Структурные вопросы мультинормированных весовых пространств функций тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Каплицкий, Виталий Маркович

• Каплицкий, Виталий Маркович
• кандидат физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Каплицкий, Виталий Маркович

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение

Глава I.Локально выпуклые пространства с базисом. Общие

определения и терминология, классы Ь(\¥) и Н(\¥)

1.1.Определения пространств Ь(\¥) и ЩЦ^)

1.2.Керн-функция весового пространства Бергмана и ее свойства

1.3.Условия вложения пространств Н2(€-к,т) в терминах керн-функций; оценки ядер Бергмана для одного класса весов

1.4.Достаточное условие шварцевости пространства Н{\¥)

1.5.Условия ядерности пространств Н(\¥)

1.6.Замечание о весовых функциях, задающих эквивалентные нормы в пространствах Ь2(Шк,и)) и Н2(Ск,ги)

1.7.0ценки производных функции из класса Н(]¥) и достаточное условие непрерывности оператора дифференцирования

Глава II.Достаточные условия существования безусловного базиса в пространствах Н(У/) и условия изоморфизма пространствам Кёте

2.1.Реализация сильного сопряженного к пространству Н(}У) при помощи преобразования Фурье—Лапласа функционалов

2.2.Метод «тупикового» пространства применительно к пространствам Н{Ш). Теорема об изоморфизме одного класса пространств Н(\¥) и пространств Кёте

2.3.Применение к описанию сопряженного пространства обобщенного преобразования Фурье, связанного с функцией Миттаг—Леффлера с натуральным индексом

2.4.Замечание об интерполяции операторов в весовых

гильбертовых пространствах целых функций

Глава III.Пространства H(W), изоморфные различным

специальным классам пространств Кёте. Примеры реализации H(W) в виде пространств Кёте

3.1.Примеры реализации пространств H(W) в виде пространств степенных рядов конечного типа

3.2.Примеры реализации пространств H(W) в виде обобщенных пространств степенных рядов конечного типа

Литература

82

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Структурные вопросы мультинормированных весовых пространств функций»

Введение

Одной из основных проблем в геометрической теории пространств Фреше является задача выяснения условий, при которых пространство Фреше имеет базис и может быть реализовано в виде пространства Кёте [6, 28]. Пространства Кёте как простейшие представители класса ненормируемых локально-выпуклых пространств, выступают в качестве модельных при изучении произвольных Г-пространств (т. е. пространств Фреше) и играют при этом такую же роль, что и координатные пространства £р (1 < р < оо) в теории банаховых пространств. Помимо построения общей теории, в которой основное внимание уделяется вопросам изоморфизма пространства Фреше подпространству или фактор-пространству заданного пространства Кёте, существованию базисов в дополняемых подпространствах пространств с базисом, конструкциям универсальных пространств и ряду других вопросов, большое значение имеет исследование геометрии конкретных функциональных пространств, возникающих в задачах анализа и теории операторов. Это пространства функций, выделяемые условиями гладкости и роста около границы области определения или на бесконечности (весовые пространства бесконечно дифференцируемых функций, пространства функций, аналитических в областях, весовые пространства целых функций и т. п.).

Наиболее важные приложения такие пространства имеют в теории уравнений в частных производных, например, в вопросах существования и единственности решения задачи Коши [3, 4], в задаче о разложении по обобщенным собственным векторам бесконечных наборов коммутирующих операторов и других.

Кроме того, построение теории нетеровости для некоторых классов интегральных операторов свертки на полуоси в неэллиптическом случае опирается на рассмотрение этих операторов в подходящем счетно-

нормированном пространстве. С помощью результатов работы [13] этот подход переносится и на уравнения свертки на отрезке. Хорошо известно [2, 20, 22], что двойственные пространства к пространствам гладких функций с помощью подходящих интегральных преобразований (Фурье, Фурье—Бореля, Коши-—Фантапье) зачастую реализуются в виде пространств целых функций с топологией проективного предела, задаваемой последовательностью весовых гильбертовых или супремум-норм. Исследование геометрии этих пространств, то есть вопроса о существовании базиса и реализации в виде пространства Кёте того или иного класса является основной целью диссертации.

Пусть IV = г Е С*}^ — последовательность неотрица-

тельных измеримых относительно меры Лебега Л весовых функций, таких что

т„(г) < тп+1(г), £ е Ск,

и

Я( IV) =

ск

где через 7{(Ск) обозначено линейное пространство целых в С^ функций.

В пространстве Н(\¥) = Ппелг -^Гг , гуп) вводится топология проективного предела гильбертовых пространств , ъип):

Я2( С">„) =

/ е ЩСк) : / |/(г)|Ч(г) </А(г) = ||/||* < оо

Весовые функции и)п мы всегда будем считать такими, что пространство Н2(Ск,ъип) содержит все мономы г™1 •... • т^ — 0,1,____

Простое достаточное условие для этого будет указано ниже. Пространства типа Н(\¥) рассматривались И. М. Гельфандом и Е. Г. Шиловым в [2, 4] и были эффективно использованы для построения теории разрешимости задачи Коши для некоторых классов дифференциальных

уравнений. Однако, вопрос о существовании базиса они не рассматривали. В работах F. Haslinger [39] и F. Haslinger, М. Smejkal [40] этот вопрос был исследован для случая весовой последовательности вида:

wn(z) = ехр(—rn • v„(z)), гп | Гоо, Гоо > О,

где функция г> удовлетворяет определенным условиям выпуклости и роста на бесконечности. Кроме того, в [39] была найдена удобная реализация сильного сопряженного к H{W) пространства в виде индуктивного предела гильбертовых пространств целых функций.

Как показано в [39, 40] при указанном выборе системы весов пространство H(W) изоморфно пространству степенных рядов конечного типа (см. [1]). Доказательство этого результата в [39, 40] опирается на характеризацию пространств степенных рядов конечного типа, данную Д. Фогтом [44].

ХарактеризаЦия пространств степенных рядов дается Д. Фогтом в форме двух условий на систему преднорм (|| • |j)ne7V? задающую топологию ядерного пространства Фреше X, называемых им условиями (Щ) и (Q):

(DN): Vm G N ЗА (0 < Л < 1), £ е N:

IM <^■ INIo• IWIi"A,

(fi): существует ограниченное множество В С X такое, что Vm £ N 3ß (0 < /л < 1) 3£ е N:

.11/111 < D- (\\f\LT-

где

ll/llm —SUP{|/(X)I : Nm<l}; ll/lfe=sup{|/(®)|: хеВ}; /Gl'.

Для пространств H(W), задаваемых «степенной» системой весов wn = ехр(—rnv), тп | Гоо > 0 условия (DN) и (О) относительно не-

сложно проверяются в тех случаях, когда имеется удобная реализация сильного сопряженного пространства H*(W) в виде индуктивного предела весовых гильбертовых пространств целых функций. Тогда возможно указать простые достаточные условия на весовую функцию V-, при которых H(W) изоморфно пространству степенных рядов. Однако в случае относительно произвольной системы весов {гип}п1=н, не обязательно «степенной», для решения задачи о существовании базиса и построения изоморфизма пространству Кёте нужен более общий подход. Причем желательно иметь достаточные условия непосредственно в терминах весов а не в терминах определяющей системы полунорм. Для этой цели хорошо приспособлен метод «тупикового» пространства в сочетании с интерполяционными теоремами для весовых Lp-пространств. Ранее метод «тупикового» пространства применялся В. П. Захарютой в [9] пространствам функций, аналитических в ограниченных выпуклых областях в С". Точнее, пусть G — ограниченная область в Cn, Gk — система замкнутых ограниченных множеств, таких что G Э Gk+1 Э Gk и ur=1 Gk = G.

Рассматривалось пространство функций вида A(G) = limpr AC(Gk),

к

где норма в пространстве AC{Gk) аналитических внутри Gk функций, непрерывных в Gk-, вводилась по формуле:

■ И/И* = шах 1/Й1, / <G AC(Gk).

zeGk

В [9] получен законченный результат, состоящий в том, что в пространствах A(G) существует базис и оно изоморфно пространству степенных рядов конечного типа. До этого подобные результаты были известны для областей G частного вида. Однако, при применении метода «тупикового» пространства к пространствам H(W) возникают дополнительные трудности, связанные с весами и с отсутствием прямых интерполяционных теорем для операторов, действующих в ассоциированных гильбертовых пространствах Ü2(Ck, wn). При рассмотрении

пространств HiyV) полезно иметь в виду, что пространство H(W) вложено в пространство L(W) = limpr wn).

Известно, что при минимальных ограничениях на весовые функции гип (см. работу В. П. Кондакова в [22, стр. 54-58]), пространство L(W) имеет безусловный базис и изоморфно некоторому пространству Кёте.

В связи с пространствами аналитических функций в областях необходимо также отметить исследования абсолютно представляющих систем, которые являются обобщениями абсолютных базисов и подобно им используются в различных задачах теории пространств Фреше. В этой области основные результаты получены Ю. Ф. Коробейником, А. В. Абаниным, С. Н. Мелиховым и др. (см. сборник [22], где есть подробные ссылки).

Перейдем к изложению содержания одельных глав.

В Главе I для выяснения условий шварцевости (ядерности) пространств H(W) привлекаются свойства ассоциированных банаховых пространств H2{Ck,w), которые называются весовыми пространствами Бергмана. Основным свойством этих пространств является то, что единичный оператор в Hi(Ck , и>) является интегральным оператором с ядром Kw(z, С), называемом керн-функцией Бергмана. В § 2 доказываются основные свойства керн-функций. В § 3 получено необходимое условие вложение пространств Бергмана, удобное для получения оценок керн-функции пространства H2(Ck,w), вложенного в аналогичное пространство, керн-функция которого известна. Приводятся примеры таких оценок. Свойства последовательности керн-функций Kn(z,(), соответствующих весам wn, дают общую основу для получения условия шварцевости и ядерности пространства H(W) в § 4, 5.

Доказанные в § 2, § 3 свойства керн-функции обобщают на весовой случай известные результаты о керн-функциях пространств Бергмана в областях ограниченного вида, изложенные, например, в монографии [34].

В последнем параграфе главы I рассмотрен вопрос о весах соответствующих эквивалентным нормам в пространствах H2(Ck,w) и H(W). Доказано, что весовые функции всегда можно сделать непрерывными или даже бесконечно дифференцируемыми. Для пространств Ь2{Ш.к, w) или L(W) это не так.

Глава II содержит основные результаты — достаточные условия существования безусловного базиса в H{W) и изоморфизма H(W) некоторому пространству Кёте. Метод доказательства состоит в анализе специального отображения из некоторого пространства Кёте ^(Ф), построенного по системе весов wn, в H(W) и связанного с ним отображением из £*(Ф) в H*(W). Непрерывность этих отображений, следующая из интерполяционной теоремы для весовых ./^-пространств, позволяет установить изоморфизм пространств H(W) и £(Ф). Полученные таким путем достаточные условия изоморфизма имеет форму двух неравенств, которым должны удовлетворять веса wn и w*, задающие топологии пространств H(W) и H*(W) соответственно. При таком подходе важную роль играет реализация пространства H*(W) в виде индуктивного предела весовых гильбертовых пространств целых функций:

H*(W) S L{W*) = limpr#2(C*,<),

w*(z) = ехр(—г;*(2)), v* — преобразование Юнга—Фенхеля выпуклой функции vn.

Указанная реализация получается с помощью рассмотрения преобразования Фурье—Лапласа функционалов из H*(W) (см. [29, 39]) и справедлива при ряде существующих ограничений на весовые функции vn. В частности, чтобы определить преобразование Фурье—Лапласа функционала из H*{W) необходимо, чтобы пространство H(W) содержало все экспоненты: V( 6 С^. Для этого в работах [29, 39] введет v"(z) , ъ но условие: lim . = +оо. ото условие исключает из рассмотрения

Ы-х» Ы

важные примеры весов vn степенного роста, поэтому в § 2.3 рассматри-

вается задача описания сопряженного пространства при более слабом ограничении:

ш # = +со,

И-Ч-оо ЩР

р — некоторое фиксированное положительное число.

Для этой цели используется преобразование типа Фурье, ядром которого является функция Миттаг—Лефлера Ер(г • () с натуральным индексом р. Так как функция Ер является целой функцией порядка 1/р, то при достаточно большому, Ер(2-() принадлежит пространству Н(\¥). Таким же образом как и в работе [39], то есть с использованием результатов Л. Хёрмандера о продолжении функции, аналитической на аналитическом подпространстве, на все пространство, доказывается, что это обобщенное преобразование Фурье устанавливает следующий изоморфизм:

=ИтргН2(Ск,ш*пр), <)Р = ехР(-<Р)> <>РМ = <,р(21/р)>

у*р — преобразование Юнга—Фенхеля функции = г>п(<гр).

Это позволяет перенести результат § 2.2 о базисах на пространства Н(\¥) с более медленным убыванием весов гип на бесконечности (теорема 2.3).

В последнем параграфе главы II рассмотрен вопрос об интерполяционных свойствах банаховой пары (Н2(Ск, шо), Н2(Ск, и) 1)), Н2(Ск1) С Н2(Ск,и>о). Показано, что пара (Н2(Ск,то), Н2(Ск^1)) не является дополняемой подпарой банаховой пары (£2(С*, ^о)? £2(С*, и^)). Отметим, что если бы были известны условия интерполяционности троек (Н2(Ск, г^о), , ^1), Н2(Ск,и))) в терминах весов гио, и>, то ре-

зультаты о существовании базисов в Н{\¥) получались бы значительно проще. Существует общая интерполяционная теорема Донохью (см. [36]) для операторов, действующих в паре гильбертовых пространств, однако она формулируется в абстрактных терминах и при применении

к пространствам Бергмана не дает способа явного описания промежуточной интерполяционной нормы.

Поясним, как применяются интерполяционные теоремы к доказательству существования базиса в пространстве H(W). По заданной системе весов {wn}neN строится «тупиковое» пространство Н2(Ск, w^) и пространство H2(Ck,WQ) так, чтобы

H2(Ck,wQ)DH2(Ck,wn)DH2(Ck,w00)

и

г \ { \ lWoo(z)

wn(z) = Wq(z) • <рп

где (рп : —> — квазивогнутые функции. Далее выбирается общий ортогональный базис {еп}п€м в пространствах ^(С^эдо) и H2(Ck,w00), ортонормированный в H2(Ck,wo). Тогда соответствие

оо

т : (Xk)keN |—^ £ хк • £к является изоморфизмом пространств £2 и H2(Ck,w0), h{ak) и H2(Ck,w00)J где ак = |H|F2(<c*,Woo)

00

(4Ы = = (хк)Г= 1: £ Ы2 • 4 = М2 < 00}).

к=1

Пусть ¿(Ф) = limpr ¿2((fn(ak))- Из интерполяционной теоремы Петре для весовых Х^-пространств следует, что оператор т непрерывно отображает £(Ф) в H(W). Для доказательства изоморфизма нужны условия интерполяционности тройки (H2{Ck,w0),H2(Ck,Woo), H2(Ck,w0-фп^оо/щ))) относительно тройки (¿2,h(0'k)-,^2(lPp((lk)))- Условия ин-терполяционности удобно получать переходя к тройкам сопряженных пространств.

Для весов wn = ехр(—vn), vn : С^ —► R+ — выпуклые функции, такие условия формируются в форме ограничений на «зазор» v*(z) — v*(z), где v* — преобразования Юнга—Фенхеля выпуклых функций vn. Возможно, такой подход представляет интерес для изучения интерполяции операторов в пространствах Бергмана в более общей постановке.

Третья глава посвящена приложению результатов второй главы к конкретным пространствам Н(\¥). Теоремы 2.1 и 2.3 главы II, дающие достаточные условия изоморфизма Н(\¥) пространству Кёте в виде двух неравенств, которым удовлетворяют весовые последовательности, задающие топологии в Я(И/) и Я*(И/), допускают упрощения при рассмотрении весов вида:

V, г>оо : С* —> — выпуклые функции, / : —»■ Е+ — возрастающая выпуклая функция.

Для таких весов одно из условий теоремы 2.1 выполняется автоматически, так как

Применение элементарных неравенств для выпуклых функций показывает, что (рп — квазивогнуты. Оставшееся условие преобразуется к некоторой оценке «зазоров» между сопряженными функциями У*(г) — при выполнении которой имеет место изоморфизм

00

пространству Lf = С\ ^(ехр/(Агага)), Аг | 0. Пространства Ь$ были

г=О

введены М. М. Драгилевым в работе [7] как обобщения пространств степенных рядов, отвечающих случаю = t. Как показали последующие исследования, многие результаты, установленные для пространств степенных рядов, переносятся и на пространства Ь/. Значительный интерес к этим пространствам объясняется также и тем, что имеется много конкретных функциональных пространств, которые изоморфны пространствам Ь], как в случае f(t) = так и в общем случае.

тп^) = ги00(г) • ехр(-/(гп • ф))), гп | О, ^оо(^) =ехр( —г'оо^)),

где

Отметим, что в [7] на функцию / накладывалось требование логарифмической выпуклости при больших значениях аргумента. В задачах, рассматриваемых в диссертации, это требование является излишним, достаточно чтобы / была выпуклой функцией.

В § 3.1 рассмотрен случай = t, когда систему весов можно задавать в виде: и;п = ехр(—гпу), гп | Гоо, г^ > 0; сделаны дополнения к результатам [39], относящиеся к случаю, когда функция V имеет степенной рост произвольного порядка по каждой переменной. Подробно рассмотрен пример:

ь(г) = А1 ■ Ы"1 + Вх ■ \У1\* + • ■ • + Ак ■ \хк\ак + Вк ■ \Ук\*, хз = Т{е У] = 1т г], А^ В^ > 0, >0, > 0, .7 = 1,..., к.

Метод работы [39] применим в этом случае при дополнительном ограничении щ > 1, > 1. Доказано, что соответствующее пространство Н(\¥) изоморфно пространству степенных рядов конечного типа.

В параграфе 3.2 рассмотрены примеры реализации в виде

обобщенных пространств степенных рядов конечного типа. Весовые функции имеют вид: тп = ехр(-(г;со + гу)), где уп(г) = f(rnv(z)),

^оо(^) = ДФ)), гп [ 0.

Рассмотрены примеры, когда / есть экспонента или п-я итерация экспоненты, а функция V имеет вид:

ь(г) = А1 ■ 1^1 + Вх . \ух\ + • • • + Ак • |ж*| + Вк • \ук\, X] = Ле г^ у] = 1т Zj, АВ^ > 0, ] = 1,..., к.

Во всех случаях соответствующее пространство Н(]¥) изоморфно пространству

£/(а,0) = П М«ф(-/(ра»))),

р> о

где а = (ап) — некоторая числовая последовательность, такая что ап —► +оо, п —► оо.

Найдены также случаи реализации пространств H(W) в виде L/(a, 1) П ¿2(ехр /(рап)), ап —» +оо. Этот вариант реализуется для весов вида:

р< 1

wn(z) = w0(z) • exp f(rn ■ v(z))]

wo(z) — ехр( —/(r0 • ^W)), rn t Гоо, r0 > Гоо > 0,

где v : —— выпуклая функция, такая что lim = +оо,

И-Ч-ОО |г|

/ : R+ —► Ш.+ — функция быстрого роста, такая что f^s\t) > 0 для s = 1,2,3. Общая теорема иллюстрируется примерами, когда v есть линейная функция от \xj\, \yj\, а / есть п-я итерация экспоненты. Достаточные условия изоморфизма пространства Фреше Е некоторому пространству класса Lf изучались в работе [35]. Однако, найденные в [35] условия на систему полунорм, определяющую топологию Е (типа условий (DN) и (О)), в случае f(t)^t труднопроверяемы.

Остановимся на некоторых особенностях в используемых в диссертации обозначениях. В литературе существуют различия в обозначении сопряженных пространств. Например, в [28, 31] через X* обозначается алгебраическое сопряженное к X пространство, а в [11] так обозначается топологическое сопряженное. В [28, 31] топологическое сопряженное обозначается через X'. В диссертации мы будем придерживаться следующих обозначений: если X — банахово пространство, то через X* будем обозначать банахово сопряженное с обычной топологией нормы, если X — пространство Фреше, то X* — топологическое сопряженное, наделенное сильной топологией. Весовые гильбер-товые пространства последовательностей обозначаются так:

со

h(a>n) = {х = (sOÜLi •' Е W2 • а2п = ||ж||2 < оо}.

71 — 1

Все остальные обозначения стандартны.

Диссертационная работа и отдельные ее результаты докладывались и обсуждались на научных семинарах кафедры теории функций и функционального анализа Ростовского госуниверситета (руководитель проф. М. М. Драгилев), кафедры математического анализа

Ростовского госуниверситета (рук. проф. Ю. Ф. Коробейник), на Международной геометрической школе-семинаре памяти Н. В. Ефимова (Абрау-Дюрсо, 1996 г.). Сообщения по материалам работы было включено в сборник докладов 4-го симпозиума по математическому анализу и его приложениям (Arandelovac, May, 1997, Yugoslavia). Основные результаты диссертации отражены в работах [12, 13, 16, 17, 41]. Результаты совместных работ [16, 17, 41] принадлежат авторам в равной мере. В этих работах В. П. Кондакову принадлежит постановка задачи и идея использования метода «тупикового» пространства. Диссертанту принадлежит реализация этой идеи.

Автор выражает признательность своему научному руководителю проф. В. П. Кондакову за постановку задачи, постоянную поддержку и внимание к работе.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Каплицкий, Виталий Маркович, 1998 год

Литература

[1] Вентцель Т. О. О функциях интерполяции // Вест. МГУ, сер. Ма-тем. 1969, 5, с. 57-65.

[2] Гельфанд И. М., Шилов Г. Е. Обобщенные функции, вып. 2; Пространства основных и обобщенных функций. Физматгиз, 1958.

[3] Гельфанд И. М., Шилов Г. Е. Обобщенные функции, вып. 3; Некоторые вопросы теории дифференциальных уравнений. Физматгиз, 1958.

[4] Гельфанд И. М., Виленкин Н. Я. Обобщенные функции, вып. 4; Некоторые применения гармонического анализа. Оснащенные гильбертовы пространства. Физматгиз, 1961.

[5] Джрбашян М. М. Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области. М., 1966. 672 с.

[6] Драгилев М. М. Базисы в пространствах Кёте. Ростов н/Д: Изд-во Ростовского ун-та, 1983. 144 с.

[7] Драгилев М. М. О правильных базисах в ядерных пространствах // Матем. Сборник. 1965. Т. 68, №2. С. 153-173.

[8] Драгилев М. М., Кондаков В. П. Об одном классе ядерных пространств // Матем. Заметки, 1970. Т. 8, вып. 2. С. 169-179.

[9] Захарюта В. П. О базисах и изоморфизмах пространств функций, аналитических в выпуклых областях нескольких перменных. Теория функций, функциональный анализ и их приложения. Харьков, 1967. 5. С. 5-12.

[10] Зобин Н. М., Митягин Б. С. Примеры ядерных метрических пространств без базиса // Функциональный анализ и его приложения. 1974. Т. 8, вып. 4. С. 35-47.

[11] Канторович Л. В., Акилов А. П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977. 741 с.

[12] Каплицкий В. М. Преобразование, связанное с функцией Миттаг-Леффлера и его применение к реализации проективных пределов весовых пространств Бергмана в виде пространств последовательностей // Рук. деп. в ВИНИТИ 26.05.98, № 1617-В98. 9 с.

[13] Каплицкий В. М. Задача факторизации в нормированных матричных кольцах и системы интегральных уравнений в свертках на отрезке // Рук. Деп. В ВИНИТИ 11.08.95, №2435-В95. 16 с.

[14] Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1972. 496 с.

[15] Кондаков В. П., Каплицкий В. М. Условия существования базисов в весовых пространствах целых функций // Рук. Деп. В ВИНИТИ 7.05.97, №1524-В97. 11 с.

[16] Кондаков В. П., Каплицкий В. М. О существовании базисов в некоторых весовых пространствах функций // Международная геометрическая школа-семинар памяти Н. В. Ефимова. Абрау-Дюрсо, 27.09-04.10.96. С. 114.

[17] Кондаков В. П. Базисы в дополняемых подпространствах функциональных пространств // Функциональный анализ и его приложения. 1990. Т. 24. С. 80-81.

[18] Кондаков В. П. Об ортогонализации базисов в некоторых классах ядерных пространств // Сибирский матем. Журнал. 1990. Т. 31. С. 77-89.

[19] Кондаков В. П. Вопросы геометрии ненормируемых пространств. Изд-во Ростовского ун-та, 1983. 72 с.

[20] Коробейник Ю. Ф., Мелихов С. Н. Реализация сопряженного пространства с помощью обобщенного преобразования Фурье-Бореля; Приложения // Комплексный анализ и мат. физика. Красноярск, 1988. С. 62-73.

[21] Крейн С. Г., Петунии Ю. И., Семенов Е. М. Интерполяция линейных операторов. М.: Наука, 1978. 400 с.

[22] Линейные операторы в комплексном анализе. Ростов-на-Дону: Изд-во Ростовского ун-та, 1994. 128 с.

[23] Митягин Б. С. Аппроксимативная размерность и базисы в ядерных пространствах // Успехи мат. наук, 1961. № 16. С. 63-132.

[24] Митягин Б. С., Хенкин Г. М. Линейные проблемы комплексного анализа // Успехи мат. наук. 1971. №26. С. 99-164.

[25] Напалков В. В., Попенов С. В. О преобразовании Лапласа функционалов в весовом пространстве Бергмана целых функций в Ск // ДАН СССР. 1997. Т. 352, №5. С. 595-597.

[26] Одиноков О. В. Интегральное представление целых функций и дифференциальные операторы бесконечного порядка // Изв. АН СССР. Сер. Математ. 1995. Т. 59, №4. С. 179-186.

[27] Петунии Ю. И. Проблема интерполяции между фактор-пространствами // Украинский мат. журнал. 1971. К2 23. С. 157167.

[28] Пич А. Ядерные локально выпуклые пространства. М.: Мир, 1967. 256 с.

[29] Попенов С. В. О весовом пространстве функций, аналитических в неограниченной выпуклой области в Ск // Мат. заметки. 1986. Т. 40, №3. С. 374-385.

[30] Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. 1. Функциональный анализ. М.: Мир, 1977. 357 с.

[31] Робертсон А., Робертсон В. Топологические векторные пространства. М.: Мир, 1967. 257 с.

[32] Трибель X. Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные операторы. М.: Мир, 1980. 664 с.

[33] Хёрмандер Л. Введение в теорию многих комплексных переменных. М.: Мир, 1968. 279 с.

[34] Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. М.: Наука, 1969. 576 с.

[35] Ahonen Н. On nuclear Köthe spaces defined by Dragilev functions. Ann. Acad. Sei. Fennicae, Series A, Dissertationes, Helsinki, 1981, 57 p.

[36] Donoghue W. F. The interpolation of quadratic forms, Acta Math. 118 (1967), p. 251-270.

[37] Bergh J., Löfström J. Interpolation Spaces, an Introduction. Springer, New York, 1976.

[38] Gilbert J. E. Interpolation between weighted Lp spaces. Ark. Mat., 10, 2 (1972), p. 235-246.

[39] Haslinger F. Weighted spaces of entire functions // Indiana Univ. Math. J. 1986. V. 35, no. 1, p. 193-208.

[40] Haslinger F., Smejkal M. Representation and duality in weighted Frechet spaces of entire functions // Lect. Notes Math., 1987. V. 1275, p. 168-196.

[41] Kondakov V. P., Kaplitsky V. M. Sufficient Conditions for Existence of Bases in Some Frechet Spaces of Entire Functions, 4th Symposium on

Math. Analysis and Its Applications, Yugoslavia, Arandelovac, May, 26-30, 1997. P. 48, 49.

[42] Mitiagin B. S. The equivalence of bases in Hilbert scales, Studia Math., 37, p. 111-137, 1970.

[43] Taylor B. A. On weighted polynomial approximation of entire functions, Pacific J. Math., 36, 1971, p. 523-539.

[44] Vogt D. Eine Charakterisierung der Potenzreihenraume von endlichem. Typ und ihre Folgerungen, Manuscrita Math. 37, 1982, s. 269-301.

[45] Vogt D. Power series space representation of nuclear Frechet spaces // Transl. Amer. Math. Soc., 1990, V. 319, no. 1, p. 191-208.