Когезионная краевая трещина в полуплоскости тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат наук Ле Тхи Тхань

• Ле Тхи Тхань
• кандидат наук
• 2018

Оглавление диссертации кандидат наук Ле Тхи Тхань

Введение

1. Обзор исследований по теме диссертации

1.1. Предмет исследования

1.2. Когезионная трещина

1.3. Задача о краевой трещине в полуплоскости

1.4. Заключительные замечания

2. ЗАДАЧИ О ПОЛУПЛОСКОСТИ, НАГРУЖЕННОЙ ПО ГРАНИЦЕ, И О ПОЛУБЕСКОНЕЧНОЙ КОГЕЗИОННОЙ ТРЕЩИНЕ В ПЛОСКОСТИ

2.1. Предварительные замечания

2.2. Задача о полуплоскости, к границе которой приложена самоуравновешенная нагрузка

2.3. Задача о полубесконечной когезионной трещине в плоскости

3. ПОЛУПЛОСКОСТЬ С КРАЕВОЙ ТРЕЩИНОЙ НОРМАЛЬНОГО РАЗРЫВА

3.1. Постановка задачи

3.2. Уравнения Ирвина

3.3. Интегральное уравнение

3.4. Решение интегрального уравнения

3.5. Коэффициент интенсивности напряжений

4. КОГЕЗИОННАЯ КРАЕВАЯ ТРЕЩИНА В ПОЛУПЛОСКОСТИ

4.1. Постановка задачи

4.2. Перемещение кромки трещины

4.3. Алгоритм решения задачи

4.4. Результаты расчетов

4.5. Заключительные замечания

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

ПРИЛОЖЕНИЕ (СПРАВОЧНОЕ). ЗАДАЧА О ПРЯМОЛИНЕЙНОЙ

ТРЕЩИНЕ В ПЛОСКОСТИ

ЛИТЕРАТУРА

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы диссертации

Развитие механики разрушения последние десятилетия характеризируется растущим интересом исследователей к когезионным моделям трещин. Это обусловлено распространением методов механики разрушения на исследование бетона, керамик, композитов и других материалов, свойства которых заметно отличаются от свойств металлов и металлических сплавов. Представляет также интерес гипотеза о связи аномальных закономерностей роста коротких усталостных трещин с распределением когезионных сил (сил сцепления) вдоль их кромок.

Однако применение когезионных моделей резко усложняет теорию, особенно, если используются нелинейные определяющие соотношения для когезионных сил. Аналитических решений получающихся краевых задач не существует. Численные методы решения разделяются на две группы: прямые методы (метод конечных разностей и т.п.) и численно-аналитические методы, в которых максимально используются возможности аналитического решения. Методы второй группы не универсальны, зато для тех задач, к которым они применимы, с их помощью получается решение, сколь угодно близкое к точному, которое может служить эталоном для прямых методов.

В настоящей диссертации представлен численно-аналитический метод решения задачи о когезионной краевой трещине в полуплоскости. Аналогичные методы решения этой задачи неизвестны, и, таким образом, тема диссертации актуальна.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Когезионная краевая трещина в полуплоскости»

Цель работы

Целью диссертационного исследования является разработка численно-аналитического метода решения задачи о когезионной краевой трещине в полуплоскости.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Численно-аналитический метод решения задачи о когезионной краевой трещине в полуплоскости.

2. Усовершенствование метода Ирвина для решения задачи о краевой трещине в полуплоскости.

3. Обобщение и уточнение решения задачи о когезионной полубесконечной трещине в полуплоскости.

4. Результаты численных расчетов, позволяющие сделать вывод об эффективности предложенного численно-аналитического метода.

Научная новизна работы

1. Разработан метод решения задачи о когезионной краевой трещине в полуплоскости.

2. Усовершенствован метод Ирвина для решения задачи о краевой трещине в полуплоскости.

3. Обобщено и уточнено решение задачи о когезионной полубесконечной трещине в полуплоскости.

Практическая ценность исследования

1. Решения, полученные разработанным методом, могут быть использованы как эталон при тестировании прямых методов решения.

2. Разработанный метод может быть использован при построении решений для сред с физической и (или) геометрической нелинейностью.

Достоверность результатов

Достоверность полученных результатов подтверждается корректностью использованных методов исследования, согласованностью решений тестовых задач с аналитическими решениями или численными решениями других исследователей.

Апробация работы

Результаты исследования обсуждались на Международных научно-технических конференциях «Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики» (Воронеж, 2015, 2017 гг.), IV Всероссийской конференции «Механика деформируемого твердого тела» (Воронеж, 2016 г.), 1-ой Всероссийской конференции «Вопросы прикладной математики и проблема взаимодействия твердых тел с жидкой и газовой средой», посвященной 85-летию со дня рождения И.А. Кийко (ИПМех. РАН, Москва, 2017 г.), Всероссийских научно-технических конференциях «Техника XXI века глазами молодых ученых и специалистов» (ТулГУ, Тула, 2015, 2016 гг.), семинаре по МДТТ им. Л.А. Толоконникова (руководитель - проф. А.А. Маркин), ежегодных научно-технических конференциях профессорско-преподавательского состава ТулГУ.

Публикации

Основные результаты диссертации изложены в девяти публикациях, в том числе в пяти статьях в журналах из перечня ВАК.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, четырех разделов, заключения и справочного приложения. Объем работы - 100 страниц, включая 26 рисунков и 6 таблиц. Список литературы содержит 110 наименований.

В первом разделе приведен обзор литературы по теме диссертации. Второй раздел содержит решение задачи о полуплоскости, нагруженной по

граничному контуру. Рассмотрен общий случай ориентации полуплоскости относительно координатных осей. Решение получено новым методом. Кроме того, в разделе 2 приведено усовершенствованное решение задачи о когезионной полубесконечной трещине в плоскости. Решения задач, приведенные в разделе 2, используются в последующих разделах диссертации.

В третьем разделе изложено решение задачи о краевой трещине в полуплоскости. Это решение находится методом Ирвина. В метод внесены изменения, упрощающие вывод основных уравнений и повышающие точность вычислений.

Четвертый раздел посвящен описанию метода решения задачи о когезионной краевой трещине в полуплоскости при нелинейном определяющем соотношении для сил сцепления.

В заключении приведены выводы по работе.

Приложение содержит основные формулы решения задачи о прямолинейной трещине в плоскости.

Нумерация формул, таблиц и рисунков дается в пределах раздела. При ссылке на формулу из другого раздела перед ее номером ставится номер раздела. Например, запись (2.3) означает ссылку на формулу (3) из раздела 2.

1. ОБЗОР ИССЛЕДОВАНИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1.1. Предмет исследования

Задачи механики разрушения многообразны. Выделим из них класс задач, имеющих отношение к теме диссертационного исследования. Будем рассматривать только плоские квазистатические задачи. Область, занимаемая телом, в такой постановке - часть плоскости П, ограниченная непересекающимся кусочно-гладким контуром I. Предполагается, что эта область содержит прямолинейную краевую трещину (рис. 1). И область, и распределение нагрузок обладают симметрией, так что эта трещина представляет собой трещину нормального разрыва [1].

Сузим класс рассматриваемых задач еще больше: будем считать, что длина трещины намного меньше характерного размера области П. При этом расчетная схема, изображенная на рис. 1, упрощается: теперь это краевая трещина в полуплоскости (рис. 2). Нагрузки могут быть самыми

разнообразными: приложенными на бесконечности, внутри области, к кромкам трещины, к границе полуплоскости; а также массовыми или термическими.

Рис. 2. Полуплоскость с краевой трещиной.

Механические свойства материала также могут быть различными; деформации, вообще говоря, конечны.

При всем многообразии нелинейных задач, которые могут быть при таких условиях поставлены, метод их решения, по существу, один и тот же -это метод последовательных приближений (метод упругих решений в той или иной форме). Каждый шаг этого метода представляет собой решение краевой задачи линейной теории упругости для схемы, изображенной на рис. 2. Решению таких задач, возникающих в каждой итерации, посвящена данная диссертация.

В силу их линейности решение представляется суперпозицией решений задачи для полуплоскости без трещины и полуплоскостью с трещиной, нагруженной только по её кромкам (рис. 3). Это известный прием [2]. Предполагается, что решение задачи для полуплоскости без трещины найдено. Это значит, что найдено также распределение нагрузок на кромки трещины, которое нужно компенсировать, решая задачу для «второго слагаемого» на рис. 3.

мм мм

-X / — /

\ \ \

+

^ \

- \

Рис. 3. Решение задачи как суперпозиция решений двух задач.

Получить решение задачи для полуплоскости без трещины значительно проще, чем для полуплоскости с трещиной. Поэтому без потери общности можно говорить о решении задачи для полуплоскости с трещиной, нагруженной по кромкам, как о решении задачи для полуплоскости с трещиной в общем случае. В настоящей диссертации рассматривается эта вторая, более сложная задача - задача о линейно упругой полуплоскости с трещиной нормального разрыва, к кромкам которой приложена произвольно распределенная нагрузка.

Корректное применение метода упругих решений в задачах нелинейной механики разрушения предполагает использование модели трещины, в которой кончик трещины не является особой точкой поля напряжений. Это модель когезионной трещины, отличающаяся от классической трещины Гриффитса [1] тем, что ее кромки притягиваются друг к другу. Расчетная схема краевой когезионной трещины в полуплоскости изображена на рис. 4. На отрезке х а ~ Ь,а] распределены силы сцепления (когезионные силы), притягивающие друг к другу

1.2. Когезионная трещина

противоположные кромки трещины. Отрезок х а ~ Ь, а] называется концевой областью (зоной сцепления, когезионной зоной).

Рис. 4. Полуплоскость с краевой когезионной трещиной: 1 - граница

полуплоскости; 2 - трещина длиной а; 3 - когезионная зона длиной Ь.

Когезионные трещины или, иначе, модели трещины с силами сцепления были впервые рассмотрены в работах Леонова и Панасюка [3], Баренблатта [4 - 8] и Дагдейла [9].

В модели Леонова-Панасюка предполагается, что силы сцепления не зависят от х, то есть постоянны во всей когезионной зоне. При этом ограничений на длину этой зоны не накладывается: она может занимать всю трещину. В такой постановке задачи силы сцепления моделируют силы межмолекулярного притяжения кромок трещины. Величина сил сцепления связана с внешними нагрузками условием конечности напряжений в кончике трещины.

Модель Баренблатта основана на трех постулатах (изложение ведется в соответствии с работой [10]):

1. Напряжения в кончике трещины конечны;

2. Длины зоны сцепления много меньше длины трещины, то есть Ь ^ а (рис. 3);

3. При продвижении трещины распределение сил сцепления относительно её кончика не изменяется.

Из первых двух постулатов следует, что средняя величина модуля сил сцепления значительно превосходит соответствующую величину внешней нагрузки и, как следствие, напряженно-деформированное состояние ближайшей окрестности кончика трещины полностью определяется силами сцепления. Чтобы найти параметры этого состояния, достаточно воспользоваться расчетной схемой полубесконечной трещины в плоскости

Рис . 5. Полубесконечная трещина в плоскости. 1 - трещина; 2 - когезионная

зона.

Можно показать [4 - 8, 10], что при выполнении этих постулатов удельная высвобожденная энергия при росте трещины не зависит от распределения сил сцепления и равна величине, получаемой для гриффитсовой, некогезионной, модели трещины.

Модель Дагдейла предназначена для приближенного описания упругопластического деформирования тела с трещиной в условиях плоского напряженного состояния [11]. Под собственно трещиной в ней понимается часть трещины е [0, а - Ь], на которой нет сил сцепления. Когезионная зона

моделирует пластическую область. Такая форма этой области подсказана экспериментами [9]. Математически модель Дагдейла оказывается полностью эквивалентной модели Леонова-Панасюка.

(рис. 5).

1

2

Рассмотренные три модели различны, но имеют одно общее исходное допущение. Это условие конечности напряжений в кончике трещины или, как его иногда называют, условие уничтожения особенностей. Для трещины Гриффитса нормального разрыва асимптотические выражения напряжений имеют вид [1, 2]

к, ел . е . зел

стп = ,—— соб

к, е . е зе

СТ10 = ,—— СОБ— Б1П— СОБ"

,-соо 1 - Бт — Бт , = --СОО О1П СОО

л/2 л г 2 V 2 2 ) >/2 л г 2 2 2

к еЛ . е . зеЛ

1 + Б1П— Б1П-

V 2 2 )

(1)

а22 =СОБ

X = г соб е; х2 = г б1п е

I ^ио

у2лг 2

Здесь г, е - полярные координаты (рис. 5), К1 - коэффициент интенсивности напряжений. Необходимым и достаточным условием конечности напряжений в кончике трещины является равенство

К, = 0 (2)

Удельная высвобожденная энергия у при росте трещины связана для трещины Гриффитса с коэффициентом интенсивности напряжений формулой [1, 2] (напомним, что речь идет о трещине в линейно упругом материале при малых деформациях):

1 -V2 ,

О = 2у = —— К2 (3)

Е

где множитель 2 учитывает наличие у трещины двух кромок, Е - модуль Юнга, V - коэффициент Пуассона [11].

Для когезионной трещины формула (3) не годится. Чтобы выяснить, в чем тут дело, рассмотрим некоторую область Q, ограниченную замкнутым кусочно-линейным контуром Г (рис. 6). Дальнейшее изложение опирается на работу [12]. Контур Г охватывает кончик трещины, когезионную зону и проходит по кромкам трещины (рис. 6). Термодинамический процесс предполагается изотермическим. Уравнение энергического баланса (первый закон термодинамики) для области Q записывается в виде

где рк - вектор распределенных усилий, приложенных к контуру Г; ик -вектор перемещений; к - индекс, принимающий значения 1,2; г - время; р - плотность материала; / - удельная свободная энергия (энергия Гельмгольца). Силы р^ включают в себя как внешнюю по отношению к области О нагрузку qk, так и силы сцепления gk. При этом равенство (4) принимает вид

/^/^Г-^О (5)

Рис. 6. Область О, прилегающая к кончику трещины. Стрелками показано направление обхода граничного контура Г.

Полагаем, что трещина растет со скоростью

. ¿а

а — — (6)

дХ

При этом уравнение (5) изменится за счет того, что образуется новая поверхность:

к ^МГ + \gk ^имг - Гр£ ¿О + дН (7)

¡нк дг к дг £ дг дг

где Н - поверхностная энергия.

Пусть теперь контур Г жестко связан с кончиком движущейся трещины. При этом в области О новой поверхности не образуется, и уравнение энергического баланса для нее будет иметь вид (4) с тем отличием,

что производные по времени будут включать в себя конвективные слагаемые, обусловленные движением области Ь:

IА

jpfd П

du, du

duLd г= d_ ^ _ dt dt ^ dt dt

du,.

A f k •

dx

d jp/d П = jpd^d П + j nfipfdr

(8)

Ж Ь Ь ^ г где п - проекция единичной внешней нормали к контуру Г на ось абсцисс. Получаем

{ Пар/Ж Г = а {р/ЖХ2 (9)

dxn

dxn

n = 2 - = -21

dx} )2 +( dx2 )2 dr

Равенство (8) принимает вид

du г df

I Pkkdr ~ i Р f d П = 4 pfdx2 - 4 pkkrdr

dt

dt

г П

Его подстановка в выражение (7) дает

дИ

dxj

(10)

dH . г

-= <2

5f J

д u,.

pfdx2 -(q+^k )-^d г

(ii)

или

dH da

+j * td r = I

du

pfdx2 -4k-TLdг

г dx! г L dxi _

Правая часть выражения (12) называется J -интегралом [2]. Величина dH/da найдена Ирвином (Irwin) [13]:

dH 1 -v2

(12)

da

E

■K 2

(13)

Формула (13) справедлива для плоской деформации; для плоского напряженного состояния множитель 1 -V2 отсутствует. Пусть & - модуль сил сцепления. Тогда

& = 0; g2 = - g (14)

Второе слагаемое в левой части равенства (12) принимает вид (рис. 5)

г

г

| gk ^Т = -2 } g (*) ^ = 2] g (г )dv (15)

г С*1 -Ь ^ 0

где обозначено:

* = Л!; v = м2; vм = v (-Ъ) (16)

Введем в рассмотрение потенциал сил сцепления

V

Ж (V ) = { g (Л^Л; Жм = Ж (^ ) (17)

о

С учетом соотношений (13), (17) равенство (12) запишется как:

1 -V

2

К + 2Жм = 3 (18)

Е

Для трещины Гриффитса Ж = 0 и (см. формулу (3)) 3 = О. Согласно Гриффитсу [1, 2], величина О - материальная константа. Соответствующие ей величины 3 и К1 обозначаются индексом С, так что

1 -V2

3с = — Ксс (19)

Е

В общем случае, когда Ж ф 0, равенство (12) для растущей трещины записывается в виде

1 -V

2

к;+2Жм = 3с (20)

Е

где 3 - материальная константа.

В моделях Леонова-Панасюка, Баренблатта и Дагдейла выполняется равенство (2). При этом условие продвижения трещины (20) преобразуется к виду:

Жм = ^ (21)

Будем далее говорить о когезионных трещинах, для которых справедливы равенства (2), (21), как о когезионных трещинах первого рода. Их использование в методах решения различных задач механики разрушения представляет определенные трудности из-за необходимости выполнения равенства (2). Это замечание относится, конечно, к численным методам.

Когезионные трещины первого рода нашли применение в ряде исследований. Так, Шейпри (Schapery) использовал модель Баренблатта для моделирования роста полубесконечной трещины в вязкоупругой плоскости [14]. Отметим, что в статьях [3-9, 14] в качестве примеров рассматривались только задачи, имеющие достаточно простое аналитическое решение. Это задачи о конечной и полубесконечной трещине в плоскости. Более сложные задачи решались в последующих исследованиях.

Модель Баренблатта для упругих задач эквивалентна модели Гриффитса, и поэтому ее использование в аналитических решениях вносит лишь ненужное усложнение. Это, однако, не так для численных решений. Лавит разработал конечноэлементный метод, обеспечивающий выполнение постулатов Баренблатта и делающий легко доступными решения широкого класса задач линейной и нелинейной (благодаря конечности напряжений в кончике трещины) механики разрушения [15 - 17 и др.].

Задача о краевой трещине Леонова-Панасюка-Дагдейла в полуплоскости (рис. 4) представляет собой частный случай задачи, расчетная схема которой изображена на рис. 2, при произвольной нагрузке, приложенной к кромкам трещины. Эта задача имеет аналитическое решение (см. п. 1.3). На его основе и получены решения для задачи о краевой трещине Леонова-Панасюка-Дагдейла [18 - 20].

Бовье (Bowie) и Трейси (Tracy) использовали модель Дагдейла в задачах о трещине в кривом брусе и трещине в полуплоскости [21]. В отличие от работ [18 - 20], где было найдено точное решение, в работе [21] получено приближенное, но зато весьма простое решение. Также приближенные решения ряда задач, в том числе и задачи о трещине в полуплоскости, найдены для трещины Леонова-Панасюка-Дагдейла в работах [22, 23].

Модель трещины в работе Хуанга (Huang) [24] отличается от моделей, рассмотренных выше. Выбранная им зависимость интенсивности сил сцепления от перемещений кромок трещины (на основании закона

взаимодействия атомных слоев) существенно нелинейна. Отличие модели Хуанга от модели Баренблатта в том, что в ней нет требования выполнения второго постулата Баренблатта. Хуанг рассмотрел задачу о конечной трещине в плоскости. Он вывел нелинейное интегральное уравнение, которое решил методом Ньютона совместно с методом коллокаций [25, 26].

Та же задача рассмотрена в статьях Унгсуварунгсри (Ungsuwarungsri) и Кнаусса (КпашБ) [27, 28]. В отличие от работы [24] эти исследователи использовали для решения нелинейной задачи метод последовательных приближений [25]. Аналогичный подход, позволивший решить немало практически важных задач, применен в работах Мирсалимова и его учеников [29 - 32 и др.]. Частный случай задачи, рассмотренной в работах [24, 27, 28], а именно, когда раскрытие трещины и интенсивность сил сцепления связаны линейной зависимостью, изучен в статье Кларина (С1аг1п) [33].

Отказ от условия малости длины когезионной зоны по сравнению с длиной трещины резко усложняет методы численного решения задачи. В работах [34 - 37] предложена модификация метода конечных элементов для решения задач с когезионной зоной произвольной длины. Условие конечности напряжений в кончике трещины приводит к уравнению, определяющему длину когезионной зоны. В работах [34 - 37] эта величина интерпретируется как некое собственное значение задачи, которая формулируется поэтому как нелинейная задача о собственных значениях. Ее решение находится итерационным методом. Другой подход, но также основанный на методе конечных элементов и методе последовательных приближений, изложен в статье [38].

Возникает вопрос, ради чего усложнять теорию, отказываясь от второго постулата Баренблатта? Оказывается, и это подтверждают многочисленные публикации, прочностные свойства бетона, полимеров, композиционных материалов успешно моделируются с помощью задания тех или иных определяющих соотношений для сил сцепления. Но не только это. Аномальные закономерности усталостного роста коротких трещин [39 - 41],

возможно, обусловлены действием сил сцепления. С этой точки зрения короткие трещины - это такие трещины, у которых длина когезионной зоны соизмерима с длиной трещины. Эта гипотеза была сформулирована, по существу, в работе Стахле (Stahle) [42]. Даже само явление усталостного роста трещин можно математически моделировать, используя различные определяющие соотношения для сил сцепления при активном нагружении и разгрузке [43 - 45].

Все это стимулирует новые и новые попытки усовершенствовать теорию. Более общая модель когезионной трещины, чем рассмотренные выше, получается при отказе от обязательного выполнения равенства (2). О таких трещинах, где допустима сингулярность поля напряжений в кончике трещины, а рост трещины подчиняется условию (20), будем говорить как о когезионных трещинах второго рода. Теория таких трещин развивалась в работах Роуса (Rose) [46], Будянского (Budiansky) и др. [47], Гольдштейна и Перельмутера [48, 49 и др.], Мирсалимова и др. [50, 51 и др.], Найрна (Nairn) [52] и др. (см. например, обзор [53]).

Модель когезионной трещины второго рода представляет большие возможности исследователю. Это, однако, сопряжено с существенным усложнением методов решения задач, особенно, прямых методов (метод конечных элементов и т.п.) [54]. Поэтому рано или поздно должна была произойти попытка «разрубить гордиев узел» - резко упростить постановку задачи в ущерб строгости решения. Новый подход был впервые сформулирован в статье Хиллерборга (Hillerborg) и др. [55]. Суть его в том, что условие роста трещины принимается в виде (21), но при этом не накладывается требования выполнения равенства (2). Легко видеть, что при этом уравнение энергического баланса (20) не выполняется.

Теория Гриффитса - механика разрушения в узком смысле слова -основана на двух положениях. Первое - это представление трещины математическим разрезом в сплошной среде. Второе - это то, что выделяющаяся при росте трещины энергия идет на создание новых

поверхностей - границ трещины, что математически выражается соотношением (20). Поэтому естественно говорить о трещинах, для которых соотношение (20) не выполняется, как о негриффитсовых когезионных трещинах. Они нашли широкое применение в прямых методах решения задач механики разрушения, потому что в данном случае сингулярность поля напряжений и все вычислительные проблемы, с ней связанные, просто игнорируются. Теоретические аспекты этого подхода изложены в статьях Твергаарда (Tvergaard) и Хатчинсона (Hutchinson) [56], Ксу (Xu) и Нидлмана (Needleman) [57]. Анализ последующих работ представлен в обзорах [58 -61]. Разработанные численные методы используются в прочностных расчетах ([62] и др.).

Остановимся еще на терминологии. Согласно работе [53], трещина, удовлетворяющая равенству (2), называется «cohesive crack» («когезионная трещина»), а неудовлетворяющая - «bridged crack» («мостиковая трещина» или «трещина с перемычками»). Можно, конечно, термин «bridged crack» перевести как «трещина со связями», но это будет то же самое, что и «когезионная трещина». Терминология работы [53] не общепринята и, главное, она не отражает различие между типами трещин. Поэтому здесь она не используется.

Подведем итог. Известны решения задач для трещин первого и второго рода при нелинейной связи интенсивности сил сцепления и раскрытия трещины, но это решения задач для трещины в плоскости. Известны решения задач для краевой трещины в полуплоскости при использовании модели Леонова-Панасюка-Дагдейла. Известно также решение задач для полуплоскости при линейной связи интенсивности сил сцепления и раскрытия трещины, полученное Вангом (Wang) и Дэмпси (Dempsey) [63]. Однако общий случай нелинейных определяющих соотношений для сил сцепления не рассматривался.

Конечно, эта задача может быть легко решена с помощью какой-либо конечноэлементной программы, использующей модель негриффитсовой

когезионной трещины. Но к сказанному об упомянутой модели необходимо еще добавить, что цель настоящего диссертационного исследования -получение результатов, точность которых не подлежит сомнению и которые поэтому могут служит тестом для конечноэлементных решений.

1.3. Задача о краевой трещине в полуплоскости

Имеется в виду задача об обычной трещине Гриффитса, к кромкам которой приложена произвольно распределенная нормальная нагрузка. Такие задачи возникают, в каждой итерации решения нелинейной задачи, в том числе и задачи о когезионной трещине в линейно упругом материале, но с нелинейным определяющим соотношением для сил сцепления.

Задача о краевой трещине в полуплоскости - это классическая задача линейной механики разрушения. Известны различные решения этой задачи, точные и приближенные. Казалось бы, зачем нужно приближенное решение, если известно точное? Но в данном случае точное решение оказывается очень сложным, и более простое решение, сколь угодно близко, в принципе, приближающееся и точному, представляет интерес.

Впервые задача была решена Койтером (Койег) [64, 65] и (другим методом) Уиглсуэртом [66]. Однако и после этого задача

продолжала быть предметом исследований, так как она может служить основой для различных математических моделей трещин в упругопластических, вязкоупругих и других средах со сложной реологией. При этом необходимы удобные алгоритмы вычисления напряжений и деформаций, а в некоторых случаях, и перемещений. Решения работ [64 - 66] сложны и для этих целей малопригодны.

Ирвин (1гшп) [67] преобразовал поставленную задачу к системе двух интегральных уравнений, которую решил методом последовательных приближений. Итерационный алгоритм работы [67] был усовершенствован Хартранфтом (Нагйапй) и Си (БШ) [68]. Сталлибрасс ^аПуЬгавв) [69], используя подход, близкий подходу Ирвина [67], получил интегральное

уравнение типа Фредгольма - уравнение с неподвижной особенностью [70], которое решил, используя интегральное преобразование Меллина [71] и метод Винера-Хопфа [72]. Снеддон (Sneddon) и Дас (Das) [73] применили интегральные преобразования к исходным соотношениям, в результате чего свели задачу к интегральному уравнению типа Фредгольма, которое решали численно. Доран (Doran) и Бучвальд (Buchwald) [74] модифицировали метод Койтера [64 - 65]. Тоноян и Мелкумян [75] свели решение задачи к решению парных интегральных уравнений [76 - 77]. В работах Кулиева [19, 77] решение получено, как и в работе [69], с использованием преобразования Меллина и метода Винера-Хопфа. Аналогичный подход использован в работе Храпкова [78], решившего задачу в более общей постановке: он рассматривал трещину, наклоненную к полуплоскости под произвольным углом.

Основываясь на упомянутых решениях, Фетт (Fett) и др. [79], а также Дэмпси (Dempsey) [80] вывели соотношения для всех характеристик напряженно-деформированного состояния полуплоскости с трещиной. Приближенные решения задачи получены при тех или иных предположениях в работах [81, 22, 70, 82, 83]. Численные решения сингулярных интегральных уравнений, выведенных различными методами, описаны во многих статьях (см., например, работы [84 - 86] и др.).

Анализ этих исследований показывает, что оптимальным сочетанием точности и простоты реализации обладает метод Ирвина [67, 68]. Однако его оригинальная формулировка, ориентированная на решение методом последовательных приближений, вследствие развития вычислительной техники оказывается устаревшей. Необходимая модернизация выполнена в настоящем диссертационном исследовании.

1.4. Заключительные замечания

Проведенное информационное исследование показало, что схемы когезионной трещины широко используются и при моделировании

прочностных свойств бетона, керамик и композитов, и при моделировании усталостного роста трещины. Так как закономерности роста коротких усталостных трещин заметно отличаются от аналогичных закономерностей для длинных трещин, необходимы модели когезионных трещин, растущих вглубь от границы полуплоскости. При этом следует учесть, что определяющие соотношения для сил сцепления в общем случае нелинейны.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Ле Тхи Тхань, 2018 год

ЛИТЕРАТУРА

1. Черепанов, Г.П. Механика хрупкого разрушения / Г.П. Черепанов. -М.: Наука, 1974. - 640 с.

2. Райс, Дж. Математические методы в механике разрушения / Дж. Райс // Разрушение. - Т. 2. - М.: Мир, 1975. - С. 204 - 235.

3. Леонов, М.Я. Развитие мельчайших трещин в твердом теле / М.Я. Леонов, В.В. Панасюк // Прикл. механика. - 1959. Т. 5, № 4. - С. 391 -401.

4. Баренблатт, Г.И. О равновесных трещинах, образующихся при хрупком разрушении / Г.И. Баренблатт // ПММ. - 1959. Т. 23, вып. 3.

- С. 434 - 444; вып. 4. - С. 706 - 721; вып. 5. - С. 893 - 900.

5. Баренблатт, Г.И. Об условиях конечности в механике сплошных сред. Статические задачи теории упругости / Г.И. Баренблатт // ПММ. - 1960. - Т. 24. - С. 316-322.

6. Баренблатт, Г.И. Об основных представлениях теории равновесных трещин, образующихся при хрупком разрушении / Г.И. Баренблатт // Проблемы механики сплошной среды. - М.: Изд-во АН СССР, 1961.

- С. 29 - 44.

7. Баренблатт, Г.И. Математическая теория равновесных трещин, образующихся при хрупком разрушении / Г.И. Баренблатт // ПМТФ.

- 1961. - № 4. - С. 3 - 56.

8. Баренблатт, Г.И. О некоторых общих представлениях математической теории хрупкого разрушения / Г.И. Баренблатт // ПММ. - 1964. - Т.28. - С. 630 - 643.

9. Dugdale, D.S. Yielding of steel sheets containing slits / D.S. Dugdale // J. Mech. Phys. Solids. - 1960. V. 8. - P. 100 - 104.

10. Гудьер, Дж. Математическая теория равновесных трещин / Дж. Гудьер // Разрушение. - Т. 2. - М.: Мир, 1975. - С. 13 - 82.

11. Лурье, А.И. Теория упругости / А.И. Лурье. - М.: Наука, 1970. - 940 с.

12. Лавит, И.М. Энергетический баланс окрестности кончика трещины в упругопластической среде / И.М. Лавит // Изв. РАН. МТТ. - 2001. -№ 3.- С. 123 - 131.

13. Irwin, G.R. Analysis of stresses and strains near the end of crack / G.R. Irwin // J. Appl. Mech. - 1957. V. 24. - P. 361 - 364.

14. Schapery, R.A. A theory of crack initiation and growth in viscoelastic media. I. Theoretical development / R.A. Schapery // Int. J. Fract. - 1975. V. 11. - P. 141 - 159.

15. Лавит, И.М. Об устойчивом росте трещины в упругопластическом материале / И.М. Лавит // Пробл. прочности. - 1988. № 7.- С. 18 - 23.

16. Лавит, И.М. Термоупругопластическое деформирование толстостенного цилиндра с радиальной трещиной / И.М. Лавит, Нгуен Вьет Чунг // ПМТФ. - 2008. Т. 49. № 3.- С. 173 - 183.

17. Малик, А.В. Ударное нагружение полосы с центральной трещиной /

A.В. Малик, И.Э. Рязанцева, И.М. Лавит // Вестник ПНИПУ. Механика.- 2017. № 2.- С. 125 - 135.

18. Howard, I.C. On the elastic-plastic deformation of a sheet containing an edge crack / I.C. Howard, N.R. Otter // J. Mech. Phys. Solids. - 1975. V. 23. - P. 139 - 149.

19. Кулиев, В.Д. Пластическая деформация на конце краевой трещины /

B.Д. Кулиев //ПММ. -1979. Т. 43. - С. 171 - 178.

20. Singh, B.M. A note on plastic deformation at the tip of an edge crack / B.M. Singh, H.T. Danyluk, J. Vrbik // Acta Mechanica. - 1985. V. 55.- P. 81 - 86.

21. Bowie, O.L. On the solution of the Dugdale model / O.L. Bowie, P.G. Tracy // Eng. Fract. Mech. - 1978. V. 10. - P. 249 - 256.

22. Панасюк, В.В. О пластической деформации и разрушении пластинки с краевой трещиной / В.В. Панасюк, П.М. Витвицкий, С.И. Кутень // Докл. АН УССР. Сер. А. - 1975. № 4. - С. 346 - 350.

23. Petroski, H.J. Dugdale plastic zone sizes for edge crack / H.J. Petroski // Int. J. Fract. - 1979. V. 15. - P. 217 - 230.

24. Huang, N.C. On the size of the cohesive zone at the crack tip / N.C. Huang // J. Appl. Mech. - 1985. V. 52. - P. 490 - 492.

25. Бахвалов, Н.С. Численные методы / Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков. - М.: Бином, 2003. - 630 с.

26. Красносельский, М.А. Приближенное решение операторных уравнений / М.А. Красносельский, Г.М. Вайникко, П.П. Забрейко, Я.Б. Рутицкий, В.Я. Стеценко. - М.: Наука, 1969. - 456 с.

27. Ungsuwarungsri, T. A nonlinear analysis of an equilibrium craze: part I -problem formulation and solution / T. Ungsuwarungsri, W.G. Knauss // J. Appl. Mech. - 1988. V. 55. - P. 44 - 51.

28. Ungsuwarungsri, T. A nonlinear analysis of an equilibrium craze: part II -simulations of craze and crack growth / T. Ungsuwarungsri, W.G. Knauss // J. Appl. Mech. - 1988. V. 55. - P. 52 - 58.

29. Мирсалимов, В.М. Зарождение трещины в круговом нагреваемом диске / В.М. Мирсалимов, Н.М. Калантарлы // Матем. моделирование.

- 2006. Т. 18. № 11. - С. 44 - 54.

30. Mirsalimov, V.M. Cracking in a circular disk under mixed boundary conditions / V.M. Mirsalimov, N.M. Kalantarly // Acta Mechanica. - 2015. V. 226. - P. 1897 - 1907.

31. Мирсалимов, М.В. Зарождение трещины при изгибе полосы переменной толщины / М.В. Мирсалимов // ПМТФ. - 2009. Т. 50. № 6.

- С. 165 - 176.

32. Оруджева, Р.У. Зарождение трещины в изотропной среде в неоднородном напряженном поле / Р.У. Оруджева // Пробл. машиностроения. - 2015. Т. 18. № 4/1. - С.52 - 58.

33. Clarin, P.G. Fracture analysis of center cracked infinite plates of linearly softening materials / P.G. Clarin // Eng. Fract. Mech. - 1987. V. 27. - P. 231 - 245.

34. Li, Y.N. The theory of the boundary eigenvalue problem in the cohesive crack model and its application / Y.N. Li, R.Y. Liang // J. Mech. Phys. Solids. - 1993. V. 41. - P. 331 - 350.

35. Li, Y.-N. Eigenvalue analysis of size effect for cohesive crack model / Y.-N. Li, Z.P. Bazant // Int. J. Fract. - 1994. V. 66. - P. 213 - 226.

36. Bazant, Z.P. Stability of cohesive crack model: part I - energy principles / Z. P. Bazant, Y.-N. Li // J. Appl. Mech. - 1995. V. 62. - P. 959 - 964.

37. Bazant, Z.P. Stability of cohesive crack model: part II - eigenvalue analysis of size effect on strength and ductility of structures / Z.P. Bazant, Y.-N. Li // J. Appl. Mech. - 1995. V. 62. - P. 965 - 969.

38. Moes, N. Extended finite element method for cohesive crack growth / N. Moes, T. Belytschko // Eng. Fract. Mech. - 2002. V. 69. - P. 813 - 833.

39. Suresh, S. Fatigue of materials / S. Suresh. - New York: Cambridge University Press, 2006. - 679 p.

40. Матвиенко, Ю.Г. Модели и критерии механики разрушения / Ю.Г. Матвиенко. - М.: Физматлит, 2006. - 328 с.

41. Цыбанев, Г.В. Применение деформационного критерия к описанию роста коротких усталостных трещин / Г.В. Цыбанев // Пробл. прочности. - 2013. № 1. - С. 43 - 52.

42. Stahle, P. On the small crack fracture mechanics / P. Stahle // Int. J. Fract.

- 1983. V. 22. - P. 203 - 216.

43. Nguyen, O. A cohesive model of fatigue crack growth / O. Nguyen, E.A. Repetto, M. Ortiz, R.A. Radovitzky // Int. J. Fract. - 2001. V. 110. - P. 351

- 369.

44. Yang, B. A cohesive zone model for fatigue crack growth in quasibrittle materials / B. Yang, S. Mall, K. Ravi-Chandar // Int. J. Sol. Struct. - 2001. V. 38. - P. 3927 - 3944.

45. Liu, J. The cohesive zone model for fatigue crack growth / J. Liu, J. Li, B. Wu // Advances in Mech. Engineering. - 2013. V. 2013. - Article ID 737392.

46. Rose, L.R.F. Crack reinforcement by distributed springs / L.R.F. Rose // J. Mech. Phys. Sol. - 1987. V. 35. - P. 383 - 405.

47. Budiansky, B. Small-scale crack bridging and the fracture toughness of particulate-reinforced ceramics / B. Budiansky, J.C. Amazigo, A.G. Evans // J. Mech. Phys. Sol. - 1988. V. 36. - P. 167 - 187.

48. Перельмутер, М.Н. Критерий роста трещин со связями в концевой области / М.Н. Перельмутер // ПММ. - 2007. Т. 71. - С. 152 - 171.

49. Гольдштейн, Р.В. Моделирование трещиностойкости композиционных материалов / Р.В. Гольдштейн, М.Н. Перельмутер // Вычисл. механика сплошных сред. - 2009. Т. 2. № 2. - С. 22 - 39.

50. Кадиев, Р.И. Торможение трещины со связями между берегами с помощью наведенного термоупругого поля напряжений / Р.И. Кадиев, В.М. Мирсалимов // ПМТФ. - 2005. Т. 46. № 1. - С. 133 - 143.

51. Мир-Салим-Заде, М.В. Рост когезионной трещины в стрингерной пластинке / М.В. Мир-Салим-Заде // Строит. механика инж. конструкций и сооружений. - 2013. № 4. - С. 16 - 22.

52. Nairn, J.A. Analytical and numerical modeling of R curves for cracks with bridging zones / J.A. Nairn // Int. J. Fract. - 2009. V. 155. - P. 167 - 181.

53. Cox, B.N. Concepts for bridged crack in fracture and fatigue / B.N. Cox, D.B. Marshall // Acta Metal. Mater. - 1994. V. 42. - P. 341 - 363.

54. Михлин, С.Г. Прямые методы в математической физике / С.Г. Михлин. - М., Л: ГИТТЛ, 1950. - 428 с.

55. Hillerborg, A. Analysis of cracks formation and crack growth in concrete by means of fracture mechanics and finite elements / A. Hillerborg, M. Modeer, P.-E. Petersson // Cement and Concrete Research. - 1976. V. 6. -P. 773 - 782.

56. Tvergaard, V. The relation between crack growth resistance and fracture process parameters in elastic-plastic solids / V. Tvergaard, J. W. Hutchinson // J. Mech. Phys. Solids. - 1992. V. 40. - P. 1377 - 1397.

57. Xu, X.-P. Numerical simulations of fast crack growth in brittle solids / X.-P. Xu, A. Needleman // J. Mech. Phys. Solids. - 1994. V. 42. - P. 1397 -1434.

58. Elices, M. The cohesive zone model: advantages, limitations and challenges / M. Elices, G. V. Guinea, J. Gomez, J. Planas // Eng. Fract. Mech. - 2002. V. 69. - P. 137 - 163.

59. Cornec, A. On the practical application of the cohesive model / A. Cornec, I. Scheider, K.-H. Schwalbe // Eng. Fract. Mech. - 2003. V. 70. - P. 1963 -1987.

60. de Borst, R. Numerical aspects of cohesive-zone model / R. de Borst // Eng. Fract. Mech. - 2003. V. 70. - P. 1743 - 1757.

61. Planas, J. Generalizations and specializations of cohesive crack models / J. Planas, M. Elices, G.V. Guinea, F.J. Gomez, D.A. Cendon, I. Arbilla // Eng. Fract. Mech. - 2003. V. 70. - P. 1759 - 1776.

62. Шлянников, В.Н. Расчет развития повреждений в панели фюзеляжа при двухосном нагружении / В.Н. Шлянников, А.В. Туманов, А.М. Тартыгашева // Труды Академэнерго. - 2015. № 4. - С. 54 - 71.

63. Wang, S. A cohesive edge crack / S. Wang, J.P. Dempsey // Eng. Fract. Mech. - 2011. - V. 78. - P. 1353 - 1373.

64. Koiter, W.T. On the flexural rigidity of a beam weakened by transverse saw cuts / W.T. Koiter // Proc. Royal Neth. Acad. of Sciences. - 1956. B 59. - P. 354 - 374.

65. Benthem, J.P. Asymptotic approximations to crack problems / J.P. Benthem, W.T. Koiter // Mechanics of Fracture. - V. 1. - Methods of Analysis and Solutions of Crack Problems. - Leyden: Noordhoft, 1973. -P. 131 - 178.

66. Wigglesworth, L.A. Stress distribution in a notched plate / L.A. Wigglesworth // Mathematika. - 1957. - V. 4. - P. 76 - 96.

67. Irwin, G.R. The crack-extension force for a crack at a free surface boundary / G.R. Irwin // U. S. Naval Research Lab. - 1958. - Rept. 5120. -10 p.

68. Hartranft, R.J. Alternating method applied to edge and surface crack problems / R.J. Hartranft, G.C. Sih // Mechanics of Fracture. - V. 1. -Methods of Analysis and Solutions of Crack Problems. - Leyden: Noordhoff, 1973. - P. 179 - 238.

69. Stallybrass, M.P. A crack perpendicular to an elastic half-plane / M.P. Stallybrass // Int. J. Engng Sci. - 1970. - V. 8. - P. 351-362.

70. Панасюк, В.В. Распределение напряжений около трещин в пластинах и оболочках / В.В. Панасюк, М.П. Саврук, А.П. Дацышин. - Киев: Наукова думка, 1976. - 443 с.

71. Диткин, В.А. Интегральные преобразования и операционное исчисление / В.А. Диткин, А.П. Прудников. - М.: ГИФМЛ, 1961. - 524 с.

72. Нобл, Б. Применение метода Винера-Хопфа для решения дифференциальных уравнений в частных производных / Б. Нобл. -М.: ИЛ, 1962. - 279 с.

73. Sneddon, I.N. The stress intensity factor at the tip of an edge crack in an elastic half-plane / I.N. Sneddon, S.C. Das // Int. J. Egng Sci. - 1971. - V. 9. - P. 25 - 36.

74. Doran, H.E. The half-plane with an edge crack in plane elastostatics / H.E. Doran, V.T. Buchwald // J. Inst. Maths Applics - 1969. - V. 5. - P. 91 - 112.

75. Тоноян, В.С. Об одной задаче для полуплоскости с вертикальным конечным разрезом / В.С. Тоноян, С.А. Мелкумян // Изв. АН Армянской ССР. - 1972. - Т. 25. № 3. - С. 3 - 17.

76. Уфлянд, Я.С. Интегральные преобразования в задачах теории упругости / Я.С. Уфлянд. - Л.: Наука, 1968. - 402 с.

77. Кулиев, В.Д. Сингулярные краевые задачи / В.Д. Кулиев. - М.: Физматлит, 2005. - 720 с.

78. Khrapkov, A.A. The first basic problem for a notch at the apex of an infinite wedge / A.A. Khrapkov // Int. J. Fract. Mech. - 1971. V. 7. - P. 373

- 382.

79. Fett, T. Analytical solutions for stress intensity factor, T-stress and weight function for the edge-cracked half-space / T. Fett, G. Rizzi, H.-A. Bahr, U. Bahr, V.-B. Pham, H. Balke // Int. J. Fract. - 2007. V. 146. - P. 189 - 195.

80. Dempsey, J.P. T-stresses for edge cracks and vanishing ligaments / J.P. Dempsey // J. Appl. Mech. - 2013. V. 80. - P. 041035-1 - 041035-9.

81. Lachenbruch, A.H. Depth and spacing of tension cracks / A.H. Lachenbruch // J. Geoph. Res. - 1961. V. 66. - P. 4273 - 4292.

82. Саврук, М.П. Двумерные задачи упругости для тел с трещинами / М.П. Саврук. - Киев: Наукова думка, 1981. - 324 с.

83. Galybin, A.N. Non singular terms in stresses near the tip of an arbitrarily loaded edge crack / A.N. Galybin // Int. J. Fract. - 1996. V. 80. - P. R31 -R36.

84. Hasebe, N. Stress analysis of a semi-infinite plate with oblique edge crack / N. Hasebe, S. Inohara // Ing.-Archiv. - 1980. V. 49. - P. 51 - 62.

85. Zang, W. An integral equation method for piece-wise smooth crack in an elastic half-plane / W. Zang, P. Gudmundson // Eng. Fract. Mech. - 1989. V. 32. - P. 889 - 897.

86. Лавит, И.М. Граничное интегральное уравнение для криволинейной краевой трещины / И.М. Лавит // ПММ. - 1994. Т. 58. Вып. 1. - С. 153

- 161.

87. Лаврентьев, М.А. Методы теории функций комплексного переменного / М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат. - М.: Наука, 1973. - 736 с.

88. Мусхелишвили, Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости / Н.И. Мусхелишвили. - М.: Наука, 1966. - 708 с.

89. Натансон, И.П. Теория функций вещественной переменной / И.П. Натансон. - М.: Наука, 1974. - 480 с.

90. Ostlund, S. Cohesive modelling of process régions for cracks in linear elastic structures - fundamental aspects / S. Ostlund, F. Nilsson // Fatigue Fract. Engng Mater. Struct. - 1993. V. 16.- P. 215 - 235.

91. Лавит, И.М. Распределение сил сцепления в окрестности вершины трещины / И.М. Лавит, Л.А. Толоконников // Изв. ТулГУ. Математика. Механика. Информатика. - 1996. Т. 2. Вып. 2. - С. 59 - 66.

92. Михлин, С.Г. Лекции по линейным интегральным уравнениям / С.Г. Михлин. - М.: ГИФМЛ, 1959. - 232 с.

93. Градштейн, И.С. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений / И.С. Градштейн, И.М. Рыжик. - М.: Наука, 1971. - 1100 с.

94. Двайт, Г.Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы / Г.Б. Двайт. - М.: Наука, 1973. - 228 с.

95. Векуа, Н.П. Интегральные уравнения типа Фредгольма с интегралом в смысле Адамара / Н.П. Векуа // Труды Матем. ин-та АН Грузинской ССР. - 1940. Т. 7. - С. 113 - 148.

96. Габбасов, Н.С. Методы решения линейного интегрального уравнения с ядром, имеющим неподвижные особенности / Н.С. Габбасов // Изв. ВУЗов. Математика.- 2001. № 5 (468). - С. 12 - 20.

97. Бейтмен, Г. Высшие трансцендентные функции. 1. Гипергеометрическая функция. Функции Лежандра / Г. Бейтмен, А. Эрдейи. - М.: Наука, 1973. - 296 с.

98. Уилкинсон. Справочник алгоритмов на языке АЛГОЛ. Линейная алгебра / Уилкинсон, Райнш. - М.: Машиностроение, 1976. - 390 с.

99. Ишлинский, А.Ю. Математическая теория пластичности / А.Ю. Ишлинский, Д.Д. Ивлев. - М.: Физматлит, 2003. - 704 с.

100. Седов, Л.И. Методы подобия и размерности в механике / Л.И. Седов.- М.: Наука, 1977. - 440 с.

101. Справочник по коэффициентам интенсивности напряжений. Т. 1 / Под ред. Ю. Мураками. - М.: Мир, 1990. - 448 с.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах1:

1. Ле Тхи Тханъ. Напряженное состояние полуплоскости, нагруженной по граничному контуру / Ле Тхи Тханъ, И.М. Лавит // Труды Международной конференции "Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики". Воронеж, 2015. - Воронеж: Изд-во ВГУ, 2015. - С. 82 - 84.

2. Ле Тхи Тханъ. Вариант решения задачи о краевой трещине в полуплоскости / Ле Тхи Тханъ, И.М. Лавит // Сборник трудов IX Всероссийской конференции "Механика деформируемого твердого тела". Воронеж, 12-15 сентября 2016 г. - Воронеж: Научно-исследовательские публикации, 2016. - С. 24 - 26.

3. Ле Тхи Тхань. О решении задачи теории упругости для полуплоскости / Ле Тхи Тхань, Л.А. Белая, И.М. Лавит // Фундаментальные и прикладные проблемы техники и технологии.

- 2017. - № 2 (322). - С. 14 - 17.

4. Ле Тхи Тхань. Асимптотика напряженного состояния окрестности кончика когезионной трещины / Ле Тхи Тхань, Л.А. Белая, И.М. Лавит // Фундаментальные и прикладные проблемы техники и технологии. - 2017. - № 3 (323). - С. 68 - 73.

5. Ле Тхи Тхань. Численный метод решения задачи о краевой трещине в полуплоскости / Ле Тхи Тхань, И.М. Лавит // Фундаментальные и прикладные проблемы техники и технологии.

- 2017. - № 5 (325). - С. 12 - 18.

6. Ле Тхи Тханъ. Численно-аналитическое решение задачи о краевой трещине в полуплоскости / Ле Тхи Тханъ, И.М. Лавит // Сборник

1 Жирным шрифтом выделены публикации диссертанта в изданиях, входящих в Перечень ВАК.

трудов Всероссийской конференции «Вопросы прикладной математики и проблема взаимодействия твердых тел с жидкой и газовой средой», Москва, 16-18 октября 2017, ИПМех РАН. - М.: Диалог-МИФИ, 2017. - С. 83 - 90.

7. Ле Тхи Тхань. Когезионная краевая трещина в полуплоскости / Ле Тхи Тхань, И.М. Лавит // Фундаментальные и прикладные проблемы техники и технологии. - 2017. - № 6 (326). - С. 12 - 18.

8. Ле Тхи Тхань. Задача об упругой полуплоскости с когезионной краевой трещиной / Ле Тхи Тхань, И.М. Лавит // Труды Международной конференции "Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики". Воронеж, 18-20 декабря 2017. - Воронеж: Научно-исследовательские публикации, 2017. С. 1141 - 1146.

9. Le Thi Thanh. A solution to the problem of elastic half-plane with a cohesive edge crack / Le Thi Thanh, L.A. Belaya, I.M. Lavit // Journal of Physics: Conference Series. - 2018. - V. 973. - P. 012020.