Двойственная связь между пространствами голоморфных функций заданного роста вблизи границы и обобщенными классами Данжуа-Карлемана и ее приложения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат наук Андреева, Татьяна Михайловна

• Андреева, Татьяна Михайловна
• кандидат наук
• 2019

Оглавление диссертации кандидат наук Андреева, Татьяна Михайловна

функций............................31

1.2.3 Сюръективность преобразования Лапласа функционалов.........................39

1.3 Основной результат и его применения к

конкретным пространствам.....................43

2 Аналитическое описание сопряженных с пространствами голоморфных функций заданного роста в областях Каратео-дори 48

2.1 Преобразование Коши функционалов на

банаховых пространствах......................48

2.2 Аналитическое описание сопряженных...............61

3 Представляющие системы экспонент и простейших дробей и уравнения свертки в пространствах голоморфных функций

заданного роста 67

3.1 Представляющие системы экспонент в пространствах голоморфных в выпуклой области функций заданного роста........67

3.2 Операторы свертки в пространствах аналитических в выпуклой

области функций заданного роста ................. 72

3.2.1 Сюръективность операторов свертки для весовых последовательностей общего вида.................74

3.3 Критерии сюръективности в терминах регулярности роста аналитического символа.........................86

3.3.1 Критерии сюръективности операторов свертки в пространствах экспоненциально-степенного роста максимального типа ........................... 87

3.3.2 Критерии сюръективности операторов свертки в пространствах нормального типа................100

Литература 102

Введение

Актуальность темы исследования. Пространства голоморфных функций заданного роста вблизи границы и описание двойственных к ним исследовались, начиная с 80-х годов прошлого века, в работах Р.С. Юлмухаметова [27], Н.Ф. Абузяровой и Р.С. Юлмухаметова [6], Б.А. Державца [9], В.В. Напалкова [20], Т. Белгхити [39], в которых рассматривался случай убывающих систем весов, когда соответствующее пространство относится к классу пространств Фреше. При этом на области или системы весов накладывался ряд дополнительных ограничений. Именно, для общих систем весов от областей требовалась выпуклость или С2-гладкость границы, а для более широких классов областей изучались пространства, задаваемые весовыми последовательностями специального типа. Что касается двойственного случая возрастающей системы весов, соответствующего ЭРБ-пространствам, то к настоящему времени аналогичные по духу исследования проводили Д. Барретт [38], С. Белл [40], Э.Дж. Штраубе [55] только для специального пространства всех голоморфных в области функций полиномиального роста вблизи его границы. В последние десять лет наибольшие продвижения для данного пространства были достигнуты в работах А.В. Абанина и Ле Хай Хоя: для выпуклых областей и преобразования Лапласа в [31, 32], а для преобразования Коши в [33, 34], в которых для одномерной ситуации исследован наиболее общий на сегодняшний день случай областей Каратеодори.

Таким образом, к настоящему времени открытыми проблемами являются снятие ограничений на системы весов и области для двух двойственных ситуаций — убывающих и возрастающих систем весов. Решение данных проблем, в свою очередь, становится основой для исследования ряда задач, связанных с

представляющими системами и уравнениями свертки, и может быть использовано в других задачах, решение которых основано на привлечении теории двойственности. Именно этот круг вопросов и является предметом исследования в настоящей диссертации. Остановимся на предыстории каждого из них и возникающих при этом проблем более подробно. На основании данного анализа будут определены основные цели работы.

1. Подход, основанный на использовании преобразования Лапласа функционалов, был инициирован для пространств всех функций, голоморфных в выпуклой области, работой Г. Полиа [53] и развивался в дальнейшем А. Мар-тино [48], Л. Эренпрайсом [44], Л. Хермандером [25], Б.А. Тейлором [56], И.Х. Мусиным [18] и многими другими авторами. Что касается пространств голоморфных функций заданного роста вблизи границы dG ограниченной выпуклой области G, то здесь в основном изучался проективный случай пространств Фреше, когда рост функций измеряется весами, зависящими от функции расстояния p(z) от точки z £ G до dG. Существенные результаты в данном направлении были достигнуты в работах Р.С. Юлмухаметова [27], Б.А. Державца [9], В.В. Напалкова [20]. Перечисленные авторы использовали различные подходы к доказательству сюръективности оператора Лапласа (см. введение в статье [20]), а наиболее общие условия на весовые последовательности, зависящие от p(z), были предложены В.В. Напалковым. Для выпуклых весов общего вида к настоящему времени известен лишь результат Н.Ф. Абузяровой и Р.С. Юлмухаметова [6], полученный при дополнительных условиях на гладкость функций, сопряженных с весами, задающими весовые пространства. Индуктивный случай ранее рассматривался только для конкретного пространства A-TO(G) функций полиномиального роста ([49, 31, 32]), задаваемого последовательностью весов (1/p(z))n)n£No. Основная труд-

ность при этом состоит в том, что, в отличие от случая пространств Фреше, в данном случае при доказательстве сюръективности преобразования Лапласа нужно строить функционал, удовлетворяющий счетному набору условий непрерывности.

Таким образом, возникает задача о распространении результатов из статьи [20] на возрастающие последовательности общего вида, задающие пространства индуктивного типа.

2. Задача об описании сопряженных к весовым пространствам голоморфных в области функций с помощью преобразования Коши исследовалась многими авторами (см. [7, 8, 9, 24, 33, 34]) как в качестве самостоятельного объекта, так и как важный инструмент изучения свойств операторов свертки и вопросов, касающихся квазианалитичности классов Карлемана и представления функций рядами простейших дробей. Во всех перечисленных выше работах она рассматривалась для пространств Фреше-Шварца (РБ) или же для двойственных к ним (ЭР8)-пространств голоморфных в области функций, рост которых определяется последовательностями весов, зависящих от расстояния р(г) точек г области до ее границы и обладающих некоторой выпуклостью. Для плоских областей сопряженные пространства описывались как пространства функций, голоморфных вне замыкания области и имеющих определенную степень гладкости вплоть до ее границы. Одним из ключевых моментов применяемого при этом метода является использование результатов Е. М. Дынькина [10] о возможности псевдоаналитического продолжения таких гладких функций с соответствующими оценками их частных производных по г. Именно этот момент и сужает класс рассматриваемых весов до тех, которые обладают некоторой выпуклостью и зависят от р(г). Следовательно, актуальной является задача о разработке новых методов исследования, кото-

рые позволяют избавиться от ограничений на веса и одновременно распространить результаты на случай областей Каратеодори.

3. Как уже отмечалось выше, подходящее описание сопряженных дает возможность провести исследование ряда других вопросов. Среди них находятся и изучаемые в диссертации задачи о представлении функций из рассматриваемых пространств рядами экспонент или простейших дробей и разрешимости уравнений свертки.

Одним из наиболее эффективных способов решить первую из них (о представлении функций рядами экспонент) является использование достаточных множеств в сопряженных пространствах. В нашем случае последние являются пространствами Фреше. В связи с этим заметим, что достаточные (или, что одно и то же в большинстве случаев, слабо достаточные) множества для двойственного случая внутренних индуктивных пределов последовательностей весовых банаховых пространств целых функций изучены достаточно полно (см. диссертацию [3], посвященную разработке теории слабо достаточных множеств и их приложениям, и библиографию к ней). Для весовых пространств Фреше целых функций на данный момент времени аналогичной по уровню теории пока не развито. Для них был рассмотрен только ряд конкретных задач, касающихся конкретных пространств, в числе которых пространство, сопряженное с пространством Л-То (О) всех голоморфных в выпуклой ограниченной области функций, обладающих полиномиальным ростом вблизи границы О (см. [5, 32, 35]). Поэтому имеет смысл рассмотреть в этом отношении пространства голоморфных функций заданного роста вблизи границы выпуклой ограниченной области, задаваемые последовательностями весов общего вида.

Сюръективность оператора свертки и дополнительные свойства сюръек-

тивных операторов свертки (например, конструктивное построение решений неоднородных уравнений свертки и их аналитическое продолжение в более широкие области с сохранением дополнительных свойств, наличие базиса из линейных комбинаций элементарных решений, существование линейного непрерывного правого обратного оператора и т.д.) были наиболее полно изучены в «безвесовом» случае, т.е. на классах функций, голоморфных в области. Завершенные исследования при этом были проведены не только для областей, но и в случае, когда вместо области рассматривался компакт или подмножество комплексной плоскости гораздо более общей топологической структуры и не обязательно выпуклое (подробный обзор имеется в книге [13], см. также [50]). В случае же, когда вместо пространств голоморфных в области функций берутся их подпространства, задаваемые какой-либо последовательностью весов, в основном изучались пространства Фреше (см. статью [51] и библиографию в ней). При этом применялась традиционная техника, заключающаяся в переходе к двойственной проблеме деления на символ оператора в сопряженном пространстве целых функций определенного роста. Данная схема не меняется существенно и для индуктивных пределов последовательностей весовых банаховых пространств. Однако на пути ее использования для пространств такого типа возникают серьезные трудности, связанные с тем, что на определенном этапе необходимо уметь строить целые функции, рост которых сверху ограничен последовательностью убывающих оценок и которые имеют близкие оценки снизу на заданной последовательности точек, уходящих в бесконечность. Это обстоятельство является главной причиной, по которой операторы свертки в индуктивных весовых пространствах к настоящему времени исследованы мало. Вероятно, впервые указанная трудность была преодолена в статьях [28] -[30], посвященных операторам свертки в пространстве

всех голоморфных в выпуклой ограниченной области функций полиномиального роста вблизи ее границы. Решающую роль при этом сыграли аналоги теоремы Хермандера о разрешимости неоднородного уравнения Коши-Рима-на в классах функций, удовлетворяющих системе оценок, установленные впервые О.В. Епифановым [11] и получившие дальнейшее развитие в [21]. В связи с вышеизложенным представляет интерес изучение задачи о сюръективности операторов свертки в пространствах заданного роста вблизи границы, задаваемых как общими последовательностями весов, так и в конкретных случаях, отличных от пространств полиномиального роста.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Двойственная связь между пространствами голоморфных функций заданного роста вблизи границы и обобщенными классами Данжуа-Карлемана и ее приложения»

Цели работы.

1. С помощью преобразования Лапласа функционалов получить аналитическое описание сопряженных с пространствами голоморфных в выпуклых ограниченных областях функций, задаваемых возрастающими последовательностями весовых функций общего вида.

2. Разработать новую модификацию метода псевдоаналитического продолжения и с его помощью установить аналитическое описание сопряженных с пространствами голоморфных функций заданного роста в областях Каратеодори с помощью преобразования Коши функционалов, сняв при этом традиционные ограничения на весовые системы.

3. Применить полученные результаты к исследованию вопросов о возможности представления функций из пространств голоморфных функций заданного роста индуктивного типа абсолютно сходящимися экспоненциальными рядами и о сюръективности в этих пространствах операторов свертки.

Методы исследований. В данной работе применяются классические и

современные методы комплексного и функционального анализа. В том числе используются: теория операторов в функциональных пространствах различной природы, метод псевдоаналитического продолжения, выпуклые функции и их свойства, двойственный переход от вопросов представления функций рядами и разрешимости уравнений свертки к проблеме сравнения соответствующих топологий в сопряженных пространствах

Научная новизна и практическая значимость. Приведенные в работе исследования касаются более общих случаев систем весов и типов областей, чем ранее изученные. Кроме того, для их получения была существенно развита имеющаяся техника использования псевдоаналитического продолжения для решения задачи о двойственности пространств голоморфных функций заданного роста вблизи границы и обобщенных классов Данжуа-Карлемана. Двойственность пространств голоморфных функций заданного роста вблизи границы и обобщенных классов Данжуа-Карлемана применяется для решения задач о представлении функций рядами экспонент и о сюръективности операторов свертки. Подобные представления играют важную роль в вопросах разрешимости различных функциональных уравнений.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на Региональной школе-конференции молодых ученых "Владикавказская молодежная математическая школа"(г. Владикавказ, 2013, 2018 гг.), на Международной конференции "Крымская осенняя математическая школа-симпозиум" (пос. Батилиман, 2015 г.), на Международной конференции по алгебре, анализу и геометрии (г. Казань, 2016), на Междунарожной научной конференции "Теория операторов, комплексный анализ и математическое моделирование" (пос. Дивноморское, 2016 г.), на Международной научной конференции "Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа

и их приложения"(г. Ростов-на-Дону, 2016, 2017 гг.), на Международной научной конференции "Порядковый анализ и смежные вопросы математического моделирования"(с. Цей, 2017 г.), на Международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых "Ломоносов"(г. Москва, 2017 г.), на Международной конференции "Современные методы теории краевых задач. Понтрягинские чтения"(г. Москва, 2018 г.), на Международной конференции "Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Проблемы математического образования"(г. Москва, 2018 г.)

Публикации. По теме диссертации опубликовано тринадцать работ:

— три научные статьи [58, 59, 60] изданы в журналах, рекомендованных ВАК Минобрнауки РФ; при этом статья [58] включена в базу Web of Science;

— десять тезисов докладов [61]-[70].

В совместных с научным руководителем А.В. Абаниным статьях [58, 60] А.В. Абанину принадлежит постановка задач, указание метода исследования и общее руководство, а автору диссертации — проведение исследования и доказательство результатов.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Объем диссертации составляет 112 страниц. Библиография — 70 наименований.

Во введении дается общая характеристика работы и проводится краткий обзор результатов диссертации по главам и параграфам.

В первой главе приводится удобное с точки зрения дальнейших приложений описание пространств, сопряженных с весовыми пространствами индуктивного типа голоморфных в выпуклой ограниченной области G функций заданного роста вблизи границы. При этом используется преобразование Лапласа функционалов.

В разделе 1.1 вводится класс весовых последовательностей V, удовлетворяющих ряду дополнительных ограничений, носящих либо естественный, либо чисто технический характер, и описываются рассматриваемые в диссертации весовые пространства VН(О) с топологией внутреннего индуктивного предела последовательности банаховых пространств. Основным результатом данного раздела является предложение 1.1.3, вводящее класс целых функций VНе(С), являющийся потенциальным кандидатом на роль искомого сопряженного с пространством VН(О).

В разделе 1.2 доказывается, что заявленный в предложении 1.1.3 класс целых функций VНе (С) действительно является сопряженным с весовым пространством VН(О). Для этого применяется известный результат Е.М. Дынькина о псевдоаналитическом продолжении, который приведен в подразделе 1.2.1 и затем в подразделе 1.2.2 распространен на «весовой» случай (теорема 1.2.10).

Доказанная в подразделе 1.2.3 настоящей диссертации сюръективность преобразования Лапласа функционалов (предложение 1.2.11) позволяет получить основной результат первой главы — теорему 1.3.1 из раздела 1.3 о том, что класс целых функций VНе (С) является искомым сильно сопряженным с весовым пространством VН(О). Этот результат иллюстрируется на конкретных частных случаях весовых пространств — пространствах голоморфных функций экспоненциально-степенного роста.

Вторая глава посвящена вопросу об описании сопряженного с пространствами голоморфных функций заданного роста в областях Каратеодори. В разделе 2.1 приводится постановка задачи и вводится оператор Коши преобразования функционалов. В предложении 2.1.4 данного раздела доказаны непрерывность и линейность данного оператора, определенного на весовом

пространстве Ию(О), задаваемом одним весом V, а в предложении 2.1.8 доказана его инъективность.

В разделе 2.2 с помощью преобразования Коши функционалов рассматривается задача описания сопряженного с весовыми пространствами УИ(О) и V И (О), образованных соответственно строго убывающей и строго возрастающей последовательностями весов (т.е. наделенных топологиями соответственно проективного и индуктивного предела). Основными результатами главы являются теорема 2.2.2 для индуктивного случая и теорема 2.2.3 — для проективного.

В заключение проводится сравнение полученных в главе 2 результатов с предшествующими работами. Отметим, что ключевую роль для достигнутого в данной главе снятия традиционных ограничений на веса играет отказ на определенном этапе от использования результатов из [10]. Вместо них применяется непосредственное конструктивное квазианалитическое продолжение преобразований Коши функционалов.

В третьей главе рассмотрены приложения полученного в теореме 1.3.1 результата. Основным требованием на область при этом, как и прежде в главе 1, становятся ее выпуклость и ограниченность.

В разделе 3.1 рассмотрен вопрос о возможности представления функций из основных весовых пространств абсолютно сходящимися рядами по системам экспонент и простейших дробей. В предложении 3.1.1 формулируется стандартный критерий для абсолютно представляющих систем экспонент в основном весовом пространстве, а в теореме 3.1.2 — установлено существование таких систем экспонент, при этом указан алгоритм конструктивного построения их показателей.

Отмечается, что системы простейших дробей, несмотря на имеющееся

аналитическое описание сопряженных, не могут быть абсолютно представляющими в рассматриваемых пространствах.

В разделе 3.2 исследуются операторы свертки, определенные на основных весовых пространствах. В предложении 3.2.1 подраздела 3.2.1 получен критерий непрерывности таких операторов, а также установлен вид сопряженных с ними операторов умножения на аналитический символ. Теоремой 3.2.2 для операторов свертки устанавливается первый, а теоремой 3.2.8 — второй функциональный критерий сюръективности. Кроме того, в последней теореме, которая является основным результатом раздела 3.2, получено достаточное условие сюръективности операторов свертки в терминах определенной регулярности роста их символов. В дальнейшем в разделе 3.3 для частных случаев весовых пространств доказана необходимость данного условия.

В разделе 3.3 изучен вопрос о сюръективности операторов свертки для конкретных видов весовых пространств — пространств экспоненциально-степенного роста максимального и нормального типов, уже рассмотренных ранее в примерах 1.3.4 и 1.3.6 соответственно. Основными результатами данного раздела являются теорема 3.3.7 для случая пространств максимального типа и теорема 3.3.9 для пространств нормального типа; в этих теоремах получены критерии сюръективности операторов свертки в терминах регулярности роста их символов.

Глава 1

Сопряженные для весовых пространств голоморфных функций заданного роста в выпуклых ограниченных областях

В данной главе с помощью преобразования Лапласа функционалов получено описание пространств, сопряженных с пространствами голоморфных в выпуклой ограниченной области функций заданного роста вблизи ее границы, наделенными индуктивными топологиями. Использующийся при этом метод из [49] и [32] распространяется на систему весов общего вида, удовлетворяющих техническим условиям, подобным используемым в работе В. В. Напалкова [20], с естественной переформулировкой с проективного на индуктивный случай. Однако, в отличие от [20], проверка сюръективности оператора Лапласа проводится, как и в [9], с помощью результатов Е.М. Дынькина [10, 42] о псевдоаналитическом продолжении. Эти результаты формулируются в рамках подхода Данжуа-Карлемана, в котором степень гладкости функций измеряется с помощью оценок всех производных через некоторую (фиксированную) числовую последовательность М = (Мп)^=0. Поскольку (как с технической, так и с содержательной стороны) более удобно считать, что М является следом на М0 некоторой весовой выпуклой функции, мы приводим попутно переформулировку результатов из [10, 42] в терминах этой весовой функции.

1.1 Пространства заданного роста и действие преобразования Лапласа на их сопряженные

Пусть G — выпуклая ограниченная область в C, H(G) — пространство всех функций, голоморфных в G. Пусть, далее, Ф = (щ,)^ — последовательность неотрицательных выпуклых монотонно возрастающих на (t0, (t0 > 0) неограниченных функций, которые удовлетворяют следующим условиям общего характера:

(c1) Vj е N щ(t) +1 < щ+i(t), t > t0;

(c2) Vj е N > 0: щ(t + 1) < ^+i(t) + j,t > t0;

(c3) Vj е N > 0 > 0: щ (t) < t + 53, t > t0.

Без ограничения общности и с целью упрощения изложения считаем, что область G содержит начало координат и сама содержится в единичном круге D := {z : |z| < 1}, t0 = 0 и щ(0) = 0 .

Положим vn(z) := щ,(1п рщ), n е N, z е G, где, как и выше p(z) — расстояние от точки z е G до границы dG. По каждому весу vn (n е N) образуем банахово пространство

Г lf(z)| 1

Hn(G) := f е H(G) : ||/||n := sup —- < rc .

[ zgg j

Из условия (c1) следует, что vn+1(z) — vn(z) > 1n(1/p(z)) ^ при z ^ dG. Поэтому для любого сколь угодно малого £ > 0 найдется такой компакт K с G, что vn+1(z) — vn(z) > 1/£ при всех z е G \ K. Отсюда, как известно

(см., напр., [37]), следует, что пространство Hn(G) компактно вложено в Hn+1(G). Значит, в рассматриваемой ситуации естественно образовать (DFS)-пространство VH(G) := ind Hn(G), наделенное топологией внутреннего индуктивного предела. Здесь и ниже V := (vn)nEN. Из условия (c1), кроме того, следует, что VH(G) D A-TO(G), а вместе с (c2), — что VH(G) инвариантно относительно дифференцирования. Доказательство этих фактов стандартно (см., напр., [20, с. 288]), и мы его опускаем. Условие (c3) носит технический характер, и от него можно избавиться. Мы предпочли этого не делать, чтобы изложение применяемого нами метода было более прозрачным.

Основная цель настоящего раздела — найти вид весового пространства целых функций, в которое преобразование Лапласа функционалов преобразует пространство (VH(G))', сопряженное с VH(G). В связи с этим напомним, что преобразование Лапласа (Фурье-Бореля) аналитического функционала M на пространстве VH(G) определяется формулой

F(д)(А) := м(eAz), д Е (VH(G))', z Е G, A Е C.

Поэтому для достижения поставленной цели необходима оценка норм экспонент eAz, А Е C, в пространствах Hn(G), а для доказательства инъективности оператора преобразования Лапласа — полнота системы экспонент E := {eA : А Е C} в VH(G).

Введем следующие обозначения: HG(A) := sup Re Az — опорная функция

zEO

области G; S := {А Е C : |А| = 1}; r := minHG(A) и R := maxHG(A). В силу

aes aes

нашего соглашения о том, что G содержит начало координат и содержится в

единичном круге D, имеем, что 0 < r < R < 1. Положим

Vn(s) := 0<nf 1 st + ^ 1)

s > 0.

Такую функцию ^ будем называть сопряженной с соответствующим весом уп, п € N. Отметим при этом, что сопряженной в смысле Юнга-Фенхеля ^ не является.

Очевидно, что ^П не убывает на [0, то). Далее, так как при любом фиксированном й функция ^п(£) := йТ + ^>п(1п 1) непрерывна на (0,1] и, кроме того, ^п(£) ^ +то при Т ^ +0, то инфимум в определении ^ достигается при некотором Т(й) € (0,1], то есть, ^П(й) = + ^п(1п(1/Т(й)). Стандартные рассуждения показывают, что Т(й) ^ 0 при й ^ то. В самом деле, если

0 < < й2 < то, то по определению ^(^1) и Т(й2):

+ 1п < + 1п

и

1 \ , X Л 1 \

52т(52)+Ч1п тщ) < 52т(51)+Ч1п щ; •

Сложив эти два неравенства, получим

^(¿Ы - ¿Ы) < 51(Т(52) - ¿Ы),

что возможно только, если Т(й2) < Т(й1). Таким образом, функция Т(й) убывает на [0, то). Следовательно, существует

Нш ф) =: Т0 € [0,1],

в—>оо

причем Т(й) > Т0 при всех й > 0. Остается проверить, что Т0 = 0. Предположим, рассуждая от противного, что Т0 € (0,1]. Снова использовав определение Т(й),

тогда имеем при всех s > 0

5^0 < + <£п ( 1П —^у) < ^ + <£п ( 1П .

Поэтому при всех й > 0

4 < 1П £)'

что невозможно.

Из того, что £(й) ^ 0 при й ^ то следует, что для любого £ Е (0,1] имеется такое £ Е [0, то), что £(й) < £ при всех й > Поэтому

(s) = inf_ (st + для всех s > s. (1.1.1)

о<t<i V V t / /

Следующая лемма позволяет определить вид пространства, сопряженного с VH(G).

Лемма 1.1.1. Для любого n Е N существуют такие постоянные c и C, 0 < c < C < то, и номер m > n, что

С . eHG(A)-vm(|а|) < ||eAz||n < C ■ еЯс(А)"<(|A|). (1.1.2)

Доказательство. Зафиксируем произвольное n Е N. Учитывая оценку (см., напр., [49, доказательство леммы 2])

Re (zA) < Hg(A) - |A|p(z), z Е G, А Е C,

и то, что 0 < ) < Л, г € О, имеем

|еАг||п = вир |еЛг|е-с^1п < еИс(Л) • вир е-^е ^е

|л|р(г)-^п( 1п рщ)

= еИс(Л) . е

< еНс(ЛК е о<п<д

|л|р(г)+^™ (1п |Л|*+^П( Ш1)

Отсюда, использовав (1.1.1) для t = Л, заключаем, что существует такое достаточно большое Д0, зависящее только от п, что при всех |А| > Д0

цел^ < еис(л)-<(|л|)

Так как всегда

еЛ"||п < вир |ел"| = еИс(Л),

^е

то, взяв С := е^™(Ло), получаем правую часть оценки (1.1.2).

Чтобы получить левую часть (1.1.2), обозначим Gt := {г € О : ) > Т}, 0 < Т < г. Тогда ([20, см. доказательство леммы 6.1]) существуют числа Т0 € (0,г) и К > 1 такие, что 0 < Не(А) - Не(А) < КТ|А|, 0 < Т < Т0, А € С. Поэтому при всех А € С

|еЛ^ ||п = вир еЕе 1п РА))

гее

> вир вир е

> еЯс(ЛК е о<п<40

Ие Лг-<£>„ ( 1п

Ю|Л|+^„( 1п1)

^ > вир е

0<^0

И

аг(Л)-^„( 1п1)

Далее, в силу условия (с2), примененного достаточное количество раз, имеются такие т > п и а > 0, что ^п(1п К + й) < ^то(й) + а при всех й > 0.

Ясно также, что, не ограничивая общности, можно считать, что К > —

£о

Поэтому при любом Л Е С

т£

0<£<£0

К^|Л| + 1п 1)

*|Л| + рп( 1п

= <(|Л|)+а

< т£

0<£< 1

= т£

< т£

0<£< 1

*|Л| + 1п ¿|Л| + 1п

+ а

Учитывая это неравенство, продолжим оценку нормы экспоненты снизу

> е-а . еяс(Л)-<(|Л|), Л Е С.

Положив с := е а, получаем левую часть оценки (1.1.2).

□

Лемма 1.1.2. Система экспонент Е = {е : Л Е С} полна в VН(С).

Доказательство. Сначала установим специальное представление произвольного функционала д Е (VН(С))'. Его непрерывность на VН(С) эквивалентна тому, что он непрерывен на каждом из пространств НП(С). Заметим, что каждое Нп (С) является линейным подпространством банахова пространства Сп (С) := {/ Е С (С) : ||/||п < то}, где С (С) — пространство всех функций, непрерывных на С, и норма ||-||п вычисляется точно так же, как в определении НП(С). Поэтому по теореме Хана-Банаха функционал д можно продолжить до непрерывного линейного функционала на СП(С) при каждом фиксированном п Е N. Тогда, как известно (см. [26, упр. 4.45, с. 410], найдется такая комплексная борелевская мера на С, что

е^^Д*) < то и д(/) = /(г)^„,п(*), V/ Е С£(С), (1.1.3)

а

а

где СП (С) — подпространство СП(С), состоящее из тех функций / Е СП(С), для которых |/(г)|е-^"(^) ^ 0 при г ^ дС.

Теперь заметим следующее. В силу условия (с1) на последовательность весов имеем

(1п Ры) > 1п Ры) +1п Р1), г Е С.

Поэтому для любой функции / Е СП-1(С)

|/(г)| |/(г) |

0 < т^т < ■ Р(г) < ||/^"-1 ■ Р(г) ^ 0 пРи г ^ дС.

Отсюда следует, что СП-1(С) ^ С0(С) и, тем более, что НП-1(С) ^ С0(С), V1« Е N. Тогда, использовав (1.1.3), заключаем, что

Д(/) = / /(г) ), / Е Н"-1(С). (1.1.4)

а

Далее, поскольку функция расстояния является вогнутой на С (см, напр., [46, теорема 2.1.24]) и начало принадлежит С, то при любом 7 Е [0,1]

р(7*) > 7Р(*) + (1 - 7)р(0) > 7р(г), г Е С.

Использовав это неравенство и свойство (с2) весовой последовательности, найдем такое в = в" > 0, что всех г Е С и 7 Е [ 1, 1]

<£"_1 (1п —< 1п + 1п < 1п + 1п 2

V р(7гУ V р(г) 7/ V р(г)

< 1п-М + в, г Е С. V р(г)/

Тогда для любой функции / € Нп-1(О) функции /7(г) := /(72), 7 € [ 1, 1], принадлежащие, очевидно, Н(О), удовлетворяют оценке

|/7(г)| = |/(7*)| < ||/||п-1е^-1(^ < ев||/||п-1е^(г) =: ^(г), г € О.

Следовательно, /7 € Нп-1(О), 7 € [2, 1], и мы можем применить к /7 формулу (1.1.4), по которой

МЛ) = / /(7*) ), / € Нп-1(О), 7 € [ ±, 1]. (1.1.5)

е

При этом

^(г)^,п(*) < ев||/||п-1 / ) < то.

ее

Значит, для семейства {/7 : 7 € [ 1, 1]} выполнены все условия теоремы Лебега о мажорируемой сходимости, в соответствии с которой в (1.1.5) допустим переход к пределу при 7 ^ 1 — 0. В результате имеем

7^1—0М/(70) = ^ /(Тг) ) = у /) ) = М(/).

ее В силу произвольности п € N отсюда следует, что

м/) = 7Нт-0м(/(7•)) для всех / € VН(О). (1.1.6)

Это и есть искомое специальное представление функционалов из (VН(О))'.

Предположим теперь, что д € (VН(О))' таков, что д(еАг) = 0 при всех А € С. Заметим, что пространство Н(О) ростков голоморфных функций на

G непрерывно вложено в VH(G). Это следует, например, из оценки

II/lln = sup ^^ < suP I/(z)| < suP I/(z)l,

zgg zgq

где Q — произвольный компакт, содержащий G. Поэтому д является линейным непрерывным функционалом и на H^).Откуда в силу полноты системы экспонент E в H(G) заключаем, что д(#) = 0, Vg G H(G). В частности, так как /7(z) = /(yz) G H(G) для любой функции / G VH(G) и всех Y G (0,1), то д(/7) = 0 при любом y G (0,1). Тогда, воспользовавшись полученным выше представлением функционала (1.1.6), имеем что д(/) = 0 для всех функций / G VH(G). Чтобы завершить доказательство, остается воспользоваться критерием Банаха полноты. □

Теперь мы готовы ввести пространство, являющееся областью действия преобразования Лапласа функционалов из (VH(G)), и сформулировать основной результат раздела (см. ниже предложение 1.1.3).

Образуем следующие банаховы пространства

|/(А)| • e<(|А|)

AeC eH

Hn,G(C) := <J / G H(C) : I/In := sup--< то J> , n G N.

Ясно, что Н"+1,а(С) ^ Н",а(С), п Е N. Поэтому естественно образовать

то

пространство Фреше VНа(С) := Р| Н",а(С) с топологией, заданной набором

"=1

норм (| • |n)

то n)n=1-

Предложение 1.1.3. Пусть С — выпуклая ограниченная область комплексной плоскости, а Ф = (^")ТО=1 — последовательность неотрицательных выпуклых монотонно возрастающих на (£°, +то) > 0) функций, удовлетворяющих условиям (с1) и (с2), V = ЫТО=1, где г>"(г) := ^"(1п ), п Е N,

г € О. Тогда преобразование Лапласа функционалов является линейным непрерывным инъективным оператором из (V Н (О)) Ъ в V Не (С).

Доказательство. Ясно, что Н(С) ^ VН(О). Отсюда следует, что каждый линейный непрерывный функционал на VН(О) автоматически является линейным непрерывным функционалом на Н(С). А как хорошо известно (см., напр., [25, с.136]), преобразование Лапласа любого функционала из (Н(С))' является целой функцией. Таким образом, € Н(С) для любого д из (V Н (О))'.

Далее, так как VН(О) — (ЭР8)-пространство, которое является внутренним индуктивным пределом последовательности (банаховых) пространств (Нп(О))то=1, для которых вложения Нп(О) в Нп+1(О) компактны, то (см., напр., [12]) сильное сопряженное к VН(О) пространство (VН(О)Ъ является (РБ)-пространством, в котором топология задается последовательностью сопряженных норм

||д||п :=вир {|д(/)| : / € VН(О), ||/1|„ < 1}, п € N.

Отсюда с учетом правой части оценки (1.1.2) леммы 1.1.1 следует, что имеется такая постоянная Сп > 0, что

|ТДА)| = Д(еАг)| < ||д||п • ||еАг||п < Сп||д||п • еИс(А)-<(|А|), А € С, п € N.

Поэтому |Тм|п < Сп||д|Щ, п € N. Значит, оператор Т преобразования Лапласа действует непрерывно из (VН(О))Ъ в VНе(С). Таким образом, для завершения доказательства остается только заметить, что в силу леммы 1.1.2 этот оператор инъективен. □

1.2 Псевдоаналитическое продолжение и сюръ-ективность преобразования Лапласа функционалов

Для доказательства сюръективности оператора Лапласа и, тем самым, получения основного результата текущей главы — изоморфного описания сильно сопряженного (VН(С))Ь с пространством VН(С) как пространства целых функций V На (С), — требуется новый вариант известного результата Е.М. Дынькина [10, 42] о псевдоаналитическом продолжении. Этот результат формулируется в рамках подхода Данжуа-Карлемана, в котором степень гладкости функций измеряется с помощью оценок всех их производных через фиксированную числовую последовательность М = (М")ТО=0.

В связи с этим в настоящем разделе приводится исходная формулировка теоремы Е.М. Дынькина, которая затем распространяется на случай классов гладких функций, задаваемых последовательностями весов достаточно общего вида, удовлетворяющими некоторым естественным ограничениям.

1.2.1 Классы Карлемана и результат Е.М. Дынькина

Пусть Е — совершенное компактное множество в С, то есть, каждая точка Е является предельной для остальных его точек. Предположим, что для функции / : Е ^ С при каждом к Е N0 и любом г Е Е существует конечный предел

Функция / называется С— бесконечно дифференцируемой на Е, если при любых п € N0 и 0 < к < п в формуле Тейлора

f) = f 0Ю(С)+(г-С)+.. к)(г-С)п—*(г, С) (г, С € Е)

остаточные члены удовлетворяют условиям:

(г, С) = о(|г — £|п-^) равномерно по г, ( € Е.

Через СС?(Е) обозначим семейство всех С—бесконечно дифференцируемых на Е функций. Как известно, всякая С—бесконечно дифференцируемая функция является также бесконечно дифференцируемой в вещественном смысле (коротко, К—бесконечно дифференцируемой).

Для измерения степени гладкости бесконечно дифференцируемых функций применяется подход Данжуа-Карлемана, основанный на использовании оценок всех производных через весовые числовые последовательности. Именно, пусть М = (Мп)^=0 — возрастающая последовательность с М0 = 1.

Определение 1.2.1. Классом Карлемана А{м}(Е) называется пространство всех С—бесконечно дифференцируемых на Е функций /, для которых существует число Н = Н(/) > 0:

(г, С)| < Нп+1 М+ 1)! |* - ^|п-'+1 (п € N0; 0 < к < п; € Е).

В случае когда Е — квазидиск, классы Карлемана можно описать в более простой форме:

А{М}(Е) = {/ € С£(Е): ЗН> 0| (^)| < Н*+1М*,к € N0, г € Е}.

Напомним, что множество Е в плоскости называется квазидиском, если существует такая постоянная С > 0, что любые две точки из Е можно соединить спрямляемой кривой £(г1,г2), лежащей в Е и имеющей длину не большую С|г1 — г21. Ясно, например, что любая выпуклая ограниченная область в С является квазидиском.

Для дальнейшего изложения нам потребуется еще несколько понятий.

Определение 1.2.2. Последовательность М = (М")ТО=0 называется регу-

М"

лярной, если ассоциированная с ней последовательность Ш" := —- обладает

п!

свойствами:

(a) ш" < Ш"—1 Ш"+1 (п Е N);

(b) зд > 1 : Ш"+1 < д"+1Ш" (п Е N0); / \ 1/"

(c) Ш" ^ то при п ^ то.

Класс Карлемана, задаваемый регулярной последовательностью, также называется регулярным.

Условия регулярности (а)-(с) имеют естественный характер. Условие (а) означает, что последовательность (Ш")то=0 логарифмически выпукла. Как хорошо известно, при введении классов Карлемана его всегда можно выполнить, не ограничивая общности рассуждений. Точнее, всякую последовательность М, задающую класс Карлемана А{М}(Е) можно заменить на меньшую возрастающую последовательность со свойством (а), не изменив при этом исходный класс. Условие (Ь) эквивалентно замкнутости А{М}(Е) относительно дифференцирования, а условие (с) — тому, что А{М}(Е) содержит все голоморфные на Е функции.

Определение 1.2.3. Ассоциированным с последовательностью М весом называется функция

Нм (г) := т£ М"г"—1, г > 0. (1.2.1)

"ЕN п!

Заметим, что для регулярных последовательностей имеет место формула восстановления:

дж I ^М(г)

М" = .

г>0 '

Пример 1.2.4. Одними из самых известных классов Карлемана являются классы Жевре, задаваемые весовыми последовательностями М" = (п!)а+1, а > 1. Для них

^м(г) = е-

— e-1/r1/a

Теперь мы готовы привести результат Е.М. Дынькина [10, Теорема 2] (см. также [42, Theorem 2]) в авторской формулировке.

Теорема 1.2.5 (Е.М.Дынькин, 1974). Пусть M — некоторая регулярная последовательность. Тогда любая функция f £ A{m}(E) продолжается до R— бесконечно дифференцируемой функции F в R2 с

dF

F (Z)

dz

< ChM(Qp(Z,E)), Z £E,

где Е) — расстояние от (ЕЕ до Е, а С и д — некоторые постоянные, зависящие только от оценки / в А{М}(Е) и не зависящие от самой функции /.

Для наших целей потребуется топологический вариант этой теоремы, для формулировки которого нам нужна некоторая подготовка.

Из определения 1.2.1 следует, что

A{M}(E) = U ),

P>0

где A^ (E) — банахово пространство всех C-дифференцируемых на E функций f, для которых

(Z,z)|(n - k + 1)! м м sup sup sup ———---—p— =: Mf м < oo

n>0 0<k<n C,zGE, Pn+1Mn+i|( - Z|n fc+1 11 IIP,M

Z

и

If(n)(z)l м ,ПРМ

sup sup "^MT =: Mfм < o

а норма в A^ (E) определяется формулой

M^MI llxll , М .с М

lllfM|P,M := MfMP,M + MfM <

Из доказательства теоремы 2 в [10] (см. также замечание 2 на стр. 51 этой работы) следует такая версия теоремы 1.2.5.

Теорема 1.2.6. Существует такой линейный оператор продолжения T, действующий из пространства CC0(E) всех C-бесконечно дифференцируемых функций на E в пространство всех R-бесконечно дифференцируемых функций в C ~ R2, что для любого P > 0 найдутся такие положительные постоянные C и Q, что

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Андреева, Татьяна Михайловна, 2019 год

Литература

[1] Абанин А. В. О некоторых признаках слабой достаточности множеств //Математические заметки. — 1986. — Т. 40. — № 4. — С. 442-454.

[2] Абанин А. В. Густые пространства и аналитические мультипликаторы //Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. — 1994. — № 4. — С. 3-10.

[3] Абанин А. В. Слабо достаточные множества и абсолютно представляющие системы. Дис.... доктора физ.-мат. наук. Ростов-на-Дону, 1995. 268 с.

[4] Абанин А. В. Ультрадифференцируемые функции и ультрараспределения. — М.: Наука, 2007. — 222 с.

[5] Абанин А. В., Варзиев В. А. Достаточные множества в весовых пространствах Фреше целых функций //Сибирский математический журнал. — 2013. — Т. 54. — № 4. — С. 725-741.

[6] Абузярова Н.Ф., Юлмухаметов Р. С. Сопряженные пространства к весовым пространствам аналитических функций //Сибирский математический журнал. — 2001. — Т. 42. — № 1. — С. 3-17.

[7] Варзиев В. А., Мелихов С. Н. О сопряженном к пространству аналитических функций полиномиального роста вблизи границы //Владикавказский математический журнал. — 2008. — Т. 10. — № 4. — С. 17-22.

[8] Горина О. В. О разрешимости уравнения свертки в одном классе Жевре функций, аналитических в невыпуклой области //Математические заметки. — 1992. — Т. 52. — № 3. — С. 35-43.

[9] Державец Б. А. Пространства функций, аналитических в выпуклых областях Сж и имеющих заданное поведение вблизи границы // Доклады АН СССР. — 1984. —Т. 276. — № 6. — С. 1297-1301.

[10] Дынькин Е. М. Псевдоаналитическое продолжение гладких функций. Равномерная шкала //Математическое программирование и смежные вопросы. Теория функций и функциональный анализ (Труды VII Зимней школы. Дрогобыч). М.: АН СССР. Центральный экономико-математический институт, 1976. С. 40-73.

[11] Епифанов О. В. О разрешимости неоднородного уравнения Коши-Римана в классах функций, ограниченных с весом и системой весов //Математические заметки. — 1992. — Т. 51. — № 1. С. 83-92.

[12] Жаринов В. В. Компактные семейства ЛВП и пространства РБ и ЭРБ //Успехи математических наук. — 1979. — Т. 34. — № 4(208). — С. 97131.

[13] Коробейник Ю. Ф. О разрешимости в комплексной области некоторых классов линейных операторных уравнений. Ростов-на-Дону: Издательство ЮФУ, 2009. — 251 с.

[14] Коробейник Ю. Ф. Представляющие системы //Известия Российской академии наук. Серия математическая. — 1978. — Т. 42. — № 2. — С. 325355.

[15] Коробейник Ю. Ф. Представляющие системы //Успехи математических наук. - 1981. - Т. 36. - № 1. - С. 73-126.

[16] Леонтьев А. Ф. Целые функции. Ряды экспонент. — М.: Наука, 1983. — 176 с.

[17] Мелихов С. Н. Об абсолютно сходящихся рядах в канонических индуктивных пределах // Математические заметки. 1986.—Т. 39, № 6.— С. 877-886.

[18] Мусин И.Х. О преобразовании Фурье-Лапласа функционалов на весовом пространстве бесконечно дифференцируемых функций // Математический сборник. 2000.-Т. 191, № 10.-С. 57-86.

[19] Напалков В. В. Уравнения свертки в многомерных пространствах. - М.: Наука, 1982. - 240 с.

[20] Напалков В. В. Пространства аналитических функций заданного роста вблизи границы //Известия Российской академии наук. Серия математическая. - 1987. - Т. 51. - № 2. - С. 287-305.

[21] Полякова Д. А. О разрешимости неоднородного уравнения Коши-Римана в проективных весовых пространствах //Сибирский Математический Журнал. - 2017. - Т. 58. - № 1. -С. 185-198.

[22] Робертсон А. П., Робертсон В.Дж. Топологические векторные пространства / Перевод с английского Д. Ф. Борисовой. - Под редакцией и с приложениями Д. А. Райкова. - М.: Мир, 1967. - 258 с.

[23] Стейн Е. М. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций. - М.: Мир, 1973. - 344 с.

[24] Трунов К. В., Юлмухаметов Р. С. Квазианалитические классы Карлемана на ограниченных областях //Алгебра и анализ. — 2008. — Т. 20. — № 2. — С. 178-217.

[25] Хермандер Л. Введение в теорию функций нескольких комплексных переменных. Перев. с англ. — М.: Мир, 1968. — 279 с.

[26] Эдвардс Р. Функциональный анализ. Теория и приложения. — М.: Мир, 1969. — 1071 с.

[27] Юлмухаметов Р. С. Пространство аналитических функций, имеющих заданный рост вблизи границы //Математические заметки. — 1982. — Т. 32. — № 1. — С. 41-57.

[28] Abanin A. V., Ishimura R., Le Hai Khoi. Surjectivity criteria for convolution operators in A-TO //Comptes Rendus Mathematique. — 2010. — Т. 348. — № 5-6. — С. 253-256.

[29] Abanin A. V., Ishimura R., Le Hai Khoi. Convolution operators in A-TO for convex domains //Arkiv for Matematik. — 2012. — Т. 50. — № 1. — С. 1-22.

[30] Abanin A. V., Ishimura R., Le Hai Khoi. Extension of solutions of convolution equations in spaces of holomorphic functions with polynomial growth in convex domains //Bulletin des Sciences Mathematiques. — 2012. — Т. 136. — № 1. — С. 96-110.

[31] Abanin A. V., Le Hai Khoi. On the duality between A-TO(D) and A^TO for complex domains //Comptes Rendus Mathematique. — 2009. — Т. 347. — № 15-16. — С. 863-866.

[32] Abanin A. V., Le Hai Khoi. Dual of the function algebra A and representation of functions in Dirichlet series //Proceedings of the American Mathematical Society. - 2010. - T. 138. - № 10. - C. 3623-3635.

[33] Abanin A. V., Le Hai Khoi. Cauchy-Fantappie transformation and mutual dualities between A-TO(^) and ) for lineally convex domains //Comptes Rendus Mathematique. - 2011. - T. 349. - № 21-22. - C. 1155-1158.

[34] Abanin A. V., Le Hai Khoi. Cauchy transformation and mutual dualities between A-TO(^) and ATO(C^) for Caratheodory domains //Bulletin of the Belgian Mathematical Society-Simon Stevin. - 2016. - T. 23. - № 1. -C. 87-102.

[35] Abanin A. V., Le Hai Khoi, Nalbandyan Yu. S. Minimal absolutely representing systems of exponentials for A-TO(^) //Journal of Approximation Theory. - 2011. - Vol. 163. - № 10. - P. 1534-1545.

[36] Abanin A. V., Pham Trong Tien. Continuation of holomorphic functions and some of its applications //Studia Mathematica. - 2010. -T. 200. - № 3. -C. 279-295.

[37] Abanin A. V., Pham Trong Tien. Painleve null sets, dimension and compact embedding of weighted holomorphic spaces // Studia Math. -2012.-Vol. 213, № 2.-P. 169-187.

[38] Barrett D. E. Duality between and A-TO on domains with nondegenerate corners. Multivariable operator theory (Seattle, WA, 1993), 77-87 //Contemporary Mathematics. - T. 185.

[39] Belghiti T. (1995). Espaces de fonctions holomorphes a poids (Doctoral dissertation, Toulouse 3).

[40] Bell S. R. The Cauchy transform, potential theory and conformal mapping. — CRC press, 2015.

[41] Braun R. W., Meise R., Taylor B. A. Ultradifferentiable functions and Fourier analysis //Results in Mathematics. — 1990. — T. 17. — № 3-4. — C. 206-237.

[42] Dyn'kin E. M. Pseudoanalytic extensions of smooth functions. The uniform scale // Am. Math. Soc. Transl. — 1980. — Vol. 115. — № 2. — P. 33-58.

[43] Ehrenpreis L. Analytically uniform spaces and some applications //Transactions of the American Mathematical Society. — 1961. — T. 101. — № 1. — C. 52-74.

[44] Ehrenpreis L. Fourier analysis in several complex variables. New York: Wiley-Intersci. Publ., 1970. (Pure Appl. Math.; Vol. 17).

[45] Hedberg L. I. Weighted mean approximation in Caratheodory regions //Mathematica Scandinavica. — 1969. — T. 23. — № 1. — C. 113-122.

[46] Hormander L. Notion of Convexity, Progess in Mathematics, Volume 127. — 1994.

[47] Hormander L. On the range of convolution operators //Annals of Mathematics. — 1962. — T. 76. — № 1. — C. 148-170.

[48] Martineau A. Sur les topologie fonctionelles analytiques et la transformation de Fourier-Borel //J. Analyse Math. — 1963. — Vol. 9. — P. 1-163.

[49] Melikhov S.N. (DFS)-spaces of holomorphic functions invariant under differentiation //Journal of mathematical analysis and applications. — 2004. — T. 297. — № 2. — C. 577-586.

[50] Melikhov S. N., Momm S. Analytic solutions of convolution equations on convex sets with an obstacle in the boundary //Mathematica Scandinavica. — 2000. — T. 86. — № 2. — C. 293-319.

[51] Momm S. A division problem in the space of entire functions of exponential type //Arkiv for Matematik. — 1994. — T. 32. — № 1. — C. 213-236.

[52] Momm S. A Phragmen-Lindelof theorem for plurisubharmonic functions on cones in Cn //Indiana University Mathematics Journal. — 1992. — T. 41. — № 3. — C. 861-867.

[53] Polya G. Untersuchungen über Lücken und singularitaten von potenzreihen // Math. Z. — 1929. — Vol. 19. — P. 549-640.

[54] Schneider D. M. Sufficient sets for some spaces of entire functions //Transactions of the American Mathematical Society. — 1974. — T. 197. — C. 161-180.

[55] Straube E. J. Harmonic and analytic functions admitting a distribution boundary value //Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa-Classe di Scienze. — 1984. — T. 11. — № 4. — C. 559-591.

[56] Taylor B. A. Analytically uniform spaces of infinitely differentiable functions // Comm. Pure Appl. Math.—1971.—Vol. 24.—P. 39-51.

[57] Taylor B. A. Discrete sufficient sets for some spaces of entire functions //Transactions of the American Mathematical Society. — 1972. — T. 163. — C. 207-214.

Список работ по теме диссертации

[58] Абанин А. В., Андреева Т. М. Аналитическое описание сопряженных с пространствами голоморфных функций заданного роста в областях Каратеодори //Математические заметки. - 2018. - Том 104. -Выпуск 3. - С. 323-335.

[59] Андреева Т. М. Описание сопряженных для весовых пространств голоморфных функций заданного роста в выпуклых ограниченных областях //Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. - 2018. - № 1. - С. 4-9.

[60] Абанин А. В., Андреева Т. М. О сюръективности оператора свертки в пространствах голоморфных в области функций заданного роста //Владикавказский математический журнал. - 2018. - Том 20. -Выпуск 2. - С. 3-15.

[61] Андреева Т. М. Псевдоаналитическое продолжение с весовыми оценками //Математический анализ и математическое моделирование: труды X региональной школы-конференции молодых ученых «Владикавказская молодежная математическая школа» (Владикавказ, 21-27 июля 2014 г.). - Владикавказ: ЮМИ ВНЦ РАН, 2015. - 172 с. - С. 115-116.

[62] Андреева Т. М. Распространение теоремы Е. М. Дынькина о квазианалитическом продолжении на пространства, задаваемые последовательностями весов //Международная конференция "XXVI Крымская Осенняя Математическая Школа-симпозиум по спектральным и эволюционным задачам"(КРОМШ-2015): сборник тезисов. - Симферополь: ООО ФОРМА, 2015. - 136 с. - С. 3-4.

[63] Andreeva T. M., Abanin A.V. Duals for holomorphic weighted spaces in Caratheodory domains //Международная научная конференция «Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа и их приложения — VI» в г. Ростов-на-Дону. Материалы конференции. — Ростов-на-Дону: Издательский центр ДГТУ, 2016. — C. 55.

[64] Абанин А. В., Андреева Т. М. Описание сопряженных для пространств голоморфных функций заданного роста в областях Каратеодори //Материалы международной конференции по алгебре, анализу и геометрии, посвященную юбилеям выдающихся профессоров Казанского университета, математиков Петра Алексеевича (1895-1944) и Александра Петровича (1926-1998) Широковых, и молодежной школы-конференции по алгебре, анализу, геометрии. — Казань: Казанский университет; издательство Академии наук РТ, 2016. — 376 с. — С. 75-76.

[65] Андреева Т. М. О сюръективности операторов свертки на пространствах голоморфных функций заданного роста в выпуклых ограниченных областях //Материалы Международного молодежного научного форума «ЛОМОНОСОВ-2017» / Отв. ред. И.А. Алешковский, А.В. Андриянов, Е.А. Антипов. [Электронный ресурс] — М.: МАКС Пресс, 2017.

[66] Абанин А. В., Андреева Т. М. Сопряженные пространства с весовыми пространствами голоморфных функций заданного роста в выпуклых областях //Теория операторов, комплексный анализ и математическое моделирование: тезисы докладов XIII Международной научной конференции (пос. Дивноморское, 7-14 сентября 2016 г.). — Владикавказ: ЮМИ ВНЦ РАН, 2016. — 257 с.

[67] Andreeva T. M., Abanin A.V. The surjectivity of convolution operators on holomorphic weighted spaces in bounded convex domains //Международная научная конференция «Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа и их приложения — VII» в г. Ростове-на-Дону. Материалы конференции. — Ростов-на-Дону: Издательский центр ДГТУ, 2017. — C. 15.

[68] Андреева Т. М. Критерий сюръективности операторов свертки на весовых пространствах аналитических функций в выпуклых ограниченных областях //Порядковый анализ и смежные вопросы математического моделирования: тезисы докладов XIV Международной научной конференции (с. Цей, 3-8 июля 2017 г.). — Владикавказ: ЮМИ ВНЦ РАН, 2017. — 217 с.

[69] Андреева Т. М. Об условиях сюръективности операторов свертки в пространствах голоморфных в области функций заданного роста //Современные методы теории краевых задач: материалы конференции, посвященной 90-летию Владимира Александровича Ильина (2-6 мая 2018 г.) / Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова; Воронежский государственный университет; Математический институт имени В.А. Стеклова РАН; Вычислительный центр имени А.А. Дородницына ФИЦ ИУ РАН. — Москва: МАКС Пресс, 2018. — 288 с. — (Понтрягинские чтения — XXIX).

[70] Андреева Т. М. О критериях сюръективности для операторов свертки, определенных на весовых пространствах голоморфных функций заданного роста вблизи границы выпуклой ограниченной области //Функциональные пространства. Дифференциальные операторы.

Проблемы математического образования : тезисы докладов Пятой Международной конференции, посвященной 95-летию со дня рождения члена-корреспондента РАН, академика Европейской академии наук Л. Д. Кудрявцева. Москва, РУДН, 26-29 ноября 2018 г. - Москва: РУДН, 2018. - 476 с. - С. 41-42.