Уравнения свертки в пространствах числовых последовательностей тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Карпов, Александр Владимирович

• Карпов, Александр Владимирович
• кандидат физико-математических наук
• 2001

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Карпов, Александр Владимирович

Введение

1 Определение и свойства операторов свертки в пространствах последовательностей

1.1 Пространства числовых последовательностей: s, А^ и

1.2 Операции сдвига и свертки в пространствах последовательностей.

1.3 Преобразование Лапласа функционалов из Аи В^*

1.4 Уравнения свертки в пространствах А|х|р и В|Х|Р

2 Факторизация операторов свертки в пространствах последовательностей

2.1 Идеалы аналитических функций в пространстве Нф(С\{0},оо).

2.2 Лемма о мажорирующей функции.

2.3 Идеалы аналитических функций в пространстве

1пИ,(С\{0},0)

2.4 Постановка и решение задачи факторизации оператора свертки в пространствах последовательностей

2.5 О расщеплении характеристической функции на два множителя

3 Перестановочные с кратным сдвигом операторы в пространствах числовых последовательностей

3.1 Перестановочность с кратным сдвигом. Операторы свертки с пропусками.

3.2 Подпространства, инвариантные относительно оператора кратного сдвига Sm.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Уравнения свертки в пространствах числовых последовательностей»

В диссертации решается задача нахождения общего вида линейных непрерывных операторов, перестановочных с оператором сдвига в весовых пространствах числовых последовательностей комплексных чисел. Доказывается, что класс таких операторов состоит из операторов свертки в указанных пространствах последовательностей. Описываются их важнейшие свойства и решается задача факторизации операторов свертки. Так же находится общий вид операторов, коммутирующих с операцией кратного сдвига и полностью описывается ядро и образ таких операторов. В последнем разделе диссертации в пространстве линейных непрерывных операторов над пространствами числовых последовательностей решается операторное уравнение SmM - MSm = /.

Решаемые в диссертации проблемы являются дискретным аналогом известной задачи из теории функций: описать в некотором классе функций (целых, бесконечно дифференцируемых или аналитических в некоторой области) все линейные непрерывные операторы, перестановочные с оператором дифференцирования. Нахождению таких операторов в пространствах одной или нескольких переменных посвящены работы многих математиков: Братищева А.В, и Коробейника Ю.Ф. [1], Елисеева И.С [8], Коробейника Ю.Ф. [16], Нагнибиды Н.И. [29]-[30], Напалкова В.В. [33], Царькова М.Ю. [45], Ткаченко В.А. [44], и др. Согласно результатам этих работ, коммутирующие с дифференцированием операторы могут быть описаны с помощью операторов свертки. Важнейшие свойства таких операторов, однородные и неоднородные уравнения свертки, структура решений этих уравнений подробно исследовались в работах Коробейника Ю.Ф. [18], Красичкова - Терновского И. Ф. [19], Кривошеева А.

С. [22] и [24], Леонтьева А. Ф. [26], Напалкова В. В. [32], Б. Маль-гранжа [53], Напалкова В. В. и Кривошеева А. С.[21], JI. Эренпрайса [52], Юлмухаметова Р. С. [50] и других.

В диссертации вместо пространств аналитических функций рассматриваются весовые пространства двухсторонних числовых последовательностей заданного роста. Пусть ср - произвольная неотрицательная функция, отображающая вещественную ось в себя и lim (p{t) = +оо. Определим числовую последовательность

-*оо (pkd= ip(k).

Для положительного а рассмотрим следующее нормированное пространство двухсторонних числовых последовательностей:

Ко = \х = {®fc}fcez;®fc е С : ||х||ст = sup-l^j- < оо). Образуем следующие пространства:

Ay, = [J В tp = f|li

7>0 и> 0

Наделим пространство А^ топологией индуктивного предела, а пространство By, - топологией проективного предела.

Пусть X - одно из пространств А^ или В^. На последовательности х = {xk}k€ъ € X для некоторого фиксированного целого п рассмотрим оператор сдвига Sn : Snx = {xk+n}kez- В работе [42] для случая X = А^ найдены условия на функцию <р, при которых оператор сдвига Sn отображает пространство А<^ в себя. Эти же ограничения на весовую функцию (р подходят и для случая проективного предела В^. Потребуем, чтобы ср удовлетворяла этим условиям. Тогда оператор определен в пространстве X.

Поставим следующую задачу: в пространстве X найти все линейные непрерывные операторы для любого целого п перестановочные с оператором сдвига Sn:

Sn(M(x)) = M(Sn{x)), хеХ; VneZ.

Первоначально указанная задача была решена для частного случая пространства Av с весовой функцией (pit) = \t\p, р > О (см.

11]). В дальнейшем этот результат был обобщен Сапроновой Г.А. для пространства А^ с произвольной весовой функцией ip. В диссертации поставленная задача решается и для пространства В^ с произвольной весовой функцией ср. Во всех случаях был найден критерий перестановочности линейного непрерывного оператора М с оператором сдвига. Из этого критерия следует, что указанному свойству удовлетворяют операторы свертки в пространствах А^ и В^.

Для пространств А|Х|Р и В|х|р в работах Напалкова В.В. и Шага-пова И.А. ([36], [37]) и в диссертации Шагапова И.А. [49] было полностью описано ядро операторов свертки. В этой работе было доказано, что образ оператора свертки совпадает со всем пространством А|х|/з (В|х|р). Соответственно, в указанных пространствах разрешимо любое неоднородное уравнение свертки. Для пространств аналитических функций многих переменных разрешимость неоднородных уравнений исследовалась в работах J1. Эренпрайса [52], Б. Мальгран-джа [53], В.В. Напалкова [32], А.С. Кривошеева [22] и других. Для описания образа операторов свертки в пространствах последовательностей была использована модернизированная схема доказательства из монографии [32]. В дальнейшем схема была применена для описания образов операторов, коммутирующих с кратным сдвигом. При доказательстве используется описание сопряженного пространства к X в терминах преобразования Лапласа.

Отметим, что для различных пространств односторонних последовательностей и числовых семейств, перестановочные с правым и левым сдвигом операторы, исследовались в монографии Ю.Ф. Коробейника [17]. В указанной монографии исследовались вопросы разрешимости уравнений свертки на односторонних пространствах числовых последовательностей. Полученные результаты были применены для нахождения общего вида операторов, коммутирующих с операцией дифференцирование в пространствах целых функций порядка р конечного типа. Были найдены условия, когда такие операторы -изоморфизмы.

Задача факторизации уравнения свертки является обобщением следующего очевидного результата из теории дифференциональных уравнений.

Пусть p(rj) = a^rf1 + ■ • • + an - характеристический многочлен однородного линейного дифференционального уравнения с постоянными коэффициентами a0y{n\z) + a^n~l\z) + • • • + any(z) = 0. (1)

Предположим, что характеристический многочлен р(г)) представляется в виде произведения двух многочленов pi(f]) и Р2(ч]), не имеющих общих корней: р(у) =Pi{r)) -Pi{l)

Отметим, что любое решение уравнения (1) может быть записано в виде y{z) = yi(z) + 2/2(2), где yi(z) - решение дифференционального уравнения с характеристическим многочленом p\{rj), а У2 (z) - решение дифференционального уравнения с характеристическим многочленом Р2{т])- Указанную выше проблему называют задачей факторизации дифференционального оператора. Для диффе-ренциональных уравнений в частных производных конечного порядка аналогичная задача была решена Адемаром ([38], [54]). В работе [31] В.В.Напалков поставил и решил задачу факторизации для уравнений свертки в пространстве целых функций одной комплексной переменной. В дальнейшем в монографии [32] задача была решена и для пространства целых функций нескольких комплексных переменных. Отметим, что факторизация операторов свертки используется для исследования разрешимости систем уравнений свертки, содержащих конечное или бесконечное число уравнений. Вопросы разрешимости систем уравнений свертки исследовались в монографии В.В. Напалкова [32], в работах В.В. Напалкова и Т.Т. Кузбекова [32] и [34], Т.Т. Кузбекова [25], Кривошеева А.С.[23] и других. В целом метод доказательства факторизации операторов свертки в пространствах последовательностей был взят из работ [32], [32] и [34]: задача решалась в пространстве преобразований Лапласа функционалов из X*, затем делалось обратное преобразование. Указанная задача тесно связана с исследованием образующих в кольцах целых периодических функций заданного роста. Так как многие свойства периодических функций проверить непосредственно очень сложно. После замены z — — г • In Л периодические функции пространства преобразования Лапласа переходят в аналитические вне нуля и бесконечности функции определенного роста. Для разрешимости задачи в этих пространствах использовались результаты Л. Хермандера [47] о L2 оценках оператора д.

Как было указано выше, в диссертации в пространствах последовательностей А у и В^ для любого целого п был найден общий вид линейных непрерывных операторов, коммутирующих с оператором сдвига Sn. Несложно показать, что описание таких операторов эквивалентно нахождению всех линейных непрерывных операторов, коммутирующих с оператором Si. Изменим начальные условия - зафиксируем целое число п. В пространствах А^ (В^) будем искать все линейные непрерывные операторы, коммутирующие с Sn. Очевидно, операторы свертки являются решением новой задачи. Решение этой задачи не ограничивается только классом операторов свертки. В диссертации вводится определение оператора свертки с пропусками и доказывается, что линейная комбинация таких операторов коммутирует с кратным сдвигом Sn. Как было указанно выше, для таких операторов полностью описывается ядро и находятся необходимые и достаточные условия, когда образ совпадает со всем пространством А<р или.Bp.

Нахождение перестановочных с кратным сдвигом операторов является дискретным аналогом описания в пространстве целых функций всех линейных непрерывных операторов, коммутирующих с кратным дифференцированием и исследованию их свойств. Ранее такие операторы исследовались в работах И. С. Елисеева [7]; Мерзлякова С.Г. [27],[28]; Грабовской Р.Я., Кононенко В.И., Осипова В.Б. [6]. Для описания ядра операторов, перестановочных с кратным сдвигом, в диссертации был использован метод, предложенный С.Г. Мерзляко-вым в работе [27]. В пространствах односторонних последовательностей аналогичные задачи рассматривались в монографии Ю.Ф. Коробейника [17].

В конце диссертации в пространствах последовательностей решается операторное уравнение SmM — MSm = I. Раннее для случая натурального т эти результаты были опубликованы в работе [14]. В диссертации приведено полное решение этого уравнения для целых т и решение операторного уравнения MSm — SmM — I.

Основной метод исследования в диссертации - описание сопряженного пространства к пространствам А^, и В^ в терминах преобразования Лапласа функционалов. Особенностью метода является то, что преобразование Лапласа функционала из сопряженного пространства - целая периодическая функция определенного роста. При решении факторизации в пространстве преобразований Лапласа была сделана замена z — —г • In А и дальнейшие исследования проводились в пространстве функций заданного роста, аналитических вне нуля и бесконечности. Для вычисления общего вида операторов, коммутирующих с оператором сдвига использовались методы нахождения матричных операторов в пространствах последовательностей.

Получены следующие основные результаты:

• В пространствах А^ и В^, полностью описаны топологии, найден общий вид линейных непрерывных операторов, коммутирующих с оператором сдвига и описано пространство преобразований Лапласа. Для случая пространств А|х|р и В|Х|Р описан образ оператора свертки и доказана разрешимость неоднородных уравнений свертки в этих пространствах.

• Для пространств А|Х|Р и В|Х|Р доказана факторизация операторов свертки.

• В пространствах А^ и В^ найден общий вид линейных непрерывных операторов, коммутирующих с оператором кратного сдвига. Для случая пространств А|Х|Р и В|Х|Р описаны ядро и образ операторов. Доказана разрешимость неоднородных уравнений и описана структура решений однородных уравнений.

• В пространствах А|Х|Р и В|Х|Р для любого целого т решены операторные уравнения SmM — MSm — I и MSm — SmM = I.

Структура диссертации

Краткое содержание Главы 1

В Главе 1 описываются пространства числовых последовательностей А<р и В^. В этих пространствах строятся топологии индуктивного и проективного пределов. Для любого целого т определяется понятие оператора сдвига Sm. В пространствах Av и В^ находится общий вид линейных непрерывных операторов, коммутирующих с оператором сдвига. Согласно результатам этой главы, с оператором сдвига могут коммутировать только операторы свертки в пространствах последовательностей. Описывается образ операторов свертки в пространствах А|Х|Р (В|х|„) и доказывается его совпадение со всем пространством А|Х|Р (В|Х|Р). п. 1.1 Обозначим символом s - множество всех последовательностей комплексных чисел с целым индексом. Для произвольной неотрицательной функции отображающей вещественную ось в себя и lim <p(t) = +оо, задается числовая последовательность {cpk}Gz, ipk d= ip [к). Для положительного а определяется нормированные пространства двусторонних числовых последовательностей: {я = Ыкеz е S; ||а?||а = sup < оо}. L fceZ е)

If = {х = {xk}k£z G s; ||®||ff - ^ \хк\ ■ е**» < оо}. fcez

Определяются пространства Av и В^: а , ^ U ^ в /^П1»

7>0 <7>0

В пространстве А^ вводится топология индуктивного предела, в В^ - топология проективного предела.

Теорема 1.1 Для пространств А^ и В^ верны следующие топологические равенства:

А<р* = lim рг (2)

7>0

В * = lim ind If. (3) о о 1 w

Для A^ и В у слабая топология совпадает с основными топологиями пространств.

Доказываются необходимые теоремы о связи основных пространств со своими сопряженными:

Теорема 1.2 А^, - рефлексивное пространство.

Теорема 1.3 В<^ - F-пространство.

Теорема 1.4 В^ - рефлексивное пространство.

Теорема 1.5 Пусть v - линейный непрерывный оператор в пространстве Ар (В^,). Тогда следующие предложения равносильны:

1. подпространство Imi; замкнуто в А^ (В^);

2. подпространство 1тг>* замкнуто в А^* (В^*). п. 1.2 В пространстве s вводится понятие оператора сдвига на т. В дальнейшем такие операторы обозначаются символом Sm. На положительную весовую функцию <р(х) накладываются три дополнительных условия:

1. lim^ = +oo;

2. ср(х)~ выпуклая функция;

3. Существует постоянная / > 0 и целое число jo ^ 0: такое, для любого целого j : \j\ ^ jo верно неравенство <f2j ^ hfij.

Значение функции ср(х) в целой точке к будем обозначать ср^ = ср(к). Без ограничения общности функцию ср(х) можно задавать только в целых точках и заменить условия 1)-3) аналогичными. В этом случае дискретную функцию всегда можно заменить непрерывной функцией, удовлетворяющей условиям 1)-3) (например, соединив соседние узлы прямой линией).

При условиях 1)-3) на функцию <р{х) для А^ и В^ верен следующий результат:

Теорема 1.6 Для любого целого т Sm - линейный непрерывный оператор в пространствах Ар и Bp.

Определение 1.5 Сверткой двух числовые последовательности у,х £ s называется числовая последовательность у * X = Z = {zn}n=-oo G S Zn = ^2 УкХк+п = yk(SnX)k

Определение 1.6 Пусть А - подпространство s, оператор сдвига отображает А в себя, А' - пространство всех линейных функционалов над А (алгебраическое сопряженное к А). Пусть / е А'. Оператором свертки в А называется следующий оператор: (Mf(x))n = f(Snx), х € А.

Доказываются простейшие свойства свертки в Ар и Bp.

В пространствах Ар и Bp описываются все линейные и непрерывные операторы Т, коммутирующие с оператором сдвига Sm для любого mEl. Очевидно, что эта задача эквивалентна нахождению условий перестановочности оператора Т с оператором сдвига S\. Для случая ср(х) — р > 0 указанная проблема была решена в работе [11]. В дальнейшем этот результат был обобщен на пространство Ар в работе [42]:

Теорема 1.7 Пусть для весовой функции </?(гс) выполняются условия 1-3. Тогда для того, чтобы линейный непрерывный оператор Т : Ар —> А^ был перестановочен с любым оператором сдвига Srn : SmT = TSm, m € Z необходимо и достаточно, чтобы Т = А//, где Mf - оператор свертки, / £ Ар*.

В диссертации доказывается аналогичная теорема для пространства В^:

Теорема 1.8 Пусть для весовой функции <р(х) выполняются условия 1-3. Тогда для того, чтобы линейный непрерывный оператор Т : Вip —> Bp был перестановочен с любым оператором сдвига Sm : SmT = TSm, m G Ъ необходимо и достаточно, чтобы Т = Mf, где Mf - оператор свертки, / 6 Bp*.

Определяется понятие свертки двух функционалов. п. 1.3 Определение 1.8 Преобразованием Лапласа линейного непрерывного функционала / £ Av* (/ 6 В^*) в пространство функций от одной комплексной переменной называется следующее преобразование:

СЮ

М = £ j-kzh =< Jk > . к=—оо

Из определения функции f(z) доказывается, что преобразование Лапласа сопоставляет каждому функционалу / целую 27Г-периодическую функцию. Множество преобразований Лапласа элементов из A^ обозначим а из пространства В^,* - Рв^. Наделим множества Pav и Pbv топологией так, чтобы преобразование Лапласа было непрерывной операцией при отображении А—> Рд (Bv* —> Pbv)- Очевидно: преобразование Лапласа - линейное преобразование. Свертка двух функционалов f,g £ А^* (/,д £ В^*) преобразованием Лапласа переводится в произведение преобразований соответствующих функционалов.

Две следующие леммы описывают рост целых функций из пространств ра^ и Pbv (звездочкой в формулировках обозначено преобразование Юнга):

Теорема 1.9 Пространство Рд.^ описывается следующим множеством: г) 6 Я(С) : f(z) = /(z+2x),V<r > ОЭД, : |/(z)| <

4)

Теорема 1.10 Для пространства Pbv верно следующее множественное равенство:

Pbv — g я (с) : f(z) = /^+2тг),3(7 > 03д, : \f{z)\ ^ А^*^).

5) п. 1.4 Для частного случая весовой функция (р(х) = \х\р, р > 1 выполняются условия 1-3 из предыдущего раздела. Функция \х\р удовлетворяет условиям теорем 1.9, 1.10.

Следующие две теоремы описывает образ операторов свертки из пространства А|Х|Р и В|х|*> и, соответственно, разрешимость неоднородного уравнения свертки в этих пространствах.

Теорема 1.13 Пусть / £ А*х|Р. Тогда для любой последовательности д 6 А|х|р существует и Е А|Х|Р, такой что MfU = д.

Теорема 1.14 Пусть / £ В^х|Р. Тогда для любой последовательности д £ В|Х|Р существует и £ В|Х|Р, такой что Mju = д.

Как было указано выше, ядро операторов свертки в пространствах последовательностей А<р и В^ было описано в работах [37],[36], [49].

Краткое содержание Главы 2

В Главе 2 для пространств Av и В^ решается задача факторизации оператора свертки. Основная схема доказательства взята из работ Напалкова В.В и Кузбекова Т.Т. [32], [34] и Кузбекова Т.Т. [25]. По этой схеме задача формулируется в терминах пространства преобразований Лапласа. В новой формулировке задача факторизации сводится к нахождению условий совпадения идеала, порожденного некоторым конечным множеством функций из Pav (рв^) со всем пространством Pav {P&v)- В случае пространств преобразований Лапласа функционалов пространств последовательностей необходимо исследовать свойства целых периодических функций заданного роста. Чтобы упростить проверку многих свойств таких функций делается замена z = % • In А. В результате этой замены целые периодические функции переходят в аналитические вне нуля и бесконечности функции заданного роста в окрестностях особенностей. Исследуются идеалы в этом пространстве. Потом делается обратная замена. п. 2.1 Пусть ifi(z) - субгармоническая функция в С \ {0}. Рассматривается банахово пространство однозначных аналитических в

С \ {0} функций с ограничением на рост:

Нк = {f(z) € Н(С\{0}) : Ц/Ц* - 8иръ{о}{Ш\ехр{-кфШ < оо}

Следующие пространства аналитических в С \ {0} функций наделяются топологиями индуктивного и проективного пределов:

HJC \ {0}, оо) = lim ind Нк\ оо

Щ{С\{0},0) = lim pr Hi.

При доказательстве теорем этого пункта использовалась схема из работы [25] и теоремы J1. Хермандера о /^-оценках оператора д [47].

Пусть функция ф(г) в С \ {0} удовлетворяет условиям, которые были введены в работе [51]: а) ф(г) - субгармоническая функция в С \ {0}; б) для любого целого п функции zn принадлежат Нф(С \ {0}, оо); в) существуют постоянные с{, С2, сз, С4 такие, что если 2 G € \ {0} и \z - f | ^ exp (~с{ф(г) - с2), то ф(£) ^ Сзф(г) + с4.

Следующая лемма дает пример такой функции:

Лемма 2.1 Функция ln|z| р, р > 1 удовлетворяет условиям а)в).

Лемма 2.2 Если f Е С \ {0}, оо), тогда для любого п производные так же принадлежит пространству Нф(С \ {0}, оо).

Пусть функции fi(z) £ Нф(С \ {0},оо), г = 1 .п, и идеал, порожденный этими функциями совпадает со всем пространством Нф(С\ {0}, оо), т.е. существуют функции gi{z) £ Щ(С\{0}, 00), i = 1.п, такие что fi(z)di(z) = 1- Тогда существуют положительные числа al, А2, таких что Ya=1 \fi(z)\ > A\e~A2^z\ Достаточность доказывается с помощью теоремы:

Теорема2.1 Пусть fi(z) Е Нф(С\{0}, оо), г — 1.пи существуют положительные числа А\, А2: п i=1

Для любой функции cp(z) £ С \ (0},оо) существуют функции Ф)еНф( С\{0},оо): п i= 1

Отметим, что указанный случай в известной работе Хермандера [51] не рассматривался.

После замены z — —г • ех из этой теоремы следует результат о пространстве -pbwp :

Теорема 2.2 Пусть fi(z) £ Рв]х1Р, i = 1--^. Тогда для того чтобы любая функция ip(z) 6 Рв]х1р могла быть представлена в виде п i=l необходимо и достаточно, чтобы существовали положительные числа al, ^.2, такие, что: г=1 п. 2.2

При доказательстве теоремы, аналогичной теореме 2.1 для пространства 0) используется лемма о мажорирующей функции, которую удалось доказать только для частного случая: ip(z) = |ln|z||p, р > 1. Для случая весовой функции = \z\p р > 0 и пространства целых фунуций эта лемма была доказана в монографии Л.И. Ронкина [40] (лемма 3.6.7 стр.323). В этом пункте лемма доказывается для веса i[j(z) = | In \z\\p. Метод доказательства взят из этой монографии. Подробно расписаны конструктивные моменты доказательства, опущенные в указанной работе.

Лемма 2.4 (о мажорирующей функции) Какова бы ни была неотрицательная кусочно-непрерывная функция 7(г), г 6 (0, +оо) и lim 7(г) = 0, lim7(r) : 0, г—>+оо г—>0 существует функция Ф(г), удовлетворяющая при заданном параметре р > 1 условиям:

Ф(г) ^7(r)|lnrf (6) lim т?й- = 0, lim = 0, (7) r-Я-оо In Г Г In Г г и такая, что функция z £ С\{0} - бесконечно дифференцируемая строго субгармоническая функция. п. 2.3 Для весовой функции ф(г) = | In \z\\p, р > 1 проверяются условия а)-б) из раздела 2.1. Для пространства Щ\п^Р(С \ {0},0) доказывается теорема о разложении, аналогичная теореме 2.1. Случай проективного предела Я|1гфцр(С \ {0}, 0) сводится к результату теоремы 2.1 с помощью леммы о мажорировании из предыдущего пункта. Используется методика доказательства из работы [9] с учетом особенностей в нуле и бесконечности аналитических функций из пространства Я|1П|гцР(С \ {0}, 0).

Теорема2.3 Пусть fi(z) е Я^у^С \ {0}, 0), г = 1 .п. Для того, чтобы любая функция <p{z) £ Яцп^^С \ {0}, 0) могла быть представлена в виде п ф) = Y, 9j{z)fj{z), ffj(z) G Я|1аИ|р(С \ {0}, 0) з=1 необходимо и достаточно, чтобы для любого е > 0 выполнялось неравенство п

Сеещ>{-\Ы\г\\р). з=1

После замены 2 = геА получаем аналогичную теорему для периодических функций из РА :

Теорема2.4 Пусть fi(z) g -ра|х|Р, i — Тогда для того, чтобы любая функция (p(z) G -Ра^р могла быть представлена в виде п v(z) = 2^ffi(z)fi(z),gi(z) е Рамр »=1 необходимо и достаточно, чтобы для любого е > 0 существовало положительное число Ае: такое, что: j2\fi(z)\2>A€e-^\l/p + l/q = l. г=1 п. 2.4 В этом пункте решается задача факторизации для пространств последовательностей А|х|/> и В|Х|Р.

Пусть fi, /2 и / - три линейных непрерывных функционала из xv /s у-ч

B*xjP; fi(z), /2И, f(z) ~ преобразования Лапласа этих функционалов. Пусть функции fi{z), /2(2) не имеют общих нулей и f{z) = f1{z)-%[z).

Функционалы /1, /2 и / порождают в пространстве В|х|р три оператора свертки Мд, М/2, Mf. Пусть Wi, W2, W С в|х|р - пространства решений однородных уравнений свертки

Мф} = 0 (8)

Мф} = 0 (9)

Mf[x] = 0 (10)

Выясним, когда решение уравнения (10) представляется в виде суммы решений уравнений (8) и (9) (задача факторизации уравнений свертки в пространстве В|х|р). Для пространства А|Х|Р задача ставится аналогично.

Для решения факторизации используется методика, предложенная В.В. Напалковым для решения задачи факторизации уравнений свертки в пространствах целых функций в работе [31]. Для пространств преобразований Лапласа функционалов из последовательностей А*Х|Р и Bj*x|P доказываются несколько вспомогательных лемм, аналогичные леммам из работы [31]. Основной результат формулируется в виде следующей теоремы:

Теорема 2.7 Для того, чтобы всякое решение х G В|Х|Р (х £ А|х|р) уравнения (10) представлялось в виде суммы х\ + Х2, где х\ решение (8), Х2 - решение (9), необходимо и достаточно выполнение следующих условий:

А|Х|Р: для любого е > О существует Се > 0: i0)| + |/2(*)1 > Сеехр(-фП, г Е С.

В|Х|Р: существуют такие С\ > 0 и С^ > 0, что fi(z)\ + \?2{z)\ > Ciexp(-C2H0, * G С.

Из теоремы 2.7 следует разрешимость системы из двух уравнений свертки:

Теорема 2.8 Для того, чтобы система

Mh[x] = д, Мф] = h, /ь /2 Е А^ДВ^,) была разрешима в пространстве Ajxjp (В|х|^) для любой допустимой пары (<7, Л), необходимо и достаточно, чтобы

А|Х|Р: для любого б > 0 существует Се > 0: l/iWI + l/2WI>Ceexp(-6|zn,

В|Х|Р: существуют такие С\ > 0 и С2 > 0, что fi(z)\ + \f2(z)\ > Ciexp(-C2|2f), z Е С. п. 2.5 В этом пункте решается задача о расщеплении характеристической функции однородного уравнения свертки на два сомножителя в пространствах А|Х|Р (В|Х|Р).

Как известно, в теории операторов свертки в различных пространствах исследование многих свойств таких операторов сводится к изучению свойств их характеристических функций. В случае пространств числовых последовательностей нужно исследовать целые периодические функции определенного роста. Многие свойства периодических функций проверить непосредственно очень сложно. С помощью замены z = -г- In Л можно перейти к в С \ {0} функциям. После такой замены функции пространства Ра^р перейдут в функции пространства Щ]п|*ц9(С\{0},0); (Рв,х|/, - в Я|1п|гцд(С\{0}, оо)). В

18 пункте этом пункте доказывается, что любая такая функция может быть представлена в виде произведения целой функции и аналитической в С \ {0} функции, ограниченной в окрестности ос. При этом рост множителей останется равным росту произведения, а нули множителей будут расположены специальным образом:

Лемма 2.11 Для любой функции f(z) £ #|ln|z||3(C \ {0},0) (Я|1пИ|9(С \ {0}, оо)) существуют две функции /г(г) и /2(z) из Я|ьм|.(С \ {0},0) (Я|1пИ,9(С \ {0}, оо)), такие что f(z) = h(z) • /2(2:); fi(z)- ограниченна в окрестности оо, а ее нули лежат внутри круга К = {z G С : 1}; - целая функция из пространства Я|1п|2||?(С\{0}, 0) (Я|1п|гц9(С\{0},оо)), ее нули принадлежат множеству С \ К.

Из последней леммы получаем следствие для периодических функций из РА|Х|Р

Лемма 2.12 Для любой функции д(Х) Е Ра]х]Р {Рвыр) существуют две функции (Л) и д2(А) из РА,Х,„ (Рв^), такие что произведение функций д{(А), ^(Л) равно «7(A) и все нули функции <Я(А) лежат в нижней полуплоскости и д{ ограничена в верхней полуплоскости, а все нули <72 (А) лежат в верхней полуплоскости и д^ ограничена в нижней полуплоскости.

Следующая теорема об однородных уравнениях свертки является следствием из задачи факторизации и леммы 2.12.

Пусть характеристическая функция #(А) оператора сверки Мд в пространстве А|х|*> (В^) равна произведению характеристических функций д{(А), <72(А) операторов свертки M9l, Мд2 в том же пространстве. При этом все нули функции д\ лежат в нижней полуплоскости и <7i ограничена в верхней полуплоскости, а все нули §2 лежат в верхней полуплоскости и дч ограничена в нижней полуплоскости. При этих условиях верна

Теорема 2.9 Любое решение однородного уравнения свертки Мд[х] = 0 представляется в виде суммы решений двух однородных уравнений Мй[ж] = 0, Мд2[х] = 0.

Краткое содержание Главы 3

В Главе 3 находится общий вид линейных непрерывных операторов в пространствах А^ и В^, коммутирующих с оператором кратного сдвига. Для пространств А|Х|Р и В|х|„ описываются ядро и образ таких операторов. В последнем пункте Главы 3 в пространствах А|х|„ и В|х|р для целого га решаются операторные уравнения SmM — MSm = I и MSm — SmM = I. Выписываются матрицы операторов-решений этих уравнений.

Пусть для весовой функции ср(х) выполняются условия 1-3 из пункта 1.2. Зафиксируем целое число п. В пространствах А^ и В^ требуется описать все линейные непрерывные операторы, коммутирующие с оператором сдвига Sn. Очевидно, что любой оператор свертки решает эту задачу. Однако существуют и другие линейные непрерывные операторы, коммутирующие с оператором сдвига Sn. Пример таких операторов дается в следующих определении и лемме:

Определение 3.1 Оператором свертки с пропусками размерности I и типа р (I £ N, р = 0.1 — 1) называется матричный оператор, действующий из пространства А^ (В^) в пространство всех последовательностей s по правилу:

Лемма 3.1 Если функционал / принадлежит пространству Av* (В^*), тогда оператор свертки с пропусками непрерывно отображает пространство А^ (В^) в себя и коммутирует с оператором кратного сдвига Sn

Общий вид линейных непрерывных операторов, коммутирущих с оператором кратного сдвига Sn описывается следующей теоремой: п. 3.1

MW^^Mlf.Xj, i en- fe А/(В/); jez

Теорема 3.1 Пусть для весовой функции ip(x) выполняются условия 1-3 из пункта 1.2. Тогда для того, чтобы линейный непрерывный оператор Т в пространстве Av (В^) был перестановочен с оператором кратного сдвига Sn: SnT = TSn; необходимо и достаточно, чтобы р= О где Мд1^- оператор свертки с пропусками; р = 0.п — 1, др - функционалы из пространства (в^*).

В ранних вариантах доказательства этой теоремы использовалось описание преобразований Лапласа сопряженных пространств. Соответственно, теорема доказывалась для случая пространств А|х|р и В|Х|Р (см. [13]). В диссертации приведено доказательство для более общего случая. При доказательстве использовалась методика, сходная с методикой доказательства теорем 1.7 и 1.8.

В конце раздела выписываются матрицы операторов, перестановочных с Sn. п. 3.2 В следующих пунктах в пространствах А|Х|Р и В|Х|Р описываются ядро и образ операторов, коммутирующих с кратным сдвигом Sm. Исследуются вопросы разрешимости уравнений с этими операторами. Указанная проблема связана с описанием подпространств из а|х|/!> и в]х|р, инвариантных относительно оператора кратного сдвига. Для ее решения был использован метод преобразования Лапласа. В пространстве преобразований Лапласа инвариантным относительно сдвига подпространствам соответствуют замкнутые модули с оператором умножения на целую периодическую функцию с периодом 27г/т и системы функций из этих модулей. При доказательстве результатов этого пункта использовалась методика исследования подпространств целых функций, инвариантных кратному дифференцированию, разработанная С.Г. Мерзляковым в работе [27]. В случае преобразований Лапласа функционалов над пространствами числовых последовательностей, как было указанно выше, необходимо исследовать модули в Ра|Х|Р или Рв!х Р с оператором умножения на целую функцию с периодом 2ir/m. В случае преобразований Лапласа функционалов над пространством целых функций исследовались модули с оператором умножения на функцию, инвариантную относительно поворота на 2п/т.

В зависимости от базового пространства А|Х|Р или В|Х|Р символом Р обозначается одно из пространств Ра]х1Р или Ра]х]Р • В Р определяется множество Рт: оо

Рт = {£(*) е Р : ${z) = Y, <Pjmejm'iZ} j=—оо

Показывается, что множество Рт состоит из 27г/га-периодических функций. Множество Рт - кольцо. Поэтому пространство Р можно рассматривать как Рт-модуль. Пусть I - замкнутый подмодуль в Р. Обозначим через V/ множество в X*, такое, что Vj = I.

Лемма 3.2 Специальный принцип двойственности. Между совокупностью {W} замкнутых подпространств в X, инвариантных относительно сдвига Sm и совокупностью всех замкнутых Рт-подмодулей в Р можно установить взаимно-однозначное соответствие по правилу: W <—> I тогда и только тогда, когда W = (V/)-1,

И01 = /.

Далее исследуются системы функций из (</?i(A),., ^(Л)} из Рт-модуля Р. Выясняется условие линейной независимости этой системы.

Обозначим символом (<£>i(a), . , у>&(а)) определитель системы I ai(a)y?i(a) + • • • + afc(a)v?*(a) = о, ai(AMA + £) + ••• + ак( А)^(А + £) = <>, ai(a)^(a + 1)) + • • • + а*(аыа + - 1)) = о

Лемма3.3 Система {<pi(a),., С Р линейно независима тогда и только тогда, когда (<pi(a),., ^jfe(a)) ф 0.

В конце пункта исследуется разложения функции <р(Х) £ Р по линейно независимой системе v?i(a),., т.е. когда ip = Y^UnPn-, где функции ап из Рт. Для решения этой задачи вычисляются коэффициенты а„(А + - а„( А) = •■■*»(*» (12) m ф(Х)

Определяются системы Ai и А^.

Ai = {{(e'"A. V2(A),. •,■ ■ •

Л- корень функции(tpi(А),., ^fc(A)) кратности qj,Q ^ q < g^}.

13) {{(ер,А), (Л),., : А е С}. и доказывается лемма о разложении:

Лемма 3.4 Пусть ip £ Р,(р — Ф. Функцию (р можно представить в виде (р = Y^UnPn, где ап находятся по формуле (11); для ап имеет место формула (12). Функции ап G Р тогда и только тогда, когда Ф обращается в нуль на системе А\\ равенство ап(Х 4- —■) = ап(Х) выполняется тогда и только тогда, когда функционал Ф обращается в нуль на системе Ач. п. 3.3 Пусть X - одно из пространств А|Х|Р и В|Х|Р. Исследуется ядро произвольного линейного непрерывного оператора М, перестановочного со сдвигом Sm и однородные уравнения с такими операторами. Пусть W С X - пространство решений однородного уравнения Мх = 0 (ж <Е X).

Лемма 3.5 Множество W инвариантно относительно Sm. Считаем, что числовые семейства S-j(f^) линейно независимы. Пусть Ф0,.,Ф mi £ X*, Ф^ — S-j(f^). Определим функции <Pj(X) — ФДА) = S-j(f(j)(A), j = О.т-l. Пусть функции <р0 . .<рт-1 линейно независимы. Следующая теорема описывает структуру пространства решений однородного уравнения:

Теорема 3.2 Объединение систем А\ и А2 полны в пространстве решений однородного уравнения (3.20). п. 3.4 Изучается разрешимость неоднородного уравнения вида где х,д £ X, Р £ = О.га — 1, причем функции (fj(z) =

S-j(fW)(z),j = О.т — 1 линейно независимы. My(0)v.^(m-i) - линейный непрерывный оператор, перестановочный с Sm.

Теорема 3.3 Уравнение (14) разрешимо для любого д £ X тогда и только тогда, когда определитель (<^о(А),., <pm-i(A)) отличен от тождественного нуля.

При доказательстве этой теоремы используется методика, сходная с методикой доказательства аналогичных теорем 1.13 и 1.14. п. 3.5 В последнем разделе диссертации в пространстве X решаются операторные уравнения SmM{x) — MSm{x) = х, MSm(x) — SmM(x) = х:

Теорема 3.4 Линейный непрерывный оператор М в пространстве X удовлетворяет уравнению

SmM(x) - MSm(x) = ж, Ух £ X, т £ N (15) тогда и только тогда, когда он представим в виде

M(x) = M'(x) + Q(x),

- где М'(х) - оператор, перестановочный с оператором сдвига Sm: M'Sm(x) — Sm{x)M'(x) = 0 (см. теорему 3.1), a Q(x) - оператор в X, действующий по правилу

Q(x) : хп —► $(п — т)х п—т•

0(п) = Ш ~ целая часть др°би й

Схема доказательства теоремы: задача переносится в пространство преобразований Лапласа. Там находится вид искомого оператора. Затем находится вид оператора в пространстве X.

Следствие 1 Для того, чтобы линейный непрерывный оператор М в пространстве X удовлетворял уравнению (15) в случае т < О, необходимо и достаточно чтобы оператор М имел вид М(х) = М'(х) — S-mQ-(x), где М'{х) - оператор, перестановочный с оператором сдвига (см. теорему 3.1), © - оператор в X, действующий по правилу : хп -»> 9-(п)хп.

0(n) = Щ - целая часть дроби

Теорема 3.5 Линейный непрерывный оператор М в пространстве X удовлетворяет уравнению

MSm(x) - SmM(x) = х, Ух £ X, т £ N (16) тогда и только тогда, когда он представим в виде

М(®) = М;(я;)-е(5т(аг)),

- где М'{х) - оператор, перестановочный с оператором сдвига Sm: M'Sm(x) — Sm(x)M'(x) = 0 (см. теорему 3.1), в(ж) - оператор в X, действующий по правилу

9(ж) : хп ->• в(п)хп. 0(п) = 1ш1 ~ Целая часть ДР°би ш

Следствие 2 Для того, чтобы линейный непрерывный оператор М в пространстве X удовлетворял уравнению 3.39 в случае т < 0, необходимо и достаточно чтобы оператор М имел вид М(х) = M,(x)Jt-S-(S-m(x)), где М'(х) - оператор, перестановочный с оператором сдвига Sm,(cM. теорему 3.1), 6 - оператор в X, действующий по правилу : хп в-[п)хп. в-(п) = - целая часть дроби

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Карпов, Александр Владимирович, 2001 год

1. Братищев А.В., Коробейник Ю.Ф. Общий вид операторов, перестановочных с операцией дифференцирования. - Ма-тем.заметки, 1972, 12, № 2, с.187-195.

2. Братищев А.В., Коробейник Ю.Ф. О некоторых характеристиках роста субгармонических функций. Математический сборник, 1978, Т. 106, № 1, с.44-65.

3. Бурбаки Н. Общая топология. Москва, 1968 г.

4. Вулих Б.З. Введение в функциональный анализ. Москва: Наука, 1967 г.

5. Дьедонне Ж., Шварц JI. Двойственность в пространствах (F) и (LF). Сб. Математика, 1958, 2, № 2, с.77-107.

6. Грабовская Р.Я., Кононенко В.И., Осипов В.Б. Об одном семействе операторов обобщенного сдвига. ДАН СССР 1975, том 223, № 1, с. 27-31.

7. Елисеев И.С. Об операторах, перестановочных с кратным дифференцированием. Автореферат дис. канд. физ.-мат. наук. -Уфа, 1981.

8. Елисеев И.С. Перестановочность с линейным дифференциальным оператором. Матем. заметки, 1979, т.26, №5, с. 719-738.

9. Ибадов Н.В. Неоднородные системы уравнений свертки в одном классе аналитических функций. Сибирский математический журнал, январь-февраль 1988 г. т. XXIX, №1, стр.39-49.

10. Канторович JI.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ в нормированных пространствах. Москва.:Физматгиз, 1959.

11. Карпов А.В., Сапронова Г.А. Перестановочные со сдвигом операторы в пространствах числовых семейств Республиканская научная конференция студентов и аспирантов по физике и математике, тезисы докладов, 1997 г., Уфа.

12. Карпов А.В. Разрешимость неоднородного уравнения свертки в пространстве числовых семейств экспоненциального роста -Проблемы математики и теории управления, Уфа, 1998,с. 66-70

13. Карпов А.В. Операторы, перестановочные со сдвигом, в пространстве числовых семейств экспоненциального роста -Тезисы докладов междунар. конф. по комплексному анализу . ИНГУ. Нижний Новгород. 1997.

14. Карпов А.В. О решении операторного уравнения SmM — MSm = I в пространстве последовательностей экспоненциального роста. Труды международной школы С.Б.Стечкина по теории функций, Екатеринбург: УрО РАН, 1999, с.94-105.

15. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. Москва: Наука, 1989, 6-е изд.

16. Коробейник Ю.Ф. Об одном классе линейных операторов. Го-дишник на втуз, Математика, 1973, 3, с.23-33.

17. Коробейник Ю.Ф. Операторы сдвига на числовых семействах. Издательство Ростовского университета, 1983.

18. Коробейник Ю.Ф. О решениях некоторых функциональных уравнений в классах функций, аналитических в выпуклых областях. Матем. сб. 1968. Т.75(117). N2. С.225-234.

19. Красичков Терновский И.Ф. Однородное уравнение типа свертки на выпуклых областях. -ДАН СССР. 1971. Т. 197. N1. С.29-31.

20. Красносельский М.А., Рутицкий Я.Б. Выпуклые функции и пространства Орлича. Москва, 1958.

21. Кривошеев А.С., Напалков В.В. Комплексный анализ и операторы свертки. Успехи математических наук, т. 47, вып. 6(288), ноябрь-декабрь 1992, с. 3-58.

22. Кривошеев А. С. Критерий разрешимости неоднородных уравнений свертки в выпуклых областях пространства С". ИАН СССР., Сер. математ. 1990. Т. 54, №3, с.480-500.

23. Кривошеев А.С. Системы уравнений свертки в выпуклых областях из Сп.~ Докл. РАН, 1993. Т. 332, №3, с.289-290.

24. Кривошеев А.С. Представление решений однородного уравнения свертки в выпуклых областях пространства С". Изв. РАН, Сер. математ. 1994. Т. 58, №, с.72-92.

25. Кузбеков Т.Т. О некоторых идеалах в кольцах целых функций, Известия высших учебных заведений, математика, 1990, по. 7(338),28-36.

26. Леонтьев А.Ф. О свойствах последовательностей полиномов Дирихле, сходящихся на интервале мнимой оси. Изв. АН СССР. сер. матем. 1965. Т.29. С.269-328.

27. Мерзляков С.Г. Инвариантные подпространства оператора кратного дифференцирования Матем. заметки, 1983, 33, №5, с. 701-713.

28. Мерзляков С.Г. Операторы, коммутирующие с оператором кратного дифференцирования Исследования по теории аппроксимации функций, Уфа, 1981, с.47-50.

29. Нагнибида Н.И. О линейных непрерывных операторах в аналитическом пространстве, перестановочных с оператором дифференцирования. в сб.: Теория функций, функциональный анализ и их приложения. - Харьков, 1966, т.2, с.160-164.

30. Нагнибида Н.И. Об изоморфизмах аналитических пространств, перестановочных с оператором дифференцирования. Математ. сб., 1967, т.72, по.2, с.250-260.

31. Напалков В.В. Факторизация оператора типа свертки-Матем. заметки, 1974, 15, №1, с. 165-171.

32. Напалков В.В. Уравнения свертки в многомерных пространствах- Москва: Наука, 1982.

33. Напалков В.В. Об операторах, перестановочных с дифференцированием, в пространствах функций от нескольких переменных. Матем.заметки, 1978, 24, №6, с.217-226.

34. Напалков В.В., Кузбеков Т.Т. О порождающих в некоторых кольцах аналитических функций- Доклады РАН, т. 325 (1992), по.5.

35. Напалков В.В., Карпов А.В. Ядро и образ перестановочных с кратным сдвигом операторов в пространстве последовательностей экспоненциального роста Доклады РАН, т. 360 (1998), по.З. 1998, с.312-316

36. Напалков В.В., Шагапов И.А. Замкнутые идеалы в некоторых алгебрах целых периодических функций- Доклады РАН, т. 354 (1997), по.6., С.739-741.

37. Напалков В.В., Шагапов ИА. Об инвариантных подпространствах в некоторых пространствах числовых последовательностей. Тезисы докладов междунар. конф. по комплексному анализу . ННГУ. Нижний Новгород. 1997. С. 46-50.

38. Паламодов В.П. Линейные дифференциональные операторы с постоянными коэффициентами-М.:Наука, 1967.

39. Робертсон А., Робертсон В. Топологические векторные пространства- Москва: Мир, 1967.

40. Ронкин Л.И. Введение в теорию целых функций многих переменных Москва: Наука, 1971.

41. Рокафеллар Р. Выпуклый анализ Москва: Мир, 1973.

42. Сапронова Г.А. Эквивалентные топологии и операторы, коммутирующие со сдвигом в некоторых весовых пространствах последовательностей "Актуальные проблемы математики. Математические методы в естествознании. Издательство УГА-ТУ, 1999.

43. Себастьян-и-Сильва Ж.О. О некоторых классах локально выпуклых пространств, важных в приложениях. Сб. Математика, 1957, 1, ДО 1, с.60-77.

44. Ткаченко В.А. Об операторах, коммутирующих с обобщенным дифференцированием, в пространствах аналитических функционалов с заданным индикатором роста Матем. сб., 1977, 102, № 3, с.435-456.

45. Царьков М.Ю. Некоторые вопросы теории линейных операторов, связанные коммутационными соотношениями. Авто-реф. дис. канд. физ.-мат. наук. - Ростов н/Д, 1971. -9 с.

46. Хейман У., Кеннеди П. Субгармонические функции. Москва: Мир, 1980 г.

47. Хермандер JI. Введение в теорию функций нескольких комплексных переменных. Москва: Мир, 1968.

48. Шабат Б.В.Введение в комплексный анализ. Москва: Наука, 1985, 3-е изд. изд.

49. Шагапов И. А.Инвариантные подпространства в пространствах числовых последовательностей. диссертация на соискание ученой степени кандидата физ.-мат. наук, Уфа, 1999.

50. Юлмухаметов Р.С. Однородные уравнения свертки. ДАН СССР. 1991. Т.316. N2. С.312-315.

51. Hurmander L. Generators for some rings of analitic factions Bull. Amer. Math. Soc. - 1967. - V.73 - № 6 - P.943-949.

52. Ehrenpreis L. Mean periodic functions. Amer. J. Math. 1955. V.77. N2. P.293-326.

53. Malgrange B. Existence et approximation des solutions aux des equations derivees partielles et des equations de convolution Ann. Inst. Fourier 1955-56. V.6. P.271-355.

54. Matzuura S. Factorisation of differential operators and decomposition of homogeous equation. Osaska J. Math., 1963, 15, № 2, p.213-231.

55. Kelleher J., Taylor B. An application of the Corona theorem to some rings of entire functions Bull. Amer. Math. Soc., 73, (1967), 246-249.