Модель упругопластического деформирования трещины поперечного сдвига тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат наук Кунашов, Никита Дмитриевич

• Кунашов, Никита Дмитриевич
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Кунашов, Никита Дмитриевич

Оглавление

Введение

Глава I. Постановка задачи нагружения берегов трещиноподобного дефекта парой сил в линейно упругом материале

Глава II. Дискретное решение задачи поперечного сдвигав рамках соотношений линейной упругости

Глава III. Модель трещины поперечного сдвига в упругопластическом материале

Выводы по диссертационной работе

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Модель упругопластического деформирования трещины поперечного сдвига»

Введение.

В настоящее время исследование проблем прочности и разрушения твердых тел представляется актуальной задачей, как в теоретическом, так и в прикладном плане. Под разрушением понимается макроскопическое нарушение сплошности тела в результате воздействия на него внешнего воздействия. В настоящее время разрушение принято рассматривать на разных масштабных уровнях [1,9,28,30,36,50,24,38,49,54-59,70,82-84,101103,106,113,1 16]. И в этом случае модель трещины определяет соответствующий математический аппарат для её исследования.

На сегодняшний момент существуют два основных подхода для описания модели трещины. Первый, заключается в представлении трещины в виде математического разреза. Главный недостаток этого подхода — сингулярность поля напряжения в вершине трещины. Возможно получить результат без сингулярности, если ввести в модель силы сцепления, однако эти внешние нагрузки устанавливаются a priori, без решения соответствующей граничной задачи, и могут быть использованы только для некоторых случаев, например в случае нормального отрыва. Здесь стоит отметить работы Баренблатта [5,36,83], Гольдштейна [20-26,87], Лавита [47,48], который обобщил соответствующий подход на случай упругопластического деформирования [31-35,37,29].

Основы описания трещины как математического разреза были заложены английским ученым А. А. Гриффитсом, [91-92]. Он предложил энергетический подход для описания разрушения. Суть подхода состоит в том, что для роста трещины роста трещины необходимо, чтобы количество высвобождающейся потенциальной энергии должно превышать поверхностную энергию необходимую

для преодоления сил взаимодействия слоев атомов. Этот подход называют энергетическим критерием разрушения. Изначально критерий Гриффитса был предложен для трещины нормального отрыва в упругом вплоть до разрушения тела.

Из критерия разрушения Гриффитса следует, что при достижении внешними нагрузками определенных критических значений трещина может самопроизвольно расти без увеличения внешней нагрузки. Такой процесс роста трещины называют неустойчивым, а сами трещины в этом случае называются неравновесными.

Подход Гриффитса был обобщен Орованом [104] для

материалов, при разрушении которых в кончике трещины

развиваются необратимые пластические деформации. Было

установлено, что пластические деформации сосредоточены в

малой зоне вблизи кончика трещины. Из этого было сделано

предположение, что затраты энергии в процессе создания новых

поверхностей при развитии трещины главным образом связаны с

работой пластической деформации объемов материала,

расположенных перед фронтом трещины. Ирвин [54,94-96]

установил, что процесс разрушения материала при

распространении трещины обуславливается напряженно-

деформированным состоянием в окрестности вершины трещины,

которое в свою очередь, в линейно упругом теле определяется

коэффициентом интенсивности напряжений. Поэтому

предполагается, что трещина распространяется при достижении

коэффициентом интенсивности напряжений некоторого

критического значения. Критические значения коэффициентов

интенсивности [60-66] напряжений являются постоянными

материала, характеризующими его трещиностойкость при

заданной температуре, внешней среде и т.п. Этот критерий

4

разрушения получил название силового критерия разрушения. Ирвином была показана эквивалентность силового критерия разрушения энергетическому критерию Гриффитса.

В настоящее время интенсивно разрабатываются так называемые нелокальные критерии прочности [39-41], в частности интегральный критерий, или критерий средних напряжений. Этот критерий обычно связывают с именами Г. Нейбера [63] и В.В. Новожилова [64-65].

Интегральный критерий применим как для гладких (тупых), так и для сингулярных (трещиноподобных) концентраторов напряжений. В отличие от традиционных критериев прочности, интегральный критерий дает конечное значение критического напряжения при использовании сингулярного решения линейной теории упругости.

В настоящее время активно развивается моментная теория упругости и ее применение в теории трещин [3,4,6,60,81]. Однако, отсутствие оценок введенного линейного параметра для конкретных материалов не дает право применению соответствующей теории в практике расчетов поврежденных конструкционных материалов.

Второй подход представляет трещину как физический разрез

с характерной толщиной. Здесь отметим работы Прандтля [27],

Гудьера и Канинена [89], где на продолжении физического разреза

вводится слой со связями типа пружин, работающих на растяжение

и сжатие. В работе Прандтля [105] рассматриваются два упругих

тела (балки), скрепленные по всей длине за исключением

конечного отрезка (трещины) поперечными упругими связями,

хрупко разрушающимися по достижении некоторого удлинения, и

принимаются условия предельного равновесия такой системы под

действием равномерно распределенных отрывающих усилий. В

5

модели отсутствует сингулярность, но ее применимость ограничена нормальным отрывом. В статье [89] взаимодействие связей трактуется на межатомном уровне.

Отметим, что для трещин в виде математического и физического разрезов может быть применен критерий J-интеграла, предложенной Черепановым [80] и Райсом [109-111] для хрупких материалов и обобщенный в работах [8,13,14] на случай упругопластического деформирования.

Возможность описания трещины в виде физического разреза дается в работе Ф. Маклинтока [53,100]. Однако, выбор величины характерного размера физического разреза, а также постановок соответствующих задач механики сплошной среды в данной работе и последующих работах автора не приведено.

В случае использование модели трещины в виде физического разреза, решение задачи о нахождении напряженного состояния будет обусловлено формой кончика разреза. Форму кончика трещины в различных случаях считают прямоугольной, клиновидной или эллиптической. При выборе заданных форм кончика трещины из решения соответствующей задачи получаются различные результаты.

Таким образом, целесообразным представляется рассмотрение модели, в которой напряженное состояние в окрестности кончика трещины не будет зависеть от его формы, и при этом в окрестности вершины трещины не возникает сингулярности, в отличие от математического разреза.

В работах В.В. Глаголева и A.A. Маркина [11,12,16-18,88]

была предложена модель трещины в виде физического разреза и

материального слоя на его продолжении. Напряженное состояние

слоя описывается средними и граничными напряжениями,

связанными условиями равновесия. Использование средних по

6

толщине слоя напряжений позволяет отказаться от рассмотрения формы окончания физического разреза. В статье [12] на основе предложенной модели была предложена постановка и решена задача о развитии тонкой пластической области в окрестности трещины нормального отрыва.

Отметим, что большинство представленных в литературе работ рассматривает нагружение нормальным отрывом. Трещинам продольного и поперечного сдвига [2,7,17,20,21,42,46,71, 77] уделено не так много внимания в силу сложного напряженного состояния в концевой зоне трещины, где преобладает сдвиговое деформирование.

Проводя анализ рассмотренных выше подходов, можно сделать следующие выводы:

1. Подходы, основывающиеся на модели трещины в виде математического разреза достаточно хорошо прогнозируют трещиностойкость хрупких и квазихрупких материалов, используя в качестве критерия разрушения следствия сингулярного решения линейной теории упругости. Однако, вопрос перехода из стадии упругого деформирования в упругопластическое для соответствующих материалов остается открытым. В этом случае локальная пластичность квазихрупких материалов неявным образом присутствует в основной характеристике трещиностойкости — вязкости разрушения.

Использование подхода Нейбера - Новожилова хотя и позволяет определить начало пластического деформирования для структурного объема рассматриваемого материала в рамках естественных критериев механики сплошной среды, но решение упругопластической задачи в данном случае проблематично в силу того, что для определения напряженного состояния в структурных

элементах используется решение линейной теории упругости.

7

Отметим, что конечность напряжений в рассматриваемых структурных элементах дает право определить не только состояние разрушения, но и предельное состояние соответствующее переходу упругопластического материала необратимым деформациям. Однако, используя модель линейно упругого тела для получения распределения поля напряжений, возможно получить только оценку предполагаемой области пластических деформаций без решения упругопластической задачи.

2. Использование в модели математического разреза сил сцепления требует их задания a priori, что ограничивает область применения данной модели нагружением типа нормального отрыва.

Таким образом, является актуальным построение и развитие таких моделей в упругопластическом материале, которые позволяли бы рассматривать процесс деформирования в рамках классических критериев механики сплошной среды в плане как перехода из упругой стадии деформирования в упругопластическую, так и процесса образования новых материальных поверхностей. В соответсвующих моделях отсутствовала бы сингулярная составляющая как для нормального отрыва так и при выраженном сдвиговом характере нагружения.

В данной работе на основе модели трещины в виде физического разреза и материального слоя продолжении рассматривается постановка задачи типа поперечного сдвига для идеального упругопластического материала исключающая сингулярность в концевой зоне. Изучаются тенденции к развитию пластической области и разрушения.

В первом разделе рассмотрено нагружение берегов

полубесконечной трещины, моделируемой физическим разрезом и

8

материальным слоем на его продолжении, антисимметричной системой сил, равноудаленных от кончика трещины, в линейно упругой среде. Получена система интегродифференциальных уравнений, описывающих напряженное состояние слоя. Определено напряженное состояние в верхней и нижней полуплоскостях через граничные напряжения слоя.

Во втором разделе на основе полученной системы интегродифференциальных уравнений строится система линейных алгебраических уравнений. Установлена вычислительная сходимость её решения. На основе дискретного решения системы уравнений определено напряженное состояние внутри слоя и в граничащих со слоем элементах. Проведено сравнение полученного дискретного решения с подходом Нейбера-Новожилова для трещины в виде математического разреза. Установлено хорошее соответствие решений на небольшом локальном удалении от вершины трещины. На основе критерия Кулона для дискретных решений математического и физического разрезов выявлены тенденции к возможному хрупкому разрушению. С учетом экспериментальных данных показано, что предлагаемая модель трещины лучше согласуется с экспериментом для случая нагружения по моде II. На основе упругого решения определено направление развития области пластического деформирования.

В третьем разделе приводится упругопластическая

постановка задачи, в которой пластическая зона моделируется

прямоугольником с неопределенной границей, лежащем на

продолжении физического разреза. Проведено исследование

напряженного состояния в слое и прилегающих к нему

структурных элементах при развитии пластической области. В

качестве критерия перехода из упругого состояния в

9

упругопластическое используется критерий Треска - Сен-Венана, а для определения возможного разрушения — критерий Кулона. Из решения упругопластической задачи показано, что разрушение будет происходить в сопряженной со слоем области, деформируемой упруго.

В заключении приведены основные выводы по работе.

Глава I. Постановка задачи нагружения берегов трещиноподобного дефекта парой сил в линейно упругом материале.

На Рис 1.1 представлена схема нагружения, соответствующая, следуя терминологии Г. П. Черепанова [80] поперечному сдвигу. Отметим, что заданный тип нагружения в литературе [112] носит название разрушения по моде И.

Рассмотрим деформирование бесконечной линейно упругой плоскости ослабленной полубесконочной трещиной системой сосредоточенных сил, показанное на Рис. 1.2, соответствующее нагружению поперченного сдвига.

Трещиноподобный дефект представим в виде физического разреза с характерной толщиной 80. Подобный подход использовался в работе [12]. В модель трещины наряду с вырезом включим материальный слой, лежащий на его продолжении, и

Рисунок 1.1 Поперечный сдвиг. (Нагружение по моде II)

называемый слоем взаимодействия [10-13]. Граница разреза полагается неопределенной и показана на Рис. 1 пунктирной волнистой линией.

Рисунок 1.2. Схема нагружения.

Задачу будем решать в безразмерном виде. Все величины, имеющие размерность длины, отнесем к толщине слоя <5о, а

напряжений - к параметру (3 = я2?/2(1-у2)для плоской деформации и /? = я£/2в случае плоского напряженного состояния. Вводятся напряжения на границах слоя:

>

а 22 ) = °"22 2)

/

а22 (л:1) = а22 (Х1

и средние по толщине слоя напряжения а

Граничные напряжения слоя естественным образом совместно с сосредоточенными силами формируют граничные условия для верхней и нижней полуплоскости. Соответствующие схемы показаны на рис 1.3.

А' 0, Х2 Ч

г ч -------> \SQJ2

1 Р а <Е-& сг21 /

Рисунок 1.3. Граничные условия для верхней и нижней

полуплоскостей.

Использование средних характеристик по толщине позволяет отказаться от конкретной формы окончания физического разреза.

Средние напряжения и деформации по толщине слоя в силу предположения о предельной величине введенного характерного размера определяем через их граничные значения следующим образом:

С21 (*1) = 0.5(о^ (хО + ^С*!)), 0-22=0.5(0-22(^1) + <722{Хх)) , £22(*1) = (*4(*1)-И2(*1)) >

ди\

^ц(х1)=0.5

/ , л

дщ —— +-

дх\ дх\

= 0.5

бх,

^ дгц ди

_ \

+ -

ч дх{ дхх

ди1 дх.

= их —их

(1) (2)

(3)

(4)

(5)

При антисимметричном нагружении берегов полуплоскостей на границах слоя принимаются соотношения:

°21 =<>21

и,

-и, .

(6) (7)

Запишем условия равновесия в проекциях на ось :

бег,, дет,

12

и ось х2:

сЬс, 1 дх2

^2,

= 0,

(В)

= 0,

(9)

сЬе, дх2

Проинтегрировав эти условия равновесия по толщине слоя, получим связь средних напряжений слоя с его граничными напряжениями.

= стп (*1) - <Т\2 (*1)'

0x1 д(Т2\

дх

— 22 М-а^М1

(10) (11)

Определяющие соотношения на минимально допустимом с точки зрения гипотезы сплошности материальном объеме считаются справедливыми для средних величин. Закон Гука для средних по слою характеристик принимается в виде:

БП = Ааи-Ва22, Б22 = Ло:22-вё11'

(12)

(13)

(14)

гд &А = —,В = ——— 2 2(1-у)

_2(1-и)

С ---- для

7Г

случая

плоского

деформировани я;А = — ,В = — ,С = ——— для случая плоского

2 2 7Г

напряженного состояния, у- коэффициент Пуассона.

На основе решения Фламана распределение перемещений точек границы верхней и нижней полуплоскости под действием нагрузок, действующих со стороны слоя, рассматривалось в форме, удобной для последующей численной реализации [43]:

, (15)

О

=4 (16)

О

ь

и^-=Ы2 , (17)

О

л £

= щ = р\п - ¡оъЮьВ-^е (18)

\ь + а) 0 ь — д

здесь а, - расстояние от вершины разреза до точки приложения силы Р; Ь - координата удаленной точки с нулевым перемещением; индекс (р) относим к материалу полуплоскостей.

Из (12) для средних напряжений и (4), (6), (7), (8) получаем: су22 =0, что с учетом (2) приводит к связи

сг22=-<Т22'

(19)

С учётом (5),(7),(11),(14)-(16) получим интегро-дифференциальное уравнение относительно среднего сдвигового напряжения в слое:

( 1да2\{§) йу*

о-21 =0.25 С

+

г с , \

+ с -Р1п XI +а\

+ )

4*21 0

(20)

Для решения задачи деформирования слоя из (6), (11), (9), (20) приходим к системе уравнений:

г

1<д<72\(%)

\

о"21 = 0.25С — |

г г \ ь

х\+а\

+

+ С

-Р 1п

V

о ь $ ,

+

°"22 =-сг22;

+

°"21 =^"215

— ~2<х22;

1

(21)

с граничным условием:,сг21 =0.

Неизвестными системы являются средние по слою и граничные напряжения, которые определяются заданием

сосредоточенной антисимметричной силы, приложенной к берегам физического разреза. Отметим, что из уравнения равновесия (10), условия (6) и граничного условия приходим, что

среднее напряжение ¿гц=0 на всем протяжении слоя.

Напряжения по слою сг^, о"22 > а21' °*21 совместно с

сосредоточенными силами можно рассматривать в качестве граничных условий для сопряженных полуплоскостей, показанных на рисунках Рис. 1.4, Рис. 1.5, и находить напряженное состояние с помощью фундаментального решения в рамках линейно упругой среды [52].

Рисунок 1.4.Воздействие внешних сил на верхнюю полуплоскость.

А' & Х2 ч

> г ЧГ \ , ф ■—- ■> У0/2

V Р а -е-з» °"21 /

Рисунок 1.5. Воздействие внешних сил на нижнюю полуплоскость

В этом случае напряженное состояние в верхней полуплоскости, находится по формулам:

2

сг22=-л

Рк{ххл-а\х2-8^

/ - " ' ' \2 + 5сг22(Й/-~--

[(ъ +а)2 +(х2-б0/2)2[ О [(Х] ЦХ2-8ф)2]

(х2 -^0/2)3

О [(Х{-{)2+(Х2-60/2)2[

(22)

я-

+«)3

7-^^---Ъ_+\а22^У(—~—" - ' \2

((*! +а)2 +(Х2-Я0/2)2[ О ((Х1 -Й2 + (*2-¿о/2)2[

(х1-^)2(Х2-80/2)

■/<

О

+К10

(23)

°21 =

л-

О

_ ({х1+а)2+{х2-60/2)2У 0 {(х{-{)2+{х2-б0/2)^

(24)

Для нижней полуплоскости (х2<0) напряженное состояние определяется следующими компонентами:

^22 =

я-

Р{х1+а){х2 + 30/2)2 1

1<Ъ2 (Л

(х2 + ^0/2)-

(25)

=

7Г

-- _^ 0 0,2)

_((*! + а)2 + (х2 + 30/2)2[ 0 - О1 + (х2 + ¿>о/2)2Г

+

-1-21(^7-^-*

0 ((х1-Й2+(Х2+^о/2)7

°21 ="

Л"

+

0 ((*1-02+(*2+*о/2)2Г .

(27)

Таким образом, постановка (21)-(27) полностью определяет напряженное состояние в слое и сопряженных с ним полуплоскостях.

Выводы по I главе:

1. Дана постановка задачи о нагружении полубесконечного физического разреза в линейно упругой среде парой сил.

2. Благодаря рассмотрению средних напряжений на продолжении физического разреза в задаче отсутствует зависимость от геометрии формы окончания физического разреза

3. Введение линейного размера и средних по данному размеру характеристик напряженного состояния позволило исключить сингулярность в модели трещины поперечного сдвига.

4. Получена система интегродифференциальных уравнений для нахождения средних и граничных напряжений в материальном слое на продолжении физического разреза.

5. С учетом граничных напряжений по слою определено напряженное состояние в смежных со слоем полуплоскостях.

Глава II. Дискретное решение задачи поперечного сдвигав рамках соотношений линейной упругости.

Рассмотрим систему интегродифференциальных уравнений (21) при отсутствии внешней нагрузки на торец физического разреза:

г т —

а 21 =0.25 С

Ьгда2\^) Ц

V Ь Ч

+

с / \

+ с -Р\п 1хх + аИ

V [ь + а 1 J

а22 ~ ~а22» °"21 =<72\>

дх\

I ^ ь

Рисунок 2.1.Расположение структурных элементов в смежных со слоем полуплоскостях.

Для построения дискретного решения разобьем участок полуплоскости[0,Ь] напединичных элементов. В пределах каждого элемента будем полагать постоянство напряженного состояния для средних и граничных напряжений, отнесенных к середине элемента. В этом случае соответствующие производные могут быть заменены на конечные разности первого порядка:

—к —к-1 = (Т21 ~ О"21 .

дхг

В силу отсутствия внешней нагрузки на торец разреза имеем

—о л 021 = 0.

Таким образом, система интегродифференциальных уравнений(21) приведется к следующей системе линейных алгебраических уравнений:

сЯ =-0.25с£(<гО-<гМ)} т-Ц^

-СРЫ

м I

'21

— С21 » к — \,..,П',

'21 21

^ Х\(к)+С1^ К п + а

+

(28)

где ~ средние по толщине и граничные

напряжения £-ого элемента, отнесенные к его середине:

= 0.5(^-1 + £к)> левая и правая координаты Л-ого

элемента по оси

Система полученных уравнений в общем случае является бесконечной (п оо).Однако, при её численном решении было установлено, что при увеличении количества элементов поле напряжений имеет вычислительную сходимость. Так на Рис 2.2 и Рис 2.3 построены градации зависимостей напряжений а^и °21 = а21 на первом элементе от количества уравнений системы (28). Результаты соотнесены к соответствующим напряжениям при п = 100.

Рисунок 2.2. Зависимость значения ст^от количества

разбиений

Как видно из графиков, имеет место вычислительная сходимость результата и для практического использования можно ограничиться п=1000. В этом случае относительная погрешность результата не превосходит 0.01%.

На основе дискретного решения (28) определим напряженное состояние в структурных элементах слоя и прилегающих к нему полуплоскостей согласно схеме Рис. 2.1 на предмет наступления состояния пластичности и разрушения. Условием перехода из упругого состояния в пластическое считался критерий Треска -Сен-Венана. В качестве критериальной величины начала разрушения бралось максимальное главное напряжение. В этом случае напряженное состояние в полуплоскостях определяются согласно (22)-(27):

2

°22 =-п

(х2-60/2)3

<тп=-

я-

о

(хх-%)2{Х2-5Ъ12)

(С^-^+^г-^о/з)2)2

°"21 ='

рк{х2-60/2){х{+а)

2 ь

7Т

О

_ ((л:1+а)2+(х2-^0/2)2)2 О ^^ +{х2-50!2)2^

(х2-60/2ХХ1-^)2 {{ХХ-{)2+{Х2-Я0/2)^

¿¿; +

В нижней полуплоскости напряженное состояние определяется компонентами:

^22 =

п

Р(х1+а1х2 + Я0/ 2)2 _ (х2 + ^о/2)

2+{х2 + 30/2)^ О ((Х1_£)2+(Х2 +

-к®, ь-яъ+ы2? ^

2

егп =-

71

Р(х\ + а)~

/ -ъ-^иКьп-;-

_ + а)2 + {х2 +Я0/2)2[ 0 > _ + (х2 + 30 /2)2 [

-ищ—^—5-

0 [(Хх-{)2 + (Х2+$0/2)21

сН;

2

°21 =~ п

Р{х2 + <У0 /2\х{ + а)2 1 ^ (*1 - + ¿0 ^

_((*! + я)2 + (х2 + 60/2)2^ 0 ((^ - + (Х2 + ^о/2)2^

+

-к,(а, ь+^-а2 *

о ((х,-#)2+(х2 + <50/2)2;

Все критерии рассчитывались для средних напряжений. Средние напряжения в верхней полуплоскости можно определить по формулам:

1.5 &

аи = I ¡<Ту(х1,х2)с1х1(Ьс2 0.5

а для нижнеи -

-0.5 & "1.5^-1

Запишем выражения для напряжений в полуплоскости исходя из дискретного решения (28). В этом случае дискретный набор решения (28), в силу его постоянства на элементарных отрезках границы, приводит к следующим выражениям для напряжений верхней полуплоскости:

2

сг22

71

Рк(х1 +аХх2 | у (Х2-^0/2)3 ^

({х1+а)2+{х2-Я0/2)2У 22 ^((х]-^2+{х2-80/2)^

+ 2>?Г I

.+(0

21 ^((Хх-{)2+(Х2-60/2)2У

2 п

_ ((^ +(^2 -¿Ь/2)2)2

/=1 -г)2

А?

(30)

°21 ="

Л"

Рк(х2-Я0/2Хх1+а)2 ,-^-К/) | {хх-ф2-6ъ!2)2 ^

'=1 ^[(хх-^)2+(Х2-8012)2\

(31)

А для нижней:

СГ22 =

Я"

Рк(Х1+аХх2-Я0/2):

п &

/

(х2-ё0/2У

П

+ 1

_ ((х1+а)2+(х2-60/2)^ М 2 6-1 ((*1 - + (*2 - /2)2 ^

¿1((Х1-{)2+(х2-60/2)2У

¿¿¡ +

(32)

СГИ:

п

п $ (ц-^-^/г) ^ 22 .1 -

п Й \

*[ {(х1+а)2+(х2-30/2)^ 22 -(0 <7 {Х2-5^2\Х{-^)2

21 J

+

(34)

Сравним расчеты по предлагаемой модели с результатами, получаемыми согласно модели Нейбера-Новожилова [40], где усредненное по структурным элементам напряженное состояние определяется исходя из сингулярных решений линейной теории упругости. Трещина в этом случае моделируется математическим разрезом и на его продолжении для схемы нагружения (см. Рис. 1.2 при £0=0) напряженное состояние

может быть найдено, следуя [76], в виде:

а Р-\[а а а _ /то

°21=_7-°11=сг22

Проинтегрируем по х1 выражения (35) и найдем средние напряжения на &-ых единичных отрезках на продолжении математического разреза:

—а °21 =

Р

— агсБш п

Г \ а — х^

а + хл

\ и

к кл

—а л

а11 = а22 = ■

Рисунок 2.4.Сравнение результатов предлагаемой дискретной модели и решения в рамках подхода Нейбера - Новожилова.

На Рис. 2.4 представлено сравнение решения (36) (пунктирная линия) с дискретным решением (28) (непрерывная линия) для средних по слою напряжений. На графике напряжения отнесены к значению ¿х21 на первом элементе для решения (28).

Напряжения (36) рассмотрим в качестве граничных условий, действующих со стороны слоя нулевой толщины на верхнюю и нижнюю полуплоскости. Напряженное состояние в полуплоскостях можно находить по формулам (22)-(27)

положив в них 1 = а21= а21 и °г22=<т22=^- Таким

образом, для верхней полуплоскости напряженное состояние будет определяться по формулам:

°22

; (37)

ап =

ж

+ а)~

(х^У

ж

;(38)

(39)

а в нижнеи:

°22

ж

Р(х1+а\х2)2 (Х1 ~Хх2)2 ^ ^

<гп=-

ж

Р(х1+аУ ^д ^

(40)

;(41)

°"21 =

ж

.(и^+м2)2 о Ь-^+ьА

(42)

В соотношениях (37)-(42) в качестве нагрузки на полуплоскости используется решение (35). В рамках решения Нейбера - Новожилова (36) напряженное состояние в полуплоскостях определяем в следующем виде для верхней полуплоскости:

_ 2 г Р(х, +аХх2)2 " 6 _#Хх2)2 а22~ — [~1-ъ +; 7-

<тп =

л-

(-1-Й3

1(44)

сг21 =

Л"

+ а)2 + (х2 )2 ^М^-ЙЧ^)2)2 .

(45)

и нижней полуплоскости:

сг22 ="

я

(46)

С7П =■

Л

;(47)

°*21 ='

л

Р(х1+а)2(х2) | (х!-#)2(х2) ^

(48)

В случае подхода Нейбера - Новожилова напряженное состояние в полуплоскостях будут определены согласно соотношениям (43)-(48).

Рассмотрим распределение напряжений в слое и сопряжённых с ним элементах полуплоскостей для случая плоской деформации.

Рисунок 2.5. Распределение максимальных главных напряжений для модели слоя конечной толщины. Случай плоской

деформации.

Для дискретной модели (28) определим поведение максимальных главных напряжений на продолжении слоя и прилегающих к нему полуплоскостях. Непрерывные линии на графике на Рис. 2.5 и в дальнейшем будут определять напряжения в слое, штриховые - по границе с верхней полуплоскостью, штрихпунктирные - с нижней полуплоскостью. Рассматривая в качестве критерия разрушения достижение максимального главного положительного напряжения критического значения, видим, что разрушение будет зарождаться в нижней полуплоскости, а при смене знака пары сил - в верхней. Этот результат соответствует экспериментальным данным работы [112].

На Рис. 2.6 приведено распределение максимальных касательных напряжений для модели (28). Максимальные касательные напряжения в структурных элементах вне слоя совпадают, и соответствующие графики сливаются, при этом условие пластичности не достигается.Из упругого решения (см.

Рис. 2.6) видно, что оставаясь в рамках критерия Треска - Сен-Венана пластическое деформирование, по крайней мере, на начальной стадии должно развиваться вдоль слоя.

Рисунок 2.6. Распределение максимальных касательных напряжений. В случае плоской деформации.

Аналогичные расчеты напряжений были проведены для случае плоского напряженного состояния.

Рисунок 2.7. Распределение максимальных главных напряжений для модели слоя конечной толщины. Плоское

напряженное состояние.

ти/т*

0.8

0.6 0.4 0.2 0.0

\

п

Рисунок 2.8. Распределение максимальных касательных напряжений. Плоское напряженное состояние.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Кунашов, Никита Дмитриевич, 2013 год

Литература

1. Агарков С.И. Определение скорости роста трещины в рамках усовершенствованной модели ползучести с возвратом // Дифференциальные уравнения и прикладные задачи: Сб. науч. трудов. Тула: ТулПИ, 1996. С.89-90.

2. Агаларян О. Б., Г. Ю. Таманян. К задаче продольного сдвига составного клина с радиальной трещиной произвольной длины при различных граничных условиях. // Mechanics. Proceedings of National Academy of Sciences of Armenia. 2005. 58.3 C. 3-9.

3. Аэро Э.Л. Существенно нелинейная микромеханика среды с изменяемой периодической структурой // Успехи мех. 2002. №3. - С. 13-176.

4. Аэро Э.Л., Кувшинский Е.В. Континуальная теория асимметрической упругости. Равновесие изотропного тела // ФТТ. 1964. Т. 6, вып.9. С. 2689-2699.

5. Баренблатт Г.И., Христианович С.А. О модуле сцепления в теории трещин // Инженерный журнал. Механика твердого тела. 1968. № 2. С. 69-75.

6. Белов П. А., Лурье. С. А., "Общая теория- дефектов сплошных сред." Механика композиционных материалов и конструкций. 9.4 2003 С: 210-222.

7. Березин A.B., Пономарев П.Л. Трещины поперечного и продольного сдвигов в разно-модульных дилатирующих средах // Известия РАН. Механика твердого тела 2002 №3 С127-135

8. Буханько А. А., Хромов А. И. Пластическое течение в окрестности вершины трещины. Энергетический критерий

разрушения и его связь с J-интегралом // Прикладная механика и техническая физика. 2012 №6 С. 112-120

9. Витвицкий П.М., Леонов М.Я. О разрушении пластинок со щелью // Прикладная механика. - 1961. - №5. С.15-23.

10. Гаврилкина М.В., Глаголев В.В., Маркин A.A. К решению одной задачи механики разрушения // ПМТФ. - №4. - 2007. С. 121-127.

11. Глаголев В.В., Кузнецов К.А., Маркин A.A. Модель процесса разделения деформируемого тела // Изв. РАН. МТТ. 2003. № 6. С.61-68.

12. Глаголев В.В., Маркин A.A. Об одной постановке задачи упругопластического разделения // ПМТФ. 2009. Т. 50 -№4. - С. 187-195.

13. Глаголев В.В., Маркин A.A. Модель установившегося разделения материального слоя // Изв. РАН. МТТ. 2004. № 5. С. 121-129.

14. Глаголев В.В., Маркин A.A. Об одном способе определения связей между критическими значениями характеристик процесса установившегося разделения материала // Проблемы прочности. 2006. №2. С. 47-58.

15. Глаголев В.В., Маркин A.A. Термомеханическая модель дискретного разделения упругопластических тел // Изв. ТулГУ. Серия Математика. Механика. Информатика. - Том 12. Вып. 2. 2006. С. 103-129.

16. Глаголев В.В., Маркин A.A. Определение термомеханических характеристик процесса разделения // Известия РАН. Механика твердого тела. - № 6. - 2007. - С. 101-112.

17. Глаголев В.В., Глаголев Л.В., Кунашов Н.Д. Продольный сдвиг в рамках дискретного подхода к разрушению// Вестник Чувашского государственного педагогического университета. Серия: Механика предельного состояния. 2012. № 4(14). С. 17-25.

18. Глаголев В.В., Маркин A.A. Нахождение предела упругого деформирования в концевой области физического разреза при произвольном нагружении его берегов // ПМТФ. -2012.Т. 53 № 5. С. 174-183.

19. Гольдштейн Р.В., Осипенко Н.М. Моделирование отслоений покрытий при термомеханичесом нагружении в балочном приближении // Известия РАН. Механика твердого тела. 2007. № 5. С. 75-90.

20. Гольдштейн Р.В., Осипенко Н.М. Структуры разрушения в окрестности макроразрыва продольного сдвига // Известия РАН. Механика твердого тела 2012. № 5. С. 22-34

21. Гольдштейн Р.В., Осипенко Н.М. Инициирование разрушения на контакте при сдвиге // Известия РАН. Механика твердого тела. 2013. № 4. С. 72-79.

22. Гольдштейн Р.В., Перельмутер М.Н. Рост трещин по границе соединения материалов // В кн.: Проблемы механики. Сб. статей. М.: ФИЗМАТЛИТ. 2003. С. 221239.

23. Гольдштейн Р.В., Сарычев М.Е. Влияние дислокаций на критерий роста трещин по границе соединения деформируемых материалов // Известия РАН. Механика твердого тела. 2006. № 1. С. 125-135.

24. Гольдштейн Р.В., Шаталов Г.А. Моделирование процессов разрушения в рамках обобщенной модели атомистической трещины нормального отрыва // Известия РАН. Механика твердого тела. 2006. № 4. С. 151-164.

25. Гольдштейн Р.В., Шифрин Е.И. Овозможной искривления трещины нормального отрыва в анизотропной плоскости // Известия РАН. Механика твердого тела. 2006. № 6. С. 173182.

26. Гольдштейн Р.В., Шифрин Е.И. О возможной неустойчивости прямолинейного пути трещины в ортотропной плоскости в условиях одноосного нормального растяжения // Известия РАН. Механика твердого тела. 2007. № 3. С. 33-45.

27. Ентов В.М., Салганик P.JI. К модели хрупкого разрушения Прандтля // Изв. АН СССР. МТТ. 1968. № 6. С. 87-99.

28. Зегжда С.А., Морозов Н.Ф., Семенов Б.Н. О «балочном» подходе в задачах распространения трещин // Известия РАН. МТТ. 1999. № 3. - С. 114-120.

29. Зубчанинов В.Г., Устойчивость и пластичность. Т.2. Пластичность. М.Физматлит, 2008 - 336с.

30. Ивлев Д.Д., О теории трещин квазихрупкого разрушения // Прикладная механика и техническая физика. 1967. № 6. С. 88-128.

31. Ивлев Д.Д., Теория идеальной пластичности.М.:Наука, 1966. 232с.

32. Ивлев Д.Д., Теория предельного состояния и идеальной пластичности: избранные работы. - Воронеж: Воронежский государственный университет, 2005. 357с.

33. Ильюшин A.A., Пластичность. Основы общей математической теории. М.: Изд-во АН СССР, 1963. 271 с.

34. Ильюшин A.A. Механика сплошной среды. М.: Изд-во МГУ, 1990. 310 с.

35. Ишлинский А.Ю., Ивлев Д.Д. Математическая теория пластичности М: ФИЗМАТЛИТ, 2001. 701 с.

36. Ишлинский И.Ю., Сопоставление двух моделей развития трещин в твердом теле // Изв. АН СССР МТТ.-1971. №4. С.116-121.

37. Качанов Л.М. Основы теории пластичности. М.:Наука, 1969. 420с.

38. Клевцов Г.В., Ботвина Л.Р. Микро- и макрозона пластической деформации как критерии предельного состояния материала при разрушении // Проблемы прочности. 1984. №4. С. 24-28.

39. Корнев В.М. Обобщенный достаточный критерий прочности. Описание зоны предразрушения // ПМТФ. 2002. Т. 43, № 5. С. 153-161.

40. Корнев В.М. Распределение напряжений и раскрытие трещин в зоне предразрушения (подход Нейбера-Новожилова) // Физическая мезомеханика. 2004. Т. 7. № 3. С. 53-62.

41. Корнев В.М., Кургузов В.Д. Многопараметрический, достаточный критерий квазихрупкой прочности для

сложного напряженного состояния // Физическая мезомеханика. 2006. Т. 9. № 5. С. 43-52.

42. Корнев В.М. Зона предразрушения для трещин продольного сдвига в материалах со структурой // Известия РАН. Механика твердого тела 2011 №3 С. 102111

43. Крауч С., Старфилд А. Методы граничных элементов в механике твердого тела: Пер. с. англ. - М.: Мир, 1987. -328 с.

44. Крывень, В. А. Влияние трения берегов на локализацию пластических деформаций в плоскости трещины продольного сдвига. // Динамические системы 2001 №17 С 137-142.

45. Кунашов Н.Д. Модель упругопластического деформирования трещины нормального отрыва в концепции слоя взаимодействия при плоском напряженном состоянии // Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2012. Вып. 2. С. 136144

46. Кунашов Н.Д. Модель упругого деформирования трещины в концепции слоя взаимодействия при продольном сдвиге// Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2012. Вып. 3. С. 84-92

47. Лавит И.М. Об устойчивом росте трещины в упругопластическом материале // Проблемы прочности. 1988. №7. С.18-23.

48. Лавит И.М., Толоконников Л.А. Силы сцепления и J-интеграл // Изв. Сев.-Кавказского научного центра высш. Школы. Естественные науки. 1985. №1. С.28-30.

49. Лебедев A.A., Чаусов Н.Г. Феноменологические основы оценки трещиностойкости материалов по параметрам спадающих участков диаграмм деформаций//Пробл. прочности. 1983. №2. С. 6-10.

50. Леонов М.Я., Панасюк В.В. Развитие мельчайших трещин в твердом теле // Прикладная механика. 1959. Т. 5. № 4. С. 391-401.

51. Линьков A.M. Об условиях устойчивости в механике разрушения // ДАН СССР.-1977.-Т.233.-№1 .-С.45-48.

52. Лурье А.И. Теория упругости / А.И. Лурье. М.: Наука, 1970.

53. Макклинток Ф. Пластические аспекты разрушения // Разрушение. Т.З. М.: Мир, 1975. С. 67-262. •

54. Макклинток Ф.А., Ирвин Дж. Р. Вопросы пластичности в механике разрушения. В. кн.: Прикладные вопросы вязкости разрушения. 1968. С.143-186.

55. Махутов H.A. Деформационные критерии разрушения и расчет элементов конствукций на прочность.-М.¡Машиностроение, 1981.-270с.

56. Механика - от дискретного к сплошному/ [А.Н. Андреев и др.] - Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2008. - 344 с.

57. Мир-Салим-заде М.В. Зарождение трещины в подкрепленной пластине // ПМТФ. 2007. Т. 48, № 4. С. 111-120.

58. Мирсалимов В.М. Зарождение трещин в перфорированном тепловыделяющем массиве // ПМТФ. 2007. Т. 48, № 5. С. 121-133.

59. Мирсалимов В.М. К решению задачи механики контакного разрушения о зарождении трещины со связками между берегами во втулке фрикционной пары // ПММ. 2007. Т.71. Вып. 1. С. 132-151.

60. Морозов Н.Ф., Петров Ю.В. Проблемы механики разрушения твердых тел - Спб.: Изд-во С-Петербурского ун-та, 1997. 132 с.

61. Назаров С.А., Паукшто М.В. Дискретные модели и осреднение в задачах теории упругости. - Л. , 1984. - 93 с.

62. Назаров С.А., Шпековиус-Нойгебауер М. Применение энергетического критерия разрушения для определения формы слабоискривленной трещины // ПМТФ. 2006. Т. 47, № 5. С. 119-130.

63. Нейбер Г. Концентрация напряжений. ОГИЗ, Гостехиздат, 1947. - 204 с.

64. Новожилов В.В. О необходимом и достаточном критерии хрупкой прочности // ПММ. 1969. № 2. С. 212-222.

65. Новожилов В.В., Рыбакина О.В. О перспективах построения критерия прочности при сложном нагружении // Прочность при малом числе циклов нагружения / М.: Наука. 1969. С. 71-80.

66. Нотт Дж. Ф. Основы механики разрушения. - М: Металлургия, 1978. - 256 с.

67. Партон В.З., Морозов Е.М. Об одном обосновании критерия Ирвина на конце трещины//Изв. АН СССР. МТТ. №6.1968. С. 147-153.

68. Партон В.З., Морозов Е.М. Механика упругопластичекого разрушения - 2-е изд., перераб. и доп. - М.:Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1985.-504с.

69. Перельмутер М.Н. Критерий роста трещин со связями в концевой области // ПММ. 2007. Т.71. Вып. 1. С. 152-171.

70. Петров Ю.В. О «квантовой» природе разрушения хрупких сред // Докл. АН. 1991. Т. 321. № 1. С. 66-68.

71. Покровский В., Сидяченко В., Ежов В. Расчётно-экспериментальное исследование вязкости разрушениятеплоустойчивых реакторных сталей с учётом различных мод предварительного термомеханического нагружения// Вестник ТНТУ. 2011 .Спецвыпуск. - Ч. 1. -С.66-73.

72. Работнов Ю.Н. Введение в механику разрушения.-М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит-ры, 1987.-80с.

73. Разрушение / Под ред. Г. Либовица. Т.2.-М.:Мир, 1975-764с.

74. Савин, Г. Н. Основы плоской задачи моментной теории упругости. Киев: Изд-во Киевского гос. ун-та 1965.

75. Савин, Г. Н. Распределение напряжений около отверстий Киев. Наук, думка,1968

76. Слепян Л.И. Механика трещин. - 2-ое изд., перераб. и доп. -Л.: Судостроение, 1990.- 296с.

77. Сегал В. М. Рост пор в полосе сдвига при локализации пластической деформации // Прикладная механика и техническая физика. 1984 №1 С. 127-134

78. Симонов И. В. Нестационарное движение трещины поперечного сдвига по границе раздела упругих сред // Прикладная механика и техническая физика. 1986 №6 С. 129-138

79. Толоконников Л.А., Пеньков В.Б. О сильном разрыве упругого поля // Известия СКНЦ ВШ. Естественные науки. - 1989. - № 3. - С.49-51.

80. Черепанов Г.П. Механика хрупкого разрушения. М.: Наука, 1974. 640 с.

81. Шоркин B.C. Математическая модель механического взаимодействия тела детали и ее поверхностного слоя / B.C. Шоркин // Справочник. Инженерныйжурнал.-2006, №7.-С.30-36

82. Astafiev V.I. Grigorova T.V. Pastukhov V.A. Influence of continuum damage on stress distribution near a tip of growining crack under creep conditions // Proc. 2 nd Intern. Collog. On Mech. Of Creep Brittle Materials. Leicester, UK, 1991. -P. 49-61.

83. Barenblatt G.I. On a model of small fatigue cracks // Eng. Fract. Mech. - 1987. - V.28. - №5/6. - P. 623-626.

84. Bolotin V.V., Lebedev V.I. Analytical model of fatigue crack growth retardation due to overloading // International Journal of Solids and Structures. - 1996. - №9. - P. 1229-1242.

85. Cook J., Gordon J.E. A mechanism for the control of crack propagation in all - brittle system // Proc. Roy. Soc, London. Ser. A, 1964. V. 282. № 1391. P. 508-520.

86. Dugdale D.S. Yielding of steel sheets containing slits.- J. Mech. and Phys. Solids. 1960. V.8. № 2. P.100-108.

87. Goldstein R.V., Perelmuter M.N. Modeling of bonding at the interface crack // Internal J. of Fracture. - 1999. - V. 99. -№1-2. P. 53-79.

88. GlagolevV.V., MarkinA.A. Stress-Strain State in Elastic Body with Physical Cut// World Journal of Mechanics - Vol. 3 - No. 7- 2013. - P. 299-306.

89. Googier J.N., Kanninen M. Crack Propagation in a Continuum Model with Nonlinear Atomic Separation Lawn // Tech. Rep. No. 165, Div. Eng. Mechanics, Stanford Univ., 1966.

90. Green A.E., Rivlin R.S., Shield R.T. General theory of small elastic deformations superimposed on finite elastic deformations // Proc. Roy. Soc. London. 1951. V. A211. P. 128-154.

91. Griffith A.A. The phenomenon or rupture and flow in solids // Phil. Trans. Roy. Soc., Ser. A. 1920. V. 221. P.163-198.

92. Griffith A.A. The theory of rupture // In: Proc. 1st Int. Congr. Appl. Mech.- Delft. - 1924. - P. 55-63.

93. Irwin G.R. Linear fracture mechanics, fracture transition, and fracture control // Engn. Fracture Mechanics. 1968. V.l. P. 241-257.

94. Irwin G.R. Relation or stresses near a crack to the crack extension force // Proc. 9th Int. Congr. Appl. Mech.- Brussels. - 1957. V. 8. P. 245-251.

95. Irwin G.R. Analysis of stresses and stain near the end of a crack traversing a plate // J. Appl. Mech. 1958. V. 24. № 3. -P. 361-364. (Discussion//J. Appl. Mech. 1958. V. 25. №2. P. 299-303 ).

96. Irwin G.R. Plastic zone near a crack and fracture toughness. -7th SamagoreArdance Materials Research Conference. -Syracuse: Syracuse Univ. Press, 1960.

97. Levin V.A. Theory of Repeated Superposition of Large Deformations. Elastic and Viscoelastic Bodies // Intern. J. Solids a. Structures. 1998. V. 35. №20. P. 2585-2600.

98. Matvienko Yu. G., Morozov E.M. Some problems in linear and non-linear fracture mechanics // Engineering Fracture Mechanics. 1987. V.62. P. 127-138.

99. Matvienko Yu. G., Makhutov N.A. Strength and survivability analysis in engineering safety for structures damaged by cracks//Int. J. Vessels and Piping. 1999. V. 76. P. 441-444.

100. McClintock F.A. Ductile fracture instability in shear // J. Appl. Mech. - 1958. V. 25. P. 581-588.

101. Mishra R.S., Bieler T.R. Mukhetjee A.K. // Acta Metall. Mater. 1995. V.43. №3. P. 887-891.

102. Morozov E.M. Some Heuristic Models of Propageting Cracks // FRACTURE; A Topical Encyclopedia of Current Knowledge. Ed. By G.P. Cherepanov. Melborn: Grieger Publ. Comp., 1998. P. 440-449.

103. Murakami S. Mechanical modeling of material damage // Trans. ASME. J. Appl. Mech. 1988. V. 55. June. P.280-286.

104. Orowan E.O. Proc. Symposium on internal stresses in metals and allows.- London: Institut of Metals, 1948, p.451.

105. Prandtl L. EinGedankenmodellfur den ZerreibvorgandsproderKorper // ZAMM Bd. 13. 1933. P. 129133.

106. Pen'kov V. B., L. A. Tolokonnikov. On contact of the crack edges. Journal of Applied Mathematics and Mechanics 44.4 1980. P. 531-536.

107. Pen'Kov V. B. On a closing crack. // Journal of Applied Mathematics and Mechanics 58.5 1994. P. 919-926.

108. Qi-Kui Du. Evaluations of certain hypersingular integrals on interval // Int. J. Numer. Meth. Engng. - 2001. - V. 51. - P. 1195-1210.

109. Rice J.R. The elastic-plastic mechanics of crack extension // Int. J. Fracture Mech. - 1968. - V. 4. - № 1. - P. 41-47.

110. Rice J.R. Some mechanics research topics related to the hydrogen embrittlement of metals // Corrosion. 1976. V. 32. № 1. P. 22-26.

111. Rice J.R. Johnson M.A. The role of large crack tip geometry changes in plane strain fracture // Inelastic Behaviour in Solids. - New York: McGraw-Hill. - 1970. - P. 641-672.

112. Samudrala O., Y. Huang, A. J. Rosakis, "Subsonic and intersonic mode II crack propagation with a rate-dependent cohesive zone." // Journal of the Mechanics and Physics of Solids 50.6 (2002): P 1231-1268.

113. Schwalbe K.N. Zerbst U. The Engineering Treatment Model // Int. J. Pressure Vessels and Piping. - 2000. - V. 77. - P. 895-918.

114. Vasyutin A.N. Fracture mechanics of physically short cracks // Fatigue and Fracture Engng Mater. andStruct. - 1992. - V. 15. № 2. P. 203-212.

115. Weighardt K. Über das Spalten und ZerresenelastischerKörper // Zeitschr. für Math. Und Phys. 1907. Bd. 55. № 1/2. - S. 60-103.

116. Will P., Totzauer W., Michel B. Analysis of surface cracks by holography // Theor. Appl. Fract. Mech. 1988. V. 9. P. 33-38.