Модель упругопластического деформирования тел конечных размеров с трещиноподобным дефектом тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат наук Глаголев Леонид Вадимович

• Глаголев Леонид Вадимович
• кандидат наук
• 2018

Оглавление диссертации кандидат наук Глаголев Леонид Вадимович

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВЕДЕНИЕ

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ О ПРОИЗВОЛЬНОМ НАГРУЖЕНИИ ТЕЛА КОНЕЧНЫХ РАЗМЕРОВ С ТРЕЩИНОЙ В ВИДЕ ФИЗИЧЕСКОГО РАЗРЕЗА

1.1 Постановка задачи

1.2 Дискретное решение

1.3 Решение упругопластической задачи с использованием метода секущего модуля

1.4 Вычислительная сходимость упругого решения

Выводы по главе

2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВВЕДЕННОГО ЛИНЕЙНОГО ПАРАМЕТРА МАТЕРИАЛА

2.1 Процесс определения линейного параметра материала

2.2 Оценка величины линейного параметра в образце с боковой трещиной

2.3 Определение критических нагрузок для образцов с центральной трещиной

Выводы по главе

3. ИССЛЕДОВАНИЕ КРИТИЧЕСКИХ СОСТОЯНИЙ КОМПАКТНЫХ ОБРАЗЦОВ КОНЕЧНЫХ РАЗМЕРОВ С ТРЕЩИНОПОДОБНЫМ ДЕФФЕКТОМ

3.1 Расчет критической нагрузки в случае плоского напряженного состояния

3.2 Моделирование сдвигового воздействия на компактные симметричные образцы с трещиноподобным дефектом

3.2.1 Постановка задачи

3.2.2 Мембранное приближение решения

3.2.3 Решение упругой задачи

3.2.4 Решение упругопластической задачи

Выводы по главе

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Модель упругопластического деформирования тел конечных размеров с трещиноподобным дефектом»

ВЕДЕНИЕ

Актуальность темы. Определение состояния, предшествующего разрушению тел, поврежденных трещиной, связано с той или иной моделью дефекта твердого тела. В этом плане любая модель, предсказывающая внешнюю критическую нагрузку, согласующуюся с экспериментом, может быть рассмотрена в качестве основы для расчета. При этом основная проблема состоит в универсальности модели, позволяющей проводить расчеты для материалов с различными механическими свойствами и внешним воздействием. В настоящее время основной моделью трещины в твердом теле является математический разрез с сингулярным распределением поля напряжений в концевой зоне. Данная особенность сформировала такую механическую характеристику твердого тела как вязкость разрушения. В случае хрупкого и квазихрупкого разрушения данная характеристика достаточно хорошо описывает наступление критического состояния. Прогнозирование трещиностойкости для небольших зон пластичности в вершине трещины рассматривается на основе классической модели квазихрупкого разрушения. Однако при ярко выраженном упругопластическом деформировании необходимо построение альтернативных моделей. В данных моделях необходимо обеспечить конечность напряженного состояния для удовлетворения критерия перехода из упругого состояния в упругопластическое.

Таким образом, разработка математической модели, позволяющей адекватно описывать зарождение и развитие пластической области в концевой области трещины при комбинированном нагружении тел конечных размеров, является актуальной.

Цель работы состоит в исследовании процесса зарождения и развития пластической области в вершине трещины в телах конечных размеров при произвольном внешнем воздействии.

Для реализации результатов в рамках диссертационной работы предлагается решение следующих задач исследования:

1. Вариационная постановка задачи определения напряженно-деформированного

состояния (НДС) в теле с трещиной на основе концепции слоя взаимодействия, характеризуемого структурным параметром.

2. Определение структурного параметра исходя из механических характеристик материала.

3. Численная реализация расчета НДС тела с трещиной в упругопластическом материале.

Научная новизна. Предложена математическая модель трещины, в которой отсутствует сингулярность напряжений при универсальном распределении НДС ее концевой зоны.

Поставлены и решены новые задачи нагружения тел с трещиноподобным дефектом для упругопластического поведения материала с упрочнением на основе введения в модель трещины линейного размера.

По известным механическим характеристикам материала и решению упругопластической задачи деформирования образца с центральной и боковой трещиной найден введенный в модель линейный размер.

Определена схема нагружения компактного образца, в которой реализуется напряженное состояние, близкое к трещине моды II.

Теоретическая ценность работы состоит в решении важной научной задачи нахождения напряженно-деформированного состояния в упругопластических телах конечных размеров с трещиной при произвольном внешнем воздействии.

Практическая ценность полученных результатов состоит в возможности их использования при расчете на прочность поврежденного упругопластического материала.

Методология и методы исследования. Модельное представление трещины рассмотрено в виде физического разреза с характерным линейным размером и материальным слоем на его продолжении, предложенное в работах В.В. Глаголева и А.А. Маркина. Постановка задачи строится на основе вариационного принципа Лагранжа. Полученная в работе система вариационных уравнений совместно с определяющими соотношениями сводится к системе линейных

алгебраических уравнений на основе метода конечных элементов с квадратичным законом распределения поля перемещений на элементе. Для решения упругопластической задачи использовался метод «упругих решений» А.А. Ильюшина. Процесс определения структурного линейного параметра построен на варьировании его величины, явно входящей в уравнения предлагаемой модели, при удовлетворении прочностных критериев в разрушаемом элементе и внешней критической нагрузке.

На защиту выносятся:

- вариационная постановка определения напряженно-деформированного состояния тела конечных размеров для упругопластического материала с линейным упрочнением;

- определение введенного в модель трещины линейного размера по известным механическим характеристикам материала.

- численные результаты исследования процесса деформирования тела с трещиноподобным дефектом для различных видов внешней нагрузки.

Достоверность и обоснованность результатов обеспечивается использованием фундаментальных положений механики деформируемого твердого тела, использованием апробированных методов решения получаемых уравнений.

Апробация работы. Основные результаты по теме данной диссертации были доложены и обсуждены на регулярных научных семинарах кафедры «Математическое моделирование», «Вычислительная механика и математика» г. Тула, 2015-2018.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 12 печатных работ, 7 из которых в изданиях, рекомендованных ВАК.

Современное состояние исследований по теме работы.

Трещиноподобный дефект в твердом теле в настоящее время принято рассматривать на различных масштабных уровнях [54]. Его классическое представление в виде математического разреза является базисом для проведения расчетов на трещиностойкость поврежденных материалов. Первым, кто изучал

тело с трещиной как инженерную задачу, был Гриффитс [90,91], который рассматривал возникновение трещины из условия минимума упругой энергии и применил эту теорию к «бесконечной» панели с центральной трещиной при двухосном растяжении, где «бесконечность» указывает, что ширина панели велика по сравнению с размером трещины. Эта постановка известна как задача Гриффитса. Хотя фундаментальные решения полей напряжений при сингулярности в упругой среде были опубликованы уже в начале и середине XX века [92,104,109], эти решения не нашли применения в проектировании инженерных сооружений. Первым был Ирвин [93], впервые осознавший существенное сходство всех асимптотических сингулярных полей напряжений в вершине трещины и пришедший к выводу об использовании интенсивности этих полей в механике разрушения, основанной на оценке структурной целостности. Работы в этом направлении связаны с именами российских и зарубежных ученых: Г.П. Черепанова, В.В. Новожилова, Н.Ф. Морозова, Е.М. Морозова, В.М. Ентова, Р.Л. Салганика, Ю.В. Петрова, М.В. Паукшто, В.З. Партона, В.Б. Пенькова, В.И. Астафьева, Ю.Н. Радаева, В.М. Корнева, Л.И. Слепяна, Г.Б. Олсона, М. Каннинена, Дж. Н. Гудьера, Г.И. Баренблатта Р.В. Гольдштейна, И.М. Лавита, B. Budiansky, Y.L. Cui, L.R.F. Rose, B.N. Cox, D.B. Marshall, F.A.McClintock, J.W. Hutchinson и других исследователей.

Классическое условие начала движения трещины связывается с достижением коэффициента интенсивности напряжений предельного значения -вязкости разрушения. Тем самым, через вязкость разрушения, по существу, вводится дополнительный параметр, имеющий размерность длины. Квадрат отношения вязкости разрушения к величине, имеющей размерность напряжения, формирует соответствующий структурный параметр. В частности, в работе [25] под величиной, имеющей размерность напряжения, понимается предел прочности материала, хотя материальные характеристики твердого тела имеют ряд подходящих величин, например, модуль упругости. Кроме того, нормальный отрыв, продольный и поперечный сдвиги имеют свою вязкость разрушения, и вопрос универсальности структурного параметра остается открытым. При этом

физический смысл и величина линейного размера являются неопределяемыми, введенная величина не присутствовала в явном виде в постановке задач на трещиностойкость.

Введение линейного размера как параметра усреднения сингулярных решений предложено в работах Нейбера и Новожилова [49,50]. Линейный размер присутствует в различных представлениях моментной теории упругости [3,4,6,8,46,52,59,61,63], в которых отсутствует сингулярность напряжений в концевой зоне трещины. Определению соответствующих материальных постоянных посвящен ряд работ [8,52,61]. Однако переход к описанию упругопластического поведения материалов в данных теориях открыт.

Для определения эффективной прочности тел, имеющих один из размеров (толщину) существенно меньший, чем остальные, и переменные по толщине свойства и (или) состав, в статье [24] предложен способ оценки эффективной прочности на примере прочности ледяного покрова по отношению к продольному сжатию.

Влияние механизмов различных масштабных уровней [5,25,53,54,68,69,96] микроструктуры материала [83] при образовании трещин свидетельствуют, что линейный размер играет важную роль в формировании новых материальных поверхностей. Вопрос определения величины представительного объема для анализа разрушения, а также влияние размеров образца на возникновение и рост микро- и макродефектов затронут в обзоре [10].

Баренблатт [79] предложил идею ввести зону сцепления в конце трещины во избежание сингулярности, и он предполагает, что хрупкое разрушение произойдет, если напряжения в «зоне процесса» превысят силы сцепления атомного или молекулярного притяжения.

Решение упругопластической задачи подразумевает выполнение критерия перехода из упругого состояния в пластическое. Соответствующие критерии связаны с конечными значениями компонент тензора напряжений или его девиатора [70,97,99,106,107]. Сингулярность поля напряжений модели с математическим разрезом подразумевает переход в состояние пластичности при

сколь угодно малой внешней нагрузке. В ряде практических задач механики квазихрупкого разрушения это обстоятельство опускают и рассматривают разрушение в рамках силового критерия Ирвина - Орована, полагая, что зона пластичности мала по сравнению с размерами трещины. В этом случае, как и в хрупком разрушении, полагают справедливыми асимптотические формулы линейной теории упругости. Вся пластичность при этом «поглощается» коэффициентом интенсивности напряжений. Ирвин [94] предложил идею рассчитать размер пластичной зоны приблизительно из поля напряжений в упругой среде и ввести фиктивное расширение трещины с модифицированным эффективным коэффициентом интенсивности напряжений. Но гипотеза «малости» зоны пластичности не остается справедливой для ряда нагружений трещиноподобного дефекта. Так, в случае нормального отрыва, контролировать разрушение коэффициентом интенсивности напряжений возможно только в случае плоской деформации. Для плоского напряженного состояния длина пластической зоны соизмерима с длиной трещины, и рассмотрение разрушения без учета влияния области необратимого деформирования не дает корректного результата. Решение соответствующего класса задач рассматривают, вводя в модель трещины силы сцепления. Интенсивность введенных сил полагают равной пределу текучести материала при одноосном растяжении, а протяженность зоны действия ассоциируют с областью пластичности. Тесно связана с моделью Баренблатта модель «полосы текучести» Дагдейла [85], который обнаружил, что узкая полоса пластических деформаций развивается перед концом трещины в тонких стальных листах. Соответствующая модель трещины, именуемая в отечественной литературе моделью Леонова - Панасюка - Дагдейла, имеет ряд недостатков. Во-первых, предполагается, что зона пластичности имеет место при любой внешней нагрузке. Во-вторых, постоянство интенсивности сил сцепления не дает возможности рассматривать упрочняющиеся материалы, кроме того, модель не допускает выход зоны пластичности за пределы слоя нулевой толщины. Развитие данного подхода для упругопластических тел рассмотрено в работах И.М. Лавита [38-41]. Однако, для данной модели трещины

проблематичны постановки для смешанной моды нагружения. За критерий разрушения в данных случаях принимается раскрытие трещины на определенном расстоянии от вершины. Обзор работ [9] свидетельствует, что проблема описания упругопластического поведения поврежденных материалов далека от завершения.

Одним из подходов к определению критического состояния в концевой зоне трещины является энергетический подход [81,101,110]. Конечноэлементное моделирование трещин в виде математического разреза по границе двух материалов с использованием энергетического критерия на основе подхода виртуального закрытия трещины рассмотрено в работе [108]. Однако, данный подход при смешанной моде нагружения приводит к осцилляциям в концевой зоне трещины [110]. Отметим, что осцилляции наблюдаются и в решении задачи о трещине по границе соединения материалов с различными механическими свойствами [98]. В работах [72-74] в предположении возможности пренебрежения влиянием нормальных напряжений на сдвиговые смещения и сдвиговых напряжений на нормальные показано, что от осцилляций в решении можно избавиться.

В статье [84] предложен когезионный элемент нулевой толщины с билинейным законом когезионного взаимодействия, позволяющий проводить расчет критических состояний для смешанных мод нагружения связанных материалов. К главным недостаткам соответствующих подходов можно отнести отсутствие учета упругопластических свойств разделяемых материалов. Кроме того, для жесткости когезионного элемента открыт вопрос экспериментального определения вводимой характеристики.

В коммерческих пакетах LS-DANA, ANSYS, LUSAS, ABAQUS для связи материалов могут быть использованы контактные элементы с задаваемыми характеристиками (жесткости, степени свободы, толщины). Решение задачи нахождения критических состояний с использованием кода коммерческих продуктов приведено в работах [80,82]. Обзор различных когезионных моделей на основе математического разреза можно найти в сборнике работ [105]. Работы в данном направлении так же представлены в статьях отечественных и зарубежных

исследователей: Морозова Н.Ф., Гольдштейна Р.В., Панина В.Е., Дашевского И.Н., Осипенко Н.М., Yu Н.-Н., Hutchinson J.W. Cotterell B., Chen Z., Wang E. Z., Shrive N. G., Teng J.G., Smith S.T., Yao J., Chen J.F. К основным недостаткам данного подхода можно отнести то, что нулевая толщина разрушающегося слоя не дает возможности учитывать его реальные механические свойства в процессе деформирования.

Возможность использования естественных критериев разрушения, таких как деформационный критерий или критерий Ренкина, для модели математического разреза дает подход Нейбера - Новожилова [49,51]. В этом случае рассматривается усредненное по характерному объему напряженно-деформированное состояние. Отметим, что в данном подходе используется сингулярное решение линейной теории упругости, на основе которого рассчитываются характеристики напряженно-деформированного состояния. Решения задач для упругопластических материалов и при больших деформациях в этом случае проблематичны. Данный подход используется как в теории трещин [33-35], так и для расчетов критических состояний композиционных материалов [2].

Для моделей, рассматривающих состояние предразрушения в слое конечной толщины, выделим модель Прандтля [27,64]. В этом случае на продолжении трещины вводится слой связей типа упругих пружин, работающих на растяжение и сжатие. Отметим, что аналог данного представления используется в коммерческих конечноэлементных продуктах, таких как LS-DANA, ANSYS, LUSAS, ABAQUS в качестве контактных элементов. В этом случае вопросы о характерном размере связи, задании ее жесткости при упругопластическом деформировании, а также о применении контактных элементов для сдвигового характера воздействия остаётся открытым.

Другая модель взаимодействия сплошной среды с тонкими материальными слоями представлена в статьях [65,71,78]. В рассмотренных задачах слой, моделируемый в рамках теории пластин, балок или стержней, по одной поверхности скрепляется с упругим основанием, а вторая поверхность слоя

остается свободной при нагружении отрывом. Если посредством слоя связаны два основания, то данная модель естественным образом моделирует композиционный материал с тонким адгезионным слоем. Однако если поле перемещений в слое аппроксимировать в рамках теорий пластин, то в этом случае нормальный отрыв и сдвиг следует рассматривать отдельно. Так, сдвиговой характер деформирования слоя подробно представлен в цикле работ [102,103]. В этом случае представляется актуальным разработка такой модели взаимодействия материального слоя со смежным материалом, при котором результат будет адекватен как для нормального отрыва, так и для сдвигового характера нагружения.

Описание модели трещины в виде физического разреза толщиной 30 и материального слоя на траектории продвижения трещины было предложено Ф. Макклинтоком (Рисунок 1) [41,42]. В этом случае, в отличие от подхода Прандтля, слой и среда имеют одни и те же механические свойства. В модели предполагается, что граничные перемещения слоя полностью определяют его напряженное состояние. Но постановок соответствующих задач в рамках данной модели и значений параметра 30 в статье и последующих работах автора не приведено.

Использование промежуточного слоя с линейным размером в области высоких градиентов напряженно-деформированного состояния предлагается и при моделировании процесса трения двух тел [24].

Рисунок 1 - Модель Макклинтока: А - зона будущего разрушения; Б - зона непосредственного разрушения; В - зона разрушенного материала

Альтернативная модель трещины в виде физического разреза с толщиной

была предложена В.В. Глаголевым и А.А. Маркиным и их учениками [1,12-19,2123,88]. В данной модели, как и в моделях Прандтля и Макклинтока, вводится материальный слой. Но, в отличие от модели Макклинтока, слой в общем случае не есть траектория продвижения трещины, а, в отличие от модели Прандтля, механические характеристики слоя совпадают с характеристиками поврежденного тела. Напряженное состояние материального слоя, введенного в модель, определенного как слой взаимодействия, описывается средними и граничными напряжениями. Использование средних напряжений позволяет отказаться от выбора геометрической формы окончания физического разреза, что делает распределение напряжений в концевой зоне универсальным. При помощи данной модели были даны постановки для бесконечных тел с трещиной [14,16,18,20], а так же для конечных линейно упругих тел [1,19,88]. Приведена оценка введенного параметра 30 из термомеханического анализа процесса разрушения [18] и деформирования ДКБ-образца при локализации пластических деформаций в пределах слоя [19]. В работе [1] предлагалось вычислять толщину слоя посредством решения упругопластической задачи при критической внешней нагрузке, рассчитанной по вязкости разрушения. Но не было проведено анализа зависимости исследуемого параметра от вида и размера трещин. В развитие предлагаемого подхода представляется актуальным рассмотреть нахождение напряженно-деформированного состояния в упругопластических телах конечных размеров при произвольном внешнем воздействии в модели с линейным структурным размером.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и библиографии.

В первой главе приводится постановка задачи нагружения тела конечных размеров, ослабленного трещиноподобным дефектом, при произвольном нагружении внешней нагрузкой для случая упругого и упругопластического деформирования. Напряженное состояние слоя предлагается рассматривать на основе связи средних по толщине слоя напряжений и напряжений по границам

слоя. Средние деформации слоя выражаются через его граничные перемещения. Использование средних напряжений и деформаций позволяет избежать зависимости напряженно-деформированного состояния слоя от формы его торцевых поверхностей. В рамках малых деформаций получено вариационное условие равновесия тел, соединенных посредством слоя взаимодействия. Для сопрягаемых тел непосредственно связываются поля деформаций и напряжений. В результате связанная система вариационных уравнений сводится к уравнениям относительно полей перемещений в сопрягаемых телах, в том числе и на границах контакта со слоем. В качестве параметра система вариационных уравнений в перемещениях содержит толщину слоя взаимодействия. Существенно, что данная система уравнений не является дискретной, так как поля перемещений полагаются непрерывными. Для получения приближенного решения применялся метод конечного элемента с квадратичной аппроксимацией полей перемещений. Исследовалось влияние характерного размера конечного элемента на сходимость решения. Установлено, что если отношение грани конечного элемента к толщине слоя равно четырем и более, то имеет место численная сходимость. В силу отсутствия сингулярности напряжений в точках сопряжения слоя с телами предлагаемый подход позволяет использовать известные локальные критерии разрушения.

Во второй главе рассматривается процесс деформирования тела конечных размеров, ослабленного физическим разрезом под действием симметричной относительно плоскости разделения внешней нагрузки. Задача ставится с учетом перехода материала в пластическое состояние в рамках деформационной теории. Критическое значение внешней нагрузки, соответствующее началу разделения, определяется исходя из классических критериев прочности. Если в результате эксперимента установлена критическая нагрузка, то исходя из решения обратной задачи, предложена итерационная процедура определения параметра 30. Ввиду отсутствия прямых экспериментальных данных для определения критического значения нагрузки использовано ее представление через вязкость разрушения. Полагая вязкость разрушения постоянной для различных сочетаний линейных

размеров тела, глубины разреза и его расположения, получен ряд значений параметра 30 при плоском деформированном состоянии (ПДС) для сплава Д16.

В третьей главе для полученных значений 80 найдены критические

нагрузки в условиях плоского напряженного состояния (ПНС). Показано систематическое превышение величины критической нагрузки, соответствующей ПНС по сравнению с ПДС при одних и тех же значениях параметра.

Полагая толщину слоя постоянной для конкретного материала, рассматривалась задача сдвигового воздействия на компактные симметричные образцы с трещиноподобным дефектом. Задачей исследования являлось нахождение схемы нагружения компактного образца, для которой в слое взаимодействия реализуется состояние близкое к чистому сдвигу, что соответствует состоянию поперечного сдвига трещины. В упругой постановке задач, при задании априори поля перемещений, получены аналитические решения. Проведено их сравнение с конечноэлементным решением системы вариационных уравнений с малым параметром. В упругопластической постановке задач в результате численного решения определена конфигурация пластических зон в состоянии предразрушения для ряда схем сдвигового нагружения.

В заключении представлены основные выводы по работе.

Работа содержит 129 страниц машинописного текста, включая 57 рисунков, 10 таблиц и список литературы из 110 наименований.

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ О ПРОИЗВОЛЬНОМ НАГРУЖЕНИИ ТЕЛА КОНЕЧНЫХ РАЗМЕРОВ С ТРЕЩИНОЙ В ВИДЕ ФИЗИЧЕСКОГО

РАЗРЕЗА

1.1 Постановка задачи

Рассмотрим нагружение тела, ослабленного трещиной в виде физического разреза толщиной д0 и неопределенной границей его окончания, согласно схеме на Рисунке 1.1. Процесс нагружения предполагаем квазистатическим и изотермическим. В этом случае условие равновесия запишем в вариационной форме:

Л а - -дейБ = Л а - -дейБ + Ц а - -дейБ + Ц а - -дейБ = | Р • дий1, (1.1)

ь

'1+2+3 ° 2 ° 3

где под номером 3 определена материальная область, лежащая на продолжении физического разреза; 1,2 - смежные с 3 области; Р - внешняя нагрузка на контуре Е; а - тензор напряжений; е - тензор деформаций; и - поле перемещений.

Рисунок 1.1 - Тело с трещиной

Так как система из трех тел находится в равновесии, запишем уравнения

равновесия для каждого из них:

\\a--5eds = {Р • Ш/ - |Р+-ди+Ш, (1.2)

Ь1 Ьсе

\\a-Seds =|Р- |P-•Su~d/, (1.3)

^ ь2 ьзт.

JJст••Seds = | Р+d/ + | Р '•и d/, (1.4)

5з ЬСР Ьв.р.

где Р+ = + ®22е2, Р =-&21е1 -®22 е2 - вектора напряжений, действующие со стороны слоя 3 на тела 1 и 2 соответственно; С— ,С-2 - граничные

напряжения; и+, и- - вектора перемещения верхней и нижней границы; Ь1, Ь2 -внешние контуры тел 1 и 2 без учета границ со слоем. Торцы слоя считаем свободными от напряжений. При этом постулируется жесткое сцепление между границами слоя с областями 1, 2. Кроме того принимаем, что векторы напряжений на сопряженных границах слоя равны и противоположны векторам напряжений сопряженных границ тела.

Работу внутренних напряжений в слое выразим посредством средних характеристик НДС, полагая е(х1, х2) = е(х1):

Л ст • •Ssds = S0 | а • •Ssdx1 =S01 а • •Ssdx1, (1.5)

где а ,Б - соответственно тензоры средних напряжений и деформаций в слое;

_ 1 0.5^ _ 1 0.5^ _ 1 0.5S0

с21 (х1 ) = — |а21 (х1,х2)dx2 ; а\2(хх) = — ,х2)<ях2 ; а22(хх) = — ,х2^х2;

S0 -0.5S0 S0 -0.5^ S0 -0.5So

_ 1 0.5^

ап (хх ) = — {ап(х1, х2 )dx2. Отметим, что в силу симметрии касательных

S0 -0.5So

напряжений средние касательные напряжения также симметричны:

а 21 (х1) = СТ12 (х1).

Средние деформации и перемещения определяем через их граничные значения следующим образом [11]:

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Глаголев Леонид Вадимович, 2018 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Айрих В.А. К определению напряженного состояния упругопластических тел с трещиной / В.А. Айрих, В.В. Глаголев // Известия Тульского государственного университета. Серия: Естественные науки. - 2014. - №3. - С. 58-70.

2. Астапов И.С. Модель расслоения композита при поперечном сдвиге / И.С. Астапов, Н.С. Астапов, В.М. Корнев // Механика композиционных материалов и конструкций. - 2015. - Т. 21. - №2. - С. 149-161.

3. Аэро Э.Л. Континуальная теория асимметрической упругости. Равновесие изотропного тела / Э.Л. Аэро, Е.В. Кувшинский // ФТТ. - 1964. - Т. 6. - Вып. 9. -С. 2689-2699.

4. Аэро Э.Л. Существенно нелинейная микромеханика среды с изменяемой периодической структурой / Э.Л. Аэро // Успехи мех. 2002. - №3. - С. 13-176.

5. Баренблатт Г.И. Критерии подобия и масштабы для кристаллов / Г.И. Баренблатт, Г.С. Голицын // Физ. мезомех. - 2017. - Т. 20. - № 1. - С. 116-119

6. Белов П.А. Общая теория дефектов сплошных сред / П.А. Белов, С.А. Лурье // Механика композиционных материалов и конструкций. - 2003. - С. 210222.

7. Болотин В.В. Механика многослойных конструкций / В.В. Болотин., Ю.Н. Новичков. - М.: Машиностроение, 1980.

8. Васильев В.В. Новое решение плоской задачи о равновесной трещине / В.В. Васильев, С.А. Лурье // Изв. РАН. МТТ. - 2016. - Т. 51. - № 5. - С. 61-67.

9. Волегов П.С. Поврежденность и разрушение: модели, основанные на физических теориях пластичности / П.С. Волегов, Д.С. Грибов, П.В. Трусов // Физ. мезомех. - 2015. - Т. 18. - № 6. - С. 12-23

10. Волегов П.С. Поврежденность и разрушение: обзор экспериментальных работ / П.С. Волегов, Д.С. Грибов, П.В. Трусов // Физ. мезомех. - 2015. - Т. 18. -№ 3. - С. 11-24

11 . Гаврилкина М.В. К решению одной задачи механики разрушения / М.В. Гаврилкина, В.В. Глаголев, А.А. Маркин // Прикладная механика и техническая

физика. - 2007. - Т. 48. - №4. - С. 121-127.

12. Глаголев В.В. Вариант описания напряженно-деформированного состояния плоскости с полубесконечной трещиной на основе концепции слоя взаимодействия при нормальном отрыве / В.В. Глаголев, Л.В. Глаголев, А.А. Маркин // Известия Саратовского государственного университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. - 2010. - Вып.2.- С.50-58.

13. Глаголев В.В. Модель развития тонкой пластической зоны в окрестности трещины при произвольном нагружении ее берегов / В.В. Глаголев, Л.В. Глаголев, М.В. Девятова, А.А. Маркин // Известия Тульского государственного университета. Серия: Естественные науки. - 2011. - Вып.2. - С.128-141.

14. Глаголев В.В. Модель трещины поперечного сдвига / В.В. Глаголев, М.В. Девятова, А.А. Маркин // Прикладная механика и техническая физика. -2015. - Т. 56. - №4. - С. 182-192.

15. Глаголев В.В. Нахождение предела упругого деформирования в концевой области физического разреза при произвольном нагружении его берегов / В.В. Глаголев, А.А. Маркин // Прикладная механика и техническая физика. -2012. - Т. 53. - №5. - С. 174-183.

16. Глаголев В.В. О распространении тонких пластических зон в окрестности трещины нормального отрыва / В.В. Глаголев, А.А. Маркин // Прикладная механика и техническая физика. - 2009. - Т. 50. - №5. - С. 206-217.

17. Глаголев В.В. Определение параметра структуры в одном модельном представлении трещины / В.В. Глаголев, Л.В. Глаголев, А.А. Маркин // Вестник Чувашского государственного педагогического университета. Серия: Механика предельного состояния. - 2013. - №3(17) - С. 80-88.

18. Глаголев В.В. Определение термомеханических характеристик процесса разделения / В.В. Глаголев, А.А. Маркин // Известия РАН. Механика твердого тела. - 2007. - №6. - С. 101-112.

19. Глаголев В.В. Оценка толщины слоя взаимодействия как универсального параметра материала / В.В. Глаголев, А.А. Маркин // Известия РАН. Механика твердого тела. - 2006. - №5. - С. 177-186.

20. Глаголев В.В. Продольный сдвиг в рамках дискретного подхода к разрушению / В.В. Глаголев, Л.В. Глаголев, Н.Д. Кунашов // Вестник Чувашского государственного педагогического университета. Серия: Механика предельного состояния. - 2012. - №4(14) - С. 17-25.

21. Глаголев Л.В. Вариант нахождения напряженного состояния упругой плоскости, ослабленной физическим разрезом, с парой сил / Л.В. Глаголев // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. Ч.1. -2012. - Вып. 1. - С.58-64.

22. Глаголев Л.В. Вариант определения напряженно-деформированного состояния упругого тела конечных размеров с трещиной / Л.В. Глаголев // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. - 2014. - Вып.2. - С. 122-131.

23. Глаголев Л.В. Моделирование трещиностойкости упругопластических материалов на основе структурного параметра/ Л.В. Глаголев // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. - 2017. - Вып.5. -С.59-67.

24. Гольдштейн Р.В. Моделирование механизма движений в промежуточном слое между контактирующими телами при сдвиге со сжатием / Р.В. Гольдштейн, Н.М. Осипенко // Изв. РАН. МТТ. - 2016. - № 3. - С. 55-70.

25. Гольдштейн Р.В. Разрушение и формирование структуры / Р.В. Гольдштейн, Н.М. Осипенко // ДАН СССР. - 1978. - Т. 240. - № 4. - С. 111-126.

26. Доможиров Л.И. Иерархия трещин в механике циклического разрушения / Л.И. Доможиров, Н.А. Махутов // Изв. РАН. Механика твердого тела. - 1999. - № 5. - С. 17-26.

27. Ентов В.М. К модели хрупкого разрушения Прандтля / В.М. Ентов, Р.Л. Салганик // Изв. АН СССР. МТТ. - 1968. - № 6. - С. 87-99.

28. Ильюшин А.А. Пластичность. Ч.1. / А.А. Ильюшин. Упругопластические деформации. - М.-Л.: ГИТТЛ, 1948. - 376 с.

29. Клевцов Г.В. Микро- и макрозона пластической деформации как критерии предельного состояния материала при разрушении / Г.В. Клевцов, Л.Р.

Ботвина // Проблемы прочности. - 1984. - №4. - С. 24-28.

30. Козлов В.А. Напряженное состояние скошенных некруговых конических тонкостенных конструкций переменной толщины // Материалы VIII Всероссийской конф. по механике деформируемого твердого тела (Чебоксары, 1621 июня 2014 г.) в 2 ч. / Под ред. Н.Ф. Морозова, Б.Г. Миронова, А.В. Манжирова.

- Чебоксары: Чуваш. гос. пед. ун-т, 2014. Ч.1 - С.219-222.

31. Козлов В.А. Теория и расчет упругих оболочек сложной геометрической структуры / В.А. Козлов. - Германия: LAP LAMBERT Academic Publishing, 2014.

- 218 с.

32. Козлов В.А. Решения краевых задач теории оболочек вариационным методом Канторовича-Власова без предварительного задания депланационных координатных функций // Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики: сб. тр. Международной научно-технической конференции (Воронеж, 16-18 декабря 2015 г.) - Воронеж: изд-во «Научно-исследовательские публикации», 2015. - С. 76-78.

33. Корнев В.М. Взаимосвязь параметров sigma-epsilon-диаграммы материалов с процессом разрушения / В.М. Корнев // Физ. мезомеханика. - 2006.

- Т. 9. - № 4. - С. 71-78.

34. Корнев В.М. Построение диаграмм квазихрупкого и квазивязкого разрушения материалов на основе необходимых и достаточных критериев / В.М. Корнев, В.Д. Кургузов // Прикладная механика и техническая физика. - 2013. - Т. 54. - № 1. - С. 179-195.

35. Корнев В.М. Распределение напряжений и раскрытие трещин в зоне предразрушения (подход Нейбера-Новожилова) / В.М. Корнев //Физ. мезомеханика. - 2004. - Т. 7. - № 3. - С. 53-62.

36. Крауч С. Методы граничных элементов в механике твердого тела: Пер. с. англ. / С. Крауч, А. Старфилд. - М.: Мир, 1987. - 328 с.

37. Кургузов В.Д. Экспериментальное и теоретическое исследование потери устойчивости узких тонких пластин на упругом основании при сжатии / В.Д.

Кургузов, А.Г. Демешкин // Прикладная механика и техническая физика. - 2016. -№3. - С.121-128.

38. Лавит И.М. Об устойчивом росте трещины в упругопластическом материале / И.М. Лавит // Проблемы прочности. -1988. - №7. - С.18-23.

39. Лавит И.М. Рост трещины в условиях квазихрупкого разрушения при монотонно возрастающей и циклической нагрузках / И.М. Лавит // Известия РАН. Механика твердого тела. - 2001 - № 2 - С. 109-120.

40. Лавит И.М. Силы сцепления и J-интеграл / И.М. Лавит, Л.А. Толоконников // Изв. Сев.-Кавказского научного центра высш. Школы. Естественные науки. - 1985. - №1. - С. 28-30.

41. Макклинток Ф. Разрушение. Т.3. Пластические аспекты разрушения / Ф. Макклинток - М.: Мир, 1976. - С. 67-262.

42. Макклинток Ф. Деформация и разрушение материалов / Ф. Макклинток, А. Аргон. - М.: Мир, 1970. - 443 с.

43. Маркин А.А. Термомеханика сплошных сред / А.А. Маркин. Учебное пособие. Тула: Изд-во ТулГУ, 2009. - 106 с.

44. Маркин А.А. Процессы упругопластического конечного деформирования / А.А. Маркин, М.Ю. Соколова, Д.В. Христич. Монография. -Тула: Изд-во ТулГУ, 2011. - 374 с

45. Морозов Е.М. Метод конечных элементов в механике разрушения / Е.М. Морозов, Г.П. Никишков. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит-ры, 1980. - 256 с.

46. Морозов Н.Ф. Проблемы механики разрушения твердых тел / Н.Ф. Морозов, Ю.В. Петров. - Спб.: Изд-во С-Петербурского ун-та, 1997. - 132 с.

47. Морозов Н.Ф. Изгиб двуслойной балки с нежестким контактом между слоями / Н.Ф. Морозов, П.Е. Товстик // Прикладная математика и механика. -2011. - Т.75. - №1. - С.112-121.

48. Морозов Н.Ф. Обобщенная модель Тимошенко--Рейсснера для многослойной пластины / Н.Ф. Морозов, П.Е. Товстик, Т.П. Товстик // Изв. РАН. МТТ. - 2016. - №5. - С.22-35.

49. Нейбер Г. Концентрация напряжений / Г. Нейбер. - М.;Л.:ОГИЗ:

Гостехиздат, 1947. - 204 с.

50. Новожилов В.В. О необходимом и достаточном критерии хрупкой прочности / В.В. Новожилов // ПММ. - 1969. -Т. 33 - № 2. - С. 212-222.

51. Оден. Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред / Дж. Оден. - М.: Мир. 1976. - 464 с.

52. Омаров С.Е. Определение материальной константы в задаче о равновесии бесконечной упругой плоскости, ослабленной круговым отверстием / С.Е. Омаров // Изв. РАН. МТТ. - 2009. - Т. 44. - № 5. - С. 144-149.

53. Панин В.Е. Основы физической мезомеханики пластической деформации и разрушения твердых тел как нелинейных иерархически организованных систем / В.Е. Панин, В.Е. Егорушкин // Физ. мезомех. - 2015. - Т. 18. - № 5. - С. 100-113.

54. Панин В.Е. Структурные уровни пластической деформации и разрушения / В.Е. Панин, Ю.В. Гриняев, В.И. Данилов и др. - Новосибирск: Наука, 1990.

55. Партон В.З. Механика упругопластического разрушения / В.З. Партон, Е.М. Морозов. - М.: Наука, 1985. - 502 с.

56. Пеньков В.Б. Итоги и перспективы развития энергетического метода граничных состояний // Проблемы и перспективы развития машиностроения: сборник научных трудов международной научно-технической конференции, посвящённой 60-летию Липецкого государственного технического университета (Липецк, 17-18 ноября 2016 года.) / Под ред. А.М. Корнеева (отв. ред.), А. М. Козлова, О. И. Огаджаняна. -Липецк : Липецкий гос. технический ун-т, 2016. -С. 246-251.

57. Пеньков В.Б. Применение метода граничных состояний для анализа упругой среды с полостями и включениями / В.Б. Пеньков, Л.В. Саталкина, А.С. Шульмин // Прикладная математика и механика. - 2014. - Т. 78. - № 4. - С. 542556.

58. Петров Ю.В. Квантовая аналогия в механике разрушения / Ю.В. Петров // Физика твердого тела. - 1996. - Т. 38. - № 11- С. 3385-3393.

59. Победря Б.Е. Определяющие соотношения моментной теории упругости / Б.Е. Победря, С.Е. Омаров // Вестн. МГУ. Сер. 1. Математика, механика. - 2007.

- № 3. - С. 56-58.

60. Работнов Ю.Н. Сопротивление материалов / Ю.Н. Работнов. - М.: Физматгиз, 1962. - 456 с.

61. Ревуженко А.Ф. Об одном варианте линейной теории упругости со структурным параметром / А.Ф. Ревуженко // ПМТФ. - 2016. - Т. 57. - № 5. - С. 45-52.

62. Рязанцева Е.А., Пеньков В.Б. Специальное решение как инструмент улучшения сходимости методов математической физики / Е.А. Рязанцева, В.Б. Пеньков // Вести высших учебных заведений Черноземья. - 2013. - № 2. - С. 4752.

63. Савин Г.Н. Основы плоской задачи моментной теории упругости / Г.Н. Савин. - Изд-во Киев. ун-та, - 1965. - 162 с.

64. Салганик Р.Л. Модель трещины Прандтля и ее применение для решения задачи механики контактного взаимодействия / Р. Л. Салганик, А.А. Мищенко, А.А. Федотов // К 75-летию со дня рождения профессора Владимира Марковича Ентова. - Ижевск: Институт компьютерных исследований - 2012. - 180 с.

65. Салганик Р.Л. Задача об упругозаделанной пластине, моделирующей частично отслоившееся от подложки покрытие (плоская деформация) / Р.Л. Салганик, К.Б. Устинов // Изв. РАН МТТ. - 2012. - № 4. - С. 50-62.

66. Сапунов В.Т. Основы теории пластичности и ползучести / В.Т. Сапунов.

- М.: МИФИ, 2008. - 220 с.

67. Тимошенко С.П. Пластины и оболочки / С.П Тимошенко, С. Войновский-Кригер. - М.: Наука, 1966.

68. Трусов П.В. Многоуровневые физические модели моно- и поликристаллов. Прямые модели / П. В. Трусов, А. И. Швейкин // Физическая мезомеханика. - 2011. - Т.14. - № 5. - С. 5-30.

69. Трусов П.В. Применение несимметричных мер напряженного и деформированного состояния при построении многоуровневых конститутивных

моделей материалов / П. В. Трусов, Е. С. Нечаева, А. И. Швейкин // Физическая мезомеханика. - 2013. - Т.16. - № 2. - С. 15-31.

70. Трусов П.В. Физические теории пластичности / П.В. Трусов, П.С. Волегов, Н.С. Кондратьев. Учебное пособие. Пермский национальный исследовательский политехнический университет. Пермь: Изд-во ПНИПУ, 2013. - 243 с.

71. Устинов К.Б. Об отслоении слоя от полуплоскости; условия упругой заделки для пластины эквивалентной слою / К.Б. Устинов // Изв. РАН. МТТ. -

2015. - Т. 50 - № 1. - С. 75-95.

72. Устинов К.Б. О расслоении полосы по границе раздела упругих свойств. Ч. 1. Постановка задачи, случай нормального отрыва / К.Б. Устинов // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. - 2015. - № 4. - С. 226-245.

73. Устинов К.Б. О расслоении полосы по границе раздела упругих свойств. Часть 2. Случай сдвиговой трещины / К.Б. Устинов // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. -

2016. - № 2. - С. 131-142.

74. Устинов К.Б. Об отслоении слоя от полуплоскости; условия упругой заделки для пластины эквивалентной слою / К.Б. Устинов // Изв. РАН. МТТ. -2015. - Т. 50 - № 1. - С. 75-95.

75. Хан Х. Теория упругости: Основы линейной теории ее применения / Х. Хан. - М.: Мир, 1988.

76. Черепанов Г.П. Механика хрупкого разрушения / Г.П. Черепанов. - М.: Наука, 1974. 640 с.

77. Яременко А.Ф. Механика материалов и конструкций / А.Ф. Яременко, П.Г. Балдук. - Одесса, 2001. - 254 с.

78. Alblas J.B. On the diffusion of load from a stiffener into an infinite wedgeshaped plate / J.B. Alblas, W.J.J. Kuypers // Appl. Sci. Research, Sec. A. - 19651966. - Vol. 15. - № 1. - P. 429-439.

79. Barenblatt G. The formation of equilibrium cracks during brittle fracture:

general ideas and hypothesis, axially symmetric cracks / G. Barenblatt // Appl Math Mech. - 1959. - Vol. 23: - P. 623-636.

80. Borg R. Simulating DCB, ENF and MMB experiments using shell elements and a cohesive zone model / R. Borg, L. Nilsson, K. Simonsson // Composites Science and Technology. - 2004. - Vol. 64. - № 2. - P. 269-278.

81. Bottega W.J. Structural scale decomposition of energy release rates for delamination propagation / W.J. Bottega // International Journal of Fracture. - 2003. -Vol. 122 - № 1. - P. 89-100.

82. Bruno D. Computation of energy release rate and mode separation in delaminated composite plates by using plate and interface variables / D. Bruno, F. Greco, P. Lonetti // Mechanics of Advanced Materials and Structures. - 2005. - Vol. 12. - № 4. - P. 285-304.

83. Carrol J.D. On the interactions between strain accumulation, microstructure, and fatigue crack behavior / J.D. Carrol, W.Z. Abuzaid, J. Lambros, H. Sehitoglu // Int. J. Fracture. - 2013. - V. 180. - P. 223-241.

84. Davila C.G. Effective simulation of delamination in aeronautical structures using shells and cohesive elements / C.G. Davila, P.P. Camanho, A. Turon // Journal of Aircraft. - 2008. - Vol. 42. - № 2. - P. 663-672.

85. Dugdale D.S. Yielding of steel sheets containing slits / D.S. Dugdale // J Mech Phys Solids. - 1960. - Vol. 8. - P. 100-104.

86. Efendiev Y. Multiscale Finite Element Methods. Theory and Applications. / Y. Efendiev, T.Y. Hou. - Springer, 2009. -242 p.

87. Glaessgen E.H. Nodal constraint, shear deformation and continuity effects related to the modeling of debonding of laminates using plate elements / E.H. Glaessgen, W.T. Riddell, I.S. Raju // Computer Modeling in Engineering and Sciences. - 2002. - Vol. 3. - № 1. - P. 103-116.

88. Glagolev V.V. Stress-Strain State of Elastoplastic Bodies with Crack / V.V. Glagolev, L.V. Glagolev, A.A. Markin // Acta Mechanica Solida Sinica. - Vol. 28 - No. 4 - 2015. - P. 375-383.

89. Glagolev V.V. Stress-Strain State in Elastic Body with Physical Cut / V.V.

Glagolev, A.A. Markin // World Journal of Mechanics. - Vol. 3 - No. 7 - 2013. - P. 299-306.

90. Griffith A.A. The phenomena of rupture and flow in solids. / A.A. Griffith. -Phil Trans Roy Soc London, 1920 - P. 163-198.

91. Griffith A.A. Theory of rupture. / In: Biezeno B, Burgers JM (eds) // Proceedings 1st International Congress for Applied Mechanics. Waltman Uitgevery, Delft, 1924. - P. 55-63.

92. Inglis C.E. Stresses in a plate due to the presence of cracks and sharp corners / C.E. Inglis // Trans Inst Naval Arch. - 1913. - Vol. 60 - P. 219-230.

93. Irwin G.R. Analysis of stresses and strains near the end of a crack traversing a plate / G.R. Irwin // J Appl Mech. - 1957. - Vol.24 -P. 361-364.

94. Irwin G.R. Structural aspects of brittle fracture / G.R. Irwin // Appl Mater Res. - 1964. - Vol. 3 - P. 65-81.

95. Kattan P.I. Damage Mechanics with Finite Elements: Practical Applications with Computer Tools / P.I. Kattan, G.Z. Voyiadjis. - Springer, 2012. - 113 p.

96. Needleman A. Micromechanics of Fracture: Connecting Physics to Engineering / A. Needleman, E. van der Giessen // MRS Bulletin. - 2001. - P. 211-214.

97. Prandtl L. Ein Gedankenmodell zur kinetischen Theorie der festen Körper / L. Prandtl // Z Angew Math Mech. - 1928. -Vol. 8 - P. 85-106.

98. Raju I.S. Convergence of strain energy release rate components for edge-delaminated composite laminates / I.S. Raju, J.J.H. Crews, M.A. Aminpour // Engineering Fracture Mechanics. - 1988. -Vol. 30. - № 3. - P. 383-396.

99. Reuß A. Berücksichtigung der elastischen Formänderung in der Plastizitätstheorie / A. Reuß // Z Angew Math Mech. - 1930. - Vol. 10 - P. 266-274.

100. Samudrala O. Subsonic and intersonic mode II crack propagation with a rate-dependent cohesive zone / O. Samudrala, Y. Huang, A.J. Rosakis // Journal of the Mechanics and Physics of Solids. - 2002. - № 50. - P. 1231-1268.

101. Sheinman I. Energy release rate and stress intensity factors for delaminated composite laminates / I. Sheinman, G. Kardomateas // International Journal of Solids and Structures. - 1997. - Vol. 34 - № 4. - P. 451-459.

102. Silva L.F.M. da. Analytical models of adhesively bonded joints. Part I: Literature survey / L. F. M. da Silva, P. J. C. das Neves, R.D. Adams, J.K. Spelt // Int. J. Adhes. Adhes. - 2009. - Vol. 29. - P. 319-330.

103. Analytical models of adhesively bonded joints. Part II: Comparative study / L. F. M. da Silva, P. J. C. das Neves, R.D. Adams et al. // Int. J. Adhes. Adhes. - 2009.

- Vol. 29. - P. 331-341.

104. Sneddon I.N. The distribution of stress in the neighbourhood of a crack in an elastic solid / I.N. Sneddon. - Proc Roy Soc., 1946 - P. 229-260.

105. The special issue: Cohesive models // Eng. Fract. Mech. - 2003. - Vol. 70. -№ 14. - P. 1741-1987.

106. von Mises R. Die Mechanik der festen Körper im plastisch deformablen Zustand / R von Mises. - Nachr Königl Ges Wiss Göttingen, 1913 - P.582-592.

107. von Mises R. Mechanik der plastischen Formänderung von Metallen / R. von Mises // Z Angew Math Mech. - 1928. - Vol. 8 - P.161-185.

108. Wang J.T. Strain energy release rate formulae for skin-stiffener debond modeled with plate elements / J.T. Wang, I.S. Raju // Engineering Fracture Mechanics.

- 1996. - Vol. 54. - № 2. - P. 211-228.

109. Westergaard H.M. Bearing pressures und cracks / H.M. Westergaard // J Appl Mech. -1939. - Vol. 6 -P .49-53.

110. Williams J.G. On the calculation of energy release rates for cracked laminates / J.G. Williams // International Journal of Fracture. - 1988. - Vol.36 - №2. -P. 101-119.