Двухэтапные лангражево-эйлеровы алгоритмы расчета динамики плазмы при интенсивных энергетических воздействиях тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Новикова, Татьяна Петровна

• Новикова, Татьяна Петровна
• кандидат физико-математических наук
• 0

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Новикова, Татьяна Петровна

ОГЛАВЛЕНИЕ

стр.

ВВЕДЕНИЕ

1. Цели работы. Актуальность

2. Двухэтапные алгоритмы реализации лагранжево - эйлеровых

и эйлеровых разностных схем ГД и МГД

3. Содержание работы

ГЛАВА I. Построение и анализ двухэтапных алгоритмов для конечно-разностных схем решения задач динамики плотной излучающей плазмы переменного ионизационного состава.

1. Введение

2. Исходная система уравнении и разностная схема

3. Подвижная система координат

4. Сетки, дискретизация

5. Разностная схема

6. Оценки сходимости алгоритмов

7. Примеры модельных расчетов

8. Разностная схема повышенного порядка аппроксимации по пространству в областях гладкости решения для системы квазилинейных уравнений

переноса

Э.Тестовые расчеты для одномерной плоскосимметричной системы уравнений

идеальной МГД. Постановка задачи

Ю.Уравнения первого этапа

11.Уравнения второго этапа

12.Примеры тестовых расчетов

13. Заключение

ГЛАВА II. Моделирование имплозии излучающей плазмы композиционного г-пинча в режиме ускорения сильноточным генератором наносекундного диапазона. Введение

1.Система дифференциальных уравнений МГД для случая (г-г) геометрии

2. Дифференциально-разностные уравнения лагранжева этапа

3. Уравнения коррекции сеточных величин

4.Расчет процессов переноса излучения в К-Х геометрии

5.Уравнение переноса излучения

б.Описание модели переноса излучения

7.Построение алгоритма решения уравнения переноса

8. Имплозия композиционного Z-пинча

9.Взаимодействие плазмы с внешним магнитным полем в системе "плазменный размыкатель"

ГЛАВА III. Численный анализ процессов нелинейной теплопроводности и радиационной газовой динамики при имплозии вещества во внутренних полостях мишеней ЛТС

1. Физические основы проекта мишени "лазерный парник"

2. Постановка задачи

3. Результаты расчётов состояния плазмыв поглотителе мишени "лазерный парник"

4. Моделирование испарения и имплозии плазмы, образующейся на стенке вводного отверстия мишени непрямого сжатия при радиационном нагреве. Постановка задачи

5. Анализ результатов численного решения

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

ЛИТЕРАТУРА

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Двухэтапные лангражево-эйлеровы алгоритмы расчета динамики плазмы при интенсивных энергетических воздействиях»

ВВЕДЕНИЕ

1.Цели работы. Актуальность

Фундаментальные исследования в области физики плотной высокотемпературной плазмы традиционно являются источником постановок задач, изучаемых методом вычислительного эксперимента [1,2]. В настоящее время для проведения численных исследований создаются программные комплексы, обеспечивающие многоцелевое моделирование физических процессов в широком диапазоне изменения характеризующих параметров. Упор в этой деятельности зачастую делается на объединение уже созданных программ с современными средствами графической и информационной поддержки, в том числе гипермедийными и мультимедийными. Например, в области термоаэродинамики активно обсуждаются и прорабатываются проекты кооперативных численных исследований посредством сетей ЭВМ [3], или проекты вычислительных экспериментов с визуализацией данных на базе аппаратных и программных средств "виртуальной реальности" [4]. Однако не только развитие собственно вычислительной техники и сервисных средств стимулируют прогресс в прикладном программном обеспечении. Накопление теоретических и экспериментальных данных, изобретение новых принципов и схем натурных экспериментов - причины, вновь и вновь заставляющие пересматривать прикладные компьютерные коды с целью обновления математических моделей и численных методик, их реализующих.

Основой исследований течений плотной плазмы являются расчетно-теоретические модели газовой динамики (ГД) и магнитной газовой динамики (МГД). В рамках ГД и МГД приближений плазма представляется континуальной моделью квазинейтральной системы, состоящей из ионов, электронов и, вообще говоря, нейтральных частиц, находящейся в состоянии локального термодинамического равновесия. Характерные масштабы Т0, Ц , ограничивающие область применения ГД и МГД моделей, как известно, имеют следующие ограничения [5]: по времени Т0 » 1/оор,, где юР|- плазменная частота, по пространству - Ц » , где -- радиус Дебая. Эти ограничения исключают из рассмотрения высокочастотные движения плазмы. Тем не менее, несмотря на рост мощности экспериментальной аппаратуры в современных исследованиях высокотемпературной плазмы до величин порядка

т

нескольких тераватт, выделяемых за короткое время - от нескольких десятков до сотен наносекунд при размерах исследуемых объектов от долей миллиметра до сантиметра плазмодинамические ГД и МГД модели весьма широко и успешно применяются для изучения и прогнозирования результатов многих экспериментов.

Физические постановки задач магнитной гидродинамики плотной плазмы условно можно разделить на два класса по происхождению магнитного поля. Одна группа задач, которую можно назвать традиционной, относится к изучению плазменных объектов, образующихся в электроразрядных или электродинамических устройствах таких, как различного рода разряды, пинчи, лайнеры и плазменные фокусы. Все эти объекты имеют то общее свойство, что их возникновение и эволюция происходят в условиях сильного влияния собственного магнитного поля токонесущей плазмы. К этому же классу следует отнести задачи генерации в импульсной плазме спонтанных магнитных полей.

Вторая группа задач объединяет явления взаимодействия плотной импульсной плазмы с внешним магнитным полем. В настоящее время активно изучается возможность комбинированного магнитоинерционного удержания лазерной плазмы, формирования каналов разрядов с заданными свойствами для различных прикладных целей, в том числе, для повышения коэффициента усиления активных сред рентгеновских лазеров, инжекции термоядерного топлива в системы с магнитным удержанием, а также с исследованием в лабораторных условиях . ионосферных и астрофизических явлений. Исследования данного круга

послужили стимулом для формулировки задач, рассматриваемых в настоящей диссертации. Эта часть прикладных исследований связана с развитием метода электродинамического ускорения и сжатия плазмы по схеме "г-пинч". Задачи динамики внешней токонесущей оболочки пинча относятся к первой группе, а анализ процесса формирования электромагнитной волны сильноточного генератора методом плазменных размыкателей приводит к задачам другой группы.

Электродинамическое сжатие плазменных оболочек впервые было предложено в [6] для нагрева ОТ- смеси до термоядерных температур, затем - для генерации мощных импульсов мягкого рентгеновского излучения по принципу конверсии кинетической энергии ускоренной оболочки [7]. Создание таких источиков необходимо как для физических исследований и так и для разработки новых технологических процессов, таких как рентгеновская фотолитография. За рубежом и в России созданы генераторы электромагнитных импульсов длительности

порядкаЮО не при мощности до 10 и более ТВТ - PBFA-Z [8], Saturn [9], Ангара-5-1 [10-14] и другие. В настоящее время активно исследуется перспективная схема нагрузки сильноточного генератора, известная как композиционный Z-пинч. Для согласования параметров пинчей с параметрами генераторов необходимы численное моделирование имплозии пинча, позволяющее получить количественные оценки энергобаланса, устойчивости,- радиационные характеристики и т.д.

Другая часть рассматриваемых здесь прикладных задач относится к области создания новых перспективных мишеней для экспериментов по лазерному термоядерному синтезу (J1TC).

В области исследований лазерной плазмы и J1TC активно изучаются такие проекты современных лазерных термоядерных мишеней как "лазерный парник" [15], мишень непрямого сжатия [16], мишень с обращенной короной [17], мишень с прямым инициированием [18]. Принцип действия таких мишеней состоит во вводе лазерных пучков внутрь мишени и поглощении лазерного излучения во внутренних полостях таких мишеней.; ..

Одна из наиболее важных и сложных задач исследования физики таких мишеней состоит в изучении свойств неодномерных газодинамических течений плазмы, образующихся при поглощении энергии лазерных пучков, вводимых внутрь мишени через отверстия во внешней оболочке. В частности, важным для оценки перспективности конструкции мишени представляется вопрос о скорости нагрева вещества во внутренней полости мишени. Заслуживают внимания также предложения об использовании внешнего магнитного поля для снижения скорости потоков плазмы, образующихся при нагреве внутренней поверхности конвертора. Это связано с тем, что взаимодействие лазерных пучков с разлетающейся плазмой вещества с большим зарядовым числом может приводить к нежелательным эффектам рассеяния и отражения лазерного излучения.

Параллельно с созданием количественной теории указанных процессов методами математического моделирования, необходимо проводить работу по обновлению используемых вычислительных кодов, направленную прежде всего на повышение точности численного решения - как в отношении пространственных распределений, так и интегральных характеристик (таких например, как балансов по отдельным видам энергии), на повышение точности расчета обмена импульсом и энергией между веществом и электромагнитным полем, на более полный учет

б

физических процессов, отвечающий новым условиям экспериментов, на повышение надежности счета в широком диапазоне изменения определяющих параметров задач, и, наконец, на экономное использование ресурсов ЭВМ (что важно для серийных расчетов).

Настоящая диссертация посвящена:

разработке и анализу алгоритмов численного исследования быстропротекающих газодинамических и магнитогазодинамических процессов, . происходящих в плазме под влиянием высокоинтенсивных потоков энергии, создаваемых, например, лазерным излучением или электромагнитным импульсом сильноточного генератора;

- созданию программного обеспечения для проведения широкомасштабных вычислительных экспериментов в области физики высокотемпературной плотной плазмы;

- применению созданной алгоритмической и программной базы вычислительного эксперимента к исследованиям двух задач, постановки которых соответствуют перспективным направлениям физики плазмы и УТС:

1) задача расчета имплозии плазмы Ъ -пинча оболочечной структуры (схема "композиционный 7. - линч") при ускорении токовым импульсом тераваттного диапазона мощности в диапазоне времени 100 - 200 не;

2) задача расчета тепловых процессов и имплозии плазмы при вводе лазерного пучка во внутреннюю полость мишени типа "лазерный парник" при характерных параметрах лазерного излучения по амплитуде интенсивности - (1-5)1015 Вт/см2, длительности фронта импульса (1-5) не и длине волны 1,06 мкм

Из вышеизложенного следует актуальность тематики диссертационной работы, поскольку она нацелена на создание прикладного программного обеспечения для решения задач, постановки которых отвечают современным экспериментальным иследованиям.

2. Двухэтапные алгоритмы реализации лагранжево - эйлеровых и эйлеровых

разностных схем ГД и МГД.

Основные методические разработки диссертации связаны с построением алгоритмов для численной реализации разностных схем магнитной газовой динамики. Такой подход позволяет создать общее программное обеспечение для моделирования широкого спектра импульсных течений плазмы. Применительно к

тематике диссертации - это указанные выше задачи электродинамической имплозии композиционных Z-пинчей и задачи имплозии плазмы во внутренних полостях лазерных мишеней. Отметим также, что применение МГД-кодов в исследованиях лазерной плазмы имеет самостоятельный интерес. В настоящее время быстро развиваются исследования в области взаимодействия внешнего магнитного поля с лазерной плазмой. Это обусловлено тем, что современные мощные лазеры, работающие на различных длинах волн, являются в настоящее время самым - эффективным инструментом воздействия на вещество для достижения состояний плазмы в самых широких диапазонах изменения температуры и плотности. В настоящее время в ряде лабораторий мира созданы лазеры, обеспечивающие интенсивность излучения в фокальном пятне до 1019 - Ю20 ВТ/см2 [19, 20]. Действие таких импульсов может создавать плазму, движущуюся со скоростями от 106 до 108 см/с. Таким образом, в экспериментах с лазерной плазмой возможно исследование взаимодействия плазменных потоков с магнитным полем в очень широком диапазоне параметров. Результаты подобных исследований находят применение при изучении возможностей повышения коэффициента усиления активных сред рентгеновских лазеров, инжекции термоядерного топлива в системы с магнитным удержанием, а также в связи с исследованием в лабораторных условиях ионосферных и астрофизических явлений. Выше отмечалось, что в проблеме ЛТС на мишенях с вводом излучения во внутреннюю полость изучается возможность воздействия магнитного поля на скорость имплозии плазмы. Одна из возможных постановок задач рассматривается в настоящей работе.

Известно [5, 21], что взаимодействие магнитного поля с проводящей сжимаемой средой приводит к появлению разнообразных волновых движений, скорости распространения которых существенно отличаются друг от друга и от скорости распространения газодинамических волн. Это обстоятельство затрудняет численное моделирование нестационарных магнито-газодинамических течений если с данной целью используются явные разностные схемы. Величина шага по времени, с которым выполняется численное интегрирование системы разностных уравнений, в общем случае определяется требованиями устойчивости и точности [2, 22]. В том случае, когда характеризующие течение переменные - плотность, температура, степень ионизации, индукция магнитного поля и т.д. распределены по пространству в высокой степени неоднородно (min (f) и max(f) отличаются на несколько порядков по величине), временной шаг численного интегрирования системы разностных

уравнений МГД, определяемый критерием Куранта, может оказаться существенно меньше значения, допускаемого приемлемым уровнем точности.

Данная ситуация типична для задач, связанных с анализом динамики плазмы, ускоряемой магнитным полем, как например, в системах плазма-магнитный поршень, г-пинч и т.п. [23]. В подобных системах основная масса плазмы сжимается давлением магнитного поля, создаваемого текущим по периферии системы током. Значительную часть времени ускорения и сжатия магнитное поле в основном сосредоточено в смежной с плотной высокотемпературной плазмой области весьма малоплотного вещества (например, остаточного газа в вакуумной камере). Расчет динамики такой системы в целом, включая область плазмы и область, занятую магнитным полем и практически лишенную вещества, как отмечалось в [24], в случае использования явной численной процедуры потребовал бы такого ограничения на шаг по времени, что проведение серийных расчетов для анализа экспериментальных данных становится практически невозможным.

Подобные затруднения преодолеваются использованием неявных разностных схем. Теория.и различные прикладные аспекты реализации неявных схем МГД, в частности, применительно к исследованию течений плазмы при высокоинтенсивном обмене энергией между веществом и электромагнитным полем, к настоящему времени разработаны достаточно широко - наряду с цитированной работой [2] укажем, например, обзоры [25, 26] и другие издания, дающие неполное, но достаточное для наших целей представление об используемых в данной области методах [27-41].

Выше были отмечены требования (возможно, в минимальном числе, но существенные), которым должен удовлетворять численный код для серийных вычислительных экспериментов в области плазмодинамики.

Совмещение этих требований в рамках одной численной методики представляет собой сложную задачу.

Так, например, при использовании широко распространенных однородных неявных разностных схем [1,2], обеспечивающих устойчивость счета и независимость алгоритма от скачкообразных изменений свойств среды, как правило получаются решения с заметным влиянием численной (нефизичной) диффузии.

Не менее широкое распространение в моделировании получили экономичные алгоритмические конструкции известные как методы суммарной аппроксимации [1] и методы расщепления по физическим процессам [42-45]. Эти конструкции часто

используются в виде линейно-неявных разностных схем, которые представляют собой системы линейных сеточных уравнений с блочно-трехдиагональными матрицами, решаемые методом матричных прогонок.

Однако в расчетах быстропротекающих процессов с локализованным интенсивным энерговкладом они дают невысокую точность воспроизведения балансов энергии. Кроме того, в условиях анизотропии и резкой смены свойств вещества (что является типичной ситуацией при воздействии йа газоплазменные среды мощных электромагнитных импульсов), эти методы вообще могут давать нефизичные решения. Например, при расчете течений при числе Куранта, превышающем единицу (локальное нарушение условия Куранта - опять-таки частая ситуация в моделировании быстропротекающих процессов), значение скорости распространения ударной волны, вычисленное по линейно-неявной схеме, может заметно отличаться от значения, вычисленного по адиабате Пуассона [46, 47]. Коррекция этих недостатков возможна с помощью процедур, в которых расщепление рассматривается как поэтапное решение групп уравнений, выделяемых из полной системы уравнений динамики плазмы, а сами этапы связаны общим итерационным процессом. Применительно к одномерным задачам ГД и МГД данный подход рассматривается в [2]. Обобщение на двумерные лагранжевы схемы МГД рассматривается, например, в [49]. На этом направлении возникают нелинейно-неявные схемы, т.е. схемы в виде систем нелинейных сеточных уравнений, решаемых различными итерационными методами. Для успешного применения нелинейно-неявных схем весьма важным является вопрос разработки экономных итерационных алгоритмов решения сеточных уравнений.

Эффективные нелинейно-неявные вычислительные алгоритмы были созданы на базе разностных схем, аппроксимирующих уравнения МГД в форме Лагранжа. Специфика лагранжевой формы описания движения состоит в отсутствии в соответствующих уравнениях непосредственно конвективных потоков массы, энергии и импульса, а кинематика сплошной среды описывается уравнениями перехода от эйлеровых переменных к лагранжевым (в разностной схеме -уравнениями перемещения узлов сетки). Соответственно упрощается и структура "лагранжевых" разностных уравнений. Например, уравнение неразрывности записывается в виде постоянства массы ячейки разностной сетки, динамические уравнения становятся линейными по скорости и т.д. [2, 48,49]. Эти и ряд других свойств лагранжевых разностных схем обусловливают высокую эффективность

решения систем сеточных уравнений, входящих в неявные схемы, которую имеют итерационные алгоритмы, построенные на основе метода Ньютона и его модификаций [2, 29, 37, 40, 41 ,46, 49, 50]. Соответствующие численные коды, созданные с учетом принципа полной консервативности и с контролем сходимости итераций по балансу различных видов энергии (полной, внутренней, магнитной,) успешно применялись для решения огромного спектра задач физики плазмы, возникающих в исследованиях проблем УТС, энергетйки, астрофизики. Опыт создания вычислительных процедур, основанных на неявных схемах в переменных Лагранжа, представляется целесообразным перенести на эйлеровы алгоритмы МГД.

В настоящей работе для решения задач одномерной магнитной газодинамики построен двухэтапный алгоритм, позволяющий использовать преимущества лагранжевых переменных на этапе учета массовых и поверхностных сил, и эйлерова описания движения вещества на этапе расчета конвективных потоков.

Первый этап алгоритма состоит в расчете системы уравнений магнитной гидродинамики и проводится в подвижной системе координат, перемещающейся в пространстве со скоростью среды. На втором этапе параметры течения, полученные в результате расчета первого этапа, определяются в узлах сетки, фиксированной относительно лабораторной (неподвижной) системы координат.

Для численного исследования задач ГД и МГД принципиальное значение имеет выбор способа описания сплошной среды [2, 22, 51]. В эйлеровом подходе координаты узлов расчетной сетки фиксированы в неподвижной (лабораторной) системе координат, во втором - фиксированы по отношению к материальным частицам, т.е. перемещаются вместе с ними. Можно также для описания движения использовать обобщение эйлерова подхода - узлы сетки в этом случае перемещаются как относительно лабораторной системы, так и относительно частиц, но фиксированы в некоторой подвижной системе координат [52-54]. Подвижную систему координат и соответствующую разностную сетку по историческим причинам часто называют смешанной эйлерово-лагранжевой (СЭЛ). Это название появилось в связи с рассмотрением задач гидро-газодинамики, поскольку в расчетах часто использовались подвижные системы координат, промежуточные между лабораторной и лагранжевой [54 ]. Мы также будем пользоваться термином "СЭЛ", хотя надо отметить, что есть задачи, для решения которых применяются уравнения газовой динамики, аппроксимируемые на подвижных сетках, но термин "СЭЛ" смысл

движения сетки не отражает. Таковы, например, динамически адаптируемые сетки, используемые для моделирования задач воздействия лазерного излучения на твердые тела, когда конфигурация сетки коррелирует с изменением фронта фазовых переходов [55].

Метод эйлеровых сеток - ортогональных, или связанных с криволинейными координатными системами общего вида - является основой большинства алгоримов решения задач ГД [56-58]. Основное достоинство эйлеровых сеток заключается в том, что их можно применять для расчета течений с большими деформациями элементарных объемов жидкости. Существуют способы построения сеток, направленные на упрощение аппроксимации пространственных производных. Хорошо развиты методы построения гранично-адаптивных эйлеровых сеток, благодаря которым повышается точность аппроксимации граничных условий. Эйлеровы сетки, аппроксимирующие координатные сетки соответствующим образом выбранных систем координат, допускают использование экономичных алгоритмов расчета методом покоординатного расщепления.

К недостаткам эйлеровых методов относится сопутствующая им аппроксимационная вязкость и трудности, связанные с возникновением нефизичной диффузии вещества через контактные поверхности. Разработка способов ограничения аппроксимационной вязкости, начавшаяся с работ [ 59,60], составляет отдельное направление в вычислительной гидродинамике, в котором созданы такие методы как коррекция потоков [61,62], сеточно-характёристические [63], методы 2-го и 3-го порядка точности с децентрированной аппроксимацией потоков [64,65], коррекции дисперсионных свойств схемы [66]. Огромную роль в современной вычислительной гидродинамике играют нелинейные схемы высокого порядка точности типов "TVD (total variation diminishing - схемы с ограниченной или убывающей полной вариацией решения) и ENO (essentially non-oscillating - схемы с существенно подавленными осцилляциями решения) [67-72], а также схемы повышенного порядка точности, основанные на решении задачи Римана [73-75]. Эти подходы все более широко применяются и для решения задач магнитной гидродинамики [76-79].

В лагранжевом подходе расчет контактных границ не вызывает особых затруднений, если выбрать разностную сетку так, чтобы граница совпадала с некоторой лагранжевой сеточной линией [2, 22, 51]. Однако в расчетах течений с сильными сдвиговыми деформациями ячейки сетки, моделирующие элементарные

объемы жидкости, подвергаются искажениям вплоть до потери свойства аппроксимации отображения плоскости течения на плоскость лагранжевых переменных (появляется геометрическая неоднородность, перехлесты сеточных линий, выворачивания ячеек), после чего расчет продолжать невозможно. Поэтому лагранжевы методы применяются в основном для расчета течений с малыми сдвиговыми деформациями, либо по этим методам рассчитывается начальная стадия процесса, а далее, когда искажение формы ячеек препятствует нормальной работе лагранжева алгоритма, он дополняется каким-либо алгоритмом коррекции или даже перестройки разностной сетки. Часто коррекция сетки рассматривается как расчет течения в подвижной координатной системе [54,80].

Помимо цитированных работ [52-54, 80] СЭЛ-алгоритмы решения задач ГД и МГД на подвижных сетках рассматривались в [81-94] и других изданиях. Алгоритмы СЭЛ-типа позволяют исследовать сложные течения, для расчета которых невозможно применять только эйлеровы или только лагранжевы методики. СЭЛ-алгоритмы допускают рассмотрение сложной контактной границы, меняющейся со временем, могут быть почти лагранжевыми там, где желательно исключить влияние схемной вязкости, и могут использоваться в "эйлеровом" варианте для анализа течений с сильными деформациями. Наконец, СЭЛ-алгоритмы могут использоваться в расчетах с шагом по времени, выходящим за ограничение Куранта-Фридрихса-Леви [22], что достигается применением использованием неявных процедур решения и специальных методик адаптации сетки [54, 55, 80, 90, 95, 96].

Алгоритм расчета на подвижной сетке обычно строится либо добавлением к лагранжевым вычислениям фазы перестройки ячеек, во время которой вычисляется конвективный перенос, определяемый относительным движением среды и сетки, либо непосредственно исходя из системы эйлеровых уравнений, но записанных в движущейся системе координат. Уравнения идеальной МГД в системе отсчета, движущейся со скоростью ю, записываются в виде [84]:

(В1)

(В2)

+ ч[ри(и - ©)- ¿1+ р£/(Ую) = О (ВЗ)

+ - со)- £>и]+ р£(Усо) = О (В4)

В уравнениях (В1)-(В4) обозначения общепринятые: р - плотность, 0(и,у) - скорость, £ = 8 + — О2, -б - внутренняя энергия.

Для численного решения систем уравнений типа (В1)-(В4) оказался весьма удобным и получил широкое распространение двухэтапный алгоритм, предложенный в работе [54]. Согласно этому алгоритму, решение уравнений (В1)-(В4) разбивается на расчет лагранжевой фазы и фазы конвективного переноса. В лагранжевой фазе решаются уравнения:

^ + (В5)

Ш

— + в(уи)-(ву)У = О (В6)

л

= (В7)

л

= (В8)

ш

Поскольку движение сетки происходит со скоростью газа, конвективные потоки массы, импульса и энергии отсутствуют. Уравнения типа (В5)-(В8) в работах [51-54] аппроксимируются , например, на основе интегро-интерполяционного метода [1,2]. В работах [47,48, 83-86] для построения разностных схем был применен вариационный подход, основанный на аппроксимации в функционала действия и вариационных связей разностными по пространственным переменным выражениями в подвижных криволинейных координатах. По завершении

лагранжевой фазы узлы сетки перемещаются на новые позиции согласно кинематическому соотношению Иг —

= и (В9)

Ж

г - радиус-вектор лагранжевой частицы.

Кинематическое соотношение (В9) обычно используется непосредственно для явного вычисления новых координат узлов или как уравнение связи переменных при решении системы (В5)-(В8) неявной разностной схемой [2, 49, 54]. Во второй фазе расчета вычисляется конвективный перенос. Исходными для аппроксимации здесь являются уравнения:

— |р (IV = |[й(с/-©)>}& , (ВЮ)

дt у

— \pUdV = \p-dV - (В11)

& у у 5(К)

|\-Bdv=±{¡Ыг]-- ¡[ф-а)в]й (В12)

ОТ у Ш\у )

— |р£с/К = — \pEdv\- \\п{р -ю^^ (В13)

д1 у dt )

где V- контрольный объём, Б(\/) - его граница, п - внешняя единичная нормаль к

Если используется "разнесенная" по пространству дискретизация (плотность, внутренняя энергия и индукция поля относятся к ячейкам, скорость - к узлам сетки), контрольными объемами V при аппроксимации уравнений (В10)-(В13) принимаются либо ячейки сетки, либо "приузловые" объемы, которые образуют вспомогательную сетку. Возможно также использование дискретизации, принятой в методе "крупных частиц" [57, 58].

По существу разбиение решения общей системы уравнений на этапы соответствует принципу суммарной аппроксимации [1]. Двухэтапная формулировка системы уравнений МГД позволяет, в частности, использовать неявную "лагранжеву" схему и явную схему для учета конвекции, что снижает ограничение на шаг по времени (для устойчивости), связанное с большими перепадами отношения скорости течения к скорости звука. Такой подход ранее использовался, например, для расчета Рэлей-Тейлоровской неустойчивости слабосжимаемой жидкости [54]. В [26] отмечается применение аналогичного метода для расчетов "тэта"-пинча, а также расчетов осесимметричного разлета в магнитном поле горячей диамагнитной плазмы, имеющей начальную форму "таблетки". В обеих отмеченных расчетах относительное движение между сеткой и веществом поддерживалось на уровне,

минимально необходимом для компенсации искажений ячеек сетки, чтобы численная диффузия также была минимальной.

Настоящая работа посвящена изучению возможностей применения двухэтапных неявно-явных алгоритмов для численного решения задач ГД и МГД, постановки которых сформулированы в терминах эйлерового подхода. Первый этап реализован как решение системы МГД-уравнений в лагранжевых переменных неявным методом. При этом в качестве промежуточных переменных рассчитываются все характеризующие течение величины (индукция поля, термодинамические переменные, скорости и координаты узлов сетки, которая здесь предполагается подвижной (лагранжевой). Отметим, что в этом состоит принципиальное отличие рассматриваемого здесь подхода от широко применяемого явного метода крупных частиц [58], в котором при выполнении аналогичного "бесконвективного " этапа сетка фиксирована в пространстве и плотность вещества по этой причине не изменяется. Неявный "бесконвективный" этап представляет собой релаксационный процесс, в котором в системе плазма-электромагнитное поле устанавливаются соответствующие физической ситуации распределения давления и электромагнитного поля, т.е. адекватный силовой баланс. Этот этап может быть реализован как неявный исходя из алгоритмической идеи метода "крупных частиц". Однако допущение на нем вариаций плотности, примененное в данной работе, повышает эффективность неявной методики сравнительно с неявной методикой, реализованной как первый этап алгоритма "крупных частиц". В то же время необходимо так учесть изменения в распределении плотности на первом этапе, чтобы по окончании расчета шага по времени обеспечить выполнение принципа суммарной аппроксимации. Корректно это можно сделать на основе представления двухэтапного алгоритма решения эйлеровых уравнений как разновидности СЭЛ-метода.

Второй этап - расчет конвективных потоков массы, импульса, энергии и связанного с конвекцией вещества изменения индукции магнитного поля относительно фиксированной сетки. В целом предлагаемый алгоритм более устойчив, чем алгоритмы, построенные на явных схемах, поскольку за счет использования неявной аппроксимации на первом ("лагранжевом") этапе ослабляется ограничение на шаг по времени, обусловленное различием скоростей распространения МГД и ГД волн [ 5, 21], а этап расчета конвекции выполняется с шагом, удовлетворяющем условию Куранта, в которое входит только скорость

движения вещества. Но такое ограничение, как известно, является естественным в расчетах нестационарных процессов, поскольку оно связано как с устойчивостью схемы, так и с точностью воспроизведения области зависимости решения исходной дифференциальной задачи [22]. Отметим также, что на лагранжевом этапе предлагаемого алгоритма примененяется методика типа [29], основанная на глобальном итерационном процессе (т.е. таком, в котором на каждой итерации сеточные функции - давление, магнитная индукция и т.д. определяются целиком, а не покомпонентно, как в методах локальных итераций). Это повышает эффективность предлагаемого двухэтапного алгоритма по сравнению с другими двухэтапными методиками - неявно-явными типа [54, 90], где применяется локальная релаксация давления, явными [97] и методиками расщепления по физическим процессам типа [98] не использующими метод организации внешних итерационных циклов [2] при решении "расщепленных" систем уравнений. Последнее обстоятельство имеет принципиальное значение для моделирования быстропротекающих течений плазмы, возникающих при интенсивном энергоподводе от внешнего источника. Именно такие задачи соответствуют большинству современных экспериментальных исследований в физике высокотемпературной плазмы [99].

3. Содержание работы В первой главе вводная часть посвящена обсуждению общих вопросов, возникающих при разработке численных кодов для моделирования импульсных течений плотной плазмы. Отмечается, что многолетний опыт показал эффективность применения полностью консервативных разностных схем (ПКРС) магнитной газовой динамики (МГД) в численном моделировании течений плазмы при высокоинтенсивном обмене энергией между веществом и электромагнитным полем, в частности, неявных схем, аппроксимирующих уравнения МГД в форме Лагранжа. В то же время, поскольку возможности лагранжевых кодов в моделировании неодномерных задач имеют значительные органичения, обусловленные сдвиговыми деформациями жидких объемов, необходимо развитие кодов других направлений -эйлеровых и эйлерово-лагранжевых.

Высказанные соображения использованы в диссертации при разработке двухэтапного алгоритма, ориентированного на расчет нестационарных двумерных течений среды конечной сжимаемости. На первом этапе расчет ведется с

17

использованием лагранжевой ПКРС по итерационному алгоритму, имеющему в своей основе модифицированный метод Ньютона. Из уравнений системы выделяется часть, описывающая бездиссипативное движение вещества. Далее, используя кинематические связи, уравнения неразрывности, вмороженности поля и адиабатического процесса, из динамических уравнений искомые на новом временном шаге переменные (плотность, давление, внутренняя энергия, индукция магнитного поля) выражаются через компоненты радиус-векторов узлов разностной сетки. Метод Ньютона применяется к редуцированной таким образом системе сеточных уравнений. Диссипативные процессы также рассчитываются по неявной схеме с применением метода Ньютона. Для достижения баланса энергии организуется "внешний" по отношению к первой и второй части лагранжева этапа итерационный цикл. На втором этапе происходит коррекция лагранжевой сетки и пересчет сеточных функций на скорректированную сетку. Коррекция сетки преследует одну из двух целей - либо исправление чрезмерных деформаций ячеек подвижной сетки, либо возврат сетки в первоначальное состояние. Последнее фактически означает выполнение расчета на эйлеровой сетке по методу, напоминающему по идеологии "двухэтапности" метод крупных частиц (КР). В предлагаемом алгоритме в отличие от метода КР на первом этапе применяется подвижная "лагранжева" сетка. Также как и в методе КР в соответствии с принципом расщепления или последовательного учета физических процессов на первом этапе настоящего алгоритма не учитываются конвективные процессы, но за счет изменения формы и размеров "лагранжевых" ячеек учитывается влияние изменения плотности. Данное обстоятельство важно потому, что если на первом этапе алгоритма используется неявная схема, то для ее реализации могут быть использованы эффективные итерационные алгоритмы, надежно работающие в широком диапазоне чисел Маха - как больших, когда необходимо учитывать влияние изменения плотности и температуры газа, так и малых, когда течение слабосжимаемое и малые изменения плотности приводят к значительным изменениям давления. Учет влияния конвективного переноса на энергобаланс также может контролироваться в полном итерационном цикле расчета временного шага.

В следующих разделах главы I рассматриваются некоторые вопросы реализации неявных лагранжевых схем МГД, в частности, анализируется сходимость итерационного алгоритма, используемого для решения сеточных уравнений. С этой целью во втором параграфе приводится необходимая для

дальнейшего изложения система уравнений идеальной магнитой гидродинамики в прямоугольной (декартовой) системе координат с исполь зованием как лагранжевых

й . ^

—, так и эйлеровых — производных по времени.

Ы

В третьем параграфе выписывается двумерная система уравнений МГД в подвижной лагранжевой системе координат с использованием ортогональ ной координатной системы (а,р) в опорной ("математической") плоскости.

В четвертом параграфе описывается построение дискретных сеток по пространственной области и временному интервалу, в которых решается поставленная задача.

В пятом параграфе вводятся пространства сеточных функций, определенных в узлах и ячейках разностной сетки. Система уравнений из третьего параграфа аппроксимируется неявной полностью консервативной разностной схемой.

В шестом параграфе исследуется сходимость итерационного алгоритма для линеаризованной системы уравнений, соответствующей нелинейным уравнениям разностной схемы, выписанной в пятом параграфе . Такой подход к изучению методов решения нелинейной системы МГД-уравнений, несмотря на теоретическую неполноту, позволяет сформулировать физически содержательные критерии сходимости, которыми удобно пользоваться при проведении практических расчетов. Полученные при анализе линеаризованной системы оценки можно далее использовать для изучения сходимости метода решения в нелинейном случае, поскольку линеаризация является одним из центральных пунктов многих итерационных методик.

Выводы из линейного анализа проверены, как это обычно делается, в методических расчетах, описанных в седьмом параграфе.

В восьмом параграфе описывается второй этап решения исходной системы МГД уравнений, на котором учитывается вклад конвективных членов. Для решения уравнений второго этапа выписывается квазимонотонная конечно-разностная схема повышенного порядка аппроксимации с ограниченными антидиффузионными потоками.

В девятом параграфе выписывается постановка одномерной плоскосимметричной системы уравнений идеальной МГД, используемой для тестирования разработанной двухэтапной лагранжево-эйлеровой методики.

В десятом параграфе приведена система одномерных уравнений первого этапа (движения сетки с веществом), записанная в лагранжевой массовой переменной, в дифференциальной и разностной формах, и рассмотрен алгоритм решения системы разностных уравнений первого этапа.

В одиннадцатом параграфе выписана система уравнений второго этапа. На этом этапе происходит возврат сетки в первоначальное состояние и пересчет сеточных функций на скорректированную сетку. Для численного решения этой системы уравнений используется консервативная квазимонотонная схема-повышенного порядка аппроксимации по пространственной переменной в областях гладкости решения, выписанная в восьмом параграфе.

В двенадцатом параграфе приведены постановки одномерных тестовых задач, которые решались по двухэтапной методике:

1. Распад газодинамического разрыва большой интенсивности

2. Распад произвольного МГД-разрыва (1).

3. Распад произвольного МГД-разрыва (2).

4. Задача о поршне. ( Быстрая МГД-ударная волна, распространяющаяся по холодному фону).

В заключении главы I приводятся выводы по результатам тестовых расчетов. Отмечено, что предложенная методика воспроизводит характерные для магнитной газовой динамики нестационарные волновые процессы с точностью практически такой же, какой обладают явные TVD-схемы решения систем уравнений гиперболического типа. Достаточно точные с точки зрения возможных практических приложений численные решения задач МГД оказывается возможным получать и в тех случаях, когда интегрирование разностных уравнений по времени ведется с шагом большим, чем тот, который диктуется условием Куранта. Так, например, течение в тесте № 4 (МГД-ударная волна, распространяющаяся по холодному фону) рассчитывалось с шагом, равным 1.5тк, где тк определяется по скорости быстрой МГД-волны.

Вторая глава посвящена моделированию имплозии излучающей плазмы композиционного Z-пинча в режиме ускорения сильноточным генератором наносекундного диапазона. Расчеты выполнены по комплексу прикладных программ программ ZETA, разработанному коллективом авторов - сотрудников ИММ РАН и ТРИНИТИ (ВАГасилов, С.В.Захаров, А.Ю.Круковский и др., 1997) для моделирования импульсных течений излучающей плотной плазмы переменного

ионизационного состава. Код ZETA включает набор программных модулей, позволяющих рассчитывать динамику вещества, энергобаланс с учетом различия температур ионов и электронов, спектральные свойства материалов, перенос излучения, равновесный и неравновесный ионный состав плазмы, транспортные коэффициенты. Блок магнитогидродинамического расчета в коде ZETA включает модули, созданные на основе методики, представленной в данной работе.

В первом параграфе выписана система дифференциальных уравнений МГД для случая (г, z) - геометрии.

Во втором параграфе приводится соответствующая система

дифференциально-разностных уравнений лагранжевого этапа ( разностная сетка движется со скоростью вещества).

В третьем параграфе приводятся уравнения коррекции сеточных величин второго этапа. Алгоритм пересчета построен исходя из интерпретации коррекции лагранжевой сетки как смещение ее узлов относительно позиций, определенных на лагранжевом этапе расчета. Поэтому пересчет интерпретируется в терминах конвекции вещества "сквозь сетку", т.е. конвекции в подвижной системе координат.

В четвертом параграфе для случая R-Z геометрии рассматривается алгоритм расчета процессов переноса излучения на основе двухгруппового по азимутальному углу приближения. Данное приближение позволяет получить выражение для плотности энергии излучения в виде квадратуры от коэффициента поглощения и излучательной способности плазмы и рассчитать вклад излучения в виде источника в уравнении энергии электронов. Приближение отражает основные спектральные и энергетические характеристики при моделировании динамики плазмы многозарядных ионов и переноса излучения.

В пятом параграфе выписано уравнение переноса излучения в цилиндрической геометрии при условии симметрии по азимутальной координате.

Шестой параграф посвящен описанию модели переноса излучения. Для

спектральной интенсивности излучения n = \,....,N вводится двухгрупповое

описание по угловой переменной ф, уравнение переноса излучения численно интегрируется по углу Э (0 < 9 < 7l), затем интегрируется по ф сначала от 7г/2 до

Зл/2 (получается уравнение для интенсивности излучения / ), а затем от — Tí/2

до 7г/2 (получается уравнение для интенсивности / + ). Решив систему уравнений и

проинтегрировав по углам ф и 9, получим плотность энергии излучения.

Численный алгоритм решения системы уравнений, полученной в предыдущем параграфе, изложен в параграфе семь

В восьмом параграфе представлены постановка задачи и результаты численных расчетов динамики излучающего 7-пинча. Приведенные данные расчета композиционного пинча с достаточной для практики точностью согласуются с экспериментами, выполненными с аргоновыми оболочками-лайнерам в ТРИНИТИ. Дополнительно расчет позволил выяснить степень влияния на конечные параметры сжатия различных видов неустойчивостей - как тепловой, так и гидродинамической.

В девятом параграфе дается описание и постановка задачи о взаимодействии внешнего магнитного поля с плазменной перемычкой ("плазменный размыкатель"). Задача связана с изучением возможности применения в экспериментах по электродинамическому сжатию электрогенераторов с

относительно большой длительностью фронта нарастания токового импульса -порядка 1 мксек. Однако при их использовании неизбежно возникает проблема сокращения длительности токового импульса, подаваемого на нагрузку генератора (2-пинч или лайнер), для решения данной проблемы предлагается использовать технику плазменных размыкателей. -

В десятом параграфе приведены результаты численного моделирования для условий, соответствующих экспериментам на действующей установке, в которой передающая линия выполнена в виде коаксиального диода с короткозамкнутым (в качестве нагрузки) концом. Исследована эволюция перемычки, создаваемой инжекцией плазмы СН2 с плотностью в диапазоне (1014 - 1015) см"3 . Получены оценки влияния конечной проводимости плазмы и эффекта Холла на пропускание магнитного поля перемычкой, изучена ее неустойчивость, которая развивается как Релей-Тейлоровская.

Третья глава посвящена численному моделированию процессов нелинейной теплопроводности и радиационной газовой динамики при имплозии вещества во внутренних полостях мишеней ЛТС.

В первом параграфе приводятся физические основы проекта мишени "лазерный парник", обсуждаются общие вопросы организации вычислительного эксперимента по анализу процессов в мишени данного типа.

Во втором параграфе формулируется общая постановка задачи, даются описание свойств вещества, уравнения состояния (УРС), кинетические коэффициенты, описывается модель поглощения лазерного излучения, выписываются двумерные уравнения газодинамики в цилиндрической геометрии.

Третий параграф посвящен постановке задачи для фрагмента мишени "лазерный парник" и обсуждению результатов расчётов состояния плазмы в поглотителе мишени. Расчеты продемонстрировали инициирование и распространение в течении промежутка времени не менее 0,4- не волны сверхзвуковой электронной теплопроводности с темпратурой за фронтом « 3 кэВ. Моделирование показало, что доля потерь поглощенной лазерной энергии, обусловленная вытеканием вещества поглотителя из отверстия для ввода луча, относительно невелика и не превышает уровня 10%.

В четвертом параграфе обсуждаются постановки одномерной задачи моделирования испарения и имплозии плазмы, образующейся на стенке отверстия мишени непрямого сжатия при радиационном нагреве на уровне мощности 1014 Вт/см2

- при воздействии внешнего магнитного поля;

- при заполнении полости мишени веществом с докритической (для лазерного излучения) плотностью.

Пятый параграф посвящен анализу результатов численного решения задач предыдущего параграфа и их сравнению. Показано, что скорость разлета плазмы в случае заполнения полости мишени малоплотным веществом может быть снижена в 5-10 раз по сравнению с полой мишенью непрямого сжатия, и в 2-5 раза по сравнению с полой мишенью в поперечном магнитном поле. В заключении сформулированы основные результаты, выносимые на защиту. Глава I. Построение и анализ алгоритмов для двухэтапных конечно-разностных схем решения задач динамики плотной излучающей плазмы переменного ионизационного состава. 1. Введение.

При моделировании магнитогидродинамических течений достаточно давно и успешно применяются полностью консервативные разностные схемы [1], на основе которых создано много надежных алгоритмов решения практических задач. Полностью консервативные схемы позволяют получать физически содержательные и достаточно точные численные решения на нерегулярных разностных сетках [2].

Движение проводящей сжимаемой среды в магнитном поле характеризуется большим по сравнению с газовой динамикой разнообразием волновых явлений [21]. Скорости распространения магнитогидродинамических волн могут существенно отличаться друг от друга и от скорости распространения газодинамических волн. Это обстоятельство затрудняет расчет нестационарных магнито-газодинамических течений посредством явных разностных схем. Величина шага по времени, с которым выполняется численное интегрирование системы разностных уравнений, в общем случае определяется требованиями устойчивости и точности. Если в области течения плотность вещества, его температура и ионизационный состав, индукция магнитного поля и т.д. распределены по пространству в высокой степени неоднородно (min (f) и max(f) отличаются на несколько порядков по величине), временной шаг численного интегрирования системы разностных уравнений МГД, определяемый критерием Куранта, может оказаться существенно меньше значения,-допускаемого приемлемым уровнем точности.

Данная ситуация возникает при моделировании течений плазмы, ускоряемой магнитным полем, как например, в системах плазма-магнитный поршень, Z-пинч и т.п. [6-14]. В подобных системах основная масса плазмы сжимается давлением магнитного поля, создаваемого текущим по периферии плазмы током. Значительную часть времени сжатия магнитное поле в основном сосредоточено в смежной с объемом плазмы области малоплотного вещества (например, остаточного газа в вакуумной камере). Расчет динамики такой системы в целом, например, в условиях, соответствующих, экспериментам на сильноточном ускорителе "Ангара-5-1" [10-12] и другим аналогичным экспериментам [8,9] в случае использования явной численной процедуры потребовал бы такого ограничения на шаг по времени, что проведение серийных расчетов для анализа экспериментальных данных за разумное время становится практически невозможным.

Подобные затруднения обычно преодолеваются использованием неявных разностных схем. Теория и различные прикладные аспекты реализации неявных схем МГД, в частности, применительно к исследованию течений плазмы при высокоинтенсивном обмене энергией между веществом и электромагнитным полем, к настоящему времени достаточно подробно разработаны и представлены как в монографиях, так и в периодических изданиях. Весьма эффективные вычислительные алгоритмы были созданы на базе неявных схем,

аппроксимирующих уравнения МГД в форме Лагранжа. Основы теории таких алгоритмов для задач МГД изложены в [2].

Специфика лагранжевой формы записи уравнений состоит в отсутствии в соответствующих уравнениях непосредственно конвективных потоков массы, энергии и импульса, а кинематика сплошной среды описывается уравнениями перехода от эйлеровых переменных к лагранжевым (в разностной схеме -уравнейиями перемещения узлов сетки). При использовании лагранжева подхода высокую эффективность решения уравнений, входящих в неявные схемы, имеют итерационные алгоритмы, построенные на основе метода Ньютона [2]. Соответствующие численные коды, созданные с учетом принципа полной консервативности и с контролем сходимости итераций по балансу различных видов энергии (полной, внутренней, магнитной) успешно применялись для решения огромного спектра задач физики плазмы, возникающих в исследованиях проблем УТС, энергетики, астрофизики.

В настоящей главе представлены дифференциальная и конечно-разностная математические модели, результаты анализа сходимости итерационных алгоритмов-решения систем разностных уравнений, а также примеры решения модельных задач . Основу модели составляют лагранжевы полностью консервативные схемы МГД. Рассматриваются нестационарные двумерные течения. Расчет по лагранжевой схеме образует первый этап алгоритма. Здесь применяется методика, созданная в развитие итерационного алгоритма [29,37], имеющего в своей основе модифицированный метод Ньютона. На втором этапе происходит коррекция лагранжевой сетки и пересчет сеточных функций на скорректированную сетку. Коррекция сетки преследует одну из двух целей - либо исправление чрезмерных деформаций ячеек подвижной сетки, либо возврат сетки в первоначальное состояние. Последнее фактически означает выполнение расчета на эйлеровой сетке по методу, напоминающему по идеологии "двухэтапности" метод крупных частиц (МКЧ) [57,58] с той разницей, что в настоящем алгоритме в отличие от МКЧ на первом этапе применяется подвижная "лагранжева" сетка. Также как и в методе МКЧ в соответствии с принципом расщепления или последовательного учета физических процессов [42] на первом этапе настоящего алгоритма не учитываются конвективные процессы, но за счет изменения формы и размеров "лагранжевых" ячеек учитывается влияние изменения плотности. Данное обстоятельство важно потому, что если на первом этапе алгоритма используется неявная схема, то для ее

реализации могут быть использованы эффективные итерационные алгоритмы, надежно работающие в широком диапазоне чисел Маха - как больших, когда необходимо учитывать влияние изменения плотности и температуры газа, так и малых, когда течение слабосжимаемое и малые изменения плотности приводят к значительным изменениям давления [29].

Алгоритмы, представленные в настоящей работе, построены по принципу локального расщепления физических процессов. Для одномерных задач МГД аналогичные алгоритмы рассмотрены в [2]. Уравнения разностной схемы разбиваются на группы, в каждой из которых организуется свой итерационный процесс. Локальные итерационные процессы связаны в общий итерационный цикл, сходимость которого контролируется по точности выполнения общего баланса энергии и точности распределения полной энергии по ее отдельным видам. Установлены критерии оптимального применения предлагаемых алгоритмов в зависимости от характерных параметров значений гидромагнитных процессов. В рамках одного программного комплекса при решении серии практических задач для экономии машинных ресурсов целесообразно воспользоваться набором алгоритмов, каждый из которых может оказаться оптимальным как для отдельно взятой задачи в целом, так и для определенного периода расчета одной задачи. В последнем случае решение осуществляется несколькими алгоритмами, сменяемыми автоматически в зависимости от физического состояния течения.

2. Исходная система уравнений и разностная схема.

Мы будем исходить из обычной записи системы уравнений магнитой гидродинамики в прямоугольной (декартовой) системе координат [5,21], используя

й „ д как лагранжевы —, так и эйлеровы — производные по времени, которые связаны

£¡1 д1

между собой следующим соотношением = ^ + {pS7f):

— + рсИуО = 0 , Л

р-- = -gradP + -[JxB] , ш с

и?. _ _ _

р— = -РсИуЦ + Е • у - б//у£>, Л

О—к ^ас1Т, дБ -

— --С'ГогЕ, (1.1)

Ы

сНУВ = 0,

- I

с

^ 1г.-,

V

р

Ё = -\утго&-[ихВ] ,

J = о

Ё + ЦрхВ\\ = —го1В. с ) 4п

Р = ЯрТ,г = суТ =

(у - 1)Р'

с2 Ср Л+с..

4ла

О = (и^),В=(Вх,Ву,В:) : ■■ •

Здесь 1 - время, О- скорость движения вещества, р - плотность, Я - газовая постоянная, у - показатель адиабаты, Р - газодинамическое давление, Т -

температура, г - удельная внутренняя энергия, отнесенные к единице массы, В -вектор магнитной индукции, Ё - вектор напряженности электрического поля, ]-плотность тока, \т-магнитная вязкость, с- скорость света в вакууме, а, к-коэффициенты электро- и теплопроводности.

3. Подвижная система координат.

При описании течения в подвижной системе координат необходимо установить связь между пространственными переменными (х,у) в плоскости течения ("физической") и в некоторой опорной ("математической") плоскости. В математической плоскости введем ортогональную координатную систему (а,р). При преобразовании переменных считаем, что справедливы традиционные предположения (см. напр. [47,48]): на плоскости Р веществом занята область в с кусочно-гладкой границей Г, и что существует в каждый момент времени взаимнооднозначное гладкое отображение единичного квадрата С в математической плоскости на область в с положительным якобианом перехода и :

1 d(r2 z)

x = x (a,ß,t), у = у (a,p,t), J = ' />0 .

Координатная система (a,ß) перемещается относительно лабораторной, определенной в плоскости течения. Если (u,0,v) - скорость материальной частицы в лабораторной системе координат, то со (о/, 0 , юг) = (u - dr/dt, 0 , v - dz/dt) | (aß)=const -ее скорость относительно подвижной системы.

Мы будем рассматривать течение идеально проводящей среды. В этом случае система дифференциальных уравнений МГД в переменных (t,a,ß) при дополнительном предположении ю =0 (подвижная система - лагранжева) принимает вид [48]:

du dt

о

да

Г

п2 \

Р +

В

\

ду

8nJ ар

+

aß

у

р +

В

V

8тг

У

да

, а ВхФру ö ВХФ -1----ь

х уа

да 4п aß 4ж

Р<

dw д в2фВу а в2Фуа

+

dt да 4л aß 4п

г К2 л

dv

д

Ро—= "

dp .. aß

V

8тг

дх

да

+

да

Р +

В^дх

8тг aß

у

Я 2? Ф„ я 5 Ф

I J' ßy . ^ у У«

ч----h

аа 471 aß 4тг

D(X>y) ( Г) \

рБм) = р»(а'р)

* аа * да уа

В — = ФВ

удр ßY

ду _ ax ^ az

--В —--

аа ^ аа J аа

Sß

az f

Bx

äß X V

as

т- - ~

dt

v

в Ъ-в

sß 'aß

в D(x>y) ф

у

а_ а/

ру

(1.2)

4. Сетки, дискретизация.

Сетка по времени образуется разбиением интервала времени t0 < t <tN> на котором решается задача, на отрезки длины тп (шаги по времени) точками t,, t2,..., tn,... , тп = tn+i - tn • Точки tn образуют множество узлов ют сетки по времени. Для построения сетки по пространству в области G' проводятся два семейства линий а, = const, fy = const, i = 1,...Nj, j = 1,...Nj, образующие в G криволинейную координатную сетку. Точки пересечения М(х( сх| , fy), у( а, , fy)) линий, принадлежащих разным семействам , образуют множество Q - узлов разностной сетки. Узлы или координаты узлов будем отмечать парой индексов (i,j). Для каждой пары индексов (i j) четырехугольники, образованные лежащими в G +Г узлами МДх( ctj, fy), у( с^ , р,)), М2(х( ai+1 , (3j), у( a ¡+1 > Pj))> M3(x( ai+1 , pj+1), y( aj+1 , Pj+i)), M4(x( a, , pj+1), У( <*i , M) " образуют множество со - ячеек разностной сетки. Ячейку будем отмечать целочисленными индексами (m,l), которые положим равными соответствующим индексам узла М., , т.е. m=i, l=j.

5. Разностная схема.

Введем пространства сеточных функций, определенных. в узлах и ячейках разностной сетки, обозначив их Нп и Нм соответственно/Для записи сеточных функций f е Нп будем использовать индексы (i, j>: = f (Ху.у^е со, (i, j) е со. Сеточные функции g е Ни будем отмечать индексами (m, I): gml = g еНи, (т, I) е со. Сеточные функции будем относить к узлам tn сетки сот.

Сеточные функции х, у, и и v определены в узлах разностной сетки, а р, Р, Т, В и S - в ячейках. При записи (1.2) использованы безиндексныё представления сеточных функций [1].Система уравнений (1.2) аппроксимируется неявной полностью консервативной разностной схемой. В форме, предложенной в [48], эта схема имеет вид:

A mut = J]

neSH,

fas Vв в 4

8тг

A mvt = J]

neSH

2 V

дх

ая.

Эк

V

М/

571

Е

neSH2

Z

neSH 2

ДГ Ф" _

4п

ф•

4я

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Новикова, Татьяна Петровна

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [24], [41], [95], [118-126].

Автор выражает глубокую благодарность научным руководителям доктору физ.-мат. наук С.Ю.Гуськову и кандидату физ.мат. наук С.В.Захарову за помощь в формулировке рассматриваемых в диссертации задач и постоянное внимание к работе.

В процессе работы над диссертацией автор систематически консультировался с проф. В.А.Гасиловым, к.ф.-м.н. А.Ю.Круковским и к.ф.-м.н. А.Б.Карагичевым, которым также выражает благодарность.

Автор искренне признателен Е.Л.Карташевой и Д.А.Тарасову за помощь в подготовке рукописи. '1 500 400

• %!: 300

- 1 - 200 ! 100 д^ж—

200

400

6«!

800 а)

1000 М'» б) ооо шп

В) о 200 400 600 яоо 1000 цт

Рис. 3.1. Изотермы электронной температуры в плоскости (г-г) в моменты времени = 0.031 не, \2 = 0.219 не и 13= 0.4 не. Пинии 1,2,3 и 4 соответствуют значениям температуры 0.753, 0.586, 0.418 и 0.084 кеУ(а); 3.023, 2.351, 1.679 и 0.335 кеУ (б); 3.793, 2.951, 2.107 и 0.421 кеУ (в);

ЦЛ1 кои I ООО (ЛЧ б)

200 4ГН»

600

ХМ) 1О00 ЦЛ)

--Гбоо

00

ЦЛ1

500 400 300 200 100

1000

В)

Рис.3.2. Изотермы ионной температуры на моменты времени ^ = 0.031 не, \.г - 0.219 не и 1з= 0.4 не. Линии 1,2 и 3 соответствуют значениям температуры 0.028, 0.015 и 0.006 кеУ (а); 3.045 , 0.870 и 0.435 кеУ (б); 4.589, 1.311 и 0.656 кеУ(в). жШгШШшгиггпгпггп г м I ; т I I—;—г

11Л I

5 СЮ 400 зоо а)

1ПП 100 ■ 1-|

200 боо коо

I ООО ЦЛ1

У] I I 1 '1 » \ I V—1—^ т—*-Г"

400

11п

500 400 зоо

2 СЮ 100

ХЮ )ип б)

В)

600 юоо цм

Рис.3.3. Поле скоростей в плоскости (г-г) на моменты времени 11 = 0.031 не, \2 = 0.219 не и 1з= 0.4 не.

DENSITY! IN J

00 0.03 ioue

06 а гил

Се)

СП <=$00 rw

VELOCITY, сл/мс оо-tot^S&T * г, см а)

Г)

Рис.3,4 Распределение логарифма плотности в г/см3(а), давления в Мбар (б), температуры в ке\/ (в), скорости в см/мкс (г) на время 1=0.16 пэ, Во = 0, глеа = 0 04 см

TEMPER.

07 03 ОТ 06

В) б)

Яэ

1Л

VELOCITY .00 о', оз j о;об

Г)

Рис.3.5 Распределение логарифма плотности в г/см3(а), давления в Мбар (б), температуры в ке\/ (в), скорости в см/мкс (г) на время 1=0.5пз, В0 = 0, глев - 0.01 см са I—

К 00 I о

8Фа г

00

0.03

0.06

•г

ОГбЗ0706 (в)

О, 03

0:об д) г)

Рис.3.6 Распределение логарифма плотности в г/см3 (а), давления в Мбар (б) .температуры в ке\/ (в), скорости в см/мкс (г), магнитной индукции В в Мгс (д) на время 1=0.25 пэ, Во =' 1, Глев = 0.04 см са р 4

06 ягоо <Ш а; об в) I 00 о'1

06 г) М

Рис.3.7 Распределение логарифма плотности в г/см" (а), давления в Мбар (б) .температуры в кеУ (в), скорости в см/мкс (г), магнитной индукции В в Мгс (д) на время 1=0.5 пз, Во = 1, глев - 0.03 см

Рис.3.8 Распределение логарифма плотности в г/см^а), температуры в ке\/ (б), на время 1=0 пэ, То = Ю"4 крУ, Гд| лев = 0.05 СМ

Рис.3.9 Распределение логарифма плотности в г/см3 (а), давления в Мбар (б), температуры вкеУ(в)

3 3 скорости в см/мкс (г) на время 1=2.5 пз, рсо = Ю" г/см , ГА1 лее = 0.04 СМ

О») (О

Рис.3.10 Распределение логарифма плотности в r/cMJ(a), давления в Мбар (б), температуры в KeV (в) скорости в см/мкс (г) на время t=4.7 ns, peo = Ю'3 г/см3, Гд| лев = 0.04 СМ

SJ fl

Я) ír)

Рис.3.11 Распределение логарифма плотности в r/cMJ(a), давления в Мбар (б), температуры в кеУ (в) скорости в см/мкс (г) на время t=8.7 ns, peo = Ю"3 г/см3, ГА1 лев = 0.02 СМ

Заключение.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Новикова, Татьяна Петровна, 0 год

ЛИТЕРАТУРА

1. А.А. Самарский. Теория разностных схем. М., Наука, 1989.

2. А.А. Самарский, Ю.П. Попов. Разностные методы решения задач газовой динамики. М., Наука, 1992.

3. Кода D.J., Korsmeyer D.J., and Schreiner J.A. DARWIN Information System of NASA - An Introduction. Proc. 19th AIAA Advanced Mesurement and Ground Testing Technology Conference, June 19020, New-Orlean, USA. AIAA-96-2249-1996. 29 p.

4. Steve Bruson, Michael Gerald-Yamasaki. RNR Technical report RNR-92-010. USA, 1992. 67 p.

5. В.Б.Баранов, К.В.Краснобаев. Гидродинамическая теория космической плазмы. М., Наука, 1977.

6. Linhart J.G. theory of fusion reactors in an inconfined plasma. - Nuovo Cimento, 1960, vol.17, N.6, pp.850-863.

7. Turchi P.J., Baker W.L. Generation of high-energy plasmas by electromagnetic implosion. - Journ. Appl. Phys., 1973, vol.44, N11, pp.4936-4945.

8. R.B.Spielman et al. PBFA Z: a 20 MA Z-pinch driver for plasma radiation sources. In: Proc. BEAMS'96. Prague, Czech Republic, 1996, vol. 0-4-3, p. 150.

9. T.W.L. Sanford et al. X-ray power increase from symmetrized wire-array Z-pinch implosions. In: Proc. BEAMS'96. Prague, Czech Republic, 1996, vol. 0-4-2, p. 146.

10. Айвазов И.К., Вихарев В.Д., Волков Г.С., Захаров С.В., Смирнов В.П. и др. Физика плазмы. 1988, 14, 197.

11. Zakharov S.V., Smirnov V.P., Grabovskii E.V., Nedoseev S.L., Oleinik G.M., Zaitsev V.I. Imploding Liner as a Driver for Indirect Driven Target Physics Studies. Proc. of the I.A.E.A. Technical Commitee Meeting on Drivers for Inertial Confinement Fusion. Paris, 1994. (International Atomic Energy Agency, Vienna, 1995), 395.

12. Грабовский В.E., Воробьев О.Ю. , Дябилин К.С. , Захаров С.В. и др. Теоретическое и экспериментальное исследование плазмы Z-пинча как источника мощного импульса мягкого рентгеновского излучения для генерации ударных волн в конденсированных средах . ЖЭТФ. 1996, 109, 1.

13. Spielman R.B. et al. Phys. Plasmas, 5, 2105 (1998).

14. Matzen M.K. Phys. Plasmas, 4,1519 (1997).

15. С.Ю.Гуськов, В.Б.Розанов, Н.В.Змитренко. ЖЭТФ, т. 108, вып.2(8), 548 (1995).

16. J.Nuckols. Physics Today, vol. 9, 25 (1982).

118

17. А.В. Бессараб, В.А.Гайдаш, Г.В. Долголёва и др. ЖЭТФ, т. 102, вып. 6(12),1800(1992).

18. N.G.Basov, S.Yu.Gus'kov, L.P.Feoktistov. J. Soviet Laser Research, vol. 13, N 5, 396 (1992).

19. M.D.Perry and G.Mourou, Science, 1994, vol.264, p.917.

20. A.Jolas. Book of Abstracts, 25-th CLIM Conf. (4-8 May, 1998, Formia, Italy), Fr/02/0/0.

21. Куликовский A.Г., Любимов Г.А. Магнитная гидродинамика. M.: Физматгиз,

1962.

22. Р.П.Федоренко Введение в вычислительную физику. М., Изд-во Моск. физ.-техн. ин-та, 1994.

23. Дюдерштадт Дж., Мозес Г. Инерциальный термоядерный синтез: пер с англ./М.: Энергоатомиздат, 1984.

24. В.А.Гасилов, А.Ю.Круковский, Т.П. Новикова, А.А.Оточин. Оценки сходимости некоторых итерационных алгоритмов численного решения задач двумерной магнитной гидродинамики. Препринт № 6, ИММ РАН, 1995, 20 с.

25. Роберте К., Поттер Д. Магнитогидродинамические методы. - В сб.: Вычислительные методы в физике плазмы. Под ред. Б.Олдера, С.Фернбаха, М.Ротенберга. - М., Мир, 1974.

26. Брекбилл Дж. Численная магнитная гидродинамика для плазмы с большим "бета". В сб. : Вычислительные методы в физике плазмы. Управляемый термоядерный синтез. Под ред. Б.Олдера, С.Фернбаха, М.Ротенберга. - M., - М., Мир, 1980.

27. Lindemuth I., Killeen. J. Alternation -Direction Implicit Techniques for Two-Dimensional Magnetohydrodynamics Calculations. - J.Comp.Phys., 1973, v.13, p.181-208.

28. Бахрах С.M., Губков E.B., Применение метода расщепления к расчету двумерных магнитогидродинамических течений. - Магнитная гидродинамика, 1975, N2, с. 9-15.

29. Гасилов В.А., Коршия Т.К., Любимов Б.Я., Тишкин В.Ф., Фаворский А.П. О применении метода параллельных хорд для решения неявных разностных уравнений магнитной гидродинамики. -ЖВМ и МФ, 1983, т.23, N4, с. 1180-1191.

30. Hu Y. Q., Wu S.T. A full-implicit continuous Eulerian (FICE) scheme for multidimensional transient magnetohydreodynamics (MHD) flows. - J.Comp.Phys., 1984, v.55, p.33-64.

31. Audemir A.J., Barnes D.C. An implicit algorithm for compressible three-dimensional magnetohydrodynamics calculation.

- J.Comp.Phys., 1985, v.59, p.108-119.

32. Garsia L., Hicks H.R., Carreras B.A. Charlton L.A., Holmes J.A. 3D nonlinear MHD-calculations using implicit and explicit time-integration schemes. -J.Comp.Phys., 1986, v.65, p.253-272.

33. Колдоба A.B., Кузнецов O.A., Повещенко Ю.А., Попов Ю.П. К расчету самогравитирующих и магнитогидродинамических процессов в смешанных эйлерово-лагранжевых переменных. Препринт N 29. М., ИПМ им. М.В.Келдыша РАН, 1986.

34. Арделян Н.В., Космачевский К.В., Черниговский С.В. Вопросы построения и исследования полностью консервативных разностных схем магнитной газовой динамики. М., Изд-во МГУ, 1987.

35. Ни Y. Q. A multistep implicit scheme for time-dependent two-dimensional magnetohydrodynamic calculations.

-J.Comp.Phys., 1989, v.84, p.441-460.

36. Harned D.S., Mikic Z. Accurate Semi-implicit Treatment of the Hall Effect in Magnetohydrodynamic calculation.

- J.Comp.Phys., 1989, v.83, N 1, p.1-15.

37. Гасилов B.A. Об одном подходе к решению систем неявных разностных уравнений магнитной гидродинамики. - Дифференц. уравнения, 1989, т.25, N 7, С.1193- 1200.

38. Радиационная плазмодинамика/Материалы 1-го Всесоюзного симпозиума по радиационной плазмодинамике. Том 1. М., Энергоатомиздат, 1991.

39. F. Kazeminezhad, J.N. Leboeuf, F. Brunei and J.M. Dawson. A discrete model for MHD incorporating the Hall term. - Journ. Сотр. Phys., 1993, v. 104, pp. 398-417.

40. Головизнин B.M., Сабитова А., Самарская E.A. О классе локально-баротропных разностных схем МГД в смешанных эйлерово-лагранжевых переменных. - Дифференц. уравнения, 1985, т.21, N 7, с. 1144-1155.

41. А.Ю. Круковский, А.А. Оточин, Т.П. Новикова. Оценки сходимости некоторых алгоритмов решения систем полностью консервативных разностных

уравнений одномерной магнитной гидродинамики. Препринт № 39. ВЦММ АН СССР, 1992, 15 с.

42. Марчук Г.И. Методы расщепления. М., Наука, 1988.

43. Яненко Н.Н., Фролов В.Д., Неуважаев В.В. О применении метода расщеплен численного расчета движений теплопроводного газа в криволинейных координатах. - И АН СССР, 1967, N8, вып.2, с. 74-82.

44. Ковеня В.М., Яненко Н.Н. Метод расщепления в задачах газовой динамики. - Новосибирск, Наука, 1981.

45. Beam R., Warming R.F. An implicit Finite-Difference Algorithm for Hyperbolic Systems in Comservation-Law Form. -Journ. Comput. Phys., 1976, vol.22, p.87-110.

46. Головизнин B.M., Самарская E.A. Локально-баротропные разностные схемы газовой динамики. - Дифференц. уравнения, 1981, т. 17, N 7, с. 1228-1239.

47. Головизнин В.М., Самарский А.А., Фаворский А.П. Вариационный подход к построению конечно-разностных моделей гидродинамики. - ДАН СССР, 1977, т. 235, N6, с. 1285-1288.

48. Головизнин В.М., Коршия Т.К., Самарский А.А., Фаворский А.П. Двумерные вариационно-разностные схемы магнитной гидродинамики стремя компонентами скорости и магнитного поля. Препринт ИПМ АН СССР № 41, 1978.

49. Гасилов В.А., Тишкин В.Ф., Фаворский А.П., Шашков М.Ю. Использование метода параллельных хорд для решения разностных уравнений гидродинамики. -Журнал вычисл. матем. и матем.физ., 1981, т.21, N3, с. 911-925.

50. Арделян Н.В. Об использовании итерационных методов при реализации неявных разностных схем двумерной магнитной гидродинамики. - Журнал вычисл. матем. и матем.физ., 1983, т.23, N6, с. 1417-1426.

51. William. D. Schulz. Two-dimensional lagrangian hydrodynamic difference equations. In: Methods in computational physics. Vol.3. Fundamental methods in hydrodynamics. New York, Academic press, 1964, pp. 1-47.

52. R.M.Frank and R.B.Lazarus. Mixed eulerian-lagrangian method.

In: Methods in computational physics. Vol.3. Fundamental methods in hydrodynamics. New York, Academic press, 1964, pp. 47-68.

53. W.F.Noh. CEL: A time-dependent, two-space-dimensional, coupled eulerian-lagrange code. In: Methods in computational physics. Vol.3. Fundamental methods in hydrodynamics. New York, Academic press, 1964, pp. 117-180.

54. Hirt C.W., Amsden A.A., Cook J.L. An Arbitrary Lagrangian-Eulerian Computing Method for All Flow Speed. - Journ. Comput. Phys., 1974, vol.14, pp.227-253],

55. Majukin V.I., Samarskii A.A. Mathematical modelling in the technology of laser treatment of materials. - Surveus on mathematics for industry. 1994, vol.4, N.1, pp.85-149.

56. Роуч. П. Вычислительная гидродинамика М., Мир, 1980

57. Белоцерковский О.М. Численное моделирование в механике сплошных сред. М., Наука, 1984.

58. Белоцерковский О.М., Давыдов Ю.М. Метод крупных частиц в газовой динамике. М., Наука, 1982.

59. Федоренко Р.П. Применение разностных схем высокого порядка точности для гиперболических уравнений. -ЖВМиМФ, 1962, т.2, .N6, с.938-944.

60. Гольдин В.Я., Калиткин Н.Н., Шишова Т.В. Нелинейные разностные схемы для гиперболических уравнений. - ЖВМиМФ, 1965, т.5, .N5, с.938-944.

61. Boris J.P., Book D.L. Flux-corrected transport I: SHASTA - a fluid transport algorithm that works. - Journ.Comput. Phys., 1973, vol.11, pp. 702-721.

62. Zalesak S.T. Fully multidimensional flux-corrected transport algorithm for fluids. Journ.Comput. Phys., 1979, vol.31, pp.335-362.

63. Магомедов K.M., Холодов A.C. Сеточно-характеристические численные методы. М., Наука, 1988.

64. McCormack R.W. The effect of viscosity in hypervelocity impact cratering. AIAA Pap., 1969, N 354.

65. Warming R., Kutler P., Lomax H. Secong and third order noncentered schemes for nonlinear hyperbolic eqoations. AIAA J., 1973, vol.11, N2, pp. 189-196.

66. Мухин С.И., Попов С.Б., Попов Ю.П. О разностных схемах с искусственной дисперсией. Журн. вычисл. матем. и матем. физ., 1983, Т.23, N 6, с.1355-1369.

67. Harten A. High resolution schemes for hyperbolic conservation laws. Journ.Comput. Phys., 1979, vol.31, pp.335-362.

68. Chakravarthy S.R., Osher S. A new class of high accuracy TVD schemes for hyperbolic conservation laws. AIAA Pap., 1985, N 0363.

69. Harten A. , Engquist В., Osher S., Chakravarthy S.R. Uniformly high order accurate essentially non-oscillatory schemes. Journ. Appl. Numer. math., 1986, vol.2, pp.347-367.

70. Вязников К.В., Тишкин В.Ф., Фаворский А.П. Построение монотонных разностных схем для систем уравнений гиперболического типа. Математическое моделирование , 1989, т. 1, N 5, с. 15-27.

71. Shu С. TVD uniformly high order schemes for conservation laws. Math. Сотр., 1987, vol.49, N 179, pp.105-121.

72. Shu C.W., Osher S. Efficient implementation of essentially non-oscillatory Shock-Capturing Schemes.- Journ.Comput. Phys., 1988, vol. 77, N 2, pp.439-471.

73. Van-Leer B. Towards the ultimate conservative difference schemes. A second order sequel to Godunov's method. Journ.Comput. Phys., 1979, vol. 32, N 1, pp. 101-136.

74. Roe P.L. Approximate Riemann solwers, parameter vectors and difference schemes. Journ.Comput. Phys., 1981, vol.43, N 2, pp.357-372.

75. Woodward P., Colella P. The numerical simulation of two-dimensional flow with strong shocks. Journ.Comput. Phys., 1984, vol.54, N 2, pp. 115-173.

76. Brio M. and Wu C.C. Journ. Comput.Phys., 1988, v.75, p. 500.

77. Zachary A.L. and Colella P. Journ. Comput.Phys., 1992, v.99, p. 341.

78. Ryu D., Jones T.W. Numerical magnetohydrodynamics in astrophysics: algorithm and tests for one-dimensional flow. The Astrophysical Journal, 1995, March 20, N442, pp. 228-258.

79. Гасилов B.A., Болдарев A.C., Ольховская О.Г., Панин В.М. Применение разностной схемы с ограничителями антидиффузии к уравнениям газовой динамики и магнитной газовой динамики. Препринт N 8. М., Изд-во ИПМ им. М.В.Келдыша РАН, 1993.

80. Головизнин В.М., Рязанов М.А., Сороковикова О.С., Чернов С.Ю. Разностные схемы газовой динамики со сбалансированными конвективными потоками. - В.кн.: Вычислительные методы в математической физике. Под ред. А.А.Самарского. М.: МГУ им. М.В.Ломоносова, 1986, с. 5-41.

81. Годунов С.К., Забродин А.В., Иванов М.Я., Крайко А.Н., Прокопов Г.П. Численное решение многомерных задач газовой динамики. М., Наука, 1976.

82. Годунов С.К., Прокопов Г.П. Об использовании подвижных сеток в газодинамических расчетах. Журн. вычисл. матем. и матем. физ., 1972, Т. 12, N 2, с.429-440.

83. Головизнин В.М., Коршия Т.К., Самарский А.А., Тишкин В.Ф., Фаворский А.П. Вариационные схемы магнитной гидродинамики в произвольной системе координат. Журн. вычисл. матем. и матем. физ., 1981, Т.21, N 1, с.54-68.

123

84. Головизнин В.М., Самарский A.A., Фаворский А.П. Вариационный принцип получения уравнений магнитной гидродинамики в смешанных эйлерово-лагранжевых переменных. Журн. вычисл. матем. и матем. физ., 1981, Т.21, N 2, с.409-422.

85. Гасилов В.А., Головизнин В.М. Сороковикова О.С. Вариационный подход к построению дискретных математических моделей газовой динамики в смешанных эйлерово-лагранжевых переменных. Препринт N 35. М., ИПМатем АН СССР, 1983.

86. Головизнин В.М., Рязанов М.А., Сороковикова О.С. Об одном классе полностью консервативных разностных схем МГД в смешанных эйлерово-лагранжевых переменных. Журн. вычисл. матем. и матем. физ., 1984, Т.24, N 4, с.520-533.

87. Данаев Н.Т., Лисейкин В.Д., Яненко H.H. О методе подвижных координат в газовой динамике. Проблемы математической физики и вычислительной математики. М.: Наука, 1977, с. 107-115.

88. Гриднева В.А., Меркулова H.H. О построении подвижных разностных сеток. Числ. мет. мех. сплош. сред. Новосибирск: ИТПМ СО АН СССР, 1983, Т. 14, N 14, с.34-44

89. Воронин Б.Л., Скрыпник С.И., Софронов И.Д. Эйлерово-лагранжева методика численного решения трехмерных нестационарных задач газовой динамики с учетом теплопроводности. Вопросы атомной науки и техники. Сер.: Методики и программы численного решения задач математической физики., 1988, вып.З, с. 3-8.

90. Гильманов А.Н. Сахабутдинов Ж.М. Произвольный лагранжево-эйлеров метод в нелинейных задачах аэрогидроупругости. Числ. мет. мех. сплош. сред. Новосибирск: ИТПМ СО АН СССР, 1981, Т.12, N 6.

91. Pracht W.E. Calculating three-dimensional fluid flows at all speeds with an eulerian-lagrangian computing mesh. - Journ.Comput. Phys., 1975, vol.17, N 2, pp.132159.

92. Pracht W.E., Brackbill J.U. An implicit, almost-lagrangian algorithm for magnetohydrodynamics. - Journ.Comput. Phys., 1973, vol.13, N 4, pp. 455-482.

93. В.А.Гасилов, А.Ю.Круковский, Ап.А.Оточин, Ан.А. Оточин. Полностью консервативная разностная схема в смешанных эйлерово-лагранжевых переменных для расчета аксиально-симметричных МГД-течений. Препринт № 5, им. М.В.Келдыша АН СССР, 1991, 27 с.

94. Рязанов М.А., Крылов С.Ф., Тишкин В.Ф., Вязников К.В. Разностные схемы для двумерных задач магнитной гидродинамики с полоидальным полем. Математическое моделирование, 1992, т.4, N10, с. 47-61.

95. Гасилов В.А., Гуськов С.Ю., Круковский А. Ю., Новикова Т.П. Двухэтапная разностная схема для численного решения задач магнитной газовой динамики. Препринт N51. М., Физич. Инст. им. П.Н.Лебедева РАН, 1998. 27 с.

96. Мажукин В.И., Самарский А.А., Кастельянос О., Шапранов А.В. Метод динамической адаптации для нестационарных задач с большими градиентами. Математическое моделирование, 1993, т.5, N 4, с.32-56.

97. Oleg V. Diyankov, Igor V. Glazyrin, Serge V. Koshelev. MAG - two-dimensional resistive MHD code using an arbitrary moving coordinate system. Computer Physics Communications, 1997, 106 , pp.76-94.

98. Zoubov A.D., Adamkevich G.A., Glazyrin I.W., Kondret'ev A.A. Two-Dimensional Numerical Simulation of an Imploding Double Gas-Puff Plasma. 3-rd Int.Conf. on Dence Z-Pinches, London, UK, 1993, pp. 190-191.

99. XXVI Звенигородская конференция по физике плазмы и УТС. Тезисы докладов. М., Изд-е Науч. Сов. РАН по проблеме "Физика плазмы" и ИОФ РАН, 1999.

100. А.А. Самарский, А.В.Гулин. Численные методы. М., Наука, 1989.

101. V.A.Gasilov, S.V.Zakharov, A.Yu.Krukovskii, A.G.Lisitsyn, A.F.Nikiforov, V.G.Novikov, A.A.Otochin, V.Roerikh, A.D.Solomyannaya, A.N.Starostin, A.F.Stepanov. Zeta-code for 2-D complete simulation of radiative Z-pinch and liner implosion. Fourth Int. Conf. on Dense Z-pinches. Vancouver, Canada, 1997, section B1P11.

102. R.Benattar, P.Ney, A.Nikitin, S.V.Zakharov, A.A.Otochin, A.N.Starostin, AE.Stepanov , A.F.Nikiforov, V.G.Novikov, A.D.Solomyannaya, V.A.Gasilov and A.Yu.Krukovskii. Implosion Dynamics of a Radiative Z-Pinch. IEEE Transactions on Plasma Science, August 1998, vol. 26, N 4 (special issue on Z-pinch plasmas), pp. 12101223.

103.V.V.Dragalov, A.F.Nikiforov, V.G.Novikov, V.B.Uvarov. Sov.Journ. Plasma Physics, 1990, vol. 16, p.44.

104. D.E.Post. PPPL, 1352, July, 1977.

105. С.И.Брагинский. Явления переноса в плазме. - В книге: Вопросы теории плазмы. Вып.1, М., Атомиздат, с. 183-272, 1963.

106. Захаров С.В., Смирнов В.П., Гасилов В.А. и др. Соударение токонесущих цилиндрических лайнеров. Препринт ИАЭ-4587/6,1988.

125

107. Бушман А.В., Ломоносов И.В., Фортов В.Е. Модели широкодиапазонных уравнений состояния вещества при высоких плотностях энергий. Препринт ИВТ АН СССР, N6-287, М.,1990.

108. Springer Р.Т., Wong K.L., Iglesias С.А., Hammer J.H., Porter J.L., Toor A., Goldstain W.H., Wilson B.G., Rogers F.J., Deeney C., Dearborn D.S., Bruns C., Emig J., Stewart R.E. J. Quant. Spectrosc. Radiat. Transfer, 58, 927 (1997)).

109. Вихарев В.Д., Захаров С.В., Смирнов В.П. и др. Генерация мощных потоков мягкого рент геновского излучения на установке Ангара-5-1. ЖЭТФ, 1991, 99,1133

110. Григорьев С.Ф., Захаров С.В. Письма в ЖТФ, 1987, т.136 с.616.

111. Benattar R., Zakharov S.V., Nikiforov A.F., NovikovV.G., GasilovV.A., Krukovskii A.Yu., Zakharov V.S. Influence of magnetohydrodynamic Rayleigh-Taylor instability on radiation of imploded heavy ion plasmas. Physics of Plasmas. 6, 175 (1999).

112. А.В.Браницкий, В.Д.Вихарев, С.В. Захаров и др. Изучение начальной стадии сжатия лайнера на установке Ангара-5-1. Физика плазмы, т.17, вып.5, с.531-541 (1991).

113. Гасилов В.А., Захаров С.В., Панин В.М. Влияние азимутальных неустойчивостей на динамику ускорения излучающих лайнеров. Препринт ИАЭ-5464/6, Москва, 1992.

114. Б.Б. Кадомцев. Вопросы теории плазмы. Сб. статей под ред. М.А. Леонтовича. Москва,. Атомиздат. 1962, вып. 2,103.

115. G. Cooperstein, P.F. Ottinger. Guest Editorial. IEEE Trans. Plasma Sci. 629

(1987)

116. J.D. Huba, J.M. Grossman, P.F. Ottinger. Phys. Plasmas. 1, 3444 (1994).

117. R.J. Commisso, P.J.Goodrich , J.M. Grossman, D.D. Hinshelwood, P.F. Ottinger, B.V. Weber. Phys. Fluids. B4, 2368 (1992).

118. Гасилов B.A., Гуськов С.Ю., Круковский А.Ю., Новикова Т.П., Розанов В.Б. Численное моделирование плазменных течений во внутренних полостях лазерных термоядерных мишеней прямого и непрямого сжатия XXVI Звенигородская конференция по физике плазмы и УТС. Тезисы докладов. М., Изд-е Науч. Сов. РАН по проблеме "Физика плазмы" и ИОФ РАН, 1999, с. 160.

119. Гасилов В.А., Захаров С.В., Круковский А.Ю., Новикова Т.П. Оценки сходимости метода комбинированных итераций в

расчетах двумерных МГД-течений на основе лагранжевых разностных схем. Препринт N 29. М.: Физический ин-т им. П.Н.Лебедева РАН, 1999.

120. В.А.Гасилов, С.Ю.Гуськов, С.В.Захаров, А.Ю.Круковский, Т.П.Новикова, В.Б.Розанов. Численное моделирование процессов нелинейной теплопроводности и радиационной газовой динамики при имплозии вещества во внутренних полостях мишеней ЛТС. Препринт N 30. М.: Физический ин-т им. П.Н.Лебедева РАН, 1999.

121. Гасилов В.А., Захаров C.B., Круковский А.Ю., Новикова Т.П., Оточин Ал.А., Оточин Ан.А., Скороваров К.В. Комплекс программ для расчета одномерных плоских и цилиндрических МГД-течений. Препринт № 163. М., ИПМ им. М.В.Келдыша АН СССР, 1990.

122. Гасилов В.А., Круковский А.Ю., Новикова Т.П., Оточин A.A. Численные методы решения одномерных уравнений магнитной гидродинамики в комплексе программ РАЗРЯД. Препринт № 38. М., ВЦММ РАН, 1992.

123. Гасилов В.А., Круковский А.Ю., Новикова Т.П., Оточин A.A. Оценки сходимости итерационного алгоритма с локальным расщеплением по физическим процессам для двумерных лагранжевых схем МГД. Препринт № 40. М., ВЦММ РАН, 1992.

124. Гасилов В.А., Круковский А.Ю., Новикова Т.П., Оточин A.A. Об алгоритмах решения двумерных уравнений магнитной гидродинамики в комплексе программ РАЗРЯД. Препринт № 36. M., ИММ РАН, 1993.

125. Гасилов В.А., Гуськов С.Ю., Захаров C.B., Круковский А.Ю., Новикова Т.П., Оточин A.A., Розанов В.Б. Математическое моделирование динамики замагниченной плазмы при внутренней абляции в цилиндрической полости. Препринт № 11. М„ ИММ РАН, 1995.

126. Круковский А.Ю., Новикова Т.П., Скороваров К.В. Численный анализ различных алгоритмов для расчета поля излучения в задачах радиационной газодинамики. Препринт № 22. М., ИММ РАН, 1995.

127. Б.Н. Четверушкин. Математическое моделирование задач динамики излучающего газа, М., Наука, 1985.

128. Pisarczyk T., Farynski A., Fiedorowicz H., Godolewski P., Kuznierz M., Makowsky J., Miklaszewski R., Mroszkowski M., Parys P., Szczurek M. Formation of an elongated plasma column by a magnetic confinement of a laser-produced plasma. In: Proceedings of 21-st ECLIM Conference, Warsaw, October, 21-25, 1991. I Editors Fiedorowicz H., Wolowski J., Mroszkowski M., Szczurek M., Uliniwicz A. P.301

127