Оператор обобщенной свертки и задача Валле Пуссена тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат наук Муллабаева Айгуль Ураловна

• Муллабаева Айгуль Ураловна
• кандидат наук
• 2016

Оглавление диссертации кандидат наук Муллабаева Айгуль Ураловна

Введение

Глава 1. Оператор обобщенного дифференцирования

1.1. Оператор обобщенного дифференцирования

1.2. Обобщенное пространство Баргмана Фока и сопряженный оператор к оператору умножения на переменную г

1.3. Оператор обобщенного дифференцирования в пространстве Н(С)

1.4. Оператор обобщенного дифференцирования конечного порядка

с переменными коэффициентами

1.5. Свойства собственных функций

1.6. Обобщенное преобразование Лапласа в пространстве Раф

1.7. Базис в обобщенных пространствах Баргмана Фока

Глава 2. Оператор обобщенной свертки

2.1. Обобщенное преобразование Лапласа в пространстве Н(С)

2.2. Операторы обобщенного сдвига и обобщенной свертки в пространстве Н (С)

2.3. Задача аппроксимации

2.4. Неоднородное уравнение обобщенной свертки в Н(С)

2.5. Оператор обобщенной свертки в пространстве

2.6. Решение однородного уравнения обобщенной свертки в пространстве Рр

2.7. Разрешимость неоднородного уравнения обобщенной свертки в пространстве Рр

Глава 3. Сюръективность оператора обобщенной свертки с композицией умножения на целую функцию

3.1. Иф — множество секвенциальной достаточности в пространстве

кег Кф

3.2. Сюръективность оператора М^[ф-] в пространстве Н(С)

3.3. Решение задачи Балле Пуссена в ядре оператора М^

Заключение

Список литературы

Введение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Оператор обобщенной свертки и задача Валле Пуссена»

Актуальность темы исследования.

Уравнения свертки, в частности, дифференциальные уравнения бесконечного порядка, дифференциально-разностные уравнения с постоянными коэффициентами были предметом изучения многих математиков: Дж. Ритт [1], Г. Полна [2], М.Г. Валирон [3], А.О. Гельфонд [4, 5], А.Ф. Леонтьев [6 8], Л. Эрен-прайс [9, 10], Д. Диксон [11, 12], 14.Ф. Красичков Терновский [13 20], Ю.Ф. Коробейник [21 29], О.В. Епифанов [30 35], С.Н. Мелихов [36, 37], В.В. Моржа-ков [38, 39], В.П. Громов [40, 41], В.А. Ткаченко [42], В.В. Напалков [43 47], Р.С. Юлмухаметов [48, 49], А.С. Кривошеев [50 54], С.Г. Мерзляков [55 59] и др. Это объясняется, с одной стороны, прикладными задачами, с другой тем, что многие чисто теоретические вопросы сводятся к изучению уравнений свертки. Например, вопросы полноты систем экспоненциальных решений в ядре дифференциального оператора тесно связаны с задачей нахождения решений однородного уравнения свертки.

Задача о полноте системы элементарных решений в множестве всех решений является классической. С историей задач о полноте экспоненциальных решений в пространствах функций, аналитических в области, можно ознакомиться в монографиях Б.Я. Левина [60], 14.14. Ибрагимова [61] и А.Ф. Леонтьева [62, 63] и др. Исследование полноты экспоненциальных решений в различных пространствах функций, определенных на интервале вещественной оси, достаточно полно освящены в ряде обзоров и монографий. Перечислим лишь некоторые из них: Н. Винер и Р. Пэли [64], Н. Левинсон [65], М.М. Джрбашян [66], Р.М. Янг [67], П. Кусис [68, 69], В.П. Хавин и Б. Ерикке [70], А.М. Седлец-кий [71 73], Б.Н. Хабибуллин [74].

Оператор обобщенной свертки порождается оператором обобщенного дифференцирования, введенным А.О. Гельфондом и А.Ф. Леонтьевым [5, с. 480]:

то

Определение 0.0.1. Пусть /(г) = ^ а&г^ — целая функция порядка р

к=о

и типа а = 0, ж, причем коэффициенты a,k = 0 (к > 0) и существует пре-

1 __1 ж

дел lim к 1 ^| = (аер) 1. Пусть F(z) = bkzк — произвольная функция,

к=0

регулярная в круге | < R, 0 < R < ж. Обобщенной производной порядка п, порожденной, функцией f (z), называется оператор

ж

DnF = Dn (F, f ) = ^ bk—zk~n. (1)

, Ojk

k=n

Под задачей аппроксимации будем понимать следующее: выяснить условия, при которых множество решений уравнения M^,[f](z) = 0 в пространстве Н(C) представляетсяв виде предела конечных сумм элементарных решений дифференциального уравнения. В работах А.Ф. Леонтьева и его учеников были получены теоремы об аппроксимации произвольных решений элементарными решениями однородного уравнения бесконечного порядка. В определенных случаях аппроксимация может быть заменена разложением решений в ряды по элементарным решениям. В работах И.Ф. Красичкова эта задача решена для классического оператора свертки в пространстве аналитических функций, принадлежащих выпуклой области. В.А. Ткаченко, используя метод И.Ф. Красичкова, получил решение задачи спектрального синтеза для случая обобщенных производных в пространстве аналитических функций в р-выпуклых областях. В работе Г. Муггли рассмотрено решение однородного уравнения классического оператора свертки в классе целых функций экспоненциального роста.

Классическим вопросом так же для дифференциальных уравнений бесконечного порядка является разрешимость неоднородного уравнения, см., например, работы А.О. Гельфонда и А.Ф. Леонтьева [5], В.В. Напалкова [46], Ю.Ф. Коробейника [25 27], С.Н. Мелихова [36], В.В. Моржакова [38].

Сюрьективность и задача аппроксимации являются классическими вопросами в исследовании операторов обобщенной свертки, в то время как решение задачи Валле Пуссена представляет новое направление в изучении операторов. В случае оператора свертки задача Валле Пуссена была решена в статьях В.В. Напалкова [44], совместных работах В.В. Напалкова и A.A. Нуятова [45],

С.Г. Мерзлякова и C.B. Поиенова [55].

Настоящая работа посвящена изучению операторов обобщенной свертки, исследованию их сюрьективности, решению задачи аппроксимации и задачи Балле Пуссена в ядре оператора обобщенной свертки.

В первой главе строится оператор обобщенного дифференцирования с помощью обобщенного пространства Баргмана Фока.

Рассмотрим H(C) — пространство целых функций с топологией равномерной сходимости на компактах.

Определение 1.2.1. Обобщенным пространством Баргмана Фока назовем пространство

^ H f € Я(C) : ||/У2 = ^

If (z )|2е-а^ dfK ж} .

Здесь а,Р > 0, — мера Лебега на плоскости.

Функции, входящие в пространство имеют порядок не выше Р и конечный тип, а при порядке Р тип не превосходит |.

В случае ¡3 = 2 и а = 1 пространство совпадает с одномерным классическим пространством Баргмана Фока, введенным в [75, 76]. Это пространство было предметом исследования многих математиков и физиков, таких как В.А. Фок [75], В. Баргман [76, 77], Д.Дж. Ныоман и Г.С. Шапиро [78], Л.Д. Фадеев и О.А. Якубовский [79], М. Рид и Б. Саймон [80] и др.

Обобщенное пространство Баргмана Фока гильбертово пространство

относительно скалярного произведения:

2

[За р

(f,9) 2пГ( | )

f (z ) • g(z )е d^ f,g € Faj.

В обобщенном пространстве Баргмана Фока оператор обобщенного дифференцирования определяется как сопряженный оператор к оператору Л умножения на переменную г, где функция /(г) такая, что произведение на г не

выводит г • / за пределы обобщеного пространства Баргмана - Фока:

( • /, д) = ( 1',А*д), деРа^. В частности, при д(х) = хк имеем

А* хк = ткгк-1,

г( 2 (к+1))

где тк = и то = 0.

Продолжим оператор обобщенного дифференцирования на пространство Н(С). Порождающая функция выглядит следующим образом

ж п

3/М = —+ £ —--(2)

п=1

и имеет порядок равный 3/2 и тип — а.

ж

Пусть /( г) = апхп — целая функция.

п=0

Оператор обобщенного дифференцирования Б, порожденный функцией

(2), имеет вид

ч Ж II —

1 ^ М р

Б/(г) = - аптпхп, где тп =

Г 2 (п +

(п + -))

* 1=0 а ^ г ( ^

Н(С) Н(С)

3 = 2 а = -

рования становится классической производной При а = 1,3 = 2/8,8 £ N оператор Б можно представить как оператор обобщенного дифференцирования конечного порядка с переменными коэффициентами:

= У апгп-1

П=1

'тп _ а\___«2 _ ап-\ — п < §

Оператор обобщенного дифференцирования более высокого порядка опре-

где коэффициенты ап = ^ - ■^—уу - ■^—уу - ...--1

деляется по индукции: Пп = Б(ПП 1), так что

Ппхк = тктк-1...тк-п+1 гк п.

Определенный нами оператор обобщенного дифференцирования является частным случаем обобщенной производной, введенной в работах А.О. Гельфон-да и А.Ф. Леонтьева (см. (1)):

&к—п

-= тк тк-1 ...тк-п+\.

ак

Собственные функции оператора обобщенного дифференцирования, соответствующие собственным числам Л, имеют вид

/ то \п \

1 + V ,

V 1 т\...тп J

\пп

yx(z) = cy(\z) = c\1 + y ]- |, (3)

1 ' v т1...тп

равным единице.

Собственные функции обладают следующими свойствами:

1. Пусть 0 < ßi < такие, что — Mi > 2е/а > 0, y(ßz) — собственные функции оператора D, соответствующие собственным числам м, тогда

lim 4^4 = 0.

х^+то y(fl2x)

2. Предел отношения производных собственных функций оператора обобщенного дифференцирования для всех целых 0 < г < п равен

lim = 0.

х^то у(п)(мх)

3. Предел отношения производных собственных функций оператора обобщенного дифференцирования с различными ßk вдоль вещественной оси равен

у(г) ( MkX)

lim ——-- = 0, Mk < Mk+i, Vr, s.

y( s ){Hk+ix)

х

Ортонормированная система Я = | у^ хП,п = 0,1, 2,... | образует

базис в обобщенном пространстве Баргмана - Фока при (3 > 1 и а > 0.

Во второй главе введем в рассмотрение пространство Н*(С) — пространство линейных непрерывных функционалов на Н(С) и Н0({го}) — пространство аналитических в бесконечно удаленной точке и обращающихся на ней в

нуль функций. Известно [81, с.34], что между этими пространствами существует изоморфизм, согласно которому любому функционалу Г £ Н*(С) соответствует функция др( г) £ Н0({<Х)}) такая, что действие Г на любую целую функцию ( )

1

(F, f) =

2iri

f(z)gF(z)dz, (4)

с

где С — спрямляемый замкнутый контур, охватывающий все особенности функции др( z) £ Н0({ж}).

Определение 2.1.2. Обобщенным преобразованием Лапласа функционала F £ Н*(C) назовем функцию

F(X) = (FZ, y(Xz)) = ip(X),

где у(Xz) — собственные функции оператора D, соответствующие собственным числам X.

Обобщенное преобразование Лапласа является функцией порядка f3/2 и конечного типа. Обозначим множество этих функций через

Рр = £Н(C) : \^(\)\<В1 f| ,

В\ ,В2 = сoust < ж — для каждой функции р свои константы. Рассмотрим нормированные весовые пространства

Вп =\ f £ Н(C) : sup \ f(z)\e-n^2 < ж! ,n £ N,

I Z£C J

норма в которых для любой функции f £ Вп определяется следующим образом

I ^

\\f\\n = sup \ f(z)\e-n^2 ,n £ N.

Z£C

Поскольку = [J Вп и Вп вполне непрерывно вложены в Вп+\, то в

n£N

можно ввести [82, с. 402] топологию индуктивного предела нормированных пространств Вп, т.е. Pr = lim тс1Вте.

п^ж

Отметим важное свойство этой топологии: последовательность функций /т( х),т = 1, 2, ...из Рр стремится к 0 при т ^ го в пространстве Рр тогда и только тогда, когда найдутся числа а > 0 и М > 0 такие, что

/з

1- |иш < Меа\*\1,Ут е N,2 е С,

2. при т ^ го последовательность /т(г) ^ 0 на любом компакте К С С. Теорема 2.1.5. Пространства Н*(С) и Рр изоморфны.

Н(С)

ряда Тейлора:

й /(*) = /(*) + £ Р"/(г> Г. (5)

^ т1т2...тп

п=1

Этот оператор действует из Н(С) в Н(С2) линейно и непрерывно. Определим с его помощью оператор обобщенной свертки в Н(С).

Определение 2.2.3. Оператором обобщенной свертки, порожденным функционалом Ъ е Н*(С), назовем оператор вида:

ММ(г) = (Ъ(г)), (6)

где функция ^(Л) = ^Р(Л) е Рр является характеристической функцией оператора М/ е Н(С), Ъ,3 е Н*(С).

Оператор М^ линейно и непрерывно действует из Н(С) в Н(С). Подставив в выражение (6) вместо оператора обобщенного сдвига его разложение в ряд ( ), получим, что оператор обобщенной свертки М^[/] можно представить в виде обобщенной производной бесконечного порядка, которая изучалась у А.Ф. Леонтьева [83].

Элементарные решения Е однородного уравнения обобщенной свертки в Н(С)

у(Лкг), гу'(Лкг),..., г"«-1у("к-1)(Лкг), к = 1, 2,...

где Лк — нули кратности Пк характеристической функции оператора обобщенной свертки.

Теорема 2.3.9. Аппроксимационная теорема.

Пусть Е — элементарные решения, кег М^ — все решения, из пространства Н(С),Е С кег М^. Справедливо равенство

Е = кег М^,

где Е — замыкание множества Е в топологии Н(С).

При решении задачи аппроксимации применяются методы функционального анализа, в частности, теорема Хана Банаха [84, с. 172 след.2.1.5] и теорема деления целых функций [85, теорема 4.4].

Теорема 2.4.4. Оператор обобщенной свертки М^ сюрпективен в про-Н(С) .

При доказательстве сюрьективности оператора обобщенной свертки используется теорема Дьедонне - Шварца [ ] и изоморфизм пространств Н* (С) и . С помощью этого изоморфизма вводится оператор обобщенной свертки в пространстве . Сопряженным оператором к оператору М^ в Н(С) является оператор умножения на характеристическую функцию в Рр. Сопряженным оператором к оператору умножения на целую функцию ф £ Н(С) является оператор обобщенной свертки Кф с характеристической функцией ф

1

кф Ш) =

2т

у(Хг )ф(г) дР (г)с(г,

с

где у(Xг) — собственные функции оператора И, функция др такова, что контур С охватывает все ее особенности и удовлетворяет равенству

1 Г

У(х *) др (Х)((Х = р(х).

2тг?:

с

Оператор Кф действует из в .

Теорема 2.6.1. Решением, однородного уравнения, обобщенной свертки Кф в пространстве Рр является конечная линейная, комбинация собственных функций, оператора И, соответствующих нулям Хк характеристической

функции р оператора М^, и их производных в случае кратных нулей характеристической функции.

Обозначим это множество через

( Р пк хп-1у(п~1)( хк кегКф = £ Р/з : ш(х) = У^ У^ апк---—-> .

I иП=1 (п -1)! \

В классическом случае, при 3 = 2жа = 1,в работе Г. Муггли [ ] рассматривается решение однородного уравнения классической свертки в пространстве целых функций экспоненциального роста.

Теорема 2.7.1. Неоднородное уравнение обобщенной свертки Кф разрешимо для любой правой части в пространстве Рр.

При доказательстве сюръективности оператора Кф в пространстве используем теорему Дьедонне Шварца [86].

Третья, глава посвящена исследованию линейного непрерывного операто-

М^[ф • I] : Н(С) ^ Н(С),

где ф £ Н(С) — фиксированная, а I — произвольная целая функция. Основным результатом диссертации является изучение вопроса сюръективности этого опе-

Н(С)

М^. Для доказательства сюръективности оператораиспользуется сопряженный к нему оператор:

Кф [р-] :Рр ^ Рр.

Согласно теореме Дьедонне - Шварца сюръективность оператора равносильна инъективности и замкнутости образа оператора Кф[р-].

Определение 3.1.1. Будем говорить, что С С секвенциально достаточное множество в пространстве кег Кф, если из сходимости последовательности функций, из кег Кф на множестве Хк вытекает сходимость для, всех С

Используя понятие секвенциальной достаточности доказывается, что оператор Кф [(•] инъективен и образ его замкнут. При доказательстве замкнутости образа применяем теорему Майкла Епифанова [88, 89] о существовании непрерывного правого обратного оператора.

Теорема 3.2.1. Если нули характеристической функции оператора являются секвенциально достаточным множеством в ядре оператора Кф, то оператор сюрпективен в пространстве Н(С).

Полученные результаты позволяют решить задачу Балле Пуссена [90] в ядре оператора обобщенной свертки.

Задача ставится следующим образом. Пусть задана целая функция ф с нулями }°=1 на положительной оси, пронумерованными в порядке возрастания с соответствующими кратностями п¡. Рассмотрим произвольную последовательность комплексных чисел а\ ,г,] = 1, 2,... Возникает вопрос: существует

М^](г) = 0,

которое вместе со своими производными в заданных точках принимает заданные значения а\

/^-1)(^) = а|-1,1 = 1, 2,...,] = 1, 2,...,п?

Используя представление Фишера [91]

Н(С) = кегМ^ + ф Н(С).

и сюръективность оператора М^ф], получаем разрешимость задачи Балле Пуссена в ядре оператора

Теорема 3.3.4. Пусть ( е Рр — характеристическая функция оператора Мр, вещественные положительные нули которой являются секвенциально достаточным множеством в кег Кф, функция, ф е Н(С), тогда разрешима задача Балле Пуссена, в ядре оператора с данными на положительных вещественных нулях функции ф.

Цели и задачи

Целью данной работы является исследовать вопрос о сюръективности оператора обобщенной свертки с композицией умножения на целую функцию и на основе полученных данных решить задачу Балле Пуссена в ядре оператора М^.

Задачи необходимые для достижения поставленной цели:

1. Построить обобщенное пространство Баргмана - Фока и изучить свойства этого пространства. Изучить сопряженный оператор к оператору умноже-

2. Решить аппроксимационную задачу для уравненияМ^[/](г) = 0 и дока-

Н(С) .

следовать решения однородного и неоднородного уравнений обобщенной свертки в пространстве .

3. Показать секвенциальную достаточность множества нулей характеристической функции оператора обобщенной свертки в пространстве кег К^. Доказать инъективность и замкнутость образа оператора Кф[р-]в пространстве Рр. Исследовать сюръективность оператора

4. Найти условия, при которых разрешима задача Балле Пуссена в ядре оператора М^.

Методология и методы исследования

Доказательство большинства результатов использует методы комплексного и функционального анализа, спектральной теории и теории операторов. Существенную роль сыграл изоморфизм пространств Н*(С) и Рр. Теорема деления применяется при доказательстве аппроксимации решений однородного уравнения оператора М^ и для сюрьективпости операторов М^ и Кф. Также, при доказательстве сюрьективпости операторов М^,Кф,МЧ)\ф-\,Кф[р-] необходима теорема Дьедонне - Шварца. Важную роль сыграла теорема Майкла -Епифанова о существовании непрерывного правого обратного оператора для доказательства замкнутости образа оператора Кф [р• ]. Для доказательства секвенциальной достаточности нулей характеристческой функции оператора М^

используются теоремы о пределе отношений собственных функций на вещественной оси.

Научная новизна и положения, выносимые на защиту

Все результаты, выносимые на защиту, являются новыми. В диссертационной работе представлены следующие результаты:

1. Введено обобщенное пространство Баргмана - Фока, определен оператор обобщенного дифференцирования, как сопряженный к оператору умножения на

2. Решена аппроксимационная задача для уравнения Мр[/](г) = 0 и до-

Н(С) .

Показано, что оператор обобщенной свертки в пространстве Рр строится как

Н(С) .

Получено решение однородного и неоднородного уравнений обобщенной свертки в пространстве Рр.

3. Показана секвенциальная достаточность множества нулей характеристической функции оператора обобщенной свертки в пространстве кег Кф. Доказана инъективность и замкнутость образа оператора Кф [(• ] в пространстве Рр. Исследована сюръективность оператора обобщенной свертки с композицией умножения на целую функцию.

4. Найдены условия разрешимости задачи Валле Пуссена в ядре оператора

Мр.

Научная и практическая ценность

Результаты диссертации носят теоретический характер. Они могут найти применение в различных областях функционального анализа и теории операторов, таких как операторы обобщенного дифференцирования и операторы обобщенной свертки, спектральная теория оператора, интерполяционная задача, а также в областях квантовой физики,такой как теория поля. Полученные результаты могут быть использованы специалистами, работающими в Математическом институте им. В.А. Стеклова РАН, Институте математики с ВЦ УНЦ

РАН, Институте математики и механики УрО РАН, Институте математики, механики и компьютерных наук Южного федерального университета, Сибирском федеральном университете, Санкт-Петербургском государственном университете, Самарском государственном университете, а также в других ведущих российских и зарубежных научных центрах.

Степень достоверности

Достоверность полученных результатов обеспечивается тем, что в случае ß = 2 и а = 1 все полученные результаты переводятся в классический случай: обобщенное пространство Баргмана Фока превращается в классическое пространство Баргмана Фока; оператор обобщенного дифференцирования становится обычной производной ^ в качестве собственной функции y(z) выступает е z; обобщенное преобразование Лапласа становится классическим преобразованием Лапласа; обобщенный оператор свертки переходит в классический оператор свертки.

В диссертации исследуются сюрьективность оператора обобщенной свертки в пространстве Н(C) и задача аппроксимации решений однородного уравнения обобщенной свертки, в случае оператора свертки эти задачи были рассмотрены в совместной работе В.В. Напалкова и A.A. Нуятова [45]. В классическом случае, при ß = 2 и а = 1,в работе Г. Муггли [ ] получено решение однородного уравнения свертки в классе целых функций экспоненциального роста.

Апробация работы

Основные результаты диссертации докладывались в следующих конференциях:

• Международная школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых «Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании» (Уфа 2009).

• Международная Казанская летняя научная школа конференция «Теория функций, ее приложения и смежные вопросы» (Казань 2009, 2011, 2013, 2015).

• «Summer St. Petersburg Meeting in Mathematieal Analysis» (Санкт-Петербург 2010).

• Международная научная конференция «Спектральные задачи, нелинейный и комплексный анализ» (Уфа 2013, 2014).

• Saint-Petersburg Conference in Spectral Theory dedicated to the memory of M.Sh.Birman. Euler Institute (Saint-Petersburg 2014).

• Международная конференция «Математическая физика и ее приложения» (Самара 2014).

• По теме диссертации докладывались результаты на семинарах по комплексному анализу в Институте математики с вычислительным центром Уфимского научного центра РАН.

Основные результаты по теме диссертации изложены в четырех печатных изданиях, рекомендованных ВАК [92 95], семь в тезисах докладов [96 102]. Личный вклад автора.

Автор принимал активное участие при расчетах и поиске материалов. В опубликованных совместно с научным руководителем работах Напалкову В.В. принадлежат постановка задачи и общее руководство, участие диссертанта90%. В работе [92] Дильмухаметовой А.М. принадлежат пункты 6 7.

Автор выражает огромную благодарность своему научному руководителю, замечательному наставнику Валентину Васильевичу Напалкову за поддержку и помощь при выполнении работы.

Некоторые из результатов диссертационной работы были получены в ходе работ по грантам РФФИ № 14-01-00720-а, № 14-01-97037 р_поволжье_а.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка цитируемой литературы. Полный объем диссертации составляет 78 страниц. Список литературы содержит 106 наименований.

Глава 1

Оператор обобщенного дифференцирования

В главе 1 будут введены обобщенное пространство Баргмана - Фока и оператор обобщенного дифференцирования, определены собственные функции этого оператора и их свойства, рассмотрено обобщенное преобразование Лапласа в обобщенном пространстве Баргмана Фока и определен ортонормированный базис в этом пространстве.

Обозначим через Н(С) пространство целых функций с топологией равномерной сходимости на компактах. По определению пространство Баргмана Фока в одномерном случае имеет вид:

Г = < ¡еН (С): \\f\l2 = -

—

|Л г)|2 е,

где — мера Лебега на плоскости.

Пространство Г обладает следующими свойствами (см. [ ], [ ]): 1. Преобразование Лапласа переводит элементы из Г в Г :

I ^ ях) = -

—

¡(г)еХг= ¡(X) е Г;

2. Оператор дифференцирования — является сопряженным к оператору

Эти свойства лежат в основе приложений пространства Баргмана Фока к задачам физики. Это пространство было предметом исследования многих математиков и физиков, таких как В.А. Фок [75], В. Баргман [76, 77], Д.Дж. Ныоман и Г.С. Шапиро [78], Л.Д. Фадеев и О.А. Якубовский [79], М. Рид и Б. Саймон [80 и др.

1.1. Оператор обобщенного дифференцирования

Возьмем последовательность комплексных чисел {тп}сТО=0) таких что т0 = 0, тп = 0 при п > 1 и lim ^\тп| < го. Построим по ней функцию

п—>оо

y(z) = 1 + Е

Пусть

го zu

т\...тп

п=1

го

п

f(z) = YJ а-п ^ ея (C).

п

п=0

Определение 1.1.1. Оператором обобщенного дифференцирования, порожденным функцией у(г), назовем оператор И, который действует по правилу

1 го

Z) = ~У \а„т1„хп. п=0

Этот оператор является оператором Гельфоида Леонтьева (см. 1), поскольку = То1-То" = тп. Оператор обобщенного дифференцирования бо-

— 1 ---Шп-1

лее высокого порядка определяется по индукции Dvf = D(D'a-1).

Собственные функции оператора обобщенного дифференцирования определяются из условия

DV = Ау

и имеют вид (см. (3))

yx(z) = су(Х z),

с = 1. При дополнительном условии lim ^\rni\ ... \тп\ = го собственные функ-

п—^го

D

Лемма 1.1.2. Если выполнено условие lim ß1^ = 1, где B—const>0, то соб-

п—го ап

D

ют порядок р = тип а = .

р ß р

Доказательство. Пусть lim ^^ = 1, тогда для любого £ из интервала (0,В)

п—>оо

существует номер N такой, что

пр(В — е) < \тп\ < пр(В + е) для всех п > N.

Рассмотрим функцию

N п оо

п

ы^ + Е —— + £

п=1

т1...тп n=N+i mi...mN(В + s)n—N

Поскольку

1

mi...mN (В + s)n—N $$

<

1

Уп :п> N,

mi...mNmN+i...mn

то порядки соответствующих функций удовлетворяют неравенству: pi < р, где р ...................... порядок собственной функции, а pi — порядок рассматриваемой.

Посчитаем порядок yi,£(z) по формуле (см. [85, теорема 1.1, стр. 12]):

п 1пп

pi = lim

п

ln

mi.m (В + e)n—N

= lim

п ln п

n^ ln ^Ny^ + (п — N) ln (В + e) + рп ln (n

= lim

ln п

1

n +1п(В + s) —р + plnu + pln V2ип V

где L = ln — N 1п(В + s).

Аналогично можно вычислить порядок функции

N n оо n

У2,е (Z) = 1 + V—- + V

Z—/ пт i nrn —^

n=i

mi...mn n=N+i mi...mN(В — e)n—N$$

Так как pi < p < a pi = p2 = ^ T0 P = р-

Определим тип функции yi, £(z):

(

1

п

аие- = lim ^^^-^

р> ™ tfmi.m (В + s)n—N

= lim

n

п

-., где В =

mi ... mN

(В + с)^В ((nГУШ/""" (В + *)"№

20

Отсюда следует, что

'р\р 1 т.— прер

а / = (-Y m , \ lim

\е/ (В + £) n^œ

eJ (В + s)n^œnP â/В" 2л/2^ПР'

Тогда для любого £ G (0, В)

^ £ < / . ' " Л^ВТ^

Точно так же можно оценить а сверху, тогда

< а < для любого £ G (0, В).

Следовательно, а = Лемма доказана. □

1.2. Обобщенное пространство Баргмана - Фока и

сопряженный оператор к оператору умножения на

Возьмем 3 > 0 и а > 0 и введём пространство

Определение 1.2.1. Обобщенным пространством Баргмана Фока назовем пространство

Fa# ={ fG H(C) : Il/H2 =

2 fa

2

| f(z) | 2 e< œ\ ,

2* Г( 2)

где ¿1 — мера Лебега на плоскости.

В пространство Раф входят функции порядка не больше 35 а при порядке 3 тип меньше 2-

Перейдем к описанию сопряженного оператора к оператору умножения на переменную г в обобщенном пространстве Баргмана - Фока. Пусть А — оператор умножения, действующий по правилу:

А : /,г •/е^.

21

Теорема 1.2.2. Сопряженный оператор к оператору умножения на переменную г имеет вид:

00

1

00

A*g (z) = A*J2 bnzn = ~J2b

/nZ

n=0 n=0

mn ,

(l.i)

mn =

г( | (n+i))

2

«P Г( ¥)

,п > 1,m0 = 0 и является оператором обобщенного диффе-

( ).

Доказательство. Определим в пространстве Fa,ß оператор, сопряженный к оператора

(A f, g) = (f,A*g), f,g e Faß

где

(f, g) =

ßa ß

f(z)g(z) e—aM'dß.

Возьмем две функции f(z) = zn и g(z) = zk,п, k > 0. Имеем

(A f, g) = (zf, g) = (zzn, zk).

( n, ) =

ßa ß ß)

zn zke—alz\ßdn =

ßa ß

2nV(ß)

\z\n+k e—if(n—k)e—alz\ßdß.

Переходя к полярным координатам, имеем

( n, k) =

ßa ß

2Ш)

2тт

00

—i <p(n—

k)dp

\z\n+k+i e—a\z\ßd\г\

Первый интеграл в случае п = к обращается в ноль, а при п = к принимает значение равное 2-к. Считаем далее п = к. Для подсчета второго интеграла введем замену Ь = a\z\^í, имеем

( n, n) =

1

00

2 n 0

a - П ß) 0

2n+2 1 .

t~ß~—i е— dt

Г( 2n+2)

2 n 0

a " Г( ß)

Таким образом, получили

(Л ^) = -!

Г( 2 (п +1)) а * Г( 2)

0, при п = к, , п = .

Определим оператор А*. Напомним читателю, что в качестве функции / и д берем /( г) = гп и д( г) = гте+1,п > 0. С одной стороны имеем, что

( А , ) =

Г( 2 (п + 2))

2п+2 ,

(1.2)

а" Г( |)

с другой

(А д) = (¡,А*д) = (гп,А*гп+1).

Поскольку выражение (1.2) не обращается в ноль, то сопряженный опера-А*

оператор имеет вид:

А* гп+1 = тп+1Хп.

Продолжая равенство, имеем

(А д) = ( гп,тп+1 гп) = тп+1(гп, гп) = тп+г

Г( 2 (п + 1))

±_

2 п . о ч

а " Г( 2)

(1.3)

Из (1.2) и (1.3) находятся числа

тп+1 = 2

Г( | (п + 2))

при п > 0, положим т0 = 0.

а ? Г( 2 (п + 1))

Покажем, что А*1 = 0. Рассмотрим скалярное произведение

(хп, А*1) = (х • Л 1) =

3а 2

гп+1 • 1. е-2Мг11 =

2

3а ^

2тт

ег^(п+1)(1^ |^|п+2 е-а|^1 |г| =0.

Рассмотрим далее действие оператора на произвольную функцию

то

д(х) = ^ Ьпхп еРаф.

п=0

Сопряженный оператор А*, примененный к разложению в ряд функции д(х), в силу линейности и непрерывности имеет вид:

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Муллабаева Айгуль Ураловна, 2016 год

Список литературы

1. Ritt J. F. On general class of linear homogeneous differential equations of infinite order with constant coefficients // Trans. Amer. Math. Soc. 1917. Vol. 18, no. 1. P. 27 49.

2. Polya G. Eine Verallgemeinerung des Fabryschen Liickensatzes // Nachr. Ges. Wiss. Gôttingen. Math.-Phys. Klasse. 1927. Vol. 1927. P. 187 195.

3. Valiron G. Sur les solutions des équations différentielles linéaires d'ordre infini et à coefficients constants // Ann. École Norm. Supér. 1929. Vol. 46, no. 3. P. 25 53.

4. Гедьфоыд A. О. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами и асимптотические периоды целых функций // Труды Матем. ин-та им. В. А. Стеклова. 1951. № 38. С. 42 67.

5. Гельфонд А. О., Леонтьев А. Ф. Об одном обобщении ряда Фурье // Матем. сб. 1951. Т. 29(71), № 3. С. 477 500.

6. Леонтьев А. Ф. Ряды полиномов Дирихле и их обобщения // Труды Матем. ин-та им. В. А. Стеклова. 1951. Т. 39. С. 3 214.

7. Леонтьев А. Ф. Об одном функциональном уравнении // Изв. АН СССР. Сер.матем. 1965. Т. 29, № 4. С. 725 756.

8. Леонтьев А. Ф. О представлении функций последовательностями полиномов Дирихле // Матем. сб. 1966. Т. 70(112), № 1. С. 132 144.

9. Ehrenpries L. Fourier analysis in several complex variables. Pure and applied Mathematics. New-York: Wiley-Intersci.publishers, 1970. Vol. 17. 506 p.

10. Ehrenpries L. Mean periodic functions: part I. Varieties whose annihilator ideals are principal // Amer.J.Math. 1955. Vol. 77, no. 2. P. 293 328.

11. Dikson D. G. Expansions in series of solutions of linear difference-differential and infinite order differential equations with constant coefficients // Mem.Amer.Math.Soc. 1957. Vol. 23. P. 72.

12. Dikson D. G. Analytic mean periodic functions // Trans.Amer.Math.Soc. 1964.

Уо1. 110, по. 2. Р. 361 374.

13. Красичков Терновский 14. Ф. Однородные уравнения типа свертки на выпуклых областях // ДАН СССР. 1971. Т. 197, № 1. С. 29 31.

14. Красичков Терновский 14. Ф. Инвариантные подпространства аналитических функций.II. Спектральный синтез на выпуклых областях // Матем. сб. 1972. Т. 88(130), № 1(5). С. 3 30.

15. Красичков Терновский 14. Ф. Инвариантные подпространства аналитических функций.III. О распространении спектрального синтеза // Матем. сб.

1972. Т. 88(130), № 3(7). С. 331 352.

16. Красичков Терновский 14. Ф. Инвариантные подпространства аналитических функций. Аналитическое продолжение // Изв.АН СССР.Сер.матем.

1973. Т. 37, № 4. С. 931 945.

17. Красичков Терновский 14. Ф. Спектральный синтез аналитических функций на системах выпуклых областей // Матем. сб. 1980. Т. 111(153), № 1. С. 3 41.

18. Красичков Терновский 14. Ф. Спектральный синтез на системах неограниченных выпуклых областей // Матем. сб. 1980. Т. 111(153), № 3. С. 384 401.

19. Красичков Терновский 14. Ф. Спектральный синтез на системах выпуклых областей. Распространение синтеза // Матем. сб. 1980. Т. 112(154), № 1(5). С. 94 114.

20. Красичков Терновский 14. Ф. Инвариантные подпространства аналитических функций.1. Спектральный синтез на выпуклых областях // Матем. сб. 1972. Т. 87(129), № 4. С. 459 489.

21. Коробейник Ю. Ф. Некоторые применения теории нормально-разрешимых операторов к дифференциальным уравнениям бесконечного порядка // Матем. сб. 1967. Т. 72(114), № 1. С. 3 37.

22. Коробейник Ю. Ф. Об операторах обобщенного дифференцирования, применимых к любой аналитической функции // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1964. Т. 28, № 4. С. 833 854.

23. Коробейник Ю. Ф. О преобразованиях аналитических пространств с помощью дифференциальных операторов бесконечного порядка // УМН. 1965. Т. 20, № 5(125). С. 208 213.

24. Коробейник Ю. Ф. О некоторых характеристических свойствах дифференциальных операторов бесконечного порядка // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1966. Т. 30, № 5. С. 993 1016.

25. Епифанов О. В., Коробейник Ю. Ф. Нормальная разрешимость одного класса дифференциальных уравнений бесконечного порядка // Матем. сб. 1971. Т. 84(126), № 3. С. 378 405.

26. Коробейник Ю. Ф. О сюръективности оператора свертки в пространствах аналитических функций // Сиб. матем. жури. 1997. Т. 38, № 6. С. 1308 1318.

27. Коробейник Ю. Ф. О разрешимости уравнения свертки в некоторых классах аналитических функций // Матем. заметки. 1991. Т. 49, № 2. С. 74 83.

28. Коробейник Ю. Ф. О решениях некоторых функциональных уравнений в классах функций, аналитических в выпуклых областях // Матем. сб. 1968. Т. 75(117), № 2. С. 225 234.

29. Коробейник Ю. Ф. Уравнения свертки в комплексной области // Матем. сб. 1985. Т. 127(169), № 2(6). С. 173 197.

30. Епифанов О. В. Операторы умножения в пространствах целых функций конечного порядка и операторы типа свертки // Матем. сб. 1983. Т. 120(162), № 4. С. 505 527.

31. Епифанов О. В., Коробейник Ю. Ф. Нормальная разрешимость линейных дифференциальных операторов бесконечного порядка // Тр. МИАН СССР. 1987. Т. 180. С. 110 112.

32. Епифанов О. В. Разрешимость уравнения свертки в выпуклых областях // Матем. заметки. 1974. Т. 15, № 5. С. 787 796.

33. Епифанов О. В. Дифференциальный оператор бесконечного порядка в пространствах целых функций экспоненциального типа // Сиб. мат. жури.

1974. T. 15, № 2. С. 318 331.

34. Епифанов О. В. Дифференциальный оператор с полиномиальными коэффициентами в классах целых функций с заданной оценкой индикатора // Матем. сб. 1981. Т. 114(156), № 1. С. 85 109.

35. Епифанов О. В. К вопросу об эпиморфности оператора свертки в выпуклых областях // Матем. заметки. 1974. Т. 16, № 3. С. 415 422.

36. Мелихов С. Н., Момм 3. О линейном непрерывном правом обратном для оператора свертки на пространствах ростков аналитических функций на выпуклых компактах в C //

матика. 1997. № 5. С. 38 48.

37. Баранова У. В., Мелихов С. Н. Об операторе решения для дифференциальных уравнений бесконечного порядка на выпуклых множествах // Владикавказский математический журнал. 2014. Т. 4, № 16. С. 27 40.

38. Моржаков В. В. Об уравнениях свертки в пространствах функций, голоморфных в выпуклых областях и на выпуклых компактах в Сп // заметки. 1974. Т. 16, № 3. С. 431 440.

39. Моржаков В. В. Об эпиморфности оператора свертки в выпуклых областях

С

40. Громов В. П. О полноте системы значений голоморфной вектор-функции в пространстве Фреше // Матем. заметки. 2003. Т. 73, № 6. С. 827 840.

41. Громов В. П. Задача Коши для уравнений в свертках в пространствах аналитических векторнозначных функций // Матем. заметки. 2007. Т. 82, № 2. С. 190 200.

42. Ткаченко В. А. Спектральная теория в пространствах аналитических функционалов для операторов, порождаемых умножением на независимую переменную // Матем. сб. 1980. Т. 112(154), № 3(7). С. 421 466.

43. Дильмухаметова А. М., Напалков В. В. Операторы обобщенного дифференцирования с переменными коэффициентами // ДАН. 2009. Т. 424, № 5. С. 591 593.

44. Напалков В. В. Комплексный анализ и задача Коши для операторов свертки // Труды мат. инст. им. В.А.Стеклова. 2001. Т. 235. С. 165 168.

45. Напалков В. В., Нуятов А. А. Многоточечная задача Валле Пуссена для операторов свертки // Матем. сб. 2012. Т. 203, № 2. С. 77 86.

46. Напалков В. В. Уравнения свертки в многомерных пространствах. М.: Наука, 1982. 241 с.

47. Напалков В. В., Попенов С. В. Голоморфная задача Коши для оператора свертки в аналитически равномерных пространствах и разложения Фишера // ДАН. 2001. Т. 381, № 2. С. 164 166.

48. Юлмухаметов Р. С. Однородные уравнения свертки // ДАН. 1991. Т. 316, № 2. С. 312 315.

49. Юлмухаметов Р. С. Спектральный синтез в ядре оператора свёртки в весовых пространствах // Алгебра и анализ. 2009. Т. 21, № 2. С. 264 279.

50. Кривошеев А. С. Критерий разрешимости неоднородных уравнений свёртки в выпуклых областях пространства Сп // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1990. Т. 54, № 3. С. 480 500.

51. Кривошеев А. С. Об индикаторах целых функций и продолжении решений однородного уравнения свертки // Матем. сб. 1993. Т. 184, № 8. С. 81 108.

52. Кривошеев А. С. Представление решений однородного уравнения свертки в выпуклых областях пространства Сп // Изв. РАН. Сер. матем. 1994. Т. 58, № 1. С. 71 91.

53. Кривошеев А. С. Базис Шаудера в простран- стве решений однородного уравнения свертки // Матем. заметки. 1995. Т. 57, № 1. С. 57 71.

54. Кривошеев А. С., Напалков В. В. Комплексный анализ и операторы свертки // УМН. 1992. Т. 47, № 6(288). С. 3 58.

55. Мерзляков С. Г., Попенов С. В. Кратная интерполяция рядами экспонент в Н(С) с узлами на вещественной оси // Уфимский математический журнал. 2013. Т. 5, № 3. С. 130 143.

56. Мерзляков С. Г., Попенов С. В. Интерполяция рядами экспонент в Н(Б), с

вещественными узлами // Уфимский математический журнал. 2015. Т. 7, № 1. С. 46 58.

57. Мерзляков С. Г. Правый обратный для оператора свертки в пространстве целых функций экспоненциального типа // Уфимский математический журнал. 2010. Т. 2, № 4. С. 85 87.

58. Мерзляков С. Г., Напалков В. В. Неоднородные системы уравнений свертки в комплексной области // Владикавк. матем. жури. 2005. Т. 7, № 3. С. 50 55.

59. Мерзляков С. Г. Спектральный синтез для оператора дифференцирования на системах криволинейных полос // Матем. сб. 1995. Т. 186, № 5. С. 85 102.

60. Левин Б. . Распределение корней целых функций. М.: Гостехиздат, 1956. 632 с.

61. Ибрагимов 14. 14. Методы интерполяции функций и некоторые их применения. М.: Наука, 1971. 518 с.

62. Леонтьев А. Ф. Ряды экспонент. М.: Наука, 1976. 536 с.

63. Леонтьев А. Ф. Последовательность полиномов из экспонент. М.: Наука, 1980. 384 с.

64. Paley R. С., Wiener N. Fourier transform in the complex domain. N.Y.: AMS, 1934. 19 p.

65. Levinson N. Gap and Density Theorem. N.Y.: Amer. Math. Soc. Colloq. Publ, 1940. Vol. 26.

66. Джрбашян M. M. Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области. М.: Наука, 1966. 671 с.

67. Young R. М. An introduction to nonharmonic Fourier series. N.Y.: Academic Press, 1980. 246 p.

68. Koosis P. The logarithmic integral. V. I. Cambridge: Cambridge Univ., 1988.

69. Koosis P. The logarithmic integral. V. II. Cambridge: Cambridge Univ., 1992.

70. Havin V. P., Jöricke В. The uncertainly principle in harmonic analysis. Berlin:

Springer-Verlag, 1994. 547 p.

71. Седдецкий A. M. Аналитическое преобразование Фурье и экспоненциальные аппроксимации. I // Современная математика. Фундаментальные направления. 2003. Т. 5. С. 3 152.

72. Седдецкий А. М. Аналитическое преобразование Фурье и экспоненциальные аппроксимации. II // Современная математика. Фундаментальные направления. 2003. Т. 6. С. 3 162.

73. Седдецкий А. М. Классы аналитических преобразований Фурье и экспоненциальные аппроксимации. М.: Физматлит, 2005. 504 с.

74. Хабибуллин Б. Н. Полнота систем экспонент и множества единственности. Уфа: РИЦ Баш ГУ, 2011. 192 с.

75. Fock V. A. Configuration space and second quantization // Zs.f.Phys. 1932. Vol. 75. P. 622 647.

76. Bargmann V. Remarks on a Hilbert space of analytic functions // Proc. N.A.S. 1962. Vol. 48. P. 199 204.

77. Bargmann V. On a Hilbert space of analytic functions and an associated integral transform // Commun.Pure and Applied Math. 1961. Vol. 14. P. 187 214.

78. Newman D. J., Shapiro H. S. Certain Hilbert spaces of entire functions // Bull. Amer. Math. Soc. 1966. Vol. 72, no. 6. P. 971 977.

79. Фадеев Л. Д., Якубовский О. А. Лекции по квантовой механике для студентов-математиков. Учебное пособие. Л.: Ленинградский университет, 1980. 200 с.

80. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. М.: Мир, 1980. Т. 2. 400 с.

81. Kothe G. Dualitat in der Funktionentheorie // J. reine angew. Math. 1953. Vol. 191, no. 1 2. P. 30 49.

82. Акилов Г. П., Канторович Л. В. Функциональный анализ в нормированных пространствах. М.: Физматгиз, 1959. 684 с.

83. Леонтьев А. Ф. Обобщения рядов экспонент. М.: Наука, 1981. 320 с.

84. Эдварде Р. Функциональный анализ. Теория и приложения. М.: Мир, 1969. 1072 с.

85. Леонтьев А. Ф. Целые функции. Ряды экспонент. М.: Наука, 1983. 175 с.

86. Дьедонне Ж., Шварц Л. Двойственность в пространствах (F) и (LF) // Сборник математика. 1958. Т. 2, № 2. С. 77 107.

87. Muggli Н. Differentialgleichungen unendlich hoher Ordnung mit konstanten Koeffizienten // Comment. Math. Helv. 1938. Vol. 11, no. 1. P. 151 179.

88. Michael E. Continuous selections. I // Annals of Math. 1956. Vol. 63, no. 2. P. 361 382.

89. Епифанов О. В. О существовании непрерывного правого обратного оператора в одном классе локально выпуклых пространств // Известия СевероКавказского Научного центра высшей школы. Серия естественных наук. 1991. № 3. С. 3 4.

90. Vallee Poussin С. D. L. Sur l'equation differentielle lineaire du second ordre. Determination d'une integrale par deux valeurs assignees. Extension aux equations d'ordre // J. Math. Pures Appl. 1929. Vol. 8. P. 125 144.

91. Shapiro H. S. An algebraic theorem of E. Fischer, and the holomorphic Goursat problem // Bull. London Math.Soc. 1989. Vol. 21. P. 513 537.

92. Дильмухаметова A. M., Муллабаева А. У., Напалков В. В. Обобщение пространства Фока // Уфимский математический журнал. 2010. Т. 2, № 1. С. 52 58.

93. Муллабаева А. У., Напалков В. В. Об одном классе дифференциальных операторов и их применении // Труды I4MM УрО РАН. 2014. Т. 20, № 1. С. 201 215.

94. Муллабаева А. У., Напалков В. В. Интерполяционная задача в ядре оператора, порожденного обобщеными пространствами Баргмана-Фока // ДАН. 2014. Т. 454, № 2. С. 149 151.

95. Муллабаева А. У., Напалков В. В. Кратная интерполяционная задача Балле Пуссена // Вести. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2015.

Т. 19, № 1. С. 63-77.

96. Дильмухаметова А. М., Муллабаева А. У., Напалков В. В. Обобщение пространства Фока // Тезисы докладов Международной школы-конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых «Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании». 2009. С. 5.

97. Дильмухаметова А. М., Муллабаева А. У., Напалков В. В. Обобщенные пространства Фока // Труды Математического центра имени H.H. Лобачевского. «Теория функций, ее приложения и смежные вопросы». 2009. Т. 38. С. 107-108.

98. Дильмухаметова А. М., Муллабаева А. У., Напалков В. В. Обобщение пространства Фока // Современная математика и проблемы математического образования: труды Всероссийской заочной научно-практической конференции. 2009. С. 73-79.

99. Муллабаева А. У., Напалков В. В. Обобщенный оператор свертки и его свойства // Труды Математического центра имени Н.И.Лобачевского. «Теория функций, ее приложения и смежные вопросы». 2011. Т. 43. С. 260-261.

100. Муллабаева А. У., Напалков В. В. Об одном классе операторов, порожденных обобщенными пространствами Баргмана - Фока // Тезисы международной научной конференции «Нелинейный анализ и спектральные задачи». 2013. С. 89-91.

101. Муллабаева А. У., Напалков В. В. Решение интерполяционной задачи Ко-ши // Труды Математического центра имени Н.И. Лобачевского «Теория функций, ее приложения и смежные вопросы». 2013. Т. 46. С. 320-322.

102. Муллабаева А. У., Напалков В. В. Сюръективность композиции операторов обобщенной свертки и умножения на целую функцию // Труды Математического центра имени Н.И. Лобачевского «Теория функций, ее приложения и смежные вопросы». 2015. Т. 51. С. 313-315.

103. Маркушевич А. И. Теория аналитических функций. М.: Наука, 1968. Т. 2.

624 с.

104. Taylor В. A. On weighted polynomial approximation of entire functions // Pacific journal of mathematics. 1971. Vol. 36, no. 2. P. 523 539.

105. Колмогоров A. H., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1981. 544 с.

106. Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. М.: Наука, 1985. Т. 1. 336 с.