Анализ деформирования упругих композитных круглых пластин, круговых и эксцентрических колец тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат физико-математических наук Морозова, Евгения Валерьевна

• Морозова, Евгения Валерьевна
• кандидат физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Морозова, Евгения Валерьевна

Введение.

1 Основные соотношения теории упругих многослойных по-лиармированных пластин

1.1 Соотношения пространственной теории упругости.

1.2 Сведение трехмерных задач теории упругости к двумерным уравнениям теории пластин с помощью метода гипотез

1.2.1 Исходная система уравнений теории пластин при использовании гипотез Кирхгофа - Лява.

4 1.2.2 Исходная система уравнений теории пластин при использовании гипотез Тимошенко

1.2.3 Исходная система уравнений теории пластин при использовании гипотез Андреева - Немировского

1.2.4 Исходная система уравнений теории пластин при использовании гипотез Григолюка - Куликова

1.3 Структурные и феноменологические модели композиционного материала.

1.3.1 Структурные модели полиармированного слоя

1.3.2 Критерии прочности и начального разрушения

1.3.3 Сравнительный анализ расчетных характеристик композиционных материалов с экспериментальными данными

2 Аналитические и численные методы решения задач теории упругих многослойных полиармированных пластин

2.1 Сведение двумерных задач теории пластин к одномерным с помощью метода разделения переменных.

2.2 Метод функционального нормирования в задачах теории пластин.

2.3 Метод дискретной ортогонализации.

2.4 Метод сплайн-коллокации.

2.5 Анализ эффективности методов сплайн-коллокации и дискретной ортогонализации.

2.5.1 Длинная слоистая прямоугольная пластина.

2.5.2 Кольцевая слоистая пластина.

3 Анализ напряженно-деформированного состояния многослойных полиармированных эксцентрических колец

3.1 Получение разрешающей системы уравнений.

3.2 Влияние выбора структурной модели КМ на расчетные характеристики НДС и уровень нагрузок начального разру

I * шепия.

3.3 Влияние выбора теории пластин на расчетные характеристики НДС и уровень нагрузок начального разрушения

3.4 Влияние геометрических и структурных параметров на расчетные характеристики НДС и уровень нагрузок начального разрушения.

3.5 Влияние механических параметров КМ на расчетные характеристики НДС и уровень нагрузок начального разрушения

4 Анализ напряженно-деформированного состояния многослойных полиармированных круглых пластин и колец

4.1 Разрешающая система уравнений

4.2 Влияние выбора структурной модели КМ на расчетные характеристики НДС и уровень нагрузок начального разрушения

4.3 Влияние выбора теории пластин на расчетные характеристики НДС и уровень нагрузок начального разрушения

4.4 Влияние механических параметров КМ на расчетные характеристики НДС и уровень нагрузок начального разрушения

4.5 Влияние схем армирования и типа волокон на расчетные характеристики НДС и уровень нагрузок начального разрушения

5 Рациональное проектирование круглых и эксцентрических колец с равнонапряженной арматурой

5.1 Постановка задачи рационального проектирования

5.2 Получение условий разрешимости переопределенной системы дифференциальных уравнений.

5.3 Рациональные решения для эксцентрических и круговых колец 5.4 Анализ достоверности и эффективности полученных рациональных решений.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Анализ деформирования упругих композитных круглых пластин, круговых и эксцентрических колец»

В современной технике все более широкое применение находят тонкостенные анизотропные пластины и оболочки. Ведущую роль они занимают в авиационной и ракетно-космической технике, судо- и автомобилестроении, энергетическом и химическом машиностроении, жилищном и промышленном строительстве.

В конструкциях ответственного назначения данные элементы подвергаются повышенному уровню термосиловых, радиационных, агрессивных химических и прочих видов нагрузок. Такие виды нагружения предъявляют высокие требования к материалу конструкции, который помимо высоких прочностных и жесткостных свойств должен обладать дополнительными качествами. Для удовлетворения перечисленным выше требованиям часто используются неоднородней композиционные материалы (КМ).

Характерной особенностью рассматриваемых материалов, отличающих их от традиционных сплавов, является то, что они создаются одновременно с изготовлением конструкции. При этом их механические характеристики, обуславливаемые схемой расположения армирующих элементов, могут изменяться в широких пределах, что позволяет получать конструкции с направленной анизотропией механических свойств, соответствующей спектру действующих нагрузок. Залогом успешной реализации больших потенциальных возможностей, заложенных в структуре композиционного материала и свойствах его компонент, является уровень информированности конструктора об этих возможностях, принципах конструирования и методах расчета. Кроме того, высокая стоимость как самих материалов, так и установок для натурных экспериментов, приводят к необходимости проведения предварительных численных расчетов, что позволяет существенно повысить эффективность использования как материальных, так и денежных ресурсов предприятий и научных центров.

Композит представляет собой неоднородный сплошной материал, состоящий из двух или более компонентов, с сохранением индивидуальности каждого отдельного компонента. Один из компонентов, обладающий непрерывностью по всему объему, называется матрицей или связующим, компонент прерывный, разделенный в объеме композиции, является усиливающим или армирующим. В волокнистых композитах высокопрочные волокна воспринимают основные напряжения, возникающие в композиции при действии внешних нагрузок, и обеспечивают жесткость и прочности композиции в направлении ориентации волокон.

Волокна должны удовлетворять комплексу эксплутационных и технологических требований. Это условия по прочности, жесткости и стабильности свойств в процессе эксплуатации. Технологические свойства волокон определяют возможность создания высокопроизводительных процессов изготовления изделий на их основе. Другим важным требованием к КМ является совместимость материала волокон с материалом матрицы. В качестве армирующих элементов используются стеклянные, углеродные, борные, органические, стальные, вольфрамовые и другие волокна. Механические свойства некоторых волокон приведены в табл. 1, где р, Е, а* — плотность, модуль упругости и предел прочности волокна.

Важным элементом КМ является связующее, которое обеспечивает монолитность композита, фиксирует форму изделия и взаимное расположение армирующих волокон, распределяет действующие напряжения по объему материала, обеспечивая равномерную нагрузку на волокна и ее перераспределение при разрушении части волокон.

Таким образом, можно выделить 2 типа требований, предъявляемых к современным связующим материалам. Первый тип, связанный с физико-механическими характеристиками, такими как жесткость, она должна обеспечить совместную работу армирующих волокон при различных видах нагружения, прочность, что особенно важно при сопротив

Таблица 1

Волокно / з р, кг/м Е, ГПа а*, ГПа

Стеклянное: ВМ1 2580 95 4.2

Е-стекло 2540 73.5 3.5

М-стекло 2890 110 3.5

Углеродное: ВМН-4 1710 250 1.43

Кулон 1900 400 2.0

Торнел-800 1800 273 5.74

Арамидные: СВМ 1430 120 2.3

Терлон 1450 150 3.4

Кевлар-49 1450 130 3.6

Борное 2600 400 3.7

Кремниевое 2500 720 1.0

Стальное 7800 200 3.5

Вольфрамовое 19300 410 3.3 леиии сдвиговым нагрузкам и сопротивление температурным нагрузкам.

Технологические требования к матрице определяются процессом создания КМ. Она должна обеспечить: возможность предварительного изготовления полуфабрикатов, хорошее смачивание волокна жидкой матрицей в процессе пропитки, качественное соединение слоев композита, создание высокой прочности соединения матрицы с волокном. Результатом этих требований будет обеспечение равномерного распределения волокон в матрице, максимально возможное сохранение прочностных свойств волокон, создание прочного взаимодействия на границе волокно - матрица.

В качестве связующего применяются термореактивные и термопластичные полимеры, углеродные, керамические и металлические матрицы. Механические свойства некоторых матриц приведены в табл. 2.

Задача расчета композитных элементов конструкций в общем виде при использовании уравнений пространственной теории упругости пред

Таблица 2

Матрица р, кг/м3 Е, ГПа о-*, МПа

Полиэфирная 1200 2.8 70.150

Фенолоформальдсгидная 12 00 10 70.125

Эпоксидная 1200 3.0 100.160

Полиамидная 1400 4.0 90.250

Термопластичная 1300 20 60.200

Алюминиевая 2700 70 300

Магниевая 1740 37-43 250 - 310

Титановая 4500 120 360 - 1020

Никелевая 8900 200 1250 ставляет собой очень сложную проблему. В настоящее время были получены решения для узких классов задач, в которых материал или изотропен или характеризуется эффективными физико-механическими постоянными, которые не зависят от геометрии конструкции.

При расчете тонкостенных элементов конструкций для которых механические характеристики материала существенным образом зависят от координат эффективно используются теории пластин, построенные на основе различных предположений о распределении компонент тензора деформаций и напряжений по толщине.

Использование композитных пластин в качестве несущих элементов в конструкциях ответственного назначения вызвали необходимость учета дополнительных факторов, в частности, ярко выраженную анизотропию деформативных свойств полиармированных материалов, а также ослабленное сопротивление многослойных конструкций трансверсальным деформациям. Это, в свою очередь, потребовало разработки неклассических вариантов теорий пластин и поставило перед специалистами принципиально новые задачи. Использование существенно различных статических и кинематических гипотез привело в результате к значительному разнообразию расчетных схем и систем уравнений.

Разработке классической теории для пластин и оболочек, характеризуемых эффективными механическими постоянными, посвящены работы: И.А. Биргера [102], A.JI. Гольденвейзера [43], С.Г. Лехницкого [75], А.И. Лурье [76], В.В. Новожилова [95], [94], С.П. Тимошенко, С.А. Вой-новского-Кригера [107] и других.

Обширная литература посвящена разработке теорий многослойных композитных пластин и оболочек и решению разнообразных конкретных задач. Результаты исследований представлены, в частности, в монографиях Н.А. Алфутова, П.А. Зиновьева, Б.Г. Попова [1], С.А. Амбарцумя-на [2, 3, 4], А. Н. Андреева, Ю.В. Немировского [8], В.Л. Бажанова и др. [10], В.В. Болотина, Ю.Н. Новичкова [15], Г.А. Ван Фо Фы [19], В.В. Васильева [20], Ш.К. Галимова [30], Э.И. Григолюка, Г.М. Куликова [46], Э.И. Григолюка, П.П. Чулкова [52], В.И. Королева [74], А.К. Малмейсте-ра, В.П. Тамужа, Г.А. Тетерса [77], Х.М. Муштари [82, 83], Ю.В. Немировского, Б.С. Резникова [90], И.Ф. Образцова, В.В. Васильева, В.А. Бу-накова [96], П.М. Огибалова, М.А. Колтунова [97], Пикуля В.В. [99,100], А.О. Рассказова [103] и др.

Методам расчета тонкостенных конструкций и решению конкретных задач на ЭВМ посвящены работы Н.В. Валишвили [18], Э.И. Григолюка, Г.М. Куликова [46], Э.И. Григолюка, В.И. Мамая [49], Я.М. Григорен-ко и др. [60], Я.М. Григоренко, А.Т. Василенко [62], Я.М. Григоренко, Н.Н. Крюкова [66[, Я.М. Григоренко, А.П. Мукоеда [67, 68], В.И. Григорьева, В.И. Мяченкова [69], В.И. Королева [74], А.В. Кармишина и др. [71], Р.Б. Рикардса [104] и др.

Можно выделить несколько направлений в развитии двумерных теорий пластин и оболочек.

К первому направлению относится подход, основанный на решении задач определения харакетристик НДС, при использовании классических гипотез Кирхгофа. Данная расчетная схема получила широкое распространение при расчете изотропных пластин вследствие своей простоты. Для тонких изотропных и слабо анизотропных пластин она является вполне приемлемой. Однако известно, что пластины из слоистоволокнистых композиционных материалов, обладают ослабленным сопротивлением поперечным сдвигам и применение классической теории Кирхгофа - Лява для расчета многослойных пластин с ярко выраженной анизотропией слоев может привести к существенным погрешностям, и тем самым существенно снизить ценность полученных решений.

Статическим и динамическим задачам расчета анизотропных слоистых пластин, базирующихся на гипотезах Кирхгофа-Лява, посвящена обширнейшая литература, которая подробно отражена в работах С.А. Амбарцумяна [2, 3, 4], Э.И. Григолюка, Ф.А. Когана [44], Я.М. Григоренко, А.Т. Василенко [62, 63, 64, 65] и др.

К настоящему времени разработано большое количество уточненных теорий, различающихся между собой по структуре, широте охвата учитываемых факторов. В работах второго направления развитие получили теории учитывающих поперечный сдвиг (и реже поперечные нормальные деформации и напряжения в слоях), на основе "интегральных" гипотез о характере распределения поперечных касательных напряжений и перемещений по толщине всего пакета слоев в целом. Преимуществом теорий данного напрявления является то, что порядок получающихся при решении систем уравнений не зависит от количества слоев. Широкое распространение получили теории, построенные на основе гипотезы "прямой линии" Тимошенко.

В настоящее время развивается подход, в рамках которого формулируются гипотезы о характере распределения поперечных напряжений по толщине слоев. Данный подход был использован при построении ряда теории С.А. Амбарцумяном [2, 3, 4].

В монографии А.Н. Андреева, Ю.В. Немировского [8] разработаны и приведены непротиворечивые с точки зрения вариационных принципов системы дифференциальных уравнений слоистых пластин и оболочек, установлены системы внутренних усилий, соответствующие принятым моделям деформирования, сформулированы корректные краевые условия, предложен и описан метод численного решения краевых задач неклассической теории многослойных оболочек — метод инвариантного погружения.

К третьему направлению относятся работы, в которых формулируются системы гипотез, позволяющие учитывать поперечный сдвиг, а нередко и поперечные нормальные деформации и напряжения в каждом слое отдельно. Порядок получающихся систем уравнений при этом зависит от числа слоев. Наиболее известными работами этого направления являются работы Э.И. Григолюка, Г.М. Куликова [46], Э.И. Григолюка, П.П. Чулкова [56, 57, 58] и В.В. Болотина, Ю.Н. Новичкова [15]. Подробный анализ работ этого направления дан в обзоре Э.И. Григолюка, Г.М. Куликова [47].

Таким образом, развитие существующих и создание новых методов расчета многослойных полиармированных конструкций, анализ различных теорий и различных моделей композиционных материалов, определение границ их применимости является весьма важной и актуальной проблемой.

Использование композиционных материалов в изделиях современной техники приводит к необходимости учета выраженных анизотропных свойств армированного материала, что заставляет более тщательно подходить к выбору моделей КМ. В большинстве работ по расчету НДС композитных конструкций используется феноменологический подход для описания свойств композиционного материала [46, 49, 60, 62, 66, 67, 69] и др. Этот подход предполагает, что свойства материала постоянны для всей конструкции, однако в реальной конструкции эти свойства могут зависеть от координат пластины. К тому же использование этого подхода делает невозможным параметрический анализ НДС элементов конструкции от структуры армирования КМ, построение поверхностей прочности, так как требует экспериментального определения большого набора механических констант для различных по структуре материалов.

Использование феноменологических критериев прочности не позволяет определить механизмы разрушения композиционного материала и выявить, какой элемент КМ является наиболее слабым. От этих недостатков свободен структурный подход, в рамках которого, физико-механические характеристики КМ выражаются через характеристики его компонент и структурные параметры. В рамках данного подхода возникает ряд важных задач: сравнение результатов, полученных по различным структурным моделям КМ и исследование зависимости НДС конструкции от структурных и механических параметров КМ.

Цель диссертационной работы заключается в исследовании особенностей деформирования круглых пластин, круговых и эксцентрических колец, выявлении зависимостей НДС от параметров КМ при использовании классической и ряда уточненных теорий в геометрически линейной и нелинейной постановках; решении задач рационального проектирования эксцентрических и круговых колец с равнонапряженной арматурой.

Научная новизна и значимость работы определяются следующими результатами, которые выносятся на защиту.

1. Решены новые краевые задачи расчета НДС многослойных полиармированных круглых пластин, круговых и эксцентрических колец, проведен сравнительный анализ их поведения при использовании классической и ряда уточненных теорий, различных структурных моделей КМ.

2. Исследовано влияние структурных и механических параметров КМ на поведение круглых пластин, круговых и эксцентрических колец и на уровень нагрузок их начального разрушения. Найдены области параметров для которых результаты, полученные по различным теориям и моделям, отличаются несущественно и указаны области параметров, для которых использование уточненных теорий необходимо.

3. Получены аналитические решения задач изгиба многослойных круглых пластин и колец в уточненной постановке, позволившие провести сравнения численных решений, полученных методами сплайн-коллокации и дискретной ортогонализации между собой, с аналитическими решениями, показавшие высокую степень совпадения результатов.

4. Решены задачи рационального проектирования эксцентрических и кольцевых пластин с равнонапряженной арматурой за счет специального выбора толщин слоев, углов и интепсивностей армирования. Обеспечена достоверность полученных решений путем расчета прямой задачи определения НДС с полученными рациональными параметрами. Показана эффективность конструкций с рациональными параметрами.

Достоверность полученных численных результатов полученных результатов обеспечена корректностью постановок рассматриваемых задач и методов их решения, предельными переходами от моделей конструктивно-неоднородных анизотропных пластин к классическим моделям однородных изотропных конструкций, сравнением с известными для частных случаев аналитическими решениями, с численными и экспериментальными результатами других авторов, совпадением численных решений, полученных двумя принципиально различными численными методами.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах: XXXVIII, XL Международных научных студенческих конференциях (Новосибирск, 2000, 2002); Международной конференции молодых ученых по математике, математическому моделированию и информатике (Новосибирск, 2001); XVII, XVIII, XIX Межреспубликанских конференциях по численным методам решения задач теории упругости и пластичности (Новосибирск, 2001; Кемерово, 2003; Бийск, 2005); VII научной конференции "Современные методы математического моделирования природных и антропогенных катастроф" (Красноярск, 2003); Международных конференциях "Вычислительные и информационные технологии в науке, технике и образовании" (Усть-Каменогорск 2003; Алматы, 2004; Павлодар, 2006).

В полном объеме материалы кандидатской диссертации докладывались и обсуждались на Семинаре "Прямые и обратные задачи механики композитов" (руководитель — д.ф.-м.н. С.К. Голушко; Новосибирск, 2006); Объединенном семинаре "Информационно-вычислительные технологии" ИВТ СО РАН (руководители — академик Ю.И. Шокин и д.ф.-м.н., профессор В.М. Ковеня; Новосибирск, 2006); Общеинститутском семинаре "Моделирование в механике" Института теоретической и прикладной механики СО РАН (руководитель - академик В.М. Фомин; Новосибирск, 2006).

Публикации. По теме диссертации было опубликовано 12 печатных работ, в том числе 9 статей в научных журналах и сборниках трудов конференций [37] - [42], [78] - [80].

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 5 глав, заключения и приложения. Общий объем диссертации составляет 196 стр., включая 70 рисунков и 22 таблицы. Список литературы содержит 115 наименований.

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Морозова, Евгения Валерьевна

Заключение

Сформулируем основные результаты диссертации.

1. Решены новые краевые задачи расчета НДС многослойных полиар-мированных круглых пластин, круговых и эксцентрических колец. Проведен сравнительный анализ их поведения при использовании классической и ряда уточненных теорий в линейной и нелинейной постановках. Исследовано влияние принятых гипотез на характер распределения компонент тензора напряжений, деформаций и смещений по толщине пластины. Показано, что для интенсивностей напряжений в элементах композита и нагрузок начального разрушения отличие в результатах, полученных по теориям с учетом и без учета поперечного сдвига, может составлять при определенных схемах армирования и механических характеристиках КМ от 2 до 5 раз, для прогибов и удлинений до 2-х раз. Проведенный параметрический анализ выявил, что наименьшее отличие между результатами, полученными по различным теориям, будет достигаться для областей структурных параметров, где уровень интенсивностей напряжений в элементах КМ минимален. Найдены области изменения геометрических параметров пластин, механических и структурных параметров КМ, при которых различие между результатами, полученными по различным теориям, не превышает 5%.

2. Выполнено исследование НДС слоистых армированных пластин при использовании различных структурных моделей КМ. Показано, что степень влияния выбора структурной модели КМ на расчетные характеристики НДС существенно зависит от структурных и механических параметров КМ и может составлять от 5% до 500%. Выявлено, что чем больше объемное содержание арматуры, тем значительнее влияние выбора модели КМ. При этом использование более простой модели с одномерными волокнами позволяет с запасом оценивать характеристики НДС тогда, когда влияние выбора модели КМ значительно. Наименьшее отличие между результатами, полученными по различным моделям КМ, будет при согласовании направлений нагружения и армирования.

3. Выполнено комплексное исследовано влияния структурных и механических параметров КМ на поведение круглых пластин, круговых и эксцентрических колец и на уровень нагрузок их начального разрушения. Выявлено, чем больше отличие между механическими характеристиками арматуры и связующего материала, тем больше влияние структурных параметров: от 1.5 раз для металлокомпози-тов, до 8 раз для углепластика. Изменением структуры армирования, выбором типа волокон и вида их укладки можно увеличить нагрузку начального разрушения до 12 раз. Выявлены различные механизмы разрушения пластин, определены области структурных и механических параметров для различных видов нагружения при которых начальное разрушение может происходить либо в арматуре, либо в связующем материале.

4. Получены аналитические решения задач изгиба многослойных круглых пластин и колец при использовании уточненной теории Андреева - Немировского. Проведены сравнения численных решений, полученных методами сплайн-коллокации и дискретной ортогонализации между собой, с аналитическими решениями, показавшие высокую степень совпадения результатов. Показано, что использование нерегулярных сеток, позволяет на 3—6 порядков уменьшить погрешность счета.

5. Решены задачи рационального проектирования эксцентрических и кольцевых пластин с равнонапряженной арматурой за счет специального выбора толщин, углов и интенсивностей армирования при использовании структурной модели КМ с одномерными волокнами. Показана возможность использования полученных рациональных решений для структурной модели с двумерными волокнами. Достоверность полученных рациональных решений обеспечена путем пересчета прямой задачи с найденными рациональными параметрами.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Морозова, Евгения Валерьевна, 2007 год

1. Алфутов Н.А., Зиновьев П.А., Попов Б.Г. Расчет многослойных пластин и оболочек из композиционных материалов. М.: Машиностроение, 1984. - 264 с.

2. Амбарцумян С.А. Теория анизотропных оболочек. М.: ГИФМЛ, 1961. 384 с.

3. Амбарцумян С.А. Теория анизотропных пластин. Прочность, устойчивость, колебания. М.: Наука, 1967. — 266 с.

4. Амбарцумян С.А. Общая теория анизотропных оболочек. М.: Наука, 1974. 446 с.

5. Андреев С.В., Паймушип В.Н. Соотношения нелинейной теории трехслойных оболочек со слоями переменной толщины // Прикл. механика и техн. физика. 1993. Т. 34. № 3. С. 120-128.

6. Андреев А.Н., Немировский Ю.В. К теории упругих многослойных• анизотропных оболочек // Изв. АН СССР. МТТ, 1977. № 5. С. 87-96.

7. Андреев А.Н., Немировский Ю.В. Многослойные анизотропные оболочки и пластины: Изгиб, устойчивость, колебания. Новосибирск: Наука, 2001. 288 с.

8. Багмутов В.П., Брызгалин Г.И. Согласованные проекты общего вида для армированных пластин и оболочек // Механика деформируемых сред. Куйбышев, 1978. Вып. 3. С. 136-142.

9. Бажанов B.JI. и др. Пластинки и оболочки из стеклопластиков. М.: Высшая школа, 1970. — 408 с.

10. И. Бидерман B.J1. Механика тонкостенных конструкций. М: Машиностроение, 1977. — 488 с.

11. Биргер И.А. Круглые пластинки и оболочки вращения. Москва, ГН-ТИ "Оборонгиз", 1961. 368 с.

12. Боган Ю.А., Немировский Ю.В. О распределении напряжений в упругой равнонапряженно-армированной пластине // Прикл. ме-хан., 1976. Т. 12. №7. С. 33-38.

13. Боган Ю.А., Немировский Ю.В. Плоская задача теории упругости для среды с двумя семействами равнонапряженной волокнистой арматуры // Прикл. матем. и механ., 1977. Т. 41. С. 150-159.

14. Болотин В.В., Новичков Ю.Н. Механика многослойных конструкций. М.: Машиностроение, 1980. — 375 с.

15. Бушманов С.Б., Немировский Ю.В. Проектирование пластин, армированных равнонапряженными волокнами постоянного поперечного сечения // Механика композитных материалов, 1983. №2. С. 278-284.

16. Ван Фо Фы Г.А. Конструкции из армированных пластмасс. Киев: Технжа, 1971. 220 с.

17. Васильев В.В. Механика конструкций из композитных материалов. М.: Машиностроение, 1988. — 269 с.

18. Виноградов Ю.И., Меньков Г.Б. Метод функционального нормирования для краевых задач теории оболочек. М.: Эдиториал УРСС, 2001. 160 с.

19. Власов В.В. Общая теория оболочек и ее приложение в технике. М.; JL: Гостехиздат, 1949. — 784 с.

20. Вольмир А.С. Гибкие пластины и оболочки. М.: Гостехиздат, 1956. 420 с.

21. Галимов Н.К. К теории тонких пологих оболочек с заполнителями при конечных прогибах // В сб. Нелинейная теория пластин и оболочек. Казань: Казанск. гос. ун-т. 1962. С. 61-95.

22. Галимов Н.К. О применении полиномов Лежандра к построению уточненной теории трехслойных пластин и оболочек // В сб. Ис-след. по теории пластин и оболочек. Вып. 10. Казань: Казанск. гос. ун-т. 1973. С. 371-385.

23. Галимов К.З. Основы нелинейной теории тонких оболочек. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1975. — 326 с.

24. Галимов Н.К. К построению уточненной теории средне го изгиба трехслойных пластин и оболочек // Статика и динамика оболочек. 1979. №12. С. 31-52.

25. Галимов Н.К. К построению уточненной нелинейной теории трехслойных пластин и оболочек // В сб. Исслед. по теории пластин и оболочек. Вып. 15. Казань: Казанск. гос. ун-т. 1980. С. 57-70.

26. Галимов Н.К., Муштари Х.М. К теории трехслойных пластин и оболочек // В сб. Исслед. по теории пластин и оболочек. Вып. 2. Казань: Казанск. гос. ун-т. 1964. С. 35-47.

27. Галимов Ш.К. Уточненные теории пластин и оболочек. Саратов: Изд-во ун-та, 1990. 136 с.

28. Годунов С.К. О численном решении краевых задач для систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений // Успехи математических наук, 1961. Т. 16. № 3. С. 171-174.

29. Голушко С.К. Прямые и обратные задачи механики упругих композитных пластин и оболочек вращения Дис. . докт. физ.- мат. наук. Новосибирск, 2005.

30. Голушко С.К., Горшков В.В., Юрченко А.В. О двух численных методах решения многоточечных нелинейных краевых задач // Вычислительные технологии, 2002. Т. 7. №2. С. 24-33.

31. Голушко С.К., Морозова Е.В. Напряженно-деформированное состояние термоупругих композитных дисков // Труды конференции молодых ученых, посвященной 10-летию ИВТ СО РАН, Новосибирск, 25-26 декабря 2000 г./ Т. И: Математическое моделирование. — С. 18-22.

32. Голушко С.К., Морозова Е.В. Расчет напряженно-деформированного состояния круглых многослойных композитных пластин // Вычислительные технологии, 2003. Т. 8. Ч. IV. — С. 167-175.

33. Голушко С.К., Морозова Е.В., Юрченко А.В. О численном решении краевых задач для жестких систем дифференциальных уравнений // Вестник КазНУ. Серия: математика, механика, информатика,2005. № 2. С. 12-26.

34. Голушко С.К., Морозова Е.В. Многослойные эксцентрические кольца с равнонапряженной арматурой // Труды международной конференции "Вычислительные и информационные технологии в науке, технике и образовании". I том. Павлодар, 2006. - С. 323-332.

35. Гольденвейзер A.JI. Теория упругих тонких оболочек. М.: Наука, 1976. 512 с.

36. Григолюк Э.И., Коган Ф.А. Современное состояние теории многослойных оболочек //Прикл. мех. 1972. Т. 8. Вып. 6. С. 3-17.

37. Григолюк Э.И., Куликов Г.М. Методы исследования напряженно-деформированного состояния многослойных композитных оболо