Методы оценки и повышения точности решения задач физики плазмы методом частиц в ячейках тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Месяц, Екатерина Александровна

• Месяц, Екатерина Александровна
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Месяц, Екатерина Александровна

Оглавление

Введение

1 Обзор методов численного решения системы уравнений Власова-Максвелла

1.1 Плазма, основные характеристики

1.2 Кинетическое описание бесстолкновительной плазмы

1.3 Методы решения уравнения Власова, основанные на восстановлении функции распределения/(¿,х, V)

1.4 Методы частиц

1.5 Метод частиц в ячейках для числениого моделирования бесстолкновительиой плазмы

1.5.1 Уравнения движения модельных частиц, форма модельной частицы

1.5.2 Сеточные ядра

1.5.3 Ядра модельных частиц

1.5.4 Общая схема метода частиц в ячейках

1.5.5 Проблема численных шумов метода частиц в ячейках

2 Алгоритм уменьшения счетных эффектов метода частиц в ячейках на примере моделирования распада разрыва плотности ионов в одномерной постановке

2.1 Постановка задачи о распаде разрыва плотности ионов

2.1.1 Исходные уравнения

2.1.2 Начальные и граничные условия

2.2 Схема метода частиц в ячейках

2.3 Схема Лакса - Вендроффа для уравнения Власова

2.3.1 Сравнение метода частиц и конечно-разностного метода

2.4 Алгоритм уменьшения счетных эффектов метода частиц в ячейках (алгоритм вычитания шумовой добавки)

2.4.1 Алгоритм вычитания шума I

2.4.2 Алгоритм вычитания шума II

2.4.3 Алгоритм вычитания шума III

2.5 Корректировка положения частиц

2.6 Схемы, использованные в Алгоритме III

2.7 Результаты расчетов

2.7.1 Зависимость уровня шума от количества частиц

2.7.2 Сравнение схем для уравнений на и, п

2.8 Выводы

3 Форма ядра частицы и проблема самовоздействия в методе частиц в ячейках

3.1 Самосила и VSP-ядро в одномерном случае

3.2 Самосила в двумерном случае

3.2.1 Самосила в двумерном случае, PIC-ядро

3.2.2 Самосила в двумерном случае, QCPl-ядро

3.2.3 Самосила в двумерном случае, С^СР2-ядро

3.2.4 Потенциал поля одиночного заряда

3.2.5 Сравнение ядер PIC, QCP1, QCP2

3.3 Новое ядро

3.3.1 Новое ядро, тесты

3.4 Ядро QCP

3.4.1 Фурье-образ функции ядра частицы

3.4.2 Выбор оптимальных параметров

3.5 Саморазогрев модельной плазмы

3.6 Моделирование эволюции протоплапетного диска с QCP-ядром

3.7 Выводы

4 Число модельных частиц и точность на примере задачи моделирования кинетической неустойчивости теплого электронного пучка малой плотности в плазме

4.1 Основные уравнения

4.2 Методы и алгоритмы решения

4.3 Вычисление инкремента неустойчивости

4.4 Результаты расчетов

4.5 Фазовые плоскости

4.6 Выводы

Заключение Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Методы оценки и повышения точности решения задач физики плазмы методом частиц в ячейках»

Введение

Метод частиц в ячейках, возникший еще в середине прошлого столетия, на сегодняшний день широко применяется при моделировании поведения плазмы. Его также используют и при расчете динамических процессов в других средах (жидкости, газы, сплошные среды и др.). Но именно в решении задач физики плазмы он получил наиболее широкое распространение. Как самостоятельный раздел вычислительная физика плазмы сформировалась одновременно с развитием вычислительной техники во второй половине XX века. Это привело к выделению математического моделирования в отдельное направление исследовательской работы. Ввиду больших возможностей диагностики моделируемых в численных экспериментах кинетических процессов и относительно невысоких экономических затрат на их проведение (по сравнению со строительством установок для проведения реальных экспериментов), численные методы играют все более важную роль в решении задач физики плазмы [16].

В диссертации рассматривается приближение бесстолкновительиой плазмы и метод частиц в ячейках применительно к системам уравнений Власова-Пуассона и Власова-Максвелла. Для многих нелинейных процессов найти решение этой системы возможно только численно, а не аналитически. Основные методы численного решения кинетических уравнений бесстолкновительиой плазмы были разработаны к началу 70-х годов [17]. Это эйлеровы алгоритмы, метод водяного мешка, метод преобразований и метод частиц.

Метод частиц в ячейках принадлежит группе вычислительных алгоритмов, объединенных способом дискретизации, которая носит название «методы частиц». В отличие от конечно-разностных методов, объединенных аппроксимацией дифференциальных или интегральных операторов исходных уравнений, методы частиц объединяет концепция представления среды в виде множества модельных частиц, которые являются носителями набора характеристик этой среды (масса, заряд, импульс и т.п.). Множество точек, которое составляют координаты частиц, принято называть «лагранжевой» сеткой, в противовес «эйлеровой» сетке, привязанной к области. В этой терминологии методы частиц можно разделить на лагранжевы методы и смешанные эйлерово-лагранжевы методы. Метод частиц в ячейках относится к группе смешанных алгоритмов, вычисления в которых проводятся в два этапа: на эйлеровой и на лагранжевой сетке попеременно.

Такие преимущества, как отсутствие аппроксимационной вязкости и возможность осуществления сквозного счета при резких изменениях поведения решения в областях больших градиентов, поставили методы частиц для задач с большими объемными деформациями и неустойчивостями на первое место. Вследствие этого методы частиц нашли широкое при-

мепенне именно для моделирования таких сложных явлений, как неустойчивости в физике плазмы. Главным преимуществом метода частиц в ячейках по сравнению с эйлеровыми методами является простота реализации и экономичность, так как в методах частиц не вычисляется напрямую функция распределения /(¿,х, и). Развитая теория, простота реализации данного метода (в том числе и на параллельных ЭВМ), наглядность получаемых распределений частиц, большое число решенных на его основе задач в разнообразных областях физики плазмы составляют сильные стороны этого метода.

Актуальность работы. Основным недостатком метода частиц в ячейках всегда являлось наличие в решении нефизических эффектов, так называемых «численных шумов». Эта проблема очень сложна, так как причин возникновения шумов много [18]. Влияние различных факторов на решение трудно разделить, особенно при моделировании таких неустойчивых сред, как плазма. Шумовые гармоники взаимодействуют друг с другом, накладываются на гармоники неустойчивых решений, что может приводить к развитию численных иеустой-чивостей.

Самым простым методом уменьшения численных шумов является увеличение количества частиц, чтобы как можно ближе подойти к реальным значениям, что из-за ограниченности ресурсов ЭВМ не представляется возможным. Для уменьшения численных эффектов подбирают подходящую форму ядра модельной частицы, вычисляют оптимальный шаг по времени и по пространству, используют различные модификации метода, исходя из специфики поставленной задачи. Используются также алгоритмы сглаживания, по они не устраняют сам шум и могут искажать физические эффекты. На данный момент единого подхода к решению этой проблемы нет. Поэтому создание алгоритмов метода частиц с пониженным уровнем шума остается актуальной проблемой вычислительной математики и математического моделирования.

Цель диссертационной работы заключается в исследовании свойств метода частиц в ячейках и разработке общих алгоритмов уменьшения счетных шумов данного метода. Для достижения этой цели было решено

• создать алгоритм подавления шума в методе частиц в ячейках,

• разработать методику выбора оптимальной формы ядра, которая обеспечивает по сравнению со стандартным Р1С-ядром уменьшение самосилы,

• создать комплекс программ для моделирования взаимодействия электронного пучка с плазмой в трехмерной геометрии и провести оценки точности получаемого решения.

Научная новизна работы заключается в следующем:

1. Разработан новый алгоритм уменьшения счетных эффектов метода частиц в ячейках, основанный на вычитании шумовой добавки, обеспечивающий подавление счет-пых флуктуации при сохранении самого решения. Данный алгоритм реализован при решении задачи о распаде разрыва плотности ионов в неизотермической плазме.

2. Проведено исследование причины возникновения самосилы для метода частиц в ячейках на смещенных сетках. Для уменьшения этой ошибки разработан экономичный подход, основанный на использовании нового ядра модельной частицы с меньшей, по сравнению с Р1С-ядром, самосилой.

3. Показано, что использование нового ядра приводит к увеличению времени саморазогрева модельной плазмы и, как следствие, к лучшему сохранению импульса и полной энергии.

4. На основе метода частиц в ячейках создан комплекс программ для моделирования взаимодействия электронного пучка с плазмой в трехмерной постановке при параметрах, соответствующих условиям лабораторных экспериментов на установке ГОЛ-3, который позволяет проводить вычисления как в гидродинамическом, так и в кинетическом режимах развития пучковой неустойчивости.

5. Проведены оценки величины погрешности решения, получаемого данным комплексом программ. Для различных режимов приводятся оценки достаточного количества частиц.

Научная и практическая ценность работы состоит в создании алгоритмов подавления шума в методе частиц в ячейках, а также в создании трехмерной программы моделирования взаимодействия пучка электронов малой плотности с плазмой, охватывающей три режима развития неустойчивости. Созданные алгоритмы могут быть использованы при решении различных задач физики плазмы методом частиц для уменьшения уровня нефизических флуктуаций.

Представленные в диссертации исследования проводились в рамках Интеграционных проектов СО РАН №113, №40, Научной школы Годунова - 4292.2008.1 и по проектам, поддержанным Российским фондом фундаментальных исследований (№ 08-01-00615, 11-01-00249, 11-01-00178).

Достоверность результатов. Все численные алгоритмы проверялись по отдельности на тестовых расчетах. Программные комплексы также проходили тестирование, проводилось сравнение результатов моделирования с имеющимися аналитическими решениями или

с решениями той же задачи конечно-разностными методами. Также проверялась сходимость численных методов решения при сгущении сетки и увеличении числа модельных частиц. На защиту выносятся:

• алгоритм вычитания шумовой добавки,

• алгоритм поиска оптимальной формы ядра и новое QCP-ядро, минимизирующее самовоздействие при вычислении полей на сдвинутых друг относительно друга сетках,

• созданный комплекс программ для моделирования взаимодействия электронного пучка с плазмой в трехмерной геометрии,

• оценки точности вычисления инкремента неустойчивости для созданного комплекса программ.

Апробация работы. Основные положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на семинарах «Математическое моделирование больших задач» под руководством д.ф.-м.н. Вшивкова В.А. (ИВМиМГ СО РАН), на семинаре «Математическое и архитектурное обеспечение параллельных вычислений» под руководством д.т.н. Малышкина В.И. (ИВМиМГ СО РАН, декабрь 2009), на семинаре «Задачи механики и математической физики» под руководством д.ф.-м.н. Медведева C.B. (ИВТ СО РАН, июнь 2013), на объединенном семинаре ИВМиМГ СО РАН и кафедры вычислительной математики НГУ под руководством д.ф.-м.н. Ильина В.П. (ИВМиМГ СО РАН, октябрь 2013), па семинаре «Законы сохранения и инварианты» под руководством д.ф.-м.н. Медведева C.B. (ИВТ СО РАН, февраль 2014), на Всероссийской конференции по математике и механике, посвященной 130-летшо ТГУ (2008, Томск), на Международной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения C.JI. Соболева (2008, Новосибирск), па Конференции молодых ученых ИВМиМГ СО РАН (2009, 2011, Новосибирск), на XIII Всероссийской молодежной конференции-школе «Современные проблемы математического моделирования. Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ» (2009, Дюрсо), на VI Всесибирском конгрессе женщин-математиков (2010, Красноярск), на XV Байкальской Всероссийской конференции «Информационные и математические технологии в науке и управлении» (2010, Иркутск-Байкал), на Всероссийской конференции по вычислительной математике КВМ-2011 (Новосибирск), на Российско-монгольской конференции молодых ученых по математическому моделированию, вычислительно-информационным технологиям и управлению (2011, Иркутск (Россия) - Ханх (Монголия)), на XIX Всероссийской конференции «Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов и решение задач математической физики» (2012,

Дюрсо), на XIII Всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (2012, Новосибирск), на Международной конференции «Mathematical modeling and computational physics» (2013, Дубна).

Основные результаты опубликованы в 15 работах, из которых 2 в журналах, рекомендованных ВАК [1]- [15].

Личный вклад соискателя заключается в обсуждении постановок задач, разработке численных алгоритмов и методов решения, создании и тестировании программ, проведении расчетов и анализе полученных результатов. Все выносимые па защиту результаты принадлежат лично автору. Представление результатов совместных исследований и разработок согласовано с соавторами.

Структура диссертационной работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения. В первой главе содержится обзор методов численного решения системы уравнений Власова-Пуассона и Власова-Максвелла, общая схема метода частиц в ячейках и обзор литературы по проблеме шумов в методе частиц. Вторая глава посвящена описанию алгоритма вычитания шумовой добавки. Разработка данного алгоритма проводится па примере одномерной задачи о распаде разрыва плотности ионов в бесстолкновительной полностью ионизованной плазме. Третья глава посвящена проблеме самовоздействия в методе частиц в ячейках. Разрабатывается новое QCP ядро, позволяющее минимизировать самовоздействие в двумерной постановке. В четвертой главе приводится описание созданного параллельного пакета программ для моделирования взаимодействия электрпного пучка с плазмой в трехмерной постановке. Проводится оценка точности получаемого решения в зависимости от количества модельных частиц. Показано, что данный комплекс программ охватывает широкий диапазон физических параметров и позволяет проводить моделирование пучковой неустойчивости как в гидродинамическом, так и в кинетическом режимах развития неустойчивости.

Глава 1

Обзор методов численного решения системы уравнений Власова-Максвелла

1.1 Плазма, основные характеристики

Подавляющая часть вещества во Вселенной находится в состоянии плазмы. Плазма представляет собой полностью или частично ионизованный квазинейтральный газ. В полностью ионизованной плазме взаимодействие между частицами является в основном электромагнитным, если плазма является еще и нерелятивистской, то взаимодействие можно считать электростатическим. Поля, действующие па плазму, делятся на внешние и внутренние (создаваемые зарядами и токами в самой плазме). Взаимодействие между заряженными частицами плазмы определяется кулоповскими силами с медленно убывающим потенциалом. Благодаря этому основной вклад в изменение функции распределения частиц по скоростям дают далекие столкновения.

Состояние плазмы характеризуется большим числом параметров [19]: степень ионизации, плотность п, температура Т и др.

Степень ионизации (слабо-, сильно- и полностью ионизованная плазма) зависит от температуры и внешнего воздействия. Наиболее простым является полностью ионизованная плазма, которую возможно получить только для самых легких элементов от водорода до углерода.

Плотность плазмы для космических сред изменяется в диапазоне от Ю-6 см ~3 для межзвездного пространства до 1023 — 1024 см -3 и выше в звездах. Пределы изменения плотности лабораторной плазмы от 1013 — 1014 см ~3 в исследованиях по управляемому термоядерному синтезу в токамаках до 1023 — 1024 см _3 в специальных мишенях для лазерного термоядерного синтеза.

Температура плазмы в зависимости от ее происхождения также изменяется в широких пределах. Плазма с Т < 105 К считается низкотемпературной, с Т > 106К - высокотемпературной. Температура плазмы для УТС должна превышать 108/<Г. В случае неизотермической плазмы различают температуру электронов Те, ионов и неионизованных атомов Та, если таковые есть.

Различие масс ионов ттц и электронов те ведет к тому, что в плазме существуют процессы разного временного масштаба. В простом случае однородной полностью ионизованной водородной плазмы (ne = n¿), можно выделить четыре характерных времени: те - время релаксации (время установления максвелловского распределения) функции распределения электронов в результате их столкновений между собой, r¿ - аналогичное характерное время для ионов, re¿ - время релаксации относительного движения электронов и ионов, тг - время выравнивания температур электронов и ионов в неизотермической плазме. Самое «быстрое» время - те, т.е. релаксация импульса и энергии электронов происходит быстрее, чем релаксация ионов при той же температуре. те¿ ~ те, т, ~ Самым «медленным» процессом из-за большой разницы масс оказывается теплообмен между электронной и ионной компонентами плазмы - тт ~ 1Jh-rc.

ТПС

К величинами, характеризующим плазму, относятся также дебаевский радиус экранирования или дебаевская длина - расстояние, па которое распространяется в плазме действие электрического поля отдельного заряда

и электронная плазменная частота - частота собственных продольных колебаний пространственного заряда (ленгмюровских колебаний) в однородной плазме в отсутствие магнитного поля

которые зависят от температуры и плотности. Все величины приведены в системе СГС. Эффекты непосредственного взаимодействия между частицами проявляются на масштабе дебаевского радиуса, вне его преобладают коллективные эффекты взаимодействия частиц. Число частиц в дебаевской сфере N0 = пХ\, где п - плотность плазмы. При большом N0 плазма считается бесстолкновительиой.

В зависимости от интересующего нас диапазона параметров плазма описывается математическими моделями разной степени детализации: кинетические модели описание со столкновениями и без, магнптогидродинамическое приближение (МГД), модели термоядерной плазмы и другие модели. Кроме того для разных компонент плазмы могут использоваться разные подходы. Такие модели называют гибридными. Например электроны рассматриваются в приближении МГД, а ионы в кинетическом приближении [20].

Классификацию и подробное описание этих и других моделей можно найти в работах [19,21]. В данной работе рассматривается система уравнений Власова-Максвелла, кото-

рая является основой для огромного числа работ по теории колебаний, устойчивости коллективных процессов в плазме.

1.2 Кинетическое описание бесстолкновительной плазмы

Свою концепцию описания широкого круга кинетических процессов в полностью ионизованной бесстолкновителыюй плазме Власов предложил в 1938 году [22,23]. В основе модели Власова лежит кинетическое уравнение без столкновительного члена для функции распределения частиц по скоростям fa(t, г, v)

+ 0. (1.1)

ut or ma ov

Здесь a - сорт частиц(электроны или ионы), г, v координата и скорость,

тпа - заряд и масса частиц сорта а, F« = <?а(Е + i[v х В])) - сила Лоренца, Е, В - напряженность электрического и магнитного полей, с - скорость света, j - плотность тока,

р - плотность пространственного заряда.

Электрическое и магнитное поля, входящие в уравнение через силу Лоренца, определяются из уравнений Максвелла

rotB = Tj + rf' <">

1 зв „ oN

rot Е =---—, 1.3)

с ot

divE = 47гр, (1.4)

divB = 0. (1.5)

Система уравнений замыкается формулами для плотности зарядов и токов, которые вычисляются как моменты функции распределения

p{t,r) = ^qa / /Q(t,r,v)dv, (1.6)

а

j(t,r) =^Ча J v/„(t,r,v)dv. (1.7)

В отсутствии магнитного поля система уравнений Максвелла сводится к уравнению Пуассона (1.4) для потенциала ip, где Е = — Vv7-

Полное аналитическое исследование этой системы для многих нелинейных процессов невозможно. Ограниченность теоретических и экспериментальных методов исследования приводят к широкому использованию численных методов. На данный момент существет целый ряд методов для численного решения системы уравнений Власова-Максвелла [17,18]: метод преобразований, метод водяного мешка, метод конечных объемов, методы частиц, конечно-разностные и другие методы. Обзор основных из этих методов представлен в данной главе.

1.3 Методы решения уравнения Власова, основанные на восстановлении функции распределения /(¿,х, v)

Исторически методы частиц возникли и развивались как альтернатива сеточным алгоритмам. Данная группа алгоритмов, получившая общее название Эйлеровы алгоритмы (Eulerian solvers), объединяет в себе методы вычисления значений функции распределения /(¿, х, v) для уравнений Власова-Пуассона или Власова-Максвелла на связанной с областью пространственной сетке. Сюда относятся следующие методы: конечно-разностные методы (finite-difference method), метод конечных объемов (finite volume method) или метод баланса потоков (flux balance method), спектральный метод (spectral method) или метод преобразований, полу-Лагранжевы методы (semi-Lagrangian methods), метод конечных элементов и различные их комбинации и модификации. В данной классификации приводятся разные, в том числе и английские,»названия схожих методов, которые встречаются в литературе. Общим недостатком Эйлеровых алгоритмов является то, что вычисление функции распределения напрямую в трехмерном случае становится очень затратным. Даже в простейших модельных физических задачах функция распределения частиц по скоростям зависит от трех переменных, а для содержательных задач, когда требуется рассмотреть полиостью трехмерную постановку, размерность задачи повышается до семи (три координаты, три скорости и время), что требует много памяти и времени счета. Другие трудности, возникающие при решении уравнения Власова данными методами - обеспечить положительность функции распределения и связанная с этим задача - гарантировать, что численная схема не вносит ложных колебаний в пространстве скоростей.

Достоинством конечно-разностных методов является развитая теория. Эти методы имеют большую доказательную базу. Некоторые из этих методов для уравнения Власова можно найти в работах [24-26]. Но данные методы не получили широкого распространения как из-за сложности вычислений при большой размерности задачи, так и по ряду других причин. Конечно-разностные методы приводят к рассеиванию или диссипации мелкомасштабных структур, возникающему вследствие схемной вязкости. Конечно-разностные схемы плохо работают на задачах, в которых имеются области больших градиентов. В таком случае приходится сильно измельчать или строить неравномерную сетку, что только усложняет вычисления.

Есть работы, посвященные решению системы уравнения Власова методом конечных элементов [27,28], методом конечных объемов (метод баланса потоков) [29-32]. Но широкого распространения для задач физики плазмы эти методы не получили.

Метод преобразований или спектральный метод - это использование разложения функции распределения по ортонормировапным системам базисных функций, например разложение в ряд Фурье или использование в качестве базисных функций полиномов Эрмита или Чебышева [33-35]. Данный метод также применяется для узкого класса задач, чаще всего одномерных.

С того момента, когда Ченг и Knopp [36] предложили свою схему расщепления как эффективный метод интегрирования уравнений Власова-Пуассона, был разработан целый ряд методов решения уравнения Власова, основанный на этой схеме [37-40]. В работах [41-43] описан метод, получивший название полу-Лагранжев (semi-Lagrangian method). Вычисления в полу-Лагранжевых методах происходят путем переноса по характеристическим кривым значений функций с предыдущего шага и интерполяции на новом шаге. Sonneiidrucker и др. в своих работах [41] не разделяют схемы с расщеплением и полу-Лагранжевы методы. В работе же [44] полу-Лаграижевыми называются лишь методы без расщепления. Общим в них является перенос значений по характеристикам и использование схем интерполяции. Эти методы интересны прежде всего вследствии низкого уровня шумов, присущему этим методам. Они свободны от таких численных артефактов, как диффузия и диссипация, и могут быть полезны в случае необходимости воспроизведения тонких эффектов, когда например поведение частиц в хвосте функции распределения играет важную роль. Но в двух-, а особенно трехмерных расчетах эти методы очень затратны. Обзор и сравнение разных вариантов данных методов между собой, а также с методом копечных-разностей, методом баланса потоков и спектральным методом можно найти в работая [26,45,46].

Стоит упомянуть также метод водяного мешка [47], который является аналогом лагранжевого метода применительно к кинетическому уравнению Власова в фазовом пространстве. В нем рассчитывается эволюция выделенных контуров в фазовой плоскости, плотность заряда и напряженность электрического поля восстанавливаются по этим контурам (Water-bag method). В силу своей сложности данный метод используется как правило только в одномерной постановке.

1.4 Методы частиц

Методы частиц - это особая группа вычислительных алгоритмов, которые объединяет между собой способ дискретизации исходной математической задачи. В этом методе среда (в нашем случае плазма) представляется набором достаточно большого числа модельных частиц. Движение частиц подчиняется законам классической механики в самосогласованном электромагнитном поле, определяемом из уравнений Максвелла. Методы частиц широко применяются при решении задач не только физики плазмы, по и динамики жидкостей и газов, механики сплошной среды и т.д. Но самое широкое применение они получили именно в физике плазмы. Большим плюсом этих методов по сравнению с приведенными выше, является экономичность, т.к. в методах частиц не вычисляется напрямую функция распределения /(i,x, v). Особенно заметным это преимущество становится при переходе от одномерных постановок к задачам большей размерности.

Данные методы с самого начала были ориентированы на решение задач с сильными деформациями, сдвигами, неустойчивостями на поверхностях раздела сред, где конечно-разностные схемы оказались непригодны, поэтому они нашли широкое применение именно для таких сложных задач, как моделирование пеустойчивостей в физике плазмы. Развитая теория, простота реализации этого метода (в том числе и на параллельных ЭВМ), физическая наглядность получаемых распределений частиц, большое число решенных на его основе задач в разнообразных областях физики плазмы составляют сильные стороны этого метода.

В вычислительной физике плазмы методы частиц начали использоваться с конца 1950-х годов. Первый одномерный электростатический вариант - модель плоских листов - был предложен О. Byнеманом в 1959 г [48] и развит позже в работах Дж. Доусона [49].

Метод листов относится к лагранжевым алгоритмам, в которых рассчитывается действие каждой частицы друг на друга. Сюда же можно отнести бессеточный метод частиц конечного размера - FSP (gridless Finite Size Particle) [50]. В нем вместо точечных частиц

используются облака частиц, имеющие форму функции Гаусса, а вычисление сил, действующих на частицу, происходит в Фурье-пространстве без перехода к пространственной сетке. Сложность чисто лагранжевых алгоритмов, их еще называют РР-алгоритмами [51] (англ. particle-particle - частица-частица), равна 0(N2), где N - полное число частиц. Такие вычисления возможны только для сравнительно небольшого числа частиц. Например для сильно столкновительпых систем, когда число частиц в Дебаевской сфере Np невелико.

Позже, под влиянием результатов группы Ф.Х. Харлоу из Лос-Аламосской лаборатории, разработавших в 1955 г. для задач газовой динамики метод частиц в ячейках [53-55], методы частиц в ячейках были разработаны и для плазмы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Месяц, Екатерина Александровна, 2014 год

Литература

[1] Вшивков, В.А. Форма ядра частицы и проблема «самовоздействия» в методе частиц-в-ячейках / В.А. Вшивков, Е.А. Месяц // Научный вестник НГТУ. - № 1 (42). - 2011. -С. 47-56.

[2] Месяц, Е.А. О выборе числа частиц в методе частиц-в-ячейках для моделирования задач физики плазмы / Е.А. Месяц, A.B. Снытников, К.В. Лотов // Вычислительные технологии. - Т. 18. - № 6. - 2013. - С. 83-97.

[3] Mesyats, Е.А. A noise-reducing algorithm for particle-in-cell plasma simulation / E.A. Mesyats // Bulletin of the Novosibirsk Computing Center. Ser.: Numerical Analysis. - 2009. - № 14. -P. 21-30.

[4] Месяц, Е.А. Разработка алгоритма, уменьшающего шум в методе частиц-в-ячейках / Е.А. Месяц // Всероссийская конференция по математике и механике, посвященная 130-летию Томского государственного университета и 60-летию механико-математического факультета: сборник тезисов. 22 - 25 сентября 2008. - Томск: ТГУ. - 2008. - С. 138-139.

[5] Месяц, Е.А. Исследование шумовых свойств метода частиц-в-ячейках / Е.А. Месяц // Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория приближений. Международная конференция, посвященная 100-летию со дня рождения С.Л. Соболева. Тезисы докладов. 5-12 октября 2008. - Новосибирск. - 2008. - С. 529.

[6] Месяц, Е.А. Об одном новом ядре для метода частиц-в-ячейках / Е.А. Месяц // Труды конференции молодых ученых ИВМиМГ СО РАН. 21 - 24 апреля 2009. - Новосибирск: ИВМиМГ СО РАН. - 2009. - С. 94-105.

[7] Вшивков, В.А. Исследование численных свойств метода частиц-в-ячейках / В.А. Вшивков, Е.А. Месяц // XIII Всероссийская молодежная конференция-школа «Современные проблемы математического моделирования. Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ». - Ростов-на-Дону: ЮФУ. - 2009. - С. 149-156.

[8] Месяц, Е.А. Минимизация погрешности в методе частиц-в-ячейках / Е.А. Месяц //VI Всесибирский конгресс женщин-математиков (в день рождения Софьи Васильевны Ковалевской): Материалы Всероссийской конференции. 15 - 18 января 2010. - Красноярск: РИЦ СибГТУ. - 2010. - С. 284-287.

[9] Месяц, Е.А. Форма ядра частицы и проблема «самовоздействия» в методе частиц-в-ячейках / Е.А. Месяц // Труды XV Байкальской Всероссийской конференции «Информационные и математические технологии в науке и управлении»; ч. 1. 1 - 9 июля 2010. -Иркутск: ИСЭМ СО РАН. - 2010. - С. 197-203.

[10] Месяц, Е.А. Новое QCP-ядро с пониженной самосилой для метода частиц-в-ячейках и его использование при моделировании эволюции протопланетного диска / Е.А. Месяц // Труды конференции молодых ученых ИВМиМГ СО РАН. 12 - 14 апреля 2011. - Новосибирск: ИВМиМГ СО РАН. - 2011. - С. 62-74.

[11] Месяц, Е.А. Новое ядро с пониженной самосилой в методе частиц-в-ячейках и его использование при моделировании эволюции протопланетного диска [Электронный ресурс] / Е.А. Месяц // Всероссийская конференция по вычислительной математике КВМ-2011. Тезисы докладов. 29 июня - 1 июля 2011. - Режим доступа: http://www.sbras.ru/ws/show_abstract.dhtml7ru-t-220-t-16170

[12] Месяц, Е.А. Применение нового QCP-ядра с пониженным самовоздействием для метода частиц-в-ячейках при моделировании эволюции протопланетного диска / Е.А. Месяц // Российско-монгольская конференция молодых ученых по математическому моделированию, вычислительно-информационным технологиям и управлению, тезисы докладов. Иркутск (Россия) - Хаих (Монголия). 17 - 21 июня 2011. - Иркутск: ИДСТУ СО РАН. -2011. - С. 55.

[13] Месяц, Е.А. Трехмерная численная модель насыщения двухпотоковой неустойчивости электронного пучка в плазме / Е.А. Месяц, A.B. Спытников // Тезисы докладов XIX Всероссийской конференции «Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов и решение задач математической физики», посвященной памяти К.И. Бабеико. Дюрсо. 10 - 16 сентября 2012. - Издательство ИПМ им. М.В. Келдыша. - 2012. - С. 73-74.

[14] Месяц, Е.А. Трехмерная численная модель релаксации электронного пучка в плазме / Е.А. Месяц, A.B. Снытников // Материалы XIII Всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям. 15 - 17 октября 2012. - Новосибирск: ИВТ СО РАН. - 2012. - С. 28.

[15] Mesyats, Е.А. Particle-in-cell simulation of kinetic instability of an electron beam in plasma / E.A. Mesyats, A.V. Snytnikov // Book of abstracts of the international conference

«Mathematical modeling and computational physics». July 8-12, 2013. - Dubna. - 2013. -P. 129-130.

[16] Сигов, Ю.С. Вычислительный эксперимент: мост между прошлым и будущим физики плазмы. Избранные труды / Ю.С. Сигов; составители Г.И. Змиевская, В.Д. Левченко. -М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. - 288 с.

[17] Иванов, М.Ф. Численное моделирование динамики газа и плазмы методами частиц / М.Ф. Иванов, В.А. Гальбурт. - М.: Издательство МФТИ, 2000. - 168 с.

[18] Березин, Ю.А. Методы частиц в динамике разреженной плазмы / Ю.А. Верезин, В.А. Вшивков. Новосибирск: Наука, 1980. - 95 с.

[19] Ахиезер, А.И. Электродинамика плазмы / А.И. Ахиезер, И.А. Ахиезер, Р.В. Половин, А.Г. Ситенко, К.Н. Степанов; под ред. А.И. Ахиезера. - Москва: Наука, 1974. - 720 с.

[20] Kwok, Dixon Т.К. A hybrid Boltzmann electrons and PIC ions model for simulating transient state of partially ionized plasma / Dixon Т.К. Kwok // Journal of Computational Physics. -2008. - Vol. 227. - Iss. 11. - P. 5758-5777.

[21] Калиткииа, H.H. Математические модели физики плазмы / Н.Н. Калиткина, Д.П. Костомаров // Математическое моделирование. - 2006. -Т. 18. № 11. - С. 67-94.

[22] Власов, А.А. Теория многих частиц / А.А. Власов. - М.: Гостехиздат, 1950. - 348 с.

[23] Арцимович, Л.А. Физика плазмы для физиков / Л.А. Арцимович, Р.З. Сагдеев. - М.: Атомиздат, 1979. - 313 с.

[24] Байере, Дж. Конечно-разностые методы в плазме без столкновений / Дж. Байере, Дж. Киллин // Вычислительные методы в физике плазмы / под ред. Б. Ольдера, С. Ферпбаха, М. Ротенберга. - М.: Мир, 1974. - С. 259-303.

[25] Телегин, В.И. Об одной разностной схеме для уравнения Власова / В.И. Телегин // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 1976. - Т. 16. - К2 5. - С. 1191-1197.

[26] Filbet, F. Comparison of eulerian Vlasov solvers / F. Filbet, E. Sonnendrucker // Computer Physics Communications. - 2003. - V. 150. - Iss. 3. - P. 247-266.

[27] Zaki, S.I. A finite element code for the simulation of one-dimensional vlasov plasmas. I. Theory / S.I Zaki, L.R.T Gardner, T.J.M Boyd // Journal of Computational Physics. -1988. - Vol. 79. - Iss. 1. - P. 184-199.

[28] Zaki, S.I. A finite element code for the simulation of one-dimensional vlasov plasmas. II. Applications / S.I. Zaki, L.R.T. Gardner, T.J.M. Boyd // Journal of Computational Physics. -1988. - Vol. 79. - Iss. 1. - P. 200-208.

[29] Boris, J.P. Flux-corrected transport. III. Minimal-error FCT algorithms / J.P. Boris, D.L. Book // Journal of Computational Physics. - 1976. - Vol. 20. - Iss. 4. - P. 397-431.

[30] Fijalkow, E. A numerical solution to the Vlasov equation / E. Fijalkow // Computer Physics Communications. - 1999. - Vol. 116. - Iss. 2-3. - P. 319-328.

[31] Elkina, N.V. A new conservative unsplit method for the solution of the Vlasov equation / N.V. Elkina, J. Buchner // Journal of Computational Physics. - 2006. - Vol. 213. - Iss. 2. -P. 862-875.

[32] Filbet, F. Conservative numerical schemes for the Vlasov equation / F. Filbet, E. Sonnendrucker, P. Bertrand // Journal of Computational Physics. - 2001. - Vol. 172. -Iss. 1. -P. 166-187.

[33] Армстронг, Т. Решение уравнения Власова методом преобразований / Т. Армстронг, Р. Хардинг, Г. Кпорр, Д. Монтгомери // Вычислительные методы в физике плазмы / под ред. Б. Ольдера, С. Фернбаха, М. Ротенберга. - М.: Мир, 1974. - С. 39-95.

[34] Armtsrong, Т.Р. Numerical studies of the nonlinear Vlasov equation / T.P. Armtsrong // Physics of Fluids. - 1967. - Vol. 10,- № 6. - P. 1269-1280.

[35] Knorr, G. Plasma simulation with few particles / G. Knorr // Journal of Computational Physics. -1973. - Vol. 13. - Iss. 2. - P. 165-180.

[36] Cheng, C.Z. The integration of the Vlasov equation in configuration space / C.Z. Cheng, G. Knorr // Journal of Computational Physics. - 1976. - Vol. 22. - Iss. 3. - P. 330-351.

[37] Nakamura, T. Cubic interpolated propagation scheme for solving the hyper-dimensional Vlasov—Poisson equation in phase space / T. Nakamura, T. Yabe // Computer Physics Communications. - 1999. -Vol. 120. - Iss. 2-3. - P. 122-154.

[38] Голубева, А.И. Схема расщепления для численного решения кинетического уравнения Власова / А.И. Голубева, Т.Г. Сысоева // Вопросы атомной науки и техники. Сер. Математическое моделирование физических процессов. - 2002. - Вып. 3. - С. 68-71.

[39] Crouseilles, N. Comparison of two Eulerian solvers for tire four dimensional Vlasov equation: Part 1 / N. Crouseilles, M. Gutnuc, G. Latu, E. Sonnendrucker // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. - 2008. - Vol. 13. - P. 88-93.

[40] Crouseilles, N. Comparison of two Eulerian solvers for the four dimensional Vlasov equation: Part 2 / N. Crouseilles, M. Gutnuc, G. Latu, E. Sonnendrucker // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. - 2008. - Vol. 13. - P. 94-99.

[41] Sonnendrucker, E. The semi-Lagrangian method for the Numerical resolution of the Vlasov equations / E. Sonnendrucker, J. Roche, P. Bertrand, A. Ghizzo // Journal of Computational Physics. - 1999. - Vol. 149. - Iss. 2. - P. 201-220.

[42] Gutnic, M. Vlasov simulations on an adaptive phase-space grid / M. Gutnic, M. Haefele, I. Paun, E. Sonnendrucker // Computer Physics Communications. - 2004 - Vol. 164. - Iss. 1-3. - P. 214-219.

[43] Ghizzo, A. A non-periodic 2D semi-Lagrangian Vlasov code for laser-plasma interaction on parallel computer / A. Ghizzo, F. Huot, P. Bertrand // Journal of Computational Physics. -2003. - Vol. 186. - Iss. 1. - P. 47-69.

[44] Pohn, E. Eulerian Vlasov codes / E. Pohn, M. Shoucri, G. Kamelander // Computer Physics Communications. - 2005. - Vol. 166. - Iss. 2. - P. 81-93.

[45] Shoucri, M. Eulerian codes for the numerical solution of the Vlasov equation / M. Shoucri // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. - 2008. - Vol. 13. - Iss. 1. -P. 174-182.

[46] Arber, T.D. A Critical comparison of eulerian-grid-based Vlasov solvers / T.D. Arber, R.G.L. Vann // Journal of Computational Physics. - 2002. - Vol. 180. - Iss. 1. - P. 339-357.

[47] Берк, Г. Модель водяного мешка / Г. Берк, К. Роберте // Вычислительные методы в физике плазмы / под ред. Б. Ольдера, С. Фернбаха, М. Ротенберга. - М.: Мир, 1974. -С. 96-142.

[48] Buneman, О. Dissipation of currents in ionized media / O. Buneman // Physical Review. -1959. - Vol. 115. - № 3. - P. 503-519.

[49] Dawson, J. One-dimensional plasma model / J. Dawson // Physics of Fluids. - 1962. - Vol. 5. - № 4. - P. 445-459.

[50] Vlad, G. Gridless finite-size-particle plasma simulation / G. Vlad, S. Briguglioa, G. Fogaccia, B. Di Martino // Computer Physics Communications. - 2001. - Vol. 134. - Iss. 1. - P. 58-77.

[51] Хокпи, P. Численное моделирование методом частиц / Р. Хокни, Дж. Иствуд. - М.: Мир, 1987. - 638 с.

[52] Бэдсел, Ч. Физика плазмы и численное моделирование / Ч. Бэдсел, А. Ленгдон. - М.: Энергоатомиздат, - 1989. - 456 с.

[53] Harlow, F.H. The Particle-in-Cell method for hydrodynamic calculations / F.H. Harlow, M.W. Evans, E. Bromberg, et al. // Los Alamos Scientific Laboratory report. New Mexico. - 1957. -76 p.

[54] Harlow, F.H. Two dimensional hydrodynamic calculations / F.H. Harlow, D.O. Dickman, D.E. Harris, R.E. Martin // Los Alamos Scientific Laboratory report. New Mexico. - 1959. -97 p.

[55] Харлоу, Ф.Х. Численный метод частиц в ячейках для задач гидродинамики / Ф.Х. Хар-лоу // Вычислительные методы в гидродинамике / под ред. Б. Ольдера, С. Ферпбаха, М. Ротенберга. - М.: Мир, 1967. - С. 316-342.

[56] Белоцерковский, О.М. Метод крупных частиц в газовой динамике / О.М. Белоцерков-ский, Ю.М. Давыдов. - М.: Наука, 1982. - 392 с.

[57] Cohen, B.I. The numerical tokamak project: simulation of turbulent transport / B.I. Cohen, D.C. Barnes, J.M. Dawson, G.W. Hammett, W.W. Lee, G.D. Kerbel, J.N. Leboeuf, PC. Liewer, T. Tajima, R.E. Waltz // Computer Physics Communications. - 1995. - Vol. 87. -Iss. 1-2. - P. 1-15.

[58] Riccardo, V. Spicesl - A smart-particle code for kinetic plasma simulation / V. Riccardo, G.G.M. Coppa, G. Lapenta // Computer Physics Communications. - 1998. - Vol. 113. -Iss. 2-3. - P. 199-219.

[59] Potapenko, I.F. Numerical simulation of heating problems for a weakly collisional plasma / I.F. Potapenko, C.A. de Azevedo // Computer Physics Communications. - 1999. -Vol. 121-122. - P. 274-277.

[60] Jones, M.E. A grid-based coulomb collision model for PIC codes / M.E. Jones, D.S. Lemons, R.J. Mason, V.A. Thomas, D. Winske // Journal of Computational Physics. - 1996. - Vol. 123.

- Iss. 1. - P. 169-181.

[61] Larson, D.J. A Coulomb collision model for PIC plasma simulation / D.J. Larson // Journal of Computational Physics. - 2003. - Vol. 188. - Iss. . - P. 123-138.

[62] Parker, S.E. A fully nonlinear characteristic method for gyrokinetic simulation / S.E. Parker, W.W. Lee // Physics of Fluids. - 1993. - Vol. В 5. - P. 77-86.

[63] Dimits, A.M. Partially linearized algorithms in gyrokinetic particle simulation / A.M. Dimits, W.W. Lee // Journal of Computational Physics. - 1993. - Vol. 107. - Iss. 2. - P. 309-323.

[64] Lee, W.W. A generalized weight-based particle-in-cell simulation scheme / W.W. Lee, T.G. Jenkins, S. Ethier // Computer Physics Communications. - 2011. - Vol. 182. - Iss. 3. - P. 564569.

[65] Hess, S. How to improve the diagnosis of kinetic energy in 5f PIC codes / S. Hess, F. Mottez // Journal of Computational Physics. - 2009. - Vol. 228. Iss. 18. - P. 6670-6681.

[66] Арсеньев, А.А. Лекции о кинетических уравнениях / А. А. Арсеньев. - М.: Наука, - 1992.

- 216 с.

[67] Tarakanov, V.P. User's manual for code KARAT / V.P. Tarakanov // Springfield, VA: Berkley Research. - 1992.

[68] Код Mandor [Электронный ресурс] / - Режим доступа: http://mandor.ilc.edu.ru/mandor3

[69] Perepelkina, A.Yu. CFHall Code Validation with 3D3V Weibel Instability Simulation [Электронный ресурс] / A.Yu. Perepelkina, I.A. Goryachev, V.D. Levchenko // Journal of Physics: Conference Series. - 2013. - Vol. 441. - Iss. 1. - P. 012014. - Режим доступа: http://iopscience.iop.Org/1742-6596/441/l/012014/pdf/1742-6596_441_l_012014.pdf

[70] Nieter, С. VORPAL: a versatile plasma simulation code / C. Nieter, and J.R. Cary // Journal of Computational Physics. - 2004. - Vol. 196. Iss. 2. - P. 448-473.

[71] Lapenta, G. DEMOCRITUS: An adaptive particle in cell (PIC) code for object-plasma interactions / G. Lapenta // Journal of Computational Physics. - 2011. - Vol. 230. Iss. 12. -P. 4679-4695.

[72] Goplen, В. User-configurable MAGIC code for electromagnetic PIC calculation / B. Goplen, L. Lideking, D. Smithe, G. Warren // Computer Physics Communications. - 1995. - Vol. 87.

- Iss. 1-2. - P. 54-86.

[73] Код OSIRIS [Электронный ресурс] / - Режим доступа: http://www2.keck.hawaii.edu/inst/osiris/

[74] Huang, С. QUICKPIC: A highly efficient particle-in-cell code for modeling wakefield acceleration in plasmas / C. Huang, V.K. Decyk, C. Ren, M. Zhou, W. Lu, W.B. Mori, J.H. Cooley, T.M. Antonsen, T. Katsouleas // Journal of Computational Physics. - 2006. - Vol. 217.

- Iss. 2. - P. 658-679.

[75] UCLA Plasma Simulation Group [Электронный ресурс] / - Режим доступа: http: //plasmasim.physics.ucla.edu/codes/

[76] Particle iv cell methods [Электронный ресурс] / - Режим доступа: https://perswww.kuleuven.be/ u0052182/pic/book.pdf

[77] Доусон, Дж. Электростатическая модель плоских листов для плазмы и ее модификация для частиц конечного размера / Дж. Доусон // Вычислительные методы в физике плазмы / иод ред. Б. Ольдера, С. Фернбаха, М. Ротепберга. - М.: Мир, 1974. - С. 11-38.

[78] Елкина, Н.В. Алгоритм расчета тока для метода макрочастиц [Электронный ресурс] / Н.В. Елкина, В.Д. Левченко // Препринт ИПМ им.М.В.Келдыша. - 2002. - № 49. -Режим доступа:

http://www.mathnet.ru/links/c07711c6f9721flb436ec00a0335f381/ipmpl023.pdf

[79] Okuda, Н. Nonphysical noises and instabilities in plasma simulation due to a spatial grid / H. Okuda // Journal of Computational Physics. - 1972. - Vol. 10. - Iss. 3. - P. 475-486.

[80] Abe, H. Grid effects on the plasma simulation by the finite-size particle / H. Abe, J. Miyamoto, R. Itaniti // Journal of Computational Physics. - 1975. - Vol. 19. - Iss. 2. - P. 134-149.

[81] Григорьев, Ю.Н. Численное моделирование методами частиц-в-ячейках / Ю.Н. Григорьев, В.А. Вшивков, М.П. Федорук. - Новосибирск: Издательство СО РАН, - 2004. -360 с.

[82] Dawson, J.M. Particle simulation of plasmas / J.M. Dawson // Reviews of Modern Physics.

- 1983. - Vol. 55. - № 2. - P. 403-447.

[83] Lapenta, G. Dynamic and selective control of the number of particles in kinetic plasma / G. Lapenta, J.U. Brackbill // Journal of Computational Physics. - 1994. - Vol. 115. - Iss. 1. -P. 213-227.

[84] Lapenta, G. Control of the number of particles in fluid and MHD particle in cell methods / G. Lapenta, J.U. Brackbill // Computer Physics Communications. - 1995. - Vol. 87. - Iss. 1-2. - P. 139-154.

[85] Welch, D.R. Adaptive particle management in a particle-in-cell code / D.R. Welch, T.C. Genoni, R.E. Clark, D.V. Rose // Journal of Computational Physics. - 2007. - Vol. 227. -Iss. 1. - P. 143-155.

[86] Lapenta, G. Particle Rezoning for multidimensional kinetic particle-in-cell simulations / G. Lapenta // Journal of Computational Physics. - 2002. - Vol. 181. - Iss. 1. - P. 317-337.

[87] Innocenti, M.E. A multi level multi domain method for particle in cell plasma simulations // Journal of Computational Physics. - 2013. Vol. 238. - P. 115-140.

[88] Снытникова, T.B. Модификация метода частиц в ячейках с использованием адаптивных масс: взаимодействие лазерного импульса с плазмой / Т.В. Снытникова, Г.И. Дудникова,

B.А. Вшивков // Вычислительные методы и программирование. - 2013. - Т. 14. - С. 348356.

[89] Сорра, G.G.M. Blob Method for kinetic plasma simulation with variable-size particles / G.G.M. Coppa, G. Lapenta, G. Dellapiana, F. Donato, V. Riccardo // Journal of Computational Physics. - 1996. - Vol. 127. - Iss. 2. - P. 268-284.

[90] Бэрдсол, Ч. Физика системы частиц конечных размеров и ее применение к моделированию плазмы / Ч. Бэрдсол, А. Ленгдон, X. Окуда // Вычислительные методы в физике плазмы / под ред. Б. Ольдера, С. Фернбаха, М. Ротенберга. - М.: Мир, 1974. - С. 242-258.

[91] Birdsall, С.К. Clouds-in-clouds, clouds-in-cell physics for many-body plasma simulation /

C.K. Birdsall, D. Fuss // Journal of Computational Physics. - 1997. - Vol. 135. - Iss. 2. -P. 141-148.

[92] Idoinura, Y. Chaotic behaviour in PIC simulation and its relation to computational errors / Y. Idomura, S. Tokuda, M. Wakatani // Computer Physics Communications. - 1997. -Vol. 102. - Iss. 1. - P. 68-80.

[93] Вшивков, В.А. Аппроксимациоииые свойства метода частиц в ячейках / В.А. Вшивков // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 1996. - Т. 36. - № 4.

- С. 106-113.

[94] Williamson, J.H. Initial particle distributions for simulated plasma / J.H. Williamson // Journal of Computational Physics. - 1971. - Vol. 8. - Iss. 2. - P. 258-267.

[95] Sydora, R.D. Low-noise electromagnetic and relativistic particle-in-cell plasma simulation models / R.D. Sydora // Journal of computational and applied mathematics. - 1999. Vol. 109.

- Iss. 1-2. - P. 243-259.

[96] Markidis, S. The energy conserving particle-in-cell method / S. Markidis, G. Lapenta // Journal of Computational Physics. - 2011. - Vol. 230. - Iss. 18. - P. 7037-7052.

[97] Brackbill, J.U. An implicit method for electromagnetic plasma simulation in two dimensions / J.U. Brackbill, D.W. Forslund // Journal of Computational Physics. - 1982. - Vol. 46. -Iss. 2. - P. 271-308.

[98] Lapenta, G. Kinetic approach to microscopic-macroscopic coupling in space and laboratory plasmas / G. Lapenta, J.U. Brackbill, P. Ricci // Physics of Plasmas. - 2006. - Vol. 13. - № 5.

- P. 055904.

[99] Cohen, B.I. Implicit time integration for plasma simulation / B.I. Cohen, A.B. Langdon, A. Friedman // Journal of Computational Physics. - 1982. - Vol. 46. - Iss. 1. - P. 15-38.

[100] Hockney, R.W. Measurements of collision and heating times in a two-dimensional thermal computer plasma / R.W. Hockney // Journal of Computational Physics. - 1971. - Vol. 8. -Iss. 1.- P. 19-44.

[101] Вшивков, В.А. О методе частиц для решения кинетического уравнения Власова / В.А. Вшивков, В.Н. Спытников // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 1998. - Т. 38. - № И. - С. 1877-1883.

[102] Vay, J.L. Mesh refinement for particle-in-cell plasmas simulation: application and benefits for heavy ion fusion / J.L. Vay, P. Colella, P. McCorquodale, B. Van Straalen, A. Friedman, D.P. Grote // Laser and Particle Beams. - 2002. - Vol. 20. - Iss. 4. - P. 569-575.

[103] Vay, J.L. Implementations of mesh refinement schemes for particle-in-cell plasma simulations / J.L. Vay, P. Colella, A. Friedman, D.P.Grote, P. McCorquodale, D.B. Serafini // Computer Physics Communications. - 2004. - Vol. 164. - Iss. 1-3. - P. 297-305.

[104] Colella, P. Controlling self-force errors at refinement boundaries for AMR-PIC / P. Colella, P.C. Norgard // Journal of Computational Physics. - 2010. - Vol. 229. - Iss. 4. - P. 947-957.

[105] Дудникова, Г.И. О моделях частиц иа неструктурированных сетках / Г.И. Дудиикова, Д.В. Романов, М.П. Федорук // Вычислительные технологии. - 1998. - Т. 3. - № 6. -С. 30-46.

[106] P.J. Mardahl, J.P. Verboncoeur charge conservation in electromagnetic PIC codes; spectral comparison of Boris/DADI and Langdon-Marder methods / P.J. Mardahl, J.P. Verboncoeur // Computer Physics Communications. - 1997. - Vol. 106. - Iss. 3. - P. 219-229.

[107] Скачков, M.B. О проблемешумов и сохранения заряда в методе крупных частиц / М.В. Скачков // Математическое моделирование. - 2000. - Т. 12. - № 9.

[108] Langdon, А.В. On enforcing Gauss' law in electromagnetic particle-in-cell codes / A.B. Langdon // Computer Physics Communication. - 1992. - Vol. 70. - Iss. 3. - P. 447-450.

[109] Munz, C.D. Divergence correction techniques for Maxwell solvers based on a hyperbolic model / C.D. Munz, P. Omnes, R. Schneider, E. Sonnendrucker, U. Voss // Journal of Computational Physics. - 2000. - Vol. 161. - Iss. 2. - P. 484-511.

[110] Esirkepov, T.Zh. Exact charge conservation scheme for particle-in-cell simulation with an arbitrary form-factor / T.Zh. Esirkepov // Computer Physics Communications. - 2001. -Vol. 135. - Iss. 2. - P. 144-153.

[111] Umeda, T. Cover image A new charge conservation method in electromagnetic particle-in-cell simulations / T. Umeda, Y. Omura, T. Tominaga, H. Matsumoto // Computer Physics Communications. - 2003. - Vol. 156. - Iss. 1. - P. 73-85.

[112] Вшивков, В.А. Алгоритмы решения задачи взаимодействия лазерного импульса с плазмой / В.А. Вшивков, К.В. Вшивков, Г.И Дудникова // Вычислительные технологии. -2001. - Т. 6. - № 2. - С. 47-63.

[113] Wang, В. A particle-in-cell method with adaptive phase-space remapping for kinetic plasmas / B. Wang, G.H. Miller, P. Colella // SIAM Journal on Scientific Computing. - 2011. - Vol. 33. - № 6. - P. 3509-3537.

[114] Березии, Ю.А. Распад разрыва в дисперсионной среде / Ю.А. Березин, В.А. Вшивков // Сборник статей. Академия паук СССР ордена Ленина институт прикладной математики. Численные методы в физике плазмы. - М.: Наука. - 1977. - С. 150-153.

[115] Сагдеев, Р.З. Коллективные процессы и ударные волны в разреженной плазме / Сагдеев Р.З. // - В кн.: Вопросы теории плазмы, под ред. Леонтовича М.А. - Вып. 4. - М.: Атомиздат, 1964. - С. 20-80.

[116] Беллман, Р. Квазилинеаризация и нелинейные краевые задачи / Р. Беллман, Дж. Ка-лаба. - М.: Мир, - 1968. - 184 с.

[117] Березин, Ю.А. Сильные волны в неизотермической разреженной плазме / Ю.А. Бере-зип, В.А. Вшивков // Численные методы механики сплошной среды. - 1972. - Т. 3. - № 1. - С. 3-16.

[118] Поттер, Д. Вычислительные методы в физике / Д. Поттер. - М.: Мир, - 1975. - 392 с.

[119] Вшивков, В.А. Проблема саморазогрева модельной плазмы в методе частиц / В.А. Вшивков, Д.В. Романов, В.Н. Снытпиков // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 1999. - Т. 4. - № 3. - С. 62-72.

[120] Вшивков, В.А. О самодействии в методе частиц в ячейках / В.А. Вшивков, A.B. Терехов // Вычислительные методы и программирование. - 2008. - Т. 9. - С. 48-57.

[121] Хокпи, Р. Методы расчета потенциала и их приложения / Р. Хокни // Вычислительные методы в физике плазмы / под ред. Б. Ольдера, С. Фернбаха, М. Ротенберга. - М.: Мир, 1974. - С. 143-212.

[122] Вшивков, В.А. Построение параллельного эффективного метода решения уравнения Пуассона для моделирования эволюции протопланетного диска / В.А. Вшивков, A.B. Сиытников // Вычислительные методы и программирование. - 2009. - Т. 10. - С. 116— 122.

[123] Незлии, М.В. Неустойчивости пучков заряженных частиц в плазме / М.В. Незлин // Успехи физических наук. - 1970. - Т. 102. - № 1.

[124] Михайловский, А.Б. Теория плазменных пеустойчивостей / А.Б. Михайловский. -М.: Атомиздат, 1975. - Т. 1. - 272 с.

[125] Цытович, В.Н. Теория турбулентной плазмы / В.Н. Цывович. - М.: Атомиздат, 1971. -423 с.

[126] Timofeev, I.V. Relaxation of a relativistic electron beam in plasma in the trapping regime / I.V. Timofeev, K.V. Lotov // Physics of Plasmas. - 2006. - Vol. 13. - № 6. - P. 062312.

[127] Burdakov, A.V. Explanation of turbulent suppression of electron conductivity in the GOL-3 facility at the stage of relativistic electron beam injection / A.V. Burdakov, V.I Erofeev, I.A. Kotelnikov // Fusion science and technology. - 2005. - Vol. 47. - № IT. - P. 74-77.

[128] Koidan, V.S. Progress in multimirror trap GOL-3 / V.S. Koidan, A.V. Arzhannikov, V.T. Astrelin et al.// Fusion Engineering and Design. - 2005. - Vol. 47. - № IT. - P. 35-42.

[129] Кролл, H. Основы физики плазмы / H. Кролл, А. Трайвелпис. - М.: Мир, - 1975. -525 с.

[130] Langdon, А.В. Electromagnetic and relativistic plasma simulation models / A.B. Langdon,

B.F. Lasinski // Methods in Computational Physics. - 1976. - Vol. 16. - P. 327-366.

[131] Snytnikov A.V. Supercomputer simulation of plasma electron heat conductivity decrease due to relativistic electron beam relaxation / A.V. Snytnikov // Procedia Computer Science. - 2010. - Vol. 1. - Iss. 1. - P. 607-615

[132] Лотов, K.B. Переходный режим одномерной двухпотоковой неустойчивости / К.В. Лотов, И.В. Тимофеев // Вестник НГУ. Серия: Физика. - 2008. - Т. 3. - Вып. 1. - С. 62-65.

[133] Лотов, К.В. О насыщении двухпотоковой неустойчивости электронного пучка в плазме / К.В. Лотов, А.В. Терехов, И.В. Тимофеев // Физика плазмы. - 2009. - Т. 35. - № 6. -

C. 567-574.