Численный метод расчета течений сжимаемого вязкого газа в широком диапазоне чисел Маха тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Чирков, Денис Владимирович

• Чирков, Денис Владимирович
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Чирков, Денис Владимирович

Введение

1 Базовый численный метод

1.1 Основные уравнения и предположения.

1.1.1 Уравнения Навье — Стокса.

1.1.2 Обезразмеривание уравнений

1.2 Метод конечных объемов.

1.3 Вычисление разностных потоков.

1.3.1 Вычисление конвективных разностных потоков. ф 1.3.2 Вычисление вязких разностных потоков.

1.4 Реализация алгоритма

1.4.1 Линеаризация.

1.4.2 Ьи-факторизация.

1.4.3 Локальный выбор шага по времени.

1.5 Реализация краевых условий.

1.5.1 Входная и выходная границы 1.5.2 Твердая стенка для уравнений Навье — Стокса.

1.5.3 Твердая стенка для уравнений Эйлера.

1.5.4 Удаленная граница.

2 Результаты расчетов тестовых задач

2.1 Сеточные нормы С и Ь?

2.2 Сверхзвуковое обтекание кругового цилиндра.

2.3 Взаимодействие ударной волны с погранслоем на пластине.

2.4 Течение в угле сжатия.

2.5 Затупленный конус.

2.6 Обтекание цилиндра.

2.7 Обсуждение и выводы.

3 Предобуславливание при малых числах Маха

3.1 Поведение разностных схем при М-* 0.

3.2 Обзор работ и методология предобуславливания 3.3 Матрица предобуславливания Туркела.

3.3.1 Разложение матрицы РА.

3.3.2 Преобразованные выражения для компонент вектора а.

3.3.3 Выбор параметра предобуславливания ¡3.

3.4 Исследование аппроксимации при М —>• 0.

3.5 О выборе вектора зависимых переменных.

3.6 Модификация базового алгоритма: Со^ЗБ-Р.

3.7 Спектральный анализ устойчивости и скорости сходимости неявной схемы Роу при

3.7.1 Матрица М неявного оператора.

3.7.2 Матрица К явного оператора.

3.7.3 Результаты исследования скорости сходимости.

4 Результаты расчетов течений сМ<

4.1 Невязкое обтекание кругового цилиндра.

4.2 Вязкое обтекание цилиндра.

4.3 Невязкое течение в сильно сужающемся сопле.105 '

4.4 Вязкое течение в изогнутом канале квадратного сечения.

4.5 Течение в рабочем колесе гидротурбины.

4.6 Обсуждение результатов расчетов.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численный метод расчета течений сжимаемого вязкого газа в широком диапазоне чисел Маха»

Математическое моделирование течений жидкости и газа играет ключевую роль при конструировании перспективных летательных аппаратов, энергетических установок и транспортных средств. Для обеспечения повышенных требований к эффективности работы этих объектов и установок необходимо уже на стадии проектирования иметь достоверную количественную информацию о протекающих в них процессах. Задачи конструирования и оптимизации авиационных двигателей, вентиляторов, паровых и газовых турбин требуют проведения серийных расчетов течений в сложных трехмерных областях, с учетом эффектов сжимаемости, вязкости и теплопроводности среды. Подобные течения описываются полной системой уравнений Навье — Стокса сжимаемого вязкого газа [1]. Рост производительности вычислительной техники за последние 20 лет привел к появлению большого количества методов численного интегрирования этих уравнений [2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11]. Для численного решения уравнений Навье-Стокса сжимаемого газа с успехом использовались также методы, предложенные в более ранних работах [12, 13, 14, 15, 16, 17, 18].

Однако, известно [19], что методы решения уравнений сжимаемого газа, хорошо работающие при умеренно дозвуковых и сверхзвуковых скоростях потока, оказываются неэффективными, и даже непригодными для расчета течений с числами Маха ниже 0.1 -т- 0.3. Это проявляется в выражается в ухудшении сходимости процесса установления [20, 21, 22] и ухудшении точности получаемых при М 1 стационарных решений [23].

Замедление сходимости метода установления обычно объясняется возрастающей при М 0 жесткостью исходных уравнений динамики сжимаемого газа, определяемой как отношение максимального и минимального собственного значения матриц Якоби векторов конвективных потоков, т. е. отношением максимальной и минимальной скорости распространения возмущений. Для системы уравнений Эйлера с собственными значениями {и, и, и + с, и — с} имеем:

Мшод М + С М-^0 ^

А|пип |«|

Таким образом, особенность при М —>• 0 проявляется уже на дифференциальном уровне.

В то же время большинство интересных с практической точки зрения аэродинамических течений происходит в режимах с М < 0.3. Аэродинамика автомобилей, локомотивов, обтекание летательных аппаратов на взлете и посадке, движение воздуха в вентиляционных системах и котельных установках являются типичными примерами задач с малым характерным числом Маха потока. Как правило, численное моделирование подобных течений проводится в рамках уравнений Эйлера и Навье-Стокса движения несжимаемой жидкости с использованием методов, специально разработанных для этого класса уравнений, см., например, [24]. Действительно, при адиабатическом (без внешних источников тепла) движении газа с характерным числом Маха М < 0.1 относительные вариации плотности в потоке, согласно уравнению Бернулли, составляют [25] « ^М2 < 0.005, р 2 " и модель несжимаемой среды оказывается в этом случае достаточно точным приближением. Однако, существует широкий класс задач, связанных с проблемой малого числа Маха, где необходимо использовать уравнения движения сжимаемого газа. Подобные течения можно разделить на два класса: высокоскоростные течения с обширными подобластями низких скоростей, и низкоскоростные течения с большими изменениями плотности и температуры.

Примерами высокоскоростных течений с низкоскоростными подобластями могут служить внешние течения с обширными зонами торможения потока или внутренние течения в сильно сужающихся диффузорах с существенно дозвуковой скоростью на входе. Как правило, если подобласти с М «С 1 малы, то они не оказывают существенного влияния на сходимость методов установления, но если размеры подобластей с М «С 1 сравнимы с размерами всей расчетной области, то их влияние начинает доминировать. Например, при обтекании аэродинамического профиля область малых скоростей в окрестности точки торможения обычно невелика и не сказывается на сходимости численного метода. В то же время, существенно дозвуковая область на входе в сильно сужающееся сопло оказывает решающее влияние на процесс сходимости алгоритма [22].

Большие изменения плотности и температуры могут возникать даже в однородной среде с низкими скоростями потока вследствие сильного объемного или поверхностного подвода тепла извне. При этом во всей области М <С 1, но использование модели несжимаемой жидкости неправомерно, так как р ф const. Учет изменения температуры в уравнениях движения особенно важен, если рассматриваются задачи горения или течения многокомпонентных химически-реагирующих газовых смесей

19]. Переход к предельной при М—>0 форме уравнений Навье — Стокса для гипо-звуковых неизотермических течений вязкого газа [26, 19] позволяет частично устранить трудности, возникающие при расчете этих течений в рамках полной системы уравнений Навье — Стокса.

Наиболее распространенным способом устранения вычислительных трудностей при М —> 0 является в настоящее время применение предобуславливания (preconditioning) исходных уравнений движения, направленное на выравнивание порядков собственных значений матрицы Якоби вектора потока при всех М < 1 [27, 20, 28, 29, 22, 30]. На дифференциальном уровне предобуславливание модифицирует члены с производной по времени в уравнениях движения. Таким образом при установлении решение модифицированной системы совпадает с решением исходной системы уравнений движения. Изначально предобуславливание рассматривалось лишь как простой способ устранения жесткости исходной системы и ускорения таким образом сходимости метода установления, не затрагивающий аппроксимацию производных по пространственным направлениям [20, 22]. В работе [29] впервые предложено модифицировать способ аппроксимации производных конвективных членов предобуслов-ленных уравнений. Оказалось, что такой подход позволяет восстановить точность расчета существенно дозвуковых течений [34]. Однако, несмотря на большое число работ [22, 32, 35, 36, 37, 34, 38], посвященных изучению метода предобуславливания, до сих пор не дано строгого обоснования ни этому явлению, ни ухудшению точности исходных, непредобусловленных схем при М->1. Таким образом проблема аналитического исследования точности алгоритмов до сих пор остается белым пятном в теории предобуславливания. Отсутствие теоретического обоснования ухудшения точности традиционных алгоритмов даже при достижении сходимости, а также отсутствие эффективной методики исследования аппроксимации затрудняет понимание метода предобуславливания и препятствует дальнейшему развитию этого подхода.

В настоящее время для расчетов невязких и вязких течений при М —> 0 наибольшую популярность приобрели методы предобуславливания Чоя-Мёркла [22] и Туркела [28]. В работе [39] предобуславливание Чоя-Мёркла применено для построения неявного метода расчета химически реагирующих газовых смесей, в работе [40] этот же подход использован в неявном методе расчета турбулентных реагирующих течений вплоть до М = 0.001. Необходимо отметить, что специфика матрицы предобуславливания Чоя-Мёркла ограничивает область ее применимости центральнораз-ностными схемами, которые достаточно хорошо работают при М < 1. При расчетах же сверхзвуковых течений предпочтительнее использовать направленную аппроксимацию. Достоинство предобуславливающей матрицы Туркела состоит в том, что она позволяет выписать в явном виде разложение РА = КОЙ-1, и поэтому легко может быть интегрирована в противопотоковые схемы типа Роу согласно методике [29].

Повышение порядка аппроксимации предобусловленных схем с направленными разностями до второго и третьего ведется [41] с использованием «-схемы Ван-Лира [42], или ее монотонизированного аналога — МИЯСЬ-схемы [43]. В этих методах аппроксимация потоков через грани ячейки .7 + 1/2 строится путем решения линеаризованной задачи о распаде разрыва не для состояний ^ и С^+ь как в случае первого схемы порядка, а для «реконструированных» состояний С^ и С^д, которые находятся с помощью интерполяции высокого порядка, на смещенном шаблоне. Например, для схемы второго порядка аппроксимации

Яь = с*; + (ОУ - СЬ-1)/2, <Эя = <3,+! - (<3,42 - 0ж)/2.

Применение метода предобуславливания к противопотоковым схемам типа Чакра-варти-Ошера [44] до сих пор не изучено.

Как правило, тестирование предобусловленных разностных схем проводится на простых двумерных задачах обтекания цилиндра или аэродинамического профиля под углом атаки. Результаты расчетов существенно трехмерных течений с помощью предобусловленных конечно-разностных алгоритмов в литературе не встречаются.

Современные методы численного решения уравнений газовой динамики можно разделить на несколько классов по типу аппроксимации уравнений (методы конечных элементов МКЭ, методы конечных объемов МКО, методы конечных разностей МКР), по типу используемых сеток (структурированные — неструктурированные) по способу перехода на новый слой по времени (явные — неявные), по способу аппроксимации конвективных членов (противопотоковые и центральноразностные), способу подавления нефизических осцилляций на разрывах (варианты ТУБ и ЕМО-схем, внесение искусственной вязкости) и т. д.

Что касается стационарных уравнений Навье—Стокса, то для их интегрирования на однопроцессорных ЭВМ наиболее приспособлены неявные методы конечных объемов или конечных разностей, на структурированных или неструктурированных сетках. Методы конечных элементов требуют больших затрат оперативной памяти и времени счета, и поэтому применяются в основном на параллельных ЭВМ [10]. Явные схемы имеют ограничение на шаг по времени, которые становятся особенно существенны при расчете вязких течений на подробных сетках. В последнее время, с появлением многопроцессорных вычислительных комплексов, явные многостадийные методы приобретают большую популярность из-за их легкого распараллеливания. Неявные схемы благодаря использованию больших шагов по времени сходятся за меньшее число итераций, и, несмотря на более сложную реализацию, в целом оказываются более экономичными нежели явные схемы. Поэтому, если отвлечься от проблемы распараллеливания алгоритма, неявные разностные схемы выглядят наиболее привлекательно для решения стационарных задач методом установления.

Для дискретизации уравнений Эйлера и Навье—Стокса широкое распространение получили Схемы с направленными разностями (upwind) [2, 4, 3, 45, 47]. Ранее для аппроксимации конвективных членов широко использовалось расщепление по физическим процессам («расщепление по давлению») [48, 2, 49]:

В работах [4, 3, 45, 47] в качестве базовой схемы для аппроксимации производных конвективных членов берется схема Роу [50], где расщепление матрицы Яко-би A = 0F/5Q на положительную и отрицательную составляющую производится по знакам ее собственных значений: А = А+ + А~, где А* = RD±R~1, R — матрица правых собственных векторов, a D — диагональная матрица с собственными значениями матрицы А. Такой способ аппроксимации вытекает из схемы С. К. Годунова [51], в которой находится точное решение одномерной задачи о распаде разрыва для системы dQ/dt+A(dF/dx) =0, А = const. Как показано в главах 3 и 4 диссертационной работы, такой способ расщепления не пригоден при расчете течений с М<1. Центральноразностные схемы также применяются для аппроксимации конвективной части уравнений, см. например [22], однако они оказываются более диссипативными при расчете сверхзвуковых течений [3].

Наличие ударных волн является характерной особенностью сжимаемых течений при сверхзвуковых скоростях. Поэтому при расчете невязких и вязких с большими числами Рейнольдса сжимаемых течений методами повышенного порядка аппроксимации использование монотонизации играет решающую роль. Все перечисленные выше методы решения уравнений Навье — Стокса используют устранения нефизических осцилляций в окрестности разрывов различные варианты TVD-сглаживания, впервые предложенного в работе В. П. Калгана [52]. При этом для противопоточ-ных схем существуют различные способы конструирования потока через грань ячейки. Наряду со способом, использующимся в схемах типа Хартена—Йи [53, 54, 55] и Чакрварти—Ошера [44], где монотонизации подлежат характеристические переменные или сами потоки [56, 9], очень популярным является MUSCL-подход [43]. Здесь разностный поток Fj+i/2 через грань j + 1/2 ячейки вычисляется по схеме Роу первого порядка аппроксимации, но через вектора переменных Qi, и Qr слева и справа от грани .7 + 1 /2, «реконструированные» по значениям из соседних ячеек с использованием монотонизированной противопоточной интерполяции высокого порядка [43]. Различные варианты МиЭСЬ-схем применены в [6,3,4,45,46]. Формальный порядок аппроксимации конвективных членов на гладких решениях в методах [56, 9] — второй, в [3, 4] — второй или третий. Алгоритм Дайгуджи [45, 46] обладает четвертым или даже пятым порядком аппроксимации по пространству.

В работе [69] предпринята попытка сопоставить основные противопотоковые и центрально-разностные ТУБ-схемы Хартена — Йи [59, 54, 55] и Чакравати — Ошера [44] с точки зрения их точности и скорости сходимости к стационарному решению. На основании проведенных в этой работе численных экспериментов сделан вывод, что при расчете разрывных решений наилучшим образом сочетает в себе точность и скорость сходимости ТУБ-схема Чакравати — Ошера второго порядка с «гладкой» функцией-ограничителем Ван-Лира [57].

Для предотвращения нефизических решений (например, скачков разрежения) в окрестности точек расчетной области, где какие-либо собственные значения матрицы Якоби А становятся нулевыми, в большинстве работ [56, 58, 6, 47] в схему вводится энтропийная коррекция Хартена [59]. Она состоит в ограничении снизу А* при расщеплении матрицы Якоби на положительную и отрицательную составляющую. Как показывали проведенные в данной работе расчеты, ненулевая величина параметра энтропийной коррекции существенным образом ухудшает точность расчета пограничного слоя при больших числах Рейнольдса. На основании этого выработана рекомендация использовать различные значения параметра энтропийной коррекции е при вычислении разностных потоков в касательных и нормальном к поверхности тела направлениях.

Одна из альтернатив ТУБ-схемам при расчете течений, содержащих разрывы, — использование ЕМО-схем, как например в [60]. ЕМО-схемы позволяют более точно разрешать ударные волны и контактные разрывы в решении, но требуют существенно больших затрат машинного времени, чем рассмотренные выше схемы с ТУБ-сглаживанием.

Все перечисленные выше алгоритмы, за исключением конечно-разностных алгоритмов [6,46], построены на идеологии метода конечных объемов, что автоматически гарантирует их консервативность. Однако, использование метода конечных объемов, имеющего формальный порядок аппроксимации выше второго, на криволинейных сетках не оправдано. Действительно, аппроксимация геометрических коэффициентов, таких, как нормали и объемы ячеек, как правило, имеет порядок не выше второго, что автоматически ограничивает точность конечнообъемных методов вторым порядком.

Неявные методы решения пространственных задач можно дифференцировать также по способу обращения стабилизирующего оператора. Метод попеременных направлений (А01), использованный в работах [3, 56], сводится к последовательности векторных прогонок по каждому из пространственных направлений. К недостатку метода попеременных направлений следует отнести его условную устойчивость в трехмерном случае. В работах [45, 46, 47] использованы варианты метода Ы1-факторизации неявного оператора, В [4] используется релаксация Гаусса — Зейделя. В работе [61] на примере задачи плоского обтекания головной части затупленного тела сверхзвуковым потоком проведено сравнение различных методов факторизации для неявных схем и показано, что ЬИ-факторизация обеспечивает наиболее оптимальную скорость сходимости.

В работах [46, 47, 6, 4, 9] использованы в качестве зависимых консервативные переменные С} = (р, ри, ру, рш, е)т. Такой выбор оказывается удобен при решении уравнений Эйлера. Однако, в случае решения уравнений Навье-Стокса более плодотворным является использование примитивных переменных, например ф = (р, и, V, ги, Т)т [49,22,30]. Во-первых, такой подход позволяет наиболее полно учесть якобианы вязких членов в неявном операторе, что увеличивает запас устойчивости метода. Во-вторых, вектор примитивных переменных легко допускает переход к относительному давлению рд = р—ро при малых числах Маха, что позволяет устранить ошибки машинного округления при аппроксимации градиента давления [49, 39].

Актуальной проблемой при разработке численных методов решения уравнений Навье — Стокса является верификация метода, в частности сравнение с экспериментальными данными. Особенно это относится к трехмерным программам. Возникает потребность собрать банк достоверных экспериментальных данных и результатов численных расчетов задач вязкого ламинарного обтекания тел простой формы, для которых, с одной стороны, легко строится сетка, а с другой стороны проявляются основные особенности вязких сжимаемых течений. К этим особенностям можно отнести ударные волны, тонкие пограничные слои, отрыв и присоединение потока, зоны возвратного течения.

В последнее время одним из основных инструментов проектирования турбинных установок является численное моделирование. При моделировании течения воды в элементах проточного тракта гидротурбин для решения уравнений Эйлера и Навье-Стокса несжимаемой жидкости зачастую используется метод искусственной сжимаемости [62, 63]. При этом для аппроксимации уравнений в основном применяются схемы с направленными разностями с расщеплением матрицы Якоби по знакам ее собственных значений, как, например, в [64, 65]. Численные эксперименты показывают, что точность подобных схем существенным образом зависит от параметра псевдосжимаемости рпс, который, как правило, берется постоянным для всей расчетной области. С точки зрения сходимости и точности расчета основного потока оптимальное значение параметра предобуславливания Д,с = А^г^р, где ^р — характерная скорость потока, а К = 5 — 10. Однако в случае, когда расчетная область содержит обширные подобласти стагнации потока, где |у| <С М^р, точность метода в этих подобластях падает. Поэтому до сих пор актуальной остается проблема исследования точности алгоритмов типа [64, 65], основанных на методе искусственной сжимаемости. Один из подходов, позволяющий оценить точность подобных алгоритмов расчета течений капельной жидкости состоит в сравнении полученных с их помощью решений с результатами расчетов, проведенных в рамках модели сжимаемой жидкости при М<§С1.

Таким образом, сохраняется потребность в экономичном и универсальном численном методе, позволяющем рассчитывать движения сжимаемого вязкого газа в реальных аэрогидродинамических установках в широком диапазоне характерного числа Маха потока. Идея создания подобного алгоритма состоит в построении эффективного метода решения уравнений Навье—Стокса при умеренных и больших числах Маха, и дальнейшем распространении области его применимости на течения сМ<1 при помощи методики предобуславливания.

Диссертационная работа посвящена:

1) Разработке эффективного численного метода решения уравнений Навье-Стокса сжимаемого газа, обладающего высокой точностью разрешения основных особенностей газодинамических течений, таких как ударные волны, тонкие пограничные слои, явления отрыва и присоединения потока, а также имеющего абсолютную устойчивость и приемлемую сходимость. Этот алгоритм берется в качестве базового и в дальнейшем распространяется на случай расчета течений с малыми числами Маха.

2) Построению и исследованию алгоритма предобуславливания, который позволит существенно улучшить сходимость метода установления при М< 1 и обеспечит сохранение точности базового алгоритма при малых числах Маха.

3) Созданию комплекса программ для моделирования течений вязкого газа, основанного на разработанном численном алгоритме.

4) Приложению комплекса к ряду задач, связанных с проектированием рабочих колес турбомашин.

Настоящая работа продолжает цикл работ [64, 66, 67, 68], посвященных моделированию течений вязкой несжимаемой жидкости, и распространяет предложенные в них удачные идеи на случай расчета сжимаемых течений.

Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, приложения и списка литературы.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Чирков, Денис Владимирович

Основные результаты работы:

1. В диссертации разработан экономичный численный метод расчета стационарных ламинарных пространственных течений вязкого идеального газа применимый в диапазоне чисел Маха 10~3 < М < 15. При М < 1 точность и скорость сходимости метода не зависят от числа Маха. Разностная схема имеет второй порядок аппроксимации на гладких решениях. Результаты расчетов тестовых задач позволяют сделать вывод о том, что метод обладает высокой точностью разрешения характерных особенностей сжимаемых и несжимаемых течений.

2. Исследовано влияние параметра энтропийной коррекции Хартена на точность расчета градиентных характеристик на поверхности тела. Показано, что при больших числах Рейнольдса для достоверного определения с/ и необходимо брать е = 0 в нормальном к поверхности тела направлении.

3. Исследована аппроксимация противопотоковых разностных схем при М —> 0. Впервые доказано, что погрешность аппроксимации противопотоковой схемы Роу обратно пропорциональна числу Маха при М 1. Вместе с тем, предобу-словленная матрицей Туркела схема Роу имеет погрешность аппроксимации, не зависящую от М<^1.

4. Спектральным методом для двумерных уравнений Эйлера и Навье-Стокса исследована устойчивость и скорость сходимости предложенной схемы в случае первого порядка аппроксимации. Показано, что предобуславливание позволяет устранить зависимость скорости сходимости метода установления от числа Маха.

5. Предложенный метод реализован в виде программного комплекса, предназначенного для расчета течений газа и капельной жидкости в рамках уравнений Эйлера или Навье — Стокса с уравнением состояния псшитропного газа. Комплекс может использоваться для совместного расчета течения в сложных областях, разбитых на несколько подобластей, в каждой из которых строится своя конечно-объемная сетка.

6. С использованием модели политропного газа рассчитано невязкое течение воды в рабочем колесе радиально-осевой гидротурбины. Проведен сравнительный анализ с результатами расчетов в рамках модели несжимаемой жидкости и имеющимися экспериментальными данными. Проанализировано влияние параметра предобуславливания на картину течения в области торможения потока в межлопастном канале.

7. В диссертационной работе развиты методы исследования свойств разностных схем при малых числах Маха, позволившие получить фундаментальные результаты о точности и сходимости противопотоковых схем при М —> 0.

Заключение

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Чирков, Денис Владимирович, 2004 год

1. Лойцянский J1. Г. Механика жидкости и газа. - М: Наука, 1978. - 736 с.

2. Ковеня В. М., Тарнавский Г. А., Черный С. Г. Применение метода расщепления в задачах аэродинамики. Новосибирск: Наука, 1990. - 247 с.

3. Vatsa V. N., Thomas J. L., Wedan В. W. Navier — Stokes computations of a prolate spheroid at angle of attack // J. of Aircraft. 1989. - Vol. 26, №. 11. - P. 986-993.

4. Thomas J. L., Walters R.W. Upwind relaxation algorithms for the Navier — Stokes equations // AIAA J. 1987. - Vol. 25, Ж 4. - P. 527-534.

5. Головачев Ю. П. Численное моделирование течений вязкого газа на основе уравнений Навье-Стокса // Конструирование алгоритмов и решение задач математической физики. М.: ИПМ им. М.В. Келдыша, 1987. - С. 56-78.

6. Егоров И. В., Зайцев О. JI. Об одном подходе к численному решению двумерных уравнений Навье — Стокса методом сквозного счета // ЖВМ и МФ. -1991. Т. 31. - С. 286-299.

7. Беляев Н. М., Приходько А. А. Численные методы решения уравнений Навье-Стокса сжимаемого газа. Днепропетровск: ДГУ, 1986. - 140 с.

8. Утюжников С. В. Численное решение полных уравнений вязкого ударного слоя в задаче гиперзвукового обтекания притуплённых тел // Числ. методы механики сплошной среды. 1986. - Т. 17, №6. - С. 125-131.

9. Gnoffo P. A. Upwind-Biased, Point-Implicit Relaxation Strategies for Viscous Compressible Perfect-Gas Flows. NASA TP-2953, Feb. 1990.

10. Численное исследование современных задач газовой динамики / Под редакцией О. М. Белоцерковского. М.: Наука, 1974.

11. Толстых А. И. Об одном методе численного решения уравнений Навье — Сток-са сжимаемого газа // Уч. зап. ЦАГИ. 1972. - Т. 3, №6. - С. 78-87.

12. Кокошинская Н. С., Павлов Б. М., Пасконов В. М. Численное исследование сверхзвукового обтекания тел вязким газом. М.: МГУ, 1980. - 248 с.

13. Тирский Г. А. Гиперзвуковое обтекание тел вязким теплопроводным химически реагирующим газом в широком диапазоне чисел Рейнольдса // Механика и научно-технический прогресс. 1987. - Т. 2. - С. 261-281.

14. Beam R., Warming R. F. An implicit factored scheme for compressible Navier — Stokes equations // AIAA J. 1978. - Vol. 16, Ж 4. - P. 393-402.

15. Briley W.R., McDonald H. Solution of the multidimensional Navier — Stokes equations by a generalised implicit method // J. of Сотр. Physics. 1977. - Vol. 24, №4. - P. 372-397.

16. MacCormack R.W. A numerical method for solving the equations of compressible viscous flows // AIAA J. 1982. - Vol. 20, Ж 9. - P. 1275-1281.

17. Лапин Ю. В., Нехамкина О. А., Поспелов В. А. и др. Численное моделирование внутренних течений вязких химически реагирующих газовых смесей / Итоги науки и техники. ВИНИТИ. Сер. Механ. жидкости и газа. 1985. Т. 19. -С. 8&-185.

18. Чой Д., Меркл Ч. Л. Применение метода установления для расчета низкоскоростных течений // Аэрокосмическая техника. 1986. - №7. - С. 29-37.

19. Merkle C.L., Choi Y.-H. Computation of Low-Speed Compressible Flows with Time Marching Procedures //J. for Numer. Methods in Engineering. 1988. - Vol. 25. - P. 293-311.

20. Choi Y.-H., Merkle C. L. The application of preconditioning in viscous flows // J. of Сотр. Physics. 1993. - Vol. 105. - P. 207-223.

21. Volpe G. Performance of compressible flow codes at low Mach number // AIAA J. 1993. - Vol. 31. - P. 49-56.

22. Сарманаев С. Р., Десятков Б. М., Бородулин А. И., Ярыгин А. А. Описание пакета прикладных программ для моделирования микроклимата внутри помещений // Сибирский журнал индустриальной математики. 2003. - Т. 6, №4(16). - С. 94-109.

23. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. М: Наука, 1974. - 712 с.

24. Никулин Д. А., Потехин Г. С., Стрелец М. X. Приближенная система уравнений для описания нестационарной концентрационной естественной конвекции в бинарных газовых смесях // Изв. АН СССР. Механ. жидкости и газа. 1980.- Т. 38, №3. С. 528-537.

25. Briley W. R., McDonald H., Shamroth S. J. A low Mach number Euler formulation and application to time-iterative LBI schemes // AIAA J. 1983. Vol. 21, №10. - P. 1467-1469.

26. Weiss J. M., Smith W.A. Preconditioning Applied to Variable and Constant Density Flows // AIAA J. 1995. - Vol 33, №11. - P. 2050-2057.

27. Weiss J. M., Maruszewski J. P., Smith W. A. Imlicit Solution of Preconditioned Navier-Stokes Equations Using Algebraic Multigrid // AIAA J. 1999. - Vol 37, №1.- P. 29-36.

28. Turkel E., Fiterman A., van Leer B. Preconditioning and the limit to the incompressible flow equations. ICASE Report 93-42. 1993.33. viozat C. Implicit Upwind Schemes for Low Mach Number Compressible Flows. INMA Report RR-3084, January 1997.

29. Guillard H., Viozat C. On the behaviour of the upwind schemes in the low Mach number limit // Computers & fluids. 1999. - Vol. 28, №1. - P. 63-86.

30. Darmofal D.L., Shmid P.J. The importance of eigenvectors for local preconditioning of the Euler equations // J. of Сотр. Physics. 1996. - Vol. 127. -P. 346-362.

31. Pierce N.A., Giles M.B. Preconditioned Multigrid Methods for Compressible Flow Calculations on Stretched Meshes // J. of Comp. Physics. 1997. - Vol. 136. -P. 427-445.

32. Darmofal D.L., van Leer B. Local preconditioning: Manipulating Mother Nature to fool Father Time. Computing the Future II: Computational Fluid Dynamics and Transonic Flow. Editors: D. Caughey and M. Hafez. John Wiley & Sons. 1998.

33. Darmofal D.L., Moinier P, Giles M.B. Eigenmode Analysis of Boundary Conditions for the One-Dimensional Preconditioned Euler Equations // J. of Comp. Physics. 2000. - Vol. 160. - P. 369-384.

34. Shuen J.-S., Chen K.-H., Choi Y. A Coupled Implicit Method for Chemical Non-equlibrium Flows at All Speeds // J. of Comp. Physics. 1993. - Vol. 106. - P. 306-318.

35. Stoll P., Gerlinger P., BrCggeman D. Implicit Preconditioning Method for Turbulent Reacting Flows // Proceedings of the 4th ECCOMAS Computational Fluid Dynamics Conference. 1998. - P. 205-212.

36. Anderson W. K., Thomas J. L., van Leer B. Comparison of Finite Volume Flux Vector Splittings for the Euler Equations // AIAA J. 1986. - Vol 24, №9. - P. 1453-1460.

37. Chakravarthy S. R., Osher S. A New Class of High Resolution TVD Schemes for Hyperbolic Conservation Laws. AIAA Paper 85-0363, 1985.

38. Yamomoto S., Daiguji H. Higher-order-accurate upwind schemes for solving the compressible Euler and Navier-Stokes equations // Computers &: Fluids. 1993. -Vol. 22. - P. 259-270.

39. Yuan X., Daiguji H. A specially combined lower-upper factored implicit scheme for three-dimensional compressible Navier — Stokes equations // Computers &: Fluids. 2001. - Vol. 30. - P. 339-363.

40. Wang J., Widhopf G. An Efficient Finite Volume TVD Scheme for Steady State Solution of the 3-D Compressible Euler/Navier-Stokes equations. AIAA paper 901523. June 1990.

41. Ковеня В. M., Яненко Н. Н. Метод расщепления в задачах газовой динамики. Новосибирск: Наука, 1981. 304 с.

42. Стрелец М. X., Шур М. J1. Метод масштабирования сжимаемости для расчета стационарных течений вязкого газа при произвольных числах Маха // ЖВМ и МФ. 1988. - Т. 28. - С. 254-266.

43. Roe P. L. Approximate Riemann solvers, parameter vectors and difference schemes // J. Comput. Physics. 1981. - Vol. 43. - P. 337-372.

44. Численные методы решения многомерных задач газовой динамики / С. К. Годунов, А. В. Забродин, М. Я. Иванов и др.; под ред. С. К. Годунова М: Наука, 1976. - 400 с.

45. Кол ГА н В. П. Применение принципа минимальных значений производной к построению конечноразностных схем для расчета разрывных решений газовой динамики // Ученые записки ЦАГИ. 1972. - Т. 3, №6. - С. 68-77.

46. Yee Н. С., Warming R. F. and Harten A. Implicit Total Variation Diminishing (TVD) Schemes for Steady-State Calculations // J. Comput. Physics. 1985. - Vol 57. - P. 327-360.

47. Yee H. C. Construction of Explicit and Implicit Symmtric TVD Schemes and Their Applications // J. Comput. Physics. 1987. Vol. 68. - P. 151-179.

48. Moon Y. J., Yee H. C. Numerical Simulation by TVD Schemes of Complex Shock Reflections From Airfoils at High Angle of Attack. AIAA Paper 87-0350. Jan. 1987.

49. Greene F. A. Application of the multigrid solution technique to hypersonic entry vehicles // J. of Spacecraft and Rockets. 1994. - Vol. 31, No. 5. - P. 744-750.

50. Harten A. High Resolution Schemes for Hyperbolic Conservation Laws // J. of Сотр. Physics. 1983. - Vol. 49. - P. 357-393.

51. Ершов С. В. Квазимонотонная ENO схема повышенной точности для интегрирования уравнений Эйлера и Навье-Стокса // Мат. моделирование. 1994. - Т. 6, №11. - С. 58-64

52. Lorenzo М., Vigevano L., Zaccanti М. Factorized Imlicit Upwind Methods Applied to Inviscid Flows at Hight Mach Number // AIAA J. 2000. - Vol 38, №10, - P. 1846-1852.

53. Владимирова H. H., Кузнецов Б. Г., Яненко Н. Н. Численный расчет симметричного обтекания пластинки плоским потоком вязкой несжимаемой жидкости. В сб.: Некоторые вопросы вычислительной и прикладной математики. -Новосибирск: Наука, 1966. С. 186-192.

54. Chorin A. J. A numerical method for solving incompressible viscous flow problems // J. of Сотр. Physics. 1967. - Vol. 2. - P. 12-26.

55. Грязин Ю. А., Черный С. Г., Шаров С. В., Шашкин П. А. Об одном методе численного расчета решения трехмерных задач динамики несжимаемой жидкости // Докл. РАН. 1997. - Т. 353, №4. - С. 478-483.

56. Rogers S.E., Kwak D., Kiris С. Steady and Unsteady Solutions of the Incompressible Navier-Stokes Equations // AIAA J. 1991. - Vol. 29, №4. - P. 603-610.

57. Грязин Ю.А., Черный С. Г., Шаров С. В. Численное моделирование течений несжимаемой жидкости на основе метода искусственной сжимаемости // Вычислительные технологии. 1995. - Т. 4, №13. - С. 180-203.

58. Грязин Ю.А., Черный С. Г., Шаров С. В. Об использовании методов типа попеременно-треугольных решения неявных разностных схем для трехмерных уравнений динамики несжимаемой жидкости // Вычислительные технологии. -1995. Т. 4, №13. - С. 306-320.

59. Черный С. Г., Шашкин П. А., Грязин Ю.А. Численное моделирование пространственных турбулентных течений несжимаемой жидкости на основе к — е-моделей // Вычислительные технологии. 1999. - Т. 4, №2. - С. 74-94.

60. Чирков Д.В., Черный С.Г. Сравнение точности и сходимости некоторых TVD-схем // Вычислительные технологии. 1999. - Т. 5, №5. - С. 87-108.

61. Чирков Д. В., Черный С. Г. Неявный метод численного моделирования пространственных течений вязкого газа // Вычислительные технологии. 2003. - Т. 8, т. - С. 66-83.

62. Чакравати С. Р., Жем К.-Й. Расчет трехмерных сверхзвуковых течений с дозвуковыми зонами на основе уравнений Эйлера // Аэрокосмическая техника. 1987. - №11. - С. 22-35.

63. Грязин Ю. А. Применение противопотоковых схем для численного моделирования задач гидродинамики на основе метода искусственной сжимаемости. Диссканд. физ.-мат. наук. Новосибирск, 1996. 145 с.

64. Rizzi A. W., Eriksson L.-E. Computation of inviscid incompressible flow with rotation // J. Fluid. Mech. 1985. - Vol. 153. - P. 275-312.

65. Антонцев С. H., Кажихов А. В., Монахов В. Н. Краевые задачи механики неоднородных жидкостей. Новосибирск: Наука, 1983. - 320 с.

66. Thomas J. L., Salas M. D. Fax field boundary conditions for transonic lifting solutions to the Euler equations // AIAA J. 1986. - Vol. 24, Ж 7. - P. 1074-1080.

67. Hakkinen R. J., Greber I., Trilling L., Abarbanel S.S. The Interaction of an Oblique Shock Wave with a Laminar Boundary Layer. NASA Memo 2-18-59W, March 1959.

68. Holden M. S., Moselle J. R. Theoretical and Experimental Studies of the Shock Wave-Boundary Layer Interaction on Compression Surfaces in Hypersonic Flow.

69. ARL 70-0002, Aerospace Research Laboratories, Wright-Patterson AFB, OH, Jan. 1970.

70. Rizzetta D.P., mach K. D. Comparative Numerical Study of Hypersonic Compression Ramp Flows. AIAA Paper 89-1877, June 1989.

71. Rudy D.H., Thomas J.L., Kumar A., Gnoffo P. A., Chakravarthy S.R. Computation of laminar hypersonic compression-corner flows // AIAA J. 1991. -Vol. 29, No. 7. - P. 1108-1113.

72. Cleary J. W. Effects of Angle of Attack and Bluntness on Laminar Heating-Rate Distributions of a 15° Cone at a Mach Number of 10.6. NASA TN D-5450, Oct. 1969.

73. Квак Д., Чэнг Дж.Л.К., Шенкс С. П., Чакраварти С. Р. Метод решения уравнений Навье — Стокса для трехмерных течений несжимаемой жидкости с использованием простейших переменных // Аэрокосм, техника. 1987. - №2. -С. 144-153.

74. Ван-Дайк М. Альбом течений жидкости и газа. М: Мир, 1986. - 184 с.

75. Klainerman S., Majda A. Compressible and incompressible fluids // Comm. Pure Appl. Math. 1982. - Vol. 35. - P. 629-651.

76. Lions P.-L., Masmoudi N. Incompressible limit for a viscous compressible fluid // J. Math. Pures Appl. 1998. - Vol. 77. - P. 585-627.

77. Desjardins В., Grenier E., Lions P.-L., Masmoudi N. Incompressible limit for solutions of the isentropic Navier-Stokes equations with Dirichlet boundary conditions // J. Math. Pures Appl. 1999. - Vol. 78. - P. 461-471.

78. Hoff D. The Zero-Mach Limit of Compressible Flows // Commun. Math. Phys. -1998. Vol. 192, №3. - P. 542-554.

79. Яненко H. H., Ковеня В. M. Разностная схема для решения многомерных уравнений газовой динамики // Докл. АН СССР. 1977. - Т. 232, №6. - С. 12731276.

80. Unrau, D., and Zingg, D.W. Viscous Airfoil Computations Using Local Preconditioning. AIAA Paper 97-2027, June 1997.

81. Lee D. Local Preconditioning of the Euler and Navier-Stokes Equations. PhD thesis. University of Michigan. 1996.

82. Eriksson L.-E. A Preconditioned Navier-Stokes Solver for Low Mach Number Flows // Proceedings of the Third ECCOMAS Computational Fluid Dynamics Conference. 1996. P. 199-205.

83. Kleb W. L., Wood W. A., van Leer B. Efficient Multi-Stage Time Marching for Viscous Flows via Local Preconditioning. AIAA Paper 99-3267. June 1999.

84. Abgrall R. An extension of Roe's upwind scheme to algebraic equilibrium real gas models // Computers & fluids. 1991. - Vol. 19. - P. 171-182.

85. Humphrey J. A. C., Taylor А.М.К., Whitelaw J.H. Laminar Flow in a Square Duct of Strong Curvature // J. Fluid Mech. 1977. - Vol. 83, pt. 2. - P. 509-527.

86. Материалы по исследованию кинематики потока в проточном тракте модельной гидромашины РО 928 (ГЭС Балимела)/ СКВ «Гидротурбомаш», JIM3. Санкт-Петербург, 1998. (неопубликовано)