhodes, Greece. -2015.

85. Shchukin, E. R. Diffuse vaporization (sublimation) of a large aerosol particle under precipitous changes in the ambient temperature / E. R. Shchukin, N. V. Malai, Z. L. Shulimanova, L. A. Uvarova // High Temperature. - 2015. - Vol. 53, No. 4.

86. Федоров, Н. Н. Основы электродинамики / Н. Н. Федоров М. - Высшая школа, 1980. - 399 с.

87. Савельев, И. В. Курс общей физики, т. 2. Электричество и магнетизм. Волны. Оптика: учебное пособие / И. В. Савельев. - 2-е изд., перераб. - М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1982. - 496 с.

88. Калуцков, О. А. Математическое моделирование взаимодействия электромагнитного поля с малыми дисперсными частицами различной геометрии и их динамики / О. А. Калуцков, Л. А. Уварова // Вестник Брянского государственного технического университета. - 2014. - № 3(43). - С. 127-130.

89. Kalutskov, O. The mathematical modeling of cluster dynamics under the effect of electromagnetic field / O. Kalutscov and L. Uvarova // AIP Conference Proceedings. Сер. "International Conference on Numerical Analysis and Applied Mathematics, ICNAAM 2019" 2020. С. 090005.

90. Калуцков О. А. Моделирование динамики нано - и мезообъектов под действием электромагнитного поля / О. А. Калуцков, Л. А. Уварова // Сборник тезисов четвёртой международной конференции. Московский Государственный Технологический Университет «СТАНКИН». 2019. С. 115-116.

91. Калуцков О. А. Программный комплекс для численного моделирования динамики мезо- и наночастиц в электромагнитном поле / О. А. Калуцков, Л. А. Уварова // Сборник тезисов четвёртой международной конференции. Московский Государственный Технологический Университет «СТАНКИН». 2019. С. 112-114.

92. Калуцков О. А. Нелинейная модель возникновения устойчивых состояний в газовой смеси в присутствии внешних электрических и магнитных сил / О. А.

Калуцков, Л. А. Уварова // «Математика. Компьютер. Образование», анализ сложных биологических систем: эксперимент и модели: c6. науч. тр. / под ред. Г. Ю. Ризниченко и А. Б. Рубина. - Пущино, 2019, С. 155.

93. Калуцков, О. А., Уварова Л. А. Моделирование массопереноса нано- и мезообъектов в газовой среде под действием электромагнитного поля / О. А. Калуцков, Л. А. Уварова // Моделирование нелинейных процессов и систем. Материалы пятой международной конференции. 2021. С. 210-202.

94. Тарлыков, В. А. Когерентная оптика: учебное пособие по курсу «Когерентная оптика» / В. А. Тарлыков. - СПб: СПбГУ ИТМО, 2011. - 168 с.

95. Беспрозванных, В. Г. Нелинейная оптика: учеб. пособие / В. Г. Беспрозванных, В. П. Первадчук. - Пермь: изд-во Перм. гос. техн. ун-та, 2011. - 200 с.

96. Борн, M. Основы оптики / М. Борн, Э. Вольф. - 2-е изд., исправленное - М.: Наука, 1973. - 720 с.

97. Челидзе Т.Л., Деревянко А.И., Куриленко О.Д. Электрическая спектроскопия гетерогенных систем. Киев: Наукова думка, 1977. 232 с.

98. Борен К., Хафмен Д. Поглощение и рассеяние света малыми частицами. М.: Мир, 1986. 662 с.

99. Sihvola A. Electromagnetic Mixing Formulas and Applications. IEE Electromagnetic Wave Series, 47. London: IEE, 1999. 284 p.

100. Дорошенко И. Ю. Исследование процесса формирования кластерной структуры метанола методом матричной изоляции в спектральной области валентных С-О и О-Н колебаний / И. Ю. Дорошенко // Физика низких температур. - 2011. - Т.37, № 7. - С. 764-770.

101. Электронный ресурс. - Режим доступа: https://tsput.ru/res/fizika71/ELECTROSTATIKA/lection_12.html

102. Боровик, Е. С. Лекции по магнетизму / Е. С. Боровик, В. В. Еременко, А. С. Мильнер. - 3 изд., перераб. и доп. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. - 512 с.

103. Уленеков, О. Н. Ферромагнетики. Лекции по физике: лекции 13-14 [Электронный ресурс] / О. Н. Уленеков. - Томский политехнический университет.

- Режим доступа:

http ://portal.tpu.ru :777 7/SHARED/u/ULENIKOV/academic/Tab 1/lek13 - 14.pdf

104. Абрамов Н. В. Свойства ансамблей наночастиц магнетита в составе магнитных жидкостей для применений в онкотерапии / Н. В. Абрамов, П. П. Горбик // Поверхность. - 2012. - Вып. 4. - С. 246 - 265.

105. Chertovich, A. V. New composite elastomers with giant magnetic response / A. V. Chertovich, G. V. Stepanov, E. Y. Kramarenko, A. R. Khokhlov // Macromolecular materials and engineering. - 2011. - 357. - pp 767-770.

106. Kubisz, L. Magnetically induced anisotropy of electric permittivity in the PDMS ferromagnetic gel / L. Kubisz , A. Skumiel, E. Pankowski, Dorota Hojan-Jezierska. // Journal of non-crystalline solids. - 2010. - 295. - pp. 336-341.

107. Semisalova, A. S. Strong magnetodielectric effects in magnetorheological elastomers / A. S. Semisalova, N. S. Perov, G. V. Stepanov, E. Y. Kramarenko, A. R. Khokhlov // Soft matter. -2013. - vol. 9, № 47. - pp. 11318-11324.

108. Bica, I. The influence of the magnetic field on the elastic properties of anisotropic magnetorheological elastomers / I. Bica // Journal of Industrial and Engineering Chemistry. - 2012. -vol. 18, № 5. - pp. 1666-1669.

109. Bica, I. Influence of magnetic field upon the electric capacity of a flat capacitor having magnetorheological elastomer as a dielectric / I. Bica // Journal of Industrial and Engineering Chemistry. -2009. - vol. 15, № 4. - pp. 605-609.

110. Bica, I. Magnetic field intensity effect on plane electric capacitor characteristics and viscoelasticity of magnetorheological elastomer / I. Bica, Y. D. Liu, H. J. Choi // Colloid and Polymer Science. - 2012. - vol. 290, № 12. - pp. 1115-1122.

111. Bednarek, S. The giant magnetostriction in ferromagnetic composites within an elastomer matrix / S. Bednarek // Applied Physics A: Materials Science & Processing . -1999. - vol. 68, № 1. - pp. 63-67.

112. Теряева Т.Н., Костенко О.В., Исмагилов З.Р. Структура и термические характеристики композитов на основе полиэтилена и микросфер зол уноса. // Химия в интересах устойчивого развития. 2015. т. 23. № 2. с. 193-197.

113. Сушко М.Я., Криськив С.К. Метод компактных групп в теории диэлектрической проницаемости гетерогенных систем // Вестник Новгородского государственного университета. 2010, секция физико -математические науки, т.2, с. 44-46.

114. Майер С.А. Плазмоника: теория и приложения. М.- Ижевск: НИЦ Регулярная и хаотическая динамика, 2011.

115. Сарычев А.К., Шалаев В.М. Электродинамика метаматериалов, М.: Научный мир, 2011.

116. Астапенко В.А. Электромагнитные процессы в среде, наноплазмоника и метаматериалы, Долгопрудный: ИД Интеллект, 2012.

117. Головнин В. А., Каплунов И. А., Малышкина О. В., Педько Б. Б., Мовчикова А. А. Физические основы, методы исследования и практическое применение пьезоматериалов. - М.: Техносфера, 2016. - 272 с.

118. Шевченко, В. Г. Основы физики полимерных композиционных материалов: учебное пособие для студентов по специальности «Композиционные наноматериалы» / В. Г. Шевченко. - Москва: МГУ имени М. В. Ломоносова, 2010. - 99 с.

119. N.A. Emelianov Structure and dielectric properties of composite material based on surface-modified BaTiO3 nanoparticles in polysterene. European Physical Journal Applied Physics 2015, Vol.69, Iss. 1. 10401.

120. Халамейда С.В. Особенности синтеза нанодисперсного титаната бария и исследование его свойств / С.В. Халамейда // ХФТП.- 2010.- Т. 1.- № 4.

121. Пименов, В. Г. Численные методы: в 2 ч. Ч. 2 : [учеб. пособие] / В. Г. Пименов, А. Б. Ложников [науч. ред. Ю. А. Меленцова]; м-во образования и науки Рос. Федерации, Урал. федер. ун-т. - Екатеринбург: Изд-во Урал. ун-та, 2014. - 106 с.

122. Самарский, А. А. Введение в численные методы. / А. А. Самарский. - М.: Мир, 1986. - 308 с.

123. Полянин, А. Д. Методы решения нелинейных уравнений математической физики и механики / А. Д. Полянин, В. Ф. Зайцев, А. И. Журов. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. - 256 с.

124. Гладких, Б. А. Методы оптимизации и исследование операций для бакалавров информатики. Ч. II. Нелинейное и динамическое программирование: учебное пособие / Б. А. Гладких. - Томск: Изд-во НТЛ, 2011. - 264 с.

125. Банди, Б. Методы оптимизации. Вводный курс: пер. с англ. / Б. Банди. - М.: Радио и связь, 1988. - 128 с.: ил.

126. Трифонов, А. Г. Квазиньютоновские методы [Электронный ресурс] / А. Г. Трифонов. - Режим доступа: matlab.exponenta.ru/optimiz/book_1/11.php.

127. Электронный ресурс. - Режим доступа: http://www.wolfram.com/mathematica/.

128. Электронный ресурс. - Режим доступа: https://www.maplesoft.com/index.aspx.

129. Электронный ресурс. - Режим доступа: http://mif.vspu.ru/books/mapletut/.

130. Электронный ресурс. - Режим доступа: https://www.ptc.com/ru/products/mathcad.

131. Электронный ресурс. - Режим доступа: https://www.mathworks.com/?s_tid=gn_logo.

132. Дьяконов, В. П. Matlab. Полный самоучитель / В. П. Дьяконов. - М.: ДМК Пресс, 2012. - 768 с.: ил.

133. Электронный ресурс. - Режим доступа: http ://matlab. exponenta.ru/optimiz/book_1/ index.php.

134. Электронный ресурс. - Режим доступа: http ://matlab. exponenta.ru/optimiz/book_4/1/ fminunc.php.

135. Электронный ресурс. - Режим доступа: http ://matlab. exponenta.ru/optimiz/book_4/1/ fmincon.php.

136. Электронный ресурс. - Режим доступа: http ://matlab. exponenta.ru/ml/book1/ matlab/chapter3/3_4.php.

Приложение А. Программные коды для реализации нелинейной модели взаимодействия электромагнитного поля с молекулами испаряющейся жидкости и динамики этих молекул в газовой среде внутри капилляра

А1. Код файла-сценария Methanol_Stab

tic

c=3*10A8;

mm0=4*pi*10.A-7; %магнитная постоянная e0=8.85418782*10.A-12; %электрическая постоянная lambda1=0.0294; %длина волны электромагнитного излучения kk=2*pi/lambda1; %волновое число

T = 293 + 40; %температура среды внутри капилляра k = 1.38064852*10A-23; %постоянная Больцмана

nnas = ((631/760)*10A5)/(k*T); %концентрация насыщенных паров метанола P = 10A5; %давление воздуха

n = P/(k*T); %общая концентрация молекул парогазовой смеси Cnas = nnas/n; for flag=0:3 if flag>0

load methanol.mat Y2 Y F Stab Stab2 end

%относительная концентрация насыщенных паров метанола - начальное приближение if flag==0 f=Cnas; end

%рассчитанные значения концентраций паров метанола на предыдущей итерации алгоритма if flag>0 f=real(Y2);

x0=0; xn=10*10A-2; h1=2*10A-4; e=1; mm=1;

№т132((хп-х0)/Ы+1); N=501;

^=ёоиЫе(8*К); Ь=хп;

Ь_1=Ь1*кк; х_0=х0*кк; х_п=хп*кк; Е0=1е+5; Н0=8дП(е0/(шш0))*Е0;

Я=кк*1.5е-3;

ау=0; а2=0; А=0.5; п2_е£=0.14;

ii=double(1:N);

Е=[А*со8(-(И-1)*(кк*Ь1)) zeros(1,1*N) (1-Aл2)л0.5*cos(-(ii-1)*(kk*h1)+pi/2) zeros(1,1*N)]; dE=[-kk*A*sin(-(ii-1)*(kk*h1)) zeros(1,1*N) -kk*(1-AЛ2)л0.5*sin(-(ii-1)*(kk*h1)+pi/2) zeros(1,1*N) -kk*A*sin(-(ii-1)*(kk*h1)) zeros(1,1*N) -kk*(1-AЛ2)л0.5*sin(-(ii-1)*(kk*h1)+pi/2) zeros(1,1*N)]; Е=[Е Е]; ххх=(п-1)*Ы; xx=xxx(2:N); ЕЕЕ=Е;

%расчет величин эффективной диэлектрической проницаемости в узлах координатной сетки шш=1;

е1=1;

п1=1.3;

п2=0.13;

eps1=(n1Л2-n2Л2)+1i*(2*n1*n2);

Hb=(2-3*f).*e1-(1-3*f).*eps1;

eps_ef=0.25*(Hb+(Hb.л2+8*eps1*e1).л0.5);

aa2=imag(h_1*(ii(2:N)-1).*(eps_ef. *1).л0.5); bb2=angle(eps_ef)/2;

%запись решений системы уравнений Гельмгольца во всех узлах координатной сетки

EEy=E0*EEE(2:N).*exp(-aa2);

EEz=E0*EEE(2*N+2:3*N).*exp(-aa2);

HHy=H0*EEE(4*N+2:5*N).*exp(-aa2).*exp(-bb2);

HHz=H0*EEE(6*N+2:7*N).*exp(-aa2).*exp(-bb2);

%величины градиентов проекций векторов напряженности электрического и магнитного поля dEy=E0*dE(2:N).*exp(-aa2); dEz=E0*dE(2*N+2:3*N). *exp(-aa2); dHy=H0*dE(4*N+2:5*N). *exp(-aa2). *exp(-bb2); dHz=H0*dE(6*N+2:7*N). *exp(-aa2). *exp(-bb2);

y1=real(Y2);

y2=imag(Y2);

y3=1-y1-y2;

if glag==3

%построение графиков распределения величин проекций векторов напряженности %электромагнитного поля, величин электромагнитных сил и величин концентраций %компонентов парогазовой смеси внутри капилляра

figure1 = figure;

subplot(1,2,1)

plot(xx,E0*EEE(2:N),'r');

hold on

plot(xx,EEy,'b'); subplot(1,2,2)

plot(xx,E0*EEE(2*N+2:3*N),'r'); hold on

plot(xx,EEz,'b'); figure2 = figure;

subplot(1,2,1)

plot(xx,H0*EEE(4*N+2:5*N),'r'); hold on

plot(xx,HHy,'b'); subplot(1,2,2)

plot(xx,H0*EEE(б*N+2:7*N),'r'); hold on

plot(xx,HHz,'b');

figure3 = figure; subplot(1,2,1)

plot3 (xx,E0*EEE(2:N),E0*EEE(2*N+2:3*N), 'r'); hold on

plot3(xx,EEy,EEz,'b'); subplot(1,2,2)

plot3 (xx,H0*EEE(4*N+2:5*N),H0*EEE(6*N+2: 7*N), 'r'); hold on

plot3(xx,HHy,HHz,'b');

figure4=figure;

subplot(3,1,1)

plot(xx,y1);

subplot(3,1,2)

plot(xx,y2);

subplot(3,1,3)

plot(xx,y3);

ii=double(1:N);

xxx=(ii-1)*h1;

xx=xxx(2:N);

figure2=figure;

subplot(3,1,1)

bar(xx,real(Y2))

subplot(3,1,2)

bar(xx,imag(Y2)); subplot(3,1,3)

bar(xx, 1 -real(Y2)-imag(Y2)); break end

iteration=0; Num=0;

%первый вариант кода для алгоритма расчета точек покоя для первого начального %приближения относительных концентраций компонентов парогазовой смеси D=4.5e-10;

%F=(1/6)*pi*Dлз*e0*(real(eps_ef)-1).*(EEy.*dEy+EEz.*dEz);

F=f*(1.65*3.3564*^-30).*(EEy.*dEy+EEz.*dEz);

Stab=zero s(1,N-1);

Y=zeros( 1,N-1); Fval=zeros( 1,N-1);

Fval2=zeros( 1,N-1);

yy1=real(Y); yy2=imag(Y);

for ii=1:N-1

iteration=iteration+1;

disp(iteration)

disp(Num)

Fel=F(ii); Eqsum=@(y)El_Stab_sum(y,Fel);

lb=[0 0]; ub=[0.9999 0.9999]; %

if flag==0 y=[0 2 0.7]; else

y=[yy1(ii) yy2(ii)];

options = optimoptions('fmincon');

%options = optimoptions(options,'Display', 'iter-detailed');

options = optimoptions(options,'MaxFunEvals', 1e+50); options = optimoptions(options,'MaxIter', 1.5e+3); options = optimoptions(options,'MaxPCGIter', 1e+50); options = optimoptions(options,'TolFun', 1e-55); options = optimoptions(options,'TolX', 1e-100); %options = optimoptions(options,'FunValCheck', 'on'); %options = optimoptions(options,'Diagnostics', 'on'); options = optimoptions(options,'MaxProjCGIter', 1e+50); options = optimoptions(options,'TolCon', 1e-100); options = optimoptions(options,'TolProjCG', 1e-100); options = optimoptions(options,'TolProjCGAbs', 1e-100); [x,fval] = ...

fmincon(Eqsum,y,[],[],[],[],lb,ub,[],options); Fval(ii)=fval; disp(fval) if fval>1e-4 continue

end

if x(2)<1e-4 continue

end

if x(1)<1e-4 continue

end

if x(1)+x(2)>=0.9999 continue

end

if y(1:2)==x(1:2)

continue end

Eq=El_Stab_eq s(y,Fel);

syms y1 y2 dPy1 dPy2 dQy1 dQy2;

dPy 1=diff(Eq( 1),y1); dPy2=diff(Eq( 1),y2);

dQy1=diff(Eq(2),y1); dQy2=diff(Eq(2),y2);

a11=double(subs(dPy1,[y1 y2],x(1:2))); a12=double(subs(dPy2,[y1 y2],x(1:2))); a21=double( sub s(dQy1,[y1 y2],x(1:2))); a22=double(subs(dQy2,[y1 y2],x(1:2))); % A=[a11 a12;a21 a22];

syms t; AA=[a11-t a12;a21 a22-t]; DD=det(AA); z=double(solve(DD,t)); if real(z( 1))<0&&real(z(2))<0

Y(ii)=x( 1)+x(2)*1i; Num=Num+1; disp(Y(ii)); end

if real(z( 1))<0&&real(z(2))<0&&real(z(2))<real(z( 1))&&...

imag(z( 1))==0&&imag(z(2))==0 Stab(ii)=1; end

if real(z( 1))<0&&real(z(2))<0&&real(z( 1))==real(z(2))

Stab(ii)=2; end

if real(z( 1))<0&&real(z(2))<0&&imag(z( 1))==-imag(z(2))

Stab(ii)=3; end end

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%второй вариант кода для алгоритма расчета точек покоя для второго начального приближения

%относительных концентраций

Stab2=zeros(1,N-1);

Y2=zeros(1,N-1);

if flag>0

yy1=real(Y2); yy2=imag(Y2); end

for ii=1:N-1

iteration=iteration+1;

disp(iteration)

disp(Num)

Fel=F(ii);

Eqsum=@(y)El_Stab_sum(y,Fel); lb=[0 0]; ub=[0.9999 0.9999];

if flag==0 y=[0 7 0.2]; else

y=[yy1(ii) yy2(ii)];

end

options = optimoptions('fmincon'); %options = optimoptions(options,'Display', 'iter-detailed'); options = optimoptions(options,'MaxFunEvals', 1e+50); options = optimoptions(options,'MaxIter', 1.5e+3); options = optimoptions(options,'MaxPCGIter', 1e+50); options = optimoptions(options,'TolFun', 1e-55); options = optimoptions(options,'TolX', 1e-100); %options = optimoptions(options,'FunValCheck', 'on'); %options = optimoptions(options,'Diagnostics', 'on'); options = optimoptions(options,'MaxProjCGIter', 1e+50); options = optimoptions(options,'TolCon', 1e-100); options = optimoptions(options,'TolProjCG', 1e-100); options = optimoptions(options,'TolProjCGAbs', 1e-100); [x,fval] = ...

fmincon(Eqsum,y,[],[],[],[],lb,ub,[],options); Fval2(ii)=fval; disp(fval) if fval>1e-4 continue

end

if x(2)<1e-4 continue

end

if x(1)<1e-4

continue

end

if x(1)+x(2)>=0.9999 continue

end

if y(1:2)==x(1:2)

continue end

Eq=El_Stab_eq s(y,Fel);

syms y1 y2 dPy1 dPy2 dQy1 dQy2;

dPy 1=diff(Eq( 1),y1); dPy2=diff(Eq( 1),y2);

dQy1=diff(Eq(2),y1); dQy2=diff(Eq(2),y2);

a11=double(subs(dPy1,[y1 y2],x(1:2))); a12=double(subs(dPy2,[y1 y2],x(1:2))); a21=double( sub s(dQy1,[y1 y2],x(1:2))); a22=double(subs(dQy2,[y1 y2],x(1:2))); % A=[a11 a12;a21 a22];

syms t; AA=[a11-t a12;a21 a22-t]; DD=det(AA); z=double(solve(DD,t)); if real(z( 1))<0&&real(z(2))<0

Y2(ii)=x( 1)+x(2)*1i; Num=Num+1;disp(Y2(ii)); end

if real(z( 1))<0&&real(z(2))<0&&real(z(2))<real(z( 1))&&... imag(z( 1))==0&&imag(z(2))==0 Stab2(ii)=1; end

if real(z( 1))<0&&real(z(2))<0&&real(z( 1))==real(z(2))

Stab2(ii)=2; end

if real(z( 1))<0&&real(z(2))<0&&imag(z( 1))==-imag(z(2))

Stab2(ii)=3 ; end end

% запись результатов расчета в файл save methanol.mat Y2 Y F Stab Stab2 end toc

А2. Код файла-функции El_Stab_sum

function [Eq] = El_Stab_sum(y,Fel)

v1 = 0.2; v2 = -1; v3 =-2; v5 = 1;

%данные справочников и расчет с их использованием величин бинарных коэффициентов диффузии и потоков вещества l = 0.1; d = 10Л(-2); P = 10Л5; mm = 9.6836; Pl = 1.65*3.3564*10Л-30; T = 293 + 40; k = 1.38064852*10Л-23; n = P/(k*T); pl = 1.05*1.225; Na = 6.022*10Л23; m1 = 0.03204/Na; m2 = 0.039948/Na; m3 = 0.004002602/Na; plotnost1 = 0.76;

vyascost1 = 0.5*(85 + 72)*10*(-7); nnas = ((760/760)*10Л5)/(к*Т);

Спав = ппаБ/п;

Б11 = 1.21*10^-5;

Б22 = (1.62*10Л(-4))*(Т/273)Л1.71;

Б33 = (0.156*10Л(-4))*(Т/273)Л1.92;

Б12 = ((б11*б22)л0.5)*((ш1 + ш2)/(2*(ш1*ш2)л0.5))л0.5;

Б13 = ((б11*б33)л0.5)*((ш1 + ш3)/(2*(ш1*ш3)л0.5))л0.5;

К1 = п*(0.5*(Б12 + Б13))*Спав/1;

Р1 = (1.65*3.3564*10Л-30); Ь = 0;

у1=1*у(1);у2=1*у(2);

Ед=(((Бе1 + Ь).*((у1*п/Р) - (у1Л2).*(пЛ2)*ш1./(Р*п*(ш1*у1 + ш2*у2 +... ш3*(1 - у1 - у2)))) - (К1.*у2.*(у1*у1 + у2)./(п*Б12*(у1 + у2)))...

- (К1.*(1 - у1 - у2).*(у2*у1 + (1 - у1 - у2))./(п*Б13*(1 - у2))))л2+... ((К1.*у2*(у3*у2 + у1)./(п*Б12*(у1 + у2)))...

- ((пЛ2)*у1.*у2*ш2*(Бе1 + Ь)./(Р*п*(ш1*у1 + ш2*у2 + ш3.*(1 - у1 - у2)))))Л2); епё

А3. Код файла-функции Е1_81аЬ_ед8

Шпс1;юп [Ед] = Е1_81аЬ_едв(у,Бе1)

% у1 = уу(1); % у2 = уу(2); % у3 = уу(3);

у1 = 0.2; у2 = -1; у3 =-2;

у5 = 1;

%данные справочников и расчет с их использованием величин бинарных коэффициентов диффузии и потоков вещества

1 = 0.1; ё = 10Л(-2); Р = 10Л5; шш = 9.6836; Р1 = 1.66*3.3564*10Л-30; Т = 293 + 40; к = 1.38064852*10Л-23; п = Р/(к*Т); р1 = 1.05*1.225; № = 6.022*10Л23; ш1 = 0.03204/Ш; ш2 = 0.039948/Ш; ш3 = 0.004002602/Ш; р1о1;по81;1 = 0.76;

ууаБСОБИ = 0.5*(85 + 72)*10Л(-7);

ппаБ = ((760/760)*10Л5)/(к*Т);

Спав = ппаБ/п;

Б11 = 1.21*10Л-5;

Б22 = (1.62*10Л(-4))*(Т/273)Л1.71;

Б33 = (0.156*10Л(-4))*(Т/273)Л1.92;

Б12 = ((Б11*Б22)Л0.5)*((ш1 + ш2)/(2*(ш1*ш2)Л0.5))Л0.5;

Б13 = ((Б11*Б33)Л0.5)*((ш1 + ш3)/(2*(ш1*ш3)Л0.5))Л0.5;

К1 = п*(0.5*(Б12 + Б13))*СпаБ/1;

Р1 = (1.65*3.3564*10Л-30);

Ь = 0;

БушБ у1 у2;

Eq1=(((Fel + b).*((y1.*n./P) - (y1A2).*(nA2)*m1./(P.*n.*(m1.*y1 + m2.*y2 +m3.*(1 - y1 - y2)))) -(K1.*y2.*(v1.*y1 + y2)./(n.*D12.*(y1 + y2)))- (K1.*(1 - y1 - y2).*(v2.*y1 + (1 - y1 -y2))./(n.*D13.*(1 - y2)))).*1);

Eq2=((K1. *y2.*(v3. *y2 + y1)./(n.*D12.*(y1 + y2)))- ((n.A2).*y1.*y2.*m2.*(Fel + b)./(P.*n.*(m1.*y1 + m2.*y2 + m3.*(1 - y1 - y2)))));

Eq=[Eq1 Eq2]; end

А4. Код файла-сценария Runge_methanol

tic

% входные данные: физические константы, данные справочников, параметры электромагнитного излучения, параметры координатной сетки

c=3*10.A8; mm0=4*pi*10.A-7; e0=8.85418782*10.A-12; lambda1=0.0294; %f=real(Y);

kk=2*pi/lambda1; x0=0; xn=10*10A-2; h1=2*10A-4; e=1; mm=1; N=int32((xn-x0)/h 1+1); ll=xn; N=501;

NN=double(8*N);

l=xn;

h=h1;

h_1=h1*kk; x_0=x0*kk; x_n=xn*kk; E0=1e+7; H0=sqrt(e0/(mm0))*E0; R=kk*1.5e-3;

ay=0;

az=0;

A=0.5;

n2_ef=0.l4;

ii=double(l:N);

vl = 0.2; v2 = -1; v3 =-2; v5 = 1;

d = 10л(-2);

P = 10Л5; mm = 9.6836; Pl = 1.65*3.3564*10Л-30; T = 293 + 40; k = 1.38064852*10Л-23; n = P/(k*T); pl = 1.05*1.225; Na = 6.022*10Л23; ml = 0.03204/Na; m2 = 0.039948/Na; m3 = 0.004002602/Na; plotnostl = 0.76;

vyascostl = 0.5*(85 + 72)*10л(-7);

nnas = ((631/760)*10Л5)/(k*T);

Cnas = nnas/n;

Dll = 1.21*10Л-5;

%D11 =(333/273)л1.77*1.5*10Л-5;

D22 = (1.62*10Л(-4))*СГ/273)Л1.71;

D33 = (0.156*10л(-4))*(T/273)лl.92;

D12 = ((Dll*D22)A0.5)*((ml + m2)/(2*(m1*m2)лo.5))лo.5;

D13 = ((Dll*D33)A0.5)*((ml + m3)/(2*(m1*m3)лo.5))лo.5;

% K1 = n*(0.5*(Dl2 + Dl3))*Cnas/l;

y1=zeros(1,N); y2=zeros(1,N); Eq1=zeros(1,N); Eq2=zeros(1,N);

for flag=0:3

if flag>0

load('potok_runge.mat','K1','y1','y2');

%загрузка рассчитанных значений концентраций компонентов смеси end

f=y1;

E=[A*cos(-(ii-1)*(kk*h1)) zeros(1,1*N) (1-AA2)A0.5*cos(-(ii-1)*(kk*h1)+pi/2) zeros(1,1*N)]; dE=[-kk*A*sin(-(ii- 1)*(kk*h 1)) zeros(1,1*N) -kk*(1-AA2)A0.5*sin(-(ii-1)*(kk*h1)+pi/2) zeros(1,1*N) -kk*A*sin(-(ii-1)*(kk*h1)) zeros(1,1*N) -kk*(1-AA2)A0.5*sin(-(ii-1)*(kk*h1)+pi/2) zeros(1,1*N)]; E=[E E]; xxx=(ii-1)*h1; xx=xxx(1:N); EEE=E; mm=1;

%расчет величин эффективной диэлектрической проницаемости в узлах координатной сетки, расчет величин бинарных коэффициентов диффузии и плотности потока вещества eps2f=f*0.24; eps1f=1;

eps_ef=eps1f+((-1)A0.5)*eps2f;

aa2=imag(h_1*(ii-1).*(eps_ef.*1).A0.5);

bb2=angle(eps_ef)/2;

EEy=E0*EEE(1:N).*exp(-aa2); EEz=E0*EEE(2*N+1:3*N).*exp(-aa2); HHy=H0*EEE(4*N+ 1:5*N). *exp(-aa2). *exp(-bb2); HHz=H0*EEE(6*N+1:7*N).*exp(-aa2).*exp(-bb2);

dEy=E0*dE(1:N).*exp(-aa2); dEz=E0*dE(2*N+ 1:3*N). *exp(-aa2); dHy=H0*dE(4*N+ 1:5*N). *exp(-aa2). *exp(-bb2); dHz=H0*dE(6*N+ 1:7*N). *exp(-aa2). *exp(-bb2);

%F=( 1.65*3.3564*10A-30)*(dEy+dEz); Stab=zero s(1,N-1); Y=zeros( 1,N-1); Fval=zeros( 1,N-1); Fval2=zeros( 1,N-1); yy1=real(Y); yy2=imag(Y);

Fell=(1.65*3.3564*10A-30)*(dEy+dEz); b = 0;

%начальные приближение для величин концентраций компонентов смеси y1(1)=Cnas; y2(1)=(1-Cnas)/2;

for i=1:N-1

F=Fell(i);

%F=(1.65*3.3564*10A-30)*(1e+9);

yy1=y1(i); yy2=y2(i);

%расчет величин концентраций компонентов смеси методом Рунге-Кутты 4 порядка. Запись результатов расчета в файл Eqq1= -(((F)*((1)A3).*((yy1.*n./P) ...

- (yy1.A2).*(n.A2)*m1./(P.*n.*(m1.*yy1 + m2.*yy2 +m3.*(1 - yy1 - yy2))))...

- (1)*(n*(0.5*(D12 + D13))*yy1/ll*yy2.*(v1*yy1 + yy2)./(n*D12*(yy1 + yy2)))...

- (1)*(n*(0.5*(D12 + D13))*yy1/ll*(1-yy1-yy2)*(v2*yy1+(1-yy1-yy2))./(n.*D13.*(1 - yy2)))).*1);

Eqq2= -((n*(0.5*(D12 + D13))*yy1/ll*yy2*(v3*yy2+yy1)./(n*D12*(yy1+yy2)))*(1)... -((nA2)*yy1*yy2*m2*(F)*((1)A3)./(P*n*(m1*yy1+m2*yy2+m3*(1-yy1-yy2)))));

end

Kl = n*(0.5*(Dl2 + Dl3))*yl(l:N)/l;

if flag==3 figure1 = figure; subplot(l,2,l) plot(xx,E0*EEE(l:N),'r'); hold on

plot(xx,EEy,'b'); subplot(l,2,2)

plot(xx,E0*EEE(2*N+l:3*N),'r'); hold on

plot(xx,EEz,'b'); figure2 = figure; subplot(l,2,l)

plot(xx,H0*EEE(4*N+l:5*N),'r'); hold on

plot(xx,HHy,'b'); subplot(l,2,2)

plot(xx,H0*EEE(6*N+l:7*N),'r'); hold on

plot(xx,HHz,'b');

figure3 = figure; subplot(l,2,l)

plot3(xx,E0*EEE(l:N),E0*EEE(2*N+l:3*N),'r'); hold on

plot3(xx,EEy,EEz,'b'); subplot(l,2,2)

plot3(xx,H0*EEE(4*N+l:5*N),H0*EEE(6*N+l:7*N),'r'); hold on