Численные методы моделирования и оптимизации в гидродинамике турбомашин тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, доктор физико-математических наук Черный, Сергей Григорьевич

• Черный, Сергей Григорьевич
• доктор физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Черный, Сергей Григорьевич

Введение.

Глава 1. Метод численного решения трехмерных задач динамики несжимаемой жидкости.

§1.1. Математические модели.

1.1.1. Обобщенная форма записи основных уравнений.

1.1.2. Модели турбулентности.

1.1.3. Законы подобия и приведенные величины.

1.1.4. Краевые условия и сегментация области.

1.1.5. Постановки задачи численного моделирования течений в турбомашинах.

§1.2. Метод решения основных уравнений.

1.2.1. Метод искусственной сжимаемости.

1.2.2. Неявная конечно-объемная аппроксимация модифицированных уравнений.

1.2.3. Линеаризация.

1.2.4. Метод LU-факторизации решения линеаризованной системы уравнений.

1.2.5. Свойства метода.

1.2.6. Численная реализация краевых условий.

1.2.7. Выбор коэффициента искусственной сжимаемости (3.

§1.3. Метод решения уравнений моделей турбулентности.

1.3.1. Обобщенная запись замыкающих уравнений.

1.3.2. Дискретизация уравнений.

1.3.3. Определение разностных потоков.

1.3.4. Аппроксимация источникового члена H.

1.3.5. Линеаризация.

1.3.6. Метод LU-факторизации решения линеаризованного уравнения.

1.3.7. Метод решения уравнений двухслойной k- е модели турбулентности.

1.3.8. Численная реализация метода пристеночных функций.

Глава 2. Геометрическая поддержка численного анализа течений.'.

§2.1. Геометрическое моделирование элементов проточного тракта турбомашин.

2.1.1. Восстановление поверхности по регулярному набору сечений.

2.1.2. Восстановление поверхности по набору сечений в общем случае.

§2.2. Методика построения сеток.

§2.3. Обмен данными между сегментами.

Глава 3. Верификация метода расчета течений несжимаемой жидкости.

§ 3.1. Обтекание пластины вязким ламинарным потоком жидкости.

3.1.1. Продольное обтекание неподвижной пластины.

3.1.2. Течение около пластины, внезапно приведенной в движение.

§3.2. Турбулентное течение в плоском канале.

3.2.1. к-s модели: RNG и с демпфирующими функциями для низких чисел Рейнольдса.

3.2.2. Двухслойная к-s модель.

§ 3.3. Турбулентное течение в плоском канале за обратным уступом.

§3.4. Обтекание кругового цилиндра.

3.4.1. Невязкое обтекание цилиндра.

3.4.2. Вязкое стационарное обтекание цилиндра.

3.4.3. Вязкое нестационарное обтекание цилиндра.

§3.5. О взаимосвязи между классическими моделями идеальной жидкости и численной моделью, построенной на основе уравнений Эйлера.

§3.6. Обтекание плоского крылового профиля идеальной жидкостью под углами атаки.

§3.7. Вязкое ламинарное течение в изогнутом на 90° канале квадратного сечения.

§3.8. Вязкое ламинарное течение в круглой трубе, изогнутой на 90°.

§3.9. Моделирование вихревых структур в замкнутой цилиндрической банке.

Глава 4. Моделирование течений в турбомашинах.

§ 4.1. Течение в радиально-осевой гидротурбине.

4.1.1. Расчеты течения в рабочем колесе.

4.1.2. Расчеты течения в отсасывающей трубе.

4.1.3. Совместные расчеты направляющего аппарата, рабочего колеса и отсасывающей трубы в циклической постановке.

4.1.4. Совместный расчет течения в спиральной камере, направляющем аппарате, рабочем колесе и отсасывающей трубе в полной постановке в приближении замороженного колеса.

4.1.5. Расчет течения в полной нестационарной постановке.

4.1.6. Моделирование вихревого жгута методом крупных вихрей.

§4.2. Течение в поворотно-лопастной гидротурбине.

4.2.1. Расчет течения во всем проточном тракте Волжской ГЭС в приближении замороженного колеса и уравнений Эйлера.

4.2.2. Моделирование зазоров.

§4.3. Течение в питательном насосе.

4.3.1. Сегментация области течения и организация расчета.

4.3.2. Рассчитанные режимы течения и анализируемые характеристики насоса.

4.3.3. Результаты расчетов.

Глава 5. Оптимизация формы лопасти гидротурбины.

§5.1. Общее описание алгоритма одноцелевой оптимизации.

5.1.1. Постановка задачи.

5.1.2. Схема решения.

§5.2. Параметризация лопасти.

§ 5.3. Ограничения.

5.3.1. Ограничение на напор.

5.3.2. Кавитационное ограничение.

§ 5.4. Целевые функционалы.

5.4.1. F{ - кинетическая энергия в выходном сечении рабочего колеса.

5.4.2. F2 - относительный размер области кавитации.

5.4.3. F3 - отклонение линий тока от «осесимметричного» потока.

§ 5.5. Алгоритмы поиска минимума функционала.

5.5.1. Постановка оптимизационной задачи.

5.5.2. Детерминированный алгоритм ПОИСК.

5.5.3. Стохастический алгоритм Breeder Genetic Algorithm (BGA).

5.5.4. Методическое исследование оптимизационных алгоритмов.

§ 5.6. Результаты расчетов одноцелевой оптимизации.

§ 5.7. Многоцелевая оптимизация (МО) формы лопасти гидротурбины.

5.7.1. Описание алгоритма многоцелевой оптимизации.

5.7.2. Тестовые расчеты.

§ 5.8. Результаты расчетов многоцелевой оптимизации.

5.8.1. Двухцелевая оптимизация.

5.8.2. Трехцелевая оптимизация.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численные методы моделирования и оптимизации в гидродинамике турбомашин»

Диссертационная работа посвящена разработке методологии и инструментария вычислительного эксперимента в задачах гидродинамики турбо-машин и решению с их помощью конкретных фундаментальных и прикладных задач. В работе под турбомашинами подразумеваются в первую очередь радиально-осевые и поворотно-лопастные гидротурбины [1], а также центробежные водяные насосы [2]. Характерные числа Рейнольдса течений варьируются в этих устройствах в диапазоне 105<11е<107. Поэтому за основу их математического моделирования берутся либо уравнения Эйлера (невязкое приближение), либо - осредненные по Рейнольдсу или отфильтрованные на сеточном фильтре уравнения Навье-Стокса (турбулентное приближение). Во всех случаях рассматриваются уравнения несжимаемой жидкости.

Актуальность темы работы связана с ужесточением требований к техническим характеристикам создаваемых новых перспективных турбома-шин. Так, например, КПД современных гидротурбин превышает 93,5% для радиально-осевых и 92% для поворотно-лопастных машин (см. [1]). Значительно возросли требования к кавитационным характеристикам, допустимым нагрузкам на элементы, вибрации, шуму и др. В этих условиях для достижения высоких технических характеристик крайне важным становится совершенствование методов численного моделирования течений в турбомашинах и создание на их основе адекватных методов проектирования их форм.

Численное моделирование в гидродинамике турбомашин является комплексной задачей, объединяющей ряд проблем из различных областей знаний [3-5]. К этим проблемам относятся разработка моделей и методов решения составляющих их уравнений, выработка адекватных постановок задачи, создание инструмента геометрической поддержки, обеспечивающего моделирование поверхностей проточного тракта, его сегментацию, построение расчетных сеток и обмен данными между блоками-сегментами.

В каждом элементе проточного тракта турбомашины в потоке доминируют физические процессы, характерные именно для этого элемента. В соответствии с этим необходимо выбирать подходящие модели для описания течений в них. С одной стороны, модель должна отображать основные особенности течения, а с другой - быть экономичной. Так, в рабочем колесе гидротурбины основную роль играет процесс передачи рабочему колесу жидкостью ее вращательного момента [3]. Этот процесс достаточно точно описывается стационарной моделью невязкой жидкости.

На потери энергии в отсасывающей трубе значительное влияние оказывают вязкие свойства жидкости. Доминирующую роль играет вязкость и в механизме формирования и распространения вниз по потоку прецессирую-щего вихревого жгута за рабочим колесом, оказывающего значительное влияние на работу всей турбины. Поэтому для адекватного описания течения в отсасывающей трубе необходима эффективная модель турбулентности [5-13]. В то же время имеются работы, в которых показывается, что многие особенности течений, наблюдаемые в действительности и обусловиваемые действием вязкости жидкости, достаточно хорошо описываются численной моделью невязкой жидкости. В [14-15] отрывные течения численно моделируются на основе уравнений Эйлера несжимаемой жидкости, однако при этом постулируется наличие тангенциальных разрывов в виде вихревых пелен, сходящих с угловых точек задних кромок. Результаты расчетов интерпретируются как соответствующие характерному числу Рейнольдса, стремящемуся к бесконечности. В [16-17] также в рамках уравнений Эйлера, но уже сжимаемой жидкости, методом «крупных частиц» моделируется отрывное течение за кормой осесимметричного цилиндра. В расчете в этом месте наблюдается срыв потока и образование рециркуляционной зоны, объясняемые авторами вязкостными эффектами схемы. При этом авторы подчеркивают, что влияние аппроксимационной вязкости достаточно мало, так как в рециркуляционной зоне реализуются небольшие значения дозвуковых скоростей, а расчеты на разных сетках показали незначительное изменение контура зоны.

Наконец, вопрос о значении и месте в численной модели уравнений Эйлера условия Жуковского-Чаплыгина, которое, как известно [18-22], необходимо для отбора из бесконечного числа теоретически возможных плавных обтеканий профиля с угловой точкой на задней кромке того, которое реализуется в действительности, рассматривается в работах [5, 23-24]. В [23] было выполнено специальное исследование, в котором выбор разностной сетки проводился как с учетом, так и без учета условия Чаплыгина — Жуковского. В первом случае сетка за решеткой профилей была подвижной и содержала линии тока, сходящие в соответствии с принятым алгоритмом с задней кромки. Во втором случае расчет велся с использованием неподвижной сетки, построенной достаточно произвольным образом и поэтому не обеспечивающей схода струек тока с остроконечных кромок профилей. И в том и в другом случаях в процессе установления вырабатывались некоторые не зависящие от времени распределения параметров, удовлетворяющие уравнениям и условиям стационарной задачи (вернее, их конечноразностным аналогам). Сравнение полученных распределений показало, что их различие лежит в пределах точности вычислений, причем результаты расчета достаточно хорошо согласуются с имеющимися экспериментальными данными. Следовательно, решение, вырабатывающееся в процессе установления в случае решеток профилей со слегка скругленными задними кромками, также близко к реализующемуся в действительности (речь идет о профилях и режимах обтекания, для которых отрыв потока локализуется в малой окрестности задней кромки). Авторы отмечают, что и при решении стационарной задачи положение точки схода потока на скругленной кромке задается достаточно произвольно. На самом деле в этом случае вблизи скругления обычно наблюдается отрыв пограничного слоя, что, строго говоря, делает необоснованным рассмотрение течения в непосредственной окрестности задней кромки в рамках классической модели идеального газа. Таким образом, в дополнение к упрощениям, связанным с переходом от эллип-тико-гиперболической системы к гиперболической, процесс установления снимает необходимость использования условия Чаплыгина-Жуковского.

В [5, 24] авторы, обсуждая данный вопрос, приходят к выводу о том, что численная модель уравнений Эйлера позволяет вести расчет подобных течений без использования условия Жуковского-Чаплыгина из-за диссипа-тивных механизмов, которые, отсутствуя в исходных уравнениях Эйлера, неизбежно появляются в их разностных аналогах. О том, что указанные механизмы играют важную роль, говорит независимость полученных в [5, 24] при сходимости итераций предельных решений от начальных данных. Отмечается, что для отбора требуемого решения важен не конкретный вид «дисспиа-тивных» членов, появляющихся в разностных уравнениях и зависящих от выбранной разностной схемы, а само наличие «механизма диссипации».

В связи с вышесказанным актуальной остается проблема выявления и расширения области применимости численной модели уравнений Эйлера несжимаемой жидкости в задачах гидродинамики турбомашин в силу ее чрезвычайной экономичности.

Сложность геометрии турбомашины и наличие движущихся элементов неизбежно приводит к необходимости разбиения проточного тракта на отдельные сегменты. Главным образом это вызвано наличием в турбомашине неподвижных проточных частей (спиральная камера, каскад статорных колонн с лопатками направляющего аппарата, отсасывающая труба) и вращающихся вместе с рабочим колесом межлопастных каналов. Кроме того, сегментация зачастую вызвана требованием построения качественных сеток (близких к ортогональным, сгущающихся к стенкам и особенностям течения). Наконец, сегментация необходима для преодоления ограничений на топологию расчетной области, накладываемых численным методом решения уравнений движения [25].

Моделирование потока в турбомашине можно осуществлять в различных постановках. Один из наиболее распространенных и эффективных подходов - это стационарная циклическая постановка, в которой принимается допущение, что течения во всех межлопаточных каналах направляющего аппарата и межлопастных каналах рабочего колеса одинаковы [26]. В этом случае расчет проводится только в одном из каналов аппарата и колеса, а на боковых границах этих каналов ставятся условия периодичности потока. Для передачи параметров потока из вращающихся сегментов в неподвижные и наоборот, их значения усредняются в окружном направлении. Такой подход существенно экономит вычислительные ресурсы, однако не дает возможности учитывать окружную неравномерность потока и связанные с ней нестационарные эффекты,

Течения в турбомашинах на неоптимальных режимах работы имеют ярко выраженный нестационарный характер. Периодические пульсации давления в лопастной системе и отсасывающей трубе приводят к большим гидродинамическим потерям, вибрации и шуму. Для решения актуальной задачи количественного моделирования этих явлений необходимо использовать более сложную нестационарную модель течения во всех межлопаточных каналах направляющего аппарата и межлопастных каналах рабочего колеса [5, 10, 11,27-29].

Важнейшей проблемой при численном моделировании течений в турбомашинах является разработка эффективных разностных алгоритмов для численного интегрирования основных уравнений. Она стимулируется, с одной стороны, возрастающими требованиями к точности численных расчетов, а с другой стороны, необходимостью проведения расчетов в более полных нестационарных турбулентных постановках за приемлемое время. Использование неравномерных сеток с малыми пространственными шагами ставит проблему разработки неявных разностных схем с большим запасом устойчивости и эффективной разрешимостью, сопоставимой с явными алгоритмами. Необходимость проведения серийных расчетов диктует высокие требования к быстродействию алгоритмов и экономичному расходованию памяти ЭВМ. Немаловажным аспектом является универсальность численного метода, т.е. отсутствие необходимости подбора множества настроечных параметров. Эти требования определяют актуальность разработки новых абсолютно устойчивых, экономичных разностных схем повышенного порядка аппроксимации для моделирования задач механики сплошной среды.

В настоящее время имеется большое количество методов решения уравнений Эйлера, Навье-Стокса и Рейнольдса несжимаемой жидкости. Для двухмерных задач чаще всего используются переменные завихренность -функция тока [30-32]. В случае расчетов пространственных течений их описание через завихренность и функцию тока приводит к большему числу зависимых переменных, чем описание в простейших переменных давление -компоненты скорости. К тому же постановка граничных условий для завихренности на твердой поверхности затруднительна. Поэтому, как правило, расчеты пространственных течений несжимаемой жидкости проводятся в простейших переменных. В этом случае давление может определяться отдельно от уравнений движения, из уравнения Пуассона с использованием итерационных методов [33-40].

В последнее время при аппроксимации уравнений сохранения импульса в данных алгоритмах стали использоваться квазимонотонные схемы высокого порядка аппроксимации [35-37, 40-42], что значительно повысило качество получаемых численных результатов. Но вследствие сильной взаимосвязи полей давления и скорости решение уравнения Пуассона для давления отдельно от уравнений сохранения импульса приводит к медленной сходимости итерационного процесса, и общее время счета трехмерных задач может оказаться недопустимо большим.

Другой способ вычисления давления основан на методе искусственной сжимаемости, при котором давление рассчитывается одновременно со скоростью. Суть этого подхода при решении стационарных задач методом установления заключается в добавлении производной по времени от давления в уравнение неразрывности. При этом уравнения Эйлера или невязкая часть уравнений Навье-Стокса и Рейнольдса становятся гиперболическими по времени и для нахождения стационарных решений модифицированной системы можно применять метод установления. Впервые метод искусственной, ежимаемости был предложен Владимировой, Кузнецовым, Яненко [43], но в этой работе добавочный член в уравнении неразрывности состоял из производной по времени от суммы давления и четверти квадрата модуля скорости. Введение же в уравнение неразрывности только производной от давления впервые было использовано Чориным [44], им же был введен термин «метод искусственной сжимаемости». В дальнейшем этот прием использовался достаточно широко, отметим, например, работы [45-48].

Нахождение давления одновременно со скоростью значительно повышает эффективность вычислительных алгоритмов. Однако, главное преимущество применения метода искусственной сжимаемости заключается в том, что появляется возможность использовать современный аппарат численного моделирования течений сжимаемого газа при расчетах течений несжимаемой жидкости и создать эффективный метод решения трехмерных уравнений Эйлера, Навье-Стокса и Рейнольса [49-71].

Первоначально метод искусственной сжимаемости применялся лишь при численном решении стационарных задач. Распространение же его на нестационарный случай возможно с помощью так называемого «двойного шагания по времени» (dual-time stepping scheme) [5, 12, 27-29, 72-81].

Обобщение метода искусственной сжимаемости на нестационарные задачи осуществляется путем введения в исходные уравнения дополнительных производных по псевдовремени от отыскиваемых переменных. Производная по псевдовремени от давления добавляется в уравнение неразрывности, аналогично методу искусственной сжимаемости, а производные по псевдовремени от всех компонент скорости вводятся во все уравнения сохранения импульса. Получаемые при этом численные алгоритмы практически не различаются, но при решении нестационарной задачи на каждом шаге по времени проводится установление решения по псевдовремени.

Для построения алгоритмов расчета течений используются уравнения, записанные либо в дифференциальной форме, и тогда метод дискретизации называют конечно-разностным, либо - уравнения в интегральной форме, и тогда применяется метод конечных объемов. Сравнение двух этих подходов наиболее полно рассмотрено в обзорной работе [82]. К преимуществам метода конечных объемов можно отнести: автоматическое получение при его применении консервативных разностных схем, отсутствие необходимости нахождения метрических коэффициентов преобразования координат, простота вычисления используемых геометрических величин. Применение метода конечных объемов при построении численных алгоритмов решения уравнений несжимаемой жидкости можно найти, например, в работах [39, 47, 83] и во всех цитируемых работах, в соавторстве с диссертантом, кроме - [89, 90].

После получения на основе метода конечных объемов дискретной аппроксимации исходных уравнений встает необходимость нахождения разностных потоков на гранях расчетной ячейки. При использовании свойства гиперболичности модифицированных уравнений Эйлера (невязкой части уравнений Навье-Стокса и Рейнольдса), вычисление потоков массы и количества движения на гранях ячеек может быть осуществлено таким образом, чтобы результирующая схема имела направленные против потока разности второго или третьего порядков аппроксимации. Схемы из данного класса широко применяются при расчетах течений сжимаемой жидкости (газа) [8488]. В случае же расчетов течений несжимаемой жидкости на основе метода искусственной сжимаемости применение такой аппроксимации потоков на гранях расчетной ячейки было использовано в работах [4-6, 8, 12, 13, 25-29, 49-79].

Имеется несколько различных подходов к построению расщепления векторов потоков, на основе которых строятся противопотоковые схемы. Наиболее распространенными из них являются расщепление по знакам собственных чисел матрицы Якоби [85] и расщепление по физическим процессам [89-90]. Суть обоих подходов заключается в построении расщепленных потоков со знакоопределенными собственными числами матриц Якоби, что обеспечивает устойчивость численного алгоритма.

Получаемая противопотоковая схема повышенного порядка аппроксимации обеспечивает достаточно высокую степень совпадения тестовых расчетов с имеющимися точными решениями и экспериментальными данными моделируемых течений. Однако в местах больших градиентов численного решения возможно появление нефизических осцилляции, что понижает разрешающую способность используемых алгоритмов. Для преодоления этой трудности и обеспечения монотонности решения в случае невязких течений или при больших числах Рейнольдса в случае вязких используются ограничители невязких разностных потоков, обеспечивающие выполнение для разностной схемы принципа невозрастания полной вариации решения. В этом случае отпадает необходимость явного введения в разностные уравнения искусственных диссипативных членов. Определение критериев выполнения для разностной схемы принципа невозрастания полной вариации при аппроксимации скалярного закона сохранения было сформулировано в работах Хар-тен [91-92]. На основе этих критериев было построено большое количество ТУЭ-схем, наиболее распространенные из которых впервые были предложены в работах [93-97]. Обладающие свойством невозрастания полной вариации решения схемы позволили значительно улучшить качество численных результатов на разрывах при расчетах течений сжимаемой жидкости. ТУБ-схема, основанная на направленных разностях до 3-го порядка аппроксимации включительно, была предложена в работе [94]. Применение ее для расчетов пространственных течений идеального газа представлено в [98].

Большинство же численных методов расчета несжимаемых трехмерных течений основывались до недавнего времени на центрально-разностной аппроксимации второго порядка и введении в уравнения для монотонизации решения искусственной вязкости, понижающей разрешающую способность алгоритмов [47]. В последнее десятилетие появились публикации, в которых элементы высокоразвитой методологии расчета сжимаемых течений переносятся на расчет несжимаемых. В частности, в работе [99] конвективные члены в уравнениях количества движения предлагается аппроксимировать по аналогии с противопотоковой Т\Т>-схемой второго или третьего порядка. В работах [72-73] впервые используется гиперболичность невязкой части модифицированных уравнений Навье-Стокса несжимаемой жидкости для расщепления потоков и аппроксимации их направленными разностями 3-го порядка. В работе [100] для расчетов двумерных течений несжимаемой жидкости использовалась ТУБ-схема второго порядка аппроксимации [95]. Представленные в данных работах численные результаты свидетельствуют о том, что применение для исследования несжимаемых течений подходов, разработанных при моделировании течений сжимаемой жидкости значительно повышает эффективность численных алгоритмов.

Использование высокоточных алгоритмов при расчетах трехмерных задач механики жидкости на доступной в настоящее время вычислительной технике требует применения экономичных методов решения получаемых систем разностных уравнений. Наиболее широко используемым методом решения этих систем является метод переменных направлений [45, 84]. Его реализация при решении пространственных задач требует факторизации по каждому из трех направлений, вследствие чего исходная неявная безусловно устойчивая схема, может стать условно устойчивой. Поэтому при построении эффективных разностных алгоритмов стараются избежать факторизации вообще или свести ее к произведению только двух операторов.

Одним из широко используемых способов достижения этой цели является введение по одному из направлений итераций типа Гаусса-Зейделя. В частности в работах [98, 101-102] использовался метод, в котором по продольному к потоку направлению применялись итерации типа Гаусса-Зейделя, а в поперечных сечениях проводилась факторизация по оставшимся двум направлениям. Ограничения на шаг по времени в этом случае снимаются, но реализация алгоритма на каждом временном слое требует значительно большего числа операций по сравнению с методом переменных направлений из-за наличия нескольких обходов расчетной области до достижения сходимоста итераций метода Гаусса-Зейделя. Поэтому применение данного подхода во многих случаях себя не оправдывает.

Другим способом реализации неявных конечно-разностных схем, являются алгоритмы, аналогичные попеременно-треугольному методу [103]. Различные варианты построения численных алгоритмов на основе данного метода при расчетах течений сжимаемой жидкости можно найти в работах [104-109]. В случае. расчетов течений несжимаемой жидкости этот метод применялся в работе [110] и во всех цитируемых работах автора с соавторами, кроме - [89-90]. Использование таких алгоритмов в трехмерном случае позволяет факторизовать обращаемый неявный оператор на два. Реализация каждого из них осуществляется с помощью схемы бегущего счета. При этом обход расчетной области производится по диагонали в прямом и обратном направлениях. Отметим, что при использовании различных способов расщепления потоков появляется несколько вариантов проведения факторизации в попеременно-треугольном методе. Причем при некоторых допущениях удается свести обращение неявного оператора к обращению диагональной матрицы в методе векторного бегущего счета, что делает реализацию каждого из факторизованных шагов значительно более экономичной. Преимущества попеременно-треугольного метода проявляются в основном при решении трехмерных разностных уравнений, так как лишь в этом случае происходит уменьшение числа факторизованных шагов. Отметим также, что при обращении неявного разностного оператора, полученного в результате применения разностных схем повышенного порядка аппроксимации, после линеаризации уравнений обычно в стабилизирующем операторе оставляют только члены, отвечающие за первый порядок аппроксимации. Это связано с большой трудоемкостью использования векторных прогонок на расширенных шаблонах. В результате стабилизирующий оператор оказывается несогласованным с правой частью уравнений, что может приводить к замедлению сходимости итерационных процессов. В попеременно-треугольном методе расширение шаблона в стабилизирующем операторе не связано с большими затратами, так как его обращение осуществляется с помощью схемы бегущего счета. Это дает возможность ускорять в некоторых случаях сходимость итераций посредством использования в обоих частях уравнений согласованных конечных разностей.

Одним из важных вопросов при численном моделировании течений несжимаемой жидкости являетсякорректная постановка граничных условий. В случае рассмотрения задач протекания данный вопрос детально рассмотрен в работах [111-113]. Наиболее известная постановка граничных условий при протекании идеальной жидкости сводится к заданию распределения вектора скорости на входной границе, распределения нормальной компоненты скорости на выходной и условия непротекания на твердой стенке. В работах же [47, 72-73] в численном алгоритме, основанном на методе искусственной сжимаемости, используется характеристический подход к постановке граничных условий на входной и выходной границах, при котором существенно используется гиперболичность модифицированной системы уравнений. В случае же протекания вязкой жидкости в [111] приводятся несколько вариантов корректного задания граничных условий, каждый из которых может оказаться наиболее приемлемым в зависимости от конкретной задачи.

При рассмотрении же задач внешнего обтекания на удаленных границах обычно либо задают значения всех переменных из асимптотического решения рассматриваемой задачи, либо, используя гиперболичность невязкой части модифицированных уравнений, применяют так называемые «неотражающие граничные условия» [114-116]. Суть данного подхода заключается в определении характеристических переменных, соответствующих входящим в вычислительную область характеристикам, по значениям переменных на бесконечности (невозмущенный поток), а характеристические переменные, соответствующие выходящим характеристикам, экстраполируются изнутри области. Из объединенного множества этих характеристических переменных находятся простейшие переменные на данной границе.

Суммируя вышеизложенное, можно сказать, что в разработке методов вычислительной гидродинамики достигнут уровень, позволяющий серийно рассчитывать пространственные течения в реальных турбомашинах в различных, в том числе, полных постановках и приближениях. Эти подходы дают более точные результаты, чем до сих пор остающиеся на вооружении у разработчиков перспективных турбомашин квазитрехмерные [117-118], а также плоские и осесимметричные [18, 119] приближения. Особенно это касается расчетов течений в решетках турбомашин с небольшим количеством лопастей. Поэтому современные вычислительные технологии в гидродинамике активно осваиваются исследователями и проектировщиками [120-122].

Гидродинамическое проектирование форм компонент турбомашин, то есть выбор их геометрических параметров, при которых выполняются предъявляемые к турбомашинам требования, как правило, проводится методом «ручного» возмущения известной геометрии прототипа и оценки влияния этого возмущения на гидродинамические характеристики. Такой подход затрудняет совершенствование форм в направлении повышения качества тур-бомашины, так как для этого требуется перебор большого количества комбинаций геометрических параметров и анализ соответствующих гидродинамических полей. Поэтому чрезвычайно актуальной является задача формализации и автоматизации этого процесса путем постановки и решения соответствующей оптимизационной задачи. Современный уровень развития вычислительной техники и численных алгоритмов позволяет создать систему автоматического проектирования и оптимизации проточных частей турбомашин, основывающуюся на последовательности трехмерных расчетов течений в них и выборе такой ее формы, которая обеспечит минимум заданных целевых функционалов.

В последнее время в мире появляется все больше и больше работ, посвященных проблеме автоматизации процесса проектирования и оптимизации форм элементов гидротурбин. Общее в подходах в этих работах состоит в предварительной параметризации рассматриваемой поверхности и последующем автоматическом переборе различных комбинаций геометрических параметров, численном моделировании течения в полученных проточных трактах и отыскании с помощью некоторой стратегии такой комбинации параметров, которая будет давать минимум заданной целевой функции.

Большинство публикаций посвящены автоматической оптимизации формы основного элемента - рабочего колеса радиально-осевой [5, 27, 29, 123-130] и поворотно-лопастной [131-132] гидротурбин. В [128] рассмотрена оптимизация формы лопаток направляющего аппарата. Работы [133-135] посвящены оптимизации формы отсасывающей трубы.

Для параметризации поверхностей активно используется аппарат кривых Безье и сплайн-функций, при этом, как правило, варьирование формы осуществляется путем вариации нескольких десятков параметров. Так, в [125] форма лопасти, образующих обода и ступицы рабочего колеса определяется 27 параметрами. В [5, 27, 29, 123-124, 126] оптимизируется только форма срединной поверхности лопасти, которая во всех этих работах, кроме последней, задается 16 параметрами, а в [126] - 35 параметрами.

В [132] для варьирования поверхности лопасти поворотно-лопастной турбины используются девять параметров, задающих углы входной и выходной кромок, и семь параметров, задающих распределение толщины. В работе [134] форма симметричной отсасывающей трубы определяется 10 свободными параметрами.

При оптимизации рабочего колеса во всех указанных выше работах расчетной областью является проточная часть между двумя соседними лопастями рабочего колеса (межлопастной канал), захватывающая некоторое пространство перед рабочим колесом и часть диффузора за ним. Расчет стационарного пространственного течения в межлопастном канале проводится в предположении, что течения во всех остальных межлопастных каналах циклически повторяются. Такой подход позволяет существенно сократить объем вычислений и для большинства режимов работы гидротурбины вполне приемлем.

Режим работы гидротурбины определяется заданием расхода Q и напора Я или заданием расхода Q и частоты вращения рабочего колеса п. Перед началом процесса оптимизации фиксируются рабочий режим турбины и, как правило, некоторый исходный вариант рабочего колеса. В работах [5, 27,29, 123-126, 128, 131-132, 133-134] оптимизация проводится для теоретически предсказанного режима наибольшего КПД (оптимального режима). В [129] кроме оптимального учитываются также режимы максимальной и неполной загрузки. После задания рабочего режима турбины проводится расчет течения в рабочем колесе с учетом направляющего аппарата и отсасывающей трубы, необходимый для определения граничных условий на входе в рабочее колесо. В дальнейшем, в процессе модификации формы рабочего колеса, эти условия остаются неизменными.

Гидродинамические расчеты перебираемых конфигураций в работах [126-129, 131-135] проводятся путем решения уравнений Рейнольдса несжимаемой жидкости. При этом для моделирования турбулентности, как правило, используется к -е -модель [129, 131, 133-135]. В работах [5, 27, 29, 123125] расчет течения в рабочем колесе проводится в рамках уравнения Эйлера.

Вообще говоря, основными показателями качества гидротурбины являются КПД, с которым гидравлическая энергия преобразуется в механическую, а также ее кавитационная устойчивость. Однако для корректного расчета КПД необходимо проводить расчет во всей гидротурбине с учетом направляющего аппарата и особенно отсасывающей трубы с использованием достаточно подробных сеток и адекватных моделей турбулентности. Подобные расчеты требуют больших вычислительных затрат и пока не могут быть использованы для нужд оптимизации. Поэтому в большинстве работ для построения целевого функционала используются косвенные данные, такие как, например, потери полного давления в рабочем колесе (фактически КПД одного рабочего колеса), качество поля скорости на выходе из рабочего колеса, то есть на входе в диффузор отсасывающей трубы. Кроме того, в качестве функционалов, характеризующих качество гидротурбины, рассматриваются вращающий момент, связанные с кавитационной устойчивостью размер и положение зоны низкого давления на тыльной стороне лопасти и так далее.

Среди работ по оптимизации рабочего колеса стоит выделить [5, 27, 29, 123-125, 136], поскольку в них гидродинамические расчеты проводятся в рамках уравнений Эйлера идеальной несжимаемой жидкости. Использование уравнений Эйлера оправдано быстротой их численного решения и малостью влияния вязких эффектов на поток в рабочем колесе. Так как явный расчет потерь энергии в этом приближении невозможен, актуальной является задача формулировки адекватных целевых функционалов, минимизация которых будет косвенно уменьшать различные виды потерь энергии через улучшение кинематических свойств потока. Такой поход позволяет отказаться от использования турбулентных моделей течения, требующих больших затрат времени счета. В нем для оценки качества лопасти используются такие косвенные параметры, как характер распределения давления от ступицы к ободу на рабочей стороне лопасти, монотонность понижения давления от входной кромки лопасти к выходной, характер распределения меридиональной и окружной компонент скорости на входе в отсасывающую трубу. Запас устойчивости к кавитации характеризуется превышением давления потока на тыльной стороне лопасти над давлением насыщенного пара.

В работах [133-135], посвященных оптимизации отсасывающей трубы, в качестве целевого функционала, подлежащего максимизации, используется основной показатель качества диффузора - коэффициент восстановления давления.

При проектировании и оптимизации проточного тракта турбомашин учитываются, как правило, несколько требований. Помимо эффективности работы на данном режиме, необходимо учитывать и другие критерии качества, такие как кавитационные характеристики рабочего колеса, его взаимодействие с отсасывающей трубой, а также эффективность работы турбины в других режимах. Множество требований, предъявляемых к турбомашине как правило, противоречивых), диктует необходимость использования специальных методов при решении задачи оптимизации. Здесь можно выделить несколько подходов. Первый состоит в рассмотрении в качестве целевого функционала, подлежащего минимизации, взвешенной суммы всех интересующих функций качества. Такой подход использован, в частности, в работе [125]. Недостаток его очевиден: для адекватного выбора весовых коэффициентов для каждой новой турбины необходимы накопление статистики оптимизационных расчетов с различными комбинациями весов и тщательное сопоставление результатов. Второй подход предполагает при минимизации одного функционала накладывать дополнительные ограничения на величину всех остальных интересующих, функционалов. Однако наиболее перспективным. с точки зрения автора, является подход многоцелевой оптимизации, в котором улучшение формы лопасти проводится сразу по нескольким функционалам [5, 128, 129, 131, 136-137]. Методические исследования задачи многоцелевой оптимизации проводятся в [138-143].

Вследствие того, что минимизируемые функционалы независимы, вообще говоря, не существует одного решения, дающего минимум сразу всех целевых функционалов. Решением такой задачи является целое семейство точек, называемое множеством (фронтом) Парето. Каждая точка фронта Па-рето — оптимальна в том смысле, что путем ее возмущения невозможно улучшить какой-либо целевой функционал без ухудшения остальных критериев качества. Таким образом, фронт Парето представляет собой множество оптимальных решений, каждое из которых лучше любого другого по крайней мере по одному целевому функционалу. Компромиссное решение (золотая середина) на фронте Парето выбирается человеком вручную исходя из вида поверхности фронта в пространстве функционалов и предпочтений, отдаваемых какому-либо функционалу.

Среди различных методов поиска глобального минимума целевого функционала применительно к задаче оптимизации форм элементов турбо-машин наибольшее распространение получили различные модификации генетического алгоритма (Genetic Algorithm или GA). Он использован в работах [5, 27, 29, 123-126, 129-131, 136]. Из достоинств этого алгоритма следует отметить основное — он допускает параллельный расчет нескольких десятков конфигураций, образующих поколение, что позволяет в десятки раз сократить общее время проведения оптимизации. В [5, 124, 127-128, 133] используются как GA, так и метод градиентного спуска и проводится их сравнение. В работе.[135], посвященной оптимизации отсасывающей трубы, поиск минимума осуществляется методом градиентного спуска, а в [134] используется так называемый «метод поверхности отклика» (Response Surface Methodology).

В работах [5, 129, 131, 136-137], где проводится многоцелевая оптимизация, используется Multi-Objective Genetic Algorithm (MOGA), являющийся модификацией GA. При осуществлении многоцелевой оптимизации оптимум ищется у нескольких функционалов FX,.,FM одновременно. При использовании классических оптимизационных алгоритмов, таких как градиентные методы, задача нахождения множества Парето сводится к проведению серии из к оптимизационных расчетов, в каждом из которых минимизируется сумма с весами Wj интересующих проектировщика функционалов FV.,FM, нам зываемая функцией качества: Fk = WjFj . Структура GA позволяет i ,.м проводить многоцелевую оптимизацию без рассмотрения последовательности функций качества и получать множество Парето после проведения одного оптимизационного расчета [137].

В [129] минимизируются потери в рабочем колесе для трех режимов: оптимального, максимальной загрузки, неполной загрузки, то есть минимизируются три функционала. Оптимизационные расчеты в [129, 137] производились с использованием распараллеленного генетического алгоритма.

Цель работы заключается в постановках новых задач численного моделирования течений в проточных трактах турбомашин, создании новых численных методов расчета пространственных невязких и турбулентных, стационарных и нестационарных течений в них, в их верификации путем сравнения с экспериментальными и расчетными данными других авторов, установлении базовых свойств этих течений и влияния на них определяющих параметров, в решении оптимизационных задач автоматизации процесса проектирования форм турбомашин с использованием новых постановок задач и оригинальных численных алгоритмов.

Методология исследования опирается на современные информационно-вычислительные технологии, включающие адекватные физико-математические модели изучаемых явлений (трехмерные уравнения Эйлера и Рейнольдса несжимаемой жидкости), эффективные вычислительные алгоритмы (метод конечных объемов, конечно-разностные схемы, методы оптимизации), принципы создания проблемно-ориентированных программных комплексов.

Научная новизна изложенных в диссертационной работе результатов заключается в следующем. В диссертации сформулированы постановки новых задач численного моделирования течений в турбомашинах с учетом различных физических факторов, задач одноцелевой и многоцелевой оптимизации форм турбомашин. Созданы оригинальные эффективные численные методы и алгоритмы решения поставленных задач. Для реализации предложенной вычислительной методологии создана иерархия эффективных информационно-программных средств. С использованием предложенной вычислительной технологии решены новые важные прикладные задачи гидродинамики турбомашин.

Теоретическое значение. Предложен единый методологический подход проведения вычислительного эксперимента и оптимизации форм в гидродинамике турбомашин, включающий иерархию постановок задач, систему физико-математических моделей и оригинальные численные алгоритмы. Получены теоретические и численные оценки эффективности созданных алгоритмов, проведена их верификация. Установлены базовые свойства изученных течений, в частности выявлены механизмы формирования прецесси-рующего вихревого жгута в конусе отсасывающей трубы и его воздействие на поток вверх и вниз по течению.

Практическая значимость диссертационной работы заключается в том, что полученные результаты доведены до алгоритмов, которые могут быть использованы при проектировании перспективных конструкций турбо-машин. Алгоритмы позволяют без проведения дорогостоящих экспериментов получать интегральные и локальные характеристики течений в турбомаши-нах. Алгоритмы оптимизации формы лопасти рабочего колеса гидротурбины обеспечивают проведение автоматического перебора различных комбинаций геометрических параметров и отыскание формы, удовлетворяющей заданным критериям ее качества.

Результаты диссертационной работы (методология, модели, алгоритмы, программные системы, результаты расчетов) используются в проектных исследованиях в филиале «Ленинградский металлический завод» концерна «Силовые машины». Данные исследования поддерживались на протяжении ряда лет Российским фондом фундаментальных исследований (96-01-01934, 98-01-00742, 01-01-00799, 04-01-00246).

Обоснованность и достоверность основных результатов, полученных в диссертации, основывается на строгом математическом описании разработанных численных алгоритмов, полученных априорных оценках этих алгоритмов, детальных методических расчетах широко известных и рекомендуемых тестовых задач, сопоставлении результатов численных расчетов с данными экспериментов и результатами, полученными другими авторами.

Публикации. Всего по теме диссертации опубликована 41 работа [4-6, 8, 12, 13, 25-29, 49-70, 75-79, 123, 124, 136]. Основные результаты диссертации сосредоточены в 24 из них, в том числе (в скобках в числителе указан общий объем этого типа публикаций, в знаменателе - объем, принадлежащий лично автору): в одной монографии [5] (12/6 печ. л.), в 9 статьях в изданиях, рекомендованных ВАК для представления результатов докторских диссертаций^, 8, 26, 58, 61, 65, 66, 124, 136] (6,2/3,1 печ. л.), в 6 статьях в международных рецензируемых журналах [4, 13, 25, 27, 29, 57] (6,8/4,5 печ. л.), в 8 публикациях в трудах международных конференций [12,28, 53, 54, 69, 70, 75, 123] (4,3/2,1 печ. л.).

Результаты автора в решении фундаментальных и прикладных задач гидродинамики турбомашин состоят в следующем.

1. Предложены новые постановки задач численного моделирования трехмерных стационарных и нестационарных, невязких и турбулентных течений в турбомашинах, задач одноцелевой и многоцелевой оптимизации форм проточного тракта.

2. Созданы новые эффективные численные методы решения трехмерных уравнений движения несжимаемой жидкости и уравнений моделей турбулентности на основе метода искусственной сжимаемости, конечных объемов и экономичного метода типа попеременно-треугольного обращения неявного оператора, имеющие второй порядок аппроксимации по времени и второй или третий по пространственным переменным. Разработаны численные алгоритмы решения задач одноцелевой и многоцелевой оптимизации и автоматического проектирования формы лопасти рабочего колеса гидротурбины.

3. Получены теоретические и численные оценки эффективности разработанных численных методов и алгоритмов, проведена их верификация.

4. На основе результатов численного моделирования установлены базовые свойства пространственных течений в гидротурбинах различного типа и питательном насосе при различных режимах их работы. Определены механизмы формирования прецессирующего вихревого жгута и его воздействию на течение вверх и вниз по потоку.

5. Решен ряд конкретных задач оптимизации лопастей радиально-осевых гидротурбин с использованием оригинальных целевых функционалов, позволивших в рамках модели невязкой жидкости минимизировать гидродинамические потери.

Личный вклад автора. В совместных публикациях по теме диссертации автору принадлежат постановка задачи, концепция исследования, разработка соответствующего алгоритмического и программного инструментария, общая методика проведения вычислительных экспериментов [4, 5, 6, 8, 12, 13, 26, 28, 29, 53, 54, 58, 69, 70, 75]. В работах [25, 57] автором выполнялись исследования моделей, конструирование численных алгоритмов и анализ результатов, относящихся к задачам гидродинамики несжимаемой жидкости. В работах, связанных с численным моделированием аспирации аэрозольных частиц [61, 65, 66], автор осуществлял постановку задачи, разработку численного алгоритма решения трехмерных уравнений Навье-Стокса несжимаемой жидкости, интерпретацию соответствующих результатов. В публикациях, посвященных решению задач оптимизации формы лопасти гидротурбины [27, 123, 124, 136] под руководством автора выполнялись постановка задач, конструирование алгоритмов, проведение вычислительных экспериментов и интерпретация результатов.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на 14-й, 16-й и 17-й Международных школах-семинарах по численным методам механики вязкой жидкости (Новосибирск, 1994, 1998, 2000), 10-й Международной научно-технической конференции по компрессорной технике (Казань, 1995), Международной конференции «Математические модели и численные методы механики сплошной среды» (Новосибирск, 1996), 8-й и 12-й Международных конференциях по методам аэрофизических исследований (1СМА11, Новосибирск, 1996, 2004), 3-й Конференции по проблемам вычислительных методов динамики жидкости (ЕССОМАБ, Франция, Париж, 1996), Научно-технической конференции «Использование методов математического моделирования в котельной технике» (Красноярск, 1996), 11-й и

12-й Всероссийских конференциях «Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов решения задач математической физики», посвященных памяти К.И. Бабенко (Пущино, 1996, Новороссийск, 1998), Международной конференции «Математические модели и методы их исследования» (Красноярск, 1997), Международном семинаре «Закрученные течения в энергетических и химических технологиях» (Норвегия, Трондхейм, 1997), 3-ми 4-м Сибирских конгрессах по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ, Новосибирск, 1998, 2000), Международном симпозиуме «Актуальные проблемы физической гидроаэродинамики» (Новосибирск, 1999), Международной конференции «Современные проблемы прикладной математики и механики: теория, эксперимент и практика» (ЯОАММ-2001, Новосибирск, 2001), Международной конференции «Вычислительные технологии и математические модели в науке, технике и образовании» (ВТММ-2002, Казахстан, Алматы, 2002), Международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (ВМСППС-2003, Владимир, 2003), Международных конференциях «Вычислительные и информационные технологии в науке, технике и образовании» (ВИТ, Казахстан, Усть-Каменогорск, 2003, Алматы, 2004), Всероссийской конференции «Математика, информатика, управление» (Иркутск, 2004), 1 -м Казахстанско-Германском совещании по высокопроизводительным вычислениям (Казахстан, Алматы, 2005), 11-м Международном симпозиуме по нестационарной аэродинамике, аэроакустике и аэроупругости турбомашин (Москва, 2006), обсуждались на семинарах в Институте вычислительных технологий СО РАН, Институте теоретической и прикладной механики СО РАН, Институте теплофизики СО РАН, Институте гидродинамики СО РАН.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения. Список литературы содержит 181 наименование. Общий объем диссертации составляет 299 страниц, включая 13 таблиц и 152 рисунка.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Черный, Сергей Григорьевич

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Предложены новые постановки задач численного моделирования трехмерных стационарных и нестационарных, невязких и турбулентных течений в турбомашинах, задач одноцелевой и многоцелевой оптимизации форм проточного тракта.

2. Созданы новые эффективные численные методы решения трехмерных уравнений движения несжимаемой жидкости и уравнений моделей турбулентности на основе метода искусственной сжимаемости, конечных объемов и экономичного метода типа попеременно-треугольного обращения неявного оператора, имеющие второй порядок аппроксимации по времени и второй или третий по пространственным переменным. Разработаны численные алгоритмы решения задач одноцелевой и многоцелевой оптимизации и автоматического проектирования формы лопасти рабочего колеса гидротурбины.

3. Получены теоретические и численные оценки эффективности разработанных численных методов и алгоритмов, проведена их верификация.

4. На основе результатов численного моделирования установлены базовые свойства пространственных течений в гидротурбинах различного типа и питательном насосе при различных режимах их работы. Определены механизмы формирования прецессирующего вихревого жгута и его воздействию на течение вверх и вниз по потоку.

5. Решен ряд конкретных задач оптимизации лопастей радиально-осевых гидротурбин с использованием оригинальных целевых функционалов, позволивших в рамках модели невязкой жидкости минимизировать гидродинамические потери энергии.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Черный, Сергей Григорьевич, 2006 год

1. Гидротурбинное оборудование Санкт-Петербург: филиал концерна «Силовых машин» Ленинградский металлический завод. -2004.-32 с.

2. Кузнецов А.В., Панаиотти С.С., Савельев А.И. Автоматизированное проектирование центробежного насоса. М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана.-2002.-48 с.

3. Кириллов И.И. Теория турбомашин. М.: Машиностроение, 1964. -512 с.

4. Cherny S.G., Sharov S.V., Skorospelov V.A., Turuk P.A. Methods for three-dimensional flows computation in hydraulic turbines // Russ. J. Numer. Anal. Math. Modeling. 2003 - V. 18. - № 2. - P. 87-104.

5. Черный С.Г., Чирков Д.В., Лапин B.H., Скороспелов В.А., Шаров С.В. Численное моделирование течений в турбомашинах. Новосибирск: Наука, 2006. - 202 с.

6. Черный С. Г., Шашкин П.А., Грязин Ю.А. Численное моделирование пространственных турбулентных течений несжимаемой жидкости на основе k-е моделей // Вычислительные технологии. 1999 -Т.4. - № 2 - С. 74-94.

7. Skotak A. Of the helical vortex in the turbine draft tube modeling // Proceedings of the Hydraulic Machinery and Systems 20th IAHR Symposium on Hydraulic Machinery and Cavitation, Charlotte, August 6-9, 2000.

8. Кузьминов A.B., Лапин B.H., Черный С.Г. Метод расчета турбулентных течений несжимаемой жидкости на основе двухслойной к-е модели // Вычислительные технологии. - 2001. - Т. 6. - № 5. -С. 73-86.

9. Zhengwei W., Lingjiu Z. Simulation of unsteady flow in a Francis turbine draft tube //21st IAHR Symposium on Hydraulic Machinery and Systems, Lausanne, September 9-12, 2002.

10. Ruprecht A., Helmrich Т., Aschenbrenner Т., Scherer T. Simulation of vortex rope in a turbine draft tube // Proceedings of the Hydraulic Machinery and Systems 21st IAHR Symposium September 9-12, 2002, Lausanne Switzerland.

11. Helmrich Т., Buntic I., Ruprecht A. Very large eddy simulation for flow in hydraulic turbo machinery // Institute of fluid mechanics and hydraulic machinery, Stuttgart. 2003.

12. Cherny S.G., Chirkov D.V., Lapin V.N., Skorospelov V.A., Turuk P.A., Numerical simulation of a turbulent flow in Francis hydroturbine // Russ. J. Numer. Anal. Math. Modeling. 2006. - V. 21. - № 5. - P. 425-446.

13. Белоцерковский C.M., Ништ М.И. Отрывное и безотрывное обтекание тонких крыльев идеальной жидкостью. М.: Наука, 1978. -352 с.

14. Белоцерковский О.М., Белоцерковский С.М., Давыдов Ю.М. и др. Моделирование отрывных течений на ЭВМ. М.: АН СССР, Научный совет по комплексной проблеме «Кибернетика», 1984. - 122 с.

15. Белоцерковский О.М., Давыдов Ю.М. Расчет методом «крупных частиц» трансзвуковых «закритических» режимов обтекания // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1973. -V. 13. -№ 1. - С. 147-171.

16. Степанов Г.Ю. Гидродинамика решеток турбомашин. М.: Физмат-гиз, 1962.-512 с.

17. Милн-Томсон JI.M. Теоретическая гидродинамика. М.: Мир, 1964.- 656 с.

18. Седов Л.И. Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики. М.: Наука, 1980.-448 с.

19. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1970. -904 с.

20. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Проблемы гидродинамики и их математические модели. М.: Наука, 1977. - 408 с.

21. Богод А.Б., Замфорт Б.С., Иванов М.Я., Крайко А.Н. Об использовании процесса установления по времени при решении задач стационарного обтекания газом решеток профилей // Изв. АН СССР, МЖГ.- 1974.-№4.-С. 118-124.

22. Численное решение многомерных задач газовой динамики // Под ред. С.К. Годунова. М.: Наука, 1976. - 400 с.

23. Kovenya V., Chemy S., Sharov S., Karamyshev V., Lebedev A. On some approaches to solve CFD problems // Computers & Fluids. 30 (2001). -P. 903-916.

24. Грязин Ю.А., Черный С.Г., Шаров C.B., Шашкин П.А. Об одном методе численного решения трехмерных задач динамики несжимаемой жидкости // Доклады академии наук. 1997. - Т. 353. - № 4. -С. 478-483.

25. Комар И.Ф., Лапин В.Н., Скороспелое В.А., Черный С.Г., Чирков Д.В., Шаров C.B. Проблемы моделирования течений в турбомаши-нах // Вестник КазНУ, серия математика, механика, информатика. -2005.-№2.-С. 27-52.

26. Peyret R., Taylor T.D. Computational Methods for Fluid Flow. -Springer-Verlag, 1982. 358 p.

27. Роуч П.Дж. Вычислительная гидродинамика. М.: Мир. - 1980. -616 с.

28. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкостей. М.: Мир, 1991.-Т. 2.-552 с.

29. Harlow F.H., Welch J.E. Numerical calculation of time-dependent viscous incompressible flow of fluid with free surface // Phys. of Fluids. -1965. -V.8.-№12.-P. 2182-2189.

30. Белоцерковский O.M., Гущин B.A., Щенников B.B. Метод расщепления в применении к решению задач динамики вязкой несжимаемой жидкости // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1975. - Т. 15. -№1.-С. 197-207.

31. Гущин В.А., Коныпин В.Н. Численное моделирование отрывных течений жидкости около цилиндра в широком диапазоне чисел Рей-нольдса // Рациональное численное моделирование. М.: Наука, 1990.-С. 62-69.

32. Гущин В.А., Матюшин П.В. Математическое моделирование пространственных течений несжимаемой жидкости // Математическое моделирование. 2006. - Т. 18. - № 5. - С. 5-20.

33. Matyushin P.V., Gushchin V.A. 3D visualization of the vortex structures in the sphere wake // Selected papers of International conference «Fluxes and structures in fluids», Moscow, June 20-23. 2005. - P. 216-221.

34. Рыков В.В. Численное моделирование пространственных течений несжимаемой вязкой жидкости. М.: ВЦ АН СССР, Сообщения по прикладной математике, 1983. - 32 с.

35. Rosenfeld М., Kwak D., Vinokur М. A Fractional Step Solution Method for the Unsteady Incompressible Navier-Stokes Equations in Generalised Coordinate Systems // J. Comput. Phys. 1991. - V. 94. -P.l02-137.

36. Shin B.R., Yoo S.Y. Numerical investigation of laminar flow in curved duct of square cross-section with 90° bend // Proceedings of the First Asian Computational Fluid Dynamics Conference, Hong Kong, 16-19 January, 1995.-P. 647-652.

37. Zeng S., Wesseling P. Multigrid solution of the incompressible Navier-Stokes equations in general coordinates // SIAM J. Numer. Anal. 1994. -P. 1764-1784.

38. Shi J., Того E.F. A new approach for steady incompressible flows // Proceedings of the Ninth International Conference on numerical methods in laminar and turbulent flow, Atlanta, 10-14 July, 1995. V. 9. - Part 1. -P.94-103.

39. Владимирова H.H., Кузнецов Б.Г., Яненко H.H. Численный расчет симметричного обтекания пластинки плоским потоком вязкой несжимаемой жидкости // Некоторые вопросы прикл. и вычисл. математики. Новосибирск. - 1966. - С. 186-192.

40. Chorin A.J. A numerical method for solving incompressible viscous flow problems // J. Сотр. Phys. 1967. - V.2. - P. 12-26.

41. Яненко H.H. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики. Новосибирск: Наука, 1967. -197 с.

42. Колешко С.Б. Разностная схема для решения уравнений стационарных течений вязкой жидкости // Численные методы механикисплошной среды. Новосибирск: ВЦ и ИТПМ СО АН СССР. -1979.-Т. 10. -С.100-104.

43. Rizzi A.W., Eriksson L.-E. Computation of inviscid incompressible flow with rotation//J. Fluid. Mech. 1985. -V. 153. - P. 275-312.

44. Квак Д., Ченг Дж.Л.К., Шэнкс С.П., Чакраварти С.Р. Метод решения уравнений Навье-Стокса для трехмерных течений несжимаемой жидкости с использованием простейших переменных // Аэрокосмическая техника. 1987. -№ 2. - С. 144-153.

45. Грязин Ю.А., Черный С.Г., Шаров C.B. Численное моделирование течений несжимаемой жидкости на основе метода искусственной сжимаемости // Сборник научных трудов «Вычислительные технологии». -СОРАН, Новосибирск, 1995,-Т.4.-№ 13.-С. 180-203.

46. Karamyshev V.B., Kovenya V.M., Cherny S.G. Convergence acceleration in implicit methods for CFD problems // Computational Fluid Dynamics Journal. Japan. - 1997. - Vol. 6. - №2. - P. 157-166.

47. Шаров C.B., Черный С.Г., Окулов В.Л., Грязин Ю.А. Выбор граничных условий в выходном сечении трубы при расчете закрученных течений // Теплофизика и аэромеханика. СО РАН. - 1997. - Т.4. -№ 3. - С. 347-350.

48. Грязин Ю.А., Черный С.Г. Моделирование вихревых течений в различных элементах гидротурбин // Тезисы докладов международной конференции «Математические модели и методы их исследования», Красноярск, 25-30 августа, 1997. С. 74-75.

49. Медведев A.A., Трусова H.H., Черный С.Г., Шаров C.B. Численное исследование аспирации аэрозольных частиц в тонкостенную трубку, ориентированную под прямым углом к потоку // Оптика атмосферы и океана.-1998.-Т. 11.-№9.-С. 1026-1030.

50. Скороспелое В.А., Турук П.А., Черный С.Г., Шашкин П.А. Численное моделирование пространственных течений в гидротурбинах // Тезисы докладов 3 сибирского конгресса по прикладной и индустриальной математике «ИНПРИМ-1998», Новосибирск, 1998. С. 2627.

51. Медведев A.A., Трусова H.H., Черный С.Г., Шаров C.B. Численное моделирование процесса отбора проб аэрозоля во входную трубку пробоотборника из воздушного потока // Журнал прикладной механики и технической физики. 1999. - Т. 40. - №5. - С. 113-122.

52. Медведев А.А., Трусова Н.Н., Черный С.Г., Шаров С.В. Численное исследование аспирации аэрозольных частиц из потока в щелевой пробоотборник // Оптика атмосферы и океана. 1999. - Т. 12. - №6. -С. 562-564.

53. Kiris С., Kwak D., Benkowski R. Incompressible Navier-Stokes calculations for the development of a ventricular assist device // Computers & Fluids. 1988. -V. 27. -№ 5-6. -P.709-719.

54. Rogers S.E., Kwak D. Upwind Differencing Scheme for the Time-Accurate Incompressible Navier-Stokes Equations // AIAA Journal. -1990. V.28. - № 2. - P. 253-362.

55. Rogers S.E., Kwak D., Kiris C. Steady and Unsteady Solutions of the Incompressible Navier-Stokes Equations // AIAA Journal. 1991. - V. 29. - № 4. - P. 603-610.

56. Breuer M., Hanel D. A dual time-stepping method for 3-D, viscous, incompressible vortex flows // Сотр. and Fluids. 1993. - V. 22. - №4/5. -P. 467-484.

57. Kim W., Menon S. An unsteady incompressible Navier-Stokes solver for large eddy simulation of turbulent flows // Int. J. Numer. Meth. Fluids. -1999.-V.31.-P. 983-1017.

58. Yuan L. Comparison of implicit multigrid schemes for three-dimensional incompressible flows // Journal of Computational Physics. 2002. -V. 177.-P. 134-155.

59. Vinokur M. An Analysis of Finite-Difference and Finite-Volume Formulations of Concervation Laws // J. Comput. Phys. 1989. - V. 81. P. 1-52.

60. Wesseling P., Segal A., Van Kan J.J.I.M. , Oosterlee C.W., Kassels C.G.M. Finite volume discretization of the incompressible Navier-Stokes equations in general coordinates on staggered grids // Comput. Fluid Dyn. J. 1992. -№ 1. -P.27-33.

61. Beam P.M., Warming R.F. An implicit finite-difference algorithm for hyperbolic systems in concervation law form // J. Сотр. Phys. 1976. -V. 22. -P.87-109.

62. Steger J.L., Warming R.F. Flux vector splitting of the inviscid gasdy-namic equations with application to finite-difference methods // J. Comput. Phys. 1981. - V.40. - P.263-293.

63. Coakley TJ. Implicit upwind methods for the compressible Navier-Stokes equations // AIAA J. 1985. - V.23. - № 3. - P.374-380.

64. Liang S., Chan Y. An improved upwind scheme for the Euler equations // J. Comput. Phys. 1989. - V.84. - P.461-473.

65. Anderson W.K., Thomas J.L., Van Leer B. Comparison of finite volume flux vector splittings for the Euler equations // AIAA J. 1986. - V.24. -№9.-P. 1453-1460.

66. Ковеня B.M., Тарнавский Г.А., Черный С.Г. Применение метода расщепления в задачах аэродинамики. Новосибирск: Наука. -1990.-247 с.

67. Harten A. High resolution schemes for hyperbolic conservation laws // J. Comput. Phys. 1983. - V.49. - P.357-393.

68. Harten A. On a Class of High Resolution Total-Variation Stable Finite-Difference Schemes // SIAM J. Numer. Anal. 1984. - V.21.-P. 1-23.

69. Crandall M.J., Majda A. Monotone Difference Approximations for Scalar Conservation Laws // Math. Сотр. 1980. - V. 34. - P. 1-21.

70. Chakravarthy S.R., Osher S. A new class of high accuracy TVD schemes for hyperbolic conservation laws // AIAA Paper. 85-0363. - 1985.

71. Yee H.C. Construction of explicit and implicit symmetric TVD schemes and their application // J. Comput. Phys. 1987. - V. 68. - P. 151-179.

72. Sweby P.K. High resolution schemes using flux limiters // Lect. Appl. Math. 1985. - V.22. - P.289-309.

73. Roe P.L. Some contribution to modeling of discontinious flows // Lect. Appl. Math.-1985.-V.22.-P. 163-195.

74. Чакравати С.Р., Жем К.-И. Расчет трехмерных сверхзвуковых течений с дозвуковыми зонами на основе уравнений Эйлера // Аэро-космич. техника. 1987. -№11.- С.22-35.

75. Ikohagi Т., Shin B.R., Daiguji Н. Application of an Implicit Time-Marching Scheme to a Three-Dimensional Incompressible Flow Problem in Curvilinear Coordinate Systems // Сотр. and Fluids. 1992. V.21. -№ 2. -P.163-175.

76. Yee H.C., Harten A. Implicit TVD Scheme for Hyperbolic Conservation Laws in Curvilinear Coordinates // AIAA J. 1987. - V.25. - P. 266274.

77. MacCormack R. W. On Efficient Numerical Methods for Solving the Navier-Stokes Equations in Three Dimensions // Preprints of the Second Japan-Soviet Union Joint Symposium on Computational Fluid Dynamics, Tsukuba, August 27-31,1990. P. 1-12.

78. Самарский A.A. Теория разностных схем. M.: Наука. - 1977. -656 с.

79. Yuan X., Daiguji Н. An efficient scheme for analyzing unsteady compressible turbulent flows through a three-dimensional cascade // Preprints of the fourth Japan-Russia joint symposium on computational fluid dynamics, Kyoto, August 23-26,1994. P. 81.

80. Jameson A., Turkel E. Implicit schemes and LU decompositions // Math. Сотр. 1981. - V.37. - P.385-397.

81. Юб.Буратинский Э.К., Кофи Д. А. Расчет обтекания решеток профилей на основе численного решения уравнений Эйлера с помощью неявной схемы LU // Аэрокосмич. техника. 1986. - № 7 - С.38-48.

82. Yu S.T., Tsai Y.L.P., Shuen J.S. Three-dimensional calculations of supersonic reacting flows using an LU scheme // J. Comput. Phys. 1992. -V. 101. -P.276-286.

83. Menshov I., Nakatura Y. A variation of the Riemann problem solution and its application to implicit Godunov's scheme // Preprints of the fourth Japan-Russia joint symposium on computational fluid dynamics, Kyoto, August23-26,1994.-P. 9.

84. Бессарабская И.Э., Перминов C.M. Применимость уравнений Навье-Стокса в гидродинамических задачах машиностроения. Большие числа Рейнольдса // Докл. АН СССР. 1995. - Т.341. - № 5. -С. 618-622.

85. Антонцев С.Н., Кажихов А.В., Монахов В. Н. Краевые задачи механики неоднородных жидкостей. Новосибирск: Наука, 1983. -319 с.

86. Рагулин В.В. Об одной постановке задачи протекания идеальной жидкости // Новосибирск, ИГД СО АН СССР. 1978. - Вып.ЗЗ. -С.76-83.

87. Кажихов А.В., Рагулин В.В. Нестационарные задачи о протекании идеальной жидкости // Докл. АН СССР. 1980. - Т.250. - № 6. -С.1344-1347.

88. Tompson K.W. Time Dependent Boundary Conditions for Hyperbolic Systems // J. Comput. Phys. 1987. - V.68. - P. 1-24.

89. Tompson K.W. Time-Dependent Boundaiy Conditions for Hyperbolic Systems 2 // J. Comput. Phys. 1990. - V.89. - P.439-461.

90. Rizzi A.W., Eriksson L.-E. Computation of flow around wings based on the Euler equations // J. Fluid. Mech. 1984. - V.148. - P.45-71.

91. Калашников В.В., Косторной С.Д. Численный метод решения задачи обтекания произвольно расположенных тел идеальной жидкостью // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1992. - Т. 32. - № 8. - С. 967-975.

92. Жарковский A.A., Шкарбуль С.Н., Дмитриева С.А. Математические модели лопастных гидромашин. Корелляционный и регрессивный анализ. Методические указания к курсовому и дипломному проектированию. СПб.: СПбГТУ, 1996. - 50 с.

93. Захаров A.B., Топаж Г.И. Расчетные исследования структуры вторичного потока в лопастных системах радиально-осевых гидротурбин // Гидротехническое строительство. 1997. - № 2. - С. 18-22.

94. Смирнов Е.М., Кириллов А.И., Рис В.В. Опыт численного анализа пространственных турбулентных течений в турбомашинах // Научно-технические ведомости. СПб.: СПбГПУ. - 2004. - № 2(36). -С. 55-70.

95. Лобарева И.Ф., Скороспелов B.A., Турук П.А., Черный С.Г., Чирков Д.В. Об одном подходе к оптимизации формы лопасти гидротурбины I ! Вычислительные технологии. СО РАН, Новосибирск. - 2005. -Т. 10.-№6.-С. 52-73.

96. Sallaberger I., Fusler M., Michaud M. et al. The design of Francis turbine runners by 3D Euler simulations coupled to a breedergenetic algorithm // 20th IAHR Symp. on Hydraulic Machinery and Cavitation, Charlotte, 2000.

97. Tomas L., Pedretti C., Chiappa T. et al. Automated design of a Francis turbine runner using global optimization algorithms //21st IAHR Symp. on Hydraulic Machinery and Systems, Lausanne, 2002.

98. Mazzouji F., Francois M., Tomas L. et el. Refinements in Francis turbine design // Hydropower & Dams, Issue one, 2004. P. 53-58.

99. Mazzouji F., Couston M., Ferrando L. et al. Multicriteria optimization: viscous analysis-mechanical analysis // 22nd IAHR Symp. on Hydraulic Machinery and Systems, Stockholm, 2004.

100. Enomoto Y., Kurosawa S., Suzuki T. Design optimization of Francis turbine runner using multi-objective genetic algorithm // 22nd IAHR Symp. on Hydraulic Machinery and Systems, Stockholm, 2004.

101. Ferrando L., Kueny J.-L., Avellan F. et al. Surface parametrization of a Francis turbine for optimum design // 22nd IAHR Symp. on Hydraulic Machinery and Systems, Stockholm, 2004.

102. Lipej A., Poloni C. Design of Kaplan runner using multi-objective genetic algorithm optimization // J. of Hydraulic Research. 2000. - Vol. 38.-P. 73-77.

103. Kueny J.-L., Lestriez R., Helali A. et al. Optimal design of a small hydraulic turbine // 22nd IAHR Symp. on Hydraulic Machinery and Systems, Stockholm, 2004.

104. Eisinger R., Ruprecht A. Automatic shape optimization of hydro turbine components based on CFD // Seminar "CFD for Turbomachinery Applications". Gdansk, Sept. 2001.

105. Puente L.R., Reggio M., Guibault F. Automatic shape optimization of a hydraulic turbine draft tube // Proc. of Intern. Conf. CFD2003, Vancouver, May 28 June 1,2003.

106. Marjavaara B.D., Lundstrom T.S. Shape optimization of a hydropower draft tube // 22nd IAHR Symp. on Hydraulic Machinery and Systems, Stockholm, 2004.

107. Лобарева И.Ф., Черный С.Г., Чирков Д.В., Скороспелое В.А., Турук П.А. Многоцелевая оптимизация формы лопасти гидротурбины // Вычислительные технологии. 2006. - Т. 11. - № 5. - С. 63-76.

108. Favaretto C.F.F., Funazaki K.-I, Tanuma Т. The development of a genetic algorithm code for secondary flow injection optimization in axial turbines // Proc. of the Intern. Gas Turbine Congress, Tokyo, Nov. 2-7, 2003.

109. Fonseca С. M., Fleming P. J. Genetic Algorithms for Multiobjective Optimization: Formulation, Discussion and Generalization // Proc. of the 5th Intern. Conf. on Genetic Algirithms. 1993. P. 416-423.

110. Horn J., Nafpliotis N. Multiobjective Optimization Using The Niched Pareto Genetic Algorithm // IlliGAL Report 93005. Urbana: University of Illinois, 1993.

111. Zitzler E., Deb K., Thiele L. Comparison of Multiobjective Evolutionary Algorithms: Empirical Results // Evolutionary Computation. 2000. -Vol. 8.-№2.-P. 173-195.

112. Deb K., Thiele L., Laumanns M., Zitzler E. Evolutionary Computation Based Multi-Criteria Optimization: Theoretical Advances and Applications. Springer, 2005.

113. Tanaka M., Watanabe H., Furukawa Y., Tanino T. GA-based decision support system for multi-criteria optimization // Proc. of the Intern. Conf. on Systems, Man and Cybernetics-2. 1995. - P. 1556-1561.

114. Osyczka A., Kundu S. A new method to solve generalized multicriteria optimization problems using the simple genetic algorithm // Structural Optimization. 1995. - Vol. 10. - P. 94-99.

115. Чжен К.Ю. Расчет течений в каналах и пограничных слоях на основе модели турбулентности, применимой при низких числах Рей-нольдса // Ракетная техника и космонавтика. 1982. - № 2. -С. 30-37.

116. Wolfshtein М. The velocity and temperature distribution in one-dimentional flow with turbulence augmentation and pressure gradient // Intern. J. of Heat and Mass Transfer. 1969. - P. 301-318.

117. Launder B.E., Spalding D.B. The numerical computation of turbulent flows // Сотр. Methods in Appl. Mech. and Eng. 1974. - Vol 3. -P. 269-289.

118. Jongen Т., Marx Y.P. Design of an unconditionally stable, positive scheme for the k-e and two-layer turbulence models // Сотр. Fluids. -1997.-№ 5.-P. 469-487.

119. Sagaut P. Large Eddy Simulation for Incompressible Flows: an Introduction. Springer-Verlag, 2001. - 319 p.

120. Илюшин Б. Б., Красинский Д. В. Моделирование динамики турбулентной круглой струи методом крупных вихрей // Теплофизика и аэромеханика. -2006. Т. 13, № 1. - С. 49-61.

121. Scotti A., Meneveau С., Lilly D.K. Generalized Smagorinsky model for anisotropic grids // Phys. Fluids A. 1993. Vol.9, № 5. - P. 2306-2308.

122. Векуа И. H. Основы тензорного анализа и теории ковариантов М.: Наука, 1978.-296 с.

123. Roe P.L. Approximate Riemann solvers, parameter vectors and difference schemes // J. Comput. Physics. 1981. - Vol. 43. - P. 337-372.

124. Скороспелое B.A., Турук П.А. Особенности моделирования кривых и поверхностей кубическими параметрическими сплайнами // Труды международной конференции по вычислительной математике

125. МКВМ-2004 / Под ред. Михайлова Г.А., Ильина В.П., Лаевского Ю.М. Новосибирск: Изд. ИВМ и МГ СО РАН, 2004. - 4.1. -С. 138-144.

126. Cons S.A. Surbaces for computer aided design of space forms. // Report MAC-TR-41, Project MAC, M.I.T., 1967. 105 p.

127. Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко В.Л. Методы сплайн-функций. Новосибирск: Наука, 1980. - 352 с.

128. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. М.: Наука, 1974. - 712 с.

129. Stokes G.G. On the effect of internal friction of fluids on the motion of pendulums //Math, and Phys. Papers III. Cambridge, 1901. -P. 1-141.

130. Олдер Б., Фернбах С., Ротенберг М. Вычислительные методы в гидродинамике. М.: Мир, 1967. - 384 с.

131. Laufer J. Investigation of turbulent flow in a two-dimensional channel // NASA Rept.-1951.-№1053

132. Driver D. M., Seegmiller H. L. Features of a reattaching turbulent shear layer in divergent channel flow // AIAA J. 1985. - Vol. 23, № 2. -P.163-171.

133. Ван-Дайк M. Альбом течений жидкости и газа. М.: Мир. - 1986. -184 с.

134. Braza М., Chassain P., Hamminh Н. Numerical study and physical analysis of the pressure and velocity fields in the near wake of circular cylinder // J. Fluid Mech. 1986.- Vol. 165. - P. 79-130.

135. Cheng L., Armfield S. A simplified marker and cell method for unsteady flows on non-staggered grid // Int. J. for Numerical Methods in Fluids. -1995.-Vol. 21.-P. 15-34.

136. Кашафутдинов C.T., Лушин B.H. Атлас аэродинамических характеристик крыловых профилей. Сибирский научно-исследовательский ин-т авиации им. С.А. Чаплыгина, 1994. - 76 с.

137. McConnaughey P., Cornelison J., Barker L. The Prediction of Secondary Flow in Curved Ducts of Square Cross-Section // AIAA Paper, 89-0276. 1989.

138. Humphrey J. A. C., Taylor A. M. K., Whitelaw J. H. Laminar Flow in a Square Duct of Strong Curvature // J. Fluid Mech. 1977. - Vol. 83, pt. 2.-P. 509-527.

139. Грязин Ю.А. Применение противопотоковых схем для численного моделирования задач гидродинамики на основе метода искусственной сжимаемости. Дисс. . на канд. физ.-мат. наук. ИВТ СО РАН, 1996.

140. Enayet М.М., Gibson М.М., Taylor А.М.К.Р., Yianneskis M. Laser-dopler measurements of laminar and turbulent flow in a pipe bend // Int. J. Heat Fluid Flow. 1982. - Vol. 3. - P. 213-219.

141. He P., Salcudean M. A numerical method for 3D viscous incompressible flows using non-ortogonal grids // Int. J. for Numerical Methods in Fluids.-1994.-Vol. 18.-P. 449-469.

142. Tamamidis P., Zhang G., Assanis D. Comparison of pressure-based and artificial compressibility methods for solving 3D steady incompressible viscous flows // J. of Сотр. Phys. 1996. - Vol. 124. - P. 1-13.

143. Escudier M.P. Observations of the flow prodused in a cylindrical container by a rotating end wall. // Exper. in Fluids. 1984. - Vol. 2. -P. 189-196.

144. Lopez J.M. Vortex breakdown of a confined swirling flow // Computational Fluid Dynamics / Eds G. de Vahl Davis & C. Fletcher. North-Holland. - 1988.-P. 493-501.

145. Sorensen J.N., Christensen E.A. Direct numerical simulation of rotating fluid flow in a closed cylinder // Phys. Fluids. 1995. - Vol. 7, № 4. -P. 764-778.

146. Окулов В.Л., Дектерев А.А. Изменение симметрии поля завихренности при распаде вихря в закрытом цилиндре с вращающимся торцом. 11 Теплофизика и аэромеханика. 1998. - Т. 5. - № 1. - С. 129" 132.

147. Hydraulic Turbines, Storage Pumps and Pump-Turbines Model Acceptance Test. IEC 60193 Standard, International Electrotechnical Commission, Geneve, Nov, 1999.

148. Гримитлин A.M., Иванов О.П., Пухкал B.A. Насосы, вентиляторы, компрессоры в инженерном оборудовании зданий Учебное пособие - СПб: «АВОК Северо-Запад», 2006.

149. Технический отчет «Отработка гидравлических и энергетических характеристик питательного электронасоса ПЭ 160-140» 400-М-2556. Калуга: АО «Калужский турбинный завод», 1999. - 43 с.

150. Фокс А., Пратт М. Вычислительная геометрия. Применение в проектировании и на производстве. М.: Мир, 1982. - 304 с.

151. Латыпов А.Ф., Никуличев Ю.В. Специализированный комплекс программ оптимизации. Новосибирск: Препринт ИТПМ СО АН СССР 15-85, 1985.-41 с.

152. Зам. Главногокон^руктора по НИР1. К-Т.н. И.М. ПЫЛЕВ2006г.

153. Зав. сектором проецированияпроточнойк.т.н. В.Н. СТЕПАНОВßt/flvj'ify 2006г.