Модель развития трещины в упругопластической среде тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, доктор физико-математических наук Лавит, Игорь Михайлович

• Лавит, Игорь Михайлович
• доктор физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Лавит, Игорь Михайлович

СОДЕРЖАНИЕ

Стр.

ВВЕДЕНИЕ

1. ПРОБЛЕМА МОДЕЛИРОВАНИЯ ПРОЦЕССА РОСТА ТРЕЩИНЫ МЕТОДАМИ МЕХАНИКИ ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО

ТЕЛА

1.1. ГЕНЕЗИС И СОВРЕМЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ПРОБЛЕМЫ

1.2. ОСНОВНЫЕ ДОПУЩЕНИЯ ТЕОРИИ И ОБЛАСТЬ ЕЕ

ПРИМЕНЕНИЯ

ЛИТЕРАТУРА

2. ИСХОДНЫЕ ДОПУЩЕНИЯ И ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ

2.1. КЛАСС РЕШАЕМЫХ ЗАДАЧ

2.2. РОСТ ТРЕЩИНЫ

2.2.1. Трещина как физический и механический объект

2.2.2. Механическая модель трещины

2.3. ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ КВАЗИСТАТИЧЕСКОГО РОСТА ТРЕЩИНЫ

2.3.1. Анализ без учета сил сцепления

2.3.2. Анализ с учетом сил сцепления

2.4. ДЕФОРМИРОВАНИЕ ОКРЕСТНОСТИ КОНЧИКА ТРЕЩИНЫ

2.5. ПОСТУЛАТЫ ТЕОРИИ

2.5.1. Общие замечания

2.5.2. Класс решаемых задач

2.5.3. Свойства сил сцепления

2.5.4. Свойства концевой области

ЛИТЕРАТУРА

3. МЕТОД РАСЧЕТА УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ ОКРЕСТНОСТИ КОНЧИКА ТРЕЩИНЫ

3.1. ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ

3.2. ЗАКОН СОСТОЯНИЯ ДЛЯ СИЛ СЦЕПЛЕНИЯ

3.3. ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ

3.4. АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ УПРУГО ПЛАСТИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ

3.5. КРИТЕРИЙ РОСТА ТРЕЩИНЫ

ЛИТЕРАТУРА

4. ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОЙ МЕХАНИКИ РАЗРУШЕНИЯ

4.1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

4.2. ГРАНИЧНОЕ ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ

4.3. КОЭФФИЦИЕНТЫ ИНТЕНСИВНОСТИ НАПРЯЖЕНИЙ

4.4. РАЗРЕШИМОСТЬ ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ

4.5. ВЫБОР ЗАДАВАЕМЫХ ФУНКЦИЙ

4.5.1. Конечная область

4.5.2. Бесконечная область

4.6. АЛГОРИТМ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ

4.7. ПРИМЕРЫ РАСЧЕТА

ЛИТЕРАТУРА

5. РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТОВ

5.1. КВАЗИХРУПКИЙ РОСТ ТРЕЩИНЫ

5.1.1. Монотонное нагружение

5.1.2. Циклическое нагружение

5.1.3. Учет конечности сечения

5.2. ВЯЗКИЙ РОСТ ТРЕЩИНЫ

5.3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОНСТАНТ МАТЕРИАЛА

ЛИТЕРАТУРА

6. НАПРАВЛЕНИЕ ДАЛЬНЕЙШИХ ИССЛЕДОВАНИЙ

6.1. ОБСУЖДЕНИЕ ПОЛУЧЕННЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ

6.2. ЗАРОЖДЕНИЕ ТРЕЩИНЫ

ЛИТЕРАТУРА

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

БЛАГОДАРНОСТИ

ПРИЛОЖЕНИЕ 1. КОНЕЧНЫЕ ДЕФОРМАЦИИ

УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОГО МАТЕРИАЛА

ЛИТЕРАТУРА

ПРИЛОЖЕНИЕ 2. УРАВНЕНИЕ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО БАЛАНСА

ДВИЖУЩЕГОСЯ ОБЪЕМА

ЛИТЕРАТУРА

ПРИЛОЖЕНИЕ 3. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СИЛ СЦЕПЛЕНИЯ В ОКРЕСТНОСТИ ВЕРШИНЫ ТРЕЩИНЫ В СЛУЧАЕ ЗАВИСИМОСТИ

ИХ ВЕЛИЧИНЫ ОТ РАСКРЫТИЯ ТРЕЩИНЫ

ЛИТЕРАТУРА

ПРИЛОЖЕНИЕ 4. ВЫЧИСЛЕНИЕ НАПРЯЖЕНИЙ В ПЛОСКОСТИ И НАГРУЗОК НА КРОМКИ ТРЕЩИНЫ, ОБУСЛОВЛЕННЫХ

ДЕЙСТВИЕМ НАЧАЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ

ЛИТЕРАТУРА

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Модель развития трещины в упругопластической среде»

ВВЕДЕНИЕ

Процесс разрушения имеет два аспекта: микроскопический, в котором разрушение предстает как разрыв межмолекулярных связей, и макроскопический, в котором оно проявляет себя в увеличении граничной поверхности тела без заметного деформирования последнего. В соответствии с этим физика разрушения изучает явление разрушения на микроуровне, рассматривая его как изменение характера взаимодействия точечных материальных частиц, а механика разрушения - на макроуровне, интерпретируя его как рост трещины. Между обоими описаниями, несомненно, есть связь, и эта связь, согласно общим представлениям механики, должна устанавливаться через макрохарактеристики статистического ансамбля микрочастиц. Главной из этих характеристик является энергия, и именно благодаря тому, что в лежащем в основе механики разрушения критерии Гриффитса используется понятие энергии, идущей на увеличение поверхности тела, - энергии разрушения, методами механики разрушения удается успешно прогнозировать уровень разрушающих нагрузок для очень широкого диапазона изменения геометрических и силовых параметров деформирования твердых тел.

Механика разрушения дает адекватное математическое описание распространения трещин в хрупких материалах. Но приложение теории к материалам, способным деформироваться пластически, например, к типичным металлам и металлическим сплавам1, требует модификации критерия Гриффитса. Модифицированные теории: механика квазихрупкого разрушения, нелинейная механика разрушения - дают согласующиеся с экспериментом предсказания усло-

1 Ниже везде под пластичностью подразумевается пластичность только этих материалов.

вий старта трещины. Однако построить математические модели устойчивого роста трещины в упругопластической среде (модель вязкого разрушения) и усталостного роста трещины в рамках этих теорий не удается. Поэтому в настоящее время ведутся исследования, имеющие целью создание теорий указанных процессов. Вариант такой теории представлен в настоящей диссертации. В нем предполагается, что и вязкое (упругопластическое) разрушение, и усталостный рост трещины характеризуются единым критерием - энергетическим критерием Гриффитса. Другим основанием теории является теория сил сцепления Ба-ренблатта, позволяющая применить к решению упругопластических задач механики трещин метод упругих решений Ильюшина. Приложение теории предполагает использование численных методов линейной механики разрушения. Один из таких методов разработан при проведении данного исследования. Вычислительные алгоритмы доведены до компьютерных реализаций. Результаты численных расчетов дают возможность сопоставить теоретические данные с экспериментальными. Несмотря на то, что в расчетах использовались наиболее простые соотношения, указанное сопоставление свидетельствует об адекватном математическом моделировании теорией роста трещины в упругопластической среде.

В первом разделе диссертации дается общий анализ проблемы моделирования процесса роста трещины методами механики деформируемого твердого тела. Сформулирована цель и показана актуальность исследования, отмечена его научная новизна, рассмотрены достоверность полученных результатов и их практическая ценность. Второй раздел посвящен исходным допущениям (постулатам) и постановке краевых задач. Значительное место занимает в нем термодинамический анализ процесса роста трещины. Третий раздел содержит описание метода расчета параметров упругопластического деформирования окрестности кончика квазистатически распространяющейся трещины. В четвертом разделе

изложен численный метод решения краевых задач линейной механики разрушения, представляющий собой составную часть математической модели роста трещины в упругопластической среде. В пятом разделе приведены наиболее важные результаты численных расчетов и данные по сопоставлению их с экспериментами. Шестой раздел посвящен анализу полученных результатов и перспектив дальнейшего развития теории.

1. ПРОБЛЕМА МОДЕЛИРОВАНИЯ ПРОЦЕССА РОСТА ТРЕЩИНЫ МЕТОДАМИ МЕХАНИКИ ДЕФОРМИРУЕМОГО

ТВЕРДОГО ТЕЛА

1.1. ГЕНЕЗИС И СОВРЕМЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ПРОБЛЕМЫ

Разрушение на макроуровне представляет собой процесс катастрофического развития трещины - и поэтому усилия исследователей прочности материалов, начиная с пионерской работы Гриффитса [1], направлены на поиски адекватных математических формулировок условий образования и роста трещин. К настоящему времени эта проблема полностью не решена, хотя достигнутые результаты достаточны для решения многих прикладных задач [2-4].

Процесс развития трещины состоит из нескольких этапов. Первый из них, ее зарождение в значительной степени определяется неоднородностью и дефектами структуры материала. Второй этап - это развитие трещины до размеров, когда указанные факторы перестают влиять на ее дальнейший рост. Можно говорить о трещине на первых двух этапах роста как о микротрещине, а на дальнейших - как о макротрещине. Третий этап развития трещины - квазистатический рост, и наконец четвертый, заключительный этап - лавинообразный рост (долом), завершающийся обычно разделением тела на части - разрушением. Тело, содержащее трещину, сопротивляется нагрузке до наступления долома, который протекает при постоянном или уменьшающемся усилии в течение очень короткого промежутка времени. Таким образом, начало долома можно рассматривать как момент исчерпания прочности тела, определяемой как его способность сопротивляться нагрузке не разрушаясь. Вследствие этого с практической точки зрения наибольшее значение имеет формулировка критерия

перехода от третьего этапа развития трещины к четвертому. Такой критерий, представляющий собой критерий прочности тела, формируется в итоге исследования третьего этапа развития трещины. Поэтому главным направлением механики разрушения является изучение именно этого этапа.

Многообразие трещин, встречающихся в твердых телах и отличных друг от друга формой, размерами, расположением в теле, а также способностью влиять друг на друга, приводит к многообразию постановок задач физики и механики трещин. В данной работе, предметом которой является изучение механических условий роста трещин, рассматривается только один класс таких задач - наиболее важный с точки зрения оценки прочности тела и наиболее экспериментально исследованный - задачи об условиях роста изолированных прямолинейных поверхностных трещин нормального отрыва в плоскодеформированных телах, находящихся под действием поверхностных нагрузок. Все геометрические особенности задачи данного класса демонстрирует чертеж поперечного сечения тела плоскостью, на котором фронт трещины вырождается в точку - кончик (вершину, устье) трещины. Сама трещина на этом чертеже представляется отрезком, длина которого называется длиной трещины. Рост трещины в данном случае - это просто ее удлинение.

Основные положения (постулаты) механики разрушения сформулированы Гриффитсом [1]. Первый из них устанавливает, что трещину можно рассматривать как не имеющий ширины разрез («математический» разрез) в сплошной среде, кромки которого не взаимодействуют. Второй утверждает, что трещины могут существовать в теле и в естественном состоянии, при отсутствии напряжений и деформаций. Следующий постулат представляет собой условие роста трещины: трещина растет в том и только в том случае, когда производная потенциальной энергии тела по длине трещины (времениподобному параметру

при квазистатическом росте трещины) становится равной (по модулю) удельной поверхностной энергии' - прочностной константе материала. Это условие (критерий Гриффитса) имеет ясную термодинамическую интерпретацию: высвобождающаяся при продвижении трещины упругая энергия идет на образование новой поверхности - приращения граничных поверхностей трещины. Далее, материал предполагается однородным, так как рассматривается третий этап роста трещины, и кроме того, изотропным и линейно упругим. Критерий Гриффитса выполняется (при определенной нагрузке) для трещин, длина которых не меньше некоторой вычисляемой величины, которая называется критической длиной трещины. Если длина трещины меньше критической, то такая трещина, согласно теории Гриффитса, должна покоиться. Однако экспериментально наблюдаются случаи роста трещин при длине, меньше критической. Такой рост трещины, называемый докритическим, может вызываться либо процессами, протекающими на молекулярном уровне, либо ползучестью, химическими воздействиями, циклически прикладываемой нагрузкой и др.

Теория, построенная на постулатах Гриффитса, - линейная механика разрушения дает согласующиеся с экспериментом оценки прочности тел из хрупких материалов, деформации которых малы и упруги вплоть до разрушения. Поэтому линейную механику разрушения можно рассматривать как механику хрупкого разрушения. Хотя в постулатах Гриффитса и не содержится условие перехода от третьего этапа роста трещины к четвертому, оно естественно из них следует как условие потери устойчивости роста трещины. Трещина растет устойчиво, если бесконечно малому приращению ее длины соответствует бес конечно малое приращение нагрузки. Квазистатический рост трещины может

1 Ниже везде под удельной поверхностной энергией подразумевается ее удвоенное значение.

реализовываться только как устойчивый, поэтому момент потери устойчивости квазистатического роста трещины суть начало долома.

Построение механики разрушения тел, материал которых способен пластически деформироваться, достигается модификацией основных положений теории Гриффитса. Важный шаг был сделан Ирвином [5] и Орованом [6], предложившими теорию квазихрупкого разрушения, то есть разрушения тел из пластичных материалов, практически ничем не отличающегося от разрушения тел из хрупких материалов. Согласно этой теории, высвобождающаяся при продвижении трещины потенциальная энергия идет не только на образование новой поверхности - приращения граничных поверхностей трещины, но и на преодоление сопротивления пластическому деформированию окрестности движущегося кончика трещины. Предполагается, что рассеивающаяся при этом энергия, приходящаяся на единицу приращения длины трещины, так же, как и удельная поверхностная энергия, является константой материала. Сумма этих двух констант, эффективная удельная поверхностная энергия заменяет удельную поверхностную энергию в критерии Гриффитса. Все остальные исходные положения теории Гриффитса остаются без изменения. Таким образом, линейная механика разрушения оказывается не только механикой хрупкого разрушения, но и механикой квазихрупкого разрушения.

Чтобы выполнялся постулат Ирвина-Орована и разрушение было бы квазихрупким, необходимо, чтобы пластическая зона, окружающая кончик трещины и перемещающаяся вместе с ним, была бы мала по сравнению с длиной трещины и размерами тела. В случае достаточно пластичных материалов, таких, как металлы, это требование представляет собой серьезное ограничение и выполняется не всегда.

Дальнейшие модификации теории имеют целью снять упомянутое ограничение и смоделировать тем самым вязкое разрушение, то есть разрушение, сопровождаемое заметным пластическим деформированием. Можно предположить, что наряду с малой зоной сильнодеформированного материала, которая перемещается вместе с кончиком трещины и вносит определяющий вклад в эффективную удельную поверхностную энергию, в теле может существовать достаточно обширная зона умеренных пластических деформаций. Такое предположение эквивалентно отказу от постулата о линейно упругом поведении материала при сохранении остальных постулатов линейной механики разрушения. Это кажущееся небольшим изменение теории таково только на первый взгляд. Дело в том, что в кончике трещины при линейно упругом деформировании поле напряжений сингулярно, что не вызывает принципиальных трудностей при решении краевых задач линейной механики разрушения. В случае же упругопла-стического деформирования это обстоятельство делает неприменимым метод упругих решений Ильюшина [7] - единственный общий численный метод решения упругопластических задач. Следовательно, чтобы вернуть теории работоспособность, необходимо ее дальнейшее изменение. Такое изменение введено Райсом [8]. Суть его в предположении, что если трещина неподвижна, то в каждой точке зоны умеренных пластических деформаций реализуется простое нагружение и, следовательно, материал подчиняется соотношениям деформационной теории пластичности. Момент старта трещины завершает период ее покоя - значит, в момент старта деформационная теория еще справедлива. При этом энергетический критерий Гриффитса принимает вид: трещина стартует, когда некоторая величина, выражаемая контурным интегралом (так называемым /-интегралом), не зависящим от формы контура, достигает величины эффективной удельной поверхностной энергии. Решающим обстоятельством здесь является независимость /-интеграла от формы контура, который можно провести как можно дальше от кончика трещины, лишь бы он не выходил за

пределы поперечного сечения тела. Поэтому в данном случае требования к точности решения упругопластической задачи умеренны: достаточно правильно описать напряженно-деформированное состояние на больших расстояниях от кончика трещины. Теория, основанная на гипотезе Райса о применимости деформационной теории пластичности и называемая нелинейной механикой разрушения, дает согласующиеся с опытом предсказания значений нагрузки, при которых трещина начинает расти. Ее, по аналогии с линейной механикой разрушения, можно было бы считать механикой вязкого разрушения, однако диапазон ее применимости значительно уже. Дело в том, что критерий Гриф-фитса для хрупкого разрушения, критерий Ирвина-Орована для квазихрупкого разрушения и критерий Райса для вязкого разрушения формулируют необходимые условия распространения трещины, однако если первые два справедливы на протяжении всего участка роста трещины, то последний - только для момента старта.

Для большинства практически важных случаев роста трещины линейная механика разрушения предсказывает, что момент старта трещины и момент начала ее неустойчивого роста совпадают или, что то же, устойчивый, квазистатический рост трещины невозможен. Этот вывод подтверждается экспериментальными данными для хрупких материалов, но для пластичных материалов наблюдаются расхождения теории с экспериментом. При квазихрупком разрушении длина участка устойчивого роста трещины мала по сравнению с длиной трещины, и поэтому максимальная нагрузка (нагрузка, при которой начинается долом) незначительно отличается от нагрузки, при достижении которой трещина стартует. Это позволяет определять экспериментально основную прочностную характеристику материала, связанную с эффективной удельной поверхностной энергией, - вязкость разрушения по максимальной нагрузке на образец. Участок устойчивого роста трещины и, соответственно, расхождение зна-

чений нагрузки, при которой трещина начинает расти, и максимальной нагрузки возрастают, когда разрушение становится все более вязким. Нелинейная механика разрушения, позволяющая описать только старт трещины, не содержит методов вычисления максимальной нагрузки - нагрузки начала долома.

Необходимость моделирования устойчивого роста трещин стимулирует, вплоть до настоящего времени, обширные и интенсивные теоретические изыскания. Нет возможности и необходимости охарактеризовать их все, однако есть смысл выделить основные направления исследований и указать на наиболее важные достижения. Это, во-первых, исследования, в которых основной постулат Гриффитса - существование энергетического критерия роста трещины - заменяется каким-либо другим условием. Такое условие наиболее естественно получается из рассмотрения изменения геометрических характеристик трещины при действии нагрузки. Наряду с длиной трещину можно характеризовать относительным смещением ее кромок под нагрузкой. Эта величина переменна по длине трещины, но можно из тех или иных соображений выбрать сечение на некотором расстоянии от кончика трещины и попытаться установить взаимосвязь моментов, при которых трещина начинает расти или распространяться лавинообразно, с относительным смещением кромок трещины в этом сечении (раскрытием трещины). Такой подход был предложен впервые Леоновым и Панасюком [9,10] и независимо несколько позже Уэллсом [11]. Развитие и достижения этой теории, называемой ¿^-моделью, отражены в работе [12]. Диапазон применимости этой теории охватывает все рассмотренные выше случаи, а ее приемлемое согласование с экспериментом дает основание считать ее наиболее естественным претендентом на роль общей, универсальной механики разрушения. Чтобы сделать выбор между 4_м°Делью и рассмотренными выше теориями, необходимо установить, в чем их принципиальное различие. Оно - в

критерии распространения трещины. Энергетический критерий представляет собой физически очевидную макроскопическую характеристику огромного числа микроразрушений, из которых складывается рост трещины. Критерий критического раскрытия трещины, используемый в ¿"¿-модели, чисто феноменологический (во всяком случае так, как он в настоящее время формулируется), и поэтому его можно рассматривать пока только как удачную аппроксимацию опытных данных. Сказанного, по-видимому, достаточно для обоснования интереса к другим подходам, пытающимся обобщить рассмотренные выше теории, основывающиеся на энергетическом рассмотрении.

Экспериментальное определение значения ./-интеграла, соответствующее старту трещины, выполняется в результате построения 7?-кривой (кривой сопротивления), представляющей собой зависимость /=./(Да), где Аа - приращение длины трещины [13]. Хатчинсон и Парис установили [14], что при некоторых ограничениях, включающих в себя требование сравнительно небольшого приращения длины трещины, /^-кривая не зависит от формы и размеров сечения и может рассматриваться как характеристика материала. Парис, Тада, Захур и Эрнст [15] предложили аппроксимировать начальный участок ^-кривой прямой линией, наклон которой к оси абсцисс характеризуется безразмерным параметром - модулем разрыва. С помощью этой величины легко формулируется условие устойчивости роста трещины: последняя растет устойчиво, если теоретически рассчитанный модуль разрыва (при постоянной нагрузке) меньше соответствующего экспериментального значения. Таким образом, теория модуля разрыва добавляет к концепции ./-интеграла критерий перехода от устойчивого развития трещины к долому и, следовательно, может рассматриваться как механика вязкого разрушения. Следует отметить ее удовлетворительное согласие с экспериментом.

Однако эта теория, несмотря на свою формальную непротиворечивость и согласованность с экспериментом, имеет серьезный недостаток, следствием которого является упомянутая ограниченность применимости теории сравнительно малыми приращениями длины трещины. Это использование величин, физический смысл которых не ясен, в качестве основы теории. Имеется в виду 7?-кривая. Как упоминалось, /-интеграл может быть определен только для момента старта трещины, и поэтому, строго говоря, в зависимости /(Ад) есть только одна физически реальная точка, в которой Аа=0, а построение Л-кривой имеет смысл только как способ определения /(0) с помощью экстраполяции. Однако не исключено, что в процессе развития механики разрушения теория модуля разрыва будет подкреплена дополнительными теоретическими доводами: возможность этого зиждется на ее согласованности с опытом.

Другой подход предложен Атлури и Нишиокой [16,17]. Суть его в попытке сформулировать энергетический критерий для общего случая устойчивого роста трещины в упругопластической среде. Этот критерий, так же, как и критерий Райса, связывает возможность продвижения трещины с достижением значения некоторого интеграла, называемого Г*-интегралом, величины эффективной удельной поверхностной энергии. Однако, в отличие от /-интеграла, Т*-интеграл не является инвариантным контурным интегралом (за исключением случая старта трещины, когда он сводится к /-интегралу), поэтому его нахождение предполагает наличие вычислительных процедур, позволяющих преодолевать проблемы, связанные с сингулярностью поля напряжений в кончике трещины. Корректные алгоритмы вычислений для такой задачи не найдены1.

ггч /•"" \л к*

Таким образом, данный подход нельзя рассматривать в качестве возможной теории вязкого разрушения.

1 Подробное обсуждение см. в разделе 2.

Неуспех описанных вариантов развития механики разрушения наталкивает на мысль о необходимости модификации каких-либо других ее исходных положений. Можно попытаться как-то усложнить закон состояния материала в надежде, что нелинейные эффекты деформирования приведут к исчезновению сингулярности в кончике трещины. Резюме таких попыток дано в работе [18]: «...к сожалению, применение любых сколь угодно сложных моделей сплошной среды, как оказалось, приводит к неразрешимому парадоксу особой точки в вершине трещины». Этот результат говорит о том, что упомянутая сингулярность присуща собственно модели трещины, независимо от свойств материала. Здесь возникают два вопроса. Первый из них: единственная ли это причина, по которой не удается сформулировать необходимый критерий роста трещины для всего этапа ее квазистатического распространения? Предыдущее рассмотрение убеждает в положительности даваемого ответа. Второй вопрос: представляет ли эта сингулярность физический атрибут явления или это результат неадекватности математической модели? Ответ очевиден, так как бесконечных напряжений в теле быть не может. И очевидно также направление модификации исходных положений теории: следует искать возможность изменения постулатов, описывающих геометрические и силовые характеристики трещины. Можно, например, отказаться от моделирования трещины разрезом нулевой ширины. Если ширина разреза не равна нулю, то в кончике трещины будет закругление конечного радиуса - и сингулярность исчезнет! Условие роста трещины можно получить в данном случае, пользуясь какой-либо теорией прочности. В такой модели появляется новый параметр - радиус закругления кончика трещины или, что то же, начальное расстояние (зазор) между ее кромками. Этот зазор должен образовываться при подрастании трещины, то есть поверхности, образовавшись, должны тут же разойтись на некоторую наперед заданную величину. Такой процесс совместим с законом сохранения массы, только если плотность материала в поверхностном слое заметно больше, чем в его

толще. Очевидно, что чем дальше развивать эту теорию, на первый взгляд очень простую и естественную, тем больше появится сложных проблем. А теория, претендующая на описание вязкого разрушения, не должна быть намного сложнее своих прототипов.

Возможно другое изменение постулатов Гриффитса. Можно предположить, что кромки трещины взаимодействуют, причем силы этого взаимодействия, называемые силами сцепления, распределены так, что кончик трещины перестает быть особой точкой напряженно-деформированного состояния. Такое предположение было независимо высказано Леоновым и Панасюком [9], Баренблат-том [19-21] и Дагдейлом [22], опиравшимися на более ранние исследования1. Последовательную теорию сил сцепления применительно к задачам линейной механики разрушения развил Баренблатт [19-21, 23, 25, 26]. Он предположил, что силы сцепления действуют в малой окрестности кончика трещины - концевой области (зоне сцепления) и при росте трещины эта зона перемещается вместе с кончиком трещины не изменяясь. Оказалось, что определенные таким образом силы сцепления имеют единственную макрохарактеристику, которой соответствует бесконечное множество конкретных законов распределения этих сил вдоль кромок трещины, - коэффициент интенсивности напряжений. Постоянная величина последнего при распространении трещины представляет собой прочностную константу материала - вязкость разрушения, связанную известным соотношением с эффективной удельной поверхностной энергией. Решения конкретных задач по определению условий старта трещины с учетом сил сцепления, распределение которых подчиняется постулатам Баренблатта, оказыва-

1 Исторические аспекты и некоторые приложения теории к задачам линейной механики разрушения изложены в работах [23,24].

ются идентичными решениям, полученным методами линейной механики разрушения. Необходимо выяснить, как соотносятся между собой эти две теории. Здесь следует вспомнить о существовании особой точки в решении любой задачи линейной механики разрушения. Вообще говоря, сингулярности полей напряжений и деформаций характерны для многих задач теории упругости, например, задач, в которых рассматриваются сосредоточенные нагрузки. Однако каждая такая задача - результат идеализации, имеющей прагматичную цель -получить простое решение, верное вдали от точки приложения нагрузки. Если необходимо решение, верное в непосредственной близости от приложенной силы, последнюю заменяют более реалистичным распределением нагрузки, тем самым исключая сингулярность. В механике разрушения наиболее важная область - окрестность кончика трещины, а сингулярность решения в кончике трещины свидетельствует о неверном описании напряженного состояния в этой области. Процедура замены исходной расчетной схемы более реалистичной, применяемая в задачах с сосредоточенными силами, в линейной механике разрушения отсутствует. Ее функцию и выполняет теория Баренблатта, дающая непротиворечивое описание напряженно-деформированного состояния окрестности кончика трещины. Вдали от него решения по обеим теориям асимптотически совпадают, что полностью аналогично упомянутым задачам о сосредоточенных силах. Таким образом, теорию Баренблатта можно рассматривать как обоснование линейной механики разрушения.

Однако необходимость такого обоснования может вызывать сомнения. Действительно, процесс разрушения протекает на атомарном уровне, это последовательность разрывов связей атомов кристаллической решетки. Моделирование этого процесса методами механики сплошной среды не может быть не грубым, а поэтому уточнение его теорией Баренблатта - уточнение описания напряженного состояния в окрестности кончика трещины, возможно, бессмысленно в

силу того, что в окрестности кончика трещины механика сплошной среды, строго говоря, неприменима. Такая точка зрения была высказана Черепановым в статье [27], положившей начало дискуссии о концепции сил сцепления в механике разрушения [27-32]При рассмотрении этого довода необходимо определить возможности механики сплошной среды в анализе процесса разрушения. Механика сплошной среды может оперировать только интегральными характеристиками разрушения. Главной из них является энергия, затрачиваемая на разрушение, и поэтому энергетическая теория Гриффитса и ее модификации вписываются в парадигму современной механики сплошной среды, трактующей все параметры материального континуума как некоторые статистические средние характеристики существенно дискретных процессов, протекающих на молекулярном уровне. Подход Гриффитса сводится, по существу, к утверждению, что разрушение, понимаемое как распространение трещины, полностью контролируется одной макроскопической величиной - энергией разрушения (удельной поверхностной энергией). Эта величина - единственная в теории Гриффитса характеристика собственно разрушения, проявляющегося как разрыв межмолекулярных связей. Все остальное получается из решения краевых задач механики сплошной среды с математическими разрезами, моделирующими трещины. Постановка таких задач должна быть не только математически, но и механически корректной. В механике встречаются задачи с сингуляр-ностями, но это всегда полезные идеализации, за которыми стоят уточненные, более сложные, модели, не приводящие к сингулярным решениям. Такой уточненной моделью по отношению к моделям линейной и нелинейной механики разрушения, придающей им статус корректных теорий с точки зрения механики, и является модель сил сцепления, причем, как упоминалось выше, никаким другим способом, кроме как введения в рассмотрение сил сцепления, избавить-

1 Более подробно дискуссия обсуждается в разделе 2.

ся от сингулярности в кончике трещины не удается. Именно в этом смысле теория Баренблатта обосновывает линейную механику разрушения. Силы сцепления отнюдь не обязаны своим происхождением необходимости моделирования взаимодействия отрываемых друг от друга атомных слоев - теории Гриффитса достаточно знания энергоемкости этого процесса. Потребность введения сил сцепления коренится в постановке краевых задач.

С практической точки зрения в линейной механике разрушения силы сцепления не нужны - условия старта трещины определяются и в предположении их отсутствия. Противоположная ситуация возникает при построении механики вязкого разрушения, даже в простейшем случае, описываемым теорией интеграла. Решение упругопластической краевой задачи, по результатам которого вычисляется /-интеграл, находится обычно методом конечных элементов. Стандартный способ уточнения конечноэлементного решения - сгущение сетки

о _

в зоне максимальных напряжении - в данном случае применим в пределах, когда еще возможно улучшать аппроксимацию сингулярного поля вблизи особой точки кусочно-аналитическими функциями. Пределы эти на практике устанавливают эмпирически, сопоставляя конечноэлементные решения упругой задачи, полученные на различных сетках, с эталонным решением, найденным каким-либо специальным методом линейной механики разрушения. Ясно, что такой подход - это далеко не то же самое, что построение сходящегося решения упругопластической задачи. Можно ожидать, что два независимых исследователя, решая одну и ту же задачу и добившись одинакового весьма точного совпадения упругого решения с эталоном, получат заметно различные решения упругопластической задачи. И это действительно так [33]. Еще более необходим учет сил сцепления при анализе устойчивого роста трещины в упругопла-стическом материале, когда невозможно выразить энергетические характеристики процесса разрушения через контурный интеграл. Применение модели

сил сцепления предполагает связь между эффективной удельной поверхностной энергией и параметрами распределения сил сцепления. Такая связь установлена Баренблаттом [21,23,25,26] для линейной механики разрушения. Применение теории сил сцепления к проблеме вязкого разрушения началось с работы Райса [34], получившего формулу, выражающую /-интеграл через силы сцепления. Задача термодинамического анализа вязкого разрушения с учетом сил сцепления была поставлена и частично решена Гуртином [35]. Его исследования были продолжены в работах [36,37,3В]1. Следующий шаг - разработка методов решения задач механики вязкого разрушения - начат в работах [39,37], в которых предложен специальный конечный элемент для аппроксимации деформированного состояния в окрестности кончика трещины, позволяющий автоматически устранять сингулярность в кончике трещины за счет введения распределения сил сцепления специального вида. Метод работы [39] был применен к анализу устойчивого роста трещины в упругопластической среде [39,37] и к расчету термоупругопластических деформаций полого цилиндра, ослабленного трещинами [40,37]2. Сходные методы, также основанные на методе конечных элементов, были позже предложены Гроссом и Зангом [41], Мураками [42], Съёбергом и Стахле [43], Твергаардом и Хатчинсоном [44], Юанем и Корнеком [45-47], Стивенсом и Гуином [48].

Таким образом, с помощью модели сил сцепления можно, в принципе, описывать квазистатический рост трещины в упругопластической среде. Однако на смену решенной проблеме особой точки поля напряжений, модель сил сцепления приносит новую - проблему выбора закона, которому подчиняются силы

1 Подробный анализ этих работ приведен в разделе 2.

2 Для решения упругопластических задач в этих работах использовался метод упругих решений [7].

сцепления. В линейной механике разрушения следствием постулатов Баренб-латта[ 19-21] является независимость величин, входящих в формулу критерия роста трещины, от конкретного распределения сил сцепления вдоль ее кромок. Иная ситуация возникает при решении задач механики вязкого разрушения. Чтобы решить конкретную краевую задачу, в данном случае нужно обязательно задать конкретный закон для сил сцепления. Можно указать конечное число условий, которым этот закон должен удовлетворять, но их недостаточно для однозначной его формулировки. Проблема сходна с проблемой выбора закона состояния для изотропного упругого тела: при малых деформациях закон единственен - это закон Гука, но при конечных деформациях число возможных законов бесконечно [49] (случаю малых деформаций в этой аналогии соответствует отсутствие сил сцепления). И так же, как в нелинейной теории упругости, в данном случае применимы два взаимодополняющих подхода: установление (теоретически) возможных классов законов и формулировка и реализация прямых и косвенных методов их экспериментального получения. При этом особую ценность представляют универсальные решения, то есть решения наиболее важных краевых задач при максимально общих законах для сил сцепления (Александров и Кудиш [50]). Эти решения, конечно же, являются решениями линейно упругих задач, но по ним можно построить решения с учетом пластического деформирования. Возможно, что в результате численного экспериментирования удастся выделить диапазон изменения параметров краевых задач, для которого рассчитанные энергетические характеристики процесса роста трещины будут нечувствительны к конкретному виду закона распределения сил сцепления. Но в настоящее время эта задача еще не решена.

В численных методах решения задач вязкого разрушения [39-48] используются те или иные конкретные законы взаимодействия кромок трещины. Наиболее простые соотношения для сил сцепления предложены в работах [9,22]. Если

предположить, что силы сцепления представляют собой модель взаимодействия разделяемых при продвижении трещины атомных слоев, то естественно потребовать, чтобы величина сил сцепления в некоторой точке концевой области была бы функционально связана с раскрытием трещины в этой точке. Функциональную зависимость можно принять, используя какой-либо потенциал межатомного взаимодействия, например, потенциал Морса или Леннарда-Джонса [51]. Применительно к задачам линейной механики разрушения такой подход к учету сил сцепления был реализован Корневым и Тихомировым [52]. Соотношения, использованные в работах [39-48], с точки зрения такой гипотезы выглядят более или менее грубыми аппроксимациями. Эта гипотеза, или вернее, постулат, о том, что силы сцепления определяются законами межатомного взаимодействия, обычно принимается без обсуждения, как очевидный [23,24,53]. И если считать его краеугольным камнем теории сил сцепления, то она оказывается не защитимой от критики [27-29]: величины, определяемые в рамках механики сплошной среды (в данном случае - силы сцепления) не могут быть использованы для моделирования явлений, протекающих на молекулярном уровне. Поэтому отказ от этого постулата необходим; как отмечено выше, причины введения сил сцепления в теорию Гриффитса отнюдь не физического, а чисто механического порядка. Поэтому и самим силам сцепления можно придать различный физический смысл: механическое существо задачи при этом не изменится. Так, Дагдейл [22] рассматривал силы сцепления как модель влияния узкой пластической зоны впереди кончика трещины на остальной материал, находящийся в упругом состоянии. Баренблатт [25] обобщил свою теорию на квазихрупкое разрушение, предположив, что силы сцепления, дополнительно к взаимодействию раздвигаемых атомных слоев, моделируют и действие окружающей кончик трещины узкой зоны пластически деформируемого материала на остальной упругий материал. Силам сцепления, фигурирующим в работах [39-48], можно также придать именно такой физический смысл, тем

более что энергетическая характеристика процесса распространения трещины, определяемая ими, - это эффективная удельная поверхностная энергия. Ясно, однако, что в этом случае даже в принципе невозможно как-то обосновать выбор закона распределения сил сцепления по длине трещины. А такой закон, как отмечено выше, при решении задач механики вязкого разрушения с учетом сил сцепления, необходим.

Чтобы найти выход из создавшегося положения, следует еще раз обратиться к исходным представлениям теории сил сцепления - постулатам Баренблатта. В них содержится условие, которое может стать основой дальнейшего развития теории, - предположение о том, что длина концевой области мала по сравнению с длиной трещины и расстоянием от кончика трещины до граничного кон-

тл v» и

тура. В линеинои механике разрушения отсюда следует независимость характеристик процесса распространения трещины от распределения сил сцепления вдоль кромок трещины. Возможно, что это справедливо и в общем случае вязкого разрушения, однако доказательства этого предположения не получено. Зато есть результаты численных расчетов [37,39], которые подтверждают это предположение для момента старта трещины и опровергают его для случая квазистатического роста. Тем не менее, это предположение - естественно, а противоречия, выявленные в работах [37,39], обусловлены, возможно, другими причинами. И действительно, при математическом моделировании вязкого разрушения появляются дополнительные геометрические объекты: приращение длины трещины, пластическая зона, размеры которых для обеспечения выполнимости сделанного предположения должны значительно превосходить длину концевой области. Эти условия в расчетах, приведенных в [37,39], не выполнялись, что и объясняет полученную зависимость характеристик процесса квазистатического роста трещины от распределения сил сцепления. Противоположный результат для старта трещины объясняется существованием в

данном случае инвариантного /-интеграла [34], что резко повышает «порог чувствительности» энергетических характеристик роста трещины к деталям напряженного состояния окрестности ее кончика. Итак, если верить расчетам [37,39] (которые сопоставлялись с экспериментами), концевая область в задачах механики вязкого разрушения оказывается не малой величиной по сравнению с характерными размерами задачи, и результаты решения последней могут существенно зависеть от распределения сил сцепления вдоль кромок трещины. Обосновать сколько-нибудь строго тот или иной закон распределения не представляется возможным. Напрашивается вывод, что концепция сил сцепления не может служить основой механики вязкого разрушения, хотя, несомненно, может применяться в инженерных приложениях.

1.2. ОСНОВНЫЕ ДОПУЩЕНИЯ ТЕОРИИ И ОБЛАСТЬ ЕЕ ПРИМЕНЕНИЯ

Достижения концепции сил сцепления в моделировании роста трещины несомненны, и поэтому вывод, которым завершается предыдущий подраздел, не может быть окончательным. Действительно, получается, что концевая область при росте трещины в упругопластической среде оказывается слишком велика. Ее размер определяется интегральной характеристикой этих сил - эффективной удельной поверхностной энергией, которая для достаточно пластичных материалов, таких, как металлы, намного превышает удельную поверхностную энергию. Понятие эффективной удельной поверхностной энергии появляется, как упоминалось выше, из гипотезы Ирвина-Орована о существовании узкой зоны пластически деформированного материала, окружающей кончик трещины, перемещающейся вместе с ним и вносящей основной вклад в сопротивление росту трещины при квазихрупком разрушении. Квазихрупкое разрушение -это предельный случай вязкого разрушения при уменьшении относительных размеров пластической зоны вокруг кончика трещины. В этом предельном слу-

чае при постановке задач линейной механики разрушения силы сцепления моделируют не только взаимопритяжение кромок трещины, но и действие напряжений, обусловленных пластическим деформированием [25], - иначе их распределение не позволяло бы вычислять эффективную удельную поверхностную энергию. Моделирование силами сцепления действия этих напряжений сохраняется, очевидно, и в общем случае постановки задачи о росте трещины в упругопластической среде. Получается, что рассмотрение упомянутого процесса с учетом сил сцепления предполагает наличие в сечении двух пластических зон: узкой зоны сравнительно больших пластических деформаций, действие которых моделируется силами сцепления, и относительно обширной зоны умеренных пластических деформаций, наличие и размеры которой определяются формой и размерами сечения. Зона пластических деформаций, моделируемая силами сцепления, к этим факторам нечувствительна. Представление о двух зонах пластического деформирования подтверждается экспериментами Клев-цова и Ботвиной [54]'.

Деление пластической зоны на две, конечно, условно. Оно удобно при построении вычислительных алгоритмов, так как позволяет «размазать» концевую область и уменьшить тем самым расчетные градиенты напряжений в ее окрестности. Но именно оно является причиной неоднозначности решений задач об устойчивом росте трещины в упругопластической среде. И поскольку это деление необязательно, от него естественно отказаться. Именно в этом отказе главное отличие настоящей работы, основное содержание которой опубликовано в статьях [55,56], от предыдущих исследований по построению механики разрушения, учитывающей силы сцепления. Считается, что напряженно-

1 На работу [54] обратил внимание автора Г.И. Баренблатт.

деформированное состояние окрестности кончика трещины определяется в результате решения краевой упругопластической задачи. Последнее получается методом упругих решений, применимость которого обусловлена отсутствием сингулярности в кончике трещины. Силы сцепления, обеспечивающие уничтожение сингулярности, связываются в данном случае не с эффективной удельной поверхностной энергией, а с самой удельной поверхностной энергией. Иными словами, в развиваемой ниже теории гипотеза Ирвина-Орована не фигурирует, и критерием роста трещины служит первоначальный критерий Гриффитса. Так как удельная поверхностная энергия обычно на несколько порядков меньше эффективной удельной поверхностной энергии [2-4], размеры концевой области уменьшаются настолько, что, по-видимому, становится справедливым предположение о том, что детали распределения сил сцепления не влияют на условия, определяющие рост трещины. Для хрупкого разрушения это строго выводится из постулатов Баренблатта, однако для вязкого разрушения упомянутое предположение представляет собой независимый постулат. Принятие этого постулата освобождает теорию сил сцепления от противоречий, и она может быть применена для математического моделирования устойчивого роста трещины в упругопластической среде. Но оказывается, что область применимости такой теории гораздо шире. Выше упоминалось, что помимо роста трещины при монотонно возрастающей нагрузке, начинающегося с момента достижения нагрузкой критической величины, возможен докритиче-ский рост трещины, протекающий при нагрузках, заведомо меньших критической. Наиболее важная и изученная его разновидность - усталостный рост, происходящий под действием циклически прикладываемой нагрузки. Оказывается, что закономерности усталостного роста трещины удовлетворительно описываются с помощью понятий механики разрушения. Интенсивные экспериментальные исследования, начатые работой Париса [57], указывают на существование функциональной зависимости скорости роста усталостной трещины от

амплитуды коэффициента интенсивности напряжений. Тем не менее, ответить на вопрос, почему усталостная трещина растет, механика разрушения, без введения дополнительных критериев роста трещины, была не в состоянии. В настоящей работе показано, что рассмотрение циклического нагружения тела с учетом действия сил сцепления позволяет достаточно точно описать усталостный рост трещины в предположении подчиненности его энергетическому критерию Гриффитса. При этом оказывается, в соответствии с известными представлениями [4], что усталостный рост трещины - это чисто пластический эффект, иными словами, в хрупком материале усталостный рост трещины невозможен.

Механика разрушения изучает прочность тел, содержащих трещины, не рассматривая механизм возникновения последних. Ясно, что при действии нагрузки трещины зарождаются в тех местах, где имеются те или иные дефекты структуры материала. Можно, однако, представить себе экспериментальный образец, практически свободный от дефектов. Таковы, например, нитевидные кристаллы [58]. Прочность этого образца будет намного больше прочности образцов, содержащих дефекты, однако она не будет безграничной: прочность бездефектных, идеальных твердых тел ограничена сверху прочностью межмолекулярных связей [59]. Поэтому можно говорить о прочности бездефектного материала [30] - прочностной константе материала, дополнительной к его удельной поверхностной энергии. В классической механике разрушения эта константа не фигурирует, так как там напряжения при приближении к кончику трещины стремятся к бесконечности. В рассматриваемой теории, учитывающей силы сцепления, она появляется как естественная верхняя граница абсолютных величин напряжений в кончике трещины.

В заключение этого, отнюдь не претендующего на полноту, очерка состояния и развития основных положений механики разрушения можно указать место, занимаемое в общем контексте исследований настоящей диссертацией.

Цель работы состоит в решении проблемы механики деформируемого твердого тела - разработке основ теории устойчивого квазистатического роста трещины в упругопластическом материале как при монотонно возрастающей, так и при циклической нагрузке.

Актуальность работы обусловлена, как показано выше, отсутствием непротиворечивых математических моделей этих процессов.

Научная новизна работы заключается в следующем:

1) построена и обоснована, исходя из физических представлений, система постулатов математической модели трещины в упругопластическом материале; проведен термодинамический анализ процесса роста трещины применительно к предложенной модели;

2) на основе этой модели разработан метод расчета процесса распространения трещины в упругопластической среде;

3) выведено граничное интегральное уравнение задачи линейной механики разрушения для произвольной односвязной области с краевой трещиной;

4) получены согласующиеся с экспериментом решения упругопластических задач, моделирующих рост трещины при монотонно возрастающей и циклической нагрузках.

Достоверность полученных результатов подтверждается полнотой и непротиворечивостью принятых допущений, корректностью используемых методов

исследования, согласованностью полученных результатов с экспериментальными данными.

Практическое значение работы определяется универсальностью разработанной теории, дающей единообразное описание явлениям, традиционно рассматривавшимся как независимые. Наиболее существенным результатом исследования является возможность моделирования теорией усталостного роста трещины. Разработанный метод может быть использован в расчетах деталей машин на усталостную прочность. Также важным для практики результатом можно считать создание метода расчета коэффициентов интенсивности напряжений для плоской области с в общем случае криволинейной краевой трещиной - численного метода линейной механики разрушения. Он может быть использован при оценке прочности сосудов давления и других ответственных конструкций. Диссертационная работа связана с планом основных научно-исследовательских работ ТулГУ. Работа частично выполнялась в рамках научно-технической программы "Недра России" и была поддержана Российским фондом фундаментальных исследований (грант 95-01-00121 "Построение нелинейной механики разрушения, основанной на концепции сил сцепления").

ЛИТЕРАТУРА

1. Griffith A. A. The phenomenon of rupture and flow in solids // Phil. Trans. Roy. Soc. 1920. A221. P.163-198.

2. БроекД. Основы механики разрушения. М.: Высш. школа, 1980. 368 с.

3. Хеллан К. Введение в механику разрушения. М.: Мир, 1988. 364 с.

4. Херцберг Р.В. Деформация и механика разрушения конструкционных материалов. М.: Металлургия, 1989. 576 с.

5. Irwin G.R. Fracture dynamics // Fracturing of metals. Cleveland: ASM, 1948. P.147-166.

6. Orowan E.O. Fundamentals of brittle behavior of metals. N.Y.: Wiley, 1950. P.139-167.

7. Ильюшин А.А. Пластичность. 4.1. Упруго-пластические деформации. M.-JL: ГИТТЛ, 1948. 376 с.

8. Rice J.R. A path independent integral and the approximate analysis of strain concentration by notches and cracks //J. Appl. Mech. 1968. V.35. N.2. P.379-386.

9. Леонов М.Я., Панасюк В.В. Розвиток нащр1бшших трщин в твердому тип // Прикладна мехашка. 1959. Т.5. Bin.4. С.391-401.

10. Панасюк В.В. До теорш поширення тр1щин при деформащи крихкого тша // Док. АНУРСР. 1960. №9. С. 1183-1185.

11. Wells A.A. Critical tip opening displacement as fracture criterion // Proc. Crack Propagation Symp. Cranfield, 1961. V.l. P.210-221.

12. Панасюк В.В. Механика квазихрупкого разрушения материалов. Киев: Нау-кова думка, 1991.416с.

13. ASTM Standard Е813-81 // Annual Book of ASTM Standards. 1981.

14. Hutchinson J.W., Paris P.C. Stability analysis of J controlled crack growth // ASTM STP. 1979. N.668. P.37-64.

15. Paris P. С., Tada Я, Zahoor A., Ernst H. Instability of the tearing mode of elastic-plastic crack growth // ASTM STP. 1979. N.668. P.5-36.

16. Atluri S.N., Nishioka T. On path-independent integrals in the mechanics of elastic-plastic and dynamic fracture // J. Aeron. Soc. of India, 1984. V.36. N.3. P.203-219.

17. Атлури С. Применение в механике разрушения энергетических методов и интегралов, не зависящих от пути интегрирования // Вычислительные методы в механике разрушения. - М.: Мир, 1990. С. 129-179.

18. Черепанов Г.П. Современные проблемы механики разрушения // Пробл. прочности. 1987. № 8. С.3-13.

19. Баренблатт Г.И. О равновесных трещинах, образующихся при хрупком разрушении. Общие представления и гипотезы. Осесимметричные трещины // ПММ. 1959. Т.23. Вып.З. С.434-444.

20. Баренблатт Г.И. О равновесных трещинах, образующихся при хрупком разрушении. Прямолинейные трещины в плоских пластинках // ПММ. 1959. Т.23. Вып.4. С.706-721.

21. Баренблатт Г.И. О равновесных трещинах, образующихся при хрупком разрушении. Устойчивость изолированных трещин. Связь с энергетическими теориями // ПММ. 1959. Т.23. Вып.5. С.893-900.

22. Dugdale D.S. Yielding of steel sheets containing slits // J.Mech. and Phys. Solids. 1960. V.8. N.2. P.100-104.

23. Баренблатт Г.И. Математическая теория равновесных трещин, образующихся при хрупком разрушении // Журн. прикл. мех-ки и техн. физики. 1961. №4. С. 3-56.

24. Гудъер Дж. Математическая теория равновесных трещин // Разрушение. Т.2. М.: Мир, 1975. С. 11-82.

25. Баренблатт Г.И. О некоторых общих представлениях математической теории хрупкого разрушения // ПММ. 1964. Т.28. Вып.4. С.630-643.

26. Баренблатт Г.И., Христианович С.А. О модуле сцепления в теории трещин // Инж. журнал. МТТ. 1968. № 2. С. 70-75.

27. Черепанов Г.П. К математической теории равновесных трещин // Инж. журнал. МТТ. 1967. № 6. С. 86-90.

28. Ивлев Д.Д. Об одном построении теории трещин // Инж. журнал. МТТ. 1967. №6. С. 91-94.

29. Морозов Е.М., Партон В.З. Об одном обосновании критерия Ирвина на конце трещины // Инж. журнал. МТТ. 1968. № 6. С. 147-152.

30. Баренблатт Г.И. О некоторых вопросах механики хрупкого разрушения // Инж. журнал. МТТ. 1968. № 6. С. 153-163.

31. Седое Л.И. О статье Г.И. Баренблатта «О некоторых вопросах механики хрупкого разрушения» // Инж. журнал. МТТ. 1968. № 6. С. 164-168.

32. Ишлинский А.Ю. Сопоставление двух моделей развития трещины в твердом теле // Инж. журнал. МТТ. 1968. № 6. С. 168-177.

33. Larsson L.H. A calculational round robin in elastic-plastic fracture mechanics // Int. J. Pres. Ves. and Piping. 1983. V.l 1. N.4. P.207-228.

34. Райе Дж. Математические методы в механике разрушения // Разрушение. Т.2. М.: Мир, 1975. С. 204-235.

35. Gurtin М.Е. Thermodynamics and the cohesive zone in fracture 11 ZAMP. 1979. V.30. N6. P. 991-1003.

36. JIaeum ИМ., Толоконников JI.A. Силы сцепления и У-интеграл // Изв. Сев.-Кавказского науч. центра высш. школы. Естественные науки. 1985. № 1. С.28-30.

37. Навит И.М. Учет сил сцепления в нелинейной механике разрушения: Ав-тореф. ... канд. техн. наук. - Тула, 1989. - 18с.

38. JIaeum И.М. Силы сцепления в механике разрушения // Изв. Тульского гос. университета. Математика, механика, информатика. 1995. Т.1. Вып.2. С. 8089.

39.JIaeum КМ. Об устойчивом росте трещины в упруго-пластическом материале // Проблемы прочности. 1988. № 7. С.18-23.

40. Лавит И.М., Толоконников Л.А. Термоупругопластическая задача механики разрушения для полого цилиндра с внутренними трещинами // Прикл. проблемы прочности и пластичности. Методы решения. Горький: Изд-во Горьковского ун-та. 1990. С.55-60.

41. Gross D., Zhang С. A cohesive damage zone model for stable crack growth in ductile materials // 18th Int. Congr. Theor. and Appl. Mech., Haifa, Aug. 22-28, 1992. Haifa, 1992. P.65-66.

42. Murakami K. Non-linear analysis of cohesive force model by means of boundary element method // Techn. Rept. Kumamoto Univ. 1992. V.41. N.2. P. 185-198.

43. Sjoberg F., Stable P. On the autonomy of the process region // Int. J. Fract. 1992. V.54. N.l. P.1-20.

44. Tvergaard V., Hutchinson J. W. The relation between crack growth resistance and fracture process parameters in elastic-plastic solids // J. Mech. Phys. Solids. 1992. V.40. N.5. P.1377-1397.

45. Yuan H., Cornec A. Application of a cohesive zone model on elastic-plastic crack growth // GKSS pt. 1990. E5. P.317-322.

46. Yuan H, Cornec A. Numerical simulations of ductile crack growth in thin specimens based on a cohesive zone model // GKSS pt. 1991. E2. P. 1-11.

47. Cornec A., Yuan H., Lin G. Cohesive zone model for ductile fructure // GKSS [Rept.]. 1994. E73. P.269-274.

48. Stevens R.N., Guin F. The application of the J-integral to problems of crack bridging // Acta met. and mater. 1994. V.42. N.6. P. 1805-1810.

49. Лурье А.И. Теория упругости. M.: Наука, 1970. 940 с.

50. Александров В.М., Кудиш И.И. Асимптотические методы в задаче Гриффит-са // ПММ. 1989. Т.53. Вып.4. С.665-671.

51. Macmillan N.H. The ideal strength of solids // Atomic of fracture. - N.Y.: Plenum Press, 1983. P. 95-164.

52. Корнев B.M., Тихомиров Ю.В. О критерии хрупкого разрушения тел с трещиной при наличии дефекта атомной решетки // Изв. РАН. МТТ. 1994. № 2. С.185-193.

53. Блехерман М.Х., Инденбом В.Л. Критерий Гриффитса в микроскопической теории трещин // Успехи механики деформируемых сред. М.: Наука. 1975. С.74-84.

54. Клевцов Г.В., Ботвина Л.Р. Микро- и макрозона пластической деформации как критерии предельного состояния материала при разрушении // Проблемы прочности. 1984. № 4. С.24-28.

55. Лавит И.М. Математическая модель квазистатического роста трещины в упругопластической среде. 1. Исходные допущения и постановка краевых задач // Изв. Тульского гос. университета. Математика, механика, информатика. 1997. Т.З. Вып.1. С. 118-123.

56. Лавит И.М. Математическая модель квазистатического роста трещины в упругопластической среде. 2. Вычислительный алгоритм и результаты расчетов // Изв. Тульского гос. университета. Математика, механика, информатика. 1997. Т.З. Вып.1. С. 124-129.

57. Paris P.C., Erdogan F. A critical analysis of crack propagation laws // J. Basis Eng. 1963. V.85. N.4. P.528-534.

58. Бережкова Г.В. Нитевидные кристаллы. M.: Наука, 1969. 158с.

59. Борн М., Хуан Кунь. Динамическая теория кристаллических решеток. М.: ИЛ, 1958. 488с.

2. ИСХОДНЫЕ ДОПУЩЕНИЯ И ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ

ЗАДАЧ

2.1. КЛАСС РЕШАЕМЫХ ЗАДАЧ

В данном исследовании изучается квазистатический рост трещины в упруго-пластической среде. Цель исследования - создание математической модели указанного процесса. Этим определяется класс решаемых задач: рассматриваются упругопластические задачи для тел, содержащих трещины и нагруженных квазистатически меняющейся поверхностной нагрузкой. Среди многообразия таких задач выделяются наиболее простые и экспериментально изученные -задачи о распространении достаточно глубоких поверхностных трещин. Такие трещины обычно создаются искусственно в специальных экспериментальных образцах. На рис.2.1 представлена схема компактного образца для испытаний на растяжение1 [1-4]. Другой образец, используемый в стандартных испытаниях на трехточечный изгиб [1-4], изображен на рис.2.22. Определяющим размером для обоих типов образцов является ширина ж. Ее принято измерять в дюймах (22,5 мм). Данные экспериментальных исследований простираются от малых образцов (и>=0,5 дюйма) до больших образцов шириной несколько десятков дюймов. Толщина образца В выбирается в зависимости от ширины таким образом, чтобы обеспечивалось состояние плоской деформации [1-4]. След трещины на фронтальной проекции образца представляет собой прямолинейный отрезок длиной а; поэтому размер а называется длиной трещины. Параметром нагрузки является отношение Я=Р/В. При изменении этой величины длина трещины также может изменяться, получая приращение Аа. Введем обо-

1 Ниже этот образец называется компактным образцом.

2 Ниже этот образец называется трехточечным изгибным образцом.

значения: - начальная длина трещины, а = а^ + Аа - текущая длина трещины. Обычно начальная длина трещины определяется условием <з0/и' - 0,4...0,6.

Р_

2

а

Р_

2

К-

7Т\

2w

_V/

4ш

В

/ \ -7

Рис.2.2. Схема трехточечного изгибного образца. 1 - трещина.

Оба образца симметричны относительно прямой, которой принадлежит отрезок 1; нагрузка приложена также симметрично относительно этой прямой. Условия симметрии предопределяют направление роста трещины: отрезок 1 в процессе ее роста остается прямолинейным, изменяется только его длина. Картина роста трещин в рассмотренных образцах является простейшей из возможных, поэтому они наилучшим образом подходят для экспериментального изучения механики разрушения. Установленные на этих образцах закономерности процесса разрушения можно переносить на более сложные случаи, требующие для исследования более сложного экспериментального оборудования и (или) более сложных теоретических методов. Исследование, описываемое в данной диссертации, имеет целью теоретическое определение законов, управляющих ростом трещины. Поэтому рассмотренные простейшие случаи роста трещин, для которых получены экспериментальные зависимости, являются определяющими для проверки жизнеспособности теории. Конечно, важно, чтобы теория, правильно описывающая основные, базовые эксперименты, была бы как можно более универсальной. Здесь есть два пути построения теории. Первый - это формулировка ее соотношений в самом общем виде с дальнейшим упрощением при рассмотрении конкретных случаев. Второй путь - противоположный. В качестве исходного рассматривается наиболее простой случай, непременно содержащий, однако, все существенные черты рассматриваемого явления. Этот случай подробно исследуется и становится примером при рассмотрении более сложных проблем. Решение последних получается в результате последовательного обобщения исходной теории, обобщения, не предполагающего изменения ее основ. Поскольку многообразие встречающихся в природе трещин необозримо и даже их сколько-нибудь полная классификация - задача не из легких, а если сюда еще добавить многообразие нагрузок, свойств материала, многообразие форм и размеров конструкций, то ясно, что говорить об аксиоматическом построении теории, охватывающей все эти случаи, невозможно. Следователь-

российская государственная

41 бйБЯИОТШ

но, первый из двух упомянутых выше путей неприемлем. Остается второй, более простой, путь. В настоящей диссертации делается первый шаг по нему: рассматриваются основные, простейшие задачи, результаты решения которых сопоставляются с экспериментом. Это, прежде всего, задачи о распространении трещин в экспериментальных образцах, о которых говорилось выше.

С учетом изложенного, класс решаемых задач определяется следующим образом:

1) изучается деформирование тела, содержащего единственную поверхностную трещину;

2) к телу приложены поверхностные усилия, которые изменяются квазистати-чески пропорционально одному параметру, который может как увеличиваться, так и уменьшаться;

3) форма тела и распределение нагрузок таковы, что в теле реализуется состояние плоской деформации;

4) след пересечения плоскостью поперечного сечения тела граничной поверхности трещины - отрезок прямой линии;

5) напряженно-деформированное состояние тела симметрично относительно этой прямой;

6) рост описанной таким образом трещины, называемой трещиной нормального отрыва, сводится, в силу симметрии, к удлинению упомянутого отрезка прямой, длина которого, в соответствии с общепринятой терминологией, называется длиной трещины;

7) материал тела моделируется однородной и изотропной сплошной средой, которая может испытывать только упругие и пластические деформации, причем упругие деформации малы и связаны с напряжениями законом Гука1.

1 Предположение 7 согласуется с общепринятым описанием деформирования типичных металлов и металлических сплавов [4,5]. Оно накладывает ограни-

2.2. РОСТ ТРЕЩИНЫ

2.2.1. Трещина как физический и механический объект. Трещина представляет собой дефект материала. Если последний можно моделировать сплошной средой, то моделью дефекта служит либо инородное включение, отличающееся своими свойствами от основного материала, либо дисторсия, либо полость (несплошность). Трещина - это полость с острыми кромками. Геометрические характеристики такой полости можно задать следующим образом. Пусть ¥1(хк) = 0 и = 0 - уравнения двух пересекающихся поверхностей в

трехмерном пространстве, а а(хк) е(0,;г] - угол их пересечения. Если для всех

точек линии пересечения а=7г, то имеет место гладкое сопряжение, в противном случае можно говорить о полости с острыми кромками. Возвращаясь к механической модели полости, можно увидеть, что «острота» кромок практически для всего диапазона углов а - свойство уровня рассмотрения: всегда есть возможность острые кромки скруглить, сопрягая поверхности Б, и Р2 поверхностью тора. Всегда, кроме одного случая, когда а -» 0. Именно этот случай и соответствует модели трещины. Ясно, что при этом поверхности полости удовлетворяют одному уравнению1, а объем полости стремится к нулю. Иными словами, трещина в материале моделируется не имеющим толщины («математическим») разрезом в сплошной среде [6]. В рассматриваемом простейшем случае граничные поверхности - это просто две плоскости; их след на поперечном сечении тела - прямолинейный отрезок (см. рис.2.1,2.2). Так представляется трещина в механическом, макроскопическом рассмотрении. Для дальнейшего из-

чение на длину трещины: эта длина должна значительно превосходить характерный размер структуры материала, например, величину зерна. Трещины, не удовлетворяющие этому требованию (так называемые короткие трещины [3,4]), в данном исследовании не рассматриваются.

1 Для их различия можно использовать обозначения и .

ложения необходимо рассмотреть некоторые аспекты развития трещины на физическом, микроскопическом уровне1. В этом случае вместо сплошной среды моделью материала может служить пространственная решетка, в узлах которой располагаются взаимодействующие точечные массы, моделирующие атомы. Качественный вид зависимости силы взаимодействия двух атомов от расстояния между ними представлен на рис.2.3 [8].

В

Рис.2.3. Зависимость силы взаимодействия атомов от расстояния между ними.

Отрицательные значения Б соответствуют отталкиванию, положительные - притяжению, га - равновесное расстояние.

Закономерности роста трещины в плоскодеформированной среде удобно изучать на плоской решетке (рис.2.4). Следует отметить, что расстояние между соседними атомами решетки не одинаково повсюду, так как силовое поле, в котором находится атом, прилегающий к поверхности, отличается от поля, действующего в толщине материала. Количественные проявления этого эффек-

1 Более подробно и со ссылками на оригинальные работы материал изложен в статьях [7,8].

та существенно зависят от вида функции ¥{г) (см. рис.2.3). Будем говорить о точке В, где достигается максимальная сила, как о точке, где связь рвется, если г —> гв - 0, и восстанавливается, если г —> гЕ + О. Рост трещины на микроскопическом уровне проявляется в разделении атомных слоев. Принципиальная схема этого процесса изображена нарис.2.51. С ростом (квазистатическим) нагрузки Р сила связи первых двух атомов вначале возрастает (участок АВ на рис.2.3), затем начинает убывать.

Рост нагрузки Р приводит к последовательному разрыву первой, второй и т.д. связей. В теле конечных размеров рано или поздно величина нагрузки станет такой, что для разрыва последующей связи увеличения нагрузки не понадобится - начнется неустойчивый рост трещины. Рассмотрим случай, когда трещина растет устойчиво, то есть когда для разрыва последующей связи необходимо увеличение силы Р. Предположим, что разорвано п связей (обозначим соответ-

! Можно в первом приближении считать эту схему схемой расклинивания трещины. В этом случае всегда, даже в хрупком материале, существует участок устойчивого роста трещины.

ствующую нагрузку через Рп). Если теперь тело разгрузить (также квазистати-чески), то связи восстановятся и трещина закроется. Пусть Рп+ - величина нагрузки, при которой рвется п-ая связь, а Рп_ - величина Р, при которой п-ая связь восстанавливается. Отношение этих величин Я =Рп+/Рп_ называется мерой решеточного захвата. При К= 1 решеточный захват отсутствует. Если Я —> оо, то разорвавшаяся связь не восстанавливается. В противном же случае при разгрузке все связи восстановятся и трещина исчезнет (залечится).

Явление решеточного захвата объясняется тем, что на атомы разделяемых слоев действуют не только их визави по ту сторону разрыва, но и другие соседние атомы. Их действие можно свести к добавкам к закону взаимодействия противоположных атомов разделяемых слоев (рис.2.6). Чем больше кривая 2 отличается от кривой 1, тем больше решеточный захват. Следует отметить, что для экспериментально подтвержденных законов межатомного взаимодействия, на-

пример, закона Леннарда-Джонса, мера решеточного захвата практически равна единице.

Можно подсчитать работу, необходимую для продвижения трещины, приводящего к увеличению площади поверхности на единицу. Для достаточно глубоких трещин в больших массивах атомов эта работа практически постоянна; ее значение является функцией работы разделения двух атомов, определяемой по графику рис.2.6, то есть константой материала. Это фундаментальная величина теории Гриффитса - удельная поверхностная энергия. В рассматриваемой дискретной модели, если решеточный захват мал, она ведет себя фактически как потенциальная энергия, делая трещину обратимой, что противоречит опыту: трещины и в хрупких, и в пластичных материалах существуют и в ненапряженном состоянии.

2

Рис.2.6. Сила взаимодействия атомов разделяемых слоев. 1 - без учета влияния соседних атомов; 2-е учетом их влияния.

Для разрешения этого парадокса следует учесть взаимодействие образовавшихся при росте трещины поверхностных слоев атомов с атомами окружаю-

щей среды, проявляющееся в адсорбции и химических реакциях. В результате этого поверхностные слои материала насыщаются инородными веществами (обычно окислами), которые служат барьером закрытию трещины. Гипотезу об окружающей среде как о главном факторе существования трещин в ненагру-женном теле можно проверить, ставя эксперименты в вакууме. Такие эксперименты, несмотря на их чрезвычайную сложность, проводились: в работе [9] описаны опыты по расклиниванию тонких слюдяных пластинок в вакууме. Оказалось, что в этом случае рост трещины обратим (при снятии нагрузки трещина закрывалась), что согласуется с упомянутой гипотезой.

Подведем итог. Рост трещины - это разделение атомных слоев, проявляющееся в разрыве межатомных связей. Для увеличения площади поверхности трещины необходимо совершить работу. Ее величина, отнесенная к площади образовавшейся поверхности, представляет собой материальную константу - удельную поверхностную энергию. При росте трещины образовавшаяся поверхность взаимодействует с окружающей средой, в результате чего образуются барьеры, делающие невозможным залечивание (исчезновение) трещины. Поэтому рост трещины следует представлять как необратимый процесс.

Залечивание трещины связано с преодолением упомянутых барьеров и представляет собой разновидность холодной сварки, то есть сварки, идущей без расплавления металла в зоне контакта [10]. Эксперименты показывают, что такую сварку удается осуществить только тогда, когда, во-первых, свариваемые поверхности гладки и конгруэнтны (поверхности трещины именно таковы), во-вторых, прижаты друг к другу значительным давлением. Но этого мало: как правило, экранирующее действие поверхностных барьеров не позволяет разорванным связям восстановиться. Необходимо разбить барьеры; это достигается за счет значительной контактной пластической деформации свариваемых по-

верхностей [10]. Показательный пример холодной сварки представляет собой явление залечивания трещин в золоте [9] - чрезвычайно пластичном и не окисляемом металле.

Микроскопические модели роста трещины, например, рассмотренная решеточная модель, позволяют, в принципе, вычислить все механические характеристики материала [11], в том числе и прочностные1. Пусть, например, известен конкретный вид кривой, изображенной на рис.2.3. Тогда по ее наклону к оси абсцисс в окрестности точки А можно найти модуль Юнга, а усилие в точке В -точке разрыва связи, связать с максимально достижимым напряжением в теле -так называемой идеальной или теоретической прочностью. Полученные таким образом численные значения сопоставлялись с экспериментом, и, как правило, теоретические и экспериментальные результаты удовлетворительно согласуются [12]. Можно, далее, найти работу силы Р при разделении атомов (при г —» со ) и связать ее с удельной поверхностной энергией. И здесь наблюдается хорошее совпадение теории с экспериментом, но только для хрупких материалов. Расхождение же для типичных металлов составляет два-три порядка. Именно это обстоятельство является физической основой гипотезы Ирвина-Орована о локальной пластической зоне в окрестности кончика трещины, движущейся вместе с ним и поглощающей практически всю работу, идущую на разрушение2.

Здесь необходимо отметить следующее. Вклад пластического деформирования в сопротивление росту трещины, несомненно, велик, но, по-видимому, не все различие между вычисленным и измеренным значениями удельной поверхностной энергии объясняется только им. Микроскопические модели исходят из

1 Подробный обзор методов и результатов исследований содержится в работе [12]. Техника вычислений описана в монографиях [11,13].

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Лавит, Игорь Михайлович, 1998 год

ЛИТЕРАТУРА

1. ASTM Standard E813-81 // Annual Book of ASTM Standards. 1981.

2. ГОСТ 25.506-85. Методы механических испытаний металлов. Определение характеристик трещиностойкости (вязкости разрушения) при статическом нагружении.

3. Хеллан К. Введение в механику разрушения. М.: Мир, 1988. 364 с.

4. Херцберг Р.В. Деформация и механика разрушения конструкционных материалов. М.: Металлургия, 1989. 576 с.

5. Фридман Я.Б. Механические свойства металлов. 1. Деформация и разрушение. М.: Машиностроение, 1974. 472 с.

6. Griffith A.A. The phenomenon of rupture and flow in solids I I Phil. Trans. Roy. Soc. 1920. A221. P.163-198.

7. Томсон P. Физика разрушения // Атомистика разрушения. M.: Мир, 1987. C.l 04-144.

8. Дайнис Г., Пэскин А. Моделирование трещин с помощью вычислительных машин // Атомистика разрушения. М.: Мир, 1987. С.177-212.

9. НоттДж. Механика разрушения // Атомистика разрушения. М.: Мир, 1987. С.145-176.

10. Стройман И.М. Холодная сварка металлов. М.: Машиностроение, 1985. 224с.

11. Борн М, Хуан Кунъ. Динамическая теория кристаллических решеток. М.: ИЛ, 1958. 488с.

12. Макмыллан М. Идеальная прочность твердых тел // Атомистика разрушения. М.: Мир, 1987. С.35-103.

13. Черепанов ГЛ. Основы хрупкого разрушения. М.: Наука, 1974. 640 с.

14. Солимар Л., Уолш Д. Лекции по электрическим свойствам материалов. М.: Мир, 1991.504 с.

15. JIaeum ИМ. Математическая модель квазистатического роста трещины в упругопластической среде. 1. Исходные допущения и постановка краевых задач // Изв. Тульского гос. университета. Математика, механика, информатика. 1997. Т.З.Вып.1. С. 118-123.

16. Черепанов Т.П. К математической теории равновесных трещин // Инж. журнал. МТТ. 1967. № 6. С. 86-90.

17. Леонов М.Я., Панасюк В.В. Розвиток нащр1бшших трщин в твердому тш! // Прикладна механпса. 1959. Т.5. Bin.4. С.391-401.

18. Баренблатт Г.И. О равновесных трещинах, образующихся при хрупком разрушении. Общие представления и гипотезы. Осесимметричные трещины //ПММ. 1959. Т.23. Вып.З. С.434-444.

19. Баренблатт Г.И. О равновесных трещинах, образующихся при хрупком разрушении. Прямолинейные трещины в плоских пластинках // ПММ. 1959. Т.23. Вып.4. С.704-721.

20. Баренблатт Г.И. О равновесных трещинах, образующихся при хрупком разрушении. Устойчивость изолированных трещин. Связь с энергетическими теориями // ПММ. 1959. Т.23. Вып.5. С.893-900.

21. Баренблатт Г.К. Математическая теория равновесных трещин, образующихся при хрупком разрушении // Журн. прикл. мех-ки и техн. физики. 1961. №4. С. 3-56.

22. Dugdale D.S. Yielding of steel sheets containing slits // J.Mech. and Phys. Solids. 1960. V.8. N.2. P.100-104.

23. Баренблатт Г.К. О некоторых вопросах механики хрупкого разрушения // Инж. журнал. МТТ. 1968. № 6. С. 153-163.

24. Бережкова Г.В. Нитевидные кристаллы. М.: Наука, 1969. 158с.

25. Ивлев Д. Д. Об одном построении теории трещин // Инж. журнал. МТТ. 1967. № 6. С. 91-94.

26. Морозов Е.М., Партон В.З. Об одном обосновании критерия Ирвина на конце трещины // Инж. журнал. МТТ. 1968. № 6. С. 147-152.

27. Седое Л.К. О статье Г.И. Баренблатта «О некоторых вопросах механики хрупкого разрушения» //Инж. журнал. МТТ. 1968. № 6. С. 164-168.

28. Ишлинский А.Ю. Сопоставление двух моделей развития трещины в твердом теле // Инж. журнал. МТТ. 1968. № 6. С. 168-177.

29. Лавит И.М., Толоконников Л.А. Силы сцепления и /-интеграл // Изв. Сев.-Кавказского науч. центра высш. школы. Естественные науки. 1985. № 1. С.28-30.

30. Лавит КМ. Силы сцепления в механике разрушения // Изв. Тульского гос. университета. Математика, механика, информатика. 1995. Т.1. Вып.2. С. 80-

П А

5У.

31. Черепанов Г.П. О распространении трещин в сплошной среде // ПММ. 1967. Т.31. Вып.З. С.476-488.

32. Rice J.R. A path independent integral and the approximate analysis of strain concentration by notches and cracks // J. Appl. Mech. 1968. V.35. N.2. P.379-386.

33. Атлури С. Применение в механике разрушения энергетических методов и интегралов, не зависящих от пути интегрирования // Вычислительные методы в механике разрушения. М.: Мир, 1990. С. 129-179.

34. Будак Б.М., Фомин С.В. Кратные интегралы и ряды. М.: Наука, 1967. 608 с.

35. Irwin G.R. Fracture dynamics // Fracturing of metals. Cleveland: ASM, 1948. P.147-166.

36. Лурье А.И. Теория упругости. M.: Наука, 1970. 940 с.

37. Раис Дж. Математические методы в механике разрушения // Разрушение. Т.2. М.: Мир, 1975. С. 204-235.

38. Orowan Е.О. Fundamentals of brittle behavior of metals. N.Y.: Wiley, 1950. P. 139-167.

39. Качанов JI.M. Основы теории пластичности. М.: Высш. школа, 1969. 420с.

40. Клевцов Г.В., Ботвина JI.P. Микро- и макрозона пластической деформации как критерии предельного состояния материала при разрушении // Проблемы прочности. 1984. № 4. С.24-28.

41. Ботвина JI.P. Кинетика разрушения конструкционных материалов. М.: Наука, 1989. 230 с.

42. Larsson L.H. A calculational round robin in elastic-plastic fracture mechanics // Int. J. Pres. Ves. and Piping. 1983. V.l 1. N.4. P.207-228.

43. Сведлоу Дж. Вычислительные методы в упругопластической механике разрушения // Вычислительные методы в механике разрушения. М.: Мир, 1990. С.322-350.

44. Atluri S.N., Nishioka Т. On path-independent integrals in the mechanics of elastic-plastic and dynamic fracture // J. Aeron. Soc. of India, 1984. V.36. N.3. P.203-219.

45. Gurtin M.E. Thermodynamics and the cohesive zone in fracture // ZAMP. 1979. V.30. N6. P. 991-1003.

46. Баренблатт Г.И. О некоторых общих представлениях математической теории хрупкого разрушения // ПММ. 1964. Т.28. Вып.4'. С.630-643.

47. Навит И.М. Об устойчивом росте трещины в упруго-пластическом материале // Проблемы прочности. 1988. № 7. С. 18-23.

48. Давит И.М. Учет сил сцепления в нелинейной механике разрушения: Ав-тореф. ... канд. техн. наук. - Тула, 1989. - 18с.

49. Лавит ИМ., Толоконников Л.А. Термоупругопластическая задача механики разрушения для полого цилиндра с внутренними трещинами // Прикл. проблемы прочности и пластичности. Методы решения. Горький: Изд-во Горьковского ун-та. 1990. С.55-60.

50. Лавит КМ., Толоконников Л.А. Малоцикловая усталость полых цилиндров, нагруженных внутренним давлением // Изв. Тульского гос. университета. Проблемы специального машиностроения. 1997. Вып.1. С. 124-128.

51. Хан Дж.Т., Авербах Б.Л., Оуэн B.C., Коэн М. Возникновение микротрещин скола в поликристаллическом железе и стали // Атомный механизм разрушения. М.: Металлургиздат, 1963. С.109-134.

52. Новожилов В.В., Кадашевич Ю.К Микронапряжения в конструкционных материалах. JL: Машиностроение, 1990. 222 с.

3. МЕТОД РАСЧЕТА УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ ОКРЕСТНОСТИ КОНЧИКА ТРЕЩИНЫ1

3.1. ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ

Сформулированные в предыдущем разделе постулаты должны иметь следствием теорию, дающую количественные результаты, которые можно сопоставить с экспериментом. При построении такой теории нужно иметь в виду и вычислительные трудности, и неоднозначность, вносимую реологическими моделями. Речь идет о следующем. Если, например, длина трещины сопоставима с размерами зерна, то гипотеза об однородности материала не имеет места. Необходимо вводить в рассмотрение стохастические поля модулей упругости и микронапряжений. Формулировка закономерностей, которым подчиняются эти поля, неоднозначна. Поэтому при оценке результатов расчетов, то есть при оценке следствий теории, невольно возникает вопрос: чему обязан своим происхождением тот или иной эффект, процессам ли, обусловленным ростом трещины, или же особенностям принятого закона состояния материала и распределения микронапряжений? Такая же проблема возникает при необходимости формулировки закона состояния материальной среды при конечных упругопластических деформациях1. Одна из упомянутых трудностей отпадает, если ограничиться рассмотрением длинных трещин, то есть таких, рост которых не зависит от особенностей структуры материала. То, что такие трещины существуют, подтверждают эксперименты, показывающие достаточность описания условий движения трещины на основе энергетического критерия. Что же касается конечности пластических деформаций, то можно предположить, что этот фактор порождает чисто количественный эффект. Действительно, определенной гра-

1 Основное содержание данного раздела опубликовано в работах [1-3].

ницы между «малыми» и «большими» деформациями не существует, и если речь не идет о явлении потери устойчивости, то никаких существенных качественных изменений в картину напряженно-деформированного состояния учет конечности деформаций внести не должен. Отказавшись от учета конечности деформаций, мы, в обмен на возможную количественную погрешность, получаем однозначно формулируемую математическую задачу, результаты решения которой дают возможность с определенностью судить о факторах, обусловливающих тот или иной эффект.

Таким образом, решение краевой упругопластической задачи строится при максимально возможных упрощающих предположениях: материал считается несжимаемым, деформации - малыми; используются соотношения Прандтля-Рейсса и условие текучести Мизеса с линейным изотропным упрочнением. Причин упрощений две: первая из них - это стремление минимизировать трудности численных расчетов, а вторая - выявить основные факторы изучаемых процессов. Так, численный анализ показывает, что и устойчивый, и усталостный рост трещины обусловлены пластичностью материала; другие факторы, как-то: конечность деформаций в окрестности кончика трещины, трансляционное упрочнение, отклонение принятого закона текучести от экспериментально наблюдаемого, погрешность, вносимая схемой плоской деформации, и т.д. -являются второстепенными, что, конечно, не означает, что их учет несуществен для количественных оценок.

При сделанном предположении о приемлемости описания деформирования в приближении теории малых деформаций, во всех выведенных в предыдущем разделе формулах вместо тензора Коши-Грина Е можно использовать тензор