Квазианалитичность классов Карлемана тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Трунов, Кирилл Владимирович

• Трунов, Кирилл Владимирович
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Трунов, Кирилл Владимирович

Введение.стр.

Глава 1. Преобразование Коши функционалов и классы Карлемана.стр.

§1.1. Изоморфизм пространств А(й,М) и А*((},М).стр.

§1.2. Квазианалитичность и экстремальная задача для субгармонических функций.стр.

Глава 2. Квазианалитичность и некоторая задача Дирихле.стр.

§2.1. Функции и их свойства.стр.

§2.2. Эквивалентность проблемы квазианалитичности и разрешимости некоторой задачи Дирихле.стр.

Глава 3. Локализация проблемы квазианалитичности.стр.

§3.1. Теорема о локализации.стр.

§3.2. Критерии квазианалитичности при некоторых условиях на область.стр. 77 Литература.стр.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Квазианалитичность классов Карлемана»

Пусть Мп — положительная последовательность. Множество бесконечно дифференцируемых на отрезке I функций называют классом С{Мп} на отрезке I, если каждая функция этого множества ограничена на I и если ей соответсвует такая положительная константа к = к(/), что при х € I выполняются неравенства п){х) < кпМп (п = 1,2,.).

Интервал I может быть конечным или бесконечным, замкнутым, открытым или полуоткрытым.

Заметим, что класс С{5пп\} при 5 > 0 состоит из функций аналитических в 5 — окрестности отрезка, таким образом по теореме единственности, если функция /(г) 6Е С{<5пп!} обращается в нуль вместе со всеми своими производными , то она тождественно равняется нулю.

В 1912г. Адамар [24] поставил следующую проблему:

Указать такие условия, которым должны быть подчинены Мп, чтобы вслтьсья бесконечно дифференцируемая функция класса С{Мп} на интервале I, обращающаяся в нуль вместе со всеми своими производными в некоторой точке хо из I, была тожественно равна нулю.

Такой класс называют квазианалитическим в точке хо 6 /.

Квазианалитический класс может быть охарактеризован следующим образом: две функции, принадлежащие такому классу и совпадающие 3 вместе со всеми своими производными в некоторой точке хо € /, тождественны.

Данжуа [23] дал достаточные условия для того, чтобы класс был квазианалитическим. А именно, он указал, что класс С{Мп} будет таковым, если где р — произвольное целое фиксированное число, а 1пр п — р-ая итерация логарифма. Им также была высказана гипотеза, что условие достаточно для квазианалитичности класса.

Карлеман [22] полностью решил проблему, дав необходимые и достаточные условия квазианалитичности. Островский [28] указал другие интересные условия. Наконец, условие, которое дал Мандельброит, указанное им в [26]; оно же независимо было переоткрыто Бангом [19]. Все эти условия, будучи необходимыми и достаточными для квазианалитичности в некоторой точке из интервала /, эквивалентны между собой. Эти условия не зависят от вида интервала и точки в этом интервале. Теорема о квазиналитичности называется теоремой Данжуа-Карлемана.

С каждой последовательностью положительных чисел {Мп}^=1 подчиненных условию lim Ain — оо свяжем так называемую функцию

Мп = (п\пп.Лпрп) п п-ч-оо следа T(r) = sup^-. Последовательность = sup ^у называется п>1 п Г>1 выпуклой регуляризацией последовательности {Мп}.

Теорема(Данжуа-Карлемана).Агаг?л:^ое из следующих условий является необходимым и достаточным для того, чтобы класс С{МП} на произвольном интервале I, был квазианалитическим. 1 а) Если положить ¡Зп = inffc>n Mfcfc, то оо ^ оо.

W -4 Г п=1Рп б) в) Либо

00 1пГ(г) ,

-=—аг = оо. гг lim Мпп < оо, п-+0 либо

Мп lim Mri = оо и > —г2- = оо, i Mn+1

Je — выпуклая регуляризация посредством логарифмов последовательности {Мп].

Условие (а) — это условие Карлемана, (б) — условие Островского, условие (в) было дано в работах [26] и [19]. Все эти условия эквивалентны [25].

В последующем эта классическая проблема квазианалитичности обобщалась в различных направлениях и устанавливалась связь квазианалитичности с другими задачами, например с задачей аппроксимацией полиномами: Бреннан [21], Хачатрян [15], с задачей аппроксимацией рациональными функциями: Гончар [3].

Мандельбройт С. в работах [11], [27] обобщил проблему квазианалитичности в следующем смысле: Пусть {г/п} возрастающая последовательность натуральных чисел. Класс С{Мп} является квазианалитическим {г/п} на полупрямой I = оо), если единственнной функцией /(х), принадлежащей С{Мп} на 7 и удовлетворяющей условиям: /(с) = = О (с е /, п = 1,2,.) является функция, тождественно равная нулю (класс квазианалитический в классическом смысле на [с/, оо) является класс квазианалитический {п}). То есть, нет необходимости допускать, что все производные функции обращаются в нуль в некоторой точке, чтобы заключить, что эта функция тождественно равна нулю. Можно лишь предположить, что она сама и достаточно большое число ее производных обращаются в нуль в некоторой точке.

В работах [4], [5], [8] Джрбашян М.М., Китбалян А.А для заданого параметра 7 рассмотрели подклассы С7{МП} С С{[0;+оо); Мп} и простейшие функционалы о° такие, чтобы лишь при ]пгТ±У ¿г = оо для любой функции <р(х) £ С7{МП} из равенства Ц^ф — 0 (п=О, 1, 2,.) следовало тождество (р(х) = 0, х 6 [0,+оо) (при 7 = 1 мы получаем классическую проблему квазианалитичности).

Одно из обобщений принадлежит Б.Р.Салинасу [29] и Б.И. Корен-блюму [10].

Пусть Д7 = {г : < 7г/27, 0 < |г| < оо} — угол раствора с вершиной в точке г = 0, М = {Мп} ~ последовательность положительных чисел, через Н(А1,М) обозначим класс функций аналитических в Д7, удовлетворящих условию вир геД-г

С/д]Мп, п = 0,1,2,.

Заметим, что функции из этого класса со всеми производными непрерывно продолжаются до границы Д7, в частности до точки г = 0. Этот класс называется квазианалитическим в точке г = 0, если из /(7г)(0) = 0,71 = 1,2,., следует /(г) = 0.

Теорема. Для квазианалитичности Н(А7,Л4) в нуле необходимо и достаточно выполнение условия

1п Т(г) оо

III I | /"| с1г = оо. 1+1 ./1 у т + 1

Пусть И — круг с центром в точке го радиуса Я. Классы Н(ИГ Л4) определяются аналогичным способом. Для граничной точки круга условие квазианалитичности дается теоремой Коренблюма [9]:

Теорема(Коренблюм). Класс Н(П,М) квазианалитичен в граничной точке тогда и только тогда, когда I

00 1п Г(г) ,

-з— аг = оо.

Г 2

Задача о квазианалитичности в граничной точке го выпуклой ограниченной области И рассмотрена в работе [17] (см. также [18]).

Проведем опорные прямые к выпуклой области В в точках, отстоящих от го на длину дуги в и пусть 7(й)7г — величина угла между этими прямыми, в котором лежит область И. Положим где хо — любое положительное число, меньшее длины границы И. Тогда условием квазианалитичности является где Я-1 (г) — функция, обратная к функции В.(х).

Также стоит отметить работы [7],[16],[20] в которых рассматривается проблема квазианалитичности для других классов функций.

В диссертации рассматривается проблема квазианалитичности классов функций определенных в областях более общего вида. В случае произвольной области вывод непрерывно продолжаемой функции до границы области является нетривиальным вопросом, по-этому мы работаем с классами Карлемана определенными в смысле Дынькина [6].

Пусть Е — совершенное компактное множество на плоскости С. Ком-плекснозначная функция / называется бесконечно дифференцируемой на множестве Е, если существуют непрерывные на Е функции /о, /ь ., такие, что /о(г) = /(г), г € Е, и при любых п = 0,1,2,., к = 0,1,., п ад = ехр'-0 Нт^1"3, х е (0;яг0), функции

RnACz) := Л(С) - £ равномерно по z £ Е удовлетворяют оценке

Rn,k{(,z)\ = о(|С — z\n~k).

Заметим, что для бесконечно дифференцируемой функции / функции fk однозначно определяются самой функцией по реккурентным соотношениям f0(z) = /(г), fk+1(z) = lim к = 0,1,.

С—Q - z

В частности, во внутренних точках Е функция / оказывается голоморфной, причем fk(z) = f^(z), и все производные функции / непрерывно продолжаются до границы множества Е. Имея в виду это обстоятельство, в дальнейшем для бесконечно дифференцируемых функций на Е вместо fk будем писать f(kK

Для возрастающей последовательности положительных чисел A4 = (Mn)^Lо и натурального числа q через Лд(Е, М) обозначим класс бесконечно дифференцируемых функций / на Е, для которых выполняется условие я».*(С,*)1 < С/^м^!1^'+1)!, (,ze Е, где постоянная С не зависит от n, fc и (, г € Е. Классом Карлемана А(Е,А4) называется объединение всех классов Ад(Е,Л4), q £ N. Класс

Карлемана называется квазианалитическим в точке го границы области Е.

План содержания диссертации таков: Классы Карлемана рассматриваем как индуктивный предел пространств Ад(Е,Л4) и доказываем, что это пространство представляет собой преобразование Коши на некотором весовом пространстве функций в дополнение области Е до расширенной плоскости. Тем самым мы получаем, что проблема квазианалитичности в точке го эквивалентна полноте системы {(£ — 2о)-п} п = 1,2,. в упомянутом весовом пространстве. Затем мы изучаем проблему полноты с помощью теоремы N. БШопу [30] и доказываем, что полнота системы эквивалентна некоторой экстремальной задаче субгармонических функций. Эту экстремальную задачу сводим к разрешимости некоторой задачи типа Дирихле. Анализируя эту задачу типа Дирихле доказываем теорему о локализации проблемы квазианалитичности. И уже из локализационной теоремы выводим интегральные критерии для некоторых не выпуклых областей.

Перейдем к подробному обзору результатов работы. Нумерация приведенных во введении теорем, лемм и формул та же, что и в соовеству-ющих разделах.

В главе 1 показано, что пространство А(0,М.) представляет собой преобразование Коши на некотором весовом пространстве функций в дополнение области И до расширенной плоскости. Тем самым мы получаем,что проблема квазианалитичности в точке го эквивалентна полно те системы {(С-го)п} п = 1,2,. в этом весовом пространстве. Введем необходимые обозначения: Последовательность

М» п 1 тп = —г, п — 0,1,., п! называется присоединенной последовательностью. Всюду в дальнейшем считаем, что последовательность (тп) регулярна [6]. Определим функцию на положительной полуоси

М{х) = sup——г, х > 0. к>оmjfcX«

10

Через G обозначим дополнение D до расширенной плоскости, то есть G = С \ D, и пусть d(0= inf 1СС 6G, z£D функция расстояния до границы G.

Для g € N введем банахово пространства

X, = {7 6 Я(С), 7(оо) = О, IMU. = sup JgL < ос}.

В силу монотонного убывания функции М(х) пространство Xq+i непрерывно вложено в пространство Xq. Через A(G,M) обозначим проективный предел пространств Xq:

G,M) = lim pi Xq. я

В силу ограниченности снизу функции М{х) для любого г 6 О функция (С — г)~г принадлежит М). Следовательно, для любого линейного непрерывного функционала 5 на А(0,М) можно определить его преобразование Коши: 5с (с^Ъ) ' ге15'

Лемма 1.1. Для любых го, гЕОик>1,д>0 имеют место неравенства

II " «*. ^ ЯМтк+1к\г - ^ и

11 - с^)- -^-го1'

Из второго утверждения леммы следует, что функция голоморфна в И, причем 5с •

Точно так же можно получить общую формулу для произвольного к > 1:

Из первого неравенства в лемме следует, что для любого zq € dD существует предел

5<*> (*„):= Hm SW(z) = S,(-f-, то есть функция S^ (z) непрерывно продолжается на D. Пространство линейных непрерывных функционалов на A(G, М) с сильной топологией обозначим через A*(G, М.).

Теорема 1.1. Пусть последовательность (тп) регулярна, а область D жорданова. Тогда отображение С : S i—У S устанавливает mono-логический изоморфизм между пространствами A*(G, М.) и A(D, ЛЛ).

То, что отображение С непрерывно действует из A*{G, М) в A(D, М) следует из леммы 1.2

Лемма 1.2. Для любого линейного непрерывного функционала S на пространстве A(G,M) ее преобразование Kouiu S(z) лежит в пространстве A(D,M), причем для любого S £ X*, q Е N имеет место с неравенство где Q — число, которое существует по условию регулярности последовательности (тп).

Следующий шаг — показать инъективность отображения С. По теореме Банаха инъективность будет следовать из полноты системы {(С — г)-1, z £ D} в пространстве A(G,Ai). Поскольку по лемме 1.1 для любой точки z € 3D функция приближается в пространстве A(G,M) системой {(£ — z)~l, z £ D}, то нам достаточно доказать полноту системы {(£ — г)-1, z € D}.

Для этого нам достаточно доказать плотность пространства //(С?), состоящего из голоморфных в £ функций, в М).

Лемма 1.3. Пространство Н(С) плотно в А(С,Л4).

Для доказательства леммы 1.3 используем теорему 1М.81Ьопу [30]:

Теорема А. Пусть Ф — положительная функция на области голоморфности П. Предположим, что

Ф(г) - 21п5п(г) = (вир(г), г € П, Ш где — плюрису б гармоническая функция на области голоморфности Пг Э Предполагается также, что семейство сужений на П функций (рг, г € 7, фильтруется вправо (то есть, для любых г, € I найдется к е I такое, что ^¡{г) < (рк(%) для всех г €Е О.). Тогда для любой функции / €Е #2(П,ехр(—Ф)) существует последовательность функций из иЯ2(а,ехр(-<^), ш сходящаяся к / в норме пространства 772(Г2, ехр(—

Здесь О, — область в пространстве Сп, с1(г) — обычное расстояние до границы О, <5о(г) = (1 + |г|2)-1/2 и = тт(б?, ¿о). Через Я2(Г2,ги) обозначается пространство функций, голоморфных в и таких, что

J< оо, где — элемент площади. Символом и* (г) обозначена верхняя регуляризация функции и: u*(z) = lim u(w). w—\z

Отметим, что любая область на плоскости является областью голоморфности. Теорема А оперирует интегральными нормами, а в наших пространствах — равномерные нормы. Поэтому докажем еще одну лемму для перехода от интегральных норм к равномерным.

Лемма 1.5. Если / £ ii2(f2,exp(—Ф)<^<5д), то выполняется неравенство

1/(01 <^ММ(С))(1 + |С12)11/И, С eft, у/ТТ где II/H обозначает норму в пространстве Н2(й,ехр(—Ф)6^6^).

Для доказательства сюръективность отображения С используем теорему о псевдоаналитическом продолжении из работы Е.М.Дынькина [6]:

Теорема В. Пусть D — некоторая область в С u тп = ^¡f- — регулярная последовательность. Тогда любая функция / из класса A(D, Ai) может быть продолжена до непрерывно дифференцируемой функции

F с компактным носителем в С такой, что С д{ ~ M(Bd(oy где С, В — некоторые константы.

Из теоремы 1.1 и леммы 1.1 по теоремы Банаха получаем следующий критерий квазианалитичности.

Теорема 1.2. Пусть последовательность (тп) регулярна и точка z = О лежит на границе ограниченной жордановой области D. Класс A(D,M) квазианалитичен в точке z = О тогда и только тогда, когда в пространстве A(G,M) полна система C~n, п = 1,2,.

Далее вводим в рассмотрение класс Kq функций v, удовлетворяющих условиям:

1) функция v непрерывна и субгармонична в С \ {0};

2) 17(0 = 0(1п при С 0; змс)<1пМЫ(0), С eG.

Очевидно, что вместо последовательности Мп можно рассматривать последовательность Мп/еМо и считать, что то = 1/е. Тем самым,

М(х) > 1/mo = е и \пМ(х) > 1. Поэтому в определении класса Kq можно добавить еще один пункт:

4) v(z) > 0.

Теорема 1.3. Пусть последовательность (mn) регулярна и точка z = 0 лежит на границе ограниченной жордановой области D. Класс A(D, Ai) квазианалитичен в точке z = 0 тогда и только тогда, когда для каждого q € N выполняется условие supMC), veKq}=lnM(qd(0), С

В главе 2 доказывается, что проблема квазианалитичности эквивалентна разрешимости некоторой задачи типа Дирихле.

Введем в рассмотрение функции ч ия{ 0 = 5ирМ0, с ее.

В леммах 2.1, 2.2, и 2.3 мы формулируем и доказываем некоторые свойства функций ид(0 :

Лемма 2.1. При любом д € N либо ид(£) ~ оо в И, либо ид(<^) является гармонической функцией в И.

Лемма 2.2. Если для # € N функция £7д(С) = °о в И , то в выполняется тождество

17,(0 = 1пММ(0).

Лемма 2.3. Если для данного функция ид(г) конечна в некоторой точке 21 6 £) , то в любой окрестности любой точки г € дИ есть точки С, ей, в которых ид(() < 1п

Леммы 2.1, 2.2 и 2.3 позволяют сформулировать новые критерии квазианалитичности.

Теорема 2.1. Пусть последовательность (тп) регулярна и точка г = О лежит на границе ограниченной жордановой области И. Класс Л4) квазианалитичен в точке г = 0 тогда только тогда, когда для любого яеП

Бир{г'(г), V е Кд} = оо, ( € И.

Теорема 2.2. Пусть последовательность (тп) регулярна и точка г = О лежит на границе ограниченной жордановой области И. Класс А(0,Л4) не квазианалитичен в точке г — О тогда и только тогда, когда для каждого 5 6 М, начиная с некоторого найдется область Ид, содержащая И \ {0}, и гармоническая функция /¿(С) в Ид, равная на ее границе 1пМ(дс1(()), и удовлетворяющая условию

Кт J!^L = +00 (2.3)

В главе 3 показывается свойство локальности проблемы квазианалитичности, то есть, если две области £>1,1)2 совпадают вокрестности общей граничной точки го, то классы А(0\,М.), Л(£>2>Л4) в точке го квазианалитичны или не квазианалитичны одновременно.

На основе этого свойства, используя уже известные критерии, удается получить новые критерии квазианалитичности при определенных ограничениях на область.

Теорема 3.1.

Пусть последовательность (тп) регулярна и точка г = 0 является общей граничной точкой двух ограниченных жордановых областей £)',£)". Если при некотором г > 0 в круге £?(0,2г) эти две области совпадают, то есть то классы А(И ,Л4), А(И ,Л4) в точке г = О квазианалитичны или не квазианалитичны одновременно.

Теорема 3.2.

Пусть Б, £>1 — односвязные области, О, — область, содержащая замыкание Б и (р — аналитическая функция в П такая, что <р(В) С Если граничная точка то 6 дО\ является образом граничной точки го € дБ, то есть изо — р(го), то для любой последовательности М = (Мп) имеет место включение / € А(риМ)} С А(П,М}. из Теоремы 3.2 непосредственно вытекают следующие утверждения: Следствие 1.

Пусть .О, — односвязные области, Г2,1 — области, содержащие соответственно замыкания И, Их и <р — конформное отображение О на такое, что <¿>(.0) = <^>(£>1). Если граничная точка шо С дО\ является образом граничной точки хо € дИ, то есть гид = (р(го), то для любой последовательности Л4 = (Мп) класс А(Б\,М) квазианалити-чен в точке гио тогда и только тогда, когда класс А{0,М) квазиана-литичен в точке го

Следствие 2.

Пусть В' = В'(а, Я) — внешность круга В (а, Л) в расширенной плоскости, то есть В'(а, К) = С\В(а, И). Тогда для любой точки zo £ дВ' критерием квазианалитичности класса А{В ,Л4) в точке zq является условие лоо

J1

ЫТ(г) ^ ^ т 2 где

T(r) = sup n>0 функция следа последовательности A4.

Далее рассматриваются области, граница которых локально совпадает с графиком некоторой функции у = и(х), |сс| < 5. Через обозначим надграфик функции и(х) над интервалом (—<5; + — 5), то есть

Q(u) = {z = х + iy : у > и(х), < <5}.

Теорема 3.3. Пусть жорданова область D локально совпадает с над-графиком некоторой функции у = |ж| < Ô, причем it(0) = 0.

Это значит, что для некоторого г > 0 множества D f]B(0,r) и Q(u,ô)f)B(0,r) совпадают. Если для некоторого а > 0 и(х)| < ах2, то класс A(D,M) квазианалитичен в точке z = 0 тогда и только тогда, когда выполнено условие пТ(г) L сю in I ITI з dr = оо. г 2

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Трунов, Кирилл Владимирович, 2005 год

1. Бицадзе А. В. Основы теории аналитических функций комплексного переменного// М, Наука, Главная редакция физ.-мат. литературы, 1972, 283с.

2. Брело М. Основы классической теории потенциала.// Москва: Издательство "Мир". 1964.

3. Гончар А.А Квазианалитические классы функций, связанные с наилучшими приближениями рациональными функциями. // Изв. АН Арм ССР, " Математика", 1971, т.2-3, № 3, с.148-159.

4. Дэюрбашян М.М, Марткросян В.М. К теории квазианалитических классов. // Изв. АН Арм. ССР, " Математика", 1982, т. 17, № 4, с.264-307.

5. Джрбашян М.М, Расширение квазианалитических классов Данжуа-Карлемана. // Изв. АН Арм. ССР, " Математика", 1968, т.З, № 3, с.171-248.

6. Дынькин Е.М. Псевдоаналитическое продолжение гладких функций, равномерная шкала// Сб. Математическое программирование и смежные вопросы, 1976, М, С.40.

7. Дынькин Е.М. Операторное исчисление, основаное на формуле Коши-Грина, и квазианалитичность классов D(h). // Записки научн. семин. Ломи, Т. 19, 1970, стр.221-226.

8. Китбалян A.A. Задача сс-квазианалитичности в классах86Данжуа-Карлемана.// Изв. АН Арм. ССР, " Математика", 1975, т. 10, JV* 3, с.207-241.

9. Коренблюм Б. И. Квазианалитические классы в круге// ДАН СССР, 19G5, Т.164, СС. 36-39.

10. Коренблюм Б.И. Условия нетривиальности некоторых классов функций, аналитических в угле, и проблемы квазианалитичности. // Доклады АН СССР, 1966, т. 166, № 5, с.1046-1050.

11. Мандельбройтп С. Квазианалитические классы функций. М.-Л., 1937.

12. Напалков D.D., Трунов К.В., Юлмухаметов P.C. Граничные теоремы единственности в классах Карлемана и задача Дирихле. // Доклады Академии Наук, 2005, том 404, №3, с. 1-4.

13. Себастьян и - Сильва. О некоторых классах локально выпуклых пространств, важных в применениях // Математика. Сб. переводов иностранных статей, 1957, 1:1, СС. 60-77.

14. Трунов К.В. Описание классов Карлемана. // Вестник Башгосуниверситета, 2005, № 3, Уфа, с. 15-18.

15. Хачатрян И.О. Квазианалитические классы, связанные с весовыми приближениями в комплексной плоскости. // Изв. АН Арм. ССР, " Математика", 1986, т.21, № 6, с.557-565.

16. Хрущев C.D. Множество единственности для классов Же-врея. // Зап. научн. сем. ЛОМИ, 1976, т.56, с.163-169.87

17. Юлмухаметов P.C. Квазианалитические классы функций в выпуклых областях.// Математический сб., 1986, Т.130, №.4, СС.500-520.

18. Юлмухаметов Р. С. Диссертация на соискание ученой степени доктора физ.-мат. наук. МИАН СССР им. В. Стеклова. 1987.

19. Bang Т. On quasi analytishe Punktioner,These, Kyobenhavn,1946.

20. Beurling A. Collected Work of Arne Beurling.// Birkhauser, 1989, V.I.

21. Brennan. Weighted polinomial approximation quasianalicity and analytic continuation. // Journal fur die Reine und angewandte M.357, 1985, p. 23-49.

22. Carlcrnan T. Les fonctions quasi analytiques. Paris, 1926.

23. Denjoy A. Sur les fonctions quasi analytiques d'une variable reele.// C.R. Acad. Se. 173(1921), 1329.

24. Hadamard J. Sur le module maximum d'une fonction analytique// C.R. Seances Soc. math. Fr. 1912, T.40, V.28.

25. Mandelbrojt S. Series adhereentes, régularisation des suites, applications. Paris: Gauther-Villars. 1952.

26. Mandelbrojt S. Analytic functions and classes of infinitely differentiable functions.// The Rise Institute Pamphlet, № 1, 1942.

27. Mandelbrojt S. Quasi-analyticity and Analytic continuation of88general principle. // Trans. AM. Math. Soc., 55(1944),96.

28. Ostrowski A. Uber quasi-analytishe Funktionen und Bestimmtheit asymptotisher Entwicklungen.// Acta Math., 1930, T.53,181.

29. Baltasar R.-Salinas. Functions with null-moments// Rev. Acad. Ci.Madrid, 1955, T.49, PP.331-368.

30. Sibony N. Approximation polinomiale ponderee dans un domaine d'holomorphie de Cn// Ann. Inst. Fourier. Grenoble, 1976. T.26, V.2, PP.77-99.