Численное моделирование динамики плазмы в осесимметричных магнитных ловушках-мишенях тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Берендеев, Евгений Андреевич

• Берендеев, Евгений Андреевич
• кандидат наук
• 2017

Оглавление диссертации кандидат наук Берендеев, Евгений Андреевич

Оглавление

Введение

Глава 1. Численная модель

1.1. Плазменная ловушка-мишень

1.2. Основные уравнения

1.3. Метод частиц в ячейках

1.3.1. Сеточное ядро

1.3.2. Решение уравнения Больцмана

1.3.3. Аппроксимация силы

1.4. Столкновения

1.5. Общая схема вычислений

Глава 2. Методы и алгоритмы решения основных уравнений

2.1. Исходная система уравнений в безразмерном виде

2.2. Движение частиц

2.3. Решение уравнений Максвелла

2.4. Вычисление плотности тока и плотности заряда

2.5. Столкновения частиц

2.6. Начальные и граничные условия

2.7. Выводы

Глава 3. Алгоритмы параллельных вычислений для метода частиц в ячейках

3.1. Обзор алгоритмов параллельных вычислений для метода частиц в ячейках

3.2. Параллельный алгоритм

3.3. Масштабируемость

3.4. Выводы

Глава 4. Результаты вычислительных экспериментов

4.1. Тестирование численных методов

4.2. Моделирование плазменной ловушки-мишени

4.2.1. Динамика катодных электронов

4.2.2. Динамика плазмы в области магнитных пробок

4.2.3. Динамика плотности плазмы у стенок ловушки

4.2.4. Определение параметров мишенной плазмы

4.3. Выводы

Заключение

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численное моделирование динамики плазмы в осесимметричных магнитных ловушках-мишенях»

Введение

В настоящее время численное моделирование является не просто приложением к фундаментальным или прикладным исследованиям, а совершенно самостоятельным стремительно развивающимся научным направлением. Наиболее широкое применение численное моделирование нашло в области физики плазмы, выделившись в отдельное направление - вычислительную физику плазмы. Это связано, прежде всего, со сложностью и многообразием плазменных процессов, экспериментальное исследование которых не может быть полным без сопровождения вычислительными экспериментами. В настоящее время численное моделирование различного рода плазменных установок активно используется по всему миру [1, 2, 3]. Например, в результате численного моделирования были обнаружены принципиально новые механизмы развития сильной и умеренной плазменной турбулентности, найдены новые режимы ускорения заряженных частиц при взаимодействии лазерного импульса с плазмой [4, 5]. Кроме того, численное моделирование получило широкое применение в связи с проблемой нагрева и удержания плазмы в системах управляемого термоядерного синтеза (УТС).

Известно, что одним из методов накопления и нагрева высокотемпературной плазмы, удерживаемой магнитным полем, является инжекция мощных пучков нейтральных атомов. Для получения атомарных пучков высокой энергии необходимо пучки ускоренных отрицательных ионов пропускать через нейтрализующую мишень.. При этом увеличение отношения вырабатываемой реактором энергии к потребляемой требует высокой эффективности нейтрализации, что особенно важно для реакций с малым энергетическим выходом.

Нейтрализующие мишени различного типа (газовые, плазменные, фотонные) в настоящее время разрабатываются в ряде лабораторий как в России [6, 7, 8, 9], так и за рубежом [10]. В частности, в ИЯФ СО РАН была предложена и

развита концепция нейтрализации пучка в низкотемпературной плазменной мишени [6], для которой выход атомов достиг уровня 85 % (в газовых мишенях ~ 55 %) и были получены высокие показатели по удержанию плазмы [11].

Мишенная плазма должна удерживаться в осесимметричной магнитной ловушке с инверсными магнитными пробками, имеющей отверстия с широкой апертурой для прохождения нейтрализуемого пучка. Необходимо удержание плазмы от истечения в эти отверстия, потери плазмы на стенки менее существенны. Для того чтобы избежать утечки плазмы, применяется достаточно сложная конфигурация магнитного поля, запирающая плазму внутри. Данное обстоятельство осложняет теоретические оценки поведения плазмы и для детального изучения динамики плазмы и эффективности её удержания необходимо, помимо лабораторных экспериментов, проведение численного моделирования.

Для эффективного использования магнитной ловушки в качестве нейтрализующей мишени пучков высокой энергии необходимо иметь методику расчёта как оптимальной конфигурации ловушки для получения требуемых параметров плазмы, так и повышения выхода нейтральных атомов. Однако на сегодняшний день универсального инструмента для решения данных проблем не существует. Таким инструментом может стать численная модель, которая позволит на основе вычислительных экспериментов исследовать основные закономерности плазменных процессов в ловушке.

Для того чтобы получить более глубокие знания о явлениях, которые сопровождают удержание плазмы в ловушке с мультипольными магнитными стенками и инверсными магнитными пробками, и описать их количественные характеристики, необходимо иметь адекватные исследуемым процессам численные модели. Все модели, используемые при описании плазменных явлений можно разделить на три типа: гидродинамические, кинетические и гибридные. Гидродинамические и гибридные модели используются при решении задач, в которых все или некоторые функции распределения частиц плазмы равновесны. Это существенно упрощает решение основных уравнений, но в некоторых

случаях не может воспроизвести полной физической картины исследуемых процессов. Наиболее полное описание можно получить на основе кинетических моделей, в которых плазма представляется набором достаточно большого числа модельных частиц. Однако, практические расчёты на основе таких моделей требуют большой вычислительной мощности. Современное состояние вычислительной техники позволяет решить некоторые задачи, используя, например, многопроцессорные системы. В данной работе на основе кинетического подхода и метода Монте-Карло с применением методики распределенных вычислений на суперЭВМ проведено исследование динамики плазмы в ловушке-мишени, используемой для нейтрализации высокоэнергетичных пучков отрицательных ионов.

Диссертация посвящена построению численной модели динамики плазмы в ловушке-мишени на основе кинетического подхода и метода Монте-Карло, разработке численных методов решения полученных уравнений и созданию реализующих их программ, а также проведению численных экспериментов для исследования основных характеристик мишенной плазмы, используемой для нейтрализации высокоэнергетичных пучков отрицательных ионов.

Созданная модель учитывает, с одной стороны, существенно различную величину магнитного поля внутри и на границе ловушки, а с другой - влияние различных видов столкновений, в том числе эффектов ионизации. Это позволяет удовлетворить необходимые требования к численным методам и модели: адекватно воспроизводить траектории движения частиц плазмы во всей ловушке, учитывать столкновения частиц и процесс ионизации.

Для моделирования динамики плазмы в кинетическом приближении используется метод частиц в ячейках как наиболее универсальный и удовлетворяющий всем необходимым требованиям. Метод Монте-Карло используется для описания процессов ионизации и столкновения частиц. При этом плазма представляется набором достаточно большого числа модельных частиц, которые движутся под действием самосогласованного электромагнитного поля. Плотности тока и плотности заряда, необходимые для определения

электромагнитных полей определяются исходя из функции распределения модельных частиц. Форма, размер частицы и распределение в ней заряда определяется специальной функцией - ядром частицы. Существует несколько видов ядер (NGP-ядро, Р/С-ядро, параболическое и т.д.), однако на практике применяются в основном простейшие ядра. Это связано с тем, что приходится рассчитывать динамику достаточно большого числа модельных частиц и необходимо минимизировать количество арифметических операций на одну модельную частицу

Цилиндрическая геометрия рассматриваемой ловушки требует для описания динамики плазмы модификации имеющихся стандартных подходов в методе частиц. Наиболее широко используемые ядра частиц, такие как Р1С-ядро и параболическое, симметричны, поэтому в недекартовых системах координат центр масс частиц не совпадает с центром ячейки, что приводит к существенным искажением плотности плазмы вблизи оси [12]. Использование других ядер затруднено тем, что для них вычисление плотности тока и плотности заряда частицы на сетке не согласованы, что в свою очередь требует коррекции значений электрического поля, полученных из решения уравнений Максвелла [13]. Несмотря на то, что решению проблемы вычисления тока в методе частиц в ячейках посвящено множество работ [14, 15, 16, 17, 18], на сегодняшний день универсального подхода, позволяющего корректно восстанавливать значения плотности тока на сетке для произвольного ядра, не существует.

В данной работе предложен численный метод нахождения плотности тока, использующий напрямую решение уравнения неразрывности, и позволяющий получить согласованные значения плотности заряда и плотности тока без необходимости дополнительных коррекций. Показано, что предложенный алгоритм применим, в том числе, и для несимметричных ядер частиц и может использоваться в произвольной криволинейной системе координат при решении широкого круга задач. Поскольку выбранные методы являются достаточно ресурсоёмкими, также создан параллельный алгоритм, позволяющий сократить время вычислений и увеличить точность получаемых оценок. Разработанный

автором алгоритм параллельных вычислений основан на эйлерово-лагранжевой декомпозиции: расчётная область разделяется на подобласти, в которых вычисления производит своя группа процессоров. Внутри каждой такой подобласти модельные частицы распределяются между процессорами группы, что обеспечивает высокую степень параллелизма. Также разработанный алгоритм позволяет обеспечить балансировку вычислительной нагрузки на процессоры в случаях, когда частицы движутся с различным шагом по времени. Эффективность представленного в работе алгоритма подтверждена результатами тестовых расчётов на различных вычислительных системах, таких как суперкомпьютер «Ломоносов» (МГУ), НКС-30Т (ССКЦ СО РАН), кластер НГУ.

Актуальность работы

Программные комплексы, используемые для моделирования процессов в низкотемпературной плазме, представляют большую коммерческую ценность при разработке технологических плазменных систем. Поэтому работы по детальному моделированию низкотемпературной плазмы в значительной степени сконцентрированы в корпоративных исследовательских центрах и охраняются в режиме коммерческой тайны. В частности, из общедоступных коммерческих систем для численного моделирования можно отметить пакет COMSOL MULTIPHYSICS[19], в последнюю версию которого включен модуль для моделирования плазмы в гидродинамическом приближении, не позволяющий учесть кинетические эффекты. В настоящее время развитием кинетического подхода для моделирования низкотемпературной плазмы занимается группа В. Колобова [20]. Моделирование динамики и кинетики реакций нейтрального водорода в низкотемпературной плазме развивается в лабораториях термоядерного синтеза, исследующих взаимодействие горячей плазмы с поверхностью (Монте-Карло коды EREINE Юлих, Германия [21] и DEGAS2 Принстон, США [22]). Также существует ряд пакетов программ для моделирования физики плазмы методом частиц в ячейках: KARAT [23], CFHALL [24], VORPAL [25], DEMOCRITUS [26], MAGIC [27], код OSIRIS,

UCLA, USA [28] (в том числе и в цилиндрической системе координат [29]), код QUICKPIC [30].

Однако, несмотря на обилие численных методов и программ для моделирования плазмы (в том числе и на основе метода частиц в ячейках), при решении каждой конкретной задачи возникает необходимость разрабатывать новый подход, учитывающий все особенности моделируемого явления.

В случае решаемой в диссертации задачи необходимость учёта сложной геометрии магнитного поля с большими градиентами, процессов ионизации и столкновений частиц, использование цилиндрической системы координат не позволяет использовать распространённые программные пакеты для моделирования плазмы. Кроме того, стандартные численные методы расчёта динамики заряженных частиц в цилиндрических координатах показывают низкую скорость и качество работы, в расчётах используются только простейшие симметричные ядра, поэтому построение метода, по своим характеристикам схожего с обычными методами в декартовой системе координат является своевременным и актуальным.

Ещё одним важным и актуальным аспектом при решении рассматриваемой задачи является разработка эффективного параллельного алгоритма вычислений для его реализации на вычислительных комплексах современной архитектуры. Существующие программы показывают высокую степень масштабируемости на тестовых задачах, однако, в прикладной области основной проблемой является балансировка вычислительной нагрузки, а именно равномерное распределение вычислений по процессорам.

Предложенный в работе алгоритм параллельных вычислений позволяет учесть неравномерность вычислительной нагрузки при расчёте движения частиц с различным временным шагом и может быть использован для решения различных сложных вычислительных задач в области физики плазмы.

Результаты вычислительных экспериментов можно использовать для оптимизации магнитной системы ловушки, оценки и улучшения эффективности удержания плазмы.

Цель диссертационной работы заключается в построении численной модели для описания динамики плазмы в ловушке-мишени, разработке экономичных вычислительных схем метода частиц в ячейках с применением методики распределенных вычислений на суперЭВМ и исследовании на основе вычислительных экспериментов основных закономерностей плазменных процессов в ловушке.

Для достижения этой цели были поставлены и решены следующие задачи:

1) создание на основе комбинации метода частиц и метода Монте-Карло численных методов решения основных уравнений динамики заряженных частиц в цилиндрической системе координат;

2) адаптация разработанных алгоритмов для проведения параллельных вычислений на вычислительных комплексах современной архитектуры;

3) создание комплекса программ для расчёта динамики плазмы в ловушке-мишени на суперЭВМ;

4) с помощью серии вычислительных экспериментов изучение динамики многокомпонентной плазмы в ловушке с инверсными магнитными пробками и мультипольными магнитными стенками применительно к условиям лабораторных экспериментов.

Научная новизна заключается в следующем:

1. Создана новая численная модель, построенная с применением комбинации метода частиц в ячейках и метода Монте-Карло, позволяющая наравне с кинетическими эффектами учесть процессы ионизации и рассеяния.

2. Создан новый универсальный численный метод расчёта плотности тока при движении частиц в цилиндрической системе координат, удовлетворяющий разностному аналогу уравнения неразрывности.

3. Разработан новый метод балансировки вычислительной нагрузки для алгоритма параллельных вычислений метода частиц в ячейках, обеспечивающий высокую масштабируемость распределённых вычислений.

4. С помощью созданного комплекса программ проведены численные расчёты динамики плазмы в ловушке мишенного типа, разработанной в

ИЯФ СО РАН. Показано, что магнитная система со слабым продольным полем и инверсными магнитными пробками в торцевых отверстиях позволяет минимизировать поток плазмы из ловушки. Установлено, что профили плотности всех компонент плазмы в области инверсной магнитной пробки имеют ступенчатую структуру.

Научная и практическая ценность работы состоит в создании новых численных методов для моделирования плазмы в магнитном поле сложной конфигурации в цилиндрической системе координат, а также комплекса программ для проведения расчётов основных характеристик плазмы в ловушке. Созданные алгоритмы и комплекс программ могут найти широкое применение при проектировании новых магнитных ловушек, а также при исследовании фундаментальных свойств плазмы в сильных магнитных полях и в работах, направленных на изучение эффективности удержания плазмы в магнитном поле.

Представленные в диссертации исследования проводились в рамках проектов, поддержанным Российским Фондом Фундаментальных исследований (№ 14-01-00392, № 16-31-00304, № 16-01-00209), в том числе под руководством Берендеева Е. А. (№ 14-01-31220), а также по грантам Российского Научного Фонда (№ 14-11-00485, № 16-11-10028).

Методы исследования. В работе используются методы вычислительной математики и математического моделирования, элементы теории разностных уравнений, элементы теории вероятности и математической статистики, метод частиц в ячейках. Разработка программного обеспечения проводилась на основе языка Fortran 2003 и Message Passing Interface (MPI).

Достоверность результатов

Достоверность представленных результатов основана на применении обоснованных численных моделей, верифицированных на специальном наборе тестовых задач, устойчивостью и сходимостью используемых численных схем, сравнением результатов моделирования с результатами лабораторных экспериментов.

Разработанный комплекс программ имеет модульную структуру, что позволило провести тестирование каждого модуля независимо.

Получена сходимость решения на сгущающихся сетках и при увеличении числа модельных частиц.

Проведены вычислительные эксперименты для сравнения с аналитическими решениями на тестовых задачах, выполнено сравнение с экспериментальными данными.

Результаты численных расчётов имеют качественное соответствие с данными, полученными в результате лабораторных экспериментов.

На защиту выносятся

• численная модель, построенная с применением комбинации метода частиц в ячейках и метода Монте-Карло, описывающая нелинейную динамику плазмы в ловушке-мишени с мультипольными магнитными стенками и инверсными магнитными пробками,

• численный метод нахождения плотности тока при движении частиц в цилиндрической системе координат, позволяющий согласовать плотность тока и плотность заряда без дополнительных коррекций,

• метод балансировки вычислительной нагрузки для алгоритма параллельных вычислений с эйлерово-лагранжевой декомпозицией, позволяющий существенно сократить время вычисления траекторий частиц в магнитных полях сложной геометрии,

• комплекс программ для моделирования динамики плазмы и результаты численного моделирования, позволившие оценить потери плазмы из ловушки-мишени применительно к условиям лабораторных экспериментов.

Апробация работы

Основные положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на объединенном семинаре ИВМиМГ СО РАН, на семинаре ИВТ СО РАН «Законы сохранения и инварианты для уравнений гидродинамического типа», на семинаре «Математическое моделирование в механике» ИТПМ СО РАН, на II международной научно-технической

конференции "Высокопроизводительные вычисления HPC-UA" (2012, Киев (Украина)), V международной молодёжной научной школе-конференции "Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач" (2013, Новосибирск), VII Международной научной конференции "Параллельные Вычислительные Технологии (ПаВТ)" (2013, Челябинск), VII Всероссийской конференции "Актуальные проблемы прикладной математики и механики", посвящённой памяти академика А.Ф. Сидорова. (2014, Абрау-Дюрсо), The International Workshop Complex Plasma Phenomena in the Laboratory and in the Universe (2015, Rome (Italy)), Международной конференции "Актуальные проблемы вычислительной и прикладной математики - 2015", посвященной 90-летию со дня рождения академика Гурия Ивановича Марчука, Sixth Conference on Numerical Analysis and Applications (2016, Rousse (Bulgaria).

Основные результаты опубликованы в 18 работах[31-48], из которых 6 в журналах, рекомендованных ВАК.

Личный вклад соискателя заключается в обсуждении постановки задачи, разработке численной модели, численных алгоритмов и методов решения, создании и тестировании программ, проведении серии численных экспериментов и анализе полученных результатов. Все выносимые на защиту результаты принадлежат лично автору. Представление результатов совместных исследований и разработок согласовано с соавторами.

Структура диссертационной работы

Диссертационная работа состоит из введения, четырёх глав и Заключения. В первой главе содержится обзор основных численных моделей для описания динамики плазмы в магнитной ловушке-мишени, приведено подробное описание схемы ловушки. Вторая глава посвящена описанию численных методов решения системы уравнений Больцмана-Максвелла с помощью комбинации метода частиц в ячейках и метода Монте-Карло, а также проблеме вычисления плотности тока и плотности заряда модельных частиц. Во второй главе также приводится описание разработанного автором численного метода нахождения плотности тока, используя уравнение неразрывности. Третья глава посвящена алгоритмам

параллельных вычислений для моделирования динамики плазмы методом частиц в ячейках. Здесь также приведены данные об эффективности используемых параллельных алгоритмов. В четвёртой главе содержатся результаты тестовых расчётов траекторий частиц в пробкотроне, а также результаты вычислительных экспериментов по моделированию динамики плазмы в ловушке-мишени с мультипольными магнитными стенками и инверсными магнитными пробками, разработанной в ИЯФ СО РАН. В Заключении приведены итоговые результаты, а также дальнейшие перспективы диссертационного исследования.

Глава 1. Численная модель

1.1. Плазменная ловушка-мишень

Одной из неотъемлемых частей проблемы управляемого термоядерного синтеза является создание источников мощных пучков нейтральных атомов; инжекция таких пучков используется как основной метод накопления и нагрева удерживаемой в магнитном поле высокотемпературной плазмы [3]. Для получения атомарных пучков с энергией более 0.5 МэВ необходимо ускорить пучки отрицательных ионов до указанной энергии и эти пучки пропускать через нейтрализующую мишень. Плазменные ловушки-мишени способны обеспечить более высокую степень нейтрализации, чем обычные газовые мишени, однако для наиболее эффективной нейтрализации, необходимо получить в мишени плазму достаточно высокой плотности и степени ионизации [49].

Разработка плазменных ловушек-мишеней в настоящее время является одной из самых актуальных задач.

В Курчатовском институте создана плазменная мишень с ионизацией газа мощным микроволновым полем. Достигнутая плотность аргоновой плазмы,

12 3

удерживаемой в мультипольной магнитной ловушке, составила 0,9*10 см [8, 9]. В институте JAERI (Japan) изучалась магнитная ловушка-мишень, образованная стержневыми перманентными магнитами. Полученная ионизацией электронами водородная плазма была недостаточно ионизирована и имела плотность 1,1*1012 см-3 [10].

В настоящее время в ИЯФ СО РАН предложена осесимметричная магнитная ловушка со слабым продольным полем и инверсными пробками в торцевых отверстиях (с противоположным направлением продольного поля) [7], в которой предполагается достичь более высокой плотности водородной плазмы (2*1012 см-3) и степени ионизованности 2/3.

Благодаря сохранению в аксиально-симметричной системе обобщённого момента импульса, продольное удержание частиц в такой ловушке окажется очень жёстким. Радиальные потери плазмы ограничиваются мультипольными магнитными стенками, сформированными последовательностью кольцевых магнитов с переменной намагниченностью.

В осесимметричной ловушке с кольцевыми магнитными поверхностями отсутствует азимутальный компонент поля, а также отсутствует стационарное азимутальное электрическое поле. Соответственно, в такой ловушке не может возникать нормальный к стенкам стационарный дрейф плазмы в скрещенных полях. Благодаря этому, а также благодаря естественной МГД устойчивости плазмы, окруженной мультипольными стенками, электроны плазмы хорошо удерживаются, во внутренней области потенциал плазмы понижается, что ведёт к улучшению удержания ионов.

Эффективность предложенной магнитной системы была подтверждена при испытании прототипа ловушки [11]. Экспериментально продемонстрировано жесткое ограничение истечения плазмы в торцевое отверстие инверсными пробками и показан механизм этого ограничения. Установлено, что электроны удерживаются в ловушке преимущественно магнитными полями. Наблюдалось ступенчатое падение плотности плазмы в области инверсной пробки, а также резкое падение плотности плазмы по радиусу, что позволяет с уверенностью говорить о высокой эффективности удержания плазмы в ловушке.

Схематичное изображение созданной ловушки-мишени представлено на рисунке 1.1. Ловушка представляет собой цилиндрическую систему длиной 1355 мм с вакуумной камерой внутренним диаметром 199 мм. Ловушка состоит из центрального катодного блока и симметричных относительно него цилиндрических секций и торцевых крышек. Дополнительное разделение каждой из цилиндрических секций на две половины обусловлено механической устойчивостью.

Рис. 1.1 Схема плазменной ловушки-мишени. (1) - широкоапертурные отверстия для прохождения нейтрализуемого пучка, (2) - катодный блок, (3) - один из шести катодов, (4) - постоянные магниты, (5) - магнитный экран.

На рисунке 1.2. представлена схема магнитной системы ловушки и силовые линии магнитного поля. Магнитная система состоит из двух зеркально симметричных половин. Чередующиеся радиально и азимутально намагниченные постоянные NdFeB магниты размещаются непосредственно на внешней поверхности вакуумной камеры с толщиной стенки 2.5 мм, что позволяет получить достаточно большое (до 7 кГс) поле вблизи поверхности камеры для обеспечения эффективного отражения частиц. Снаружи магнитов размещаются магнитные экраны. Торцевые магнитные сборки совместно с кольцевыми экранами формируют инверсные пробки в торцевых отверстиях диаметром 10 см.

Рис. 1.2 Схема магнитной системы ловушки-мишени, силовые линии магнитного

поля.

13 3

Изначально ловушка заполняется газом Н2 плотностью пг = 10 см. Ионизация газа осуществляется электронами. Центральный катодный блок

состоит из 6 катодных узлов, установленных равномерно по окружности, с LaB6 катодами диаметром 20 мм. Предполагается, что плотность мишенной плазмы

12 3

составит 210 см частиц, степень ионизации достигнет 70 %. Состав водородных ионов будет следующим: Н+ - 40 %, Н2+ - 30 %, Н3+ - 30 %. Предполагается, что электронная температура достигнет 5 эВ.

В настоящее время ловушка-мишень полностью изготовлена. Также разработан и изготовлен комплекс устройств для диагностики плазмы, включая диагностический инжектор атомов водорода и анализатор прошедшего через плазму диагностического пучка. В ловушке реализовано зажигание плазмы. Для более детального анализа динамики плазмы в ловушке, проверки достоверности измерений и оптимизации параметров работы ловушки было проведено численное моделирование с использованием адекватной изучаемым процессам численной модели.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Берендеев, Евгений Андреевич, 2017 год

Литература

1. Dougar-Jabon, V. D. Plasma Confinement in an Electron Cyclotron Double Cusp Trap. / V. D. Dougar-Jabon, F. A. Vivas Mejia, A. M. Umnov // Physica Scripta. -2000. - Vol. 62. - № 2-3. - P. 183-185.

2. Dougar-Jabon, V. D. Simulation of plasma confinement in an electron cyclotron resonance zero-B trap / V. D. Dougar-Jabon, A. Umnov, M. T. Murillo-Acevedo // Iteckne. - 2015. - Vol. 12. - P. 111-118.

3. Gomberoff, K. Simulations of plasma confinement in an antihydrogen trap / K. Gomberoff, J. Fajans, A. Friedman, D. Grote, J. L. Vay, J. S. Wurtele // Physics of Plasmas. - 2007. - Vol. 14. - P. 102-111.

4. Сигов, Ю. С. Вычислительный эксперимент: мост между прошлым и будущим физики плазмы. Избранные труды / Ю. С. Сигов; составители Г. И. Змиевская, В. Д. Левченко. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. - 288 с.

5. Faure, J. A laser-plasma accelerator producing monoenergetic electron beams / J. Faure, Y. Glinec, A. Pukhov (и др.) // Nature. - 2004. - Vol. 431. - Iss. 7008. -P. 541-544.

6. Dimov, G. I. Conversion of a beam of negative hydrogen ions to atomic hydrogen in a plasma target at energies between 0.5 and 1 MeV / G. I. Dimov, G. V. Roslyakov // Nuclear Fusion. - 1975. - Vol. 15. - P. 551-553.

7. Dimov, G. I. A plasma trap as a target for neutralization of the negative ion beam / G. I. Dimov, A. V. Ivanov // Transactions of the Fusion Science and Technology. -2013. - Vol. 63. - P. 111-114.

8. Kulygin, V. M. Plasma Neutralizer for ITER Injector / V. M. Kulygin, A. A. Skovoroda, V. A. Zhil'tsov // Plasma Devices and Operations. - 1998. - Vol. 6. -P. 135-147.

9. Kulygin, V. Status of plasma neutralizer development [Электронный ресурс] / V. Kulygin, I. Moskalenko, A. Spitsyn, A. Skovoroda, S. Yanchenkov, V. Zhiltsov //

Proceedings 4th IAEA Technical Meeting. 2005. - Padova (Italy). - 2005. - P. 1-12. -Режим доступа:

http://www-pub.iaea.org/MTCD/publications/PDF/P1256-cd/papers/kulygin1.pdf

10. Takeiri, Y. High-power and long-pulse injection with negative-ion-based neutral beam injectors in the Large Helical Device / Y. Takeiri, O. Kaneko, K. Tsumori, Y. Oka, K. Ikeda, M. Osakabe, K. Nagaoka, E. Asano, T. Kondo, M. Sato, M. Shibuya // Nuclear Fusion. - 2006. - Vol. 46. - Iss. 6. - P. 199-210.

11. Dimov, G. I. Experiments to study the confinement of a target plasma in a magnetic trap with inverse plugs and circular multipole walls / G. I. Dimov, I. S. Emelev // Technical Physics. - 2014. - Vol. 59. -Iss. 2. - P. 181-189.

12. Larson, D. J. Correction factors for PIC accumulation on radial grids / D. J. Larson, D. W. Hewett, A. B. Langdon // Computer Physics Communications. -1995. - Vol. 90. - P. 260-266.

13. Boris, J. P. Relativistic plasma simulation - optimization of a hybrid code / J. P. Boris // Proceedings of the Conference on numerical Simulation of Plasmas (4th). November 2-3, 1970. - Washington (USA). - 1970. - P. 3-67.

14. Barthelmé, R. Conservation de la charge dans les codes PIC / R. Barthelmé // Comptes rendus. Mathematique. - 2005. - Vol. 11. - № 341. - P. 689-694.

15. Esirkepov, T. Z. Exact charge conservation scheme for Particle-in-Cell simulation with an arbitrary form-factor / T. Z. Esirkepov // Computer Physics Communications. -2001. - Vol. 135. - Iss. 2. - P. 144-153.

16. Umeda, T. A new charge conservation method in electromagnetic particle-in-cell simulations / T. Umeda, Y. Omura, T. Tominaga, H. Matsumoto // Computer Physics Communications. - 2003. - Vol. 156. - Iss. 1. - P. 73-85.

17. Villasenor, J. Rigorous charge conservation for local electromagnetic field solver / J. Villasenor , O. Buneman // Computer Physics Communications. - 1992. - Vol. 69. -Iss. 2-3. - P. 306-316.

18. Вшивков, В. А. Алгоритмы решения задачи взаимодействия лазерного импульса с плазмой / В. А. Вшивков, К. В. Вшивков, Г. И. Дудникова // Вычислительные технологии. - 2001. - Т. 6. - Вып. 2. - С. 47-63.

19. Dickinson, E. COMSOL Multiphysics (R) : Finite element software for electrochemical analysis. A mini-review / E. Dickinson, H. Ekstrom, E. Fontes // Electrochemistry Communications. - 2014. - Vol. 40. - P. 71-74.

20. Kolobov, V. Advances in electron kinetics and theory of gas discharges [Электронный ресурс] / V. Kolobov // Physics of Plasmas. - 2013. - Vol. 20. -№ 101610. - P. 1-14. - режим доступа:

https://www.researchgate.net/publication/260701248_Advances_in_electron_kinetics_a nd_theory_of_gas_discharges

21. Feng, Y. Recent Improvements in the EMC3-Eirene Code / Y. Feng, H. Frerichs, M. Kobayashi [и др.] // Contributions to Plasma Physics. - 2014. - Vol. 54. - Iss. 4-6. -P. 426-431.

22. Cao, B. Comparison of gas puff imaging data in NSTX with degas 2 simulations / B. Cao, D. Stotler, S. Zweben, [и др.] // Fusion Science and Technology. - 2013. -Vol. 64. - № 1. - P. 29-38.

23. Tarakanov, V. P. User's manual for code KARAT / V. P. Tarakanov // V.A. Springfield: Berkley Research. - 1992.

24. Perepelkina, A. Yu. CFHall Code Validation with 3D3V Weibel Instability Simulation [Электронный ресурс] / A. Yu. Perepelkina, I. A. Goryachev, V. D. Levchenko // Journal of Physics: Conference Series. - 2013. - Vol. 441. - Iss. 1. - P. 012014. - Режим доступа:

http://iopscience.iop.org/1742-6596/441/1/012014/pdf/1742-6596_441_1_012014.pdf

25. Nieter, C. VORPAL: a versatile plasma simulation code / C. Nieter, J. R. Cary // Journal of Computational Physics. - 2004. - Vol. 196. - Iss. 2. - P. 448-473.

26. Lapenta, G. DEMOCRITUS: An adaptive particle in cell (PIC) code for object-plasma interactions / G. Lapenta // Journal of Computational Physics. - 2011. -Vol. 230. - Iss 12. - P. 4679-4695.

27. Goplen, B. User-configurable MAGIC code for electromagnetic PIC calculation / B. Goplen, L. Lideking, D. Smithe, G. Warren // Computer Physics Communications. -1995. - Vol. 87. -Iss. 1-2. - P. 54-86.

28. Deng, S. Developing a Multi-Timescale PIC Code for Plasma Accelerators / S. Deng, X. Wang, T. Katsouleas, W. Mori // Proceedings of the 2005 Particle Accelerator Conference. May, 18-20, 2005. - Knoxville, Tennessee (USA). - 2005. -P. 2324-2326.

29. Davidson, A. Implementation of a hybrid particle code with a PIC description in r-z and a gridless description in ф into OSIRIS / A. Davidson, A. Tableman, W. An [и др.] // Journal of Computational Physics. - 2015. - Vol. 281. - P. 1063-1077/

30. Huang, C. QUICKPIC: A highly efficient particle-in-cell code for modeling wakefield acceleration in plasmas / C. Huang, V. K. Decyk, C. Ren [и др.] // Journal of Computational Physics. - 2006. - Vol. 217. - Iss. 2. - P. 658-679.

31. Берендеев, Е. А. Моделирование на суперЭВМ динамики плазменных электронов в ловушке с инверсными магнитными пробками и мультипольными магнитными стенками / Е. А. Берендеев, А. В. Иванов, Г. Г. Лазарева, А. В. Снытников // Вычислительные методы и программирование. - 2013. - Т. 14.

- С. 149-154.

32. Берендеев, Е. А. Реализация эффективных параллельных вычислений при моделировании больших задач физики плазмы методом частиц в ячейках / Е. А. Берендеев, А. А. Ефимова // Вестник УГАТУ. - 2013. - Т. 17. - № 2 (55). -С. 112-116.

33. Берендеев, Е. А. Численное моделирование развития турбулентности при взаимодействии электронного пучка с плазмой / Е. А. Берендеев, В. А. Вшивков, А. А. Ефимова, Е. А. Месяц // Вычислительные методы и программирование. -2015. - Т. 16. - Вып. 1. - С. 139-145.

34. Берендеев, Е. А. Моделирование низкотемпературной многокомпонентной плазмы в ловушке-мишени / Е. А. Берендеев, Димов Г. И., Иванов А. В., Лазарева Г. Г., Федорук М. П. // Доклады Академии Наук. - 2015. - Т. 460. - № 5.

- С. 529-531.

35. Berendeev, E. A. Mathematical and experimental simulation of a cylindrical plasma target trap with inverse magnetic mirrors / E. A. Berendeev, G. I. Dimov,

G. I. Dudnikova, A. V. Ivanov, G. G. Lazareva, V. A. Vshivkov // Journal of Plasma Physics. - 2015. - Vol. 81. - Iss. 5. - P. 495810512(1-8).

36. Berendeev, E.A. Numerical simulation of nonlinear processes in a beam-plasma system / A. A. Efimova, E. A. Berendeev, G. I. Dudnikova, V. A. Vshivkov. // AIP Conference Proceedings. - 2015. - Vol. 1684. - Iss. 1. - P. 100001(1-8).

37. Берендеев, Е.А. Эффективное использование суперЭВМ для решения больших задач физики плазмы методом частиц в ячейках / Е.А. Берендеев, А.В. Иванов, Г.Г. Лазарева, А.В. Снытников // International conference High performance computing. HPC-UA 2012. Conference proceedings. Kyiv, 8-12 October 2012. - Kyiv: National Technical University of Ukraine "Kyiv Polytechnic Institute". -2012. - P. 94-101.

38. Berendeev, E.A. Supercomputer simulation of plasma electron dynamics in a magnetic trap with inverse magnetic mirrors and multipole magnetic wall / E.A, Berendeev, G.G. Lazareva // Bulletin of the Novosibirsk Computing Center. Numerical Analysis. - 2013. - № 16. - P. 7-14.

39. Берендеев, Е.А., Моделирование на суперЭВМ динамики плазменных электронов в ловушке с инверсными магнитными пробками и мультипольными магнитными стенками / Е.А. Берендеев, А.В. Иванов, Г.Г. Лазарева, А.В. Снытников // Параллельные вычислительные технологии (ПаВТ'2013): труды международной научной конференции (1-5 апреля 2013 г., г. Челябинск). -Челябинск: Издательский центр ЮУрГУ. - 2013. - С. 68-75.

40. Берендеев, Е.А., Численное моделирование резонансного возбуждения колебаний плазмы, нагреваемой электронным пучком / Е.А. Берендеев, А.А. Ефимова // Параллельные вычислительные технологии (ПаВТ'2013): труды международной научной конференции (1-5 апреля 2013 г., г. Челябинск). -Челябинск: Издательский центр ЮУрГУ. - 2013. - С. 288-294.

41. Берендеев, Е.А. Математическое моделирование на суперЭВМ динамики плазмы в ловушке-мишени для получения атомарных пучков высокой энергии / Е.А. Берендеев, Г.Г. Лазарева // 5-я международная молодёжная научная школа-конференция "Теория и численные методы решения обратных и некорректных

задач". Тезисы докладов. Новосибирск: Сибирское научное издательство. - 2013.

- С. 22.

42. Берендеев, Е.А. Параллельный алгоритм решения задач динамики заряженных частиц с учётом балансировки вычислительной нагрузки / Е.А. Берендеев, М.А. Боронина, В.Д. Корнеев // Вестник ЮУрГУ. Серия "Вычислительная математика и информатика". - 2014. - Т. 3. - № 1. - С. 97-112.

43. Берендеев, Е.А. Численное моделирование потерь плазмы через инверсные пробки магнитной ловушки-мишени / Е.А. Берендеев, А.А. Ефимова //Тезисы докладов VII Всероссийской конференции "Актуальные проблемы прикладной математики и механики", посвящённой памяти академика А.Ф. Сидорова (Абрау-Дюрсо, 15-20 сентября 2014 г.). Екатеринбург: УрО РАН, 2014, с 14-15.

44. Berendeev, E.A. Numerical simulation of various scenarios of nonlinear evolution in a beam-plasma system / E.A. Berendeev, A.A. Efimova, V.A. Vshivkov // Bulletin of the Novosibirsk Computing Center. Numerical Analysis. - 2015. - № 17. -P. 1-6.

45. Berendeev, E.A. Computer simulation of multicomponent plasma dynamics in the Target Trap / E.A. Berendeev, G.I. Dudnikova, V.A. Vshivkov // Book of abstracts of the International Workshop on Complex Plasma Phenomena in the Laboratory and in the Universe, January 19-20, 2015. - Rome: Accademia Nazionale dei Lincei. - 2015. -P.38-39

46. Берендеев, Е.А. Моделирование осесимметричных плазменных ловушек методом частиц в ячейках / Е.А. Берендеев // Труды Международной конференции "Актуальные проблемы вычислительной и прикладной математики

- 2015", посвященной 90-летию со дня рождения академика Гурия Ивановича Марчука. 19-23 октября 2015 г. - Новосибирск: Академиздат. - 2015. - С. 108-114.

47. Берендеев, Е.А. Особенности использования цилиндрической геометрии при решении задач физики плазмы методом частиц в ячейках / Е.А. Берендеев, М.А. Боронина, В.А. Вшивков, А.А. Ефимова // Параллельные вычислительные технологии (ПаВТ'2016): труды международной научной конференции (28 марта

- 1 апреля 2016 г., г. Архангельск). - Челябинск: Издательский центр ЮУрГУ. -2016. - С. 442-453.

48. Berendeev, E.A., Computer simulation of cylindrical plasma target trap with inverse magnetic mirrors / E. A. Berendeev, G. I. Dudnikova, A. A. Efimova, A. V. Ivanov and V. A. Vshivkov // AIP Conference Proceedings - 2016. - Vol. 1771. -P. 030009(1-4).

49. Hemsworth, R.S. Negative ion based neutral beam injection / R.S. Hemsworth // Nuclear Fusion. - 2006. - Vol. 46. - Iss. 6. - P. 1-199.

50. Власов, А.А. Теория многих частиц. / А.А. Власов. М.-Л.: ГИТТЛ, 1950. -348 с.

51. Langdon, A.B. Electromagnetic and relativistic plasma simulation models / A.B. Langdon, B.F. Lasinski // Methods in Computational Physics. - 1976. - Vol. 16. -P. 327-366.

52. Taflove, A. Computational Electrodynamics: The Finite-Difference TimeDomain Method / A. Taflove. - Boston. London: Artech House Publishers, 1995. -611 p.

53. Березин, Ю.А. Методы частиц в динамике разреженной плазмы / Ю.А. Березин, В.А. Вшивков. - Новосибирск: Наука, 1980. - 95 с.

54. Калиткин, Н.Н. Математические модели физики плазмы / Н.Н. Калиткин, Д.П. Костомаров // Математическое моделирование. - 2006. -Т. 18. - № 11. -С. 67-94.

55. Цветков, И.В. Применение численных методов для моделирования процессов в плазме: учебное пособие / И.В. Цветков. - М.: МИФИ, 2007. - 84 с.

56. Filbet, F. Comparison of eulerian Vlasov solvers / F. Filbet, E. Sonnendrucker // Computer Physics Communications. - 2003. - V. 150. - Iss. 3. - P. 247-266.

57. Байерс, Дж. Конечно-разностые методы в плазме без столкновений / Дж. Байерс, Дж. Киллин // Вычислительные методы в физике плазмы / под ред. Б. Ольдера, С. Фернбаха, М. Ротенберга. - М.: Мир, 1974. - C. 259-303.

58. Телегин, В.И. Об одной разностной схеме для уравнения Власова / В.И. Телегин // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 1976.

- Т. 16. - № 5. - C. 1191-1197.

59. Zaki, S.I. A finite element code for the simulation of one-dimensional vlasov plasmas. I. Theory / S.I Zaki, L.R.T Gardner, T.J.M Boyd // Journal of Computational Physics. -1988. - Vol. 79. - Iss. 1. - P. 184-199.

60. Zaki, S.I. A finite element code for the simulation of one-dimensional vlasov plasmas. II. Applications / S.I. Zaki, L.R.T. Gardner, T.J.M. Boyd // Journal of Computational Physics. -1988. - Vol. 79. - Iss. 1. - P. 200-208.

61. Белоцерковский, О.М. Метод крупных частиц в газовой динамике / О.М. Белоцерковский, Ю.М. Давыдов. - М.: Наука, 1982. - 392 с.

62. Харлоу, Ф.Х. Численный метод частиц в ячейках для задач гидродинамики / Ф.Х. Харлоу // Вычислительные методы в гидродинамике / под ред. Б. Ольдера, С. Фернбаха, М. Ротенберга. - М.: Мир, 1967. - C. 316-342.

63. Сигов, Ю.С. Численные методы кинетической теории плазмы / Ю.С. Сигов.

- М.: МФТИ, 1984. - 94 с.

64. Бэдсел, Ч. Физика плазмы и численное моделирование / Ч. Бэдсел, А. Ленгдон. - М.: Энергоатомиздат, - 1989. - 456 с.

65. Хокни, Р. Численное моделирование методом частиц / Р. Хокни, Дж. Иствуд. - М.: Мир, 1987. - 638 с.

66. Григорьев, Ю.Н. Численное моделирование методами частиц-в-ячейках / Ю.Н. Григорьев, В.А. Вшивков, М.П. Федорук. - Новосибирск: Издательство СО РАН, - 2004. - 360 с.

67. Birdsall, C.K. Particle-in-Cell charged-particle simulation plus Monte Carlo collisions with neutral atoms, PIC-MCC / C.K. Birdsall // IEEE Transactions on Plasma Science. - 1991. - Vol. 19. - № 2. - P. 65-83.

68. Larson, D.J. A Coulomb collision model for PIC plasma simulation / D.J. Larson // Journal of Computational Physics. - 2003. - Vol. 188. - Iss. 1. - P. 123-138.

69. Potapenko, I.F. Numerical simulation of heating problems for a weakly collisional plasma / I.F. Potapenko, C.A. de Azevedo // Computer Physics Communications. - 1999. - Vol. 121-122. - P. 274-277.

70. Parashar, T.N. Transition from KINETIC to MHD behavior in a collisionless plasma / T.N. Parashar, W.H. Matthaeus, M.A. Shay, M. Wan // The Astrophysical Journal. - 2015. - Vol. 811. - Iss. 2. - P. 112(1-8).

71. Sugiyama, T. MHD-PIC connection model in a magnetosphere-ionosphere coupling system / T. Sugiyama, K. Kusano, S. Hirose, A. Kageyama // Journal of Plasma Physics. - 2006. - Vol. 72. - Iss. 6. - P. 945-948.

72. Buneman, O. Dissipation of currents in ionized media / O. Buneman // Physical Review. - 1959. - Vol. 115. - № 3. - P. 503-519.

73. Dawson, J. One-dimensional plasma model / J. Dawson // Physics of Fluids. -1962. - Vol. 5. - № 4. - P. 445-459.

74. Vlad, G. Gridless finite-size-particle plasma simulation / G. Vlad, S. Briguglioa, G. Fogaccia, B. Di Martino // Computer Physics Communications. - 2001. - Vol. 134. -Iss. 1. - P. 58-77.

75. Dimits, A.M. Partially linearized algorithms in gyrokinetic particle simulation / A.M. Dimits, W.W. Lee // Journal of Computational Physics. - 1993. - Vol. 107. -Iss. 2. - P. 309-323.

76. Hess, S. How to improve the diagnosis of kinetic energy in delta-f PIC codes / S. Hess, F. Mottez // Journal of Computational Physics. - 2009. - Vol. 228. Iss. 18. -P. 6670-6681.

77. Lee, W.W. A generalized weight-based particle-in-cell simulation scheme / W.W. Lee, T.G. Jenkins, S. Ethier // Computer Physics Communications. - 2011. -Vol. 182. - Iss. 3. - P. 564-569.

78. Parker, S.E. A fully nonlinear characteristic method for gyrokinetic simulation / S.E. Parker, W.W. Lee // Physics of Fluids. - 1993. - Vol. B 5. - P. 77-86.

79. Дацюк, О.В. Сравнение метода частиц и гидродинамического приближения для моделирования газового разряда / О.В. Дацюк, А.А. Бакаев, Г.Н. Толмачев // Математическое моделирование. - 2004. - Т. 16. - № 10. - С. 29-34.

80. Opal, C.B. Measurements of secondary electron spectra produced by electron impact ionization of a number of simple gases / C.B. Opal, W.K. Peterson, E.C. Beaty // The Journal of Chemical Physics. - 1971. - Vol. 55. - Iss. 8. - P. 4100-4106.

81. Барнет К., Прикладная физика атомных столкновений: Плазма. / К. Барнет, М. Харрисон; Под ред. В. И. Пистуновича. - М. : Энергоатомиздат. - 1987. -430 с.

82. Takayanagi, K. Introduction to electron-molecule collisions / K. Takayanagi // Physics of Atoms and Molecules / I. Shimamura. K. Takayanagi. - New York: Plenum Press, 1984. - P. 1-87.

83. Vahedi, V. A Monte Carlo collision model for the particle-in-cell method: Applications to argon and oxygen discharges / V. Vahedi, M. Surendra // Computer Physics Communications. - 1995. - Vol. 87. - Iss. 1-2. - P. 179-198.

84. Андрианов, А.Н. Подход к параллельной реализации метода частиц в ячейках [Электронный ресурс] / А.Н. Андрианов, К.Н. Ефимкин // Препринты ИПМ им. М. В. Келдыша. - 2009. - № 9. - 20 с. - Режим доступа:

http ://mi.mathnet.ru/ipmp280/

85. Андрианов, А.Н. Метод частиц в ячейках: учёт в параллельной реализации взаимодействия частиц [Электронный ресурс] / А.Н. Андрианов, К.Н. Ефимкин // Препринты ИПМ им. М. В. Келдыша. - 2016. - № 71. - 16 с. - Режим доступа: http://library.keldysh.ru/preprint.asp?id=2016-71

86. Снытников, Н.В. Масштабируемый параллельный алгоритм для моделирования трехмерной динамики гравитирующих систем методом частиц / Н.В. Снытников // Параллельные вычислительные технологии (ПаВТ'2016): труды международной научной конференции (28 марта - 1 апреля 2016 г., г. Архангельск). - Челябинск: Издательский центр ЮУрГУ. - 2016. - С. 298-307.

87. Рютов, Д.Д. Открытые ловушки / Д.Д. Рютов // Успехи физических наук. -1988. - Т. 154. - № 4. - С. 565-614.

88. Смирнов, Б.М. Кинетика электронов в газах и конденсированных системах / Б.М. Смирнов // Успехи физических наук. - 2002. - Т. 172. - № 12. -С. 1411-1447.

89. Phelps A.V., Cross Sections and Swarm Coefficients for H + , H2 + , H3 + , H, H2, and H - in H2 for Energies from 0.1 eV to 10 keV / A. V. Phelps // Journal of Physical and Chemical - 1990. - Vol. 19(3). - P. 653-675.

90. Донец Е. Д., Исследование ионизации положительных ионов электронным ударом / Е.Д. Донец, В.П. Овсянников // ЖЭТФ - 1981. - Т. 80. - С. 916-925.

91. Кролл, Н. Основы физики плазмы / Н. Кролл, А. Трайвелпис. - М.: Мир, -1975. - 525 с.

92. Вшивков, В.А. Проблема саморазогрева модельной плазмы в методе частиц / В.А. Вшивков, Д.В. Романов, В.Н. Снытников // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 1999. - Т. 4. - № 3. - C. 62-72.

93. Вшивков, В.А. О самодействии в методе частиц в ячейках / В.А. Вшивков, А.В. Терехов // Вычислительные методы и программирование. - 2008. - Т. 9. -C. 48-57.

94. P.J. Mardahl, Charge conservation in electromagnetic PIC codes; spectral comparison of Boris/DADI and Langdon-Marder methods / P.J. Mardahl, J.P. Verboncoeur // Computer Physics Communications. - 1997. - Vol. 106. - Iss. 3. -P. 219-229.

95. Скачков, М.В. О проблеме шумов и сохранения заряда в методе крупных частиц / М.В. Скачков // Математическое моделирование. - 2000. - Т. 12. - № 9.

96. Langdon, A.B. On enforcing Gauss' law in electromagnetic particle-in-cell codes / A.B. Langdon // Computer Physics Communication. - 1992. - Vol. 70. - Iss. 3. -P. 447-450.

97. Munz, C.D. Divergence correction techniques for Maxwell solvers based on a hyperbolic model / C.D. Munz, P. Omnes, R. Schneider, E. Sonnendrucker, U. Voss // Journal of Computational Physics. - 2000. - Vol. 161. - Iss. 2. - P. 484-511.

98. Lapenta, G. Dynamic and selective control of the number of particles in kinetic plasma / G. Lapenta, J.U. Brackbill // Journal of Computational Physics. - 1994. -Vol. 115. - Iss. 1. - P. 213-227.

99. Lapenta, G. Control of the number of particles in fluid and MHD particle in cell methods / G. Lapenta, J.U. Brackbill // Computer Physics Communications. - 1995. -Vol. 87. - Iss. 1-2. - P. 139-154.

100. Welch, D.R. Adaptive particle management in a particle-in-cell code / D.R. Welch, T.C. Genoni, R.E. Clark, D.V. Rose // Journal of Computational Physics. -2007. - Vol. 227. - Iss. 1. - P. 143-155.

101. Lapenta, G. Particle Rezoning for multidimensional kinetic particle-in-cell simulations / G. Lapenta // Journal of Computational Physics. - 2002. - Vol. 181. -Iss. 1. - P. 317-337.

102. Innocenti, M.E. A multi level multi domain method for particle in cell plasma simulations // Journal of Computational Physics. - 2013. Vol. 238. - P. 115-140.

103. Снытникова, Т.В. Модификация метода частиц в ячейках с использованием адаптивных масс: взаимодействие лазерного импульса с плазмой / Т.В. Снытникова, Г.И. Дудникова, В.А. Вшивков // Вычислительные методы и программирование. - 2013. - Т. 14. - C. 348-356.

104. Coppa, G.G.M. Blob Method for kinetic plasma simulation with variable-size particles / G.G.M. Coppa, G. Lapenta, G. Dellapiana, F. Donato, V. Riccardo // Journal of Computational Physics. - 1996. - Vol. 127. - Iss. 2. - P. 268-284.

105. Бэрдсол, Ч. Физика системы частиц конечных размеров и ее применение к моделированию плазмы / Ч. Бэрдсол, А. Ленгдон, Х. Окуда // Вычислительные методы в физике плазмы / под ред. Б. Ольдера, С. Фернбаха, М. Ротенберга. - М.: Мир, 1974. - C. 242-258.

106. Birdsall, C.K. Clouds-in-clouds, clouds-in-cell physics for many-body plasma simulation / C.K. Birdsall, D. Fuss // Journal of Computational Physics. - 1997. -Vol. 135. - Iss. 2. - P. 141-148.

107. Idomura, Y. Chaotic behaviour in PIC simulation and its relation to computational errors / Y. Idomura, S. Tokuda, M. Wakatani // Computer Physics Communications. - 1997. - Vol. 102. - Iss. 1. - P. 68-80.

108. Вшивков, В.А. Аппроксимационные свойства метода частиц в ячейках / В.А. Вшивков // Журнал вычислительной математики и математической физики. -1996. - Т. 36. - № 4. - С. 106-113.

109. Williamson, J.H. Initial particle distributions for simulated plasma / J.H. Williamson // Journal of Computational Physics. - 1971. - Vol. 8. - Iss. 2. -P. 258-267.

110. Sydora, R.D. Low-noise electromagnetic and relativistic particle-in-cell plasma simulation models / R.D. Sydora // Journal of computational and applied mathematics. -1999. Vol. 109. - Iss. 1-2. - P. 243-259.

111. Markidis, S. The energy conserving particle-in-cell method / S. Markidis, G. Lapenta // Journal of Computational Physics. - 2011. - Vol. 230. - Iss. 18. -P. 7037-7052.

112. Brackbill, J.U. An implicit method for electromagnetic plasma simulation in two dimensions / J.U. Brackbill, D.W. Forslund // Journal of Computational Physics. -1982. - Vol. 46. - Iss. 2. - P. 271-308.

113. Lapenta, G. Kinetic approach to microscopic-macroscopic coupling in space and laboratory plasmas / G. Lapenta, J.U. Brackbill, P. Ricci // Physics of Plasmas. - 2006.

- Vol. 13. - № 5. - P. 055904.

114. Cohen, B.I. Implicit time integration for plasma simulation / B.I. Cohen, A.B. Langdon, A. Friedman // Journal of Computational Physics. - 1982. - Vol. 46. - Iss. 1.

- P. 15-38.

115. Hockney, R.W. Measurements of collision and heating times in a two-dimensional thermal computer plasma / R.W. Hockney // Journal of Computational Physics. - 1971. - Vol. 8. - Iss. 1.- P. 19-44.

116. Вшивков, В.А. О методе частиц для решения кинетического уравнения Власова / В.А. Вшивков, В.Н. Снытников // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 1998. - Т. 38. - № 11. - C. 1877-1883.

117. Vay, J.L. Mesh refinement for particle-in-cell plasmas simulation: application and benefits for heavy ion fusion / J.L. Vay, P. Colella, P. McCorquodale, B. Van Straalen,

A. Friedman, D.P. Grote // Laser and Particle Beams. - 2002. - Vol. 20. - Iss. 4. - P. 569-575.

118. Vay, J.L. Implementations of mesh refinement schemes for particle-in-cell plasma simulations / J.L. Vay, P. Colella, A. Friedman, D.P.Grote, P. McCorquodale, D.B. Serafini // Computer Physics Communications. - 2004. - Vol. 164. - Iss. 1-3. -P. 297-305.

119. Colella, P. Controlling self-force errors at refinement boundaries for AMR-PIC / P. Colella, P.C. Norgard // Journal of Computational Physics. - 2010. - Vol. 229. -Iss. 4. - P. 947-957.

120. Дудникова, Г.И. О моделях частиц на неструктурированных сетках / Г.И. Дудникова, Д.В. Романов, М.П. Федорук // Вычислительные технологии. - 1998. -Т. 3. - № 6. - C. 30-46.

121. Okuda, H. Nonphysical noises and instabilities in plasma simulation due to a spatial grid / H. Okuda // Journal of Computational Physics. - 1972. - Vol. 10. - Iss. 3.

- p. 475-486.

122. Abe, H. Grid effects on the plasma simulation by the finite-size particle / H. Abe, J. Miyamoto, R. Itaniti // Journal of Computational Physics. - 1975. - Vol. 19. - Iss. 2.

- P. 134-149.

123. Вшивков В.А., Снытников А.В. Оптимизация вычислений при моделировании на суперЭВМ аномальной теплопроводности в плазме методом частиц в ячейках. // Междунар. суперкомпьютерная конф. и конф. молодых ученых «Научный сервис в сети Интернет: суперкомпьютерные центры и задачи»

- Изд-во МГУ, Москва 2010., с. 208-211.

124. Verboncoeur, J. P. Symmetric Spline Weighting for Charge and Current Density in Particle Simulation / J. P. Verboncoeur // Journal of Computational Physics. - 2001.

- Vol. 174. - P. 421-427.

125. Delzanno, G.L. On particle movers in cylindrical geometry for Particle-In-Cell simulations / G.L. Delzanno, E. Camporeale // Journal of Computational Physics. -2013. - Vol. 253. - P. 259-277.

126. Pointon, T.D. Second-order, exact charge conservation for electromagnetic particle-in-cell simulation in complex geometry / T.D. Pointon // Computer Physics Communications. - 2008. - Vol. 179. - P. 535-544.

127. Verboncoeur, J. P. Particle simulation of plasmas: review and advances / J. P. Verboncoeur // Plasma Physics and Controlled Fusion. - 2005. - Vol. 47. - P. 231-260.