Непрерывные линейные обратные к операторам сужения аналитических функций и их производных тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Иванова, Ольга Александровна

• Иванова, Ольга Александровна
• кандидат физико-математических наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Иванова, Ольга Александровна

Оглавление

Введение

1 ЛНЛО к оператору сужения на весовых пространствах целых функций

1.1 Специальные семейства плюрисубгармонических функций

1.2 Критерий существования ЛНЛО к оператору сужения

1.3 Пример функции IV, для которой ЛНЛО не существует

1.4 Оператор сужения на весовых пространствах целых функций, определяемых уточненным порядком

1.5 Применения к представлениям рядами экспонент и оператору свертки

1.6 О коэффициентах рядов по функциям Миттаг-Леффлера

для аналитических функций

2 О представлении аналитических функций рядами из квазимономов

2.1 Критерии существования и формула для Л НПО к оператору представления

2.2 Критерии для оператора сужения

3 ЛНПО к оператору сужения на функциональных пространствах

3.1 Основные определения и понятия

3.2 Условия существования ЛНПО к моментному оператору

3.3 Достаточное условие того, что моментный оператор не имеет ЛНПО

3.4 О последовательностях Айдсльхайта для пространств Фре-

ше без непрерывной нормы

3.5 Применение к оператору сужения функций из

3.6 О дополняемых идеалах в пространстве аналитических функций

3.7 Применение к задаче о ЛНПО к оператору свертки в пространстве целых функций экспоненциального типа

3.8 Применение к оператору сужения функций из

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Непрерывные линейные обратные к операторам сужения аналитических функций и их производных»

Введение

Актуальность темы. В настоящей работе решается проблема, которую в общей ситуации можно сформулировать следующим образом. Пусть Е и ^ — локально выпуклые пространства; Т : Е —>• Р — линейный непрерывный оператор. При каких условиях существует линейный непрерывный правый обратный (коротко: ЛНПО) или линейный непрерывный левый обратный (коротко: ЛНЛО) к оператору Т?

Задача о нахождении ЛНПО и ЛНЛО для бесконечномерных локально выпуклых пространств индивидуальна и ее решение зависит от свойств конкретного оператора. Для различных классов пространств Е и .Р (бесконечно дифференцируемых, голоморфных функций, распределений, пространств последовательностей) и операторов Т (дифференциальных операторов в частных производных, операторов свертки, представления рядами экспонент и их обобщений, продолжения бесконечно дифференцируемых функций) эта задача ставилась и решалась Л. Шварцем, А. Гротендиком, Б. С. Митягиным, Б. А. Тейлором, К. Швердтфегером, Р. Майзе, Д. Фогтом, Ю. Ф. Коробейником, М. Лангенбрухом, М. Тидтеном, У. Франкеном, 3. Моммом, X. Бонетом, С. Н. Мелиховым, А. В. Абаниным, Д. А. Абаниной и другими математиками.

Основным объектом изучения в данной работе является оператор сужения функций и их производных на дискретную последовательность точек. Он определен на некотором функциональном пространстве Е и отображает его в связанное с Е естественным образом пространство числовых последовательностей Р. С помощью теории двойственности к проблеме существования линейных непрерывных обратных к оператору сужения, например, сводится задача о существовании ЛНПО к оператору представления элементов различных функциональных пространств рядами экспонент или их обобщений. Опишем коротко историю задачи о существовании ЛНПО к оператору представления аналитических функ-

ций рядами экспонент. Пусть С — произвольная ограниченная выпуклая область в С; А{С) — пространство Фреше всех аналитических в С функций. В середине 60-х годов прошлого века А. ф. Леонтьев доказал, что существует последовательность комплексных чисел (А^)^^, |А^| ^ +оо, такая, что любую аналитическую в С функцию / можно разложить

оо

в ряд /(г) = £ с,-еА'"г, абсолютно сходящийся в А(С) (к /). При з=1

этом 3 Е Ш, — простые нули специальной целой функции Ь экспоненциального типа с сопряженной диаграммой О {О — замыкание С в С). В

связи с неединственностью разложения функций / Е А(С) в ряды вида

00

/(г) = ^ с^е^2 возникает задача о линейном и непрерывном способе 3=1

определения коэффициентов Отметим, что А. Ф. Леонтьев указал

00

способ вычисления коэффициентов с^ представлений /(г) = ^ с3ех^

3=1

для функций /, аналитических на С. Но этот способ неприменим ко всем функциям / Е А{С). Результаты А. Ф. Леонтьева о разложениях в ряды экспонент побудили Ю. Ф. Коробейника к построению теории представляющих систем. Если ввести пространство Фреше числовых последовательностей

оо

Ах := |с = (с^еи : ^^ сз^У абсолютно сходится в А(С) |

3=1

и оператор представления

оо

ША^^С), (П(с))(г)

3=1

то проблема коэффициентов трансформируется в сформулированную Ю. Ф. Коробейником задачу: когда сюръективный оператор П : А^ —У А(С) имеет ЛНПО, т. е. существует линейный непрерывный оператор Р : А{С) К\ такой, что П о Р(/) = /, / Е Л(С)? Для показателей (А^ем, являющихся нулями специальной целой функции, она была решена Ю. Ф. Коробейником и С. Н. Мелиховым [23].

Известно [13], что сильное сопряженное к А (С) пространство можно отождествить с некоторым пространством целых функций экспоненциального типа Е, а сильное сопряженное с Л1 пространство — с некоторым

пространством числовых последовательностей К^. Тогда оператором, сопряженным к оператору П, будет оператор сужения R : Е —К^, R(f) := {f(\j))jen, линейно и непрерывно отображающий Е в К^. Так как пространства A(G) и Ai — рефлексивные пространства Фре-ше, то оператор П имеет ЛНПО тогда и только тогда, когда оператор R имеет JIHJIO, т. е. когда существует линейный непрерывный оператор х : Еж Е такой, что я о R(f) = f, f Е Е. Итак, с помощью теории двойственности задача о ЛНПО к оператору представления сводится к задаче о существовании ЛНЛО к оператору сужения на последовательность соответствующих показателей рядов экспонент, определенному на счетном индуктивном пределе весовых банаховых пространств целых функций.

Общие результаты о ЛНЛО к оператору сужения на весовых (LB)-пространствах целых функций были получены С. Н. Мелиховым [33]. В настоящей диссертации для (ЬБ)-пространств целых функций, задаваемых радиальными весами с естественными ограничениями, получены аналитические реализации (в терминах внутренних свойств весов) абстрактных условий из [33]. Полученные результаты применены также к (£5)-пространствам в нерадиальном случае, а именно, к пространствам целых функций, рост которых определяется уточненным порядком. Отмеченные выше результаты Ю. Ф. Коробейника и С. Н. Мелихова [23] перенесены на случай р-выпуклой области (р > 0).

В работе [32] был доказан критерий существования ЛНПО к оператору представления рядами из квазиполиномов функций, аналитических в ограниченной выпуклой области. Данная задача решена нами для оператора представления рядами из квазимономов.

Если оператор сужения задан на счетном индуктивном пределе банаховых пространств целых функций с ограничениями на их рост, то область его значений содержится в некотором (¿.^-пространстве последовательностей, рост которых также определяется исходными весами. Если же он задан на пространстве всех функций, аналитических в открытом множестве G С С, и функции и их производные сужаются на дискретное подмножество G, то областью его значений является уже пространство всех последовательностей ш. В связи с этим возникает задача о наличии ЛНПО к такому оператору сужения. При ее решении привлекается теория последовательностей Айдельхайта в сопряженном

к пространствам Фреше, и упомянутая выше проблема трансформируется в задачу о наличии ЛНПО у моментного оператора, задаваемого последовательностью Айдельхайта.

По-видимому, первым в этом направлении является результат Б. С. Митягина о том, что оператор „вычисления" производных бесконечно дифференцируемых функций на отрезке [—1,1] не имеет ЛНПО [37]. Косвенным образом к данному направлению примыкают результаты польских математиков Ролевича, Бессаги, Пелчинского [71], [53] о дополняемых подпространствах пространств Фреше, изоморфных пространству и. В работе приводятся критерии и (отдельно) достаточные условия того, что моментный оператор имеет или не имеет ЛНПО. Полученные результаты применяются к замкнутым дополняемым идеалам в пространстве А((7), где С? — область в С, а также к задаче о ЛНПО к оператору свертки, действующему в пространстве целых функций экспоненциального типа. Ранее в работе [36] задача о существовании ЛНПО к оператору свертки решалась для пространства [1 ,а) всех целых в С функций экспоненциального типа меньше а Е (0,+оо], изоморфного сопряженному к пространству функций, аналитических в круге Дг := {г £ С : < сг}. В диссертации аналогичный результат получен для пространства целых функций, изоморфного сильному сопряженному к пространству А{Сг) уже для произвольной односвязной области С С С. Отметим, что задача о существовании ЛНПО к оператору свертки в пространствах голоморфных функций решалась ранее в работах К. Швердфегера [72], Б. А. Тейлора [73], 3. Момма [67], Ю. Ф. Коробейника [17], [23], [18], С. Н. Мелихова [35], [64], М. Лангенбруха [61] (см. соответствующий обзор в [20, глава 3]).

Цели работы:

• Установить условия наличия линейного непрерывного левого обратного к оператору сужения, определенному на (¿¿^-пространстве целых функций, заданном радиальными весами.

• Доказать условия существования линейного непрерывного левого обратного к оператору сужения на весовом (¿¿^-пространстве целых функций, рост которых определяется уточненным порядком.

• Доказать критерии существования линейного непрерывного правого

обратного к оператору представления аналитических в р-выпуклой области функций рядами по функциям Миттаг-Леффлера.

• Получить критерии наличия линейного непрерывного правого обратного к оператору представления рядами из квазимономов функций, аналитических в ограниченной выпуклой области в С.

• Доказать критерии существования линейного непрерывного правого обратного к моментному оператору, определяемому последовательностью Айдельхайта в сопряженном к пространству Фреше. Применить их к описанию дополняемых идеалов в пространствах аналитических функций, оператору свертки в пространствах целых функций экспоненциального типа, оператору сужения бесконечно дифференцируемых функций и их производных на дискретную последовательность.

Методы исследования. В диссертационной работе используются методы функционального и комплексного анализа, теории целых функций вполне регулярного роста, субгармонических функций, конформных отображений, структурной теории пространств Фреше.

Научная новизна и практическая значимость. Полученные в диссертации результаты являются новыми, носят теоретический характер и могут найти применения к решению операторных уравнений, уравнений свертки в пространствах аналитических и бесконечно дифференцируемых функций, в теории абсолютно представляющих систем, в задаче Коши для аналитических функций. Они могут быть использованы специалистами, работающими в ЮФУ, Институте математики с ВЦ Уфимского научного центра РАН, Южном математическом институте ВНЦ РАН и РСО-А, Московском, Башкирском университетах, национальном исследовательском ядерном университете „МИФИ", а также в других ведущих российских и зарубежных научных центрах.

Апробация работы. Основные результаты диссертации неоднократно докладывались на научном семинаре по анализу ЮФУ под руководством Ю. Ф. Коробейника и А. В. Абанина, на Международной школе-семинаре по геометрии и анализу памяти Н. В. Ефимова в Абрау-Дюрсо (2004, 2008 гг.), на Международной конференции "Теория операторов,

комплексный анализ и математическое моделирование" в Волгодонске (2007, 2009, 2011 гг.), на Международной конференции "Порядковый анализ и смежные вопросы математического моделирования" во Владикавказе (2008, 2010 гг.), на Воронежской весенней математической школе "Современные методы теории краевых задач"(2009, 2011 гг.), на Международной конференции молодых ученых "Математический анализ и математическое моделирование" во Владикавказе (2009, 2010 гг.), на Уфимской международной конференции "Комплексный анализ и дифференциальные уравнения "(2011 г.).

Публикации. Основные результаты диссертационной работы опубликованы в [79]-[92]. В совместных с научным руководителем публикациях [83]—[92] С. Н. Мелихову принадлежит постановка задач и указание метода исследования, а автору диссертации — проведение исследования и доказательство результатов.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на параграфы и списка литературы, содержащего 92 наименования. Определения, теоремы, следствия, леммы и замечания имеют свою независимую нумерацию, содержащую номер главы, параграфа и результата. Общий объем диссертации — 131 страница машинописного текста.

Обзор главы 1.

В первой части данной главы решается задача о существовании JIH-JIO к оператору сужения на нулевое множество специальной целой функции, определенному на счетном индуктивном пределе Е весовых банаховых пространств целых функций, задаваемых радиальными весами.

Рассматривается следующая ситуация. Пусть Wn := (1 — l/n)W, п > 1, где функция W удовлетворяет следующим условиям:

(Wl) W непрерывна и возрастает на [0,+оо); W(x) > 0, х G [0, +оо);

(W2) Функция Y := W о ехр непрерывно дифференцируема и выпукла

Y(x)

на [0, +оо), lim -= +оо;

ж-4+oo х

(W3) lim, = 1;

х—»+оо

(W4) limsupi^ = pE(0,+oo).

In X

x—>+oo

Положим W(z) := VF(|z|), z E С. Зафиксируем к > 0. Далее L — специальная целая функция, рост которой определяется функциями Wn, п Е N, следующим образом:

(LI) Vn ЗС > 0 : \L{z)\ < Сехр((1 + 1/п + k)W{z)), z е С;

(L2) Существует последовательность контуров s Е N, содержащих внутри себя 0, такая, что

Къ)

rs := inf \t\ —> +00, s —> 00; sup —— < +00;

r3

Vm E N inf inf \L{z)\e-{1-1/m+K)w{z) > 0,

seN 7S

где ¿(7s) — длина контура s E N.

(L3) (A;)jGn — последовательность всех (различных) пулей функции L, причем |Л_у| < |AJ+i|, j Е N, каждый из нулей Xj простой и

Vm Е N inf |L/(A7)|e~(1_1/TO+K^A^ > 0.

Введем теперь весовое (ЬВ)-пространство Е целых функций и соот-ветствуютций последовательности (А„)пек оператор сужения R, определенный на пространстве Е. Для п Е N определим весовые банаховы пространства целых функций

Еп := {/ Е А(С)| H/IU := sup \f(z)\exp(-Wn(z)) < +00}

z<EC

и положим Е := ind Еп. Введем ассоциированные пространства числовых последовательностей:

Коо,п '■— \с = {cj)jeN Е Сп I \с\п := sup \cj\ ехр(-И^(А_,)) < +оо),

>

Коо := ind АГэо,п-

При этом А(С) обозначает пространство всех целых в С функций.

На Е зададим оператор сужения R(f) := (/(A;))jgn, линейно и непрерывно отображающий Е в К00.

Основным результатом данной главы является

Теорема 1.2.1 Пусть функция Ш удовлетворяет условиям ("\А/1) — (\¥4); к, > 0; функция Ь удовлетворяет условиям, (Ь1) — (ЬЗ); у = У. Следующее условия равносильны:

1) Оператор Я : Е —» К^ имеет ЛНЛО.

2) Выполняются утвероюдсиия а) и Ь):

a) к > 0,

b) ЗС > 1 : 2у о У-1^) <у о У~1(а) для больших £ > 0.

При доказательстве теоремы 1.2.1 были использованы общие результаты С. Н. Мелихова [33] о существовании ЛНЛО к оператору сужения на нулевое множество некоторой специальной функции Ь, сводящие решаемую задачу к проблеме существования двух специальных семейств субгармонических функций, удовлетворяющим равномерным локальным оценкам снизу и глобальным — сверху. Одно из них связано с индуктивной последовательностью (1 — 1/п)\¥, п е М, а другое — с проективной последовательностью (1 + 1 /п)]^, п € N. Условия существования таких семейств для индуктивной последовательности были доказаны М. Лангенбрухом [60]. Соответствующие условия для проективной последовательности установлены в теореме 1.1.4. Отметим, что в §1.1 получен ряд вспомогательных результатов о существовании семейств, связанных с проективной последовательностью. Они имеют и самостоятельное значение: подобные семейства применяются в задачах о существовании ЛНПО к оператору представления рядами экспонент, к оператору свертки в пространствах аналитических функций (см., например, [66], [63], [33], [35], [34]), о расщепляемости д-комплексов на весовых пространствах интегрируемых функций (¿Лкомплексах) [60].

Пусть функция ТУ удовлетворяет условиям ("\/У1) — (\У4). Тогда, как показано А. Ф. Леонтьевым [27], существует уточненный порядок р{г) —)■ р такой, что Ш(х) < хр^х\ х > 0, и существует последовательность (жп)т1ем Т +оо, для которой выполняются равенства УУ(хп) = ХпХ"^, пеМ. Следовательно, функции УУ{х) = хр^ являются (в описанном смысле) наибольшими, удовлетворяющими условиям (\У1) — (\¥4). Справедливо следующее

Следствие 1.2.1 Пусть W{x) := хр^х\ где р(х) — уточненный порядок для порядка р > О, функция L удовлетворяет условиям (Ll) — (L3). Соответствующий оператор суо/сения R : Е —» К^ имеет JIHJIO тогда и только тогда, когда к > 0.

Ранее следствие 1.2.1 было доказано в [33] для случая р{х) = р > 0.

В §1.3 приводится пример функции W, удовлетворяющей условиям (Wl) — (W4), но не удовлетворяющей условию 2 Ь) теоремы 1.2.1. Для нее соответствующий оператор сужения R : Е —> К^ не имеет JIHJIO для любого к > 0.

В §§1.4 — 1.5 рассматриваются весовые пространства целых функций, определяемые не обязательно радиальными весами.

Для последовательности (простых) нулей специальной целой функции доказаны (теорема 1.4.2) достаточные и (отдельно) необходимые условия существования JIHJIO к оператору сужения в пространстве целых функций, определяемых с помощью уточненного порядка. А именно, пусть р{г) — уточненный порядок для порядка р > 0; h(9), k(9) — р-тригонометрически выпуклые ограниченные 27г-периодические функции, mm[h(9) + h(9 + i\-//>)] > 0; [p(r),h(9)) — (¿/¿^-пространство

всех целых (в С) функций не выше нормального типа при уточненном порядке р(г) с индикатором, меньшим h{9)\ H{z) := /i(argz)\z\p^\ K(z) := /c(argz)\z\p^, z G C; L — целая в С функция, обладающая следующими свойствами:

(Lip) Vn ЗС > 0 : \L(z)\ < Cexp(tf(z) + \z\p^/п + K(z)), W G С.

(L2p) Существует неограниченная возрастающая последовательность Rb > 0, s G N, такая, что для любого т G N

inf inf \L(z)\exp(-H{z) + \z\p^/т - K{z)) > 0.

seN \z\=Ra

(L3p) — последовательность всех (различных) нулей L, причем

< 3 S N, каждый из нулей Xj простой и для любого

m Е N

inf |Ь'(А,)|ехр(-Я(Л;) + |A,fM/m - К(Х,)) > 0.

jeN

Для еп X 0. п —>■ оо, введем банаховы пространства числовых последовательностей:

Кос,п := je = {cj)jeN G CN \с\п := sup-—-— . < оо),

n G N; и положим i^oo := indi^oon-

Определим оператор сужения #(/) := {f(\j))jeN, f £ [p(r*)т /г.(б')), линейно и непрерывно отображающий [p(r),h(9)) в К^.

Теорема 1.4.2 Пусть р(г) — уточненный порядок для порядка р > 0; функция L удовлетворяет, условиям (Llp) — (L3P); функции k(6), h{9) такие, как выше.

1) Еели существует а > 0 такое, что h(9) — а, к{9) — а, в 6 R, являются р-тригонометрически выпуклыми функциями, то оператор сужения R : [p{r), h(9)) —> К^ имеет ЛИЛО.

2) Если функция к(9) или h(9) имеет хотя бы один интервал р-тригонометричности, то R не имеет ЛНЛО.

Из теоремы 1.4.2 вытекают следующие результаты, установленные ранее в случае р(г) = р\ для р > 1, h{9) = h, к(9) = к [31, теорема 2.1]; для произвольного р > 0 [33] (достаточные условия существования JIHJIO у оператора R в [33] получены при более жестких предположениях, чем в теореме 1.4.2).

В §1.5 получены естественные применения результатов о ЛНЛО к оператору сужения к проблеме существования ЛНПО к оператору представления рядами экспонент функций из пространства [р* (г), h*(9)] в случае р > 1. При этом р(г) — сильный уточненный порядок для порядка р > 1. Через [p{r), h(9))'ß обозначим сильное сопряженное к [p(r), h(9)) пространство. Положим e\(z) = exp(Az), А,г € С. Сопряженным уточненным порядком [26] называется функция p*(t) = ^ , где t\ —

P\ti) _ 1

единственное решение уравнения = t, t > 0.

Будем предполагать дополнительно, что h{9)rp — выпуклая функция переменной г = гехр(г(9) Е С и h — положительная функция. Согласно [58] преобразование Лапласа

7>(А) :=(р(ех), А Е С, <р е

устанавливает линейный топологический изоморфизм сильного сопряженного пространства [p(r), h(6))'ß к пространству \p(r),h{6)) и [p*{r),h*{e)}, где h*{9) = sup[Re(texp(z#)) - |í|^(argí)].

íeC

Сильное сопряженное к пространству К^ можно отождествить с пространством Фреше

Ai = proj Лх)П;

^—71

Ai,n := {с = (Cj)jeN G CN I ||c|U := ^ |c,| exp[(/¿(arg Л^)—e„)AjC|A,l)] < 00}

je N

(при помощи отображения (p (<p(ek))ken)■

Оператором, сопряженным к оператору R, является сюръективный [3] оператор представления:

оо ¿=i

([р*(т)> /г*(0)] — пространство Фреше всех целых функций не выше нормального типа при уточненном порядке р*(г) с индикатором, не превосходящим h*(0)).

В случае р(г) = р > 0 сильное сопряженное к [p{r), h(9)) пространство имеет различные реализации. Одна из них — пространство A{G) функций, аналитических в ¿»-выпуклой области G. В §1.6 решается следующая задача, постановка которой побуждена работой [23]. Пусть G — ограниченная р-выпуклая область, 0 £ G, К — /^-выпуклый компакт, О Е К] A(G) — пространство Фреше всех функций, аналитических в G; hc{—0), — р-опорные функции G и К соответственно. Для последовательности Е CN, |Aj| —¥ 00, введем пространство Фреше числовых последовательностей

А := {с = (c,),6N Е CN I

00

IMIn := \cj\ exp((/iG(arg A,) - l/n)|A,f) < +00 Vn e n}. j=i

00

Положим ex(z) := Ep(Xz), X,z E С, где Ep{t) := £ tk/T{l + k/p),

k=0

00

t E С, — функция Миттаг-Леффлера. Ряд £ Cje\j сходится абсолют-

з=i

но в A{G) тогда и только тогда, когда с Е А. Оператор представления

оо

П(с) := Cje\, линейно и непрерывно отображает Л в A{G). Если после-з=1

довательность такова, что оператор П : А —> A(G) сюръективен

(т. е. (ед^ем является абсолютно представляющей системой в A(G)), то возникает естественная задача о существовании ЛНПО к П : А —> A(G). Она решена в статье [23] для р = 1 в случае, когда (Aj)j6f*j — нули некоторой специальной (1, +/^-интерполирующей функции. Мы переносим результаты работы [23] на случай р ф 1. Бели внутренность компакта К пуста, то оператор представления не имеет ЛНПО. Для случая, когда внутренность К непуста, доказан критерий существования ЛНПО к П. Как и в [23], он получен в терминах конформных отображений (рмф единичного круга D := {z G С : \z\ < 1} на G и С \ D (D — замыкание D в С, € - расширенная комплексная плоскость) на С \ К соответственно; (¿?(0) = 0; чр(оо) = оо (при этом при р > 1 делается дополнительное предположение о /з-выпуклости соответствующих множеств уровня конформных отображений <р и ф).

Положим

Д. := {z е С : \z\ <г}, г > 0; Gn := vKA^-i/n)), Шп:=ф(C\DeMl/n)), пе N.

Справедлива

Теорема 1.6.2 Пусть внутренность К непуста и 0 G intA'.

I) Для р Е (0,1) следующие утверэ/сдения равносильны:

1) П : А —A{G) имеет ЛНПО.

2) a) sup \ip'{z)\ < оо и b) inf W{z)\ > 0.

|z|<l N>:L

II) Пусть p > 1. Тогда 1) =>2). Предполоо/сим, что множества уровня Gn и С \ Wn, п 6 N. р-выпуклы. Тогда 1) 2).

При р — 1 условия о выпуклости множеств уровня, как в II), выполняются (это следует из леммы Шварца). Также, как и в [23], при доказательстве теоремы 1.6.2, использовалась структурная теория пространств Фреше: теория линейно ручных операторов, критерий расщепляемости короткой точной последовательности пространств степенных рядов конечного типа, доказанный ранее Д. Фогтом.

Обзор главы 2.

В настоящей главе доказываются критерии существования ЛНПО к оператору представления рядами из квазимономов функций, аналитических в ограниченной выпуклой области комплексной плоскости. Данная проблема является двойственной к задаче о существовании ЛНЛО к оператору сужения функций и их производных из некоторого весового пространства целых функций. Ранее аналогичные результаты были получены для операторов представления рядами экспонент [23], [22] и рядами из квазиполиномов [32].

Пусть С — ограниченная выпуклая область в С, А (С) — пространство всех аналитических в С функций с топологией равномерной сходимости на компактах в С. Для множества М С С через Нм обозначим его опорную функцию:

Нм{г) := эирНе^), гбС.

Пусть К — выпуклый компакт в С. Зафиксируем целую (в С) функцию Ь экспоненциального типа с нулевым множеством (Ап)„еи; тп + 1 — кратность нуля Ап, тп Е Мд := N^{0}. Будем считать, что |АП| < |Ап+1|, п Е N. Положим

а — \ )тп+1

= Чг' п е

В дальнейшем предполагается, что выполняются следующие условия:

(С^)1) Ь — целая функция вполне регулярного роста с индикатором Нс{егв) + Нк{егв) (при показателе 1);

^К^О» +Нс(к)+Нк(к))) -0;

(03) Ит И^НМ = о.

п->оо |ЛП|

Положим := гкеХг, ед := ед,о; А, 2 ЕС, к Е N9.

Введем пространство Фреше числовых последовательностей

Ах := {с = (спк)пеП,о<к<тп,Спк € С|Уз Е N

оо тп

р3{с) := 1Стг^1 ' ехр(яс(Ап) - |А„|/в) < +00}.

п=1 к=0

Следуя Ю. Ф. Коробейнику [13], определим оператор представления

оо тп

П(с) с Е Ль

п= 1 к=О

линейно и непрерывно отображающий Ai в A(G).

В теореме 2.1.1 доказан общий результат о внутрь-продолжаемости для системы из квазимоиомов (их показатели (Ап)пек не обязательно являются нулями специальной целой функции L, как выше).

Теорема 2.1.1 Пусть G — ограниченная выпуклая область в С, К — выпуклый компакт в С, последовательности Хп Е С, тп € Nq; n G N, таковы, что lim = О и {e\n,k)nzN o<k<mn является абсолютно представляющей системой в A(G + К). Тогда (е\n,fc)n€N,o<fc<m„ является абсолютно представляющей системой и в A(G).

По [47, теорема 2.3] оператор П : Ai —> A(G + К) сюръективен. Из теоремы 2.1.1 следует, что оператор П : Ai —)■ A(G) также сюръективен.

В настоящей главе решена задача о существовании ЛНПО к оператору П : Ai —> A{G). Аналогичная задача решалась в работе [23] в частном случае, когда нули целой функции L простые; в этом случае ряд

оо тп

J2 Й °nkeX„,k является рядом экспонент.

71=1 к=О

Основным результатом данной главы является

Теорема 2.1.2 Пусть функция L удовлетворяет условиям (Q1) —

(Q3).

I) Если компакт К совпадает с точкой, то оператор П : Ai —> A(G) не имеет ЛНПО.

II) Пусть выпуклый компакт К в С отличен от точки; (р — конформное отобраоюенис единичного круга D := {z Е С : \z\ < 1} на G. гр — конформное отобраэ/сеиие С \ D на С \ К такое, что ф(оо) = сю. Следующие утверо/сдения равносильны:

(i) Оператор П : Ai —> A(G) имеет ЛНПО.

(ii) Существует целая (в С2) функция Q такая, что Q(z, z) = L(z), z E С, и Vn Зт ЗС > 0 : V^zG С

|z)| < Сехр(яс(д) - Ы/т + HK(z) + И/n).

(ш) вир < +оо и ^ \ф'(г)\ > 0.

И<1

III) Если функция ф такая, как в (и), то оператор

N>1

tmn-k t=\n/ n€N,0<fc<m,

'П

/ 6 являет,ся ЛНПО к П : Ах ->• А(<2).

IV) Если Т : А(С) Лх — ЛНПО к П : Ах А(£); то существует единственная функция как в (и), для которой

Здесь Qq — интерполирующий функционал, заданный некоторой целой функцией двух комплексных переменных, с определенными оценками сверху ее модуля, введенный С. Н. Мелиховым [32]. Он является аналогом интерполирующей функции А. Ф. Леонтьева.

Утверждение I) и равносильность (i) и (iii) ранее были доказаны для случая простых нулей (т. е. тп — 0, n Е N) в [23] (теоремы 1.9 и 4.3). При их доказательстве использовался критерий Фогта расщепляемости короткой точной последовательности пространств степенных рядов конечного типа [76, theorem 5.1]. Утверждение III) для простых пулей установлено в [33] (теорема 1.8). Подобная теорема в случае кратных нулей была доказана в работе [32, теорема 4.1] для оператора представления рядами из квазиполиномов. При ее доказательстве был применен метод продолжения исходной функции L вполне регулярного роста до функции двух переменных z) (с оценками сверху ее модуля) такой, что на диагонали = z" она совпадает с L(z). Этот метод был использован нами и при доказательстве теоремы 2.1.2.

В §2.2, как следствие, мы получаем условия существования ЛНЛО к инъективному оператору сужения

f е A(G).

[1 ,HG) :=ind(Bn, ||-||n)

где

Вп := {/ е А(С)

:= вир

\№\

< +оо п е N.

ехр{Нс{г) -\z\fn)

Кос соответствующее (I/ Я) - п р о ст р а н с т в о числовых последовательностей:

Кж := | • |а),

5->-

И

Кос,в := = {Ьпк)пеП,0<к<тн, Ьпк £ С

тах \Ьпк\ N

Теорему 2.1.2 можно естественным образом переформулировать как результат о существовании ЛНЛО к оператору сужения П7 (теорема 2.2.1). Из теоремы 2.2.1 вытекает

Следствие 2.2.1 Пусть С} — функция такая, как в (11) теоремы 2.1.2. Тогда каждая функция / 6 [1, Не) представляется в виде абсолютно сходящегося к / в [1, Нд) обобщенного интерполяционного ряда Лагранэ/са:

оо тп

/0) = £ £ 1{к\К)х

п=1&=0

тпп—к

х £

{тп-к-1)\1\к\ дг1

¿=л „

е С.

Отметим, что если все нули (Лп)7г^1^ простые, то представление в следствии 2.2.1 имеет вид

/М = Ет7

Лп)

/(Л«), г 6 С.

Обзор главы 3.

В предыдущих главах был исследован оператор сужения (или сопряженный к нему) на некоторую последовательность точек, определенный на (¿¿^-пространствах Е целых функций с ограничениями на их рост.

Он действовал в пространство последовательностей F, рост которых также ограничен исходными весами. В главе 3, в частности, рассматривается уже оператор R сужения на дискретную последовательность, определенный на пространстве всех функций, аналитических на открытом множестве G в С:

0<k<mn — li / £ A(G).

Областью значений оператора R является пространство w всех числовых последовательностей. R задается последовательностью дельта-функций и их производных, т. е. некоторой последовательностью линейных непрерывных функционалов на A(G). Она является последовательностью Ай-дельхайта в A{G)'. В связи с этим в главе 3 применяется теория последовательностей Айдельхайта в сопряженном к пространству Фреше и решается задача в более общей постановке (в терминах последовательностей Айдельхайта).

Определение 3.3.1 [37], [75] Пусть Е — пространство Фреше, ipj G Е', j G N. Последовательность (<fj)j£^ называется последовательностью Айдальхайта (в Е'), если для любого a G и существует х G Е такое, что ipj(x) = <2j для любого j G N.

Пусть и — пространство всех числовых последовательностей, топология которого задается последовательностью преднорм rk{х) := max |а;п|,

1 <п<к

х = (Хп)п<гт Е и. к Е N. Если Е — пространство Фреше, ((pj)jeN Я Е' — последовательность Айдельхайта в Е\ то оператор R : х ^ (<fj(x))jeN линейно и непрерывно отображает Е на и, и возникает естественный вопрос о существовании ЛНПО к оператору R : Е —>• и (R мы называем моментным оператором).

Далее Е — пространство Фреше с фундаментальной неубывающей последовательностью преднорм рп, п G N.

В §3.2 доказываются два абстрактных критерия существования ЛНПО к моментному оператору R : Е —> и, а в §3.3 — достаточное условие того, что R не имеет ЛНПО. Из него, в частности, вытекает

Следствие 3.3.1 Если в пространстве Фреше Е существует непрерывная норма, то для любой последовательности Айдельхайта в Е' моментный оператор не имеет ЛНПО.

Из следствия 3.3.1 вытекает результат Б. С. Митягина о том, что ли-

нейный непрерывный (сюръективный) оператор не имеет Л НПО.

В §3.4 рассматриваются пространства Фреше без непрерывной нормы. Справедлива

Теорема 3.4.1 Пусть Е — пространство Фреше. Следующие утверждения равносильны: (1) Существует последовательность Айдельхай-та в Е' такая, что моментный оператор имеет Л НПО; (и) В

Е не существует непрерывной нормы.

В §3.5 мы применяем результаты §§3.2-3.3 к оператору сужения всех функций, аналитических в открытом множестве (7 С С, и их производных на дискретную последовательность в С. Пусть А(С) — пространство Фреше всех аналитических в С функций. Как обычно, последовательность гп Е С, п Е М, называется дискретным подмножеством С, если

УК <ш в ЗАГ Е N : Уп> N гп ф К.

(Символ К <е С означает, что К — компактное подмножество (?.) Последовательность (гп, тп)п£щ, где (-гп)«ек ~~ дискретное подмножество С, а тп € М, называется кратным многообразием в С.

Пусть {гп,тп)п<^ — кратное многообразие в С. Введем оператор сужения Я, : А{(Э) ш: #(/) = 0<кт, -ь т. е.

/ (/(*), ¡'{г,),..., /^(¿х); /Ы, /'Ы,..., /^Ы; • • • )•

Имеет место

Теорема 3.5.3 Пусть С — открытое подмноэ/сество С, — кратное многообразие в С. ЛНПО к И существует тогда и только тогда, когда С имеет бесконечное число компонент связности и каждая компонента связности множества С содерэ/сит не более конечного числа точек гп, п Е N.

Теорема 3.5.3 применяется к описанию замкнутых дополняемых идеалов в А(С?).

Основной результат §3.6 содержится в теореме 3.6.1. Пусть Z{I) — множество нулей идеала I.

Теорема 3.6.1 Пусть С? — область в С. Замкнутый собственный идеал I топологически дополняем в пространстве А{С) тогда и только тогда, когда множество Z(I) конечно.

В §3.7 этот результат применен к задаче о ЛНПО к оператору свертки в пространстве целых функций экспоненциального типа. С. Г. Мерзляко-вым [36, теорема 1] доказано, что оператор свертки, действующий в пространстве [1, а) всех целых в С функций экспоненциального типа меньше а (0 < а < оо) имеет ЛНПО тогда и только тогда, когда его аналитический символ в круге Оа := {г € С. : \г\ < а} имеет не более конечного числа нулей (теорема 1 в [36] доказывается методом, не использующим теорию двойственности). Отметим, что [1, с) топологически изоморфно (посредством преобразования Лапласа) сильному сопряженному к пространству А(Дг). В этом параграфе аналогичный результат получен для пространства целых функций экспоненциального типа Рд, изоморфного (с помощью преобразования Лапласа сильному сопряженному к пространству А{С) уже для произвольной односвязной области б С С.

Пусть в : А(С) —> А(С)" — канонический изоморфизм, Т' : Рд —> — сопряженное к Т : А(0)' —» Рд отображение, то-

гда х ° ~ линейный топологический изоморфизм Рд на Л (С). Для 5 Е Рд определим оператор свертки 5* : Рд —>• Рд следующим образом:

5 * Р(,г) := + ги)), г Е С, Р Е Ра-

Функция называется аналитическим символом оператора 5*.

Справедлива

Теорема 3.7.1 Пусть Б Е Оператор сверт,ки 5* : Рд —> Рд

имеет ЛНПО тогда и только тогда, когда функция х{8) имеет в С не более конечного числа нулей.

При доказательстве применяется теория двойственности, сводящая задачу о существовании ЛНПО к оператору свертки в Рд к проблеме дополняемости соответствующего замкнутого идеала в Л (С?), решенной в §3.6.

В §3.8 мы доказываем условия существования ЛНПО к моментному оператору К : С°°(0) —> ш, / н-> </^(/), где (^pj)j€щ — последовательность Айдельхайта в С°°(Г2)' (Г2 — открытое подмножество М^) в терминах носителей функционалов э Е N.

Автор выражает благодарность своему научному руководителю про-

фессору С. Н. Мелихову за постановку задач, ценные советы и постоянное внимание к работе, а также профессору А. В. Абанину за полезное обсуждение результатов и замечания.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Иванова, Ольга Александровна, 2013 год

Литература

[1] Абанин А. В. Представляющие системы в р-выпуклых областях // Изв. Сев-Кавказ, научи, центра высшей школы. - 1980. - №4. - С. 3-5.

[2] Абанин А. В. О некоторых признаках слабой достаточности множеств в индуктивных пределах весовых пространств // Матем. заметки. - 1986. - Т. 40, №4. - С. 442-454.

[3] Абанин А. В. Распределение показателей представляющих систем обобщенных экспонент // Матем. заметки. - 1991. - Т.49, №2. - С. 3-13.

[4] Абанин А. В. Слабо достаточные множества и абсолютно-представляющие системы: Дисс. на соискание ученой степени доктора физ.-мат. наук. - Ростов н/Д. - 1995. - 268 с.

[5| Агранович П. 3. Индикаторы голоморфных функции многих переменных: Дисс. на соискание ученой степени кандидата физ.-мат. наук. - Харьков. - 1978.

[6] Врайчев Г. Г. Введение в теорию роста выпуклых и целых функций. - М.: Прометей, 2005. - 232 с.

[7] Братищев А. В. Базисы Кете, целые функции и их приложения: Дисс. на соискание ученой степени доктора физ.-мат. наук. - Ростов н/Д. - 1993. - 248 с.

[8] Вурбаки Н. Топологические векторные пространства. - Издательство иностранной литературы, 1959. - 410 с.

[9] Гельфанд И. М., Шилов Г. Е. Обобщенные функции. Учебное пособие. - М.: Гос. издат. физ-мат. литературы, 1959. - 470 с.

10] Джрбашян М. М. Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области. - М.: Наука, 1966. - 672 с.

11] Коробейник Ю. Ф. О решениях дифференциального уравнения бесконечного порядка, аналитических в некруговых областях // Ма-тем. сб. - 1966. - Т. 71(113), № 4. - С. 535-544.

12] Коробейник Ю. Ф. О решениях некоторых функциональных уравнений в классах функций, аналитических в выпуклых областях // Матем. сборник. - 1968. - Т. 75, №2. - С. 225-234.

13] Коробейник Ю. Ф. Представляющие системы // Успехи матем. наук. - 1981. - Т.36, в.1. - С. 73-126.

14] Коробейник Ю. Ф. Об одной интерполирующей задаче для целых функций // Изв. ВУЗов. - 1985. - №2. - С. 37-45.

15] Коробейник Ю. Ф. Уравнения свертки в комплексной области // Матем. сб. - 1985. - Т. 127(169), № 2(6). - С. 173-197.

16] Коробейник Ю. Ф. Нетривиальные разложения нуля по абсолютно представляющим системам. Приложения к операторам свертки // Матем. сб. - 1991. - Т. 182, № 5. - С. 661-680.

17] Коробейник Ю. Ф. О правом обратном операторе для оператора свертки // Укр. матем. журн. - 1991. - Т.43, №9. - С. 1167-1176.

18] Коробейник Ю. Ф. О правом обратном для оператора свертки в пространствах ростков на связных множествах в С // Матем. сб. -1996. - Т. 187, № 1. - С. 55-86.

19] Коробейник Ю. Ф. Представляющие системы, их обобщения и приложения. - М.: Наука, 2008. - 361 с.

20] Коробейник Ю. Ф. О разрешимости в комплексной области некоторых классов линейных операторных уравнений. - Ростов-на-Дону: изд-во ЮФУ, 2009. - 251 с.

21] Коробейник Ю. Ф., Леонтьев А. Ф. О свойстве внутрь-продолжаемости представляющих систем экспонент // Матем. заметки. - 1980. - Т.28, №2. - С. 243-254.

[22] Коробейник Ю. Ф., Мелихов С. Н. Линейный непрерывный правый обратный для оператора представления и конформные отображения // Докл. РАН. - 1992. - Т. 323, №5. - С. 826-829.

[23] Коробейник Ю. Ф., Мелихов С. Н. Линейный непрерывный правый обратный для оператора представления и приложения к операторам свертки // Сибирский математический журнал. - 1993. - Т.34, №1. - С. 70-84.

[24] Краеичков - Терновский И. Ф. Одна геометрическая лемма, полезная в теории целых функций, и теоремы типа Левинсона // Матем. заметки. - 1978. - Т. 24, №4. - С. 531-546.

[25] Левин Б. Я. Распределение корней целых функций. - М.: Гостех-издат, 1956. - 632 с.

[26] Лелон П., Груман Л. Целые функции многих комплексных переменных. - М.: Мир, 1989. - 348 с.

[27] Леонтьев А. Ф. Ряды экспонент. - М.: Наука, 1976. - 536 с.

[28] Маергойз Л. С. Плоские р-выпуклые множества и некоторые их приложения // ИФ СО АН СССР, Красноярск. - 1972. - С. 75-91.

[29] Маергойз Л. С. Асимптотические характеристики целых функций и их приложения в математике и биофизике. - Новосибирск: Наука, 1991. - 272 с.

[30] Мелихов С. Н. Продолжение целых функций вполне регулярного роста и линейный непрерывный правый обратный для оператора представления // Комплексный анализ, дифференциальные уравнения, численные методы и приложения. I. Комплексный анализ. Уфа. - 1996. - С. 64-71.

[31] Мелихов С. Н. Об одной некорректной задаче в теории рядов Дирихле // Интегро-дифференциальные операторы и их приложения. Вып.2. ДГТУ. Ростов-на-Дону. - 1997. - С. 112-117.

[32] Мелихов С. Н. Продолжение целых функций вполне регулярного роста и правый обратный для оператора представления аналитических функций рядами квазиполиномов // Матем. сб. - 2000. -Т.191, №7. - С. 105-128.

[33] Мелихов С. Н. О левом обратном к оператору сужения на весовых пространствах целых функций // Алгебра и анализ. - 2002. - Т. 14, №1. - С. 99-133.

[34] Мелихов С. Н. Правые обратные к операторам представления рядами экспонент и свертки: Дисс. на соискание ученой степени доктора физ.-мат. наук. - Ростов н/Д. - 2002. - 240 с.

[35] Мелихов С. Н., Момм 3. О линейном непрерывном правом обратном для оператора свертки на пространствах ростков аналитических функций на выпуклых компактах в С // Изв. вузов. Матем. - 1997, № 5. - С. 38-48.

[36] Мерзляков С. Г. Правый обратный для оператора свертки в пространстве целых функций экспоненциального типа // Уфимск. матем. журн. - 2010. - Т. 3, вып. 4. - С. 85-87.

[37] Митягин Б. С. Аппроксимативная размерность и базисы в ядерных пространствах // Успехи матем. наук. - 1961. - Т.16, вып. 4. - С. 63-132.

[38] Напалков В. В. Уравнения свертки в многомерных пространствах. - М.: Наука, 1982. - 240 с.

[39] Нарасимхан Р. Анализ на действительных и комплексных многообразиях. - М.: Мир, 1971. - 232 с.

[40] Робертсон А. П., Робертсон В. Д. Топологические векторные пространства. - М.: Мир, 1967. - 257 с.

[41] Ронкин Л. И. Введение в теорию целых функций многих переменных. - М.: Наука, 1971. - 430 с.

[42] Савельев В. А. О целых решениях уравнений свертки: Дисс. на соискание ученой степени кандидата физ.-мат. наук. Ростов н/Д. -1990. - 102 с.

[43] Трутпев В. М. Неоднородные уравнения свертки в некоторых пространствах целых функций экспоненциального типа // Комплексный анализ и дифференциальные уравнения. Краснояр. гос. ун-т. Красноярск. - 1996. - С. 234-239.

Трутнев В. М. Уравнения свертки в пространствах целых функций экспоненциального типа // Итоги науки и техн. Сер. Соврем, мат. и ее прил. Темат. обз. - 2006. - Т. 108. - С. 158-180.

Хермандер JJ. Введение в теорию функций нескольких комплексных переменных. - М: Мир, 1968. - 280 с.

Шилов Г. Е. Математический анализ. Второй специальный курс. -М: Наука, 1965. - 328 с.

Шрайфель И. С. Абсолютно - представляющие системы в пространствах аналитических функций: Дисс. на соискание ученой степени кандидата физ.-мат. наук. - Ростов н/Д. - 1985. - 97 с.

Эдварде Р. Функциональный анализ. Теория и приложения. - М.: Мир, 1969. - 1071 с.

Юлмухаметов Р. С. Приближение субгармонических функций // Матем. сб. - 1984. - Т. 124(166), № 3(7). - С. 393-415.

Angela A. Albanese, Bonet J., Werner J. Ricker C0-semigroups and mean ergodic operators in a class of Frechet spaces //J. Math. Anal. Appl. - 2010. - V. 365, № 1. - P. 142-157.

Bellenot S. F., Dubinsky E. Frechet spaces with nuclear Kothe quotients 11 Transactions of the AMS. - 1982. - V. 273, № 2. - P. 579-594.

Berenstein C. A.; Gay R. Complex Variables. An Introduction. Springer

- Verlag. - 1991. - 650 p.

Bessaga C., Pelczynski A. On a class Z?o-spaces // Bull. Acad. Pol. Sci. CI. III. - 1957. - V. 5. - P. 375 - 377.

Bierstedt K. D., Meise R., Summers W. H. Kothe sets and Kothe sequence spaces // Functional Analysis, Holomorphy and Approximation Theory (Rio de Janeiro), (J.A. Barroso (ed.)), North-Holland Math. Stud. - Vol. 71, North-Holland, Amsterdam-New-York.

- 1982. - P. 27-91.

[55] Borel E. Sur quelques points de la theorie des fonctions // Ann. Sci. Norm. Sup. - 1895. - V. 12, № 3. - P. 9 - 55.

[56] Domanski P., Vogt D. The coherence of complemented ideals in the space of real analytic functions // Math. Ann. - 2010. - V. 347. - P. 395-409.

[57] Eidelheit M. Zur Theorie der Systeme linearer Gleichungen // Studia Math. - 1936. - V. 6. - P. 139-148.

[58] Gruman L. Some precisions on the Fourier-Borel transform and infinite order differential equations // Glasgow math. J. - 1973. - V.14, № 2.

- P. 161-167.

[59] Hormander L. Notions of convexity. - Progress in Mathematics 127, Birkhauser Boston, Inc., Boston, MA, - 1994.

[60] Langcnbruch M. The splitting condition for the weighted ^-complex // Results in Mathematics. - 1992. - V. 22. - P. 560-597.

[61] Langenbruch M. Continuous linear right inverses for convolution operators in spaces of real analytic functions // Studia Math. - 1994.

- V. 110. - P. 65-82.

[62] Meise R., Vogt D. Introduction to Functional Analysis. - Charendon press. Oxford. - 1997. - 448 p.

[63] Melikhov S. N., Momm S. Solution operators for convolution equations on the germs of analytic functions on compact convex sets of <CN // Studia Math. - 1995. - V.117, № 1. - P. 79-99.

[64] Melikhov S. N., Momm S. Analytic solutions of convolution equations on convex sets with obstacle in the boundary // Math. Scand. - 2000.

- V.86. - P. 293-319.

[65] Momm S. Convex univalent functions and continuous linear right inverses //J. Funct. Anal. - 1992. - V. 103, № 1. - P. 85-103.

[66] Momm S. A critical growth rate of the pluricomplex Green function // Duke Math. J. - 1993. - V. 72. - P. 487-502.

[67] Momm S. Convolution equations on the analytic functions on convex domains in the plane // Bull. Sci. Math. II. - 1994. - Ser. 118, № 3. -P. 51-75.

[68] Momm S. Extremal plurisubharmonic functions for complex bodies in C^ // Complex analysis, harmonic analysis and applications, Deville, R. (ed.) et al. Bordeaux, France 1995. Harlow: Longman, Pitman Res. Notes Math. Ser. - 1996. - V. 347. - R 87-103.

Moscatelli V. B. Frechet spaces without continuous norms and without bases // Bull. London Math. Soc. - 1980. - V. 12. - P. 63-66.

Pommerenke C. Univalent functions. - Vandenhoek and Ruprecht, Gottingen, 1975. - 374 p.

Rolewicz S. Metric linear spaces. 2id. PWN Polish Sei. Publ, Warszawa. - 1984.

Schwerdfeger K. Faltunsoperatoren auf Räumen holomorpher und beliebig oft differenziebarer Funktionen. Thesis // Düsseldorf. - 1982.

Taylor В. A. Linear extension operators for entire functions // Michigan Mathem. Journ. - 1982. - V. 29. - P. 185-197.

Vogt D. Kernels of Eidelhelt matrices and related topics // Proc. Intern. Symp. on Functional Analysis, Silivri. 1985, Doga 1986. - V.10. - P. 232-256.

Vogt D. On two problems of Mityagin // Math. Nachr. - 1989. - V. 141. - P. 13-25.

Vogt D. Operators between Frechet spaces // Wuppertal. — 1990. — Preprint. (2002). - P. 99-133.

Vogt D. Frechet valued real analytic function // Bull. Soc. Roy. Sc. Liege. - 2004. - V. 73. - P. 155-170.

Vogt D. Complemented ideals in A(Rd) of algebraic curves // Arch. Math. - 2009. - V. 92. - P. 531-537.

Список работ по теме диссертации

[79] Иванова О. А. О правых обратных, определяемых последовательностями Айдельхайта // Современные методы теории краевых задач. Материалы весенней математической школы "Понтрягинские чтения - XXм , Воронеж: ВГУ. - 2009. - С. 70-71.

[80] Иванова О. А. О проблеме моментов в пространстве Фреше без непрерывной нормы // Математический анализ и математическое моделирование. Труды международной конференции молодых ученых, Владикавказ. - 2010. - С. 94-95.

[81] Иванова О. А. Об операторе сужения на индуктивных пределах весовых пространствах целых функций // Известия высших учебных заведений. Северо-Кавказский регион. Серия: Естественные науки.

- 2011. - № 5. - С. 15-19.

[82],Иванова О. А. Об операторе сужения на весовых пространствах целых функций, определяемых уточненным порядком // Комплексный анализ и дифференциальные уравнения. Сборник тезисов VI Уфимской международной конференции, Уфа. - 2011. - С. 74-75.

[83] Иванова О. Л., Мелихов С. Н. Левый обратный к оператору сужения на весовых (//^-пространствах целых функций // „Комплексный анализ. Теория операторов. Математическое моделирование". Владикавказ, изд-во ВНЦ РАН. - 2006. - С. 35-47.

[84] Иванова О. А., Мелихов С. Н. О дополняемости собственных замкнутых идеалов в пространстве аналитических функций // Труды участников Международной школы-семинара по геометрии и анализу памяти Н. В. Ефимова, Ростов-на-Дону. - 2008. - С. 109.

[85] Иванова О. А., Мелихов С. Я. О представлении аналитических функций рядами из квазимономов // „Исследования по современному анализу и математическому моделированию". Владикавказ, изд-во ВНЦ РАН и РСО-А. - 2008. - С. 30-37.

[86] Иванова О. А., Мелихов С. Н. О последовательностях Айдельхайта для пространств Фреше без непрерывной нормы // Современные методы теории краевых задач. Материалы весенней математической школы "Понтрягинские чтения — XXI Воронеж: ВГУ. - 2010.

- С. 100-101.

[87] Иванова О. А., Мелихов С. Я. О правых обратных, определяемых последовательностями Айдельхайта // Владикавк. Мат. Журн. -2010. - Т.12, вып. 2. - С. 24-30.

[88] Иванова О. А., Мелихов С. Н. О непрерывной линейной зависимости решения проблемы моментов от правой части // Современные проблемы математики и её приложения в естественных науках и информационных технологиях. Сб. тезисов междунар. конф. Харьков:" Апостроф". - 2011. - С. 101-102.

[89] Иванова О. А., Мелихов С. Н. О линейной непрерывной зависимости решения проблемы моментов от правой части // Современные методы теории функций и смежные проблемы. Материалы Воронежской зимней математической школы, Воронеж: ВГУ. - 2011. -С. 151-152.

[90] Иванова О. А., Мелихов С. Н. Замечание о правом обратном к оператору свертки в пространстве целых функций экспоненциального типа // „Исследования по математическому анализу и дифференциальным уравнениям". Владикавказ, изд-во ВНЦ РАН и PCO-А. - 2011 . - С. 127-129.

[91] Иванова О. А., Мелихов С. И. О коэффициентах рядов по функциям Миттаг-Леффлера для аналитических функций // Известия высших учебных заведений. Северо-Кавказский регион. Серия: Естественные науки. - 2012. - № 6. - С. 21-26.

[92] Мелихов С. Н., Иванова О. А. О левом обратном к оператору сужения на некотором весовом пространстве целых функций // Труды участников Международной школы-семинара по геометрии и анализу памяти Н. В. Ефимова, Ростов-на-Дону. - 2004. - С. 129.