Нестационарные аэродинамические характеристики плоских и пространственных решеток турбомашин в дозвуковом потоке: Методы расчета и свойства тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, доктор физико-математических наук Рябченко, Валерий Павлович

• Рябченко, Валерий Павлович
• доктор физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Рябченко, Валерий Павлович

ТИ

Глава 1. Нестационарное обтекание решеток из произвольных профилей

§ 1. Постановка задачи. Вихревые следы за профилями

решетки

§ 2.Интегральное уравнение для скоростей на профилях

решетки

§ 3.Условие Кутта-Жуковского. Приведение интегральных уравнений к виду, имеющему единственное решение

§ 4. Метод численного решения интегральных уравнений в случае телесных профилей

§ 5.Суммарные аэродинамические характеристики

§ 6. Анализ результатов расчета. Эффекты телесности

профилей

Глава 2.Решетка профилей в неравномерном потоке

§ 1.Постановка задачи

§ 2.Задание неравномерности набегающего потока

§ 3.Вывод интегрального уравнения

§ 4.Формулы для давления, силы и момента

§ 5.Примеры расчета

Глава 3. Нелинейная задача о нестационарном обтекании

решетки произвольных профилей

§ 1.Интегральные уравнения задачи и условие Кутта-

Жуковского

§ 2.Формулы для расчета нестационарных аэродинамических сил и момента

§ 3.Метод последовательной линеаризации по времени.. 83 § 4.Алгоритм решения задачи для случая поступательных и вращательных колебаний профилей

§ 5.Примеры расчетов. Сопоставление с линейной теорией

Глава 4.Пространственная кольцевая решетка тонких лопастей в идеальной несжимаемой жидкости

§ 1.Постановка задачи

§ 2.Метод решения

§ 3.Численный метод

§ 4. Гидродинамические характеристики

§ 5-Упрощенные варианты алгоритма

§ 6.Граничные условия на лопасти решетки

§ 7.Некоторые особенности алгоритма

§ 8.Кольцевая решетка с большим втулочным отношением (h —)■ 1) в стационарном потоке

§ 9.Аэродинамические характеристики кольцевых решеток тонких лопастей

§ 10. Бесциркуляционное обтекание кольцевой решетки тонких лопастей

Часть II.Дозвуковое течение газа через лопаточный венец

Глава 5.Кольцевая решетка тонких лопаток

4

§ 1.У равнение для потенциала скорости

§ 2.Фундаментальное решение уравнения для потенциала скорости

§ 3.Интегральное представление для вектора скорости

течения газа

Глава 6. Решетка пластин конечного размаха между двумя плоскостями

§ 1.Постановка задачи

§ 2.Фундаментальное решение

§ 3.Интегральное представление для скорости течения

газа

§ 4.Метод подковообразных вихрей

§ 5.Аэродинамические характеристики

§ 6.Обсуждение результатов расчета

Глава 7. Собственные колебания газа около решеток

§ 1.Решетка колеблющихся тонких криволинейных профилей. Определение собственных частот с помощью интегрального уравнения

§ 2. Кольцевая решетка пластин без выноса. Метод

склеивания для определения собственных частот

§ 3. Приближенные способы определения собственных

частот в решетчатых областях

§ 4. Определение собственных частот в решетках из условия равенства нулю групповой скорости

Заключение

Литература

Предисловие.

Теоретический анализ нестационарных течений в осевых турбома-шинах необходим для понимания аэроупругих и аэроакустических явлений. Определение аэродинамических нагрузок на вибрирующие лопатки при различных условиях обтекания является одной из основных практических задач, тесно связанной с проблемой аэроупругости лопаток. От того, насколько полно изучены характеристика решеток, зависит эффективность их использования, темпы развития перспективных направлений. Теоретические исследования призваны значительно сократить экспериментальную проработку, осуществить модельный анализ различного рода турбомашин. Полученные представления могут быть использованы при обработке экспериментальных данных и развитии более общих моделей.

Задачи нестационарного обтекания решеток представляют собой сложные краевые задачи в многосвязных областях. В ряде случаев можно предполагать лопатка тонкими, мало отклоняющимися от некоторых базовых поверхностей, не создающих возмущений в жидкости или газе. Это обстоятельство является одной из предпосылок линеаризации краевых задач во многих важных для практических приложений случаев. При этом значительно упрощается получение численных результатов (особенно в трехмерном случае), сохраняя при этом основные качественные особенности нестационарных аэродинамических явлений. Однако в ряде случаев лопатки решеток сильно нагружены и имеют достаточную толщину. Кроме того, реальный поток никогда не бывает двумерным и необходим расчет трехмерного течения. Это требует разработки методов, отличных от тех, которые

использовались ранее при решении линеаризованных задач.

Прямые (разностные) методы (на основе уравнений Эйлера или Навье-Стокса) требуют большой работы по программированию и больших затрат машинного времени. Практическая реализация этих методов зачастую затруднена в связи со сложностью постановки соответствующей краевой задачи и обоснованием достоверности получаемых результатов. В связи с этим, актуальным становится создание эффективных численно-аналитических методов, в которых первоначальная краевая задача аналитически преобразуется в более простую, к которой уже и применяется некая численная процедура. Эти методы, уступая прямым в широте охвата, при рассмотрении определенного класса задач, позволяют при минимальных затратах сил и времени получить наг дежные численные результаты, пригодные длякачественного анализа и инженерного расчета.

В данной работе изложено направление исследований, которое сложилось в работах автора по созданию и развитию численных методов решения задач обтекания плоских и пространственных решеток тур-бомашин нестационарным дозвуковым потоком идеального газа. Цель этих работ состоит в решении ряда новых задач и разработке эффективных (с точки зрения их приложения к задачам аэроупругости) алгоритмов расчета и изучении свойств нестационарных аэродинамических реакций на яопатхах турбомашин.

Работа выполнялась в Институте гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН.

По теме диссертации выпущено 14 отчетов по хоздоговорам и имеются акты о внедрении программ расчета в ПО ЛМЗ (г. Санкт-

Петербург) и ЦЙАМ им. П.й. Баранова (г. Москва).

Краткий очерк развития представлений, постановок и методов решения задач обтекания плоских и пространственных решеток нестационарным потоком несжимаемой жидкости или идеального газа содержится во Введении.

Диссертация состоит из двух частей, которые разбиты на семь глав. Первая часть посвящена исследованию течений через плоские и пространственные решетки несжимаемой жидкости (главы 1-4), а вторая — дозвуковых потенциальных течений идеального газа (главы 5-7).

Глава 1 посвящена исследованию некоторых вопросов построения численного алгоритма решения линейной задачи обтекания вибрирующей решетки телесных профилей. Способ получения интегральных уравнений, имеющих единственное решение в классе функций, удовлетворяющих условию Кутта-Жуковского в задних кромках профилей, используется и при решении задач, излагаемых во второй и третьей главах.

Глава 2 содержит решение задачи обтекания решетки телесных профилей заданным неравномерным потоком. Определены возможные виды неравномерности набегающего потока, допускаемые используемой моделью течения. Проведено сопоставление с экспериментом.

В главе 3 построено решение нелинейной задачи обтекания решетки, составленной из произвольно движущихся профилей. Излагается метод решения нелинейной системы интегральных уравнений, к которой сводится рассматриваемая задача. Обсуждаются нелинейные эффекты, связанные с конечностью амплитуды колебаний профилей и сложной формой вихревых следов за ними.

Численный метод решения задачи обтекания пространственной кольцевой решетки тонких лопастей потоком несжимаемой жидкости является предметом рассмотрения главы 4. Метод, основанный на вихревой теории несущей поверхности, применен к расчету гидродинамических характеристик лопастей как при бесциркуляционном обтекании, так и при течениях с циркуляцией. Проведен анализ влияния простран-ственности течения на аэродинамические характеристики лопастей, колеблющихся в равномерном потоке или обтекаемых заданным неравномерным потоком.

В главе 5 дается вывод интегрального представления для вектора скорости потенциального течения газа через вращающуюся кольцевую решетку, аналогичное формуле Био-Савара для несжимаемой жидкости. Для рассматриваемого случая построено фундаментальное решение уравнения для потенциала скорости. Отмечается возможность построения приближенных решений при некоторых предельных значениях определяющих параметров.

В главе б на основе представлений, развитых в предыдущей главе, предложен метод подковообразных вихрей для расчета дозвукового течения газа через решетку пластин конечного размаха между двумя плоскостями. Проведено численное исследование нестационарных аэродинамических сил и моментов в таких решетках, влияния на них удлинения лопаток, числа Маха и других параметре®.

Последняя, глава 7 посвящена исследованию собственных акустических колебаний около плоской решетки тонких криволинейных профилей и кольцевой решетки пластин конечного размаха, установленных без выноса. Для решения задач использовался метод интеграль-

ных уравнений (в плоском случае) и метод склеивания (в трехмерном). Проведено сопоставление полученных результатов с собственными частотами, определенными приближенными методами. Предложен новый критерий возникновения акустического резонанса — отсутствие переноса энергии, и как следствие, равенство нулю групповой скорости акустических волн. С его помощью найдены собственные частоты для следующих моделей:

1} плоская решетка пластин; 2) пространственная решетка пластин; 3) кольцевая решетка винтовых поверхностей.

Далее следует заключение, в котором сформулированы основные наг учные результаты работы и список литературы, посвященный данной области исследования.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Нестационарные аэродинамические характеристики плоских и пространственных решеток турбомашин в дозвуковом потоке: Методы расчета и свойства»

Введение.

Здесь дан краткий очерк развитая представлений, постановок и методов решения задач обтекания плоских и пространственных решеток нестационарным потоком несжимаемой жидкости или идеального газа. Проблема достаточно подробно исследовалась в монографиях [4, 30, 32, 52, 78-79, 87-90], сборниках докладов [54, 56, 107] на всесоюзных и международных конференциях, посвященных проблемам аэроупругости турбомашин и, в частности, аэродинамике решеток в нестационарном потоке. В этих изданиях содержатся не только результаты исследований авторов, но и детальные обзоры работ [14], выполненных как в нашей стране, так и за рубежом. Ниже обсуждается лишь та часть работ, которая относится к теоретическому исследованию течений несжимаемой жидкости или идеального газа через плоские и пространственные решетки лопаток турбомашин.

Расчет безотрывного обтекания решеток является первым этапом в исследовании нестационарного обтекания лопаточных венцов осевых турбомашин. Дальнейшему упрощению задачи служит гипотеза цилиндрических сечений, согласно которой поверхностями тока течения через кольцевую решетку являются цилиндры, на которых течение рассматривается независимо. При решении задач аэроупругости [100, 102], результаты, полученные на основе таких представлений, лишь приближенно позволяют учесть реальный характер течения через лопаточный венец.

Теория решеток в нестационарном потоке традиционно развивается

к»

в Институте гидродинамики СО РАН, главным образом в рамках модели идеальней жидкости. Обзор полученных результатов содержится

в [19]. Работа в этой области аэромеханики проводилась в тесном контакте с отраслевыми КБ и НИИ. Простота моделей позволила описать рад особенностей течения, во многих случаях глубже понять механизм взаимодействия решеток с жидкостью или газом, а также провести экспериментальную проверку полученных результатов.

1.Решетка вибрирующих профилей. С помощью этих простых моделей была выявлена существенная роль ряда факторов. В простейшем случае течения идеальной несжимаемой жидкости через прямую решетку колеблющихся профилей было показано, что :

1) параметр сдвига фазы р сильно влияет на величину аэродинамического демпфирования (Систо, [148]);

2) с ростом стационарной гидродинамической нагрузки на профили увеличивается их нестационарное гидродинамическое взаимодействие, которое может привести к существенному снижению критической скорости флаттера решеток при малых числах Струхаля (Зенген [149], Атасси и Акай [108], Мусатов [53], Сарен [80-83]);

3) толщина профилей оказывает заметное влияние на нестационарные аэродинамические характеристики лишь для достаточно густых решеток (Рябченко [64]).

В работе М.Намба [139] предпринята попытка одновременного учета сжимаемости и ненулевой средней циркуляции при анализе возникновения флаттера. Использовался способ линеаризации, приводящей к линейным стационарной и нестационарной краевым задачам для уравнений с постоянными коэффициентами. Аналитически получены решения для решеток пластин, установленных под небольшим, но не бесконечно малым углом атаки. Указывается, что предлагаемая модель

может быть использована лишь в очень узком диапазоне условий (приведенная частота мала (порядка среднего угла атаки), поступательные колебания пластин). Отмечается возможность отрицательного демпфирования в исследуемой ситуации из-за наличия ненулевого среднего угла атаки.

Решение задачи безотрывного нестационарного обтекания решеток профилей безвихревым потоком несжимаемой жидкости сводится к нахождению аналитической во внешности решетки и следов за профилями периодической функции, удовлетворяющей условиям непротекания на профилях и в бесконечно удаленной точке. При синфазных колебаниях профилей или исследовании стационарного потока, задача, по-существу, эквивалентна краевой задаче для односвязнои области, что позволяет обобщить методы решения, применяемые в теории крыла [17].

Наличие сдвига фазы между колебаниями соседних профилей требует нахождения обобщенно-периодического решения, так как в области течения находится конечное число лопаток. Соответствующая краевая задача как в двумерной, так и в трехмерной постановке достаточно трудна и стремление построить эффективные методы расчета привело к развитию различных приближенных подходов, реализуемых, как правило, численно.

К таким методам относится метод аэродинамической интерференции, предложенный Д.Н.Гореловым [24, 30]. В соответствии с этим методом, потенциал скорости обтекания рассматриваемой системы тел представляется в виде суммы потенциалов обтекания каждого из этих тел в отдельности, движущегося по заданному закону, и дополнжтель-

ных потенциалов, определяемых некоторыми неизвестными заранее законами движения, введение которых и учитывает интерференцию тел. Для определения этих движений используется условие непротекания тел, что дает систему уравнений, решаемую методом коллокаций. Циркуляция скорости вокруг тел определяется условием Кутта- Жуковского, а форма вихревых следов считается известной. Этот метод был применен его автором в линейных задачах обтекания плоских решеток несжимаемой жидкостью [30] и потоком газа [25, 30]. Кроме того, он использовал этот метод для решения задачи дозвукового пространственного потока газа через прямую решетку пластин, колеблющихся между двумя параллельными плоскостями [23, 26].

Ряд результатов для плоской решетхи пластин в дозвуковом потоке газа получен методом склеивания, развитым В.Б.Курзиным [30, 40, 41].

Однако, вероятно, наибольшее применение в настоящее время, особенно в трехмерных задачах, нашли методы, связанные с численным решением интегральных уравнений, х которым могут быть сведены соответствующие задачи обтекания [35, 36, 43, 44, 66-71, 78, 80-83].

В случае решеток бесконечно тонких криволинейных профилей успешно используется метод дискретЕвых вихрей, развитый в работах С.М. Белоцерковского для широкого класса задач обтекания несущих поверхностей [И, 12]. Этим методом выполнены расчеты, на основе которых составлены первые в нашей стране таблицы нестационарных аэродинамических характеристик решеток профилей-дужек, колеблющихся синфазно [9]. Этот же метод использован в работах В.Э.Сарена [80-83, 85].

Идеи метода дискретных вихрей заложены в работе М.А.Лаврентьева

[47], в которой показано, что "какова бы ни была дуга, всегда можно, с любой наперед заданной степенью точности определить поток ее обтекающий, заменяя дугу конечной системой вихрей, расположенных на данной дуге". В этой же работе дана оценка погрешности приближенного построения этим методом искомого потока. В предисловии к этой работе С.А.Чаплыгин отмечает, что рассматриваемая задача представляет громадный интерес для теории турбомашин, лопатки которых работают в пространственном потоке. Для изучения таких течений он отдает предпочтение методу интегральных уравнений, считая его единственным доступным в то время средством исследования. В современном виде метод дискретных вихрей, как инструмент для решения сингулярных интегральных уравнений, как отмечается в работе [12], был представлен в докторской диссертации С.М. Белоцерковского.

Установление связи решения интегрального уравнения, полученного методом дискретных вихрей, с решением эквивалентной ему краевой задачи, а также доказательство сходимости метода для класса решений, неограниченных в острой передней кромке профиля, проведено в работе В.Э. С арена [83]. В статье [84] рассмотрены и другие допустимые классы решений. В книге С.М. Белоцерковского, И.К. Лифанова [12] рассмотрен широкий круг вопросов, относящихся к сходимости метода дискретных вихрей и приближенному вычислению интегралов типа Копта, встречающихся в теории несущей поверхности.

В случае телесных профилей может быть получено интегральное уравнение Фредгольма 2-го рода, эквивалентное задаче обтекания. В работах [125, 132, 141, 159] для его решения в стационарном случае предложены методы, основанные на замене интеграла с помощью ква-

дратурных формул прямоугольников или трапеций и сведении к системе линейных алгебраических уравнений. Авторы упомянутых работ указывают на неустойчивое поведение решения вблизи кромок профиля (на участках большой кривизны и малой толщины), отмечая, что матрица алгебраической системы близка к вырожденной. Устранить такое поведение решений в этих работах не удалось, даже при использовании значительного числа расчетных точек. Более эффективным оказался метод, основанный на замене профиля вписанным многоугольником, на звеньях которого искомая функция (относительная скорость жидкости) считается постоянной. Описание метода и оценка приближенного решения дана В.Э. Сареном в работах [30, 75, 81].

Трудности численного решения интегрального уравнения связаны с выбором единственного решения задачи обтекания несущего профиля в решетке. В работах [75, 132] доказаны теоремы о свойствах решений интегрального уравнения в стационарном и квазистационарном случаях. Как известно, применение постулата Кутта-Жуковского о конечности скорости в острой задней кромке профиля позволяет выделить единственное решение при использовании метода конформных отображений. Используемое здесь представление общего решения в виде суперпозиции двух решений, соответствующих бесциркуляционному и чистоциркуляционному течениям, при численной реализации не является наилучшим. Действительно, в этом случае необходимо численно рассчитывать оба течения и погрешности, возникающие в окрестности задней кромки большой кривизны и малой толщины, не позволяют достаточно точно определить приближенное значение циркуляции. В книге [30] задача обтекания вибрирующей решетки гладких профилей

в квазистационарной постановке сведена к трем интегральным уравнениям, имеющим единственное решение и физически соответствующим двум бесциркуляционным и чистоциркуляционному течениям- Замечание, сделанное выше, относятся и к этому случаю. Если профиль решетки имеет острую заднюю кромку, то указанный способ вообще не применим.

В работе [75] предложен способ, приводящий интегральное уравнение к виду, имеющему единственное решение, которое удовлетворяет требуемому условию в задней кромке профиля. Доказана эквивалентность полученного уравнения исходному. Аналогичный прием, но без обоснования, был использован в задаче стационарного обтекания одиночного профиля В.М. Шурыгиным [97].

Эффективность указанного способа решения интегрального уравнения задачи обтекания определила его успешное использование в дальнейшем при расчете течения около решетки телесных профилей в дозвуковом потоке газа. В работе [66] для решения нелинейного уравнения относительно потенциала скорости применялся метод последовательных приближений, на каждом шаге которого было необходимо решать уравнение рассмотренного типа. Аналогичная ситуация возникала и при расчете квазистационарных аэродинамических характеристик с помощью модели газа Чаплыгина [43, 44].

Ситуация усложняется в нестационарном случае [117]. Оказывается, что использование кинематического условия о конечности скорости в задней хромке, как при стационарном обтекании, недостаточно. Необходимо еще выполнение динамического условия о равенстве нулю перепада давления в этой точке профиля, т.к. она одновременно

принадлежит м вихревому следу. В результате получается связь между скачком скорости в задней хромке и циркуляцией скорости жидкости по контуру профиля. Ниже в данной работе будет показано, что можно получить эквивалентное интегральное уравнение, имеющее единственное решение в классе функций, удовлетворяющих условию Кутта-Жуковского в нестационарном случае [64]. Отметим, что предложенный в [64] метсд позднее успешно применялся при расчете обтекания решетки телесных профилей неравномерным потоком [76] и в задаче обтекания решетки профилей, колеблющихся с конечной амплитудой [63].

Экспериментальные исследования, описанные в [123] и приведенный там обзор предшествующих экспериментальных работ, показывают, что в области малых чисел Струхаля (меньших единицы) условие Кутта-Жуковского хорошо выполняется. В работе [101] отмечается, что для решеток пластин условие в задней кромке выполняется при больших значениях числа Струхаля для всех исследованных углов атаки, а для решетки вогнутых профилей не выполняется. Таким образом, полной определенности в этом вопросе при больших числах Струхаля нет, как нет и других способов выделения нужного решения.

В перечисленных выше работах но обтеканию решеток представлены разнообразные примеры зависимостей нестационарных аэродинамических характеристик от формы и приведенной частоты колебаний профилей. Эти зависимости позволили установить определяющие параметры задачи и степень применимости различных приближенных моделей. Наличие таблиц [31, 156, 157] и эффективных программ расчета аэродинамических характеристик способствует успешному ис-

пользованию теоретических результатов в задачах аэроупругоста.

2.Обтекание решетки профилей неравномерным потоком. В связи с приближенным учетом гидродинамического взаимодействия решеток представляет больше® интерес задача обтекания решетки заданным на бесконечности перед ней неравномерным потоком, обусловленным системой вихревых следов за впереди стоящей решеткой. Такая задача рассматривалась, в основном, в линейной постановке для решетки пластин. При этом предполагалось, что неоднородность набегающего потока мала по сравнению со скоростью основного потока жидкости, направленного вдоль хорды профиля решетки. Впервые такая задача была рассмотрена в работах Кемла и Сиреа [126,127]. В них предполагалось, что наиболее существенный вклад в нестационарный скос потока вносится движущимся относительно решетхи стационарным полем скоростей. Для получения нестационарных аэродинамических характеристик использовалась теория обтекания изолированного тонкого профиля.

В работе Лотца и Раабе [131] эта же задача решалась с учетом влияния соседних профилей решетки методом интегральных уравнений. В результате получалось сингулярное интегральное уравнение относительно нестационарного распределения вихрей по профилю решетки. Полученные в этой работе численные результаты указывают на увеличение амплитуды сил, действующих на лопатки в рассматриваемом случае потенциального неоднородного потока почти на 25% по сравнению со значениями, полученные Кемпом и Сирсом.

В работе Г.С. Самейловича [77] набегающий на решетку поток, обу-

и и _

словленный системой вихревых следов, моделировался волнами свобод-

ней завихренности. При этом использовалась универсальная зависимость поля скоростей в закромочных следах за решеткой от коэффициента профильных потерь [89]. Для случал нулевого сдвига фазы между возмущениями на соседних профилях решетки и нулевого угла выноса проведен подробный анализ зависимости нестационарных аэродинамических характеристик от числа Струхаля и густоты решетхи. В случае произвольного сдвига фазы подробные численные данные получены Уайтхедом [156].

В работах Д.Н. Горелова [27] и Хендерсона [121] набегающий на решетку поток задается в виде периодической неравномерности, бегущей в направлении, перпендикулярном скорости основного потока жидкости. Возмущение, вносимое в поток профилями решетки, считается потенциальным. Для решения такой задачи применяется метод интегральных уравнений и она сводится к сингулярному интегральному уравнению относительно интенсивности вихревого слоя, имитирующего пластины решетки.

В работе Тестзо и Юсиакж [134] аналогичная задача решается с помощью введения комплексного потенциала ускорения и замены плат стин решетки непрерывным распределением диполей. С помощью разложения в ряд Фурье по времени интенсивности этих диполей задача сводится к решению линейных интегральных уравнений относительно неизвестных коэффициентов этого ряда. Проведено исследование зависимости подъемной силы и момента, действующих на пластину решетки, от основных ее параметров для случая задания неравномерности набегающего потока либо в виде порыва прямоугольной формы, либо в виде периодически изменяющейся по синусоидальному закону

окружной неравномерности потока.

В работах [135-137] неравномерность набегающего потока задается в виде бегущих волн в направлении основного потока и перпендикулярном ему. Для нахождения комплексного потенциала ускорений применяется конформное отображение, сводящее исходную задачу к задаче обтехания конечного числа кругов, центры которых делят фиксированную окружность на равные дужки. В центре этой окружности помещается источник заданной интенсивности, а количество кругов равняется числу профилей в основном периоде решетки. Приведены примеры расчетов нестационарных аэродинамических характеристик.

В определенном смысле итоговой для данного направления является работа автора и В.А. Юдина [76]. В ней рассматривается обтекание решетки, составленной из тонких слабо изогнутых профилей, обтекаемой заданным неравномерным потоком. Профили решетки имеют малые, но конечные толщину, кривизну и угол атаки. Пространственные периоды решетки и неравномерности могут быть произвольными. За профилями решетки учитываются нестационарные вихревые следы, моделируемые линиями разрыва касательных скоростей. Получен общий вид задаваемой неравномерности, дс-пускаемой уравнениями движения жидкости. Показано, что при сделанных предположениях неравномерность проходит через решетку, не замечая ее, то есть з такой постановке нельзя учесть эволюцию этой неравномерности. Проведено сравнение полученных результатов с численными и экспериментальными данными других авторов.

Задачи обтекания неравномерным потоком решеток, составленных из толстых и сильно нагруженных профилей, рассматриваются в ра-

ботах [112, 157, 160]. В работе [112] был рассмотрен частный случай, когда периоды решетки и неравномерности совпадали. На входе в межлопаточный канал и на выходе из него задавался произвольный вихревой поток. Решение задачи получено методом конечных элементов. Недостатком предложенного метода является то, что необходимо задавать шуток за решеткой, который заранее неизвестен и определяется лишь после решения задачи.

В работе Гилеса [118} задача решается на основе нелинейной системы уравнений Эйлера. Периоды решетки и неравномерности — произвольны. Для расчета используется маршевый метод. На конечном расстоянии перед решеткой задается неравномерность потока, вызванная следами за впереди стоящей решеткой. Проведено сравнение с результатами для решетки пластин. Численные результаты представлены лишь для малых Ni и iVj, что связано с большим временем, необходимым для счета одного варианта даже для современных ЭВМ.

В работах В.А. Юдина [103-106] в предположении малости набегающей неравномерности удалось линеаризовать задачу на стационарном решении (обтекании решеток равномерным потоком). Полученное решение учитывает эволюцию вихревых следов при прохождении через решетку. Сравнение с расчетом эволюции следов, полученных на основе численного решения полных уравнений Навье-Стскса, говорит о качественном согласии результатов.

ЗЛелинейная задача и обтекание с отрывом потока. Методы решения задач об обтекании крыла часто лежат в основе задач обтекания решеток. Поэтому в процессе исследований нестационарного обтекания решеток использовались результаты теории крыла. Прежде

всего это касается методических вопросов, связанных с учетом эволюции вихревых следов [22, ИЗ]. Одной из первых в этом направлении была работа (Гизинга [116]). Для решения задачи он обобщил метод, предложенный Хессом и Смитом [122] для расчета бесциркуляционного обтекания произвольных тел потенциальным потоком, на случай циркуляционного обтекания профилей произвольной формы. Однако метод оказался достаточно сложным и автор не смог его обобщить для решения нелинейной задачи обтекания решетки. Решению нелинейной нестационарной задачи обтекания как с отрывом потока, так и без него, методом дискретных вихрей посвящено большее число работ С.М. Белоцерковского и его учеников [10, 13, 37, 39, 99]. В [36] задача рассматривалась в предположении потенциальности течения всюду вне профилей или решеток, а в [38} расчет проводился с учетом вязко-невязкого взаимодействия. Течение в пограничном слое около профилей при этом находится численным интегрированием систем дифференциальных уравнений и погранслоя по методике, разработанной в ВЦ МГУ [16, 59]. К этому направлению следует отнести также работы [1, 28], в которых рассматривается обтекание бесконечно тонкого профиля.

Общим для всех этих методов, применяемых для решения задачи, является применение шаговой процедуры по времени, на каждом шаге которой задача получается линейной и для ее решения применяется метод дискретных вихрей. В этих работах приводятся примеры расчетов, в которых проводится сравнение с линейной теорией.

Впервые задача обтекания решетки телесных профилей в нелинейной постановке была рассмотрена в работе автора [63]. В ней, в част-

ностз, было установлено, что эволюция вихревых следов не оказывает существенного влияния на нестационарные аэродинамические характеристики решеток, когда амплитуда колебаний профиля меньше его толщины. Поэтому можно ограничиться при их определении линейной постановкой задачи.

Применение методов точечных вихрей для изучения отрывных течений осложняется тем, что при решении задач возникают бесконечно большие скорости, вызываемые сблизившимися вихрями. Поэтому проводятся различного рода регуляризации, в результате которых точечные вихри заменяются на вихревые частицы конечного размера.

Кроме вихревых методов для расчета отрывных течений решеток тонких криволинейных профилей применяются методы, использующие классические схемы {Кирхгофа, Рябушинского и т. д.) и основанные на линеаризации задачи как стационарной, так и нестационарной. При этом предполагается, что отрывная зона имеет малую толщину а близка к линии тока стационарного безотрывного течения, точка отрыва задана и нестационарные возмущения в потоке малы [15]. В рамках такой модели (по схеме Кирхгофа) можно также учесть и сжимаемость жидкости [143]. В этой работе использован метод последовательных приближений для решения нелинейного уравнения для потенциала скорости. Получающаяся на. каждом приближении смешанная краевая задача сводится к системе интегральных уравнений, которые решаются методом дискретных особенностей.

4. Учет сжшмаем&стш,Существенное влияние средней аэродинамической нагрузки лопаток турбомашин на их нестационарные аэродинамические характеристики делает задачу расчета нестационарного

течения газа через решетку произвольных профилей весьма актуальной. Для ее решения в настоящее время разработаны два подхода. Первый подход — это прямое численное интегрирование нестационарных уравнений газовой динамита [33, 34, 125, 120, 133, 158, 161]. Обладая большой универсальностью, он требует значительных ресурсов ЭВМ, что снижает его возможности при проведении практических расчетов. Кроме того, существуют определенные трудности при постановке краевой задачи.

Другой подход — традиционный [111, 147, 153-155}. Раесматриваг ютсамалые нестационарные гармонические возмущения на фоне основного стационарного потока, описываемого нелинейными уравнениями. Для первой гармоники нестационарного возмущения получается линейное уравнение с переменными коэффициентами, зависящими от стационарного решения. Этот подход не требует больших затрат времени ж памяти ЭВМ, поэтому может быть зсполъзсваа для проведения численного эксперимента, который мог бы дать полезную информацию для предвидения различных ситуаций. Однако я здесь при расчете нестационарных возмущений возникают серьезные трудности. Большие погрешности, возникающие в окрестности задней кроши, затрудняют аккуратность выполнения условия Кутта-Жуковского, которое определяет значение нестационарной циркуляции скорости и, следовательно, приводят к сшибкам расчета всего поля течения и, в частности, нестационарных аэродинамических характеристик. Трудности связаны прежде всего с выполнением линеаризованного условия непротехания на поверхности профиля. Оно содержит слагаемое, в которое входит производная от скорости стационарного потока, неограниченно возра-

стающая вблизи задней крошен. В работах [58, 108] эта трудность преодолевается введением модифицированного акустического потенциала, содержащего регулязирующую поправку. Ее наличие позволяет устранить отмеченную особенность нестационарной краевой задачи. В работе [53] проведена модификация вариационного принципа, лежащего в основе метода конечных элементов, которым решается задача. Иной модификацией метода конечных элементов решается задача в работе [98]. Отмечается, что результаты разных авторов значительно отличаются друг от друга, В некоторых работах условие в задней кроте не ставится [33] и режим нестационарного течения устаг навлзвается в процессе счета. Поэтому вопрос о выполнении условия Кутта-Жужовского в таком численном решении неясен. Таким образом, задача не может считаться окончательно решенной. Г.Ю. Степанов [56] предлагает для подтверждения разработанных теоретических подходов провести систематические измерения в аэродинамических трубах на колеблющихся плоских решетках. Желательно также провести сравнительные расчеты для некоторых стандартных форм решетки, ее колебаний (изгибных и крутильных) и сдвига фаз между колебаниями лопаток. Аналогз*шое предложение позднее было сделано и Верденом [107]. Подобное совместное исследование "стандартных задач" проводится уже давно (с 1975 года) в нестационарной теории гребного винта [146].

5. Пространственное обтекание лопаточного вешда. Исследование влияния конечности размаха лопастей и внешних границ потока на аэродинамические характеристик!! сначала было проведено на модели решетки прямоугольных пластин, расположенных между дзу-

мя параллельными плоскостями в дозвуковом потоке газа [23,50]. С помощью расчета был выявлен ряд качественных закономерностей поведения аэродинамических характеристик [26], хотя автор а ограничился рассмотрением лишь одного специально выбранного закона колебаний лопастей. Было отмечено, что с уменьшением удлинения пластины происходит выравнивание распределения аэродинамической нагрузки вдоль размаха пластины как в случае несжимаемой, так ш сжимаемой жидкостз. Когда удлинение меньше едштил^, погонная аэродинамическая нагрузка почти не зависят от закона колебаний пластины в рассматриваемом сечении. Установлено, что в случае несжимаемой жидкости при больших удлинениях допустимо использование гипотезы плоских сечений. В дозвуковом потоке газа это сделать невозможно из-за появления акустических эффектов, зависящих от удлинения пластин. Более--подробный анализ решения данной задачи показал, что погрешность определения нестационарных аэродинамических характеристик но гшютезе плоских сечений увеличивается с ростом густоты решетки ¡74). Этот анализ был проведен с помощью предложенного автором метода Н-вжхрей, в котором используетея фундаментальное решение линейного уравнения для потенциала скорости.

В трехмерной задаче обтекания кольцевой решетки нужно учитывать отражение звуковых волн от стенок, закрутку лопаток, втулочное отношение, изменение числа Маха вдоль лопатки. Учесть влияние всех параметров сразу не удается, поэтому сначала рассматривалась упрощенные постановки задачи. В работах [57, 13в, 140, 245} задача ставилась следующим образом. Лопаточный венец имеет N лопаток, каждая из которых является частью винтовой поверхностм, ограничея-

вой двумя цилиндрами и двумя плоскостями, перпендикулярными оси цилиндров. Такая упрощенная форма лопатки дает существенные при-емущества при решении задачи, но сужает возможности применения результате® к реальным турбомапганам. Предполагается, что малые гармонические колебания происходят синхронно со сдвигом фаз между соседними лопатками 2яп/Ы{п = Ör...,JV — 1). Для решения задачи применялся метод потенциала ускорения.

Расчеты показали [145], что аэродемпфирование может быть отрицательным. Это происходит при некотором сдвиге фаз, когда оси вращения при крутильных колебаниях расположены в передней части лопаток; если же сиз расположены в задней части, то неустойчивости нет а происходит стабилизация колебаний. В работе [140], кроме того, изучено взаимодействие лопаток с неравномерным потоком, проведена оценка влияния пространственной неравномерности потока на нестационарные аэродинамические силы и момент, а также акустическую энергию, порождаемую лопатками.

Дальнейшее развитие метод работы [140] получил в статье A.A. Осжюва и К.€. Реента [57];

Задачи о стационарном и нестационарном обтекании несжимаемой жидкостью вращающейся кольцевой решетки лопастей, расположений между коаксиальными цилиндрами, решены автором методом подковообразных вихрей (П-вихрей) [87-68]. Дана численная оценка влияния пространственности течения на аэродинамические характеристики при изменения: параметров решетки s потока [67, 68,142,144J. Пока-зшОу что значптельаое влизнже оказывает вращение жидкости вокруг его цилиндров, которое усиливается с увеличением густоты ж угла вы-

носа решетки.

Для решения ряда задач аэроупругоста турбомашин, например, для расчета собственных частот ж форм колебаний лопастей гидротурбин, необходимо знать 2Ес жоэффетщенты нрисо€Диненных масс или перепад давления на лопастзх при бесадрвуляцшшюм обгехашш. Зга коэффициенты известны для плоских решеток пластин [29}, в случае кольцевой решетки — в частном случае, когда ее лопасти представляют собой части винтовых шэверхноетей постоянного- шага секторватшаой фермы [95]. В работах [45, 46, 73, 121} было рассмстреяо решение задачи, когда поверхность тонкой лопасти произвольна а может быть, например, срединной поверхностью реальной лопасти турбомашины, определяемой с помощью ее математической модели.

Нестационарное обтекание лопаточного венца турбомашины может быть обусловлено неравномерностью поля скоростей по углу 9 (в цилиндрической системе жюрдинат). В силу периодичности схорости по этому углу, ее представляют в виде ряда Фурье. Работая в неравномерном поле скоростей, все элементы лопаток обтекаются под разными углами атаки с различной скоростью, что создает переменную циркуляцию по высоте лопатки. Эта проблема аналогична рассжхгренной в шюсхом случае. Однако физичесзсая модель работы венца в неравномерном потоке значительно сложнее, так как сложнее геометрия лопатки и вихревого следа за ней [142,144, 152}.

Наиболее адекватная гидродинамическая модель работы лопаточного венца в неравномерном воле скоростей получается в настоящее время с помощью нестационарной теории несущей поверхности, в которой обтекание лопаток моделируется течением от гидродинамических ссо-

бенностей (диполей, выхрей, источников) с Беременной по времени интенсивностью. В общем случае, когда ферма сяутного следа неизвестна, задача очень трудна, так как нелинейна из-за граничных условий, которые необходимо выполнять на неизвестных поверхностях. Однако ври некоторых допущениях она может быть лииеаризеванна и сведена к определению гармоник сил и моментов, действующих на лопатки, соответствующих гармоникам заданной неравномерности.

Одновременно развивались два основных направления. В первом краевая задача решалась с земещью потенциала ускорении (давления), а гранжчное условие иенретекаяия записывалось через нормальную компоненту скорости. Во втором — использовался лишь потенциал скорости.

В случае тонких лопаток решение краевой задачи для потенциала ускорений строится с помощью потенциала двойного слоя, терпящего разрыв на поверхности лопатки, а для потенциала скорости — с помощью вихревого слоя, которым заменяются лопатки ш вихревые следы за ними. Получается двумерное интегральное уравнение относительно неизвестного распределения нагрузки шт интенсивности присоединенных вихрей, в правой части которого содержится заданная нормальная скорость на лопатках.

Ядро этого уравнения имеет очень сложный вид с высоким порядком особенности и несобственным интегралом по полубесконечному интервалу, если задача решается в терминах потенциала ускорений. В ряде случаев [110, Ш)} ядро заменяется упрощенным, в котором вместо точного винтового контура интегрирования берется стуненчатьш.

Существующие методы можно разделить на две группы (по способу

решения интегрального уравнения):

— методы, в которых неизвестная функция представляется в виде двойного ряда по предварительно подобранным линейно независимым функциям (типа рядов Бнрвбаума шш Глауерта), а граничные условия удовлетворяются на проекций лшапш на некоторую базовую поверхность {21,95, 150, 151,160].

— методы, в которых непрерывное распределение особенностей заменяется системой элементарных дискретных особенностей (с постоянной интенсивностью), расположенных на срединной поверхности [2, 5-3, 18, 67-69, 71, 73, 119,128].

В обеих случаях интегральное уравнение заменяется системой линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов ряде® или постоянныхавтенсивносте& вихрей. Для составления этой системы обычно применяется- метод коялокахщй, в котором граничное условие (уравнение) удовлетворяется в конечном числе то-

I

чек. Во втором случае эти точки должны быть расположены между вихрями в связи с тем, что исходные интегралы являются интегралами тшш Коши. Обе упомянутые группы методов решения еттеграль-ных уравнений пока не имезот строгого математического обоснования и являются аналогами соответствующих методов, применяемых в теории крыла.

На основе анализа теоретических разработок было установлено, что существующие методы дают разные результаты^ что отсутствуют однозначные рекомендации по практическому применению того или иного метода. В связи с этим Международной конференцией спытовых бассейнов был предложен пример [145] для сравнительных вычислений

нестационарных аэродинамических характеристик винта. Он дает возможность оценить результаты работы вновь предлагаемой программы расчета нестационарной аэродинамической нагрузки при работе гребного винта в заданном неравномерном потоке за корпусом судна.

в. Об особввюс?£с дозвукового течения газа через решетка. При дозвуковых скоростях течение газа в турбомапшне качественно отличается от течения несжимаемой жидкости. К числу таких отличительных особенностей отяоедагея явление акустического резонанса [42, 96]. Связанная с ним задача о собственных колебаниях газа в решетчатой области с условием обобщенной периодичности в рамках плоской модели течения численш исследовалась в [30, 41, 42]. Установлены закономерности поведения собственных частот при различных значениях определяющих параметров. В [83-86) изучались вопросы обоснования использованной в [41] математической модели, в частности, доказана дискретность спектра собственных частот.

Однако применение гипотезы цилиндрических сечений, сводящей трехмерную задачу к плоской, связано с рядом ограничений на геометрию лопаточного венца [70]. Поэтому целесообразно- рассматривать эту задачу, используя более точную модель кольцевой решетки. В [72] описано применение метода склеивания к задаче о собственных колебаниях газа, обтекающего зольцевую решетку бесконечно тонких лопаток,, установленных без выноса. Отмечено, что при численном решении задачи дозвукового нестационарного обтекания решетки важно знать значения параметров, при которых возникают особенности в поведении искомых величин. К результатам расчета, в окрестности таких точек следует относиться с большей осторожностью, так как там мс-

гут нарушаться основные предположения, содержащиеся в постановке задачи (например, малость возмущений).

7. Заключительные замечания. В последние годы, благодаря развитию вы^слитеяьш^ таз£ша^ ез!ааа жяшшшж- разработка подходов, основанных на расчете пространственных течений в турбсма-шинах, как в квазитрехмерной, так и з полней трехмерной постановках при интегрировании уравнений Эйлера, в том числе и с использованием модели пограничного слоя, или уравнений Навье-Огокса с нолуэм-пггеячесхими моделями тзфбулеззвееШ'fS8, 107). Как отмечают сама авторы работ, Бри проведении таких расчетов возникает ряд серьезны:-: проблем. Помимо сложностей, связанных с численным моделированием нелинейных уравнений Эйлера ж Навье-Охтжса, дополнительно приходится преодолевать трудности, вызванные спецификой самой задача:

1) течение существенно нестационарное;

2) область течения многосвязна и имеет сложную геометрию из-за большей кривизны лепатех в окрестностях передней м задней кромок; 3} течение а разных подобластяхм в разные моменты времени может сказаться как ламжнаряьш, таг. ш турбулентным, что заранее неизвестно.

Все эти трудности приходится преодолевать на фене малой изученности физических особенностей течения, что еще более затрудняет формулировку математической задачи и анализ получаемых результат тов.

В обзоре [107} отмечается, что прогресс исследований течений через решетки турбомапшн связан с развитием этого направления, которое

тормозится отсутствием ясных представлений о физических особенно' стях течений. В этой связи необходимо дальнейшее развитие как экспериментальных, так и шяуанагштмческих методов исследования. Бра использовании линейного аевязхого анализа или результатов вязко-невязкого взаимодействия (при больших числах Рейвол&дса) главная трудность — это определение допустимой области приложения. Эту проблему можно: решить с помощью аккуратного численного решения нелинейных нестационарных задач. Для оценки важности нелинейных факторов необходимы надежные тесты, на которых бы отрабатывались все имеющиеся и вновь предлагаемые методы. С их помощью можно было бы обозначить области законности приближенного анализа и те параметрические области, где ах недостаточно.

В заключение отметим, что прямые численные методы разностные шш, метод конечных элементов) касаются, в основном, двумерных задач. Сообщения о первых попытках решения нестационарных трехмерных задач в линейной постановке появилась совсем недавно. Поэтому разработка чжсленш> аналитических методов решения задач аэродинамики решеток турбомалшн остается актуальной темой исследований. Следует отметить успешное использование результатов автора в задачах аэроупругссти- лопастей ■ гидротурбин [45, 46, 129].

Часть I. Решетка лопастей а потоке несжимаемой жядзсости.

Заключение диссертации по теме «Механика жидкости, газа и плазмы», Рябченко, Валерий Павлович

Заключение.

В диссертации представлены работы автора по созданию и развитию методов решения задач обтекания плоских и пространственных решеток турбомашин нестационарным дозвуковым потоком идеального газа или несжимаемой жидкости. Цель этих работ состоит в решении ряда новых задач и разработке эффективных (с точки зрения их приложения к задачам аэроупругостя) алгоритмов расчета и изучении свойств нестационарных аэродинамических реакций на лопатках турбомашин. Ниже кратко сформулированы основные результаты данного исследования.

1. Разработан метод решения линейной задачи нестационарного обтекания решетки произвольных профилей. Соответствующее интегральное уравнение приведено к виду, имеющему единственное решение в классе функций, удовлетворяющих условшо Кутта-Жуковсхого. Этот метод применен также для решения задачи обтекания слабо нагруженной решетки телесных профилей неравномерным потоком.

2. Решена нелинейная задача о колебаниях из состояния покоя профилей решетки с конечной амплитудой.

3. Разработан метод винтовых подковообразных вихрей решения стационарной и нестационарной задач пространственных кольцевых решеток турбомашин потоком несжимаемой жидкости. С его помощью проведены также расчеты течений с заданным неравномерным потоком на входе в решетку.

4. Построено интегральное представление для скорости потенциального дозвукового нестационарного трехмерного течения газа через ее значения на лопатках с использованием фундаментального решения, удовлетворяющего граничным условиям на ограничивающих поток поверхностях. При этом рассмотрены линейные модели течения газа через кольцевую решетку и решетку пластин конечного размаха между двумя плоскостями. В случае обтекания решетки безграничным потоком несжимаемой жидкости это представление совпадает с известной формулой Био-Савара.

5. Предложен эффективный способ суммирования двойных рядов в фундаментальном решении задачи о течении газа через решетку пластин между двумя плоскостями. При этом выделена сингулярная часть этого решения, аналогичная выражению, получаемому при использовании метода отражения для решения задачи Неймана в полосе.

6. На основе полученного интегрального представления разработан метод подковообразных вихрей для расчета нестационарного дозвукового течения газа через решетку пластин конечного размаха между двумя плоскостями. При этом уравнение для потенциала удовлетворяется точно и сохраняются преимущества классического метода для безграничных потоков несжимаемой жидкости.

7. Решены задачи о собственных акустических колебаниях газа около плоской решетки тонких криволинейных профилей и кольцевой решетхи пластин конечного размаха, установленных без выноса. Для решения первой задачи использовался метод интегральных уравнений, причем интегральное уравнение выведено с помощью разработанных интегральных представлений. Во втором случае дано обобщение метода склеивания для решения трехмерных задач теории решеток. Дан новый способ приближенного определения собственных частот в решетчатых областях для моделей кольцевого канала с условием обобщенной периодичности — из условия равенства нулю групповой скорости ахустических волн.

8. Проведен комплекс исследований свойстз нестационарных аэродинамических характеристик в зависимости от основных параметров решетки и потока. Выявлен ряд особенностей этих зависимостей, к которым, в частности, относятся: а) для редких (т < 1) решеток влияние телесности (А < 0,2) на силы и момент невелико, а теория тонкого профиля дает надежные результаты; для решеток большой густоты это влияние становится значительным и его необходимо учитывать. При этом наиболее существенно телесность профиля влияет на характер зависимости аэродинамического демпфирования от сдвига фазы между колебаниями соседних профилей; б) при решении задачи в нелинейной постановке линии вихревых следов за профилями решетки существенно отличаются от критических линий тока стационарного течения, как предполагается при линейной постановке задачи. Однако это мало сказывается на величинах суммарных аэродинамических характеристик, то есть для них линейная теория дает надежные результаты в реальном диапазоне изменения параметров решетки для амплитуд колебаний порядка толщины профилей {А < 0,16); в) влияние пространственности течения на аэродинамические характеристики (в рамках модели несжимаемой жидкости) в большой степени проявляется для густых решеток с большим утлом выноса; г) учет сжимаемости газа при обтекании решеток качественно меняет зависимости нестационарных аэродинамических характеристик от определяющих параметре®. При некоторых сочетаниях этих параметров может возникнуть явление акустического резонанса. Для приближенного определения собственных частот колебаний газа в решетчатых областях используется условие равенства нулю групповой скорости акустических волн.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Рябченко, Валерий Павлович, 1998 год

Литература.

1. Алгазин В.А. Влияние экрана на аэродинамические характеристики колеблющегося профиля // ПМТФ, - 1982, - №4, - €.92-98.

2. Адаринов В.Ф., Дворах A.B. Метод дискретных вихрей с замкнутыми вихревыми рамками // Математическое моделирование авиационных комплексе®. Труды ВВЙА, - 1989, - вып. 1315, - С.424-432.

3. Аронсон А.Я., Кондратьев Ю.С., Сарен В.Э. Гидродинамические характеристики и усталостная прочность неоднородной лопастной системы // Энергомашиностроение, - 1973, - №6, - С.10-11.

4. Басхин В.Э., Вильдгрубе Л.С., Вождаев Е.С. и др. Теория несущего винта. - М.: Машиностроение, - 1973, - 363 С.

5. Белоцерковский С.М., Васин В.А., Локтев Б.Е. К математическому нелинейному моделированию нестационарного обтекания несущего винта // ДАН СССР. - 1978. - т.240. - т. ~ С. 1320-1323.

6. Белоцерковсхий С.М., Васин В.А., Локтев Б.Е. Изучение некоторых особенностей работы несущего винта численным экспериментом // ДАН СССР. - 1979. - т.244. - №2. - С.307-311.

7. Белоцерковский С.М., Васин В.А., Локтев Б.Е. К построению нестационарной нелинейной теории воздушного винта // Изв. АН СССР. Сер. МЖГ. - 1979. - Ж. - С Л 07-113.

8. Белоцерковский С.М., Васин В.А., Локтев Б.Е. Моделирование на ЭВМ нестационарного обтекания несущих винтов соосной схемы // ДАН СССР. - 1981. - т.256. - Ж. - С.810-814.

9. Белоцерковский С.М., Гиневский A.C., Полонский Я.Е. Аэродинамические силы, действующие на решетку профилей в нестационарном обтекании // Промышленная аэродинамика. - 1961. - вып. 20.

10. Белоцерковский С.М., Ншпт МЛ. Отрывное и безотрывное обтекание крыльев идеальной жидкостью. - М.: Наука, - 1978.

11. Белоцерковский С.М., Скрипач Б.К., Табачников В.Г. Крыло в нестационарном потоке газа. - М.: Наука, - 1971, - 767 С.

12. Белоцерковский С.М., Лифанов Н.К. Численные методы в сингулярных интегральных уравнениях и их применение в аэродинамике, теории упругости, электродинамике. - М.: Наука, - 1985, - 253 С.

13. Белоцерковский С.М., Котовский В.Н., Ншпт М.Й., Федоров P.M. Математическое моделирование плоскопараллельного отрывного обтекания тел. - М.: Наука. - 1988.

14. Библиографический указатель литературы за 1968 - 1982 гг. // Аэроупругость лопаток турбсмашин. Новосибирск, - 1983, - 154 С.

15. Богомолов С.Б., Сарен В.Э. Решетка профилей, вибрирующих в отрывном несжимаемом потоке // Аэроупругость лопаток турбомапшн. Тр. ЦЙАМ, - 1991, - №1293, С.57-78.

16. Браиловская Й.Ю., Гудов JI.A. Решение уравнений пограничного слоя разностным методом // Вычислительные методы и программирование Ц М.: МГУ, - 1962, - вып. 1.

17. Вахомчик В.П., Степанов Г.Ю. Нестационарное обтекание решетки тонких профилей с утлом выноса // Изв. АН СССР, Сер. МЖГ, -1968, - №5.

18. Владимиров В.П., Евдокимов А.й. Расчет аэродинамических характеристик лопаточных венцов // Аэроупругость лопаток турбомапшн. Тр. ЦЙАМ, - 1983, - №1064, - С.49-62.

19. Воробьев Н.Ф., Курзин В.Б. Развитие теории крыла и решеток // Теплофизика и аэромеханика, - 1997, - т.4, - №2, - С. 181-193.

20. Галипшикова Т.Н., йльинсхжй A.C. Численные методы в задачах дифракции. М: Изд-во Моск. ун-та, 1987.

21. Герчев Г. О практической применимости метода потенциала ускорений в расчете периодических сил гребного винта / / Вопросы судостроения, Сер. Проектирование судов, 1984, вып.39, С. 15-21.

22. Головкин В.А. Нелинейная задача о неустановившемся обтекании произвольного профиля со свободно деформирующимся вихревым следом // Уч. записки ЦАГИ, - 1972, т.Ш, Ш.

23. Горелов Д.Н. Пространственное обтекание лопаточного венца осевой турбомапшны дозвуковым нестационарным потоком газа // Изв. АН СССР, Сер. Механика и машиностроение, - 1963, - №6, - С.36-44.

24. Горелов Д.Н. О расчете аэродинамической интерференции системы тел в идеальной жидкости // Изв. АН СССР, Сер. Механика и машиностроение, - 1964, - №5.

25. Горелов Д.Н., Доминас Л.В. Решетка пластин в дозвуковом нестационарном потоке газа // Изв. АН СССР, Сер. МЖГ, - 1966, - №6, -С.56-64.

26. Горелов Д.Н., Доминас Л.В. Расчет нестационарных аэродинамических коэффициентов пространственных решеток пластин в дозвуковом потоке газа // Изв. АН СССР, Сер. МЖГ, - 1967, - №6, С.21-30.

27. Горелов Д.Б. О колебаниях профилей решетки в неравномерном потоке несжимаемой жидкости // Изв. АН СССР, Сер. МЖГ, - 1969, - Ш, - С.31-40.

28. Горелов Д.Н., Куляев Р.Л. Нелинейная задача о нестационарном обтекании тонкого профиля несжимаемой жидкостью // Изв. АН СССР, Сер. МЖГ, - 1971, - Ж, - С.38-48.

29. Горелов Д.Н. Присоединенные массы решетки пластин в несжимаемой жидкости // Изв. АН СССР, Сер. МЖГ, - 1973, - №2.

30. Горелов Д.Н., Курзин В.Б., Сарен В.Э. Аэродинамика решеток в нестационарном потоке. - Новосибирск: Наука, Сиб. отделение, -1971, - 272 С.

31. Горелов Д.Н., Курзин В.Б., Сарен В.Э. Атлас нестационарных аэродинамических характеристик решеток тонких профилей. - Новосибирск: Наука, Сиб. отделение, - 1974, - 152 С.

32. Гостелоу Дж. Аэродинамика решеток турбомашин. - М.: Мир, -1987, - 389 С.

33. Иванов М.Я., Крупа ВТ. Расчет трехмерного течения вязкого газа в прямой решетке профилей // Изв. АН СССР, Сер. МЖГ. - 1993. -№4. - С. 58-68.

34. Идиятуллина Ф.Л., Старцев A.M. Обтекание решетки колеблющихся профилей сжимаемым потоком // Аэроупругость лопаток турбомашин. Тр. ДИАМ, - 1983, - №1064, - С.7-22.

35. Казимирскжй 3., Нитусов В.В., Самойлович Г.С. Расчет обтекания решетки произвольных профилей, вибрирующих с произвольным сдвигом фаз, плоским потоком несжимаемой жидкости // Изв. АН СССР, Сер. МЖГ, - 1968, - №5.

36. Котовский В.Н., Ништ М.И., Федоров P.M. Математическое моделирование на ЭВМ стационарного и нестационарного обтекания телесных профилей и решеток идеальной несжимаемой жидкостью // ДАН СССР, - 1980, - Т.252, - №6, - С.1341-1345.

37. Котовский В.Н., Ништ М.И., Федоров P.M. Математическое моделирование нестационарного отрывного обтекания решеток телесных

профилей // Докл. АН СССР, - 1982, - т.263, - №6, - С. 1326-1330.

38. Котовскжй В.Н., Федоров P.M. Расчет нестационарного обтекания телесной решетки потоком вязкой жидкости / / Аэроупругость лопаток турбомапшн. Тр. ЦИАМ, - 1983, - К°1064, - С.23-35.

39. Котовский В.Н., Ништ М.Й., Федоров P.M. Численное исследование режимов отрывного обтекания решеток профилей и колеблющегося цилиндра // Аэроупругость турбомапшн, - Новосибирск, - 1984, - С.6-23, - (Сб. научных трудов/Ин-т гидродинамики СО АН СССР).

40. Курзин В.Б. Решение задачи о неустановившемся обтекании решетки телесных профилей методом склеивания // Изв. АН СССР, Сер. МЖГ, - 1967, - №3.

41. Курзин В.Б. Об одном методе склеивания решения линейных краевых задач // ЖВМ и МФ, - 1969, - №5, - С.1184 - 1188.

42. Курзин В.Б. Об акустическом резонансе при холебанмях решетки пластин в дозвуковом потоке газа // Изв. АН СССР. - Сер. МЖГ. -1972. - №5. - С. 139-144.

43. Курзин В.Б., Кулебахжна B.C. К расчету обтекания одиночного профиля и решетки профилей дозвуковым потоком газа Чаплыгина // Динамика сплошной среды, - Новосибирск, - 1975, - С. 107-116, - (Сб. научных трудов / Ин-т гидродинамики СО АН СССР; вып.22).

44. Курзин В.Б., Рябченхо В.П. Квазистационарные силовые характеристики решетки произвольных профилей в дозвуковом потоке газа // Аэроупругость турбомапшн (Тр. ЦЕАМ), - 1981, - №953, - С.7-19.

45. Курзин В.Б., Коробейников С.Н., Рябченхо В.П., Ткачева Л.А. Собственные колебания решеток лопастей однородной решетка гидротурбин в жидкости // ПМТФ, - 1997, - Т.38. - №2, - С.80-90.

46. Курзжн В. Б., Коробейников С.Н., Рябченко В.П., Ткачева Л .А. Собственные колебания решеток гидротурбин, имеющих малую геометрическую неоднородность // ПМТФ, - 1997, - т.38, №6, - С.66-78.

47. Лаврентьев М.А. О построении потока, обтекающего дугу заданной формы // Тр. ЦАГЙ, - 1932, - вып. 118, - С.3-56.

48. Лебедев В.Ф. Приближенный метод расчета распределения аэродинамической нагрузки по крылу и фюзеляжу при дозвуковых схоростях // Труды ЦАГИ. - 1958. - Вып. 719.

49. Левин Л. Теория волноводов. М: Радио и связь, 1981.

50. Липовой P.C. Метод факторизации в задачах гидроаэромеханики.

- Киев: Наукова думка, - 1977, - 120 С.

51. Моргунов P.M. Трехмерный аналог обобщенной формулы Копт и одно его приложение в гидродинамике // Изв. АН СССР. Сер. МЖГ,

- 1974. - N°2.

52. Морозов В.Й., Пономарев А.Т., Рысев О.В. Математическое моделирование сложных аэроупругих систем. - М: Физматлит, 1995, - 736 С.

53. Мусатов В.В. К расчету нестационарного обтекания решетки профилей в несжимаемой жидкости // Изв. АН СССР, - Сер. Механика и машиностроение, - 1963, - №3.

54. Нестационарные течения в турбомашинах. Серия "Механика". Новое в зарубежной науке // Под ред. йшлинского П.Ю., Черного Г.Г. -М: Мир, - 1979, - 317 С.

55. Нобл Б. Метод Винера-Хопфа. М:Изд-во иностр. лит., 1962.- 279С.

56. Новости зарубежной науки и техники. Сер. авиационное двигате-лестроение, - 1984, - Я°8, - 40 С.

57. Осипов A.A., Рееыт К.С. Метод интегральных уравнений для расчета нестационарных аэродинамических характеристик вращающегося кольцевого лопаточного венца // ЖВМ и МФ, - 1988, - т.28, - №9, С. 1367-1378.

58. Осипов A.A. Метод конечных элементов для расчета нестационарных аэродинамических дозвуковых решеток вибрирующих профилей // ЖВМ и МФ, - 1993, - т.ЗЗ, - №6, - С.919-935.

59. Пасконов В.М. Численное решение нестационарных уравнений пограничного слоя // Вычислительные методы и программирование. М: МГУ, 1968, - вып. XI.

60. Погорелов A.B. Дифференциальная геометрия. - М.: Наука. -1974. - 1760.

61. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.й. Интегралы и ряды. Специальные функции. М: Наука, 1983.

62. Рабинович Г.И., Сарен В.Э. Нестационарные аэродинамические силы, действующие на лопатки колеса осевого компрессора при крупномасштабной окружной неравномерности набегающего потока / / Техн. отчет ЦИАМ, - 1985, - №10312.

63. Рябченко В.П. Нелинейная задача о нестационарном обтекании решетки профилей // Ученые записки ЦАГИ, - 1973, - т.4, - №6, -С.8-16.

64. Рябченко В.П. Нестационарные аэродинамические характеристики решеток произвольных профилей, вибрирующих в потенциальном потоке несжимаемой жидкости // Изв. АН СССР, Сер. МЖГ, - 1974, - Ш, - С Л 5-20.

65. Рябченко В.П. Расчет нестационарных аэродинамических харах-

теристик решеток профилей произвольной формы // Проблемы прочности, - 1976, - №3, - С.29-32.

66. Рябченко В.П. Расчет стационарного обтекания решетки профилей дозвуковым потоком газа методом последовательных приближений // Изв. СО АН СССР, Сер. техн. наук, - 1977, - т.13, - №3, - С.11-15.

67. Рябченко В.П. Расчет пространственного обтекания лопаточного венца осевой турбомашины потенциальным потоком несжимаемой жидкости // ПМТФ, - 1979, - №2, - С.119-127.

68. Рябченко В.П. Аэродинамические силы, действующие на лопасти пространственной кольцевой решетки при нестационарном обтекании // ПМТФ, - 1979, - №4, - С.89-97.

69. Рябченко В.П. Численный метод расчета гидродинамических реакций на винт в насадке //IV нац. конгресс по теор. и прикладной механике. Варна, - 1981, - кн.4, - 6 С.

70. Рябченко В.П. Квазидвумерное приближение в задаче стационарного дозвукового обтекания пространственной кольцевой решетки // ПМТФ, - 1982, - №2, - С.74-80.

71. Рябченко В.П. Расчет нестационарных аэродинамических характеристик кольцевой решетки лопастей произвольной формы / / Аэроупругость лопаток турбомашин. (Тр. ЦЙАМ), - 1987, - №1221, -С .4-14.

72. Рябченко В.П. О собственных частотах холебаний газа, обтекающего пространственную кольцевую решетку тонких лопаток // Аэ-роупрутость лопаток турбомашин. (Тр. ДИАМ), - 1987, - №1221, -С.52-64.

73. Рябченко В.П. Расчет присоединенных масс кольцевой решетки

лопастей произвольной конфигурации методом дискретных вихрей // Аэроупругость лопаток турбомашин. (Тр. ЦИАМ), - 1991, - №1293, -1991, С.79-86.

74. Рябченко В.П. Нестационарные аэродинамические характеристики пространственной решетки пластин в дозвуковом потоке газа // ПМТФ, 1995. - т.36., №2. - С.45-55.

75. Рябченко В.П., Сарен В.Э. К расчету аэродинамических характеристик решеток профилей произвольной формы // Изв. АН СССР, Сер. МЖГ, - 1972, - №2, - С.105-112.

76. Рябченко В.П., Юдин В.А. Определение гидродинамических реакций решетки профилей, движущихся в неравномерном потоке // Аэроупругость лопаток турбомашин. (Тр. ЦИАМ), - 1989, - №1266, -С.28-42.

77. Самойлович Г.С. Неустановившийся вихревой поток вокруг решетки тонких вибрирующих профилей // ПММ, - 1961, - №5, - С.851-857.

78. Самойлович Г.С. Нестационарное обтекание и аэроупругие колебания решеток турбомашин. - М.: Наука. - 1969.

79. Самойлович Г.С. Возбуждение холебаний лопаток турбомашин. -М: Машиностроение, - 1975, - 288 С.

80. Сарен В.Э. Обтекание решетки тонких криволинейных профилей нестационарным потоком несжимаемой жидкости / / Изв. АН СССР, Сер. МЖГ, - 1966, - №1, - С.75-83.

81. Сарен В.Э. Решетка произвольных вибрирующих профилей в потоке несжимаемой жидкости // Изв. АН СССР, Сер. МЖГ, - 1968, -№3, - С.81-87.

82. Сарен В.Э. Расчет нестационарных силовых и моментных характе-

ристзх решеток тонких криволинейных профилей / / Лопаточные машины и струйные аппараты. Вып.6, - М: Машиностроение, 1971.

83. Сарен В.Э. Нестационарные аэродинамические характеристики решеток тонких криволинейных профилей // Проблемы прочности, -1974, - №8, - С.23-28.

84. Сарен В.Э. О сходимости метода дискретных вихрей // Сиб. мат. ж. - 1978, - т.19, - №2.

85. Сарен В.Э. Обтекание решетки вибрирующих профилей потенциальным потоком несжимаемой жидкости // Газодинамика воздушно-реактивных двигателей (Тр. ЦЕАМ), - 1984, - №1093, - С Л 5-25.

86. Седов Л.И. Плоские задачи гидродинамики и аэродинамика. М.: Наука, - 1966.

87. Симонов Л.А. Осевые компрессоры // Сборник теоретических работ по аэродинамике // М.: Оборонгиз, - 1957, - С.463-509.

88. Соколовский Г.А., Гнеснн В.И. Нестационарные трансзвуковые и вязкие течения в турбомашинах. - Киев: Наукова думка, - 1986, - 264 С.

89. Степанов Г.Ю. Гидродинамика решеток турбомашин. М.: Физ-матгиз. - 1962.

90. Степанов Г.Ю. Гидродинамическая теория решеток. - В кн.: Механика в СССР за 50 лет. Т.2. - М.: Наука, - 1970 - С. 103-152.

91. Сухжнин C.B. Об акустичесхих и электромагнитных колебаниях около периодической решетки // Динамика сплошной среды. - Новосибирск, 1981. - С Л59-168. - (Сб. научн. тр./Ин-т гидродинамики СО АН СССР; вып.51).

92. Сухиния C.B. Некоторые вопросы теории собственных колебаний

газа около плоской периодической решетки // Численные методы механики сплошной среды. - Новосибирск, - 1981, - С.140-147. - (Сб. научных трудов/Ин-т теоретической и прикладной механики СО АН СССР; т.12, - №5).

93. Сухинин C.B. Эффект волновода // ПМТФ, - 1989, - №2, - С.92-101.

94. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики. М: Наука, 1972.

95. Ткачева Л.А.Расчет присоединенных масс кольцевой решетхи лопастей // ПМТФ, - 1983, - №5, - С.56-62.

96. Хитрик В.Л. Об акустическом резонансе в турбомашинах при аэродинамическом взаимодействии решеток в дозвуковом потоке газа // ПМТФ, - 1994, - №4, - С.78-85.

97. Шурыгин В.М. Об интегральных уравнениях для течений несжимаемой жидкости. Метод особенностей // Уч. записки ЦАГИ, - 1988, - Т.19, - №5, - С. 13-23.

98. Файзуллин Р.Т. Расчет методом конечных элементов нестационарных аэродинамических характеристик решеток в дозвуковом потоке идеального газа // Аэроупругость турбомапшн. - Новосибирск, -1984, -С.57-65. (Сб. научных трудов / йн-т гидродинамики СО АН СССР).

99. Федоров P.M., Котовскжй В.Н. Расчет отрывного обтекания решеток профилей плоским потоком идеальной несжимаемой жидкости / / Аэроупругость лопаток турбомапшн. (Тр. ЦИАМ), - 1985, - №1127, -С.221-226.

100. Фершинг Г. Основы аэроупругости. - М: Машиностроение, -

1984, - 600 С.

101. Флитер С. Условия на задней кромке профиля, обтекаемого нестационарным потоком при большой приведенной частоте // РТ и К,

- 1980, - т.18, - №6, - С.24-32.

102. Фъга Я.Ц. Введение в теорию аэроупругости. - М: Физматгиз, 1959, - 524 С.

103. Юдин В.А. Решетка пластин в системе вихревых следов // Динамика сплошной среды, - Новосибирск, - 1975, - С. 178-187. - (Сб. научных тр. / Ин-т гидродинамики СО АН СССР, вып.21).

104. Юдин В.А. Изменение неравномерности потока при прохождении через решетку профилей // Аэроупругость лопаток турбомапшн (Тр. ЦИАМ), - 1981, - №1293, - С.24-35.

105. Юдин В.А. Расчет гидродинамического взаимодействия решеток профилей с учетом закромочных следов // Аэроупрутостъ лопаток турбомапшн (Тр. ЦИАМ), - 1981, - №953, - С.52-66.

106. Юдин В.А. Решетка профилей в нестационарном завихренном потоке // ПМТФ, - 1994, т.35, - №4, - С.85-91.

107. Atassi Н.М. Unsteady aerodynamics, aeroaconstics and aeroelasticity of turbomachines and propellers. - Beriin: Springer, 1993. - 800 p.

108. Atassi H.M., Akai T.J. Aerodynamic and aeroelastic characteristics of oscillating loaded cascades at low Mach number. Part 1: Pressure distribution, forces and moments // Trans. ASME. Ser.A, - 1980, - v. 102,

- №2, - P.344-351.

109. Bauer H.F. Tables of zeros of cross product Bessel function // Math, сотр., - 1964, - v.18, - P.128-135.

110. Breslin J.P. Propeller-induced hull pressures and forces // Third

intern, conf. on numerical ship hydrodynamics, June 16-19, 1981, Paris, France, P.427-445.

111. Caspar J.R., Verdon J.M. Numerical treatment of unsteady subsonic flow past an oscillating cascade // AIAA Journal. - 1981, - v.19, - №12, - P. 1531-1539.

112. Daiguju H., Sakai H. Finite element analysis of cascades flow with varying flow rate // Bull, of the JSME. - 1978. - v.21, - №156, - P.986-992.

113. Djojodihardjo R.H., Widnall S.E. A numerical method for the calculation of nonlinear unsteady lifting potential flow problems // AIAA Journal, -1969, - v.7, - №10.

114. Falcao A.F. de O. Three-dimensional potential flow through a rechtlinear cascade of blades // Ing. Archiv. - 1975, - Bd.44. - H.l. - S.27-41.

115. Gerolymos G.A. Numerical integration of the blade-to-blade surface Euler equations in vibrating cascades // AIAA Journal. - 1988. - v.26. -№12. - P. 1483-1492.

116. Giesing J.P. Nonlinear two-dimensional unsteady potential flow with lift // J.Aircraft. - 1968. - v.5. - №2.

117. Giesing J.P. Vorticity and Kutta condition for unsteady multienergy flows // ASME Conference on Applied Mechanics. - 1969. (Русский перевод: Тр. амер. общ-ва инж.-мех. Сер.Е. прикл. механика. - 1969, -№3).

118. Giles М.В. Calculation of the unsteady wake/rotor interaction // J.Propul. and Power. - 1988. - №4. - P.356-362.

119. Greely D.S., Kerwin J.E. Numerical method for propeller design and analysis in steady flow//Trans. Soc. Archit. and Mar. Eng. - 1982. -

v.90.

120. Hall K.C., Growley E.F. Calculation of unsteady flows in turbomachinery using the linearised Euier equation // AIAA Journal. - 1989. - v.27. -№6. - P.777-787.

121. Henderson R.E., Daneshyar H. Theoretical analysis of fluctuating lift on the rotor of an axial turbomachine // Aeronaut. Res. Counts. Repts and Mem. - 1970. - №3684. - 28p.

122. Hess J.L., Smith A.M. Calculation of potential flow about arbitrary bodies // Progress in aeronautical Sciences. - 1966. - v.8

123. Ho C.M.. Chen S.H. Unsteady Kutta condition of a plunging airfoil // Unsteady turbulent shear flows. R. Michel. J. Counteix. and R. Hondeville, eds. Springer, Berlin, May, 1981. - P.197-206.

124. Imanari K., Kaji Sh. Unsteady aerodynamic forces acting on vibrating cascade blades in a three-dimensional flow field // JSME Intern. Journal. - 1989. - v.32. - №1. - P.57-62.

125. Jacob K., Riegels F.W. The calculation of the pressure distributions over aerofoil sections of finite thickness with and without flaps and slats // Z. Flugwiss. - 1963. - v.ll. - №9.

126. Kemp N.H., Sears W.R. Aerodynamic interference between moving blade rows //J. Aeronautical Sciences. - 1953. - v.20. - P.585-598.

127. Kemp N.H., Sears W.R. The unsteady forces due to viescous wakes in turbomachines //J. Aeronautical Sciences. - 1955. - v.22. - P.478-483.

128. Kerwin J.E., Lee C.S. Prediction of steady and unsteady marine propeller performance by numerical lifting surface theory // Trans, soc. nav. archit. and mar. eng. - 1978. - v.86. - P.218-253.

129. Kurzin V.B., Korobeinikov S.N., Ryabchenko V.P., Tkacheva L.A.

Three-dimensional coupled model for aeroelastic analysis of turbomachine blade oscillations. Its application to a hydroturbine rotor // 8th International Symposium on unsteady Aerodynamics and Aeroelastisity of Turbomachines. Sept., 1997. Stockholm, Sweden.

130. Lordi J.A., Homicz G.F. Linearized analysis of the three-dimensional compressible flow through a rotating annular blade row // J.Fluid.Mech.

- 1981. - v.103. - P.413-442.

131. Lots M., Raabe J. Blade oscillations in one-stage axial turbomachinery // Transaction of the ASME, Journal of Basic Engineering. - 1968. -P.485-493.

132. Martensen E. Die Berechnung der Druckverteilung an dicken Gitterprofilen mit Hilfe von Frednolmschen Integralgleichungen Zweiter Art // Arch. Rat. Mech. Anal. - 1959. - №3.

133. Ni R.H., Sisto F. Numerical computation of nonstationary aerodynamics of flat plate cascades in compressible flow // Trans. ASME. Ser.A. - 1976.

- v.98. - №2. - P. 165-170.

134. Nishiyama Testio, Matsudaira Yasuaki. Unsteady response of the aerofoils in cascade in periodically varying gust // Technol. Repts Tohoku Univ. - 1973. - v.38. - №2. - P.599-613.

135. Murata S., Tsujimoto Y. Unsteady lift of airfoils in cascade moving through transverse and chord wise sinusoidal gusts / / ZAMM. - 1976. -56. - P.205.

136. Murata S., Tsujimoto Y., Sonoda S. Unsteady flows through cascades // Bull, of the JSME. - 1977. - v.20. - №147. - P.1130-1135.

137. Murata S., Imaichi K., Tsujimoto Y., Kitagawa K. An analysis of three-dimensional unsteady subsonic flow // Bull, of the JSME. - 1984. -

v.27. - №225. - Р.403-410.

138. Namba М. Lifting surface theory for a rotating subsonic or transonic blade row // Aeronautical Research Council, R. and M. - 1972. - №3740.

139. Namba M. Subsonic cascade flutter with finite mean lift // AIAA. -1975. - V.13. - №5. - P.586-593. (Русский перевод: PT и К. - 1975. -Т.13. - №5. - С.55-64).

140. Namba М. Three-dimensional analysis of blade force and sound generation for an annular cascade in distorted flows // J. Sound and Vibration. - 1977. - v.50. - №4. - P.47&-508.

141. Pal P. Untersuchungen iiber den Interferenzein fluss bei Stromungen durch Tandem-Schaufelgitter // Ingenieur-Archiv. - 1965. - v.34. pt.3.

142. Ryabchenko V.P., Gerchev G. A discrete vortex method for calculation of ship propeller unsteady hydrodynamic characteristics //IV IMAEM Congress. - Varna, 1987. - v.5. - №159. - 4P.

143. Ryabchenko V.P., Saren V.E., Yudin V.A. Investigation of the pressure and force fluctuation at the cascade profiles oscillation in a subsonic separated flow // 3th Congress Developments in Air-Structure Born Sound and Vibration. - 1994. - 8 p.

144. Ryabchenko V.P., Tkacheva L.A. Nonstationary hydrodynamics and hydroeiastic characteristics of blade of axial hydroturbines // EAHE Conf. CHSSR. - Prague, 1989. - P.422-427.

145. Salaun P. Pressions aerodynamiques instationaires sur une grille annulaire en ecoulement subsonique // Publ. ONERA. - 1974. - №158.

146. Schwanecke H. Comparative calculation on unsteady propeller blade forces // Report of 14th ITTC propeller committee. - 1975. - P.357-397.

147. Smith S.M. Discret frequency sound generation in axial flow turbomachines

// ARC. R.and M. - 1970. - №3685.

148. Sisto F. Unsteady aerodynamic reactions on airfoil in cascade // JAS.

- 1955. - v.22. - №5. - R297-302.

149. Songen H. Luftkrafte an einem schwingenden schaufelkranz kleiner Teilung // ZAMP. - 1953. - v.4. - №4.

150. Tsaconas S., Jacobs W.R. Unsteady lifting-surface theory for a marine propeller // J. of ship research. - 1965. - v.9. - №2. - P.79-101.

151. Tsaconas S., Jacobs W.R., Rank P.H. Unsteady propeller lifting-surface theory with number of chordwise modes // J. of ship research. -1968. - y.12. - №1. - P. 14-45.

152. Tsaconas S., Jacobs W.R., Ali M.R. An "exact" linear lifting-surface theory for a marine propeller in a nonuniform flow field // JSR. - 1973. -v.17, - №4.

153. Verdon J.M., Caspar J.R. Subsonic flow past an oscillating cascade with finite mean flow deflection // AIAA Journal. - 1980. - v. 18. - №5. -P.540-548, (Русский перевод: PT и К. - 1980. - т.18. - №6. - С.76-87).

154. Verdon J.M., Caspar J.R. Development of linear unsteady aerodynamic analysis for finite-deflection subsonic cascades // AIAA Journal. - 1982.

- v..20. - №9. - P. 1259-1267.

155. Verdon J.M., Caspar J.R. A linearized unsteady aerodynamic analysis for transonic flows //J. Fluid Mech. - 1984. - v. 149. - P.403-429.

156. Whithead D.S. Force and moment coefficients for vibrating aerofoils in cascade // ARC. R and M. - 1960. - №3254.

157. Whithead D.S. Force and moment coefficients for high deflection cascades // Univ. Cambridge. Dept. Engng. CVED/A-Turbo/TR 98. -1980.

158. Whithead D.S. A finite element solution of unsteady two-dimensional flow in cascades // Internat. J. Numer. Meth. Fluids. - 1990. - v.10. -№1. - P. 13-34.

159. Wilkinson D.H. A numerical solution of the analysis and design problems for the flow past one or more aerofoils or cascades // Research Council. R and M. - 1968. - №3545.

160. Yamasaki R. On the theory of screw propellers in nonuniform flows // Memoirs of the faculty of engineering. - Kyushu Univ., Japan. - 1966. - v.25. - №2.

161. Yang K.-C., Yamasaki R., Namba M. Numerical calculation of aerodynamic forces for two-dimensional subsonic oscillating cascades by a finite element methods // Mem. Fac. Engng. Kyushu Univ. - 1988. - v.48. - №4. -P.253-280.