Влияние геометрических размеров дефектов на характеристики хрупкого разрушения материалов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат физико-математических наук Тарабан, Владимир Всеволодович

• Тарабан, Владимир Всеволодович
• кандидат физико-математических наук
• 1999

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Тарабан, Владимир Всеволодович

Оглавление

Введение

Статические модели хрупкого и квази-хрупкого разрушения

Однопараметрические статические модели разрушения

Двухкритериальные подходы

Статические модели разрушения керамик

Критерий В.В. Новожилова

Динамические модели разрушения

Квазистатические критерии разрушения

Критерий минимального времени Кальххоффа-Шоки

Импульсный критерий Никифоровского-Шемякина

Структурно-временной критерий

Содержание диссертации

Цель работы

Научная новизна

Результаты, выносимые на защиту

Структура диссертации

1 Статическая задача разрушения о внутренней трещине конечных размеров

1.1 Нагружение постоянными растягивающими напряжениями, приложенными на бесконечном удалении от трещины

1.1.1 Постановка задачи

1.1.2 Условия разрушения

1.2 Нагружение постоянным давлением, приложенным на

берегах трещины

1.2.1 Постановка задачи

1.2.2 Условия разрушения

2 Статическая задача разрушения о поверхностной трещине конечных размеров

2.1 Постановка задачи

2.1.1 Интегральное уравнение для нахождения нормального напряжения на продолжении трещины

2.1.2 Метод численного решения интегрального уравнения

2.2 Критерий зоны предразрушения

2.3 Условия разрушения

2.3.1 Разрушающее напряжение, найденное из асимптотических формул для напряжений

2.3.2 Разрушающее напряжение, найденное по точным формулам для напряжений

2.3.3 Предел трещиностойкости, найденный по асимптотическим формулам для напряжений

2.3.4 Предел трещиностойкости, найденный по точным формулам для напряжений

2.3.5 Структурная длина трещины и "кривая разрушения

2.3.6 Обсуждение полученных данных, сравнение с результатами по критерию зоны предразрушения

3 Динамическая задача разрушения о дисковой трещи-

не конечных размеров

3.1 Постановка задачи

3.1.1 Интегральное уравнение для определения динамического коэффициента интенсивности напряжений

3.1.2 Численное решение интегрального уравнения

3.2 Условия разрушения

3.2.1 Динамический коэффициент интенсивности напряжений

3.2.2 Динамическая вязкость разрушения

3.2.3 Анализ полученных результатов и выводы

Заключение

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Влияние геометрических размеров дефектов на характеристики хрупкого разрушения материалов»

Введение

Одно из центральных мест в механике деформируемого твердого тела занимают проблемы прочности и разрушения различных материалов и изготовленных из них конструкций. Как известно, процесс разрушения осуществляется в несколько этапов — зарождение, рост и слияние микродефектов, например, пор; формирование и распространение магистральных трещин и т.д., и протекает на различных структурных уровнях материала (микро- , макро- , мезо-и т.д.), что вызывает необходимость при его описании и моделировании применения как сложного аппарата современной фундаментальной и прикладной математики, так и новейших средств экспериментальной физики и вычислительной техники.

Статические модели хрупкого и квази-хрупкого разрушения

Наиболее полно изучены задачи механики статического хрупкого и квазихрупкого разрушения [7], [10], [16], [26], [27], [28], [29], [30], [31], [36],[37], в процессе решения которых сформировалась самостоятельная наука — линейная механика разрушения, начало которой положено классическими работами Гриффитса [50] (1921) и Ирвина [54] (1957). Существенный вклад в развитие данной отрасли механики внесли отечественные ( Р.В. Гольдштейн, Е.М. Морозов, В.В. Но-

вожилов, JI.И. Слепян, Г.П. Черепанов и др.), а также зарубежные (D. Dugdale, J. Eshelby, J. Rice, I. Sneddon и др.) ученые.

Методы, разработанные в рамках данной науки, эффективны также при решении задач в области маломасштабной текучести, когда пластическая область, возникающая у вершины трещины, достаточно мала по сравнению с геометрическими размерами трещины. При условиях полномасштабной текучести применяются методы нелинейной механики разрушения.

Однопараметрические статические модели разрушения

При определении механических свойств образцов, изготовленных из различных материалов, одним из основных критериев их хрупкого разрушения является условие достижения определенным механическим параметром задачи, который контролирует локальное поле напряжений в месте возможного разрыва, предельного (критического) значения; само это значение обычно называется характеристикой разрушения. Например, для идеального "бездефектного" материала таким условием будет

где

СГс = (Tf,

Здесь обозначены: сгп — максимальное нормальное напряжение, стс — критическое значение максимального нормального напряжения, <7/ — хрупкая прочность материала на разрыв. Поэтому для бездефектных материалов характеристикой разрушения является прочность.

Однако, в каждом реальном материале или конструкции всегда

присутствуют различные микро- и макродефекты, как привнесенные в процессе их изготовления и обработки, так и возникшие в процессе эксплуатации. Это приводит к тому, что материал разрушается нагрузкой, которая существенно меньше хрупкой прочности материала. Дефекты могут иметь как регулярную (круглое, глиптическое и т.д. отверстия), так и нерегулярную границу (острый вырез, лунка, тонкий разрез и т.п.). Дефект с регулярной границей обычно называется концентратором напряжений. Для расчета прочности и условий хрупкого разрушения материалов с концентраторами напряжений необходимо знать значение коэффициента концентрации напряжений [17], техника расчета которого, как правило, не связана с существенными математическими или вычислительными трудностями, а характеристикой разрушения материалов в этих случаях остается прочность.

В дальнейшем изложении предполагается, что дефекты моделируются линейными и плоскостными разрезами типа трещин. Понятие концентратора напряжений в ситуации трещин теряет смысл, т.к. напряжения в вершине трещины, получаемые из упругого решения, являются бесконечно большими. Для тестирования прочностных свойств материалов с трещинами разработаны различные критерии разрушения, ставшие уже класическими, и которые условно могут быть разделены на энергетические, силовые и деформационные (см., например, [10]). К энергетическим обычно относят критерий Гриффитса [50], [51] и критерии, связанные с инвариантными энергетическими интегралами Эшелби—Райса—Черепанова (см., например, [10], [36]).

Критерий разрушения Гриффитса формулируется как условие достижения интенсивностью освобождающейся энергии критическо-

го значения, которая считается константой материала:

<2 > Сс.

Критерий разрушения Эшелби—Райса—Черепанова может быть записан в виде:

J > Л,

где J — энергетический интеграл, <7С — критическое значение интеграла, являющееся константой материала.

К силовым критериям разрушения относятся, например, критерии Ирвина и Баренблатта (см., например, [10], [30]). Критерии Ирвина и Баренблатта математически совпадают и для задачи разрушения I типа ("разрыв") могут быть представлены в виде:

к! > К1с,

где К1 — коэффициент интенсивности напряжений, .К/с — критическое значение коэффициента интенсивности напряжений. В рамках теории Баренблатта в малой зоне у вершины трещины вводятся дополнительные силы сцепления, что не предполагается по теории Ирвина.

Критерии Гриффитса и Ирвина получили наиболее широкое распространение и практически эквивалентны, т.к. величины С и К1 связаны друг с другом, а Сгс и К1С принимаются константами материала. В рамках теории Ирвина утверждается, что для анализа

условий хрупкого разрушения тела с трещинами достаточно знать только асимптотические формулы распределения поля напряжений, справедливые в малой области у вершины трещины, например:

К1

ауу = + °(1>' г

\/27г г

К деформационным критериям разрушения обычно относятся критерии Леонова-Панасюка [21] и Дагдейла (см., например, [30]), в которых условием разрушения является достижение величиной раскрытия берегов трещины у вершины критического значения, являющегося константой материала. Именно:

6 > 6С.

В рамках критерия Леонова-Панасюка вводится область у вершины трещины, где берега притягиваются с силой, равной хрупкой прочности материала, а в рамках теории Дагдейла рассматривается узкая зона пластичности, где напряжения равны пределу текучести материала.

Все вышеперечисленные критерии математически эквивалентны и, так или иначе, учитывают при анализе условий разрушения только асимптотику поля напряжений у вершины трещины (исключение составляет критерий Леонова-Панасюка, в котором помимо асимптотических могут использоваться точные формулы для напряжений). Однако, во всех этих критериях определяющим параметром является коэффициент интенсивности напряжений.

В окрестности вершины трещины можно условно выделить три зоны. В первой, самой близкой к вершине трещины, зоне напряжения и деформации велики и их взаимосвязь нелинейна. Именно здесь реализуется сам процесс разрушения. Во второй зоне напряжения также велики, но определяются из упругого решения. В этой зоне справедливы асимптотические формулы для напряжений. Третья зона — это так называемая, область номинальных напряжений. Здесь, на достаточном удалении от вершины трещины, выполняется

условие прочности бездефектного материала.

В рамках линейной механики разрушения утвеждается, что прочностные свойства материалов с трещинами определяются полем напряжений во второй зоне, где справедливы асимптотические выражения для напряжений, которые задаются с помощью коэффициента интенсивности напряжений. Следовательно, сам процесс разрушения инициируется и контролируется посредством коэффициента интенсивности напряжений. Для численного определения коэффициентов интенсивности напряжений применяются специальные методы: методы конечных и граничных элементов, вариационно-разностные методы, методы сеток и сплайн-функций и др. Гораздо более эффективными являются подходы, в которых численные расчеты сочетаются с аналитическими методами, что существенно повышает точность вычисления коэффициента интенсивности напряжений. Для этого используется мощный математический аппарат, включающий в себя интегральные преобразования, методы факторизации, теорию аналитических функций, методы теории потенциала, интегральные уравнения и т.д.

Несмотря на то, что сам коэффициент интенсивности напряжений существенно зависит от размеров и расположения трещины в материале, его критическое значение (вязкость разушения), для достаточно больших в сравнении с определеным размером трещин, как принято считать, является константой материала. Поэтому вязкость разрушения, называемая иногда пределом трещиностойкости, является характерстикой разрушения материалов с относительно длинными трещинами.

Двухкритериальные подходы

Если размер упомянутой второй области перед вершиной трещины достаточно велик и сравним с длиной трещины, то использование в ней асимптотических формул для напряжений, а значит, и коэффициента интенсивности напряжений для анализа условий разрушения перестает быть корректным. Согласно принятым стандартам (см., например, [30]) критерий Ирвина применяется для трещин

дел текучести. Для анализа разрушения, вызываемого одновременно трещинообразованием и полномасштабной текучестью в вершине трещины, могут быть использованы специальные двухкритериальные подходы (двухпараметрические критерии разрушения) [9], [48], [52]. Обычно в этом случае вводится понятие эталонной для данного материала "кривой разрушения" [9] (Е.М. Морозов, 1982), с помощью которой можно выбрать необходимый для данного случая критерий разрушения — по схеме трещинообразования или по схеме исчерпания сопротивления пластическим деформациям. Как правило, для большинства классических конструкционных материалов, например, металлов, высоким значениям их прочности соответствует также высокая трещиностойкость и наоборот. Недостатком большинства двухритериальных подходов является то обстоятельство, что форма кривой разрушения в них априорно постулируется.

Статические модели разрушения керамик

Хорошо известно ([38], [47], [49]), что такие новые и активно применяемые в промышленности конструкционные материалы, как керамики, имея очень высокую прочность, обладают зачастую низкими значениями трещиностойкости. Это приводит к повышенной чув-

определенной длины: I

начальный пре-

ствительности керамик в сравнении, например, с металлами, к имеющимся в них даже относительно малым по размерам дефектам. Следствием таких механических особенностей керамик является их высокая хрупкость.

Для анализа разрушения керамик, изготовленых из метастабиль-ной тетрагональной модификации диоксида циркония, в работах [40], [41], [42] (В. Karihaloo и др., 1994-1996), предлагается схема разрушения, в которой моделируются эффекты трансформации кристаллической решетки из тетрагональной в моноклинную формы, которые происходят в малой зоне, расположенной в окрестности вершины трещины. Для определения напряженно-деформированного состояния в зоне трансформаций вводится специальная мера трансформационного упрочнения. Вне зоны трансформаций, как предполагается, материал сохраняет свои упругие свойства. Учет зоны трансформаций позволил связать значения критического коэффициента интенсивности напряжений с длиной трещины. Авторами получены немонотонные диаграммы зависимости разрушающего напряжения и критического значения коэффициента интенсивности напряжений от геометрических размеров трещины и определены значения длины трещины, при которой эти величины достигают экстремума, т.е. подтвержден экспериментально наблюдаемый эффект повышения прочности циркониевых керамик. Недостатком предложенной модели является не очень строгий учет взаимного влияния друг на друга полей деформаций в зоне трансформаций и вне этой зоны.

В работах [38], [47] (К. Ando и др., 1990, 1992) исследуются условия разрушения керамических образцов, изготовленных из нитридов кремния, оксидов алюминия и других материалов, где дефек-

том является трещина, выходящая на границу. На основе анализа и обобщения полученных экспериментальных данных, авторами предлагается новый критерий разрушения некоторых хрупких керамик -критерий зоны предразрушения ("process zone size failure criterion"), который учитывает влияние специальной зоны предразрушения у вершины трещины, где формируются и накапливаются микродефекты. Предполагается, что напряжения в зоне предразрушения можно приближенно считать постоянными, а вне зоны материал остается в упругом состоянии, т.е. предложенная модель во многом близка к упруго-пластической модели Дагдейла, что не вполне оправданно для исследуемых хрупких керамик. Условием старта трещины является достижение размерами такой зоны своего критического значения. Влияние зоны предразрушения на характеристики разрушения существенно проявляется в сшуации, когда трещина достаточно мала. Авторами приводятся двухпараметрические диаграммы разрушения ("кривая разрушения"), в которых учитывается взаимное влияние критических значений внешней нагрузки и коэффициента интенсивности напряжений, но эти диаграммы отличаются достаточно большим разбросом результатов. Установлена также зависимость критического значения коэффициента интенсивности напряжений от длины трещины.

Влияние геометрических размеров трещины на характеристики разрушения, а также учет сложных процессов предразрушения возможен с совершенно других позиций, нежели введение и учет спе-цальных зон у вершины трещины, в которых напряженно-деформированное состояние существенно отличается от упругого и иску ственно моделируется, а именно — с помощью представлений о фрактальной природе поверхности трещины или области у верши-

ны трещины. Это, в частности, математически выражается в том, что размерность длины трещины становится дробной. Так, в работе [43] [Ъ. Вагап!, 1997) исследовано влияние геометрических размеров дефектов на прочность некоторых квазихрупких материалов (керамик), содержащих фрактальные дефекты. Приводятся диаграммы, на которых кривая прочности имеет экстремальную точку.

В настоящее время фрактальные методы в механике разрушения интенсивно развиваются, но пока с их помощью возможен лишь качественный анализ прочности и, в большей степени, качественная интерпретация различных сложных эффектов, наблюдаемых экспериментально при разрушении некоторых материалов.

Таким образом, критерии [38] и [41] позволяют исследовать влияние геометрических размеров трещины на характеристики разрушения за счет учета изменения физических свойств материала в зоне у вершины трещины. Однако, данные подходы связаны к асимто-тикой поля напряжений посредством коэффициента интенсивности напряжений (с учетом поправок, учитывающих наличие и влияние зон трансформаций и предразрушения), что не всегда оправданно для относительно малых по длине трещин. Фрактальные методы, за счет изменения размерности длины самой трещины, приводят к качественно аналогичнымым результатам.

Критерий В.В. Новожилова

Перечислим основные базовые принципы, на которых строится силовой критерий В.В. Новожилова [19], [20] (1969):

• твердые тела состоят из ячеек конечного размера;

• процесс разрушения осуществляется дискретно, т.е. разрушается сразу вся ячейка;

• ячейка разрушается, когда разрывающая сила, действующая на нее, превысит некоторое критическое значение;

• размер ячейки не связан напрямую с какими-либо геометрическими размерами, отражающими физическую структуру материала, т.е. ячейка задается не структурой материала, а структурой разрушения.

Таким образом, критерий В.В. Новожилова правильнее называть структурно-силовым критерием разрушения, который может быть сформулирован в следующем виде:

Здесь бИ — линейный размер структурной ячейки (структурная характеристика разрушения), выбираемая таким образом, чтобы обеспечить совпадение данного критерия с критериями Гриффитса-Ирвина в стандартных ситуация. В [10] предложено вычислять сI по следующей формуле:

Первоначально величина (I связывалась с межатомными расстояниями, размерами зерен и тому подобными конкретными геометрическими характеристиками структуры материала. Правильнее считать эту величину третьей зависимой характеристикой разрушения, отражающей структуру разрушения и масштабные соотношения двух других классических характеристик разрушения (прочности и вязкости разрушения) на данном масштабном уровне (Р.В. Гольдштейн [2], [3]). Характеристика й имеет размерность длины и, помимо всего прочего, может служить эталонной мерой, позволяющей "измерять" структурную длину трещины.

Принято считать, что критерий В.В. Новожилова связан с усреднением напряжений или "размазыванием" свойств материала и самого процесса разрушения. На самом деле, этот критерий, за счет введения дискретной ячейки разрушения и разрывающей силы, является дискретным.

Особенностью и важнейшим достоинством критерия В.В. Новожилова является также то обстоятельство, что он не зависит от степени сингулярности напряжений в вершине трещины и в его формулировке не присутствует в явном виде коэффициент интенсивности напряжений. Значит, напряжения могут подставляться в него как из асимтотических, так и из более точных формул. Поэтому данный критерий может применяться не только к стандартным задачам о разрушении материалов с относительно большими трещинами, когда достаточно знать только асимптотику напряженного состояния у вершины трещины, но и к задачам о разрушении материалов с относительно малыми по длине трещинами, где одних асимптотических формул для напряжений уже недостаточно. Кроме того, критерий В.В. Новожилова эффективно используется и в других нестандартных ситуациях, например, при анализе разрушения пластин с угловыми вырезами и выточками, острыми включениями и т.п. (см., например, [10]).

Динамические модели разрушения

Потребности современного машиностроения и в целом всей наукоемкой промышленности требуют точного прогноза прочностных свойств различных материалов и конструкций, находящихся в условиях изменяющихся во времени воздействий. Наибольший интерес и сложность для исследования представляют задачи ударно-

волнового нагружения. Стремительный прогресс в развитии новейшей измерительной аппаратуры позволил проводить уникальные и ранее невозможные эксперименты, а революционные достижения в области компьютерных технологий и программных средств дают возможность численно моделировать сложнейшие динамические процессы, делая их контролируемыми и управляемыми. Все это позволило совершить за относительно малый отрезок времени огромный рывок в развитии такой относительно молодой науки, какой является механика динамического разрушения ( см., например, [15], [18], [22]). Существенный вклад в ее развитие внесли как отечественные (H.A. Златин, Н.Ф. Морозов, B.C. Никифоровский, В.З. Пар-тон, Е.М. Шемякин и др.), так и зарубежные ученые (J. Kalthoff, W. Knauss, А. Rosakis, К. Ravi-Chandar, D. Shokey и др.). Как во всякой науке, находящийся в стадии становления, в механике динамического разрушения остается достаточно много противоречий, нерешенных проблем, необъяснимых явлений и эффектов.

Наибольшие трудности возникают при изучении высокоскоростного разрушения материалов, когда время разрушения меньше или сравнимо со временем приложения внешнего нагружения. Такая классическая характеристика разрушения, какой в рамках статики является вязкость разрушения, в динамике существенно зависит от способов приложения внешнего нагружения. При быстром нагруже-нии многие материалы способны, не разрушаясь, выдерживать нагрузки, амплитуда которых существенно превышает разрушающую нагрузку при соответствующем статическом нагружении. В ряде случаев наблюдается эффект задержки разрушения, когда материал начинает разрушаться на стадии уменьшения локального силового поля — напряжений в месте разрыва бездефектных материалов

или коэффициента интенсивности напряжений в случае материалов с макротрещинами. Данные эффекты наблюдались многими авторами (Е.И. Шемякин и B.C. Никифоровский [18], H.A. Златин [5],[6], J. Kalthoff, D. Shockey [57]).

В задачах динамического разрушения также широко как и в статических задачах используется коэффициет интенсивности напряжений и его критическое значение — динамическая вязкость разрушения. Принято считать, что для большинства материалов диаграмма зависимости динамической вязкости разрушения от времени до разрушения является эталонной и не меняется при изменении размеров имеющейся в материале трещины. Однако, как показывают данные экспериментов, это условие не всегда выполняется. Некоторые авторы, например J. Kalthoff [55], высказывают точку зрения, что эффект изменения монотонности диаграммы динамической вязкости разрушения связан с существенным изменением механических свойств отдельных материалов при высоких значениях интенсивности и скорости внешнего нагружения.

Для экспериментального исследования динамического разрушения материалов разработаны различные подходы, среди которых наиболее широкое распространение получили методы динамической фотоупругости (Т. Kobayashi [59], A. Clark [45] и др.) и методы каустик (J. Kalthoff [56], A. Rosakis [66] и др.).

Трудности объяснения многих эффектов динамического разрушения связаны не только с предельными разрешающими возможностями измерительных комплексов при экспериментальном исследовании или громоздкостью вычислений и большими затратами ресурсов комьютеров при численном моделировании динамического разрушения, но и с проблемами постановочного характера — привя-

занностью многих критериев к статическим представлениям о разрушении. Создание гибридных реологических моделей материала, в которых учитывается одновременно упругость, пластичность, вязкость, порообразование, температурные и электромагнитные эффекты и т.д., т.е. когда теория искуственно подгоняется под эксперимент или наоборот, в большинстве случаев оказывается мало эффективным.

Квазистатические критерии разрушения

Асимптотическое представление максимального растягивающего напряжения в окрестности вершины трещины I типа может быть записано в виде

KAt)

где Kj{t) — динамический коэффициент интенсивности напряжений. Классические критерии разрушения основаны на предположении, что разрушение начинается при достижении динамическим коэффициентом интенсивности напряжений критического значения, которое по аналогии со статикой принимается постоянным и, как правило, равным статической вязкости разрушения (G. Sih [68], J. Achenbach [39])

шах Ki(t) > Kic.

Однако, при высокоскоростном нагружении материалов с длинными трещинами, как показывают результаты экспериментов (D. Shockey и др. [67], [53]), критические значения коэффициента интенсивности напряжений, при которых инициируется разрушение материала, могут быть существенно выше величины Kic. Это и многие подобные несоответствия позволяют сделать вывод, что статические или

квазистатические представления о разрушении не могут быть буквально перенесены на задачи динамики.

Критерий минимального времени Кальтхоффа-Шоки

Новые подходы в развитии механики динамического разрушения связаны с попытками учета изменения во времени свойств материала при его быстром нагружении. Так, при определенных скоростях нагружения экспериментально наблюдается смена типа разрушения из хрупкого в вязкое и наоборот. Такие представления привели к введению специальной временной характеристики разрушения — динамической вязкости разрушения. Предполагается, что диаграмма зависимости динамической вязкости разрушения от времени до разрушения является эталонной для данного материала. К. Ravi-Chandar и W. Knauss [63], на основе обобщения экспериментальных результатов, предложили следующую эмпирическую формулу

, ч С

Кы(и) = К1с +

Данная зависимость графически представляется монотонно убывающей функцией, причем Kid —>• Kic при больших значениях t* и Kid >> Kic при малых значениях что подтверждает эффект увеличения критического значения коэффициента интенсивности напряжений с увеличением скорости нагружения. Однако, как показывают опыты по высокоскоростному нагружению, в некоторых случаях связь между динамической вязкостью разрушения и временем до разрушения может быть более сложной (J. Kalthoff, [55]). Так, на представленной в этой работе диаграмме зависимости Kid °т t* наблюдается экстремальная точка смены монотонности с убывания на возрастание. Данный эффект объясняется автором

зависимостью механических свойств материала от интенсивности и скорости внешнего нагружения.

J. Kalthoff и D. Shockey [57] (1977) предложили новый динамический критерий разрушения в окрестности макротрещины — критерий минимального времени ("minimum time criterion"), главным достоинством которого является учет процессов, предшествующих разрушению. Для этого авторы вводят дополнительную константу материала — инкубационное время 4Инк5 т.е. структурную характеристику, имеющую размерность времени и связанную с инкубационными микропроцессами, происходящими в материале перед его макроразрушением. Разрушение наступает, если значение Ki(t) превысит К^ в течение некоторого минимального времени, которое необходимо для развития макротрещины. В случае пороговых импульсов разрушение происходит, если в течении tHHK выполняется условие

Ki(t) > KId,

где Kid определяется по квазистатическим формулам. Значения ¿инк были найдены для некоторых материалов (Н. Homma, D. Shokey, J. Kalthoff, [53], [67]) и в большинстве случаев они имеют микросекундный порядок.

Импульсный критерий Никифоровского-Шемякина

B.C. Никифоровский и Е.И. Шемякин [18] (1979) предложили для анализа откольного разрушения "бездефектных" материалов, вызываемого кратковременными нагружающими импульсами, специальный динамический критерий, когда условием разрушения в момент времени £* является достижение локальным силовым импульсом

критического значения:

im

I cr(t)dt > Sc.

о

Данный критерий имеет несколько достоинств. Среди них важнейшим является возможность, за счет включения времени в его формулировку, учета истории нагружения, что позволяет объяснить некоторые интересные эффекты разрушения, например, возникновение зоны непрерывного дробления. Однако, в рамках такого подхода невозможен предельный переход из динамики на задачи квазистатики, т.е. в ситуации длительных нагружающих импульсов.

Структурно-временной критерий

Обобщением как критерия минимального времени Кальтхоффа-Шо-ки, так и импульсного критерия Никифоровского-Шемякина является новый универсальный критерий, предложенный Н.Ф. Морозовым, Ю.В. Петровым и A.A. Уткиным [И], [12], [25] (1990), в котором развиваются и продолжаются идеи В.В. Новожилова о физико-геометрической дискретности процесса разрушения на случаи задач динамики. Данный критерий основывается на представлениях о структурно-временной природе процесса разрушения. Линейная структурная ячейка разрушения, используемая в статическом критерии разрушения В.В. Новожилова, дополняется еще одним измерением, становясь структурно-временной. Для этого вводится специальная характеристика разрушения г, являющаяся константой материала, имеющая размерность времени и которая называется структурным временем разрушения, т.к. она связана с инкубационными процессами в структуре материала в течение короткого промежутка времени, предшествующего макроразрушению. Предполага-

ется, что разрушение произойдет, если импульс силы, действующей

на ячейку за время г, достигнет критического значения, т.е. при

выполнении следующего условия разрушения:

г в,

J сИ j егп(£,г)е/г > т(т$(1.

Ь-т о

Данный критерий имеет широкую область приложения и может применяться как к анализу условий разрушения "бездефектных" материалов, например, к задачам откола [11], так и материалов, содержащих макротрещины [12], [13], а также к задачам эрозионного разрушения [14]. Для задач откола в случае "бездефектных" материалов критерий может быть переписан в виде

<

I о-п(г)(И' > т(тf,

а для задач о разрушении в окрестности макротрещины — с помощью коэффициента интенсивности напряжений:

г

I к^г)^' > тк1с.

1.-т

В задачах разрушения "бездефектных" материалов хорошее согласование с экспериментальными данными дает структурное время, рассчитанное по формуле

д,

с

где с — максимальная скорость волн в материале. При изучении задач о разрушении материалов с макротрещинами структурное время является аналогом инкубационного времени из критерия Каль-тхоффа-Шоки

Т ~~ ¿инк»

Таким образом, в структурно-временном критерии используются три независимые характеристики разрушения — К1с, г},

которые являются надежно измеряемыми константами материала.

Главным достоинством данного критерия является, как уже отмечалось, его универсальный характер, т.к. он позволяет с единых позиций прогнозировать не только разрушение в окрестности макротрещины, но и разрушение "бездефектного" материала. Кроме того, в случаях длительного нагружения структурно-временной критерий допускает предельный переход из динамики в квазистатику, который невозможен в рамках импульсного критерия Никифоровского-Шемякина.

С помощью структурно-временного критерия нашли строгое объяснение некоторые сложные эффекты динамического разрушения: эффект "смены типа разрушения", существование зоны непрерывного дробления, разрушение на стадии уменьшения интенсивности локального силового поля и т.д. (см., например, [15]).

Содержание диссертации Цель работы

Поставлена задача о построении достаточно универсального метода анализа условий разрушения некоторых хрупких материалов, находящихся в условиях как статического, так и динамического нагружения, при котором с единых позиций тестируются прочностные свойства материалов, содержащих как макротрещину, так и трещину с достаточно малой длиной. Основываясь на линейной упругой модели деформируемого твердого тела, метод должен учитывать и объяснять влияние геометрических размеров трещины на характеристики разрушения и быть применимым к практическим расчетам.

Научная новизна

В диссертации теоретически исследованы некоторые статические и динамические задачи хрупкого разрушения упругих изотропных материалов, содержащих трещины. Анализ условий разрушения проводился на основе критерия В.В. Новожилова для статических задач и структурно-временного критерия для динамической задачи. Предложен метод учета влияния геометрических размеров трещины на характеристики разрушения.

Результаты, выносимые на защиту

• Предожен метод учета влияния геометрических размеров трещины на характеристики статического разрушения.

• Предложен способ получения с помощью структурного критерия В.В. Новожилова двухпараметрическихусловий разрушения и уравнения "кривой разрушения" для некоторых хрупких материалов, имеющих внутренние и поверхностные трещины достаточно произвольной длины.

• Предложен метод учета влияния геометрических размеров трещины на характеристики динамического разрушения.

Структура диссертации.

Диссертация состоит из введения, трех глав, разделенных на параграфы, и заключения. Общий объем диссертации составляет 104 страницы, включающих 14 рисунков и список литературы из 72 наименований.

Во введении обосновывается актуальность темы, направление исследования, формулируется цель работы, дан обзор литературы,

выделены главные противоречия между традиционными теоретическими моделями и данными экспериментов, отмечены различные возможности их преодоления, приведена краткая характеристика содержания диссертациии.

1. В первой главе исследуется влияние геометрических размеров дефектов на характеристики статического разрушения материалов с внутренними трещинами.

Рассмативается статическая задача о хрупком разрушении и равновесии упругой изотропной плоскости, содержащей трещину произвольной длины. Данная задача является тестовой в механике разрушения, т.к. имеет простое и удобное для анализа аналитическое решение.

Согласно принятым стандартам [30] критерий Ирвина применяется для трещин длины / > где сгт — начальный предел текучести. В случаях, когда длина трещины не удовлет-вояет этому условию, нельзя использовать только асимптотические формулы для напряжений при тестировании прочностных свойств и пренебегать влиянием пластической зоны у вершины трещины на характеристики разрушения. Существуют различные приближенные способы учета пластической области: схема Дагдейла, поправка Ирвина на пластичность и т.д. (см., например, [30]), имеющие достаточно узкую область применения. Отметим, что построение точного упруго-пластического решения связано с существенными вычислительными трудностями.

Некоторые авторы при исследовании условий разрушения хрупких керамик, содержащих "короткие" трещины, также модели-руютют влияние специальной зоны у вершины трещины, в которой напряженное состояние отличается от упругого. Такая

зона часто называется зоной предразушения, т.к. в ней происходят фазовые превращения или формируются и накапливаются различные микродефекты, например, поры.

Более простой подход состоит в использовании только упругого решения как на удалении от вершины трещины, так и в близи от нее. При этом, для задачи с "короткими" трещинами необходимо учитывать не только приближенные асимптотические, но и более точные представления напряженного состояния в области у вершины трещины. Такую возможность дает структурный критерий В.В. Новожилова.

В первом параграфе настоящей главы рассматривается задача о нагружении плоскости, содержащей трещину произвольной длины, прикладываемыми на бесконечности постоянными растягивающими напряжениями.

Определены двухкритериальные условия разрушения и получено уравнение "кривой разрушения", имеющей форму четверти окружности:

где Кс — предел трещиностойкости. Аналитически найдены зависимости предела трещиностойкости и разрушающего напряжения (критической нагрузки) от длины трещины. Для макротрещин вязкость разрушения и предел трещиностойкости совпадают. Установлено, что для "коротких" трещин при уменьшении длины трещины критическая нагрузка увеличивается и в пределе стремится к хрупкой прочности материала.

Во втором параграфе настоящей главы рассмотрен случай нагружения берегов трещины постоянным давлением. С точки

зрения классической механики разрушения эта задача и рассмотренная выше эквивалентны, т.е. критические нагрузки в обоих случаях должны быть одинаковы. Однако, это оказывается справедивым только для макротещин.

2. Во второй главе исследуется влияние геометрических размеров дефектов на характеристики статического разрушения материалов с поверхностными трещинами.

Рассмативается статическая задача о трехточечном изгибе хрупкого керамического образца, имеющего центральный поверхностный надрез. Такая задача является классической тестовой задачей при экспериментальном определении прочностных свойств материалов.

В первом параграфе настоящей главы приводится постановка задачи и некоторые аналитические результаты [69] (I.N. Sneddon, S.C. Das, 1971), где исследуется задача о растяжении упругой полуплоскости, ослабленной трещиной, выходящей перпендикулярно на границу полуплоскости. Поле напряжений в окрестности вершины трещин выражается через одну неизвестную функцию, для нахождения которой получено интегральное уравнение Фредгольма 2 рода.

Для численного решения интегрального уравнения методом итераций [1] составлена программа на языке TURBO PASCAL 7.0.

Во втором параграфе приводятся результаты экспериментальной работы [38] по разрушению некоторых керамических материалов с малыми трещинами, в которой предлагается специальный критерий разрушения — критерий зоны предразру-шения.

В третьем параграфе исследованы условия разрушения при помощи критерия В.В. Новожилова [19], [20].

Численно найдены зависимости от длины трещины критической нагрузки и трещиностойкости, получены двухкритериаль-ные условия разрушения, построена "кривая разрушения", для чего составлена программа на языке TURBO PASCAL 7.0.

Установлено, что для макротрещин вязкость разрушения и предел трещиностойкости совпадают, а для "коротких" трещин с уменьшением длины трещины трещиностойкость падает, Критическая нагрузка увеличивается с уменьшением длины трещины и в пределе стремится к хрупкой прочности материала. Форма "кривой разрушения", как оказалось, отличается меньшей выпуклостью от окружности, которая, как было показано в первой главе, является "кривой разрушения" для бесконечной области с внутренней трещиной. Это обстоятельство позволяет сделать вывод о том, что диаграмма "кривой разрушения" существенно зависит от способа приложения внешней нагрузки и, следовательно, не является эталонной функциональной характеристикой, связанной только с механическими свойствами материала.

Полученные теоретические результаты сопоставлены с известными из литературы экспериментальными данными по исследованию условий разрушения некоторых хрупких керамик.

К. Ando и др. ([38], 1992) провели эксперименты по разрушению аналогичных образцов, находящихся в условиях трехточечного изгиба, и на основании статистической обработки данных многочисленных экспериментов предложили специальный критерий разрушения хрупких керамик с "короткими" трещинами —

критерий зоны предразрушения ("process zone size failure criterion"), который формулируется в виде условия достижения критических размеров зоной предразрушения у вершины трещины, где формируются и накапливаются микродефекты (поры). Напряжения в такой зоне принимаются приближенно постоянными, т.е. предложенная модель близка к упруго-пластической модели Дагдейла, что не вполне корректно для рассматриваемых хрупких керамик.

Сопоставление результатов показало, что предложенный в диссертации метод анализа условий разрушения некоторых хрупких материалов с относительно малыми по длине трещинами, основанный на критерии В.В. Новожилова и критерий зоны предразрушения дают аналогичные диаграммы зависимостей предела трещи-ностойкости и критической нагрузки от длины трещины, а также близкие "кривые разрушения".

Таким образом, влияние геометрических размеров трещины на статические характеристики хрупкого разрушения материалов, в частности, на предел трещиностойкости, существенно только у "коротких" трещин.

3. В третьей главе исследуется влияние геометрических размеров дефектов на характеристики динамического разрушения материалов с макротрещинами.

Рассматривается задача о внезапном нагружении нормальным давлением поверхности дисковой трещины, содержащейся в неограниченном упругом однородном изотропном пространстве.

В первом параграфе настоящей главы приводится постановка задачи и излагаются аналитические результаты статьи [8]

(П.А. Мартынюк, 1976), в которой получено интегральное уравнение для определения динамического коэффициента интенсивности напряжений. Обсуждается метод численного решения интегрального уравнения, в котором использовались квадратурные формулы Симпсона и метод исключения Гаусса [1]. Численное обращение преобразования Лапласа проводилось с помощью матриц Беллмана [44]. Составлены программы на языке TURBO PASCAL 7.0.

Во втором параграфе исследованы условия разрушения. Анализ прочности и разрушения в вершине трещины проводился на основе структурно-временного критерия [12,25].

Для определения динамической вязкости разрушения составлена программа на языке TURBO PASCAL 7.0. Установлено, что диаграммы зависимости динамической вязкости разрушения от времени до разрушения качественно отличаются друг от друга при различных значениях радиуса дисковой трещины. При определенных значениях радиуса трещины диаграммы динамической вязкости разрушения имеют точки минимума, в которых динамическая вязкость существенно меньше статической вязкости разрушения, при этом в этих точках происходит смена характера монотонности с убывания на возрастание, т.е. такие диаграммы отличаются от классических монотонных диаграмм динамической вязкости разрушения, которые экспериментально получаются для материалов с достаточно длинными трещинами [58].

Полученные теоретические результаты о существовании критических моментов времени, в которых функция зависимости динамической вязкости разрушения от времени до разрушения ярко выра-

женно меняет характер монотонности, сопоставлены с известными из литературы данными экспериментов по высокоскоростному на-гружению.

В [55] (Л. КаНЬоЙ:, 1986) приведены аналогичные немонотонные диаграммы динамической вязкости разрушения для образцов, изготовленных из некоторых материалов (высокопрочная сталь и Ага1(Ше В), на которых также наблюдается эффект смены монотонности, но существование которого связывается автором с зависимостью механических свойств исследуемых материалов от интенсивности и скорости внешнего нагружения.

В нашем случае установлено, что диаграммы зависимости динамической вязкости разрушения от времени до разрушения не могут считаться эталонными кривыми, зависящими только от механических свойств материала, т.к. на них качественно влияют геометрические размеры трещины, т.е способ приложения внешнего нагружения.

Таким образом, влияние геометрических размеров трещины на динамические характеристики хрупкого разрушения материалов, в частности, на динамическую вязкость разрушения, существенно уже у макротрещин.

Основные результаты по теме диссертации опубликованы в 3 научных статьях ([23], [32], [62]), еще 2 работы ([24], [33]) находятся в печати.

В заключении формулируются основные результаты работы.

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Тарабан, Владимир Всеволодович

Основные результаты работы могут быть представлены следующими положениями:

1. Предложен, в рамках упругой модели материала и схемы хрупкого разрушения, способ аналитического и численного получения при помощи критерия В.В. Новожилова двухкритериальных условий разрушения материалов, имеющих внутренние и поверхностные трещины произвольной длины.

Исследована модельная статическая задача механики разрушения о трещине в упругой плоскости, растягиваемой постоянными напряжениями, приложенными на бесконечности. Отдельно исследована задача о приложении на берегах трещины постоянного нормального давления. Решена модельная статическая задача о малой поверхностной трещине в хрупком керамическом образце, который подвергается трехточечному изгибу. Установлено, что "кривая разрушения" может быть получена не только для разрушения, вызываемого одновременно полномасштабным пластическим течением и трещинообазованием, но и для хрупкого разрушения материалов с "короткими" трещинами.

2. Предложен, в рамках упругой модели материала и схемы хрупкого разрушения, теоретический метод учета влияния размеров дефектов на характеристики статического разрушения материалов и способ теоретического исследования прочностных свойств некоторых хрупких керамик с "короткими" внутренними и поверхностными трещинами.

Установлено, что влияние геометрических размеров трещины на характеристики статического разрушения проявляется существенно у относительно малых, так называемых, "коротких" трещин.

Определены зависимости разрушающей нагрузки и предела тре-щиностойкости от длины трещины. Получен и объяснен эффект падения предела трещиностойкости при уменьшении длины "короткой" трещины.

Результаты и теоретические выводы подтверждены сравнением с известными из литературы экспериментальными данными по исследованию условий разрушения некоторых хрупких керамических материалов.

3. Предложен, в рамках упругой модели материала и схемы хрупкого разрушения, теоретический метод учета влияния геометрических размеров макротрещины на характеристики динамического разрушения при помощи структурно-временного критерия разрушения.

Решена модельная задача о внезапном нагружении нормальным давлением поверхности дисковой трещины, находящейся в неограниченном упругом пространстве. Определен динамический коэффициент интенсивности напряжений, вычислена динамическая вязкость разрушения, построены диаграммы ее зависимости от времени до разрушения. Выявлено качественное отличие таких диаграмм друг от друга при различных значениях радиуса дисковой трещины, получен эффект изменения монотонности диаграммы динамической вязкости разрушения.

Проведено сравнение полученных результатов с известными из литературы данными экспериментов.

Сравнение позволило сделать вывод, что динамическую вязкость разрушения следует считать не характеристикой материала, зависящей от его механических свойств, а характеристикой конкретной задачи, которая зависит от способа приложения внешнего нагружения.

Установлено, что влияние геометрических размеров трещины на характеристики динамического разрушения существенно даже у макротрещин.

Заключение

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Тарабан, Владимир Всеволодович, 1999 год

Литература

1. Верлань А.Ф., Сизиков B.C. Интегральные уравнения: методы, алгоритмы, программы. Справочное пособие. - 1986. - Киев: Наук, думка. - 542 С.

2. Голъдштейн Р.В., Осипенко Н.М. Разрушение и формирование структуры // Доклады АН СССР. - 1978. - Т. 240. - №4. - с. 829832.

3. Голъдштейн Р.В., Осипенко Н.М. Структура и разрушение горных пород //В сб.: Построение моделей развития сейсмического процесса и предвестников землетрясений. - Вып. 1. - М. 1993. -с. 21-37.

4. Греков М.А. Напряженно-деформированное состояние полуплоскости с прямолинейным разрезом //В кн.: Механика разрушения. Теория и эксперимент. (Исследования по упругости и пластичности; Вып. 17) - СПб.: Изд. СПб. университета. - 1995. - с. 23-29.

5. Златин H.A., Пугачев Г.С. и др. Временные закономерности процесса разрушения при интенсивных нагрузках // Физика твердого тела. - 1974. - Т. 16. №6. - с. 1752-1755.

6. Златин H.A., Песчанская H.H., Пугачев Г.С. О задержанном разрушении твердых тел // Журнал техн. физики. - 1986. - Т.

56. - Вып. 2. - с. 403-406.

7. Качанов JI.M. Основы механики разрушения. - М.: Наука. -1974. - 312 С.

8. Мартынюк П.А. О дифракции продольной волны на дисковой трещине // Динамика сплошной среды. - 1976. - Вып. 25. - с. 82-91.

9. Морозов Е.М. Предел трещиностойкости в нелинейной механике разрушения. //В сб.: Современные проблемы механики и авиации. - М. 1982. - с. 203-215.

10. Морозов Н.Ф. Математические вопросы теории трещин. - М. Наука. - 1984. - 256 С.

11. Морозов Н.Ф., Петров Ю.В., Уткин A.A. Об анализе откола с позиций структурной механики разрушения // Докл. АН СССР. -1990. - Т. 313. - №2. - с. 276-279.

12. Морозов Н.Ф., Петров Ю.В. Динамическая вязкость разрушения в задачах инициирования роста трещин // Изв. АН СССР Мех. твердого тела. - 1990. - №6. - с. 108-111.

13. Морозов Н.Ф., Петров Ю.В. О структурно-временном описании скоростной зависимости динамической вязкости разрушения хрупких материалов // Изв. РАН. Мех. твердого тела. - 1993. - №6. - с. 100-104.

14. Морозов Н.Ф., Петров Ю.В. О пороговых скоростях эрозионного разрушения поверхностей твердых тел // Изв. РАН. Мех. твердого тела. - 1996. - №3. - с. 72-75.

15. Морозов Н.Ф., Петров Н.Ф. Проблемы динамики разрушения твердых тел. - СПб.: Изд. СПб. университета. - 1997. - 132 С.

16. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. - Изд. 4. - М.: Изд. АН СССР. - 1954. - 647 С.

17. Нейбер Г. Концентрация напряжений. - М.;Л. - 1947. - 204 С.

18. Никифоровский B.C., Шемякин Е.И. Динамическое разрушение твердых тел. - Новосибирск. - 1979. - 271 С.

19. Новожилов В.В. О необходимом и достаточном критерии хрупкой прочности // Прикл. мат. и мех. - 1969. - Вып. 2. - с. 212-222.

20. Новожилов В.В. К основам теории равновесных трещин в упругих телах // Прикл. мат. и мех. - 1969. - Вып. 5 - С. 797-802.

21. Панасюк В.В. Деформационные критерии в механике разрушения // Физ.-хим. механика материалов. - 1986. -№7. - с. 7-17.

22. Партон В.З., Борисковский В.Г. Динамика хрупкого разрушения.

- М. - 1988. - 239 С.

23. Петров Ю.В. Тарабан В.В. О двухкритериальных моделях разрушения хрупких материалов // Вестник СПб университета. - 1997.

- Сер. 1. - Вып. 2 (N58). - с. 78-81.

24. Петров Ю.В. Тарабан В.В. Двухкритериальный анализ хрупкого разрушения образцов с малыми поверхностными повреждениями // Вестник СПб университета. - 1999. ( в печати).

25. Петров Ю.В., Уткин A.A. О структурно-временном критерии динамического разрушения хрупких сред // Вестник Ленингр. университета. - 1990. - Сер. 1. - Вып. 4. - с. 52-58.

26. Работное Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. - М.: Наука. - 1988. - 712 С.

27. Савин Г.Н. Концентрация напряжений около отверстий. - М.;Л.: Гостехиздат. - 1951. - 496 С.

28. Саврук М.П. Двумерные задачи упругости для тел с трещинами. - Киев: Наук, думка. - 1981. - 324 с.

29. Си Г., Либовиц Г. Математическая теория хрупкого разрушения. В кн.: Разрушение. Под ред. Г. Либовица. Т.2. (Математические основы теории разрушения). - М.: Мир. - 1975. - 763 С.

30. Сиратори М.} Миеси Т., Мацусита X. Вычислительная механика разрушения. - М.: Мир. - 1986. - 334 С.

31. Слепян Л.И. Механика трещин. - Л. - 1981. - 295 С.

32. Тарабан В.В. Масштабный эффект при разрушении образцов с дефектами поверхности //В кн.: "Современные проблемы прочности". Труды II Междунар. семин. им. В.А. Лихачева (Старая Русса, 5-9 октября 1998 г.). - 1998. - Т. 2. - с. 168-170.

33. Тарабан В.В. О влиянии геометрических размеров дефекта на динамическую вязкость разрушения // Вестник молодых ученых. Прикладная математика и механика. - 1999. (в печати).

34. Храпков A.A. Первая основная задача для кусочно-однородной плоскости с разрезом, перпендикулярным к прямой раздела // Прикл. мат. и мех. - 1968. - Т. 32. №4. - с. 647-659.

35. Храпков A.A. Задачи об упругом равновесии бесконечного клина с разрезом в вершине, разрешенные в замкнутой форме // Прикл. мат. и мех. - 1971. - Т. 35. №6. - с. 1062-1069.

36. Черепанов Г.П. Механика хрупкого разрушения. - М.: Наука. -1974. - 640 С.

37. Черных К.Ф. Введение в физически и геометрически нелинейную теорию трещин. - М.: Наука. - Физматлит. - 1996. - 288 С.

38. Ando К., Kim В.A., Iwasa М., Одига N. Process zone size failure criterion and probabilistic curves for ceramics // Fatigue and fracture of engineering materials and structures. - 1992. - Vol. 15. - N 2. -pp. 139-149.

39. Achenbach J.D. Dynamic effects in brittle fracture // Mechanics Today /S. Neamat-Nasser. - 1972. - Vol. 1. - pp. 1-57.

40. Andreasen J.P., Karihaloo B.L. Surface cracks in transformation toughening ceramics // Int. J. Solids Structures. - 1994. - Vol. 31. - N 1.

- pp. 51-64.

41. Andreasen J.P., Karihaloo B.L. Fatigue crack growth from small surface cracks in transformation-toughened ceramics //J. Am. Ceram. Soc. - 1995. - Vol. 78. - N 2. - pp. 406-410.

42. Andreasen J.P., Karihaloo B.L. Arrest of fatigue cracks in transformation-toughened ceramics //J. Am. Ceram. Soc. - 1996. - Vol. 79. - N 3. - pp. 655-658.

43. Bazant Z.P. Scaling of quasibrittle fracture: asymptotic analysis // Int. Journ. Tract. - 1997. - Vol. 83. - pp. 19-40.

44. Bellman R., Kalaba R. Lockett J. Numerical inversion of the Laplace transform. - New York. - 1966. - 249 P.

45. Clark А.В., Sandford R.J. Static and dynamic calibration of fotoelas-tic model materials // Proc. Soc. Exp. Stress Anal. - 1956. - Vol.

14. N 1. - pp. 195-204.

46. Dally J.W. Dynamic photoelastic studies of fracture // Exp. Mech. -1979. - Vol. 19. - pp. 349-361.

47. De los Rios E.R., Ando K., Biddulph R.H. Fracture and defect as-sesment of ceramic composites // Fatigue and fracture of engineering materials and structures. - 1990. - Vol. 13 - pp. 431-442.

48. Dowling A.R., Townley C.H. The effect of defect on structural failures: a two-criteria approach // Int. J. Pressure, Vessels and Piping. - 1975. - Vol. 3. - pp. 77-108.

49.. Fett T., Munz D. Bridging stress relations for ceramic materials // Journal of European Ceramic Society. - 1995. - Vol. 15 - pp. 377383.

50. Griffith A.A. The phenomena of rupture and flow in solids // Phil. Trans. Roy. Soc. of London - 1921. - A 221. - pp. 163-197.

51. Griffith A.A. The theory of rupture // Proc. 1st. Int. Congress Appl. Mech. - 1924. - pp. 55-63.

52. Harrison R.P., Loosemore K., Milne I., Dowling A.R. Assessment of the integrity of structure containing defects // Cent. Elec. Generating Board Rep. - 1980. - R/H/R6. - Rev. 2.

53. Homma H., Shockey D.A., Murayama Y. Response of cracks in structural materials to short pulse loads //J. Mech. Phys. Sol. - 1983. -Vol. 31. - N 3. - pp.261-279.

54. Irwin G.R. Analysis of stress and strains near the end of a crack trav-esting a plate // Journal of applied mechanics. - 1957. - Vol. 24. -N 3. - pp. 361-364.

55. Kalthoff J.F. Fracture behavior under high rates of loading // Engrg. Fract. Mech. - 1986. - Vol. 23. - pp. 289-298.

56. Kalthoff J.F., Beinert J., Winkler S. e.a. Measurement of dynamic stress intensity factor for fast running and arresting cracks in double-cantileverbeam speciments // Fast Fracture and Crack Arrest. - ASTM STP 627. - 1977. - pp. 161-176.

57. Kalthoff J.F., Shockey D.A. Instability of cracks under impulse loads // J. Appl. Phys. - 1977. - Vol. 48. - pp. 986-993.

58. Knauss W.G. Fundamental problems in dynamic fracture // Adv. Fracture Res.: Proc. 6th ICF / S.R.Vallury. Oxford. N.Y. - 1984. - Vol. 1. - pp. 625-652.

59. Kobayashi T., Dally J. W. Relation between crack velosity and stress intensity factor in birefringent polymers // Fast fracture and crack arrest. ASTM STP 627. - 1977. - pp. 257-273.

60. Koiter W.P. Approximate solution of a Wiener-Hopf type equation with applications // Nederl. Akad. Wetensch. Proc. - 1954. - Ser. B 57. - pp. 558-579.

61. Petrov Y.v., Morozov N.F. On the modeling of fracture of brittle solids // ASME J. Appl. Mech. - 1994. - Vol. 61. - pp. 710-712.

62. Petrov Y. V., Taraban V. V. On process zone size criteria of fracture in brittle solids // Phys.- Chemic. Mechanics of Materials. - 1999. -№1. - P. 112-113.

63. Ravi-Chandar K., Knauss W.G. An experimental investigation into dynamic fracture: 1. Crack initiation and arrest // Internat. J. Fracture. - 1984. - Vol. 25. - pp. 247-262.

64. Ravi-Chandar K., Knauss W.G. An experimental investigation into dynamic fracture: 2. Microstructural aspects // Internat. J. Fracture. - 1984. - Vol. 26. - pp. 65-80.

65. Ravi-Chandar K., Knauss W.G. An experimental investigation into dynamic fracture: 3. On steady state crack propagation an crack branching // Internat. J. Fracture. - 1984. - Vol. 25. - pp. 141-154.

66. Rosakis A. J., Zehnder A.T., Narasimhan R. Caustics by reflection and their application to elastic-plastic and dynamic fracture mechanics // Opt. Engrg. - 1988. - Vol. 27. - N 8. - pp. 596-610.

67. Shockey D.A., Erlich D.C., Kalthoff J.f. Short-pulse fracture mechanics // Engrg. Fracture Mech. - 1986. - Vol.23. - pp. 311-319.

68. Sih G.C. Some elastodynamics problems of cracks // Internat. J. Fracture Mech. - 1968. - Vol. 4. - pp. 51-68.

69. Sneddon I.N., Das S.C. The stress intensity factor at the tip of an edge crack in an elastic half-plane // Int. J. Engng Sci. - 1971. - Vol. 9. - pp. 25-36.

70. Srivastav R.P., Narain Prem. Certain two-dimensional problems of stress distribution in wedge-shaped elastic solids under discontinuous load // Proc. Camb. Phil. Soc. - 1965. - Vol. 65. - pp. 945-954.

71. Stallybrass M.P. A crack perpendicular to an elastic half-plane // Int. J. Engng Sci. - 1970. - Vol. 8. - N 5. - pp. 351-362.

72. Wigglesworth L.A. Stress distribution in a notched plate // Mathe-matika. - 1957. - Vol. 4. - N 7. - pp. 76-96.