Достаточные множества в весовых пространствах Фреше целых функций тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат наук Варзиев, Владислав Аликович

• Варзиев, Владислав Аликович
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Варзиев, Владислав Аликович

Оглавление

Введение

1 Достаточные множества в весовых пространствах Фреше

целых функций

1.1 Весовые пространства проективного типа и мультипликаторы в них

1.1.1 Весовые пространства целых функций

1.1.2 Мультипликаторы и делители

1.2 Достаточные множества для пространств проективного типа. Общие результаты

1.2.1 Критерий достаточности множества

1.2.2 Инвариантность достаточности относительно эквивалентных весовых последовательностей

1.2.3 Прореживание достаточных множеств

1.3 Достаточные множества минимального типа

1.3.1 Понятие минимальных достаточных множеств

1.3.2 Ряды Лагранжа по минимальным последовательностям

1.3.3 Понятия согласованности и правильности. Достаточность минимальных последовательностей

1.4 Согласованность и правильность. Следствия для достаточных множеств

1.4.1 Согласованность

1.4.2 Правильность

1.4.3 Согласованность и правильность одновременно

2 Линейный непрерывный левый обратный у оператора

сужения на пространствах Фреше целых функций

2.1 Постановка задачи

2.2 Достаточные условия существования линейного непрерывного левого обратного

2.3 Необходимые условия существования линейного непрерывного левого обратного

2.4 Необходимые и достаточные условия наличия линейного непрерывного левого обратного

3 Приложения к абсолютно представляющим системам и

линейному непрерывному правому обратному к оператору представления в (ЬВ) - пространствах

3.1 Ряды по дельта-функциям

3.2 Оператор представления по дельта-функциям

3.3 Приложения к абсолютно представляющим системам обобщенных экспонент

3.4 Оператор представления в конкретных функциональных (ЬБ)-прострапствах и существование у него линейного непрерывного правого обратного

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Достаточные множества в весовых пространствах Фреше целых функций»

Введение

Актуальность темы. Задача представления гладких функций рядами по заданным последовательностям функций простого вида является классической и, наряду с самостоятельным интересом, имеет важное прикладное значение (например, при изучении разного рода функциональных уравнений). Особое место в данной тематике занимают разложения в ряды экспонент в пространствах голоморфных в области функций. Они обладают рядом специфических свойств, которые кардинально отличают их от их действительных аналогов, коими являются ряды Фурье. В частности, как известно, такие разложения, как правило, неединственны. Основополагающими в этом направлении являются исследования А.Ф. Леонтьева, начатые в 60-х годах прошлого века и собранные впоследствии в монографиях [30]—[32] - Им было показано, что для любой ограниченной выпуклой области С комплексной плоскости С можно подобрать такую последовательность комплексных чисел (А^)^, что всякую функцию /, аналитическую в (2, можно представить в виде абсолютно сходящегося ряда

оо

к=1

в пространстве всех аналитических в С функций с топологией равномерной сходимости на компактах из Эта область теории функций была предметом исследования для многих известных специалистов, сре-

ди которых выделим В.П. Громова, Ю.И. Мельника, В.К. Дзядыка, В.Х. Мусояна, A.M. Седлецкого, Ю.Н. Фролова, А.П. Хромова, В.И. Швецова.

Качественно новый подход к данной тематике разработал Ю.Ф. Коробейник. Он подошел к проблеме представления функций рядами с точки зрения теории линейных операторов в локально выпуклых пространствах, ввел понятие абсолютно представляющих систем (коротко, АПС) и начал их интенсивно изучать. Впервые понятие АПС было введено Ю.Ф. Коробейником в работе [18] следующим образом.

Пусть Е — локально выпуклое пространство. Говорят, что последовательность £ = (ek)kLi ненулевых элементов Е образует АПС в Е, если каждый элемент х Е Е допускает представление вида

абсолютно сходящееся к я; по топологии Е.

Этот подход Ю.Ф. Коробейника оказался очень плодотворным. В частности, с его помощью было впервые показано, что результаты А.Ф. Леонтьева, полученные им только для ограниченных областей и некоторых типов неограниченных областей, распространяются на произвольные области, причем в многомерном случае. Данное обстоятельство послужило толчком для развития теории АПС, как общей, так и для конкретных пространств и систем (главным образом, систем экспонент и их обобщений). К нему подключились ученики Ю.Ф. Коробейника A.B. Абанин, Ле Хай Хой, С.Н. Мелихов, A.B. Михайлов, В.В. Моржаков, В.Б. Шерстю-ков, И.С. Шрайфель и ряд других математиков, среди которых Б.В. Винницкий, В.П. Громов, В.М. Кадец, Р.В. Вершинин и др. В результате проведенных исследований были разработаны основы общей теории, получены критерии для АПС в различных типах локально выпуклых про-

к=1

странств, обнаружены свойства АПС, которые не были известны и в классическом случае систем экспонент, установлены критерии геометрического характера для АПС экспонент и развиты приложения АПС к дифференциальным уравнениям в частных производных, уравнениям свертки, интерполяционным задачам, двойственности функциональных пространств [4], [7], [18]-[28], [33], [34], [45], [46].

Начиная с середины 70-х годов прошлого века параллельно с теорией АПС начал интенсивно разрабатываться другой подход к представлению функций рядами экспонент, шедший от JI. Эренпрайса [57]. Им было предложено использовать для этих целей, так называемые, достаточные множества (коротко, ДМ), которые определяются следующим образом. По непрерывной вещественнозначной функции на С {весу) образуем банахово пространство

E(V) := {/€ Я(С) : \\f\\v := sup < оо} ,

V, % у

где Н{С) — пространство всех целых в С функций. Каждое семейство Ф весов порождает отделимое локально выпуклое пространство Е(Ф) := 0(рефЕ(р) с топологией тф, задаваемой набором норм {|| • : if Е Ф}.

Для произвольного подмножества S С С рассмотрим в Е(Ф) другую, вообще говоря более слабую, локально выпуклую топологию Тф($, задаваемую набором преднорм

||/||^ := sup J^i < оо (fe Е(ф), <ре ф).

В случае, когда Тфts совпадает с Гф, множество S называется достаточным для Е{Ф).

Подход, основанный на применении ДМ, к представлению функций из различных конкретных пространств аналитических и бесконечно дифференцируемых функций рядами экспонент, активно развивался в конце

70-х и начале 80-х годов прошлого столетия, в работах В.В. Напалкова [40], [41] и его учеников A.B. Секерина, P.C. Юлмухаметова и др. (см. [43], [47], [48]). При этом на тот момент времени более удобными для исследования и интересными с точки зрения приложений оказались близкие по сути к достаточным слабо достаточные множества (коротко, СДМ), введенные Д.М. Шнейдером в работе [62] для индуктивных пределов последовательностей весовых банаховых пространств ((1/1?)-пространств) целых функций. Введем понятие СДМ, следуя [62].

Говорят, что вес <р подчинен весу ф (<р -< ф), если существует число С, такое что cp(z) < ф(г) + С для всех z Е С. Пусть нам дана некоторая направленная вправо по подчинению весовая последовательность Ф = {ipn)^=l (то есть, щ -< щ ■< •••)• Последовательности такого типа называются индуктивными. Естественно образовать линейное пространство /(Ф) := U~=i Е(<рп) и наделить его топологией /¿ф внутреннего индуктивного предела последовательности банаховых пространств Е(<рп). Для подмножества S С С рассмотрим в 1(Ф) еще одну локально выпуклую топологию /Лф^ внутреннего индуктивного предела полунормированных пространств

I(<pn,S) := {/ е/(Ф): 11/1^5 <оо}.

Множество S называют слабо достаточным для /(Ф), если /Лф^ совпадает С /Лф.

Первоначально самим Д.М. Шнайдером было установлено, что всякое ДМ является СДМ. Обратный факт был доказан в работе В.В. Напалкова [42] и, независимо о него, в совместной работе группы ученых К.Д. Бирштедта, Р. Майзе, У. Саммсрса [56].

Вкупе с общими критериями для АПС Ю.Ф. Коробейника ([19], [23]), это привело к выводу о том, что при двойственной взаимосвязи между

функциональными пространствами посредством преобразования Лапласа функционалов, свойство системы экспонент быть АПС в пространстве Фреше эквивалентно свойству последовательности ее показателей быть СДМ в соответствующей реализации сопряженного пространства. Этот факт широко использовался впоследствии для построения АПС обобщенных экспонент в различных конкретных пространствах в работах A.B. Абанина и C.B. Петрова [12]), И.Х. Мусина [39], Н.И. Рахимкулова [44] и др. Общая теория СДМ в весовых (¿^-пространствах, развивалась в основном в работах A.B. Абанина [1]-[4], [С], [8]. Им было проведено систематическое исследование СДМ с общих позиций, установлено совпадение классов слабо достаточных и эффективных по Ийеру множеств, дано полное геометрическое описание всех и минимальных СДМ в пространствах целых функций с заданной оценкой индикатора, разработаны приложения СДМ к задаче о разрешимости уравнений типа свертки и другим вопросам.

Одним из наиболее интересных приложений СДМ в теории АПС является изучение проблемы существования линейного непрерывного правого обратного (коротко, ЛНПО) у оператора представления. Опишем эту проблему подробнее.

Пусть Е — локально выпуклое пространство с топологией, задаваемой набором предиорм Р, и £ = — последовательность его ненулевых

элементов. Следуя Ю. Ф. Коробейнику [23], определим пространство последовательностей комплексных чисел

оо

A2{S) := {с = {ck)f=1 : \с\р := ^ ЫрЫ < оо, Ур § Р}

к=1

и наделим его топологией, задаваемой набором преднорм (| • \р : р £ Р).

Ясно, что оператор представления

П : с |—>

ке n

действует непрерывно из Ai(£) в Е. При этом, его сюръективность эквивалентна, очевидно, тому, что S — АПС в Е.

В случае, когда £ является базисом в Е, а для А2{£) и Е справедлива теорема об открытом отображении (напр., если оба эти пространства относятся к классу пространств Фреше или (ЬВ)-пространств), оператор П будет изоморфизмом между Ä2(£) и Е и, следовательно, будет иметь линейный непрерывный обратный. Таким образом, в данном случае имеется принципиальная возможность определить коэффициенты разложения произвольного элемента Е в ряд по системе £, причем этот способ определения будет линейно и непрерывно зависеть от разлагаемого элемента. Если же АПС £ не является базисом в Е, а нас интересует именно этот случай, такой возможности может и не быть, а ее наличие равносильно тому, что у оператора П имеется ЛНПО. Изучение вопроса о существовании ЛНПО у оператора представления П называют проблемой коэффициентов.

Проблема коэффициентов исследовалась Ю.Ф. Коробейником, С.Н. Мелиховым, O.A. Ивановой и др. (см. [16], [17], [27], [28], [35]—[37]). В работах [27] и [28], послуживших отправной точкой для начала изучения обсуждаемой проблемы, эта задача решалась в конкретном случае АПС экспонент в пространствах функций, аналитических в выпуклой области, в следующей постановке. Пусть К - выпуклый компакт в С, G - ограни-"ченная выпуклая область в С, L - целая функция вполне регулярного роста экспоненциального типа, сопряженная диаграмма которой совпадает с G + К, (Лk)keN ~ последовательность всех попарно различных нулей функции L, каждый нуль А& простой, и последовательность (l-k'C^ODfcLi

имеет максимально возможный рост. Было установлено, что если компакт К является одноточечным, то Л НПО у оператора представления нет, а для компактов, отличных от точки, были найдены необходимые и достаточные условия на С и А', при которых такой оператор существует.

В работе [37] С.Н. Мелихов предложил новый метод исследования проблемы коэффициентов в (/^-пространствах, основанный на использовании теории двойственности. Суть метода заключается в том, что задача о ЛНПО к оператору представления П сводится к задаче о ли-иейном непрерывном левом обратном (коротко, ЛНЛО) к сопряженному к П оператору сужения функций иа последовательность Разви-

тый С.Н. Мелиховым метод позволил изучать проблему для весов общего вида при условии, что последовательность (А^ем является последовательностью нулей специальной целой функции Ь конечного порядка.

Таким образом, к настоящему времени были систематически исследованы СДМ в (¿.^-пространствах целых функций и проблема существования ЛНЛО у оператора сужения иа них функций исходного пространства, а также разработаны плодотворные приложения к теории АПС, уравнениям свертки и некоторым другим задачам в пространствах Фре-ше.

Теория ДМ в двойственном случае весовых пространствах Фреше не развивалась вплоть до последних лет, хотя формально проективный случай представляется более простым, чем индуктивный. Ясно, при этом, что изучение ДМ для пространств проективного типа представляют никак не меньший интерес, чем СДМ и ДМ для пространств индуктивного - — типа. Например, так же как и для СДМ, при наличии определенной двойственности между функциональными пространствами имеется непосредственная связь между ДМ для пространств проективного типа, с одной стороны, и представлением функций рядами обобщенных экспонент или

разрешимостью уравнений типа свертки, с другой. Такое положение дел с данным направлением объясняется, прежде всего, отсутствием адекватных методов исследования ДМ в пространствах Фреше, операторов представления и свертки в индуктивных пределах. Необходимая для изучения перечисленных вопросов техника была предложена лишь недавно и только для конкретного (£.5)-пространства аналитических в области функций полиномиального роста вблизи границы и сопряженного с ним (см. [50], [53], [54]). Наиболее близкой к тематике диссертации в этом направлении является работа A.B. Абанина, Ле Хай Хоя и Ю.С. Налбандян [54], в которой было показано существование АПС экспонент минимального в этом пространстве. Если переформулировать двойственным образом результаты этой работы, то получатся их двойственные варианты — минимальные ДМ для пространства Фреше целых функций, представляющего собой реализацию сопряженного пространства. До этой работы не было ни одного примера минимального, в определенном смысле, ДМ для весовых пространств Фреше. Как следствие и проблема существования ЛНЛО у оператора сужения функций на ДМ не могла быть адекватным образом поставлена. Эти обстоятельства, вместе с упомянутыми выше достижениями в теории АПС и СДМ, послужили побудительным мотивом для настоящего диссертационного исследования.

Вышеизложенный анализ служит, на наш взгляд, достаточно весомым обоснованием актуальности и новизны проведения систематического исследования достаточных множеств для весовых пространств Фреше целых функций в общем случае и разработки их приложений к абсолютно представляющим системам в (ЬВ)-прострапствах. Именно это и является основной целыо настоящей работы, конкретные аспекты которой, изучаемые в диссертации, представлены ниже.

Цели работы:

- изучить общие свойства достаточных множеств в весовых пространствах Фреше целых функций;

- ввести понятие минимальных достаточных множеств для пространств вида Р(Ф) и дать описание таких множеств;

- установить условия существования линейного непрерывного левого обратного к оператору сужения на минимальное достаточное множество;

- применить полученные результаты к построению минимальных абсолютно представляющих систем для пространств голоморфных в области функций заданного роста вблизи границы и задаче о существовании линейных непрерывных правых обратных к операторам представления в (¿.¿^-пространствах.

Методы исследования

В диссертационной работе используются методы современного и классического функционального анализа, методы теории двойственности, а также теория целых функций. При изучении достаточных множеств в пространствах Фреше целых функций и проблемы существования линейного непрерывного левого обратного к оператору сужения на достаточное множество применяются схемы исследования, предложенные ранее в двойственной ситуации A.B. Абаниным и С.Н. Мелиховым.

Научная новизна и практическая значимость

Работа носит теоретический характер. Разработанные в ней методы могут найти дальнейшие применения, например, в вопросах представления

функций из различных пространств индуктивного типа рядами по системам обобщенных экспонент и исследования функциональных уравнений и, прежде всего, уравнений типа свертки.

Апробация работы

Основные результаты диссертации неоднократно докладывались по мере получения на семинаре "Алгебра и анализ" в ЮМИ ВНЦ РАН, на научном семинаре по анализу ЮФУ, иа Международной конференции "Теория операторов, комплексный анализ и математическое моделирование" в Волгодонске (2009, 2011 гг.), на Международной конференции "Порядковый анализ и смежные вопросы математического моделирования" во Владикавказе (2008, 2010 гг.), на Воронежской международной конференции "Понтрягинские чтения XX" (2009г.), на Международной конференции молодых ученых "Математический анализ и математическое моделирование" во Владикавказе (2009, 2010 гг.).

Публикации

По теме диссертации опубликовано 5 работ. Результаты главы 1 опубликованы в [10], главы 2 — в [11] и главы 3 — в [9], [13], [14]. В работе [14] постановка задачи и схема исследования принадлежит С.Н. Мелихову, а ее реализация — В.А. Варзиеву. В совместных с научным руководителем публикациях [9]—[11] A.B. Абанину принадлежат постановки задач и указание методов исследования, а В.А. Варзиеву — основные результаты и их доказательства.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на параграфы и списка литературы, содержащего 62 наименования. Определения, теоремы, следствия, леммы и замечания имеют нумерацию, содержащую номер главы, параграфа и определения или результата. Общий объем диссертации — 109 страниц машинописного текста.

Обзор главы I

В первой главе диссертации изучаются достаточные множества в пространствах Фреше Р(Ф) целых функций с равномерными весовыми оценками, задаваемых убывающими последовательностями весов Ф = {<-рп)™=\ общего вида.

В первом параграфе, имеющем вводный характер, излагаются используемые в дальнейшем базовые понятия, касающиеся весовых пространств и мультипликаторов в них. Второй параграф посвящен основным свойствам ДМ, в третьем изучаются минимальные ДМ, а в четвертом обсуждаются дополнительные условия, при которых получены результаты о минимальных ДМ. Основные результаты данной главы заключаются в следующем.

Теорема 1.2.1 содержит критерий ДМ для пространств Р(Ф), являющийся следствием определения ДМ в рассматриваемом случае пространств Фреше и служащий отправной точкой для дальнейших рассмотрений.

В теореме 1.2.3 показано, что из любого ДМ для Р(Ф) можно, удалить нули произвольного регулярного мультипликатора Р(Ф), и оставшаяся последовательность все равно останется ДМ для Р{Ф). При этом сам мультипликатор может иметь также другие нули, не попавшие в

Л. Отсюда и из вспомогательных результатов первого параграфа выводится следствие 1.2.4, в котором утверждается, что если исходное пространство .Р(Ф) инвариантно относительно умножения на независимую переменную, то из любого ДМ для Р(Ф) можно отбросить произвольное конечное числоего точек, не потеряв свойства быть ДМ у оставшейся последовательности.

Таким образом, встает задача о разумном, в каком-то смысле определении минимальных ДМ для Р(Ф) и их исследовании. Этому посвящен третий параграф. Понятие минимальной последовательности для Р(Ф), которое вводится в этом параграфе, опирается по сути на идеи, восходящие к фундаментальным работам А.Ф. Леонтьева по представлению аналитических функций рядами экспонент, и их развитие для СДМ в (LB)-пространствах, предложенное A.B. Абаниным. Именно, в качестве претендентов на минимальные ДМ для Р(Ф) берутся последовательности А нулей целых функций из более широкого, но близкого к Р(Ф), пространства Р(Ф) := Dnli Um=i ^{^fn ~ <Рт)- Рассматривать последовательности нулей функций из пространства Р(Ф) нет смысла, так как каждое ДМ для Р(Ф) автоматически является множеством единственности для этого пространства.

Основные результаты третьего параграфа составляют теорема 1.3.7 и следствие 1.3.8, в которых доказано, что при дополнительных предположениях о правильности Ф и согласованности Ф и А условия леонтьевско-го типа обеспечивают то, что минимальная для Р(Ф) последовательность образует ДМ для этого пространства.

Наконец, в четвертом параграфе приводятся удобные для использования в приложениях достаточные условия выполнения требований согласованности Ф и Л (предложения 1.4.4 и 1.4.5) и правильности Ф (предложения 1.4.7 и 1.4.8), а также одновременного выполнения этих двух

требований (предложение 1.4.9).

Обзор главы II

В данной главе изучается задача о существовании JIHJIO у оператора сужения на данную последовательность Л — (А^)^! комплексных чисел, уходящих в бесконечность.

Первый параграф посвящен постановке рассматриваемой задачи. Именно, по весовой последовательности Ф, как выше, и Л вводится пространство Фреше числовых последовательностей

Р(Ф, Л) р) [с= (с*)£ 1 : Hn := sup < оо, Vn G n}.

n=1 к-1

Ясно, что оператор суоюения R : / м- {f(\k))kLi действует линейно и непрерывно из Р{Ф) в Р(Ф,Л).

С точки зрения приложений значительный интерес представляют те последовательности Л, для которых этот оператор имеет JIHJIO, то есть о теоретической возможности линейного и непрерывного восстановления функций из Р{Ф) по их значениям f(\k) (к = 1,2,...). В предложении 2.1.1 доказано, что необходимым условием существования JIHJIO у оператора R является то, что Л — ДМ для Р{Ф). Поэтому в решении проблемы наличия JIHJIO у оператора сужения мы обязаны ограничиться рассмотрением ДМ для Р{Ф), а среди ДМ наиболее интересными для приложений - минимальиыми ДМ. В свете отмеченных выше результатов для той же задачи в (££?)-пространствах имеет смысл рассматривать минимальные ДМ не для самого пространства Р{Ф), а для пространства Р(Ф + ф), где ф~— некоторая добавка. Забегая вперед, отметим, что подтверждение необходимости использования такой добавки в данной задаче получено нами в главе 3 на примере конкретного весового пространства Фреше. Всюду далее речь идет именно о таких А, являющихся

последовательностями простых нулей целых функций L леонтьевского типа из пространства Р(Ф + ф).

Основной результат второго параграфа — теорема 2.2.1 — содержит достаточные условия существования JIHJIO у оператора сужения R, формулируемые в терминах существования продолжения функции L в С2 определенного роста. В третьем параграфе доказывается (см. предложения 2.3.9 и 2.3.10), что при некоторых дополнительных ограничениях наличие такого продолжения и необходимо для существования JIHJIO у R. Наконец, в последнем, четвертом, параграфе формулируется общий результат — теорема 2.4.1, объединяющий необходимые и достаточные условия.

В целом исследования в дайной главе ведутся по схеме работы С.Н. Мелихова [37]. Следует при этом отметить, что реализация данной схемы в диссертации существенно модифицирована. В частности, мы полностью избавляемся от требований [37], которые ограничивают круг рассматриваемых весовых пространств пространствами целых функций конечного порядка. Отметим также, что разработанная модификация применима не только к рассматриваемым в диссертации пространствам Фреше, но и к (1/£?)-пространствам, исследованным в [37].

Обзор главы III

В третьей главе даются приложения общих результатов предыдущих двух глав к построению минимальных ДМ и существованию JIHJIO у оператора сужения в пространствах аналитических в выпуклых областях функций заданного роста вблизи границы и к АПС дельта-функций и обобщенных экспонент. Суть основных результатов данной главы такова.

В первых двух параграфах речь идет о представлении функционалов из сильного сопряженного с Р(Ф) пространства РЬ'(Ф) рядами по дельта-функциям 6\ / '—^ /(А). Показано, что для канонических весовых последовательностей Ф сопряженный к оператору сужения Я, : Р(Ф) Р{Ф, А) совпадает с оператором представления по дельта-функциям

действующем непрерывно из (1/£?)-пространства числовых последовательностей

в -Р&(Ф). Отсюда по соображениям двойственности следует (см. предложение 3.2.1), что последовательность дельта-функций Ад :— является АПС в Ф) тогда и только тогда, когда Л = ~ ДМ

для Р(Ф), а у оператора представления IV имеется ЛНПО в том и только том случае, если существует ЛНЛО у оператора сужения Я. Последний факт позволяет сформулировать, при некоторых дополнительных ограничениях, критерий положительного решения проблемы коэффициентов для АПС из дельта-функций (см. предложение 3.2.2).

В третьем параграфе излагается схема применения предложений 3.2.1 и 3.2.2 к АПС обобщенных экспонент в (£)^5)-простраиствах Н. Она основана на том наблюдении, что при условии, что Р(Ф) является реализацией сопряженного с Н пространства посредством обобщенного преобразования Лапласа функционалов на некотором семействе (ед)Аее> имеется непосредственная связь между АПС элементов 8л := (ел.,)^ в Н и дельта-функций в Ф). Это дает возможность переформу-

лировать вышеупомянутые предложения для АПС вида £\ в пространствах Н.

оо

В четвертом, заключительном, параграфе главы и диссертации в целом рассматривается вопрос о сгоръективности оператора представления по экспонентам в пространстве Л-00(Г2) аналитических в выпуклой ограниченной области функций полиномиального роста вблизи д£1. Сначала в качестве следствия из вышеизложенных общих результатов выводится основной результат работы [54] (см. следствие 3.4.3). Затем доказано, что для минимальных для А~°°(Г2) АПС экспонент леонтьев-ского типа проблема коэффициентов для соответствующего оператора представления решается отрицательно, а для аналогичных систем для пространства А_00(Г2 + К), где К — выпуклый компакт, отличный от точки, — положительно. В обоих случаях идет речь о представлении функций из пространства A~°°(Q,). Это, как уже отмечалось в обзоре главы 2 оправдывает использование добавки ф в двойственной задаче о существовании JIHJIO у оператора сужения.

Автор выражает благодарность своему научному руководителю профессору A.B. Абанину за постановку задач, ценные советы и постоянное внимание к работе, а также профессору С.Н. Мелихову за полезное обсуждение результатов и постановок задач и плодотворные замечания.

Глава 1

Достаточные множества в весовых пространствах Фреше целых функций

В данной главе изучаются достаточные множества в пространствах Фреше целых функций с равномерными весовыми оценками. Материал главы разбит на четыре параграфа.

Первый параграф содержит используемые в дальнейшем базовые понятия и вспомогательные результаты, касающиеся весовых пространств и мультипликаторов в них.

Во втором параграфе приведен критерий достаточности множества для пространств проективного типа и получены общие результаты об априорной переполненности достаточных множеств для пространств Фреше проективного типа.

В третьем параграфе вводится понятие минимальной последовательности точек комплексной плоскости для изучаемых нами пространств. При выполнении дополнительных условий согласованности и правильности весовой и минимальной последовательностей для Р(Ф) установлено, что минимальные последователыюстйГлеоптьевского типа являются достаточными множествами для этого пространства.

И, наконец, в четвертом параграфе приводятся удобные для проверки

достаточные условия согласованности и правильности.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Варзиев, Владислав Аликович, 2013 год

Литература

[1] Абании A.B. О некоторых признаках слабой достаточности // Математические заметки—1986.—Т. 40, № 4.—С. 442-454.

[2] Абанин A.B. О продолжении и устойчивости слабо достаточных множеств // Изв. вузов. Математика—1987.—Ne 4.—С. 3-10.

[3] Абанин A.B. Характеризация минимальных систем показателей представляющих систем обобщенных экспонент // Изв. вузов. Математика.—1991.—JVe 2.-С. 3-12.

[4] Абанин A.B. Геометрические критерии представления аналитических функций рядами обобщенных экспонент // Докл. АН СССР.— 1992.—Т. 323, № 5.-С. 807-810.

[5] Абанин A.B. Густые пространства и аналитические мультипликаторы // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естетв. науки.—1994.—№ 4— С. 3-10.

[6] Абанин A.B. Слабо достаточные множества и абсолютно представляющие системы // Дисс. докт. физ.-мат. наук: Ростов-на-Дону.— 1995.-268 с.

[7] Абании A.B. Нетривиальные разложения нуля и абсолютно представляющие системы // Матем. заметки.—1995.—Т. 57, № 4.—С. 483497.

[8] Абанин A.B. Об одном применении слабо достаточных множеств // Владикавк. матем. журн.—2005.—Т. 7, К2 2,—С. 11-17.

[9] Абанин A.B., Варзиев В.А. Представляющие системы экспонент в пространствах голоморфных функций заданного роста вблизи границы // Владикавк. матем. журн.—2012.—Т. 14, вып. 4.—С. 5-9.

[10] Абанин A.B., Варзиев В.А. Достаточные множества в весовых пространствах Фреше целых функций // Сиб. матем. жури.—2013. Т. 54, № 4.-С. 725-741.

[11] Абанин A.B., Варзиев В.А. О существовании линейного непрерывного левого обратного у оператора сужения на пространствах Фреше целых функций // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. Науки.— 2013,—N2 4.-С. 5-10.

[12] Абанин A.B., Петров C.B. Минимальные абсолютно представляющие системы экспонент в пространствах аналитических функций с заданной граничной гладкостью // Владикавк. матем. журн.—

2012.—Т. 15, вып. З.-С. 13-30.

[13] Варзиев В.А. Линейный непрерывный правый обратный к оператору представления в (Х-В)-прострапства // Владикавк. матем. жури.—

2013.—Т. 15, вып. З.-С. 33-40.

[14] Варзиев В.А., Мелихов С.Н. О коэффициентах радов экспонент для аналитических функций полиномиального роста // Владикавк. матем. журн.—2011.—Т. 13, вып. 4,- С. 18-27.

[15] Жаринов В.В. Компактные семейства ЛПВ и пространства FS и DFS // УМН.-1979.-Т. 34, № 4.-С. 97-131.

[16] Иванова О. А., Мелихов С. Н. О правых обратных, определяемых последовательностями Айдельхайта // Владикавк. матсм. журн.— 2010.—Т. 12, вып. 2.-С. 24-30.

[17] Иванова O.A. Об операторе сужения на индуктивных пределах весовых пространствах целых функций // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естств. науки—2011—№ 5.—С. 15-19.

[18] Коробейник Ю.Ф. Об одной двойственной задаче I. Общие результаты. Приложение к пространствам Фрешс // Матем. сб.—1975.—Т. 97, № 2.-С. 193-229.

[19] Коробейник Ю.Ф. Представляющие системы // Изв. АН СССР. Сер. матем.—1978.—Т. 42, № 2.-С. 325-355.

[20] Коробейник Ю.Ф. Представляющие системы экспонент и нетривиальные разложения нуля // Докл. АН СССР—1980 —Т. 252, №3—С. 528-531.

[21] Коробейник Ю.Ф. Интерполяционные задачи, нетривиальные разложения нуля и представляющие системы // Изв. АН СССР. Сер. матем.—1980.—Т. 44, № 5.-С. 1066-1114.

[22] Коробейник Ю.Ф., Леонтьев А.Ф. О свойстве внутрь-продолжаемости представляющих систем экспонент // Матем. заметки.—1980.-Т. 28, вып. 2.—С. 243—254.

[23] Коробейник Ю.Ф. Представляющие системы // УМН.—1981.—'Т. 36, № 1.-С. 73-126.

[24] Коробейник Ю.Ф. О разрешимости в комплексной области некоторых классов линейных операторных уравнений.—Ростов-па-Дону: изд-во ЮФУ, 2009.-251 с.

[25] Коробейник Ю.Ф. Индуктивные и проективные топологии. Достаточные мно- жсства и представляющие системы // Изв. АН СССР. Сер. матсм.—1986.—Т. 50, № З.-С. 539-565.

[26] Коробейник Ю.Ф. Представляющие системы: теория и приложения.-Владикавказ. ЮМИ ВНЦ РАН, 2009.-336 с.

[27] Коробейник Ю.Ф., Мелихов С.Н. Линейный непрерывный правый обратный для оператора представления и конформные отображения // Докл. РАН.—1992.—Т.323, № 5.-С. 826-829.

[28] Коробейник Ю.Ф., Мелихов С.Н. Линейный непрерывный правый обратный для оператора представления и приложения к операторам свертки приложения к операторам свертки // Сиб. матем. журн.— 1993.—Т. 34, вып. 1.-С. 70-84.

[29] Красичков-Терновский И.Ф. Одна геометрическая лемма, полезная в теории целых функций, и теоремы типа Лсвинсона // Матем. заметки—1978.—Т. 24, № 4.-С. 531-546.

[30] Леонтьев А.Ф. Ряды экспонент.—М.: Наука, 1976.—536 с.

[31] Леонтьев А.Ф. Последовтельпости плиномов из экспонент.—М.: Наука, 1980.-384 с.

[32] Леонтьев А.Ф. Обобщение рядов экспонент.—М.: Наука, 1981.—320 с.

[33] Мелихов С.Н. О разложении аналитических функций в ряды экспонент // Изв. АН СССР. Сер. Мат.-1988.-Т. 52, № 5.-С. 991-1004.

[34] Мелихов С.Н. Нетривиальные разложения нуля и представительные подпространства // Изв. вузов. Сер. Мат.—1990.—№ 8.—С. 53—65.

[35] Мелихов С.Н. Об одной некорректной задаче в теории рядов Дирихле // Интсгро-дифферснциальные операторы и их приложения. Вып. 2. ДГТУ: Ростов-на-Дону.-1997.-С. 112-117.

[36] Мелихов С.Н. Продолжение целых функций вполне, регулярного роста и правый обратный для оператора представления аналитических функций рядами квазиполиномов // Мат. сб.—2000.—Т. 191.—№ 7.— С. 105-128.

[37] Мелихов С.Н. О левом обратном к оператору сужения на весовых пространствах целых функций // Алгебра и анализ—2002.—Т. 14, вып. 1.-С. 99-133.

[38] Моржаков В.В. Об эпиморфности оператора свертки в выпуклых областях из С£ // Матем. сб.-1987.-Т. 132(174), № З.-С. 352-370.

[39] Мусин И.Х. О представлении бесконечно дифференцируемых функций рядами экспонент // Матем. заметки.—2003.—Т. 73, № 3.—С. 402415.

[40] Напалков В.В. О дискретных достаточных множествах в некоторых пространствах целых функций // Доклады АН СССР.—1980.— Т. 250, № 4.-С. 809-812.

[41] Напалков В.В. Достаточные множества в одном классе целых функций // Вопр. аппроксим. фуикц. компл. переменного— Уфа.—Башк. филиал АН СССР—1980.—С. 110-115.

[42] Напалков В.В. О сравнении топологий в некоторых пространствах целых функций. // Доклады АН СССР.-1982.-Т. 264, № 4.-С. 827830.

[43] Напалков В.В., Секерин A.B. Слабо достаточные множества и представление аналитических функций многих переменных рядами Дри-хле // Доклады АН СССР.-1981.-Т. 260, № З.-С. 535-539.

[44] Рахимкулов Н.И. К вопросу о разложении функций в ряды Дирихле // Матем. заметки.—1982.—Т. 31, № 5.-С. 739-746.

[45] Шерстюков В.Б. Нетривиальные разложения нуля и представление аналитических функций рядами простых дробей // Сиб. матем. журнал—2007.—Т. 48, № 2.-С. 458-473.

[46] Шерстюков В.Б. Двойственная характеризация абсолютно представляющих систем в индуктивных пределах банаховых пространств // Сиб. мат. журнал—2010.—Т. 51, № 4.-С. 930—943.

[47] Юлмухаметов P.C. Достаточные множества в одном пространстве целых функций // Матем. сб.-1981.-Т. 116, № З.-С. 427-429.

[48] Юлмухаметов P.C. Дискретные достаточные в пространствах целых функций // Исслед. по компл. анализу.— Уфа.—Башк. филиал АН СССР—1987—С. 218-227.

[49] Эдварде Р.Функциональный анализ. Теория и приложения.—М.: Мир, 1969.-1072 с.

[50] Abanin А.V., Le Hai Khoi Dual of the function algebra A~°°(D) and representation of functions in Dirichlet series // Proc. Amer. Math. Soc.-2010.-V. 138.—P. 3623-3635.

[51] Abanin A.V., Pham Trong Tien. Continuation of holomorphic functions with growth conditions and some of its applications // Studia Math.— 2010.—V. 200.—P. 279-295.

[52] Abanin A. V., Ishimura R., Le Hai Khoi. Surjectivity criteria for convolution operators in A~°° // C. R. Acad. Sei. Paris, Ser. I.—2010.— Vol. 348.—P. 253-256.

[53] Abanin A.V., Ishimura R., Le Hai Khoi Convolution operators in A~°° for convex domains // Ark. Mat—2012—V. 50.—P. 1-22.

[54] Abanin A.V., Le Hai Khoi, Nalbandyan Yu.S. Minimal absolutely representing systems of exponentials for A-00(f2) // J. Approx. Theory.— 2011.—V. 163.-P. 1534-1545.

[55] Abanin A.V., Pham Trong Tien. Painleve null sets, dimension and compact embeddings of weighted holomorphic spaces // Studia Math.— 2012-Vol. 213.—P. 169-187.

[56] Bierstedt K.D., Meise R., Summers W.H. A projective description of weighted inductive limits // Trans. Amer. Math. Soc.—1982.—'V. 272, № l.-P. 107-161.

[57] Ehrenpreis L. Fourier analysis in several complex variables // Pure and Appl. Math., vol. 17. New York: Wiley-Interscience Publishers, 1970.— 506 pp.

[58] Langenbruch M. The splitting conditions for the weghted ^-complex // Results Math.-1992.-Vol. 22.-P. 560-597.

[59] Melikhov S. N. (DFS)-spaces of holomorphic functions invariant under differentiation // Math. Anal. Appl.-2004.-Vol. 297.-P. 577-586.

[60] Melikhov S. N. Generalized Fourier expansions for distribution' and ultradistribution // Revista Math. Compl.—1999—Vol. 12, № 2.—P. 349379.

[61] Momm S. An extremal plurisubharmonic funcion associated Green function with pole at infinity // J. Reinc Angew. Math.—1996.— Vol. 471.—P. 139-163.

[62] Schneider D.M. Sufficient sets for some spaces of entire functions // Trans. Amer. Math. Soc.-1974.-V. 197-P. 161-180.