Численное решение краевых задач упругого деформирования композитных оболочек вращения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Юрченко, Андрей Васильевич

• Юрченко, Андрей Васильевич
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Юрченко, Андрей Васильевич

Введение

1 Методы решения краевых задач механики композитных пластин и оболочек вращения

1.1 О сведении двумерных краевых задач к одномерным

1.2 Особенности систем дифференциальных уравнений при решении краевых задач

1.3 Методы решения краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

1.3.1 Метод начальных параметров.

1.3.2 Метод дискретной ортогонализации.

1.3.3 Метод сплайн-коллокации.

2 Алгоритм решения краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений

2.1 Проблемы вычисления векторов начальных данных и решения многоточечных задач

2.2 Обеспечение устойчивости расчетов.

2.3 Схема алгоритма.

2.4 Анализ эффективности алгоритма при решении задачи изгиба слоистых кольцевых пластин.

2.5 Обеспечение точности расчетов с использованием неравномерных сеток.

3 Определяющие соотношения статики упругих композитных оболочек вращения

3.1 Моделирование свойств и критерии прочности пол нормированных композитов.

3.1.1 Модель В.В. Болотина.

3.1.2 Модели Ю.В. Немировского.

3.1.3 Критерии прочности и начального разрушения композиционных материалов.

3.2 Сравнительный анализ расчетных характеристик композиционных материалов с экспериментальными данными

3.3 Исходные и разрешающие системы уравнений теории оболочек вращения.

3.3.1 Исходные уравнения и соотношения.

3.3.2 Разрешающие системы уравнений.

Напряженно-деформированное состояние рефлектора параболической антенны

4.1 Постановка задачи.

4.2 Рефлектор под действием осесимметричного нагружения собственным весом и температурой.

4.3 Рефлектор под действием собственного веса и ветровой нагрузки

4.4 Рефлектор под действием собственного веса, температурной и ветровой нагрузок.

4.5 Анализ достоверности численных решений.

Особенности поведения и начальное разрушение армированных куполов

5.1 Постановка задачи.

5.2 Купол под действием осесимметричного нагружения собственным весом.

5.3 Купол под действием собственного веса и давления ветра

5.4 Купол под действием собственного веса, ветровой и температурной нагрузок.

5.5 Анализ достоверности численных решений.

6 Влияние анизотропии материала на деформирование резинокордной тороидальной оболочки

6.1 Влияние выбора модели композиционного материала и теории оболочек на результаты расчетов напряженно-деформированного состояния оболочки.

6.2 Влияние анизотропии и неоднородности материала на поведение оболочки.

6.3 Об использовании несимметричных схем армирования

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численное решение краевых задач упругого деформирования композитных оболочек вращения»

Фундаментальная задача научных исследований — выявление причинно-следственных связей, общих тенденций и закономерностей. Так как проведение натурных экспериментов затрудняется их дороговизной и сложностью, проблемами при обеспечении исследователя желаемым количеством измеряемых параметров, а в ряде случаев невозможностью реализации, то моделирование процессов становится одним из наиболее распространенных методов исследования объектов и явлений различной природы. Особая роль при этом отводится вычислительному эксперименту.

Большинство задач математической физики приводит к необходимости численного решения краевых задач для систем дифференциальных уравнений с частными производными. При этом системы уравнений могут иметь высокий порядок, переменные коэффициенты, содержать малые и большие параметры, что приводит к появлению в структуре решений таких задач быстро изменяющихся функций, а сам pi решения приобретают ярко выраженный характер погранслоев. Кроме того, нелинейность моделируемых процессов приводит и к нелинейности краевых задач, описывающих эти процессы. Традиционные схемы и алгоритмы численного интегрирования при этом оказываются малопригодными. Поэтому, разработка и совершенствование численных методов и алгоритмов решения краевых задач, возникающих при математическом моделировании объектов и явлений, является важной и актуальной задачей фундаментальной науки.

Среди актуальных, практически важных задач, приводящих к решению краевых задач для систем дифференциальных уравнений с частными производными, выделим задачи моделирования и расчета композитных оболочечных систем. Тонкостенные пластины и оболочки являются важнейшими элементами многих современных конструкций. Они играют ведущую роль в авиационной и ракетно-космической технике, судо-и автомобилестроении, энергетическом и химическом машиностроении, жилищном и промышленном строительстве. Значительное повышение требований, предъявляемых к современным конструкциям, заставило использовать при их изготовлении новые композиционные материалы (КМ), сочетающие высокую прочность и жесткость с другими ценными качествами. Это, в свою очередь, привело к необходимости выявления и более полного использования потенциальных возможностей, открывающихся при использовании КМ.

Таблица 1 р, 103 кг/м3 Е, ГПа а, к-1 ст*, МПа

Матрицы

Эпоксидная 1.25 3.0 5-Ю-5 50

Кремний-органическая 1.4 13 2-10~5 50

Алюминиевая 2.68 70 2.33-Ю-5 170

Титановая 4.5 110 8.3-10-6 600

Волокна

Борные 2.5 386 9-Ю-6 3.74

Нитевидные кристаллы 3.96 500 6.4-10-6 34

Органические (Терлон) 1.45 145 3-Ю"6 3.4

Стальные 7.8 200 12.5-10-6 3.8

Стеклянные (ВМ-1) 2.58 95 9.6Т0"6 4.2

Углеродные 1.9 550 2-Ю-6 2.5

Армирование высокомодульными волокнами широко применяется при создании легких, но прочных конструкций с заданными свойствами. В качестве связующего используются полимерные, углеродные, металлические или керамические матрицы. Армирующими элементами являются стеклянные, углеродные, борные или органические, а также ряд металлических волокон. Перспективно, также, использование в качестве арматуры нитевидных кристаллов (усов). В отличие от обычных волокон, обладающих прочностью не превышающей 1-3% от модуля упругости Е, усы, вследствие малых поперечных размеров и высокой степени совершенства, достигают прочности в 5-15% Е. В таблице 1 приведены механические свойства характерных представителей разных классов матриц и волокон [10, 68, 74], используемые в работе. Здесь р - удельная плотность, Е - модуль упругости, а - коэффициент линейного температурного расширения материала, а сг* - предел прочности (текучести).

Свойства конструкций из слоисто-волокнистых композитов существенно зависят от технологии изготовления и структуры материала. При неудачном выборе компонентов и структуры КМ, армированная конструкция может проиграть изотропной, поэтому перед изготовлением конструкций из КМ очень важно решить вопрос о выборе материалов и схемах армирования.

Решение задач расчета напряженно-деформированного состояния (НДС) композитных конструкций, определение механизмов разрушения и выявление тенденций их поведения в зависимости от геометрии, структурных и механических характеристик материала, вида и параметров нагружения способствует как выработке конкретных технологических решений, так и формулировке общих рекомендаций по вопросам проектирования конструкций.

Методами математического моделирования задачи определения НДС композитных элементов конструкций приводятся к решению пространственной задачи механики деформируемого твердого тела, сформулированной в виде краевых задач для систем дифференциальных уравнений с частными производными. Решение таких задач в аналитическом виде возможно лишь в простейших случаях, а наиболее распространенным подходом является применение численных алгоритмов. Среди универсальных алгоритмов, позволяющих решать в пространственной постановке задачи механики сплошных сред, в том числе механики композитных конструкций, выделяются методы конечных и граничных элементов. Они завоевывают все большую популярность, вследствие существенного прогресса, достигнутого в разработке высокопроизводительной вычислительной техники. Однако их использование приводит к очень большим объемам вычислений, особенно при решении задач механики композитных конструкций в пространственной постановке. Это обусловлено эффектами анизотропии материала, наличием в системах уравнений, описывающих НДС, малых и больших параметров, что приводит к появлению ярко выраженных краевых эффектов и заставляет существенно измельчать сетки элементов в областях погранслоев. Получаемые объемы вычислений столь высоки, что даже на современных высокопроизводительных системах для решения обозначенных задач требуется существенное количество времени, что, в частности, накладывает существенные ограничения на проведение вариантных расчетов. При этом, достоверность получаемых в результате расчета чисел бывает очень сомнительна [66].

Другой подход к решению задач механики композитных элементов конструкций — понижение размерности — применим в случае, когда хотя бы один из линейных размеров рассчитываемого элемента конструкции мал, в сравнении с остальными, как, например, толщина для пластин и оболочек. При данном подходе исходная трехмерная задача механики деформируемого твердого тела сводится к двумерной задаче с помощью метода гипотез, метода разложения в ряды по координате или малому параметру и др. Порядок систем уравнений теорий пластин и оболочек, получаемых при этом, в общем случае много больше, чем порядок исходной системы. Кроме того, даже линейная задача пространственной теории упругости может привести к нелинейной задаче теории пластин и оболочек. С учетом того, что вдобавок к малым и большим параметрам, унаследованным от исходной задачи, в системах уравнений теории оболочек появляются новые, решения соответствующих двумерных краевых задач приобретают еще более ярко выраженный характер погранслоев, а их численное интегрирование сопряжено с существенными проблемами по обеспечению устойчивости счета.

Цель диссертационной работы заключается в:

• разработке эффективных алгоритмов решения краевых задач для систем нелинейных дифференциальных уравнений и создании программного комплекса для решения задач расчета и анализа напряженно-деформированного состояния упругих слоистых армированных оболочек вращения;

• исследовании особенностей деформирования упругих слоистых армированных оболочек вращения, выявлении зависимостей их поведения от структурных и механических характеристик композиционных материалов, геометрии оболочек и вида их нагружения.

Научная новизна и значимость работы определяются следующими результатами, которые выносятся на защиту.

• Проведено численное исследование проблемы обеспечения точности и устойчивости расчетов при решении краевых задач методом дискретной ортогонализации. Выработаны критерии контроля и способы обеспечения устойчивости счета. Предложена методика обеспечения и повышения точности расчетов с применением неравномерных сеток.

• Разработан и реализован программно эффективный алгоритм решения многоточечных краевых задач для систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, основанный на методе дискретной ортогонализации.

• С помощью созданного программного комплекса решены новые краевые задачи расчета напряженно-деформированного состояния упругих композитных элементов конструкций, выполненных в виде замкнутых в окружном направлении оболочек вращения.

• Проведен сравнительный анализ использования различных структурных моделей композиционного материала и различных вариантов геометрически линейных и нелинейных теорий пластин и оболочек при расчете НДС композитных элементов конструкций. Исследовано влияние структурных и механических параметров композиционных материалов, геометрии оболочек и вида нагружения на поведение параболических рефлекторов, куполов и тороидальных оболочек вращения.

Практическая ценность работы. Разработанные алгоритмы могут быть использованы при решении широкого класса нелинейных многоточечных краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Полученные с помощью созданного программного комплекса результаты исследования НДС композитных оболочечных элементов конструкций могут служить основой как при выработке конкретных технологических решений, так и при формулировке общих рекомендаций по вопросам проектирования конструкций.

Исследования выполнялись в соответствии с планами научно-исследовательских работ Института вычислительных технологий СО РАН по теме "Теоретические исследования моделей и разработка эффективных численных методов решения нелинейных задач математической физики" (номер государственной регистрации 01. 2. 00 313336), поддерживались грантами: Федеральной целевой программы "Интеграция" (грант № 274); Президента РФ для поддержки молодых российских ученых и ведущих научных школ РФ (№ НШ-2314. 2003. 1).

Достоверность полученных результатов обеспечена корректностью постановок рассматриваемых задач и методов их решения, сравнением с известными для частных случаев аналитическими решениями, с численными и экспериментальными результатами других авторов, совпадением решений, полученных двумя принципиально различными численными методами.

Апробация работы. Основные положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях: V Всероссийской научно-технической конференции "Механика летательных аппаратов и современные материалы" (Томск, 1998); II и V Сибирских школах-семинарах "Математические проблемы механики сплошных сред" (Новосибирск, 1998; 2001); XXXVII, XXXVIII Международных научных конференциях "Студент и научно-технический прогресс" (Новосибирск, 1999; 2000); V, VI и VII научных конференциях "Современные методы математического моделирования природных и антропогенных катастроф" (Красноярск, 1999; 2001; 2003); XVI школе-семинаре "Информационные технологии в задачах математического моделирования" в рамках научных мероприятий "Вычислительные технологии — 2000" (Новосибирск, 2000); Конференции молодых ученых, посвященной 10-летию ИВТ СО РАН (Новосибирск, 2000); Международной конференции "Современные проблемы прикладной математики и механики: теория, эксперимент и практика", посвященной 80-летию академика Н.Н. Яненко (Новосибирск, 2001); XVII, XVIII, XIX Межреспубликанских конференциях по численным методам решения задач теории упругости и пластичности (Новосибирск, 2001; Кемерово, 2003; Бийск, 2005); Международных конференциях молодых ученых по математике, математическому моделированию и информатике (Новосибирск, 2001; 2002); Международной конференции "Вычислительные и информационные технологии в науке, технике и образовании" (Казахстан, Алматы, 2004).

В полном объеме материалы диссертации докладывались и обсуждались на Объединенном семинаре "Информационно-вычислительные технологии" Института вычислительных технологий СО РАН, Новосибирского государственного университета и Новосибирского государственного технического университета (руководители — академик Ю.И. Шо-кин и д.ф.-м.н., профессор В.М. Ковеня; Новосибирск, 2005); семинаре "Проблемы математического и численного моделирования" Института вычислительного моделирования СО РАН (руководитель — ч л .-корр. РАН В.В. Шайдуров; Красноярск, 2005).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 14 статей в научных журналах и сборниках трудов конференций, а также тезисы докладов на научных конференциях [17]-[31], [76], [77], [80].

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 6 глав, заключения и приложения. Общий объем диссертации составляет 164 стр., включая 47 рисунков и 17 таблиц. Список литературы содержит 83 наименования.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Юрченко, Андрей Васильевич

Заключение

В результате проведенных исследований получены следующие результаты.

1. Разработан эффективный алгоритм численного решения многоточечных краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Проведено тестирование алгоритма на задачах с известными аналитическими решениями, показавшее, что его применение позволяет успешно решать краевые задачи для систем обыкновенных дифференциальных уравнений, спектральные радиусы матрицы Якоби которых достигают значений на несколько порядков больше единицы.

2. Численно исследована проблема обеспечения устойчивости метода дискретной ортогонализации при решении краевых задач для систем дифференциальных уравнений с малыми и большими параметрами. Построены зависимости необходимого числа узлов ортогонализации от спектрального радиуса матрицы системы дифференциальных уравнений, обеспечивающие устойчивость расчетов. Выявлены характеристики, позволяющие контролировать и управлять устойчивостью вычислительного процесса. Выработаны критерии и предложены методики выбора шага интегрирования и расстояния между узлами ортогонализации для обеспечения устойчивости счета. Предложена методика обеспечения и повышения точности расчетов с применением неравномерных адаптивных сеток, применение которой позволяет на порядки повышать точность расчетов, либо в десятки раз уменьшать объем необходимых вычислений.

3. С помощью созданного программного комплекса решены новые краевые задачи расчета напряженно-деформированного состояния и проведено исследование особенностей деформирования композитных оболочечных элементов конструкций: параболических рефлекторов, гиперболических, параболических и эллипсоидальных куполов, тороидальной оболочки. Проведен сравнительный анализ использования при этом классической и уточненной теорий оболочек в геометрически линейной и нелинейной постановках, различных структурных моделей композиционного материала. Указаны области параметров конструкций, при которых получаемые с использованием различных теорий оболочек и моделей композиционного материала результаты отличаются несущественно, а также, параметры, при которых необходим учет нелинейных слагаемых.

4. Показано существенное влияние анизотропии материала, структурных и механических характеристик композита, вида и параметров нагружения на напряженно-деформированное состояние композитных конструкций: на величины прогибов и интенсивностей напряжений в элементах композита, на характеры их распределения. Обнаружено, что в зависимости от структурных и механических параметров композиционного материала в конструкции могут реализо-вываться различные механизмы начального разрушения. Показано, что, в сравнении с симметричными схемами армирования, применение несимметричных схем открывает более широкие возможности по управлению поведением оболочек.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Юрченко, Андрей Васильевич, 2005 год

1. Абрамов А.А. О переносе граничных условий для систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений (вариант метода прогонки) // Журнал вычислительной математики и математической физики, 1961, Т. 1, № 3, С. 542-545.

2. Алфутов Н.А., Зиновьев П.А., Попов Б.Г. Расчет многослойных пластин и оболочек из композиционных материалов. М.: Машиностроение, 1984. — 264 с.

3. Андреев А.Н., Немировский Ю.В. К теории упругих многослойных анизотропных оболочек // Изв. АН СССР. МТТ, 1977. № 5. С. 8796.

4. Андреев А.Н., Немировский Ю.В. Многослойные анизотропные оболочки и пластины: Изгиб, устойчивость, колебания. Новосибирск: Наука, 2001. — 288 с.

5. Арушанян О.В., Залёткин С.Ф. Решение линейной краевой задачи для систем обыкновенных дифференциальных уравнений методом ортогональной прогонки С.К. Годунова // Вычислительные методы и программирование, 2001. Т. 2. С. 41-48.

6. Бахвалов Н., Жидков Н., Кобельков Г. Численные методы. М.: Лаборатория базовых знаний, 2003. — 632 с.

7. Бидерман В.JI. Механика тонкостенных конструкций. М: Машиностроение, 1977. — 488 с.

8. Болотин В.В., Новичков Ю.Н. Механика многослойных конструкций. М.: Машиностроение, 1980. — 375 с.

9. Бунаков В.А., Головкин Г.С., Машинская Г.П. и др. Армированные пластики. М.: Издательство МАИ, 1997.

10. Бурман З.И., Лукашенко В.И, Тимофеев М.Т. Расчет тонкостенных подкрепленных оболочек методом конечных элементов с применением ЭЦВМ. Изд-во Казанского университета, 1973. — 569 с.

11. Васильев В.В. Механика конструкций из композитных материалов. М.: Машиностроение, 1988. — 269 с.

12. Виноградов А.Ю. Вычисление начальных векторов для численного решения краевых задач // Журнал вычислительной математики и математической физики, 1995. Т. 35, №1. С. 156-159.

13. Виноградов Ю.И., Меньков Г.Б. Метод функционального нормирования для краевых задач теории оболочек. М.: Эдиториал УРСС, 2001. 160 с.

14. Гельфанд И.М., Локуциевский О.В. Метод "прогонки". Дополнение к книге Годунова С.К., Рябенького B.C. Введение в теорию разностных схем. М., Физматгиз, 1962. с. 283-309.

15. Годунов С.К. О численном решении краевых задач для систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений // Успехи математических наук, 1961. Т. 16. N2 3. С. 171-174.

16. Голушко С.К., Горшков В.В., Юрченко А.В. Нелинейное поведение армированных сосудов давления // Механика летательных аппаратов и современные материалы: Доклады конференции. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1998. С. 140-141.

17. Голушко С.К., Горшков В.В., Юрченко А.В. Анализ поведения армированного сосуда в геометрически нелинейной постановке / / Динамика сплошной среды / Ин-т гидродинамики СО РАН. Новосибирск, 1999. Вып. 114. С. 155-160.

18. Голушко С.К., Горшков В.В., Юрченко А.В. О двух численных методах решения многоточечных нелинейных краевых задач // Вычислительные технологии, 2002. Т. 7. № 2. — С. 24-33.

19. Голушко С.К., Морозова Е.В., Юрченко А.В. О численном решении краевых задач для жестких систем дифференциальных уравнений // Вестник КазНУ. Серия: математика, механика, информатика, 2005. № 2. С. 12-26.

20. Голушко С.К., Юрченко А.В. Расчет напряженно-деформированного состояния армированных тонкостенных элементов зеркальных антенн // Вестник НГУ. Серия: математика, механика, информатика, 2001. Т. 1. Вып. 2. С. 38-62.

21. Голушко С.К., Юрченко А.В. Моделирование поведения главного зеркала композитной параболической антенны // Вычислительные технологии, 2001. Т. 6. Ч. II. С. 750-759.

22. Голушко С.К., Юрченко А.В. Влияние структурных и механических характеристик композиционного материала на деформирование зеркальной антенны // Прикладная механика и техническая физика, 2002. Т. 43. № 2. С. 170-175.

23. Голушко С.К., Юрченко А.В. Расчет тонкостенных композитных куполов методом дискретной ортогонализации // Тр. XVIII Меж. республ. конф. "Численные методы решения задач теории упругости и пластичности". Новосибирск, 2003. С. 55-62.

24. Голушко С.К., Юрченко А.В. О численном решении жестких краевых задач уточненных теорий пластин и оболочек //Тр. XIX Меж-республ. конф. "Численные методы решения задач теории упругости и пластичности". Новосибирск, 2005. С. 92-100.

25. Горшков В.В., Юрченко А.В. О двух численных методах расчета сопряженных композитных конструкций // Материалы XXXVII международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс". Новосибирск, 1999. С. 30-31.

26. Гольденблат И.И., Копнов В.А. Критерии прочности и пластичности конструкционных материалов. М.: Машиностроение, 1968. — 192 с.

27. Григолюк Э.И., Куликов Г.М. Многослойные армированные оболочки. Расчет пневматических шин. М.: Машиностроение, 1988. — 287 с.

28. Григолюк Э.И., Куликов Г.М. Методы исследования напряженно-деформированного состояния многослойных композитных оболочек с приложением к механике пневматических шин // Научно-технический прогресс в машиностроении. Вып. 39. М., 1993. — 50 с.

29. Григоренко Я.М. Изотропные и анизотропные оболочки вращения переменной жесткости. Киев: Наук, думка, 1973. 228 с.

30. Григоренко Я.М. и др. Механика композитных материалов и элементов конструкций: в 3-х т. Т.2. Механика элементов конструкций. Киев: Наук, думка, 1983. — 464 с.

31. Григоренко Я.М. Некоторые подходы к моделированию и численному решению задач о деформации гибких оболочек вращения // Прикл. мех. 1993. Т. 29, №7. С. 3-9.

32. Григоренко Я.М. Некоторые подходы к численному решению линейных и нелинейных задач теории оболочек в классической и уточненной постановках // Прикл. мех. 1996. Т. 32, №6. С. 3-39.

33. Григоренко Я.М., Василенко А.Т. Задачи статики анизотропных неоднородных оболочек. М.: Наука, 1992. — 321 с.

34. Григоренко Я.М., Крюков Н.Н Численное решение задач статики гибких слоистых оболочек с переменными параметрами. Киев: Наук. думка, 1988. — 264 с.

35. Григоренко Я.М., Мукоед А.П. Решение задач теории оболочек на ЭВМ. Киев: Вища школа, 1979. 280 с.

36. Григоренко Я.М., Мукоед А.П. Решение нелинейных задач теории оболочек на ЭВМ. Киев: Вища школа, 1983. — 286 с.

37. Григорьев В.И., Мяченков В.И. Расчет составных оболочечных конструкций на ЭВМ: Справочник. М.: Машиностроение, 1981. — 216 с.

38. Гудрамович B.C., Дисковский И.А., Макеев Е.М. Тонкостенные элементы зеркальных антенн. Киев: Наукова думка, 1986.

39. Гузь А.Н., Шнеренко К.И. Решение двухмерных краевых задач теории оболочек из композиционных материалов // Механика композитных материалов, 2000. Т. 36, №4. С. 465-472.

40. Де Бор К. Практическое руководство по сплайнам: Пер. с англ. — М.: Радио и связь, 1985. 304 с.

41. Деккер К., Вервер Я. Устойчивость методов Рунге —Кутты для жестких нелинейных дифференциальных уравнений. Пер. с англ. М.: Мир, 1988. 334 с.

42. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М: Мир, 1975. 542 с.

43. Канторович JI.B. О методе Ньютона // Труды математического института им. Стеклова, 1949. 28. С. 104-144.

44. Кармишин А.В., Лясковец А.В., Мяченков В.А., Фролов В.И. Статика и динамика тонкостенных оболочечных конструкций. М.: Машиностроение, 1975. — 376 с.

45. Композиционные материалы: Справочник / Васильев В.В., Протасов В.Д., Болотин В.В. и др. М.: Машиностроение, 1990. — 512 с.

46. Куликов Г.М. О влиянии анизотропии на напряженное состояние многослойных армированных оболочек // Прикл. механ., 1986. 22, №12. С. 66-72.

47. Куликов Г.М. Неосесимметричное напряженно-деформированное состояние многослойных анизотропных оболочек вращения // Прикл. механ., 1990. 26, №11. С. 66-70.

48. Малмейстер А.К. Геометрия теорий прочности // Механика полимеров, 1968. Ш. С. 519-534.

49. Мерзляков В.А., Галишин А.З. Расчет термоупругопластическо-го неосесимметричного напряженно-деформированного состоянияслоистых ортотропиых оболочек вращения // Механика композитных материалов, 2002. Т. 38, № 1. С. 37-58.

50. Немировский Ю.В. Об упруго-пластическом поведении армированного слоя // Журн. прикл. механики и техн. физики, 1969. № 6. С. 81-89.

51. Немировский Ю.В. Уравнения изгиба и устойчивости армированных оболочек и пластин из вязкоупругого материала // Динамика сплошной среды / Ин-т гидродинамики СО РАН. Новосибирск, 1970. Вып. 4. С. 50-63.

52. Немировский Ю.В. К теории термоупругого изгиба армированных оболочек и пластин // Механика полимеров, 1972. № 5. С. 861-873.

53. Немировский Ю.В., Резников B.C. Прочность элементов конструкций из композиционных материалов. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1986. 165 с.

54. Немировский Ю.В., Шульгин А. В. Упругопластическое деформирование и разрушение оболочек из волокнистых металлокомпози-тов // Механика композитных материалов, 1990. №6. С. 1064-1071.

55. Немировский Ю.В., Янковский А.П. О границах применимости некоторых теорий расчета изгибаемых армированных пластин // Научный вестник НГТУ, 2004. №3(18). С. 91-113.

56. Новиков Е.А. Явные методы для жестких систем. Новосибирск: Наука. Сиб. предприятие РАН, 1997. — 195 с.

57. Новожилов В.В. Теория тонких оболочек. JL: Судпромгиз, 1951. — 344 с.

58. Образцов И.Ф., Васильев В.В, Бунаков В.А. Оптимальное армирование оболочек вращения из композиционных материалов. М.: Машиностроение, 1977. — 144 с.

59. Петров В.В. Метод последовательных нагружений в нелинейной теории пластин и оболочек. Саратов: Изд. Саратовск. гос. ун-та, 1975. 120 с.

60. Победря Б.Е. Принципы вычислительной механики композитов // Механика композитных материалов. 1996. Т.32, №6. С. 729-746.

61. Ракитский Ю.В., Устинов С.М., Черноруцкий И.Г. Численные методы решения жестких систем. М.: Наука, 1979. 208 с.

62. Резниченко В.И., Хомич В.И. Применение композиционных материалов. М.: Центральный Российский Дом Знаний НВЦ Источник, 1992.

63. Рикардс Р.Б. Метод конечных элементов в теории оболочек и пластин. Рига: Зинатне, 1988. — 284 с.

64. Розин JI.A. Задачи теории упругости и численные методы их решения. С.-Пб.: Изд-во СПбГТУ, 1998. 532 с.

65. Секулович М. Метод конечных элементов. М.: Стройиздат, 1993. — 664 с.

66. Слепцов А.Г., Шепеленко В.Н. Пакет программ решения многоточечных краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Новосибирск, 1988. (Препр. / СО АН СССР. ИТПМ; № 8-88)

67. Угодчиков А.Г., Хуторянский Н.М. Метод граничных элементов в механике деформируемого твердого тела. Издательство Казанского ун-та, 1986. 295 с.

68. Физические величины. Справочник под редакцией Григорьева И.С., Мейлихова Е.З. М.: ЭнергоАтомИздат, 1991.

69. Шаманский В.Е. Методы численного решения краевых задач на ЭЦВМ. Киев: Наук, думка, 1966. 4.2. 244 с.

70. Юрченко А.В. Исследование напряженно-деформированного состояния рефлектора антенны // Материалы XXXVIII международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс". Новосибирск, 2000. Ч. 1. С. 73-74.

71. Юрченко А.В. Применение адаптивных сеток при решении краевых задач для жестких систем ОДУ // Тезисы Международной научнойконференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям. Новосибирск, 2002. С. 44-45.

72. Ascher U., Christiansen J., Russel R. D. Collocation software for boundary value ODEs // ACM. Trans, on Math. Software, 1981. Vol. 7. N. 2. R 209-222.

73. Budianski В., Radkovski P.P. Numerical analysis of unsymmetrical bending of shells of revolution // AIAA Journal, 1963. V. 1 N.8. Р/ 1833-1842.

74. Golushko S.K., Yurchenko A.V. Effect of Structural and Mechanical Characteristics of the Composite Material on the Deformation of a Reflector Antenna // Journal of Applied Mechanics and Technical Physics, 2002. Vol. 43. N. 2. P. 315-319.

75. Russel R.D., Christiansen J. Adaptive mech selection strategies for • solving boundary value problems // SIAM J. Numer. Anal, 1978. Vol.15, N. 1. P. 59-80.

76. Thompson J.F., Warsi Z.U.A., Mastin C.W. Numerical Grid Generation: Foundations and Applications. New York: Elsevier, 1985. 483 p.

77. Walter J.D., Patel H.P. Approximate expressions for the elastic constants of cord-rubber laminates // Rubber Chemistry and Technology, 1979. Vol. 52, N. 4. P. 710-724.