Канонические весовые системы в теории пространств бесконечно дифференцируемых и голоморфных функций тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Фам Чонг Тиен

• Фам Чонг Тиен
• кандидат физико-математических наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Фам Чонг Тиен

СОДЕРЖАНИЕ

Введение

Глава 1. Классы весов, используемые в теории ультрараспределений и ультрадифференцируемых функций

1.1 Теории ультрараспределений и их сравнение

1.1.1 Общее понятие теории ультрараспределений

1.1.2 Классические теории ультрараспределений Румье - Коматсу и Берлинга - Бьорка

1.1.3 Расширение теории Берлинга - Бьорка

1.2 Класс почти субаддитивных весов достаточен для построения теории Брауна - Майзе - Тейлора

1.2.1 Основная лемма

1.2.2 Заключительные замечания

1.3 Зоны устойчивости медленно меняющихся весов в аналогах теоремы Бореля

1.3.1 Постановка задачи и формулировка основных результатов

1.3.2 Вспомомательные результаты

1.3.3 Доказательство теоремы 1.11

1.3.4 Доказательство теоремы 1.12

Глава 2. Весовые системы, используемые в теории пространств

целых функций

2.1 Основные понятия канонических весов и весовых последовательностей

2.2 Теорема хермандеровского типа о продолжении голоморфных функций с сохранением оценок роста

2.3 Семейства целых функций со специальными оценками

2.4 Достаточные условия каноничности

Глава 3. Приложения к некоторым конкретным задачам в теории весовых пространств бесконечно дифференцируемых и целых функций

3.1 Классы мультипликаторов весовых пространств целых функций

3.2 Разрешимость интерполяционных задач в весовых пространствах целых функций

3.2.1 Общая интерполяционная задача

3.2.2 Простая интерполяционная задача в индуктивных пределах весовых пространств целых функций

3.3 Описание сопряженного к весовому пространству Фреше бесконечно дифференцируемых функций в М^

3.3.1 Постанока задачи и формулировка основного результата

3.3.2 Вспомогательные результаты

3.3.3 Схема доказательства теоремы 3.12

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Канонические весовые системы в теории пространств бесконечно дифференцируемых и голоморфных функций»

Введение

Актуальность темы. В диссертации рассматриваются пространства бесконечно дифференцируемых функций с ограничениями на рост производных и пространства голоморфных функций с равномерными весовыми оценками. Весовые шкалы таких пространств широко применяются в теории аппроксимации и интерполяции, теории роста целых функций и их приложениях, теории двойственности различных функциональных пространств, теории распределений и ее обобщениях, анализе Фурье, уравнениях в частных производных, в математической и теоретической физике. Эти пространства интенсивно изучались с различных точек зрения многими математиками (К. D. Bierstedt, J. Bonet, J. Taskinen, W. H. Summers, A. Beurling, G. Björck, H. Komatsu, C. Roumieu, R. Meise, В. A. Taylor, R. Braun, Ю. Ф. Коробейник, А. В. Абанин, В. В. Напалков, И. X. Мусин и др.). Наиболее известными примерами этих пространств являются весовые пространства голоморфных функций, пространства ультрадифференцируемых функций, весовые пространства бесконечно дифференцируемых функций с компактным носителем, используемые для определения теории ультрараспределений.

Одной из важнейших проблем для таких пространств является описание их свойств и операторов в них в терминах весовых функций, их определяющих. Для эффективного изучения этой проблемы требуется выбрать оптимальные или канонические, в определенном смысле, классы весовых функций. Например, для изучения разных задач, касающихся теорий ультрараспределений и пространств ультрадифференцируемых функций, наиболее подходящими оказались весовые функции в смысле Брауна - Майзе - Тейлора. Именно, в терминах таких весов был оконча-

тельно решен вопрос о справедливости аналогов теорем Бореля и Уитни о продолжении, проводилось сравнение классических теорий ультрараспределений, найдены критерии разрешимости уравнений в частных производных и свертки и установлены условия наличия у соответствующих операторов линейных непрерывных правых обратных. А для исследований многих вопросов в весовых пространствах голоморфных функций существенную роль играют понятия канонических весовых функций и весовых систем. Например, в терминах таких весов изучались композиционные операторы и вопрос о двойственности в банаховых весовых пространств голоморфных функций. В связи с этим тематика диссертации нам представляется актуальной.

Цели работы:

• исследование класса почти субаддитивных весов в смысле Брауна -Майзе - Тейлора, используемых в определении классических теорий ультрараспределений;

• изучение класса медленно меняющихся весов в смысле Брауна -Майзе - Тейлора, которые играют существенную роль в задаче о справедливости аналогов теорем Бореля и Уитни о продолжении для пространств ультрадифференцируемых функций нормального типа;

• введение понятия канонических, в определенном смысле, весовых последовательностей, используемых для определения пространств целых функций, удовлетворяющих равномерным весовым оценкам; получение достаточных условий каноничности для рассматриваемых весовых последовательностей;

• применение полученных результатов к исследованию следующих задач:

— задача об описании класса мультипликаторов в весовых пространствах целых функций многих переменных;

— интерполяционная задача в весовых пространствах целых функций одной переменной;

— задача об удобном для приложений описании сопряженных к весовым пространствам бесконечно дифференцируемых функций с помощью преобразования Фурье - Лапласа.

Методы исследований. В диссертационной работе используются методы современного и классического функционального, вещественного и комплексного анализа, а также методы теории двойственности. В частности, используются операторные методы комплексного анализа, плю-рисубгармонические функции, теоремы об открытом отображении и замкнутом графике, выпуклые функции, обращение правила Лопиталя, основы теории ультрараспределений и ультрадифференцируемых функций.

Научная новизна и практическая значимость. Полученные в диссертации результаты являются новыми, носят теоретический характер и могут найти дальнейшее применение, например, к разрешимости уравнений типа свертки, а также к изучению теории весовых пространств голоморфных функций. Они могут быть использованы специалистами, работающими в ряде ведущих российских и зарубежных научных центров.

Апробация работы. Материал неоднократно докладывался на на-

учном семинаре кафедры математического анализа Южного федерального университета (руководители - профессор Ю. Ф. Коробейник и профессор А. В. Абанин), на студенческих научных конференциях факультета математики, механики и компьютерных наук, на международной конференции "Теория операторов, комплексный анализ и математическое моделирование"(Волгодонск, 2009 и 2011 гг.), на международной конференции "Порядковый анализ и смежные вопросы математического моделирования"(Владикавказ, 2010 г.), на международной конференции молодых ученых "Математический анализ и математическое моделирование" (Владикавказ, 2010г), и на международной конференции "Finite or infinite dimensional complex analysis and applications"(Ханой, Вьетнам, 2012 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 7 работ. Результаты главы 1 опубликованы в [63,64,69], главы 2 — в [65,68], и главы 3 — в [65-68]. В совместных с научным руководителем публикациях [63-65,68,69] А. В. Абанину принадлежат постановки задач и окончательная редактура текста, а Фам Чонг Тиену — основные результаты и их доказательства.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы из 69 наименований. Определения, предложения, теоремы и следствия имеют свою независимую нумерацию, содержащую номер главы, параграфа и результата. Объем диссертации - 114 страниц машинописного текста.

Обзор главы 1. В первой главе диссертации исследуются классы почти субаддитивных и медленно меняющихся весов в смысле Брауна -Майзе - Тейлора, используемых в теории ультрараспределений и теории

ультрадифференцируемых функций.

Пусть и - вес или весовая функция в смысле Брауна - Майзе - Тейлора, то есть, непрерывная неубывающая на [0, оо) неотрицательная функция, для которой выполнены следующие условия:

(а) а>(2£) = О(си^)) при Ь -> сю;

(7) 1п(£) = о(а;(£)) при £ —>• оо;

(<5) <рш(х) := оо(ех) выпукла на [0, оо).

Обозначим через множество всех таких весовых функций. По каждому весу о/ Е образуем следующие пространства

: = {д Е V{RN) : ||р||л < оо при всех к > 0},

:= {д Е Т>{ШМ) : ||р||л < оо при некотором к > 0}.

Здесь, ||А := [ Ш := [ д{х)е~г<^>ах - преобразо-

JШ.N JшN

вание Фурье функции д и - пространство всех бесконечно диф-

ференцируемых в М^ функций с компактными носителями. Семейства (Х>(и,)(Мдг))а,€п и составляют теории ультрараспределений

Брауна - Майзе - Тейлора (общее понятие теории ультрараспределений приведено в работе [51]).

Отметим, что в [48] было доказано, что теория Брауна - Майзе - Тейлора эквивалентна классической теории Румье - Коматсу, которая строго шире, чем теория Берлинга - Бьорка.

Пусть 5 := {а Е Г2 : а — субаддитивный вес}. Тогда в соответствии с [39] и [51] семейство задает теорию Берлинга - Бьорка

и перечисленные выше сравнения классических теорий ультрараспределений можно переформулировать в терминах весовых функций следующим образом. Класс всех весов задает теорию Брауна - Майзе - Тейлора, эквивалентную теории Румье - Коматсу, а его подкласс, состоящий из субаддитивных весов, определяет теорию Берлинга - Бьорка, которая строго уже, чем у Румье - Коматсу.

Таким образом, класс всех субаддитивных весов, определяющий теорию Берлинга - Бьорка, не достаточен для построения теории Брауна -Майзе - Тейлора. Поэтому вместо этого класса можно попытаться рассмотреть чуть более широкий класс всех почти субаддитивных весов, который играет существенную роль в изучении пространств ультрадиф-ференцируемых функций нормального типа. Напомним, что функция / : [0, оо) —> [0, оо) называется почти субаддитивной, если при каждом q > 1 найдется С > 0 такое, что:

fix + у)< q(f(x) + f(y)) + С, \/х, у> 0.

В связи с этим первой задачей главы 1 диссертации является исследование достаточности класса всех почти субаддитивных весов для построения теории ультрараспределений Брауна - Майзе - Тейлора. Для решения этой задачи в § 1.1 настоящей главы приводятся краткий обзор известных классичеких теорий ультрараспределений и их сравнение. Затем, в § 1.2, доказывается достаточность класса всех почти субаддитивных весов для построения теории Брауна - Майзе - Тейлора. Именно, справедлива следующая теорема.

Теорема А. Подмножество AS всех почти субаддитивных весов является достаточным подмножеством весовых функций.

Отметим, что доказательство теоремы А проводится с помощью следующей основной леммы.

Основная лемма. Для любого веса и существует почти субаддитивный вес у такой, что < > 0.

Весовые функции используются также для определения пространств ультрадифференцируемых функций. В § 1.3 рассматривается класс медленно меняющихся весовых функций, необходимость которого впервые, по-видимому, возникла в процессе решения задачи Бореля о продолжении для пространств ультрадифференцируемых функций нормального типа. Именно, в [35] и [8] была решена задача о продолжении по Борелю для пространств ультрадифференцируемых функций Берлинга и Румье нормального типа и было установлено, что в случае таких пространств нормального типа, соответствующих данному весу си, аналог теоремы Бореля верен тогда и только тогда, когда и медленно меняется.

Итак, медленное изменение веса — необходимое и достаточное условие справедливости аналогов теоремы Бореля о продолжении для пространств Берлинга и Румье нормального типа, им (весом) задаваемых.

В связи с этим результатом второй задачей главы 1 является установка двух зон устойчивости медленно меняющихся весов, которые непосредственным образом связаны с наличием или отсутствием аналога теоремы Бореля о продолжении для пространств ультрадифференцируемых функций Берлинга и Румье нормального типа. Основные результаты, касающиеся этой задачи, содержатся в следующих теоремах, в которых использованы обозначения:

ш(г) 1па>(г)

ги := Итэир—2—-, Ьи := Ьтэпр ,

*-*» 1п (£) ¿->оо

а символом 5У обозначен класс всех медленно меняющихся весов.

Теорема В. Справедливы следующие утверждения: (1) Всякий вес и, для которого гш < оо, является медленно меняю-

щимся.

(2) Если гш = оо, то существует такой вес <7 £ БУ, что сг(£) < ш(£) при всех £.

Теорема С. Справедливы следующие утверждения: (1) Всякий вес и, для которого > 0, не является медленно меняю-

(2) Если = 0, то имеется медленно меняющийся вес а, для которого < с"(£) при всех £ > 0 и — о(<т(£)) при Ь —»• оо.

Отметим, что доказательства первых утверждений теорем В и С проводятся отличным от [7] методом, основанном на применении обобщенного правила Лопиталя и его обращения.

Обзор главы 2. Вторая глава диссертации посвящена исследованию канонических, в определенном смысле, весовых последовательностей, используемых для определения пространств целых функций, удовлетворяющих равномерным весовым оценкам.

Для непрерывной вещественнозначной функции (р в Ср введем следующее весовое пространство

которое является банаховым с нормой Ц.Ц^, где Н(СР) - семейство всех целых функций в Ср.

Пространства данного вида рассматривались во многих работах и в разных направлениях (см., например, [36]- [38], [41]- [43], [46]).

Через V будем обозначать множество всех </? таких, что соответствующее пространство Е(<р) является неисчезающим в Ср. Напомним, что

щимся.

класс Е С Н(СР) называется неисчезающим в Ср, если для любой точки го € Ср существует функция / Е Е с /(го) ^ 0. Элементы V называются весами.

Будем говорить, что вес </? подчинен весу ф (<р < ф), если имеется такая постоянная С > О, что <р(г) < ф(г) + С для всех г € Ср. Если

называются эквивалентными (<р ~ ф). Ясно, что Е(<р) Е(ф), когда (р -< ф, и Е(<р) = £'('0), когда ср ~ ф. Для (р 6 V определим логарифмически правильный (или, просто, правильный) вес Тр следующим образом

Тр(г) := зир{1оё |/(г:)| : / € %)}, г € 0\

где В(<р)~ единичный шар в Е(<р). Заметим, что Тр = 1од(е1ргде ассоциированная функция с е9 в смысле [38]. Вес называется каноническим, если (/? ~ </?, или, что то же самое, ф < Тр. Отметим, что канонические веса играют существенную роль в изучении многих задач, решаемых с помощью весовых пространств голоморфных функций.

Через У^ обозначим семейство всех последовательностей Ф = (<£>п)^1, члены которых <рп принадлежат V и удовлетворяют условию подчиненности <р\ -< ¡р2 ~< ■■■■ Для каждой Ф Е У^ определим локально выпуклое

оо

пространство /(Ф) := Е(<рп), наделенное естественной индуктивной

71 = 1

топологией. Элементы У^ называются индуктивными весовыми последовательностями.

В "двойственном" проективном случае, когда У >~ • ■■, будем рас-

00

сматривать пространство Фреше Р(Ф) := Е((рп); топология в -Р(Ф)

71=1

задается системой норм (Н-Ц^)^. Ясно, что такое пространство может быть исчезающим в некоторых точках (более того, тривиальным), хотя каждое Е{^рп) является неисчезающим в Ср. В этой связи отметим, что

/(Ф)- неисчезающее в Ср пространство для любой последовательности Ф Е УИмея в виду сказанное, обозначим через У^ множество весовых последовательностей Ф таких, что (р\ >- <р2 >~ ■•• и Р(Ф) является неисчезающим в Ср. Элементы У^ называются проективными весовыми последовательностями.

Следует заметить, что насколько нам известно, для таких весовых пространств индуктивного и проективного вида до сих пор не вводилось "четкое" понятие канонических весовых последовательностей, хотя некоторые индуктивные и проективные весовые последовательности с определенными свойствами использовались в разных вопросах, касающихся операторов свертки, интерполяции, проективного описания индуктивных топологий, достаточных множеств и продолжения бесконечно дифференцируемых функций с замкнутых множеств (см. [1], [20], [21], [34], [38]). В связи с этим основными целями главы 2 являются следующие:

• введение понятия канонических индуктивных и проективных весовых последовательностей;

• получение достаточных условий каноничности для весовых последовательностей обеих типов.

Следует отметить, что проективный случай более сложен и его исследование имеет некоторые особенности. Заметим также, что вводимые нами определения канонических весовых последовательностей (индуктивной и проективной) основаны на понятии ассоциированных весовых функций из [38] (см. также [36]).

В § 2.1 вводятся и обсуждаются понятия канонических весовых последовательностей, которые определяются следующим образом.

В индуктивном случае будем говорить, что последовательность Ф Е У^ подчинена последовательности Ф = (фп)™=1 Е У^ (Ф -< Ф), если для любого п Е N имеется такое число тбМ, что (рп -< трт. Если Ф -< Ф и Ф Ч Ф, то Ф и Ф называются эквивалентными (Ф ~ Ф). Индуктивную весовую последовательность Ф назовем канонической, если Ф ~ Ф, где

В проективном случае будем говорить, что последовательность Ф Е У^ подчинена последовательности Ф Е У^ (Ф ~< Ф), если для каждого п Е N имеется такое га Е М, что (рт -< фп. Как и в индуктивном случае, Ф и Ф из У^- называются эквивалентными (Ф ~ Ф), если Ф -< Ф и Ф -< Ф. Проективную весовую последовательность Ф назовем канонической, если Ф ~ Ф, где Ф := и рп(г) := |/(г)| : / Е Р(Ф) П

ВЫ} (пЕМ).

В § 2.4 получены достаточные условия каноничности весовых последовательностей. Остановимся на результатах последнего параграфа подробнее (см. ниже теоремы Б и Е).

Невозрастающую С1 - функцию р : [0, оо) —(0,1] будем называть регулярной функцией расстояния, если

//(£) —>• 0 при Ь —оо и \ogp{ex) вогнута на Е.

Положим р{г) := р{\г\) для г Е Ср (р Е К). Будем говорить, что функция ц) является р—медленно меняющейся в Ср, если существует Со Е [0, оо) такое, что

|<р(г) — </?(С)| < Со для всех С Е Ср с \г — £| < р(г).

Теорема О. Пусть р — регулярная функция расстояния и Ф = {^Рп)п=1 — индуктивная весовая последовательность, состоящая из р

- медленно меняющихся плюрису б гармонических функций. Если для каждого п Е N существуют такие числа т Е N и Dn > О, что

1 + Ы2

ipn(z) + log < <pm(z) + Dn для всех z Е Ср,

то Ф является канонической.

Будем говорить, что проективная весовая последовательность Ф является слабо приведенной, если при каждом k Е N имеется такое число п Е N, что Р(Ф) плотно в E(ipn) по норме

Теорема Е. Пусть р — регулярная функция расстояния и Ф = (fpn)^=1 — слабо приведенная проективная весовая последовательность, состоящая из р - медленно меняющихся плюрисубгармонических функций. Если для каждого п Е N существуют такие числа т Е N и Dn > 0, что

1 + Ы2

(Pmiz) + log —< ipn(z) + Dn для всех z Е Ср.

Piz)

то Ф является канонической.

На наш взгляд, следует особо отметить, что доказательства теорем D и Е основаны на полученном в § 2.2 обобщении известной теоремы Хермандера о продолжении голоморфных функций с оценками роста с комплексной плоскости во все пространство Ср и его приложениях к построению семейств целых функций со специальными оценками в § 2.3. Сформлируем основные результаты из этих двух параграфов, предварительно заметив, что для всякой регулярной функции расстояния существуют такие постоянные и Bq, что

\p'(t)| < Д), p(t) < B0p(t + p{t)) для всех t > 0.

Теорема F. Пусть р — регулярная функция расстояния, <р - р -медленно меняющаяся плюрисубгармоническая функция в Ср и Со —

постоянная из условия медленного изменения <р. Тогда для всякой комплексной плоскости Е в Ср размерности к и голоморфной на Е функции f, для которой

\оё\/(г)\<ф) (геЕ),

существует целая функция ^ еСр такая, что = / и

1

<¥>(*) +(2р - &) 1оё

+ -^—2-1оё(1 + |,г|2) + ^-1оё(1 + 4) + М,

где (¿е _ расстояние от начала координат до Е и М - абсолютная константа., которая зависит от Ло, Во, Со, р, к и не зависит от <р, Е, /, р.

Это обобщение имеет самостоятельный интерес и может быть использовано в теории целых функций многих переменных и ее приложениях. В частности, с его помощью в § 2.3 настоящей главы строятся семейства целых функций, играющие важную роль в теории уравнений свертки, интерполяции, продолжении бесконечно дифференцируемых функций с замкнутых множеств и проективном описании индуктивных топологий (см. [1], [20], [21], [34], [44], [56], [57]).

Предложение С. Пусть р - регулярная функция расстояния, р - р - медленно меняющаяся плюрису б гармоническая функция в <СР и Со- константа из условия медленного изменения р. Тогда существует семейство Я = {д% : £ £ С7} целых функций в Ср таких, что выполняются следующие условия:

\д&)\ < + \*\2)3р+1еф) для всех г е Ср}

где М - абсолютная постоянная, зависящая только от Ао, Во и Со.

Доказательства теоремы Е и предложения С проводятся с помощью метода Ь2 - оценки для решения д - задачи (см. [31]).

Обзор главы 3. В третьей главе диссертации рассматриваются применения канонических весовых последовательностей к двум задачам в теории весовых пространств целых функций и к одной задаче в теории двойственности весовых пространств бесконечно дифференцируемых функций. Материал третьей главы разбит на три параграфа, соответствующих этим трем задачам.

В параграфе § 3.1 изучается задача об описании класса мультипликаторов в весовых пространствах целых функций. Ранее она исследовалась в работах [19], [20] и [2] в связи с изучением достаточных множеств. Напомним общую постановку задачи.

Пусть Е, Р- локально выпуклые пространства целых функций в Ср такие, что Е,Р ^ Н(С7); при этом Н(СР) наделяется естественной топологией равномерной сходимости на компактах Ср. Целая функция д называется мультипликатором из Е в .Р, если /// Е Р для любой / Е Е. Обозначим через Л4(Е,Р) множество всех мультипликаторов из Е в Р. Нас интересует описание классов М(1{Ф), /(Ф)) и М(Р{Ф), Р(Ф)), где Ф и Ф - некоторые индуктивные или проективные весовые последовательности. Следует отметить, что в [20] для индуктивного случая и в [2] для проективного описание таких классов мультипликаторов было установлено при некоторых ограничениях на весовые функции, вызванных использованием теоремы Хермандера о разрешимости неоднородного уравнения Коши - Римана с весовыми оценками. Поэтому в силу полученных результатов второй главы, основной целью параграфа § 3.1 является получение полного описания класса всех мультипликаторов для индуктивных и проективных весовых пространств целых функций мно-

гих переменных в более общей ситуации, чем в упомянутых работах. Основным результатом является следующая теорема.

Теорема Н. Пусть Ф и Ф — две индуктивные или две проективные весовые последовательности. Если Ф является канонической, то справедливо следующее представление

оо оо

М(/(Ф),/(Ф))= П и Е^гп-Ч>п)

71= 1 771=1

или, соответственно,

оо оо

М{Р{Ф),Р{Щ = П и Е(Фт-<Рп)

771=1 71=1

Доказательство теоремы Н проводится методами из [20] и [2].

В параграфе § 3.2 рассматривается интерполяционная задача в индуктивных весовых пространствах целых функций одной переменной, которая была изучена Ю.Ф. Коробейником в разных работах (см., например, [16]- [18], [22], [21]). Приведем общую постановку задачи об интерполяции.

В вышеупомянутых работах исследовалась интерполяционная задача вида

/(в*_1)(А*) = <**■* = 1,2,...,

где Л = - последователность попарно различных точек области

С комплексной плоскости, не имеющая предельных точек в С (такие последователности называются далее разреженными или дискретными в С); {й/с}^ - последовательность натуральных чисел (не обязательно различных), й/с > 1 ,к = 1,2,...; {(4}^ - заданная последовательность комплексных чисел. Эта задача называется простой, если 5^ = 1, к 6 N. Решение / исследуемой задачи разыскивалось в полном отделимом локально выпуклом пространстве (ЛВП) Е, непрерывно вложенном в про-

странство Я (С) всех аналитических в области (? функций с топологией равномерной сходимости на компактах С.

Нужно отметить, что в [21] была доказана разрешимость простой интерполяционной задачи в индуктивных весовых пространствах голоморфных функций при сложных условиях густоты и финитной насыщенности относительно дискретной последовательности точек, которые непросто проверяются в общем случае. В связи с этим, основной задачей параграфа § 3.2 является получение, при помощи канонических весовых последовательностей, более простого и более общего, по сравнению с полученными в упомянутых работах, результата для этой простой интерполяционной задачи в случае целых функций.

Основной результат содержится в следующей теореме, в которой для Ф, Ф Е И использованы следующие обозначения:

/(Ф - Ф) := {/ е Я(С) : Уп > 1 Зт > 1 : ЫФт-^п < оо}; ГФ := {й = : Зп > 1 36 < оо : |4| < ЪеЫХк\ к = 1, 2,...} .

Теорема I. Пусть Ф, Ф - индуктивные весовые последовательности из У^, и Ф является канонической; Л = {Л/с}^=1 - дискретная последовательность точек в С. Предположим, что последовательность функций {Скиз пространства /(Ф —Ф) такова, что \j — нуль £к(г) кратности при любых у, к > 1 и последовательность —

\к)~тк}?=1, где гпк = ^к,к, ограничена в /(Ф — Ф). Пусть, наконец,

Тогда простая интерполяционная задача разрешима в 1(Ф) для любой последовательности с1 из Гф.

Доказательство теоремы I проводится по методу, предложенному в [21] для исследования интерполяционной задачи.

Наконец, в параграфе § 3.3 исследуется задача об удобном для приложений описании сопряженных к пространствам бесконечно дифференцируемых функций с весовыми оценками всех производных в пространстве с помощью преобразования Фурье - Лапласа. Отметим, что эта задача в случае на прямой или в пространстве ранее рассматривалась Б. А. Тейлором, С. В. Попеновым, И. X. Мусиным (см. [24]- [26], [59]).

Общая постановка рассматриваемой задачи формируется следующим образом.

Пусть Ф = {фп)п= ! - последовательность выпуклых функций фп в Ж , удовлетворяющих следующим условиям:

|х| = о(фп{х)) при х —>• оо, Vn G N;

Vn G N 3bn > 0 : фп+\(х) < фп(х) + 6n, Vx 6 RN.

Пусть = - последовательность неубывающих функций шп

таких, что ип(ех) выпукла на Ж, logi = o(ujn(t)), t —>• оо, и

Vn G N ЗСп > 0 : un{t) < un+i(t) + С„, Vi G [0, оо).

Положим ipn(t) := ujn(et), n £ N. Для данной функции ф : Жм —> R, подчиненной условию = о(ф(х)) при х —>■ оо, обозначим ф(х) := ф*(—х), х G где ф*— сопряженная по Юнгу к функции ф.

Для весовых последовательностей Ф и Q образуем следующие функциональные пространства

С{Ып)Ш := {/eCTO(R"):||/||n<oo},

РшШ ■= {feH(CN):pn(f)<oo},

оо оо

С(П)(Ф) := П С{Ыа)Ш, Р(п)(Ф) := (J Р{Ын)Ш,

71=1 71=1

здесь нормы ||/||п и pn(f) определяются следующим образом:

llfll l/(Q)(z)l \ f\\n := sup sup --,

хек" a€N0" exp(y?;(|a|) + фп{х)) PnU) := sup I/Wl

ге<с" ехр(фп(1тг) + ип(И)) Наделим пространство С(п)(Ф) топологией проективного предела банаховых пространств С(и,п)('07г), то есть, топологией, задаваемой семейством норм (|| ■ ||П,п Е М), а пространство — топологией индуктивного предела банаховых пространств Р^г^(фп).

Для функционала Т Е (С(п)(Ф))' определим преобразование Фурье -

/•у XV. _ .

Лапласа Т по формуле Т{г) := Т(ег< '2>), г Е С .

Нас интересует вопрос о том, при каких условиях на весовых последовательностях Ф и Г2 преобразование Фурье - Лапласа Т устанавливает топологический изоморфизм между сильным сопряженным пространством (С(Г2)(Ф))г, и пространством Р(П)(Ф).

В [25] И. X. Мусин изучал этот вопрос и привел следующие условия на последовательностях Ф и

Фп(х) = Ф{х) — n\og(l + |:т|) и ип(х) = си(пх),

где

= 0{ф{х)) и ф(х) = 0{\х\и) при х ->• оо,

ф выпукла, а и определяется с помощью некоторой последовательности положительных чисел, удовлетворяет некоторым естественным условиям и = 0(£) при £ —> оо.

Основной целью параграфа § 3.3 является получение с помощью результатов второй главы нового, более общего по сравнению с установленным в [25], результата для задачи об описании сопряженного к весовому пространству Фреше бесконечно дифференцируемых функций в

Именно, вместо последовательностей Ф и О в [25] будем рассматривать последовательности из классов Ф^ и которые определяются следующим образом:

Пусть V > 1, д е (1 а е [1, и У*,? ~ совокупность всех

последовательностей Ф = (гфп)^=1 выпуклых функций в М^ таких, что

= 0(фп{х)) и фп{х) = 0{\х\и) при X -> 00, УпеМ;

За > 0;\/п Е N ЗЬп > 0 : фп(х) - фп+\{х) > а1п(1 + \х\) - Ьп, Ух Е М^.

- множество всех последовательностей О, = неубывающих

функций на [0, оо) таких, что

и)п(ех) выпукла на К и о;п(0) = 1, Уп£ М;

^^ = о(шп{Ь)) и ип({) = 0{Ьа) при Ь —> оо, \ZnGN;

Уп е N зсп > о : шп(г) + 1п(1 + ¿) < + с„, V* е [о, оо).

Основным результатом в § 3.3 является следующая теорема:

Теорема ,1. Для любых весовых последовательностей Ф е Ф^д и г2 е отображение

устанавливает топологический изоморфизм между пространствами

(стт'ьир{п)т.

Отметим, что пространства, исследованные И. X. Мусиным в [25], являются частными случаями рассматриваемых нами пространств. При этом, доказательство теоремы Л не претерпевает по сравнению с [25] существенного изменения.

Автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю профессору А. В. Абанину за постановку задач и постоянное внимание к работе.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Фам Чонг Тиен, 2013 год

Список литературы

[1] Абанин А. В. О некоторых признаках слабой достаточности // Мат заметки,—1986.—Т. 40, № 4.-С. 442-454.

[2] Абанин А. В. Густые пространства и аналитические мультипликаторы // Изв. вузов. Сев.- Кавк. регион. Естеств. науки,—1994.—№ 4,— С. 3-10.

[3] Абанин А. В. Характеризация классов ультрадифференцируемых функций, допускающих аналог теоремы Уитни о продолжении // Докл. РАН,—2000.—Т. 371, № 2.-С. 151-154.

[4] Абанин А. В. Ультрадифференцируемые функции и ультрараспределения. —М.: Наука, 2007—222с.

[5] Абанин А. В. Ультрараспределения и преобразование Фурье // Исследования по современному анализу и математическому моделированию. - Владикавказ: Владикавказский научный центр РАН и РСО-А,—2008.—С. 87-103.

[6] Абанин А. В., Филипьев И. А. Аналитическая реализация пространств, сопряженных к пространствам бесконечно дифференцируемых функций // Сиб. мат. журн.-2006.-Т. 47, № З.-С. 485-500.

[7] Абанин Д. А. О зонах устойчивости в задаче Уитни о продолжении для ультрадифференцируемых функций // Мат. заметки,—2002,— Т. 71, № 2.-С. 163-167.

[8] Абанина Д. А. Об аналогах теоремы Бореля для пространств ультрадифференцируемых функций нормального типа // Изв. вузов. Математика.—2003.—№ 8—С. 63-66.

[9] Абанина Д. А. О классах весов, используемых при определении пространств ультрадифференцируемых функций // Изв. вузов. Сев.-Кав. регион. Естеств. науки,—2005.—№ 1— С. 3-7.

[10] Брайчев Г. Г. Введение в теорию роста выпуклых и целых функций. -М.: Прометей, 2005.-232с.

[11] Братищев А. В. Обращение правила Лопиталя // Сб. "Механика сплошной среды". - Ростов-на-Дону: РГУ.—1985.-С. 28-42.

[12] Бронштейн М. Д. Продолжение функций в неквазианалитических классах Карлемана // Изв. вузов. Математика.—1986. № 12.—С. 1012.

[13] Джанашия Г. А. О задаче Карлемана для класса функций Жевре // ДАН-1962 -Т. 145, № 2-С. 259-262.

[14] Епифанов О. В. О разрешимости неоднородного уравнения Коши - Римана в классах функций, ограниченных с весом и системой весов // Мат. заметки—1982 —Т. 51, № 1.-С. 83-92.

[15] Канторович Л. В., Акилов А. П. Функциональный анализ в нормированных пространствах,—М.: ГИФМЛ, 1959.

[16] Коробейник Ю. Ф. Канонические биортогональные системы. Приложения к вопросам базисности и интерполяции // Докл. АН СССР.— 1985.—Т. 280, № 6.-С. 1298-1302.

[17] Коробейник Ю. Ф. Метод канонических биортогональных систем. Приложения к вопросам базисности и интерполяции // М., 1985. Деп. в ВИНИТИ 13.02.85, Ш178-8Б; РЖМат. 1985. 5Б763 ДЕП.

[18] Коробейник Ю. Ф. Об одном классе интерполяционных задач // Изв. вузов. Математика—1987—№4—С. 36-44.

[19] Коробейник Ю. Ф. Непрерывные мультикликаторы функциональных пространств // Теория функций и приближений: Межвуз. науч. сб. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та.—1987,—С. 30-40.

[20] Коробейник Ю. Ф. О мультипликаторах весовых функциональных пространств // Anal. Math.-1989.-T. 15.-Р. 105-114.

[21] Коробейник Ю. Ф. Интерполяционные задачи и густые множества // Сиб. мат. журн.—1990.—Т. 31, № 6.-С. 80-89.

[22] Коробейник Ю. Ф., Горина О. В. Об интерполяционной задаче в одном классе целых функций. Приложения к вопросам базисности // М., 1987. Деп. в ВИНИТИ 02.02.87, №744-В887; РЖМат. 1987. 5Б163 ДЕП.

[23] Кривошеев А. С., Напалков В. В. Комплексный анализ и операторы свертки // Успехи матем. наук,—1992,—Т. 47, № 6.—С. 3-58.

[24] Мусин И. X. О преобразовании Фурье - Лапласа функционалов на весовом пространстве бесконечно дифференцируемых функций // Мат. c6.-2000.-T. 191, № 10.-С. 57-86.

[25] Мусин И. X. О преобразовании Фурье-Лапласа функционалов на весовом пространстве бесконечно дифференцируемых функций в lRn // Мат. c6.-2004.-T. 195, № 10.-С. 83-108.

[26] Мусин И. X. Попенов С. .В. О весовом пространстве бесконечно дифференцируемых функций в Мп // Уф. мат. журн,—2010.—Т. 2, № 3.— С. 54-62.

[27] Митягин Б. С. О бесконечно дифференцируемой функции с заданными значениями производных в точке // ДАН,—1961.—Т. 138, № 2-С. 289-292.

[28] Напалков В. В., Мусин И. X. О полиномиальной аппроксимации в весовом пространстве целых функций // ДАН,—1994.—Т. 334, № 1.— С. 23-25.

[29] Робертсон А.П., Робертсон В.Дж. Топологические векторные пространства. —М.: Мир, 1967.—258 с.

[30] Сенета Е. Правильно меняющиеся функции,—М.:Наука, 1985.—141с.

[31] Хёрмандер Л. Введение в теорию функций нескольких комплексных переменных,—М.: Мир, 1967,—280 с.

[32] Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ.—М.: Наука, 1985.— Т. 2.—464с.

[33] Юлмухаметов Р. С. Целые функции многих переменных с заданным поведением в бесконечности // Известия РАН. Сер. мат.—1996.— Т. 60, № 4.-С. 205-224.

[34] Abanin А. V. On Whitney's extension theorem for spaces of ultra-differentiable functions // Math. Ann—2001 —V. 320.-P. 115-126.

[35] Abanina D. A. On Borel's theorem for spaces of ultradifferentiable functions of mean type // Result. Math.—2003.-V. 44,—P. 195-213.

[36] Anderson J. M., Duncan J. Duals of Banach spaces of entire functions // Glasgow Math. J.-1990.-V. 32.-P. 215-220.

[37] Bierstedt K. D., Summers W. H. Biduals of weighted Banach spaces of analytic functions // J. Austral. Math. Soc (Series A).—1993.—V. 54,— P. 70-79.

[38] Bierstedt K. D., Bonet J., Taskinen J. Associated weights and spaces of holomorphic functions // Studia Math—1998—V. 127.-P. 137-168.

[39] Bjdrck G. Linear partial differential operators and generalized distributions // Ark. Mat.-1966.-V. 6.-P. 351-407.

[40] Bonet J., Braun R. W., Meise R., Taylor B. A. Whitney's extension theorem for nonquasianalytic classes of ultradifferentiable functions // Studia Math.—1991.—V. 99.-P. 155-184.

[41] Bonet J., P. Domanski P., Lindstrom M. Essential norm and weak compactness of composition operators on weighted Banach spaces of analytic functions // Canad. Math. Bull—1999—V. 42.-P. 139-148.

[42] Bonet J., Domanski P., Lindstrom M. Pointwise multiplication operators on weighted Banach spaces of analytic functions // Studia Math.— 1999.—V. 137.—P. 177-194.

[43] Bonet J., Domanski P., Lindstrom M., Taskinen J. Composition operators between weighted Banach spaces of analytic functions // J. Austral. Math. Soc-1998.-V. 64.-P. 101-118.

[44] Bonet J., Galbis A., Momm S. Nonradial Hormander algebras of several variables and convolution operators // Trans. Amer. Math. Soc.—2001.— V. 353 -P. 2275-2291.

[45] Bonet J., Meise R.} Taylor B. A. Whitney's extension theorem for nonquasianalytic classes of ultradifferentiable functions of Roumieu type // Proc. R. Ir. Acad -1989.-V. 89(A)-P. 53-66.

[46] Bonet J., Wolf E. A note on weighted Banach spaces of holomorphic functions // Arch. Math—2003 —V. 81.-P. 650-654.

[47] Borel E. Sur quelques points de la theörie des fonctions // Ann. Sei. Ec. Norm. Super—1985.—V. 12.-P. 9-55.

[48] Braun R., Meise R., Taylor B. A. Ultradifferentiable functions and Fourier analysis // Result. Math-1990 —V. 17.-P. 206-237.

[49] Bruna J. An extension theorem of Whitney type for non-quasianalytic classes of functions // J. Lond. Math. Soc.-1980.-V. 22.-P. 495-505.

[50] Carleson L. On universal moment problems // Math. Scand—1961.— V. 9-P. 197-206.

[51] Cioränescu J., Zsidö L. uj- ultradistributions and their applications to operator theory // In "Spectral Theory Banach Center Publications. Warsaw.—1982,—V. 8.-P. 77-220.

[52] Ehrenpeis L. Fourier analysis in several complex variables // New York: Wiley - Interscience Publ. 1970.

[53] Franken U. Kerne von Faltungsoperatoren auf Räumen von Ultradistributionen // Diplomarbeit. Düsseldorf. 1988.

[54] Franken U. Weight functions for classes of ultradifferentiable functions // Result. Math.—1994,—V. 25.-P. 50-53.

[55] Komatsu H. Ultradistributions I. Structure theorems and a characterization // J. Fac. Sei. Tokyo -1973.-V. 20.-P. 25-105.

[56] Meise R., Taylor B. A. Whitney's extension theorem for ultradifferentiable functions of Beurling type // Ark. Math—1988 —V. 26.-P. 265287.

[57] Momm S. Closed principal ideals in nonradial H5rmander algebras // Archiv Math.—1992,—V. 58.-P. 47-55.

[58] Petzsche H. J. On E. Borel's theorem // Math. Ann.-1988.-V. 282,-P. 292-313.

[59] Taylor B. A. Analytically uniform spaces of infinitely differentiable functions // Comm. Pure Appl. Math—1971—V. 24,—P. 39-51.

[60] Taylor B. A. On weighted polynomial approximation of entire functions // Pacif. J. Math.—1971,—V. 36, № 2.-P. 523-539.

[61] Wahde J. Interpolation in non - quasianalytic classes of infinitely differentiable functions // Math. Scand.-1967.-V. 20.-P. 19-31.

[62] Whitney H. Analytic extension of differentiable functions defined in closed sets // Trans. Amer. Math. Soc-1934—V. 36.-P. 63-89.

Список работ по теме диссертации

[63] Абанин А. В., Фам Чонг Тиен. Зоны устойчивости для медленно меняющихся весов, используемых в теории ультрадифференцируе-мых функций // Владикавказский математический журнал.—2008.— Т. 10, № 2.-С. 3-8.

[64] Абанин А. В., Фам Чонг Тиен. Класс почти субаддитивных весов достаточен для построения теории ультрараспределений Румье -Коматсу // Итоги науки. Южный федеральный округ. Математический форум. Т. 3. Исследования по математическому анализу.— Владикавказ, 2009 -С. 22-33.

[65] Абанин А. В., Фам Чонг Тиен. Продолжение голоморфных функций с оценками роста. // Итоги науки. Южный федеральный округ.

Математический форум. Т. 4. Исследования по математическому анализу,—Владикавказ, 2010.—С. 132-145.

[66] Фам Чонг Тиен. Описание сопряженного к пространству Фре-ше бесконечно дифференцируемых функций с весовыми оценками всех производных в RN // Математический анализ и математическое моделирование: Труды международной конференции молодых ученых.—Владикавказ, 2010.—С. 121-122.

[67] Фам Чонг Тиен. Описание сопряженного к пространству Фреше бесконечно дифференцируемых функций с весовыми оценками всех производных в // Изв. вузов. Северо-Кавказ. регион. Естеств. науки -2011 6-С. 19-23.

[68] Abanin А. V., Pham Trong Tien. Continuation of holomorphic functions with growth conditions and some its applications // Studia Math.— 2010.—V. 200.—P. 279-295.

[69] Abanin A. V., Pham Trong Tien. Almost subadditive weight functions form Braun-Meise-Taylor theory of ultradistributions // J. Math. Anal. Appl.-2010 -V. 363-P. 296-301.