Моделирование динамики частиц в дарвинской плазме тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Коломиец, Дмитрий Олегович

• Коломиец, Дмитрий Олегович
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Коломиец, Дмитрий Олегович

Введение

Глава I. Метод макрочастиц в модели Власова—Дарвина

1.1 Концепция метода макрочастиц.

1.2 Дискретная аппроксимация динамических уравнений частиц.

1.3 Дарвинское приближение уравнений поля.

Глава II. Численное решение уравнений движения частиц

2.1 Общий вид разностных схем.

2.2 Порядок аппроксимации.

2.3 Устойчивость.

2.4 Процедура решения.

2.5 Физическая адекватность схемы.

2.5.1 Обратимость во времени.

2.5.2 Равноускоренное движение в постоянном электрическом поле

2.5.3 Циклотронное вращение в постоянном магнитном поле

2.5.4 Электрический дрейф в скрещенных полях.

2.5.5 Поляризационный дрейф.

2.6 Численная реализация

2.6.1 Вычислительная погрешность.

2.6.2 Оптимизация итерационного процесса.

2.6.3 Методическое обоснование.

Глава III. Параллельная реализация модели частиц

3.1 Метод декомпозиции области.

3.2 Метод разделения частиц.

3.3 Параллельный подход в дарвинском алгоритме.

3.4 Масштабируемость кода

3.5 Программная реализация.

3.5.1 Технические характеристики кода DarWin.

3.5.2 Входные параметры задачи.

3.5.3 Выходные данные эксперимента.

Глава IV. Численное исследование вайбелевской неустойчивости

4.1 Механизм вайбелевской неустойчивости (ВН).

4.2 Линейная теория неустойчивости.

4.3 Моделирование в 1.5-мерной фазовой геометрии

4.3.1 Постановка численного эксперимента.

4.3.2 Анализ физических результатов.

4.3.3 Особенности траекторий частиц.

4.4 Моделирование ВН в 2.5-мерной фазовой геометрии.

4.4.1 Постановка численного эксперимента.

4.4.2 Обсуждение результатов.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Моделирование динамики частиц в дарвинской плазме»

В настоящее время наиболее мощным инструментом численного анализа плазменных систем является кинетическое моделирование методом макрочастиц [1, 2]. Однако, наиболее полно описывая поведение плазмы, метод макрочастиц предъявляет существенные требования к ресурсам вычислительной системы — памяти и производительности. Более того, эту ситуацию не меняет даже тот колоссальный рост вычислительной мощности, который имел место в последние десятилетия, так как с ростом производительности компьютеров одновременно увеличивается и сложность решаемых задач (постоянно повышающиеся требования к реалистичности моделирования и учету тонких физических эффектов приводят к увеличению размерности физических постановок, расширению как временных рамок изучаемых процессов, так и пространственных областей моделирования). Таким образом, всякий раз требования к решаемой задаче подвигают её численную постановку на грань возможностей существующих вычислительных машин. В этой связи разработка эффективных вычислительных моделей, в том числе и на базе метода макрочастиц, остается по-прежнему весьма актуальной.

Процесс моделирования по методу макрочастиц можно разделить на две основные части: интегрирование уравнений движения макрочастиц (нахождение траекторий частиц) и вычисление самосогласованных коллективных полей, связанных с частицами через моменты функции распределения (плотность заряда и плотность тока). Хотя основные вычислительные затраты относятся непосредственно к продвижению зарядов, а вычисление полей занимает существенно меньше времени, вопрос численной эффективности метода макрочастиц как такового необходимо рассматривать в целом, так как принципиальная самосогласованность полей и движения частиц приводит к тому, что вычисления приходится проводить с одновременным учетом ограничений (в основном связанных с параметрами дискретизации уравнений) как полевых, так и динамических схем, естественно, удовлетворяя наиболее жесткому из них. Так, например, наиболее часто используемая в методе макрочастиц модель Власова—Максвелла с явной схемой интегрирования динамических и полевых уравнений накладывает два ограничения на шаг по времени, определяемые условием устойчивости: г < 2/(кс) для полевой схемы, где к — наибольшее волновое число свободного электромагнитного излучения в рассматриваемой системе, с — скорость света, и т < 2/о;ре, где и)рс — электронная плазменная частота, для схемы интегрирования динамических уравнений. Фактически, эти условия определяют максимальный шаг по времени в долях периода наиболее коротковолновой моды излучения (первое условие) и долях периода ларморовских колебаний (второе условие). Поскольку период колебаний свободных электромагнитных волн много меньше периода плазменных колебаний, мы приходим к необходимости использования чрезмерно мелкого шага по времени при интегрировании динамических уравнений, что приводит к существенному увеличению времени счета, не говоря уже о классе низкочастотных явлений, где сам по себе формальный учет излучения приводит к излишнему дроблению временной шкалы.

Таким образом, во многих практически важных задачах физики плазмы, где излучением можно было бы пренебречь, использование полного максвелловского формализма является крайне неэффективным с точки зрения вычислительных затрат. Путь решения данной проблемы лежит в использовании некоторых приближений уравнений Максвелла, пренебрегающих излучением, таких как электростатическое, магнитостатическое и магнитоиндукционное (дарвинское). Наиболее простым и эффективным (с вычислительной точки зрения) из приближений является электростатическое. Однако оно исключает из рассмотрения не только излучение, но и вообще все индукционные эффекты, что сильно ограничивает круг решаемых с его помощью задач. Магнитостатическое приближение используется намного реже, и оно также пренебрегает индукционными эффектами. Наиболее интересной и перспективной моделью является модель Власова—Дарвина, исключающая из рассмотрения лишь свободное излучение, и адекватно воспроизводящая остальные индукционные эффекты (в классическом приближении).

Формально, полевые уравнения Дарвина отличается от максвелловских отсутствием временной производной соленоидальной части электрического поля, что равносильно переходу к мгновенному дальнодействию в системе [3, 4]. Однако, будучи проще полного максвелловского формализма, дарвинский труднее поддается численной интерпретации в рамках самосогласованного подхода. Основной проблемой является несоответствие незапаздывающей природы модели и гиперболической формы уравнений поля. В результате, при любой явной конечно-разностной аппроксимации производной по времени в расчетной области развивается численная неустойчивость. Внешне она проявляется в виде быстро нарастающего паразитного самовозбуждения системы, обусловленного мгновенной взаимоиндукцией соленоидальных электрических полей и токов, что сопровождается резким рассогласованием численного и аналитического решений.

В настоящее время с появлением методики решения дарвинских уравнений поля, основанной на их эллиптической переформулировке, ограничение на временной шаг для полевой системы удалось снять [5-10]. Однако, чтобы в полной мере воепользоваться преимуществом новых методов, желательно также избавиться и от ограничения на временной шаг в схеме интегрирования динамических уравнений. Последнее с необходимостью предполагает переход на неявные разностные схемы решения динамических уравнений.

Вместе с тем, несмотря на определенные успехи, достигнутые в решении указанных выше проблем, острота вопросов практического приложения дискретного моделирования по методу макрочастиц нисколько не уменьшилась даже с появлением многопроцессорных вычислительных машин и суперкомпьютеров кластерного типа. Так, например, при моделировании многокомпонентен плазмы, где ионы являются активной компонентой, а не простым неподвижным фоном, возникает необходимость разрешать как мелкомасштабные и быстрые процессы электронной компоненты, так и существенно более крупномасштабные и медленные процессы ионной составляющей. Это требует, с одной стороны, использования счетной области достаточно протяженной для развития в ней крупномасштабных ионных структур, а, с другой стороны, использования достаточно мелких сеточных и временных шагов для адекватного разрешения тонкой электронной структуры, влиянием которой во многих случаях нельзя пренебречь. Данная проблема приводит к необходимости использования большого числа сеточных узлов (порядка 103 и более на каждое пространственное измерение), а необходимость сохранения консервативных и бесстолк-новительных свойств системы требует использования достаточно большого (порядка 102 и более на измерение) числа модельных частиц в расчете на ячейку (или, что более точно, на дебаевский объем [1, 2]), таким образом, даже для двухмерных постановок это приводит к числу модельных частиц порядка Ю10. Учитывая, что при использовании наиболее экономичных схем второго порядка необходимо хранить на двух временных слоях 5 фазовых координат (2 пространственные координаты и 3 компоненты скорости) каждой из частиц, несложно подсчитать, что для этого потребуется порядка одного терабайта оперативной памяти. Такой объем памяти (равно как и соответствующая вычислительная мощность) недоступен для персональных ЭВМ, где типичным на сегодняшний день является наличие лишь 1-8 гигабайт ОЗУ. Таким образом, проблема эффективной программной реализации метода макрочастиц на многопроцессорных машинах становится крайне актуальной.

К сожалению, на сегодняшний день в арсенале супер-ЭВМ практически отсутствуют программно-аппаратные комплексы, способные эффективно осуществлять автоматическое распараллеливание сложных программных кодов, в частности, на основе метода макрочастиц. Попытка применения автоматизированного подхода к проблеме распараллеливания без учета конкретной структуры вычислительного цикла и специфики обрабатываемых данных чаще всего выливается в крайне неоптимальную структуру межузловых коммуникаций, что сводит на нет эффективность параллельных вычислений в целом.

Для достижения приемлемой эффективности расчетов современные высокопроизводительные комплексы требуют создания кода с явно заданным параллелизмом и тщательно продуманной структурой межузловых коммуникаций. Проблема разработки хорошо масштабируемых кодов является отдельным и весьма сложным направлением исследований, а отыскание наилучшего с точки зрения масштабируемости подхода к той или иной задаче часто крайне осложнено в силу большого числа факторов, влияющих на производительность кода. Кроме того, эффективность параллельного кода может существенно меняется в зависимости как от архитектуры конкретной ЭВМ, так и от топологии и производительности коммуникационной среды, используемой для межузловых взаимодействий. Поэтому в настоящей работе автор ставит перед собой задачу разработки параллельного кода, позволяющего с приемлемой эффективностью решать необходимый круг задач на определенном типе вычислительных систем с распределенной памятью. Рассмотрение всех возможных техник распараллеливания и выявление наилучшей из них выходит далеко за рамки настоящей работы.

Конкретными целями диссертации являются:

• исследование экономичной неявной схемы разностного интегрирования динамических уравнений в дискретной модели Власова—Дарвина;

• построение на ее основе эффективного дискретного 2.5-мерного параллельного вычислительного алгоритма;

• его оптимальная реализация на мультипроцессорных ЭВМ с распределенной памятью в рамках программного кода;

• проведение компьютерных экспериментов по изучению низкочастотной электромагнитной (вайбелевской) неустойчивости.

Материалы диссертации организованы следующим образом.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Коломиец, Дмитрий Олегович

Заключение

Коротко сформулируем основные результаты, полученные в диссертации и выводимые на защиту.

Реализована оптимизированная неявная схема разностного интегрирования динамических уравнений частиц в многомерной, несимметричной по фазовой геометрии дискретной самосогласованной модели плазмы с дарвинским (безызлучатель-ным) приближением электромагнитных полей.

Исследованы численные свойства и физическая корректность указанной схемы. Показано, что она согласована с дифференциальным аналогом, имеет второй порядок точности и безусловно устойчива. Доказана адекватность передачи схемой основных физических эффектов, связанных с движением заряда в различных пространственно-временных конфигурациях электромагнитного поля. Все аналитические выкладки подтверждены методическими расчетами в рамках тестовых экспериментов.

В рамках технологии параллельных вычислений на мультипроцессорных ЭВМ с распределенной памятью проведен анализ методик эффективной программной реализации дискретных плазменных алгоритмов. С учетом его выводов на базе разработанной процедуры численного расчета динамики частиц построен 2.5-мерный прикладной код Оаг\Л/т, адаптируемый к аппаратным платформам различного класса.

Выполнены численные исследования низкочастотной электромагнитной (вайбе-левской) неустойчивости в рамках 1.5-мерной фазовой геометрии. Показана общая динамика процесса, выявлена его линейная и нелинейная стадии; найдено численное значение инкремента неустойчивости, которое с большой точностью совпало с аналитическим прогнозом; получены фазовые портреты системы, позволившие наглядно продемонстрировать теоретически предсказанное наличие трех характерных групп частиц, имеющих схожие траектории движения и собственные области локализации.

Выполнены численные расчеты по изучению вайбелевской неустойчивости в 2.5-мерной фазовой геометрии. Проведенные компьютерные эксперименты позволили выявить ранее неизвестные зависимости базовых параметров неустойчивости (времени развития и максимальной энергии магнитного поля) от величины параметра анизотропии среды, детально проследить структурную перестройку системы токовых жгутов на этапе ее стагнации и общую эволюцию исходной анизотропии электронной компоненты плазмы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Коломиец, Дмитрий Олегович, 2010 год

1. Хокни Р., Иствуд Дж. Численное моделирование методом частиц. М.: с Мир», 1987, 640 с.

2. Бэдсел Ч., Ленгдон А. Физика плазмы и численное моделирование. М.: Энер-гоатомиздат, 1989, 452 с.

3. Нильсон К., Лыоис Г. Модели укрупненных частиц в безызлучательном пределе. В кн.: Управляемый термоядерный синтез. М.: <еМир», 1980, 395-418.

4. Hewett D. W. Elimination of electromagnetic radiation in plasma simulation: the Darwin or magnetoinductive approximation. Space Science Reviews, v. 42, 1985, 29-40.

5. Бородачёв Л. В. К проблеме математического моделирования безызлучательной плазмы. Вестн. МГУ. Сер. 3, т. 34, №4, 1993, 87.

6. Бородачёв Л. В., Мингалёв И. В., Мингалёв О. В. Численное решение дискретной модели Власова—Дарвина на основе оптимальной переформулировки полевых уравнений. Мат. моделирование, т. 18, №11, 2006, 117—125.

7. Бородачёв Л. В. Дарвинское описание самосогласованных электромагнитных полей плазмы и особенности его дискретной интерпретации. МГУ, Физический факультет, препринт №19/2000, 14 с.

8. Бородачёв Л. В. Численная интерпретация полевого описания в дискретной дарвинской модели с неявной схемой расчёта динамики частиц. Мат. моделирование, т. 17, №9, 2005, 53-59.

9. Бородачёв Л. В. Эллиптическое преобразование уравнений поля в неявной безызлучательной модели плазмы. Вестн. МГУ. Сер. 3, т. 61, №1, 2006, 7-10.

10. Бородачёв Л. В., Коломиец Д. О., Литвинюк В. В. Численное решение уравнения для соленоидального электрического поля в дарвинской модели плазмы. Вестн. МГУ. Сер. 3, т. 61, №6, 2006, 14-17.

11. Бородачёв Л. В., Коломиец Д. О. Расчёт динамики частиц в безызлучательной модели плазмы. Мат. моделирование, т. 22, №10, 2010, 83-92.

12. Бородачёв Л. В., Коломиец Д. О. Электронная вайбелевская неустойчивость плазмы с температурной анизотропией. Вестн. МГУ. Сер. 3, т. 65, №2, 2010, 14-18.

13. Borodachev L. V., Kolomiets D. О. Single-species Weibel instability of radiationless plasma. J. Plasma Physics, D01:10.1017/S0022377810000188, 2010.

14. Бородачёв JI. В., Коломиец Д. О., Оптимизация неявной схемы интегрирования динамических уравнений частиц в дарвинской модели плазмы. Тезисы конференции «Тихонов и современная математика», 2006, 37-38.

15. Бородачёв JI. В., Коломиец Д. О., Расчет фазовых траекторий в дискретной модели Власова—Дарвина. Тезисы научной конференции «Ломоносовские чтения», 2009, 162-165.

16. Власов А. А., Теория многих частиц. М.-Л.: Г И ТТЛ., 1950, 348 с.

17. Климонтович Ю. Л. Кинетическая теория неидеального газа и неидеальной плазмы. М.: «Наука», 1975, 352 с.

18. Raviart P.-A., Sonnendrücker Е. A hierarchy of approximate models for the Maxwell equations. Numer. Math, v. 73, 1996, 329—372.

19. Арсеньев A.A. Лекции о кинетических уравнениях. M.: сНаука», 1992, 216 с.

20. Климонтович Ю. Л. Статистическая теория неравновесных процессов в плазме. М.: МГУ, 1964, 288 с.

21. Березин Ю. А., Вшивков В. А. Метод частиц в динамике разреженной плазмы. Новосибирск: «Наука», 1980, 96 с.

22. Бородачёв Л. В. Метод крупных частиц в моделировании разреженной плазмы. МГУ, Физический факультет, препринт №19/2002, 22 с.

23. Darwin C.G. Dynamical Motions of Charged Particles. Phil. Mag., v. 39, 1920, 537-551

24. Brackbill J.U., Forslund D.W. An Implicit Method for Electromagnetic Plasma Simulation in Two Dimensions. J. Comput. Phys., v. 46, No. 2, 1982, 271-308.

25. Hewett D.W., Langdon A.B. Electromagnetic Direct Implicit Plasma Simulation. J. Comput. Phys., v. 72, 1987, 121-155.

26. Кролл H., Трайвелпис А. Основы физики плазмы. M.: сМир», 1975, 528 с.

27. Бородачёв Л. В. Неявная аппроксимация уравнений движения дарвинской модели плазмы. ЖВММФ, т. 30, №6, 1991, 934-939.

28. Самарский A.A., Попов Ю.П. Разностные методы решения задач газовой динамики. М.: «Наука». Физматлит, 1992, 3-е изд., 424 с.

29. Франк-Каменецкий Д. А. Лекции по физике плазмы. М.: Атомиздат, 1964, 288 с.

30. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П. Численные методы. М.: «Наука», 1989, 608 с.

31. Калиткин Н.Н. Численные методы. М.: «Паукам, 1978, 512 с.

32. Бородачёв JI.B., Мингалёв И. В., Мингалёв О. В. Оптимальная нормализация модели Власова—Максвелла. Вестн. МГУ. Сер. 3, №4, 2001, 42-45.

33. Campbell P.M., Carmona Е. A., Walker D. W. Hierarchical domain decomposition with unitary load balancing for electromagnetic particle-in-cell codes. Proceedings of the Fifth Distributed Memory Computing Conference, 1990, 943-950.

34. Walker D.W. The Hierarchical Spatial Decomposition of Three Dimensional Particle-in-Cell Plasma Simulations on MIMD Distributed Memory Multiprocessors. Oak Ridge National Laboratory, report ORNL/TM-12071, 1992, 20 p.

35. Rice J. R., Vavalis E. A., Yang D. Analysis of a nonoverlapping domain decomposition method for elliptic partial differential equations. J. Comput. and Applied Math. v. 87, 1997, 11-19.

36. Braverman E., Epstein В., Israeli M., Averbuch A. A Fast Spectral Subtractional Solver for Elliptic Equations. J. Sci. Comput., v. 21, No. 1, 2004, 91-129.

37. Braverman E., Israeli M., Averbuch A. A Hierarchical 3-D Direct Helmholtz Solver by Domain Decomposition and Modified Fourier Method. J. Sci. Comput. v. 26, No. 5, 2005, 1504-1524.

38. Антонов А. С. Параллельное программирование с использованием технологи MPI. М.: МГУ, 2004, 71 с.

39. Snir М., Otto S., Huss-Ledermann S., Walker D., Dongarra J. MPI The Complete Reference. Vol. 1. The MPI Core, 2-nd ed. Vol. 2. The MPI-2 Extensions. 1998, 448 p. (Vol. 1), 362 p. (Vol. 2).

40. Chandra R., Menon R., Dagum L., Kohr D., Maydan D., McDonald J. Parallel Programming in OpenMP. Morgan Kaufmann, 2000, 231 p.

41. B.B. Воеводин, Вл.В. Воеводин. Параллельные вычисления. СПб.: <.БХВ-Петербург», 2002, 608 с.

42. Михайловский А. Б. Теория плазменных неустойчивостей. М.: Атомиздат, 1975, 272 с.

43. Weibel Е. S. Spontaneously Growing Transverse Waves in a Plasma Due to an Anisotropic Velocity Distribution. Phys. Rev. Lett, v. 2, 1959, 83—84.

44. Morse R. L., Nielson C. W. Numerical Simulation of the Weibel Instability in One and Two Dimensions. The Physics of Fluids, v. 14, No. 4, 1971, 830-840.

45. Lemons D. S., Winske D., Gary S. P. Nonlinear theory of the Weibel instability. J. Plasma Phys., v. 21, part 2, 1979, 287-300.

46. Davidson R. C., Hammer D. A. Nonlinear Development of Electromagnetic Instabilities in Anisotropic Plasmas. The Physics of Fluids, v. 15, No. 2, 1972, 317— 333.

47. Pukhov A., Meyer-ter-Vehn J. Relativistic Magnetic Self-Channeling of Light in Near-Critical Plasma: Three-Dimensional Particle-in-Cell Simulation. Phys. Rev. Lett, v. 76, No. 21, 1996, 3975-3978.

48. Yoon P. H., Lui A. T. Y. Nonlocal ion-Weibel instability in the geomagnetic tail. J. Geophys. Res., v. 101, No. A3, 1996, 4899-4906.

49. Davidson R. C., Startsev E. A., Kaganovich I., Qin H. Multispecies Weibel Instability for Intense Ion Beam Propagation Through Background Plasma. Proceedings of PA С 2005, 2005, 1952-1954.

50. Tsintsadze L. N., Shukla P. K. Weibel instabilities in dense quantum plasmas. J. Plasma Phys., v. 74, No. 4, 2008, 431-436.

51. Воеводин В. А., Кузнецов Ю. А. Матрицы и вычисления. М.: с Наука», 1984, 320 с.