Моделирование массопереноса в капельно-пленочных системах с использованием регуляризованной разностной схемы в испарительной литографии тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Колегов, Константин Сергеевич

• Колегов, Константин Сергеевич
• кандидат наук
• 2018

Оглавление диссертации кандидат наук Колегов, Константин Сергеевич

Введение. Общая характеристика работы..............................................................................5

1 Обзор литературы по направлению исследования........................11

1.1 Фундаментальные и прикладные аспекты дегидратацион-

ной самоорганизации....................................................................................................................................11

1.2 Классификация работ по направлению исследования..........................18

1.3 Факторы, влияющие на распределение компонентов..............................22

1.3.1 Свойства подложки..........................................................................................................................22

1.3.2 Физические и химические свойства частиц..............................................28

1.3.3 Химические и физические свойства раствора......................................29

1.3.4 Потоки компенсационной природы........................................................................30

1.3.5 Потоки конвективной природы....................................................................................34

1.3.6 Внешнее воздействие......................................................................................................................38

1.4 Обзор математических моделей..................................................................................................40

1.5 Приближение смазки....................................................................................................................................44

1.6 Выводы................................................................................................................................................................................48

2 Математическое моделирование радиального течения в испаряющейся капле......................................................................................................................50

2.1 Сравнение квазистационарной и нестационарной математических моделей течений в капле................................................................................................50

2.1.1 Вывод уравнений модели........................................................................................................50

2.1.2 Результаты расчетов ......................................................................................................................55

2.2 Сравнение квазистационарной и нестационарной математических моделей течений в испаряющейся капле с учетом вязкости..............................................................................................................................................................................62

2.2.1 Физическая постановка задачи......................................................................................62

2.2.2 Уравнения математической модели......................................................................65

2.2.3 Граничные условия..........................................................................................................................68

2.2.4 Параметры модели............................................................................................................................69

2.2.5 Результаты расчетов......................................................................................................................73

2.3 Математическое моделирование динамики жидкости в испаряющейся капле с учетом капиллярных и гравитационных сил................................................................................................................................................................................76

2.3.1 Физическая постановка задачи......................................................................................77

2.3.2 Математическая модель............................................................................................................78

2.3.3 Результаты расчетов ......................................................................................................................79

2.4 Выводы................................................................................................................................................................................81

3 Математическое моделирование переноса компонентов

в испаряющихся жидкостях ............................................................................................83

3.1 Математическое моделирование массопереноса в испаряющейся капле коллоидного раствора с учетом капиллярных

и гравитационных сил................................................................ 83

3.1.1 Физическая постановка задачи........................................... 83

3.1.2 Вывод уравнения конвекции-диффузии............................ 84

3.1.3 Математическая модель...................................................... 85

3.1.4 Граничные условия............................................................. 86

3.1.5 Параметры задачи............................................................... 87

3.1.6 Результаты расчетов........................................................... 87

3.2 Формирование кольцевых структур в высыхающей под маской пленке коллоидного раствора ............................................. 88

3.2.1 Описание метода.................................................................. 89

3.2.2 Предположения и допущения модели................................ 90

3.2.3 Математическая модель...................................................... 91

3.2.4 Краевые условия.................................................................. 92

3.2.5 Параметры модели.............................................................. 94

3.2.6 Результаты вычислительного эксперимента...................... 95

3.3 Выводы........................................................................................ 98

4 Численный метод и алгоритм расчета на ЭВМ................100

4.1 Выбор метода решения...............................................................100

4.2 Дискретизация уравнений.......................................................... 101

4.3 Начальные и краевые условия...................................................103

4.4 Аппроксимация...........................................................................104

4.5 Устойчивость разностной схемы................................................107

4.6 Введение регуляризатора...........................................................110

4.7 Численный метод и комплекс программ...................................110

4.8 Выводы........................................................................................ 117

Заключение........................................................................................118

Список литературы...........................................................................120

Приложение. Основы теории массопереноса в капельно-пленосных системах, используемые в разделах диссертации ...............................................................................139

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Моделирование массопереноса в капельно-пленочных системах с использованием регуляризованной разностной схемы в испарительной литографии»

Введение. Общая характеристика работы

Актуальность проблемы. Испаряющиеся с непромокаемого основания жидкости являются открытыми системами с переменной массой. Такие системы привлекают внимание исследователей как с фундаментальной, так и с практической точки зрения. Капли и пленки используются в приложениях различных сфер деятельности. В технике — разработка новых технических устройств [1,2], микроэлектроника [3], оптика, сенсорные устройства и другое [4] (например, создание прозрачных электропроводящих покрытий [2,5]). В нанотехнологии и оптоэлектронике — производство наноструктур [6], создание структурированных поверхностей [7] и фотонных кристаллов [8,9]. В медицине — тестирование лекарственных средств [10] и диагностика заболеваний (метод клиновидной дегидратации [11-14]). В биофизике — изучение механических свойств молекул ДНК и РНК [15], сохранение биоматериалов [16].

Одним из феноменов, требующих теоретического объяснения, является возникновение течения и перераспределение микро- и наночастиц в результате испарения. Математическое описание явления дегидратационной самоорганизации в высыхающих жидкостях — задача актуальная, потому что построение моделей распределения компонентов поможет решить фундаментальную научную проблему, заключающуюся в выявлении механизмов структурообразова-ния в исследуемых открытых системах и управлении данными механизмами.

Степень разработанности темы. В настоящее время имеется целый ряд моделей, посвященных массопереносу в высыхающих каплях и пленках (например, [17-20] и другие), но работа в данном направлении не прекращается. Это связано с необходимостью учета множества различных эффектов, каждый из которых удобнее детально рассматривать в отдельно взятой модели. Одновременный учет множества эффектов в рамках одной модели значительно усложняет уравнения, входящие в нее. Зачастую это приводит к тому, что стандартные численные методы не позволяют решить нелинейную задачу. Поэтому возникает необходимость разработки новых численных методов или модификации уже имеющихся. Также существуют несколько альтернативных подходов в

описании процессов переноса массы в испаряющихся коллоидных жидкостях. Некоторые из них мало развиты ввиду сложности реализации (нестационарные модели). Но не исключено, что эти подходы окажутся более результативными. Кроме того, появление новых приложений, таких как испарительная литография [21], должно сопровождаться их детальным теоретическим исследованием. Это позволит понять как можно улучшить существующий метод, к примеру, с целью получения структур на микро- и наноуровне, повторяющих шаблон с большей точностью. К примеру, шаблоном может быть маска, размещенная над жидкостью [21]. В результате испарение вдоль поверхности капли (пленки) происходит неравномерно, что приводит к возникновению компенсационных потоков. Эти потоки сносят коллоидные части в области под отверстиями в маске, где испарение наиболее интенсивное. Таким образом, при математическом описании процесса необходимо учитывать возможность наличия маски.

Цели и задачи исследования. Цель диссертационного исследования заключается в построении математической модели массопереноса в капельно-пленочных системах, используемых в испарительной литографии. Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие научные задачи:

1) проанализировать состояние проблемы по направлению исследования и установить взаимосвязи массопереноса в капельно-пленочных системах с гравитационными, капиллярными и вязкими силами, а также со скоростью и неравномерностью испарения;

2) построить нестационарную модель массопереноса в высыхающих жидкостях, в том числе и в коллоидных, которые применяются в испарительной литографии;

3) предложить разностную схему для решения уравнений модели и разработать алгоритмы расчета скорости радиальных течений в капле или пленке, массовой доли коллоидных частиц и толщины жидкого слоя во времени и пространстве;

4) создать комплекс программ для проведения вычислительного эксперимента и исследования массопереноса, возникающего в процессе испарения капель и пленок на твердой поверхности;

5) сравнить квазистационарный и нестационарный подходы в моделирова-

нии динамики жидкости испаряющихся капель, сопоставить результаты расчетов с экспериментальными данными других авторов и оценить границы применимости квазистационарного подхода;

6) предложить и проанализировать метод получения кольцевых структур из коллоидных частиц, в основе которого лежит испарительная литография.

Объект исследования. Капельно-пленочные системы являются объектом исследования данной работы. В диссертации теоретически изучены высыхающие с непроницаемой горизонтальной поверхности жидкости (без примесей и коллоидные).

Предмет исследования. Массоперенос в каплях и пленках, возникающий в процессе испарения жидкости с подложки, является предметом исследования данной работы.

Методы исследования. Описание математической модели массопереноса выполнено с применением уравнений неразрывности, конвекции-диффузии и движения, полученных из рассмотрения баланса массы и импульса в элементарном объеме. Численные расчеты проводились с использованием программного комплекса, разработанного на языке Maple.

Научная новизна результатов исследования:

• установлены взаимосвязи массопереноса в капельно-пленочных системах с гравитационными, капиллярными и вязкими силами, а также со скоростью и неравномерностью испарения, которые ранее не рассматривались в совокупности;

• на основании установленных взаимосвязей построена нестационарная математическая модель, описывающая массоперенос в испаряющейся капле или пленке, в которой учтены вязкие, капиллярные и гравитационные силы, а также скорость и неравномерность испарения под маской;

• оценены границы применимости квазистационарного подхода в моделировании динамики жидкости высыхающей капли по отношению к скорости испарения и временной стадии процесса;

• предложена и реализована регуляризованная О-схема, являющаяся модификацией параметрической двухслойной шеститочечной разностной схемы, для решения плохо обусловленной задачи о высыхающей капле (пленке);

• разработаны алгоритмы расчета скорости радиальных течений в капле или пленке, массовой доли коллоидных частиц и толщины жидкого слоя во времени и пространстве, реализованные в комплексе программ на основе предложенной модификации численной схемы;

• предложен метод получения кольцевых структур из коллоидных частиц, в основе которого лежит испарительная литография.

Теоретическая и практическая значимость работы. Построенная модель, разработанная численная схема и проведенные расчеты вносят вклад в понимание нелинейных процессов дегидратационной самоорганизации, которые недостаточно изучены теоретически. Проведенные исследования способствуют объяснению механизмов переноса коллоидных частиц в высыхающих каплях и пленках. В перспективе результаты данных исследований позволят в будущем научиться эффективно управлять методом испарительной литографии. Например, получать микро- и наноструктуры нужной формы с большей точностью в размерах.

Разработанный соискателем комплекс программ позволяет проводить расчеты массопереноса в испаряющихся чистых и коллоидных жидкостях: каплях и пленках на непромокаемых горизонтальных подложках, в открытых и закрытых маской цилиндрических ячейках микро- и миллиметровых размеров. С помощью программного комплекса возможно рассчитать скорость радиального течения, динамику формы поверхности жидкости, эволюцию массовой доли коллоидных частиц во времени и пространстве при различных модельных законах испарения и параметрах: концентрация частиц, вязкость, объем жидкости и другие.

Основные положения, выносимые на защиту:

• нестационарная модель, описывающая массоперенос в испаряющихся каплях и пленках, в том числе жидкостях, содержащих коллоидные частицы,

особенность которой заключается в совместном учете вязких, капиллярных и гравитационных сил, а также скорости и неравномерности испарения под маской;

• регуляризованная О-схема, которая является модификацией параметрической двухслойной шеститочечной разностной схемы, для решения плохо обусловленной задачи о высыхающей капле (пленке);

• комплекс программ, основанный на предложенной модификации разностной схемы, который позволяет вычислять скорость радиальных течений в капле или пленке, динамику границы «жидкость-газ» и эволюцию массовой доли коллоидных частиц в процессе испарения;

• метод получения кольцевых структур из коллоидных частиц, в основе которого лежит испарительная литография.

Достоверность положений, выносимых автором на защиту диссертации, обеспечивается качественным и количественным соответствием результатов расчетов экспериментальным данным и результатам вычислительных экспериментов других авторов.

Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались на конференциях и иных научных мероприятиях. Основные из них:

• XX международная конференция «Математика. Экономика. Образование», пос. Дюрсо, 27 мая-3 июня 2012 г.;

• VII всероссийская школа-семинар «Математическое моделирование и биомеханика в современном университете», пос. Дивноморское, 28 мая-1 июня 2012 г.;

• 14-й международный научно-промышленный форум «Великие реки» (экологическая, гидрометеорологическая, энергетическая безопасность), Нижний Новгород, 2012 г.;

• вторая международная конференция и всероссийская молодежная школа «Процессы самоорганизации в высыхающих каплях многокомпонентных жидкостей: эксперименты, теории, приложения», Астрахань, 17-22 сентября 2012 г.;

• международная конференция «Математическое моделирование и вычислительная физика», Дубна, 2013 г;

• IX всероссийская школа-семинар «Математическое моделирование и биомеханика в современном университете», пос. Дивноморское, 26-30 мая 2014 г.

• 57-я научная конференция МФТИ с международным участием, г. Долгопрудный, 24-29 ноября 2014 г;

• конференция К0М0Д-2017 в г. Санкт-Петербург 3 и 4-го июля 2017 г.

Соответствие паспорту специальности. Работа соответствует паспорту специальности 05.13.18 «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ» по следующим пунктам.

Пункт 3. Разработка, обоснование и тестирование эффективных вычислительных методов с применением современных компьютерных технологий.

Пункт 4. Реализация эффективных численных методов и алгоритмов в виде комплексов проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента.

Пункт 5. Комплексные исследования научных и технических проблем с применением современной технологии математического моделирования и вычислительного эксперимента.

Объем и структура работы. Работа состоит из введения, четырех глав, заключения, приложения и списка литературы из 164 наименований. Объем диссертации — 161 стр.

Глава 1

Обзор литературы по направлению исследования

Аналитический обзор, приведенный в этой главе, частично опубликован соискателем в материалах второй международной конференции «Процессы самоорганизации в высыхающих каплях многокомпонентных жидкостей: эксперименты, теории, приложения» [22].

1.1 Фундаментальные и прикладные аспекты дегидратационной

самоорганизации

В последние годы внимание исследователей привлекли процессы, протекающие при испарении капли на горизонтальном твердом основании. Исследование этих процессов интересно как с познавательной, так и с практической точки зрения. Испарение капель, в частности, используется в производстве наноструктур [6,23], для изучения механических свойств ДНК и РНК [15], при проведении тестирования лекарственных средств [10], в медицинской диагностике [24,25], в задачах криосохранения [16], при производстве микро- и нано-структурированных поверхностей [7,21], для сепарации веществ [26,27] и т. д.

При высыхании капли биологической жидкости на твердой подложке образуются различного вида структуры (паттерны). Многообразие получаемых структур сложно представить. В качестве примера на рисунке 1.1 представлены некоторые из возможных паттернов. Вид паттерна зависит от физических факторов: температура жидкости, подложки, воздуха, смачиваемость подложки, влажность окружающего воздуха, вязкость жидкости и т. п. Также влияние оказывают химические факторы: концентрация компонентов, ионная сила раствора, содержание гелеобразующих молекул и т. д. Сложно сказать, кто первый начал заниматься данной проблематикой. Первое морфологическое описание структур высохшей на стекле капли сыворотки крови, спинномозговой жидкости, мочи и др. биологических жидкостей, насколько известно, относит-

ся к 1954-1956 гг. [28-30]. Большой вклад в описание этого явления внесла Рапис Е. Г. Обобщенные результаты ее исследований опубликованы в [14,31].

Рис. 1.1. Структуры, полученные в [16] из растворов с лизоцимом и трегалозой в сочетании с солями и без (© Ragoonanan V. and Aksan A.)

В медицине применяют метод, основанный на исследовании высохших капель плазмы и сыворотки крови, слюны и других биологических жидкостей.

Данный вид диагностики называется метод клиновидной дегидратации. Суть метода состоит в том, что у людей с наличием какого-либо заболевания и с отсутствием такового наблюдаются разного вида паттерны. Таким образом, для некоторых заболеваний характерны определенные паттерны. Метод подробно описан в [12,24].

Некоторое время назад отечественные исследования дегидратационной самоорганизации биожидкости никак не связывались с работами зарубежных авторов, посвященных высыханию жидкости. Однако, проведенный анализ [32-35] позволяет сделать заключение, что основные эффекты, наблюдаемые при высыхании биологических жидкостей, типичны для коллоидных растворов вообще и могут быть описаны в рамках стандартных подходов, а гипотезы Шабалина и Шатохиной об «аутоволновых ритмах», «калибровочной синхронизации» и т. п. [24,25,36] являются излишними.

Математическое описание явления дегидратационной самоорганизации в высыхающей капле многокомпонентной жидкости — задача актуальная, потому что применяемые методы в медицинской диагностике, в производстве наноструктур и структурированных поверхностей сейчас находятся на качественном уровне, а теоретическое изучение явления в перспективе поможет перейти к количественным методам, предложить новые технологические решения. В последние годы в мире появилось значительное количество работ, посвященных данной теме. Несмотря на внешнюю простоту рассматриваемого явления, до сих пор нет общепринятой теории таких процессов, есть только набор конкурирующих математических моделей. Положение дел по данному вопросу хорошо описано в аналитических обзорах [32-35,37-42].

Одним из феноменов, требующих теоретического объяснения, является формирование белкового валика на краю капли и равномерное распределение солей в ее центре в процессе дегидратации биологической жидкости (рисунок 1.2). Экспериментальное наблюдение такого феномена приводится, например, в статье Т. А. Яхно [43]. С помощью микроскопа получены снимки образовавшихся структур в результате высушивания капли. Рассматривались солевые ^аС1) и белково-солевые растворы (раствор бычьего сывороточного альбумина и поваренной соли). Диссертация О. П. Исаковой посвящена математическому описанию массопереноса белка в высыхающей капле биожидко-

сти [44]. Модель [44] основана на квазистационарном подходе и приближении смазки.

Рис. 1.2. Высохшая капля белково-солевого раствора: 7% BSA и 0.9% NaCl. Слева увеличение х 10, справа — х 70 (© Т. А. Яхно [43])

Другое явление, которое можно наблюдать при высыхании капли коллоидного раствора, — эффект кофейных колец [45]. На рисунке 1.3 представлены кольцевидные структуры, полученные в результате высыхания капель различных растворов. Осадок располагается вдоль бывшей свободной границы капли.

Рис. 1.3. (а) пятно капли кофе; (Ь) коллоидные частицы; (с) осадок из соли. Масштабная линия равна 1 ст (© Диган и др. [17])

Авторы [46] экспериментально изучили эволюцию объемной доли коллоидных частиц вдоль радиуса основания капли (Я ~ 1 тт). Полученные результаты подтверждают, что концентрация частиц значительно возрастает вблизи трехфазной границы с течением времени (рисунок 1.4).

Капли, размещенные на горизонтальном непромокаемом основании, сохнут в одном из трех возможных режимов: при постоянной площади основания

Рис. 1.4. Измеренные профили объемной доли частиц для различных начальных концентраций ((g) Bodiguel and Leng [46])

капли — пиннинг (pinning), при постоянном значении краевого угла и при периодической комбинации двух предыдущих режимов (stick-slip motion). В режиме пиннинга линия трехфазной границы закреплена. Фиксация границы связана с шероховатостью поверхности подложки или с наличием частиц, которые радиальным течением переносятся к периферии капли, обеспечивая закрепление трехфазной границы. В случае гладкой подложки и отсутствия частиц (либо их недостаточной концентрации) линия трехфазной границы движется по направлению к центру капли в процессе испарения. При этом значение краевого угла остается постоянным. В случае периодической фиксации границы происходит сначала закрепление границы, а потом через какое-то время отрыв границы (депиннинг), ее смещение в сторону центра капли с последующим закреплением.

Чередуя эти режимы, управляя различными физическими и химическими параметрами системы, получают большое количество различных паттернов [47]. Режим «stick-slip motion» благодаря периодическому пиннингу и де-пиннингу границы позволяет получать множественные кольцевые осадки на месте высушенной капли [48,49]. Экспериментаторы добились получения внутреннего кольцевидного осаждения, радиус которого меньше начального радиуса капли, за счет использования гидрофобной гладкой (по нанометровым масштабам) подложки, капли жидкости с примесью силиконовых и органических наночастиц [50]. Кроме внутреннего кольца в центре наблюдались структуры дендритной формы.

В данном диссертационном исследовании детально изучается режим с закрепленной границей. В гл. 2 и 3 математически описывается процесс дегидратации именно для этого случая.

Целью некоторых исследований является рассмотрение вопроса о подав-

лении эффекта «кофейных колец», что крайне важно для технологии струйной печати. К примеру, в [51] показано влияние формы коллоидных частиц на вид получаемого осадка. В случае сферических частиц получаются кольцевые осадки, в эксперименте с частицами эллипсоидальной формы наблюдается равномерное распределение осаждений. Предотвратить эффект «капли кофе» также можно за счет пропускания через жидкость электрических импульсов с частотой от нескольких герц до десятков килогерц [52]. В результате пропускания тока нарушается закрепление линии трехфазной границы. Благодаря этому высыхание сопровождается равномерным распределением частиц.

Одним из многочисленных приложений рассматриваемых систем является литография, основанная на испарении. Данная технология позволяет создавать упорядоченные структуры из микро- и наночастиц, задавая их с помощью препятствия в виде шаблона. Такое препятствие в заданных местах блокирует испарение жидкости с поверхности капли, что приводит к изменению направления течения и, соответственно, переносу частиц, содержащихся в растворе.

К примеру, в [21] шаблоном является пластинка с равномерно расположенными микроотверстиями. Предложенное препятствие позволяет получать точечно упорядоченные структуры.

Простой пример шаблона — «точечное» препятствие в виде металлического цилиндра или стекловолокна над тонкой пленкой раствора коллоидных частиц [53]. В отличие от капли в пленке жидкости, при отсутствии шаблона, конвективный перенос вещества практически отсутствует. В большей степени течение в капле — результат работы капиллярных сил в процессе испарения, обусловленный формой капли. Над пленкой же плотность потока пара распределена равномерно, в результате чего система находится в гидростатическом равновесии. При наличии шаблона над пленкой плотность потока пара неравномерна вдоль свободной поверхности жидкости. Это приводит к искривлению поверхности пленки, возникает градиент давления, приводящий к появлению течения. Эксперимент [53] показал образование углубления в паттерне непосредственно в месте под препятствием. На границах углублений наблюдаются возвышения в виде насыпи частиц.

Но шаблон — это не обязательно только физическое препятствие. Например, в [54] и [55] используются инфракрасные (рисунок 1.5) и рентгеновские лу-

чи соответственно. Направляя лучи в определенные точки [54] или области [55] пленки коллоидного раствора, добиваются локального изменения скорости потери испарителя. Таким образом, получаются точечные структуры с заданным пространственным распределением [54] или слои с переменной массовой долей частиц [55].

(а) . . ■ A fast evaporation

Near-IR After drying

Рис. 1.5. (а) Метод литографии, основанной на испарении под воздействием инфракрасного излучения. Пленка коллоидного раствора размещена под маской. Инфракрасные лучи нагревают поверхность пленки в заданных местах, усиливая тем самым испарение. В результате поток жидкости вместе с частицами устремляется к отверстиям. (Ь) Профилометрия высушенной пленки (1.5 ст х 1.5 ст) показывает множественную куполовидную структуру. Масштабная линия равна 3 тт. (с) Параметры из эксперимента (© Раус и др. [54])

Описанные выше феномены объясняются переносом растворенного или взвешенного в жидкости вещества радиальными потоками, возникающими при испарении капель и пленок. В гл. 2 и 3 горизонтальный перенос масс изучается теоретически методами математического моделирования.

В этой главе описывается классификация работ предшественников по направлению исследования, рассматриваются факторы, влияющие на распределение компонентов в капельных и пленочных системах. Кроме того, приводится обзор некоторых математических моделей, описывающих течение и транспорт частиц в высыхающих жидкостях.

1.2 Классификация работ по направлению исследования

Количество работ, посвященных исследованию процессов, протекающих при испарении жидкостей, стремительно растет на протяжении последних двух десятилетий. К примеру, только статей, ссылающихся на работу Дигана и др. [45], более двух тысяч (на момент написания данной главы). Систематизация исследований в данном направлении важна, так как это способствует дальнейшему развитию научного знания о динамических процессах в высыхающих жидкостях. Предлагается классификация работ по направлению исследования, представленная в виде блок-схемы на рисунке 1.6. Работы активно ведутся как в экспериментальном, так и в теоретическом направлении. Хорошим примером теоретического анализа служит работа Бараша [56]. Зачастую в отдельный вид исследования выносят математическое моделирование (рисунок 1.6). Далее по тексту под теоретическими работами будем понимать исследования, основанные на теоретическом анализе и на методах вычислительной физики. Также следует отметить, что относительно недавно были получены аналитические решения для некоторых постановок задач о тонких каплях и пленках, в том числе с использованием автомодельных переменных и инвариантов Римана [57,58].

Кроме вида исследования работы можно классифицировать и по другим критериям, представленным на рисунке 1.6. По химическому составу жидкости выделяются следующие направления исследований: чистый растворитель, смеси жидкостей, растворы. Математические модели, описывающие слабый раствор, как правило, не учитывают влияние частиц на течение [17,18]. Когда разбавленный раствор в процессе потери испарителя переходит в концентрированное состояние, наблюдается появление и движение границ раздела фаз (золь-гель, жидкость-стекло и т. п.) [19,20,59,60]. Результаты экспериментов [61,62] по изучению данного явления представлены на рисунке 1.7. Причиной возникновения фазового раздела является перенос вещества, вызванный течением жидкости, а также рост концентрации вещества в результате потери испарителя. В данной работе предлагается математическая модель для описания процессов переноса в чистых растворителях и слабых коллоидных растворах без рассмотрения фазового перехода золя в состояние геля (гл. 2, 3).

Исследования процессов в испаряющихся микрожидкостях

Вид исследования

Экспер

«ментальное

Теоретическое

Химический состав жидкости

Размерность задачи

т

2Б

Чистый растворитель

Математическое моделирование

Смеси жидкостей

Концентрация

I 8

! I

§

о

о,

о

о

£

и

т. си

Он

И

о

я

ч

я

св

«

ЗБ

Слабый

онцентрированныи

Он

е

о ей

рц

Т

ип раствора

Молекулярный

Полимерный

Коллоидный

Сложность раствора

Биологический

Квазистационарный подход + приближение смазки

Однокомпонентный

Сложный

Нестационарный подход

Кинематический подход

эЯ

Я ч

И о

(1> н

Он <и

« о 3

я

з®

3

В

И

о ё к §

й

4 О

С

Динамический подход

эЯ

3 я

I 5

551 Й

НН "«Н

Я 2

н

я

3

Контактный угол

Пленки и тонкие капли

Капли с большим краевым углом

Размеры Макрокапля Микрокапля Нанокапля

Осевая симметрия

Режим трехфазной границы

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Колегов, Константин Сергеевич, 2018 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Rieger, B. Ring formation in nanoliter cups: Quantitative measurements of flow in micromachined wells [Text] / B. Rieger, L. R. van den Doel, L. J. van Vliet // Physical Review E. — 2003. — Vol. 68, no. 3. — P. 036312.

2. Transparent conductive coatings by printing coffee ring arrays obtained at room temperature [Text] / M. Layani, M. Gruchko, O. Milo [et al.] // ACS Nano. — 2009. — Vol. 3, no. 11. — P. 3537-3542.

3. Direct-write fabrication of colloidal photonic crystal microarrays by ink-jet printing [Text] / Jungho Park, Jooho Moon, Hyunjung Shin [et al.] // Journal of Colloid and Interface Science. — 2006. — Vol. 298, no. 2. — P. 713-719.

4. Evaporative Self-assembly of Ordered Complex Structures [Text] / Ed. by Zhiqun Lin.— [S. l.] : World Scientific Publishing Company, 2010.— ISBN: 9814304689.

5. Shimoni, A. Inkjet printing of flexible high-performance carbon nanotube transparent conductive films by "coffee ring effect" [Text] / A. Shimoni, S. Azoubel, S. Magdassi // Nanoscale. — 2014. — Vol. 6. — P. 11084-11089.

6. Helseth, L. E. Particle interactions near the contact line in liquid drops [Text] / L. E. Helseth, T. M. Fischer // Physical Review E. — 2003. — Oct. — Vol. 68, no. 4. — P. 042601.

7. Self-assembly of gradient concentric rings via solvent evaporation from a capillary bridge [Text] / J. Xu, J. Xia, S. W. Hong [et al.] // Physical Review Letters. — 2006. — Vol. 96, no. 6. — P. 066104.

8. Directed organization of gold nanoparticles in polymer coatings through infrared-assisted evaporative lithography [Text] / A. Utgenannt, J. L. Keddie, O. L. Muskens, A. G. Kanaras // Chem. Commun. — 2013.— Vol. 49.— P. 4253-4255.

9. Fast assembly of gold nanoparticles in large-area 2d nanogrids using a one-step, near-infrared radiation-assisted evaporation process [Text] / A. Utgenannt,

R. Maspero, A. Fortini [et al.] // ACS Nano. — 2016.— Vol. 10, no. 2.— P. 2232-2242.

10. Takhistov, P. Complex stain morphologies [Text] / P. Takhistov, H. C. Chang // Industrial & Engineering Chemistry Research. — 2002. — Vol. 41, no. 25. — P. 6256-6269.

11. Савина, Л. В. Кристаллоскопические структуры сыворотки крови здорового и больного человека [Текст] / Л. В. Савина. — Краснодар : «Советская Кубань», 1999. — 96 с.

12. Шабалин, В. Н. Морфология биологических жидкостей человека [Текст] / В. Н. Шабалин, С. Н. Шатохина. — Москва : Хризостом, 2001.— 304 с.

13. О существовании регулярных структур в жидкой сыворотке (плазме) крови человека и фазовых переходах в процессе ее высыхания [Текст] / Т. А. Яхно, О. А. Седова, А. Г. Санин, А. С. Пелющенко // Журнал технической физики. — 2003. — Т. 73, № 4. — С. 23-27.

14. Рапис, Е. Г. Белок и жизнь (самосборка и симметрия наноструктур белка) [Текст] / Е. Г. Рапис. — Иерусалим, Москва : Филобиблион, ЗЛ. Милта-ПКП ГИТ, 2002. — 257 с.

15. Direct observation of dna molecules in a convection flow of a drying droplet [Text] / S. S. Abramchuk, A. R. Khokhlov, T. Iwataki [et al.] // Europhysics Letters. — 2001. — Vol. 55, no. 2. — P. 294-300.

16. Ragoonanan, V. Heterogeneity in desiccated solutions: Implications for biostabilization [Text] / V. Ragoonanan, A. Aksan // Biophysical Journal. — 2008. — Vol. 94, no. 6. — P. 2212-2227.

17. Contact line deposits in an evaporating drop [Text] / R. D. Deegan, O. Bakajin, T. F. Dupont [et al.] // Physical Review E. — 2000. — Vol. 62, no. 1. — P. 756765.

18. Fischer, B. J. Particle convection in an evaporating colloidal droplet [Text] / B. J. Fischer // Langmuir. — 2002. — Vol. 18, no. 1. — P. 60-67.

19. Tarasevich, Y. Desiccating colloidal sessile drop: dynamics of shape and concentration [Text] / Yuri Tarasevich, Irina Vodolazskaya, Olga Isakova // Colloid and Polymer Science. — 2011. — Vol. 289, no. 9. — P. 1015-1023.

20. Okuzono, T. Final shape of a drying thin film [Text] / T. Okuzono, M. Kobayashi, M. Doi // Physical Review E. — 2009.— Vol. 80, no. 2.— P. 021603.

21. Patterning colloidal films via evaporative lithography [Text] / Daniel J. Harris, Hua Hu, Jacinta C. Conrad, Jennifer A. Lewis // Physical Review Letters. — 2007. — Vol. 98, no. 14. — P. 148301.

22. Колегов, К. С. Факторы и модели распределения компонентов в высыхающих на твердых основаниях каплях [Текст] / К. С. Колегов // Процессы самоорганизации в высыхающих каплях многокомпонентных жидкостей: эксперименты, теории, приложения. Материалы второй международной конференции, 17-22 сентября 2012 г. — Астрахань : Астраханский государственный университет, Издательский дом «Астраханский университет»,

2012. — С. 211-229.

23. Self-assembled nanoparticle deposits formed at the contact line of evaporating micrometer-size droplets [Text] / L. V. Govor, G. Reiter, J. Parisi, G. H. Bauer // Physical Review E. — 2004. — Vol. 69, no. 6. — P. 061609.

24. Шабалин, В. Н. Принципы аутоволновой самоорганизации биологических жидкостей [Текст] / В. Н. Шабалин, С. Н. Шатохина // Вестник РАМН. — 2000. — Т. 3. — С. 45-49.

25. Шатохина, С. Н. Морфология биологических жидкостей — новое направление в клинической медицине [Текст] / С. Н. Шатохина, В. Н. Шабалин // Альманах клинической медицины. — 2003. — № 6. — С. 404-420.

26. Chhasatia, V. H. Interaction of bi-dispersed particles with contact line in an evaporating colloidal drop [Text] / Viral H. Chhasatia, Ying Sun // Soft Matter. — 2011. — Vol. 7. — P. 10135-10143.

27. Spatial ordering of colloids in a drying aqueous polymer droplet [Text] / Erkan Senses, Matthew Black, Thomas Cunningham [et al.] // Langmuir. —

2013. — Vol. 29, no. 8. — P. 2588-2594.

28. Sole, A. Die rhythmischen kristallisationen im influenzstagogramm [Text] / A. Sole // Colloid & Polymer Science. — 1954. — Vol. 137. — P. 15-19.

29. Koch, C. Feinbau und Entstehungsweise von Kristallstrukturen in getrockneten Tropfen hochmolekularsalzhaltiger Flüssigkeiten [Text] / C. Koch // Colloid & Polymer Science. — 1954. — Vol. 138. — P. 81-86.

30. Koch, C. Über Austrocknungssprünge [Text] / C. Koch // Colloid & Polymer Science. — 1956. — Vol. 145. — P. 7-14.

31. Рапис, Е. Г. Образование упорядоченной структуры при высыхании пленки белка [Текст] / Е. Г. Рапис // Письма в ЖТФ. — 1988. — Т. 14, № 17. — С. 1560-1564.

32. Тарасевич, Ю. Ю. Механизмы и модели дегидратационной самоорганизации биологических жидкостей [Текст] / Ю. Ю. Тарасевич // Успехи физических наук. — 2004. — Т. 174, № 7. — С. 779-790.

33. Яхно, Т. А. Основы структурной эволюции высыхающих капель биологических жидкостей [Текст] / Т. А. Яхно, В. Г. Яхно // Журнал технической физики. — 2009. — Т. 79, № 8. — С. 133-141.

34. Самосборка наночастиц в микрообъеме коллоидного раствора: физика, моделирование, эксперимент [Текст] / П. В. Лебедев-Степанов, Р. М. Кадуш-ников, С. П. Молчанов [и др.] // Российские нанотехнологии. — 2013.— Т. 8, № 3-4. — С. 5-23.

35. Sefiane, K. Patterns from drying drops [Text] / Khellil Sefiane // Adv. Colloid Interface Sci. — 2014. — Vol. 206. — P. 372-381.

36. Шатохина, С. Н. Аутоволновые процессы в сыворотке крови [Текст] / С. Н. Шатохина, В. Н. Шабалин // Альманах клинической медицины.— 2000. — Т. 2. — С. 354-363.

37. Craster, R. V. Dynamics and stability of thin liquid films [Text] / R. V. Craster, O. K. Matar // Rev. Mod. Phys. — 2009. — Vol. 81. — P. 1131-1198.

38. Тарасевич, Ю. Ю. Математическое моделирование процессов формирования и эволюции межфазных фронтов в высыхающих каплях многокомпонентных жидкостей [Текст] / Ю. Ю. Тарасевич, О. П. Исакова, И. В. Во-долазская // Процессы самоорганизации в высыхающих каплях многокомпонентных жидкостей: эксперименты, теории, приложения. Материа-

лы первой международной конференции, 3-6 мая 2010 года. — Астрахань : Издательский дом «Астраханский университет», 2010.— С. 7-25.

39. Тарасевич, Ю. Ю. Процессы самоорганизации в высыхающих каплях многокомпонентных жидкостей: эксперименты, теории, приложения. Краткий обзор публикаций за 2010-2012 годы [Текст] / Ю. Ю. Тарасевич // Процессы самоорганизации в высыхающих каплях многокомпонентных жидкостей: эксперименты, теории, приложения. Материалы второй международной конференции, 17-22 сентября 2012 года. — Астрахань : Астраханский государственный университет, Издательский дом «Астраханский университет», 2012. — С. 231-239.

40. Routh, A. F. Drying of thin colloidal films [Text] / Alexander F. Routh // Reports on Progress in Physics. — 2013. — Vol. 76, no. 4. — P. 046603.

41. Larson, R. G. Transport and deposition patterns in drying sessile droplets [Text] / Ronald G. Larson // AIChE Journal.— 2014.— Vol. 60, no. 5.— P. 1538-1571.

42. Erbil, H. Y. Control of stain geometry by drop evaporation of surfactant containing dispersions [Text] / H. Yildirim Erbil // Adv. Colloid Interface Sci. — 2015. — Vol. 222. — P. 275-290.

43. Yakhno, T. Salt-induced protein phase transitions in drying drops [Text] / T. Yakhno //J. Colloid Interface Sci. — 2008. — Vol. 318, no. 2. — P. 225-230.

44. Исакова, О. П. Моделирование процессов переноса и динамики межфазных границ в высыхающих жидкостях, содержащих микро- и наночастицы [Текст] : Дисс... кандидата наук / Ольга Петровна Исакова. — [Б. м. : б. и.], 2011.

45. Capillary flow as the cause of ring stains from dried liquid drops [Text] / R. D. Deegan, O. Bakajin, T. F. Dupont [et al.] // Nature. — 1997. — Vol. 389, no. 6653. — P. 827-829.

46. Bodiguel, H. Imaging the drying of a colloidal suspension [Text] / H. Bodiguel, J. Leng // Soft Matter. — 2010. — Vol. 6. — P. 5451-5460.

47. Deegan, R. D. Pattern formation in drying drops [Text] / R. D. Deegan // Physical Review E. — 2000. — Vol. 61, no. 1. — P. 475-485.

48. Shmuylovich, L. Surface morphology of drying latex films: Multiple ring formation [Text] / Leonid Shmuylovich, Amy Q. Shen, Howard A. Stone // Langmuir. — 2002. — Vol. 18, no. 9. — P. 3441-3445.

49. Self organization of particles in an evaporating meniscus of a colloidal solution [Text] / P. V. Lebedev-Stepanov, S. P. Molchanov, T. A. Karabut, S. A. Rybak // Acoust. Phys. — 2010. — Vol. 56, no. 5. — P. 651-653.

50. Nguyen, T. A. H. Evaporation of nanoparticle droplets on smooth hydrophobic surfaces: The inner coffee ring deposits [Text] / Tuan A. H. Nguyen, Marc A. Hampton, Anh V. Nguyen // J. Phys. Chem. C.— 2013.— Vol. 117, no. 9. — P. 4707-4716.

51. Suppression of the coffee-ring effect by shape-dependent capillary interactions [Text] / Peter J. Yunker, Tim Still, Matthew A. Lohr, A. G. Yodh // Nature. — 2011. — Vol. 476, no. 7360. — P. 308-311.

52. Suppressing the coffee stain effect: how to control colloidal self-assembly in evaporating drops using electrowetting [Text] / H. B. Eral, D. Mampallil Augustine, M. H. G. Duits, F. Mugele // Soft Matter. — 2011. — Vol. 7. — P. 4954-4958.

53. Dips and rims in dried colloidal films [Text] / C. Parneix, P. Vandoolaeghe, V. S. Nikolayev [et al.] // Phys. Rev. Lett. — 2010. — Vol. 105. — P. 266103.

54. Bespoke periodic topography in hard polymer films by infrared radiation-assisted evaporative lithography [Text] / Argyrios Georgiadis, Alexander F. Routh, Martin W. Murray, Joseph L. Keddie // Soft Matter. — 2011. — Vol. 7. — P. 11098-11102.

55. Drying dip-coated colloidal films [Text] / Joaquim Li, Bernard Cabane, Michael Sztucki [et al.] // Langmuir. — 2012. — Vol. 28, no. 1. — P. 200-208.

56. Barash, L. Y. Influence of gravitational forces and fluid flows on the shape of surfaces of a viscous fluid of capillary size [Text] / L. Yu. Barash // Physical Review E. — 2009. — Vol. 79, no. 2. — P. 025302.

57. Жуков, М. Ю. Моделирование испарения капли жидкости [Текст] / М. Ю. Жуков, Е. В. Ширяева, Н. М. Полякова. — Ростов-на-Дону : Издательство Южного федерального университета, 2015. — 208 с.

58. Сахарова, Л. В. Автомодельность задачи тепловой конвекции, осредненной по тонкому слою [Текст] / Л. В. Сахарова // Вестник Донского государственного технического университета. — 2016. — Т. 16, № 4. — С. 17-28.

59. Кистович, А. В. Механизм формирования краевого валика в высыхающей капле биожидкости [Текст] / А. В. Кистович, Ю. Д. Чашечкин, В. В. Шабалин // Журнал технической физики. — 2010. — Т. 80, № 4. — С. 41-46.

60. Tarasevich, Y. Y. Modeling of spatial-temporal distribution of the components in the drying sessile droplet of biological fluid [Text] / Yu. Yu. Tarasevich, I. V. Vodolazskaya, O. P. Bondarenko // Colloids Surf., A.— 2013.— Vol. 432. — P. 99-103.

61. Film formation kinetics in the drying process of polymer solution enclosed by bank [Text] / Youngki Jung, Tadashi Kajiya, Tatsuya Yamaue, Masao Doi // Japanese Journal of Applied Physics. — 2009. — Vol. 48. — P. 031502.

62. Pradhan, T. Droplet hydrodynamics during lysozyme protein crystallization [Text] / T. Pradhan, M. Asfer, P. K. Panigrahi // Phys. Rev. E. — 2012.— Vol. 86. — P. 051602.

63. Ландау, Л. Д. Теоретическая физика: Учеб. пособ.: Для вузов. В 10 т. Т. VI Гидродинамика [Текст] / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. — 5 изд. — М. : ФИЗМАТЛИТ, 2003. — 736 с.

64. Ehrhard, P. Non-isothermal spreading of liquid drops on horizontal plates [Text] / P. Ehrhard, S. H. Davis // J. Fluid Mech. — 1991.— Vol. 229.— P. 365-388.

65. Driving forces of the solute self-organization in an evaporating liquid microdroplet [Text] / L. V. Andreeva, A. V. Koshkin, P. V. Lebedev-Stepanov [et al.] // Colloids Surf., A. — 2007. — Vol. 300, no. 3. — P. 300-306.

66. Evaporation and fluid dynamics of a sessile drop of capillary size [Text] / L. Yu. Barash, T. P. Bigioni, V. M. Vinokur, L. N. Shchur // Physical Review E. — 2009. — Vol. 79, no. 4. — P. 046301.

67. Барташевич, М. В. Численное моделирование естественной конвекции в лежащей капле жидкости [Текст] / М. В. Барташевич, И. В. Марчук,

О. А. Кабов // Теплофизика и аэромеханика. — 2012. — Т. 19, № 2. — С. 171-182.

68. A mathematical model for the evaporation of a thin sessile liquid droplet: Comparison between experiment and theory [Text] / G. J. Dunn, S. K. Wilson, B. R. Duffy [et al.] // Colloids Surf., A. — 2007. — Vol. 323, no. 1-3. — P. 50-55.

69. Sobac, B. Triple-line behavior and wettability controlled by nanocoated substrates: Influence on sessile drop evaporation [Text] / B. Sobac, D. Brutin // Langmuir. — 2011. — Vol. 27. — P. 14999-15007.

70. Молчанов, С. П. Влияние температуры подложки на самосборку частиц в испаряющейся капле коллоидного раствора [Текст] / С. П. Молчанов, П. В. Лебедев-Степанов, М. В. Алфимов // Российские нанотехнологии. — 2010. — Т. 5, № 7-8. — С. 21-26.

71. Sobac, B. Thermocapillary instabilities in an evaporating drop deposited onto a heated substrate [Text] / B. Sobac, D. Brutin // Phys. Fluids. — 2012.— Vol. 24, no. 032103. — P. 1-16.

72. Girard, F. Infrared thermography investigation of an evaporating sessile water droplet on heated substrates [Text] / F. Girard, M. Antoni, K. Sefiane // Langmuir. — 2010. — Vol. 26, no. 7. — P. 4576-4580.

73. How water droplets evaporate on a superhydrophobic substrate [Text] / H. Gelderblom, A. Marin, H. Nair [et al.] // Phys. Rev. E. — 2011. — Vol. 83. — P. 026306.

74. Popov, Y. O. Evaporative deposition patterns: Spatial dimensions of the deposit [Text] / Y. O. Popov // Physical Review E. — 2005. — Vol. 71, no. 3. — P. 036313.

75. Petsi, A. J. Deposition of brownian particles during evaporation of two-dimensional sessile droplets [Text] / A. J. Petsi, A. N. Kalarakis, V. N. Burganos // Chem. Eng. Sci. — 2010.— Vol. 65, no. 10.— P. 29782989.

76. Influence of substrate conductivity on circulation reversal in evaporating drops [Text] / W. D. Ristenpart, P. G. Kim, C. Domingues [et al.] // Phys. Rev. Lett. — 2007. — Vol. 99, no. 234502. — P. 1-4.

77. Dunn, S. Experimental investigation of the effect of thermal properties of the substrate in the wetting and evaporation of sessile drops [Text] / S. Dunn, K. Sefiane, L. Tadrist // Colloids Surf., A. — 2007. — Vol. 298. — P. 108-114.

78. Experimental and numerical investigation of the evaporation into air of a drop on a heated surface [Text] / R. Mollaret, K. Sefiane, J. R. E. Christy, D. Veyret // Chemical Engineering Research and Design. — 2004. — Vol. 82, no. 4. — P. 471-480.

79. The strong influence of substrate conductivity on droplet evaporation [Text] / G. J. Dunn, S. K. Wilson, B. R. Duffy [et al.] //J. Fluid Mech. — 2009. — Vol. 623. — P. 329-351.

80. Hu, H. Evaporation of a sessile droplet on a substrate [Text] / H. Hu, R. G. Larson // The Journal of Physical Chemistry B.— 2002.— Vol. 106, no. 6. — P. 1334-1344.

81. Brutin, D. Influence of substrate nature on the evaporation of a sessile drop of blood [Text] / David Brutin, Benjamin Sobac, Celine Nicloux // Journal of Heat Transfer. — 2012. — Vol. 134, no. 6. — P. 061101.

82. Pauchard, L. Stable and unstable surface evolution during the drying of a polymer solution drop [Text] / L. Pauchard, C. Allain // Phys. Rev. E, Stat. Nonlin. Soft Matter Phys. — 2003. — Vol. 68, no. 5. — P. 052801.

83. Huang, J.-J. Numerical study of drop motion on a surface with stepwise wettability gradient and contact angle hysteresis [Text] / Jun-Jie Huang, Haibo Huang, Xinzhu Wang // Phys. Fluids.— 2014.— Vol. 26, no. 6.— P. 062101.

84. The influence of gravity on single crystallization in large volume drops [Text] / I. Sandu, I. Iordache, C. Fleaca [et al.] // Journal of Crystallization Process and Technology. — 2014. — Vol. 4, no. 4. — P. 206-211.

85. Du, X. Ring formation on an inclined surface [Text] / Xiyu Du, R. D. Deegan // J. Fluid Mech. — 2015. — Vol. 775. — P. R3.

86. Моделирование самосборки ансамблей микро- и наночастиц в испаряющейся микрокапле раствора [Текст] / П. В. Лебедев-Степанов, Р. М. Ка-

душников, С. П. Молчанов [и др.] // Российские нанотехнологии. — 2011. — Т. 6, № 1-2. — С. 2-7.

87. Тарасевич, Ю. Ю. Влияние диффузии на разделение компонентов биологической жидкости при клиновидной дегидратации [Текст] / Ю. Ю. Тарасевич, А. К. Аюпова // Журнал технической физики. — 2003. — Т. 73, № 5. — С. 13-18.

88. Имитационное моделирование процессов самоорганизации наночастиц [Текст] / М. В. Алфимов, Р. М. Кадушников, Н. А. Штуркин [и др.] // Российские нанотехнологии. — 2006. — Т. 1, № 1-2. — С. 127-133.

89. Breinlinger, T. A simple method for simulating the coffee stain effect [Text] / Thomas Breinlinger, Torsten Kraft // Powder Technol. — 2014. — Vol. 256.— P. 279-284.

90. Self-assembly of colloidal particles from evaporating droplets: Role of dlvo interactions and proposition of a phase diagram [Text] / R. Bhardwaj, X. Fang, P. Somasundaran, D. Attinger // Langmuir.— 2010.— Vol. 26, no. 11.— P. 7833-7842.

91. Феномен высыхающей капли и возможности его практического использования [Текст] / Т. А Яхно, В. Г. Яхно, А. Г. Санин [и др.] // Нелинейный мир. — 2007. — Т. 5, № 1-2. — С. 54-65.

92. Moffat, J. R. Effect of tio2 nanoparticles on contact line stick-slip behavior of volatile drops [Text] / J. Ross Moffat, Khellil Sefiane, Martin E. R. Shanahan // J. Phys. Chem. — 2009. — Vol. 113, no. 26. — P. 8860-8866.

93. Самосборка ансамблей полистирольных субмикрочастиц, модифицированных стириловым красителем, в испаряющейся микрокапле раствора [Текст] / Л. В. Ерошенко, П. В. Лебедев-Степанов, С. П. Молчанов [и др.] // Российские нанотехнологии. — 2010. — Т. 5, № 11-12. — С. 13-16.

94. Hamamoto, Y. Order-of-magnitude increase in flow velocity driven by mass conservation during the evaporation of sessile drops [Text] / Yoshinori Hamamoto, John R. E. Christy, Khellil Sefiane // Phys. Rev. E. — 2011. —May. —Vol. 83. —P. 051602.

95. Christy, J. R. E. Flow transition within an evaporating binary mixture sessile drop [Text] / John R. E. Christy, Yoshinori Hamamoto, Khellil Sefiane // Phys. Rev. Lett.— 2011.— May.— Vol. 106.— P. 205701.

96. Greenspan, H. P. On the motion of a small viscous droplet that wets a surface [Text] / H. P. Greenspan // J. Fluid Mech. — 1978. — Vol. 84, no. 1. — P. 125143.

97. Hocking, L. M. Sliding and spreading of two-dimensional drops [Text] / L. M. Hocking // Q. J. Mech. Appl. Math. — 1981. — Vol. 34. — P. 37-55.

98. Hocking, L. M. The spreading of thin drops by gravity and capillarity [Text] / L. M. Hocking // Q. J. Mech. Appl. Math. — 1981. — Vol. 36. — P. 55-69.

99. Burelbach, J. P. Nonlinear stability of evaporating/condensing liquid films [Text] / J. P. Burelbach, S. G. Bankoff, S. H. Davis // Journal of Fluid Mechanics. — 1988. — Vol. 195. — P. 463-494.

100. Haley, P. J. The effect of the contact line on droplet spreading [Text] / P. J. Haley, M. J. Miksis // J. Fluid Mech. — 1991. — Vol. 223. — P. 57-81.

101. Anderson, D. M. The spreading of volatile liquid droplets on heated surfaces [Text] / D. M. Anderson, S. H. Davis // Physics of Fluids. — 1995. — Vol. 7, no. 2. — P. 248-265.

102. Tarasevich, Y. Y. Simple analytical model of capillary flow in an evaporating sessile drop [Text] / Yu. Yu. Tarasevich // Physical Review E. — 2005. — Feb. — Vol. 71, no. 2. —P. 027301.

103. Masoud, H. Analytical solution for inviscid flow inside an evaporating sessile drop [Text] / Hassan Masoud, James D. Felske // Physical Review E. — 2009. — Jan. — Vol. 79, no. 1. — P. 016301.

104. Evaporation-induced flow inside circular wells: Analytical results and simulations [Text] / Yu. Yu. Tarasevich, I. V. Vodolazskaya, O. P. Isakova, M. S. Abdel Latif // Microgravity Science and Technology.— 2009.— Vol. 21. — P. 39-44.

105. Ruiz, O. E. Evaporation of water droplets placed on a heated horizontal surface [Text] / O. E. Ruiz, W. Z. Black // Journal of Heat Transfer. — 2002. — Vol. 124, no. 5. — P. 854-864.

106. Girard, F. On the effect of marangoni flow on evaporation rates of heated water drops [Text] / F. Girard, M. Antoni, K. Sefiane // Langmuir. — 2008.— Vol. 24, no. 17. — P. 9207-9210.

107. Craster, R. V. Pinning, retraction, and terracing of evaporating droplets containing nanoparticles [Text] / R. V. Craster, O. K. Matar, K. Sefiane // Langmuir. — 2009. — Vol. 25, no. 6. — P. 3601-3609.

108. Maki, K. L. Fast evaporation of spreading droplets of colloidal suspensions [Text] / Kara L. Maki, Satish Kumar // Langmuir. — 2011. — Vol. 27, no. 18. — P. 11347-11363.

109. Kaneda, M. Thermal and solutal effects on convection inside a polymer solution droplet on a substrate [Text] / M. Kaneda, Y. Takao, J. Fukai // Int. J. Heat Mass Transfer. — 2010. — Vol. 53, no. 21-22. — P. 4448-4457.

110. Self-assembly of colloidal-particle ensembles in an acoustic field [Text] / O. V. Rudenko, A. I. Korobov, B. A. Korshak [et al.] // Nanotechnologies in Russia. — 2010. — Vol. 5, no. 7-8. — P. 469-473.

111. Sessile drop wettability in normal and reduced gravity [Text] / A. Diana, M. Castillo, D. Brutin, T. Steinberg // Microgravity Science and Technology. — 2012. — Vol. 24, no. 3. — P. 195-202.

112. Bartashevich, M. V. Gravity effect on the axisymmetric drop spreading [Text] / M. V. Bartashevich, V. V. Kuznetsov, O. A. Kabov // Microgravity Sci. Technol. — 2010. — Vol. 22, no. 1. — P. 107-114.

113. Коновалов, В. И. Геометрия, циркуляция и тепломассоперенос при испарении капли на подложке [Текст] / В. И. Коновалов, А. Н. Пахомов, Ю. В. Пахомова // Вестник ТГТУ. — 2011. — Т. 17, № 2. — С. 371-387.

114. Исследование формы и устойчивости капли жидкости на вращающейся подложке [Текст] / П. В. Лебедев-Степанов, Т. А. Карабут, Н. А. Черны-шов, С. А. Рыбак // Акустический журнал. — 2011. — № 3. — С. 323-328.

115. Parisse, F. Shape changes of colloidal suspension droplets during drying [Text] / F. Parisse, C. Allain // J. Phys. II France. — 1996. —Vol. 6, no. 7. — P. 11111119.

116. Widjaja, E. Particle deposition study during sessile drop evaporation [Text] / E. Widjaja, M. Harris // AIChE J. — 2008. — Vol. 54, no. 9. — P. 2250-2260.

117. Bhardwaj, R. Pattern formation during the evaporation of a colloidal nanoliter drop: a numerical and experimental study [Text] / R. Bhardwaj, X. Fang, D. Attinger // New Journal of Physics. — 2009. — Vol. 11, no. 7. — P. 075020.

118. Тарасевич, Ю. Ю. Качественный анализ закономерностей высыхания капли многокомпонентного раствора на твердой подложке [Текст] / Ю. Ю. Та-расевич, Д. М. Православнова // Журнал технической физики. — 2007.— Т. 77, № 2. — С. 17-21.

119. Tarasevich, Y. Y. Segregation in desiccated sessile drops of biological fluids [Text] / Yu. Yu. Tarasevich, D. M. Pravoslavnova // The European Physical Journal E. — 2007. — Vol. 22, no. 4. — P. 311-314.

120. Влияние режима испарения на пространственное перераспределение компонентов в испаряющейся капле жидкости на твердой горизонтальной подложке [Текст] / Ю. Ю. Тарасевич, О. П. Исакова, В. В. Кондухов, А. В. Авдеева // ЖТФ. — 2010. — Т. 80, № 5. — С. 45-53.

121. Водолазская, И. В. Моделирование эволюции фазового фронта в высыхающей на горизонтальной подложке капле коллоидного раствора [Текст] / И. В. Водолазская, Ю. Ю. Тарасевич, О. П. Исакова // Нелинейный мир. —

2010. — Т. 8, № 3. — С. 142-150.

122. Vodolazskaya, I. V. The model of drying sessile drop of colloidal solution [Text] / I. V. Vodolazskaya, Yu. Yu. Tarasevich // Mod. Phys. Lett. B.—

2011. —Vol. 25, no. 15. —P. 1303-1310.

123. Водолазская, И. В. Моделирование эволюции распределения коллоидных частиц и профиля свободной поверхности высыхающей капли [Текст] / И. В. Водолазская, Ю. Ю. Тарасевич // Процессы самоорганизации в высыхающих каплях многокомпонентных жидкостей: эксперименты, теории, приложения. Материалы первой международной конференции, 3-6 мая 2010 года. — Астрахань : Издательский дом «Астраханский университет», 2010. — С. 26-31.

124. Пак, В. В. Нелинейная модель осесимметричного течения двухслойной вязкой жидкости со свободной поверхностью [Текст] / В. В. Пак // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. — 2010. — № 2. — С. 91-100.

125. Гордеева, В. Ю. Особенности испарения тонкого слоя воды в присутствии растворимого сурфактанта [Текст] / В. Ю. Гордеева, А. В. Люшнин // ЖТФ. — 2014. — Т. 84, № 5. — С. 28-34.

126. Петров, Н. П. Трение в машинах и влияние на него смазывающей жидкости, сборник «Гидродинамическая теория смазки» [Текст] / Н. П. Петров. — [Б. м.] : ГТТИ, 1934.

127. Слёзкин, Н. А. Динамика вязкой несжимаемой жидкости [Текст] / Н. А. Слёзкин.— [Б. м.] : М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1955. — 521 с.

128. Колегов, К. С. Сравнение квазистационарной и нестационарной математических моделей течений в испаряющейся капле [Текст] / К. С. Колегов, А. И. Лобанов // Компьютерные исследования и моделирование. — 2012. — Т. 4, № 4. — С. 811-825.

129. Kolegov, K. S. Non-steady mathematical model of fluid flow in a thin drop [Text] / K. S. Kolegov // Mathematical Modeling and Computational Physics (MMCP'2013). Book of Abstracts of the International Conference (Dubna, July 8-12, 2013).— [S. l.] : Dubna: JINR, 2013. — P. 102.

130. Колегов, К. С. Математическое моделирование динамики жидкости в испаряющейся капле с учетом капиллярных и гравитационных сил [Текст] / К. С. Колегов, А. И. Лобанов // Вестник РУДН. Серия Математика. Информатика. Физика. — 2014. — № 2. — С. 375-380.

131. Колегов, К. С. Сравнение квазистационарной и нестационарной математических моделей течений в испаряющейся капле с учетом вязкости [Текст] / К. С. Колегов // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. — 2014. — № 3. — С. 110-122.

132. Cachile, M. Evaporating droplets of completely wetting liquids [Text] / M. Cachile, O. Benichou, A. M. Cazabat // Langmuir. — 2002.— Vol. 18, no. 21. —P. 7985-7990.

133. Bhardwaj, R. Non-isothermal wetting during impact of millimeter-size water drop on a flat substrate: Numerical investigation and comparison with high-speed visualization experiments [Text] / Rajneesh Bhardwaj, Daniel Attinger // International Journal of Heat and Fluid Flow. — 2008. — Vol. 29, no. 5. — P. 1422-1435.

134. Hu, H. Analysis of the microfluid flow in an evaporating sessile droplet [Text] / H. Hu, R. G. Larson // Langmuir. — 2005. — Vol. 21, no. 9. — P. 3963-3971.

135. Saverchenko, V. Evaporation of a picoliter droplet on a wetted substrate at reduced pressure [Text] / V.I. Saverchenko, S.P. Fisenko, Yu.A. Khodyko // J. Eng. Phys. Thermophys. — 2011. — Vol. 84, no. 4. — P. 723-729.

136. Саверченко, В. И. Испарение пиколитровых бинарных капель на подложке при пониженном давлении [Текст] / В. И. Саверченко, С. П. Фисенко, Ю. А. Ходыко // Процессы самоорганизации в высыхающих каплях многокомпонентных жидкостей: эксперименты, теории, приложения. Материалы второй международной конференции, 17-22 сентября 2012 г. — Астрахань : Астраханский государственный университет, Издательский дом «Астраханский университет», 2012. — С. 113-116.

137. Колегов, К. С. Формирование кольцевых структур в высыхающей под шаблоном пленке коллоидного раствора [Текст] / К. С. Колегов // Вестник ЮУрГУ. Серия «Математическое моделирование и программирование». — 2014. — Т. 7, № 1. — С. 24-33.

138. Колегов, К. С. Моделирование процессов, протекающих в высыхающей многокомпонентной капле биологической жидкости [Текст] / К. С. Ко-легов, А. И. Лобанов // Математическое моделирование и биомеханика в современном университете. Тезисы докладов VII Всероссийской школы семинара, пос. Дивноморское, 28 мая-1 июня 2012 г. — Ростов-на-Дону : Южный федеральный университет, 2012. — С. 72.

139. Lobanov, A. I. Prediction of mass transfer of components in a drop of biological fluid [Текст] / A. I. Lobanov, K. S. Kolegov // XX Международная конференция «Математика. Экономика. Образование». VII международный симпозиум «Ряды Фурье и их приложения». VI Междисциплинарный семинар «Фундаментальные проблемы информационных и коммуникационных технологий». Тезисы докладов.— Ростов н/Д : СКНЦ ВШ ЮФУ, 2012. — С. 167.

140. Колегов, К. С. Математическое моделирование распределения веществ в высыхающей капле многокомпонентной жидкости [Текст] / К. С. Коле-гов, А. И. Лобанов // Труды 14 международного научно-промышленного форума «Великие реки-2012». Материалы научно-методической конференции профессорско-преподавательского состава, аспирантов, специалистов и студентов «Проблемы использования и инновационного развития внутренних водных путей в бассейнах великих рек». — Н. Новгород : Изд. ФБОУ ВПО «ВГАВТ», 2012. — С. 320-323.

141. Колегов, К. С. Математическое моделирование массопереноса в испаряющейся капле коллоидного раствора с учетом капиллярных и гравитационных сил [Текст] / К. С. Колегов // Математическое моделирование и биомеханика в современном университете. Тезисы докладов IX Всероссийской школы семинара, пос. Дивноморское, 26-30 мая 2014 г. — Ростов-на-Дону : Южный федеральный университет, 2014. — С. 83.

142. Колегов, К. С. Математическое моделирование динамики испаряющейся коллоидной жидкости в ячейке под шаблоном из концентрических колец [Текст] / К. С. Колегов // Труды 57-й научной конференции МФТИ: Всероссийской научной конференции с международным участием «Актуальные проблемы фундаментальных и прикладных наук в области физики», Всероссийской молодежной научной конференции с международным участием «Актуальные проблемы фундаментальных и прикладных наук в современном информационном обществе». Управление и прикладная математика. Том 2. — М. : МФТИ, 2014. — С. 53-55.

143. Левич, В. Г. Физико-химимческая гидродинамика [Текст] / В. Г. Левич. — М. : Издательство Академии наук СССР, 1952. — 538 с.

144. Chernavskii, D. S. A model of pattern formation by precipitation [Text] I

D. S. Chernavskii, A. A. Polezhaev, S. C. Müller Ц Physica D.— 1991. — Vol. 54, no. 1-2. — P. 160-170.

145. Harris, D. J. Evaporative lithographic patterning of binary colloidal films [Text] I Daniel J. Harris, Jacinta C. Conrad, Jennifer A. Lewis II Physical and Engineering Sciences. — 2009. — Vol. 367, no. 1909. — P. 5157-5165.

146. Свидетельство о государственной регистрации программ для ЭВМ № 2016610526 от 13.01.2016 г. Программа для расчета массопереноса в испаряющихся коллоидных жидкостях микро- и миллиметрового размера на твердой поверхности или в цилиндрической ячейке. Колегов К. С.

147. Смирнов, E. М. Метод конечных обьемов в приложении к задачам гидрогазодинамики и теплообмена в областях сложной геометрии [Текст] I

E. М. Смирнов, Д. К. Зайцев II Научно технические ведомости 2. — 2004. — С. 70-S1.

14S. Федоренко, Р. П. Введение в вычислительную физику [Текст] I Р. П. Фе-доренко.— М. : Изд-во Мос. физ.-техн. ин-та, 1994.— 52S с.

149. Вержбицкий, В. М. Численные методы (линейная алгебра и нелинейные уравнения): Учеб. пособие для вузов. [Текст] I В. М. Вержбицкий.— 2 изд. — М. : ООО Издательский дом «ОНИКС 21 век», 2005. — 432 с.

150. Вержбицкий, В. М. Численные методы (математический анализ и обыкновенные дифференциальные уравнения): Учеб. пособие для вузов. [Текст] I В. М. Вержбицкий. — 2 изд. — М. : ООО Издательский дом «ОНИКС 21 век», 2005. — 400 с.

151. Петров, И. Б. Лекции по вычислительной математике: Учебное пособие [Текст] I И. Б. Петров, А. И. Лобанов.— [Б. м.] : М.: Интернет-Университет Информационных Технологий; БИНОМ. Лаборатория знаний, 2006. — 523 с.

152. Самарский, А. А. Вычислительная теплопередача [Текст] I А. А. Самарский, П. Н. Вабищевич. — 2 изд. — М. : Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2009. — 7S4 с.

153. Самарский, А. А. Численные методы: Учеб. пособие для вузов. [Текст] / А. А. Самарский, А. В. Гулин. — М. : Наука. Гл. ред. физ-мат. лит., 1989. — 432 с.

154. Самарский, А. А. О регуляризации разностных схем [Текст] / А. А. Самарский // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. — 1967. — Т. 7, № 1. — С. 62-93.

155. Самарский, А. А. Разностные схемы для неустойчивых задач [Текст] / А. А. Самарский, П. Н. Вабищевич // Матем. моделирование. — 1990.— Т. 2, № 11. — С. 89-98.

156. Матросов, А. В. Maple 6. Решение задач высшей математики и механики [Текст] / А. В. Матросов. — СПб : BHV-Санкт-Петербург, 2001. — 528 с.

157. Numerical Recipes in C: The Art of Scientific Computing [Text] / W. H. Press, S. A. Teukolsky, W. T. Vetterling, B. P. Flannery. — 2 edition.— [S. l.] : Cambridge University Press, 1992.— 994 p.

158. Evaporation of sessile drops under combined diffusion and natural convection [Text] / P. L. Kelly-Zion, C. J. Pursell, S. Vaidya, J. Batra // Colloids Surf., A. — 2011. —Vol. 381. — P. 31.

159. Maxwell, J. C. Diffusion [Text] / J. C. Maxwell. — [S. l.] : Collected Scientific Papers (Cambridge: Encyclopedia Britannica), 1877.

160. Picknett, R. G. The evaporation of sessile or pendant drops in still air [Text] / R. G. Picknett, R. Bexon // J. Colloid Interface Sci. — 1977.— Vol. 61.— P. 336-350.

161. Evaporation and the wetting of a low-energy solid surface [Text] / G. McHale, S. M. Rowan, M. I. Newton, M. K. Banerjee // J. Phys. Chem. B. — 1998.— Vol. 102. — P. 1964.

162. Analysis of droplet evaporation on a superhydrophobic surface [Text] / G. McHale, S. Aqil, N. Shirtcliffe [et al.] // Langmuir. — 2005.— Vol. 21.— P. 11053-11060.

163. Ajaev, V. S. Spreading of thin volatile liquid droplets on uniformly heated surfaces [Text] / Vladimir S. Ajaev // J. Fluid Mech. — 2005.— Vol. 528.— P. 279-296.

164. Sodtke, C. Dynamics of volatile liquid droplets on heated surfaces: theory versus experiment [Text] / Christof Sodtke, Vladimir S. Ajaev, Peter Stephan //J. Fluid Mech. — 2008. — Vol. 610. — P. 343-362.

Приложение. Основы теории массопереноса в капельно-пленосных системах, используемые в разделах диссертации

В разделе 1.3.1. Процесс депиннинга начинался с образования сухих пятен вдоль внутренней границы кольца [47]. Пятно увеличивалось до тех пор, пока соединение между раствором и кольцом не разрывалось. Начальный этап пин-нинга снимался на видеокамеру. Время депиннинга ^ соответствует времени образования первого пятна. Время полного высушивания капли £ ! определено путем линейной экстраполяции массы по отношению ко времени вплоть до нуля. В [47] представлены графики зависимости объемной доли частиц ф от времени Ьа/Ь f, массы капли от времени, ширины кольца п от ф, расстояния депиннинга п от радиуса основания капли, высоты кольца от ф. Установлено, что депиннинг начинается с наитончайшего места кольца. Объем кольца Уг задается формулой

уг = пЯп2 вс,

(4.13)

где 9с — краевой угол. В одной из предшествующих работ авторы использовали формулу вида

Уг = р

-1

пЯ3 вс

4

ф

3'

- - (■ - Ь)'

(4.14)

где р — коэффициент плотности упаковки частиц. Объединив (4.13) и (4.14), получили выражение вида

Я

3

- - (- - й4

у/фъ

(4.15)

3

для £ ^ tf. Экспериментально полученные соотношения ширины кольца п, времени депиннинга £ л и объемной доли ф согласуются с вычисленными по

формуле (4.15) данными лишь для микросфер с диаметром 0.1 дш. Диаметр частиц влияет на плотность упаковки кольца.

В работе Лебедева-Степанова и др. [65] оценка времени испарения пико-литровых капель выполнялась на основе диффузионной модели Максвелла с внесенными поправками для несферичной капли

_ рьЯ2(2 - 3 008 6» +сое3 в) = 4 И рк(1 - с) 8т26> '

где рь, рд — плотности раствора и насыщенного пара вокруг капли, И — коэффициент диффузии пара в воздухе, с — относительная влажность воздуха, в — угол смачивания подложки раствором. Время испарения таких капель около 0.5 б. Химический состав частиц, использованных в эксперименте, — 3,3'-ди(7-сульфопропил)—4,4', 5, 5'-дибензо-9-этилтиа-карбоционин. Математическая модель базируется на численном решении уравнения Ньютона

= - X)уи(^) + ^(Гз) + рь(гь) - 6тгЯЩ,

где — скорость г-й частицы, Я — радиус частицы, г] — вязкость раствора , и(ггз) — энергия потенциального взаимодействия каждой г-й частицы с каждой ^'-й частицей в системе ( N — общее количество частиц). В [65] учитывается теория Дерягина-Ландау-Фервея-Овербека о дисперсионных притягивающих силах, которая объясняет выпадение осадков коллоидных частиц в результате увеличения ионной силы раствора. Данный потенциал записывается как

аА / гр X

и(г) = 7ехР х),

где А определяется формулой

22

А = '

х2е2 ехр( X 1Я)

4^ £ £ о 1 + Х-1Я

2

X — дебаевский радиус экранирования, зависящий от ионной силы раствора,

хе — средний электрический заряд латексной частицы, £ — относительный коэффициент диэлектрика (раствора), а е0 — электрическая постоянная.

гь) — сила взаимодействия г-й частицы с границей жидкость-газ, где г ^ — расстояние от центра частицы до границы. (г в) — сила взаимодействия частицы с подложкой.

Численное моделирования на основе данных уравнений повторило большинство важных наблюдений из эксперимента. Капиллярные силы в случае гидрофобной поверхности более выражены. В результате моделирования установлено, что частицы на гидрофобной поверхности расположены более компактно, чем на гидрофильной. Интенсивность испарения на гидрофильной подложке больше, поэтому свойство частиц и вязкость раствора играют большую роль для случая с гидрофильной подложкой, у границы располагается большее число частиц, чем в случае с гидрофобной подложкой. Данная модель не учитывает потока жидкости, появляющегося из-за неравномерного испарения, поэтому она не может описывать формирования кольца. Авторы [65] полагают, что следующим шагом в развитии модели будет добавление в систему уравнения Навье-Стокса. Результаты физического и численного экспериментов находятся в качественном согласии.

Попов [74] обобщает модели Дигана и др. [17], Хью и Ларсона [80], которые закономерны для случая малых краевых углов (9 < 90°). Автор [74] получил аналитическое выражение оценки интенсивности испарения для любых углов (0° <в < -80°),

Пгг)

= пЯВс„(- -Н)/р(в),

с»

„ лч sinO [ 1 + oh29r лч

Ш) = --- + 4 ——-th((^ - 0)т) dr.

Jpy J 1 + 008 0 J sh 2ит vv y y

0

Для больших капель (радиус более 3 mm) модели, основанные на предположении квазистационарного, диффузионного испарения, не работают [158]. Испарение в таких случаях представляет собой естественную конвекцию пара, которая увеличивает темп испарения. Келли-Зион и др. [158] разработали эмпирическую модель, учитывающую диффузию и конвекцию пара, а так же размер капли.

Для малых капель, форма которых близка к сферичной, объем можно выразить как функцию зависимости от радиуса основания капли и краевого угла [69] V(R, в) = — cos#)2(2 + cos#)/(3sin3 в). Предполагается, что природа испарения капли заключается в процессе диффузии молекул пара в газовую среду. Темп изменения массы капли может быть смоделирован на основе диффузии молекул с границы жидкость-газ. Когда отношение диффузионного времени мало по отношению ко времени испарения, R2/(Dtf) = Ас/р « cv (1 — Н)/р, это означает, что концентрация пара устанавливается очень быстро по сравнению со временем t/, требуемым на полное испарение, в таком случае испарение можно считать квазистационарным. Здесь D — коэффициент диффузии пара в воздух, Ас = с0 — сж = cv (1 — Н), где Ас — это разность между концентрациями пара рядом с поверхностью (вблизи границы раздела двух фаз концентрация считается насыщенной, cv) и в точке, удаленной от капли, Н — относительная влажность окружающего воздуха, р — плотность жидкости. Испарение в рамках диффузии задается стационарным уравнением Лапласа. Для сферичной капли, находящейся вдали от твердых границ, диффузионное уравнение дает следующее выражение —dm/dt = 4кRsDAc для оценки темпа испарения, Rs — радиус сферы, t — время. Уравнение впервые представлено Максвеллом [159] с использованием аналогии диффузионного потока в виде электростатического потенциала. Когда капля находится в контакте с поверхностью, интенсивность испарения уменьшается в результате уменьшения площади границы жидкость-газ. Используя аналогию с электростатическим потенциалом Пикнет и Бэксон [160] получили уравнение для оценки темпа испарения капли, находящейся в контакте с твердой плоской границей, —dm/dt = 4tyRsDcv(1 — Н)f(0), где f(0) комплексная функция контактного угла, которую авторы [69] упрощают, подобрав два полинома для двух диапазонов углов

0.63666» + 0.09591в2 — 0.0614403, 0° <0 < 10° 2fpB(0) = < 0.00008957 + 0.63336» + 0.1166»2—

—0.088786»3 + 0.010336»4, 10° <9 < 180°.

(4.16)

Для случая гидрофильной поверхности (0° < < 90°) Хью и Ларсон [80] получили простое приближение для расчета интенсивности испарения сферической капли

Нт

-^ = с,(- -Н)/нь(в), ¡нь(в) = 1.3 + 0.2702.

В их работе сравниваются решения, полученные методом конечных элементов и аналитически. Кроме того, в модели учтена неравномерность плотности потока пара, которая возрастает по направлению от центра к краю (на линии трехфазной границы стремится к бесконечности). Модель дает точное решение для двух предельных случаев

= 4Лсу(- -Н)Я,

(И

т

" т = 2п Л с, (- -Н )Я,

когда краевой угол меньше 40°, зависимость от в незначительна и выражение может быть приведено к виду для = 0.

В работе Сефиана и др. [72] предложена следующая форма зависимости плотности потока пара от температуры

Л(г)Д Н„ар ^1 + (£ )2'

где Д Нюар — латентная (скрытая) теплота испарения, Н(г) — высота капли, зависящая от координаты г, к — коэффициент теплопроводности раствора, Т — температура подложки, а Т( ) — температура внутри капли, зависящая от координаты . Во время экспериментов было замечено, что закрепление трехфазной границы через некоторое время нарушается и происходит смещение границы. Чем выше температура подложки, тем меньше это время. Кроме того, в [72] была подсчитана плотность потока пара на поверхности капли в рамках одномерной модели. На полученных графиках видно, что плотность потока пара

изменяется пропорционально величине температуры. Интенсивность испарения увеличивается от центра, а на свободном краю капли плотность потока пара стремится к константе, которая зависит от температуры подложки. Чем больше Т8, тем интенсивнее испарение на краю, а в центральной части плотность потока пара зависит от Т не так значительно.

Гидрофобный случай (90° < в < 180°) рассматривается в работе [161]. Макхэйл и др. [161] предложили теоретическую модель, базирующуюся на диффузионной модели, для описания испарения сферической капли в двух ситуациях:

1) краевой угол постоянный, радиус сферы уменьшается со временем;

2) радиус основания капли не меняется. Для первого случая приводится выражение

Щ2 = Щ2__,

Н Н я-(1 - С08б>)(2 + С08б>)4

где Л = 2ттВАс, а Н — константа интегрирования. Для анализа второго случая авторы предлагают построить функцию Нрв (0), которая является линейной по отношению ко времени,

НРВ (в) = + ех 1п(1 + и) + в2и + е^и2 = -2Р — Н) г + Нрв (

1 + и рН2

где и(Ь) = сое 0(Ь), Нрв(00) — константа интегрирования, представленная как значение функции при £ = 0, е0, ех, е2 и е з — константы, предложенные в [162].

В разделе 1.3.2. В работе Лебедева-Степанова и др. [86] представлена улучшенная модель, описывающая формирование ансамблей микро и наночастиц в процессе испарения капли коллоидного раствора. В модель, описанную в [65], добавлена сила, обусловленная сносом частиц гидродинамическим потоком, сила вязкого трения с учетом гидродинамики —6^ ац(у — У), где а — радиус частицы, V — поле потока жидкости. Кроме того введена броуновская сила Рв, обусловленная тепловым движением. Учет броуновского движения в модели аргументируется критерием важности броуновского движения. По мнению авторов [86] для частиц размером 100 пш броуновское смещение значительно,

по их оценке около 10% от радиуса капли. В результате дополнений итоговое уравнение системы принимает вид

т # = т( § + ^(Уу)) - Е ™ (гу)+ 4 7 =

+ (гБ) + Ы^ь) - 6тгафг - у) + Рв.

Результаты моделирования и экспериментов имеют хорошие количественные и качественные показатели, явно наблюдается образование кольца в результате компьютерного эксперимента [86].

В [88] основное уравнение движения изотропных частиц имеет вид

тгаг = ^^ + ,

где член = -Уи(г^) отвечает за силы межчастичного взаимодействия, Г°иЬ — за внешние силы, действующие на систему частиц, и (г — потенциал парного взаимодействия частиц, зависящий от расстояния между ними гу = г\ - . Под внешними силами понимают: силы межчастичного взаимодействия, силы тяжести, электростатические и электромагнитные силы, силы вязкого трения в растворе, силы поверхностного натяжения капли, силы взаимодействия с подложкой, броуновские случайные силы, возникающие между молекулами раствора при столкновении.

Потенциал и (г) = 4е ((^ )12 - (^ )6) на основе потенциала Ван-дер-Ваальсова взаимодействия неполярных атомов, где £ — энергетический, а а — пространственный параметры.

В разделе 1.3.4. Из уравнения неразрывности (2.4) в [17] получают выражение для скорости

— г I / /2

у(г' *:)=- м Ч—+( +"*1 (4.17)

Рассматривается только усредненная по высоте радиальная скорость из предположения, что капля тонкая. Высота капли и плотность потока пара неизвестна.

Так как капля в процессе испарения отклоняется от формы сферического сегмента практически незаметно, авторы делают допущение о равновесном состоянии капли на протяжении всего процесса и аппроксимируют профиль капли следующим выражением

Ь(г, ¿) =

/

ь2(0, ¿) + н2

2Ь(0, г)

2

н2 — ь2(0, г)

2Ь(0, г)

где Н — радиус основания капли, а Ь(0, £) — высота в центре капли. Плотность потока пара задается следующей аппроксимацией

Мг, *) = ЛЬ/(Л)

2 2

1 — Н

-X

(4.18)

где Л =

■к-2вс 2ъ- 2вг

а вс — краевой угол. Плотность потока определяется из элек-

тростатической аналогии, формула (4.18) дает нефизичную расходимость плотности потока вблизи линии трехфазного контакта, в результате чего скорость течения стремится к бесконечности на краю капли. Изменение объема капли равно общему испарению жидкости с поверхности

к

к

р— 2ттгЬ(г, £) <1г

2пг Л ¡(г,

где М — масса капли. Краевой угол с течением времени должен уменьшаться, но из соображения того, что во внимание берется тонкая капля, краевой угол вс полагается постоянным. Скорость движения жидкости может быть определена из (4.17)и (4.18). Распределение вещества в растворе задается уравнением переноса, полученным из закона сохранения растворенного вещества,

д 1

— (сЬ) + - (г сЬи) = 0, д

(4.19)

2

2

где — концентрация вещества (усредненная по высоте капли). Кроме того, в [17] описаны результаты различных экспериментов. Например, эволюция вы-

соты и массы капли, распределение компонентов при трех различных режимах испарения. Диган и др. [17] описывают гипотезу о существовании точки стагнации, которая является точкой разворота усредненной по высоте скорости радиального течения.

В работе Фишера [18] рассматривается разбавленный полимерный раствор. В приближении смазки б2 и еRe ^ 1, где Re — число Рейнольдса, а е —

отношение начальной высоты к радиусу основания капли. Радиальная скорость

*

и* масштабируется по вязкой скорости и* = , где р* — вязкость раствора,

р* — плотность. Вертикальная скорость w* масштабируется по еи*. Характерное

* * * *

давление Рс* = и характерное время t** = . Поток жидкости описыва-

ется системой уравнений (1.6), (1.8) и (1.9). В [18] гравитационными силами пренебрегается. При z = h давление выражается как Р = Ca 1 (rjt), где капиллярное число

Са = М*и* (м*)2

б 3а* е3 р*а*Н0'

а* — коэффициент поверхностного натяжения. В [18] испарение с поверхности считается медленным. Явление отдачи пара считается второстепенным и поэтому не учитывается. Полагается так же, что градиент температуры мал и течение Марангони отсутствует. Таким образом, на поверхности действует

о

граничное условие ^ = 0. Плотность потока пара имеет пространственную и временную зависимость, выражается 3*(г*,£*). Характерная плотность потока

т* к*АТ* 1 *

пара определяется как 7* = ^7^* , где к* — удельная теплоемкость раствора, Ь* — теплота парообразования, ДТ* — разность температур подложки и пара. Эволюция профиля капли задается безразмерным уравнением, полученным из

закона сохранения растворителя, dh 1 1 д

dt 3Са г дг

к*АТ *

a (d^h 1 dh д д 2 д

-EJ,

где число испарения Е = ^7^* . Скорость радиального течения выражается как

' 1 д

- dL

Са д

г дг '

(£) (2 -

Граничное условие в центре капли ^ = ^ = 0 и на краю капли Ь = 0, ^ = — -у, где вс — краевой угол. Горизонтальное распределение частиц описывается уравнением (4.19). На оси симметрии выполняется граничное условие ^ = 0. Массовая доля частиц, осаждающихся в кольцо, £ определяется как £ = , где ^п^ — число частиц в кольце, — число частиц в капле. и находятся путем интегрирования

= 2тт С кг Аг, = 2тт С кг (¡г,

где г — начальная координата осадочного кольца.

В разделе 1.3.5. В работе Сефиана и др. [106] в качестве уравнений модели используются

(V grad)v = ыАу, (4.20)

(V grad)T = кАТ, (4.21)

где к — коэффициент теплопроводности, и — кинематическая вязкость, Т — температура внутри капли, и — скорость течения воды. На границе жидкость-газ

АТ = 0. (4.22)

Изменения массы капли за время ее испарения выражается

НчТ!

ат = ИН(С Т) — НС (Тж)Мв), (4.23)

(И

где С(Т8) — концентрация воды в воздухе при температуре Т8, С(Тж) — концентрация воды в воздухе при температуре Тто, Н — контактный радиус капли, И — диффузия пара в воздухе, ^р(0) — поток пара, вычисляемый из (4.20) и (4.22) методом конечных элементов, в — краевой угол. Для расчетов брались следующие температуры нагретой подложки: Т8 = 30°С и Т8 = 50°С. Относительная влаж-

1

1

ность Н = 50%, температура воздуха Т = 22°С. В [106] проведено сравнение экспериментальных данных по изменению объема капли с течением времени и результатов прогноза модели с учетом тепловой конвенции и без. Обе модели показали близкие значения по сравнению с экспериментом. Для того, чтобы задать модель без учета эффекта Марангони, из системы уравнений (4.20) и (4.21) убрали тепловую конвекцию. Обе модели так же дали близкие результаты по полю температуры внутри капли. В результате чего авторы [106] сделали вывод, что течением Марангони допустимо пренебречь при описании испарения с поверхности капли, ограничившись лишь тепловой диффузией при расчете интенсивности испарения. В [106] измерено значение градиента температуры (примерно 0.8°С), который отличается от градиента рассчитанного в модели. Авторы [106] полагают, что причиной этому может быть невозможность задания краевого угла при проведении эксперимента, отличающаяся температура подложки и проблема начального условия (в частности, начальная температура капли). Но по мнению исследователей их результаты являются лишь начальным шагом и могут послужить дальнейшему, более ясному пониманию процесса самоорганизации при испарении капли с нагретой подложки.

В работе Кумара и Маки [108] увеличение вязкости за счет числа частиц приводит к замедлению динамики капли и ведет к уменьшению скорости расширения прекурсора. Вязкость задается формулой Кригера-Догерти

где д0 — вязкость жидкости без примесей, ф — объемная доля коллоидных частиц, а фт — максимальная объемная доля (фт ~ 0.64 для твердых сфер). Уравнение движения в капле можно объединить с уравнением переноса частиц через (4.24), т. к. объемная доля частиц пропорциональна их концентрации. Предполагается, что капля достаточно мала и силами гравитации можно пренебречь, тогда уравнения, описывающие течения в капле, примут вид

(4.24)

где р и р — время, плотность и давление (штрих обозначает размеренную величину), а скорость потока V' = (и'г, ). По причине испарения капли следует так же описать температуру Т', тогда

рСр{ дТ^ + V У'Т') = кУ 2Т',

где к — теплопроводность, ср — удельная теплота испарения жидкости. На подложке, = 0, полагается постоянная температура, отсутствие скольжения и непроницаемость, тогда граничные условия примут вид Т' = Т0, и'г = 0, и'г = 0, где Т0 — комнатная температура.

На поверхности х' = Ы(г',£') накладываются граничные условия равновесия массы, теплового потока, нормального и касательного давления. Предполагается, что вязкость, плотность и теплопроводность окружающего воздуха много меньше по сравнению с жидкостью. Равновесие массы задается как = р(у'- VI')п', где — плотность потока испарения, VI' = (0, д^г) — скорость

/ - / (дк'/дг ',1)

на поверхности, п — вектор внешней нормали к поверхности, п = .

Равновесие нормального давления через границу жидкость-газ задается

как

- р'а - п'Т'п' = -ка - П', (4.26)

где р'а — атмосферное давление, а — поверхностное натяжение, а кривизна к определяется по формуле к = У'[(1 + |У'Ы|2)-1 У'Ы']. Правая часть выражения (4.26) включает капиллярное и расклинивающее давление (П'), последнее отображает Ван-дер-Ваальсово взаимодействие.

Равновесие касательного (тангенциального) давления выражается как 1Т'п' = 1У'а, где вектор касательной к поверхности 1 = (1,д^ . в

' ^ ^ у/(дк'/дг ')2 + 1

работе полагается, что а линейно зависит от температуры поверхности Т = Т'(г', Ы(г',£'),£'), поэтому

а = а0 - 7(Т; - Т0), (4.27)

где ао

— поверхностное натяжение капли чистой жидкости при комнатной тем-

пературе Т', а 7 = ^. Для большинства жидкостей 7 > 0, таким образом, течение жидкости на поверхности направленно из теплой в холодную область. А так как жидкость в капле вязкая, то между потоками внутри и на поверхности капли возникает трение.

Равновесие теплового потока задается как -^п'УТ' = Ьт3', где Ьт — скрытая теплота парообразования. В определении закона испарения авторы [108] следуют предшественникам [163, 164] с небольшими поправками касательно давления Лапласа. На основании выбранного режима испарения и уравнения Герца-Кнудсена получено КЗ' = а(р' — р'а) + (Т — Т'), где К и а — константы, данные в статье [108], а Т — температура насыщения. Плотность потока пара зависит как от отклонения давления, так и от изменения температуры на поверхности. Более того, такая форма плотности потока пара допустима при наличии прекурсора, где силы Ван-дер-Ваальсова взаимодействия и испарение уравновешивают друг друга. Для упрощения системы уравнений берется случай тонкой капли, £ = ^ ^ 1, где Н' и Я' — начальные высота и радиус основания капли, что позволит применить приближение смазки. Ссылаясь на Аджаева и др. [163,164], Кумар и Маки [108] утверждают, что вязкость и поверхностное натяжение начинают конкурировать при £ = 0(Са1/3), где Са — капиллярное число. Чтобы проанализировать данное утверждение, авторы полагают £ = Са1/3, где Са = , V' — характерная скорость, определяется

лп кТ

из равновесия массы и энергии на границе поверхности капли, V = ад/. Для приведения системы к безразмерному виду вводятся следующие масштабированные переменные: г' = Яг, х' = Са1/3Я'х, Ы = Са1/3ЯЫ, у'г = V'vr, < = Са1/3^, И = ^, р' = С^р, П' = ^П, Т — Т' = Са2/3Т'Т и З = pV'Ca1/3J. При £ ^ 0 получают следующие уравнения системы:

0=1 ^ + ^, (4.28)

Г ОГ О X

0 = — + -(, (4.29) дг дх Ох ) '

дР

0 = — Ж' (4Л0)

д 2Т

0 = ^ • (4Л1)

где при = 0

Т Т

Т = 0 - 5 = 0, уг = 0, уг = 0, Са2/3Т' , г , * ,

(4.32)

при = Ы( , )

а

дЫ дЫ

-Уг— + V* - —

дг сЯ

1 д / дЫ\ А

д д - Ы3

— дvr

= ,,

—0 дг д Т

,

де,

д

д

= ,,

(4.33)

(4.34)

(4.35)

(4.36)

где задает расклинивающее давление, А и ^ — некоторые безразмерные параметры [108]. Решением уравнения температуры (4.31) является Т(г,г, £) = - ,(г, ^)х + 0. С учетом (4.27) ^ = М, где М — модифицированное число

Т' 'у

Марангони, М = . Радиальная скорость находится интегрированием радиальной компоненты уравнения сохранения импульса (4.29) с учетом равновесия тангенциального давления (4.35) и выполнения граничного условия (4.32) на подложке:

* \ * *=% (/ — (г - ы)^ )+мдаы)(

дг \ ] до / дг ] —о

00

— .

Подставляя Тт = -,Ы + 0 и выражение для давления (4.34) в обезразмеренное уравнение для плотности потока пара, получают