Численное моделирование процессов разрушения твердых тел со структурой тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, доктор физико-математических наук Кургузов, Владимир Дмитриевич

• Кургузов, Владимир Дмитриевич
• доктор физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Кургузов, Владимир Дмитриевич

Введение

Глава 1. Численное решение динамических и статических задач механики разрушения.

§ 1. Схемы решения двумерных динамических задач теории упругости на основе нескольких аппроксимаций

§ 2. Моделирование неотражающих условий при численном решении задач теории упругости

§ 3. Решение плоских задач упругости на основе конечных элементов с независимой аппроксимацией смещений.

§ 4. Итерационное решение плоских задач упругости методом самоуравновешенных невязок

Глава 2. Численное моделирование процессов разрушения структурно-неоднородных сред

§ 5. Безмоментная модель упругопластического деформирования и предельного состояния тонких прослоек

§ 6. Волны смещений и локализация деформаций при растяжении полосы с упругопластическими прослойками

§ 7. Безмоментная модель упругопластического деформирования и ползучести тонких прослоек

Глава 3. Дискретно-интегральные критерии прочности

§ 8. Численное моделирование нелинейного деформирования и потери устойчивости атомных решеток

§ 9. Необходимый дискретно-интегральный критерий прочности для сложного напряженного состояния

§ 10. Достаточный дискретно-интегральный критерий прочности при отрыве

§ 11. Многопараметрический достаточный критерий квазихрупкой прочности для сложного напряженного состояния

§ 12. Моделирование краевой дислокации и оценка ядра дислокации для плотноупакованного слоя атомов

Глава 4. Разрушение тел с трещинами и угловыми вырезами для материалов с иерархией регулярных структур.

§ 13. Определение коэффициента интенсивности напряжений в упругих задачах с трещиной

§ 14. Напряженно-деформированное состояние массива горных пород, ослабленного квадратной выработкой

§ 15. Модификация критерия разрушения Нейбера-Новожилова для угловых вырезов

§ 16. Определение критического обобщенного коэффициента интенсивности напряжений при трехточечном изгибе призматического образца с угловым вырезом

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численное моделирование процессов разрушения твердых тел со структурой»

В современной технике возрастает значение проблем прочности. Это объясняется увеличением сложности технических изделий, необходимостью повышения качества, эффективности, надежности и долговечности. Проектирование и эксплуатация новой техники невозможно без всестороннего анализа прочности и надежности ее элементов. Для обеспечения заданного ресурса безопасной работы конструкции необходимо знать причины возникновения разрушения материала и конструкции в целом, а также характер развития процесса в зависимости от заданных условий внешнего воздействия, рабочей среды и структуры материала. Поэтому проблема разрушения является основной проблемой учения о сопротивлении материалов внешним воздействиям.

Направление науки о прочности, которое связано с исследованием несущей способности конструкции с учетом начального распределения повреждений и с изучением закономерностей зарождения и развития трещин, получило название механики разрушения. Создание механики разрушения явилось одним из величайших достижений ученых-механиков и материаловедов за последние 60 лет. Достигнутое понимание основных механизмов разрушения, а также внедрение контроля поврежденности в методологию технического проектирования оказало большое влияние на экономический аспект проблемы разрушения конструкций.

Появление трещин в конструкциях и их разрушение, которое происходило при средних расчетных напряжениях ниже предела текучести, показали необходимость дополнить классические методы расчета на прочность дополнительными условиями, которые учитывают развитие трещин, и новыми характеристиками материала, описывающими стадию разрушения.

Впервые задача о критическом состоянии тела с трещиной была решена Гриффитсом [229] с позиций общего энергетического баланса исследуемого объекта. Затем Вестергаард [260] и Снеддон [252] аналитически описали распределение напряжений у вершины трещины в упругом теле. Основываясь на этих результатах, Ирвин [236] предложил в качестве критических величин использовать коэффициенты интенсивности напряжений. Силовой критерий локального разрушения Ирвина состоит в сравнении рассчитанных значений коэффициентов интенсивности напряжений с их критическими значениями. Также Ирвин показал эквивалентность силового критерия разрушения и энергетического подхода Гриффитса в условиях упругой работы материала.

Крупным достижением механики разрушения явилась концепция квазихрупкого разрушения, впервые сформулированная Ирвином [235] и Оро-ваном [244]. Начиная с работ Гриффитса, Орована, Ирвина развитие теории прочности твердых тел пошло по пути изучения процесса разрушения — распространения трещин в твердых телах. При исследовании этого процесса классические подходы в рамках моделей механики сплошной среды оказались непригодными. Гриффите, Орован, Ирвин первыми сформулировали новые критерии прочности, вводя при этом такие характеристики материалов, которые являются определенными инвариантами в моделях механики сплошной среды. Эта теория получила название линейной механики разрушения. Линейная механика разрушения изучает состояние тел с трещинами в предположении, что материал сохраняет свойство линейной упругости вплоть до разрушения во всем объеме тела, за исключением, быть может, небольшой окрестности вершины трещины.

Линейная механика разрушения, созданная Ирвином и Орованом как обобщение теории Гриффитса на случай разрушения металлов, дала импульс для проведения огромного числа работ как теоретических, так и прикладного характера. Она была применена не только для исследования уже разрушившихся конструкций с целью выявить закономерности разрушения, но и интенсивно использовалась для определения скорости роста и усталостных трещин и устойчивого роста трещин коррозионного происхождения. Подробный анализ различных аспектов проблемы разрушения и широкий обзор литературы содержится в работах [156, 203, 209, 171, 181, 51, 196, 25].

Зарождение и рост трещин в элементах конструкций происходит в сложном неоднородном поле напряжений. Поэтому первой и главной задачей при исследовании механизма разрушения конструкции является детальное изучение поля напряжений в окрестности вершины трещины. Анализ напряженного состояния можно провести с помощью трех принципиально различных подходов: аналитическое решение, численный расчет и экспериментальное исследование. Каждое направление имеет известные достоинства и недостатки. Очевидно, что наиболее надежные результаты можно получить при совместном использовании этих методов.

Из приведенного обзора литературы и анализа состояния вопроса о концентрации напряжений в окрестности вершины трещины можно заключить, что к настоящему времени хорошо изученными в теоретической постановке и в смысле получения решений, удобных для практических инженерных расчетов, оказались лишь вопросы о концентрации напряжений в условиях упругости применительно к областям относительно простой формы. Для многосвязных областей, ограниченных линиями сложного очертания, особенно при наличии угловых точек и усложненных граничных условий, использование аналитических методов становится проблематичным. Даже численные методы при традиционных способах их применения оказываются малоэффективными [122].

Еще более трудную проблему представляет исследование поля напряжений в области пластических, упругопластических деформаций и в условиях ползучести. Точные теоретические решения получены для ограниченного числа случаев. Немногочисленны также и приближенные решения. Большинство этих решений выявляет лишь величину напряжений на контуре концентратора или по опасному сечению, оставляя открытым вопрос о напряженном состоянии по всей окрестности источника концентрации, что весьма существенно для оценки несущей способности элементов конструкций.

Для ряда случаев распределение напряжений в зоне концентрации применительно к реальным элементам конструкции в условиях упругих и упругопластических деформаций исследовано экспериментальным путем. Однако в связи со сложностью экспериментов, многообразием форм образцов и условий их нагружен ия не удается охватить необходимую для исследований область и сделать достаточно широкие обобщения. Поэтому в последние годы в практике научных исследований и инженерных расчетов в области прочности все чаще прибегают к использованию приближенных численных методов решения задач теории упругости и пластичности.

Численные методы, целесообразность использования которых была замечена уже давно, приобретают особенное значение в настоящее время. С одной стороны, это связано с повышением требований к надежности современных инженерных конструкций, расчет которых должен базироваться на новейших представлениях о поведении материала в различных условиях нагружения. При этом должна быть обеспечена высокая точность расчета. С другой стороны, появление мощных компьютеров привело к переоценке эффективности приближенных методов, связанных со значительными объемами вычислительных операций, что в прошлом ограничивало их применение.

Существенно, что при инженерных расчетах на прочность, как правило, не требуется абсолютная точность. Более того, она обычно лишена смысла, поскольку используемые в расчетах исходные данные о свойствах материала, спектре действующих нагрузок, режимах температуры и т. п. не являются точными величинами. Ясно, что в расчетах должны выдерживаться приближения, учитывающие степень точности исходных данных, и требования, предъявляемые к конечной точности прочностных расчетов соответствующих конструкций. Все это говорит в пользу численных методов расчета.

Цель диссертации — численное моделирование явления разрушения материалов и конструкций. В диссертации сочетаются как континуальный (механика деформируемого твердого тела), так и дискретный (физика твердого тела) подходы к проблеме разрушения. Численный расчет основывается на аналитических решениях и дополняется экспериментальными исследованиями.

В первой главе рассматриваются численные методы механики твердого деформируемого тела, которые в последующих главах применяются для решения задач механики разрушения.

Подробный обзор и анализ различных подходов к решению задач динамической теории упругости и пластичности можно найти, например, в работах [13, 112,114,113, 147]. Существующие методы решения задач динамики деформируемых твердых тел достаточно условно можно представить в виде трех направлений [114]:

• метод конечных элементов;

• характеристические и сеточно-характеристические методы;

• сеточные или конечно-разностные методы.

Следует сказать, что все три подхода не противопоставляются и их взаимное проникновение все более заметно в последнее время.

Под методом конечных элементов понимают подход, основанный на дискретизации расчетной области и формировании конечных соотношений между искомыми величинами (действующими в узлах силами и их перемещениями) на основе законов механики в вариационной форме, минуя стадию формулировки краевых задач для систем дифференциальных уравнений. Такой подход дает определенные преимущества при описании процесса деформирования тел со сложной геометрией. Метод надежно зарекомендовал себя для решения статических задач и интенсивно используется при исследовании нестационарных процессов в деформируемых твердых телах. Среди отечественных работ этого направления отметим работы [6, 14, 21, 22, 24, 87, 106, 125, 184, 185, 207].

Как сочетание и обобщение методов конечных элементов и вариационно-разностных можно упомянуть дискретно-вариационный метод [109, 110], разработанный для исследования нестационарных процессов в слоистых и композиционных средах. Конечно-элементный подход активно развивается за рубежом. В качестве примера здесь можно указать работы [19, 57, 217, 218, 216, 219, 266].

Детальному изложению, подробному обзору и анализу характеристических и сеточно-характеристических методов посвящена монография [124]. Эти подходы основаны на записи системы дифференциальных уравнений в характеристической форме с последующей их конечно-разностной аппроксимацией. Различают прямой и обратный характеристический метод [123].

Прямой метод состоит в следующем. В начальный момент времени в среде выбирается некоторая сетка, в узлах сетки выстраиваются характеристические поверхности и с помощью соотношений на них определяется решение на некотором удалении от начального момента времени. В случае, когда характеристические поверхности существенно зависят от решения, реализация метода достаточно сложна (определенные трудности вызывает и неединственность характеристической формы системы в многомерном случае) — решение получается в точках, нерегулярно распределенных по пространству и на разном расстоянии от начального момента времени. Однако для решения задач динамики упругих материалов с малыми деформациями, когда скорости распространения возмущений в среде постоянны, метод представляет собой процедуру пересчета решения на один и тот же слой по времени и при этом сохраняет начальную регулярность выбранной сетки. При решении многомерных задач характеристический метод позволяет максимально сблизить области зависимости разностной задачи и исходной системы дифференциальных уравнений. В то же время даже для одномерных линейных задач в случае, когда из узла сетки выходят несколько поверхностей с постоянными, но различными скоростями, требуется интерполяция построенного решения, что расширяет область зависимости разностной задачи и в итоге снижает точность решения.

В обратном характеристическом методе решение для всей области вычисляется в точках, отвечающих одному и тому же шагу по времени. При этом используется конечно-разностная аппроксимация соотношений на характеристических плоскостях, касательных к характеристическим конусам, выходящим из этой точки на предыдущий (нижний) слой по времени. Метод требует интерполирования на предыдущем слое, при этом расширяется область зависимости разностной задачи. В некоторых работах [124, 123] метод называется сеточно-характеристическим.

Описанный подход допускает большое многообразие модификаций, основанных и на различной интерполяции, и на различном выборе шаблона. В результате могут получаться как схемы первого порядка аппроксимации, так и методы второго порядка [77, 111, 173, 182, 186, 207]. Иногда рассматриваются полухарактеристические схемы, которые получаются в результате записи в характеристической форме системы уравнений меньшей размерности, после предварительной конечно-разностной аппроксимации по одной из пространственных переменных.

Среди работ, посвященных применению сеточно-характеристических методов для решения динамических задач деформирования упругих и упру-гопластических тел, можно указать следующие [78, 80, 79, 172].

Сеточные методы решения нестационарных задач механики деформируемого твердого тела основаны на аппроксимации гиперболической системы дифференциальных уравнений, описывающей движение среды, краевых и начальных условий для нее. В настоящее время это наиболее разработанный и часто используемый способ численного интегрирования задачи. Как правило, алгоритм представляет собой пересчет известного решения с нижнего слоя по времени (начиная с известных начальных условий) на следующий — верхний слой. Однако известны и многослойные методы, когда в вычислении решения на некотором шаге участвуют несколько предыдущих слоев.

В зависимости от того, дает ли процедура такого вычисления непосредственно значения искомых величин на верхнем слое или же для их определения необходимо решать систему перевязанных между собой уравнений, различают явные и неявные схемы. Одним из основных вопросов при выборе разностной схемы решения задачи является вопрос о целесообразности использования явных и неявных схем с точки зрения их точности и экономичности.

В пользу применения неявных схем при решении динамических задач говорит тот факт, что в большинстве своем неявные схемы абсолютно устойчивы, что, в принципе, позволяет вести интегрирование с большим шагом по времени. Кроме того, им может быть отдано предпочтение при решении задач с сильной неоднородностью рассчитываемого процесса, так как использование в этом случае явных схем связано с большим различием величины шага интегрирования в разных точках области, что приводит к необходимости использования малого шага по времени. Несомненно, неявные схемы более экономичны и при вычислении гладких решений.

Однако, как отмечается в [114], при расчете волновых процессов с большими градиентами, на шаг по времени все равно возникают ограничения, вызванные соображениями не устойчивости, а точности, которые не позволяют выбирать его достаточно крупным. В то же время, использование неявных схем с шагами интегрирования, сравнимыми с допускаемыми явными схемами, менее экономично ввиду дополнительных сложностей реализации неявных схем.

Среди используемых неявных разностных схем наибольшее применение получили схемы расщепления [10, 55, 129, 175, 189, 190] и схемы, основанные на методе дробных шагов [45, 46, 48, 81, 82, 83, 84, 85, 130, 213]. Примеры решенных с использованием этих схем задач содержатся в работах [29, 27, 28]. Достаточно эффективными оказываются подходы, допускающие использование комбинированных схем, в частности схем явных в одном направлении и неявных в другом.

Для численного решения двумерных задач динамической теории упругости Г. В. Иванов предложил использовать несколько локальных аппроксимаций неизвестных функций полиномами Лежандра [59, 63]. В отличие от классических конечно-элементных подходов процедура нескольких аппроксимаций для каждой из искомых функций дает возможность сформировать достаточную для обеспечения монотонности численного решения искусственную диссипацию с одновременным расщеплением многомерной задачи на ряд независимых одномерных задач по пространственным направлениям. Содержащиеся в одномерных задачах параметры — константы диссипации — позволяют регулировать в получаемых схемах величину искусственной вязкости. При этом процедура решения каждой из этих одномерных задач является независимой и может быть как явной, так и неявной.

При частном выборе констант диссипации, для случая регулярных сеток, получающаяся явная схема полностью совпадает со схемой С. К. Годунова [42]. В то же время, одно из преимуществ подхода состоит в возможности построения схем, обладающих лучшими диссипативными свойствами по сравнению с методом распада разрыва. Существенно, что при этом не происходит увеличение числа арифметических операций, т. е. помимо улучшения диссипативных характеристик возрастает экономичность схемы.

В первых двух параграфах первой главы диссертации подход Г. В. Иванова, основанный на нескольких локальных аппроксимациях каждой из неизвестных функций, применяется к построению эффективных численных алгоритмов интегрирования двумерных задач динамической теории упругости и моделированию на их основе процессов разрушения твердых тел.

В § 1 на основе нескольких локальных аппроксимаций неизвестных функций линейными полиномами строится схема решения плоской двумерной динамической задачи теории упругости. Алгоритм основывается на расщеплении полной задачи на четыре независимые одномерные, причем каждая из этих одномерных задач содержит максимальный набор констант диссипации. При этом алгоритм приобретает достаточно большой произвол, распорядиться которым можно так, что без дополнительных вычислительных затрат удается добиться более высокой точности при сохранении таких положительных качеств, как монотонность, диссипативность и т. д. Исследована диссипативность, а следовательно, и устойчивость в энергетической норме построенной схемы. Показано, что при лучших диссипа-тивных характеристиках и без увеличения вычислительных затрат, шаг интегрирования по времени в предложенном алгоритме может быть увеличен в л/2 раз по сравнению со схемой распада разрыва. Излагается процедура моделирования процессов хрупкого разрушения. При моделировании процесса хрупкого разрушения в рамках построенных алгоритмов предполагается, что разрушение происходит по границам элементов при достижении нормальными или касательными напряжениями предельных значений. Приводится решение задачи о хрупком разрушении однородного и слоистого колец.

В § 2 рассматриваются два универсальных способа построения неотражающих условий на искусственных границах при численном решении двумерных задач динамики по явным схемам: 1) моделирование, основанное на аналогии с точными условиями для одномерных задач; 2) использование пространственных и пространственно-временных экстраполяций. При решении задач для бесконечных, полубесконечных или протяженных областей возникает необходимость ограничить вычисления в конечной области, поэтому возникает вопрос формулировки граничных условий на границе этой области — так называемых неотражающих условий, обеспечивающих отсутствие всякого влияния на решение извне.

В § 3 подход, основанный на аппроксимации неизвестных функций несколькими полиномами, применяется к решению статических задач теории упругости. Процедура нескольких аппроксимаций напряжений и смещений позволяет строить четырехугольный конечный элемент, для которого условия сопряжения формулируются в виде условий непрерывности усилий и смещений на его гранях. В задачах с сингулярными особенностями в напряженных состояниях применение таких элементов оказывается намного эффективнее, чем использование традиционных конечных элементов. Эти элементы не содержат сингулярных точек, поскольку они содержат только величины, осредненные по граням, и поэтому являются естественными регуляризаторами в задачах с особенностями в напряжениях.

В § 4 рассматривается итерационное решение статических задач механики деформируемого твердого тела методом самоуравновешенных невязок. Каждая итерация начинается с некоторого приближения, которое не удовлетворяет решаемой системе уравнений. Возникающие в уравнениях невязки в статических задачах можно интерпретировать как сосредоточенные силы и моменты, приложенные в узлах конечноэлементной сетки. Целью итерационного процесса является устранение этих сосредоточенных сил и моментов или сведение их в соответствии с некоторым критерием к минимальным значениям. В статических задачах механики деформируемого твердого тела каждая итерация релаксационного метода приводит, как правило, к уменьшению значения положительно определенного квадратичного функционала, что обеспечивает сходимость итераций.

Вторая глава диссертации посвящена численному моделированию процессов разрушения структурно-неоднородных сред.

Основная проблема механики деформируемого твердого тела состоит в установлении связи между внешним воздействием, изменением исходной структуры среды и возникающими вследствие этого механическими полями.

В процессе исследования этой общей проблемы предложены различные модели, описывающие отдельные аспекты поведения деформируемого твердого тела. Каждая конкретная модель характеризуется определенным способом задания состояния системы (упругость, пластичность, вязкоупру-гость и т. д.). Естественно, что выбор модели, отвечающей данному физическому явлению, может быть оправдан только сравнением с экспериментом.

Наиболее интересными с точки зрения механики твердого тела являются модели реальных сред с дефектами. В одной из конкретных моделей (континуальная механика дефектов) сделана попытка описания таких сред. Исходным состоянием данной модели предполагается идеальное упругое тело, задаваемое вектором поля смещений, называемая линейным кристаллом [194, 208, 69].

Присутствие дефектов (дислокаций) приводит к нарушению линейности и, как следствие, к разрушению исходного состояния. Теперь состояние системы характеризуется тензором дисторсии (шесть компонент упругой деформации е и три компоненты вектора поворота ш). Следовательно, появление дислокаций неизбежно приводит к реализации вращательных степеней свободы. Разрывность вектора поворота вызывает появление коллективных или ротационных мод деформации. В континуальной механике дефектов рассматриваются три приведенных выше состояния, из которых каждое последующее является обобщением предыдущего [205, 52].

В работах школы академика В. Е. Панина развивается синергетиче-ский подход, рассматривающий деформируемое твердое тело как открытую сильнонеравновесную систему, а пластическое течение — как диссипативный процесс, снижающий уровень напряжений кристалла [170, 161, 169, 163, 164, 157, 158, 165, 162]. В соответствии с этим подходом пластическая деформация твердых тел может протекать только в условиях неоднородного напряженного состояния. Пластический сдвиг зарождается в зонах концентраторов напряжений как локальная потеря устойчивости атомной решетки и проявляется как локальное структурное превращение. Это структурное превращение может распространяться только в поле концентратора напряжений как сугубо релаксационный процесс. Основные концентраторы напряжений возникают на границах раздела и в различного рода зонах стесненной деформации. Их стохастическое распределение в твердом теле определяет так называемую распределенную систему. Взаимодействие релаксационных потоков в распределенной системе обусловливает волновой характер пластического течения твердого тела. При этом особенно существенно, что процесс пластического течения протекает одновременно или последовательно на различных структурных уровнях, масштаб которых определяется геометрией образца и размерами структурных неоднородно-стей, характерных для каждой стадии деформирования, а известные изменения дефектной структуры, сопровождающие пластическую деформацию, — не только следствие протекания процесса, но и причина перехода от одного уровня к другому.

Эти представления получили убедительное теоретическое и экспериментальное подтверждение [167, 168, 159], и в настоящее время волновой характер пластического течения твердых тел не вызывает сомнений.

В условиях кристаллографической направленности сдвига сохранение сплошности материала требует одновременного участия в скольжении не менее пяти систем плоскостей [174]. Однако результаты многочисленных экспериментальных исследований приводят к заключению, что в реальных условиях такая схема не реализуется: число действующих систем, как правило, меньше пяти, а во многих случаях скольжение происходит преимущественно по одной — трем системам скольжения, сопровождаясь эффектами поворота элементов структуры материала [183, 163, 166, 159]. Поворотные моды деформации в настоящее время являются объектами тщательного исследования.

Обнаружено, что повороты структурных элементов деформации наблюдаются с самого начала пластического течения [170]. Теоретическое и экспериментальное изучение этих эффектов привело к формулировке концепции структурных уровней деформации твердых тел [163]. Согласно этой концепции, при заданных граничных условиях любые пластические сдвиги в пределах определенного структурного элемента деформации вследствие их неизотропности обусловливают появление материального поворота, который вызывает действие на структурный элемент деформации со стороны окружения поля поворотных моментов. Как следствие, возникают поворотные моды деформации, вовлекающие в движение всю иерархию структурных уровней деформации материала. Это кардинально меняет механику пластического формоизменения и разрушения твердого тела. Учет данного обстоятельства позволил успешно описать кривые пластического течения в различных условиях нагружения.

Физика волнового характера пластического течения связана с особенностями вовлечения в деформацию множественного скольжения. Ведущим механизмом деформации является первичное скольжение под действием максимальных касательных напряжений, которое всегда порождает первичный материальный поворот. Все остальные механизмы деформации являются аккомодационными поворотными модами, обеспечивающими релаксацию поля поворотных моментов, действующих на структурный элемент деформации со стороны окружающего материала. Аккомодационные механизмы деформации осуществляются вторичными потоками дефектов и могут обусловливать как материальный поворот структурного элемента деформации (множественное скольжение), так и кристаллографический (зернограничное скольжение, миграция границ зерен, фрагментация и др.). Учитывая, что множественное скольжение зарождается только на границах раздела, включая боковую поверхность образца, корректное описание пластической деформации твердого тела может быть проведено только с учетом границ раздела и зависящих от времени релаксационных потоков деформационных дефектов.

Численное моделирование процессов разрушения структурно-неоднородных сред во второй главе диссертации основывается на представлении сплошной среды в виде жестких блоков, соединенных упругопластически-ми прослойками. Блоки могут смещаться и поворачиваться как твердое целое, прослойки же могут деформироваться упругопластически.

В § 5 формулируется модель плоской деформации прослоек, имеющая целью моделирование всего процесса упругопластического деформирования прослоек от момента возникновения пластических деформаций до достижения предельного состояния при комбинированном действии нагрузок растяжения (сжатия), сдвига и изгиба прослоек в общем случае, когда прослойка может быть криволинейной, а толщина ее переменной. Используется представление прослойки в виде слоя четырехугольных элементов. Строятся уравнения, определяющие зависимость усилий на гранях элементов от средних скоростей граней.

В § 6 излагаются результаты численного моделирования волн смещений и локализации деформаций при растяжении полосы из жестких недефор-мируемых блоков с упругопластическими прослойками.

В § 7 рассматривается плоская деформация тонких прослоек между жесткими блоками в случае, когда наряду с упругопластическим деформированием прослойки происходит ее вязкое деформирование (ползучесть). Проводится сопоставление построенной модели с моделью установившейся ползучести прослоек, предложенной JI. М. Качановым, и с моделью упру-гопластического деформирования прослоек без ползучести.

Исследование прочности материалов предполагает определение тех условий, при которых материал утрачивает способность противостоять внешнему нагружению и разрушается (разделяется на отдельные части). В рамках классического подхода к проблеме прочности принято, что разрушение происходит тогда, когда определенная комбинация, включающая в себя напряжения, деформации, температуру и некоторые другие параметры, характеризующие состояние материала и его конкретные свойства, достигает критического значения. Таким образом, в пространстве всех возможных значений указанных параметров существует замкнутая предельная поверхность, которая ограничивает область допустимых (с точки зрения прочности) состояний материала [171, 209].

Обычно окончательному разрушению материала, т. е. разделению его на части, предшествуют глубокие изменения в его структуре на макро-, мезо- и микроуровнях. Накопление этих необратимых изменений на различных стадиях деформирования можно отразить, если в уравнение предельной поверхности дополнительно ввести параметры, характеризующие поврежденность материала. В этом случае при помощи критерия прочности можно описать любое промежуточное состояние материала от начала появления пластических деформаций до полного разрушения и таким образом определить работоспособность конструкции.

Наличие в реальном теле остроконечных концентраторов напряжений, в частности дефектов типа трещин, принципиально усложняет его расчет на прочность. В таких случаях классические подходы механики сплошной среды приводят к некорректным результатам. Суть в том, что условие теоретической прочности недостижимо в практических задачах, а критерий Гриффитса-Ирвина успешно «работает» при расчетах трещин, но приводит к несообразностям в случае угловых вырезов и включений, удлиненных гладких дефектов и т. д. [150].

Необходимость корректировки классических критериев прочности особенно четко видна при одновременном растяжении и сдвиге упругой плоскости, ослабленной лункой, близкой к прямолинейной трещине [137]. В случае трещины характеристические числа для растяжения и сдвига совпадают, в случае лунки они не равны друг другу. В связи с этим, применяя критерий Ирвина, во втором случае получим несообразность.

Определенный прогресс в проблеме выбора критерия разрушения связан с подходом В. В. Новожилова, который в [148] предложил осреднять напряжения в пределах межатомных расстояний и сравнивать их с теоретической прочностью материала на разрыв. Проверено, что оценка Новожилова, взятая в качестве критерия разрушения, снимает ряд противоречий теории Грифитса-Ирвина и совпадает с ней в простейших случаях [136]. Недостаток критерия Новожилова — в неоднозначности интервала осреднения, поэтому наиболее успешно его можно применять в сравнительных оценках для разной геометрии вырезов в изделиях из одного материала.

В связи с широким внедрением расчетов на прочность и трещиностой-кость в современной технике особую актуальность приобрела проблема разработки достаточно простого критерия хрупкого разрушения. Введенный Новожиловым критерий решает поставленную проблему, однако ряд аспектов остаются невыясненными прежде всего из-за «белых пятен» на межатомном (дискретном) уровне, например, в задаче об угловом вырезе на границе двух сред.

Определенные надежды на решение указанных проблем исследователи связывают с дискретным подходом. Достаточно указать на работы М. Я. Леонова [120], В. В. Панасюка [155, 153], Н. Ф. Морозова [131, 132, 134, 135], Г. Зорского [58], JI. И. Слепяна [197], С. А. Назарова [141]. Дискретные модели, особенно в задачах разрушения, позволили обнаружить ряд эффектов, не улавливаемых континуальными моделями, кроме того, дискретные модели представляются привлекательными в силу моделирования реальной атомной структуры.

В третьей главе диссертации на основе объединения континуального и дискретного подходов формулируются необходимый и достаточный критерии хрупкой и квазихрупкой прочности, причем теоретическая прочность монокристалла определяется из решении задачи о деформировании атомных ячеек. Если рассматривать твердые тела со структурой от микроуровня, соответствующего характерному линейному размеру кристаллической решетки, до макроуровня — размер образца, то методы исследования, опирающиеся только на подходы механики сплошной среды обречены на неудачу, поэтому в механике разрушения необходимо применять такие методы исследования, которые не входили бы в противоречие с общепринятыми взглядами физики и химии твердого тела. По мнению автора наиболее плодотворный подход к решению поставленных задач связан с идеями работ В. В. Новожилова [148, 150, 151], вероятно среди гибридных моделей механики разрушения критерии В. В. Новожилова наиболее перспективны.

В § 8 хорошо развитая техника численного решения нелинейных задач механики деформируемого твердого тела методом конечных элементов применяется к решению нелинейных задач по деформированию атомных решеток, характер деформирования которых близок к характеру деформирования стержневой конструкции. Предлагается конечный элемент атомной пары, матрицы и векторы которого близки к соответствующим матрицам и векторам стержневого элемента. При построении системы алгебраических уравнений для атомной решетки ошибки дискретизации не вводятся, в отличие от построения аналогичной системы в задачах механики сплошной среды. Кроме того, для атомных пар используются потенциальные законы взаимодействия атомов. Поэтому использование метода Ньютона приводит к итерационному процессу, сходящемуся (если этот процесс сходится) к точному решению нелинейной задачи по деформированию атомной решетки.

В § 9 рассматривается плотноупакованный слой атомов, имеющий макротрещину и вакансии. Моделируется поведение атомной структуры в окрестности вершины трещины. Изучается потеря устойчивости трехатомной ячейки в плотноупакованном слое атомов при сложном напряженном состоянии. Выявлена существенная зависимость критических нагрузок потери устойчивости трехатомной ячейки от закрепления одного из атомов этой ячейки (схема закрепления определяется наличием или отсутствием вакансий в окрестности вершины трещины). Кривая теоретической прочности для сложного напряженного состояния определена из решения задачи о деформировании и потери устойчивости трехатомной ячейки. Эта кривая для простейшего случая напоминает огибающую кругов Мора для разных напряженных состояний. Обнаружена угловая точка, соответствующая бифуркации решений, из которой возможны два пути закритическо-го деформирования трехатомной ячейки. Проведено сравнение полученных численных значений теоретических прочностей с существующими экспериментальными наблюдениями и с теоретическими оценками. Предложен дискретно-интегральный критерий прочности для сложного напряженно-деформированного состояния. В отличие от классических критериев предложенный критерий допускает предельный переход по параметру длина трещины и описывает как прочность трещиноватых тел, так и прочность тел без трещин. Предложенный критерий описывает хрупкое и квазихрупкое разрушения и частично описывает пластическое разрушение.

В § 10 изучается потеря устойчивости и закритическое деформирование трехатомной ячейки в плотноупакованном слое атомов при растяжении. Вводится в рассмотрение достаточный дискретно-интегральный критерий прочности для трещин нормального отрыва, когда поля напряжений имеют сингулярную составляющую. При формулировке достаточного критерия в соответствии с гибридной моделью В. В. Новожилова используется новый класс решений, который отличается от решений, применяемых при формулировке классического достаточного критерия прочности. Предложенный достаточный критерий допускает предельный переход к необходимому критерию, когда в пределе можно пренебречь энергетическими характеристиками закритического деформирования ячейки. Если потеря устойчивости трехатомной ячейки связывается с теоретической прочностью на разрыв, то полная информация о закритическом деформировании этой ячейки позволяет получить после процедуры аппроксимации критическое раскрытие трещин нормального отрыва.

В § 11 моделируется поведение атомной структуры в окрестности вершины трещины. Изучается потеря устойчивости и закритическое деформирование трехатомных и четырехатомных ячеек при обобщенном растяжении. Предложен трехпараметрический достаточный дискретно-интегральный критерий прочности для для сложного напряженного состояния, когда поля напряжений имеют сингулярную составляющую, а вектора полей напряжений и деформаций коллинеарны. Величины критических нагрузок, полученные в соответствии с достаточным критерием, существенно отличаются от полученных в соответствии с необходимым критерием, что позволяет описать эффект Ребиндера.

В § 12 проводится численное моделирование краевой дислокации Френ-келя-Конторовой и Пайерлса. Получена оценка узких ядер дислокаций для плотноупакованного слоя атомов, выявлена дискретная структура ядра дислокации в моделях Френкеля-Конторовой и Пайерлса. Введено новое понятие о ядре дислокации, которое хорошо согласуется с представлениями механики деформируемого твердого тела: вне ядра дислокации напряжения не превосходят локальную теоретическую прочность атомной решетки на сдвиг. Эта оценка ядра дислокации отличается от общепринятой (в физике твердого тела) оценки по смещениям в ядре дислокации.

Четвертая глава диссертации посвящена описанию процесса разрушения тел с трещинами и угловыми вырезами. Рассматриваются острые трещины и вырезы в твердых телах, материал которых имеет иерархию структур от микроуровня до макроуровня. Цель четвертой главы — получить прочностные характеристик твердых тел с макродефектами в виде острых трещин и угловых вырезов. Для сред с иерархией структур, каждая из которых может содержать некоторые микродефекты, используются ранее полученные и доработанные многомасштабные необходимые и достаточные критерии прочности, которые не противоречат современным представлениям физики твердого тела. Особое внимание уделяется установлению связи между критическим коэффициентом интенсивности напряжений (механика сплошных сред) для деформируемого твердого тела со структурой и теоретической прочностью (физика твердого тела) структурированных сред. Напомним, что понятие коэффициента интенсивности напряжений используется только для трещин (разрезов). При построении необходимых и достаточных критериев разрушения при хрупком и квазихрупком деформировании материалов со структурой используются идеи работ Г. Нейбера [143] и В. В. Новожилова [148].

Во всем мире наблюдается повышенный интерес к многомасштабному конструированию материалов [256, 243, 255] (весь номер цитируемого журнала Science посвящен этому вопросу). На международных конференциях все больше внимания уделяется моделированию процессов разрушения в материалах со структурой, многомасштабным моделям, объединяющим две и более техники моделирования, так как некоторые особенности поведения реальных материалов при разрушении можно описать, только принимая во внимание иерархию структур. Чаще всего применительно к разрушению речь идет о макроразрушении, мезоразрушении и микроразрушении. Макроразрушение, как правило, обсуждают исследователи, когда используются подходы механики сплошной среды. Сложные процессы, возникающие при микроразрушении, обсуждаются, например, при описании эффекта Ребиндера [96]. Большое внимание влиянию разных масштабов, особенно на мезоуровне, уделяют в школе академика В. Е. Панина, что помогает описать некоторые процессы разрушения. Однако отсутствуют работы, в которых используются сразу несколько критериев разрушения от макро- до микроуровня.

В § 13 излагается метод аддитивного выделения особенности, позволяющий определять коэффициент интенсивности напряжений в упругих задачах с трещиной. Рассматривается плоская деформация прямоугольного образца с краевой трещиной. Находится аналитическое решение вспомогательной задачи о растяжении плоскости с прямолинейным разрезом методами теории функций комплексного переменного путем сведения к задаче сопряжения Римана-Гильберта. Напряжения, найденные из решения вспомогательной задачи, добавляются с противоположным знаком к граничным условиям исходной задачи. Методом конечных разностей численно интегрируется система уравнений плоской теории упругости в напряжениях. Организуется итерационный процесс по коэффициенту интенсивности напряжений с использованием интеграла Райса-Черепанова, который берется по контуру, достаточно далеко удаленному от носика трещины. Предложенный метод не требует измельчения сетки в окрестности носика трещины, так как бесконечные значения напряжений и большие градиенты напряжений выделены с помощью вспомогательного точного решения.

В § 14 методом конечных элементов исследуется напряженно-деформированное состояние в окрестности горизонтальной выработки квадратного поперечного сечения в массиве горных пород. Задачи определения напряженно-деформированного состояния в окрестности клиновидного надреза являются типичными в механике горных пород. При определении горного давления около выработок необходимо принимать во внимание поле напряжений нетронутого массива, которое линейно увеличивается с глубиной. Рассматривается задача определения напряженно-деформированного состояния в окрестности выработки, имеющей острые углы. Для расчета напряженно-деформированного состояния используется четырехугольный шестнадцатиузловой конечный элемент с кубической аппроксимацией смещений. Применение таких элементов позволяет повысить точность определения напряжений в окрестности угловых точек, когда поле напряжений имеет интегрируемую особенность. Получено распределение главных напряжений в окрестности угловой точки, где поле напряжений имеет интегрируемую особенность. Обнаружено появление на кровле выработки растягивающих напряжений, которые нередко вызывают нарушение сплошности пород, поскольку последние плохо сопротивляются растяжению.

В § 15 изучается разрушение при растяжении и сдвиге в окрестности вершины углового выреза, для описания которого предлагается использовать критерий разрушения типа Нейбера-Новожилова. Поля напряжений в окрестности углового выреза состоят из регулярной и сингулярной составляющих, причем коэффициент сингулярности зависит от угла раскрытия выреза. В монокристаллах этот угол определяется характеристиками кристаллической решетки. Этот коэффициент сингулярности только в пределе совпадает с коэффициентом сингулярности поля напряжений для трещины, когда угловой вырез в окрестности вершины переходит в двухсторонний разрез (трещину). В предложенном критерии пределы осреднения напряжений на оси выреза зависят от наличия, размера и положения дефектов исходного материала. Величина этих осредненных напряжений не должна превосходить теоретическую прочность исходной структуры. В качестве характерного линейного размера выбран параметр кристаллической решетки исходного материала. Для угловых вырезов при растяжении и сдвиге получены простые соотношения, связывающие коэффициенты интенсивности напряжений при модифицированных показателях сингулярности, сами показатели сингулярности и теоретические прочности на растяжение и сдвиг монокристалла материала с учетом поврежденности материала в окрестности вершины. В полученных соотношениях возможен предельный переход по углу от углового выреза к трещине. Показано, что классический критический коэффициент интенсивности напряжений, используемый при оценке прочности тел с трещинами, не является константой материала.

В § 16 представлены результаты экспериментов по определению критического обобщенного коэффициента интенсивности напряжений при трехточечном изгибе призматического образца с угловым вырезом, которые обнаруживают возрастание разрушающей нагрузки с увеличением угла выреза. Другими словами, разрушающая нагрузка увеличивается с уменьшением массы конструкции, в противоположность тому, что наблюдается в пластичности. Для объяснения такого поведения используется дискретно-интегральный критерий хрупкого разрушения типа Нейбера-Новожилова. Теоретические предсказания и экспериментальные результаты, по-видимому, согласуются удовлетворительно.

Основные результаты диссертации изложены в работах [31, 63, 115, 35, 36, 37, 5, 38, 39, 40, 64, 65, 66, 9, 67, 118, 237, 98, 99, 101, 100, 61, 116, 53, 23, 238, 240, 144, 145, 146, 4, 117].

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Кургузов, Владимир Дмитриевич

ВЫВОДЫ

1. Предложен метод аддитивного выделения особенности, позволяющий определять коэффициент интенсивности напряжений в упругих задачах с трещиной. Предложенный метод не требует измельчения сетки в окрестности носика трещины, так как бесконечные значения напряжений и большие градиенты напряжений выделены с помощью вспомогательного точного решения.

2. Построен дискретно-интегральный критерий хрупкой прочности для угловых вырезов в условиях плоской деформации или плоского напряженного состояния. Для угловых вырезов при растяжении и сдвиге получены простые соотношения, связывающие коэффициенты интенсивности напряжений при модифицированных показателях сингулярности, сами показатели сингулярности и теоретические прочности на растяжение и сдвиг монокристалла материала с учетом поврежденности материала в окрестности вершины.

3. Представлены результаты экспериментов по определению критического обобщенного коэффициента интенсивности напряжений при трехточечном изгибе призматического образца с угловым вырезом, которые обнаруживают возрастание разрушающей нагрузки с увеличением угла выреза. Для объяснения такого поведения используется дискретно-интегральный критерий хрупкой прочности типа Нейбера-Новожилова. Теоретические предсказания и экспериментальные результаты согласуются удовлетворительно.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации получены следующие основные результаты:

1. Разработан алгоритм решения плоской двумерной динамической задачи теории упругости, основанный на локальной аппроксимации неизвестных функций несколькими линейными полиномами. Исследована диссипативность, а следовательно, и устойчивость в энергетической норме построенной схемы. Показано, что при лучших диссипативных характеристиках и без увеличения вычислительных затрат, шаг интегрирования по времени в предложенном алгоритме может быть увеличен в \/2 раз по сравнению со схемой распада разрыва.

2. Разработан алгоритм решения задач динамики упругого деформирования с учетом разрывов и расслоений по границам элементов. Получено решение задачи о хрупком разрушении однородного и слоистого колец под действием прямоугольного импульса бокового давления, когда разрушение происходит по границам элементов.

3. Разработан алгоритм решения статических задач теории упругости, основанный на аппроксимации неизвестных функций несколькими полиномами, что позволяет строить четырехугольный конечный элемент, для которого условия сопряжения формулируются в виде условий непрерывности усилий и смещений на его гранях. В задачах с сингулярными особенностями, в напряженных состояниях применение таких элементов оказывается намного эффективнее, чем использование традиционных конечных элементов.

4. Сформулирована модель плоской деформации прослоек, имеющая целью моделирование всего процесса упругопластического деформирования прослоек от момента возникновения пластических деформаций до достижения предельного состояния при комбинированном действии нагрузок растяжения, сдвига и изгиба. Проведено численное моделирование волн смещений и локализации деформаций при растяжении полосы из жестких недеформируемых блоков с упругопластическими прослойками.

5. Предложены модифицированные необходимый и достаточный дискретно-интегральные критерии прочности типа Нейбера-Новожилова для сложного напряженно-деформированного состояния, когда поля напряжений имеют сингулярную составляющую, а векторы полей напряжений и деформаций коллинеарны. Достаточный критерий допускает предельный переход к необходимому критерию, когда в пределе можно пренебречь энергетическими характеристиками закритическо-го деформирования атомных ячеек.

6. Получено модельное описание узких ядер дислокаций. Выявлена дискретная структура ядра дислокации в моделях Френкеля—Конторовой и Пайерлса. Введено новое понятие о ядре дислокации, которое хорошо согласуется с представлениями механики деформируемого твердого тела.

7. Предложен дискретно-интегральный критерий хрупкой прочности для угловых вырезов. При растяжении и сдвиге получены простые соотношения, связывающие коэффициенты интенсивности напряжений при модифицированных показателях сингулярности, сами показатели сингулярности и теоретические прочности на растяжение и сдвиг монокристалла материала с учетом поврежденности материала в окрестности вершины.

8. Представлены результаты обработки экспериментов по определению критического обобщенного коэффициента интенсивности напряжений при трехточечном изгибе призматического образца с угловым вырезом, которые обнаруживают возрастание разрушающей нагрузки с увеличением угла выреза. Теоретические предсказания и экспериментальные результаты согласуются удовлетворительно.

9. Создан комплекс программ расчета напряженно-деформированного состояния многослойных тел вращения при интенсивных теплосиловых нагрузках. Разработаны программы расчета предельной нагрузки при деформировании структурно-неоднородной среды из жестких блоков с упругопластическими прослойками. Создан комплекс программ для решения нелинейных задач по деформированию и потере устойчивости атомных решеток.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Кургузов, Владимир Дмитриевич, 2004 год

1. Адищев В. В., Демешкин А. Г., Корнев В. М. Критерии хрупкого разрушения пористых сред регулярной структуры с мезоповре-ждениями. Сопоставление с экспериментальными данными. Новосибирск, 1998.(Препринт / РАН. Сиб. отделение. Ин-т гидродинамики; № 3-98).

2. Адищев В. В., Демешкин А. Г., Корнев В. М. Экспериментальная апробация критерия страгивания трещин в регулярно-неоднородной среде // Известия ВУЗов. Строительство. 1998. № 6. С. 130-133.

3. Адищев В. В., Демешкин А. Г., Корнев В. М., Козеко М. Е.

4. Экспериментальная проверка интегрального критерия хрупкой прочности в пористых средах с подкрепляющими элементами // Известия ВУЗов. Строительство. 1999. № 4. С. 21-26.

5. Албаут Г. Н., Курбанов А. В., Кургузов В. Д. и др.

6. Экспериментально-расчетный анализ величин первого коэффициента интенсивности напряжений в балках с угловым вырезом // Известия ВУЗов. Строительство. 2004. № 9. С. 92-98.

7. Алексеев А. Е., Волчков Ю. М., Иванов Г. В., Кургузов В. Д.

8. Ал футов Н. А., Зиновьев П. А., Попов Б. Г. Расчет многослойных пластин и оболочек из композиционных материалов. М.: Машиностроение, 1984.

9. Андреев А. В., Корнев В. М., Тихомиров Ю. В. Обрыв атомных связей в вершине трещины. Потеря устойчивости участка цепочки атомов // Изв. РАН. Механика твердого тела. 1993. № 5. С. 135146.

10. Анисимов С. А. Векторное расщепление плоской динамической задачи теории упругости в областях из произвольных четырехугольников // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. Новосибирск, 1986. Вып. 75. С. 17-26.

11. Анисимов С. А., Кургузов В. Д. Моделирование неотражающих условий при численном решении задач теории упругости // Вычислительные технологии. 1999. Т. 4. № 1. С. 3-13.

12. Анучина Н. Н., Яненко Н. Н. Неявные схемы расщепления для гиперболических уравнений и систем // Докл. АН СССР. 1959. Т. 128. № 6. С. 1103-1106.

13. Афанасьев С. В., Баженов В. Г. О численном решении одномерных нестационарных задач упругопластического деформирования сплошных сред методом Годунова // Прикладные проблемы прочности и пластичности. Горький: Горьк. гос. ун-т, 1985. Вып. 31. С. 59-65.

14. Афанасьев С. В., Баженов В. Г., Кочетков А. В. и др. Пакет прикладных программ «Динамика-1» // Прикладные проблемы прочности и пластичности. Горький: Горьк. гос. ун-т, 1986. Вып. 33. С. 21-29.

15. Баклашов И. В., Картозия Б. А. Механика горных пород. М.: Недра, 1975.

16. Баклашов И. В., Руппенейт К. В. Прочность незакрепленных горных выработок. М.: Недра, 1965.

17. Бантушкин В. П., Поварова К. Б., Банных О. А. и др. Влияние кристаллографической ориентации на механические свойства монокристаллов легированного интерметаллида №зА1 // Металлы. 1998. № 2. С. 49-53.

18. Баренблатт Г. И. Математическая теория равновесных трещин, образующихся при хрупком разрушении // ПМТФ. 1961. № 4. С. 3-56.

19. Бате К., Вильсон Е. Численные методы анализа и метод конечных элементов. М.: Стройиздат, 1982.

20. Беккенбах Э., Беллман Р. Неравенства. М.: Мир, 1965.

21. Белов Н. В., Корнеев А. И., Николаев А. П. Численный анализ разрушения в плитах при действии импульсных нагрузок // ПМТФ. 1983. №5. С. 119-123.

22. Богданович А. Е. Нелинейные задачи динамики цилиндрических композитных оболочек. Рига: Зинатне, 1987.

23. Бураго Н. Г., Кукуджанов В. Н. Решение упруго пластических задач методом конечных элементов. Пакет прикладных программ «АСТРА». М., 1988. (Препр. / АН СССР. Ин-т проблем механики; № 326).

24. Бураго Н. Г., Кукуджанов В. Н. Численное решение задач континуального разрушения. М., 2004. (Препр. / РАН. Ин-т проблем механики; № 746).

25. Васидзу К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности. М.: Мир, 1987.

26. Васильковский С. Н. Численный расчет напряженного состояния и поля скоростей смещений секториального выреза длинной цилиндрической трубы // Физико-технические проблемы разработки полезных ископаемых. 1968. № 3. С. 34-48.

27. Васильковский С. Н. Численное решение задачи об ударе в упругом приближении // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. Новосибирск, 1970. Вып. 12. С. 124-132.

28. Васильковский С. Н. Применение метода расщепления к решению основных краевых задач динамической теории упругости в напряжениях // Распространение упругих и упругопластических волн. М.: Наука, 1973. С. 24-31.

29. Васильковский С. Н. Обобщенные решения плоских упругих задач. Эквивалентность МКЭ и МКР // Материалы VI научной конференции по математике и механике. Томск: изд-во ТГУ, 1977. С. 3-10.

30. Васильковский С. Н., Кургузов В. Д. Определение коэффициента интенсивности напряжений в упругих задачах с трещиной // ПМТФ. 1980. № 3. С. 23-31.

31. Владимиров В. И., Карпинский Д. Н., Орлов А. Н. Теория роста трещины в материале с крупными неоднородностями // Физика металлов и металловедение. 1975. Т. 39. № 5. С. 952-959.

32. Волчков Ю. М., Иванов Г. В., Иванова О. Н. Вычисление плоских равновесных форм тонких стержней методом самоуравновешенных невязок // ПМТФ. 1994. № 2. С. 142-151.

33. Волчков Ю. М., Иванов Г. В., Кургузов В. Д. Аппроксимация уравнений упругопластического деформирования в задачах динамики // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / Ин-т гидродинамики. АН СССР. Сиб. отд-ние. Новосибирск, 1984. Вып. 66. С. 60-68.

34. Волчков Ю. М., Иванов Г. В., Кургузов В. Д. Об аппроксимации уравнений упругопластического деформирования в задачах динамики // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / Ин-т гидродинамики. АН СССР. Сиб. отд-ние. Новосибирск, 1989. Вып. 92. С. 45-53.

35. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М.: Наука, 1976.

36. Годунов С. К., Забродин А. В., Иванов Н. Я. и др. Численное решение многомерных задач газовой динамики. М.: Наука, 1976.

37. Годунов С. К., Рябенький В. С. Разностные схемы. М.: Наука, 1973.

38. Голуб Дж., Ван Лоун Ч. Матричные вычисления. М.: Мир, 1999.

39. Горский Н. М. О решении динамических задач теории упругости в напряжениях и скоростях смещений // Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1973. Т. 3. № 3. С. 24-31.

40. Горский Н. М. Решение динамических задач теории упругости с помощью неявных разностных схем // Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1974. Т. 5. № 5. С. 48-56.

41. Горский Н. М., Коновалов А. Н. О численном решении плоской задачи теории упругости в напряжениях // Труды конференции почисленным методам решения задач теории упругости и пластичности. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1969. С. 68-84.

42. Горский Н. М., Коновалов А. Н. О разностных методах решения динамических задач теории упругости // Тр. III Всесоюзной конференции по численным методам решения задач теории упругости и пластичности. Ч. I. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1974. С. 68-84.

43. Григолюк Э. И., Шалашилин В. И. Проблемы нелинейного деформирования. М.: Наука, 1988.

44. Григорян С. С., Чередниченко Р. А. Распространение в слоистом полупространстве упругих воли, вызванных поверхностной динамической нагрузкой // Изв. АН СССР. МТТ. 1976. № 3. С. 65-73.

45. Гудьер Дж. Математическая теория равновесных трещин // Разрушение. Т. 2. М.: Мир, 1975. С. 13-82.

46. Де Витт Р. Континуальная теория дисклинаций. М.: Мир, 1972.

47. Дерюгин Е. Е., Панин В. Е., Шмаудер 3. и др. Эффекты локализации деформации в композитах на основе А1 с включениями AI2O3 // Физическая мезомеханика. 2001. Т. 4. № 3. С. 35-47.

48. Дьяконов Е. Г. Разностные схемы с расщепляющимся оператором для многомерных нестационарных задач // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1962. Т. 2. № 4. С. 549-568.

49. Ершов JI. В., Максимов В. А. Введение в механику горных пород. М.: Недра, 1976.

50. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М.: Мир, 1975.

51. Зорский Г., Рогуля Д., Рымаж Ч. Нелокальные континуальные модели дискретных систем // Успехи механики. 1979. Т. 2. № 1. С. 83108.

52. Иванов Г. В. Построение схем решения плоской динамической задачи теории упругости на основе аппроксимации линейными полиномами // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / Ин-т гидродинамики. АН СССР. Сиб. отд-ние. Новосибирск, 1978. Вып. 37. С. 63-77.

53. Иванов Г. В. Расщепление задач упругости на основе минимизации функционала Лагранжа // Численные методы решения задач теории упругости и пластичности. Материалы IX Всесоюзной конференции. Новосибирск: ИТПМ СО АН СССР, 1986. С. 142-149.

54. Иванов Г. В., Волчков Ю. М., Вогульский И. О., Анисимов С. А., Кургузов В. Д. Численное решение динамических задач упругопластического деформирования твердых тел. Новосибирск: Сиб. унив. изд-во, 2002.

55. Иванов Г. В., Иванова О. Н. Вычисление пространственных равновесных форм тонких упругих стержней методом самоуравновешенных невязок // ПМТФ. 1994. № 4. С. 130-136.

56. Иванов Г. В., Кургузов В. Д. Безмоментная модель упругопластического деформирования и предельного состояния тонких прослоек // ПМТФ. 1994. № 6. С. 122-129.

57. Иванов Г. В., Кургузов В. Д. Волны смещений и локализация деформаций при растяжении полосы с упругопластическими прослойками // ПМТФ. 1995. № 2. С. 136-143.

58. Иванов Г. В., Кургузов В. Д. Решение плоских задач упругости на основе конечных элементов с независимой аппроксимацией смещений // Вычислительные технологии. 1997. Т. 2. № 4. С. 60-76.

59. Иванов Г. В., Кургузов В. Д. Итерационное решение плоских задач упругости методом самоуравновешенных невязок // Вычислительные технологии. 1999. Т. 4. № 1. С. 66-79.

60. Ильгамов М. А. О неотражающих условиях на границе расчетной области // Динамика оболочек в потоке: Сб. научн. тр. / КФАН

61. СССР, Казанский физико-технический институт. 1985. Вып. 18. С. 476.

62. Ишлинский А. Ю. Механика: идеи, задачи, приложения. М.: Наука, 1985.

63. Каплан И. Г. Введение в теорию межмолекулярных взаимодействий. М.: Наука, 1982.

64. Каталог механических свойств горных пород. JL: ВНИМИ, 1972.

65. Качанов JI. М. Сдвиг и сжатие тонкого пластичного слоя // Известия АН СССР. Механика и машиностроение. 1963. № 2. С. 172-173.

66. Качанов JI. М. Ползучесть тонкого слоя при сжатии и изгибе // Известия АН СССР. Механика и машиностроение. 1963. № 4. С. 8691.

67. Качанов JI. М. Основы теории пластичности. М.: Наука, 1969.

68. Керштейн И. М., Клюшников В. Д., Ломакин Е. В. и др.

69. Основы экспериментальной механики разрушения. М.: Изд-во Моск. гос. ун-та, 1989.

70. Койтер В. Т. Общие теоремы теории упругопластических сред. М.: Изд-во Иностранной литературы, 1961.

71. Кондауров В. И., Кукуджанов В. Н. Численное решение неодномерных задач динамики упругопластических сред // Избранные проблемы прикладной механики. М.: ВИНИТИ, 1974. С. 37-54.

72. Кондауров В. И., Кукуджанов В. Н. Об определяющих уравнениях и численном решении некоторых задач динамики упругопла-стической среды с конечными деформациями // Численные методы в механике твердого деформируемого тела. М.: ВЦ АН СССР, 1978. С. 85-121.

73. Кондауров В. И., Петров И. Б. Расчет процессов динамического деформирования упругопластических тел с учетом континуального разрушения // Докл. АН СССР. 1985. Т. 285. № 6. С. 1344-1347.

74. Кондауров В. И., Петров И. Б., Холодов А. С. Численное моделирование процесса внедрения жесткого тела вращения в упруго-пластическую преграду // ПМТФ. 1984. № 4. С. 132-139.

75. Коновалов А. Н. Метод дробных шагов решения задачи Коши для многомерного уравнения колебаний // Докл. АН СССР. 1962. Т. 147. № 1. С. 240-245.

76. Коновалов А. Н. Применение метода расщепления к численному решению динамических задач теории упругости // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1964. Т. 4. № 4. С. 760-764.

77. Коновалов А. Н. Разностные схемы для численного решения плоских динамических задач теории упругости в напряжениях. Ч. 1 // Численные методы механики сплошной среды. 1973. Т. 4. № 5. С. 4156.

78. Коновалов А. Н. Разностные схемы для численного решения плоских динамических задач теории упругости в напряжениях. Ч. 2 // Численные методы механики сплошной среды. 1974. Т. 5. № 2. С. 3045.

79. Коновалов А. Н. Решение задач теории упругости в напряжениях. Новосибирск: Новосиб. гос. ун-т, 1979.

80. Конторова Т. А., Френкель Я. И. К теории пластической деформации и двойникования // Журн. эксперим. и теорет. физики. 1938. Т. 8. № 12. С. 1340-1348.

81. Корнев В. М. Интегральные критерии хрупкой прочности трещиноватых тел с дефектами при наличии вакансий в носике трещины. Прочность компактированных тел типа керамик // ПМТФ. 1996. Т. 37. № 5. С. 168-177.

82. Корнев В. М. Интегральные критерии хрупкой прочности трещиноватых тел при наличии дефектов атомной структуры //IX Конференция по прочности и пластичности. Труды конференции. Т. 1. Москва, 1996. С. 99-104.

83. Корнев В. М. Снижение прочности металлов при хемосорбции водорода в вершине трещины // ПМТФ. 1998. Т. 39. № 3. С. 173-178.

84. Корнев В. М. Иерархия критериев прочности структурированных хрупких сред. Сателлитное зарождение микротрещин // ПМТФ. 2000. Т. 41. № 2. С. 177-187.

85. Корнев В. М. Многомаштабные критерии сдвигой прочности блочных хрупких сред. Сателлитное зарождение микропор // ФТПРПИ. 2000. Т. 40. № 5. С. 7-16.

86. Корнев В. М. Модификация критерия разрушения Нейбера-Новожилова для угловых вырезов (антиплоская задача) // ПМТФ. 2002. Т. 43. № 1. С. 153-159.

87. Корнев В. М. Необходимые и достаточные критерии разрушения композита с хрупким связующим. 1. Слабое армирование // ПМТФ. 2002. Т. 43. № 3. С. 152-160.

88. Корнев В. М. Обобщенный достаточный критерий прочности. Описание зоны предразрушения // ПМТФ. 2002. Т. 43. № 5. С. 153-161.

89. Корнев В. М. Количественное описание эффекта Ребиндера (хрупкие и квазихрупкие тела): от замедления разрушения до самопроизвольного диспергирования // Физическая мезомеханика. 2003. Т. 6. № 3. С. 9-18.

90. Корнев В. М., Демешкин А. Г. Необходимые и достаточные критерии разрушения композита с хрупким связующим. 2. Армирование высокопрочными волокнами // ПМТФ. 2003. Т. 44. № 3. С. 148-156.

91. Корнев В. М., Кургузов В. Д. Моделирование краевой дислокации и оценка ядра дислокации для плотноупакованного слоя атомов // ПМТФ. 2000. Т. 41. № 5. С. 211-216.

92. Корнев В. М., Кургузов В. Д. Дискретно-интегральный критерий прочности для сложного напряженного состояния // Изв. РАН. Механика твердого тела. 2000. № 6. С. 99-106.

93. Корнев В. М., Кургузов В. Д. Достаточный дискретно-интегральный критерий прочности при отрыве // ПМТФ. 2001. Т. 42. № 2. С. 161-170.

94. Корнев В. М., Разворотнева JT. И. Сравнительные оценки прочности сухого и влажного кварца при измельчении // ПМТФ. 1998. Т. 39. № 1. С. 138-144.

95. Корнев В. М., Тихомиров Ю. В. Деформирование и потеря устойчивости участка цепочки атомов в вершине трещины // ПМТФ. 1993. № 3. С. 160-172.

96. Корнев В. М., Тихомиров Ю. В. О критерии хрупкого разрушения тел с трещиной при наличии дефекта атомной решетки // Изв. РАН. Механика твердого тела. 1994. № 2. С. 185-193.

97. Корнев В. М., Тихомиров Ю. В. Потеря устойчивости участка цепочки атомов при наличии примеси. Снижение прочности хрупких трещиноватых тел // ПМТФ. 1996. Т. 37. № 3. С. 160-173.

98. Коробейников С. Н. Многоцелевая вычислительная программа по решению задач линейной теории упругости // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / Ин-т гидродинамики. АН СССР. Сиб. отд-ние. Новосибирск, 1986. Вып. 75. С. 78-89.

99. Коробейников С. Н. Применение метода конечных элементов к решению нелинейных задач по деформированию и потере устойчивости атомных решеток. Новосибирск, 1997. (Препр. / РАН. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики; 1-97).

100. Коттрелл А. Теория дислокаций. М.: Мир, 1969.

101. Кошур В. Д., Немировский Ю. В. Континуальные и дискретные модели динамического деформирования элементов конструкций. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1990.

102. Кукуджанов В. H. О численном решении задач распространения упруговязкопластических волн // Распространение упругих и упру-гопластических волн. Материалы V Всесоюзного симпозиума. Алма-Ата: Наука, 1973. С. 129-137.

103. Кукуджанов В. Н. Численное решение неодномерных задач распространения волн напряжений в твердых телах // Сообщения по прикладной математике. М.: ВЦ АН СССР, 1976. Вып. 6. С. 11-37.

104. Кукуджанов В. Н. Численные методы решения неодномерных задач динамики упругопластических сред // Численные методы решения задач теории упругости и пластичности. Материалы VI Всесоюзной конференции. 4.1. Новосибирск: ИТПМ СО АН СССР, 1980. С. 105-120.

105. Кукуджанов В. Н., Кондауров В. И. Численное решение неодномерных задач динамики твердого деформируемого тела // Проблемы динамики упругопластических сред. Сер. Механика. Новое в зарубежной науке. Вып. 5. М.: Мир, 1975. С. 39-84.

106. Кургузов В. Д. Численный алгоритм решения одномерных задач с откольными разрушениями // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / Ин-т гидродинамики. АН СССР. Сиб. отд-ние. Новосибирск, 1982. Вып. 54. С. 153-158.

107. Кургузов В. Д. Напряженно-деформированное состояние массива горных пород, ослабленного квадратной выработкой // Вычислительные технологии. 2003. Т. 8. № 5. С. 84-93.

108. Кургузов В. Д. Безмоментная модель упругопластического деформирования и ползучести тонких прослоек // Вычислительные методы и программирование. 2004. Т. 5. С. 184-196.

109. Кургузов В. Д., Корнев В. М. Дискретно-интегральный критерий прочности для сложного напряженного состояния // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / Ин-т гидродинамики. РАН. Сиб. отд-ние. Новосибирск, 1999. Вып. 114. С. 173-174.

110. Курленя М. В., Миренков В. Е., Шутов А. В. Оценка влияния собственного веса пород на деформирование их около выработок // ФТПРПИ. 2000. Т. 40. № 5. С. 30-35.

111. Леонов М. Я. Механика деформаций и разрушения. Фрунзе: Илим, 1981.

112. Леонов М. Я., Панасюк В. В. Развитие мельчайших трещин в твердом теле // Прикл. механика. 1959. Т. 5. № 4. С. 391-401.

113. Мавлютов Р. Р. Концентрация напряжений в элементах авиационных конструкций. М.: Наука, 1981.

114. Магомедов К. М., Холодов А. С. О построении разностных схем для уравнений гиперболического типа на основе характеристических соотношений // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1969. Т. 9. № 2. С. 373-386.

115. Магомедов К. М., Холодов А. С. Сеточно-характеристические численные методы. М.: Наука, 1988.

116. Майборода В. П., Кравчук А. С., Холин Н. Н. Скоростное деформирование конструкционных материалов. М.: Машиностроение,1986.

117. Макаров П. В. Микродинамическая теория пластичности среды с внутренней структурой // Новые методы в физике и механике деформируемого твердого тела. Тр. междунар. конф. Томск: Изд-во Томск, ун-та, 1990. С. 56-68.

118. Макклинток Ф. А., Ирвин Дж. Р. Вопросы пластичности в механике разрушения // Прикладные вопросы вязкости разрушения / Под ред. Б. А. Дроздовского. М.: Мир, 1968. С, 143-186.

119. Макмиллан Н. Идеальная прочность твердых тел // Атомистика разрушения: Сб. ст. 1983-1985 гг. / Сост. А. Ю. Ишлинский. М.: Мир,1987. С. 35-103.

120. Марчук Г. И. Метод расщепления для решения задач математической физики // Численные методы решения задач механики сплошных сред. М.: ВЦ АН СССР, 1969. С. 85-121.

121. Марчук Г. И., Яненко Н. Н. Применение метода расщепления (дробных шагов) для решения задач математической физики // Некоторые вопросы вычислительной и прикладной математики. Новосибирск: Наука, 1985. С. 125-142.

122. Морозов Н. Ф. Математические вопросы теории трещин. М.: Наука, 1984.

123. Морозов Н. Ф. Проблемы хрупкого разрушения и их исследование методами теории упругости //VI Всесоюзный съезд по теоретической и прикладной механике. 1986. Ташкент. С. 12.

124. Морозов Н. Ф. Проблемы хрупкого разрушения и их исследование методами теории упругости // Механика и научно-технический прогресс. Т. 3: Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1988. С. 54-63.134135136137138139140141142143

125. Морозов Н. Ф., Паукшто М. В. Динамика трещин в дискретной постановке // Вестник Ленингр. ун-та. Сер. 1. 1987. Вып. 3. С. 67-71.

126. Морозов Н. Ф., Паукшто М. В. К вопросу о «решетчатом захвате» // Доклады АН СССР. 1988. Т. 299. № 2. С. 323-325.

127. Морозов Н. Ф., Паукшто М. В. Дискретные и гибридные модели механики разрушения. СПб.: Изд-во С.-Петербургского ун-та, 1995.

128. Морозов Н. Ф., Семенов Б. Н. Применение критерия хрупкого разрушения В. В. Новожилова при определении разрушающих нагрузок для угловых вырезов в условиях сложного напряженного состояния // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1986. № 1. С. 122-126.

129. Мусхелишвили Н. И. Некоторые основные задачи теории упругости. М.: Наука, 1966.

130. Навал И. К., Римский В. К. Численный анализ распространения волн в кусочно-неоднородном слое // Математические методы в механике. Кишинев: Штиинца, 1980. Вып. 57. С. 69-76.

131. Навал И. К., Пацюк В. И., Римский В. К. Нестационарные волны в деформируемых средах // Математические методы в механике. Кишинев: Штиинца, 1980. Вып. 57. С. 98-110.

132. Назаров С. А., Паукшто М. В. Дискретные модели и осреднение в задачах теории упругости. Л.: Наука, 1984.

133. Негрескул С. И., Псахье С. Г., Коростелев С. Ю. и др. Моделирование зернистых сред методом элементной динамики. Томск, 1989. (Препр. / АН СССР. Сиб. отд-ние. Томск, научн. центр; № 39).

134. Нейбер Г. Концентрация напряжений. М.: Гостехтеоретиздат, 1947.

135. Панасюк В. В., Андрейкив А. Е., Ковчик С. Е. Определение вязкости разрушения К\с конструкционных материалов через их механические характеристики и параметры структуры // Физ.-хим. механика материалов. 1977. Т. 13. № 2. С. 120-122.

136. Панасюк В. В., Андрейкив А. Е., Ковчик С. Е. Методы оценки трещиностойкости конструкционных материалов. Киев: Наук, думка, 1977.

137. Панасюк В. В., Андрейкив А. Е., Партон В. 3. Основы механики разрушения материалов // Механика разрушения и прочность материалов. Т. 1. Киев: Наук, думка, 1988.

138. Панин В. Е. Новая область физики твердого тела // Известия ВУЗов. Физика. 1987. № 1. С. 3-8.

139. Панин В. Е. Современные проблемы прочности твердых тел // Изв. СО АН СССР. Сер. тех. наук. 1987. Вып. 3. С. 87-97.

140. Панин В. Е. Волновая теория пластической деформации твердых тел // Известия ВУЗов. Физика. 1990. № 2. С. 4-18.

141. Панин В. Е., Гриняев Ю. В., Данилов В. И. и др. Структурные уровни пластической деформации и разрушения. Новосибирск: Наука, 1990.

142. Панин В. Е., Гриняев Ю. В., Егорушкин В. Е. и др. Спектр возбужденных состояний и вихревое механическое поле в деформируемом кристалле // Известия ВУЗов. Физика. 1987. № 1. С. 36-51.

143. Панин В. Е., Гриняев Ю. В., Елсукова Т. Ф. и др. Структурные уровни деформации твердых тел // Известия ВУЗов. Физика. 1982. № 6. С. 5-27.

144. Панин В. Е., Егорушкин В. Е., Хон Ю. А. и др. Атом-вакансионные состояния в кристаллах // Известия ВУЗов. Физика. 1982. № 12. С. 5-28.

145. Панин В. Е., Елсукова Т. Ф. Деформация и разрушение поликристаллов при знакопеременном нагружении как диссипативный процесс // Синергетика и усталостное разрушение металлов. М.: Наука, 1989. С. 113-138.

146. Панин В. Е., Елсукова Т. Ф., Елисеева М. К. и др. Движение зерен как целого при пластической деформации поликристаллов // Поверхность. Физика, химия, механика. 1983. № 5. С. 138-141.

147. Предводителев А. А., Тяпунина Н. А., Зиненкова Г. М. и др.

148. Физика кристаллов с дефектами. М.: Изд-во Моск. ун-а, 1986.

149. Псахье С. Г., Коростелев С. Ю., Смолин А. Ю. и др. Метод подвижных клеточных автоматов как инструмент физической мезо-механики материалов // Физическая мезомеханика. 1998. Т. 1. № 1. С. 95-108.

150. Псахье С. Г., Остермайер Г. П., Дмитриев А. И. и др. Метод подвижных клеточных автоматов как новое направление дискретнойвычислительной механики. I. Теоретическое описание // Физическая мезомеханика. 2000. Т. 3. № 2. С. 5-13.

151. Работнов Ю. Н. Ползучесть элементов конструкций. М.: Наука, 1966.

152. Работнов Ю. Н. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1988.

153. Райе Дж. Р. Математические методы в механике разрушения // Разрушение. Т. 2. М.: Мир, 1975. С. 204-335.

154. Рахматулин X. А., Каримбаев Т. Д., Байтелиев Т. Применение метода пространственных характеристик к решению задач по распространению упругопластических волн // Изв. Каз. ССР. Сер. физ.-мат. 1973. № 1. С. 141-152.

155. Ревуженко А. Ф., Шемякин Е. И. К вопросу о плоском деформировании упрочняющихся и разупрочняющихся пластических материалов // ПМТФ. 1977. №. 3.

156. Рикардс Р. Б., Снисаренко С. И. Деформирование при ударе балок из гибридных материалов // Механика композитных материалов. 1985. № 1. С. 97-103.

157. Рузанов А. И. Численное исследование откольной прочности с учетом микроповреждений // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1984. № 5. С. 109-115.

158. Сабодаш П. О., Чередниченко Р. А. Применение метода пространственных характеристик к решению осесимметричных задач по распространению упругих волн // ПМТФ. 1971. № 4. С. 101-109.

159. Савин Г. Н. Распределение напряжений около отверстий. Киев: На-укова думка, 1968.

160. Саврук М. П. Коэффициенты интенсивности напряжений в телах с трещинами // Механика разрушения и прочность материалов. Т. 2. Киев: Наук, думка, 1988.

161. Самарский А. А. Локально-одномерные разностные схемы для многомерных уравнений гиперболического типа в произвольной области // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1964. Т. 4. № 4. С. 638-648.

162. Самарский А. А. Экономичные разностные схемы для гиперболической системы уравнений со смешанными производными и их применение для уравнений теории упругости // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1965. Т. 5. № 1. С. 34-43.

163. Самарский А. А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1983.

164. Самарский А. А., Андреев В. Б. Разностные методы для эллиптических уравнений. М.: Наука, 1976.

165. Самарский А. А., Николаев Е. С. Методы решения сеточных уравнений. М.: Наука, 1978.

166. Седов JI. И. Механика сплошной среды. М.: Наука, 1983.

167. Сергеев-Альбов Н. Н. Приближенно-аналитический алгоритм расчета акустических волновых полей. Новосибирск, 1985. (Препринт / АН СССР. Сиб. отд-ние. ВЦ; № 566).

168. Си Г., Либовиц Г. Математическая теория хрупкого разрушения // Разрушение. Т. 2. М.: Мир, 1975. С. 83-203.

169. Слепян Л. И. Механика трещин. М.: Наука, 1981.

170. Смирнов С. В., Смирнов В. К., Солошенко А. Н. и др. Определение коэффициентов в функциональной зависимости сопротивления деформации по результатам вдавливания конического индентора // Металлы. 1998. № 6. С. 91-94.

171. Смирнов С. В., Швейкин В. П. Метод определения диаграмм упрочнения отдельных структурных составляющих в многокомпонентных системах // Физика металлов и металловедение. 1995. Т. 80 № 1. С. 145-151.

172. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. М.: Мир, 1977.

173. Томсон Р. Физика разрушения // Атомистика разрушения: Сб. ст. 1983-1985 гг. / Сост. А. Ю. Ишлинский. М.: Мир, 1987. С. 104-144.

174. Туров В. П. К вопросу о сведении задачи о распространении упругих волн в бесконечной области к задаче для области конечных размеров // Сопротивление материалов и теория сооружений. Киев: Буд Вельник, 1976. Вып. 28. С. 186-191.

175. Хелан К. Введение в механику разрушения. М.: Мир, 1988.

176. Хилл Р. Математическая теория пластичности. М.: Гостехиздат, 1956.

177. Хирт Дж., Лоте И. Теория дислокаций. М.: Атомиздат, 1972.

178. Холодов А. С. Сеточно-характеристические методы для многомерных задач механики сплошных сред // Школа-семинар соц. стран «Вычислительная аэрогидромеханика»: Сб. тез. докл. М., 1985. С. 110-114.

179. Хорев И. Е., Горельский В. А., Залепугин С. А. и др. Исследование деформирования и кинетики разрушения контактируемых тел при несимметричном динамическом воздействии // Физика горения и взрыва. 1983. № 5. С. 119-123.

180. Христианович С. А. Механика сплошной среды. М.: Наука, 1981.

181. Черепанов Г. П. Механика хрупкого разрушения. М.: Наука, 1974.

182. Черноусько Ф. Л., Баничук Н. В. Вариационные задачи механики и управления. М.: Наука, 1973.

183. Черных К. Ф. Введение в физически и геометрически нелинейную теорию трещин. М.: Наука, 1996.

184. Шмитт-Томас К. Г. Металловедение для машиностроения. М.: Металлургия, 1995.

185. Яненко Н. Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики. Новосибирск: Наука, 1967.

186. Argyris J. Н., Lazarus L. P. A natural triangular layered element for bending analysis of isotropic, sandwich, laminated composite and hybrid plates // Сотр. Meth. in Appl. Mech. and Eng. 1993. No. 109. P. 29-44.

187. Atkinson M. Further analysis of the size effect in indentation hardness test of some metals // Journal of materials research. 1995. Vol. 10. No. 11. P. 2908-2915.

188. Bathe K.-J. Finite element formulation, modeling and solution of nonlinear dynamic problems // Numerical Methods for Partial Differential Equations. New York: Academic Press, 1979. P. 1-40.

189. Bathe K.-J. Finite Element Procedures in Engineering Analysis. Englewood Cliffs, N. J.: Prentice Hall, 1982.

190. Bathe K.-J., Dvorkin E. N. On the automatic solution of nonlinear finite element equations // Computers &; Structures. 1983. Vol. 17. P. 871— 879.

191. Bathe K.-J., Shyder M. D., Cimento A. P., Rolph W. D. On some current procedures and difficulties in finite element analysis of elastic-plastic response // Computers and Structures. 1980. Vol. 12. P. 607-624.

192. Bayliss A., Turkel E. Radiation conditions for wave-like equations // Commun. Pure Appl. Math. 1980. Vol. 33. P. 707-725.

193. Carpinteri A. Stress singularity and generalized fracture toughness at the vertex of re-entrant corners // Engng. Fracture Mech. 1987. Vol. 26. P. 143-155.

194. Carpinteri A., Pugno N. Structures with re-entrant corners // Atti del XV Convegno Nazionale del Gruppo Italiano di Frattura, May 3-5, 2000, Bari, Italy. P. 391-398.

195. Dimitrov V. I., Apostolov A. V., Belashtenko D. K. Effective atom-atom interaction in binary alloys // Annuarie de l'Univ. de Sofia. 1992. T. 83/84. P. 175-181.

196. Dugdale D. S. Yielding of steel sheets containing slits //J. Mech. Phys. Solids. 1960. Vol. 8. P. 100-104.

197. Dunn M. L., Suwito W., Cunningham S. Fracture initiation at sharp notches: correlation using critical stress intensities // Int. J. Solids Structures. 1997. Vol. 34. P. 3873-3883.

198. Dunn M. L., Suwito W., Cunningham S., May C. Fracture initiation at sharp notches under mode I, mode II, and mild mixed mode loading // Int. J. Fracture. 1997. Vol. 84. P. 367-381.

199. Enquist В., Majda A. Absorbing conditions for the numerical simulations of waves // Math. Comput. 1977. Vol. 31. No. 139. P. 629-651.

200. Enquist В., Majda A. Radiation boundary conditions for accoustic and elastic wave calculations // Commun. Pure Appl. Math. 1979. Vol. 32. P. 313-357.

201. Griffith A. A. The phenomenon of rupture and flow in solids // Phil. Trans. Roy. Soc. Ser. A. 1920. Vol. 221. No. 1. P. 163-198.

202. Griffith A. A. The theorie of rupture // Proceedings 1st International Congress Appl. Mech. Delft, 1924. Delft: J. Waltman, 1925. P. 55-63.

203. Gumbsch P. An atomistic study of brittle fracture: Toward explicit failure criteria from atomistic modeling //J. Mater. Res. 1995. Vol. 10. No. 11. P. 2897-2907.

204. Gumbsch P., Cannon R. M. Atomistic aspect of brittle fracture // MRS Bulletin. 2000. No. 5. P. 15-20.

205. Htils W. Die Amwendung der Finite-Element-Methode zur Lozung geomechanisher Antgaben // Bergakademia. 1969. Heft 10. P. 600-604.

206. Kornev V. M., Kurguzov V. D. A discrete-integral strength criterion for complicated stress states // Fatigue & Fracture of Engineering Materials к Structures. 1999. Vol. 22. No. 11. P. 989-995.

207. Kornev V. M., Kurguzov V. D. Interrelation between toughness and both strength and structural parameters of material // International Journal of Fracture. 2004. Vol. 128. No. 1. P. 195-203.

208. Kornev V. M., Razvorotneva L. I. Brittle fracture of cracked solids as affected by surfactants // Damage and fracture mechanics. Computer aided assessment and control. Southampton; Boston: Comput. Mech. Publ., 1998. P. 565-574.

209. Markworth A. J., Hirth J. P. An atomistic model of crack growth by-kink propagation // J. Mater. Sci. 1981. Vol. 16. No. 12. P. 3405-3417.

210. Olson G. B. Computational Design of Hierarchiclly Structured Materials // Science. 1997. Vol. 277. P. 1237-1241.

211. Orovan E. Energy criteria of fracture // Weld. Res. Suppl. 1955. Vol. 20. P. 1575-1598.

212. Peierls R. The size of a dislocation // Proc. Phys. Soc. 1940. Vol. 52. P. 34-37.

213. Phillips T. N., Rose M. E. A finite difference scheme for the equilibrium equations of elastic bodies // SIAM J. Sci. Stat. Comput. 1986. Vol. 7. No. 1. P. 288-300.

214. Seweryn A. Brittle fracture criterion for structures with sharp notches // Engng. Fracture Mech. 1994. Vol. 47. P. 673-681.

215. Seweryn A. Elastic stress singularities and corresponding generalized stress intensity factors for angular corners under various boundary conditions // Engng. Fracture Mech. 1996. Vol. 55. P. 529-556.

216. Seweryn A., Lukaszewicz A. Verification of brittle fracture criteria for elements with V-shaped notches // Engng. Fracture Mech. 2002. Vol. 69. P. 673-681.

217. Sih G. C. Strain-energy-density factor applied to mixed mode crack problems // Int. J. Fracture. 1974. Vol. 10. P. 305-322.

218. Smith W. D. A nonreflecting plane boundary for wave propagation problems // J. Comput. Phys. 1974. Vol. 15. No. 4. P. 492-503.

219. Sneddon I. N. The distribution of stress in the neighbourhood of a crack in an elastic solids // Proc. Roy. Soc. Ser. A. 1946. Vol. 187. P. 229-260.

220. Southwell R. V. Relaxation methods in theoretical physics. Oxford University Press, 1946.

221. Stupp S. I., Braun P. V. Molecular Manipulation of Microstructures: Biomaterials, Ceramics, and Semiconductors // Science. 1997. Vol. 277. P. 1242-1257.

222. Szuromi Ph. Microstructural Engineering of Materials // Science. 1997. Vol. 277. P. 1183-1236.

223. Theocaris P. S., Andrianopoulos N. P. A modified strain energy density criterion applied to crack propagation // Trans. ASME. Ser. E. 1982. Vol. 49. P. 81-86.

224. Tian D. C., Lu D. Q., Zhu J. J. Crack propagation under combined stresses in three-dimensional medium // Engng. Fracture Mech. 1982. Vol. 16. No. 1. P. 5-17.

225. Tirosh J. Incipient fracture angle, fracture loci and critical stress for mixed mode loading // Engng. Fracture Mech. 1977. Vol. 9. No. 3. P. 607616.

226. Westergaard H. M. Bearing pressures on cracks // ASTM Trans. J. Appl. Mech. 1939. No. 6. P. 49-53.

227. Wieghardt K. Uber das Spalten und Zerreiben elastischer Korper // Z. Math, und Phys. 1907. Vol. 55. P. 60-103.

228. Williams M. L. Stress singularities resulting from various boundary conditions in angular corners of plates in extension // J. Appl. Mech. 1952. Vol. 19. P. 526-528.

229. Wu H. C. Dual failure criterion for plain concrete //J. Engng. Mech. Div. Amer. Soc. Civ. Engng. 1974. Vol. 100. P. 1167-1181.

230. Yu B. Y. Fracture criterion of deviator stress tensor factor // Engng. Fracture Mech. 1982. Vol. 16. No. 1. P. 143-155.

231. Yu B. Y. A discussion on the mixed mode J-integral fracture criterion // Engng. Fracture Mech. 1982. Vol. 16. No. 1. P. 156-168.

232. Zienkiewicz О. C., Taylor R. L. The Finite Element Method. London: McGraw Hill, 1991.