Оператор свертки Данкла и задача Валле Пуссена тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат наук Зименс Карина Раисовна

• Зименс Карина Раисовна
• кандидат наук
• 2016

Оглавление диссертации кандидат наук Зименс Карина Раисовна

Данкла на бесконечности

§3. Оператор свертки Данкла в пространстве Н(С)

§4. Оператор свертки Данкла в пространстве Рс

§5. Оператор композиции свертки и умножения на функцию

Глава 2. Задача Балле Пуссена для операторов свертки Данкла в классе целых функций

§6. Задача Балле Пуссена для операторов свертки Данкла в Н(С)

§7. Кратная задача Балле Пуссена для операторов свертки

Данкла в классе целых функций

Глава 3. Задача Балле Пуссена в ядре оператора свертки на полуплоскости с характеристической функцией вполне регулярного роста

§8. Необходимые сведения об операторах свертки в пространстве аналитических функций

§9. Решение задачи Балле Пуссена на полуплоскости

Заключение

Литература

Введение

Пусть H(C) - пространство целых функций с топологией равномерной сходимости на компактах. Обозначим через H*(C) сопряженное к H (C) пространство с сильной топологи ей, а через Pc - пространство целых функций экспоненциального типа с топологией индуктивного предела нормированных пространств Bn, где

вп = {в G H (C) : ||в ||n = sup |в (z)|e-n|z| < ю], n = 1, 2,

zgC

Диссертация посвящена изучению операторов свертки и обобщенной свертки па пространствах H (C) и Pc, решению задачи интерполяции на пространстве целых функций и аналитических функций в выпуклой области.

Частным случаем уравнений свертки являются дифференциальные уравнения бесконечного порядка с постоянными коэффициентами. Некоторые достаточные условия разрешимости дифференциального уравнения бесконечного порядка были найдены Р. Кармикаэлем в 1936 году [75]. Он предложил искать решение уравнения

ю

S a!n(k) (z) = f (z W = const (0.1)

k=0 '

ю

с целой характеристической функцией a(t) = ^ ajkftk в виде

k=0 '

ю

r](z) = bkPk (Z), k=0

где Рк(г) - решение уравнения (0.1) с правой частью гк/к!. Более точные результаты были получены в работе X. Мугли [97]. Он показал: 1) если а(Ь) - целая функция экспоненциального минимального типа и/(г) аналитична в открытом круге, то существует решение уравнения (0.1), аналитичное в том же круге; 2) если а(Ь) - целая функция экспоненциального типа и /(г) - целая функция, то уравнение (0.1) имеет целое решение. Более подробную историю этого вопроса можно найти в обзорной статье [39].

Изучением разрешимости сверточных уравнений занимались и внесли вклад такие математики, как Л. Хермандер [88,89], А.Ф. Леонтьев [44,46], А.О. Гельфонд [4,6], Б. Мальгранж [94,95], Л. Эренпрайс [82,85], Ю.Ф. Коробейник [30,31], В.В. Напалков [54,55], К. Беренштейн [71-73], О.В. Епифанов [10, 12, 13], В.В. Моржаков [51, 52], А.В. Абанин [1], А.С. Кривошеев [40,41] и др. В 1968г. Ю.Ф. Коробейник [30] установил достаточные условия разрешимости неоднородного уравнения свертки в выпуклых областях комплексной плоскости при условии, что характеристическая функция оператора имеет вполне регулярный рост. С таким же условием В.В. Напалков в 1973г. сформулировал и доказал критерий сюръективности сверточных операторов в произвольных выпуклых областях [54]. О.В. Епифанов нашел необходимые и достаточные условия сюръективности оператора для фиксированной выпуклой области [12].

Для однородного уравнения свертки обычно изучается вопрос получения любого решения уравнения с помощью решений простейшего вида. Известно, что любое решение линейного однородного обыкновенного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами можно представить в виде конечной линейной комбинации элементарных решений вида гкехр(Хпг), где Ап - корни характеристичесого полинома. Этот результат, полученный Л.Эйлером [86], принято называть фунда-

ментальным принципом (см. [62,84] ). Первый результат, обобщающий этот принцип на случай уравнений свертки, более общих, чем дифференциальные уравнения конечного порядка с постоянными коэффициентами, был получен Ж. Валироном [103]. Он касается представления целых решений однородного дифференциального уравнения бесконечного порядка с постоянными коэффициентами в виде ряда по элементарным решениям.

Так как характеристическая функция оператора свертки может иметь бесконечно много нулей, то не всякое решение однородного уравнения свертки можно представить в виде конечной суммы элементарных решений. Поэтому для оператора свертки ставится вопрос об аппроксимации решений однородного уравнения элементарными решениями. Вопросом аппроксимации решений сверточных уравнений занимались многие ученые. Здесь можно выделить работы Л. Шварца [102], А.Ф. Леонтьева [44,46], А.О. Гельфонда [4], Л. Эренпрайса [83-85], Б. Мальгран-жа [94], Д.Ж. Диксона [79,80], Л. Хермандера [88], Ж.-П.Кахана [91,92], В.П. Паламодова [62], С. Хансена [90], Д.И. Гуревича [8], К. Беренштей-на [69,70], Ю.Ф. Коробейника [32], И.Ф. Красичкова-Терновского [33-38], В.В. Напалкова [55,57], О.В. Епифанова [14], И.Х. Мусина [53], Р.С. Юл-мухаметов [65,66], В.А. Ткаченко [64] и др. Аппроксимационная теорема для однородного уравнения свертки на пространстве целых функций в одномерном случае была доказана Л. Шварцем [102], в многомерном - Л. Эренпрайсом [83] и Б. Мальгранжем [94], на пространстве функций, аналитических в выпуклой области, в одномерном случае -И.Ф. Красичковым-Терновским [38], в многомерном - В.В. Напалковым [55] для трубчатой выпуклой области в Сп и Р.С. Юлмухамето-вым [65] для выпуклой области в Сп.

Основным объектом изучения в диссертации является одномерный

оператор Данкла. На пространстве Н(С) он имеет вид

—

Л[/(г)] = /'(г) + -(/(г) - /(-г)), а > 0, / е Н(С). (0.2)

г

Оператор Данкла был введен Чарльзом Ф. Данклом в конце 80-х годов в работе [81]. Это дифференциальный оператор, связанный с конечными группами отражений в евклидовом пространстве. В обзоре М. Росл ера [99] об этом операторе можно получить более подробные сведения. Эти операторы играют важную роль в различных задачах математики и физики. Например, эти операторы в многомерном случае находят применение в квантовой задаче Калоджеро-Мозера-Сазерленда (см., например, [3,93]).

Большой интерес вызывает изучение и одномерных операторов Данкла. В настоящее время появляется все больше работ (см., например, [2,29,67,68,74]), в которых развивается гармонический анализ, связанный с одномерным оператором Данкла, оператором свертки Данкла, преобразованием Данкла.

Преобразования Данкла, операторы свертки Данкла встречаются еще в работах [74,78].

Н(С)

онала Г из Н*(С) на Бх [/(£)] - обобщенный сдвиг (далее сдвиг Данкла, см. определение на стр. 14)

ЫР[/(г)] = (Г,&[/(*)]),/ е Н(С).

Н(С)

Н(С)

Эти операторы были введены в 1951г. А.О. Гельфондом в работе [4] и А.Ф. Леонтьевым в работе [46]. В этом же году в их совместном труде [5] было рассмотрено однородное уравнение бесконечного порядка в обобщенных производных на пространстве аналитических функций и было

показано, что аналитическое решение в круге можно аппроксимировать частными решениями гт/(т)(Лпг). В диссертации аппроксимация решений однородного уравнения свертки Данкла Ыр [/(г)] = 0 на пространстве Н(С) доказана другим способом, а также доказана аппроксимация для уравнения свертки Данкла в Лс.

А.Ф. Леонтьев получил разрешимость неоднородного уравнения в обобщенных производных для функций конечного порядка [48, теорема 3.3.8], когда правая часть такого же порядка и типа, а характеристическая функция этого оператора имеет конечный порядок. В этой работе доказана разрешимость неоднородного уравнения свертки Данкла в пространстве Лс с характеристической функцией пространстваН(С). И доказана разрешимость в пространстве целых функций с характеристической функцией из Лс.

Следующей проблемой, которая решается в диссертации, является разрешимость задачи Балле Пуссена в Н(С) и Н(Л), где Л- полуплоскость. Изначально эта задача была поставлена Балле Пуссеном в 1929г. [77] для обыкновенного линейного дифференциального уравнения п-го порядка

у(п) + рх (х)у(п-1) + • • • + Рп-1(х)у' + Рп(х)у = 0,

где коэффициенты р8(х), в = 1, 2,... ,п - непрерывные функции на отрезке [а,Ь], х Е [а,Ь], |у(в-1)(х)| < Необходимо найти решение, удовлетворяющее следующим условиям

у(хг) = сг,г = 1, 2,..., п; хг Е [а,Ь].

Другими словами, эту задачу можно назвать интерполяционной задачей (задачей Коши). Проблема интерполяции в пространствах целых функций представляет интерес и уже давно исследуется. Развитие теории интерполяции аналитическими функциями началось еще в работах

Ньютона h Лагранжа. Интерес обусловлен обширной сферой ее приложения в теории дифференциальных уравнений, уравнений свертки, задачах оптимизации, краевых задач и других областях математики. В классах целых функций конечного порядка вопросами интерполирования занимались, например, А.О. Гельфонд [6], В.Л. Гончаров [7], М.А. Евграфов [9], Б.Я. Левин [43], А.Ф. Леонтьев [45,47], Ю.А. Казьмин [28], И.И. Ибрагимов [27] и др. В классе дифференциальных операторов конечного порядка в пространстве целых функций подобные задачи были рассмотрены, например, А. Мерилом, Д.С. Струппой [96], Г. Шапиро [101]. Задача Балле Пуссена для оператора свертки Данкла в диссертации решается на пространстве целых функций и на пространстве аналитических функций в выпуклой области для классического оператора свертки.

Современная постановка задачи Балле Пуссена принадлежит В.В. Напалкову, который рассматривает эту задачу в ядре оператора свертки в H(C). В работе [56] эта задача решается для целых узлов интерполяции. Для простых нулей характеристической функции и узлов, лежащих на вещественной оси, задача Балле Пуссена решена в работе [59] В.В. Напалкова и A.A. Нуятова, для узлов, заданных в угле, исследована теми же авторами в работе [60], а для кратных нулей на вещественной оси - в работе [50] С.Г. Мерзлякова и C.B. Попенова.

Главным в решении этих задач является доказательство разрешимости уравнения композиции оператора свертки и оператора умножения на целую фиксированную функцию. Решение этой задачи тесно связано с парами Фишера.

Определение 0.1. Пара функций ^ G PC, ^ £ H(C) называется

парой Фишера, для пространства H(C)7 если выполняется

H (C) = KerUp + (0.3)

где КвгП^ - множество решений однородного уравнения свертки

(г)] = 0 в Н(С), = • г : г Е Н(С)} - ш^еал б простран-Н(С)

Равенство (0.3) называется представлением Фишера. Изучение пар Фишера началось с работы Э. Фишера [87] в 1917 году. Он доказал следующий результат: если Л Е Н^, где Н - пространство однородных полиномов степени к в Сп, то всякий пол ином Q Е Нт, 0 < т < то представляется в виде Q = Н + д, где д,Н Е Нт, причем д кратно Л, а Н удовлетворяет дифференциальному уравнению Л * (Л)Н = 0, Л = , • • • , Лп), Dj = д/дг^, Л * - полипом в Н^, полученный из Л заменой коэффициентов на комплексносопряженные.

В 1989г. Г. Шапиро [101] обобщил теорему Фишера на пространство Н(Сп). Начало исследований связи пар Фишера с задачей Коши для уравнений в частных производных гиперболического типа было положено Л. Эренпрайсом [85]. В работе [61] была доказана эквивалентность задачи Балле Пуссена и выполнения представления Фишера для оператора свертки, действующего из КЗ- или БРЯ- пространств в себя (пространство Фреше-Шварца и сопряженное к нему). Эти результаты можно рассматривать как обобщение голоморфной задачи Коши для операторов в частных производных.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Оператор свертки Данкла и задача Валле Пуссена»

Цели работы:

1. Доказательство сюръективности оператора композиции свертки Данкла и оператора умножения на фиксированную целую функцию.

2. Исследование секвенциальной достаточности нулей характеристи-

Н(С)

3. Исследование секвенциальной достаточности нулей характеристической функции оператора свертки в пространстве Н(Л), где Л - полуплоскость.

4. Решение задачи Балле Пуссена в ядре оператора свертки Данкла в пространстве целых функций и задачи Балле Пуссена в ядре классического оператора свертки в пространстве аналитических функций на полуплоскости.

Методы исследования. Для решения поставленных задач использовались методы теории функций комплексного переменного, функционального анализа, высшей алгебры.

Научная новизна.

Представленные в диссертации результаты являются новыми и состоят в следующем:

1. Решена задача Балле Пуссена для оператора свертки Данкла на

Н(С)

лежат на вещественной оси. Исследованы случаи простых нулей характеристической функции и кратных нулей.

2. Решена задача Балле Пуссена для оператора классической свертки на полуплоскости с условием вполне регулярного роста характеристической функции. Исследован случай кратных нулей характеристической функции.

3. Доказана сюръективность композиции оператора свертки Данкла и оператора умножения на целую фиксированную функцию в пространстве целых функций.

4. Доказана секвенциальная достаточность нулей характеристиче-

Н(С)

циальная достаточность нулей характеристической функции оператора свертки в пространстве Н(О), где О - полуплоскость.

Теоретическая и практическая ценность. Все результаты диссертации относятся к области фундаментальных исследований по теории функций и носят теоретический характер. Методы и результаты рабо-

ты могут найти применение в исследовании операторов свертки Дапкла, операторов классической свертки на произвольных выпуклых областях.

Объем и структура диссертации.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Объем диссертации составляет 95 страницы. Список литературы состоит из 103 наименований. Все формулы, определения, леммы и теоремы занумерованы двумя цифрами, первая из которых указывает номер параграфа, вторая - номер по порядку.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 12 работ. Из них _ з в виде статей [17-22,25,26], (в том числе, 4 - в журналах из списка ВАК, 4 - в виде тезисов [15,16,23,24]). В совместных с научным руководителем публикациях В.В. Напалкову принадлежат постановки задач и указание методов исследования, а К.Р. Зименс - основные результаты и их доказательства.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на следующих научных конференциях и семинарах:

1. Третья международная научная конференция "Математическая физика и ее приложения" (Самара, 2012 г.);

2. VI Международная школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых "Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании" (Уфа, 2012 г.);

3. Международная научная конференция "Нелинейный анализ и спектральные задачи" (Уфа, 2013 г.);

4. XI Международная Казанская летняя научная школа-конференция "Теория функций, ее приложения и смежные вопросы" (Казань, 2013 г.);

5. Четвертая международная научная конференция "Математическая физика и ее приложения" (Самара, 2014 г.);

6. Международная научная конференция "Нелинейный анализ и спектральные задачи" (Уфа, 2014 г.);

7. VII Международная школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых "Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании" (Уфа, 2014 г.);

8. Научный семинар по теории функций и комплексному анализу Института математики с ВЦ УНЦ РАН под руководством чл. корр. РАН В.В. Напалкова (Уфа, 2012, 2014, 2016 гг.).

9. XII Международная Казанская летняя научная школа-конференция "Теория функций, ее приложения и смежные вопросы" (Казань, 2015 г.);

Некоторые из результатов диссертационного исследования были получены в ходе работ по гранту РФФИ №14-01-00720а.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю, доктору физико-математических наук, члену-корреспонденту РАН Валентину Васильевичу Напалкову за предложенную тему исследований, постоянное внимание, неоценимую помощь и всестороннюю поддержку в процессе работы над диссертацией.

Основное содержание работы.

Глава 1 посвящена операторам Данкла (0.2) и операторам свертки Данкла. Операторы рассматриваются на пространствах целых функций и целых функций экспоненциального типа.

В первом параграфе изучаются свойства собственной функции оператора Данкла

00 к _^ г™

у(г ) = 1 + р(1)р(2) ...р(к),

где

р(к) = к + а(1 - вшк).

Для этой функции вычислен порядок р = 1 и тип а = 1. Отметим, что собственными функциями оператора Данкла, соответствующим собственному значению Л £ C, являются функции Cy\(z), где y\(z) = y(Xz). В работе показано, что система {yA(z),Л £ C} полна в пространстве H (C).

Для произведения p(1)p(2).. . p(/) получена следующая оценка 1! <p(1)p(2) ...p(1) <1!(1 + 2а).

Из этой оценки и представления собственной функции вытекает

e Ä < y(x) < ex, x > 0. (0.4)

Во втором параграфе исследованы свойство производных собственных функций. Доказаны следующие леммы.

y(x)

Тогда

xmy(m) (x)

lim -, w =0, m < n.

x^+то xny(n)(x)

y(x)

ла, a,b £ R+, 0 < a < b. Тогда

xmy(m) (ax)

lim X У( w(7aX/ =0, m, n = 0,1, 2,... x^+то xny(n)(bx)

В параграфе 3 главы 1 исследуется оператор свертки Данкла на пространстве целых функций.

Определение 3.1. Оператором сдвига Данкла где г £ С, в пространстве Н(С) будем называть оператор следующего вида

[/(о] = /(г) + Е Лк [/(г)]р(1)р(2)...р(к), /£ Н (С)-

к— 1

Отметим следующее свойство оператора сдвига Данкла при действии на собственную функцию уд (г):

5'г [у(Л()] = у(Лг) + ^Лк [у(Лг)] • р(1) ^ р(2) _ р(к) = у(Лг )у(Л().

к=1

Определение 3.2. Преобразованием Данкла ^>(Л) функционала Л Е Н*(С) будем называть функцию

р(Л) = (Л,у(Лг)), Л Е С.

Отметим, что преобразование Данкла функционала Л Е Н*(С) принадлежит пространству Лс.

Определение 3.3. Пусть Л Е Н*(С); тогда оператором свертки Н(С)

Ы^[/(г)] = (Я,&[/(*)]),/ Е Н(С),

г<?е преобразование Данкла функционала Л, Бх - оператор сдвига Данкла.

Н(С)

представление в терминах обобщенных производных

/ +к М/(г )]= Л„/ (г ) + ^>к [/ (г)]

к=х р(1)р(2) ...р(к)

( т? +к \

ао/(г) + [/(г)]р(1)р(^ р(к) = ао/(г) + £ акЛк[/(г)].

В работе [74] показано, что введенные операторы сдвига и сверт-

Н(С)

Н(С)

Пусть Лк, к =1, 2 ... - нули характеристической функции Пк -кратность соответсвующего нуля. В третьем параграфе решена аппрок-

Н(С)

доказаны следующие утверждения.

Лемма 3.1. Для каждой пары (Ак, пк), к = 1, 2 ..., система функций у (Ак г),гу'(Ак г),..., гПк-1у(пк-1)(Ак г) является решением однородного уравнения свертки Данкла.

Теорема 3.3. Пусть Е - линейная, оболочка

У(у(Акг), гу'(Акг),.., гПк-1у(пк-1)(Акг)}. к

Тогда, замыкание Е совпадает сШ- множеством всех целых решений, однородного уравнения свертки Данкла Ы<^[/(г)] = 0, ^ £ РС.

В работе [74] рассматривалась задача разрешимости неоднородного уравнения свертки Данкла Ы<^[/(г)] = д(г) в пространстве Н(С). Здесь доказывается этот результат более легким способом, используя сопряженный оператор. Справедлива

Теорема 3.5. Оператор свертки Данкла Ы^ сюръективен в Н(С). В параграфе 4 главы 1 вводим и изучаем оператор свертки Данкла на пространстве целых функций экспоненциального типа. Справедлива следующая лемма (см. [74]), доказанная самостоятельно:

Лемма 4.1. Любую функцию д £ РС можно представить в следующем виде

к

g(z) = со + ^ (л, /0ч-тут, lim ^ckj < то. (0.5)

k=i p(1)p(2) ...p(k) k

где p(k) = k + a(1 - eink).

По функции g(z) из (0.5) построим ассоциированную по Борелю

функцию [48, с. 237]

00

y (z) = £ zk+r ■ С-6)

k=0

Справедливо интегральное представление

g(z) = J y(zw)Y(w)dw (0.7)

A

где контур А замкнутый, спрямляемый и содержит особенности ассоциированной по Борелю функции 7.

Определение 4.1. Оператором сдвига Данкла 5, г Е С в пространстве Рс определим по формуле

5[#(£)] = / Н^ 9 Е Рс

А

А

функции, 77 ассоциированной по Борелю с функцией 9.

Обозначим через РС пространство, сопряженное к Рс. Определение 4.2. Преобразованием Данкла ф(А) функционала С Е Р^ будем называть функцию

ф(А) = (С,у(Аг)), А Е С.

Преобразование Данкла функционала С Е Р<£ - целая функция [55, с.98]. Действие функционала С на сдвиг Данкла в Рс следующее

(С,5; [9(0]) = / (с,У ММ^Ь =

А

1 ф(и>)у (2^)7

2пг

А

Р

зывать следующий оператор

М'ф[9(г)] = 2П / Н^, 9 Е Рс (0.8)

А

А

функции, 77 ассоциированной по Борелю с функцией 9.

Р

ру свертки Данкла М^ есть оператор умножения на характеристическую функцию ф.

Очевидно, что оператор свертки Данкла в Рс линеен и непрерывен. Основная задача этого параграфа - решение проблемы спектрального синтеза для однородного уравнения свертки Данкла в Рс

Мф[д(г)]=0, д е Рс. (0.9)

Пусть целая функция ф(А) имеет нули (д^т^,.., (д*, т*),.., где т* -кратность соответствующего пуля д*. Пусть

Ерс = У {У (Д* ^'(д* -1у-1)(д* г)}

1У(Д*(Д*1 *=1

Следующая теорема доказана в работе [100]. Здесь приведем независимое доказательство этого результата.

Теорема 4.1. Любое решение однородного уравнения (0.9) представляется в виде конечной линейной комбинации функций из Ерс.

Р

тального принципа Эйлера представления решений в Н(С) [86] для дифференциальных уравнений конечного порядка с постоянными коэффициентами.

В книге А.Ф. Леонтьева [48, теорема 3.3.8] была доказана разрешимость неоднородного уравнения бесконечного порядка в обобщенных производных, когда правая часть уравнения такого же порядка и типа, а характеристическая функция этого оператора имеет конечный порядок. Здесь доказывается разрешимость неоднородного уравнения сверт-

Р

Н( )

Теорема 4.2. Оператор свертки Данкла Мф сюрзективен в Рс. В параграфе 5 главы 1 исследуется оператор композиции оператора свертки и оператора умножения на функцию

М^[ф • /(г)] = (Р, [(ф/)(*)]), Р е Н*(С), / е Н(С), (0.10)

где ^ - фиксированная целая функция, ^ - преобразование Данкла функционала Е.

Для нахождения сопряженного оператора рассмотрим оператор (0.10) как композицию двух операторов: Ы^, действуюгцего из Н(С) в Н(С) и оператора умножения на функцию ^ £ Н(С). В лемме 3.3 доказано, что сопряженный оператор к оператору Ы^ есть оператор умножения на характеристическую функцию

Лемма 5.1. Сопряженным к оператору умножения на'ф является оператор свертки Данкла Ыф в РС следующего вида

Щ[д(г)] = / М^ д £ рс

А

где функция 7 - ассоциированная по Борелю с д(г)7 контур А замкнутый, спрямляемый и охватывает особенности 7.

Значит, сопряженным к оператору является оператор сверт-

ки Данкла Ыф действующий из Рс в Рс, вида

ыф) • д(г)] = /^Н^ д £ pc,

А

А

циированной по Борелю функции 7 с ^ • д.

Во второй главе решена задача Балле Пуссена для оператора свертки Данкла на пространстве целых функций в случае простых узлов и в случае кратных узлов интерполяции, лежащих на вещественной оси.

В параграфе 6 решена задача Балле Пуссена в случае простых узлов интерполяции.

Пусть Ы^[/] = 0, где ^ - характеристическая функция. Обозначим ц,j, ] = 1, 2,... - нули функции ^ £ Н(С), а КегЫ^ = {/ £ Н(С) : Ы^[/] = 0}. Рассмотрим произвольную последовательность комплексных чисел aj, ] = 1, 2,... Поставим задачу Балле Пуссена следующим

образом: найти функцию и е КегМ^ такая, что u(дj) = aj, ^ = 1, 2,...

Как говорилось ранее, задача Балле Пуссена связана с парами Фишера. Доказано следующее утверждение

Теорема 6.1. Задача Балле Пуссена для М^ разрешима тогда и только тогда, когда имеет место представление Фишера

Н(С) = КегМ^, + {ф(г) • ф) : г е Н(С)}. (0.11)

Лемма 6.1. Выполнение представления Фишера (0.11) эквивалентно сюръективности оператора М^[ф-].

Значит, для разрешения задачи Балле Пуссена требуется доказать сюръективность оператора композиции свертки и умножения на функцию. Найдены условия на нули характеристической функции, при ко-

Н( )

будет решена.

Напомним, что последовательность {д*}^=1,..., д* е Рс сходится к пулю, если выполняются условия ЗВ1,В2 > 0 : |д*(г)| < В1еВ2';| и д*(г) ^ 0 равномерно на компактах плоскости С (см. [63]). Здесь и далее под сходимостью подразумеваем сходимость в топологии соответствующего пространства.

Используя оценку (0.4), отметим, что если |д*(г)| < В1еВ2';|, то |д*(г)| < В1у(ВВ2|г|). Следовательно, условие сходимости можно записать в следующем виде. Последовательность {д*}, к = 1, 2,..., д* е Рс сходится к нулю, если выполняются условия ЗВ1, В2 > 0 : |д*(г)| < В1у(В2|г|) и д*(г) ^ 0 равномерно на компактах плоскости С.

Определение 6.1. Пусть К - множество в С, Ь - подпространство РС. Будем, говорить, что множество К является секвенциально достаточным в Ь из РС7 если любая последовательность {д*}^=1, д* е

Ь, удовлетворяющая условиям:

1) ЗВх,В2 > 0: |д*(г)| < В^ВД), я £ К,Ук £ М,

2) (я) ^ 0 равномерно на любом ком пакте из К,

Ь

Через N обозначим последовательность положительных ну-

лей функции ^ £ Рс, а через }к=1 _ множество простых нулей функции ф £ Н(С). Доказаны следующие теоремы.

Теорема 6.2. Пусть функция ф £ Н(С) имеет простые нули

£ к = 1, 2,..., а множество бесконечно. Тогда, является

Ыф

Теорема 6.3. Пусть N - секвенциально достаточное множество в ядре Ыф, тогда опера тор сюрзективе н в Н (С).

Таким образом, в силу этих теорем получаем сюръективность оператора Ы^,[ф • ], а значит и условия для разрешения задачи Балле Пуссена на пространстве целых функций.

В параграфе 7 главы 2 решена кратная задача Балле Пуссена в ядре

Н(С)

Рассмотрим ^ £ РС характеристическую функцию оператора свертки Данкла Ы^ с нулям и А^. Рассмотрим поеледовате льность , к = 1, 2,..., для которой существует функция ф £ Н(С) такая что пули кратности вк. Сформулируем кратную задачу Балле Пуссена для этого случая. Пусть в каждой точке задан конечный набор комплексных чисел ащ, ] = 0,1,..., вк — 1. Задача Балле Пуссена состоит в следующем: найти функцию и £ КегЫ^ такая, что и(7) = а^?

При решении этого результата важную роль играют следующие теоремы.

Теорема 7.1. Кратная задача Балле Пуссена для Ы^ разреши-

ма тогда и только тогда, когда имеет место представление Фишера (0.11).

Из теоремы 7.1 и 6.3 получаем, что для решения задачи Балле Пуссена требуется даказать секвенциальную достаточность нулей характеристической функции. Справедлива

Теорема 7.2. Пусть функция ф £ H(C) имеет нули [ik Е R+, k = 1, 2,... кратности Sk, а множесmeo N^ = {A¿}°=1, A¿ > 0 бесконечно. Тогда, N^ является секвенциально достаточным множеством в ядре оператора Ыф.

Получаем сюръектпвность оператора а значит условия раз-

решимости кратной задачи Балле Пуссена в ядре оператора свертки Данкла в H(C).

Глава 3 посвящена решению задачи Балле Пуссена на полуплоскости в ядре оператора классической свертки.

В параграфе 8 главы 3 приведены необходимые сведения об операторах свертки в пространстве аналитических функций.

Пусть п > 0 D = {z : Rez < n} H(D) - пространство аналитических функций в области D с топологией равномерной сходимости на компактах, H*(D) - сопряженное к H(D) пространство с сильной топологией.

Определим преобразование Лапласа L Е H*(D) по формуле L(z) = (L, ezt).

Через PD обозначим преобразование Лапласа всех функционалов из H*(D). Отметим, что L(z) Е PD. Согласно теореме 6.2 из [49] справедлива оценка для функции из Pd для любого £ > 0 существует C(е), такая

|L(z)| < C(£)e(K(-0)+e)|z|, Ve > 0, (0.12)

где К(0) - опорная функция сопряженной диаграммы Ь(я). Отметим, что по теореме Полиа [98], в оценке (0.12) можем заменить опорную функцию К(—0) индикатрисой роста ^(0).

Определение 8.4. Пусть К - множсство в С, Ь - подпространство Рв- Будем говорить, что множество К является секвенциально достаточным в Ь из Рр если любая последовательность {дк, дк £ Ь

1) ^ В иС> 0: (я)| < Се^ £ К, У0 £ [0, 2п ], Ук £ М,

2) дк (я) ^ 0 равномерно на любом ком пакте из К,

Ь

По определению оператор свертки имеет вид

ад (я)] = (Е, I (я + *)), / £ Н (В), Е £ Н *(В), (0.13)

где ^ характеристическая функция оператора свертки.

Определение 8.7. [42,49] Целую функцию V(я) порядка, р называют, целой функцией вполне регулярного роста, если можно указать такое множество Е0 нулевой относительной меры, что при г £ Е0 м г ^ то функция

1п ^(гвг0)| гр

равномерно стремится кНу (0).

Пусть функция ^ вполне регулярного роста. Обозначим А1,А2,... ненулевую последовательность пулей ^ таких, что

Ак £ К+, Ак ^ то, к = 1, 2,....

Пусть В1 - сопряженная диаграмма функции Пусть множество В2 такая вертикальная полуплоскость в С, которая удовлетворяет В = В1 + В2. Оператор действует из Н(В) в Н(В2) [30,54]. Оператор

линейный, непрерывный, а так как p вполне регулярного роста, то и сюръективный [13].

Пусть функция ф из H(D) имеет нули Дк кратности Sk такие, что

дк е R+, lim дк = n, k = 1,2,... (0.14)

k^TO

Рассмотрим оператор свертки (0.13) па пространстве Pd- Он имеет вид Щ[y(z)] = 2^1 ФМе™7(w)dw, z е C,

A

где y е Pd, ф е H(D), 7- функция, ассоциированная по Борелю с y, контур А замкнутый, спрямляемый, охватывает особенности 7.

Важную роль для решения задачи Балле Пуссена играет следующий оператор Ц^[ф(z) • f (z)]. Он действует линейно и непрерывно из H(D) в H(D2). Сопряженный к нему оператор имеет вид

Щ[p(z) • g(z)] = 2~ / ФМе^7(w)dw, g е Pd2 ,

A

где 7 - функция, ассоциированная по Борелю с p-g, контур А замкнутый, спрямляемый, охватывает особенности 7. Этот оператор действует из Pd2 в Pd, так как индикатор произведения функций, одна из которых вполне регулярного роста, равен сумме индикаторов сомножителей [42, с.208].

В параграфе 9 главы 3 решена задача Балле Пуссена на полуплоскости в ядре оператора свертки с характеристической функцией вполне регулярного роста. Рассматривается случай кратных узлов интерполяции, лежащих на вещественной оси. Доказаны следующие теоремы:

Теорема 9.1. Задача Балле Пуссена для Uv разрешима тогда и только тогда, когда имеет место представление Фишера

H(D) = KerU^ + {ф^) • r(z) : r е H(D)}. (0.15)

Пусть N = {А^}ТО=1 _ множество положительных нулей функции

Теорема 9.2. Сюръективность оператора эквивалент,на,

выполнению представления Фишера, (0.15).

Из теорем 9.1. и 9.2. следует, что для решения задачи Балле Пуссена необходимо доказать сюръективность оператора

Теорема 9.3. Пусть функция ф £ Н(В) имеет нули дк крат,ноет,и вк, удовлетворяющие (0.14). Пусть функция вполне регулярного роста, а множество бесконечно. Тогда, N секвенциально достаточное множество в ядре оператора Пф в Рр

Теорема 9.4. Пусть ^ функция вполне регулярного роста, N = {А^}ТО=1 секвенциально достаточное множество в ядре оператора Пф. Тогда, оператор сюрзективен в Н(В2).

Таким образом, из теорем 9.3. и 9.4. получаем сюръективность оператора а значит условия разрешимости задачи Балле Пуссена в полуплоскости.

Глава 1. Оператор Данкла и оператор свертки ^ Данкла

В настоящей главе изучается оператор Данкла на пространстве целых функций. Для собственной функции этого оператора найден порядок и тип, исследовано асимптотическое поведение на бесконечности. Введены операторы свертки Данкла, сдвига Данкла, преобразование Данкла.

Решена задача спектрального синтеза для однородных уравнений свертки Данкла в пространстве целых функций и пространстве функций экспоненциального типа, показана сюръективность этих операторов [18, 19].

Для оператора композиции свертки и умножения на функцию найден сопряженный оператор.

§1. Оператор Данкла и его собственные функции

В данном параграфе изучена собственная функция оператора Данкла. Вычислен ее порядок и тип, доказана полнота системы собственных функций при разных значениях параметра в пространстве целых функций.

Рассмотрим оператор Данкла в Н(С)

—

А[/(г)] = /'(г) + -(/(г) - /(-г)), а > 0, / е Н(С). (1.1)

В работе [74] авторами показано, что оператор Данкла непрерывно действует из Н(С) в Н(С). Пусть Н0({то}) - пространство аналитических функций в окрестности бесконечно удаленной точки и обращающихся в точке {то} в нуль. Справедлива следующая теорема (см., например, [55]):

Теорема 1.1. Пространство Н*(С) изоморфно пространству Но({^}).

Возьмем функционал Р € Н* (С) и подействуем на функцию / € Н(С)

00 00 00

(Р,/(г)) = гк) = £ Скк) = £ СкЬк.

к=0 к=0 к=0

По коэффициентам Ьк построим функцию

то

"ук+1 •

7М = £ ^. (1.2)

к=0

Эта функция принадлежит пространству Н0({то}). Показали, что каждому функционалу Р € Н* (С) соответствует функция 7 из Н0({то}). Покажем обратное. Возьмем произвольную функцию7 € Н0({то}). Она имеет вид (1.2). Пусть Л- замкнутый спрямляемый контур, лежащий в области аналитичности функции 7. Вычислим следующий интеграл

1 Р 1 Р то то ь то

— /И7И^ = 2- Е Ск^ Е ^^ = Е СкЬк =(Р,/).

А А к=0 к=0 к=0

Получили, что каждой функции 7 € Н0({то}) соответствует функционал Р € Н*(С). Таким образом, справедливо интегральное представление

(Р, /) = / /(ад)7И^, / € Н(С) (1.3)

А

где Л- замкнутый спрямляемый контур, охватывающий все особенности функции 7, лежащий в области аналитичности этой функции.

Рассмотрим функционал Е £ Н*(С) такой, что ему соответствует функция 7(г) £ Н0({то}) следующего вида

7 (г) = -12 + а(1 --А-(1.4)

г2 г — гп

Этот функционал определяет оператор Данкла [58]. Вычислим преобразование Лапласа р(г) этого функциопала Е £ Н*(С), используя теорему о вычетах

Р(2' = ^ = 2П^У(?2 + а(1 - п))^ = г + а(1 - е"г)'

А

где А - замкнутый спрямляемый контур, охватывающий точки 0, гп. В работе [58] найдена собственная функция оператора Данкла, соответствующая собственному значению А £ С, А = 0. Функция имеет вид уА(г) = у(Аг), где

ТО к

г к

У (*) = 1 + £

к=1 Р(1)Р(2) ...р(к)'

р(к) = к + а(1 - егпк), у(0) = 1. (1.5)

Проверим, что это действительно так, то есть выполняется условие: Л[у(Аг)] = Ау(Аг). Прямыми вычислениями получим

Аккгк-1 а / ^ Ак

Л[у(Аг )] = £ Р7Т)АПк)+ а (1 + £

к=1 р(1)р(2) ...р(к) ¿V Р(1)Р(2) ...Р(к)

А к ( —\ Ак-1г к-1

-1 - § р(1)А(2) ...Р(к)) = А § р(1)р(2)...р(к)(к + а(1 - (-1)к' =

=а(1+V А:-1р(к>\=А^).

V ^ р(1)р(2) ...р(к)/ у( '

Отметим, чтор(к) = к при к четном ир(к) = к + 2а при к нечетном. Отсюда следует следующая оценка для произведения р(1)р(2)... р(/)

1 2

/! < р(1)р(2).. .р(/) < /! Ц(1 + 2ка) < /1(1 + 2а)1. (1.6)

к=1

Из представления собственной функции (1.5) и оценки (1.6) вытекает

е!+2а < у(х) < ех, х > 0. (1.7)

В работе [58] показано, что собственная функция у(г) € РС, у(0) = 1 единственна. Приведем необходимые определения, которые можно найти, например, в [49, с.8].

Определение 1.1. Целая функция /(г) называется целой функцией конечного порядка, если существует такое число д > 07 что для г > г0

шах |/(г)| < ехр(гм), г > г0.

|г|=г

Нижняя грань р множества таких чисел д называется порядком функции /(г).

Определение 1.2. Функция /(г) при конечном порядке р имеет конечный тип, если существует число а > 0 такое, что

шах |/(г)| < ехр(агр), г > г0.

|г|=г

Нижняя грань а множества таких чисел а называется типом функции / (г).

Справедлива теорема подсчета порядка и типа через коэффициенты ряда Маклорена, доказанная, например, в [49].

то

Теорема 1.2. Пусть /(г) = ^ апгп - целая функция. Тогда, порядок р

п=0

этой функции, подсчитывается по формуле п 1п п

Р = lim т | _ц . (1-8)

Если функция имеет порядок 0 < р < то ее тип а подсчитывается по формуле

(аер)1/р = Hm n1/p -^Щ. (1.9)

П—т>00

В работе [29] сказано, что порядок и тип собственной функции оператора Данкла, соответствующий собственному значению А € Сс |А| = 1, равен единице. Проверим это: подсчитаем порядок собственной функции у (г). Воспользуемся неравенствами (1.6) и формулой (1.8), оценим сверху, получим

п 1п п --п 1п п

Р = lim 1—I / \ / \-ГТГ — lim

п^то ln |p(1)p(2)...p(n)| п^то ln |n!| По формуле Стирлипга n! ~ (n)пл/2nn. Подставим в предел, получим

n ln n -- n ln n -- 1

p — lim - = lim —--= lim -—-= 1.

п^то n ln n — n ln e + ln\/2nn п^то n ln n — n п^то 1 — 1/ln n

Оценим порядок функции снизу, воспользуемся теми же неравенствами

n ln n -- n ln n

Р = lim i—I / w ч-7—\Г > lim

п^то ln |p(1)p(2)...p(n)| n >-то ln |n!(1 + 2а)п| n ln n —--1

= lim -= lim -= 1.

п^то n ln n — n + n ln(1 + 2a) п^то 1 — 1/ ln n + ln(1 + 2a)/ ln n

Таким образом, собственная функция оператора Данкла имеет порядок Р =1-

Вычислим тип функции (1.5) по формуле (1.9). Найдем оценку сверху. Учитывая, что порядок этой функции равен единице, и верна оценка (1.6), получим

n —— n —— n

ae = lim — — lim —--= lim — = e.

п^то У|p(1)p(2)...p(n)| п^то у |n!| п^то ^

Оценим тип функции снизу, воспользовуемся теми же неравенствами.

Возьмем целое положительное число т > 2a, получим

-л— n —— n

ae = lim — > lim —, >

v^v ; n |n! П(1 + T)|

k=1

.. n —— ne —— e

> lim —, = lim --> lim — = e.

— V7^™ (п+т)! п^то n л"/(п+1)(п+2)-(п+г) п^то n/(п+T)т V -Ч1-2---т V 1-2--г V 1-2---т

При вычислении мы пользовались тем, что т - фиксированное конечное число. Значит, собственная функция оператора Данкла имеет тип а = 1. В работе [74] показан ее другой вид

г

у(г) = (гг) + 2(в + 1) 7в+1(гг), где (г)- нормированная функция Бесселя порядка в, в = а - 1/2,

(-1)к Г(в + 1)г2к

^ ) г(к + 1)Г(к + в + 1)'

к=0

Покажем, что система {ул(г),А £ С} полна в пространстве Н(С). Рассмотрим действие функционала Е £ Н*(С) на собственную функцию у(Аг) то перемен ной г. Предположим, что (Е, у (Аг)) = 0 для любого А £ С. Так как Р(А) = (Е, у(Аг)) - преобразование Данкла, то в силу того, что преобразование Данкла устанавливает топологический изоморфизм между пространствами Н*(С) и Рс [74], получаем, что Е = 0. Аналогично доказывается, что система {ул(г), А £ С} полна в пространстве

Рс

§2. О пределах отношений собственных функций оператора Данкла на бесконечности

Исследуем отношение собственных функций на бесконечности при разных собственных значениях и отношение производных разных порядков собственной функции на бесконечности. Справедливы следующие леммы:

Лемма 2.1. Пусть у(х) - собственная функция оператора Данкла. Тогда

хту(т) (х)

К? ^(„Л' = 0, т<п. (2.1)

Доказательство. Рассмотрим собственную функцию оператора Данкла (1.5). Возьмем достаточно большое число к такое, что к > п.

хт ^ 1(1-1)...(1-т+1) х1-т у1 1(1-1)...(1-т+1) X

хту(т) (х) Х р(1)р(2)...р(1) Х 2^ р(1)р(2)...р(1) Х х у (х) _ 1=т _ 1=т +

хпу(п)(х) хп V 1(1-1)...(1-п+1) х1-п V 1(1-1)...(1-п+1) х1 Х р(1)р(2)...р(1) х 2. р(1)р(2)...р(1) х /=п /=п

1(1-1)...(1-т+1)„, 1-т

хт^ р(1)р(2)...р(1) х

+ — Ч- _ I + II

хП ^ 1(1-1)...(1-п+1) х1-п «(1)п(2)...п(1) х

1=п

Рассмотрим отдельно второе слагаемое II.

00

^ 1(1-1)...(1-т+1) х1-т хт ^ р(1)р(2)...р(1) Х

II _ —--^- <

Т>П к — 1 ОО

х ул 1(1-1)...(1-п+1) х1-п + ^ 1(1-1)...(1-п+1) х1-п

2. р(1)р(2)...р(1) х + 2- р(1)р(2)...р(1) х 1=п 1=к

ОО

V 1(1-1)...(1-т+1) х1

¿у р(1)р(2)...р(1) Х

<< 1—к

оо

V 1(1-1)...(1-П+1) х1 2. р(1)р(2)...р(1) х

1—к

оо

V 1(1-1)...(1-т+1) х1 1 ¿к р(1)...р(1) Х

(к - т) ... (к - п +1) V 1(1-1)...(1-т+1) (1-т)...(1-п+1) 1

2^ р(1)...р(1) (к-т)...(к-п+1) х 1=к

Выражение (к-т)"^-П+1) — 1, т < п, I _ к, к + 1,... Поэтому справедливо неравенство

ОО

V 1(1-1)...(1-т+1) х1

1 2^ р(1)...р(1) Х 1

II < 1 1=к 1

(к - т)... (к - п + 1) V 1(1-1)...(1-т+1) 1 (к - т) ••• (к - п + 1)

1=к р(1)...р(1) х

Величина II произвольно мала при больших к. Зафиксируем это число к и расмотрим I.

В числителе стоит частичная сумма, все элементы ряда положительные. В знаменателе стоит бесконечный ряд из положительных значений.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Зименс Карина Раисовна, 2016 год

Литература

[1] Абанин A.B., Абанина Д. А. Теорем,а деления в некоторых весовых пространствах целых функций, // Владикавк. матем. журн. - 2010. - Т. 12. - № 3,- С. 3-20.

[2] Братищев А. В. Хаотичность коммутирующих с дифференцированием Данкла преобразований пространства аналитических функций // Вести. Донск. гос. техн. ун-та. - 2009. - Т. 9. - № 2,- С. 190 207.

[3] Веселов А. П. Квантовая задача Калоджеро, уравнение Книжника-Замолодчикова и принцип Гюйгенса // ТМФ. - 1994. - Т. 98. - № 3. С. 524-535.

[4] Гельфонд А.О. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами бесконечного порядка и ассимптотические периоды целых функций, // Труды МИАМ. - 1951. - Т.38. - С. 42-67.

[5] Гельфонд А.О., Леонтьев А. Ф. Об одном обобщении ряда Фурье // Матем. сб. - 1951. - Т.29(71). Л" 3. С. 477-500.

[6] Гельфонд А.О. Исчисление конечных разностей. Москва: Гостехиз-дат., 1952,- С. 400.

[7] Гончаров А.О. Теория интерполирования и приближения функций. Москва: Гостехиздат., 1954,- С. 327.

[8] Гуревич Д.И. Контрпримеры к проблеме Л. Шварца // Функц. анализ и его прил. - 1975. - Т. 9. - № 2. - С. 29-35.

[9] Евграфов М.А. Интерполяционная задача Абеля - Гончарова. Москва: Гостехиздат., 1954. - С. 128.

[10] Епифанов О. В., Коробейник Ю.Ф. Нормальная разрешим,оеть одного класса дифференциальных уравнений бесконечного порядка // Матем. сб. - 1971. - Т. 84(126). Л" 3. С. 378-405.

[11] Епифанов О. В. О существовании непрерывного правого обратного в одном классе локально выпуклых пространств // Известия СевероКавказского научного центра высшей школы. Серия естественных наук. - 1991. Т. 3. С. 3-4.

[12] Епифанов О. В. Об эпиморфизме свертки в выпуклых областях // ДАН СССР. - 1974. - Т. 217. Л" 1. С. 18-19.

[13] Епифанов О. В. Разрешимость уравнения свертки в выпуклых областях // Матем. заметки. - 1974. - Т. 15. - № 5.- С. 787-796.

[14] Епифанов О. В. Однородное уравнение типа свертки в пространстве аналитических функций, // Изв. АН СССР. Сер. матем. -1985. - Т. 49. - № 4. - С. 766-783.

[15] Забирова (Зименс) K.P. Об одной задаче оператора свертки Дан-ла // Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании. Тезисы докладов международной школы-конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых. Уфа: РИЦ БашГУ. - 2012. С. 190-191.

[16] Забирова (Зименс) K.P. Интерполяционная задача оператора свертки Данкла // Тезисы Международной научной конференции

"Нелинейный анализ и спектральные задачи". Уфа: БашГУ - 2013. С. 50-52.

[17] Забирова (Зименс) K.P., Напалков В.В. Операторы свертки Данкла и многоточечная задача Балле Пуссена // Математическая физика и ее приложения. Материалы конференции. Самарский государственный технический университет. - 2012,- С. 135-137.

[18] Забирова (Зименс) K.P., Напалков В.В. Операторы свертки Данкла и многоточечная задача Балле Пуссена // Вестн. Сам. гос. техн. унта. Сер. Физ.-мат. науки. - 2013. - Т. 1. В. 30. С. 70-81.

[19] Забирова (Зименс) K.P., Напалков В.В. Операторы свертки Данкла и их свойства // Доклады академии наук. - 2013. - Т. 449. Л'° G. С. 632-634.

[20] Забирова (Зименс) K.P., Напалков В.В. Об операторах композиции умножения на функцию и свертки // Труды Математического центра имени H.H. Лобачевского. Теория функций, ее приложения и смежные вопросы. - 2013. - Т. 46. - С. 197-199.

[21] Зименс K.P., Напалков В.В. Интерполяционная задача для операторов свертки на выпуклых областях // Математическая физика и ее приложения. Материалы конференции. Самарский государственный технический университет. - 2014. - С. 181-182.

[22] Зименс K.P., Напалков В.В. Кратная задача Балле Пуссена на выпуклых областях в ядре оператора свертки // Доклады академии наук. - 2014. - Т. 458. - № 4,- С. 387-389.

[23] Зименс K.P., Напалков В.В. Задача Балле Пуссена для операторов свертки на выпуклых областях // Тезисы Международной научной

конференции "Нелинейный анализ и спектральные задачи". Уфа: РИЦ Баш ГУ - 2014. - С. 33-35.

[24] Зименс K.P., Напалков В.В. Об одной задаче оператора свертки на выпуклых областях // Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании. Тезисы докладов международной школы-конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых. Уфа: РИЦ Баш ГУ. - 2014,- С. 264.

[25] Зименс K.P., Напалков В.В. Задача Балле Пуссена в ядре оператора свертки на выпуклых областях // Труды Математического центра имени Н.И. Лобачевского. Теория функций, ее приложения и смежные вопросы. - 2015. - Т. 51. - С. 199-201.

[26] Напалков В.В.,Зименс K.P. Задача Балле Пуссена в ядре оператора свертки на полуплоскости // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. - 2015. - Т. 19. - № 2. - С. 283-292.

[27] Ибрагимов И.И. Методы интерполяции функций и некоторые их применения - Москва: Наука.- 1971.- С. 520.

[28] Казьмин Ю.А. Об интерполяционной задаче // Сиб. матем. журн. - 1967. - Т. 8. - № 2. - С. 293-312.

[29] Ким В.Э., Напалков В.В. Обобщение оператора Данкла на пространстве целых функций // Доклады Академии наук. - 2008. -Т. 420. - № 2. - С. 166-167.

[30] Коробейник Ю.Ф.О решениях некоторых функциональных уравнений в классах функций, аналитических в выпуклых областях // Матем. сб. - 1968,- Т. 75. - № 2. - С. 225-234.

[31] Коробейник Ю.Ф. О разрешимости уравнения свертки в некоторых классах аналитических функций // Матем. зам. - 1991. - Т. 49. -Л" 2. - С. 74-83.

[32] Коробейник Ю.Ф.Уравнения свертки в комплексной области // Матем. сб. - 1985. - Т. 127(169). - № 2(6). - С. 173-197.

[33] Красичков-Терновский И.Ф.Однородное уравнение типа свертки на выпуклых областях // ДАН СССР. 1971,- Т. 197. Л" 1. С. 2931.

[34] Красичков-Терновский И.Ф .Инвариант,нме подпространства аналитических функций. I. Спектральный синтез на выпуклых областях // Матем. сб. - 1972. - Т. 87(129). - № 4. - С. 459-489.

[35] Красичков-Терновский И.Ф .Инвариант,нме подпространства аналитических функций. II. Спектральный синтез на выпуклых областях // Матем. сб. - 1972. - Т. 88(130). - № 1(5). - С. 3-30.

[36] Красичков-Терновский И.Ф .Спектральный синтез аналитических функций, на системах выпуклых областей // Матем. сб. - 1980.Т. 111(153). 1. - С. 3-41.

[37] Красичков-Терновский И.Ф .Спектральный синтез в комплексной, области для дифференциального оператора с постоянными коэффициентами. I. Теорем,а, двойственности // Матем. сб. - 1991. -Т. 182. - № И. - С. 1559-1587.

[38] Красичков-Терновский И.ФЛппроксимационная теорема для однородного уравнения векторной свертки // Матем. сб. 2004. - Т. 195. - № 9. - С. 37-56.

[39] Кривошеев А.С., Напалков В.В. Комплексный анализ и операторы, свертки // У.МН. 1992. - Т. 47. Л" 0. С. 3-58.

[40] Кривошеев А.С .Критерий разрешим,ост,и, неоднородных уравнений свертки в выпуклых областях пространства Сп // Изв. АН СССР. Сер. матем. - 1990. - Т. 54. Л" 3. С. 480-500.

[41] Кривошеев А. С .Регулярность роста системы функций, и системы неоднородных уравнений свертки в выпуклых областях комлексной плоскости, // Изв. АН. - 2000. - Т. 64. - № 5. - С. 469-132.

[42] Левин Б.Я. Распределение корней, целых функций. - Москва: Государственное издательство технико-теоретической литературы, -1956. - С. 632.

[43] Левин Б.Я. О некоторых приложениях интерполяционного ряда Лагранжда к теории целых функций, // Матем. сб. - 1940.- Т. 8. - № 3,- С. 437-454.

[44] Леонтьев А.Ф. О классе функций, определенных рядами полиномов Дирихле: дис. ... докт. физ.-мат. наук: 01.01.01 / Алексей Федорович Леонтьев - Москва, 1948.

[45] Леонтьев А.Ф. Об интерполировании, в классе целых функций, конечного порядка //ДАН СССР. - 1948. - Т. 61. - № 2. - С. 785-787.

[46] Леонтьев А.Ф. Ряды полиномов Дирихле и их обобщения //Труды МИАН. - 1951. - Т. 39. - С. 1-215.

[47] Леонтьев А.Ф. К вопросу об интерполировании, в классе целых функций, конечного порядка //Матем. сб. - 1957. - Т. 41. - № 1,-С. 81-96.

[48] Леонтьев А.Ф. Обобщения рядов экспонент. - Москва: Наука, -1981- С. 320.

[49] Леонтьев А.Ф. Целые функции. Ряды экспонент. - Москва: Наука,

- 1989,- С. 176.

[50] Мерзляков С.Г., Попенов C.B. Кратная интерполяция рядами экспонент, в Н(С) с узлами на вещественной оси // Уфимск. матем. жури. 2013,- Т. 5. В. 3. С. 130-143.

[51] Моржаков В.В. Об уравнениях свертки в пространстве функций, голоморфных в выпуклых облястях и на выпуклых компактах в Cn // Матем. заметки. - 1974. - Т. 16. Л" 3. С. 431-440.

[52] Моржаков В.В. Об эпиморфности оператора свертки в выпуклых облястях из Cn // Матем. сб. - 1987. - Т. 132(174). - № 3. - С. 352370.

[53] Мусин Н.Х. Описание ядра дифференциального оператора // ДАН.

- 2004. - Т. 396. - №. 3. - С. 313-316.

[54] Напалков В.В. Об одном классе неоднородных уравнений типа свертки // УМН. - 1974. - Т. 29, Л" 3. С. 217-218.

[55] Напалков ВВ. Уравнения свертки в многомерных пространствах.

- Москва: Наука, - 1982. - С. 241.

[56] Напалков В. В. Комплексный анализ и задача Коши для операторов свертки // Труды мат. инст. им. В. А. Стеклова. - 2001. - Т. 235. -С. 165-168.

[57] Напалков В. В. Фундаментальный принцип Эйлера для дискретных разностных операторов // ДАН. - 2003.- Т. 390. - № 5. -С. 599-601.

[58] Напалков В. В., Напалков В. В.(мл.) Операторы Данкла как операторы свертки // ДАН. - 2008. - Т. 423. - № 3. С. 300-302.

[59] Напалков В.В., Нуятов A.A. Многоточечная задача Балле Пуссена для операторов свертки // Мат. сборник. - 2012. - Т. 203. - В. 2. -С. 77-86.

[60] Напалков В.В., Нуятов A.A. Многоточечная задача Балле Пуссена для операторов свертки с узлами, заданными в угле // ТМФ. -2014. - Т. 180. - В. 2. - С. 264-271.

[61] Напалков В.В., Попенов C.B. Голоморфная задача Коши для оператора свертки в аналитически равномерных пространствах и разложения Фишера // Доклады академии наук. - 2001. - Т. 381. - № 2.

- С. 164-166.

[62] Паламодов В.П. Линейные дифференциальные операторы, с постоянными коэффициентами. - Москва: Наука. 1967. С. 488.

[63] Себастьян-и-Сильва Ж. О некоторых классах локально-выпуклых пространств, важных в приложениях // Сб. пер. Математика, -1957. - Т. 1. - С. 60-77.

[64] Ткаченко В. А. Спектральная теория в пространствах аналитических функционалов для операторов, порождаемых умножением на независимую переменную // Матем. сборник. - 1980. - Т. 112(154).

Л"° 3(7). С. 421 466.

[65] Юлмухаметов P.C. Однородные уравнения свертки // ДАН. - 1991.

- Т. 316. - № 2. - С. 312-315.

[66] Юлмухаметов Р.С. Спектральный синтез в ядре оператора свцрт-ки в весовых пространствах // Алгебра и анализ. - 2009. - Т. 21. -№ 2. - С. 264-279.

[67] Abreu L.D., Giaurri О., Varona J.L. The spectrum, of the right inverse of the Dunkl operator // Rev. Mat. Complut. - 2013. - V. 26. - P. 471-483.

[68] Andersen N.B., De Jeu M.F.E. Elementary proofs of Paley-Wiener theorems for the Dunkl transform on the real line // Intern. Math. Res. Not. - 2005. - V. 30. - P. 1817-1831.

[69] Berenstein C.A. Convolution operators and related quasi-analytic classes. Preprint. New York., 1970.

[70] Berenstein C.A., Dostal M.A. Analytically Uniform Spaces and Their Applications to Convolution Equations j j Lect. Notes Math., New York. - 1972. - V. 256.

[71] Berenstein C.A., Dostal M.A. On convolution equations I // Lect. Notes Math. - 1973. - V. 336. - P. 79-94.

[72] Berenstein C.A., Dostal M.A. On a property of indicators of smooth convex bodies // Mich. Math. J. - 1975. - V. 22. - P. 237-246.

[73] Berenstein C.A., Struppa D.C. A new look at interpolation theory for entire functions of one variable // Adv. Math. - 1979. - V. 33. - P. 109143.

[74] Betancor J. J., Sifi M., Trimeche K. Hypercyclic and chaotic convolution operators associated with the Dunkl operators on С j j Acta Math. Hungarica. - 2005. - V. 106. - № 1-2. - P. 101-116.

[75] Carmichael R. Linear differential equations of infinite order // Bull. Amer. Math. Soc. - 1936. - V. 42. - №4. - P. 193-218.

[76] Dieudonne J., Schwartz L. La dualité dans les espaces (F) et (LF) // Ann. Inst. Fourier Grenoble. - 1949. - V. 1. - P. 61-101.

[77] De La Vaillee Poussin Ch. J. Sur Vequation différentielle du second ordre. Determination d'une integrale par deux valeurs assignees. Extension aux equations d'ordren //de Math. pur. et appl. - 1929. - V. 9. - № 8. -P. 125-144.

[78] De Jeu M.F.E. The Dunkl transform // Intern. Math. Res. Not. - 1993.

- V. 113. - P. 147-162.

[79] Dickson D.G. Expansions in series of solutions of linear difference-differential and infinite order differential equations with constant coefficients // Memor. Amer. Math. Soc.- 1957. - V. 23. - P. 1-72.

[80] Dickson D.G. Infinit order differential equations jj Proc. Amer. Math. Soc.- 1964. - V. 15. - № 4. - P. 167-183.

[81] Dunkl C.F. Differential-difference operators associated to reflection groups // Trans. AMS. - 1989. - V. 311. - P. 167-183.

[82] Ehrenpreis L. Solutions of some problems of division I,II, ... V / / Amer. J. Math. - 1954. - V. 76. - P. 883-903; 1955. - V. 77. - P. 286-292; 1956. - V. 78. - P. 685-715; I960. - V. 82. - P. 522-588; 1962. - V. 84.

- P. 324-348.

[83] Ehrenpreis L. Mean periodic functions // Amer. J. Math. - 1955. -V. 77. - № 2. - P. 293-328.

[84] Ehrenpreis L. The Fundamental Principle for Linear Constant Coefficients Partial Differential Equations. - In: Proc. Intern. Syrnp. Linear Spaces, Pergamon, Oxford. - 1961. - P. 161-174.

[85] Ehrenpreis L. Fourier analysis in several complex variables. New York: Wiley-Interscience Publ, 1970. - P. 506.

[86] Euler L. De integratione aequationum differentlallum altiorum graduum // Miscellanea Berol. - 1743. - V. 7. - P. 193-242.

[87] Fisher E. Uber Differentiationsprozesse der Algebra // J. Math. - 1917.

- Bd. 148. - P. 1-78.

[88] Hörmander L. Введение в теорию функций нескольких комплексных переменных. - Москва: Мир, 1968. - С. 280.

[89] Hörmander L. The Analysis of Linear Partial Differential Operators (vols. I, II, III, IV). - Berlfoi: Springer, 1983, 1985.

[90] Hansen S. Localizable analytically uniform spaces and the fundamental principle j j Trans. Amer. Math. Soc. - 1981. - V. 264. - №1. - P. 235250.

[91] Kahane J.P. Sur les fonctions moyenne périodiques bornees // Ann. Inst. Fourier. - 1957. - V. 7. - P. 293-314.

[92] Kahane J.P. Lectures on Mean Periodic Functions. - Bombay: Tata Institute of Fundamental Research. - 1957. - 152 p.

[93] Lapointe L., Vinet L. Exact operator solution of the Сalogero-Sutherland model // Communs Math. Phys. - 1996. - V. 178. - P. 425-452.

[94] Malgrange В. Existence et approximation des solutions des equations aux derivees partielles et des equations de convolution // Ann. Inst. Fourier.

- 1955-56. - V. 6. - P. 271-355.

[95] Malgrange В. Systèmes différentielle a coefficients constants // Seminaire Bourbaki, Paris. - 1962-63. - V. 15. - № 246.

[96] Meril A., Struppa D.C. Equivalence of Cauchy problems for entire and exponential type functions j j Bull. London Math. Soc. - 1985. - V. 17. _ p. 469-473.

[97] Muggli H. Differentialgleichungen unendlich hoher Ordnung mit konstanten Koeffizienten // Comment. Math. Helv. - 1938. - V. 11. - P. 151-179.

[98] Polya G. Untersuchungen über Lucken und Singularitäten von Potenzreihen // Math. Z. - 1929. - V. 29. - P. 549-640.

[99] Rosier M.Dunkl operators: theory and applications. // Orthogonal Polynomials and Special Functions (Leuven, 2002) Lecture Notes in Math., 1817. - 2003. - Springer-Verlag, Berlin - P. 93-135.

[100] Salem N.B., Kallel S. Integro-differential-difference equations associated with the Dunkl operator and entire functions // Comment. Math. Univ. Carolin. - 2004. - V. 45. 4. - P. 699-725.

[101] Shapiro H.S. An algebraic theorem of Fisher, and the holomorphic Goursat problem j j Bull. London Math. Soc. - 1989. - V. 21. - № 21. -P. 513-537.

[102] Schwartz L. Theorie generale des fonctions moyenne-periodique // Ann. of Math. - 1947. - V. 48. - № 4. - P. 857-929.

[103] Valiron. G. Sur les solutions Sur les solutions des equations différentielles linearies d'ordre infini et a coefficients constants // Ann. Sei. Ec. Norm. Sup. - 1929. - V. 46. ..V" 1. P. 25-54.