Весовые пространства бесконечно дифференцируемых функций тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, доктор физико-математических наук Мусин, Ильдар Хамитович

• Мусин, Ильдар Хамитович
• доктор физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Мусин, Ильдар Хамитович

Основные обозначения и определения.

Введение

Глава 1. Весовые пространства бесконечно дифференцирумых функций на числовой прямой.

1.1. Пространство

1.1.1. Определение пространства £{ф) (40). 1.1.2. Полнота многочленов в £(ср) (41). 1.1.3. О преобразовании Фурье-Лапласа функционалов из £'{<р) (48). 1.1.4. Описание £* (ср) при условии, что р е ФП7гм,/г > 1 (50).

1.2. Пространство

1.2.1. Предварительные сведения (54). 1.2.2. Вспомогательные утверждения (58). 1.2.3. Описание С?* при дополнительном условии на <р* (69).

1.3. Пространство С>(сг)

1.3.1. Предварительные сведения (83). 1.3.2. Вспомогательные утверждения (86). 1.3.3. Описание (2* (а) при дополнительном условии на у* (90).

Глава 2. Весовые пространства бесконечно дифференцируемых функций вК".

2.1. Описание £*(</?) при условии, что (р € ФР)М (р > 1,// Е (1,р]) . . 98 2.1.1. Предварительные сведения (98). 2.1.2. Вспомогательные утверждения (99). 2.1.3. О полноте многочленов в £{ф) (100).

2.1.4. Описание £*{ф) (104).

2.2. Описание при условии, что ср е Фр^ (р > 1,// € (1,р]) • • • 107 2.2.1. Введение (107). 2.2.2. Вспомогательные утверждения (110). 2.2.3. Описание сопряженного к (111).

Глава 3. Экспоненциальное представление решений однородного линейного дифференциального уравнения в частных производных

3.1. Предварительные сведения.

3.2. Описание ядер дифференциальных операторов.

3.2.1. Формулировка результатов (126). 3.2.2. Локальное продолжение (130). 3.2.3. Специальное покрытие Сп (134). 3.2.4. Доказательство теоремы 3.2.3 (136). 3.2.5. Описание ядер дифференциальных операторов, действующих в (138). 3.2.6. Описание ядер дифференциальных операторов, действующих'в (142).

Глава 4. О сюръективности линейных оператора в пространствах бесконечно дифференцируемых функций

4.1. О сюръективности в линейного дифференциального оператора с постоянными коэффициентами

4.1.1. Введение (146). 4.1.2. Один способ проверки выполнения условия V2 (150). 4.1.3. Пример целой функции, удовлетворяющей условиям L1 и L2 (153). 4.1.4. Вспомогательные утверждения (155). 4.1.5. Доказательство теоремы 4.1.1 (161).

4.2. О возмущении операторов свертки в пространствах бесконечно дифференцируемых функций в выпуклых областях из Еп

Глава 5. Теоремы типа Пэли-Винера для функций, голоморфных в трубчатых областях

5.1. Весовой вариант теорем Пэли-Винера для функций, голоморфных в трубчатых областях.

5.1.1. Предварительные сведения (173). 5.1.2. Применение неравенств Харди-Литллвуда и Юнга в задачах о представлении аналитических функций интегралами Фурье-Лапласа (174). 5.1.3. Представление интегралами Фурье-Лапласа функций, аналитических в трубчатых областях, граничные значения которых удовлетворяют более общим характеристикам, роста (184).

5.2. Описание преобразования Фурье-Лапласа одного класса обобщенных функций медленного роста с носителем, лежащим внутри острого выпуклого открытого конуса в Еп.

5.2.1. Постановка задачи (189). 5.2.2. Голоморфные функции классов ь и (191).

Глава 6. Представление функций из (^(сг) рядами экспонент

6.1. Разложение функций из С\Д<т) в ряды экспонент.

6.1.1. Введение (198). 6.2.2. Примеры последовательностей из класса Ш (201). 6.1.3. Вспомогательные утверждения (202).

6.1.4. Слабо достаточные множества для Рф(а) (206). Список литературы

Основные обозначения и определения

Сп - п-мерное комплексное пространство точек 2 = ,гп), г,- 6 С у.= 1,. ,п).

Мп - п-мерное вещественное пространство точек х = [хг,. ,а?п)> К 0' = 1,. ,п).

Для точки 2 = (^1,. , где г,- = я,- + г^-, х,, у, £1, .7 = 1,. , п, будет также использоваться запись -г. = х + гу, где х — (жх,

У — {У\т- • При этом х = Яе г - вещественная часть г, у = 1т г -мнимая часть г.

Для и = («х,. ,ип), у — (г>1,. , г>п) е СП(ЕП) полагаем (гг, г?) = «1^1 + . . . + ипУп, ||и||:= \f \ui\2 н-----Ь |ип|2.

Для £ е Еп(Сп),г > 0 £>(£,г) = {и е МП(СП) : ||и - < г} -открытый шар в МП(СП) радиуса г с центром в точке £ е Е"(СП).

Пусть X - некоторое топологическое пространство и А - его подмножество. Символом дА обозначается граница множества А, А - замыкание А, 1п1А - внутренность А.

Для мультииндекса а = ,ап) 6 используются следующие сокращения: \а\ = а\ Н------+ ап, а\ = а>1\.ап\, га = г"1 (г = ,4)6С"), ха = х?.х%" {х = {хъ. ,хп) 61"), -д^Гд» = («X.

Для открытого множества в!" (Сп) Т>{0) - пространство всех бесконечно дифференцируемых функций в Еп (Сп), носители которых лежат в П, наделенное обычной топологией.

Для открытого множества О С С" Н(0.) - пространство функций, голоморфных в О,, с топологией равномерной сходимости на компактных подмножествах Г2.

Для открытого множества О, С К™ в ряде случаев через 8обозначаем пространство бесконечно дифференцируемых функций /(х) в

Q с топологией, определяемой системой норм \\f\\KN = sup \Daf(x)\, xeK,\a\<N где К пробегает совокупность всевозможных компактных подмножеств Q, а N - множество Z+ всех неотрицательных целых чисел.

Для локально выпуклого пространства Е через Ег обозначаем пространство линейных непрерывных функционалов на Е, через Е* - сильное сопряженное к Е пространство.

1Z - совокупность функций <р : Мп —> R таких, что lim „ ,, = +00. х—>оо |[ж||

Ф - подмножество 71, состоящее из выпуклых функций. Для р > G (1 ,р] ФP)At - множество функций <р из Ф, для которых существуют числа А > 0,В,С > О,D такие, что С||ж||м — D < ip(x) < А\\х\\р + В, х е Rn.

Для [L > О - множество функций <р : Rn —К, для которых существуют числа С > О, D > 0 такие, что </?(ж) > — D, ж Gl".

Преобразование Юнга <£>* функции v? £ ^ определяется по формуле р*{х)= sup ((х,у) - ip(y)), гсбЕп.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Весовые пространства бесконечно дифференцируемых функций»

В диссертации рассматриваются задачи, относящиеся к теории функций, комплексному анализу и теории дифференциальных уравнений. Определены новые классы весовых пространств бесконечно дифференцируемых функций в Мп. В этих пространствах изучаются следующие вопросы:

1. проблема описания сильного сопряженного пространства в терминах преобразования Фурье-Лапласа;

2. полиномиальная аппроксимация;

3. интегральные представления решений однородных линейных дифференциальных уравнений: в частных производных конечного порядка с постоянными коэффициентами;

4. разрешимость обыкновенных линейных дифференциальных уравнений бесконечного порядка с постоянными коэффициентами;

5. представление функций рядами экспонент.

В диссертации, также изучаются: проблема интегральных представлений с экспоненциальным ядром для функций, аналитических в трубчатых областях; сюръективность линейных операторов, являющихся возмущениями операторов свертки, в пространствах бесконечно дифференцируемых функций в выпуклых областях из Еп; преобразование Фурье-Лапласа обобщенных функций медленного роста с носителями в замкнутых неограниченных множествах, содержащихся в выпуклых открытых острых конусах в Е".

Большую часть работы занимает описание сопряженных пространств для введенных весовых пространств бесконечно дифференцируемых функций в терминах преобразования Фурье-Лапласа. Полученное описание оказалось полезным при изучении третьего, четвертого и пятого вопросов в этих весовых пространствах функций.

Как известно, описание сопряженных пространств в терминах преобразований Лапласа или Фурье-Лапласа является одной из важных задач теории функций и функционального анализа. Этой проблеме посвящены работы многих российских: и зарубежных математиков - Г. Полиа, Н. Винера, Р. Пэли, Л. Шварца, B.C. Владимирова, Л. Эренпрайса, Л1 Хёр-мандера; А. Мартино, В.В: Напалкова, Б.А. Тейлора, P.G. Юлмухаметова, В.В. Жаринова; F.ffi Эскина, Роевера (J:W. de Roever), Ю:И. Любарского, В;А. Ткаченко; C.B. Попенова, В.И. Луценко, Р. Майзе, Ф. Хаслингера, Б. Берндтссона; М. Лангенбруха, Н. Линдхольма и др. Такое описание позволяет интерпретировать сопряженное пространство к изучаемому пространству как некоторый класс целых или аналитических функций с определенными^ мажорантами роста; Тем самым многие проблемы теории операторов свертки, теории дифференциальных уравнений; теории аппроксимации функций, вопросы представления функций рядами экспонент и др. методами функционального анализа могут быть сведены к задачам из теории целых или аналитических функций. В теории* операторов! свертки, теории аппроксимации функций, вопросах представления функций : рядами, экспонент такой подход систематически использовался в работах Б. Мальгранжа, Л. Эренпрайса, Л. Шварца, Л. Хёр-мандера, А.Ф. Леонтьева, В.В. Напалкова, И.Ф. Красичкова-Терновского, Ю.Ф. Коробейника, Б.А. Тейлора, P.C. Юлмухаметова; A.C. Кривошее-ва, С.Г. Мерзлякова, Б.Н. Хабибуллина, A.M. Седлецкого, О.В. Епифанова, В.В. Моржакова, A.B. Абанина, К. Беренстейна, Д. Струппы и др., в теории дифференциальных уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами- в работах Б. Мальгранжа, Л. Эренпрайса, Л. Хермандера, В.П. Паламодова, А. Мартино, B.Bi Напалкова; Роевера, К. Беренстейна и др.

Структура работы такова. Первая и вторая главы диссертации посвящены описанию сопряженных пространств к: еще мало изученным весовым пространствам бесконечно дифференцируемых функций: в Rn в терминах преобразования Фурье-Лапласа и аппроксимации полиномами в весовых пространствах бесконечно дифференцируемых функций в Rn. В третьей главе изучается задача об описании ядер дифференциальных операторов в частных производных с постоянными коэффициентами (фундаментальный принцип), действующих в этих весовых пространс-тах. В ходе рассмотрения этой задачи были исследованы смежные вопросы теории аналитических функций многих комплексных переменных. В четвертой главе изучается сюръективность линейного дифференциального оператора бесконечного порядка с постоянными коэффициентами в весовом пространстве бесконечно дифференцируемых функций на числовой оси, а также рассматривается вопрос о сюръективности линейных операторов, являющихся возмущениями операторов свертки в пространствах бесконечно дифференцируемых функций в выпуклых областях Еп. В пятой главе рассматривается задача о представлении: аналитических функций (функций, аналитических в трубчатых областях, целых функций экспоненциального роста) с определенными свойствами интегралами Фурье-Лапласа. Там же дополняются результаты B.C. Владимирова и Ро-евера по преобразованию Фурье-Лапласа обобщенных функций медленного роста. В шестой главе изучается задача о представлении бесконечно дифференцируемых функций на числовой оси, принадлежащих одному из введенных весовых пространств, в виде рядов экспонент.

Весовые пространства бесконечно дифференцируемых функций в Rn, о которых дальше пойдет речь, были введены под влиянием работы Б.А. Тейлора (Taylor В.A. Analytically uniform spaces of infinitely differentiable iunctions // Communications on pure and applied mathematics. 1971. V. 24. №1. P. 39-51).

Пусть - совокупность вещественнозначных функций лр в Еп таких, что lim -г—— = +оо. x-voo ||ж||

Через Ф обозначим подмножество 71, состоящее из выпуклых функций. Пусть лр* - преобразование Юнга: функции лр £ 71 (также называемое преобразованием Юнга-Фенхеля, реже - преобразованием Лежандра): tp*(x) = sup{(х,у) - ip(y)), х е Г. yeRn

Положим <fi(x) = (f*(—x), x G Mn. Отметим, что G Ф.

Пусть Ф - семейство выпуклых функций в Еп, для которого выполнены следующие условия:

Ф1. Для любых (fi,(f2 € Ф найдется функция </з3 G Ф такая, что mm(<pi(x),ip2(x)) х GW1.

Ф2. Для любого tp е.Ф lim = +00.

Х-ЮО ||ж[|

ФЗ. Для любого <pi G Ф найдутся число 77 > 0 и ^ € Ф такие, что sup + 2/) + f7lMI < х € Мп.

Il»l<i

По семейству Ф Б.А. Тейлором [94] было определено линейное пространство (Е(Ф) бесконечно дифференцируемых функций / в R" таких, что для любых m G Ъ+,лр 6 Ф tmAf)= SUP \Daf{x)\exp{-ip(x))<oo. xeRn,\a\<m

Семейство норм tm>v задает на (£(Ф) локально выпуклую топологию.

Условие Ф2 гарантирует, что экспоненты ег<х£> ^ где £ g Сп, принадлежат (£(Ф). Поэтому для любого функционала Т G (Е'(Ф) корректно определена функция Т(£).= T(eI<x,i>), £ G Сп, называемая преобразова

4. нием Фурье-Лапласа функционала Т. Отображение Т G £'(Ф) —> Т также называем преобразованием Фурье-Лапласа.

Б.А. Тейлор [94] отметил, что пространство линейных непрерывных функционалов над (£(Ф) при помощи преобразования Фурье-Лапласа может быть отождествлено с пространством целых функций F в Сп, удовлетворяющих следующему условию роста: существуют <р G Ф, числа

А > 0, т Е Ъ+ такие, что

А{ 1+ Р||)техр(£(/тв г)), г.е Сп:

Заметим, что на практике удобнее считать, что функции из семейства Ф вместо условий Ф1 и ФЗ удовлетворяют менее ограничительным условиям Ф1' и ФЗ':

Ф1'. Для любых найдутся (рз £ Ф и аЕ М такие, что тт(<р1(х),(р2(х)) > ср3(х) + а, х е Еп,

ФЗ'. Для любого 1р1 6 Ф найдутся положительные числа 77, с? и е Ф такие, что вир <р2(х + у) 4- г)\\х\\ < ср!(х) + х Е 1".

Ну1<1

Это никак не отражается на описании сопряженного пространства.

Отметим, что пространство <£(Ф) инвариантно относительно дифференцирования. Кроме того, оно инвариантно относительно сдвигов. Это важное свойство пространства (£(Ф) следует из условия ФЗ и существенно используется при описании сопряженного пространства к <2(Ф).

До Б.А. Тейлора специальные случаи пространств ^(Ф) рассматривались Л. Эренпрайсом [75] и Л. Хёрмандером [82] в связи с различными вопросами анализа. В частности, в [75, Глава 5] отмечено, что в случае, когда Ф = {<р(ех)}е>0, где (р - положительная выпуклая функция в удовлетворяющая условию Ф2, пространство преобразований Фурье-Лапласа функционалов из (Е'(Ф) состоит из целых функций для которых существуют числа 6, с, N такие, что

6(1 + |И|)*ехр(<£(с 1т z)), г Е Сп.

Полученное описание сопряженного пространства для пространства £(Ф) и использованный при этом подход оказались полезными при изучении самых разных задач. Например, они были использованы Л. Эренпрайсом [75, Глава 9] при изучении единственности задачи Коши для' дифференциальных операторов, К. Беренстейном и Дж. Лесмесом [71], В.В1 Напалковым [41], [42] при изучении единственности задачи Коши для операторов свертки, Б.А. Тейлором в связи с описанием сопряженных пространств для введенных им на базе пространств (£(Ф) более общих "пространств, определяемых операторами свертки" [94], Д. Струппой при изучении проблемы квазианалитичности в весовых пространствах бесконечно дифференцируемых функций в.Кп [93].

Перейдем к обзору результатов работы. Диссертация состоит из введения, шести глав и списка литературы. Нумерация приведенных во введении теорем, лемм та же, что и в соответствующих разделах.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Мусин, Ильдар Хамитович, 2004 год

1. Абанин А. В. Достаточные множества и абсолютно представляющие системы // Дисс. доктора физ.-мат. наук. Ростов-на-Дону, 1995.

2. Абанин A.B. О некоторых признаках слабой достаточности // Матем. заметки. 1986. Т.40, №4. С.442-454.

3. К. Беренстейн, Д; Струппа. Комплексный анализ и уравнения в свертках. Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т. 54. М.: ВИНИТИ, 1989.

4. Н. Винер, Р. Пэли. Преобразование Фурье в комплексной области. М.: Наука, 1964.

5. Владимиров B.C. Функции, голоморфные в трубчатых конусах // Известия АН СССР. 1963. Т. 27, №1. С. 75-100.

6. Владимиров B.C. Методы теории функций многих комплексных переменных. М.: Наука, 1964.

7. Владимиров B.C. Обобщенные функции в математической физике. М.: Наука, 1979.

8. Владимиров B.C., Дрожжинов Ю.Н., Завьялов Б.И. Многомерные та-уберовы теоремы для обобщенных функций. М.: Наука, 1986.

9. Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Обобщенные функции (Пространства основных и обобщенных функций). М.: Физматгиз, 1958.

10. Дьедонне Ж., Шварц Л. Двойственность в пространствах (F) и (LF). Сб. Математика, 1958, 2, №2, С. 77-107.

11. Евграфов М.А. Асимптотические оценки и целые функции. М.: Наука, 1979.

12. Жаринов В.В. Компактные семейства ЛВП и пространства FS и DFS // УМН. 1979. Т. 34, вып. 4(208). С. 97-131.

13. Зиновьев Ю.М. Неунитарные представления М#(2), группы ах + Ь и преобразование Лапласа // Теоретическая и математическая физика. 1979. Т. 38, №2. С. 153-162.

14. Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1989.

15. Коробейник И.Ф. О бесконечно дифференцируемых решениях линейного дифференциального уравнения бесконечного порядка // Сиб. матем. ж. 1965. Т. 6, №3. С. 516-527.

16. Коробейник Ю.Ф. Абсолютно представляющие системы экспонентс мнимыми показателями в пространствах бесконечно дифференцируемых функций // Доклады АН. 2000. Т. 372, №1. С. 17-20.

17. Красносельский М.А., Рутицкий Я.Б. Выпуклые функции и пространства Орлича. М.: Физматгиз, 1958.

18. Кривошеев А. С., Напалков В. В. Комплексный анализ и операторы свертки // УМН. 1992. Т. 47, выпуск 6(288). С. 3-58.

19. Кривошеев A.C. Представление решений однородного уравнения свертки в выпуклых областях пространства Сп // Известия РАН. Серия матем. 1994. Т. 58, №1. С.71-91.

20. Кривошеев А. С. Интерполяция с оценками в Сп и ее применение // Матем. сборник. 2001. Т. 192, №9. С. 39-84.

21. Кусис П. Введение в теорию пространств Нр. М.: Мир, 1984.

22. Кутателадзе С.С. ДАН СССР. 1977. Т. 233, №66. С. 1039-1041.

23. Левин Б.Я. Распределение корней целых функций. М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1956.

24. Леонтьев А.Ф. Ряды экспонент. М.: Наука, 1976.

25. Мандельбройт С. Примыкающие ряды, регуляризация последовательностей, применения. М.: ИЛ, 1955.

26. Маннанов М.М. Описание одного класса аналитических функционалов // Сиб. матем. ж. 1990. Т. 31, №3. С. 62-72.

27. Мерзляков С.Г. О возмущении операторов свертки в пространствах голоморфных функций // Матем. сб. 1995. Т. 186, №3. С. 103-130.

28. Мусин И. X. О преобразовании Фурье-Лапласа функционалов на весовом пространстве бесконечно дифференцируемых функций // Мат. сб. 2000. Т. 191, №10. С. 57-86.

29. Мусин И. X. Теорема типа Пэли-Винера для весового пространства бесконечно дифференцируемых функций // Изв. РАН. Сер. матем.2000. Т. 64, №6.С. 181-204.

30. Мусин И. X. Сюръективность линейного дифференциального оператора в весовом пространстве бесконечно дифференцируемых функций // Матем. заметки. 2002. Т. 71. Вып. 5. С. 713-724.

31. Мусин И. X. О представлении бесконечно дифференцируемых функций рядами экспонент // Матем. заметки. 2003. Т. 73. Вып. 3. С. 402-415.

32. Мусин И. X. О преобразовании Лапласа одного класса обобщенных функций медленного роста // Теоретическая и математическая физика. 1993. Т. 94, №3. С. 386-392.

33. Мусин И:Х. Теоремы типа Пэли-Винера для аналитических функций в трубчатых областях. Математические заметки. 1993. Т. 53 (4). С. 92-100.

34. Мусин И. X. Об одном классе бесконечно дифференцируемых функций // Труды международной конференции "Комплексный анализ, дифференциальные уравнения и смежные вопросы". I. Комплексный анализ. Уфа. 2000. С. 123-126.

35. И.Х. Мусин. О некоторых аналитически равномерных пространствах бесконечно дифференцируемых функций // Труды участников Международной школы-семинара по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова. Издательство ЦВВР, Ростов-на-Дону. 2002. С. 150-151.

36. Мусин И.Х. Описание ядра дифференциального оператора // Труды математического центра имени Н.И. Лобачевского. Издательство Казанского математического общества. Казань. Т. 19. 2003. С. 157-158.

37. Мусин И.Х. Об одном классе сюръективных операторов // Тезисы докладов Международной конференции по комплексному анализу и смежным вопросам, посвященной памяти чл.-корр. АН СССР А.Ф. Леонтьева. Нижний Новгород, 2-5 июня 1997. ННГУ. 1997. С. 45-46.

38. Напалков В.В. Задача Коши для операторов свертки // Исследования по теории приближения функций. Уфа, БФ АН СССР, Отдел физики и математики, 1987. С. 176-186.

39. Напалков В.В. Задача Коши для операторов свертки // Вестник УГА-ТУ. 2000, №2. С. 47-51.

40. Напалков В.В. Пространства аналитических функций заданного роста вблизи границы // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1987. Т. 51, №2. С. 287-305.

41. Напалков В.В. О сравнении топологий в некоторых пространствах целых функций // ДАН СССР. 1982. Т. 264, №4. С. 827-830.

42. Напалков В.В. Уравнения свертки в многомерных пространствах. М.: Наука, 1982.

43. Напалков В.В. Достаточные множества в одном классе целыхфункций // Вопросы аппроксимации функций комплексного переменного. Уфа, БФ АН СССР, Отдел физики и математики, 1980.С. 110-115.

44. Напалков В.В., Попенов C.B. О преобразовании Лапласа на весовом пространстве Бергмана целых функций в Сп. Доклады РАН. 1997. Т. 352 (5). С. 595-597.

45. Напалков В.В., Соломещ М.И. Оценка изменения целой функции при сдвигах ее нулей. Доклады РАН, 1995, Т. 342, №6, С. 739-741.

46. Паламодов В.П. Линейные дифференциальные операторы с постоянными коэффициентами. М.: Наука, 1971.

47. Попенов C.B. О весовом пространстве функций, аналитических в неограниченной выпуклой области в Сш // Матем. заметки. 1986. Т. 40, Ко 3. С. 374-384.

48. Попенов C.B. Об одном весовом пространстве целых функций // В сб: Исследования по теории аппроксимации функций. 1986.С. 89-96. Уфа. БФАН СССР, 1986.

49. Робертсон А., Робертсон В. Топологические векторные пространства. М,: Мир, 1967.

50. Рокафеллар Р. Выпуклый анализ. М.: Мир, 1973.

51. Ронкин Л.И. Введение в теорию целых функций многих переменных. М.: Наука, 1971.

52. Себаштьян-и-Сильва Ж. О некоторых классах локально выпуклых пространств, важных в приложениях // сб. пер. Математика. 1957. Т. 1, №1. С. 60-77.

53. Соломещ М.И. Операторы типа свертки в некоторых пространствах аналитических функций: Дис. канд. физ.-мат. наук. М., 1995.

54. Соломещ М.И. К теореме P.C. Юлмухаметова об аппроксимации субгармонических функций // Деп. в ВИНИТИ 24.07.92, №2447 -В92. Ин-т математики УрО РАН. Уфа, 1992, 14 с.

55. Стейн И., Вейс Г. Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах. М.: Мир, 1974.

56. Титчмарш Е. Введение в теорию интегралов Фурье. М.; JI.: Гостехиздат, 1948.

57. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. II. М.: Наука, 1970.

58. Хермандер JI. Введение в теорию функций нескольких комплексных переменных. М.: Мир, 1966.

59. Хермандер JI. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными. Том 2. Дифференциальные операторы с постоянными коэффициентами. М.: Мир, 1986.

60. Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ. Часть II. Функции нескольких переменных. М.: Наука, 1985.

61. Эдварде Р. Функциональный анализ. М.: Мир, 1972.

62. Эскин Г.И. Обобщение теоремы Палея-Винера-Шварца // УМН. 1961. Т. 16, вып. 1. С. 185-188.

63. Юлмухаметов P.C. Квазианалитические классы функций в выпуклых областях // Матем. сб. 1986. Т.130(172), №4(8). С. 500-519.

64. Юлмухаметов P.C. Аппроксимация субгармонических функций // Analysis Mathematica. 1985. V. И, №3. Р. 257-282.

65. Юлмухаметов P.C. Приближение субгармонических функций // Матем. сб. 1984. Т. 124(166), №3(7). С. 393-415.

66. Юлмухаметов P.C. Целые функции многих переменных с заданным поведением в бесконечности // Известия РАН. 1996. Т. 60 , №4.С. 205-224.

67. Berenstein С.А., Dostal М.А. Analytic uniform spaces and their applications to convolution equations //Lecture notes in Math. №256. Springer-Verlag. Berlin. 1972.

68. Berenstein C.A., Lesmes J. The Cauchy problem for convolution operators. Uniqueness // Mich. Math. J. 1979. V. 26. P. 333-349.

69. Bjorck G. Linear partial differential operators and generalized distributions // Ark. Mat. 1965. V. 6. P. 351-407.

70. Braun R. W., Meise R., Taylor B. A. Ultradifferentiable functions and Fourier analysis // Results in Mathematics. 1990. V. 17. P. 205-237.

71. Braun R. W., Meise R., Vogt D. Characterization of the linear partial differential operators with constant coefficients which are surjective on non-quasianalytic classes of Roumieu type on // Math. Nachr. 1994. V. 168. P. 19-54.

72. Ehrenpreis L. Fourier analysis in several complex variables. New York: Wiley Interscience publishers, 1970.

73. Ehrenpreis L. Solution of some problems of division. IV. // Amer. J. Math. 1960. V. 82. P. 522-588.

74. Genchev T.G. A weighted version of the Paley-Wiener theorem // Math. Proc. Cambridge Phil. Soc. 1989. V. 10. P. 389-395.

75. T.G. Genchev, H.P. Heinig. The Paley-Wiener theorem with general weights // J. Math. Anal, and Appl. 1990. V. 153, № 2. P. 460-469.

76. Hansen S. On the "Fundamental Principle" of.L. Ehrenpreis // B kh.: Partial differential equations. Banach center publications. Warsaw. PWN-Polish Scientific Publishers, 1983. V. 10. P. 185-203.

77. Hansen S. Localizable analytically uniform spaces and the fundamental principle // Transactions of the AMS. 1981. V. 264, №1. P. 235-250.

78. H.P. Heinig, G.J. Sinnamon. Fourier inequalities and integral representation of functions in weighted Bergman spaces over tube domains // Indiana Univ. Math. J. 1989. №38. P. 603-628.

79. L. Hôrmander. La transformation de Legendre et la théorème de Paley-Wiener // Comptes Rendus des Seances de l'Academie des Sciences. 1955. V. 240. P. 392-395.

80. Korobeinik Yu.F. On absolutely representing systems in spaces of infinitely differentiate functions // Studia Mathematica. 2000. V. 139, №2. P. 175-188.

81. Malgrange B. Existence et approximation des solutions des equation aux derivees partielles et des equations de convolution // Ann. Inst. Fourier (Grenoble). 1955-56. V. 6. P. 271-355.

82. Meise R., Taylor B.A., Vogt D. Equivalence of slowly decreasing conditions and local Fourier expansions // Indiana Univ. Math. J. 1987.V. 36. P. 729-756.

83. Momm S. Closed ideals in nonradial Hormander algebras // Arch. Math. 1992. V. 58. P. 47-55.

84. Musin I.Kh. On the Fourier-Laplace representation of analytic functions in tube domains. Collectanea Mathematica. 1994. V. 45 (3). P. 301-308.

85. Musin I. Kh. On the Fourier-Laplace transform of functionals on a weighted space of infinitely differentiable functions // Pbb: [e-mail] /9911067.

86. I. Kh. Musin. On a weighted spaces of infinitely differentiable functions // Международная конференция "Колмогоров и современная математика". Тезисы докладов. Издательство МГУ. 2003. С. 208-209

87. М. Plancherel and G. Polya. // Fonctions entieres et integrates de Fourier multiples // Comment. Math. Helv. 1937. №9. P. 224-248.

88. Roever J.W. de. Analytic representation and Fourier transforms of analytic functional in Z' carried by the real space // SIAM J. Math. Anal. 1978. V. 9, №6. P. 996-1019.

89. Roever J.W. de. Complex Fourier transformation and analytic functionals with unbounded carriers. Amsterdam. Mathematisch Centrum, 1977.

90. Struppa D.C. Convolution equations and spaces of ultradifferentiable functions // Isr. J. Math. 1986. V. 54, №1. P. 60-70.

91. Taylor B.A. Analytically uniform spaces of infinitely differentiable functions // Communications on pure and applied mathematics. 1971. V. 24, №1. P. 39-51.