Численное моделирование газодинамических процессов при высоких плотностях энергии методом Годунова в подвижных адаптивных сетках тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.17, кандидат физико-математических наук Шутов, Александр Владимирович

• Шутов, Александр Владимирович
• кандидат физико-математических наук
• 2003

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Шутов, Александр Владимирович

1. Введение.

2. Теоретическая часть.

2.1. Математическая формулировка класса задач.

2.2. Схема Годунова в подвижных сетках.

2.2.1. Интегральные уравнения сохранения для подвижных сеток.

2.2.2. Вывод численной схемы для двумерного случая.

2.2.3. Решение задачи произвольного разрыва.

2.3. Алгоритм.

2.3.1. Общий алгоритм решения задач методом Годунова в подвижных сетках.

2.3.2. Анализ точности по пространству. Дробление или огрубление сетки. (Пункт 2 алгоритма.).

2.3.3. Анализ формы области. Разбиение-области на подобласти. (Пункт 3 алгоритма.).

2.3.4. Поиск пересечений границ подобластей, изменение типов границ.( пункт 5 алгоритма).

2.4. Вычисление энерговклада от различных источников энергии.

2.4.1. Решение уравнений химической кинетики.

2.4.2. Численная схема решения уравнения теплопроводности.

2.4.2.1. Анализ устойчивости численной схемы решения уравнения теплопроводности.

2.4.3. Расчет энерговклада пучков ионов с учетом реального распределения мощности по радиусу пучка и фокусировки в мишени.

2.5. Тестирование алгоритма.

2.5.1. Распространение плоской ударной волны и волны разгрузки в идеальном газе, (одномерный тест).

2.5.2. Расчет нерегулярного отражения ударных волн.( двумерный тест).

2.5.3. Тестирование численной схемы решения уравнений химической кинетики.

2.5.4. Тестирование численной схемы решения задачи теплопроводности.

2.5.4.1. Одномерный тест.

2.5.4.2. Двумерный тест.

3. Результаты численного моделирования.

3.1. Высокоскоростное соударение.

3.1.1. Соударение свинцового шара со свинцовой пластиной.

3.2. Задачи с химической кинетикой.

3.2.1. Вычисление критического диаметра ТНТ.

3.2.2. Двумерный расчет детонации водородовоздушной смеси.

3.2.3. Численное моделирование разгона стальной цилиндрической оболочки заполненной прессованным ТНТ, при различных способах подрыва заряда.

3.3. Взаимодействие ионных пучков с конденсированными мишенями.

3.3.1. Моделирование развития гидродинамической неустойчивости при разгоне металлических фольг пучком протонов.

3.3.2. Взаимодействие пучков тяжелых ионов с мишенями.

3.3.2.1. Режимы проникания пучка тяжелых ионов в материал.

3.3.2.2. Взаимодействие мощного ионного пучка с мишенью из разнесенных свинцовых пластин.

3.3.2.3. Сравнительные расчеты параметров сжатого вещества для сплошных и полых мишеней.

3.3.2.4. Оценка оптимальных профиля мощности пучка и размеров полости, обеспечивающих максимальные плотности энергии сжатого вещества.

Основные результаты:.

Основные обозначения.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численное моделирование газодинамических процессов при высоких плотностях энергии методом Годунова в подвижных адаптивных сетках»

Предметом исследования данной работы являются нестационарные явления и процессы, сопровождаемые достижением в веществе высоких плотностей энергии. В работе рассматриваются такие задачи как, инициирование и развитие детонации конденсированных взрывчатых веществ, динамика многокомпонентных химически реагирующих газовых смесей, взаимодействие пучков легких и тяжелых ионов с конденсированными щ мишенями. Математическая модель эти процессов и явлений представляет собой систему уравнений в частных производных. Аналитические решения этой системы уравнений найдены лишь для одномерных случаев со специфическими граничными условиями. В общем случае решение этих уравнений требует численного интегрирования. ^ Основными целями данной работы являлись создание вычислительной методики, способной эффективно решать вышеперечисленные задачи и получение с ее помощью конкретных решений, практически важных задач.

В настоящее время для решения уравнений Эйлера разработано множество численных методов. Эти методы можно классифицировать на методы конечных разностей и методы конечных объёмов. Методы конечных объёмов основаны на численном решении уравнений Эйлера, записанных в интегральном виде, что приводит к автоматическому выполнению законов сохранения массы импульса и полной энергии, т.е. консервативности по этим переменным. Далее здесь будут рассматриваться только методы конечных объемов. Представленная в данной работе методика ориентирована на расчет Ш течений с большими деформациями с выделением контактных разрывов между различными материалами, поэтому обзор существующих численных методик так же ограничен методиками, позволяющими проводить расчет таких течений.

Наибольшее распространение для задач такого рода получили т.н. методы частиц, сочетающие в себе черты эйлерова и лагранжева подходов.

Первый метод частиц в ячейке- PIC, был предложен Харлоу в 1957 году [1]. Метод впоследствии породил множество модификаций. Так, например, модификации метода активно и успешно применялись для расчетов процессов горения и детонации Мейдером [2]. Далее были разработаны методы крупных частиц FLIC [3-4], и метод гладких частиц SPH, предложенный в [5] активно развиваемый в последнее время в США [6-21]. В Новосибирске создан метод индивидуальных частиц [22].

В методе частиц в ячейке область решения покрывается эйлеровой сеткой, но сплошная среда аппроксимируется совокупностью точечных частиц постоянной массы, которые движутся через эйлерову сетку. Частицами через ячейки переносятся кинетическая, внутренняя энергии, масса. На эйлеровой сетке вычисляются параметры полей давления, плотности, внутренней энергии. Метод позволяет исследовать сложные явления в динамике многокомпонентных сред, хорошо отслеживает контактные разрывы, выдерживает произвольные деформации вещества в расчетной области. Однако предложенный Харлоу метод обладает рядом недостатков. Дискретность изменения массы при переходе из одной ячейки в другую ведет к возникновению колебаний в решении, амплитуда которых определяется количеством частиц. Увеличение количества частиц естественным образом ведет к пропорциональному увеличению вычислительных затрат. Для устойчивости счета метод требует введения явных диссипативных членов с искусственной вязкостью. Метод плохо описывает области разрежения, из-за пропорционального разряжению уменьшения числа частиц.

Метод крупных частиц вместо совокупности частиц в ячейке использует как частицу саму эйлерову ячейку, чем и определяется название метода. Лагранжева сущность метода сводится к вычислению потоков через границы эйлеровых ячеек. Уменьшение числа частиц до одной на ячейку ведет соответственно к увеличению эффективности метода по сравнению с PIC . Этот метод также требует введения искусственной вязкости.

Особенностью SPH метода является отсутствие эйлеровой сетки и вообще численной сетки как таковой. В SPH методе присутствуют только частицы с координатами их центров. Частицы в этом методе не являются точечными. Плотность в частице распределена симметричным образом по радиусу частицы, который меняется пропорционально при сжатии и разрежении. Значения поля параметров в заданной точке пространства вычисляются по координатам соседних частиц и функциям распределения параметров в них. Метод хорошо описывает поведение материала при сильных деформациях, от сильного сжатия до сильного разрежения. К недостаткам метода можно отнести зависимость результатов расчета от выбора функции распределения по радиусу частицы, правила определения соседства частиц. Как следствие существует необходимость «правильного» выбора вида функции для конкретного типа задач.

Метод индивидуальных частиц базируется на PIC методе и отличается от него тем, что частицы не точечные. Для трехмерного случая частицы имеют форму параллелепипеда с гранями параллельными плоскостям эйлеровой сетки. Метод включает в также себя процедуры объединения и дробления ячеек, контролирующие наличие определенного числа частиц в одной ячейке сетки. Как и PIC метод требует применения искусственной вязкости.

В отличие от методов частиц, другие методы конечных объемов, используют только ячейки численной сетки и связанную с ними информацию для определения численного решения. Поэтому для остальных методов очень важно создать численную сетку таким образом, что бы было возможно получить решение с заданной точностью, и минимизировать при этом затраты машинного времени.

В работе Дж. Ф.Томпсона [24] приводится обзор по методам расчёта сеток в вычислительной аэродинамике. Рассматриваются различные методы построения сеток, их преимущества и недостатки. Кроме того, автор пишет, какими должны быть методы расчета сеток (МРС). Отмечается, что по существу, расчёт сетки представляет собой расстановку узлов сетки в физической области, таким образом, чтобы обеспечивалась удобная связь между узлами сетки и возможность представления всех физических явлений, происходящих в этой области, минимальным числом узлов, в соответствии с требуемой точностью. МРС должны позволять вести расчёты физических явлений без ограничения на формы областей, что даст возможность разработать общие алгоритмы расчета, в которых границы областей задаются в качестве входных данных. Границы области могут быть подвижными, причем либо их движение может задаваться извне, либо определяться в процессе решения задачи как следствие его эволюции. Узлы сетки также могут изменять свои положения, чтобы следить за развитием явлений по положению градиентов функций (искомых решений физической задачи). Таким образом, МРС должны обеспечить возможность: Упорядоченной расстановки узлов (с тем, чтобы соседние узлы сетки можно было легко находить, а данные в этих узлах эффективно обрабатывать и запоминать при помощи ЭВМ; + Построение сеток, смещение узлов которых не нарушает гладкости сеточных линий;

4 Аппроксимации непрерывных функций их значениями в узлах сетки с требуемой степенью точности и оценки погрешности этой аппроксимации;

Ф Определение расстановки узлов сетки по оценке погрешности аппроксимации и изменения способа расстановки узлов.

В работе [24] также обсуждаются принципы построения сеток, конфигурации расчетных областей (где рассматриваются также методы разделения области на части); проводится анализ погрешности аппроксимации разностных выражений, анализ источников погрешностей (в том числе погрешностей привносимых сеткой); рассматриваются МРС с помощью конформных отображений, эллиптических, параболических и гиперболических систем уравнений; алгоритмы построения пространственных, ортогональных, адаптивных сеток, использование подвижных конечных элементов.

В заключение Дж. Ф. Томпсон пишет, что наилучшим МРС для произвольных областей является метод разделения области на части, согласно которому для каждой подобласти рассчитывается своя сетка. Одним из наиболее перспективных направлений он считает разработку методов расчета адаптивных сеток, динамически связанных с решением. В связи с этим он указал также, что применение практически любого вычислительного алгоритма не приводит к затруднениям, если расчетная сетка выбрана правильно, в соответствии с градиентами функции, описывающей искомое решение. Основной вывод, который автор делает в статье, заключается в том, что наибольшего успеха при численном решении уравнений с частными производными можно достичь не тщательной разработкой способов разностной аппроксимации или алгоритмов решения сеточных уравнений, а разработкой адаптивных сеток, динамически связанных с решением.

Этот вывод нашел подтверждение в [25], где описывается адаптация сеток для задач газовой динамики. В [25] проведено сравнение численных расчетов распространения пламени от раскаленного шара в обтекающую его горючую смесь газов проведенных одним и тем же методом на равномерной и адаптивной сетках. Было показано, что в случае адаптивной сетки устранялись численные колебания температуры в областях с большими градиентами, характерными для данного метода при его использовании на равномерной сетке.

Основные выводы авторов о применении адаптивных сеток для данного рода задач, следующие: адаптация сетки с учетом первой производной от зависимой переменной требует задавать априори максимально допустимое изменение между узлами сетки; резкие изменения шага, возникающие при адаптации сетки, не приводят, по-видимому, к росту погрешности аппроксимации; + адаптация сетки с учетом первой производной зависимой переменной позволяет решить известную проблему сеточного числа Рейнольдса, возникающую при расчете конвективно-диффузионных зон больших градиентов.

В [26] показано, что при использовании адаптивных сеток для решения нестационарных уравнений в частных производных могут возникать неустойчивые решения для движения ячеек сетки, когда система уравнений диссипативна. Используя метод линейного возмущения, авторы нашли простой критерий определения устойчивости системы и показали, как создавать устойчивые дифференциальные системы определения скоростей ячеек адаптивной сетки.

Разновидностью адаптивных методов, позволяющих значительно повысить точность расчетов течений с бесконечно большими градиентами в решении (решения с разрывами) являются методы, позволяющие явно выделять поверхность разрыва в решении. Один из таких методов приведен в [27]. Здесь решались двумерные задачи, для которых поверхность разрыва представлялась в виде ломаной линии. Все поле течения вычислялось на равномерной эйлеровой сетке по методу Мак-Кормака, за исключением ячеек, которые пересекала ломаная. Для этих ячеек пересчет параметров производился с учетом величин по обе стороны разрыва. Движение самого фронта и параметров на нем вычислялось из решения задачи Римана со вторым порядком точности. Этим методом были решены тестовые задачи по распространению сферически симметричной ударной волны и проведены сравнения с аналитическими решениями. Было получено очень хорошее соответствие решений. Далее приведены результаты расчетов положения выделяемого ударного фронта, образующегося при обтекании клина сверхзвуковым потоком и параметры течения, а также решена задача о возникновении неустойчивости Кельвина-Гельмгольца на границе раздела движущихся с различными скоростями жидкостей разной плотности. Расчеты проводились как на грубой, так и на мелкой сетке. Было показано, что даже грубая сетка позволяет получать приемлемые результаты, благодаря выделению поверхностей разрыва.

Выделение поверхностей разрыва удобно проводить на подвижных сетках, кода поверхность разрыва является одновременно поверхностью уровня разностной сетки.

Примером такого метода может служить разработанный в России метод Годунова в подвижных сетках с выделением поверхностей разрыва. В [28] представлена реализация метода Годунова со вторым порядком точности по пространству. Проведено сравнение метода Годунова и обобщенного метода Годунова второго порядка при расчете двумерных стационарных течений. Показано, что метод второго порядка обеспечивает существенное повышение точности численных решений (вследствие снижения схемной вязкости) и в то же время столь же надежен, как и оригинальный метод Годунова, не использующий искусственной вязкости.

В то же время использование подвижных регулярных сеток в некоторых случаях может приводить к сильным искажениям сетки, которые в свою очередь будут приводить к сильным искажениям искомого решения. Альтернативой в этом случае может быть применение нерегулярных сеток, которые к тому же обладают высокой степенью адаптивности. В [29] приведен пример использования сетки такого рода. Сетка построена на треугольных ячейках. На сетке реализован метод конечных объемов. Параметры в ячейке сетки вычисляются с использованием потоков через окаймляющие ее ребра, поэтому, чтобы легко пересчитывать параметры внутри ячейки и в тоже время иметь возможность добавлять или исключать вершины и ребра треугольников, не изменяя записей, относящихся к другим ячейкам, информация о параметрах в ячейке хранится в списках, привязанных к ребрам. Разработанный алгоритм был применен к расчету равновесия плазмы со свободными границами, где была продемонстрирована его способность выделять свободные границы и быстро приспосабливаться к решению. Подобные программы использовались в [30, 31] с большим успехом для решения уравнений Эйлера.

Предлагаемая в данной работе методика использует в своей основе метод Годунова [23] для четырехугольных криволинейных подвижных сеток.

Методика включает в себя возможность разреза в процессе расчета каждой численной области, покрытой одной сеткой, вдоль одной из линий сетки на две сетки, в каждой из которых сетка строится независимо. Это делает методику более адаптируемой к изменяющейся форме области счета, приближая, по степени адаптации к форме области, данный метод к методам на нерегулярных сетках. По сути метод использует преимущества регулярных сеток для расчета течений внутри каждой из сеток и в тоже время позволяет вводить нерегулярность в тех местах, где она необходима, через разрезы сеток.

Для получения более ортогональных сеток имеется алгоритм автоматического изменения расстановки узлов по контуру сетки.

Внутри каждой из сеток имеется возможность адаптации сетки к решению путем сгущения узлов сетки в области больших градиентов.

Пространственное разрешение в каждой из сеток поддерживается автоматически на заданном уровне, путем добавления или удаления узлов сетки независимо по каждому из направлений сетки.

Разработанная методика реализована в виде модулей, написанных на языке программирования Фортран-77.

Разработанная методика позволяет проводить численное моделирование задач в двумерной постановке для плоских и осесимметричных течений. Задачи решаются в гидродинамическом приближении для невязких сжимаемых сред, движение которых описывается уравнениями Эйлера, модифицированных членами, учитывающими вклад дополнительных источников энергии.

Во второй главе дана общая математическая формулировка моделируемых процессов, описываемых системой дифференциальных уравнений в частных производных. Подробно описан метод Годунова в подвижных криволинейных сетках решения уравнений гидродинамики. Приведены алгоритмы адаптации сеток и изменения типов граничных условий на сетках. Описаны алгоритмы вычисления энерговклада от различных источников энергии. Приведены тестовые расчеты, демонстрирующие адекватность примененных моделей и правильность реализации алгоритмов.

В третьей главе приведены результаты численного моделирования, полученные разработанным кодом. Приведены решения задач высокоскоростного соударения тел, детонации конденсированных взрывчатых веществ, динамики химически реагирующих газовых смесей, взаимодействия ^ пучков легких и тяжелых ионов с конденсированными мишенями.

В тексте нумерация объектов, таких как формулы, рисунки и таблицы своя в каждом из параграфов, в случае ссылки на объект из другого параграфа перед номером ссылаемого объекта добавляются через точку номера соответствующих параграфов.

Заключение диссертации по теме «Химическая физика, в том числе физика горения и взрыва», Шутов, Александр Владимирович

Основные результаты:

1. В двумерном случае реализован и протестирован численный алгоритм метода Годунова в подвижных криволинейных адаптивных сетках.

2.В коде реализованы модели физических и химических свойств веществ: уравнения состояния, теплопроводности, химических реакций в газовой фазе, макрокинетики разложения взрывчатых веществ, энерговклада от пучков легких и тяжелых ионов.

3. Проведено численное моделирование высокоскоростного соударения твердых тел с учетом процессов плавления и испарения;

4. Разработан блок программ, позволивший рассчитать процесс инициирования и развития детонации для водородовоздушной смеси; 5. С использованием макрокинетики разложения конденсированных ВВ, рассчитан критический диаметр детонация тротила;

6. Решена оптимизационная задача определения максимальной скорости цилиндрической оболочки при различных способах инициирования заряда ВВ;

7. Рассмотрено развитие Релей-Тэйлоровской неустойчивости на границе плазма-конденсированная часть мишени при разгоне алюминиевых фольг пучками легких ионов;

8. Изучено взаимодействие пучков тяжелых ионов с мишенями различной конфигурации и оценены оптимальные параметры, обеспечивающие максимальную плотность энергии при сжатии вещества.

Основные обозначения. скаляры

Т абсолютная температура t время р плотность вещества и массовая скорость р давление

R универсальная газовая постоянная cv мольная теплоемкость для смеси газов при постоянном объеме s удельная внутренняя энергия

S удельная энтропия «1

2 удельная кинетическая энергия е 2 полная удельная энергия

Eion энергия иона вектора и вектор скорости п единичный вектор нормали к поверхности q вектор тепловых эффектов реакций, х вектор концентраций f вектор скорости изменения концентраций компоненты векторов

Wj скорость j -той реакции к, константа скорости j -той реакции ау,|3у левый и правый стехиометрические коэффициенты для i- той компоненты в у'-той реакции предэкспоненциальный множитель в уравнении Аррениуса энергия активации в уравнении Аррениуса для j-той реакции показатель степени в уравнении Аррениуса для у'-той реакции

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Шутов, Александр Владимирович, 2003 год

1. F.V.Harlow The Particle-1.-Cell method for numerical solution of problems in fluid dynamics.-Proc.Symp.Appl.Math.,1963,v.l5

2. Ч.Мейдер. "Численное моделирование детонации". -М."Мир",1985

3. Jentry R.A., Martin R.E., Daly B.J. An Eulerian differencing method for unsteady compressible flow problems. -J. Comput. Phys., 1966, 1, №l,p.87-118.

4. Белоцерковский O.M., Давыдов Ю.М. Нестационарный метод крупных частиц для газодинамических расчетов. ЖВМ и МФ, 1971,11, №1, с. 182-207

5. L. Lucy, "A numerical approach to testing the fission.", Astron. J., 82 , 1013-1024 (1977).

6. R. A. Gingold and J. J. Monaghan, "Smoothed particle hydrodynamics : Theory and application to non Spherical stars." , Mon. Not. Roy.Astron. Soc. 181 , 375-399 (1977).

7. J. J. Monaghan , "Why Particle Methods Work." , SIAM J. Sci. Stat. Comput. 3 ,422-433 (1982)

8. J. J. Monaghan and R. A. Gingold "Shock Simulation bu the Particle Method SPH.", J. Comput. Phys. 52 , 374-389 (1983).

9. R. A. Gingold and J. J. Monaghan , "Kernel Estimates as a Basis for General Particle Methods in Hydrodynamics." J. Comput. Phys. 46 , 429-453 (1982).

10. J. J. Monaghan , "Particle Methods for Hydrodynamics." Сотр. Pphy. Rep. 3,71-124 (1985).1 l.J. J. Monaghan, "An introduction to SPH." Comput. Phys. Comm. 48 , 89-96(1988).

11. М. Schussler and D.Schmitt , "Comments on Smoothed Particle Hydro-dynamics.", Astron. Astrophys. 97 ,373-379 (1981).

12. W. Benz , "Applications of smooth particle hydrodynamics ( SPH ) to astrophysical problems.", Com. Phys. Com. 48 ,97-105 (1988).

13. W. Benz , "Smooth Particle Hydrodinamics : A review" , Harvard-Smithsoian Center for Astrophysics Preprint №2884 (1989).

14. R. F. Stellingwerf and R. E. Peterkin , "Smooth Particle Magnetohydrodinamics" , Mission Reserch Corporation report MRC/ABQ-R-1254 , (1990).

15. L. D. Cloutman , "An Evaluation of Smoothed Particle hydrodynamics." , Advances in the Free-Lagrange Method , Lecture Notes in Physics, 229-238 (1990).

16. R. F. Stellingwerf, "Smooth Particle Hydrodynamics." , Advances in the Free-Lagrange Method , Lecture Notes in Physics , 239-247 (1990).

17. D. Libersky and A. G. Petschek , "Smooth Particle Hydrodynamics With Strength of Materials.", Advances in the Free-Lagrange Method, Lecture Notes in Physics, 248-257 (1990).

18. R. F. Stellingwerf and C. A. Wingate , "Impact modeling with smooth particle hydrodynamics." , Int. J. Impact Eng. , Vol. 14 , 707-718 (1993).

19. R. Johnson , H. H. Petersen , and A. Stryk, "Incorporation of an SPH option into the EPIC code for a wide range of high velocity impact computation.", Int. J. Impact Eng., Vol 14 , 385-394 (1993).

20. C. A. Wingate and H. N. Fisher, "Strength Modeling ih SPHC." , Los Alamos National Laboratory, preprint LA-UR-93-3942.

21. Агурейкин B.A., Крюков Б.П. Метод индивидуальных частиц. Численные Методы Механики Сплошных Сред. 17, №1, 17, 1986

22. С.К.Годунов, А.В.Забродин, М.Я.Иванов, А.Н.Крайко, Численноерешение многомерных задач газовой динамики. М. ,"Наука",1976

23. Thompson «Grid Generation Techniques in Computational Fluid Dynamics», AIAA Jornal, vol. 22, N0.11,1984

24. H.A.Dwier «Grid Adaptation for Problems in Fluid Dynamics», AIAA Journal, vol.22, N0.12,1984

25. Michael Coyle, Joseph E. Flaerty, R. Ludwig«On the Stability of Mesh Equidistribution Strategies for Time-Dependent Partial Equations», Journal of Computational Physics, vol.62,1986

26. L.Chern, J. Glimm, O. McBryan, R. Ludwig «From Tracking for Fluid Dynamics», Journal of Computational Physics, vol.62, 1986

27. Aidelman «Application of the Godunov Method and its Second-Order Extension to Cascade Flow Modeling», AIAA Journal, vol.22, NO. 11, 1984

28. Eiseman «Adaptation Triangular Mesh Generations», AIAA Journal, vol. 25, NO. 10,1987

29. Mavripils «Multigrid Solution of the two-dimensional Euler Equations on Unstructured Triangular Meshes», AIAA Journal, vol. 26, NO.7, 1987

30. Mavripils «Accurate Multigrid Solution of the Euler Equations on Unstructured Triangular Meshes», AIAA Journal, vol. 28, NO.2, 1990

31. А.В.Уткин, Т.Н.Фортова, Г.И.Канель. Расчеты неидеальной детонации в ТНТ на основе эмпирической макрокинетики. Химическая физика, т.7,№ 9,1988

32. А.В.Бушман, И.В.Ломоносов, В.Е.Фортов, Уравнения состояния металлов при высоких плотностях энергии. Черноголовка, 1992

33. В.Е.Фортов, А.Н.Дремин, Полуэмпирическое уравнение состояния ТНТ. ДАН СССР, т.222,№1,1975

34. В.П.Колган Применение принципа минимальных значений производной к построению конечноразностных схем для расчетаразрывных решений газовой динамики

35. А.Н.Иванова, Б.Л.Тарнопольский Программа ДКС-интегрирование диффузионно-кинетических систем и анализ устойчивости стационарных решений. Препринт ОИХФ АН СССР, Черноголовка, 1985

36. Announcement A benchmark test for shock wave reflection over wedges.- Shock Waves (1992), v.2, №4.

37. Takayama K., Jiang Z. Shock wave reflection over wedges: a benchmark test for CFD and experiments - Shock Waves (1997), 7: 191-203.

38. Г.Л. Агофонов, C.M. Фролов, Вычисление пределов детонации для водородных смесей, Химическая физика 1994,1 стр. 92

39. Yu.Vorobiev, I.N.Lomov,A.V Shutov et al.,Godunov's Scheme on Moving Grids for High Velocity Impact Simulations, Int.Journ.of Imp. Engng., 17,892 (1995)

40. Holian K.S. "Hydrodynamics code calculations of debris clouds produced by ball-plate impact.", Int. J. Impact Engng Vol. 10 pp.231-239,1990

41. Харитон Ю.Б., Росинг B.O., ДАН СССР, Том.26, №5, 1940, стр.360.

42. Харитон Ю.Б., Проблемы теории взрыва, 1947, Ленинград, стр.7.

43. Михайлюк К.М., Трофимов B.C.,"О возможном пределе распространения стационарной волны детонации", ВГВ, Новосибирск, Том. 11, No.4, 1977, стр.606.

44. Кобылкин И.Ф., Соловьев B.C., Бойко М.М., «Природа критического диаметра конденсированных взрывчатых веществ», Доклады МВТУ им. Баумана, №.387, Москва, 1982 , стр.13.

45. Chaisse F., Servas J.M.,Aveitle J., Baconin J.,Carion N., and Bongrain P., "A Theoretical Analysis of the Shape of a Steady

46. Axisymmetrical Reactive Shock Front in Cylindrical Charges of High Explosive, A Curvature Diameter Relationship", 8-th Symposium (Int) of Detonation, Preprints, Albuquerque, Vol.1, 1985, p.539.

47. Stesik L.N., Akimova L.N., J. of Chemical Physics, 1959, T.33, No.8., p. 1762.

48. K. Baumung, H. Marten, A. Shutov, J. Singer , «First proton-beam driven Rayleigh-Taylor experiments on KALIF», Nucl. Instr. Meth. Phvs. Res. A 415 (1998) 720-725

49. B.Goel, K.Baumann, W. Hobel, O.Yu.Vorobiev, A.Shutov, V.E.Fortov Numerical Analysis of Foil Acceleration Experiments at KALIF, in Proc.of the Conference Shock Waves in Condensed Matter, Seatle, USA, August 1995