Численное решение задач динамической механики разрушения для неподвижных трещин тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат наук Малик Александр Васильевич

• Малик Александр Васильевич
• кандидат наук
• 2018

Оглавление диссертации кандидат наук Малик Александр Васильевич

Введение

1. Обзор теоретических исследований по динамической механике разрушения для неподвижных трещин

1.1. Предварительные замечания

1.2. Методы расчета, не использующие сингулярные элементы

1.3. Методы расчета, использующие сингулярные элементы

1.4. Когезионные конечные элементы

2. Метод решения задачи

2.1. Основные соотношения

2.2. Вариационное уравнение

2.3. Метод прямых

2.4. Схема Кранка-Николсон

2.5. Решение краевой задачи

2.6. Изопараметрические конечные элементы

2.7. Когезионные конечные элементы

2.8. Главные граничные условия и силы реакции связей

2.9. Решение системы уравнений

2.10. Вычисление коэффициентов интенсивности напряжений

3. Решения задач для прямоугольных областей

3.1. Предварительные замечания

3.2. Задача Чена

3.3. Другие задачи о полосе с центральной трещиной

3.4. Полоса с краевой трещиной

3.5. Трехточечный изгибный образец

3.6. Эксперименты Кальтхоффа (Kalthoff)

3.7. Эксперименты Кнаусса (Knauss) и Рави-Чандара (Ravi-Chandar)

4. Решения задач для областей со сложным граничным контуром

4.1. Предварительные замечания

4.2. Круговой цилиндр с двумя внешними трещинами

4.3. Круговой цилиндр с двумя внутренними трещинами

4.4. Круговой цилиндр с одной внутренней трещиной

4.5. Некруговой цилиндр с двумя внутренними трещинами

Заключение

Приложение. Анализ выполнения требований сходимости к

изопараметрическим конечным элементам

Литература

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы диссертации

При анализе прочности деталей машин и элементов конструкций аппаратов можно, как правило, считать режим нагружения квазистатическим. Есть, однако, случаи, когда это допущение некорректно. Сюда относятся нерасчетные, часто ударные, режимы нагружения (при этом ставится задача избежать аварии), процессы разрушения горных пород при добыче полезных ископаемых, нагрузки при землетрясениях, пробитие брони и т.п. Математическое моделирование таких процессов и установление критериев прочности намного сложнее, чем для квазистатических аналогов.

Критерий начала квазихрупкого разрушения при квазистатическом нагружении формулируется как условие достижения значения коэффициента интенсивности напряжений (для трещины нормального разрыва) величины вязкости разрушения. Но, как показывают эксперименты, при высокой скорости нагружения невозможно определить значение коэффициента интенсивности напряжений, при достижении которого трещина начинает расти, используя только одну материальную константу, аналогичную вязкости разрушения в квазистатическом случае. Критерий разрушения, справедливый в квазистатических условиях, необходимо обобщить.

К настоящему времени предложено несколько таких обобщенных критериев. Все они включают в себя как составную часть зависимость коэффициента интенсивности напряжений от времени. Ее расчет, за исключением простейших частных случаев, может быть выполнен только численными методами. Эти методы существуют; каждый из них обладает своими достоинствами и недостатками. Можно говорить об эффективности метода, понимая под этим сочетание высокой точности и алгоритмической простоты. Создание более эффективных методов расширяет возможности теоретического исследования динамического разрушения и повышает точность расчетов. Настоящая диссертация посвящена разработке такого

метода и решению им ряда задач, как решенных ранее другими исследователями, так и новых. Такое исследование представляется актуальным.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численное решение задач динамической механики разрушения для неподвижных трещин»

Цель работы

Целью диссертационного исследования является разработка метода расчета зависимости коэффициента интенсивности напряжений для неподвижной трещины нормального разрыва при динамическом нагружении от времени и решение этим методом ряда задач, представляющих теоретический интерес.

На защиту выносятся следующие положения:

• Метод численного решения задач динамической механики разрушения для неподвижных трещин нормального разрыва.

• Решение этим методом ряда задач, имеющих научное и практическое значение.

Научная новизна работы

• Разработан метод решения задач динамической механики разрушения для неподвижных трещин нормального разрыва.

• Метод применен к решению ряда задач, имеющих научное и практическое значение.

Практическая ценность исследования

Разработанный метод позволяет вычислять коэффициент интенсивности напряжений - величину, используемую в анализе прочности методами механики разрушения - при действии динамической, в том числе и взрывной,

нагрузки. Результаты решений конкретных задач могут быть использованы на различных этапах проектирования ряда конструкций.

Достоверность результатов

Достоверность полученных результатов подтверждается корректностью использованных методов исследования, согласованностью решений тестовых задач с решениями других исследователей и экспериментальными данными.

Апробация работы

Результаты исследования обсуждались на Международной научно-технической конференции «Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики» (ВГУ, Воронеж, 2015, 2017 гг.), «IX Всероссийской конференции по механике деформируемого твердого тела» (ВГУ, Воронеж, 2016 г.), 1-ой Всероссийской конференции «Вопросы прикладной математики и проблема взаимодействия твердых тел с жидкой и газовой средой», посвященной 85-летию со дня рождения И.А. Кийко (ИПМех. РАН, Москва, 2017 г.), XIV Всероссийской научно-технической конференции «Техника XXI века глазами молодых ученых и специалистов» (ТулГУ, Тула, 2015 г.), XV Всероссийской научно-технической конференции «Техника XXI века глазами молодых ученых и специалистов» (ТулГУ, Тула, 2016 г.), семинаре по МДТТ им. Л.А. Толоконникова (ТулГУ, Тула, руководитель - проф. А.А. Маркин), ежегодных научно-технических конференциях профессорско-преподавательского состава ТулГУ.

Публикации

Основные результаты диссертации изложены в шести публикациях [108-113], в том числе в двух статьях [109, 111] в журналах, входящих в перечень ВАК.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, четырех разделов, заключения и приложения. Объем работы - 101 страница, включая 47 рисунков и 4 таблицы. Список литературы содержит 113 наименований.

В первом разделе приведен обзор литературы по теме диссертации. Второй раздел - основной раздел диссертации - содержит описание разработанного метода расчета. В третьем разделе излагаются решения различных задач для прямоугольных областей. Особое внимание уделено сопоставлению теории с экспериментом. В четвертом разделе описаны решения задач для областей со сложным граничным контуром.

Нумерация формул, таблиц и графиков дается в пределах раздела. При ссылке на формулу из другого раздела перед ее номером ставится номер раздела. Например, запись (2.3) означает ссылку на формулу (3) из раздела 2.

1. ОБЗОР ТЕОРЕТИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЙ ПО ДИНАМИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ РАЗРУШЕНИЯ ДЛЯ НЕПОДВИЖНЫХ ТРЕЩИН

1.1. Предварительные замечания

Область исследований динамической механики разрушения достаточно широка. Она включает в себя изучение условий старта трещины при динамическом нагружении, исследование распространение трещины, как с постоянной, так и с переменной скоростью, анализ условий ветвления, торможения и остановки трещины. С практической точки зрения наиболее важным является первое направление исследований - изучение условий старта трещины.

Рассмотрим эту проблему более подробно. Пусть тело, содержащее изолированную трещину1, находится в состоянии плоской деформации. Поперечное сечение тела представляет собой область 5, ограниченную контуром I (рис. 1).

Рис. 1. Поперечное сечение тела. 1 - трещина.

1 То есть трещину, не взаимодействующую с другими трещинами.

След пересечения поверхности трещины с плоскостью чертежа - это линия, которая далее везде предполагается отрезком прямой. Этот отрезок, согласно механике разрушения [2], представляет собой математический разрез. Ниже везде его длина называется длиной трещины и обозначается через a .

Сузим область рассмотрения до трещин нормального разрыва (или «нормального отрыва») [2]. Пусть xk, к = 1,2 - система декартовых координат, и пусть трещина лежит на оси абсцисс. Пусть, далее, область S и распределение поверхностных нагрузок p (массовые силы здесь, как и в других аналогичных исследованиях, не учитываются) симметричны относительно оси абсцисс. При этом трещина, изображенная на рис. 1, будет трещиной нормального разрыва.

Предположим далее, что разрушение можно считать квазихрупким [2]. Это значит, что деформации малы и материал является линейно упругим вплоть до разрушения. Будем считать его однородным и изотропным. При этом связь между напряжениями и деформациями выражается законом Гука [1].

В такой постановке задачи поведение трещины характеризуется коэффициентами интенсивности напряжений Kj, K ц и Кш [2]. Для трещины нормального разрыва

Kjj = Кш = 0 (1)

В настоящей диссертации рассматривается случай, когда

a = const (2)

то есть состояние, когда трещина неподвижна.

Задачей механики разрушения является определение такого параметра нагрузки (или сочетания параметров нагрузки, если их несколько), при достижении которого трещина начинает расти. Если нагрузка изменяется настолько быстро, что пренебречь инерционными силами невозможно, задача относится к классу задач, рассматриваемых динамической механикой разрушения. Такой случай рассмотрен в настоящей диссертации.

Постановка и методы решения динамических задач механики разрушения изложены в ряде монографий [2-9]. Условия старта трещины при динамическом нагружении оказываются отличными от условий старта при квазистатическом нагружении. В последнем случае при выполнении неравенства

К1 < Кю (3)

где К1С - вязкость разрушения (критический коэффициент интенсивности напряжений) - экспериментально определяемая материальная константа материала, трещина покоится, в противном случае - начинает расти [2].

Естественным обобщением критерия (3) на динамический случай является условие неподвижности трещины в виде

К1 < Кю (4)

где Кю - динамическая вязкость разрушения. Но, как показывают многочисленные эксперименты [4-6, 8], К ю не является материальной константой. Следовательно, неравенство (4) не годится в качестве критерия старта трещины.

На основе анализа экспериментальных данных Кальтхофф (Kalthoff) [10] предположил существование новой материальной константы -инкубационного времени. Трещина начинает расти только в том случае, если условие ее роста, каким бы оно ни было, выполняется в течение временного интервала, превышающего инкубационное время. Момент старта трещины при этом совпадает с моментом завершения этого интервала.

Количественная формулировка гипотезы Кальтхоффа дана в работах Н.Ф. Морозова и Ю.В. Петрова [8, 11, 12]. Разработанный ими критерий старта трещины, называемый критерием Морозова-Петрова, основан на аналогичном критерии Новожилова [13, 14] для начала роста трещины в условиях квазистатического нагружения.

Критерий Морозова-Петрова записывается в следующем виде [8]. Трещина неподвижна, если выполняется неравенство

1 1

х г-х 0

В противном случае она начинает расти. В неравенстве (5) г - время, аС -статическая прочность бездефектного материала, а22 - напряжение в окрестности кончика трещины (абсцисса х1 отсчитывается от кончика трещины в направлении ее роста), А - структурный размер разрушения [13, 14], х - структурное время разрушения.

Для плоской деформации можно установить связь структурного размера разрушения с вязкостью разрушения К1С и прочностью бездефектного материала аС [15]:

2 К 2

А = ^ (6)

При этом, с использованием известных асимптотических формул для напряжений в окрестности вершины трещины [2], критерий (5) преобразуется к виду [16, 17]

1 '

- \ КI (*) ds < Кю (7)

х г

г-х

В упомянутых работах [8, 11, 12] показано, что структурное время разрушения х можно отождествить с инкубационным временем [10]. Неравенство (7) можно переписать в безразмерной форме

^^<1 (8)

х, К СС

г-х 1С

Записанное в таком виде, оно допускает обобщение

к (*)"'

х :

г-х

К1С

ds < 1 (9)

где а - материальная константа. При а = 1 неравенство (9) переходит в исходное неравенство (8).

Неравенство (9) представляет собой критерий старта трещины, по своей структуре совпадающий с критерием Груздкова-Петрова в динамической теории пластичности [8, 18].

Величину а в формуле (9) можно задать исходя из физических соображений. Известно, что удельная высвобожденная энергия [4] связана с коэффициентом интенсивности напряжений формулой [2, 4]

1 -V

2

G = —— К (10)

Е

где Е - модуль Юнга, V - коэффициент Пуассона. Формула (10) справедлива для условий старта трещины, когда скорость ее роста близка к нулю [4]. Естественно предположить, что определяющим условием начала роста трещины является средняя в течение инкубационного времени величина удельной высвобожденной энергии. При этом очевидно, а = 2.

Возможность использования критерия Морозова-Петрова существует только тогда, когда известна зависимость К1 (t). Для определения этой

зависимости разработаны аналитические и численные методы. Аналитические методы применимы только в случае бесконечной области 5 (рис. 1). Если область 5 конечна, решить задачу определения зависимости К1 (t) возможно только численными методами. Анализ таких методов приведен ниже.

1.2. Методы расчета, не использующие сингулярные элементы

Для численного решения задач механики разрушения обычно используют метод конечных разностей, метод конечных элементов и метод граничных элементов. Так как кончик трещины - особая точка полей напряжений и деформаций [2], то методы решения задачи должны учитывать это обстоятельство.

Однако если ставить целью получение приближенного решения задачи, можно упомянутую специфику задач механики разрушения игнорировать. Но

и при этом возникает проблема: как вычислить коэффициент интенсивности напряжений?

Есть две возможности ее решения. Первая основана на естественном предположении, что при достаточно густой расчетной сетке (конечноэлементной или конечноразностной) на некотором расстоянии от кончика трещины распределение напряжений и перемещений, полученное численно, будет мало отличаться от даваемого известными асимптотическими формулами [2]. Вторая возможность основана на использовании формулы (10). Метод решения задачи при этом включает в себя процедуру определения удельной высвобожденной энергии G.

Различные варианты метода, реализующего первую возможность, предложены и использованы в работе [19] для квазистатических задач механики разрушения. Обобщение этого метода на динамические задачи дано в работах [20, 21] и, в несколько иной форме, в работе [22]. Достоинством метода является его простота, а главным недостатком -неопределенность выбора точек, в которых вычисляются перемещения или напряжения, которые потом сравниваются с асимптотическими формулами.

1 2

Ах

Рис. 2. Конечноэлементная сетка в окрестности кончика трещины.

Гораздо больше исследований основано на методах, реализующих вторую возможность. Здесь также можно выделить два варианта построения методов решения. Первый из них основан на подходе Ирвина [23], в результате

применения которого устанавливается формула (10). В конечноэлементной интерпретации получается следующая схема расчета (рис. 2). Пусть кончик трещины совпадает с узлом 1 конечноэлементной сетки. Его перемещение в вертикальном направлении и20 = 0. Это перемещение ограничивает сила реакции связи R20 < 0 . Пусть теперь кончик трещины переместился из узла 1 в узел 2. В результате узел 1 переместился в вертикальном направлении на величину и2^ > 0, а сила реакции связи исчезла: Я2^ = 0. Так как материал -

линейно упругий, то работа, совершенная в результате продвижения трещины, или, что то же, в результате освобождения узла 1, равна

Здесь учтено, что трещина имеет две кромки. Так как величина АЖ - это работа внутренних сил, то она представляет собой уменьшение потенциальной энергии тела. Согласно Гриффитсу [2], это уменьшение и обусловливает продвижение трещины. Получаем, что

Такой подход к вычислению К1 (с использованием формулы (10)) был впервые реализован (с непринципиальными отличиями) практически одновременно тремя исследовательскими группами [24-26] (обзор этих работ дан в статье [27]).

Вследствие того, что упомянутая сила реакции связи представляет собой интегральный эффект поля напряжений, имеющего особенность, ожидать сколько-нибудь приемлемой точности от этого подхода не приходится. Зато его легко приспособить к решению задач о быстром росте и остановке трещин [28-30].

Второй вариант вычисления левой части равенства (10) заключается в использовании для величины G интегральных представлений. В случае квазистатического приложения нагрузки G представляет собой контурный интеграл, величина которого не зависит от формы контура - так называемый

(11)

(12)

J -интеграл [2, 31-32]. Поэтому J -интеграл можно вычислять и по контуру, значительно удаленному от кончика трещины, и даже по граничному контуру области (рис. 1). Ясно, что при этом требования к точности вычисления напряжений в окрестности кончика трещины могут быть весьма умеренными.

Для динамических задач механики разрушения величина G не сводится к контурному интегралу [4]. Это обусловлено вкладом кинетической энергии в энергетический баланс окрестности кончика трещины [3-5]. Но величина G все-таки представляется интегралами: по некоторому контуру, охватывающему кончик трещины (криволинейный интеграл), и суммируемому с ним двойному интегралу по области, охватываемой этим контуром. Именно этот двойной интеграл служит источником погрешностей вычислений. Тем не менее, исследования в этом направлении проводились [34-36]. Известны различные модификации численных алгоритмов нахождения G (их подробный анализ приведен в работе [37]).

1.3. Методы расчета, использующие сингулярные элементы

Использование сингулярных элементов позволяет радикально повысить точность конечноэлементного решения задачи линейной механики разрушения. Однако, для того чтобы сингулярный элемент не вносил, в свою очередь, погрешность в решение задачи, он должен обеспечивать межэлементную непрерывность перемещений [38]. Такой элемент, моделирующий корневую особенность напряжений в кончике трещины и совместный с четырехугольными изопараметрическими элементами второго порядка [39], был сконструирован и успешно применен Барсоумом (Ва^оит) к решению статических задач [40-42]. Подход Барсоума распространен на метод граничных элементов [43]. В этой работе также рассмотрены только статические задачи.

Конечные элементы Барсоума применены к решению задач динамической механики разрушения в работе [88]. Показано, что их использование позволяет получить достаточно точное решение. Однако подход работы [88] сложен, и поэтому в других исследованиях использовались более простые сингулярные конечные элементы, но несовместные с окружающими их обычными конечными элементами.

Применение несовместных сингулярных конечных элементов в какой-то степени оправдывается тем, что «...несмотря на разрывность перемещений при переходе через границу сингулярных элементов, применение этих элементов характеризуется высокой точностью даже на весьма грубых сетках конечных элементов, а определение коэффициентов интенсивности напряжений по найденному полю перемещений элемента представляет собой даже более простую задачу, чем нахождение напряжений в обычных конечных элементах» [4]. Однако требование межэлементной непрерывности перемещений следует из условий сходимости решения к точному с увеличением числа конечных элементов [39]. Если оно не выполняется, то метод не может считаться математически обоснованным.

Несовместные сингулярные конечные элементы, отличающиеся друг от друга только количеством и расположением узлов, применялись к решению динамических задач механики разрушения различными исследователями [4, 44-47]. В работах [48-50] описан алгоритм вычисления К 1 (г) для

распространяющейся трещины с использованием «движущегося сингулярного элемента», то есть, с использованием частичной перестройки конечноэлементной сетки. В работе [51] сингулярный элемент построен для метода граничных элементов.

Использование сингулярных элементов заметно повышает точность решения задачи по сравнению с другими методами. Но и этот подход не свободен от недостатков. Помимо несовместности с окружающими элементами, о которой говорилось выше, есть еще два.

Первый - это фактическая невозможность обобщения метода на задачи, отличные от динамической задачи для неподвижной трещины в линейно упругом материале. И хотя в работах [48-50] сконструирован движущийся сингулярный элемент, метод расчета получился очень громоздкий и, в силу необходимости перестройки сетки, неточный.

Второй недостаток относится именно к случаю неподвижной трещины, для исследования которой метод прост и удобен. Дело в том, что сингулярное поле напряжений возникает не в начальный момент, а через некоторое время. И в течение этого времени сингулярный элемент вынужденно моделирует то, чего нет. Это, безусловно, является источником погрешности, которую невозможно оценить заранее.

1.4. Когезионные конечные элементы

Несовершенства описанных методов вызвали к жизни иной подход. Известно [52], что наряду с классической моделью трещины Гриффитса, в которой кончик трещины является особой точкой полей напряжений и деформаций, можно использовать модель когезионной трещины Баренблатта [53-56], в которой кромки трещины притягиваются друг к другу. Распределенные усилия этого притяжения называются силами сцепления или когезионными силами.

В теории Баренблатта вводятся несколько условий [53-56], которым должны удовлетворять силы сцепления. Их распределение должно обеспечивать плавность смыкания кромок трещины в ее кончике и тем самым ликвидировать упомянутую особенность полей напряжений и деформаций; область действия сил сцепления (зона сцепления или когезионная зона) должна быть малой по сравнению с размером трещины; при продвижении трещины напряженное состояние окрестности ее кончика остается неизменным.

Как показал Уиллис (Willis) [57], при этом, как в статике, так и в динамике, величина G, рассчитанная по теории Баренблатта, не зависит от

распределения сил сцепления и для нее справедлива формула (10), где KI определяется для модели трещины Гриффитса. В своем анализе Уиллис опирался на исследования Крэггса (Craggs) [58] напряженного состояния плоскости с полубесконечной трещиной, растущей с постоянной скоростью.

Возможна и другая модель когезионной трещины - модель, в которой не накладываются ограничения, определяемые условиями Баренблатта. По существу, это целый класс моделей. Теперь для расчета необходимы конституционные соотношения, связывающие силы сцепления с перемещениями кромок трещины. Обычно для формулировки этих соотношений привлекаются простейшие физические соображения. Но даже и при этом возможны различные варианты. Можно показать [59], что вклад в величину KI обусловлен двумя составляющими

K = KIe + кп (13)

где KIe - составляющая от внешних сил включая силы инерции; Kn -

составляющая от сил сцепления. В теории Баренблатта вводится условие

KI = 0 (14)

В альтернативных теориях оно не вводится, но предполагается, обычно неявно, что левая часть равенства (13) мала. При этом можно, как и в теории Баренблатта, вычислять величину G в формуле (10) как работу сил сцепления, отнесенную к приращению длины трещины.

В динамической механике разрушения первые варианты такой модели предложены Ксу (Xu) и Нидлманом (Needleman) [60], Камачо (Camacho) и Ортизом (Ortiz) [61].

Если процесс роста трещины можно рассматривать как равномерный (steady [5]), удельная высвобожденная энергия (10) выражается через силы сцепления формулой [5, 57]

а

G = 2 J q2d1u2dx1 (15)

a—8

где 5 - длина зоны сцепления (когезионной зоны), q = q2}; q1 = 0 - силы сцепления, приложенные к верхней кромке трещины (к нижней кромке трещины приложены силы - q), и = {щ, и2} - вектор перемещений, д1 = д/дх1

- оператор дифференцирования по х1.

При раскрытии трещины q2 = -q, где q > 0. Допустим, что величина q однозначно определяется раскрытием трещины; иными словами, известна зависимость

q = q (и2) (16)

При этом из выражения (15) следует:

0

С = - 2 | qdu2 = 2 (им - и ) (17)

и2 (5)

где и(и2) - потенциал сил сцепления: q = dU/du2; им - максимальное значение потенциала: им = и[и2 (5)]; и0 = и(0) - начальное значение

потенциала. Поскольку потенциал определяется с точностью до константы, без потери общности можно положить и0 = 0. Если выполняется условие

5 □ а (18)

то форма зависимости (16) не влияет на решение задачи; значение имеет лишь величина им [56, 57]. В исследованиях, где не накладывается ограничение (14), как правило, не выполняется и условие (18). При этом возможно не только количественное, но даже и качественное различие решений для различных функций (16) [62]. Важно то, что зависимость (16) невозможно получить из эксперимента.

Таким образом, небаренблаттовы когезионные модели вынужденно зависят от произвола исследователя. Если этот произвол исключить, получится теория Баренблатта. Тем не менее, эти модели нашли широкое применение ([63-70] и др.). Область их приложения - это, как правило, сложные задачи об искривлении и (или) ветвлении трещин. Для таких задач

можно говорить только о качественном согласовании теории с экспериментом.

Недостатки этих моделей перевешиваются, в глазах многих исследователей, одним достоинством - простотой. Небаренблаттовы когезионные модели позволяют решать задачи динамической механики разрушения намного проще, чем любой из рассмотренных выше методов. И если бы не упомянутые недостатки, необходимости в дальнейших исследованиях в этом направлении не было бы.

Таким образом, небаренблаттовы когезионные модели широко используются, и с их помощью удалось получить немало, пусть весьма приближенных, но интересных результатов. Теперь естественно проанализировать исследования, основанные на модели Баренблатта. Но это невозможно, потому что методы численного решения задач динамической механики разрушения, в которых выполняются соотношения (13-15) и (18), к настоящему времени еще не созданы.

В настоящей диссертации сделана попытка впервые разработать такой метод. Это, безусловно, актуальная задача. Отметим также, что результаты диссертационного исследования обладают научной новизной.

При разработке этого метода естественно идти путем обобщения известных подходов. Модель Баренблатта использовалась ранее для решения квазистатических задач. Так, например, Моес (Moes) и Беличко (Belytschko) [71] разработали вариант метода конечных элементов для решения плоских квазистатических задач линейной механики разрушения. Условие (14) использовалось для определения параметра нагрузки. Величина Кп находилась с помощью соотношения (17) при заданной величине им, а значение К1е вычислялось в результате расчета J -интеграла. Очевидно, что этот метод невозможно модифицировать применительно к динамическим задачам: при учете сил инерции величина G не выражается через инвариантный, то есть не зависящий от формы контура, интеграл. И

действительно, в дальнейших работах Беличко (Belytschko) ([66, 70] и др.) используется небаренблаттова когезионная модель.

Другой численный метод, основанный на модели Баренблатта, представлен в работе [72]. Метод предназначен для решения упругопластических задач механики разрушения. Примеры его применения даны в статьях [72-74]. Суть метода заключается во введении специальных когезионных элементов, в число узловых переменных которых входит, наряду с перемещениями, угол поворота. В кончике трещины этот угол равен нулю, что обеспечивает плавное смыкание кромок трещины и выполнение условия (14). Силы сцепления находятся как реакции связей, реализующих плавное смыкание, после чего коэффициент интенсивности напряжений К 1 (рассматривались только трещины нормального разрыва, для которых К п = К ш = 0) определяется по формулам (15) и (10).

Ясно, что метод не содержит принципиальных ограничений, не позволяющих применить его к задачам динамической механики разрушения. Поэтому он является основой настоящего диссертационного исследования.

Подведем итог обзору. Существует немалое число методов, основанных как на классической модели трещины Гриффитса, так и на моделях, в которых вводятся силы сцепления (когезионных моделях). Когезионные модели позволяют, в принципе, решать все типы задач динамической механики разрушения: задачи о неподвижной трещине, о растущей трещине, о ветвлении и остановке трещин. Все известные когезионные методы решения динамических задач механики разрушения основаны на так называемых небаренблаттовых моделях, построенных без использования постулатов Баренблатта [53-56]. Эти модели содержат в себе источник априорно непредсказуемых погрешностей и могут претендовать лишь на качественное описание явления. Таким образом, становится актуальным построение метода, основанного на модели Баренблатта. Этому и посвящено данное диссертационное исследование. Такой метод естественно разрабатывать как обобщение аналогичного метода,

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Малик Александр Васильевич, 2018 год

ЛИТЕРАТУРА

Х.Тимошенко, С.П. Теория упругости / С.П. Тимошенко, Дж. Гудьер -

М.: Наука, 1975. 576 с. 2. Черепанов, Г.П. Механика хрупкого разрушения / Г.П. Черепанов - М.:

Наука, 1974. 640 с. 3..Партон, В.З. Динамическая механика разрушения / В.З. Партон, В.Г. Борисковский - М.: Машиностроение, 1985. 264 с.

4.Партон, В.З. Динамика хрупкого разрушения / В.З. Партон, В.Г. Борисковский - М.: Машиностроение, 1988. 240 с.

5.Freund, L.B. Dynamic fracture mechanics / L.B. Freund.: Cambridge univesity press, 1998. 563 p.

6.Ravi-Chandar, K. Dynamic fracture / K. Ravi-Chandar.: Oxford: Elsevier, 2004. 254 p.

7Broberg, K.B. Cracks and fracture / K.B. Broberg.: Cambridge: Academic press, 1999. 752 p.

8 Морозов, Н.Ф. Проблемы динамики разрушения твердых тел / Н.Ф. Морозов, Ю.В. Петров - С.-Пб: Издательство С.-Петербургского университета, 1997. 129 с.

9.Слепян, Л.И. Механика трещин / Л.И. Слепян - Л: Судостроение, 1990. 296 с.

10.Kalthoff, J.F. Fracture behavior under high rates of loading / J.F. Kalthoff // Eng. Fract. Mech. 1986. V. 23. N. 1. P. 289-298.

11Морозов, Н. Ф. О структурно-временном описании скоростной зависимости динамической вязкости разрушения хрупких материалов / Н.Ф. Морозов, Ю.В. Петров // Изв. РАН. МТТ. 1993. № 6. С. 100104.

12.Petrov, Y. V. On the modeling of fracture of brittle solids / Y.V. Petrov, N.F. Morozov // J. Appl. Mech. 1994. V. 61. P. 710-712.

13.Новожилов, В.В. О необходимом и достаточном критерии хрупкой прочности / В.В. Новожилов // ПММ. 1969. Т. 33. С. 212-222.

14.Новожилов, В.В. К основам теории равновесных трещин в упругих телах / В.В. Новожилов // ПММ. 1969. Т. 33. С. 797-802.

15 Морозов, Н.Ф. Математические вопросы теории трещин / Н.Ф. Морозов - М.: Наука, 1984. 255 с.

16.Bratov, V.A. Application of incubation time approach to simulate dynamic crack propagation / V.A. Bratov, Y. V. Petrov // Int. J. Fract. 2007. V. 146. P. 53-60.

17..Братов, В.А. Численные модели динамики разрушения / В.А. Братов // Выч. механика сплошных сред. 2009. Т. 2. № 3. С. 5-16.

18.Груздков, А.А. О едином критерии текучести металлов при медленном и высокоскоростном нагружении / А.А Груздков, Ю.В. Петров // Труды Первой всесоюзной конференции «Технологические проблемы прочности несущих конструкций». Запорожье. 1991. Т. 1. Ч. 2. С. 287293.

19.Chan, S.K. On the finite element method in linear fracture mechanics / S.K. Chan, I.S. Tuba, W.K. Wilson // Eng. Fract. Mech. 1970. V. 2. P. 1-17.

20.Chen, Y.M. Numerical computation of dynamic stress intensity factors by a lagrangian finite-difference method (the HEMP code) / Y.M. Chen // Eng. Fract. Mech. 1975. V. 7. P. 653-660.

21.Chen, Y.M. Stress analysis of crack problem with a three-dimensional, time-dependent computer program / Y.M. Chen, M.L. Wilkins // Int. J. Fract. 1976. V. 12. P. 607-617.

22..Lin, X. Re-consideration of Chen's problem by finite difference method / X. Lin, J. Ballman // Eng. Fract. Mech. 1993. V. 44. P. 735-739.

23.Качанов, Л.М. Основы механики разрушения / Л.М. Качанов - М.: Наука, 1974. 312 с.

24 Malluck, J.F. Fast fracture simulated by finite-element analysis which accounts for crack-tip energy dissipation / J.F. Malluck, W.W. King //

Numerical Methods in Fracture Mechanics. Swansea: Univ. College, 1978. P. 648-659.

25.Rydholm, G. Numerical investigations of rapid crack propagation / G. Rydholm, B. Fredriksson, F. Nilsson // Numerical Methods in Fracture Mechanics. Swansea: Univ. College, 1978. P. 660-672.

26.Kobayashi, A.S. A numerical dynamic fracture analysis of three wedge-loaded DCB specimens / A.S. Kobayashi, S. Mall, Y. Urabe, A.F. Emery // Numerical Methods in Fracture Mechanics. Swansea: Univ. College, 1978. P. 673-684.

27.Нисиока, Т. Вычислительные методы в динамике разрушения / Т. Нисиока, С. Атлури // Вычислительные методы в механике разрушения. М.: Мир, 1990. С. 267-321.

28.Brickstad, B. Numerical evaluation by FEM of crack propagation experiments / B. Brickstad, F. Nilsson // Int. J. Fract. 1980. V. 16. N. 1. P. 71-84.

29.Brickstad, B. A FEM analysis of crack arrest experiments / B. Brickstad // Int. J. Fract. 1983. V. 21. P. 177-194.

30.Stylianou, V. Finite volume analysis of dynamic fracture phenomena. I. A node release methodology / V. Stylianou, A. Ivankovic // Int. J. Fract. 2002. V. 113. P. 107-123.

31.Rice, J.R. A path independent integral and the approximate analysis of strain concentration by notches and cracks / J.R. Rice // J. Appl. Mech. 1968. V. 35. P. 379-386 [Рус. пер.: Тр. Амер. о-ва инж.-мех. Сер. Е. Прикл. мех., 1968].

32.Райс, Дж. Математические методы в механике разрушения / Дж. Райс // Разрушение. Т. 2. М.: Мир, 1975. С. 204-235.

33. Черепанов, Г.П. О распространении трещин в сплошной среде / Г.П. Черепанов // ПММ. 1967. Т. 31. С. 476-488.

34.Nishioka, T. A path-independent integral and moving isoparametric elements for dynamic crack propagation / T. Nishioka, S.N. Atluri // AIAA Journal. 1984. V. 22. P. 409-414.

35.Nishioka, T. On the computation of mixed-mode K-factors for a dynamically propagating crack, using path-independent integral J'k / T. Nishioka, S.N. Atluri // Eng. Fract. Mech. 1984. V. 20. P. 193-208.

36.Nakamura, T. Computational methods based on an energy integral in dynamic fracture / T. Nakamura, C.F. Shih, L.B. Freund // Int. J. Fract. 1985. V. 27. P. 229-243.

37.Атлури, С. Применение в механике разрушения энергетических методов и интегралов, не зависящих от пути интегрирования / С. Атлури // Вычислительные методы в механике разрушения. М.: Мир, 1990. С. 129-179.

38Морозов, Е.М. Метод конечных элементов в механике разрушения / Е.М. Морозов, Г.П. Никишков. - М.: Наука, 1980. 256 с.

39.Зенкевич, О. Метод конечных элементов в технике / О. Зенкевич. - М.: Мир, 1975. 521 с.

40.Barsoum, R.S. Application of quadratic isoparametric finite elements in linear fracture / R.S. Barsoum // Int. J. Fract. 1974. V. 10. N. 4. P. 603-605.

41.Barsoum, R.S. Applicarion of triangular quarter-point elements as crack tip elements of power law hardening material / R.S. Barsoum // Int. J. Fract. 1976. V. 12. N. 3. P. 463-466.

42.Barsoum, R.S. On the use of isoparametric finite elements in linear fracture mechanics / R.S. Barsoum // Int. J. Numer. Meth. Eng. 1976. V. 10. P. 2537.

43.Gray, L.J. Improved quarter-point crack tip element / L.J. Gray, A.-V. Phan, G.H. Paulino, T. Kaplan // Eng. Fract. Mech. 2003. V. 70. P. 269283.

44.King, W. W. Toward a singular element for propagating cracks / W.W. King, J.F. Malluck // Int. J. Fract. 1978. V. 14. P. R7-R11.

45.Aoki, S. Elastodynamic analysis of crack by finite element method using singular element / S. Aoki, K. Kishimoto, H. Kondo, M. Sakata // Int. J. Fract. 1978. V. 14. N. 1. P. 59-68.

46.Kishimoto, K. Computer simulation of fast crack propagation in brittle material / K. Kishimoto, S. Aoki, M. Sakata // Int. J. Fract. 1980. V. 16. N. 1. P. 3-13.

47.Boriskovsky, V.G. On the dynamic stress intensity factors in finite cracked bodies under harmonic loading / V.G. Boriskovsky, E.M. Dashevsky, L.D. Denisov, KZ. Parton // Eng. Fract. Mech. 1982. V. 16. N. 4. P. 459-465.

48.Nishioka, T. Numerical modeling of dynamic crack propagation in finite bodies, by moving singular elements. Part 1: Formulation / T. Nishioka, S.N. Atluri // J. Appl. Mech. 1980. V. 47. P. 570-576.

49.Nishioka, T. Numerical modeling of dynamic crack propagation in finite bodies, by moving singular elements. Part 2: Results / T. Nishioka, S.N. Atluri // J. Appl. Mech. 1980. V. 47. P. 577-582.

50.Nishioka, T. Finite element simulation of fast fracture in steel DCB specimen / T. Nishioka, S.N. Atluri // Eng. Fract. Mech. 1982. V. 16. N. 2. P. 157-175.

51.Fedelinski, P. The dual boundary element method: J -integral for dynamic stress intensity factors / P. Fedelinski, M.H. Aliabadi, D.P. Rooke // Int. J. Fract. 1994. V. 65. P. 369-381.

52. Фрёнд, Л. Динамическое распространение трещины в твердых телах / Л. Фрёнд // Вычислительные методы в механике разрушения. М.: Мир, 1990. С. 83-128.

53.Баренблатт, Г.И. О равновесных трещинах, образующихся при хрупком разрушении. Общие представления и гипотезы. Осесимметричные трещины / Г.И. Баренблатт // ПММ. 1959. Т. 23. Вып. 3. С. 434-444.

54.Баренблатт, Г.И. О равновесных трещинах, образующихся при хрупком разрушении. Прямолинейные трещины в плоских

пластинках / Г.И. Баренблатт // ПММ. 1959. Т. 23. Вып. 4. С. 706721.

55.Баренблатт, Г.И. О равновесных трещинах, образующихся при хрупком разрушении. Устойчивость изолированных трещин. Связь с энергетическими теориями / Г.И. Баренблатт // ПММ. 1959. Т. 23. Вып. 5. С. 893-900.

56.Баренблатт, Г.И. Математическая теория равновесных трещин, образующихся при хрупком разрушении / Г.И. Баренблатт // Журн. прикл. мех-ки и техн. физики. 1961. № 4. С. 3-56.

57. Willis, J.R. A comparison of the fracture criteria of Griffith and Barenblatt / J.R. Willis // J. Mech. Phys. Solids. 1967. V. 15. P. 151-162.

58.Craggs, J.W. On the propagations of a crack in an elastic-brittle material / J.W. Craggs // J. Mech. Phys. Solids. 1960. V. 8. P. 66-75.

59..Перельмутер, М.Н. Критерий роста трещин со связями в концевой области / М.Н. Перельмутер // ПММ. 2007. Т. 71. Вып. 1. С. 152-171.

60.Xu, X.-P. Numerical simulations of fast crack growth in brittle solids / X.-P. Xu, A. Needleman // J. Mech. Phys. Solids. 1994. V. 42. N. 9. P. 13971434.

61.Camacho, G.T. Computational modelling of impact damage in brittle materials / G.T. Camacho, M. Ortiz // Int. J. Sol. Struct. 1996. V. 33. N. 20-22. P. 2899-2938.

62.Falk, M.L. A critical evaluation of cohesive zone models of dynamic fracture / M.L. Falk, A. Needleman, J.R. Rice // J. Phys. IV France. 2001. V. 11. P. 543-550.

63.de Borst, R. Numeical aspects of cohesive-zone models / R. de Borst // Eng. Fract. Mech. 2003. V. 70. P. 1743-1757.

64.de Borst, R. Mesh-independent discrete numerical representations of cohesive-zone models / R. de Borst, J.J.C. Remmers, A. Needleman // Eng. Fract. Mech. 2006. V. 73. P. 160-177.

65.Elices, M. The cohesive zone model: advantages, limitations and challenges / M. Elices, G. V. Guinea, J. Gomez, J. Planas // Eng. Fract. Mech. 2002. V. 69. P. 137-163.

66.Jeong-Hoon, S. A comparative study on finite element methods for dynamic fracture / S. Jeong-Hoon, Vang Hongwu, T. Belytschko // Comput. Mech. 2008. V. 42. P. 239-250.

67.Rabczuk, T. Computational methods for fracture in brittle and quasi-brittle solids: state-of-the art review and future perspectives / T. Rabczuk // ISRN Applied Mathematics. 2013. Art. ID 849231. 38 p.

68.Fenghua, Z. A rate-dependent cohesive model for simulating dynamic crack propagation in brittle materials / Z. Fenghua, J.-F. Molinari, T. Shioya // Eng. Fract. Mech. 2005. V. 72. P. 1383-1410.

69.Bardenhagen, S.G. Simulation of dynamic fracture with the material point method using a mixed J-integral and cohesive law approoch / S.G. Bardenhagen, J.A. Nairn, Lu Hongbing // Int. J. Fract. 2011. V. 170. P. 4966.

70.Menouillard, T. Time dependent crack tip enrichment for dynamic crack / T. Menouillard, Song Jeong-Hoon, Duan Qinglin, T. Belytschko // Int. J. Fract. 2010. V. 162. P. 33-49.

71.Moes, N. Extended finite element method for cohesive crack growth / N. Moes, T. Belytschko // Eng. Fract. Mech. 2002. V. 69. P. 813-833.

72.Лавит, И.М. Об устойчивом росте трещины в упругопластическом материале / И.М. Лавит // Проблемы прочности. 1988. № 7. С. 18-23.

73..Лавит, И.М. Термоупругопластическая задача механики разрушения для полого цилиндра с внутренними трещинами / И.М. Лавит, Л.А. Толоконников // Прикл. проблемы прочн. и пластичности. Методы решения. Горький: Изд-во Горьковского у-та. 1990. С. 55-60. 74..Лавит, И.М. Малоцикловая усталость полых цилиндров, нагруженных внутренним давлением / И.М. Лавит, Л.А.

Толоконников // Изв. ТулГУ. Проблемы специального машиностроения. 1997. Вып. 1. С. 124-128. 75..Курант, Р. Методы математической физики. Т.2 / Р. Курант, Д. Гильберт - М.: Гостехиздат, 1951. 620 с.

76.Михлин, С.Г. Вариационные методы в математической физике / С.Г. Михлин - М.: Наука, 1970. 512 с.

77.Флетчер, К. Численные методы на основе метода Галеркина / К. Флетчер - М.: Наука, 1988. 352 с.

78.Лурье, А.И. Аналитическая механика / А.И. Лурье - М.: ГИФМЛ, 1961. 824 с.

79.Стренг, Г. Теория метода конечных элементов / Г. Стренг, Дж. Фикс

- М.: Мир, 1977. 349 с.

80.Ладыженская, О.А. Краевые задачи математической физики / О.А. Ладыженская - М.: Наука, 1973. 408 с.

81.Михлин, С.Г. Прямые методы в математической физике / С.Г. Михлин

- М.: ГИТТЛ, 1950. 428 с.

82Михлин, С.Г. Приближенные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений / С.Г. Михлин, Х.Л. Смолицкий - М.: Наука, 1965. 384 с.

83.Рихтмайер, Р.Д. Разностные методы решения краевых задач / Р.Д. Рихтмайер, К. Мортон - М.: Мир, 1972. 418 с.

84.Курант, Р. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т.2 / Р. Курант - М.: Наука, 1970. 672 с.

85.Бахвалов, Н.С. Численные методы / Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков - М.: Бином, 2003. 630 с.

86.Бреббия, К. Методы граничных элементов / К. Бреббия, Ж. Теллес, Л. Вроубел - М.: Мир, 1987. 524 с.

87. Уилкинсон. Справочник алгоритмов на языке АЛГОЛ. Линейная алгебра / Уилкинсон, Райнш - М.: Машиностроение, 1976. 390 с.

88.Murti, V. The use of quarter point element in dynamic crack analysis / V. Murti, S. Valliappan // Eng. Fract. Mech. 1986. V. 23. P. 585-614.

89.Справочник по коэффициентам интенсивности напряжений. Т. 1 / Под ред. Ю. Мураками - М.: Мир, 1990. 448 с.

90.Israil, A.S.M. Dynamic fracture mechanics studies by time-domain BEM / A.S.M. Israil, G.F. Dargush // Eng. Fract. Mech. 1991. V. 39. P. 315-328.

91. Wen, P.H. Application of the weight function method to two-dimensional elastodynamic fracture mechanics / P.H. Wen, M.H. Aliabadi, D.P. Rooke // Int. J. Fract. 1996. V. 76. P. 193-206.

92. Wen, P.H. A contour integral method for dynamic stress intensity factors / P.H. Wen, M.H. Aliabadi, D.P. Rooke // Theor. Appl. Fract. Mech. 1997. V. 27. P. 29-41.

93.Krukova, N.V. The finite-element method in linear fracture mechanics problems / N.V. Krukova, I.M. Lavit // Proceedings of 3rd European Conference on Computational Mechanics, June 5-8, 2006. Lisbon: ECCM, CD-ROM Proc. 2006.

94.Лавит, И.М. Конечноэлементный метод решения задач линейной механики разрушения / И.М. Лавит, Н.В. Сибирцева // Изв. ТулГУ. Актуальные вопросы механики. 2006. Вып. 2. С. 96-102.

95.Hao Huang. On the use of space-time finite elements in the solution of elasto-dynamic fracture problems / Hao Huang, F. Costanzo // Int. J. Fract. 2004. V. 127. P. 119-146.

96.Sladek, J. A boundary integral equation method for dynamic crack problems / J. Sladek, V. Sladek // Eng. Fract. Mech. 1987. V. 27. P. 269277.

97Хеллан, К. Введение в механику разрушения / К. Хеллан - М.: Мир, 1988. 364 с.

98.Petroski, H.J. Construction of a dynamic weight function from a finite-element solution for a cracked beam / H.J. Petroski, J.L. Glazik, J.D. Achenbach // J. Appl. Mech. 1980. V. 47. P. 51-56.

99. Krishnaswamy, S. On the extent of dominance of asymptotic elastodynamic crack-tip fields: part I - an experimental study using bifocal caustics / S. Krishnaswamy, A.J. Rosakis // J. Appl. Mech. 1991. V. 58. P. 87-94.

100.Krishnaswamy, S. On the extent of dominance of asymptotic elastodynamic crack-tip fields: part II - numerical investigation of three-dimensional and transient effects / S. Krishnaswamy, A.J. Rosakis, G. Ravichandran // J. Appl. Mech. 1991. V. 58. P. 94-103.

101.Kalthoff, J.F. On the measurement of dynamic fracture toughnesses - a review of recent work / J.F. Kalthoff // Int. J. Fract. 1985. V. 27. P. 277298.

102.ASTM standard E 399-90. Test method for plain-strain fracture toughness of metallic materials.

103.Ravi-Chandar, K. Dynamic crack-tip stresses under stress wave loading -a comparison of theory and experiment / K. Ravi-Chandar, W. G. Knauss // Int. J. Fract. 1982. V. 20. P. 209-222.

104.Ravi-Chandar, K. An experimental investigation into dynamic fracture: I. Crack initiation and arrest / K. Ravi-Chandar, W. G. Knauss // Int. J. Fract. 1984. V. 25. P. 247-262.

105.Ma, C.C. The extent of the stress intensity factor field during crack growth under dynamic loading conditions / C.C. Ma, L.B. Freund // J. Appl. Mech. 1986. V. 53. P. 303-310.

106.Ma, C.C. Analysis of the caustic method for the transient stress field of stationary cracks / C.C. Ma // J. Appl. Mech. 1991. V. 58. P. 591-593.

107.Chen, E.P. On the effect of pulse loads on dynamic rock fracture / E.P. Chen // Theor. and Appl. Fract. Mech. 1984. V. 1. P. 217-223.

108.Малик, А.В. Об ударном нагружении с тела трещиной / А.В. Малик, И.М. Лавит // Материалы международной научно-технической

конференции «Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики». Воронеж. 2015. С. 85-88

109.Малик, А.В. О динамическом нагружении тела с трещиной в условиях плоской деформации / А.В. Малик, Л.А. Белая, И.М. Лавит // Фундаментальные и прикладные проблемы техники и технологии. 2016. № 1 (315). С. 3-10.3

110.Малик, А.В. Динамическое нагружение полосы с центральной трещиной / А.В. Малик, И.М. Лавит // Сборник трудов IX Всероссийской конференции по механике деформируемого твердого тела. Воронеж. 2016. С. 27-31.

111..Малик, А.В. Ударное нагружение полосы с центральной трещиной / А.В. Малик, И.Э. Рязанцева, И.М. Лавит // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. 2017. № 2. С. 125-135.

112.Малик, А.В. Решение задач динамической механики разрушения с использованием когезионных конечных элементов / А.В. Малик, И.М. Лавит // Сборник трудов Всероссийской конференции «Вопросы прикладной математики и проблема взаимодействия твердых тел с жидкой и газовой средой». Москва. 2017. С. 171-179.

113. Малик, А.В. Динамическое нагружение полого цилиндра, ослабленного трещинами / А.В. Малик, И.М. Лавит // Материалы международной научно-технической конференции «Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики». Воронеж. 2017. С. 1147-1153.

3 Жирным шрифтом выделены публикации диссертанта в изданиях, входящих в Перечень ВАК.